Matemática Financeira 2012 UNIP – Universidade Paulista ICSC – Instituto de Ciências Sociais e Comunicação Curso de Graduação em Administração Prof. Me. Marcelo Stefaniak Aveline 1
Matemática
Financeira 2012 UNIP – Universidade Paulista
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Curso de Graduação em Administração
Prof. Me.
Marcelo
Stefaniak
Aveline
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Financeira 2012 Aula
Inaugural
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Matemática
Financeira 2012 Apresentação
Professor
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Apresentação do Professor
Nome: Marcelo Stefaniak Aveline
Graduação: Administração de Empresas
Pós-Graduação: MBA em Gestão de Negócios (In Company)
Pós-Graduação: Docência do Ensino Superior
Mestrado: Administração
Atuo há 23 anos no mercado financeiro tendo ao longo do tempo desempenhado minhas
atividades em instituições financeiras nacionais e multinacionais de grande porte.
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Matemática
Financeira 2012 Apresentação
Disciplina
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Ementa
Esta disciplina trata das ferramentas quantitativas aplicadas ao setor financeiro, no que se
refere aos cálculos de juros simples e compostos, bem como aos cálculos de descontos.
Contempla ainda as principais operações financeiras, tais como o financiamento, a
capitalização e os empréstimos. De caráter essencialmente aplicado, esta disciplina tem o seu
foco em resolução de problemas práticos ligados às operações bancárias comuns. Além da
questão prática, há uma preocupação em desenvolver e aprimorar os conceitos pertinentes às
operações que envolvem a cobrança de juros.
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Objetivos Gerais
A disciplina de Matemática Financeira deverá criar condições para que os alunos possam
adquirir e produzir os conhecimentos necessários para o desenvolvimento das competências:
Comunicação e expressão.
Capacidade de identificar, analisar e solucionar problemas.
Utilização de ferramentas tecnológicas ligadas aos cálculos financeiros
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Objetivos Específicos
O objetivo fundamental da disciplina é conceituar os fundamentos das principais operações
financeiras, focando suas aplicações ligadas à formação do profissional de Administração de
Empresas.
A estrutura da disciplina foi pensada para que os conceitos matemáticos envolvidos estejam
sempre relacionados com as necessidades da Administração, permitindo ao aluno a integração
da mesma com as demais matérias de cunho profissionalizante.
É também objetivo da disciplina reforçar aos alunos os ditames do pensamento lógico em
termos quantitativos, que pautam os cálculos financeiros em seus diversos níveis.
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Objetivos Específicos
1) Introdução à Matemática Financeira
1.1) Porcentagem.
1.2 ) Conceitos básicos de capital, juro, taxa, prazo, montante.
2) Capitalização Simples
2.1) Juros simples utilizando o prazo exato e o prazo comercial.
2.2 ) Desconto Simples
3) Capitalização Composta
3.1) Juro e Montante compostos
3.2 ) Desconto composto
3.3 ) Taxas equivalentes, efetivas, nominais e proporcionais.
3.4 ) Equivalência composta de capitais
4) Rendas
4.1) Financiamento
4.2) Capitalização
5) Empréstimos
5.1) SAC
5.2) Sistema Francês (Price)
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Estratégias de Trabalho
As aulas serão expositivas devendo conter como regra geral amplo período reservado para
exercícios, por parte dos alunos, das técnicas e ferramentas apresentadas.
Será dada ênfase ao trabalho com ferramentas tecnológicas, em especial à calculadora HP-
12C.
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Avaliação
Serão respeitados os critérios de avaliação e aprovação definidos pela Universidade,
procurando sempre entender a avaliação como mais uma oportunidade de aprendizado, e de
desenvolvimento das competências.
Em todas as avaliações deve-se ter em mente a necessidade do aluno integrar a disciplina
com a Administração, usando-se problemas de aplicação prática.
