Page 1
U.U.D.M. Project Report 2018:40
Examensarbete i matematikdidaktik, ämneslärarprogrammet, 15 hpHandledare: Anders ÖbergExaminator: Veronica Crispin QuinonezAugusti 2018
Matematikens historia i gymnasieskolanEn analys av läroböcker för matematik 1b
Maja Eriksson
Department of MathematicsUppsala University
Page 3
Sammanfattning
I gymnasieskolans samtliga kursplaner for matematik ingar matematikens kulturhistoria som ett
centralt innehall. Avsikten ar att vara motivationsskapande och gora matematiken mer levande.
Eftersom larobocker har en central roll i matematikundervisningen var syftet med uppsatsen att
studera hur forlagen tolkar Skolverkets krav, men aven undersoka om larare kan anvanda ma-
tematikens historia i undervisningen pa fler satt. For att besvara fragestallningarna gjordes en
laromedelsanalys for kursen matematik 1b. Larobockerna undersoktes utifran forekomsten av upp-
gifter med koppling till matematikens historia, om det fanns faktarutor med historia och om ma-
tematikens historia anvandes for att introducera och forklara nya delar av matematiken. For att
besvara fragestallningen angaende hur larare kan komplettera larobockerna gjordes studier av artik-
lar och bocker gallande hur matematikens historia kan forbattra undervisningen. Resultatet visade
att larobockerna ofta utnyttjar matematikens historia for att introducera nya avsnitt. Forskning
visar att det ar fordelaktigt att presentera matematik i den kontext som den upptacktes och detta
kan vara en anledning till att forfattarna har valt att inkludera historia i de introducerande texter-
na. Larobockerna hade aven uppgifter med koppling till matematikens historia. Utover detta kan
matematikens historia vara anvandbar i lararens planering av undervisningen. Den kan forutsaga
elevers svarigheter och ge ideer pa hur dessa kan overkommas. Larare kan aven belysa matematikens
historia for att ge eleverna forstaelse for matematikens utveckling.
Page 4
Innehall
1 Inledning 6
1.1 Bakgrund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Syfte och fragestallning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Litteraturgenomgang 8
2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Styrdokumenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 Amnesplan matematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.2 Kursplaner matematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.3 Betygskriterier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Fordelar och nackdelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Undervisning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4.1 Forsta elevers svarigheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4.2 Undervisningsstrategier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.3 Historiska problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.4 Visa att matematiken ar dynamisk och en mansklig konstruktion . . . . . . . 15
2.4.5 Mangfaldsperspektiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Metod och material 16
4 Resultat 17
4.1 Exponent 1b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.1.1 Taluppfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.1.2 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.1.3 Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.1.4 Procent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.1.5 Funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.1.6 Sannolikhetslara och statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 Origo 1b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2.1 Tabeller och diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2.2 Tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3
Page 5
4.2.3 Algebra och ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2.4 Procent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2.5 Funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2.6 Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2.7 Sannolikhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2.8 Geometri och bevis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3 Matematik 5000 1b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3.1 Aritmetik - Om tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3.2 Procent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.3.3 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.3.4 Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3.5 Sannolikhetslara och statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3.6 Grafer och funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4 Matematik M 1b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.4.1 Numerisk rakning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.4.2 Procent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.4.3 Uttryck och ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.4.4 Funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.4.5 Sannolikhet och statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.4.6 Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.5 Tabell av resultatet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5 Analys 35
5.1 Jamforelse mellan bockerna for de olika avsnitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.1.1 Aritmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.1.2 Procent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.1.3 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.1.4 Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.1.5 Funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.1.6 Sannolikhetslara och statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2 Jamforelse av larobockernas innehall med kursplan och amnesplan . . . . . . . . . . 40
4
Page 6
5.2.1 Exponent 1b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.2.2 Origo 1b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2.3 Matematik 5000 1b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2.4 Matematik M 1b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.3 Allmanna kommentarer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6 Diskussion 45
7 Referenser 48
5
Page 7
1 Inledning
1.1 Bakgrund
Uppslaget till uppsatsen uppkom da jag vikarierade pa en lektion for elever pa Samhallsvetenskapliga
programmet. Nar jag berattade att jag var lararstudent ville de veta i vilka amnen jag skulle un-
dervisa och jag svarade da matematik och fysik. Kommentarena som sedan foljde tycker jag var
tankvarda. De kunde forsta att man ville bli fysiklarare eftersom det gar att fora diskussioner med
eleverna och att det ingar praktiska laborationer. Dock var det for dem helt obegripligt att nagon
ville bli matematiklarare eftersom matematik bara var trakiga regler, som inte kunde diskuteras
utan bara foljas, och att eleverna bara raknade i bockerna hela tiden. Tanken som da slog mig var
att dessa elever skulle fa en battre forstaelse och storre gladje av matematiken om undervisningen
lade en storre vikt vid matematikens historia.
Jag har sjalv sett pa matematiken pa liknande satt som de har gymnasieeleverna men under min
utbildning till larare har jag gatt tva kurser i matematikens historia. Det var egentligen forst da
som jag fick verklig forstaelse for att en cirkels area ar A = r2 · π. Tidigare har jag bara anvant
formeln och tankt att det ar rimligt att en kvadrat av radien multiplicerat med tre ar lika stor som
arean av cirkeln. Nar jag fick lara mig om Arkimedes cirkelsats blev det klart for mig varfor formeln
galler. Pa samma satt forstod jag hur pq-formeln fungerar genom att se babyloniernas geometriska
losning av andragradsekvationer.
Artiklar som jag har last styrker att det ar fordelaktigt att anvanda historia i undervisningen.
Darfor har jag valt att undersoka saken vidare och speciellt analysera hur larobockerna inkluderar
matematikens historia pa olika satt.
6
Page 8
1.2 Syfte och fragestallning
Matematikundervisningen ar ett amne som traditionellt sett anvander laroboken i hog utstrackning.
Det ses som en trygghet for larare eftersom den tacker in stora delar av kursplanen, och av elever
eftersom om de lar sig bokens innehall anser de att de har tillrackliga kunskaper for att klara kursen
(Johansson, 2006). Darfor ar det intressant att undersoka hur larobockerna inkluderar kravet pa att
behandla matematikens kulturhistoria och om olika larobocker behandlar matematikens historia pa
olika satt. Syftet ar aven att fa en inblick i vad forskningen sager om amnet och hur larare kan
komplettera larobockerna.
• Hur framstalls matematikens historia i larobocker?
• Hur kan larare anvanda matematikens historia for att komplettera larobockerna och starka
sin undervisning?
7
Page 9
2 Litteraturgenomgang
Detta avsnitt tar upp texter som har betydelse for hur matematikens historia behandlas i under-
visning och larobocker. Det som kommer tas upp ar de dels olika styrdokumenten som amnesplan
och kursplan och dels teorier om betydelsen av matematikens historia i undervisningen. Forst en
kort definition av det innebar.
2.1 Definition
Att undervisa matematikens historia brukar ofta syfta pa tva olika synsatt. Det forsta ar att anvanda
matematikens historia som ett verktyg for att lara ut det matematiska innehallet och det andra ar
att sjalva historien ar ett mal i sig (Janqvist, 2009). Butuner (2016) beskriver att matematikens
historia anvands som ett verktyg for larande da larare anvander den for att undervisa ett visst
moment. Detta kan exempelvis vara Pythagoras sats. Istallet for att endast presentera satsen som
forhallandet mellan sidorna i en ratvinklig triangel sa kan lararen inkludera historien bakom satsen,
var den uppkom, hur den har anvants i olika kulturer eller att det var Pythagoras som forst bevisade
satsen. Det ar i slutandan sjalva forhallandet som lararen vill att eleverna ska lara sig men historien
ar ett verktyg for att ge dem en djupare forstaelse. Det kan ocksa fungera som ett verktyg for att
hjalpa eleverna att komma bort fran att inte vaga gora misstag. Det hjalper sallan att uppmuntra
misstag genom att endast papeka det sjalv. Med hjalp av historien kan larare faktiskt visa att
aven de stora matematikerna gor fel och att det ibland kan leda till nya upptakter. Ett annat
verktyg kan vara att hjalpa eleverna inse att problem ofta kan losas pa fler an ett satt. Ett satt
for att visa detta kan vara att jamfora olika losningsmetoder genom historien med varandra for
att se att det finns bade for- och nackdelar med olika losningsmetoder. Forhoppningsvis kan detta
inspirera eleverna att hitta alternativa losningar da de jobbar med andra problem. Matematikens
historia kan ocksa ses som ett mal i sig. Exempel pa det kan vara for att visa att matematiken
ar en mansklig konstruktion. Genom att beratta om varfor och hur ett visst matematiskt fenomen
uppkom far eleverna forstaelse for att det ar manniskor som utvecklar matematik for att losa
manskliga problem eller fragestallningar. Exempel pa detta ar tal, alla tal har inte alltid funnits, de
har uppkommit da det funnits ett behov av dem. Detta visar ocksa att matematiken inte ar nagot
statiskt utan utvecklas standigt. Ett annat mal med att anvanda historia ar for att visa samband
mellan matematik och andra amnen, som exempelvis musik och fysik.
8
Page 10
2.2 Styrdokumenten
Lararens uppdrag ar att undervisa eleverna utifran de olika styrdokumenten som ar utfardade av
Skolverket. I bade amnesplanen for matematik och i de olika kursplanerna behandlas matematikens
historia.
2.2.1 Amnesplan matematik
Citatet nedan ar hamtat ur amnesplanens beskrivning av amnet:
Matematiken har en flertusenarig historia med bidrag fran manga kulturer. Den
utvecklas saval ur praktiska behov som ur manniskans nyfikenhet och lust att utforska
matematiken som sadan. Kommunikation med hjalp av matematikens sprak ar likartad
over hela varlden. I takt med att informationstekniken utvecklas anvands matematiken
i alltmer komplexa situationer. Matematik ar aven ett verktyg inom vetenskap och
for olika yrken. Ytterst handlar matematiken om att upptacka monster och formulera
generella samband.
I beskrivning av amnets syfte star det att undervisningen ska bidra till att hjalpa eleverna att
utveckla sin formaga till att satta in matematiken i olika sammanhang, och att se vilken betydelse
den har for bade individ och samhalle. Det star aven att eleverna ska arbeta matematiskt vilket de
i kommentarerna beskriver som:
Matematik kan ofta uppfattas som ett amne dar det endast finns ratt eller fel och
att gora fel ar detsamma som att inte ha ett matematiskt kunnande. Men matematiskt
kunnande utvecklas aven om man staller ”fel” hypoteser, tvingas gora om och tanka
nytt. Det kravs ofta hart och langvarigt arbete innan professionella matematiker far
fram resultat som de ar nojda med. Kanske finns det ocksa mer an en losning pa ett
problem.
