MATEMATIKA - Unsyiah

MATEMATIKA Untuk Fisika dan Sains Jilid 2.

MATEMATIKA Untuk Fisika dan Sains Jilid 2

Edisi Pertama

NGADIMIN

Penerbit:Bandar PublishingJln. Tgk Lamgugob, Ds LamgugobSyiah Kuala,Banda AcehE-mail:[email protected]

Dosen Pada Universitas Syiah Kuala Banda Aceh.

ISBN: 978-602-5440-48-9

iii

KATA PENGANTAR

Puji beserta syuakur senantiasa penulis sampaikan kehadirat Allah SWT, atas

kudrah dan iradah-Nya, karena hanya dengan rahmat dan karunia-Nya penulis dapat

menyelesaikan buku ini. Buku yang penulis susun ini merupakan buku edisi pertama,

terbagi kedalam dua jilid, yaitu Matematika Untuk Fisika dan Sains Jilid 1 dan yaitu

Matematika Untuk Fisika dan Sains Jilid 2.

Buku ini disusun dalam rangka untuk memenuhi kebutuhan sumber belajar

yang tergolong langka bagi mahasiswa yang mengikuti perkuliahan terutama pada

Program S1 dalam bidang Fisika dan bidang Sains lainnya. Peranan matematika

dalam ilmu fisika dan sains sangat penting, hal ini mengingat untuk memahami dan

mendalami ilmu fisika dan sains secara baik sangat dibutuhkan kemampuan

menggunakan matematika sebagai alat dan metode pemecahan masalah. Atas dasar

pertimbangan tersebut, cakupan isi dalam buku ini mengacu pada kompetensi yang

dibutuhkan bagi mahasiswa program sarjana dalam bidang fisika dan sains.

Penyajian dalam buku ini terdiri dari uraian materi yang disertai contoh dan

penyelesaian, latihan-soal-soal, dan contoh penerapan dalam kasus fisika, dengan

harapan agar mahasiswa dapat lebih mudah mempelajari, berlatih memecahkan

permasalah yang berkaitan dengan fisika.

Penulis berharap buku ini dapat memberikan makna yang berarti dan

menjadi jembatan dalam mempelajari fisika dan sains dimasa mendatang. Tentu

saja sebagai seorang manusia penulis tak luput dari kekurangan, sehingga banyak

hal yang terkait dengan penulisan buku ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena

itu penulis sangat mengharapkan kritik dan saran untuk perbaikan buku ini dimasa

mendatang.

Akhir kata penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya

kepada semua pihak yang telah membantu penulisan dan penerbitan buku ini.

iv

Semoga semua amal kebaikan kita diterima dan mendapat fahala di sisi Allah

Subhanahu Wata’ala,..... Amiiin.

Penulis,

Drs.Ngadimin, M.Si

v

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR .......................................................................................... iii

DAFTAR ISI ....................................................................................................... v

BAB 1. PENDAHULUAN ...................................................................................... 1

BAB 2. INTEGRAL LIPAT ................................................................................. 3

2.1 INTEGRAL LIPAT ............................................................................................ 4

2.1.1 Integral Satu Variabel ............................................................................ 4

2.1.2 Integral Lipat Dua ................................................................................. 8

2.1.3 Integral Lipat Tiga .............................................................................. 10

2.2 PENERAPAN INTEGRAL LIPAT DALAM FISIKA ............................................ 11

2.3 TRANSFORMASI KOORDINAT ........................................................................ 16

Transformasi Koordinat; Jacoby ................................................................. 21

BAB 3. ANALISA VEKTOR .............................................................................. 25

3.1 DIFERESIAL VEKTOR ................................................................................... 26

3.1.1 Diferensial Vektor Fungsi Satu Variabel Peubah.............................. 26

3.1.2 Operator Diferensial Vektor ............................................................... 28

3.2 INTEGRAL VEKTOR ...................................................................................... 33

3.2.1 Integral Lintasan ................................................................................ 33

3.2.2 Integral Lintasan Tertutup ................................................................ 35

3.2.3 Integral Permukaan............................................................................ 37

3.2.4 Teorema Green dan Teorema Stokes ................................................ 39

3.2.5 Integral Permukaan Dan Integral Volume; ..................................... 44

Teorema Divergensi: ............................................................................ 44

3.3 OPERATOR NABLA DALAM KOORDINAT UMUM ......................................... 49

vi

BAB 4. INTEGRAL FUNGSI KHUSUS............................................................. 55

4.1 FUNGSI FAKTORIAL ..................................................................................... 56

4.2 FUNGSI GAMMA ........................................................................................... 57

4.3 FUNGSI BETA................................................................................................ 62

BAB 5. DERET FOURIER ................................................................................ 67

5.1 FUNGSI PERIODIK ......................................................................................... 68

5.2 FUNGSI GENAP DAN FUNGSI GANJIL ........................................................... 70

5.3 DERET FOURIER ........................................................................................... 74

5.4 FUNGSI SUATU PERIODE P = 2L .................................................................. 79

BAB 6. PERSAMAAN DIFERENSIAL ............................................................ 83

6.1 SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL DENGAN DERET ................................. 84

6.2 PERSAMAAN LEGENDRE .............................................................................. 86

6.3 POLINOM LEGENDRE ................................................................................... 88

6.3.1 Aturan Leibniz .................................................................................... 89

6.3.2 Formula Rodrigues Untuk Polinom Legendre ................................. 90

6.3.3 Fungsi Pembangkit Polinom Legendre ............................................. 91

6.3.4 Ekspansi Potensial .............................................................................. 92

6.4 PERSAMAAN DIFERENSIAL BESSEL ......................................................... 95

BAB 7. PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL ........................................ 103

7.1 MODEL FISIKA DALAM BENTUK PDP .................................................. 105

7.2 PEMECAHAN PDP DENGAN SPARASI VARIABEL; ................................. 106

7.2.1 Distribusi Suhu Dua Dimensi .......................................................... 106

7.2.2 Aliran Panas (difusi) .......................................................................... 112

7.2.3 Persamaan Gelombang .................................................................... 114

Persamaan Gelombang Satu Dimensi; ...................................................... 114

7.3 PENYELESAIAN PDP DALAM KOORDINAT SILINDER ............................... 123

7.3.1 Potensial Listrik. ................................................................................. 123

7.3.2 Temperatur Keadaan Mantap Pada Koordinat Silinder............... 127

vii

7.4 PENYELESAIAN PDP DALAM KOORDINAT BOLA. .................................... 129

DAFTAR KEPUSTAKAAN .............................................................................. 133

DAFTAR INDEKS ............................................................................................. 134

RIWAYAT SINGKAT PENULIS ..................................................................... 135

PENDAHULUAN

1

Bab 1. PENDAHULUAN

Matematika sebagai alat atau cara sekaligus sebagai bahasa untuk memecahkan

berbagai permasalahan dalam bidang sains kususnya bidang fisika terutama dalam

karakterisasi dan hubungan antara variabe-variabel yang mempengaruhi berbagai keadaan

fisis tersebut. Matematika menjadi kunci utama dalam menganalisis permasalahan untuk

membuka berbagai tabir yang tersembunyi di balik keberadaan fisis dengan berbagai

atribut yang melekat padanya. Oleh karenanya, kemampuan menguasai matematika

menjadi mutlak bagi mahasiswa yang menggeluti bidang fisika, sains dan teknologi.

Buku ini juga dpaat menjadi sumber bahan ajar bagi para pengajar di perguruan tinggi

terkait mata bidang-bidang tersebut.

Buku ini membahas konsep-konsep matematika yang berkaitan langsung dan

sangat diperlukan dalam mempelajari bidang sains yang disebutkan di atas. Isi buku ini

terbagi dalam tujuh bab yang disertai dengan sistematika dan contoh-contoh soal serta

penerapannya dalam fisika dengan harapan agar mudah difahami dan kuasai oleh pembaca.

Melalui latihan soal-soal diharapkan mahasiswa dapat belajar dan mencapai kompetensi

yang diharapkan dari materi kuliah ini. Pada bab 2 buku ini membahas integral lipat

dua dan integral lipat tiga dalam berbagai sistem koordinat yang diserti contoh-

contoh penerapan seperti menghitung luas, volume, massa, dan bersaran lain dalam

fisika. Penggunaan integral lipat dalam menganalisis medan vektor dibahas dalam

bab 3, yang hal ini diperlukan untuk memberi dasar berfikir analitis dalam

mengkaji medan vektor yang banyak dijumpai dalam ilmu fisika. Diantara konsep

penting yang berkaitan dengan medan vektor yaitu integral garis, integral

permukaan, teorema stokes untuk vektor yang bersifat rotasional, teorema

PENDAHULUAN

2

divergensi berkaitan dengan fluksi medan yang menembus permukaan dan lain-

lain. Selanjutnya pada bab 4 membahas tentang integral fungsi khusus seperti

fungsi faktorial, fungsi gamma dan fungsi beta yang banyak ditemukan dalam

mempelajari distribusi partikel benda padat, gas dan lainnya, dilanjutkan dengan

deret fourier untuk mengkaji fenomena yang bersifat periodik. Sedangkan bab 6

pada buku ini membahas tentang persamaan diferensial khusus yaitu persamaan

diferensial Bessel dan persamaan diferensial Legendre yang pemecahannya tidak

dapat diperoleh dengan cara penyelesaian diferensial biasa. Selanjutnya bab 7

membahas tentang pemecahan persamaan diferensial parsial dengan beberapa

contoh penerapan dalam fisika.

Penulisan buku ajar ini dimaksudkan untuk menyediakan sumber belajar bagi

mahasiswa dan bahan ajar bagi para pengajar khususnya dalam bidang fisika dan

bidang sains lainya. Tujuan penulisan buku ajar Matematika Fisika II ini adalah:

1. Untuk menyediakan sumber belajar bagi para pembaca khususnya

mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematika untuk Fisika pada

dalam bidang fisika dan bidang sains lainya.

2. Untuk menyediakan bahan ajar bagi para dosen pengampu mata kuliah

diperguruan tinggi khususnya yang mengajar mata kuliah Matematika

untuk Fisika dalam bidang fisika maupun bidang sains.

INTEGRAL LIPAT

3

Bab 2.

INTEGRAL LIPAT

Pada perkuliahan kalkulus dan fisika dasar, konsep integral sudah dipelajari

dan digunakan untuk menyelesaikan berbagai permasalahan seperti menghitung

kecepatan, jarak yang ditempuh benda, usaha oleh gaya pada benda, luas benda,

volume benda, massa benda dan lain sebagainya. Integral yang sudah dipelajari

tersebut umumnya memiliki satu variabel peubah bebas atau sering juga disebut

integral fungsi satu variabel peubah bebas. Pada bab ini akan dipelajari integral

fungsi yang bergantung lebih dari satu variabel koordinat. Disebut integral lipat

dua karena mengandung dua variabel koordinat dan disebut integral lipat tiga

karena mengandung tiga variabel koordinat. Pembahasan akan dimulai dengan

integral lipat dalam koordinat kartesius baik dalam dua dimensi maupun tiga

dimensi, kemudian dilanjutkan dengan pembahasan integral lipat dalam koordinat

lainnya disertai dengan contoh penggunaannya dalam fisika.

Tujuan yang ingin dicapai setelah mempelajari materi bab ini adalah:

1. Mahasiswa dapat menganalisis integral untuk menghitung luas dan volume yang

dibentuk oleh kurva.

2. Mahasiswa dapat menerapkan integral lipat dalam menyelesaikan berbagai

permasalahan fisika, diantaranya: luas benda, volume benda, massa benda, titik

massa dan momen inersia benda.

3. Mahasiswa dapat menganalisis integral lipat dalam berbagai sistem koordinat.

4. Mahasiswa dapat melakukan transformasi integral dari stau koordinat kekordinat

lainnya.

INTEGRAL LIPAT

4

2.1 Integral Lipat

2.1.1 Integral Satu Variabel

Tinjau suatu fungsi misalkan fungsi y terdefinisi pada selang [a,b] dalam ruang

koordinat dua dimensi dengan lebar x=(b-a)/n, sebagaimana tampak pada gambar berikut

ini.

(1a)

( 1b)

Gambar 1: Luas elemen di bawah kurva

Luas elemen di bawah kurva yang diarsir setinggi yi =f(xi) dan lebar ∆x adalah Ai=yi∆x.

(indeks i=1,2,3,4… menyatakan elemen ke i). Luas total di bawah kurva yang dibatasi

oleh x dari a ke b pada gambar adalah jumlah seluruh elemen luas yang masing-masing

dengan tinggi yi dan lebar ∆x, yaitu A=∑ yi∆x, yang dapat juga dinyatakan dalam

integral sebagai berikut:

1

( )

bn

i i

i a

A y x y x dx

(2-1)

Contoh 1:

Hitunglah luas di bawah kurva yang dibatasi dari x= 0 sampai x=4, jika diberikan

persamaan kurva:

2( ) 2 3f x x x

Jawab:

2 222 3 232

3 21

1 1

( ) (2 3 )A f x dx x x dx x x

INTEGRAL LIPAT

5

14 3 28 9 3732 3 22 13 2 3 2 6 6

2 1A

satuan

Contoh 2:

Diketahui sebuah kurva dalam bidang koordinat dinyatakan oleh y(x) = √ , dengan

x adalah variabel bebas.

a) Tentukan luas dibawah kurva yang dibatasi dari x=1 ke x=2

b) Bandingkan hasil perhitungan luas dibawah kurva tersebut jika

menggunakan fungsi x(y) .

Jawab: a) Dari bentuk kurva diberikan oleh :y(x) = √ ,

Dengan sumbu x dibatasi dari x=1 ke x=2

maka diperoleh luas dibawah kurva adalah:

32

2 2

2 23 3

11

8 1C x

A ydx xdx x

b) Jika diubah variabel menjadi x(y) maka kurva pada a) ditulis menjadi: x

= y2, sehingga dx = 2y dy. Sedangkan batas integral berubah dari

sebelumnya x=1 ke x=2, menjadi y=1 ke y =√ .

Maka:

2 2 2

2

1 1 1

3 22 213 3

2 2

8 1

x y y

A ydx y ydy y dy

A y

Ada kalanya daerah luasan bidang dibatasi oleh dua kurva y1(x) dan y2(x) seperti

gambar (2a) di bawah ini.

(2a)

(2b)

Gambar 2. Integral antara dua kurva

INTEGRAL LIPAT

6

Luas antara dua kurva pada gambar (2a) tersebut adalah:

( ) ( )2 1

b

x x

a

A y y dx (2-2)

Untuk keperluan perhitungan kita dapat mengbubah y(x) menjadi bentuk x(y). Hal ini

dilakukan apabila dengan cara tersebut memudahkan dalam penyelesaian. Perubahan y(x)

menjadi x(y) menyebabkan bentuk integral juga berubah. Elemen luas sebagaimana

gambar (2b) dibatasi oleh dua kura x1 dan x2 , maka integral luas ditulis sebagai:

( ) ( )2 1

d

y y

c

A x x dy

(2-3)

Contoh 3:

Hitung luas daerah yang dibatasi ole dua kurva y x

dan 22y x

Jawab:

Perhatikan gambar, pada titik potong kurva

maka y1 = y2, sehingga diperoleh titik

potong:

22x x => 2 2 0x x

( 2)( 1) 0x x

Jadi kedua kurva berpotongan dititik x1=-2 dan x2=1. Kedua titik ini merupakan batas

integral, sehingga luasantara dua kurva adalah:

1 1

2

2 1

2 2

3A y y dx x x dx

= 3 2 11 123 2

3x x x

1 1

3 2

3 91 13 2 2 2

3 1 2 1 8 1 4

6 9 ( 3) 6 3

A

A

Panjang Kurva.

Tinjau elemen panjang kurva dS yang terbentuk dari perubahan elemen dx

sebagaimana diperlihatkan pada gambar. Karena y(x) adalah fungsi bergantung pada

INTEGRAL LIPAT

7

variabel x, sehingga perubahan variabel sebesar dx menyebabkan perubahan elemen tinggi

kurva sebesar dy, atau y’=dy/dx.

Gambar: Elemen Panjang Kurva

Berdasarkan dalil Pytagoras maka elemen

panjang kurva dS dinyatakan :

2 2dS dx dy

Atau:

2

1 ' 1dy

dxdS dx y da

Panjang Kurva S yang dibatasi oleh x dari a

ke b adalah:

21 '

b

a

S y dx (2-4)

Luas Selubung Yang Dibentuk Kurva.

Apabila kurva y(x) pada gambar di atas kita putar

sebesar 2,akan membentuk cincin lingkaran

seperti gambar disamping. Elemen luas cincin

terbentuk dari lingkaran sepanjang kurva dS dengan

jari-jari y, jadi:

2dA ydS

Jika kemudian diintegralkan maka akan diper-oleh

luas total berupa selubung yang dibatasi misalnya

oleh x dari a ke b, yaitu:

2

( ) ( )

0

2 2 1

S b

x x

a

A y dS y y dx (2-5)

Contoh 4:

Diketahui sebuah kurva dalam bidang koordinat dinyatakan oleh y = 2x, dengan x

adalah variabel bebas.

INTEGRAL LIPAT

8

a) Tentukan panjang kurva yang dibatasi dari x=1 ke x=4

b) Tentukan luas dibawah kurva yang dibatasi dari x=1 ke x=4

c) Tentukan luas selubung yang dibentuk oleh kurva jika diputar melalui sumbu x,

dan dibatasi dari x=1 ke x=4.

Jawab:

a) Berdasarkan persamaan kurva y =2 x, diperoleh ( ) 2xy

Maka elemen panjang dS adalah:

2 21 1 2 5dS y dx dx dx

Panjang kurva yang terbentuk dari x = 1 ke x =4 adalah:

4

1

5 3 5x

S dx

b) Tinjau elemen luas dibawah kurva: dA= y dx = 2x dx,

Maka luas total di bawah kurva y=2x yang dibatasi oleh x dari x=1 sampai x=4, adalah

4 4 4

2 2 2

11 1

2 2 4 1 30A dA xdx x

c) Luas selubung dA dibentuk oleh elemen kurva dS dengan jari-jari y yang diputar

melalui sumbu x adalah: dA = y dS (berbentu cincin atau selubung). Maka luas

total selubung:

4 4 42

11 1

2 2 2 5 2 5 2 2 5 .S x x

A ydS x dx xdx x

2 22 5 4 1 30 5

2.1.2 Integral Lipat Dua

Integral lipat dua atau sering disebut integral luas memiliki dua variabel integral.

Jika fungsi f(x,y) terdefinisi pada daerah A dalam bidang (x,y), integral lipat dua dari

fungsi f(x,y) secara umum dirumuskan sebagai:

INTEGRAL LIPAT

9

( , )x y

A

f dxdy (2-6)

A : Luas daerah yang membatasi integral

f(x,y) : fungsi bergantung pada nilai x dan nilai y.

Contoh 5:

Selesaian integral lipat berikut:

1 3 3

0 0

x

x y

dxdy

Jawab:

1 3 3 1 3 3 1 3 3

00 0 0 0 0

x x x

x y x y x

dxdy dy dx y dx

1 1

232

00

3 3 3x

x dx x x

23 3 3

2 2 23.1 .1 3

1 3 3

32

0 0

x

x y

dxdy

Contoh 6:

Dapatkan hasil integral berikut

4 2

0 0

(3 2)

x

x y

x dxdy

Jawab:

4 2 4 2

0 0 0 0

(3 2) 3 2

x x

x y x y

x dxdy x dx dy

4 2

00

3 2

x

x

x dx y

4

0

3 2 2 0x

x dx x

4

2

0

6 4x

x x dx

3 2 3 24

2 2 2.4 2.40

x x 2.64 2.16 128 32 96

Diperoleh hasil :

4 2

0 0

(3 2)

x

x y

x dxdy

96

INTEGRAL LIPAT

10

2.1.3 Integral Lipat Tiga

Integral lipat tiga atau sering disebut integral volume memiliki tiga variabel

integral. Integral lipat tiga dari sebuah fungsi f(x,y,z) yang terdefinisi pada volum V

dalam ruang koordinat (x,y,z)) secara umum dirumuskan sebagai:

( , , )x y z

V

f dxdydz (2-7)

Dalam hal ini, V : batas integral, dan f(x,y,z): fungsi yang terdefinis dalam ruang V.

Contoh 7: Hitunglah integral lipat tiga berikut ini:

2 2

0 8

z

z x z y x

dydxdz

Jawab:

2 2 2 2

0 8 0 8

z z

z x z y x z x z y x

dydxdz dy dxdz

22 2 2

2

0 0

( 8 ) ( 4 )x zz x z z

z x dxdz zx x dz

2

2

0

(2 ) 4(2 )z

z z z dz

2

2

0

2 4 2z

z z z dz

2

22 313

0

2 2z

z z z

2 22 2 3 313

2 0 2 0 2 2 2 2 0

Jadi:

2 2

0 8

8 204 8

3 3

z

z x z y x

dydxdz

================================================================

Soal Latihan 2.1:

Selesaikan integral berikut:

1 4

0 2

) 3x y

a x dxdy

1 2

2 1

) 8y x

b xy dxdy

2 2

0 2

)y x y

c dxdy

2 1

1

)y x y

d xdxdy

2 2

0 8

)

z

z x z y x

e dydxdz

2 2

0 1 0

)

yx

x y z

f dxdydz

2 4

0 1 0

)

yx

x y z

g zdxdydz

2 4

0 1 0

)

yx

x y z

h ydxdydz

============================================================

INTEGRAL LIPAT

11

2.2 Penerapan Integral Lipat Dalam Fisika

Integral lipat dua dan integral lipat tiga secara geometri memiliki banyak

aplikasi dalam fisika terutama pada benda, diantaranya massa benda, momen inersia, titik

massa, muatan listrik, medan listrik dan lain-lain.

a. Massa benda:

Pandang elemen massa dm dengan luas dA dan memiliki rapat massa , sehingga

memenuhi: dm = dA

Jika elemen luas dA = dx dy , berarti dm = dxdy.

Gambar. Massa benda lempeng

dA =dxdy

dx

dy

f(x,y)

Massa total benda (M) jika dinyatakan dalam bentuk integral lipat dua dan integral lipat

tiga, masing-masing adalah:

Dua dimensi: ( )xy

A

M dxdy

(2-8)

Tiga dimensi: ( )xyz

V

M dxdydz (2-9)

Dalam hal ini: (xy): rapat massa (massa persatuan luas); dan (xyz) : rapat massa (massa

persatuan volume).

b. Titik Pusat Massa Benda:

Tinjau sebuah benda bermassa yang berada pada titik (x,y) ditinjau dari titik asal O

sebagaimana gambar dibawah. Gambar (a) menunjukkan sebuah massa titik . Sedangkan

gambar (b) menyatakan sebuah benda kontineu pada bidang (y,x), dengan meninjau

elemen luas dA=dxdy dengan rapat massa (x,y), maka elemen massa dm= dA = dxdy.

