Matematika materi 5 (2)

TURUNAN (DERIVATIF) FUNGSI SATU VARIABEL

BEBAS

FAHMI AL HADI20160102255

Fungsi Semula: Y=f(X).Jika X berubah dari X ke X’ makaperubahan X ditulis : ΔX= X’–XMaka : X’ = X + ΔX Fungsi Yang baru adalah: Y = f (X’)……….Y = f (X+ΔX)

(1). TINGKAT PERUBAHAN (RATE OF CHANGE)

ΔY/ ΔX = [f (X’) – f(X)]/ ΔX ΔY/ ΔX = [f (X + ΔX ) – f(X)]/ ΔX

ΔY/ ΔX : Perubahan dalam Y sebagai akibat perubahan perunit X.

Contoh :Diketahui : Y = f(X)…..Y = 3X2 – 4. f (X) ………...Y = 3X2 – 4.f (X+ΔX)…...Y = 3 (X+ΔX)2 – 4

Lanjutan:

ΔY = f(X+ ΔX) – f (X) ΔY = [3(X+ ΔX)2 – 4] – [3X2-4]ΔY/ ΔX = 6 X + 3 ΔX

Jika diketahui: X = 3 dan ΔX = 4, Maka: ΔY/ΔX=6(3)+3(4)….ΔY/ΔX = 30.Tingkat perubahan Y = 30 sebagai

akibatPerubahan perunit X.

Lanjutan:

Pembuktian:

Y = 3X2 – 4; X=3 …….Y = 3(3)2-4 = 23.Jika: ΔX = 4 …X’=3+4=7…Y’=3(7)2-4 =143.ΔY= Y’-Y= 143-23…. ΔY= 120.Tingkat Perubahan: ΔY/ ΔX =120/4……ΔY/ ΔX = 30

Tingkat perubahan tidak sama denganDerivatif (turunan pertama).

Lanjutan:

Derivatif adalah tingkat perubahan Y (ΔY)

bila perubahan x (ΔX) sangat kecilmendekati Nol.Sesuai dengan Contoh di atas:ΔY/ ΔX = 6X+3 ΔX.Jika ΔX 0 maka nilai : ΔY/ ΔX mendekatinilai 6X. Limit ΔY/ΔX = dY/dX= Limit 6X+3ΔX= 6X. ΔX 0 ΔX 0Sehingga didapat: dY/dX = 6X.

(2). TURUNAN (DERIVATIF) FUNGSI Y=F(X)…..Y= 3X2 – 4

Turunan Pertama suatu fungsi pada suatu titikadalah kemiringan (slope) dari fungsi tersebutpada titik itu.

(a). TURUNAN PERTAMA FUNGSI LINIER:

(3).DERIVATIF DAN KEMIRINGAN FUNGSI

X

Y

ΔY

ΔX

m : Slopem = (y2-y1)/(x2-x1)m = ΔY/ΔX= dy/dx

(x1,y1)

(X2, y2)

0

Y = 2X + 2 …m = 2….dY/dX= Y’= 2.X=0…..Y’=2 X=1…..Y’=2X=2….. Y’=2; dst.

Turunan pertama (dY/dX=Y’) dari setiap fungsi linier = m, dan konstan untuk setiap nilai X.

Contoh:

(b). TURUNAN PERTAMA UNTUK FUNGSI NON-LINIER

(X2,y2)L1

L2

Lo

0 X

Y

(X1,y1)

Y=f(X)

Apabila titik (X2,Y2) bergerak mendekati titik (X1,Y1), maka kemiringan garis L1 semakin kecil mendekati nilai batas yang konstan.

Sehingga kemiringan f(X) pada titik (X1,Y1) merupakan Derivatif fungsi tersebut pada titik (X1,Y1):

Limit ΔY/ΔX = kemiringan Lo = Y’= dY/dX ΔX 0 Proses untuk mendapatkan Turunan

Pertama suatu Fungsi disebut Diferensiasi Fungsi.

Lanjutan:

Y = 2,5 X – 0,75 X2.dY/dX = 2,5 - 1,5 X(Persamaan Turunan Pertama).X= 0……dY/dX= 2,5X=1…….dY/dX=1X=2…….dY/dX=-0,5.

Untuk fungsi Non-linier, maka kemiringanf(X) untuk setiap nilai X berbeda.