9
Page 11
Lite langre ner forklaras det vad som menas med olika uttrycksformer :
Den verbala uttrycksformen, till exempel retorisk algebra, ger eleven mojlighet att
visa sitt matematiska tankande pa ett annat satt an symboliskt. Den retoriska algebran,
dvs. att eleven ger verbala beskrivningar av vilka procedurer som ska genomforas for
att na en losning pa ett problem, kan kopplas till algebrans ursprung. Den symboliska
algebran borjade utvecklas forst i borjan av 1600-talet.
2.2.2 Kursplaner matematik
Dessutom ar ”matematiska problem med anknytning till matematikens kulturhistoria” ett centralt
innehall for samtliga matematikkurser, dar beskrivningen for matematikens kulturhistoria ar:
Ett exempel pa anknytning till matematikens kulturhistoria ar manniskans upptackt
av ett samband mellan en cirkels omkrets och dess diameter som representeras av talet π.
Tanken med det kulturhistoriska innehallet ar att gora matematikundervisningen mera
levande och motivationsskapande, och att eleverna via matematiska problem far ta del
av manniskorna, den tidsepok och den kultur som upptackte de matematiska samband
och begrepp som behandlas i kursen.
Ett matematiskt problem ar enligt Hagland, Hedren & Taflin (2011) en speciell typ av uppgift som
uppfyller tre kriterier. Det forsta ar att en person behover eller vill losa uppgiften, det andra ar att
personen inte har en pa forhand given procedur och det tredje ar att det kravs en viss anstrangning
for att losa uppgiften.
2.2.3 Betygskriterier
Betygskriterierna kring matematikens historia innebar att eleverna ska kunna relatera kursens in-
nehall till matematikens kulturhistoria. For betyget E racker det att nagot i kursens innehall relate-
ras och att det fors enkla resonemang om dess relevans. Kriterierna for betyget C innebar att de ska
kunna relatera nagra fler omraden och att resonemangen om dess relevans ska vara valgrundade.
For betyg A ska resonemangen dessutom vara valgrundade och nyanserade (Skolverket, 2011).
10
Page 12
2.3 Fordelar och nackdelar
Nar det kommer till att behandla matematikens historia i undervisningen pa gymnasieskolan finns
det bade de som anser att det ar en tillgang for inlarningen och de som anser att det ar ett
moment vid sidan om. Tzanakis & Arcavi (2002) listar nagra vanliga argument for och emot att
anvanda matematikens historia i matematikundervisningen som larare kan ha. Nagra argument for
att anvanda historia i undervisningen ar att det underlattar elevers larande eftersom koncept blir
lattare for elever att ta till sig da de forstar hur och varfor de uppkom. Det kan utveckla elevers syn
pa matematikens natur. Exempelvis att misstag ar en del av matematiken och att fa elever att sjalva
formulera fragestallningar och undersoka dessa. En annan fordel ar att matematikens historia visar
att matematiken som en mansklig konstruktion. Det finns aven larare som argumenterar mot att
anvanda historia i matematikundervisningen av bade filosofiska och praktiska skal. Sadana argument
kan vara att historia inte ar matematik och darfor ska matematikundervisningen inte innehalla
historia. Att elever inte ar intresserade av historia som amne och darfor skulle de inte heller vara
intresserade av matematikens historia. Att en extra dimension som historia skulle forvirra elever
mer an hjalpa. Ett annat argument av mer praktiskt natur ar att det inte finns tid att behandla
matematikens historia i matematikundervisningen. Antalet undervisningstimmar ar begransade och
det ar mycket som ska hinnas med. Jag tror att larare som ar negativt installda till att undervisa
matematikens historia enbart ser det som ett mal i sig och darav ett extra moment som det inte finns
tid att behandla. Exempelvis gjorde en student pa Uppsala universitet en intervju med en larare
om just historia i matematikundervisningen. Lararens installning var att tidsbrist i kombination
med att de nagot abstrakta centrala innehallet och kunskapskravet gor att matematikens historia
far mindre utrymme i undervisningen (Johansson, 2013). Om larare istallet anvande matematikens
historia som verktyg skulle det innebara en viss forandring i arbetet men inte mer tidskravande an
nagot annat. Personligen tror jag att det finns mycket att hamta fran matematikens historia for att
gora undervisningen bade mer levande och pedagogisk. Nagra aspekter ar att; forsta svarigheter
som eleverna kan ha, fa hjalp med strukturen av sin undervisning, visa att matematiken konstrueras
av manniskor, samt att den ar en uppgifts-bank fylld med intressanta problem.
11
Page 13
2.4 Undervisning
Detta avsnitt handlar om hur matematikens historia pa olika satt kan vara en tillgang for larande
och undervisning.
2.4.1 Forsta elevers svarigheter
Att som larare ha kunskap om matematikens historia kan medfora en battre kansla for vilka begrepp
och koncept som eleverna kommer ha svart med. Om nagot har varit svart att forsta for datidens
matematiker sa ar sannolikheten stor att det aven kommer vara svart att forsta for nutidens gym-
nasieelever. Med facit i hand kan man ocksa inse varfor det ar ett knepigt koncept och darmed vara
battre rustad for att hjalpa eleverna att overkomma svarigheterna (Butuner, 2016).
Ett koncept som kan vara svart for elever ar att acceptera negativa tal och att utfora operationer
med dessa, som exempelvis att a− b ar ekvivalent med a+ (−b) eller att (−a)(−b) = ab. Historiskt
sett har matematiker haft ett komplicerat forhallande till de negativa talen. Redan under 500-talet
utvecklade matematiker i Indien och Kina rakneregler for de negativa talen. Men flera arhundraden
senare finns det inte med i arabernas matematik aven om de var medvetna om hinduernas bidrag
till matematiken och detta visar pa att forstaelsen for negativa tal inte ar given. Langt senare,
under 1600-talet ansag aven den franska matematikern Blaise Pascal att det inte fanns nagot behov
av negativa tal och sa sent som pa 1800-talet var negativa tal helt obegripliga for den engelska
matematikern Augustus de Morgan. En studie fran Israel ger stod at att om larare ar medvetna
om de negativa talens historia sa kan de ocksa lattare forsta vilka svarigheter som eleverna stalls
infor. Anvandning av symbolisk notation ar nagot som inte heller varit en sjalvklarhet historiskt
sett och nagot som manga ganger staller till det for eleverna, som att de forenklar nedanstaende
uttryck sahar:
��cos�x
��cos2�x=
1
2
(Swetz, Fauvel, Bekken, Johansson, Katz, 1995, s4-5).
Ett annat fenomen som elever brukar ha problem med ar komplexa tal. De blir forvirrade nar
de forst har fatt lara sig att negativa tal inte har kvadratrotter for att sedan forsoka overtygas
att de faktiskt har rotter. De undrar naturligtvis varfor reglerna plotsligt har andrats. Om man
12
Page 14
ser till historien tog det ungefar 400 ar fran det att de komplexa talen upptacktes till att de blev
generellt accepterade. Matematikbocker brukar hoppa over den historiska analysen och ga direkt
pa definitionen att√−1 = i utan nagon narmare forklaring. Detta ar nagra av alla de begrepp
som har en lang historia men dar man hoppar direkt till slutet vilket skapar problem for elevernas
forstaelse av matematiken. Om larare ar medvetna om historien kan de ocksa forutsaga och forsta
vad eleverna tycker ar svart. Med den informationen ocksa kan de skapa strategier for att ta itu med
svarigheterna. Dessa strategierna kan mycket val vara hamtade fran hur problemet lostes historiskt
(Katz, Dorier, Bekken, Sierpinska, 2002).
2.4.2 Undervisningsstrategier
En strategi for att hjalpa eleverna med svarigheter i matematiken kan vara att presentera mate-
matiken med utgangspunkt i hur den upptacktes. Matematiska ideer presenteras sallan pa samma
satt som de upptacktes utan resultatet har genomgatt en lang process dar det har kokats ner till
allmanna principer som kan vara svara att koppla till den vardagliga forstaelsen. Om eleverna forst
far kannedom om bakgrunden till ett visst matematiskt koncept kan det bli det enklare for dem att
ta till sig de allmanna ideerna och lara sig matematiken (Tzanakis & Aravi, 2002, s204). Ofta har
matematiken utvecklats genom att man har haft ett specifikt problem som sedan har generaliserats,
exempelvis utgick den egyptiska och babylonska matematiken nastan enbart fran specifika problem.
Det var grekerna som forst borjade anvanda generella teorem och det ar ocksa sa man ska tanka da
man lagger upp sin undervisning. Alltsa att forst ga igenom ett specifikt problem eller en intuitiv
tanke for att sedan gora generaliseringar, det eftersom nar elever ska lara sig nagot nytt behover
de en referensram som de kan relatera det nya materialet till. Det vanliga ar dessvarre att larare
gor tvart om alltsa; definition, teorem, bevis och till sist exempel. Detta skapar storre forvirring
hos eleverna och de undrar hur nagon kunde komma pa definitionen bara sadar (Swetz, Fauvel,
Bekken, Johansson, Katz, 1995, s6). Genom historien har nya problem uppkommit som resultat
av redan losta problem, exempelvis fragade grekerna sig ”Vi vet hur man fordubblar arean av en
kvadrat, men hur blir det om man fordubblar volymen av en kub?”. Denna nyfikenhet leder till mer
kunskap och det ar sa larare ofta vill att elever ska tanka. Tyvarr ar eleverna inte vana att jobba
pa det sattet. Nar de har lost en uppgift och fatt ratt svar gar de vidare till nasta uppgift utan att
nyfiket stalla foljdfragor (Swetz, Fauvel, Bekken, Johansson, Katz, 1995, s9). Genom att beratta
om fragornas stora betydelse for den matematiska utvecklingen kan larare uppmuntra elever till att
13
Page 15
undersoka matematiken runt det som star i bokens uppgifter och darmed fordjupa sina kunskaper
och oka motivationen.
2.4.3 Historiska problem
Ett utmarkt satt att inkludera matematikens historia i undervisningen, och dessutom anvanda
bra uppgifter for undervisningen, ar att leta bland problem fran historien. Matematikens historia
bidrar med en reservoar av genuina matematiska problem som uppkommit genom tusentals ar
av manniskors matematiska nyfikenhet (Tzanakis & Aravi, 2002, s204-205). Forutom att sjalva
uppgifterna kan anvandas som de ar, kan det aven vara intressant att jamfora olika losningsmetoder.
