MATEMATIKA „A” 11. évfolyam Exponenciális függvények és egyenletek …kooperativ.hu/matematika/3_modulleírások-tanár-tanuló... · 2018-09-19 · Matematika „A” –

MATEMATIKA „A” 11. évfolyam

Exponenciális függvények és egyenletek

3. modul

Készítette: Csákvári Ágnes és Darabos Noémi Ágnes

Matematika „A” – 11. évfolyam – 2. modul: Hatványozás kiterjesztése, hatványfüggvény Tanári útmutató 2

A modul célja Hatványozás kiterjesztése valós számokra, rögzített alap mellett a hatvány kiszámítása különböző kitevők ese-

tén. Az exponenciális függvény ábrázolása, tulajdonságainak megállapítása, transzformációi. Alkalmazásuk a valós életben. Egyszerű, összetett és másodfokúra visszavezethető exponenciális egyenletek megoldása.

Időkeret 6 óra Ajánlott korosztály 11. osztály Modulkapcsolódási pontok Tágabb környezetben: Környezeti, fizikai, kémiai, biológiai, közgazdasági folyamatok modellezése.

Szűkebb környezetben: Logaritmus, hatványozás, analízis elemei. Geometriai transzformációk, vektorok. Soro-zatok, kamatoskamat számítás. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek. Ajánlott megelőző tevékenységek: Hatvány- és gyökfüggvény, függvénytranszformációk, függvények jellemzé-se. Vektorok; másodfokú egyenletek megoldása. Hatványozás egész, illetve racionális kitevőre. A hatványozás azonosságai. Ajánlott követő tevékenységek: Logaritmusfüggvény. Logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőt-lenségek. Sorozatok, kamatoskamat számítás. Analízis elemei.

A képességfejlesztés fóku-szai

Számolás, számlálás, számítás: Függvényérték kiszámítása. Pontok ábrázolása a koordináta-rendszerben. Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása. Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet: Hatványozás irracionális hatványkitevő esetén. Racionális, irracionális koordinátájú pontok helyének meghatározása a koordináta-rendszerben. Egyenletek, egyenlőtlenségek megol-dásai számának a meghatározása. Szöveges feladatok, metakogníció: Kémiai, biológiai, közgazdasági folyamatokban matematikai modellalkotás leírás alapján. Rendszerezés, kombinatív gondolkodás: Függvények ábrázolása függvénytranszformációkkal. Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása. Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása a függvény tulajdonságainak ismeretében. Másodfokúra visszavezethető exponenciális egyenletek. Induktív, deduktív következtetés: Az exponenciális függvény ábrázolása és jellemzése konkrét esetben, majd paraméter megadásával.


TÁMOGATÓ RENDSZER

• 3.1 fólia (1. mintapéldát tartalmazza)

• 3.2 kártyakészlet koordináta-rendszerrel (függvényérték kiszámítása)

• 3.3 táblázat (függvénytranszformációhoz)

• 3.4 triminó (exponenciális egyenletek)

• 3.5 torpedó (exponenciális egyenletek)

Ezeken kívül táblázatok, grafikonok, kidolgozott elméleti anyag, torpedó játék.

JAVASOLT ÓRABEOSZTÁS

1. óra Hatványozás kiterjesztése, exponenciális függvény

2. óra Exponenciális függvény ábrázolása függvénytranszformációkkal

3. óra A grafikon ismeretében megoldható egyenletek, egyenlőtlenségek

4. óra Az exponenciális függvény ismeretében megoldható exponenciális egyenletek

5. óra Összetettebb exponenciális egyenletek

6. óra Másodfokúra visszavezethető exponenciális egyenletek


ÉRETTSÉGI KÖVETELMÉNYEK

Középszint

Egyenletek megoldása új ismeretlen bevezetésével. Másodfokúra visszavezethető egyenletek megoldása. Tudjon definíciók és azonosságok

közvetlen alkalmazását igénylő exponenciális egyenleteket megoldani. Ismerje és alkalmazza a függvényeket gyakorlati problémák megol-

dásánál. Tudjon értéktáblázat és képlet alapján függvényt ábrázolni, illetve adatokat leolvasni a grafikonról. Ismerje, tudja ábrázolni és jel-

lemezni az xax a hozzárendeléssel megadott függvényt. Tudjon néhány lépéses transzformációt igénylő függvényeket függvénytransz-

formációk segítségével ábrázolni [f (x) + c; f (x + c); c f (x); f (c x) ]. Függvények jellemzése értékkészlet, zérushely, növekedés, fogyás,

szélsőérték, paritás szempontjából.

Emelt szint

Értelmezési tartomány, illetve értékkészlet vizsgálatával, valamint szorzattá alakítással megoldható egyenletek. Tudjon egyszerű exponen-

ciális egyenlőtlenségeket megoldani. Tudja ábrázolni az ( ) xaxf = függvény transzformáltjainak grafikonját ( )( )dbaxfc ++⋅ .


MODULVÁZLAT

Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek

Eszköz/ Feladat/ Gyűjtemény

I. Exponenciális függvény (3 óra)

1. Hatványozás kiterjesztése, az exponenciális függvény (1 óra)

1. Ismerkedés az exponenciális függvény grafikonjával: A tanulók párokban dolgoznak. Kitöltik az első fel-adatban található értéktáblázatot. Ezután gyorsan el-lenőrzik a számításokat, majd ábrázolják is a függvé-nyeket.

számlálás, számítás, becslés 1. és 2. feladat

2. A tapasztalatok összegzése csoportmegbeszéléssel: A tanulók 4 fős csoportokban dolgoznak. Minden cso-port kap egy sorszámot, és a tanárnál is maradnak sor-szám kártyák. A tanár felolvassa a kérdéseket. Minden kérdés elhangzása után hagy időt a válasz megbeszélé-sére, majd húz egy kártyát. Az adott sorszámú csoport egy képviselője megosztja a többiekkel a csoport vála-szát. Az osztály ellenőriz, javít ha kell.

rendszerezés, valószínűségi szemlélet 3. feladat

3. Exponenciális függvény definíciója: A tanár összegez, és elmondja az exponenciális függ-vény definícióját.

rendszerezés, induktív következtetés 3.1 fólia 1. mintapélda


4. Függvényérték-számítás: A tanulók 4 fős csoportokban dolgoznak. A tanár min-den csoportnak odaadja az első kártyakészletet, vala-mint a koordináta-rendszert (koordrsz.bmp). Minden tanuló húz 4-4 kártyát. A feladat az adott hozzárende-lési utasítás alapján a függvényérték kiszámítása az adott helyen, majd az így kapott pont becsült helyének berajzolása a koordináta-rendszerbe