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Bibliografia Básica
CAMPOS, C. R. Matemática Financeira - Série Economia de Bolso. São Paulo: LCTE,
2010.
PUCCINI, A. L. Matemática Financeira – objetiva e aplicada. 8ª ed. São Paulo: Saraiva,
2009.
SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira. 5ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.
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Bibliografia Complementar
ASSAF NETO, A. Matemática Financeira e suas aplicações. 11ª ed. São Paulo: Atlas, 2009.
BISPO, D.; LEAL, F.; NERES, H. Matemática financeira com uso da HP 12C. Goiânia:
Editora da PUC de Goiás, 2012.
BRANCO, A. C. C. Matemática Financeira Aplicada – método algébrico, HP-12C,
Microsoft Excel. São Paulo: Pioneira Yhomson Learning, 2002.
FARO, C. Fundamentos da Matemática Financeira – uma introdução ao cálculo
financeiro e à análise de investimento de risco. São Paulo: Saraiva, 2006.
HAZZAN, S.; POMPEO, J. N. Matemática Financeira. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, 2007.
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Bibliografia Virtual
CASTANHEIRA, C. P. Noções Básicas de Matemática Comercial e Financeira. São Paulo:
IBPEX, 2008
CASTANHEIRA, C. P.; MACEDO, L. R. D. Matemática Financeira Aplicada. São Paulo:
IBPEX, 2008.
GIMENES, C. M. Matemática Financeira com HP 12C e Excel. São Paulo: Pearson, 2010.
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Matemática
Financeira 2012 Introdução à
Matemática Financeira
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Matemática Financeira
A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de alternativas de investimentos ou financiamentos
de bens, produtos ou serviços. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a
operação financeira a um fluxo de caixa.
CAPITAL é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal,
Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se “Presente Value” (indicado pela tecla
PV nas calculadoras financeiras).
JUROS representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva ou operação
financeira. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes de capitalização: 1) regime de
capitalização simples; e 2) regime de capitalização composto.
JUROS SIMPLES é o juro de cada intervalo de tempo calculado sempre sobre o capital inicial emprestado
ou aplicado.
JUROS COMPOSTOS é o juro de cada intervalo de tempo calculado a partir do saldo do início do
correspondente intervalo, sendo que, o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e
passa a render juros também.
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Matemática Financeira
O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o
consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isso. Por outro lado, quem for capaz de esperar até
possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste interim estiver disposto a emprestar essa
quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por essa abstinência na proporção do tempo e
risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e quantidade de dinheiro disponível no mercado para
empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.
Quando usamos juros simples e juros compostos?
A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e
longo prazos, compras com cartões de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais
como Caderneta de Poupança e Fundos de Renda Fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de
capitalização por juros simples: é o caso de operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto
simples de duplicatas.
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Matemática Financeira
TAXA DE JUROS: indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, ou investido, para um
determinado período de tempo. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, e seguida pela
especificação do período de tempo a que se refere.
8% a.a. a.a. significa ao ano
Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária que é igual a taxa percentual divida por 100, sem
o símbolo %.
10% a.t. a.t. significa ao trimestre
0,08 a.a. a.a. significa ao ano
0,10 a.t. a.t. significa ao trimestre
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Matemática
Financeira 2012 Capitalização Simples
Juros Simples
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Matemática Financeira JUROS SIMPLES
O regime de JUROS será SIMPLES quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal.
Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente Principal
é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fóruma temos:
J = P. i. n
Assim temos:
J = juros
P = principal (capital)
i = taxa de juros
n = número de períodos
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Matemática Financeira JUROS SIMPLES
01) Temos uma dívida de R$ 1.000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de capitalização
por juros simples, e devemos pagá-la em 1 mês. Os juros que pagarei serão?
J = P. i. n
Assim temos:
J =
P =
i =
n =
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Matemática Financeira JUROS SIMPLES
01) Temos uma dívida de R$ 1.000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de capitalização
por juros simples, e devemos pagá-la em 1 meses. Os juros que pagarei serão?
