This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Misalkan M adalah himpunan semua matriks persegi, kemudian A ∈ M. Determianan dari matriks A adalah fungsi yang memetakan An×n ke bilangan x ∈ R. Determinan dari matriks yang tidak persegi tidak didefinisikan.
Artinya : setiap matriks persegi selalu dapat dikaitkan dengan suatu skalar atau bilangan yang disebut determinan. Determianan matriks A dapat dituliskan dengan det(A), lAl, atau ∆.
Jika matriks A =𝑎 𝑏𝑐 𝑑
, maka determianan dari matriks A adalah
det lAl = 𝑎 𝑏𝑐 𝑑
= ad – cb
diagonal utama dikurangi diagonal samping
Determinan Matriks Persegi Berordo 3 x 3
Dapat diselesaikan dengan 2 cara , yaitu : 1. metode sarrus metode sarrus-kino
Pierre Fr´ed´eric Sarrus (10 March 1798, Saint-Affrique - 20 November 1861) seorang matematikawan asal Perancis. Sarrus adalah profesor di universitas Strasbourg, Perancis (1826-1856) dan anggota akademi sains di Perancis (1842). Sarus menemukan aturan mnemonic untuk menyelesaikan determinan untuk matriks berukuran 3 × 3 yang dinamakan skema Sarrus.
2. Cara Ekspansi Faktor Sebelum mencari determinan dengan ekspansi faktor, kita harus
menyelesaikan terlebih dahulu pengertian Minor dan Kofaktor.
-Minor adalah suatu determinan yang dihasilkan detelah terjadi penghapusan baris dan kolom
dimana unsur itu terletak.
contoh : lAl = 3 0 − 21 6 45 − 3 1
, berapak minor untuk unsur 4?
jawab : minor untuk unsur 4 adalah M23, karena unsur 4 berada dalam baris 2 kolom 3,
maka3 0 − 21 6 45 − 3 1
hapus baris ini
hapus kolom ini
M23 = 3 05 − 3
= 3.(-3) -5.0 = -9
Jadi, Minor dari unsur 4 adalah -9
- Kofaktor dari suatu unsur adalah minor unsur itu berikut dengan tanda.
keterangan : k = kofaktor
Kij = (-1)i+j . Mij i = baris
j = kolom
M = minor
Ekspansi Kofaktor
Dengan menggunakan minor entri dan kofaktor kita dapat menuliskan determinan dari matriks
A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23a31 a32 a33
yang berukuran 3 × 3 yaitu
det(A) = a11M11 + a12−M12 + a12M13
= a11C11 + a12C12 + a13C13
Secara umum determinan dari matriks M berukuran n × n adalah
det(M) = a11C11 + a12C12 + ··· + a1nC1n
Metode ini dinamakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama matriks M.
Contoh : hitunglah determinan berikut dengan ekspansi kofaktor.
∆ = 2 − 4 3−1 5 − 27 − 8 1
a. Menurut kolom pertama
b. Menurut baris ketiga
Jawab :
a. Kolom pertama terdiri dari anggota 2, -1, 7
Maka ∆ = 2 . M11 - (-1) . M21 + 7 . M31
= 2 5 − 2
−8 1+ 1
−4 3−8 1
+ 7 −4 35 − 2
= 2 (5 -16) + 1 (-4 +24) + 7 (8 – 15)
= 2 (-11) + 1 . 20 + 7 (-7)
= -51
Jadi, ∆ = -51
+ -
-
-- +
+ +
+
b. Baris ke tiga terdiri dari 7, -8, 1
Maka ∆ = 7 . M31 - (-8) . M32 + 1 . M33
= 7 −4 35 − 2
+ 8 2 3−1 − 2
+ 1 2 − 4−1 5
= 7 (8-15) + 8 (-4+3) + (10-4)
= 7 (-7) + 8 (-1) + 6
= -49 - 8 + 6
∆ = -51
Jadi, nilai dari ∆ dengan menggunakan ekspansi faktor menurut baris ke tiga adalah ∆ = -51
PERKALIAN MATRIKS
o Matriks A dapat dikalikan dengan matriks B jIka banyaknya baris matriks A sama
dengan banyaknya kolom matriks B.
o Untuk mencari hasil kali matriks A dengan matriks B adalah mengalikan baris-
baris pada matriks A dengan kolom-kolom pada matriks B dan kemudian
jumlahkan hasil perkalian antara baris dan kolom
dc
ba
hg
fe
dhcfdgce
bhafbgae=
Sifat perkalian matriks dengan skalar
jika matriks A dan B berordo m x n dan r, s €bilangan real, maka :
1. (r + s) A = rA + sA 4. I . A + A. I + A
2. r (A + B) = rA + rB 5. (-1) A = A (-1) = -A
3. r ( sA ) = ( r . s ) A
Sifat-sifat perkalian dua buah matriks atau lebihTidak komutatif AB ≠ BA
1. Asosiatif (AB) C = A (BC)
2. Distributif kiri A (B + C) = AB + AC
3. Distributif kanan (B + C ) A = BA + CA
4. k (A . B ) = kA . B = A. kB , dengan k bilangan real
5. Jika AB = 0,belum tentu A = 0 atau B = 0
6. Jika AB = AC,belum tentu B = C
7. Identitas : A . I = I . A = A
1. Perkalian Sekalar
Definisi : Misalkan A adalah sembarang matriks dan c adalah sembarang skalar. Perkalian cA adalah matriks
yang didapat dari mengalikan setiap entri matriks A dengan c. Matriks cA disebut perkalian skalar
dari matriks A.