2. és 3. mintapélda 4–7. feladatokból válogatva 3.2 kártyakészlet

2. Exponenciális függvény ábrázolása függvénytranszformációkkal (1 óra)

1. Függvénytranszformációk átismétlése kerekasztallal: A tanulók 4 fős csoportokban dolgoznak. Az egyik gyerek körbeindít egy lapot. Ráírja, ő milyen függvénytranszformációkra emlékszik, és ír 1–1 pél-dát is rá. A példában elegendő, ha a függvény hozzá-rendelési utasítása szerepel. Ha nem emlékszik többre, odaadja a lapot a mellette ülőnek, aki kiegészíti. Ezek után osztályszinten is megbeszélik, ki mit gyűj-tött össze. A tanár rendszerez, a táblára egymás mellé, oszlopokban felírja a transzformációkat. Minden cso-portból kimegy egy tanuló, és felírja a csoport példáit.

rendszerezés, induktív, deduktív gondolkodás 8. feladat


2. Egyszerű függvények ábrázolása függvénytranszformációkkal és a függvény jellemzése A tanár kiosztja nekik az első táblázatot, és a hozzá tartozó 12 db kártyát. Az eszközkészletben található táblázatból két példányt készít. Az egyikből lesznek a kártyák, a másikból pedig kitörli 12 cella tartalmát, és úgy adja oda. A tanulók szétosztják egymás között a kártyákat. Feladatuk azok helyrerakása. Egy sorban a függvény hozzárendelési utasítása, grafikonja találha-tó, illetve az, hogy ezt a grafikont milyen transzformá-cióval kapjuk az alapfüggvény grafikonjából.

deduktív gondolkodás, kombinatív gondolkodás, számlálás

4. és 5. mintapélda 9–11. feladatokból válogatva 3.3 táblázat

3. Egyszerű exponenciális egyenlőtlenség megoldása grafikon alapján.

kombinatív gondolkodás, számlálás 12. feladat

4. Összetettebb függvények ábrázolása függvénytranszformációval

deduktív gondolkodás, kombinatív gondolkodás, számlálás

13–15. feladatokból válogatva

3. A grafikon ismeretében megoldható egyenletek, egyenlőtlenségek (1 óra)

1. Grafikon segítségével megoldható egyenletek kombinatív gondolkodás, valószínűségi szemlé-let

6. és 7. mintapélda 16. feladat

2. Grafikon segítségével megoldható egyenlőtlenségek kombinatív gondolkodás, valószínűségi szemlé-let

8. mintapélda (12. feladat)


II. Exponenciális egyenletek (3 óra)

4. Az exponenciális függvény ismeretében megoldható egyenletek (1 óra)

1. A mintapéldák közös megbeszélése számítás, számolás, kombinatív gondolkodás 9. és 10. mintapélda 2. Szakértői mozaik.

Alakítsunk ki négy fős csoportokat! Minden csoport-ban mindenki kap egy-egy kártyát. A kártyákon az A, B, C, D betűk szerepelnek. Ezután egy munkacsopor-tot alkotnak azok a tanulók, akik azonos betűt kaptak. A betűk a feladatok nehézségi fokát jelentik: A a leg-könnyebb, a D pedig a legnehezebb. A munkacsoport-ok megoldják a kapott feladatot, majd visszamennek az eredeti csoportjukhoz. A négy fős csoportokban megbeszélik mind a négy feladat megoldását. Ezután a tanár tetszőlegesen kiválaszt négy tanulót, és mind-egyiküktől egy feladat ismertetését kéri a táblánál.

számítás, számolás, kombinatív gondolkodás 17–20. feladatokból válogatva

5. Összetettebb exponenciális egyenletek (1 óra)

1. Triminó játék Alakítsunk ki csoportokat az osztályban. Minden cso-port kap 9 db szabályos háromszöget. A kis három-szögek oldalait összeillesztve minden csoport elkészít egy nagy háromszöget. Úgy kell az oldalakat összeil-leszteni, hogy az élek mentén egy egyenlet és a meg-oldása álljon.

számítás, számolás, kombinatív gondolkodás 3.4 triminó

2. A mintapéldák közös megbeszélése számítás, számolás, kombinatív gondolkodás 11. és 12. mintapélda


3. Szakértői mozaik. Alakítsunk ki négy fős csoportokat! Minden csoport-ban mindenki kap egy-egy kártyát. A kártyákon az A, B, C, D betűk szerepelnek. Ezután egy munkacsopor-tot alkotnak azok a tanulók, akik azonos betűt kaptak. A betűk a feladatok nehézségi fokát jelentik: A a leg-könnyebb, a D pedig a legnehezebb. A munkacsoport-ok megoldják a kapott feladatot, majd visszamennek az eredeti csoportjukhoz. A négy fős csoportokban megbeszélik mind a négy feladat megoldását. Ezután a tanár tetszőlegesen kiválaszt négy tanulót, és mind-egyiküktől egy feladat ismertetését kéri a táblánál.

számítás, számolás, kombinatív gondolkodás 21. és 22. feladatokból válogatva

6. Másodfokúra visszavezetető exponenciális egyenletek (1 óra)

1. A mintapélda közös megbeszélése számítás, számolás, kombinatív gondolkodás 13. mintapélda 2. Torpedó játék. A játékban páros számú csoportra

bontjuk az osztályt, majd megbeszéljük, hogy melyek a szembenálló csoportok. Minden csoport elhelyezi saját flottáját a bal oldali 10x10-es táblán. A csoport-nak az a feladata, hogy a 7. feladatot legjobb tudása szerint megoldja. Minden jó feladatért adjunk 5 torpe-dót. Ha végeztek a feladatmegoldással, összegezzük, hogy melyik csoport hány lövéssel rendelkezik, majd kezdődhet az ütközet. A játék nyertese az a csoport, aki előbb lövi ki az ellenfél összes hajóját.

számlálás, számítás, számolás, kombinatív gon-dolkodás

23. feladat 3.5 torpedó játék

Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 10

I. Exponenciális függvény

Eddigi tanulmányaink során találkoztunk abszolútérték függvénnyel, trigonometrikus függvé-

nyekkel, gyökfüggvényekkel, valamint hatványfüggvénnyel. Ez utóbbinál a hatványalap ál-

landóan változott, a hatványkitevőt pedig rögzítettük. Most megnézzük, mi lesz a függvény

képe, és milyen tulajdonságú lesz a függvény, ha a hatványalapot rögzítjük, és a hatványkite-

vőt változtatjuk.