Exempelvis kan lararen presentera ett historiskt problem och lata eleverna losa problemet som de
ar vana vid, for att sedan undersoka hur det lostes ursprungligen (Katz, 2000, s30). Alternativt lata
grupper av elever fordjupa sig i hur olika kulturer resonerade kring ett specifikt problem och sedan
jamfora dem med varandra. Ytterligare ett tillvagagangssatt kan vara att presentera ett historiskt
problem som datidens matematiker hade besvar med, exempelvis Cauchys teorem, for att sedan
lata eleverna komma pa vad det ar som saknas i beviset. Om de inte skulle komma pa det kan
man beratta att de inte behover vara ledsna for det eftersom inte ens en stor matematiker som
Caushy kunde hitta felet utan det skulle ga 26 ar innan en annan matemaiker Philipp Ludwig
von Seidel lyckades att losa gatan (Katz, 2000, s6). Uppgifter i bocker ar ofta tillrattalagda sa att
det ska finnas ett ratt svar, men faktum ar att manga problem saknar losning. Exempel pa det
ar de tre klassiska antika problemen dar losningen var ”losning saknas”. I vissa fall kan uppgifter
i larobocker vara formulerade som ”visa att ... saknar losning”, men en sadan formulering dodar
karnan i problemet. Ett satt att implementera denna typ av uppgift kan istallet vara att integrera
problem utan losning bland andra problem som har losning, sedan lata eleverna sjalva komma fram
till svaret (Swetz, Fauvel, Bekken, Johansson, Katz, 1995, s9). Larare kan ocksa utnyttja historiska
misstag, forandrade uppfattningar och paradoxer i sin undervisning for att fa eleverna att inse att
jobba matematiskt handlar just om att gora misstag och det ar pa den vagen som matematiken
utvecklas.
14
Page 16
2.4.4 Visa att matematiken ar dynamisk och en mansklig konstruktion
Genom att visa matematiken som en konstruktion istallet for reproduktion kan larare hjalpa elever
att komma bort fran att lara sig regler utantill och istallet far en battre och djupare forstaelse. I
skolan ar exempelvis positionssystemet en fardig struktur. Eleverna far inte lara sig att det bygger
pa kunskaper fran olika kulturer och har utvecklats under lang tid. Babylonierna bidrog med posi-
tionsiden, symbolen for noll som formodligen kommer fran Grekland och siffrorna som vi har idag
har sitt ursprung i Indien (Thompson, 1984). Om elever far upp ogonen for att misstag, osakerhet,
och olika angrepssatt inte bara ar berattigat utan ocksa en viktig del i skapandet av matematiken
kan detta uppmuntra dem till att sjalva stalla fragor, satta upp hypoteser, testa dem och vaga
gora fel(Tzanakis & Aravi, 2002, s205). Matematik upplevs av manga elever som ett trakigt och
inrutat amne utan nagra manskliga inslag (Swetz, Fauvel, Bekken, Johansson, Katz, 1995, s10-11).
For att gora matematiken mer levande kan larare darfor lyfta fram den manskliga sidan genom att
beratta historier eller anekdoter som behandlar avsnittet i matematiken som eleverna jobbar med
for tillfallet. Det basta ar om anekdoten bade ar sanningsenlig och underhallande men ibland kan
de utsmyckas en del for att poangen ska ga fram starkare (Katz, 2000, s4).
2.4.5 Mangfaldsperspektiv
Matematik ses ofta som en produkt av vasterlandsk kultur men genom att studera historien kan
larare och elever bli medvetna om andra mindre kanda metoder inom olika kulturer och matemati-
kens betydelse i olika kulturer. Detta kan hjalpa larare i att gora undervisningen mer inkluderande
genom att visa olika kulturers bidrag till matematiken (Tzanakis & Aravi, 2002, s207).
15
Page 17
3 Metod och material
For att besvara fragestallningarna har inledningsvis en litteraturstudie gjorts. Denna litteratur-
studie bestod av att soka fakta om hur matematikens historia kan anvandas i undervisningen.
Utgangspunkten har till stor del varit studien History in mathematics education - the ICMI study
fran 2002 som ar en omfattande studie dar olika aspekter av matematikens historia i undervisningen
av matematik behandlas. Det ar egentligen inte en studie utan en sammansattning av flera studier.
Varje kapitel ar en studie i sig och de olika forfattarna tar upp olika hanseenden. Andra bocker
och artiklar i amnet har aven anvants for att kunna synliggora olika perspektiv dar matematikens
historia kan gynna undervisningen. Dessa har dels handlat om hur och varfor matematikens historia
bor anvandas i undervisningen och dels litteratur om sjalva matematikens historia. For att granska
hur dagens larobocker inkluderar matematisk historia gjordes en dokumentanalys. En dokumenta-
nalys innebar att analysera en text exempelvis laromedel utifran en viss aspekt (Stukat, 2005, s53),
i mitt fall forekomst och framstallning av matematikens historia i bockerna. Larobockerna har aven
jamforts med varandra for att se om forfattarna har tolkat skolverkets krav pa matematikens histo-
ria pa olika vis. Att gora en sadan jamforelse kallas for att gora en komparativ studie (Stukat, 2005,
s53). Begransningar av materialet har gjorts genom att enbart studera en av matematikkurserna
for gymnasieskolan. Kursen som har valts att behandlas ar matematik 1b som lases av elever pa
samhallsvetenskapsprogram, ekonomiprogram, estetisk- eller humanistiskt program . Anledningen
till valet av just denna kurs ar for att b-sparet lagger storre vikt vid matematik som en del av
samhallet (Skolverket, 2018). Larobockerna som har studerats ar fran fyra olika forlag och alla ar
vanligt forekommande i skolor runt om i Sverige. De olika bokserierna ar Exponent, Origo, Mate-
matik 5000 samt Matematik M. Fokus har varit att undersoka forekomst av problem med koppling
till matematikens historia, om det har funnits speciella faktarutor eller om historia har anvands i
teoriavsnitten dar nya avsnitt eller begrepp forklaras. I resultatdelen redovisas forekomst av mo-
ment med koppling till historia i de olika bockerna och tabell 1 pa sida 34 visar en sammanstallning
av detta. Resultatet diskuteras och kopplas darefter till styrdokument och litteratur i analysdelen.
I diskussionen reflekteras, utifran larobocker styrdokument och litteratur, over hur larare kan dra
nytta av historien for att forbattra undervisningen och stodja elevernas larande och installning till
amnet.
16
Page 18
4 Resultat
I detta avsnitt redovisas forekomsten av historia i de olika larobockerna.
4.1 Exponent 1b
4.1.1 Taluppfattning
Kapitel 1 handlar om taluppfattning och pa introduktionssidan finns en bild av en lertavla med ba-
bylonisk kilskrift pa. Pa denna sida star det om att tal har funnits under en lang tid i olika kulturer
och med olika uttryckssatt. Exempel pa kulturer dar tal har spelat en viktig roll ar babylonierna,
de indiska, egyptiska och kinesiska kulturerna. Det star aven att ett avsnitt langre fram i kapitlet
kommer behandla babylonska, romerska, och binara tal lite mer ingaende.
Senare i samma kapitel kommer ett avsnitt som behandlar heltal. Aven har finns en sida med
text som beskriver var vart positionssystem kommer ifran. Det star att det forsta talsystem som
manniskan anvande endast inneholl positiva heltal.
Ungefar 1900 f.kr. borjade babylonierna anvanda siffran noll men da betecknades den med en
tom plats i positionssystemet. Sjalva symbolen for noll sags komma fran Indien 500 e.kr. och detta
beskrivs i ett verk av Al-Khwarizmi 825 e.kr. Det indiska namnet for noll var sunuya som betyder
tomrum. Det oversattes senare till latin och blev zephirium detta har i sin tur givit namnet till det
svenska ordet siffra och engelskans zero.
Det star aven om att manniskor hade svart for att acceptera de negativa talen. Babylonierna och
egyptierna kande inte alls till dem utan det var forst pa 600-talet e.kr. som matematiker i Indien
inforde dessa. I Kina anvande man sig av stickor for att representera tal. Dessa fanns i bade rott och
svart da roda var positiva tal och svarta var negativa tal. Aven om de negativa talen hade anvands
i Indien och Kina sa var det manga som fortfarande var tveksamma om det kunde finnas eftersom
”ingenting kunde ju vara mindre an ingenting”.
17
Page 19
Det finns aven en uppgift i boken dar eleverna ska undersoka Eratosthenes sall:
Eratosthenes sall ar en metod for att hitta primtal som gar till sahar: Borja med
att skriva ner alla tal i ett intervall t.ex. 1 till 100. Vi vet att det forsta primtalet ar
2. Stryk nu alla tal som ar delbara med 2, forutom talet 2. Stryk darefter alla som ar
delbara med 3 forutom 3. Talet 4 ar nu struket. Sedan stryker vi de som ar delbara med
5 forutom 5. Fortsatt sedan med nasta tal som inte ar struket. Vilka primtal hittar du
mellan 1 och 100? (Exponent 1b, uppgift 1061, s.35)
Avsnittet om talsystem forklarar hur de romerska talen ar uppbyggda. Det finns en bild pa Royal
Albert Hall i London dar fasaden ar kladd med romerska siffror. Siffrorna representerar aret da
byggnaden invigdes. Uppgifterna till bilden ar:
a.) Bilden visar en del av fasaden pa Royal Albert Hall i London. Nar invigdes den, enligt inskrip-
tionen?
b.) Skriv talet 436 med romerska siffror.
Efter det kommer 11 ovningar dar alla handlar om att oversatta mellan romerska talsystemet
och det decimala talsystemet, tva av dessa beskriver historiska handelser.
En beskrivning om talsystem berattar att det genom historien har funnits manga olika talsystem.
Ett av de tidigaste var Babylonierna som hade ett positionssystem med basen 60, sa kallat sexage-
simala talsystemet. Det babyloniska systemet lever kvar i vart samhalle an idag eftersom vi har 60
sekunder pa en minut och 60 minuter pa en timme. De anvande kiltecken istallet for tal och tva
exempel visar hur man ska tolka olika tal skrivna med kiltecken. Detta foljs av 8 st uppgifter dar
eleverna ska tolka kiltecken och skriva om decimala tal till tal med basen 60.
4.1.2 Algebra
Kapitel 2 borjar pa liknande satt som kap 1 men nu handlar det om algebra. I den introduce-
rande texten star det om ordet algebras ursprung, det kommer fran ordet al-jabr som betyder
aterstallande. Al-Khwarizmi skrev en bok pa 800-talet som hette Ett kompendium om rakning med
al-jabr och al-muqabal dar al-jabr innebar att addera lika termer i en ekvations bada led sa att
negativa termer forsvinner.
18
Page 20
De symboler som idag anvands inom algebran utformades under 1500- och 1600 talet men det
var redan pa 200-talet i Alexandria som den forsta matematikern borjade anvanda symboler inom
matematiken. Denna grekiska matematiker var Diofantos som kanske mest ar kand for sina Diofan-
tiska ekvationer. Dessa ekvationer ar pa formen Ax+By = C dar A, B och C ar heltal och A,B 6= 0.