J = P. i. n
Assim temos:
J = ?
P = R$ 1.000,00
i = 8% a.m.
n = 1
J = 1.000 X 0,08 x 1
J = 80
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Matemática Financeira JUROS SIMPLES
02) Temos uma dívida de R$ 1.000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de capitalização
por juros simples, e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão?
J = P. i. n
Assim temos:
J = ?
P = R$ 1.000,00
i = 8% a.m.
n = 2
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Matemática Financeira JUROS SIMPLES
02) Temos uma dívida de R$ 1.000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de capitalização
por juros simples, e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão?
J = P. i. n
Assim temos:
J = ?
P = R$ 1.000,00
i = 8% a.m.
n = 2
J = 1.000 X 0,08 x 2
J = 160
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Matemática Financeira JUROS SIMPLES
03) Temos uma dívida de R$ 1.000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de capitalização
por juros simples, e devemos pagá-la em 3 meses. Os juros que pagarei serão?
J = P. i. n
Assim temos:
J = ?
P = R$ 1.000,00
i = 8% a.m.
n = 3
J = 1.000 X 0,08 x 3
J = 240
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04) Temos uma dívida de R$ 1.000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de capitalização
por juros simples, e devemos pagá-la em 4 meses. Os juros que pagarei serão?
J = P. i. n
Assim temos:
J = ?
P = R$ 1.000,00
i = 8% a.m.
n = 4
J = 1.000 X 0,08 x 4
J = 320
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Matemática Financeira JUROS SIMPLES
05) Temos uma dívida de R$ 1.000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de capitalização
por juros simples, e devemos pagá-la em 5 meses. Os juros que pagarei serão?
J = P. i. n
Assim temos:
J = ?
P = R$ 1.000,00
i = 8% a.m.
n = 5
J = 1.000 X 0,08 x 5
J = 400
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Matemática Financeira JUROS SIMPLES
Ao somarmos os juros ao valor principal encontramos o montante, que é o valor final.
Montante = Principal + Juros
Montante = Principal + (Principal x Taxa de Juros X Número de Períodos)
M = P + P. i. n
Assim temos:
M = Montante
P = Principal
i = Taxa de Juros
n = Número de Períodos
M = P. (1 + (i. n))
M = P + J
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Matemática Financeira JUROS SIMPLES
06) Temos uma dívida de R$ 1.000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de capitalização
por juros simples, e devemos pagá-la em 5 meses. Calcule: O Montante resultante dessa operação
J = P. i. n
Assim temos:
J = ?
P = R$ 1.000,00
i = 8% a.m.
n = 5
J = 1.000 X 0,08 x 5
J = 400
M = P. (1+ (i. n))
Assim temos:
M = ?
P = R$ 1.000,00
i = 8% a.m.
n = 5
M = 1.000 X (1+ (0,08 x 5))
M = 1000 x (1+ (0,40))
M = 1.000 x (1,40)
M = 1.400
M = P + J
Assim temos:
M = ?
P = R$ 1.000,00
J = 400
M = 1.000 + 400
M = 1.400
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Matemática Financeira JUROS SIMPLES
07) Calcule o Montante resultante da aplicação de R$ 70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias, com
capitalização pelo regime de juros simples.
M = P. (1+ (i. n))
Assim temos:
M = ?
P = R$ 70.000,00
i = 10,5 % a.a.
n = 145 dias
M = 70.000 x (1+ ((10,5/100)x(145/360)))
M = 70.000 x (1+ (0,105)x(0,40)
M = 70.000 x (1+ (0,042291667)
M = 70.000 x (1,042291667)
M = 72.960,42
Observação: devemos expressar a taxa i e
o período n na mesma unidade de tempo,
ou seja, nesse caso, em anos. Então
devemos dividir 145 dias por 360, para obter
o valor equivalente em anos, já que um ano
comercial tem 360 dias.