Soal : Jika c = −1 dan A =2 1 0−1 0 24 −2 7
, tentukan cA ?
2. Perkalian Dua Buah Matriks
Perhatikan matriks berikut
A = 1 2 42 6 0
dan B = 4 1 4 30 −1 3 12 7 5 2
Perkalian matriks AB terdefinisi karena banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B. Karena A berukuran 2 × 3 dan B berukuran 3 × 4 jadi AB berukuran 2 ×4.
Tentukan semua entri matriks AB?
Penggunaan Matriks untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear DuaVariabel
Apabila A,B, dan X adalah matriks-matriks persegi berordo 2 dan A adalah
matriks nonsingular yang mempunyai invers,yaitu A-1
1. Penyelesaian persamaan matriks AX=B ditentukan oleh X=A-1 .B2. Penyelesaian persamaan matriks XA=B ditentukan oleh X=B.A-1
Contoh :Diketahu P dan Q adalah matriks matriks persegi berordo 2 dengan
Q= 2 −54 1
Tentukan matriks P, jika:
a. PQ= 20 162 −6
b. QP= 20 162 −6
Jawab:
a. PQ = 20 162 −6
P = 20 162 −6
.Q-1
= 20 162 −6
1
2+20
1 5−4 2
= 20 162 −6
1
22
5
22−4
22
2
22
= −2 6
12
11−
1
11
Jadi, matriks P adalah = −2 6
12
11−
1
11
b. QP= 20 162 −6
P= Q-1 20 162 −6
=1
2+20
1 5−4 2
20 162 −6
=
1
22
5
22−4
22
2
22
20 162 −6
=
15
11−
7
11
−35
11−3
5
11
Jadi,matriks P adalah =
15
11−
7
11
−35
11−3
5
11
Pada subbab ini akan dibahas dua metode lagi untuk mencari penyelesaian system persamaan linear dua variable . Dua metode tersebut adalah
metode invers matrriks dan metode determinan.
1. Menyelesaikan system persamaan linear dua variabel dengan invers matriks
Bentuk umum system persamaan linear dua peubah 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑝𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑞
dapat dinyatakan dalam bentuk
persamaan matriks,yaitu𝑎 𝑏𝑐 𝑑
𝑥𝑦
= 𝑝𝑞
. Sehingga himpunan penyelesaiannya dapat ditentukan oleh :
𝑥𝑦
=1
𝑎𝑑−𝑏𝑐
𝑑 −𝑏−𝑐 𝑎
𝑝𝑞
Contoh :Tentukan nilai x dan y pada persamaan linear 5x-2y=4 dan 2x-y=7 dengan menggunakan metode invers matriks!
Jawab:
Bentuk matriks : 5 −22 −1
𝑥𝑦
= 47
𝑥𝑦
= 1
−5 −(−4)
−1 2−2 5
47
= 1
−1
−1.4 + 2.7−2.4 + 5.7
= -1 1027
= −10−27
Jadi, diperoleh nilai dari X=-10 dan Y=-27
2. Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variable dengan determinan
Contoh :Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear variabel 3x-y=5 dan -2x+5y=-12dengan menggunakan
metode determinan!
Jawab:
Bentuk matriks : 3 −1−2 5
𝑥𝑦
= 5−12
D= 3.5 - −2.−1 =15-2=13~ untuk mencari Dx, posisi x yaitu 3 dan -2 diganti dengan hasil yaitu 5 dan -12. sedangkan posisi Y tetap.
sehingga membentuk 5, -1, -2 , dan 5.
x = 𝐷
𝑋
𝐷=
5 −1−12 5
13= 25−12
13= 13
13= 1 Jadi, HP = 1,−2
y =𝐷
𝑌
𝐷=
3 5−2 −12
13= −36+10
13= −26
13= -2~
Soal !
1. Diketahui matriks X = 3 1 22 1 21 0 3
dan X . Y = Z , dengan Z = 10 188 145 13
. Tentukan
matriks Y ?
2. Diketahui : x + y – z = 1 , 8x + 3y – 6z = 1, -4x – y + 3z = 1 , tentukanlah nilai dari x, y, dan z dengan cara determinan?
3. Ibu Ahmad berbelanja di Toko ”Sembako Sejahtera” sebanyak 5 kg beras denganharga
Rp6.000,00 per kg, 4 kg terigu dengan harga Rp7.000,00 per kg, dan 3 liter minyakgoreng dengan
harga Rp9.000,00 per liter. Ibu Susan berbelanja barang yang sama di toko yang samadengan kuantitas
10 kg beras, 8 kg terigu, dan 2 liter minyak goreng. Sederhanakan persoalan di atasdalam bentuk
perkalian matriks dan tentukan jumlah yang harus dibayar oleh Ibu Ahmad dan IbuSusan.