I verket Arithmetica visar han losningar pa sadana ekvationer och ekvationssystem, losningarna har
alltid heltalsvarden for x och y. Dar finns aven en uppgift om Diofantos for eleverna att losa:
Diofantos tillbringade en sjattedel av sitt liv som barn. Efter annu en tolftedel lat
han skagget vaxa. En sjundedel av sitt liv senare gifte han sig. Fem ar darefter foddes
hans son, som blev halften sa gammal som fadern. Diofantos dog fyra ar efter sin son.
Hur gammal blev Diofantos?
Pa forsta sidan av avsnittet om potensekvationer star det att den som forst anvande sig en sym-
bolen for rottecken var Leonardo av Pisa, aven kallad Fibonacci, som levde pa 1200-talet. Istallet
for symbolen som vi har idag sa anvande han bokstaven R fran latinets Radix som betyder rot.
Rottecknet harstammar troligtvis fran 1600-talet och fran bokstaven r som sedan blivit√...
4.1.3 Geometri
Kapitel 3 handlar om geometri, pa forsta sidan far eleven lara sig att ordet geometri kommer fran
det grekiska ordet geometria som betyder jordmatning. Redan for 4000 ar sedan anvandes geometri
i Egypten och Mesopotanien for lantmateri och for byggnaskonsten.
Det star aven att all grundlaggande geometri finns i en bok som heter Elementa. Boken ar skriven
av Euklides, 300 f.kr i Alexandria. Elementa ar ett verk i 13 delar och sammanfattar det mesta man
visste om matematik pa den har tiden. Det har varit en viktig bok da den fram till idag har varit
tongivande for larobocker i geometri over hela varlden och ar nast efter Bibeln den mest spridda
bok i vastvarlden. Elementa ar uppbyggd med satser som bevisas med hjalp av definitioner och
axiom, det finns aven en bild pa ett utdrag fran Elementa.
19
Page 21
Avsnittet om Pythagoras sats beskriver forst att en av de mest kanda satserna inom geome-
trin ar uppkallad efter den grekiska matematikern Pythagoras som levde for cirka 2500 ar sedan.
Sedan forklaras att satsen beskriver sambandandet mellan sidorna i en ratvinklig triangel enligt
a2 + b2 = c2.
Avsnittet om cirkeln inleds med informationen om att det var pa 1700-talet som beteckningen
π infordes av Leonard Euler men att man har funnit lertavlor fran babylonien med narmevarde pa
π till 3.125.
Nar symmetrier behandlas forklaras att ordet symmetri kommer fran grekiska symmetrıa och att
det betyder jamforande matning och i mosaikavsnittet star det att mosaik borjade anvandas redan
for 5000 ar sedan i Sumer som ar nuvarande Irak.
Den inledande texten till avsnittet Argument, definition, axiom, sats och bevis ges ett historiskt
exempel pa vetenskaplig argumentation. Namligen hur Copernicus (1473-1543) argumenterade for
sin teori om planeternas banor kring solen genom att peka pa himlakropparnas rorelsemonster. Det
tog dock manga ar innan han vagade framfora teorierna pa grund av kyrkans installning om att
jorden var solsystemets mittpunkt.
Det star aven om att logiken grundades av Aristoteles som levde for 2300 ar sedan. Logiken utveck-
lades sedan fran och med 1800-talet med hjalp av algebran. I en faktaruta star det att man brukar
skriva VSV vid avslutat bevis, och att man redan pa Euklides tid 300 f.kr. skrev Q.E.D (quod erat
demonstrandum, det som skulle bevisas).
I en gruppaktivitet ska eleverna bevisa Pythagoras sats genom att klippa geometriska figurer i
papper. Det star att sambandet redan var kant av babylonierna men att det fick namn efter Pyt-
hagoras da det var han som forst bevisade den. Det finns en uppgift om Fibonacci dar ska eleverna
ska hitta ett monster i talfoljden 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 och bestamma det elfte talet. Sedan
ska de jamfora kvoter av dessa tal med det gyllene snittet. Det finns aven en uppgift om Leonardo
da Vinci. Eleverna far i denna uppgift en bild av Mona Lisa och ska gora matningar i bilden for att
hitta tva stallen som har gyllene snittets proportioner.
20
Page 22
4.1.4 Procent
Aven i kapitel 4, Procent, finns en historisk bakgrund. Procentrakning anvandes redan under antiken
da det anvandes vid ekonomiska berakningar som ranta vid lan eller berakning av skatt. Ordet
procent kommer fran latinska pro centrum som betyder per hundra. Dock forekommer inga uppgifter
med historisk koppling.
4.1.5 Funktioner
I inledningen av kapitel 5, Funktioner, star det att babyloniska astronomer anvande sig av funktioner
for att studera himlakropparnas rorelser. Genom att betrakta himlakropparnas lage som en funktion
av tiden. Ordet funktion infordes inte forran slutet av 1600-talet av den tyska matematikern och
filosofen Gottfried Wilhelm von Leibniz och termen definerades av den Schweiziske matematikern
Jean Bernoulli i borjan av 1700-talet som en variabel. Leonaro Euler var elev till Bernoulli och
gjorde i sin tur en samlad beskrivning av funktioner som ingar i skolans matematik idag. Det mo-
derna sattet att se pa funktioner definierades pa 1800-talet av Peter Dirichlet, en tysk matematiker.
Det forsta avsnittet i kapitlet tar upp koordinatsystem. Har star att koordinatsystemet skapa-
des pa 1600-talet av Descartes da han anvande tva graderade linjer, en vagrat och en lodrat, for
att dela upp ett plan i fyra delar (kvadranter). En uppgift fran Rhindpapyrusen finns med pa sidan
235:
I den 3600 ar gamla Rhindpapyrusen (en handbok i egyptisk matematik) finns
foljande problem:
Om ett tal, tva tredjedelar av talet, halften av talet och en sjundedel av talet adderas
blir resultatet 97. Vilket ar talet?
4.1.6 Sannolikhetslara och statistik
Kapitel 6, Sannolikhetslara och statistik, innehaller ingen historisk koppling.
(Gennow, Gustavsson & Silborn, 2011)
21
Page 23
4.2 Origo 1b
I forordet till laroboken star det att det i slutet av varje kapitel finns det ett avsnitt med historia
som beskriver matematiken ur ett idehistoriskt perspektiv.
4.2.1 Tabeller och diagram
Figur 1: Origo 1b, s.19.
Det forsta avsnittet med historia
tar upp Florence Nightingale, att
hon arbetade som sjukskoterska och
forbattrade militarsjukvarden i Eng-
land. Det ar mindre kant att hon
ocksa var en duktig statistiker, vil-
ket hon hade anvandning for da hon
samlade in data och presenterade des-
sa i olika tabeller och diagram. Till
exempel gjorde hon ett diagram over
dodsorsaker av soldater under Krim-
kriget (se figur 1) och visade pa att
den storsta dodsorsaken var smitt-
samma sjukdomar, inte direkta krigs-
skador. Detta gjorde sa att hon fick
igenom sina krav pa forbattrad hygi-
en pa sjukhusen vilket ledde till att
dodligheten minskade bland soldater-
na. For sina insatser blev hon den
forsta kvinnan att bli invald till Royal
Statistical Society 1858. Det finns aven en uppgift dar eleverna ska tolka Florence Nightingales di-
agram av dodsorsaker i kriget.
22
Page 24
4.2.2 Tal
Kapitel 2 handlar om tal och borjar med att beratta att matematik ar ett sprak som har utvecklats
under flera artusenden. Det star om mayafolket som var en betydelsefull kultur omkring 15000 f.kr.
Deras tro var starkt kopplat till astronomi och astronomiska forutsagelser hade en stark stallning
inom kulturen. De anvande sig av tal for att gora dessa astronomiska berakningar. Vi vet lite om
deras satt att rakna da det har funnits efterlamnade texter pa exempelvis byggnader. I detta kapi-
tel ska eleverna fa lara sig om tal som ar skrivna pa olika satt och om olika talsystem genom historien.
I texten pa nastkommande sida beskrivs tal i olika former och att manniskor i alla tider har anvant
sig av de naturliga talen for att rakna antal foremal som fanns i omgivningen. De negativa ta-
len borjade anvandas i samband med handel och representerade en skuld. Det finns en faktaruta
som kallas for ordboken dar ordet negativ sags komma fran latinets negare som betyder upphava
eller forneka. Och att da exempelvis talet -5 upphaver talet 5 (5 − 5 = 0). Pa samma sida star
aven att de negativa talen och nollan infordes i Indien pa 600-talet. De anvande inte minustec-
ken som vi gor idag utan sma pilar som visar om det ar en skuld eller en tillgang, ungefar som
dagens tallinje. I Europa borjade man inte rakna med negativa tal forran pa 1200-talet och minus-
tecknet kom forst pa 1600-talet. Under avsnittet om primtal och delbarhet star det i faktadelen
att antikens matematiker visade att det finns oandligt manga primtal. I avsnittet om talsystem
star det att det vara 10 fingrar tros ligga till grund for det decimala talsystemet. En ordboksruta
informerar om att ordet prefix kommer fran latinets preafixum som betyder att fasta nagot framfor.
Det finns aven en uppgift pa sidan 42 (uppgift 2179) som sags vara hamtad fran Rhindpapyru-
sen:
Foljande problem ar hamtat ur Rhindpapyrusen (ca 1700 f.kr.):
”Se, dar kommer herden med 70 oxar.”
Den som raknade fragade herden:
”Hur stor del av din talrika hjord for du med dig?”
Herden svarade:
”Tva tredjedelar av tredjedelen. Hur stor ar min hjord?”
23
Page 25
Pa historiasidan i slutet pa kapitel 2 (figur 2 och 3) star det om olika kulturers talsystem; det
egyptiska, babyloniska, mayafolkets, romerska, indiska och binara talsystemet. Det finns en uppgift
pa sidan dar man ska skriva 182 med mayafolkets talsystem. En uppgift dar man ska tyda ett
egyptiskt tal och en dar man ska skriva artal med romerska siffror finns.
Figur 2: Origo 1b, s.66. Figur 3: Origo 1b, s.67.
4.2.3 Algebra och ekvationer
Kapitel 3 hanterar algebra och ekvationer och pa forsta sidan star det att ordet algebra kommer fran
arabiskans al-jabr och betyder ekvationslosning. 830 e.kr skrevs det forsta vetenskapliga arbetet om
algebra av den persiske matematikern Al-Khwarizmi. Man borjade anvanda bokstaver och symboler
inom algebran forst pa 1600-talet. I slutet av kapitel 3 star det om Fibonacci (se figur 4) och hur
han reste runt Medelhavet och dar kom i kontakt med bade arabiska och grekiska matematiker.
Kunskaper darifran sammanfattade han i en bok, Liber Abbaci, dar siffror representeras pa samma
vis som vi gor idag. Det berattas aven att den kanda talfoljden 1 1 2 3 5 ... har fatt sitt namn efter
honom och eleverna har fatt uppgiften att fortsatta en skiss av kaniners fortplantning, dar antalet
kaniner beskrivs med talfoljden.