INTEGRAL LIPAT

12

(a) (b)

Gambar. Posisi titik massa benda

Posisi rata-rata sebanyak n massa titik terhadap sumbu koordiat (x,y) dinyatakan sebagai

jumlah hasil kali massa dengan jarak masing-masing dibagi massa total adalah:

1

1

N

i

N

i

i i

i

x m

x

m

dan 1

1

N

i

N

i

i i

i

y m

y

m

Apabila masa benda tersebar merata pada daerah yang dibatasi oleh A, maka posisi pusat

massa benda terhadap sumbu koordinat yakni: x , y dinyatakan dalam bentuk integral

sebagai berikut:

xdm

xdm

dan

ydmy

dm

(2-10)

Contoh 8:

Tentukan titik pusat massa benda segitiga seperti pada

gambar disamping terhadap titik asal koordinat, bila rapat

massa adalah ( )

Jawab:

Tinjau elemen massa benda:

Maka massa total benda adalah:

INTEGRAL LIPAT

13

12

63

00

2 2 3 631 102 2 6

3 18

x

M dxdy dy xdx

M x x dx x x

Dengan

1 12 2

6 3 6 32 2

0 0 0 0

6 62 2 31 1

2 20 0. 3 3

x x

x y x ym

x xm

xdm x dxdy x dy dx

xdm x x dx x x dx

3 4 6 3 41 108 8

6 6 54m

xdm x x

Dan

1 12 2

4

3 36 6 62

1 12 2

0 0 0 0 0

6

2 3 2 3 4 6 2 39 9 61 1 1 1 102 4 2 2 16 2 2 16

0

3

279 3 6 6

2

x x

m x y y y

ydm xydxdy ydy xdx x xdx

x x x dx x x x

Dengan demikian diperoleh posisi titik pusat massa terhadap sumbu koordinat masing-

masing adalah:

56 28

18 9

xdmx

dm

27 / 2 3

18 4

ydmy

dm

c. Momen Inersia Benda

Momen inersia sebuah massa m yang berupa titik yang berjarak x terhadap sumbu putar

y adalah:

2

yI x m ; (massa titik)

Dengan menggunakan analogi titik massa tersebut, maka untuk elemen massa dm yang

berjarak x dari sumbu putar y melalui titik asal O mempunyai momen inersia: dIy= x2

INTEGRAL LIPAT

14

dm. Apabila elemen luas benda adalah dA=dxdy, maka momen inersia total benda jika

diputar melalui sumbu putar y dan titik asal O, adalah:

2 2

( , )y x yA

I x dm x dxdy (2-11)

Sedangkan jika diputar melalui sumbu putar x dan titik O, maka momen inersia total jika

diputar terhadap sumbu putar x dan titi asal O adalah:

2 2

( , )x x y

A

I y dm y dxdy (2-12)

Berdasarkan torema sumbu tegak, sesuai dengan gambar b di atas maka jarak antara

elemen massa dm terhadap sumbu z adalah r, dengan:

2 2 2r x y

Jadi momen inersia total benda jika diputar melalui sumbu z dan titik asal O adalah:

2 2

( , )z x y

A

I r dm r dxdy

Atau

2 2

( , )( )z x y

A

I x y dxdy (2-13)

Bentuk persamaan tersebut berkaitan dengan momen inersia terhadap sumbu x dan sumbu

y, dapat dinyatakan dalam teorema sumbu tegak sebagai berikut:

Iz = Ix + Iy

Contoh 9: Tentukan momen inersia sebuah benda segitiga yang dibentuk dari titik-titik

(0,0), (0,6), dan (3,6) yang diputar melalui sumbu koordinat, bila rapat massa

adalah tetap.

Jawab:

Tinjau elemen massa benda dm, dalam hal ini dm =

dxdy, sehingga jika diputar melalui sumbu x maka

momen inersianya adalah dIx,

2 2

xdI y dm y dxdy

jika diputar melalui sumbu y maka momen inersianya

adalah dIy,

2 2

ydI x dm x dxdy

INTEGRAL LIPAT

15

Momen inersia total terhadap sumbu putar x adalah:

2 2

xI y dm y dxdy

1122

6 6

2 2 313

00 0 0

6

3 4 271 1 1 1 13 8 24 4 96 16

0

. .162

x x

x

x y x

x

x

I y dxdy y dy dx y dx

I x dx x

Momen inersia total terhadap sumbu putar y adalah:

2 2

yI x dm x dxdy

126 6

2 2 212

0 0 0

6 63 4 41 1 1

2 8 80

0

.

. .6 162

x

y

x y x

y

x

I x dxdy dy x dx x x dx

I x dx x

Momen inersia, jika diputar melalui sumbu z, berdasarkan teorema sumbu tegak maka:

27

16162z x yI I I

================================================================

Soal Latihan 2.2:

1. Sebuah benda memiliki rapat massa homogen, dibatasi oleh bidang 2z+x+y= 0

dan sumbu koordinat pada kuadran satu . Tentukan:

a. Titik pusat massa: x dan y

b. Momen inersia: xI ; yI ; dan zI , masing-masing diputar melalui sumbu

koordinat.

2. Sebuah benda dibatasi oleh bidang koordinat dan bidang x + y + z = 1. Jika rapat

massa benda konstan, tentukan:

a. Volume benda

b. Posisi koordinat pusat massa

c. Jika rapat massa adalah z, tentukan massa benda dan posisi z .

============================================================

INTEGRAL LIPAT

16

2.3 Transformasi Koordinat

Saat menyelesaikan persoalan integral lipat sering diperlukan perubahan variabel

dari satu sistem koordinat ke sistem koordinat yang lain. Perubahan variabel dari satu

sistem koordinat ke kordinat lain disebut transformasi koordinat. Dilakukannya

transformasi koordinat ini dimaksudkan untuk mempermudah penyelesaian masalah. Jadi,

suatu persoalan integral yang mungkin sulit diselesaikan menggunakan sistem koodinat

yang lama, setelah dilakukan tranformasi ke sistem koordinat yang akan menjadi mudah

diselesaikan.

Ada beberapa sistem koordinat yang sering digunakan dalam menyelesaikan

persoalan . Selain koordinat kartesius yang sudah biasa digunakan, juga ada sistem

koordinat lain diantaranya koordinat polar, koordinat silinder dan koordinat bola yang

tidak kalah penting dan kerap digunakan dalam menyelesaikan persoalan integral lipat.

Sistem koordinat kartesius sangat cocok dan paling sering digunakan untuk menyelesaikan

persoalan integral yang melibatkan bangun geometri berbentuk persegi seperti persegi

panjang, segi tiga, kubus dan lain-lain. Namun untuk persoalan integral yang melibatkan

bangun geometri tidak berbentuk persegi seperti lingkaran, silinder, bola dan lain-lain

kurang cocok jika diselesaikan menggunakan koordinat kartesius.

Berikut ini akan dibahas sistem koordinat yang sering digunakan disamping

koordinat karteius yaitu sistem koordinat polar, sistem koordinat silinder, dan sistem

koordinat bola. Ketiga sistem koordinat yang disebutkan terakhir selain melibatkan posisi

berkaitan dengan jarak perpindahan (panjang) juga melibatkan rotasi (sudut).

a) Koordinat Polar

Koordinat polar merupakan koordinat dua dimensi dibentuk oleh dua sumbu saling

tegak lurus sama seperti halnya koordinat kartesius. Jika pada koordinat kartesius

dinyatakan oleh (x,y), maka pada koordinat polar dinyatakan oleh (r,). Hubungan antara

kedua sumbu kartesius (x,y) dan sumbu polar (r,) dapat diperlihatkan pada gambar

berikut.

INTEGRAL LIPAT

17

Hubungan koordinat kartesius dengan

koordinat polar dinyatakan oleh:

2 2

os

sin

r x y

x r

y r

Jika elemen panjang kurva ds dalam koordinat

kartesius diberikan oleh:

2 2ds dx dy

Maka elemen panjang kurva ds dinyatakan

dalam koordinat polar adalah:

2 2 2ds dr r d ; (Koordinat polar)

2 2

2 2. 1dr d

ds r d r drd dr

Kasus khusus pada koordinat polar yaitu bila r tetap, dalam hal demikian perubahan x dan

y hanya berkaitan perubahan sudut , sebagaimana tampak pada gambar berikut.

(a)

(b)

Berdasarkan gambar (a) maka elemen panjang kurva dinyatakan dalam koordinat

kartesius:

2 2dS dx dy

(koordinat kartesius)

INTEGRAL LIPAT

18

Dengan:

sindx r d , dan cosdy r d

Elemen panjang dalam kordinat polar adalah

ds rd (Koordinat polar)

Sedangkan Elemen luas dA dalam koordinat polar (lengkung) adalah :

dA drds rdrd

b) Koordinat Silinder

Koordinat silinder merupakan koordinat ruang tiga dimensi memiliki tiga sumbu

utama yang saling tegak lurus. Pada dasarnya koordinat silinder dibangun berdasarkan

pada koordinat katesius juga. Apabila tiga sumbu utama pada koordinat kartesius

dinyatakan dalam (x,y,z), sementara dalam koordinat silinder dinyatakan dalam (r,,z).

Hubungan koordinat kartesius dengan koordinat

silinder dinyatakan oleh:

2 2 2

cos

sin

r x y z

x r

y r

z z

Elemen panjang kurva yang dibentuk oleh elemen

panjang dx, dy dan dz, dalam koordinat kartesius

yaitu:

2 2 2 2ds dx dy dz ;

Sedangkan elemen panjang kurva dalam koordinat

silinder dinyatakan oleh:

2 2 2 2 2ds dr r d dz (2-14)

cos sin

sin cos

dx dr r d

dy dr r d

dz dz

INTEGRAL LIPAT

19

Ada tiga permukaan silinder, apabila silinder dalam posisi tegak maka ketiga permukaan

tersebut yaitu permukaan atas (tutup), permukaan bawah (alas), dan permukaan selubung

samping (kulit) silinder.

Berdasarkan gambar disamping, elemen

luas permukaan tutup dan alas silinder

dinyatakan sebagai:

1dA rdrd (2-15)

Sedangkan elemen luas kulit silinder

dinyatakan oleh:

2dA drd dz (2-16)

Elemen volume dV dalam koordinat

silinder terbentuk dari segmen luas alas

dikali tinggi yaitu:

dV rdrd dz (2-17)

c) Koordinat Bola

Koordinat bola termasuk koordinat ruang tiga dimensi yang memiliki tiga sumbu

utama yang saling tegak lurus satu sama lain. Sebagaimana koordinat silinder, koordinat

bola juga dibentuk dan diturunkan berdasarkan koordinat kartesius. Jika sebuah ruang

pada koordinat kartesius dinyatakan dalam tiga sumbu utama (x,y,z), sementara ketiga

sumbu utama dalam koordinat bola dinyatakan oleh (r, ,). Gambar berikut ini

merupakan posisi sebuah titik dalam ruang tiga dimensi dengan jarak r diukur dari titik

asal koordinat. Sudut adalah sudut yang dibentuk oleh arah r terhadap sumbu z,

sedangkan sudut adalah sudut yang dibentuk oleh proyeksi r dalam bidang (x,y) yaitu

terhadap sumbu x.

INTEGRAL LIPAT

20

Hubungan antara koordinat kartesius

dengan koordinat bola:

2 2 2

sin

cos sin cos

sin sin sin

cos

r x y z

r

x r

y r

z r

Elemen panjang kurva ds dalam koordinat

bola dinyatakan oleh:

2 2 2 2 2 2 2sinds dr r d r d (2-18)

Gambar berikut ini menjelaskan bagaimana membentuk elemen luas permukaan dan

elemen volume bola.

(a) Elemen luas kulit bola (b) Elemen volume bola

Elemen luas kulit bola yang dibentuk oleh segmen dengan panjang (rd) dan lebar (r sin

d), yaitu:

2 sindA r d d (2-19)

INTEGRAL LIPAT

21

Elemen volum bola yang dibentuk oleh segman dengan panjang (rd), lebar (r sin d),

dan tinggi dr, yaitu:

dV = r2 sin θ drdθdφ (2-20)

d) Transformasi Koordinat; Jacoby

Sebagaimana dijelaskan diatas tujuan transformasi atau perubahan variabel integral

dari suatu sistem koordinat kekordinat yang lain adalah untuk memudahkan penyelesaian

masalah integral lipat. Untuk melakukan transformasi variabel integral dapat digunakan

matriks transformasi disebut Jacoby. Tinjau bentuk integral yang didefinisikan dalam

bentuk:

( )

b

a

f x dx

Jika x dapat dinyatakan dalam variabel baru misalkan: x=x(u) yang merupakan sebuah

fungsi kontineu dan memiliki turunan kontineu dalam selang α≤ u ≤ β, sehingga memenuhi

x(α) = a dan x(β) =b, maka:

( ) ( ( ))

b

a

dxf x dx f x u du

du

Pada kasus integral lipat dua, dengan f sebagai fungsi x dan y:

( , )R

f x y dxdy

Apabila x dan y dapat dinyatakan dalam variabel baru yang memenuhi x=x(u,v) dan

y=y(u,v) yang memiliki turunan kontineu pada bidang uv dalam daerah R*, maka bentuk

integral pada ruang koordinat yang baru adalah:

( , ) ( . ), ( , )

*

. .x y x u v y u v

R R

f dxdy f J dudv (2-21)

J : disebut Jacoby, ditulis sebagai:

,

,

x xx y u v

Jy yu v

u v

(2-22)

INTEGRAL LIPAT

22

hubungan koordinat kartesius (x,y) dengan koordinat polar (r,θ) dinyatakan sebagai:

x = r cos θ, dan y = r sin θ

Maka diperoleh Jacoby J:

cos sin,

sin cos,

rx yJ r

rr

Sehingga transformasi integral luas dari kartesius (xy) kekoordinat polar (r,) menjadi:

*

( , ) ( , ).R R

f x y dxdy f r rdrd (2-23)

Untuk kasus integral lipat tiga (tripel integral), transformasi dari koordinat (x,y,z) menjadi

koordinat (r,s,t) yang baru maka:

*

( , , ) ( , , ). .V V

f x y z dxdydz f r s t J drdsdt (2-24)

Dengan J adalah Jacobian, yaitu:

( , , )

( , , )

x x xr s t

x y z y y yJ

r s t r s t

z z zr s t

(2-25)

Contoh perubahan variabel dari koordinat kartesius (x,y,z) menjadi koordinat silinder (r,θ,

z) dinyatakan:

x = r cos θ; y = r sin θ; z=z

Elemen volume dalam koordinat kartesius adalah: dV=dxdydz, jika dinyatakan dalam

koordinat silinder menjadi:

.dV dxdydz J drd dz

Dengan J adalah Jacobian:

cos sin 0( , , )

sin cos 0( , , )

0 0 1

x x xr z r

x y z y y yJ r r

r z r z

z z zr z

INTEGRAL LIPAT

23

Maka :

dV dxdydz Jdrd dz rdrd dz

Volume total benda adalah:

x y z r z

V dxdydz rdrd dz

Contoh 9:

Hitunglah

V

dxdydz dengan V volume yang bagian bawah dibatasi oleh paraboloid

2 2z x y dan bagian atas oleh bidang z=4.

Jawab:

Berdasarkan persamaan paraboloid 2 2z x y ;

jika y = 0 maka z=x2 adalah bentuk parabola terbalik pada bidang (x,z)

Jika x = 0, maka z=y2 adalah bentuk parabola terbalik pada bidang (y,z)

Penyelesaiannya akan lebih mudah jika menggunakan koordinat silinder:

2 2 2z x y r

Batas ingteral:

z: dari r2 sampai 4

r: dari 0 sampai 2

: dari 0 sampai 2

INTEGRAL LIPAT

24

Jadi:

2

2 2 4

0 0V r z r

dxdydz rdrd dz

= 2

2 2 4 2

2

0 0 0

2 4r rz r

d dz rdr r rdr

2 4 2104

2 2 2 8 4 8r r

===============================================================

Soal Latihan 2.3:

1. Evaluasi integral lipat tiga dalam koordinat bola untuk menghitung volume yang

dibentuk oleh konik 2 2 2z x y dan antara bidang z=1 dan z=2

2. Hitung volume bagian dalam konik 2 2 23z x y , di atas bidang z=2 dan di

bagian dalam bola 2 2 2 36x y z

3. Dapatkan jacobian (x,y)/(u,v) hasil transformasi dari variabel x,y ke variabel

u,v: apabila diketahui:

x= ½ (u2 – v

2), dan y=uv

4. Pada integral berikut, nyatakan dalam koordinat polar dan evaluasi hasil

integralnya.

2

2 21 1

0 0

xx y

I dx e dy

5. Lakukan perubahan variabel integral berikut, kemudian selesaikan:

21/2 1

0

x

x y x

x yI dxdy

x y

jika: x= ½ (r - s), dan y= ½ (r + s)

6. Tuliskan integral lipat tiga dalam koordinat silinder 2 2 4x y dan dibatasi

antara 2 22z x y dan bidang (x,y) .

7. Menggunakan integral lipat tiga, tentukan posisi titik pusat massa benda yang

memiliki rapat massa tetap, bagian bawah dibatasi oleh bidang x,y sedangkan

bagian atas dibatasi oleh: 2 2 2 16x y z

================================================================

ANALISA VEKTOR

25

Bab 3.

ANALISA VEKTOR

Pembahasan pada bab ini akan lebih difokuskan pada vektor kalkulus yang

meliputi prinsip diferensial dan integral dari suatu fungsi vektor dan sifat-sifat

medan vektor. Penggunaan istilah medan vektor ini dikaitkan dengan berbagai

kuantitas fisika yang termasuk dalam besaran vektor seperti gaya, medan gravitasi,

medan listrik, medan magnet dan sebagainya. Sedangkan kuntitas fisika yang

termasuk besaran skalar misalnya adalah massa benda, temperatur dan lain-lain

disebut medan skalar. Keterkaitan antara beberapa medan vektor dan medan skalar

dapat diperoleh berdasarkan operasi diferensial maupun integral terhadap kuantitas

fisika yang berkaitan. Sebagai contoh energi potensial adalah besaran skalar yang

dapat diperoleh melalui proses integral garis dari sebuah medan gaya sebagai

fungsi ruang. Sebaliknya medan gaya dapat diperoleh melalui operasi diferensial

dari energi potensial.

Setelah mempelajari materi ini diharapkan para pembaca agar mampu:

- Menerapkan operator diferensial vektor untuk menganalisis sifat-sifat

medan vektor.

- Menerapkan inegral lipat untuk menganalisis sifat-sifat medan vektor

meliputi integral garis, integral permukaan, dan integral volume terhadap

vektor.

ANALISA VEKTOR

26

3.1 Diferensial Vektor

3.1.1 Diferensial Vektor Fungsi Satu Variabel Peubah

Padang sebuah fungsi misalkan ( )A A u adalah besaran vektor yang

nilainya bergantung pada satu variabel bebas u. Setiap terjadinya perubahan kecil

pada variabel u akan menyebabkan perubahan pada vektor A yang didefinisikan

sebagai turunan A terhadap u sebagai:

0

( )limu

dA u A u u A u

du u

(3-1)

Apabila vektor A merupakan vektor yang berada dalam ruang tiga dimensi dan

memiliki komponen ruang Ax, Ay, dan Az maka:

ˆˆ ˆ yx zdAdA dAdA

i j kdu du du du (3-2)

Contoh 1:

Diketahui posisi sebuah partikel dinyatakan oleh:

ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )R t x t i y t j z t k

dengan: x(t) = 2 cos (t); y(t)= 2 sin (t); dan z(t) = 3 t

Tentukan:

a) kecepatan benda sesaat, dan kecepatan benda pada saat t = 2 detik.

b) Percepatan benda sesaat, dan percepatan benda saat t = 0

c) Gambarkan bagaimana bentuk gerak benda

Penyelesaian:

Dalam hal ini:

x(t) = 2 cos ( t), maka: vx(t) =- 2 sin (t )

y(t) = 2 sin ( t), maka: vy(t) = 2 cos (t)

z(t) = 2 t, maka vz(t) = 2.

ANALISA VEKTOR

27

a) Kecepatan benda adalah turunan posisi terhadap waktu:

dR dx dy dzˆ ˆ ˆv(t)= = i+ j+ kdt dt dt dt

Maka kecepatan benda sesaat adalah:

ˆ ˆ ˆv(t)=(-2πsinπt)i+(2cosπt)j+2k

Kecepatan saat t = 2 satuan adalah:

ˆˆ(2) 2 2v j k

b) Percepatan sesaat:

Pada masing-masing komponen adalah:

22 cos( )xx

va t

dt ; 22 sin( )

y

y

va t

dt ; dan 0z

z

va

dt

Jadi:

ˆˆ ˆ( )yx z

dvdv dva t i j k

dt dt dt

Atau:

2 2 2ˆ ˆ( ) ( 2 cos( )) ( 2 sin( )) ( )a t t i t j R t

Diferensial Dari Perkalian Dua Vektor

Anggap dua vektor ( )A A t dan ( )B B t masing-masing merupakan

fungsi t. Dari persamaan yang diperoleh sebelumnya, maka dierensial hasil kali

vektor A dan B dapat ditulis sebagai:

d dA dB

A B B Adt dt dt

(3-3)

dan

d dA dB

A B B Adt dt dt

(3-4)

ANALISA VEKTOR

28

Contoh kasus dalam fisika: Sebuah partikel bermassa m memiliki posisi ( )r r t

terhadap titik asal yang berubah terhadap waktu t. Apabila kecepatan partikel

drv

dt dan percepatan partikel

dva

dt , maka:

d dr dv

r×mv = ×mv+r×m =m v×v +r×madt dt dt

Berdasarkan sifat perkalian silang berarti ( v v =0), dengan demikian maka:

d

r mv r madt

Oleh karena p mv adalah momentum partikel, dan F ma adalah gaya yang

bekerja pada partikel, maka

d

r×p = r×Fdt

Dalam hal ini L r mv r p adalah momentum sudut partikel, sedangkan

r F adalah momen gaya.