Módszertani megjegyzés: A tanulók párokban dolgoznak. Kitöltik az első feladatban található

értéktáblázatot. Ezután ellenőrzik a számításokat, majd ábrázolják is a függvényeket.

Először megnézzük egynél nagyobb, majd egynél kisebb szám hatványait. Ezek után az egy

oszlopba tartozó számokból rendezett értékpárokat képezünk, amelyeket koordináta-rend-

szerben ábrázolunk.

Feladatok

1. Töltsd ki az alábbi értéktáblázatokat!

a)

x –2 23

− –1 21

− 0 41

21 1 2 3

2x

b)

x –2 23

− –1 21

− 0 41

21 1 2 3

x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21

c)

x –2 23

− –1 21

− 0 41

21 1 2 3

1x

3. modul: Exponenciális függvények és egyenletek Tanári útmutató 11

Megjegyzés: Ha az alap 1, akkor a már ismert konstans függvényt kapjuk, mivel 1-nek min-

den hatványa 1. Ezért az 1 alapot nem választjuk az exponenciális függvény alapjának.

Megoldás:

a)

x –2 23

− –1 21

− 0 41

21 1 2 3

2x 41

81

21

21 1 4 2 2 2 4 8

b)

x –2 23

− –1 21

− 0 41

21 1 2 3

x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21 4 8 2 2 1 4 2

1 2

1 21

41

81

c)

x –2 23

− –1 21

− 0 41

21 1 2 3

1x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2. Képezz pontokat az 1.a) és az 1.b) feladatok alapján az értéktáblázatok oszlopaiból, és

ábrázold külön koordináta-rendszerben az 1.a) pontjait, és az 1.b) pontjait!

Módszertani megjegyzés: A tanulók az ábrák alapján válaszolnak a következő kérdésekre,

amit közösen meg is beszélnek majd.

A tanulók 4 fős csoportokban dolgoznak. Minden csoport választ egy szóvivőt, kap egy sor-

számot és a tanárnál is maradnak sorszám kártyák. A tanár felolvassa a kérdéseket. Minden

kérdés elhangzása után hagy időt a válasz megbeszélésére, majd húz egy kártyát. Az adott

sorszámú csoport szóvivője megosztja mindenkivel a csoport válaszát. Az osztály ellenőriz és

javít, ha kell.

3. Válaszolj a következő kérdésekre!

1. Milyen előjelű lehet a hatványozás eredménye?

2. Eddigi ismereteid alapján milyen számok szerepelhetnek a hatványkitevőben?


3. Az elkészített grafikonoknak lehet-e közös pontjuk az x tengellyel? Miért?

4. Mit tudsz mondani a két grafikon monotonitásáról?

5. A valóságban elhelyezkedhetnek-e ezek a pontok sűrűbben?

6. Az ( ) xxf 2= , illetve a ( )x

xg ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

21 tetszőleges x értékéhez egyetlen hatvány tar-

tozik-e? Igaz-e ez fordítva?

A fentieket általánosíthatjuk: létezik az ( ) xaxf = , 0>a , a ≠ 1 függvény. Ez a függvény köl-

csönösen egyértelmű. Megfigyelésünkben azt is láttuk, hogy a grafikon tetszőlegesen megkö-

zelíti az x tengelyt, de azt soha nem éri el. Az ilyen egyeneseket aszimptotának nevezik.

Ezért az x tengely a függvény grafikonjának az aszimptotája. Ez azt jelenti, hogy a függvény

alulról korlátos, mégpedig alsó korlátja a 0. Abszolút minimuma nincs, azaz nincs olyan leg-

kisebb szám, amelynél kisebb értéket a függvény ne venne fel!

Mivel az értelmezési tartomány a racionális számok halmaza, ezért a függvény grafikonja

diszkrét pontokból áll függetlenül attól, hogy ezek a pontok tetszőlegesen közel helyezked-

hetnek el egymáshoz.

Az értelmezési tartomány – a permanencia-elv alapján – kiterjeszthető a valós számok halma-

zára úgy, hogy a hatványozás azonosságai és a függvény tulajdonságai érvényben maradnak.

Ekkor a grafikon is folytonos lesz.

Módszertani megjegyzés: Jobb csoportban érdemes elmondani a hatványozás kiterjesztését

irracionális kitevőre.

Kiegészítő anyag:

Számítsuk ki a 23 értékét!

Azt már korábban láttuk, hogy egy irracionális szám tetszőleges pontosan megközelíthe-

tő racionális számmal. Adjunk egy tetszőleges közelítést a 2 -re.

5,124,1 <<

42,1241,1 <<

415,12414,1 <<

4143,124142,1 <<


Kihasználva a függvény szigorú monotonitását 23 -re a következő közelítést kapjuk:

2,53337,4 5,124,1 ≈<<≈

76,433371,4 42,1241,1 ≈<<≈

733,4333728,4 415,12414,1 ≈<<≈

7293,43337287,4 4143,124142,1 ≈<<≈

Ábrázoljuk számegyenesen ezeket az intervallumokat!

Az ábráról látszik, hogy tulajdonképpen egymásba skatulyázott intervallumokról van

szó. Bebizonyítható, hogy bármeddig folytatjuk ezen egymásba skatulyázott intervallu-

mok képzését, egyetlen olyan pont van, amelyik mindegyik intervallumnak közös pont-

ja. Ehhez a ponthoz rendelt valós számmal definiáljuk a 23 hatványt.

Az eddigi tapasztalatok általánosításával eljutunk az exponenciális függvény fogalmához.

Megjegyzés: A későbbiek során a fenti hozzárendelési utasítással megadott függvényt tekint-

jük alapfüggvénynek. A név az exponens latin szóból származik, mely kitevőt jelent. Vagyis

az ismeretlen a hatványkitevőben található.

Módszertani megjegyzés: Az első mintapélda az 3.1 fólián is megtalálható (kinyomtatható).

Legyen a pozitív valós szám, a ≠ 1, x ∈ R. Ekkor az f (x) = ax függvényt exponenciális függvénynek nevezzük.