24
Page 26
4.2.4 Procent
I kapitel 4 finns en ordboksruta som forklarar att ordet procent kommer fran latinets pro centrum
som betyder for varje hundra. En annan ordboksruta forklarar att ordet inflation kommer fran
latinets inflatio som betyder uppblasning. Pa den historiska sidan (se figur 5) star det om kejsar
Augustus skatter, att skatten pa varje sald slav var 4/100 och 5/100 for varje frigiven, en arvs-
skatt pa 5/100 och 1/100 pa saker salda pa auktion. Poangen ar att manniskor har raknat med
hundradelar langt tillbaka i historien. Det star aven att procenttecknet harstammar fran Italien.
Eleverna uppmanas att hitta procenttecken i en gammaldags italiensk text fran 1684. En bild visar
procenttecknets utveckling: fran per cento → per◦c → p◦
◦ → %
Figur 4: Origo 1b, s.117. Figur 5: Origo 1b, s.152.
4.2.5 Funktioner
Kapitel 5 handlar om funktioner och pa historiasidan star det om kryptering. Ordet kryptering
kommer fran grekiskans krypto som betyder dolja. Det har alltid varit av intresse att skapa hemlig
skrift och knacka hemliga koder, sarskillt i tider av krig och oro. Det finns nagra exempel pa
krypteringar samt tva problem att losa (se figur 6).
25
Page 27
4.2.6 Statistik
Kapitel 6 handlar om statistik. I borjan star det om statistikens betydelse i Sverige och att det
ar viktigt for att fatta viktiga samhalliga och politiska beslut samt for beslut som fattas inom
foretag (en forutsattning for utveckling). Sverige var det forsta landet i varlden som borjade samla
in statistik redan i slutet av 1600-talet. Pa historiasidan star det om George Gallup som 1932 gjorde
den forsta opinionsundersokningen for att ta reda pa om hans svarmor hade chans att vinna ett
val. Undersokningen gav stod at att hon faktiskt hade en chans och efter valet stod det klart att
hon var vinnaren. Han borjade sedan gora opinionsundersokningar for presidentvalet och lyckades
forutsaga Franklin D Roosevelts seger. Det finns aven med ett problem som bestar av att tolka
resultat fran en opinionsundersokning pa olika satt (se figur 7).
Figur 6: Origo 1b, s.194. Figur 7: Origo 1b, s.222.
4.2.7 Sannolikhet
Kapitel 7 handlar om sannolikhet. Pa forsta sidan mots vi av historian om Pierre och Blaises som
spelar ett spel. Spelet gar ut pa att singla slant fem ganger, men de blir avbrutna efter endast tre
omgangar. Fragan ar da hur de ska rattvist fordela potten mellan varandra. Pa sidan med historia
star det mer om spel, sannolikhet for tarningskast och komplementhandelser. Det star att spel har
varit en drivande kraft i utvecklandet av sannolikhetslaran. Det finns aven en fraga om sannolikhet
som bestar av att bedoma vad som ar mest sannolikt; att fa minst en sexa vid kast med sex tarningar
eller fa minst ett klatt kort vid drag av sex kort fran en kortlek (se figur 8).
26
Page 28
4.2.8 Geometri och bevis
Kapitel 8 har titeln Geometri och bevis. I avsnittet om vinklar och trianglar star det att det var
babylonska astronomer som var forst med att mata vinklar. De anvande en cirkel och vinkelspetsen
i mitten och sedan jamforde de cirkelbagen for vinkeln med hela cirkelns omkrets. De valde att
dela upp cirkeln i 360 delar. 360 kommer fran deras tidrakning, ett ar var 12 manader med 30
dagar alltsa 360 dagar pa ett ar. Nar vi raknar vinklar idag gor vi fortfarande pa samma satt, ett
varv ar 360◦, och var gradskiva fungerar pa ungefar samma satt. Det finns ett avsnitt om enheter
dar det beskrivs att SI enheterna infordes 1960 och anvands nu i storre delen av varlden. Tidigare
fanns stora skillnader i de enheter som manniskor i olika delar av varlden anvande (vilket till viss
del aven finns kvar i dag). Det finns flera ordboksrutor i avsnittet exempelvis att ordet volym
kommer fran latinets volumen som betyder rulle, att symmetri kommer fran grekiskans symmetria
och betyder jamforande matning, implikation kommer fran latinets implicstionem vilket betyder
sammanflatning och att ekvivalens kommer fran latinska aequivalentem vilket betyder lika vard. I
avsnittet om satser och bevis star det om modellen med att anvanda bevis kommer fran Euklides
Elementa 300 f.kr.och att elementa ar uppbyggd av enkla definitioner, axiom, satser och bevis. Det
star aven att efter avslutat bevis i elementa star det q.e.d vilket motsvarar vart vsb. Pa historiasidan
far vi lasa mer om Euklides Elementa och en fraga om vad som ar skillnaden pa en definition och
en sats samt skillnaden pa pastaende och sats.
Figur 8: Origo 1b, s.231. Figur 9: Origo 1b, s.299.
27
Page 29
4.3 Matematik 5000 1b
I bokens beskrivning star det att det finns avsnitt med historik som har tillhorande uppgifter och
att matematiken satts in i ett historiskt sammanhang.
4.3.1 Aritmetik - Om tal
Figur 10: Matematik 5000, s.57.
Kapitel 1 heter Aritmetik om tal. I
avsnittet om primtal och delbarhet
star det att redan Euklides som var en
matematiker pa 300-talet f.kr. visste
att det finns oandligt manga prim-
tal. Det finns en uppgift pa avsnittet
om brak som handlar om egypternas
stambrak, uppgift 1345 pa sidan 39:
For flera tusen ar sedan raknade man
i Egypten nastan bara med brak dar
taljaren ar 1. Sadana brak kallas for
stambrak.
a.)2
7kan skrivas som summan av tva
olika stambrak. Det ena ar1
4, vilket
ar det andra?
b.) Sju tolftedelar kan skrivas som
summan av tva olika stambrak. Det ena ar1
3, vilket ar det andra?
I avsnittet om talsystem med olika baser star det att vart talsystem ursprungligen kommer fran
Indien och att det har anvants i vastvarlden i ungefar 1000 ar. Detta talsystemet har basen 10
men det finns aven andra baser, som t.ex. babyloniska talsystemet med basen 60 eller mayafolkets
med basen 20. Det finns aven uppgifter dar eleverna ska skriva om tal i olika talsystem. Det finns
ocksa en historisk ruta som gar lite djupare in pa egyptiska talsystemet och mayafolkets talsystem
dar bade basen och deras talsymboler behandlas. Till detta finns 6 stycken uppgifter dar man ska
oversatta fran och till vart talsystem.
28
Page 30
4.3.2 Procent
Figur 11: Matematik 5000, s.89.
Kapitel 2, Procent. Pa historiksidan
star det om varifran procenttecknet
kommer. Att det var den romers-
ka kejsar Augustus skatter som var
borjan till att skriva delar i hund-
radelar och eftersom 100 heter cen-
to pa italienska sa blev en del av
hundra ”per cento” och forkortades
sa smaningom till procenttecknet vi
har idag, per cento→ p 00 → %. Det
finns aven 6 stycken uppgifter pa si-
dan om historiska procentproblem (se
figur 11).
4.3.3 Algebra
Kapitiel 3, Algebra. I problemlosningsavsnittet
finns pa sidan 167 en uppgift och en
bild pa en del av Rhindpapyrusen.
Uppgift 3430:
Pa Rhindpapyrusen, en nastan 4000 ar gammal egyptisk skrift, kan vi hitta foljande problem:
”Ett tal adderat med sin fjardedal blir 15. vilket ar talet?”
29
Page 31
4.3.4 Geometri
Figur 12: Matematik 5000, s.198.
Kapitel 4 behandlar geometri. I den
historiska rutan finns information om
var talet π kommer ifran, namligen
att π =omkretsen
diameternav en cir-
kel. Det star aven att manniskorna
i gamla Egypten 1900 f.kr. hade
en metod for att berakna cirkelns
area: arean = (8
9· diametern)2
och att manga olika kulturer tog
fram ett varde pa π i brakform,
dessutom finns tva stycken uppgif-
ter.
I avsnittet om gyllene snittet finns en
uppgift om Fibonacci. Det beskrivs
att han var en italiensk matematiker
som levde pa 1200-talet och att han givit namn at talfoljden: 0 1 1 2 3 5 8 13 21 ... .dar varje tal ar
summan av de tva tal foregaende. Det star aven att Fibonaccitalen forekommer i spiralstrukturer i
naturen. Ett exempel ar solrosen som det aven finns en bild av. Antalet spiraler moturs respektive
medurs i solrosen ar 21 respektive 13, alternativt 34 och 21 (tal i Fibonaccis talfoljd). Uppgifterna
ar foljande:
a.) Vilka ar nasta tre tal i talfoljden?
b.) Berakna kvoterna 21/13 och 34/21.
c.) Berakna ytterligare tva kvoter, vad upptacker du?
30
Page 32
4.3.5 Sannolikhetslara och statistik
Kapitel 5, Sannolikhetslara och statistik. Ingen historia om sannolikhet och statistik finns med i
kapitlet. Darimot finns ett avsnitt med blandade ovningar fran samtliga moment i boken dar en
uppgift med olika kulturers varde pa π inkluderas. Uppgiften ar att avgora vilket varde som ar mest
korrekt och vilket som ar langst ifran det korrekta vardet samt att berakna en cirkels omkrets med
egypternas varde pa π, uppgiften finns pa sidan 296 och ar hamtad fran ett gammalt nationellt
prov.
Genom historien har matematikerna forsokt komma fram till ett bra narmevarde till
π. Har ar nagra av de varden som anvants:
Indierna:√
10
Egyptierna:256
81
Romarna: 31
8
Grekerna:22
7
a.) Vilket varde ar narmast π och vilket ar langs ifran?
b.) Anvand egyptiernas varde for π och berakna omkretsen for en cirkel med diametern
125 m.
4.3.6 Grafer och funktioner
Kapitel 6, Grafer och funktioner. Inga historiska kopplingar.
(Alfredsson, Brating, Erixon, Heikne, 2011)
31
Page 33
4.4 Matematik M 1b
4.4.1 Numerisk rakning
Pa forsta sidan i forsta kapitlet finns en sida med rubriken ”Talens historia”. Underrubriker till
denna ar: naturliga tal, hela tal, rationella tal, irrationella tal, reella tal och decimalsystemet.
Naturliga tal har uppkommit eftersom manniskor alltid har haft behov av att rakna och veta
antal som exempelvis hur manga hastar som man ager.
Hela tal beskrivs som de naturliga talen tillsammans med de negativa talen. Det beskrivs att det
var forst pa 1600-talet som dessa accepterades i Europa men att de har raknats med i Kina och
Indien i mer an 1000 ar.