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Matemática Financeira JUROS SIMPLES
08) Calcular os juros simples de R$ 1.200,00 a 13% a.t. Por 4 meses e 15 dias. R.: 234,00
9) Calcular os juros simples produzidos por R$ 40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a. durante 125 dias. R.:
R$ 5.000,00
10) Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. Rende R$ 3.500,00 de juros em 75 dias?
R.: R$ 116.666,67
11) Se a taxa de uma aplicação é de 150% a.a., quantos meses serão necessários para dobrar um capital
aplicado através de capitalização de juros simples? R.: 8 meses
12) Qual o juro obtido na aplicação, durante 2 meses, de um capital de R$ 100.000,00, à taxa de juros de
60% a.m.? R.: 120.000,00
13) Um capital de R$ 100.000,00, foi aplicado à taxa de juros simple de 40% a.m.. Após um semestre qual o
valor do montante obtido? R.: 340.000,00
14) O capital de R$ 9.000,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 36% a.a.. Após quatro meses, qual o
valor do montante? R.: 10.080,00
15) De quanto será o juro produzido por um capital de R$ 39.000,00, aplicado durante 300 dias, à taxa de
juros de 15% a.a., capaitalizados sob o regime de juros simples? R.: 4.875,00
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Matemática Financeira JUROS SIMPLES
08) Calcular os juros simples de R$ 1.200,00 a 13% a.t. Por 4 meses e 15 dias.
Resp: R$ 234,00
Dados:
P = 1.200
i = 13% a.t.
n = 4 meses e 15 dias
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Matemática Financeira JUROS SIMPLES
08) Calcular os juros simples de R$ 1.200,00 a 13% a.t. Por 4 meses e 15 dias.
Resp: R$ 234,00
Dados:
P = 1.200
i = 13% a.t.
n = 4 meses e 15 dias
J = P . i . n
J = 1.200 x 0,13/3 x 4,5
J = 1.200 x 0,04333333 x 4,5
J = 234
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Matemática Financeira JUROS SIMPLES
09) Calcular os juros simples produzidos por R$ 40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a. durante 125 dias.
Resp.: R$ 5.000,00
Dados
P = 40.000
i = 36% a.a.
n = 125 dias
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Matemática Financeira JUROS SIMPLES
09) Calcular os juros simples produzidos por R$ 40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a. durante 125 dias.
Resp.: R$ 5.000,00
Dados
P = 40.000
i = 36% a.a.
n = 125 dias
J = P . i . n
J = 40.000 x 0,36/360 x 125
J = 40.000 x 0,125
J = 5.000
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Matemática Financeira JUROS SIMPLES
10) Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. Rende R$ 3.500,00 de juros em 75 dias?
Resp.: R$ 116.666,67
Dados
P =
i = 1,2% a.m.
n = 75 dias
M = 3.500,00
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Matemática Financeira JUROS SIMPLES
10) Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. Rende R$ 3.500,00 de juros em 75 dias?
Resp.: R$ 116.666,67
Dados
P =
i = 1,2% a.m.
n = 75 dias
J = 3.500,00
J = P . i . n
3.500 = P x 0,012 /30 x 75
3.500 = P x 0,03
3.500 / 0,03 = P
P = 116.666,67
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Matemática Financeira JUROS SIMPLES
11) Se a taxa de uma aplicação é de 150% a.a., quantos meses serão necessários para dobrar um capital
aplicado através de capitalização de juros simples?
Resp.: 8 meses
Dados:
P = 1
i = 150% a.a.
n =
M = 2
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Matemática Financeira JUROS SIMPLES
11) Se a taxa de uma aplicação é de 150% a.a., quantos meses serão necessários para dobrar um capital
aplicado através de capitalização de juros simples?
