Materi Barisan Matematika

HAFSARINIM 1384202004

SEMESTER 3

JURUSAN PEND. MATEMATIKA

STKIP YAPIM MAROS

2014

Barisan

A. Pengertian Barisan

Barisan adalah susunan bilangan-bilangan real yang teratur, satu untuk setiap bilangan bulat positif.

Barisan = Suku1,2,3,4,5,….. disebut suku

Deret = jumlahnya Barisan1+2+3+4+….. disebut Deret

B. Penentuan Barisan

Sebuah barisan dapat ditentukan dengan :• Memberikan suku awal yang cukup untuk

membentuk sebuah pola1, 4, 7, 10.....

• Dengan sebuah rumus eksplisit untuk suku ke-n

• Dengan sebuah rumus rekursi

• Ketiga rumus tersebut melukiskan barisan yang sama.

3 2na n 1n 1,4,7.....

1n na a 2n

Contoh :

Tentukan rumus eksplisit dari :

2,6,10,14

Rumus Eksplisit

Pembuktian :

4 2na n

1

2

3

4

4(1) 2 2

4(2) 2 6

4(3) 2 10

4(4) 2 14

a

a

a

a

1. Barisan Tak Terhingga

• Barisan tak terhinggaadalah fungsi dari variabel n yang terbatas pada kumpulan bilangna bulat positif

• Barisan yang tak terhingga adalah fungsi yang daerah asalnya adalah himpunan bilangan bulat positif, dan daerah hasilnya adalah himpunan bilangan real

• Barisan tak terhinggaditampilkan oleh barisan bilangan

1 2 3, , ,...,n nu u u u u

1

1n

1 1 1 1 1, , , ,.....,

2 3 4 5 1n

2. Barisan Terbatas

• Suatu barisan dikatakan terbatas jika terdapat bilangan P & Q sehingga untuk harga n

• Contoh

Terbatas karena untuk semua n, berlaku • 2,4,6,….,2n…. Adalah barisan tidak terbatas

nu

nP U Q

3 5 7 9 2 1, , , ,......,

2 4 6 8 2

n

n

1 2nu

• Sebuah barisan disebut non decreasing jika

contoh :

1, 4, 7, 10,…..

• Sebuah barisan dikatakan non increasing

Jika

contoh:

-1,-4,-7,-10….

nu

1 2 3 ..... ....nu u u u

1 2 3 ..... .....nu u u u

3. Barisan Konvergen

• Barisan yang konvergen berarti bahwa

nilai-nilai pada barisan tersebut harus mendekati 1

• Barisan dikatakan konvergen menuju L dan ditulis sebagai berikut

na

lim nx

a L

Macam Barisan

1.

2.

3.

4.

11 1

n

nan

11na

n

11

n

nan

0,999na

1 2 3 4; 1: 0, , . , ,.....

2 3 4 5n

3 2 5 4; 1: 0, , , , ,.....

2 3 4 5n

3 2 5 4; 1: 0, , , , ,.....

2 3 4 5n

; 0.999 : 0,999;0,999;0,999.....n

Sifat-Sifat Limit Pada Barisan

Misalkan dan adalah barisan-barisan konvergen dan k dalah konstanta, maka :

1.lim

2.lim lim

3.lim lim lim

4.lim lim lim

lim5.lim , lim 0

lim

x

n nx x

n n n nx x x

n n n nx x x

nn xnx x

n nx

k k

ka k a

a b a b

a b a b

aab

b b

na nb

Contoh

Tentukan apakah barisan berikut konvergen atau tidak. Jika konvergen tentukan lim n

xa

2

2

3

7 1n

na

n

Jawab : untuk menentukan apakah barisannya konvergen atau tidak, carilah suku pertama sampai suku keempat 2

1 2

2

2 2

2

3 2

2

4 2

3(1) 30,37

7(1) 1 8

3(2) 120,41

7(2) 1 29

3(3) 270,42

7(3) 1 64

3(1) 30,37

7(1) 1 8

a

a

a

a

2

2

3lim

7 1x

n

n

2

2

2

2 2

2

2

2

3

lim7 1

3lim

17

lim 3

1lim 7

lim 3

1lim 7 lim

3

7 03

7

x

x

x

x

x

x x

n

nn

n n

n

n

n

See you next time

Thank you