Rationella tal beskrivs forst med exemplet att1
3kallas for ett brak. Sedan star det att for 2500
ar sedan trodde manniskorna att alla tal kunde skrivas pa brakform. Nar de upptackte att det inte
fungerade med alla tal fick de problem.
Exempelvis kunde inte talen√
2 eller π skrivas som ett brak, dessa tal kallas Irrationella tal.
Reella tal ar bade rationella och irrationella tal.
Vart talsystem kallas for Decimalsystemet och ar uppbyggt av siffrorna 0–9 med talet 10 som
bas. Siffrornas position har betydelse for talets varde, exempelvis ar talen 203 och 230 inte lika
stora. Det finns aven andra talsystem som exempelvis ett talsystem med basen 60 som anvandes
for 4000 ar sedan i Mesopotamien. Det ar fran den har tiden vi har fatt 60 minuter pa en timme
och 60 sekunder pa en minut.
Det finns en ruta som heter ”Upptack och visa” dar eleverna rakna med stambrak men det finns
ingen historisk forklaring, eller att stambrak anvandes i gamla Egypten (se figur 28).
Figur 13: Matematik M, s.68.
32
Page 34
4.4.2 Procent
I kapitel 2, Procent, finns historian till varfor procenttecknet ser ut som det gor. Det star att tecknet
% ursprungligen kommer fran pro centrum vilket ar latin och betyder ”for hundra”. Istallet for att
skriva ut hela uttrycket forkortades det till◦c, sedan blev det
0
0och nu skrivs det som % over hela
varlden.
4.4.3 Uttryck och ekvationer
Det finns en textruta med forklaring till ordet algebras ursprung. Det sags komma fran det arabiska
ordet al-jabr. I en arabisk matematikbok fran 800-talet finns detta ord med och betydelsen ar att
addera lika termer.
4.4.4 Funktioner
I avsnittet om ekvationssystem finns en textruta och bild om Rene Descartes 1596-1650 som sags
vara den forsta matematikern som anvande koordinatsystem. Det ar darfor vanliga koordinatsystem
brukar kallas kartesianskt. Han skulle ha fatt iden da han lag i sangen och studerade en fluga i taket.
Med hjalp av ett tankt koordinatsystem kunde han bestamma flugans fortsatta vag. Det star aven
att drottning Kristina bjod in honom till Stockholm dar han dog.
4.4.5 Sannolikhet och statistik
Det finns en textruta om matematikern, fysikern och filosofen Blaise Pascal (1623-1662). Han be-
skrivs som den som uppfann rouletten och att han har gett namn at enheten som vi mater tryck
i Pa (pascal) samt att vi anvander oss av hans upptackter inom sannolikhetslaran. Det star att
han en gang fick ett brev av en greve. I brevet fanns ett problem for Pascal all losa, och samma
problem finns aven i laroboken nagra sidor framat. Det star att Pascal kunde losa problemet och
eleven fragas: kan du? Detta ar uppgift 5117 som finns pa sidan 271 i boken.
Vilket av A eller B ar enklast att fa?
A: minst en 6:a da jag kastar en tarning 4 ganger
B: minst en dubbelsexa da jag kastar tva tarningar 24 ganger
33
Page 35
4.4.6 Geometri
I avsnittet om Pythagoras sats beskrivs forst satsen, sedan finns en textruta om Pythagoras och
en bild av honom. I textrutan star det att han ar kand for satsen a2 + b2 = c2 som ar ett uttryck
for sambandet mellan sidorna i en ratvinklig triangel. Sambandet var kant langt tidigare men
Pythagoras var forst med att bevisa satsen och darfor har den namngivits efter honom. Det star
att det anvandes i Egypten for att konstruera rata vinklar, de egyptiska trinanglarna hade sidorna
3,4 och 5. En ruta som heter ”Kommunicera” uppmanar eleverna att ta reda pa vilka langdenheter
som anvandes ”forr i tiden”. Det pastas att manga hanger samman med manniskokroppen och att
eleverna ska kontrollera om de verkar stamma.
(Holmstrom, Smedhamre & Sjunnesson, 2011)
4.5 Tabell av resultatet
Tabell 1:
Fakraruta/
Historisk sida
Introducerande
textUppgifter Kommentarer
Exponent 1b 0 16 23
Det historiska perspektivet kommer
in i introduktionen av kapitlen och
i borjan av olika avsnitt. Det finns
inte renodlade rutor med historia.
Origo 1b 8 8 11
Historia forekommer dels i introduktionen
av nya avsnitt och dels som faktarutor i
slutet av varje kapitel. Faktarutorna har
tillhorande problem i sma rutor, dessa ar
inte numrerade som de vanliga uppgifterna.
”Ordboken” ar sma rutor med historisk
forklaring till olika matematiska ord.
Matematik 5000 1b 3 3 18
Historiska sidor med flera tillhorande
uppgifter kopplade till texten.
Det finns aven en del uppgifter med
historisk koppling i bokens ”vanliga”uppgifter.
Matematik M 1b 5 1 1
Faktarutor med historiska personer
som har haft betydelse for
matematikens historia. Det finns fa
problem med koppling till matematikens historia.
34
Page 36
5 Analys
5.1 Jamforelse mellan bockerna for de olika avsnitten
De olika avsnitten i bockerna jamfors med varandra. Det finns aven en tabell som visar vilka begrepp
som finns med for de olika bockerna, ett X betyder att det finns med och tom ruta innebar att det
inte finns med.
5.1.1 Aritmetik
Larobockerna hade alla utom Origo avsnittet om aritmetik som det forsta kapitlet i boken. Nam-
nen pa kapitlet skiljde sig nagot bockerna emellan. ” Taluppfattning” i Exponent, ”Tal ” i Origo,
”Aritmetik – om tal ” i Matematik 5000 och ”Numerisk rakning” i Matematik M. Tabell 2 visar
vad de olika larobockerna behandlar med ett historiskt perspektiv.
Tabell 2: Aritmetik
Exponent 1b Origo 1b Matematik 5000 1b Matematik M 1b
Positiva talens historia X X
Negativa talens historia X X X
Nollan X X
Talsystem Babylonien X X X
Talystem Egypten X X
Talsystem decimala X X X
Talsystem Mayafolket X X
Talsystem romerska X X
Talsystem Indiska X
Talsystem Binara X
Al-Khwarizmi X
Primtal X X
Diofantos X
Fibonacci X
Rottecken X
35
Page 37
Utifran tabellen syns att Exponent och Origo har nagot fler moment med historia och det syns
ocksa i bockerna. Dessa bocker har historia som en rod trad genom hela kapitlet medan Matematik
5000 och Matematik M har fokuserat att behandla historia pa en specifik sida. Vad dessa bocker har
fokuserat pa skiljer sig ocksa at Matematik 5000 har valt att skriva om Egyptens och Mayafolkets
talsystem i bade text och med uppgifter. Matematik M har skrivit om talens historia.
Jag anser att avsnittet om tal och talsystem vinner mycket pa att inkludera ett historiskt per-
spektiv sa som Exponent och Origo har gjort. Det blir ett naturligt inslag som hjalper eleverna att
forsta att det ar manniskor som uppfinner och utvecklar matematiken. Historia om tal visar att
olika typer av tal har uppkommit allt eftersom det har funnits ett behov av dem. Tidigt i historien
var det viktigaste att kunna rakna med positiva heltal, for att kunna rakna antal av objekt i sin
omgivning. Nar manniskor borjade med handel behovdes ett verktyg for att redogora skulder, det
var da negativa tal uppfanns. Att visa olika talsystem visar att det finns olika satt att beskriva
samma sak och att matematik har varit en viktig del i alla kulturer.
5.1.2 Procent
Alla larobocker hade ett kapitel med namnet Procent. Det skiljde sig at var placeringen av detta
kapitel. Exponent och Origo hade procent som kapitel 4 medan Matematik 5000 och Matematik M
placerade detta som kapitel 2. Tabell 3 visar vad de olika larobockerna behandlade historiskt.
Tabell 3: Procent
Exponent 1b Origo 1b Matematik 5000 1b Matematik M 1b
Tidiga anvandningsomraden X X X
Ordet procent X X X X
Procenttecknet X X X
Det finns inte lika manga historiska inslag som kapitlet med tal och talsystem. Det ar kanske
inte sa konstigt eftersom procent inte ar ett lika brett begrepp utan mer begransat och darmed
inte lika mycket tillhorande historia. Detta ar kanske ocksa anledningen till att bockerna tar upp
ungefar samma saker, namligen tidiga anvandningsomraden, vad ordet procent kommer ifran samt
procenttecknets historia. Pa Origos historiaruta finns big-mac- index. Big mac-index ar ett matt
for att jamfora olika landers valutor men jag forstar inte riktigt varfor det hor till matematikens
36
Page 38
historia. Kanske finns det med som en relativ ny metod for att gora jamforande matningar och pa
sa vid visa att matematik fortsatter att utvecklas. Eller sa saknade de tillrackligt med historiskt
material for att fylla en hel sida sa detta fick helt enkelt bli utfyllnad.
5.1.3 Algebra
Exponents kapitel Algebra, Origos kapitel Algebra och ekvationer, Matematik 5000’s kapitel Algebra
och Matematik M’s kapitel Uttryck och ekvationer behandlade alla algebra. Tabell 4 visar innhall
med historia.
Tabell 4: Algebra
Exponent 1b Origo 1b Matematik 5000 1b Matematik M 1b
Ordet algebra X X X
Al-Khwarizmi X X
Inforandet av symboler X X
Symboler vi har idag X X
Rottecken X
Fibonacci X X
Rhindpapyrus X
Det ar tydligt utifran tabellen att Exponent och Origo ar de bocker som inkluderar mest historia i
kapitlet algebra. Orsaken till att de har med sa mycket ar for att de ofta har en historisk inledning
i teoriavsnitten. Den historia som finns i Matematik M ar en faktaruta om Algebrans ursprung och
i Matematik 5000 ar det en uppgift fran Rhindpapyrusen.
I Matematik M finns en sida som behandlar magiska kvadrater. Detta presenteras som nagot statiskt
utan historia om vad det kommer ifran. Jag tanker att det har hade varit intressant att fa veta
nagot om dess historia.
37
Page 39
5.1.4 Geometri
Alla bockers kapitel heter Geometri, utom Origos som heter Geometri och bevis. Tabell 5 visar vad
de olika bockerna behandlar historiskt.