Mintapélda1

Ábrázoljuk és jellemezzük a valós számok halmazán értelmezett exponenciális függvényt (alapfüggvényt)! Megoldás:

Az a értékétől függően 2 esetet különböztetünk meg: Első eset: 0 < a < 1 Második eset: a > 1

Jellemzés R 1. ÉT R R+ 2. ÉK R+ nincs 3. zérushely nincs szigorúan monoton csökkenő 4. monotonitás szigorúan monoton növő nincs 5. szélsőérték nincs nem páros, nem páratlan 6. paritás nem páros, nem páratlan invertálható 7. invertálhatóság invertálható 3.2 kártyakészlet

Módszertani megjegyzés: A tanulók 4 fős csoportokban dolgoznak. A tanár minden csoport-

nak odaadja az első kártyakészletet, valamint a koordináta-rendszert (koordrsz.bmp). Minden

tanuló húz 4-4 kártyát. A feladat az adott hozzárendelési utasítás alapján a függvényérték ki-

számítása az adott helyen, majd az így kapott pont becsült helyének berajzolása a koordináta-

rendszerbe. (4. feladat)


4. Számítsd ki számológép használatával a függvényértékeket az alábbi helyeken, majd

becsüld meg a pont helyét a koordinátasíkon! A koordináta-rendszerben egy egység

0,2-nek feleljen meg. A függvényértékeket két tizedesjegy pontosan határozd meg!

23

− –0,9 –0,5 3

10− 0,01 0,42 0,8

45

3x

x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

31

Megoldás:

23

− –0,9 –0,5 31

− 0,01 0,42 0,8 45

3x 0,19 0,37 0,58 0,69 1,01 1,59 2,41 3,95

x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

31 5,20 2,69 1,73 1,44 0,99 0,63 0,42 0,25

Megjegyzés: A számolást megkönnyíti, ha figyelembe vesszük, hogy 1331 −= .

Exponenciális függvényekkel a valós életben is találkozhatunk, amikor bizonyos folyamato-

kat szeretnénk leírni. Ilyen folyamatok például:

• tőke növekedése

• termelés növekedése

• kamatos kamat

• piaci folyamatok

• élőlények szaporodása

• radioaktív anyag bomlatlan atomjainak száma az eltelt idő függvényében

• légnyomás csökkenése a magasság függvényében

Megjegyzés: Az első három folyamattal a sorozatoknál majd részletesen foglalkozunk.


Mintapélda2

Ha a 0 időpontban N0 számú bomlatlan atomot tartalmazott a radioaktív anyag, akkor t idő

múlva a még bomlatlan atomok száma tt eNN ⋅λ−⋅= 0 lesz (e ≈ 2,718). A λ neve bomlási ál-

landó (megadja, hogy időegység alatt az atomok hányad része bomlik el az adott anyagban),

értéke pedig a 14C szénizotóp esetén 41024,1 −⋅=λ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

év1 .

a) A 14C atomok szénatomok hány százaléka bomlik el 5, 10, 20, illetve 100 év múlva?

b) A 14C atomok hány százaléka bomlik el évente?

A radioaktív anyagok 2

1t felezési ideje megmutatja, hogy mennyi idő alatt bomlik el az anyag-

ban a radioaktív atomok fele.

Megoldás:

a) Tudjuk, hogy a kiindulási évben a bomlatlan szénatomok száma N0, majd t idő eltelté-

vel ez az érték tt NN ⋅−⋅= 000124,0

0 718,2 lesz. Az 1000

⋅NNt érték adja meg, hogy t idő el-

teltével a szénatomok hány százaléka marad bomlatlan. Ebből következik, hogy a

szénatomok

( ) 100718,21100718,211001 000124,0000124,0

0

0

0

⋅−=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− ⋅−

⋅−t

t

NN

NNt százalé-

ka bomlik el.

t helyébe behelyettesítjük a konkrét értékeket:

5 év múlva: ( ) 100718,21 5000124,0 ⋅− ⋅− = 0,06197 %

10 év múlva: ( ) 100718,21 10000124,0 ⋅− ⋅− = 0,1239 %

20 év múlva: ( ) 100718,21 20000124,0 ⋅− ⋅− = 0,2477 %

100 év múlva: ( ) 100718,21 100000124,0 ⋅− ⋅− = 1,232 %

b) Tudjuk, hogy a t időpontban a bomlatlan atomok száma tt eNN ⋅λ−⋅= 0 , a következő

évben pedig ( )101

+⋅λ−+ ⋅= t

t eNN . Az t

t

NN 1+ hányados adja meg, hogy a következő évben

az atomoknak hány százaléka maradt bomlatlan. Behelyettesítve kapjuk: t

t

eNeN

λ

λ

−

+−

⋅⋅

0

)1(0 .

A hatványozás azonosságainak felhasználásával egyszerűsítés után az eredmény


99988,0718,2 000124,01 === −−+ λeN

N

t

t . Vagyis a radioaktív szénatomok 99,988%-a ma-

rad bomlatlan évente. Tehát 0,012%-a bomlik el évente.

Feladatok

5. Egy tavirózsa a megfigyelés kezdetekor 1 m2 vízfelületet fed be, majd hetente megdup-

lázza a befedett felületet.

a) Ábrázold, hogyan függ a befedett terület a hetekben mért időtől!

b) Olvasd le a grafikonról, hogy mennyi idő alatt lesz a befedett terület 8 m2, 15 m2,

30 m2!

Megoldás:

a) Az ábrázolandó függvény az ( ) xxf 2= , ahol x ∈ R+

b) 8 m2 befedéséhez pontosan a 3. hét szükséges. 15 m2 a 3. hét vége felé

lesz fedve, és a 30 m2-es lefedettséget a 15 m2-es időpont után pontosan 1

héttel ér el.

6. Az úgynevezett fékezett (logisztikus) növekedés matematikai modellje szerint egy po-

puláció egyedszáma időben nem a végtelenségig nő, hanem a vizsgálat kezdetétől el-

telt t idő múlva a lélekszám ( ) taNKN

NKtN

⋅−+⋅

=00

0)( , ahol N0 az induló egyedszám,

K a körülmények szerint „eltartható” maximális egyedszám, a pedig a növekedésre

jellemző állandó.

Tudjuk, hogy egy populáció induló egyedszáma 20 000 volt, K = 240 000 , a = 0,6; a t

időt években mérjük. Hány tagú lesz a populáció 2, 4, 8, 10 év múlva?