3.1.2 Operator Diferensial Vektor

Pada bagian ini kita perkenalkan sebuah operator dengan lambang yang

disebut operator diferensial vektor, atau biasanya disebut juga operator del atau

nabla. Operator del adalah operator diferensial terhadap variabel fungsi ruang spasi

atau ruang koordinat yang banyak penggunaannya untuk menganalisis keadaan

terkait medan skalar maupun medan vektor. Perbedaannya dengan operator

diferensial biasa, bahwa operator del memiliki arah satuan vektor, dituliskan

sebagai :

ˆ ˆ î j kx y z

(3-5)

ANALISA VEKTOR

29

Gradien:

Secara geometri, gradien diartikan sebagai kemiringan kurva atau grafik.

Misalkan sebuah kurva f(x) adalah fungsi yang berubah terhadap variabel x, maka

df/fx adalah slope atau kemiringan kurva dari f(x) pada nilai x. Sekarang kita

misalkan (x,y,z) adalah fungsi bergantung pada koordinat x,y, dan z. Tentu saja

perubahan setiap variabel x, y dan z menyebabkan terjadi perubahan pada fungsi

(x,y,z) menjadi:

d dx dy dzx y z

(3-6)

Dengan menyatakan elemen panjang: ˆˆ ˆdr dxi dyj dzk , maka diperoleh:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ î j k dxi j kd dy dzx y z

d dr

(3-7)

Dalam hal ini besaran ( )xyz disebut garien (dibaca grad ). Jadi apabila operator

(operator del atau nabla) dikenakan pada sebuah fungsi skalar maka disebut

gradien, ditulis sebagai:

:Gradient Grad

Apabila dinyatakan dalam komponen-komponen arah maka:

ˆ ˆ ˆ. i j kGradx y z

(3-8)

Dengan demikian gradien adalah sebuah besaran vektor. Sedangkan besar atau nilai

dari vektor (grad ) adalah:

22 2

.Gradx y z

(3-9)

ANALISA VEKTOR

30

Contoh 2:

Sebuah fungsi skalar bergantung pada koordinat (xyz) misalkan :

2( )xyz x y xz

Tentukan gradien dari fungsi skalar tersebut di titik (1,2,2).

Jawab:

Graadien fungsi skalar ditulis sebagai:

jˆ î kx y z

Melalui diferensiasi parsial diperoleh

2

2 2

2

(

(

(

) 2

)

)

x x

y y

z z

x y xz xy z

x y xz x

x y xz x

Maka diperoleh:

2jˆ ˆ(2 )i kxxy z x

Pada titik (x,y,z)= (1,2,2) diperoleh:

2j 1ˆ ˆ(2.1.2 2)i 1 k

jˆ ˆ6i k

Sedangkan Nilai dari Grad adalah:

2 2 26 1 1 38

Divengensi (.):

Operator dioperasikan secara titik (dot) dengan sebuah vektor A disebut

dengan divergensi atau disingkat dengan (Div A ), ditulis sebagai :

ANALISA VEKTOR

31

x y zˆ ˆj jˆ ˆ ˆ î k A i A A k

x y zDivA A

AA Ayx z

x y zA

(3-10)

Dalam hal ini (Div A ) adalah skalar. Secara geometris divergensi dari sebuah

vektor yaitu (Div A ) adalah ukuran seberapa banyak vektor A memancar pada

sebuah titik yang diamati dalam ruang.

Curl (x atau dibaca Curl):

Jika Operator dikenakan ada sebuah vektor melalui perkalian silang

maka disebut operasi rotari atau Curl, ditulis sebagai :

ˆ ˆ î j k

x x z

CurlA Ax y z

A A A

ˆˆ ˆy yx xz zA AA AA A

xA i j ky z z x x y

(3-11)

Secara geometris, (curl E ) adalah ukuran seberapa besar vektor yang mengitari

keliling luasan permukaan yang ditinjau.

Operasi Divergensi dan Curl Terhadap Gradien:

Apabila operator nabla dioperasikan secara titik (dot) terhadap gradien, maka

( ) ( )U grad U

ˆ ˆj jˆ ˆ ˆ ˆ( ) i k i kU U U

x y z x y zU

Atau: 2 2 2

2

2 2 2

U U UU U

x y z

(3-12)

2 disebut Laplacian yang banyak diaplikasikan untuk menganalisis berbagai

persoalan fisika terkait medan vektor dan medan scalar.

ANALISA VEKTOR

32

=======================================================

Soal Latihan 3.1:

1. Anggap bahwa ( )r t menyatakan vektor posisi sebuah partikel yang bergerak,

dengan t0 adalah waktu. Tentukan laju dan besar percepatan dari partikel

yang vektor posisinya diberikan sebagai berikut:

a) 2 ˆr( ) (2 )it t t d) ˆ ˆ ˆr( ) (2cos )i (3sin ) j kt t t t

b) 2 2ˆ ˆr( ) cos i 3sin kt t t e) ˆ ˆr( ) i jt tt e e

c) ˆ ˆ ˆr( ) 2 i 3 j kt t t t

2. Vektor posisi sebuah partikel diberikan oleh: ˆ ˆ( ) cos 2sinr t t i t j .

Dapatkan percepatan arah tangesial.

3. Turunkan operasi div dan curl pada soal berikut :

a) 2 2 2

jˆ î kzA x y ; pada (1,2,1)

b) 2 2

jˆ î kxyzE x y ; pada (2,2,1)

c) jˆ ˆsin i cos kxzv x y y ; pada (1,,2)

2. Hitunglah gradient, divergen dari gradien, curl dari gradien dan Laplacian

dari medan scalar berikut pada (1,1,1):

a). T = 22 yx

c) V = xy ( x2 + y

2 – 5z

2)

b) U = (x2 + y

2 + z

2)-1/2

ANALISA VEKTOR

33

3.2 Integral Vektor

3.2.1 Integral Lintasan

Kerja yang dilakukan oleh sebuah medan vektor F sepanjang garis

lintasannya disebut integral lintasan. Gambar berikut memperlihatkan kerja medan

vektor tersebut sepanjang elemen lintasan dr pada kurva C.

Makna integral lintasan dalam mekanika sering dikaitkan dengaan usaha yang

dilakukan sebuah gaya F untuk memindahkan benda dari suatu tempat ke tempat

tertentu. Tinjau usaha yang dilakukan oleh gaya F sepanjang segmen lintasan dalam

bidang (x,y) sebagaimana diperlihatkan pada gambar di atas yaitu: dW F dr ,

dalam hal ini:

ˆ ˆ

ˆ ˆ

x yF F i F j

dr dxi dyj

Sehingga berdasarkan perkalian titik (dot product) dapat ditulis:

x ydW F dr F dx F dy

Dalam hal ini C adalah kurva yang merupakan garis lintasan dari gaya F .

Usaha total yang dilakukan oleh gaya F dalam lintasan sepanjang kurva C dalam

bidang (x,y) dinyatakan dengan integral garis sebagai berikut:

B

x yC A

W F dr F dx F dy (3-13)

ANALISA VEKTOR

34

Contoh 3:

Hitung usaha yang dilakukan oleh gaya F dari

titik O ke titik C, bila melewati lintasan seperti

diperlihatkan pada gambar, jika diketahui:

2F xyi y j .

Jawab :

2

SW F dr xyi y j dxi dy j

x y

S SW F dx F dy

Lintasan O-A-C :

Lintasan O-A: x berubah dari 0 ke 2, y = 0 tetap

Lintasan A-C: x =2 tetap; y berubah dari 0 ke 4,

Maka integral lintasan dari O-A-C:

OAC OA ACW W W

22

0

4 42 2 31

30 0

( ) (0. 0) 0

64( ) (2 .0 )

3

A

OAO x

C

ACA y

W xydx y dy dx

W xydx y dy y y dy y

Jadi, diperoleh:

64

3OAC OA ACW W W

Lintasan O-B-C

Lintasan O-B: x =o tetap, dan y berubah dari 0 ke 4,

Lintasan B-C: x berubah dari 0 ke 2, dan y=4 tetap.

Sehingga:

ANALISA VEKTOR

35

OBC OB BCW W W

4 22 2 2

0 0

22 22 2 2

0 0 0

64( ) (0. )

3

( ) (4 4 .0) 4 2 8

B

OBO y x

C

BCB x x

W xydx y dy dx y dy y dy

W xydx y dy xdx xdx x

Jadi: 64 40

83 3

OBC OB BCW W W

Sedangkan untuk lintasan garis lurus O – C : x berubah dari 0 ke 2, sementara y

berubah dari 0 ke 4. Dalam hal ini persamaan garis lurus dari O-C, dapat

dinyatakan dengan:

1

2 tg

x

y

Maka diperoleh y = 2x, dan dy = 2dx, sehingga:

2

0

c

o cW xydx y dy

22 2

22 3

0

2 (2 ) (2 )

26 2 16

0

o cO

o c

W x dx x dx

W x dx x

Perhatikan bahwa . Jadi hasil intgral lintasan dari gaya

tersebut tergantung lintasan. Jenis gaya seperti ini dikenal tidak konservatif.

3.2.2 Integral Lintasan Tertutup

Andaikan usaha yang dilakukan oleh gaya F melalui lintasan dari titik A ke titik B

melalui lintasan C1, kemudian dari titik B kembali ke titik A melalui lintasan C2 seperti

diperlihatkan pada gambar di bawah ini , sehingga lintasan yang dilalui oleh gaya F

disebut dengan lintasan tertutup, dan usahanya dalam matematika disebut integral

lintasaan tertutup.

ANALISA VEKTOR

36

Integral lintasan dalam kurva tertutup ditulis sebagai:

1 2C C CdW F dr F dr F dr (3-14)

Contoh 4:

Hitung usaha yang dilakukan oleh gaya F melalui

lintasan tertutup dari titik O ke titik C kemudian kembali

ke titik O seperti diperlihatkan pada gambar, jika

diketahui:

2F xyi y j .

Jawab:

Dari hasil contoh 3, telah diperoleh bahwa usaha yang dilakukan dari titik O ke

titik A kemudian ketitik C adalah :

64

3OAC OA ACW W W

Sedangkan usaha memlalui garis lurus dari titik O ke titik C adalah:

16ocW

Dalam hal ini: 16CO ocW W . Sehingga diperoleh usaha dalam lintasan tertutup:

ANALISA VEKTOR

37

64 1616

3 3

C O

OAC COC O C

C

W F dr F dr F dr W W

W F dr

3.2.3 Integral Permukaan

Pada gambar berikut diperlihatkan sebuah bidang dengan arah normal

bidang adalah n .

Gambar. Permukaan X

Y

Z

n

vektor satuanarah bidang k

dA

dy

dx

Perhatikan bahwa arah dA membentuk sudut terhadap arah elemen luaas dxdy,

maka:

ˆˆ cos

dxdyn k

dA (3-15)

ANALISA VEKTOR

38

cos : tidak lain adalah proyeksi arah permukaan dA terhadap arah bidang (xy)

sesuai dengan aturan perkalian titik (dot product). Sehingga elemen luas dA pada

gambar dapat dihitung menggunakan komponen luas bidang dxdy , jadi:

secˆ cosˆ

dxdy dxdydA dxdy

n k

(3-16)

Integral permukaan bidang yang dinyatakan oleh elemen dA adalah:

sec .dA dxdy

(3-17)

Tinjau sebuah persamaan bidang: (x,y,z) = konstan. Dengan menerapkan

operator nabla atau operator del () pada persamaan bidang tersebut, maka

diperoleh sebagaimana persamaan (3-8) dan (3-9)adalah:

22 2

ˆˆ ˆ

ˆ

i i kx y z

n

x y z

(3-18)

Apabila sudut yang dibentuk oleh vektor satuan arah dan adalah , maka

projeksi permukaan dA terhadap bidang xy di,

22 2

1 1sec

ˆcos /ˆ

x y z

zn k

(3-19)

Pandang sebuah silinder terletak di atas bidang xy dan bagian atasnya dipotong

oleh sebuah permukaan sebagai tutup silinder seperti gambar kanan. Elemen

permukaan tutup silinder (dA) dengan arah verktor satuan adalah n .

ANALISA VEKTOR

39

Gambar. Elemen luas bidang

dxdz

k

Elemen luas bidang permukaan

Proyeksi Elemen luas dlm bidang (xy)

Proyeksi Elemen luas dlm bidang (xz)

dS

dxdy

dx

dy

dx

dz

n

j

Apabila diketahui persaman bidang tutup silinder diketahui , maka vektor satuan arah

bidang dapat diperoleh dengan prinsip gradien ().

3.2.4 Teorema Green dan Teorema Stokes

Teorema Green:

Integral dua buah fungsi kontinu P(x,y) dan Q(x,y) pada lintasan tertutup C dapat

ditransformasikan dari integral garis menjadi integral luas yang dibatasi oleh

lintasan tertutup tersebut, demikian sebaliknya. Pernyataan ini dikenal dengan

teorema Green, dan dirumuskan sebagai:

C A

Q PPdx Qdy dxdy

x y

(3-20)

Contoh 5:

Dua fungsi kontinu masing-masing P =y2-7y, dan Q = 2xy + 2x, Diketahui

C adalah lingkaran x2 + y

2 = 1. Buktikan bahwa integral garis pada litasan

tertutup C memenuhi teorema Green.

ANALISA VEKTOR

40

Jawab:

Lintasan tertutup C adalah lingkaran dengan jari-jari 1 satuan.

Dengan: cosx , sindx d

siny , cosdy d

Untuk lintasan keliling lingkaran maka batas integral untuk : dari 0 sampai 2 .

i). Jika menggunakan bagian kiri teorema Green: yaitu integral lintasan tertutup

berarti:

2( , ) ( , ) 7 2 2x y x y

C C

P dx Q dy y y dx xy x dy

2

2

0

2

3 2 2 2

0

sin 7sin sin 2cos sin 2cos cos

sin 7sin 2cos sin 2cos

t

d d

d

Jika diselesaikan maka diperoleh untuk integral suku pertama dan suku ke

tiga adalah nol (karena fungsi ganjil), sedangkan integral suku kedua dan suku ke

empat (fungsi genap) masing-masing adalah:

2 22 1

20 0

2 22 1

20 0

sin (1 cos 2 )

cos (1 cos 2 )

d d

d d

Dengan demikian diperoleh:

( , ) ( , ) 0 7 0 2 9x y x y

C

P dx Q dy

ii) Jika menggunakan ruas kanan teorema Green: yaitu integral luas yang dilingkupi

oleh lintasan C:

22 2 7x y

A xy

Q Pdxdy xy x y y dxdy

x y

ANALISA VEKTOR

41

1 2

0 0

2 2 2 7

9 9 9

x y

x y r t

y y dxdy

dxdy rdrd

Terbukti hasil integral lintasan terutup sama dengan hasil integral luas.

Teorema Stokes:

Dari teorema Green, apabila P(x,y) dan Q(x,y) adalah komponen-komponen

vektor masing-masing didiskripsikan sebagai xP F adalah komponen vektor dalam

arah x, dan yQ F adalah komponen vektor dalam arah y, maka teorema Green

bila dituliskan dalam vektor menjadi :

y x

A

F FFxdx Fydy dxdy

x y

(3-21)

y

yˆ î j i j x

x

C A

F FF F dx dy k kdxdy

x y

Dari integral garis W1 dengan 2ˆ ˆF xyi y j , maka Fx = xy, dan Fy = -y2

Persamaan garis C1 : y = 2

x, maka

W1 = 1

( ) 1x y

C

F dx F dy

W3 = 2

( ) 13

x yF dx F dy

Selisih W3 – W1 = 1 13

2 =

3

2, atau W1 - W3 = -

3

2

Integral luas W untuk luasan yang dibatasi oleh C1 dari C3,

y x

A

F FW dxdy

x y

=

Adxdyx0 x dari 0 ke 2y

y dari 0 ke 1

ANALISA VEKTOR

42

W = - 1

0

2

0

y

xdxdy = -3

2

Hasilnya diperoleh sama dengan bagian ruas kiri teorema stokes. Bentuk tersebut

diartikan sebagai usaha yang dilakukan oleh gaya F memindahkan partikel dalam

lintasan tertutup kurva C yang dibatasi oleh dalam bidang xy, dapat dinyatakan

oleh teorema stokes.

Untuk vektor tiga dimensi memiliki komponen arah x, y, dan z, maka

persamaan integral vektor dalam lintasan tertutup dinyatakan sebagai:

C A

F dr xF dA (3-22)

Persamaan (3-26) dinamakan Teorema Skotes yang berlaku untuk sembarang

medan vector dalam ruang. Dalam hal ini Fx

adalah sebuah vektor yang tegak

lurus F

dan menembus permukaan dA . Untuk medan konservatif, hasil integral

lintasan medan vektor tak bergantung pada lintasan yang dipilih, tetapi hanya

bergantung pada posisi awal dan posisi akhir saja. Sehingga pada integral lintasan

tertutup maka posisi awal sama dengan posisi akhir benda, dengan demikian untuk

medan konservatif akan terpenuhi F 0x

(artinya tidak ada vektor yang

menembus permukaan yang dibatasi oleh lintasan terutup). Contoh medan

konservatif yaitu : gaya listrik, gaya gravitasi, dan gaya pegas.

Contoh 6:

3 2 22 i j 3 1 kF xy z x xz

Buktikan bahwa gaya tersebut adalah gaya konservatif

Bila dituliskan dalam komponennya : i jx y zF F F F k ,

i j ky yx xz z

F FF FF FxF

y z z x x y

ANALISA VEKTOR

43

2 2 3 2 2 3i 3 1 j 2 3 1 k 2xF xz x xy z xz x xy z

y z z x x y

2 2i 0 0 j 3 3 k 2 2 0xF z z x x

Jadi sifat gaya 3 2 22 i j 3 1 kF xy z x xz tersebut adalah lurus satu

arah, dalam fisika gaya ini disebut sebagai gaya konservatif.

Penggunaan Teorema Stokes dalam bidang lain misalnya pada teori

elektromagnetik, yaitu berkaitan dengan medan magnet B disekitar kawat berarus

i, sebagaimana diperlihatkan pada gambar berikut.

Gambar tersebut memperlihatkan arah medan magnet 0B H

o oC A A

B dr xB dA j dA I (2-23)

Dalam hal ini :

oxB j (3-24)

Persamaan ini dikenal dengan Hukum Ampere.

ANALISA VEKTOR

44

3.2.5 Integral Permukaan Dan Integral Volume;

Teorema Divergensi:

Pandang sebuah vektor E menembus permukaan A sedemikian rupa,

sebagaimana diperlihatkan pada gambar berikut ini. Vektor sering dipandang sebagai

garis-garis medan vektor. Jumlah garis-garis medan vektor yang menembus permukaan

A disebut fluks atau rapat fluks ( ), didefinisikan oleh:

cosE A EA (3-25)

Pada gambar di atas menjelaskan bahwa adalah sudut antara arah medan E

dan arah permukaan A. Apabila medan menyebar secara seragam, maka semakin besar

luas A maka semakin banyak pula, artinya semakin besar fluks medan vektor yang

menembus permukaan tersebut.

Tinjau medan E yang menembus elemen luas permukaan dA , sehingga fluks

total yang menembus permukaan dinyatakan dalam integral luas permukaan, yaitu:

A

Fluks E dA (3-26)

Jika medan vektor menembus (keluar atau masuk) suatu permukaan tertutup, maka

fluks medan total dapat dihitung menggunakan integral permukaan tertutup, yaitu:

AE dA (3-27)

Integral vektor pada permukaan tertutup dapat ditransformasikan menjadi integral

volume menurut teorema divergensi atau teorema Gauss. Dalam hal ini, divergensi

sebuah medan vektor yaitu:

Sudah dipelajari pada bagian sebelumnya dalam bab ini bahwa jika sebuah

medan vektor dikenai oleh operator del (operator nabla) maka disebut divergensi.

Berkaitan dengan hal tersebut, divergensi sebuah medan vektor oleh operator del

ditulis sebagai:

ANALISA VEKTOR

45

1 1 1E E EdivE E

x y z

Berdasarkan teorema Gauss,

0

1limV

E E dAV

Atau

.A V

E dA divE dV (3-28)

Bentuk persamaan (3-28) disebut torema divergensi atau Teorema Gauss. Teorema

divergensi dgunakan untuk menganalisis persoalan medan vektor atau flux vektor

yang menembus permukaan tertutup, yang dalam hal ini sering dengan menerapkan

integral luasan tertutup atau dengan integral volume yang dibatasi permukaan

tertutup tersebut, melalui transformasi menggunakan divergensi Gauss.

Salah satu aplikasi teorema divergensi, kita tinjau medan listrik yang

menembus permukaan elemen luas dA,

Jumlah garis medan E yang keluar

melewati elemen luas dA sebanding

dengan besar muatan sumber yang

dilingkupi oleh luasan :

o

dqE dA

Jumlah total muatan Q dapat dihitung dari integral permukaan tertutup yaitu:

o o

dq QE dA

(3-29)

Jika A adalah permukaan bola berjari-jari r melingkupi muatan Q , maka kuat

medan yang menembus permukaan pada jaak r adalah:

ANALISA VEKTOR

46

24

S

QE dA E dA E r

Atau

2

1ˆ

4 o

QE r

r

Sedangkan untuk muatan listrik yang tersebar merata dalam volume bola, maka

Q = dv

Dari teorema Gauss, suku sebelah kiri persamaan (3-38) dapat ditulis :

S V

E dA E dV dV

(3-30)

maka :

E

(3-31)

Bentuk persamaan (8-30) disebut persamaan Marxwell

==========================================================

SOAL LATIHAN 3.2:

Selesaiakan saol integral garis dari nomor 1 sampai nomor 9 berikut:

1. 2i 3jF ; C: lintasan sepanjang sumbu x dari x = 1 ke x = 4.

2. 3i jE ; C: garis lurus dari titik (0,0) ke (2,1).

3. 3i j 3kD ; C: sepanjang garis lurus dari (0,0,0) ke (2,1,1).

Hitunglah C

F dr dari fungsi vektor berikut ini:

4. 3 i jF y x ; dengan C: segmen garis lurus dari (0,0) ke (2, ½ )

5. 2 2i jF x y ; dengan C: y =1- x

2 dari x = -1 ke x =1

ANALISA VEKTOR

47

6. 3 2 22 i 3 jF xy x y , C: lintasan keliling segi tiga yang dibatasi oleh titik-titk

(1,1), (3,1), dan (3,3).

Hitunglah kerja yang dilakukan oleh gaya i j 2 kF x z y dalam memindahkan

benda sepanjang lintasan yang diberikan pada soal 7 sampai dengan 8:

7. Lintasan sepanjang sumbu x dari 0 sampai 4.

8. Lintasan sepanjang parabola y=2x2, z = 2 dari (0,0,2) ke (2,2,2).

9. Lintasan sepanjang kurva z= y4, x = 1 dari (1,1,0) ke (1,1,1).

Hitung luas permukaan yang dibentuk oleh persamaan bidang dari nomor 10

sampai nomor 13:

10. Hitung luas bidang x-2y+5z = 13 yang dipotong bagian luarnya oleh silinder

x2 + y

2 =9.

