Matematika Ekonomi Slide Komparatif Statis Dan Diferensial Fungsi

Komparatif Statis dan

Diferensiasi fungsi

Komparatif Statis

� Komparatif statis adalah analisa

perbandingan kondisi-kondisi ekuilibrium

dari berbagai set kondisi parameter dan

variabel eksogenus yang berbeda. variabel eksogenus yang berbeda.

Ekuilibrium

� Kondisi yang menunjukkan tidak ada

kecenderungan bawaan (inherent tendency)

untuk berubah, dicapai dari hasil

penyesuaian di mana variabel-variabel penyesuaian di mana variabel-variabel

pilihan (selected interrelated variables) yang

saling berhubungan

� Selected:

� Masih terdapat varibel lain yang tidak dipilih dan

dimasukkan ke dalam model

� Kondisi ekuilibrium yang dicapai hanya relevan

dengan variabel yang dimasukkan ke model

(particular variable set chosen)

� Interrelated:

Semua variabel yang dimasukkan ke dalam � Semua variabel yang dimasukkan ke dalam

model harus berada dalam kondisi tetap

(simultaneously be in a state of rest)

� Inherent:� State of rest tersebut didasarkan pada

perubahan internal (internal forces), sementara

faktor eksternal diasumsikan tetap (fixed).

Artinya, parameter dan variabel eksogen tetap

Statis Komparatif

� Pengertian:

� Membandingkan keadaan ekuilibrium yang

berbeda (different equilibrium states) yang

masing-masing berkaitan dengan parameter dan

faktor ekspgen yang berbeda

� Yang dibandingkan adalah keadaan awal/

sebelum (prechange) dan keadaan akhir/

sesudah (postchange).

� Pertanyaan yang igin dijawab: Bagaimana

keadaan sesudah dibandingkan dengan

sebelum?

� Analisa komparatif statis dapat berupa analisa

kuantitatif maupun kualitatif . Fokus analisa

kualitatif adalah adalah arah (direction) dan bukan

besarnya (magnitude) perubahan yang terjadi

Misal, bagaimana perubahan pendapatan nasional

Analisa Kuantitatif dan Kualitatif

Misal, bagaimana perubahan pendapatan nasional

akibat perubahan investasi.

� Akan tetapi hasil estimasi model selalu berupa

hasil yang kuantitatif, yang mengandung sekaligus

arah dan besaran estimasi. Sehingga dapat

dikatakan bahwa analisa kuantitatif selalu juga

menghasilkan analisa yang kualitatif.

Tingkat Perubahan

� Komparatif statis hanya membahas perubahan

antara ekuilibrium awal (prechange) dan ekuilibrium

akhir (postchange) dan tidak membahas proses

penyesuaian menuju ekuilibrium (adjustment of

variables). variables).

� Dalam komparatif statis , yang dianalisa adalah

tingkat perubahan

(rate of change).

µββββββ ++++++=15443322110

DXXXXY

β0 = Konstanta Intersep

Y = Harga Minyak goreng domestik pada bulan ke-t (Rupiah)

X1 = Harga Minyak goreng Domestik pada bulan ke t-1 (Rupiah)

X2 = Harga CPO domestik pada bulan ke-t (Rupiah)

X = Harga CPO Internasional pada bulan ke t (Rupiah)X3 = Harga CPO Internasional pada bulan ke t (Rupiah)

X4 = Kebijakan Pungutan Ekspor atas turunan CPO untuk m

Minyak goreng (%)

D1 =Dummy Kebijakan Domestik Market Obligation (Pasokan

Produsen Minyak goreng ke pasar domestik ; 0= Sebelum ada

perubahan kebijakan , 1= Setelah ada perubahan kebijakan

pasokan)

Diferensial

� Dalam teori matematika diferensial dikenal

sebagai suatu konsep yang mengukur

tingkat perubahan.

� Dengan demikian, konsep diferensial akan

sangat sesuai digunakan dalam analisa

komparatif statis.

Konsep limit dan slope

( )f x( )

0limx

y dyf x

x dx∆ →

∆′= =

∆

y∆

x∆

x

Konsep limit dan slope

( )f x

x

( )0 0dy

dy f xdx

′= → = =

Syarat Derivasi: Kontinuitas

� Misal merupakan fungsi yang akan

diderivasi. Fungsi tsb akan kontinu jika :

(1) merupakan domain fungsi, dan*x

( )

( )g x

terdefinisi.