Tabell 5: Geometri
Exponent 1b Origo 1b Matematik 5000 1b Matematik M 1b
Ordet geometri X
Tidiga anvandningsomraden X X
Euklides X X
Elementa X X
Pythagoras sats X X
π X X
Symmertrier X X
Fibonacci X X
Q.E.D X X
Enheter X X
Aven i detta kapitel ar finns flest kryss for Exponent. Nagot som jag tyckte var intressant i detta
kapitel var hur larobockerna behandlade Pythagoras sats. Alla bocker inkluderade Pythagoras sats
men inte med en historisk bakgrund. Origo och Matematik 5000 presenterade satsen utan nagon
historia alls. Matematik M hade en faktaruta efter presentationen av sjalva satsen som berattade om
att Pythagoras har gett namn at satsen a2+b2 = c2, men att den har anvands flera tusen ar tidigare i
exempelvis Egypten. Exponent har ett annorlunda upplagg. De forklarar forst att Pythagoras sats ar
uppkallad efter den grekiske matematiker Pythagoras som levde for cirka 2500 ar sedan och darefter
forklaras satsen. Om jag hade skrivit en larobok sa skulle jag gora en blandning av Exponent och
Matematik M, alltsa den lite mer utforliga historian fran Matematik M, och placeringen fore satsen
som Exponent.
Bade Exponent och matematik 5000 har historia om talet π. Talet π ar ett litet tal med mycket
historia sa jag blev lite forvanad da det endast fanns i tva av de fyra bockerna. Orsaken kan vara att
det ar repetition fran grundskolan. Det ar meningen att de redan fran hogstadiet ska ha kunskaper
om detta.
38
Page 40
5.1.5 Funktioner
Kapitlet heter Funktioner i Exponent, Origo, Matematik M men Grafer och funktioner i Matematik
5000. Tabell 6 nedan visar vad larobockerna belyser historiskt. I kapitlet om funktioner var det mest
Tabell 6: Funktioner
Exponent 1b Origo 1b Matematik 5000 1b Matematik M 1b
Tidiga anvandningsomraden X
Inforandet av termen funktion X
Utveckling av begreppet X
Descartes X X
Rhindpapyrus X
Kryptering X
Exponent som hade med historia. Origo behandlade historien bakom kryptering pa historiasidan
och Matematik M inkluderade Descartes i avsnittet om koordinatsytstem. Jag vet inte riktigt vad
anledningen till att larobockerna inte har valt att inkludera mer historia i detta avsnitt. Det som
var mest forvanande var att Origo som i tidigare kapitel anvant sig mycket av historia i teorin inte
hade nagot i detta kapitel.
5.1.6 Sannolikhetslara och statistik
Alla larobockerna utom Origo hade ett gemensamt kapitel for sannolikhet och statistik medan Origo
hade separata kapitel, ett for sannolikhetslara och ett for statistik. Dessutom hade Origo ett kort
kapitel i borjan av boken som hette Tabeller och diagram vilket jag har raknat in har. Tabell 7
visar de olika bockernas inslag av historia.
39
Page 41
Tabell 7: Sannolikhet och statistik
Exponent 1b Origo 1b Matematik 5000 1b Matematik M 1b
Betydelse i Sverige X
Opinionsundersokningar X
Spel X
Nightingale X
Pascal X
Origo hade klart flest historia om sannolikhet och statistik. Detta kan eventuellt dels forklaras
med att det fanns tre kapitel jamfort med ett hos de andra.
5.2 Jamforelse av larobockernas innehall med kursplan och amnesplan
I utdragen fran styrdokumenten, som presenterades i bakgrunden till uppsatsen, finns flera stycken
dar matematikens historia poangteras. Vid beskrivningen av amnet matematik betonar Skolverket
matematiken ur ett historiskt perspektiv. De skriver att matematiken ar ett amne med flera tusen
ars historia och att manga olika kulturer har bidragit till dess utveckling. De framhaver aven att det
ar manniskors nyfikenhet som har gjort denna utveckling mojlig. I slutet av stycket star dock att
matematiken ytterst handlar om att upptacka monster och formulera generella samband. Jag tror
att forlagen har tagit till sig olika delar av denna information. Exponent och Origo har generellt
sett presenterat matematiken med bakgrund i historien medan Matematik 5000 och Matematik M
i storre utstrackning endast presenterat den som generella samband och metoder.
Amnesplanen framhaller aven att matematik ofta uppfattas som ett amne dar det endast finns
ratt eller fel och att gora fel likstalls med att vara matematisk okunnig. De menar pa att det mate-
matiska kunnandet utvecklas aven om fel antaganden gors och att det ofta finns flera satt att losa
ett problem. En anledning till att matematik ofta uppfattas som ett amne med ”ratt eller fel” tror
jag kan vara larobockernas upplagg. De flesta moment i larobockerna borjar med ett teoriavsnitt
dar en viss procedur forklaras och ett par exempel visas. Darefter foljer uppgifter dar eleverna ska
ova pa samma procedur, det finns alltsa ett ratt satt att ta sig an uppgifterna. Dessutom ar det
viktigt for eleverna att fa samma svar som facit, alltsa finns det ett ratt svar. Eleverna behover
saklart trana pa de olika procedurerna men de behover ocksa trana pa exempelvis problemlosning.
40
Page 42
Darfor hade det varit bra att aven inkludera mer oppna problem dar det inte finns nagon given
metod eller ett givet svar.
I amnesplanen beskrivs aven att den symboliska algebran ar en ny foreteelse i matematikens histo-
ria, att den borjade utvecklas forst i borjan av 1600-talet. Fore detta anvandes sa kallad retorisk
algebra vilket innebar att verbala beskrivningar av olika procedurer gors. Det star att elever bor
ges mojlighet till att visa sitt matematiska tankande pa fler satt an endast symboliskt, exempelvis
genom den retoriska algebran. Samtliga larobocker i undersokningen har nagon form av diskus-
sionsfragor dar eleverna ska diskutera olika fragor eller pastaenden med varandra. Har ar det inte
meningen att de ska anvanda sig av den symboliska algebran utan diskutera och forklara med egna
ord.
Det centrala innehallet i kursen matematik 1b som uttryckligen behandlar matematikens histo-
ria ar ”problem med anknytning till matematikens kulturhistoria” som det star i kursplanen. Da
larobockerna undersoktes hittades flera bra exempel dar matematikens historia anvandes. Nedan
ges nagra exempel fran varje larobok.
5.2.1 Exponent 1b
Uppgifter i boken som kan anses vara problem kopplade till matematikens kulturhistoria ar till ex-
empel nar eleverna far uppgiften att tolka babyloniska kiltecken, uppgiften om Diofantos eller upp-
giften att finna fler tal an de angivna i Fibonaccis talfoljd. I denna uppgift far eleverna forklaring
till talfoljden och jag tycker att det forstor lite av problemet. Nar de redan vet att nasta tal ar
summan av de tva foregaende blir det mer en procedur att utfora. Om de istallet endast hade fatt
borjan av talfoljden och sjalva fatt undersoka hur den ar uppbyggd hade uppgiften blivit mer pro-
blemlosning. Ett annat bra problem med koppling till matematikens historia ar da elever ska bevisa
Pythagoras sats (se figur 14). Detta ska goras genom att rita och klippa ut trianglar. Bokforfattarna
sjalva har inte bedomt att uppgiften tranar formagan problemlosning, utan formagorna som ingar
ar: begreppsformaga, procedurformaga samt kommunikationsformaga. Jag anser dock att uppgiften
skulle kunna vara problemlosning. Eventuellt skulle en viss modifiering gora uppgiften till ett battre
problem. Det skulle kunna goras med lite mer oppen formulering som exempelvis att de ska forsoka
bevisa Pythagoras sats, och sedan ge ledning om det skulle behovas.
41
Page 43
Figur 14: Exponent 1b, s.144.
5.2.2 Origo 1b
Problem i Origo 1b med koppling till matematikens kulturhistoria ar bland annat uppgiften dar
eleverna ska tolka Florence Nightingales diagram om dodsorsaker i kriget. Det finns aven uppgifter i
samband med olika talsysytem dar eleverna far jobba med mayafolkets- det egyptiska och romerska
talsystemen. Ett annat problem ar kaniners fortplantning som representeras med Fibonaccis talfoljd.
5.2.3 Matematik 5000 1b
Det finns en uppgift om stambrak dar det forst beskrivs att det var med denna typ av brak som
man raknade med i gamla Egypten. Det finns aven uppgifter om det egyptiska- och mayafolkets
talsystem. Ett problem som ar taget fran Rhindpapyrusen finns med i boken. Ytterligare ett problem
ar att studera olika kulturers varde pa π.
5.2.4 Matematik M 1b
Jag anser att matematik M ar den larobok som samst tacker in det centrala innehallet. Det finns ett
problem som kan uppfylla det centrala innehallet, men det bygger pa att eleverna laser faktarutorna
och att de inte foljer ordningen av uppgifter i boken. Pa sida 242 stod det att Blase Pascal loste
en viss uppgift och samma uppgift finns i boken pa sida 271. Eftersom det sedan inte star nagon
information om detta vid sjalva uppgiften sa kan eleverna missa den historiska kopplingen.
42
Page 44
Andra uppgifter skulle kunna tacka in det centrala innehallet om de modifieras nagot. Det ena
exemplet ar uppgiften om att rakna med stambrak. Eftersom det inte finns nagon historisk fakta
om stambrak sa far problemet ingen historisk koppling som det star i boken. Larare kan darfor
anvanda sig av denna uppgiften men komplettera med historia om anvandandet av stambrak i
Egypten. Jag tror aven att detta ar en sadan uppgift som skulle vinna pa att inkludera historia for
att underlatta elevernas forstaelse. Det andra exemplet dar larare kan komplettera boken for att
tacka in det centrala innehallet ar de magiska kvadraterna.
5.3 Allmanna kommentarer
Alla bockerna har, i olika utstrackning, introducerande texter dar de tar upp historia. Exponent
inleder alla kapitel, utom det om sannolikhetslara och statistik, med en historisk bakgrund. Detta
kan vara ett pedagogiskt val som stods av att elever har lattare att ta till sig matematiska koncept
om de forstar bakgrunden till hur och varfor det upptacktes. Origo, Matematik 5000 och Matema-
tik M har nagot farre introduktioner med historia men istallet renodlade sidor med historia eller
faktarutor. Origo avrundar varje kapitel med en historiasida medan matematik 5000 istallet har
sidan i samband med det avsnitt som historian behandlar. Matematik M har flera faktarutor med
matematikens historia. Detta ar ett vanligt satt att inkludera historia i textbocker och detta ar
nagot som forekommer i hela varlden och pa olika nivaer (Tzanakis & Arcavi, 2002).
Origo ar den enda laroboken som inkluderar en kvinnlig matematiker. Charles, Harr, Cech, Hendley
(2014) beskriver att flickors installning till matematik generellt sett ar samre an pojkarnas. Sarskilt
i lander som Sverige dar jamstalldheten mellan konen har kommit langt. Detta forklaras med att
matematik och naturvetenskap inte ses som kvinnliga amnen. Att aven tala om kvinnliga mate-
matiker som exempelvis Aspasia, Hypatia av Alexandria, Sophie Germain (Rothman, 1997) eller
Florence Nightingale som Origo gor kan eventuellt gora sa att flickor lattare kan identifiera sig med
matematiken.