11. Hitung luas perpotongan dari konik : 2x2 +2y

2 = 5z

2, z>0, oleh silinder x

2

+ y2 =2y

12. Hitung luas daerah yang dibentuk oleh paraboloid : x2 + y

2 =z, di dalam

silinder x2 + y

2 =9.

13. Bagian bidang: x + y + z = 1 pada oktan pertama merupakan bentuk luasan

segi tiga (gambarkan bagaimana bentuknya?). Tentukan luas permukaan

tersebut.

Hitung Inategral lintasan medan vektor pada lintasan tertutup pada soal nomor 14

sanpai dengan 17

14. Hitunglah

ˆ( )A

Curl V ndA

Dengan A adalah luas bagian permukaan z = 9 – 3(x – y), diatas bidang

(x,y), jika

2 2 ˆˆ ˆ2 ( 2 )V xy i x x j x z k

15. Hitung integral lintasan tertutup dari vektor berikut:

CV dr ; C adalah keliling lingkaran 2 2 9x y ,z=0 dengan

2 2 3ˆ ˆ(2 )V x yz i x y j

ANALISA VEKTOR

48

Hitung integral permukaan tertutup dari medan vektor yang diberikan soal 18

sampai 22:

16. Hitung, A

F dA dengan A adalah seluruh permukaan silinder yang dibatasi

oleh: x

2 + y

2 = 1, sedangkan sumbu z dari z=0 sampai z = 3 ;

F i j kx y z

17. Hitung Fdv , dari medan vektor F yang keluar permukaan bola :

x2 + y

2 + z

2 ≤ 25, dan diketahui : F = (x

2 + y

2 + z

2) (x )

^^^

kji zy

18. Evaluasi integral ˆS

F ndA menggunakan teorema divergensi, dari sebuah

medan vektor: ˆˆ ˆF xi yj zk ; dan S adalah permukaan kubus

0 3x ; 0 3y ; dan 0 3z

19. Hitung : ˆˆ ˆ

A

xi yj zk dA ; A adalah seluruh permukaan silinder yang

dibatasi oleh x2 + y

2 = 1, dari z = 0 dan z = 3

20. Hitung : V

EdV ; V adalah volume yang dibatasi oleh permukaan bola

tertutup : x2 + y

2 + z

2 ≤ 25, sedangkan medan yang yang menembus

permukaan bola diberikan oleh: 2 2 2 ˆˆ Ê x y z xi yj zk

==========================================================

ANALISA VEKTOR

49

3.3 Operator Nabla Dalam Koordinat Umum

Untuk ruang tiga dimensi, masing-masing komponen variabelnya dapat

dinyatakan dalam koordinat umum sebagai q1, q2, q3.Hubungan antara variabel

posisi dalam koordinat kartensian dan kordinat umum dinyatakan sebagai

x = x (q1, q2, q3); y = y(q1, q2, q3); z = z (q1, q2, q3)

Transformasi kebalikannya ditulis dalam bentuk ;

q1 = q1 (x,y,z); q2 = q2 (x,y,z); q3 = q3 (x,y,z) (3-32)

Sebagaimana diketahui, elemen panjang dalam koordinat kartesian :

ds2 = dx

2 + dy

2 + dz

2

Maka bila dinyatakan dalam koordinat umum, elemen panjang tersebut menjadi :

3,32 2

1, 1

ij i j

i j

dS h dq dq

(3-33)

Karena untuk ij, komponen vektor-vektor qi dan qj saling tergak lurus, dan nilai

hij akan bernilai nol bila ij. Sehingga elemen panjang kurva persmaan (3-33) di

atas dapat ditulis dalam bentuk:

2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 3 3dS h dq h dq h dq (3-34)

Dalam hal ini, h1, h2 dan h3 disebut faktor skalar yang masing-masing sumbu

koordinat akan mempunyai harga sendiri-sendiri.

Operator Difrensial Vektor:

Penulisan operator diferensial vektor pada beberapa sistem koordinat yang

sudah familiar digunakan, yaitu

ˆ ˆ ˆx y zx y z

; Koordinat kartesius

ˆˆ ˆr zr r z

; Koordinat Silinder

1ˆ ˆˆsin

rr r r

; Koordinat bola (speric)

ANALISA VEKTOR

50

Tinjau sistem koordinat kurvilinier tiga dimensi yang lebih umum dengan

sumbu koordinat masing-masing q1, q2, dan q3. Anggap vektor satuan arah pada

setiap sumbu koordinat tersebut dinyatakan oleh 1e , 2e dan 3e , maka elemen

panjang vektor dS dinyatakan oleh:

1 1 2 2 3 3ˆ ˆ ˆdS e dS e dS e dS

(3-35)

Dengan menyatakan

1 1 1;dS h dq 2 2 2 ;dS h dq dan 3 3 3dS h dq ,

dalam hal ini h1, h2 dan h3 masing-masing disebut faktor skalar, elemen panjang dS

tersebut dapat juga ditulis sebagai

1 1 1 2 2 2 3 3 3ˆ ˆ ˆdS e h dq e h dq e h dq (3-36)

Operator diferensial vektor (operator nabla) dalam sistem koordinat

umum ditulis dalam bentuk:

1 2 3

1 2 3

ˆ ˆ ê e eS S S

Atau

1 2 3

1 1 2 2 3 3

ˆ ˆ ê e eh q h q h q

(3-37)

Gradien (grad f):

Jika sebuah fungsi skalar f dikenai Operator del atau operator nabla

(lambang ) ditulis dengan f (dibaca gradf).

1 2 3

1 2 3

ˆ ˆ ˆf f f

grad f f e e eS S S

Berdasarkan hubungan komponen arah kurvilier tersebut, dan menggunakan aturan

rantai, yaitu:

ANALISA VEKTOR

51

1i

i i i i i

qf f f

s q s q h

;

Maka gradien ( f ) dalam koordinat umum dinyatakan oleh:

3

1 2 3

11 1 2 2 3 3

ˆ ˆ î

i i i

grad f f

f f f ff e e e e

h q h q h q h q

(3-38)

Divergensi ( ):

Untuk menurunkan operasi divergensi dalam koordinat yang lebih umum,

terlebih dahulu kita tinjau sebuah medan vektor E dengan komponen vektor yang

saling tegak lurus masing-masing E1, E2, dan E3 berada dalam sistem koordinat

umum, dinyatakan sebagai:

1 1 2 2 3 3ˆ ˆ Ê E e E e E e (3-39)

Sekarang kita tulis kembali persamaan (3-38) dalam bentuk:

31 22 3 1 1 3 2 1 2 3

2 3 1 3 1 2

ˆˆ ˆ ee eE h h E h h E h h E

h h h h h h (3-40)

Menggunakan sifat operator del persamaan (3-36) bahwa:

1

2 3

ˆ0

e

h h

; 2

1 3

ˆ0

e

h h

; 3

2 2

ˆ0

e

h h

Selanjutnya divergensi dari medan E berdasarkan (3-36) dan (3-39) dinyatakan

oleh:

2 3 1 1 3 2 1 2 3

1 2 3 1 2 3

1( ) ( ) ( )E h h E h h E h h E

h h h q q q

(3-41)

Bentuk Laplacian: 2 f dapat diperoleh dari :

2

2 2 3 1 3 1 2

1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3

1

f f

h h h h h hf f ff

h h h q h q q h q q h q

(3-42)

ANALISA VEKTOR

52

Curl ( ):

Berdasarkan teorema stokes rotasional vektor U untuk semua arah diperoleh :

1 1 2 2 3 3

1 2 3 1 2 3

1 1 2 2 3 3

ˆ ˆ ˆ

1

h e h e h e

xUh h h q q q

hU h U h U

(2-43)

Sistem Koordinat Silinder:

Hubungan antara koordinat kartesian dengan koordinat silinder, yaitu:

sin

cos

x r

y r

z z

Dalam hal ini berdasarkan transformasi dari koordinat kartesian kekoordinat yang

baru, maka.

1q r ; 2q ; 3q z

1

2

1

1r

z

h h

h h r

h h z

Gradien ( f ) dalam koordinat silinder:

Dengan vektor satuan arah : ˆˆ ˆ,r dan z serta mensubtitusikan harga masing-masing

h1, h2, dan h3 pada operator vektor difrensial, maka diperoleh :

ˆˆ ˆf f f

f r zr r z

; (3-44)

Divergensi (( ) Pada Sistem Koordinat Slinder

321 2

1 1 UUU rU

r r r z

(3-45)

2 22

2 2 2

1 1f f ff r

r r r r z

(3-46)

ANALISA VEKTOR

53

Curl ( x ) dalam Sistem Koordinat Silinder :

^

ˆ

1

r z

r k

xUr r z

U U U

(3-47)

Sistim Koordinat Bola:

Hubungan koordinat kartesian dengan koordinat bola dinyatakan sebagai:

x = r sin cos

y = r sin sin

z = r cos

Jika x,y,z diturunkan terhadap r,, kemudian disubsitusi kedalam elemen panjang

kurva dS maka diperoleh:

dS2 = dx

2 + dy

2 + dz

2 =

222222 dhdhdrhr (3-48)

Diperoleh faktor skalar, masing-masing komponen:

1

2

3

1

sin

rh h

h h r

h h r

Gradien ( f ) dalam koordinat bola :

1 1ˆ ˆˆsin

f f ff r

r r r

(3-49)

Divergen ( ) dalam Koordinat bola:

2

2

1 1sin ( ) (sin )

sin sin

UU r Ur r U

r r

(3-50)

22 2

2 2

1 1sin ( ) sin )

sin sinr r

r r r

(3-51)

ANALISA VEKTOR

54

Curl ( x ) dalam koordinat bola:

2

ˆsin

1

sin

r

r r r

xUr r

U U U

(3-52)

==========================================================

SOAL LATIHAN 3.3 :

1. Tunjukkan bahwa vektor-vektor satuan arah dalam koordinat bola dikaitkan

dengan rektangular koordinat diberikan oleh:

ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos

ˆ ˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin

ˆ ˆ ˆsin cos

r x y z

x y z

x y

2. Turunkan harga faktor skalar h1,h2,h3 pada sistem koordinat bola

3. Dari persamaan laplace:

a. turunkan persamaan difrensial tersebut dalam koordinat silinder, bila :

)()()()( zZrRr

b. Dalam Koordinat bola dengan : )()()()( rRr

4. Hitung F.dr pada keliling lingkaran x2

+y-2 – 2x = 0, dimana F = yi - xj

5. Hitung V.dr sepanjang keliling segi empat yang dibentuk oleh garis

melalui titik-titik (1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1), jika V = x2i + 5xj

5. (x2 - y) dx + (x + y

3) dy, dimana C adalah paralelogram dengan pusat di

(0,0),(2,0),(1,1),(3,1)

6. F dV dimana F = (x2 + y

2 + z

2) (xi + yj + zk) dan V volume yang

dibatasi oleh permukaan x2 + y

2 + z

2 25, tunjukkan bahwa teorema

divergensi Gauss belaku.

================================================================

INTEGRAL FUNGSI KHUSUS

55

Bab 4.


Pada bab ini akan dibahas beberapa bentuk integral fungsi khusus yang

sering digunakan secara praktis dalam persoalan fisika. Bentuk fungsi tersebut

diantaranya fungsi faktorial, fungsi gamma, fungsi beta, dan lain-lain. Berbagai

penerapan praktis dari integral fungsi khusus tersebut diantaranya adalah dalam

memecahkan persamaan keadaan gas termodinamika, teori kinetik gas maupun

dalam fisika statistik.

Tujuan Khusus yang diharapkan setelah mempelajari materi ini adalah:

- Dapat menganalisis permasalahan integral fungsi khusus.

- Dapat menerapkan integral fungsi khusus dalam menyelesaikan

permasalahan fisika terkait


56

4.1 Fungsi Faktorial

Pertama sekali mari kita evaluasi hasil integral dari beberapa fungsi

berikut dengan batas integral dari x=0 sampai x=, yaitu :

i) 0

1 1

0

x xe dx e

ii) 2

0 0

1 1 1

0

x x xxe dx xe e dx

iii) 2

3

0

2xx e dx

iv) 3

4 4

0

3.2.1 3!xx e dx

Sehingga secara umum didapatkan bentuk integral fungsi eksponensial, khusus

pada batas integral dari dari nol sampai takhingga adalah:

Fungsi Faktorial:

1

0

!n x

n

nx e dx

; n = 0, 1, 2, 3 ................. (4-1)

Untuk =1:

0

!n xx e dx n

(dibaca n faktorial) (4-2)

Persamaan (4-1) dan (2-2) didefinisikan sebagai integral fungsi faktorial.

Berdasarkan bentuk persaman (4-2) maka dapat digunakan untuk memberi makna

0!, yaitu berkaitan bentuk integral khusus berikut:

0

0

0! 1x xe dx e

(4-3)

Kita perhatikan n adalah bilangan berkaitan dengan integral fungsi eksponen yang

dibatasi secara khusus dari x= 0 sampai x= .

n! = 1.2.3.4.....(n-3)(n-2)(n-1)n (4-4)


57

4.2 Fungsi Gamma

Bilangan faktorial yang telah didefiniskan di atas terkait dengan integral

fungsi eksponensial, dan n merupakan bilangan bulat non negatif. Namun

bagaimana jika terkait bukan bilangan bulat? Untuk itu diperlukan pengganti dari

bilangan n dengan bilangan p > 0 yang dalam hal ini p tidak harus bilangan bulat

positif tetapi juga berlaku untuk bilangan pecahan (tidak bulat), yang didefinisikan

dalam fungsi gamma ( ). Fungsi gamma didefinisikan sebagai:

1

0

( ) p xp x e dx

; Untuk p>0 (4-5)

Jika persamaan (4-5) dikaitkan dengan persmaan (4-2) maka dapat ditulis bentuk

1

0

0

( ) ( 1)!

( 1) !

n x

n x

n x e dx n

n x e dx n

(4-6)

Sehingga: (1) 0! 1 ; (2) 1! 1 ; (4) 3! 3.2.1 6 .

Contoh 1:

Nyatakan integral berikut dalam bentuyk fungsi gamma kemudian selesaikan :

6

0

xx e dx

Penyelesaian:

Ingat bentuk integral fungsi gamma:

( ) ∫

berarti : p-1 = 6, atau p =7, sehingga dengan integral fungsi gamma

diperoleh:

6

0

(7) 6! 6.5.4.3.2.1 720xx e dx


58

Hubungan Rekursif Fungsi Gamma

Dari persamaan (9-5), jika p digantikan dengan (p+1), maka diperoleh:

0

( 1) p xp x e dx

; Untuk p> -1 (4-7)

Sekarang kita coba integrasikan persamaan (9-7), dengan memisalkan:

pu x ; 1pdu px dx

xdv e dx xv e

Dengan menggunakan integral berantai

udv uv vdu

Maka kita peroleh:

1 1

0 0 00

p x p x p x p xx e dx x e p x e dx p x e dx

Atau

1

0 0

( 1) ( )p x p xp x e dx p x e dx p p

Jadi diperoleh bentuk yang disebut sebagai hubungan Rekursi dari fungsi gamma,

sebagai berikut:

Hubungan Rekursif Fungsi Gamma :

( 1) ( )p p p p>0 (4-8)

Biasanya nilai fungsi gamma (p) untuk p antara 1 sampai 2 sudah disediakan

pada tabel. Namun demikian kita dapat memperoleh nilai fungsi gamma untuk p>2

menggunakan hubungan rekursi pada persamaan (9-8) tersebut. Sebaliknya untuk

p negatif (p<0), dan p <1, maka dengan menggunakan hubungan rekursif dapat

diperoleh nilai fungsi gamma (p), yaitu:

1

( ) ( 1)p pp

p<0 (4-9)


59

Berikut ini adalah tabel untuk beberapa bilangan n faktorial , dan tabel nilai fungsi

gamma dengan interval p antara 1≤p≤ 2.

Taabel. Fungsi Faktorial, Fungsi Gamma

Contoh 2:

Menggunakan hubungan rekursif hitunglah (2,8)

Penyelesian:

Berdasarkan rumus rekursif persamaan (4-8) maka :

(2,8) (1,8) (1,8)

Dengan bantuan tabel fungsi gamma diperoleh: (1,8) 0,931 , maka:

(2,8) (1,8)(0,931) 1,6758

Contoh 3: Hitunglah (0,5)

Pada tabel tidak disediakan nilai fungsi gamma untuk p =0,5. Tetapi dengan

menggunakan hubungan rekursi persamaan (9-9), dapat diperoleh:

1 0,886(0,5) (1,5) 1,772

0,5 0,5

Contoh 4:

Fungsi Faktorial dari N Fungsi Gamma dari p

N N! Log (N!) p ( )P

1 1 0,000 1,0 1,000

2 2 0,301 1,1 0,951

3 6 0,778 1,2 0,918

4 24 1,380 1,3 0,897

5 120 2,079 1,4 0,887

6 720 2,857 1,5 0,886

7 5040 3,702 1,6 0,894

8 40322 4,606 1,7 0,909

9 362880 5,560 1,8 0,931

10 3628800 6,560 1,9 0,962

2,0 1,000


60

Buktikan bahwa: 12

( )

Penyelesaian:

Untuk membuktikan kita tulis bentuk integral dari 12

( ) dalam dua variabel yaitu

x dan y, maka diperoleh:

(1) 121

2

0

( ) xx e dx

(2) 121

2

0

( ) yy e dy

Kemudian memisalkan x = u2, dan y = v

2, maka dx = 2udu dan dy = 2vdv,

sehingga persamaan (1) dan (2) masing-masing menjadi:

(3) 1 221

2

0 0

( ) 2x ux e dx e du

(4) 1 221

2

0 0

( ) 2y vy e dy e dv

Berikutnya kalikan persamaan (3) dan (4) maka diperoleh:

(5) 2 22 ( )1 1

2 2

,

( ) ( ) 4 u v

u v

e dudv

Lakukan transformasi dari koordinat kartesian (u,v) ke koordinat polar (r,) maka

diperoleh:

u = r cos

v = r sin

r2 = u

2 + v

2

Dengan demikian batas integral x dan y masing-masing dari nol ke takhingga

yang tidak lain adalah luas daerah kuadran 1, berubah menjadi r dari 0 ke tak

hingga, sedangkan dari 0 ke 2. Integral persamaan (5) menjadi :

(6) 22

12

,

( ) 4 r

r

e rdrd


61

2

22

12

0 0

( ) 4 r

r

e rdr d

Jadi terbukti :

12

( ) , (4-9)

Persmaan (9-9) merupakan nilai istimewa dari fungsi gamma ().

===========================================================

Soal Latihan 4.2:

1. Hitunglah integral berikut

a). 5

0

xx e dx

b). 7

0

xx e dx

d). 8 2

0

xx e dx

4. Gunakan rumus rekursif fungsi gamma untuk menghitung integral berikut

a) 5/2

0

xx e dx

b) 3

0

xxe dx

3. Evaluasi fungsi gamma berikut dengan rumus rekursi

a) ( 2,6) b) ( , 4) c) ( 2,3)

==========================================================


62

4.3 Fungsi Beta

Penamaan fungsi beta diberikan oleh orang yang pertama mempelajarinya

yaitu Legendre, Whittaker dan Watson (1990) untuk integral beta atau disebut juga

Eulerian integral bentuk pertama. Fungsi gamma dideskripsikan dari fungsi

faktorial bilangan bulat, sedangkan fungsi beta dideskripsikan dari koefisien

binomial. Fungsi beta pertama kali diketahui ketika mempelajari terjadinya

peristiwa amplitudo hamburan pada teori getaran. Fungsi beta dalam bentuk

integral didefinisikan sebagai:

1

1 1

0

( , ) (1 )p qB p q x x dx p>0, q>0 (4-10)

B(p,q) = B(q,p) buktikan sendiri.

Contoh 5:

Nyatakan inegral berikut dalam fungsi beta, kemudian selesaikan:

∫ ( )

Penyelesaian:

Dari persamaan (9-10), berart::

Pernyataan integral dalam fungsi beta adalah:

( ) ∫ ( )

Diperoleh hasil integral:

( ) ∫ ( )

∫ ( )

( ) ∫ ( )


63

Batas integral fungsi beta dapat berubah dengan berubahnya variabel integral.

Jika pada persamaan (9-10) kita nyatakan: x=y/a, maka batas integralnya

berubah dari sebelumnya x=0 ke x =1 menjadi y=0 ke y =a, dan bentuk fungsi beta

di atas menjadi:

1 1

1 1

1

0 0

1( , ) 1 ( )

p qa a

p q

p q

y y dyB p q y a y dy

a a a a

(4-11)

Apabila dari persamaan (9-10) diubah variabelnya menjadi x=1/(1+y), maka batas

integral juga berubah yaitu: pada x=0, diperoleh y= . Sedangkan pada x=1,

diperoleh y=0, maka integral fungsi beta B(p,q) menjadi:

1

0

( , )(1 )

q

p q

y dyB p q

y

(4-12)

Dalam bentuk geometri, jika pada (9-10) dilakukan perubahan variabel

2sinx , sin cosdx d

2 21 1 sin cosx

Maka batas integral berubah menjadi:

Pada x=0, diperoleh =0, sedangkan pada x=1, diperoleh =/2, dengan

demikian bentuk integral fungsi beta dari definisi yang diberikan oleh (4-10)

berubah menjadi:

/2

1 1

0

( , ) sin cos 2sin cosp q

B p q d

Atau:

/2

2 1 2 1

0

( , ) 2 sin cosp q

B p q d

(4-13)

Tidak seperti Fungsi gamma yang sudah tersedia tabel bantuan menghitung nilai

integral terutama untuk p dan q tidak bilangan bulat, untuk fungsi beta tidak

tersedia nilai integral fungsi beta.


64

Hubungan Fungsi Beta dan Gamma :

Hubungan fungsi beta dan fungsi gamma dapat diturunkan dari persaman (4-5).