Megoldás:

Be kell helyettesíteni az eltelt évek számát a képletbe, felhasználva, hogy N0 = 20 000,

K = 240 000 , a = 0,6:

( )48000

6,0200002400002000020000240000)2( 2 ≈

⋅−+

⋅=N , hasonlóan kapjuk: N (4) ≈ 99 000;

N (8) ≈ 200 000; N (10) ≈ 225 000

Látható, hogy gyorsan telítődik a létszám, K az elérhető maximum, és ezt már majd-

nem 10 év alatt el is éri a populáció létszáma.

7. Ha a 0 időpontban N0 számú bomlatlan atomot tartalmazott a radioaktív anyag, akkor t

idő múlva a még bomlatlan atomok száma tt eNN ⋅λ−⋅= 0 lesz (e ≈ 2,718). A λ neve

bomlási állandó (megadja, hogy időegység alatt az atomok hányad része bomlik el az

adott anyagban). A gyógyászatban daganatos területek kezelésére ún. kobaltágyút

használtak, amelyben a 60-as tömegszámú kobaltizotóp a radiokatív (gamma-sugár)

forrás. A kobaltizotóp bomlási állandója λ = 0,1323 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

év1 .

a) A kobaltatomok hány százaléka bomlik el 2, 5, 10, 15 év alatt?

b) A radioaktív atomok hány százaléka bomlik el évente?

Megoldás:

a) Tudjuk, hogy a kiindulási évben a bomlatlan kobaltatomok száma N0, majd t idő eltel-

tével ez az érték Nt = N0 ⋅ 2,718–0,1323 t lesz. Az 1000

⋅NNt érték adja meg, hogy t idő el-

teltével a kobaltatomok hány százaléka marad bomlatlan. Ebből következik, hogy a

kobaltatomok

( ) 100718,21100718,2

11001 1323,01323,0

0

0

0

⋅−=⋅⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⋅−=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− ⋅−

⋅−t

t

NN

NNt százaléka

bomlik el.

t helyébe behelyettesítjük a konkrét értékeket:

2 év múlva: ( ) 100718,21 21323,0 ⋅− ⋅− = 23,25 %

5 év múlva: ( ) 100718,21 51323,0 ⋅− ⋅− = 48,39 %

10 év múlva: ( ) 100718,21 101323,0 ⋅− ⋅− = 73,36 %


15 év múlva: ( ) 100718,21 151323,0 ⋅− ⋅− = 86,25 %

b) Tudjuk, hogy a t időpontban a bomlatlan kobaltatomok száma tt eNN ⋅λ−⋅= 0 , a követ-

kező évben pedig ( )101

+⋅λ−+ ⋅= t

t eNN . Az t

t

NN 1+ hányados adja meg, hogy a következő

évben az atomoknak hány százaléka maradt bomlatlan. Behelyettesítve kapjuk:

t

t

eNeN

λ

λ

−

+−

⋅⋅

0

)1(0 . A hatványozás azonosságainak felhasználásával egyszerűsítés után az

eredmény 8761,0718,2 1323,01 ≈== −λ−+ eN

N

t

t . Vagyis a radioaktív kobaltatomok 87,61

%-a marad bomlatlan évente, azaz 12,39 % bomlik el.

Az exponenciális függvények ábrázolása

A tanulók 4 fős csoportokban dolgoznak. A csoporton belül két fő az a) részt oldja meg, a

másik pár pedig a b)-t.

Mintapélda3

Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a következő valós számok halmazán értelmezett

függvényeket! Számítsuk ki a függvényértékeket a megadott helyeken! Állapítsuk meg a mo-

notonitásukat!

a) f (x) = x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

41 ; f (0) = ?; f (1) = ?; f (–1) = ? g (x) =

x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

42 ; g (0) = ?; g (1) = ?; g (–1) = ?

b) h (x) =x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

45 ; h (0) = ?; h (1) = ?; h (–1) = ? k (x) =

x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

46 ; k (0) = ?; k (1) = ?; k (–1) = ?

Megoldás:

a) b)


f (0) = 1; f (1) = 41 ; f (–1) = 4 h (0) = 1; h (1) =

45 ; h (–1) =

54

g (0) = 1; g (1) = 21 ; g (–1) = 2 k (0) = 1; k (1) =

23 ; k (–1) =

32

szigorúan monoton csökkenők szigorúan monoton növekedők

Módszertani megjegyzés: A tanulók 4 fős csoportokban dolgoznak. Az egyik gyerek körbein-

dít egy lapot. Ráírja, ő milyen függvénytranszformációkra emlékszik, és ír 1-1 példát is rá. A

példában elegendő, ha a függvény hozzárendelési utasítása szerepel. Ha nem emlékszik több-

re, odaadja a lapot a mellette ülőnek, aki kiegészíti.

Ezek után osztályszinten is megbeszélik, ki mit gyűjtött össze. A tanár rendszerez, a táblára

egymás mellé, oszlopokban felírja a transzformációkat. Minden csoportból kimegy egy tanu-

ló, és felírja a csoport példáit.

Ezek után analógiát használva megpróbálnak válaszolni az 8. feladat kérdéseire. Dolgozhat-

nak csoportosan, vagy osztályszinten, tanári irányítással is megbeszélhetik.

Feladat 8. Válaszolj az alábbi kérdésekre!

1. Van-e olyan pont, amelyik minden alapfüggvény grafikonján rajta van. Ha igen, me-

lyik ez?

2. Hogyan változik az f (x) =x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

31 függvény hozzárendelési utasítása, ha grafikonját eltol-

juk az y tengely mentén pozitív irányba 2 egységgel?

3. Mi lesz annak a függvénynek a hozzárendelési utasítása, melynek grafikonját az

f (x) = 3x függvény grafikonjából annak x tengely menti –3 egységgel történő eltolásá-

val kapjuk?

4. Mi lesz annak a függvénynek a hozzárendelési utasítása, melynek a grafikonját úgy

kapjuk az f(x) =x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

32 függvény grafikonjából, hogy minden függvényértéket megszor-

zunk 3-mal?


5. Hogyan változik az f (x) = 2x függvény hozzárendelési utasítása, ha grafikonját tükröz-

zük az x tengelyre?

6. Hogyan változik az f (x) =x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21 függvény hozzárendelési utasítása, ha grafikonját tük-

rözzük az y tengelyre? Felhasználva a hatványozás negatív kitevőre vonatkozó azo-

nosságát, hogyan tudnád másképp felírni ezt a hozzárendelési utasítást?