Resp.: 8 meses
Dados:
P = 1
i = 150% a.a.
n =
M = 2
M = P ( 1 + i . n )
2 = 1 ( 1 + 1,5 . n )
2 = 1 + 1,5 n
1,5 n = 1
n = 1 / 1,5
n = 0,66666667 anos
n = 0,66666667 x 12
n = 8 meses
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Matemática Financeira JUROS SIMPLES
12) Qual o juro obtido na aplicação, durante 2 meses, de um capital de R$ 100.000,00, à taxa de juros de
60% a.m.? R.: 120.000,00
Dados:
P = 100.000
i = 60% a.m.
n = 2 meses
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Matemática Financeira JUROS SIMPLES
12) Qual o juro obtido na aplicação, durante 2 meses, de um capital de R$ 100.000,00, à taxa de juros de
60% a.m.? R.: 120.000,00
Dados:
P = 100.000
i = 60% a.m.
n = 2 meses
J = P . i . n
J = 100.000 x 0,60 x 2
J = 100.000 x 1,2
J = 120.000
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Matemática Financeira JUROS SIMPLES
13) Um capital de R$ 100.000,00, foi aplicado à taxa de juros simple de 40% a.m.. Após um semestre qual o
valor do montante obtido? R.: 340.000,00
Dados:
P = 100.000
i = 40% a.m.
n = 1 semestre
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13) Um capital de R$ 100.000,00, foi aplicado à taxa de juros simple de 40% a.m.. Após um semestre qual o
valor do montante obtido? R.: 340.000,00
Dados:
P = 100.000
i = 40% a.m.
n = 1 semestre
M = P ( 1 + i . n )
M = 100.000 ( 1 + 0,40 x 6 )
M = 100.000 ( 1 + 2,40 )
M = 100.000 x 3,40
M = 340.000
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Matemática Financeira JUROS SIMPLES
14) O capital de R$ 9.000,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 36% a.a.. Após quatro meses, qual o
valor do montante? R.: 10.080,00
Dados:
P = 9.000
i = 36% a.a.
n = 4 meses
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14) O capital de R$ 9.000,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 36% a.a.. Após quatro meses, qual o
valor do montante? R.: 10.080,00
Dados:
P = 9.000
i = 36% a.a.
n = 4 meses
M = P ( 1 + i . n )
M = 9.000 ( 1 + 0,36/12 x 4 )
M = 9.000 ( 1 + 0,12 )
M = 9.000 x 1,12
M = 10.080
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Matemática Financeira JUROS SIMPLES
15) De quanto será o juro produzido por um capital de R$ 39.000,00, aplicado durante 300 dias, à taxa de
juros de 15% a.a., capaitalizados sob o regime de juros simples? R.: 4.875,00
Dados:
P = 39.000
i = 15% a.a.
n = 300 dias
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15) De quanto será o juro produzido por um capital de R$ 39.000,00, aplicado durante 300 dias, à taxa de
juros de 15% a.a., capitalizados sob o regime de juros simples? R.: 4.875,00
Dados:
P = 39.000
i = 15% a.a.
n = 300 dias
J = P . i . n
J = 39.000 x 0,15/360 x 300
J = 39.000 x 0,125
J = 4.875
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Matemática
Financeira 2012
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Capitalização Simples
Desconto Simples
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Desconto Simples
Desconto é o abatimento que se faz em uma dívida, quando ela é paga antes do vencimento.
Assim, se devêssemos uma certa quantia, $500,00 por exemplo, a ser paga em uma
determinada data, e a pagássemos antes, teríamos uma redução na nossa dívida. Em vez de
$500,00, pagaríamos por exemplo, $460,00.
O desconto seria de $40,00.
Nessa operação temos dois valores:
$500,00, o valor que deveria ser pago no dia do vencimento, chamado de valor nominal;
$460,00, o valor pago no dia em que se efetua o desconto, chamando de valor atual;
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Desconto Simples
Os problemas de descontos simples se resolvem do mesmo modo que os juros simples,
conhecidos cinco elementos, quais sejam:
N = valor nominal
V ou A = valor atual
i = taxa
n = tempo de antecipação
D = desconto
O desconto simples poderá ser:
racional (ou “por dentro”);
comercial (ou “por fora”);
bancário.