Berdasarkan definisi integral fungsi gamma persamaan (4-5) dapat ditulis dua

bentuk integral:

1

0

( ) p up u e du

dan 1

0

( ) p vq v e dv

Dengan u =x2 dan v=y

2 , maka diperoleh dua bentuk :

22 1

0

( ) 2 p xp x e dx

(4-14)

22 1

0

( ) p yq y e dy

(4-15)

Hasil perkalian antara (9-14) dan (9-15) diperoleh:

2 22 1 2 1 ( )

0 0

( ) ( ) 4 p p x yp q x y e dxdy

Bentuk integral luas tersebut dapat ditransformasi kedalam koordinat polar yaitu:

cos

sin

x r

y r

dxdy rdrd

Maka diperoleh:

2

22 1 2 1

0 0

( ) ( ) 4 cos sinp q r

r

p q r r e rdrd

Atau:

2

/22 1 2 1(2 2 1)

0 0

( ) ( ) 4 cos sinp qp q rp q r e rdr d

1 12 2

( ) ( ) 4 ( ) ( , )p q p q B p q

Sehingga hubungan fungsi beta dan fungsi gamma dinyatakan dalam bentuk:


65

( ) ( )

( , )( )

p qB p q

p q

(4-16)

Contoh 6:

Hitung integral berikut:

∫ ( )

( )

Penyelesaian:

Menggunakan persamaan (9-13), maka:

Maka dari bentuk persamaan (9-13) diperoleh:

∫ ( )

( ) = B(2,5/2)

Berdasarkan hubungan fungsi gamma dan beta (4-16) maka:

( ) ( )( )

( )

( )( )

( )

Sedangkan berdasarkan rumus rekursif persamaan (4-8) diperoleh:

( ) ( )( )( )

Jadi :

(

)

( )( )

( )

( )

( )( )( )

Maka diperoleh hasil integral pada soal adalah:

∫ ( )

( )

.

/


66

==========================================================

Soal latihan 4.3:

1. Hitung integral berikut, periksa kembali hasilnya menggunakan hubungan

fungsi beta dan gamma:

a) /2

2

0

sin d

b) /2

2 3

0

sin cos d

c) /2

0 sin

d

2. Nyatakan integral berikut dalam fungsi beta, kemudian nyatakan dalam

fungsi gammma dan evaluasi menggunakan tabel fungsi gamma

a)

1 4

20 1

x dx

x b)

4

6

0(1 )

x dx

x

c) 3 2

0 (1 )

xdx

x

===========================================================

DERET FOURIER

67

Bab 5.

DERET FOURIER

Deret Fourier merupakan bentuk deret sinus dan cosinus yang secara umum

dibentuk oleh fungsi periodik. Fungsi periodik dalam fisika merupakan model

peristiwa yang terjadi secara berulang dalam setiap periode tertentu. Biasanya

peristiwa yang dijumpai muncul dalam bentuk fungsi yang sangat rumit dan untuk

mendeskripsikan diperlukan penyederhanaan diantaranya dalam model fungsi

periodik.

Deret Fourier sangat berguna dan banyak diterapkan dalam menyelesaikan

permasalahan yang melibatkan persamaan diferensial ber-orde dan persamaan

diferensial parsial.

Tujuan khusus yang diharapkan setelah mempelajari deret Fourier adalah agar

pembaca:

- Memahami sifat fungsi ganjil dan fungsi genap.

- Menentukan nilai koefisien deret fourier dan menguaraikan deret

fourier berdasarkan bentuk fungsi periodiknya.

- Menganalisis deret fourier dan menerapkannya dalam menyelesaikan

permasalahan fisika sehari-hari.

DERET FOURIER

68

5.1 Fungsi Periodik

Fungsi periodik merupakan model matematika dari suatu peristiwa yang

terjadi secara berulang dalam setiap periode tertentu. Banyak kejadian dalam

kehidupan sehari-hari yang tanpa disadari sebenarnya termasuk dalam fungsi

periodik misalnya terjadinya siang dan malam, musim dalam setahun dan lain

sebagainya. Pada kasus fisika yang termasuk dalam bentuk fungsi periodik

diantaranya gelombang, sinyal, denyut nadi, getaran dan banyak kejadian lainnya.

Secara matematis, sebuah fungsi f(x) dikatakan fungsi periodik apabila untuk

semua nilai x pada setiap periode p memenuhi:

( ) ( ); pada semua x, (5-1)

berarti bahwa:

( ) *( ) + ( ) ( )

Tinjau fungsi sinus berikut 2( ) sinL

f x x , dan 2L( ) sin

Lf x L x , maka

periode fungsi tersebut adalah L apabila terpenuhi: 2 2Lsin sin

L Lx x . Artinya

fungsi tersebut memiliki keadaan yang sama setiap selang L. Secara umum dalam

fisika dijumpai periode dari suatu getaran yang diberikan oleh fungsi

2( ) sinT

f t t adalah T.

Kasus lain yang sering dijumpai dalam fisika juga termasuk fungsi periodik, yaitu sebuah

gelombang yang merambat dalam sumbu x seperti pada gambar. Simpangan y pada

waktu t=o sama dengan

simpanyan y setelah waktu t

kemudian.

DERET FOURIER

69

Apabila kecepatan gelombang adalah v, berarti simpangan y pada titik x saat t sama

dengan simpangan y pada titik (x-vt) pada waktu t =0, dalam hal ini vt jarak yang

ditempuh gelombang seletal waktu t. Persaman yang meenyataka keadaan simpangan

gelombang tersebut dinyatakan sebagaai:

2siny A x vt

========================================================

Soal Latihan 5.1:

1. Tentukan periode, amplitudo, frekuensi, dan kecepatan dari gerak sebuah

partikel yang posisinya terhadap titik asal dinyatakan oleh:

a. 4sin 2 4 1S t

b. 5sinS t

2. Carilah frekuensi, periode, panjang gelombang, cepat rambat gelombang,

serta simpangan gelombang pada waktu t dan posisi x yang diberikan oleh:

a. 2( , )

3sin 3 ,x ty x t pada t=0; t= ½ ; x = 0; x = 1.

b. 1( , )

44sin 2 ,x ty x t pada t=0, 1, 2; x= ½ , 1.

==========================================================

DERET FOURIER

70

5.2 Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

Fungsi Genap:

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi genap apabila memiliki sifat:

( ) ( ) (5-2)

Gambar berikut ini merupakan grafik fungsi genap, yang menunjukkan y bersifat

simetris pada setiap nilai x dengan tanda yang berlawanan. Perhatikan grafik fungsi

genap berikut:

y= f(x) = x2 : adalah fungsi

genap karena

f(-1) = 1 = f(1)

f(-2) = 4 = f(2)

y =cos x : adalah fungsi genap

karena

f(-/2) = f(/2) =0

f(-) = f() =-1 Gambar: Grafik fungsi genap

Fungsi ganjil:

Sebuah g(x) disebut fungsi ganjil jika memiliki sifat:

g(-x) = - g(x) (5-3)

Adalah suatu fungsi untuk harga x negatif secara numerik sama dengan harga x

positif tetapi berlawanan tanda. Grafik dari fungsi negatif adalah grafik yang

simetris terhadap titik asal.

DERET FOURIER

71

Funsgi y =g(x)= x3: adalah fungsi

ganjil karena:

g(-1) = -1 = -g(1)

g(-2) = - 8 = -g(2)

Fungsi y(x) = sin x: adalah fungsi

ganjil karena:

y(/2) = sin(/2)= 1

y(-/2) = sin(-/2)= -1 = - y(/2)

Gambar. Grafik fungsi ganjil

Sifat Perkalian fungsi genap dan fungsi ganjil:

(1) Apabila f(x) dan g(x) keduanya adalah fungsi genap, maka:

f(x).g(x) = F(x) : adalah fungsi genap , karena

F(-x)= f(-x)g(-x) = f(x)g(x) = F(x)

(2) Apabila f(x) fungsi genap dan g(x) fungsi ganjil maka:

f(x)g(x) = F(x): adalah fungsi ganjil, karena

f(-x)g(-x) = f(x){-g(x)} = - f(x)g(x) = -F(x)

Sifat integral fungsi genap dan fungsi ganjil:

Untuk f(x) fungsi genap, berlaku:

DERET FOURIER

72

0

( ) 2 ( )

L L

L

f x dx f x dx

; f(x): fungsi gepap (5-4)

Untuk g(x) fungsi ganjil, berlaku:

( ) 0

L

L

g x dx

; g(x): fungsi ganjil (5-5)

Contoh 1:

Hitunglah hasil integral dari fungsi f(x) =x2, yang dibatasi dari x=-1 sampai x=1.

Jawab:

1 0 1

2 2

1 1 0

1 1 2( )

3 3 3f x dx x dx x dx

Dalam hal ini karena f(x) =x2 adalah fungsi genap, maka berlaku:

1 0 1

2 2

1 1 0

2( ) 2 2

3f x dx x dx x dx

Contoh 2:

Hitunglah integral dari fungsi f(x)= x, yang dibatasi dari x=-1 sampai x=1

Jawab:

1 1

2 2 2

1 1

11 11 1 0

12 2xdx xdx x

Jadi terbukti untuk f(x)=x adalah fungsi ganjil, sehingga hasil inetgral dari -1

sampai 1 adalah nol.

===========================================================

Soal Latihan 5.2:

1. Pada fungsi f(x) berikut ini, mana yang termasuk fungsi periodik dengan

periode , fungsi genap, fungsi ganjil, atau tidak merupakan salah satu fungsi

ganjil atau fungsi genap:

DERET FOURIER

73

a) 0, 0

( )

, 0

jika xf x

x jika x

b) ( ) , (- < x < )

c) F(x) = x, (- < x < )

2. Carilah periode p posiitif terkecil dari fungsi berikut: a) ( ) sinf x x ; b) ( ) cos 2f x x ; c) ( ) sinf x x

3. Gambarkan grafik fungsi f(x) berikut, yang diasumsikan bersifat periodik

dengan periode 2 pada daerah -< x < : a) f(x) = x, b) f(x) = sin x/2

c) , 0

( )0, 0

x jika xf x

jika x

4. Hitunglah integral fungsi berikut pada selang interval yang diberikan soal.

a) /2

0

cos nx dx

c) 0

sin nx dx

e) cosx nx dx

b) /2

/2

sinx nx dx

d) /2

/2

cosx nx dx

f) 2 sinx nx dx

==========================================================

DERET FOURIER

74

5.3 Deret Fourier

Deret Fourier dibentuk dari sebuah fungsi periodik f(x) yang dinyatakan

dalam deret trigonometri. Tinjau f(x) adalah sebuah fungsi periodik dengan

periode 2 . Rumusan deret Fourier menurut formulasi Euler dinyatakan dalam

bentuk deret trigonometri adalah:

1

( ) cos sino n n

n

f x a a nx b nx

(5-6)

Dalam hal ini an dan bn adalah konstanta riel disebut koefisien deret Fourier. Nilai

koefisien deret tersebut ditentukan dengan mengintegralkan kedua ruas kiri dan

kanan persamaan (10-2) dari - sampai dengan , maka kita peroleh:

1

( ) cos sino n n

n

f x dx a a nx b nx dx

Atau jika diintegralkan masing-masing bagian maka :

1

( ) cos . sin .o n n

n

f x dx a dx a nx dx b nxdx

Hasil integral bagian kanan yaitu untuk bentuk pertama sama dengan 2 ,

sedangkan untuk bentuk kedua dan ketiga bagian kanan adalah nol. Sehingga

diperoleh hasil:

1( )

2oa f x dx

(5-7)

Kalikan persamaan (10-2) dengan cos mx (m bulat positif), kemudian diintegralkan

dari - sampai dengan , maka:

1

( ) cos . cos sin cos .o n n

n

f x mx dx a a nx b nx mx dx

Atau:

1

( )cos . cos . cos cos . sin cos .o n n

n

f x mx dx a mx dx a nx mx dx b nx mx dx

DERET FOURIER

75

Hasil integral bentuk pertama ruas kanan adalah sama dengan nol. Sedangkan

untuk suku kedua ruas kanan adalah:

1cos cos . cos( ) . cos( ) .

2nx mx dx n m x dx n m x dx

Oleh karena hasil integral bagian kanan masing-masing:

cos( ) . 0,n m x dx

untuk semua nilai m dan n

Dan

,

cos( ) .0,

untuk m nn m x dx

untuk m n

Maka diperoleh hanya untuk :

2

2

1cos . cos 2 .

2

1cos . 0 2

2

nx dx nx dx dx

nx dx

sedangkan untuk nilai integral tersebut adalah nol.

Selanjutnya untuk suku ke tiga bagian kanan untuk semua nilai n dan m diperoleh:

1sin cos . sin( ) . sin( ) .

2nx mx dx n m x dx n m x dx

= 0

Dengan demikian diperoleh nilai koefisien an adalah:

1

( )cos .na f x nx dx

, n= 1, 2, 3, 4,… (5-8)

Selanjutnya kalikan peramaan (10-2) dengan sin mx, kemudian diintegralkan dari

- sampai dengan :

1

( )sin . sin . cos sin . sin sin .o n n

n

f x mx dx a mx dx a nx mx dx b nx mx dx

DERET FOURIER

76

Hasil integral suku pertama ruas kanan adalah nol, demikian juga berdasarkan hasil

sebelumnya telah diperoleh bahwa integral suku kedua ruas kanan juga sama

dengan nol. Selanjutnya untuk suku ke tiga ruas kanan:

1

sin sin . cos( ) . cos( ) .2

nx mx dx n m x dx n m x dx

Oleh karena :

,

cos( ) .0,

untuk m nn m x dx

untuk m n

Dan

cos( ) . 0,n m x dx

untuk semua nilai m n

Maka diperoleh hanya untuk m = n:

2 1sin . 2 0

2nx dx

,

Sedangkan untuk nilai integral tersebut adalah nol. Dengan demikian

diperoleh nilai koefisien bn dinyatakan oleh:

1

( )sin .nb f x nx dx

, n= 1, 2, 3, 4,… (5-9)

Berdasarkan uraian di atas maka dapat ditulis secara ringkas bentuk:

Deret Fourier :

1

( ) cos sino n n

n

f x a a nx b nx

Dengan koefisien Fourier masing-masing:

a) 1

( )2

oa f x dx

b) 1


, n= 1, 2, 3, 4,…

c) 1

( )sin .nb f x nx dx

, n= 1, 2, 3, 4,…

DERET FOURIER

77

Contoh 3:

Dapatkan nilai koefisien Fourier dari fungsi periodik f(x) yang diberikan seperti

gambar berikut:

, 0( )

, 0

k jika xf x

k jika x

Jawab:

Dengan menggunakan persamaan di atas maka:

1( )

2oa f x dx

0

0

0

1 1 1( ). . . (0 ) ( 0) 0

2 2 2a f x dx k dx k dx k k

Untuk koefisien an:

1


,

0

0

1cos . cos .

01 sin sin0

0

n

n

a k nx dx k nx dx

k nx k nxa

n n

Untuk koefisien bn diperoleh sebagai berikut:

DERET FOURIER

78

0

0

1( )sin .

1sin . sin .

01 cos cos

0

2cos 0 cos( ) cos cos 0 1 cos

n

n

n

n

b f x nx dx

b k nx dx k nx dx

k nx k nxb

n n

k kb n n n

n n

Karena: Cos ; Cos 3 , maka:

1

4kb

; 2 0b ;

3

4

3

kb

; 4 0b ;

5

4

5

kb

dst.

Maka diperoleh deret Fourier dari f(x) adalah:

===========================================================

Soal Latihan 5.3:

1. Dapatkan deret Fourier dari fungsi f(x) yang diberikan oleh gambar a dan

gambar b berikut:

a b.

2. Dapatkan deret Fourier dari fungsi f(x) berikut:

1 13 5

4( ) sin sin3 sin5 ...

kf x x x x

DERET FOURIER

79

2 2

32 2

; :

( ); :

k jika x

f xk jika x

3. Dapatkan deret Fourier yang dberikan oleh fungsi f(x) berikut

a. ( ) , ( )f x x dengan x .

b. ( ) , (0 )f x x dengan x .

c. , 0 / 2

( )

0, / 2 2

k jika xf x

jika x

==========================================================

5.4 Fungsi Suatu Periode p = 2L

Dalam aplikasi jarang dijumpai fungsi periodik yang memiliki periode 2 ,

melainkan memiliki periode p = 2L. Jika suatu fungsi f(x) adalah fungsi periodik dengan

periode p=2L, maka uraian fungsi f(x) dalam deret Fourier dinyatakan dalam bentuk:

1

( ) cos sinn no n nL L

n

f x a a x b x

(5-10)

1( )

2

L

o

L

a f x dxL

1( )cos .

L

n

L

n xa f x dx

L L

1( )sin .

L

n

L

n xb f x dx

L L

n: bilangan bulat

Interval dqalam integrasi dapat saja berubah, misalnya perubahan panjang interval

dari p=2L, menjadi -L≤x≤L, dan lain-lain.

DERET FOURIER

80

Contoh 4:

Tentukan deret Fourier dari fungsi bentuk gelombang petak diberikan seperti

gambar:

Dengan

0 2 1

( ) 1 1

0 1 2

jika x

f x k jika x

jika x

; p=2L=4, L=2

Penyelesaian:

Berdasarkan (10-6a) dan (10-6b) maka

2 1

2 1

1 1( )

2 4 2o

ka f x dx kdx

L

2 1

2 1

1 1 2( )cos cos sin

2 2 2n

n x n x k na f x dx k dx

L L n

Maka nilai an =0 untuk n genap,

2n

ka

n ; n=1, 5, 9,.....

2n

ka

n ; n=3, 7, 11,.....

Sedangkan bn =0 untuk semua n=1,2,3,4...

Dapat juga dilakukan perubahan veriabel pada (10-6), memisalkan ,

yang berarti kemudian menuliskan , berkaitan dengan ,

maka bentuk fungsi perubahan menjadi: ( ) ( )

DERET FOURIER

81

1

( ) cos sino n n

n

g v a a nv b nv

Dengan koefisien:

a) 1

( )2

oa g v dv

b) 1

( )cos .na g v nv dv

, n= 1, 2, 3, 4,…

c) 1

( )sin .nb g v nv dv

, n= 1, 2, 3, 4,…

=========================================================

Soal Latihan 5.4:

Dapatkan deret Fourier dari fungsi periodik f(x), dengan periode p=2L, dan

gambarkan grafik dari f(x) tersebut untuk tiga penjumlahan.

5. f(x) = 1 (-1<x<1), f(x)=0 (1<x<3), p=2L=4

6. f(x) = 1 (-1<x<0), f(x)=-1 (0<x<1), p=2L=2

7. f(x) = 0 (-2<x<0), f(x)=1 (0<x<2), p=2L=4

8. f(x) = x (-4<x<4), p=2L=8

9. f(x) = x2 (0<x<2), p=2L=4

10. f(x) = sin x; (0<x<1; p = 2L =1

===========================================================

DERET FOURIER

82

PERSAMAAN DIFERENSIAL KHUSUS

83

Bab 6. PERSAMAAN

DIFERENSIAL KHUSUS

Pada bagian sebelumnya sudah dibahas persamaan diferensial linier orde

dua homogen dengan koefisien konstan disertai beberapa contoh dan metode

penyelesaiannya, sebagai diketahui dapat diselesaikan dengan menggunakan

metode aljabar atau kalkulus fungsi elementer. Namun banyak ditemukan

persoalan fisika dalam bentuk persmaan diferensial linier dengan koefisien tidak

konstan melainkan bergantung pada x. Permasalahan dalam bentuk persamaaan

diferensial linier dengan koefisien bergantung pada x (tidak konstan),

penyelsaiannya lebih rumit dan mungkin tidak dapat menggunakan bentuk fungsi

elementer. Cara penyelesaian yang lebih cocok adalah dengan menggunakan

metode deret pangkat. Persmaan diferensial linier sejenis ini diantaranya adalah

persamaan Bessel dan persamaan Legendre yang banyak berperan penting dalam

menyelesaian permasalahan ilmu fisika, aplikasi sain dan bidang teknik lainnya.

Pada bagian ini akan membahas penyelesaian persamaan diferensial dengan

metode deret pangkat. Adapun kompetensia yang diharapkan setelah mempelajari

materi ini adalah agar dapat menganalisis dan meneyelesaikan persamaan

diferensial dengan metode deret.


84

6.1 Solusi Persamaan Diferensial Dengan Deret

Ide umum dari teknik penyelesaian persamaan difernsial dengan metode deret

pangkat sangat sederhana dan natural. Pertama semua fungsi dan turunannya yang

diberikan oleh persamaan diferensial kita nyatakan sebagai deret kuasa dari x

sebagaimana sudah dipelajari sebelumnya. Selanjutnya diasumsikan sebuah solusi

persamaan diferensial dalam bentuk deret. Misalnya diasumsikan y(x) adalah solusi

sebuah dari persamaaan diferensial dalam bentuk deret kuasa yaitu:

2 3

1 2 3

0

...m

m o

n

y a x a a x a x a x

(6-1)

Kemudian turunan y(x) terhdap x adalah:

(a) 1 2 3

1 2 3 3

1

2 3 4 ...m

m

n

dyma x a a x a x a x

dx

(6-2)

(b) 2

2 2 3

2 3 4 520

( 1) 2 3.2 4.3 5.4 ...m

m

n

d ym m a x a a x a x a x

dx

Langkah selanjutnya adalah subsitusikan (6-1) dan (6-2) kedalam persamaan

diferensial pada soal, kemudian dikumpulkan semua koefisien yang memiliki

pangkat x yang sama. Hasil tersebut akan memberikan nilai koefisien deret am

pada (11-1) yang belum diketahui.

Caontoh 1:

Selesaikan persamaan diferensial berikut dengan deret.

Penyelesian

Hasil subsitusi bentuk deret pangkat (6-1) dan (6-2a) kedalam soal maka diperoleh:

2 3 2 3

1 2 3 4 1 2 3( 2 3 4 ) ( ...) 0oa a x a x a x a a x a x a x

Dengan mengumpulkan koefisien yang memiliki pangkat x yang sama maka:


85

2 3

1 2 1 3 2 4 3( ) (2 ) (3 ) (4 ) ... 0oa a a a x a a x a a x

Kita peroleh:

1 0oa a ; 2 12 0a a ; 3 23 0a a ; 4 34 0a a , dst.

Sehingga dapat dinyatakansemua koefisien a1, a2, a3, dst dalam ao sebagai:

1 ;oa a 012

2 2!

aaa ; 02

33 3!

aaa ; ... ;

!

on

aa

n

Maka diperoleh bentuk solusi persamaan diferensial sebagai:

2 3

1 2 3

0

...m

m o

n

y a x a a x a x a x

2 31 1 11! 2! 3!