Megoldás:

1. Van, a (0;1) pont; 2. 231)( +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

x

xf ; 3. 33)( += xxf ;

4. x

xf ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

323)( ; 5. f (x) = –2x; 6. f (x) =

x−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21 = 2–(–x) = 2x.

Mintapélda4

Ábrázoljuk az alábbi függvények grafikonját, és jellemezzük a függvényeket!

a) f (x) = 2x – 1; x ∈ Z b) g (x) = 3 x + 2; x ∈ ] –5; 0 [ c) h (x) = –2 x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

31 ; x ∈ [ –1; 2 [

Megoldás:

a)

Transzformációs lépések:

1. a (x) = 2x az alapfüggvény ábrázolása

2. f (x) = 2x – 1 a grafikonjának eltolása a

v(0; –1) vektorral

Jellemzés:

1. ÉT: Z

2. ÉK: ] –1; ∞ [

3. Zérushely: 2x – 1 = 0, ebből x = 0

4. Monotonitás: szigorúan monoton növő

5. Szélsőérték: nincs

6. Paritás: nem páros, nem páratlan

7. Invertálható


b)

Transzformációs lépések:

1. a (x) = 3x, az alapfüggvény ábrázolása

2. g (x) = 3 x + 2 a grafikonjának eltolása

a v( –2; 0) vektorral

Jellemzés:

1. ÉT: ] –5; 0 [

2. ÉK: ⎢⎣⎡

⎥⎦⎤ 9;

271

3. Zérushely: nincs


5. Szélsőérték: nincs


7. Invertálható

c) Transzformációs lépések:

1. ( )x

xa ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

31 az alapfüggvény ábrázolása

2. ( )x

xb ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

312 a grafikonjának kétszeres

nyújtása

3. ( )x

xh ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−=

312 b grafikonjának tükrözése az x

tengelyre.

Jellemzés:

1. ÉT: [ –1; 2 [

2. ÉK: ⎢⎣⎡

⎢⎣⎡ −−

92;6

3. Zérushely: nincs



5. Szélsőérték: minimumhely: x = –1

minimumérték: h(–1) = –6


7. Invertálható

Mintapélda5

Ábrázoljuk az alábbi függvényeket! Határozzuk meg az értelmezési tartományukat és az ér-

tékkészletüket is!

a) ( )x

xf ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

21 b) ( )

x

xg ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

21 c) ( )

2244

+−

= x

x

xh

Megoldás:

a) Mivel az x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21 hatvány értéke mindig pozitív, ezért

xx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

21

21 . Tehát az ábrázolandó függvény az

( )x

xf ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

21 . Az értelmezési tartomány a valós számok hal-

maza, az értékkészlet a pozitív valós számok halmaza.

b) A ( )x

xg ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

21 függvény grafikonjának ábrázolásához hasz-

náljuk az abszolútérték definícióját:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

≥⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= −

0ha,21

0ha,21

)(x

xxg x

x

A függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza. Értékkészlete a ]0; 1] in-

tervallumbeli valós számok.

c) A függvény ott nincs értelmezve, ahol a nevező 0:


022 =+x , de 02 >x miatt 022 >+x . Vagyis a függvény mindenütt értelmezhető.

Az ábrázoláshoz végezzük el a következő átalakítást:

Vegyük észre, hogy ( ) 22 2244 −=− xx .

Az ( )( )bababa −+=− 22 azonosság felhasználásával a tört egyszerűsíthető.

Így az ábrázolandó függvény a ( ) 22 −= xxh .

Az ábrázolást megkönnyíti, ha felveszünk egy, a

(0; –2) ponton átmenő, az x tengellyel párhuzamos egyenest, hiszen a grafikon ehhez az

egyeneshez közelít majd, ez lesz a függvénygörbe aszimptotája.

ÉT: R; ÉK: ] –2; ∞ [

Feladatok

3.3 táblázat

Módszertani megjegyzés a 9. feladathoz: A tanulók 3 vagy 4 fős csoportokban dolgoznak. A

tanár kiosztja nekik az első táblázatot, és a hozzá tartozó 12 db kártyát. Az eszközkészletben

található táblázatból két példányt készít. Az egyikből lesznek a kártyák, a másikból pedig ki-

törli 12 cella tartalmát, és úgy adja oda.

A tanulók szétosztják egymás között a kártyákat. Feladatuk azok helyére rakása. Egy sorban a

függvény hozzárendelési utasítása, grafikonja található, illetve az, hogy ezt a grafikont milyen

transzformációval kapjuk az alapfüggvény grafikonjából.

Ha a frontális feldolgozást választják, akkor a feladat a függvények jellemzését is tartalmazza,

míg a táblázatos feldolgozásban ez nincs.


9. Készítsd el a valós számok halmazán értelmezett alábbi függvények grafikonját, és

jellemezd a függvényeket!

( ) 23 += xxa ( )x

xb ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

312 ( ) xxc −= 3

( ) xxd 5,03= ( )x

xe ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

31 ( ) 2

31

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

x

xf

Megoldási útmutató: Ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók. A

jellemzéshez a mintapéldák nyújtanak segítséget.

10. Ábrázold a következő függvények grafikonját! Határozd meg a függvények érték-

készletét és onotonitását is!

a(x) = 2x, x ∈ ] –2; 3] b(x) = x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21 , x ∈ Z c(x) = 3x, x ∈ ] –4; 4[

Megoldási útmutató: Ábrázoljuk a függvényeket a megadott értelmezési tartományon!

a) ÉK: ⎥⎦⎤

⎥⎦⎤ 8;

41 ; szig. mon. nő.

b) ÉK: ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

n

21 ; szig. mon. csökk.

c) ÉK: ⎢⎣⎡

⎥⎦⎤ 81;811 ; szig. mon. nő.

11. Ábrázold a következő valós számok halmazán értelmezett függvények grafikonját, és

jellemezd a függvényeket!

a(x) = 1221

+⋅ x b(x) = 221 1

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+x c(x) = 3–x

Megoldási útmutató: Ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók. A

jellemzés az alapfüggvények és a transzformáció segítségével megállapítható.

12. A függvények grafikonja alapján döntsd el, x milyen értékeire lesz

a) 2x < 8 b) x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21 < 8 c)

21 < 2x < 4 d) 4

21

21

<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛<

x


e) –3 < 2x < 16 f) 2x > 1024 g) x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21 > 1024

Megoldás: a) x < 3; b) x > –3; c) –1 < x < 2; d) –2 < x < 1.

13. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a valós számok halmazán értelmezett követ-

kező függvények grafikonját!

f (x) = 1 – 2x g(x) = 1 – x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21 h(x) = | 2x –1 |

Megoldási útmutató: Az f és g függvények közvetlenül, a h függvény az abszolútérték definí-

ciójának felhasználása után elemi függvénytranszformációkkal ábrázolható.

14. Ábrázold a következő függvények grafikonját! Határozd meg az értelmezési tartomá-

nyukat is!

a(x) = 2

33 xx −+ b(x) = 233 xx −− c(x) = 3

92

2 −−

xx

d(x) = 1214

−−

x

x

Megoldási útmutató:

Az a és b függvények megrajzolása értéktáblázat

készítésével a legegyszerűbb.

A c és d függvények az alábbi átalakítások után

elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók.

( ) 32

23,339 +=⇒≠+=

−− xxcxx

xx

( ) 120,121214

+=⇒≠+=−− xx xdxx

x

15. Vizsgáld a valós számok halmazán értelmezett f (x) = –2 2

43 +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x

– 4 függvényt!

a) Melyik alapfüggvény transzformációjáról van szó?


b) Milyen transzformációkat, milyen sorrendben kell végrehajtani? (Több jó sorrend

is lehetséges.)

Megoldás:

a) az alapfüggvény: x

xa ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

43)(

b) a transzformációk és ezek egy helyes sorrendje:

1. x tengely menti eltolás negatív irányba 2 egységgel, azaz a v(–2; 0) vektorral;

2. y tengely menti kétszeres nyújtás;

3. tükrözés az x tengelyre;

4. y tengely menti eltolás negatív irányba 4 egységgel, azaz a v(0; –4) vektorral.

Grafikon felhasználásával megoldható egyenletek,

egyenlőtlenségek

Vannak olyan egyenletek, amelyek közvetlenül, hagyományos algebrai úton nem oldhatók

meg. Az ilyen egyenletek bal, illetve jobb oldalából külön-külön képezünk függvényt. Ezeket

közös koordináta-rendszerben, a megfelelő értelmezési tartományon ábrázolva, leolvassuk a

metszéspont x helyét, amely egyben a megoldás is.

Megjegyzés: A grafikus megoldás sok esetben csak közelítő megoldást ad. Az eredményt al-

gebrai (vagy egyéb) módszerekkel lehet pontosítani.

Mintapélda6

Oldjuk meg grafikusan a következő egyenleteket a valós számok halmazán!

a) xx 22 = b) 33

1 2xx=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Megoldás:

a) Az egyenlet bal oldalából képezzük az

a(x) = 2x, a jobb oldalából a b(x) = 2x függ-

vényt. Készítsük el a két függvény grafikonját

közös koordináta-rend-szerben!

Az ábráról leolvasható a megoldás:

x1 = 1; x2 = 2


A függvények szigorúan monoton növők. Ebből következik, hogy más megoldás

nincs.

b) Az a) részhez hasonlóan járunk el: a(x) = x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

31 ,

b(x) = 3

2x

Az ábráról leolvasható a megoldás: x = 1

Mintapélda7

Oldjuk meg grafikusan a következő egyenleteket!

a) 22 xx = , x > 0 b) x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

34 +1 = cos x

Megoldás:

a) Az egyenlet bal oldalán lévő kifejezés legyen az

( ) xxa 2= függvény, míg a jobb oldalon található kife-

jezés legyen a ( ) 2xxb = függvény. Ábrázoljuk a-t és

b-t közös koordináta-rendszerben!

x = 2 megoldást ad, mert 22 22 = .

Az ábráról leolvasható, hogy 0 < x < 2 esetén nincs

megoldás, mert a hatványfüggvény az exponenciális

görbe alatt halad, x > 2 esetén pedig fordítva.

b) Ismét ábrázoljuk közös koordináta-

rendszerben az ( ) 134

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

x

xa és a


( ) xxb cos= függvényeket!

Az ábráról is leolvasható, hogy nincs megoldás, mert az a függvény tetszőlegesen

megközelíti az 1-et, de sohasem éri el: 034

>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x

. A b függvény értéke pedig legfel-

jebb 1 lehet.

Mintapélda8

Oldjuk meg grafikusan a valós számok halmazán értelmezett következő egyenlőtlenségeket!

a) xx ⋅≥ 25,04 b) 143

−>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x

c) 157

−≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x

Megoldás:

a) x ≥ –1 b) x ∈ R c) nincs megoldás

Megjegyzés: b) és c) megoldása közvetlenül következik a függvények értékkészletéből.

Feladatok

16. Oldd meg grafikusan a valós számok halmazán értelmezett következő egyenleteket!

a) xx

57

75

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ b) 25

35

+−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ x

x

c) –x

x ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

732

Megoldás:

Ábrázolás után a megoldások a grafikonról leolvashatók.

a) x = –1; b) x = 0; c) nincs megoldás.

30 MATEMATIKA „A” • 11. ÉVFOLYAM TANÁROK KÖNYVE

II. Exponenciális egyenletek

A korábban megismert első- és másodfokú egyenletek úgynevezett algebrai egyenletek, ame-

lyek algebrailag, tehát csak a négy alapművelettel és négyzetgyökvonással megoldhatóak.

Most olyan egyenletekkel ismerkedünk meg, melyek nem algebrai egyenletek, ezért új meg-

oldási módokat kell keresnünk, az ismeretlenek meghatározásához.

Azokat az egyenleteket, ahol az ismeretlen a hatványkitevőben szerepel, exponenciális

egyenleteknek nevezzük.

Az exponenciális függvények ismeretében megoldható egyenletek

Először nézzük meg azokat az eljárásokat, melyeknél az a cél, hogy azonos alapú hatványok

szerepeljenek az egyenlet mindkét oldalán.

Mintapélda9

Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán!

a) 6422 =x

b) 3 81279 ⋅=x

c) 264164 −=⋅ xx

Megoldás:

a) Mivel 6264 = , ezért az egyenletet 62 22 =x alakba is írhatjuk. Az ( ) xxf 2= szigorúan

monoton növekvő függvény, ezért a függvényértékek csak akkor egyeznek meg, ha a ki-

tevők azonosak. Tehát 62 =x , innen 3=x .