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Desconto Simples
Desconto racional ou desconto “por dentro”, é o desconto obtido pela diferença entre o
valor nominal e o valor de um compromisso que seja saldado “n” períodos antes do seu
vencimento.
Desconto: é a quantia a ser abatida do valor nominal;
Valor descontado: é a diferença entre o valor nominal e o desconto;
Sendo:
N valor nominal (ou montante)
Ar valor atual (aou valor descontado racional)
n número de períodos antes do vencimento
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Teremos, então, para cálculo do desconto racional:
N . i . n
Dr = ------------
1 + i . n
E para cálculo do valor atual, teremos:
N
Ar = ------------
1 + i . n
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Conclusão:
“No regime de juros simples, o desconto racional aplicado ao valor nominal é igual ao juro
devido sobre o capital (valor descontado) desde que ambos sejam calculados à mesma taxa.
Ou seja, a taxa de juros da operação é também a taxa de desconto.
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Exemplo:
01) Uma dívida de R$12.000,00 será saldada 4 meses antes de seu vencimento. Que
desconto racional será obtido, se a taxa de juros contratada for de 27%a.a.?
Dados:
N = 12.000
i = 27%a.a.
n = 4 meses
N . i . n
Dr = ------------
1 + i . n
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Exemplo:
Dados:
N = 12.000
i = 27%a.a.
n = 4 meses
N . i . n
Dr = ------------
1 + i . n
Dr = (12.000 x 0,27/12 x 4) / (1 + (0,27/12 x 4))
Dr = (12.000 x 0,09) / (1 + 0,09)
Dr = 1080 / 1,09
Dr = 990,83
R$ 990,83 é, portanto, o desconto racional obtido pelo resgate antecipado da dívida.
Valor da dívida a ser paga é R$ 11.009,17
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Exemplo:
02) Por quanto posso comprar um título com vencimento daqui a 6 meses, se seu valor
nominal for de R$ 20.000,00 e eu quiser ganhar 30% a.a.?
Deve-se calcular o valor atual do título tal que seja possível obter a rentabilidade de 30% a.a.
Dados:
N = 20.000
i = 30%a.a.
n = 6 meses
N
Ar = ------------
1 + i . n
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Exemplo:
Dados:
N = 20.000
i = 30%a.a.
n = 6 meses
N
Ar = ------------
1 + i . N
Ar = 20.000 / (1 + (0,30 x 0,5))
Ar = 20.000 / (1 + (0,15))
Ar = 20.000 / 1,15
Ar = 17.391,30
Comprando-se o título por R$ 17.391,30 e resgatando-o por R$ 20.000,00 após 6 meses, ter-
se-á um ganho de 15% em 6 meses, taxa esta que é equivalente a 30% a.a..
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Desconto comercial ou desconto “por fora”, é o desconto cujo valor que se obtém pelo
cálculo do juro simples sobre o valor nominal do compromisso que seja saldado “n” períodos
antes de seu vencimento.
Calcula-se o valor do desconto comercial aplicando-se a definição:
Dc = N . i . n
E o valor descontado comercial:
Ac = N (1 - i . n)
Esse resultado é também chamado valor atual comercial.
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Exemplo:
03) Um título de valor nominal R$ 2.780,00, é descontado por fora a uma taxa de 36% a.a.,
seis meses antes de seu vencimento. Calcule seu valor atual.