(1 ...) x

o oy a x x x a e

Contoh 2:

Selesaikan dengan menggunakan deret:

2

20

d yy

dx

Penyelesaian:

Subsitusikan bentuk deret kuasa( 6-1) dan (6-2b) di atas kedalam soal maka:

2

2

2 3 2 3

2 3 4 5 1 2 3

0

2 3.2 4.3 5.4 ... ... 0o

d yy

dx

a a x a x a x a a x a x a x

kumpulkan koefisien yang mengandung pangkat x yang sama, diperoleh:

2 3

2 3 1 4 2 5 32 3.2 4.3 5.4 ... 0oa a a a x a a x a a x

Bagian kiri dan kanan persamaan sama dengan nol jika koefisen di dalam kurung

adalah nol, jadi:

22 0oa a ; 3 13.2 0a a ; 4 24.3 0a a ; 5 35.4 0a a

Sehingga diperoleh koefisien untuk nomor genap dan ganjil masing-masing:

12 2! oa a ; 1

3 13!a a ; 1

4 4! oa a ; 15 15!

a a ; dst.


86

Maka diperoleh solusi persamaan diferensial adalah:

2 3

1 2 3

0

2 4 6 3 5 71 1 1 1 1 10 12! 4! 6! 3! 5! 7!

1

...

1

cos sin

m

m o

n

o

y a x a a x a x a x

y a x x x a x x x x

y a x a x

Hasil tersebut sesuai dengan solusi persaman diferensial yang diperoleh dengan

cara biasa.

===========================================================

Latihan Soal:

Terapkan deret untuk menyelesaikan persamaan diferensial berikut:

1. 5. (

2. 6. ( )

3. ( ) 7.

4. 8. ( )

===========================================================

6.2 Persamaan Legendre

Sejumlah persoalan fisika dirumuskan dalam model matematika dalam

bentuk persamaan diferensial Legendre sebagai berikut:

( ) ( ) (6-3)

Parameter n pada persamaan (11-3) adalah bilangan riel. Penyelesaian dari

persmaan (11-3) disebut fungsi Legendre, yang diperoleh menggunakan metode

deret pangkat. Dengan mengasumsikan solusi (11-3) berbentuk deret pangkat dan

menggantikan ( ) , yaitu:

;m

m

m

y a x

1

1

' ;m

m

m

y ma x

2

2

" ( 1) ;m

m

m

y m m a x

(6-4)

Subsitusi bentuk (11-4) kedalam (11-3) diperoleh:


87

2 2 3

2 3 4 5 2

2

2 2 3 4

2 3 4

2

2 3 4

1 2 3 4

1

" ( 1) 2.1 3.2 4.3 5.4 ..... ( 2)( 1)

" ( 1) 2.1 3.2 4.3 .................... ( 1)

2 ' 2 2.1 2.2 2.3 2.4

m s

m s

m

m s

m s

m

m

m

m

y m m a x a a x a x a x s s a x

x y m m a x a x a x a x s s a x

xy ma x a x a x a x a x

2 3 4

0 1 2 3 4

0

.................. 2 .

...................................

_____________________________________________________________________

s

s

m s

m s

m

s a x

ky k a x ka ka x ka x ka x ka x ka x

2 3

2 3 1 1 4 2 2 2 5 3 3 30 2.1 (3.2 2 ) (4.3 2.1 2.2 ) (5.4 3.2 2.3 )oa ka a a ka x a a a ka x a a a ka x

Diperoleh koefisien untuk pangkat x yang sama adalah

22.1 0oa ka ; 3 1 13.2 2 0a a ka ;

4 2 24.3 6 0a a ka ; 5 3 35.4 12 0a a ka ;

Koefisien yang berlaku lebih umum dengan k=n(n+1) yaitu:

2( 2)( 1) ( 1) 2 . 0s s s ss s a s s a s a ka

2

2 2

2

2

( 2)( 1) ( 1) 2 0

( 2)( 1) 0

( 2)( 1) ( )( 1) 0

s s

s s

s s

s s a k s s s a

s s a n n s s a

s s a n s n s a

Atau

2

( )( 1)

( 2)( 1)s s

n s n sa a

s s

(6-5)

Dengan demikian koefisien setiap suku pangkat x adalah:

2 0 0

4 2 0

( 1)

2! 2!

( 2)( 3) ( 1)( 2)( 3)

4.3 4!

k n na a a

n n n n n na a a

3 1 1

5 3 1

2 ( 1)( 2)

3! 3!

( 3)( 4) ( 3)( 1)( 2)( 4)

5.4 5!

k n na a a

n n n n n na a a

Maka solusi persamaan diferensial Legendre pada persamaan (11-4) adalah:


88

( ) 0 1 1 2xy a y a y (6-6)

(a) 2 4

1

( 1) ( 1)( 2)( 3)1 ..

2! 4!

n n n n n ny x x

(b) 3 5

2

( 1)( 2) ( 3)( 1)( 2)( 4)..

3! 5!

n n n n n ny x x x

Perhatikan (11-17) dengan uji rasio dapat dibuktikan bahwa deret konvergen jika

| | , sedangkan yang lainnya divergen. Sementara y1 hanya terdiri dari x

pengkat genap sedangkan y2 hanya terdiri dari x berpangkat ganjil. Sehingga y1 dan

y2 merupakan solusi yang saling bebas linier.

6.3 Polinom Legendre

Perhatikan koefisien pada persamaan (6-5), bagian ruas kanan bernilai nol

jika n=s, dengan demikian berarti dan

seterusnya. Jika n genap y1 tereduksi menjadi deret polinomial derajat n, demikian

juga jika n ganjil maka hal sama berlaku untuk y2. Deret polinomial ini jika

dikalikan dengan konstanta yang sama disebut Polinomial Legendre, yang dalam

ilmu fisika dan sains sangat banyak aplikasinya. Perhatikan persamaan (6-6a) dan

(6-6b) solusi yang diperoleh berkaitan nilai n adalah:

Untuk n=0; maka

Untuk n=1; maka

Untuk n=2; maka ( )

dan seterusnya. Jika dipilih nilai ao dan a1, pada semua polinom sehingga y =1

pada nilai x=1, maka dihasilkan polinom yang disebut polinom Legendre dtulis

dengan ( ), yang berkaitan dengan beberap nilai n, yaitu:

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) (6-7)

( )

( ) ( )

( )


89

Gambar berikut ini adalah grafik untuk Polinom Legendre ( ) pada persamaan

(6-7) di atas.

Gambar. Grafik Polinom Legendre

6.3.1 Aturan Leibniz

Tinjau suatu fungsi y=x sin x, jika diturunkan sebanyak 3 kali maka menurut aturan

Leibniz, diperoleh

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Mengingat

( ) , maka diperoleh:

( )

( )

( )

( )

Secara umum menurut aturan Leibniz, jika suatu fungsi y=uv diturunkan sebanyak

n kali (turunan orde n ditulis yn ) maka :

=u ( )

===========================================================

Soal Latihan :

Gunakan aturan Leibniz untuk memperloh diferensial berikut:

1.

( ) 2.

( ) 3.

( )

===========================================================


90

6.3.2 Formula Rodrigues Untuk Polinom Legendre

Kita sudah mendapatkan beberapa nilai polinom Legendre ( ) dari

persamaan diferensial Legendre pada beberapa nilai n. Cara lain untuk memperoleh

polinom Legendre secara lebih mudah, yaitu dengan formula Rodrigues, yaitu:

( )

( ) (6-8)

Bentuk persaman (6-8) memberikan hasil sesuai dengan polinom Legendre ( )

untuk semua nilai n yang telah diperoleh pada persamaan (6-7). Dapat dibuktikan

bahwa formula Rodriges (6-8) memenuhi persamaan Legendre pada (6-3), untuk

membuktikannya, pertama kita misalkan:

( ) (6-9)

Kemudian turunkan persamaan (6-9) terhadap x, selanjutnya kalikan dengan

( ), maka diperoleh:

( ) ( )

( )

( )

Atau:

( )

(6-10)

Diferensialkan bagian kiri dan kanan persamaan (6-10) sebanyak n+1 kali

mengikuti aturan Leibniz maka diperoleh:

( )

( )( )

( )

( )

( )

( )

( )

(6-11)

Jika disederhanakan akan diperoleh bentuk persamaan diferensial Legendre:

( ) .

/

( ) .

/

( )

(11-12)

Dengan memisalkan

, maka terbukti sesuai dengan persamaan diferensial

Legendre yang dinyatakan dalam (6-3).


91

===========================================================

Soal Latihan:

1. Dapatkan ( ) ( ) ( ) ( ) menggunakan Formula

Rodrigues persamaan (11-8), bandingkan hasilnya dengan bentuk yang

diberikan oleh persamaan (11-7)

2. Tunjukkan bahwa ∫

( ) , jika m< n. Petunjuk: Gunakan

formula Rodrigues, dan integralkan secara berulang bagian demi bagian.

3. Dengan menggunakan rumus (11-8), dan melakukan integrasi sebanyak n

kali, tunjukkan bahwa:

∫ ( )

(n=0,1,2,....)

6.3.3 Fungsi Pembangkit Polinom Legendre

Fungsi pembangkit polinom Legrendre dinyatakan oleh:

( ) ( ) , dengan | | (6-13)

Dikatakan ( ) sebagai fungsi pembangkit polinom Legendre karena dapat

mengasilkan nilai sesuai polinom Legendre ( ) yang diberikan oleh persamaan

(6-7). Untuk pembuktian keterkaitan pada persamaan (6-13) dengan Polinom

Legendre kita misalkan: , sehingga diperoleh bentuk ( )

, lalu

diuraikan persamaan (6-13) kedalam deret menjadi:

( )

( )

( )

( )


92

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ( )

Dengan demikian diperoleh hubungan fungsi pembangkit ( ) dengan polinom

Legendre dinyatakan sebagai

1/2

2

0

( , ) 1 2 ( )n

n

n

x h xh h h P x

(6-14)

Dengan: 1h

Apabila diberikan nilai x=1, maka diperoleh uraian deret untuk fungsi pembangkit

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) (6-15)

6.3.4 Ekspansi Potensial

Satu diantara persoalan fisika yang menerapkan fungsi pembangkit adalah pada

kasus potensial yang ditimbulkan oleh gaya berbanding terbalik dengan kuadrat

jarak. Dalam listrik statis, potensial berkaitan dengan gaya antara dua muatan

listrik yang terpisah pada jarak d yaitu sebanding dengan d2. Persoalan sejenis kita

jumpai pada potensial gravitasi yang ditimbulkan oleh gaya antara dua massa yang

terpisah pada jarak d. Tinjau kasus potensial listrik di titik p yang disebabkan

muatan q, yaitu:

(6-16)

k

: konstanta

d= jarak antara dua muatan .

V= potensial l


93

Berdasarkan hukum cosinus

| | (6-17)

√

√

.

/

Maka potensial listrik pada titik q’ adalah:

[

.

/

]

(6-18)

Untuk nilai | | | |, kita ubah variabelnya menjadi:

, dan .

Dalam hal ini, x bukan sumbu koordinat tetapi hanya menggantikan nilai cos ,

maka dapat dituliskan jarak d menjadi:

√

, -

Dari persamaan (11-18) dengan mengacu pada bentuk (6-14) maka dapat ditulis

1/2

2

0

1 2 cos (cos )n

r r rnR R R

n

P

(6-19)

Dari hubungan fungsi pembangit persamaan (6-14) dan (6-17) maka

potensial dinyatakan dalam bentuk polinom Legendre sebagai:

(a)

∑ ( )

(6-20)

(b)

∑ .

/

( ) ; r<R


94

===========================================================

Soal Latihan:

1. Nyatakan polinom berikut dalam kombinasi linier dari polinom Legendre.

Sebagai petunjuk lakukan mulai dari pangkat paling tinggi.

a) c) e)

b) d) f)

2. Tunjukkan menggunakan (11-13) bahwa:

( )

===========================================================


95

6.4 Persamaan Diferensial Bessel

Satu dari banyak bentuk persamaan diferensial yang sangat penting dalam

pemecahan masalah fisika adalah persamaan diferensial Bessel, yang dinyatakan

dalam bentuk standar sebagai berikut:

( ) (6-21)

Persamaan ini banyak diterapkan pada masalah getaran, medan elektromagnetik,

aliran panas dan lain-lain. Untuk memperoleh solusi bentuk persamaan diferensial

Bessel, yaitu dengan menyatakan y(x) dalam deret kuasa sebagai beriku:

( ) n k k n

n n

n o n o

y x a x x a x

(6-22)

Sebelum menyelesaikan persamaan diferensial Bessel pada (6-21) di atas mari kita

terapkan deret persamaan (6-22) untuk menyelesaikan kasus getaran pada contoh

berikut ini.

Contoh 3:

Dapatkan solusi untuk y(x) pada persamaan getaran berikut menggunakan

deret, misalkan:

Buktikan solusinya mengambil salah satu bentuk y sin x , atau ycos t.

Penyelesaian:

Kita mulai dengan menuliskan y(x) dalam bentuk deret yaitu:

(a) 2 3

1 2 3

0

( ) ...n k k

n o

n

y x a x x a a x a x a x

1

0

n k

n

n

dyn k a x

dx

(b) 2

2

20

1 n k

n

n

d yn k n k a x

dx


96

atau

(c) 2

2 1

1 22( 1) (1 ) (2 )( 1) ...k

o

d yx k k a x k ka x k k a

dx

Dengan mensubsitusikan y dan turunannya pada soal, maka diperoleh:

2 2

0 0

1 0n k n k

n n

n n

n k n k a x a x

Kemudian diuraikan dan dikelompokkan koefisien deret sesuai suku pangkat x

yang sama, yaitu:

Xk-2

Xk-1

xk

Xk+1

... Xk+n

y” k(k-1)ao k(1+k)a1 (2+k)(1+k)a2 (3+k)(2+k)a3 ... (n+2+k)(n+k+1)an+2

2y

2 ao

2 a1

2 an

0 0 0 0 0 0

Berdasarkan tabel:

*) koefisien untuk xk-2

:

( ) ; jika , maka diperoleh nilai k=0 atau k=1:

*) koefisien untuk xk-1

:

( ) = 0; jika dimsukkan k =1, maka diperoleh . Secara umum

koefisien setiap suku deret pangkat dapat ditulis:

( )( )

Atau:

2

2( 2)( 1)

n na an k n k

(i). Jika dipilih untuk k=0, diperoleh koefisien setiap suku:

2

2( 2)( 1)

n na an n

Hanya berlaku untuk n genap (n=0, 2, 4,...). Maka diperoleh koefisien deret untuk n

genap:


97

2 2

22.1 2!

o oa a a

; 2 4

4 24.3 4!

oa a a

; 2 6

6 46.5 6!

oa a a

Sedangkan untuk koefisien ganjil adalah nol, hal ini karena . Untuk

koefisien genap dapat juga ditulis sebagai kelipatan dari (n=1,2,3..):

(2 )

2

( 1)

(2 )!

n n

n oa an

;

Dan menghasilkan solusi untuk k=0 adalah :

2 2 4 4 6 6

0( ) 1 ... cos2! 4! 6!

k o o

x x xy x a a x

(ii) Sedangkan jika dipilih untuk k=1, diperoleh

2

2( 3)( 2)

n na an n

Pilih untuk n genap, maka diperoleh koefisien deret

2 2

23.2 3!

o oa a a

; 2 4

4 25.4 5!

oa a a

; 2 6

6 47.6 7!

oa a a

Secara umum jika dipilih k=1, maka koefisien suku genap ditulis:

2

2 ( 1)(2 1)!

nn

n oa an

; (n=1,2,3,4,...bilangan bulat)

Solusi deret pada untuk k=1 pada adalah:

2 2 4 4 6 6 3 3 5 5 7 7

1( ) 1 ... ...3! 5! 7! 3! 5! 7!

ok o

ax x x x x xy x a x x

Atau diperoleh solusi untuk k=1:

( )

, terbukti !.

Sekarang kita sudah siap untuk mendapatkan solusi umum persamaan

diferensial Bessel (6-21) menggunakan persamaan (6-22). Untuk memudahkan

pemecahan dapat juga digunakan hubungan:

2' ' " 'x xy x y xy


98

Sehingga persamaan diferensial Bessel yang dinyatakan dalam persamaan (6-21)

dapat ditulis dalam bentuk yang lebih sederhana menjadi:

2 2' ' ( ) 0x xy x p y (6-23)

Penyelesaian persamaan (6-23) tersebut dapat dilakukan dengan menggunakan

uraian deret kuasa, yaitu:

a) 2 3 4

1 2 3 4

0

...n k k

n o

n

y a x x a a x a x a x a x

Selanjutnya, diperoleh:

b) 1

0

' ( ) n k

n

n

y n k a x

c) 0

' ( ) n k

n

n

xy n k a x

d) 2 1

0

( ') ' ( ) n k

n

n

xy n k a x

e) 2

0

( ') ' ( ) n k

n

n

x xy n k a x

atau:

f) 2 2 22

0 1 2( ') ' 1 2 ...k n

nx xy x a a k x a k x a n k x

Apabila kita subsitusikan hasil uraian deret bentuk a) dan f) kedalam persamaan (6-

23), maka diperoleh hasil:

xXk

x1+k

x2+k

x3+k

.... xn+k

x(xy’)’ k2ao (1+k)

2a1 (2+k)

2a2 (3+k)

2a3 .... (n+k)

2 an

x2y ao a1 .... an-2

-p2y -p

2ao -p

2 a1 -p

2 a2 -p

2 a3 .... -p

2 an

0 0 0 0 0 0 0


99

Berdasarkan tabel tersebut diperoleh masing-masing koefisien untuk xk

menghasilkan dua nilai k yang memenuhi,yaitu:

(k2- p

2) ao = 0; ==> k = p

Koefisien untuk x1+k

, yaitu (k= p):

(1+k)2 a1 – p

2a1 = 0; atau (1+2p) a1=0

Karena nilai di dalam kurung tidak nol, berarti agar terpenuhi haruslah a1=0,

Secara umum untuk koefisien untuk xn+k

, yaitu:

[(n+k)2- p

2]an + an-2 = 0; atau

(

Karena k=p, maka diperoleh

( )

( ) (6-24)

Oleh karena untuk a1=0, demikian juga untuk semua koefisien bernomor ganjil

sama dengan nol. Sedangkan untuk koefisien genap, mengganti n dengan 2n, maka

dihasilkan:

( )

( ) (6-25)

Selanjutnya mari kita periksa

Untuk n=1:

( )=

( )

Untuk n=2:

( )

( )( ) (6-26)

Untuk n=3:

( )

( )( )( )

Ingat berdasarkan rumus rekursif fungsi gamma:

( ) p(p) ;

( ) ( )(1+p) ;

( ) ( )( )(1+p) (6-27)

( ) ( )( )( )(1+p)

Maka dari hasil (6-27) dapat ditulis menjadi:

( )

( )

( )


100

( )( )

( )

( ) (6-28)

( )( )( )

( )

( )

dan seterusnya. Sehingga dari hasil (6-27) diperoleh penyelesaian deret

2 4 6

2 2 2

1 1 1 1( ) (1 ) ...

(1 ) (2 ) 2! (3 ) 3! (4 )

p x x xoy x a x p

p p p p

Atau

2

2 2

1 1( ) 2 (1 )

(1) (1 ) (2) (2 )

pp x x

oy x a pp p

4 6

2 2

1 1...

(3) (3 ) (4) (4 )

x x

p p

Atau dinyatakan lebih umum dalam bentuk deret sebagai berikut:

2

0

( 1)( ) 2 (1 )

( 1) ( 1) 2

n pnp

o

n

xy x a p

n n p

(6-29)

Fungsi y(x) pada persaman (6-29) dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi Bessel,

ditulis sebagai:

( ) ( )py x J x , dengan 2 (1 )p

oa p (6-30)

( )pJ x adalah fungsi Besel bentuk , secara umum dinyatakan oleh:

2

0

( 1)( )

( 1) ( 1) 2

n pn

p

n

xJ x

n n p

(6-31)

Khusus untuk n dan p bilangan bulat, maka berdasarkan hubungan fungsi gamma

dan bilangan faktorial diperoleh:

( ) ; ( ) ; dan ( ) ( )

Maka persamaan (6-29) dapat juga dinyatakan sebagai:

2

0

( 1)( ) 2 !

!( )! 2

n pnp

o

n

xy x a p

n n p

(6-32)

Dan fungsi Bessel bentuk pertama untuk n dan p bilangan bulat:


101

2

0

( 1)( )

!( )! 2

n pn

p

n

xJ x

n n p

(6-33)

Berikut ini adalah contoh beberapa bentuk Jp(x) yang terkait dengan p bulat:

2

20

( 1)( )

( !) 2

nn

o

n

xJ x

n

2

1

0

( 1)( )

2 ( !)( 1)! 2

nn

n

x xJ x

n n

2 2

2

0

( 1)( )

2 ( !)( 2)! 2

nn

n

x xJ x

n n

Dapat dibuktikan bahwa:

( ) .

/ ( ) ( )

Dari (6-31) bila dipilih s=-p, maka diperoleh fungsi Bessel bentuk kedua, yaitu:

2

0

( 1)( )

( 1) ( 1) 2

n pn

p

n

xJ x

n n p

(6-34)

Jika p bukan bilangan bulat, Jp(x) adalah deret dimulai dari xp dan J-p(x) adalah

deret dimulai dari x-p

. Akan tetapi bila p bulat maka beberapa bentuk suku pertama

dari J-p(x) adalah nol, hal ini karena pembaginya (n-p+1) bulat negatif,

memberikan hasil takhingga.

2

0

( 1)( )

!( )! 2

n pn

p

n

xJ x

n n p

; (p: bulat) (6-35)

Selanjutnya Jp(x) dan J-p(x) adalah dua penyelesaian yang saling bebas dan

kombinasi linier dari keduanya merupakan penyelesaian umum. Hubungan

Rekursif Fungsi Bessel, diberikan oleh

a)

[ ( )] ( )

b)

[ ( )] ( ) (6-36)

c) ( ) ( )

( )


102

d) ( )

( ) ( )

( ) ( )

==========================================================

Soal Latihan:

1. Tunjukkan bahwa ( ) adalah fungsi genap bila p genap dan fungsi ganjil

jika p ganjil.

2. Uraikan ( ), ( ), dan ( ), buktikan bahwa:

a) 2 4 6

2 2 4 2 6 2( ) 1 ...

2 (1!) 2 (2!) 2 (3!)o

x x xJ x

b) 3 5 7

1 3 5 7( ) ...

2 2 1!2! 2 2!3! 2 3!4!

x x x xJ x

c)

2 2 4 6 8

2 2 4 6 8

1( ) ...

2 0!2! 2 1!3! 2 2!4! 2 3!5! 2 4!6!

x x x x xJ x

===========================================================

PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL

103

Bab 7.