(2) Fungsi mempunyai limit (LHS limit = RHS limit)

(3) Limit harus mempunyai nilai yang sama

dengan nilai ( )g x

( )g x

Latihan

� Coba gambarkan;

� untuk( ) 0y f x= = 10x <

untuk

� untuk

� untuk

� untuk

( )8 2x= − + 10x ≥

( ) 0y f x= = 0 10x< <

10 2x= − + 10x ≥

( ) 1100y f x x

−= = 0x ≠

Pelanggaran terhadap kondisi (1);

f(x) tidak terdefinisi

( ) 1100y f x x−= =

( )y f x=

0 x

Pelanggaran terhadap kondisi 2;

Fungsi tidak mempunyai limit

8 2y x= − + 10x ≥( )y f x=

10x <( ) 0y f x= =

10

12

x

Pelanggaran terhadap kondisi 3;

Limit tidak mempunyai nilai yang sama

dengan nilai f(x)

( )y f x=

( ) 212 50y f x x x= = − + 6x ≠

10= 6x =

6

10

x

Aturan derivasi (S&B, pp 28,93)

� Aturan dasar

( )′

( ) 1k kx kx −′=

� Penambahan dan pengurangan

( ) ( ) ( )( )0 0kf x k f x′ ′=

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0f g x f x g x′ ′ ′± = ±

Aturan derivative (lanjutan)

� Perkalian (product rule)

� Pembagian (quotient rule)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0f g x f x g x f x g x′ ′ ′⋅ = +

� Pangkat (power rule)

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )0 0 0 0

0 2

0

f x g x f x g xfx

g g x

′ ′ ′− =

( )( )( ) ( )( ) ( )1n n

f x n f x f x−′

′= ⋅

Latihan (S&B, p.28)

( )

( )( )( )

7 6 2

2 4

3 4 5

3 1 8

x x x

x x x x

′+ − +

′+ − −

( )( )

( )1

2

2

53 2

23

1

1

4 1

3 3

x

x

x x

x x−

′ −

+

′− +

′+

Aturan derivative (lanjutan)

� Eksponensial

( )x xe e′

=

lny

x y e x= ⇔ =

( )

( )

( )( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )

( )

1ln

.

ln ; 0

u x u x

e e

xx

e e u x

u xu x u x

u x

=

′ =

′′=

′′ = >

Latihan (S&B, p.95)

( )5xe

′ 55

xe= ( )kxAe

′

( )′

kxAke=

( )′x

e2

10x

xe= ( )lnx

e x′

( )2

5xe

′ln

xx e

e xx

= +

( )2ln x

′2

1 2.2x

x x= =

Latihan (S&B, p.95)

( )( )2

ln x′ 2ln x

x=

3 3x xe xe

− −= −

2

2 3

3 1

x

x x

+=

+ +

( )3 xxe

− ′ ( ) 31

xx e

−= −

( )( )2ln 3 1x x

′+ +

Composite function dan Chain Rule

� Chain relationship

� E.q: input output revenue

� Revenue adalah direct function dari output, dan

indirect atau composite function dari input.

( )x ( )y ( )R

indirect atau composite function dari input.

� Chain Rule

� Aturan derivative dari composite function

jika efek terhadap diketahui,

maka efek terhadap dapat juga dicari.x∆

y∆y∆

R∆

Turunan Fungsi Komposit

� Fungsi Komposit

atau ( ) ( )( )f x h g x= ( ) ( )( )f x h g x= o

� Power Rule

( )( ) ( )( ) ( )1

.k kd

g x k g x g xdx

−′=

( )( )( ) ( )( ) ( ).d

h g x h g x g xdx

′ ′=

Turunan Fungsi Komposit (lanjutan)

( )( ) ( )( ) ( ).

d h g dh dgx g x x

dx dz dx=

o

dh dh dz

dx dz dx=

dx dz dx

Derivasi Parsial

� Variasi pada f(x) akibat perubahan salah

satu variabel x, dengan variabel x lainnya

tetap/ konstan; y

x

∂

∂

� Contoh

x∂

( )2 2 23 6x y xy

x

∂=

∂

Derivasi Total

� Variasi pada f(x) akibat perubahan

seluruh variabel x secara simultan.

ydy

∂=∑

� Contoh

ydy

x

∂=

∂∑

( )( ) ( )2 2 2 2. .

3 6 6d x y xy x yx y

∂ ∂= + = +

∂ ∂

Latihan

� Turunkan kondisi maximisasi

keuntungan berikut;

( ) ( )R q C qπ = −( ) ( )R q C qπ = −

( ).R P Q q=