Dados:
N = 2.780
i = 36%a.a.
n = 6 meses
O valor descontado comercial ou por fora será dado por:
Ac = N (1 - i. n)
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Exemplo:
Dados:
N = 2.780
i = 36%a.a.
n = 6 meses
Ac = N (1 – i . n)
Ac = 2.780 ( 1 – 0,36/12 x 6 ) ou ( 1 – 0,36 x ½)
Ac = 2.780 ( 1 – 0,18 )
Ac = 2.780 ( 0,82 )
Ac = 2.279,60
O valor atual do título será de R$ 2.279,60
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Desconto Simples
Desconto bancário, corresponde ao descoto comercial acrescido de uma taxa prefixada,
cobrada sobre o valor nominal ( “a” é a taxa de despesas administrativas).
Db = N ( i . n + a)
Ab = N (( 1 – ( i . n + a))
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Relação entre desconto racional e desconto comercial, empiracamente, o desconto
comercial é maior que o desconto racional, feito nas mesmas condições, ou seja:
Dc > Dr
Ou ainda:
Dc = Dr ( 1 + i . n )
Ou seja, o desconto comercial pode ser entendido como sendo o montante do desconto
racional calculado para o mesmo período e à mesma taxa.
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Desconto Simples
Exercícios:
1) Um título com valor nominal de R$110.000,00 foi resgatado dois meses antes de seu
vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa de 60%
a.m.. Nesse caso, de quanto foi o valor pago pelo título: R: R$ 50.000,00
2) Qual é o valor da diferença entre os descontos por dentro e por fora de uma nota
promissória de R$1.420,00, se ela for descontada 40 dias antes de seu vencimento a uma
taxa de 8% a.m.? R: R$ 14,60
3) Por quanto devo comprar um título com vencimento daqui a 50 dias, se seu valor nominal
for R$190.500,00 e eu pretendo ganhar 42% de juros simples ao ano? (desconto
comercial) R: R$ 179.387,50
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Exercícios:
4) Um título com valor nominal de R$3.836,00 foi resgatado quatro meses antes do seu
vencimento, tendo sido concedido um desconto racional simples à taxa de 10% a.m.. Qual
foi o valor pago pelo título? R: 2.740,00
5) Um título com valor nominal de R$7.420,00 foi resgatado dois meses antes do seu
vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa de 20%
a.m.. Nesse caso, de quanto foi o valor pago pelo título? R: 5.300,00
6) Utilizando o desconto racional qual é o valor que devo pagar por um título com vencimento
daqui a 6 meses, se o seu valor nominal for de R$2.950,00 e eu desejo ganhar 36% ao
ano? R: 2.500,00
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Exercícios Resolvidos:
1) Um título com valor nominal de R$110.000,00 foi resgatado dois meses antes de seu
vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa de 60%
a.m.. Nesse caso, de quanto foi o valor pago pelo título: R: R$ 50.000,00
Dados:
N = 110.000
n = 2 meses
i = 60% a.m.
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Exercícios Resolvidos:
1) Um título com valor nominal de R$110.000,00 foi resgatado dois meses antes de seu
vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa de 60%
a.m.. Nesse caso, de quanto foi o valor pago pelo título: R: R$ 50.000,00
Dados:
N = 110.000
n = 2 meses
i = 60% a.m.
Ar = N / 1 + i. n
Ar = 110.000 / (1 + 0,60 x 2)
Ar = 110.000 / ( 1 + 1,2 )
Ar = 110.000 / ( 2,2 )
Ar = 50.000
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Exercícios Resolvidos:
2) Qual é o valor da diferença entre os descontos por dentro e por fora de uma nota
promissória de R$1.420,00, se ela for descontada 40 dias antes de seu vencimento a uma
taxa de 8% a.m.? R: R$ 14,60
Dados:
N = 1.420
n = 40 dias
i = 8% a.m.
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Exercícios Resolvidos:
2) Qual é o valor da diferença entre os descontos por dentro e por fora de uma nota
promissória de R$1.420,00, se ela for descontada 40 dias antes de seu vencimento a uma
taxa de 8% a.m.? R: R$ 14,60
Dados:
N = 1.420
n = 40 dias
i = 8% a.m.