Keadaan sistem fisika umumnya dimodelkan matematika dalam bentuk

fungsi yang merepresentasikan besaran sistem tersebut. Besaran fungsi suatu

sistem fisika yang sederhana bergantung hanya pada satu variabel peubah bebas,

sebagian besar dinyataka dalam persamaaan diferensial. Namun tidak sedikit sistem

fisika yang berbantung lebih dari satu variabel peubah bebas. Pada bagian

sebelumnya sudah dibahas sistem persamaan diferensial biasa orde satu dan orde

dua disertai berbagai contoh dan peneyelesaiannya. Pada bab ini akan dibahas

sistem persamaan diferensial fungsi yang bergantung pada lebih dari satu variabel

peubah bebeas, yang bila salah satu dari variabel tersebut berubah sementara

variabel lain tetap akan terjadi perubahan bagian tertentu dari sistem tersebut.

Perubahan semacam ini disebut perubahan parsial. Model aliran fluida, transfer

panas, dan fungsi gelombang adalah beberapa contoh sistem fisika yang

memenuhi persamaan diferensial parsial. Pembahasan pada bab ini akan dimulai

dari bentuk Lapacian (2 f ) yaitu persamaan diferensial orde dua dari besaran

fungsi yang bergantung dari dua atau lebih variabel koordinat ruang dan waktu.

bentuk persamaan diferensial demikian dikenal sebagai persamaan diferensial

parsial.


104

Tujuan yang ingin dicapai dari materi ini adalah pembaca diharapkan dapat:

- Mengidentifikasi bentuk-bentuk persamaan diferensial parsial dan

mengkaitkan dengan berbagai permasalahan fisika.

- Melakukan sparasi variabel persammaan diferensial parsial dalam

berbagai sistem koordinat ruang.

- Menerapkan solusi persamaan diferensial parsial dalam pemecahan

masalah fisika teori..


105

6.1 Model Fisika Dalam Bentuk PDP

Banyak persoalan mendasar dalam fisika teoritis yang dirumuskan dalam

bentuk persamaan diferensial parsial (PDP), dalam hal mana sebuah besaran

sebagai fungsi ruang koordinat. Sebagaimana sudah disinggung pada bagian

vektor analisis, bila sebuah operator vektor (nabla) dikenakan pada medan fungsi

skalar ( )xyz sebanyak dua kali atau dikenal Lapacian ditulis sebagai 2 .

Bentuk ini banyak diterapkan dalam fisika lanjutan dan merupakan hal mendasar dalam

model permasalah masalah fisika. Bersaran fisika yang berkaitan dengan bentuk

persamaan diferensial tersebut beberapa diantaranya adalah:

1. Persamaan Laplace, 2 =0: Persamaan ini penting dalam mempelajari berbagai

persoalan keadaan fisika seperti:

a. Fenomena elektromagnetik meliputi elektroststis, dielektrik, keadaan arus steady,

dan magnetostatis.

b. Hidrodinamik meliputi aliran fluida, gelombang permukaan

c. Penyebaran suhu, dan aliran panas

d. Studi gravitasi dalam bidang geofisika

2. Persamaan Poisson, 2

0 : Persamaan ini digunakan dalam mempelajari

persoalan medan listrik yang ditimbulkan oleh muatan yang terdistribusi kontineu.

3. Persamaan difusi bergantung waktu:

2

2

1

a t

4. Persmaan gelombang bebas waktu (Persamaan Helmholtz), 2 2 0k :

Persmaan ini diterapkan dalam mempelajari venomena seperti penjalaran gelombang

pada medium elastik, misalnya getaran daway, bunyi atau akustik, gelombang

elektromagnetik dan lain-lain.

5. Persamaan gelombang Schrodinger: Persamaan ini penting dalam fisika

moderen terutama terkait dalam mempelajari keadaan energi atom.


106

2

2

2i

m t

: persamaan Schrodinger tak bebas waktu

2

2

2V E

m : Persamaan Schrodinger bebas waktu

6.2 Pemecahan PDP Dengan Sparasi Variabel;

7.2.1 Distribusi Suhu Dua Dimensi

Kita mulai dari bentuk persamaan Laplace untuk kasus dua dimensi dengan

sumbu koordinat x dan y yang saling ortogonal, yaitu:

2 22

2 20

T TT

x y

(7-1)

Dalam hal ini fungsi keadaan T=T(x,y) adalah fungsi tercampur yang bergantung

pada dua variabel koordinat masing-masing x dan y. Maknanya bahwa T berubah

terhadap perubahan x dan y. Anggap bahwa fungsi tersebut bersifat sparabel, maka

penyelesaiannya dapat dilakukan dengan teknik sparasi variabel, yaitu diawali

dengan mengekstrak fungsi tercampur menjadi dua fungsi yang saling terpisah,

misalnya fungsi T(x,y) diekstrak menjadi X(x) dan Y(y). Dalam hal ini X(x) adalah

fungsi hanya bergantung pada variabel x saja dan Y(y) adalah fungsi hanya

bergantung pada y saja. Dengan demikian maka T merupakan campuran dari X dan

Y yang dinyatakan sebagai:

.T X Y , (7-2)

Apabila bagian kiri dan kanan persamaan (7-2) masing-masing diturunkan secara

parsial terhadap variabel x dan y, maka diperoleh:

2 2

2 2.

T d XY

x dx

;

2 2

2 2.

T d YX

y dy

; (7-3)


107

Jika persamaan (7-3) disubsitusikan kedalam persamaan (7-1) kemudian dibagi

dengan T=XY, mmaka akan diperoleh persamaan dalam bentuk yang sudah

terpisah yaitu:

2 2

2 2

1 10

d X d Y

X dx Y dy (7-4)

Perhatikan bahwa masing-masing suku pada persamaan (7-4) terdiri dari variabel

fungsi yang sudah saling terpisah. Bentuk (7-4) tersebut menunjukkan hasil

penjumlahan dua besaran yang sama besar namun berbeda tanda, misalkan masing-

masing berkaitan dengan bilangan k2. Model yang menggambarkan keadaan suhu

tersebut mengambil salah satu dari bentuk berikut:

(a) 2 2

2

2 2

1 1d X d Yk

X dx Y dy , atau

(b)

2 22

2 2

1 1d X d Yk

X dy Y dy (7-5)

Anggap T(x,y) adalah keadaan suhu benda dua dimensi terletak pada bidang

koordinat (x,y). Fungsi suhu T(x,y) tersebut menyatakan keadaan suhu pada setiap

titik dalam koordinat x dan y tersebut.

Misalkan benda memiliki lebar L pada sumbu x, dan

panjang takhingga dalam sumbu y, Sedangkan suhu

disetiap sisi dijaga konstan sebagaimana pada gambar

disamping ini. Berdasarkan syarat batas keadaan suhu

pada setiap sisi benda, maka keadaan yang bersesuaian

dengan gambar tersebut diberikan oleh persamaan (7-5a)

yang kita pilih untuk menyelesaikan persoalan ini.


108

Langkah selanjutnya adalah menyelesaikan persamaan (7-5a) yang tidak lain

berbentuk model persamaan diferensial orde dua linier yang pemecahannya

dibicarakan dalam materi lain. Hasil penyelesaian persamaan (7-5a) untuk X dan Y

masing-masing diberikan oleh:

sin

cos

kxX

kx

; dan ( )

ky

yky

eY

e

(7-6)

Solusi umum persamaan distribusi (x,y) merupakan kombinasi dari persamaan

(7-1) di atas. Khusus pada kasus ini, keadaan suhu bersifat transien (menurun)

menuju nol pada y menuju takhingga, hal ini sesuai dengan bentuk e-ky

. Sedangkan

bentuk e+ky

nilainya meningkat menuju takhingga, hal ini tidak menggambarkan

kondisi yang diberikan pada kasus ini sehingga diabaikan. Berdasarkan

pertimbangan tersebut maka pemecahan umum distribusi suhu pada plat yang

sesuai dengan kasus ini adalah:

( , ) . cos( ) sin( )kyT x y X Y e A kx B kx (7-7)

Tetapan A dan B merupakan konstanta integral yang nilainya bergantung pada

syarat batas yang diberikan.

Contoh Soal 7-1:

Tentukan distribusi suhu dibagian dalam plat jika suhu pada setiap sisi dijaga

tetap perperti ditunjukkan pada gambar beriku.


109

Penyelesaian:

Menggunakan persamaan (7-7) dan menerapkan syarat batas seperti gambar

diperoleh :

Pada: x=0: (0, ) 0 cos(0) 0kyT y e A ; => A = 0 dan B

x=L: ( , ) sin( ) 0kyL yT e B kL ; => B 0;

sin (kL) = 0, bersesuaian dengan: kL n , (n = 1, 2, 3, 4, …), sehingga n

Lk

.

Jadi persamaan distribusi suhu di dalam plat (0<x<L ) dan (0<y<~) dapat

dinyatakan sebagai:

(a) /

0

( , ) sin( )n y L nn L

n

T x y B e x

Jika jika dikenakan syarat batas pada y = 0, sesuai gambar di atas maka diperoleh:

(b) ( , 0) 0

0

sin( )nx n L

n

T T B x

Bentuk persamaan (b) ini tidak lain merupakan bentuk deret Fourier, dengan Bn

adalah koefisien deret. Untuk memperoleh koefisien deret Bn sebagaimana yang


110

sudah dipelajari dalam deret Fourier yaitu mengalikan ruas kiri dan ruas kanan

dengan sin( )nL

n x , kemudian masing-masing diintegralkan, yaitu:

2

0

0 0

21(

2

0

(2

sin( ) sin ( )

cos ) 1 cos( )0

1 cos )

L L

n nn

L L

L

L n nno L Ln

L Lno n

T x dx B x dx

LT x B x dx

T n B

Sehingga diperoleh nilai koefisien deret:

0 02 41 cos ;n

T TB n

n n

untuk n ganjil (n=1,3,5,7....)

Sedangkan : ; untuk n genap (n =0, 2, 4, 6, 8...).

sehingga diperoleh nilai-nilai :

;

;

; dst.

maka diperoleh persamaan distribusi suhu sesuai gambar dinyatakan dalam deret

Fourier yaitu:

( )

0 sin( )4( , )

nL

y nL

n ganjil

e xTT x y

n

(7-8)

Atau

3 5( ) ( ) ( )1 3 1 5

( , ) 3 5

4sin ( ) sin ( ) sin ( ) ...L L L

y y yox y L L L

TT e x e x e x

Contoh soal 7-2:

Apabila tinggi plat bukan , tetapi dibatasi pada y =a, dan suhu plat adalah nol

(T(x,a) = 0, pada y=a), maka dengan memilih solusi untuk Y:

( )

ky ky

yY Ce De

Pada syarat batas y=a:

( ) 0ak akY a Ce De ; diperoleh 2akD Ce

Sehingga solusi untuk Y di dalam plat (pada 0<y<a), adalah:


111

2 ( ) ( )( )

ky ky ak ak k a y k a yyY Ce Ce Ce e e

Atau dinyatakan dalam sin hiperbolik dan memilih C=1, maka :

( ) ( )

( ) 2 2 sinh ( )2

k a y k a yak ake e

Y y e e k a y

Sehingga solusi lengkap pada soal (1) berubah menjadi :

4 1( , ) sinh sin /

sinh

o

n ganjil

T nT x y a y n x L

n an L L

========================================================

Soal Latihan:

1. Tentukan distribusi suhu pada benda berbentuk plat

dengan lebar 20 cm dan tinggi tak hingga, jika suhu pada

setiap sisi dijaga tetap sebagaimana gambar berikut.

2. Hitung suhu pada keadaan mantap di dalam plat semi

infinit bila diketahui suhu pada tepi plat dijaga tetap

konstan seperti pada gambar disamping.

==========================================================


112

7.2.2 Aliran Panas (difusi)

Ingat bentuk persamaan aliran panas dalam satu dimensi diberikan oleh:

dQ T

P kAdt x

(7-9)

P adalah daya arus termal (watt) merupakan bentuk energy panas persatuan waktu

yang mengalir dalam arah x positif melalui batang padat dengan luas penampang

A , dan konduktivitas termal batang k. Sedangkan T/x adalah laju perubahan

temperatur sepanjang batang atau disebut gradient temperatur. Apabila dibagi

dengan A, maka :

1 dQ dTH k

A dt dx (7-10)

H=P/A adalah aliran panas, dalam tiga dimensi ditulis sebagai vektor aliran panas

(sama dengan gradien temperatur):

H k T (7-11)

Berdasarkan hukum termodinamika, panas yang diterima benda dengan

massa m dan kapasitas kalor c adalah dQ =mcdT. Untuk aliran satu dimensi ,

seuah benda sepanjang x dengan rapat massa dan luas penampang A memiliki

massa m =A x, maka panas yang mengalir persatuan waktu adalah :

dQ dT dTmc Ac x

dt dt dt (7-12)

Hubungan persamaan (11-21) dan (11-23) diperoleh:

1 dQ dT TH c x k

A dt dt x


113

Atau

2

2

1dT k T k T

dt c x x c x

(7-13)

Jika dalam bentuk fungsi ruang koordinat tiga dimensi dan waktu atau

( , , , )T T x y z t , dengan 2 k c , maka persamaan difusi dinyatakan oleh:

2

2

1 TT tetapanaliran

t

Atau:

2 2 2

2 2 2 2

1T T T T

x y z t

(7-14)

Persamaan Aliran Satu Dimensi

Persamaan aliran satu dimensi dinyatakan sebagai fungsi koordinat x dan

waktu t yaitu T(x,t).

2

2 2

1T T

x t

(7-15)

Melalui pemisahan variabel T(x,t)=X. yang berarti X= X(x) dan =(t) adalah

dua fungsi saling terpisah, maka persamaan (7-15) ditulis dalam bentuk yang sudah

terpisah menjadi:

2

2 2

1 1 1d X d

X dx dt

(7-16)

Perhatikan bahwa bagian kiri dan kanan persamaan (7-16) merupakan besaran yang sama

kita misalkan sebagai –k2, maka diperoleh solusi masing-masing sebagai:

2( ) ;d

k dt

atau 2( )( ) k tt e (7-17)

dan

22

20

d Xk X

dx ; atau ( ) cos( ) sin( )X x A kx B kx (7-18)


114

Solusi umum aliran panas atau difusi dalam satu dimensi diberikan oleh

T(x,t)=X. yaitu gabungan antara (7-17) dan (7-18) yaitu :

2 2

( , ) . cos( ) sin( )a k t

x tT X e A kx B kx (7-19)

Misalnya diberikan syarat batas T((0,t) = 0 pada x=0 dan T((L,t) pada x = L, maka

persamaan tersebut terpenuhi jika:

A=0 dan 1,2,3,...n

kL n k nL

sehingga persamaan difusi atau aliran panas dinyatakan dalam bentuk deret fourier

sebagai:

2( / )( , ) sin( )

nn L t

n LT x t b e

(7-20)

Koefisien deret bn ditentukan melalui integral Fourier dengan menerapkan syarat

awal untuk t.

7.2.3 Persamaan Gelombang

Persamaan Gelombang Satu Dimensi;

Tinjau gelombang mekanik merambat pada tali dari kekanan sumbu x,

kedudukan simpangan gelombang pada posisi x sepanjang tali dan pada waktu t

dinyatakan sebagai :

Y (x,t) = A sin ( t - kx)

Apabila diferensialkan sebanyak dua kali terhadap x dan t, maka masing-masing

diperoleh:

22

2

Yk Y

x

dan

22

2

YY

t

,

dengan v fk

adalah kecepatan gelombang, maka diperoleh persamaan

gelombang mekanik satu dimensi adalah:


115

2 2

2 2 2

1Y Y

x v t

(7-21)

Persamaan (7-21) disebut persamaan gelombang satu dimensi, dalam hal ini

Y= Y(x,t) adalah simpangan gelombang pada posisi x dan waktu t. Tampak bahwa

Y(x,t) merupakan fungsi tercampur yang pada pembahasan ini akan digunakan

teknik penyelesaian menggunakan sparasi variabel dengan memisahkan fungsi

menjadi Y= XT, dalam hal ini X=X(x) dan T=T(t) merupakan dua fungsi yang

saling terpisah. Kemudian dilakukan diferensial sebanyak dua kali terhadatp x dan t

masing-masing diperoleh:

2 2

2 2

Y d XT

x dx

dan

2 2

2 2

Y d TX

t dt

Jika hasil tersebut disubsitusikan kedalam perdamaan (7-21) dan dibagi dengan Y, maka

diperoleh bentuk:

2 2

2

2 2 2

1 1d X d Tk

X dx v T dt (7-22)

Bentuk ruas kiri dan ruas kanan merupakan dua besaran yang sama kita misalkan

dengan –k2 maka diperoleh dua persamaan diferensial orde dua masing-masing :

22

2

22

2

) 0;

) 0

d Xa k X dan

dx

d Tb T

dt

(7-23)

2k v : bilangan gelombang

: panjang gelombang

=kv : kecepatan sudut gelombang

v =.f : kecepatan gelombang

Solusi persamaan (7-23) masing-masing dalam bentuk sinus dan cosinus adalah:

cos

( )sin

kxX x

kx

dan cos

( )sin

tT t

t

(7-24)


116

Sehingga solusi umum untuk Y(x,t) persamaan (7-21) merupakan kombinasi

bentuk X(x) dan T(t), dalam fungsi sinus casinus :

( , ) . cos sin cos cosx tY X T A kx B kx C t D t (7-25)

Gelombang Pada Dawai;

Tinjau sebuah kasus gelombang yang merambat pada dawai dengan panjang L

yang kedua ujungnya terikat, maka diterapkan syarat batas yaitu pada x=0:

Y(0,t)=0 dan pada x=L: Y(L,t)=0, sehingga:

Pada x=0: (0, ) .1 .0 cos( ) sin( ) 0Y t A B C t D t makaA

Pada x=L: ( , ) sin( ) cos( ) sin( )n

Y L t B kL C t D t makakL n kL

Sehingga pada daerah 0<x<L diperoleh :

( , ) { sin( )}{ cos( ) sin( )}n

Y x t B C t D tL

(7-26)

Selanjutnya C dan D ditentukan oleh syarat awal (t=0), misalnya pada t=0 keadaan

gelombang adalah: Y(x,0) = f(x), sehingga:

( ,0) { sin( )}{ .1 .0} ( )n

Y x B C D f xL

( , ) sin( )n

Y x t B C OL

Apabila pada waktu t=0 tersebut kecepatan simpangan (turunan simpangan

terhadap waktu) adalah Vo = 0, berarti:

sin( ) sin( ) cos( )dY n

Vo B C t D tdt L

(7-27)

Dengan demikian agar terpanuhi Vo = 0 pada t = 0,

0 sin( ) .0 .1 0t

dYVo B n L C D

dt

maka haruslah D = 0 dan C0. Dalam hal ini kita nyatakan bn=BC, maka diperoleh

persamaan gelombang pada daway yang kedua ujuangnya terikat adalah:


117

( , ) sin( ).cos( )nn L

Y x t b t (7-28)

Dalam hal ini bn adalah koefisien deret Fourier yang ditentukan berdasarkan syarat

awal t=0, yaitu:

0

( ) sin( )nn L

n

f x b

(7-29)

dengan bn : koefisien deret dihitung dengan:

2

0

( )sin( )

L

n

n L L

x

b f x dx

(7-30)

0 L

Contoh :

Seutas tali panjang L kedua ujungnya di ikatkan pada tongkat, saat t = 0 pada titik

tengah antara kedua ujung tali ditarik sehingga terjadi simpangan d seperti gambar.

Diketahui pada t = 0, turunkan bentuk gelombang U (x,t).