Forutom att matematikens historia inkluderas i form av text har samtliga bocker aven uppgifter
kopplat till historia. Bade Origo och Matematik 5000 har faktarutor och till dessa finns tillhorande
problem. Skillnaden mellan de bada larobockerna ar att uppgifterna i matematik 5000 ar tydligt
43
Page 45
numrerade och uppbyggda pa ungefar samma satt som de vanliga uppgifterna (se figur 15). Origo
har istallet sma rutor med problem som vid forsta anblick kan vara svara att upptacka (se figur
16). Exponent och Matematik M har aven de uppgifter med anknytning till matematikens histo-
ria men dessa ar integrerade med de ovriga. Jag kan se bade fordelar och nackdelar med de bada
tillvagagangssatten. Da de ar integrerade med ovriga uppgifter kan det vara lattare att koppla histo-
rien med det matematiska innehallet. Att det ar en naturlig del av matematiken och inte nagot som
hor till en ruta vid sidan om. Daremot kan det vara svart att fa en klar bild av historiens betydelse
och matematikens utveckling i en enda uppgift. Da kan en langre text med tillhorande uppgifter
skapa en klarare bild.
Figur 15: Exempel pa historisk ruta fran Mate-
matik 5000 med tillhorande numrerade uppgifter.
Figur 16: Exempel pa historisk ruta fran Origo
med tillhorande inrutad uppgift.
44
Page 46
6 Diskussion
Studier tyder pa att historia har en positiv effekt for elevers larande da det anvands i undervis-
ningen. Effekterna av att anvanda matematikens historia i undervisningen kan ge okad kunskap i
flera dimensioner. Rent matematiskt kan det ge en storre forstaelse for olika samband och begrepp.
Det kan aven ge en bredare forstaelse for matematiken som amne och andra uppfattningen om att
”matte ar bara trakiga regler” som klassen pa Samhallsvetenskapliga programmet uttryckte det.
Eftersom larobocker har en central roll i matematikundervisningen ar det ocksa forlagens tolkning
av Skolverkets kursplaner som eleverna far ta del av. Gemensamt for samtliga larobocker ar att de
har anvant sig av matematikens historia for att introducera nya avsnitt samt att det forekommer
uppgifter med historisk anknytning. Det som skiljer dem at ar i vilken utstrackning. Exponent har
fokuserat pa att anvanda historia for att introducera nya avsnitt och som en integrerad del av
teorin. Matematik M har flera faktarutor med olika matematiker. Forfattarna till Origo har istallet
valt att lagga en storre vikt pa att knyta ihop kapitlen med en historisk text i slutet. Det som
utmarker matematik 5000 ar att de har historiska rutor med tillhorande uppgifter sa att eleverna
far jobba lite mer med det historiska stoffet. Detta kan vara en fordel da elever som jag har pratat
med uppger att de brukar undvika textrutor som inte har med uppgifterna att gora.
Jader (2015) bekraftar mina teorier om att elever inte brukar lasa textrutor i larobockerna. Han
skriver att elever brukar hoppa over bade teoritexter och faktarutor i matematikbocker for att
ga direkt pa uppgifterna. Darfor ar det viktigt att bockerna inkluderar uppgifter som kan ge en
god uppfattning av matematikens historia. Jag tror dock att texterna i bockerna kan tillfora en
hel del till undervisningen aven om eleverna inte laser dem. Det kan istallet vara inspiration for
larare som kan anvanda innehallet till genomgangar eller for att fortydliga forklaringar till eleverna.
Jag anser att bockerna generellt sett har inkluderat det centrala innehallet om att behandla problem
med koppling till matematikens kulturhistoria. De har alla nagon eller nagra uppgifter med kopp-
ling till matematikens historia. Har kan givetvis diskuteras om uppgifterna i larobockerna uppfyller
villkoren for ett problem som beskrevs i borjan av uppsatsen. Jag tror att det ar individuellt om
eleverna uppfattar en uppgift som ett problem eller inte, allt beror pa deras forkunskaper. Manga
45
Page 47
av uppgifterna dar syftet ar att behandla det centrala innehallet om matematiska problem kopplade
till historia skulle trots allt med fordel modifieras sa att de blir mer problem och mindre proce-
duruppgifter. Storre vikt kunde aven laggas pa matematikens utveckling som en dynamisk process.
Det finns med en del av detta; som exempelvis hur procenttecknet utvecklades i flera steg till hur
det ser ut idag, att tal har sett ut pa olika satt genom tiderna eller att vardet pa π beraknades av
olika kulturer med varierande noggrannhet.
Det matematiska arbetssattet som Skolverket beskriver i amnesplanen tycker jag inte riktigt att
bockerna lever upp till. Matematiskt arbetssatt innebar bland annat att eleverna ska lara sig att det
ofta finns flera losningar pa problem och komma bort fran att man inte far gora ”fel”. Anledningen
till ar att uppgifterna inte lever upp till detta ar att de ar upplagda sa att eleverna ska losa dem pa
ett visst satt och fa samma svar som facit. Orsaken till detta kan vara att det inte ar ett centralt
innehall for kursen, men eftersom det star med i amnesplanen bor larare fokusera pa att hjalpa
eleverna med att ”arbeta matematiskt” och detta kan goras med hjalp av matematikens historia.
For att komplettera larobockerna kan larare anvanda matematikens historia som bade mal och
verktyg. Ett exempel pa mal ar att att genom historien lara eleverna att matematiken ar skapad
av manniskor och att exempelvis en matematisk formel inte kommer fardigpaketeterat utan de
utvecklas ofta under lang tid. Nagot som jag under VFU och vikariat har upplevt ar att eleverna
ser pa matematiken som statiska regler. For att hjalpa eleverna att se pa matematiken som nagot
mer dynamiskt tanker jag att larare kan ge en kort bakgrund da de presenterar nya formler och be-
grepp, detta behovs inte goras for alla formler och begrepp men dar det kan tillfora nagot extra till
undervisningen. Ett annat satt kan vara att studera olika kulturers losningar och losningsmetoder.
Ytterligare ett fenomen som jag har mott ute pa skolorna ar att eleverna ofta ar radda for att gora
misstag. Detta kan hamma deras formaga att utvecklas matematiskt om de inte vagar testa nya
saker av radsla for att gora fel. Elever kan ocksa vara radda for att saga till om de inte forstar eller
fraga om hjalp om de fastnar pa uppgifter. Jag tror att detta beror pa nagon forestallning av att
goda matematikkunskaper ar samma sak som att alltid gora ratt. Men om eleverna alltid gor ratt
far de aldrig chansen att utmana sina kunskaper. For att minska elevernas radsla for att gora fel
och misstag kan larare forklara att det ar just sadana som har gjort och gor att den matematiska
utvecklingen gar framat, detta kan goras genom att ge exempel fran historien dar misstag har lett
46
Page 48
till framgangar.
Larares kunskap om matematikens historia kan aven vara ett verktyg i undervisningen. Ett sadant
verktyg skulle kunna vara att forutse vad elever troligtvis kommer tycka ar svart och hur momentet
lostes historiskt. Olika moment kan ibland med fordel presenteras i ordningen de upptacktes istallet
for att blint folja larobokens ordning.
En sista punkt kan vara anvanda historisk problem. Jag har under arbetet med uppsatsen stott
pa mangder av bra problem. Det svara ar att hitta problem som bade passar in pa det centra-
la innehallet och ligger pa ratt svarighetsniva. Nagra exempel som passar for gymnasieskolan ar:
Eratosthenes sall (primtal), Fibonaccis talfoljd (talfoljder), Zenons paradox (gransvarden), Pa-
scals triangel (binomialkoefficienter), Koningsbergs sju broar (grafteori), Leibniz infinitesimaler och
Newtons fluxioner (derivata).
47
Page 49
7 Referenser
Alfredsson, L., Brating, K., Erixon, P., & Heikne, H. (2011). Matematik 5000. Stockholm: Natur
och kultur.
Butuner, S. (2016). The use of concrete learning objects taken from the history of mathematics in
mathematics education. International Journal of Mathematical Education in Science
and Technology, 47:8, 1156-1178.
Charles, M., Harr, B., Cech, E., & Hendley, A. (2014). Who likes math where? Gender differences
in eighth-graders’ attitudes around the world, International Studies in Sociology of
Education, 24:1, 85-112,
Gennow, S., Gustafsson, I-M., & Silborn, B. (2011). Exponent 1b. Malmo: Gleerups Utbildning AB.
Hagland, K., Hedren, R., & Taflin, E. (2011). Rika matematiska problem, en inspiration till varia-
tion. Stockholm: Liber.
Holmstrom, M., Smedhamre, E., & Sjunnesson, J. (2011). Matematik M 1b. Stockholm:Liber AB.
Jankvist, T. (2009). Acategorization of the ”whys” and ”hows” of using history in mathematics
education. Springer Science + Bussiness Media B.V.
Johansson, C. (2013). Matematikens historia -Vilken plats far matematikens historia i undervis-
ningen pa gymnasieskolan? Projekt 7 hp. Matematiska instutionen. Uppsala univer-
sitet.
Johansson, M. (2006). Teaching mathematics with textbooks - a classroom and curricular perspecti-
ve. Lulea university of technology department of mathematics.
Jader, J. (2015). Elevers mojligheter till larande av matematiska resonemang. Linkoping: Linkopings
universitet.
Katz, V. (2000). Using history to teach mathematics- an international perspective. Mathematical
association of america.
Katz, V., Dorier, J-L., Bekken, O., & Sierpinska, A. (2002). History in mathematics education - the
ICMI study. kap 5.2.
Krantz. Steven G. (2010).Episodic History of Mathematics. Mathematical Association of America
Rothman, P. (1997). Women in the history of mathematics, Interdisciplinary Science Reviews, 22:2,
101-113.
Skolverket. (2011). Amne -matematik. Stockholm: Skolverket.
48
Page 50
Skolverket. (2018). Om amnet matematik, Alla kommentarer. Stockholm: Skolverket.
Stukat, S. (2005). Att skriva examensarbete inom utbildningsvetenskap. Lund: Studentlitteratur.
Swetz, F., Fauvel, J., Bekken, O., Johansson, B., & Katz, V. (1995). Learn From The Masters. the
mathematical association of america.
Szabo, A., Larson, N., Viklund, G., Dufaker, D., & Marklund, M. (2011). Matematik Origo 1b.
Stockholm: Bonnier Utbildning.
Thompson, J. (1984). Vad kan vi lara av matematikens historia? Namnaren 1984 nr 1, s. 42-44.
Tzanakis, C., & Arcavi, A. (2002). History in mathematics education - the ICMI study. kap 7 Inte-
grating history of mathematics in the classroom: an analytic survey.
49