Dr = N . i . n / 1 + i . n
Dr = (1.420 x 0,08/30 x 40) / ( 1+ 0,08/30 x 40)
Dr = 151,47 / 1,1067
Dr = 136,87
Dc = N . i . n
Dc = 1.420 x 0,08/30 x 40
Dc = 151,47
Dc - Dr = 151,47 – 136,87 = 14,60
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Exercícios Resolvidos:
3) Por quanto devo comprar um título com vencimento daqui a 50 dias, se seu valor nominal
for R$190.500,00 e eu pretendo ganhar 42% de juros simples ao ano? (desconto
comercial) R: R$ 179.387,50
Dados:
N = 190.500
n = 50 dias
i = 42% a.a.
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Exercícios Resolvidos:
3) Por quanto devo comprar um título com vencimento daqui a 50 dias, se seu valor nominal
for R$190.500,00 e eu pretendo ganhar 42% de juros simples ao ano? (desconto
comercial) R: R$ 179.387,50
Dados:
N = 190.500
n = 50 dias
i = 42% a.a.
Ac = N . (1 - i . n)
Ac = 190.500 x ( 1 – 0,42/360 x 50 )
Ac = 190.500 x ( 0,94166667 )
Ac = 179.387,50
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Exercícios Resolvidos:
4) Um título com valor nominal de R$3.836,00 foi resgatado quatro meses antes do seu
vencimento, tendo sido concedido um desconto racional simples à taxa de 10% a.m.. Qual
foi o valor pago pelo título? R: 2.740,00
Dados:
N = 3.836
n = 4 meses
i = 10% a.m.
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Exercícios Resolvidos:
4) Um título com valor nominal de R$3.836,00 foi resgatado quatro meses antes do seu
vencimento, tendo sido concedido um desconto racional simples à taxa de 10% a.m.. Qual
foi o valor pago pelo título? R: 2.740,00
Dados:
N = 3.836
n = 4 meses
i = 10% a.m.
Ar = N / 1 + i . n
Ar = 3.836 / 1 + 0,10 x 4
Ar = 3.836 / 1,40
Ar = 2.740
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Exercícios Resolvidos:
5) Um título com valor nominal de R$7.420,00 foi resgatado dois meses antes do seu
vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa de 20%
a.m.. Nesse caso, de quanto foi o valor pago pelo título? R: 5.300,00
Dados:
N = 7.420
n = 2 meses
i = 20% a.m.
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Exercícios Resolvidos:
5) Um título com valor nominal de R$7.420,00 foi resgatado dois meses antes do seu
vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa de 20%
a.m.. Nesse caso, de quanto foi o valor pago pelo título? R: 5.300,00
Dados:
N = 7.420
n = 2 meses
i = 20% a.m.
Ar = N / 1 + i . n
Ar = 7.420 / 1 + 0,20 x 2
Ar = 7.420 / 1 + 0,40
Ar = 7.420 / 1,40
Ar = 5.300
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Exercícios Resolvidos:
6) Utilizando o desconto racional qual é o valor que devo pagar por um título com vencimento
daqui a 6 meses, se o seu valor nominal for de R$2.950,00 e eu desejo ganhar 36% ao
ano? R: 2.500,00
Dados:
N = 2.950
i = 36% a.a.
n = 6 meses
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Exercícios Resolvidos:
6) Utilizando o desconto racional qual é o valor que devo pagar por um título com vencimento
daqui a 6 meses, se o seu valor nominal for de R$2.950,00 e eu desejo ganhar 36% ao
ano? R: 2.500,00
Dados:
N = 2.950
i = 36% a.a.
n = 6 meses
Ar = N / 1 + i . n
Ar = 2.950 / 1 + 0,36/12 x 6
Ar = 2.950 / 1 + 0,18
Ar = 2.950 / 1,18
Ar = 2.500
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