Contoh:

Proses untuk mendapatkan Turunan Pertama suatu Fungsi disebut Diferensiasi Fungsi.

Langkah mendapatkan turunan pertama fungsi :(a). Secara Langsung (Menggunakan Sifat–sifat Limit);(b). Menggunakan Aturan-aturan Diferensiasi.

(4). DIFERENSIASI FUNGSI

Contoh:Y = 4X+1 ……dY/dX=…..?

dY/dX= Limit [4(X+ΔX)+1- (4X+1)]/ ΔX ΔX 0dY/dX = Limit [(4X+4 ΔX)+1-(4X+1)]/ ΔX ΔX 0dY/dX = Limit (4ΔX)/ ΔX….dY/dX = 4

(a). Diferensiasi Fungsi dengan Menggunakan Sifat-sifat limit.

Diferensiasi Konstanta: Y = C…...dY/dX = Y’ = 0Contoh: Y = 6 …..dY/dX = 0.

Diferensiasi Fungsi Pangkat:Y = Xn …...dY/dX = n.Xn-1 Contoh: Y = X3/2…..dY/dX = 3/2 X1/2

(b). Aturan Diferensiasi Fungsi

Diferensiasi Perkalian Konstanta dengan Fungsi:

Y = c.Xn ….dY/dX = c.n.Xn-1

Contoh:Y = -2X4/3….dY/dX= -8/3 X1/3.

Lanjutan:

Diferensiasi Pembagian Konstanta dengan Fungsi jika y = k/v, dimana v=h(x), maka

2

/v

dxkdvdxdy

6

2

23

2

3

15)(

)3(5,5:xx

xx

dxdy

xycontoh

Y = U + V ……dY/dX= U’ + V’Contoh: Y = 3X2 + 4X….dY/dX= 6X + 4.Y = 2X + X-1/2…dY/dX= 2 - 1/2X-3/2.

Diferensiasi Penjumlahan dengan Fungsi:

Diferensiasi Perkalian Fungsi:Y = U.V…….dY/dX= U’V + UV’

Contoh: Y = (X3+4)(X+3)U=X3+4…..U’ = 3X2

V= X+3……V’ = 1dY/dX = 3X2(X+3) + (X3+4)(1)dY/dX= 4X3 + 9X2 + 4

Contoh: Y=(2X+3)(X2+1)……dY/dX=…?

Lanjutan:

Diferensiasi Pembagian Fungsi:Y = U/ V……dY/dX = [ U’V - UV’ ]/ V2

Contoh: Y = 4/ X6

U=4….U’=0; V=X6….V’= 6X5

dY/dX = - 24/ X7

Contoh: Y = (X3+16)/X2….dY/dX=….?

Lanjutan:

Diferensiasi Fungsi Berpangkat:Y = Un ……..dY/dX= n.Un-1.(U’).

Contoh: Y = (X2+3)3

dY/dX = 3(X2+3)2.(2X)= ….?

Contoh: Y = (X+3)3….dY/dX=….?

Lanjutan:

Turunan Fungsi Logaritma :

Log: menunjukkan logaritma biasa (bilangan dasar log = 10).

ln : menunjukkan logaritma natural (bilangan dasar logaritma adalah e; dimana : e = 2,71828). ln X = eLog X.

Lanjutan:

Lanjutan: Diferensiasi fungsi komposit-logaritmik

)6(log5

)2)(3(log5

)2(5

23

log

log

)2(5

)2()3()2(

)2()3(:misalkan

23log :contoh

log

22

22

xxe

xxe

xxx

edxdu

ue

dxdy

xxxx

dxdu

xxu

xxy

dxdu

ue

dxdy

a

a

Lanjutan: Diferensiasi fungsi Komposit-Logaritmik-Napier Jika y = ln u, dimana u = g(x), maka :

)6(5

)2(5

)3()2(1

)2(5

)2()3( :misalkan

23ln :contoh

1

22

2

xxxxx

dxdu

udxdy

xdxdu

xxu

xxy

dxdu

udxdy

Lanjutan: Diferensiasi fungsi eksponensialJika y = ax, dimana a : konstanta, maka :dy/dx = ax ln aContoh : y = 5x,

1ln sebab

juga, maka, hal Dalam

5ln5ln

e

edxdyey

aadxdy

xx

xx

Segala kekurangannya mohon dimaafkan

Segala kelebihannya silahkan dicontoh

Terima Kasih