Penyelesaian :

Koefisien deret Fourier Cn adalah:

L

n dxL

nxf

LC

0)sin()(

2

kita gunakan untuk f1 dan f2, maka :

2/

0 2/)sin(2)sin(1

2 L L

Ln dx

L

nfdx

L

nf

LC

Penyelesaian maasing-masing adalah:


118

2/

0

2/

0)sin()

2()sin(11

L L

dxL

n

L

ddx

L

nfI

2/

0)sin(

2 L

dxL

n

L

d

/2 /2

0

2cos( ) cos( )

0

L LL d n ndx

n L L L

2 2

2 2cos( ) sin( )

n nL d d

n L n

sehingga :

1 2 2

2 cos( ) sin( )2 2 2

L n L nI d

n n

sedangkan untuk :

2 2/2

sin( )L

L

nI f dx

L

dxL

nxL

L

dL

L 2/

)sin()(2

dx

L

ndx

L

nL

L

d L

L

L

L)(sin.)sin(

2

2/2/

2

/2/2 /2

2cos( ) cos( ) cos( )

L L L

LL L

d L n L n L ndx

L n L n L n L

2 2 22 cos( ) sin( )

2 2 2

L n L nI d

n n

Diperoleh :

)2

sin()2

cos(2

2)2

sin()2

cos(2

22

2222

n

n

Ln

n

Ld

n

n

Ln

n

Ld

LCn

2 2

2 4sin( )

2

dL n

L n

)

2sin(

822

n

n

d ; n = bilangan ganjil (n = 1,3,5,7,…)

Jadi diperoleh persamaan gelombang stasioner adalah :

)cos().sin(),( tL

nCtxU n


119

dengan ,. VL

nvk

maka diperoleh :

)cos().sin(),( vtL

n

L

nCtxU n

...)cos()

5cos()

5sin(

25

1)

3cos()

3sin(

9

1)cos()sin(

82

vtL

nvt

LLvt

LLvt

LL

d

Apabila pada saat awal tali tidak ditarik tetapi dipukul, maka syarat awal

dinyatakan dengan kecepatan awal pada t = 0, fungsi dinyatakan :

( )dY

f xdt

dengan syarat batas Y(o,t) = 0 pada x = 0 dan Y(L)=0 pada x = L. Berdasarkan

persamaan (28) maka:

Y(0,t) = {A cos (0) + B sin (0) }{C cos ( t ) + D sin ( t )}=0

Y(L,t) = {A cos (kL) + B sin (kL) }{C cos ( t ) + D sin ( t )}=0

Akan memenuhi syarat batas, jika A =0 dan kL =n,

Fungsi gelombang yang memenuhi jika :

Y(x,t) = Cn sin (kx) sin ( t )

Atau :

Y(x,t) = Cn sin )( L

n sin )( vt

L

n

Pada saat awal (t = 0) ;

0

sin( ).cos( )}t

dY L n nCn vt

dt n L L

)()sin( xfL

n

n

LCn

Koefisien deret Fouriernya adalah :

L

nk

L

nxkvf

LCn

LLo

Lo

)sin()(2


120

a) Persamaan Gelombang Partilek Bebas

Persamaan gelombang dalam ruang tiga dimensi umum, dinyatakan sebagai:

22

2 2

1

v t

2 2 2 2

2 2 2 2 2

1

x y z v t

(7-31)

Dalam hal ini (x,y,z,t) adalah fungsi tercampur, jika diselesaikan menggunakan

teknik sparasi variabel , kita nyatakan sebagai: (x,y,z,t)=X.Y.Z.T, dengan

masing-masing X=X(x), Y=Y(y), Z=Z(z), dan T=T(t) adalah fungsi yang saling

terpisah. Selanjutnya diturunkan dua kali masing-masing terhadap x, y, z dan t

kemudian dibagi dengan , maka diperoleh bentuk persamaan diferensial yang

sudah terpisah yaitu:

2 2 2 22

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1d X d Y d Z d Tk

X dx Y dy Z dz v T dt (7-32)

Solusi untuk T dalam bentuk kompleks dengan akar persamaan =kv sebagaimana

persamaan (7-12) maka :

( ) exp( )i tT t e i t (7-33)

Sedangkan bagian ruas kiri persaman (7-32) masing-masing diperoleh solusi dalam

bentuk kompleks adalah:

22

2

22

2

22

2

1)

1)

1)

x

y

z

d Xa k

X dx

d Yb k

Y dx

d Zc k

Z dx

; (7-34)

Dengan : 2 2 2 2

x y zk k k k adalah bilangan gelombang bernilai riel positif , sedangkan

posisi (x,y,z) dapat positif atau negatif, maka solusi komplek untuk masing-masing

komponen adalah:


121

( ) exp( )

( ) exp( )

( ) exp( )

x

y

z

ik x

x

ik y

y

ik z

z

X x e ik x

Y y e ik y

Z z e ik z

(7-35)

Dengan demikian solusi umum persamaaan (7-31) adalah gabungan dari (7-33) dan

(7-35) yaitu:

( , , , ) .exp (x y z t C i k r t (7-36)

Dengan

ˆˆ

x y zk k k k

r xi yj zk

Pada ranah fisika teori terutama dalam fisika kuantum, terutama berkaitan sifat

dualisme gelombang-partikel bahwa setiap partikel memiliki energi kuantum

E hf dan memiliki momentum p h . Dengan menyatakan kecepatan sudut dan

bilangan gelombang k sebagai:

2 2E E

fh

dan 2 2 x

x

x

pk

h p

; dst

Maka persamaan (7-27) dinyatakan sebagai persamaan gelombang yang banyak dijumpai

dalam fisika kuantum yaitu:

( , , , ) exp ( . )E

x y z t C i k r t (7-37)

Dengan memisahkan fungsi variabel waktu (t) dengan fungsi variabel posisi (x,y,z),

maka persamaan (7-37) dapat ditulis sebagai:

( )( , , , ) ( , , ) ( , , )exp iE tx y z t x y z x y ziE t e (7-38)

dengan

( , , ) exp expx y z x y zC k r C i k x k y k z (7-39)


122

b) Persamaan Schrodinger;

Menurut teori kuantum, keberadaan sebuah partikel dalam ruang dapat

perkirakan berdasarkan amplitudo atau fungsi gelombang. Oleh karena variasi gelombang

juga harus melibatkan fungsi waktu maka, distribusi partikel pada ruang satu dimensi

bersdasarkan persamaan gelombang Schrodinger bergantung waktu, dinyatakan sebagai:

2 2

22V i

m x t

(7-40)

Dengan menggunkan persaman (7-38), maka

( )( )

iE txi E e

t

, dan 2 2

( )

2 2

iE tde

x dx

Maka persamaan (7-40) dapat ditulis dalam bentuk persamaan diferensial bebas waktu

2 2( )

( ) ( )22

xx x

dV E

m dx

(7-41)

Persamaan (7-41) disebut persamaan Schrodinger bebas waktu atau persamaan keadaan

tunak. Pada kondisi khusus yaitu jika tidak ada energi potenssial (V=0) yang dalam hal ini

dikenal sebagai partikel bebas, sehingga:

2

( )( )

2 2

20

xx

d mE

dx

(7-42)

dengan menerapkan solusi coba ( ) , maka diperoleh akar-akar persamaan:

1 2i mE dan 2 2i mE (7-43)

dengan 2 2E p m , dan berdasarkaan akar-akar persamaan diperoleh solusi fungsi

gelombang bebas waktu untuk prtikel bebas yaitu

( 2 ) ( 2 )

( )i mE x i mE x

x Ae Be

Atau

( ) ( )( )

i p x i p xx Ae Be

Persamaan gelombang dengan memasukkan variabel waktu, maka diperoleh

yang dikenal dengan persamaan Maxwell pada gelombang elektromagnetik

/ . . / . .( , )

i p x E t i p x E tx t Ae Be


123

Atau

( )i kx t i kx t

x Ae Be

Dalam hal ini: / 2 /k p , dan E hf

7.3 Penyelesaian PDP Dalam Koordinat Silinder

Persamaan Laplace dalam koordinat silinder sebagaiman sudah dibicarakan

pada persamaan (8-43) ditulis sebagai :

2 0; Laplace

2 22

2 2 2

1 10r

r r r r z

(7-44)

Contoh penerapan persamaan Laplace pada koordinat silinder adalah potensial

yang disebabkan medan tanpa sumber muatan.

7.3.1 Potensial Listrik.

Dua penghantar berbentuk sel (kulit) silinder koaksial masing-masing

memiliki radius a dan b, diberi potensial masing-masing Va dan Vb.

Bagaimanakah potensial listrik pada suatu titik yang berjarak r dari pusat silinder

dan terletak antara a dan b (a<r<b)? Pada kasus ini beda potensial hanya

bergantung pada jarak r dari pusat silinder, tidak bergantung pada sudut dan

panjang silinder. Sehingga komponen dan Z persamaan (7-44) diabaikan.

Dengan demikian persamaan yang memenuhi adalah:

2 10

d dr

r dr dr

(7-45)

Jika diintegralkan akan diperoleh:

d

r Cdr


124

dan integral sekali lagi mengasilkan :

( ) ∫

Apabila dimasukkan syarat batas maka diperoleh:

r=a: ( ) = Va

r=b: ( )

sehingga diperoleh:

( ) ( ⁄ )

Diperoleh C adalah

( )⁄

Sedangkan konstanta D diperoleh ( )

( )⁄ ln a

Potensial di titik yang berjarak r dari pusat silinder adalah:

( ) ( )

( )⁄

( )

( )⁄

Terbukti bahwa:

( ) ( ) ( )⁄

( )⁄ (7-46)

Persamaan (7-26) ini merupakan potensial listrik antara dua plat berbentuk kulit

silinder koaksial.

Kembali pada persamaan (7-44) di atas bahwa pada kasus-kasus yang lebih

umum bergantung pada variabel koordinat r,, dan z. Oleh karena itu kita

memerlukan bentuk solusi untuk ( , , )r z yang lebih umum. Sebagaimana cara

yang telah dilakukan sebelumnya yaitu dengan sparasi variabel, untuk

mendapatkan solusi umum persamaan (7-44) maka langkah pertama memisahkan

fungsi menjadi tiga variabel fungsi terpisah masing-masing yaitu R(r), ( ) dan

Z(z), dan anggap ketiganya memenuhi hubungan:

( , , ) ( ) ( ) ( )r z r zR Z (7-47)


125

Langkah berikutnya mendiferensialkan sebanyak dua kali masing-masing terhadap

r,, dan z, maka akan diperoleh bentuk:

2 2

2 2.

d RZ

r dr

;

2 2

2 2.

dR Z

d

;

2 2

2 2.

d ZR Z

z dz

(7-48)

Langkah selanjutnya, subsitusikan persamaan (7-48) kedalam persamaan (7-44)

kemudian membaginya dengan persamaan (7-47) akan diperoleh persaman

diferensial yang sudah saling terpisah yaitu:

2 2

2 2 2

1 1 10

d dR d d Zr

R r dr dr r d Zdz

(7-49)

Persamaan (7-49) adalah bentuk persamaan dengan fungsi variabel yang sudah

terbpisah, yang dapat diselesaikan satu persatu. Jika pada bentuk ketiga dari

persamaan (7-49) kita misalkan sama dengan k2, maka diperoleh solusi untuk Z

adalah:

2

2

2

1 d Zk

Z dz ; ( )

kz

zkz

eZ

e

(7-50)

Sedangkan bentuk kedua persamaan (7-49) kita misalkan sama dengan –m2 ,

maka diperoleh solusi :

22

2

1 dm

d

; ( )

sin

cos

m

m

(7-51)

Selanjutnya setelelah menggantikan bagian kedua dengan –m2 dan menggantikan

bagian ketiga dengan k2 pada persamaan (7-49) maka diperoleh bentuk yang hanya

terdiri dari variabel R saja, sebagai:

22

2

1 10

d dR mr k

R r dr dr r

Atau

(a)

2 2 2 0d dR

r r k r m Rdr dr

(7-52)


126

(b) 2

2 2 2 2

20

d R dRr r k r m R

dr dr

Ungkapan persamaan (7-52a) dan (7-52b) dikenal dengan persamaan diferensial

Bessel. Pembahasan tentang persamaan diferensial Bessel sudah didiskusikan pada

bab 6 yaitu sub bab 6.4. Selanjutnya dengan menggantikan x=kr, dan p=m pada

fungsi Bessel persamaan (6-31) maka diperoleh solusi dari persamaan (7-52)

adalah (n dan m: bilangan bulat):

2

( )2

0

( 1) ( )( ) ( )

2 ( !)( )!

n nm

r m n mn

krR J kr kr

n n m

(7-53)

Dari hasil yang dinyatakan oleh persamaan (7-50), persamaan (7-51) dan

persamaan (7-53) kemudian disubsitusikan kedalam persamaan (7-47) maka

diperoleh solusi umum untuk ( , , )r z diberikan oleh salah satu dari bentuk berikut

ini:

( ) sin( )

( ) cos( )( , , )

cos( )( )

sin( )( )

kz

m

kz

m

kz

m

kz

m

J kr e m

J kr e mr z

mJ kr e

mJ kr e

(7-54)


127

7.3.2 Temperatur Keadaan Mantap Pada Koordinat Silinder.

Anggap sebuah benda berbentuk silinder mempunyai jari-jari r=1 dan tinggi

pada sumbu z takhingga, sedemikian rupa dan suhu pada bagian bawah dijaga tetap

1000 sedangkan suhu pada kulit silinder (r=1) tetap 0

o, demikian juga anggap suhu

benda adalah 0 pada z=.

Pada kasus ini suhu benda tidak bergantung pada sudut , tetapi hanya bergantung

pada r dan z saja. Sehingga dari persamaan (7-54) dengan mengganti

(r,,z)=T(r,,z) dan hal ini bersesuaian cos m untuk m=0. Maka persamaan suhu

benda berbentuk silinder pejal sebagaimana pada gambar dapat dinyatakan sebagai:

1

( ) nk z

n o n

n

T c J k r e

(7-55)

Pada z=0, T=100, berarti:

0

1

( ) 100o

z n o

n

T c J kr

(7-56)

cn adalah koefisien deret Fourier-Besel. Dengan menggunakan sifat bahwa ( )

adalah ortogonal pada perubahan r pada daerah (0,1) , maka kita dapat

memperoleh nilai koefisien cn melalui uraian deret fourier sinus atau cosinus.


128

Mengalikan (7-56) dengan ( ) kemudian mengintegralkan dari r=0 ke r=1,

maka diperoleh

1 1

2

0 0

( ) 100 ( )n o oc r J kr dr rJ kr dr (7-56)

Integral bagian ruas kiri persamaan (7-56) adalah:

1

2 2112

0

( ) ( )or J kr dr J k (7-57)

Sedangkan untuk bagian ruas kakan (7-56), dengan menggunakan sifat fungsi

Bessel, yaitu:

1( ) ( )oxJ x dx d xJ x

Jika menggantikan variabel x=kr pada bentuk diferensial tersebut, maka

12

1( ) ( )orJ kr dr d kr J kr

k

Sehingga integral bagian ruas kanan persamaan (7-56) menjadi

11 1

1 1 120 0 0

1 1 1( ) ( ) ( ) ( )orJ kr dr d kr J kr r J kr J k

k k k (7-58)

Berdasarkan hasil (7-57) dan (7-58) maka diperoleh:

2

1 1( ) 100 ( )

2n

J k J kc

k

Atau

1

200

( )nc

kJ k

Jadi dengn mensubsitusikan nilai cn pada persamaan (7-55) maka distribusi suhu

keadaan mantap dalam silinder antara r dibatasi (0,1) dinyatakan sebagai:

1

( )200

( )nk zo n

n n n

J k rT e

kJ k

(7-59)


129

7.4 Penyelesaian PDP Dalam Koordinat Bola.

Kita mulai dari persaman Laplace dari suati fungsi tercampur dinyatakan

dalam koordinat bola maka diperoleh bentuk persamaan diferensial parsial bentuk

berikut:

2

22 2

2 2 2 2 2

0

1 1 1sin 0

sin sinr

r r r r r

(7-60)

Dalam hal ini ( , , )r , yaitu fungsi tercampur bergantung pada tiga variabel

dalam koordinat bola yaitu (r,,). Sebagimana yang sduah dilakukan sebelumnya,

untuk menyelesaikan persamaan diferensial tercampur seperti ini perlu terlebih

dahulu dilakukan sparasi variabel, yaitu memisahkan fungsi ( , , )r menjadi

tiga bentuk fungsi yang salin terpisah yakni R(r), Y() dan () yang ketinganya

mempunyai hubungan dengan dinyatakan sebagai:

( ) ( ) () (7-61)

Kemudian diturunkan dua kali masing-masing terhadap r, dan , menghasilkan

2 2

2 2;

d RY

r dr

2 2

2 2;

d YR

d

dan

2 2

2 2;

dRY

d

(7-62)

Apabila bentuk (7-62) disubsitusikan kedalam persamaan kedalam persamaan (7-

60) kemudian dibagi dengan persamaan (7-61) maka diperoleh bentuk persamaan

diferensial yang sudah saling terpisah yaitu:

22

2 2

1 1 1 1 1sin 0

sin sin

d dR d dY dr

R dr dr Y d d d

(7-63)

Langkah berikutnya adalah menyelesaikan persamaan diferensial tersebut satu

persatu. Apabila kita misalkan bentuk persaman diferensial suku pertama sama

dengan k dan memisalkan suku ketiga sama dengan 2m , maka kita peroleh tiga

bentuk persaman diferensial orde dua masing-masing:

a) 21 d dRr k

R dr dr


130

b) 2

2

2

1 dm

d

(7-64)

c) 2

2

1sin 0

sin sin

d dY mk Y

d d

Kita mulai dengan menyelaikan bentuk yang paling sederhana yaitu persamaan (7-

64b). Pada bentuk persamaan (7-64b) tidak lain adalah bentuk persamaan

diferensial orde dua homogen dengan koefisien konstan diperoleh penyelesaian

untuk () merupakan fungsi periodik berupa sinusoidal (mengambil salah satu

atau kedua bentuk sinus dan kosinus) yaitu:

2

2

20

dm

d

; solusinya:

sin

cos

m

m

(7-64)

Sedangkan bentuk persamaan (7-63a) merupakan persaman diferensial orde dua,

untuk kepentingan pemecahan dalam masalah fisika biasanya dituliskna k=l(l+1)

sehingga diperoleh bentuk persamaan:

2

22

2

) ( 1) 0;

) 2 ( 1) 0

d dRa r n n R atau

dr dr

d R dRb r r n n R

dr dr

(7-65)

Persamaan (7-65) tidak lain adalah persamaan diferensial orde dua dengan

koefisien tak konstan disebut persamaan Euler-Cauchy. Penyelesaiannya dapat

diperoleh menggunakan motode probenius, yaitu dengan menerapkan solusi coba

yaitu: ( )R r r

kemudian mensubsitusikan kedalam persamaan (7-65a) atau (7-65b) maka

diperoleh permsaan kuadrat:

2 ( 1) 0n n

atau

( )( 1) 0n n


131

Sehingga diperoleh akar-akar persamaan: ( ). Dengan

demikian maka diperoleh solusi umum untuk R(r) adalah:

( 1)

( )

n

n

rR r

r

;

;

didalam bola

diluar bola (7-67)

Untuk di dalam bola, nilai ( 1)nr

menuju takhingga jika r menuju nol sehingga

dalam banyak keperluan sering diabaikan. Selanjutnya dengan menyatakan

k=n(n+1), bentuk persmaan (7-64) dapat ditulis menjadi:

2

2

1sin ( 1) 0

sin sin

d dY mn n Y

d d

(7-68)

Persamaan (7-68) adalah persamaan diferensial yang mirip dengan persaman

diferensial Legendre, bersesuaian dengan =0 dan =, maka solusi umum dikenal

dengan polinom Legendre terasosiasi, yaitu:

() ( ) (7-69)

Fungsi Polinom Legender terasosiasi dalam bentuk umum ( ),

adalah:

/2

2( ) 1 ( )m

mm

mn n

dx x x

dxP P (7-70)

Berikut ini Tabel Polinom Legendre Terasosiasi untuk beberapa nilai dan m:

---------------------------------------------------------------------------------------------------

1/21 2

1

1/21 2

2

2 2 2

2

1/21 2 2 23 32 23

2 2 2

3

3/23 2 2

3

( ) 1 sin

( ) 3 1 3cos sin

( ) 3 1 3sin

( ) 5 1 1 5cos 1 sin

( ) 15 1 15cos sin

( ) 15 1 15sin

x x

x x x

x x

x x x

x x x

x x

P

P

P

P

P

P

(7-71)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


132

Berdasarkan solusi yang sudah diperoleh pada persamaan (7-64), (7-67) dan (7-69)

kemudian disubsitusikan kedalam persamaan (7-61) maka diperoleh solusi umum

untuk adalah:

( , , )( 1)

sin. . (cos )

cos

n

mr nn

r mRY P

mr

(7-72)

Khusus pada m=0, maka solusi persamaan laplace dalam koordinat bola hanya

ditentukan pada komponen R(r) dan Y() saja, yang diberikan oleh bentuk fungsi

Legendre (n=0,1,2,3...), yaitu:

*

1

( , ) (cos );

( , ) (cos );

n

n n

lnn

r A r P atau

Br P

r

(7-73)

Latihan Soal 7-3:

1. Tentukanlah nilai Fungsi Legendre untuk

a) 0 (cos )P ; b) 1(cos );P c) 2 (cos );P d) 3(cos )P

2. Gambarkan grafik fungsi Legendre pada soal nomor 1 di atas dari =0

sampai dengan =.

3. Buktikan persamaan (7-71) berdasarkan persamaan polinom Legendre

Terasosiasi (7-70)

133

KEPUSTAKAAN

1. Boas, Mary L. 1983. Mathematical Methods In The Phyisical Sciences,

Second Edition. John Wiley & Sons. New York.

2. Griffiths, D. 1989. Introduction to Electrodynamics, Second Edition.

Prentice – Hall International Inc. America.

3. Kreyszig, E. 1988. Advanced Enginering Mathematics, Sixth Edition. John

Wiley & Sons. New York.

4. Merzbacher, E. 1970. Quantum Mechanics, Second Edition. John Wiley &

Sons. America.

5. Prsetio; Adi, R.W; Sutrisno. 1998. Fisika Untuk Sains dan Teknik.

Erlangga. Jakarta.

6. Symon, K. 1973. Mechanics, Third Edition. Addison – Wesley Company.

134

DAFTAR INDEKS

akustik, 106 arus steady, 106 Curl, 33 deret fourier, 69 Deret Fourier, 69 deret trigonometri, 76 divergensi, 33 dot product, 39 elektromagnetik, 44 faktor skalar, 51 fluks, 46 fungsi, 4 fungsi Bessel, 102 fungsi beta, 57 fungsi faktorial, 57 fungsi gamma, 57 fungsi gelombang, 122 fungsi Legendre, 132 fungsi periodik, 70 gradien, 31 integral lintasan, 35 integral luas, 9 integral volume, 46 Jacoby, 22 koefisien deret Fourier, 76 Koordinat Bola, 129 koordinat kartensian, 50 koordinat kurvilinier, 51 Koordinat Silinder, 127 koordinat umum, 50 kurva, 5

Lapacian, 104 lintasan tertutup, 37, 41 medan vektor, 35 operator diferensial vektor, 30 persamaan diferensial Bessel, 95 Persamaan Schrodinger, 122 Pytagoras, 7 Sistem Koordinat Silinder, 53 teorema divergensi, 46 Teorema Divergensi, 45 teorema Gauss, 46 teorema Green, 41 teorema stokes, 43 transformasi, 54 Variabel, 4, 28, 107

RIWAYAT SINGKAT PENULIS

Nama lengkap Drs.Ngadimin, M.Si. Lahir di Belang

Mancung, 28 Maret 1962. Penulis merupakan anak ketiga

dari sembilan bersaudara, dilahirkan oleh pasangan

keluarga Wasadi (ayah kandung) dan Kasmini (ibu

kandung). Penulis kecil hidup bersama keluarga sebagai

petani tebu pada sebuah desa di Kabupaten Aceh Tengah,

menyelesaikan pendidikan dasar tahun 1975. Sebagai

keluarga petani dengan kondisi ekonomi lemah, penulis

pernah mengalami putus sekolah antara tahun 1975

sampai tahun 1977. Cita-cita ingin mengubah nasib dan menempuh pendidikan

lebih tinggi terwujud berkat inspirasi seorang Tenaga Kerja Sukarela (TKS) yang

ditugaskan pemerintah waktu itu mendirikan SMP di desa. Penulis melanjutkan

pendidikan SMP pada tahun 1977 dan selesai tahun 1980 di Belang Mancung,

melanjutkan pendidikan SMA Pegasing dan lulus tahun 1983. Berkat doa semua

pihak dan usaha keras penulis dapat melanjutkan Studi ke jenjang sarjana (S1)

dan selesai tahun 1989 pada Program Studi Pendidikan Fisika FKIP Unsyiah,

menyelesaikan pendidikan Program Pascasarjana (S2) tahun 2000 pada Jurusan

Fisika FMIPA ITB Bandung dengan bidang kajian Fisika Bumi. Beberapa

pelatihan pernah penulis ikuti diantaranya Pelatihan Program C Mata Kuliah

Mekanika, Pelatihan Program B Mata Kuliah Matematika untuk Fisika dan

Komputasi keduanya di ITB Bandung, serta beberapa bentuk diklat lainnya.

Sejak tahun 1990 sampai saat ini penulis mengabdikan diri menjadi staf

pengajar tetap pada Program Studi Pendidikan Fisika FKIP Unsyiah. Peberapa

mata kuliah yang pernah penulis asuh diantaranya Matematika Untuk Fisika,

mekanika dan lain-lain. Selain mengajar, penulis juga aktif dalam penelitian,

pengabdian dan kegiatan sosial lainnya.

MATEMATIKA - Unsyiah

Documents