Ellenőrzés: Bal oldal: 6422 632 ==⋅ . Jobb oldal: 64 .

b) Írjuk fel az egyenlet mindkét oldalát 3 hatványaként: 34

32 333 ⋅=x . Azonos alapú hatvá-

nyokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk: 313

2 33 =x . A 3-as alapú exponenciá-

lis függvény szigorú monotonitása miatt a függvényértékek egyenlőségéből a kitevők

egyenlősége következik: 3

132 =x amiből: 6

13=x . Megoldáshalmaz:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

613M . A

megoldás helyessége az eredeti egyenletbe való behelyettesítéssel ellenőrizhető.

3. modul: EXPONENCIÁLIS FÜGGVÉNY 31

c) Mindkét oldalt 4-es alapú hatvánnyá alakítjuk: ( ) 232 444 −=⋅

xx , majd alkalmazzuk a

hatványozás azonosságait: 632 44 −+ = xx . A 4-es alapú exponenciális függvény szigorú

monotonitása miatt a függvényértékek egyenlőségéből a kitevők egyenlősége követke-

zik: 632 −=+ xx amiből: 4=x . A megoldás helyességét visszahelyettesítéssel ellen-

őrizzük.

Mintapélda10

Oldjuk meg a következő egyenleteket a pozitív egész számok halmazán!

a) 3213 497 −− = xx

b) xx 522125 2 ⋅=⋅ −

c) 18 8103 2

=−+ xx

Megoldás:

a) Mivel 2749 = , ezért az egyenletet ( ) 32213 77 −− =xx alakba is írhatjuk. Hatványt úgy hat-

ványozunk, hogy az alapot a kitevők szorzatára emeljük: 6413 77 −− = xx .

A 7-es alapú exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt a függvényértékek

egyenlőségéből a kitevők egyenlősége következik, azaz 6413 −=− xx .

Ha 31

≥x , akkor 13 −x nemnegatív, így abszolútértéke önmaga, azaz elhagyhatjuk az

abszolútérték jelet: 6413 −=− xx , ebből 5=x , ami beletartozik az egyenlet alaphal-

mazába.

Ha 31

<x , akkor a 13 −x negatív, abszolútértéke az ellentettje: ( ) 6413 −=−− xx , azaz

1=x , ez a feltételben megadott tartományon kívül esik, ezért ebben a tartományban

nem kapunk megoldást.

Ellenőrzés: Bal oldal: 14153 77 =−⋅ . Jobb oldal: ( ) 14727352 774949 ===−⋅ .

b) Azokat a hatványokat, melyeknek a kitevőjében különbség szerepel, azonos alapú hat-

ványok hányadosaként is felírhatjuk: xx

52225 2

3 ⋅=⋅ . Az ismeretleneket egy oldalra ren-

dezve kapjuk, hogy 3

3

52

52

=x

x

, azaz: 3

52

52

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

x

.


A ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

52 -öd alapú exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt a függvényértékek

egyenlőségéből a kitevők egyenlősége következik, azaz 3=x . Megoldáshalmaz:

{ }3=M . A megoldás eleme az alaphalmaznak, helyességét visszahelyettesítéssel el-

lenőrizzük.

c) Felírjuk az 1-et 8 hatványaként: 08103 882

=−+ xx . A 8-as alapú exponenciális függvény

szigorú monotonitása miatt a függvényértékek egyenlőségéből a kitevők egyenlősége

következik, azaz 08103 2 =−+ xx ebből ( )

61410

328341010 2

21±−

=⋅

−⋅⋅−±−=,x az-

az, 32,4 21 =−= xx , ezek egyike sem eleme az egyenlet alaphalmazának.

Feladatok

Módszertani megjegyzés: A tanulók négy fős csoportokban dolgoznak. Minden csoporttag kap

egy-egy kártyát, amelyen A, B, C vagy D betűk szerepelnek. Ezután egy munkacsoportot al-

kotnak azok a tanulók, akik azonos betűt kaptak. A munkacsoportok megoldják a kapott fel-

adatot, majd visszamennek az eredeti csoportjukhoz. A négy fős csoportokban megbeszélik

mind a négy feladat megoldását. Ezután a tanár tetszőlegesen kiválaszt négy tanulót, és mind-

egyiküktől egy feladat ismertetését kéri a táblánál.

A jelűek feladata

17. Oldd meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán!

a) 273 =x b) 322 =− x c) 7293 2 =− x d) 162 32 =+x

Megoldás:

a) 3=x b) 5−=x c) 3−=x d) 21

=x

B jelűek feladata

18. Oldd meg az alábbi egyenleteket a racionális számok halmazán!

a) 8131

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x

b) 9

1634 2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+x

c) 425

52

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x

d) 1681

32 32

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

− x

Megoldás:

a) 4−=x b) 0=x c) 2−=x d) 2=x


C jelűek feladata

19. Oldd meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán!

a) 6

16 3 =− x b) 3 23 168 −+ = xx c) 128

14 2 =+x d) 1255 32 =−x

Megoldás:

a) 61

=x b) 43−=x c) Nincs megoldás d) 0;3 21 == xx

D jelűek feladata

20. Oldd meg az alábbi egyenleteket a nem negatívszámok halmazán!

a) xx 23 = b) xx 22 32559 ⋅=⋅ c) 036449 1 =⋅−⋅ −xx d) 111 152 2

=−+xx

Megoldás:

a) 023

231

23 0

=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇒= x

x

x

x

b) 259

59

53

259 222

=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇒= x

x

x

x

c) 343

43

43

6427

336449

3

=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇒=⇒⋅=⋅ x

x

x

xxx

d) 3;2501521111 21

20152 2

−==⇒=−+⇒=−+ xxxxxx ez utóbbi nem tartozik

az alaphalmazhoz, így az egyenlet megoldása: 5,225==x .

Összetettebb exponenciális egyenletek

3.4 triminó

Módszertani megjegyzés: Triminó játék! Alakítsunk ki csoportokat az osztályban. Minden

csoport kap 9 db szabályos háromszöget. A kis háromszögek oldalait összeillesztve minden

csoport elkészít egy nagy háromszöget. Úgy kell az oldalakat összeilleszteni, hogy az élek

mentén egy egyenlet és a megoldása álljon.

Természetesen aki nem akarja a triminót használni, az frontális munka formájában is megold-

hatja az ott található egyenleteket.


Az exponenciális egyenletek egy másik csoportját alkotják azok az egyenletek, amelyek az

exponenciális tagban válnak elsőfokú egyenletté. Ezeken az egyenleteken a hatványozás azo-

nosságai segítségével tudunk olyan átalakításokat végezni, hogy abból az együtthatók leol-

vashatók legyenek.

Mintapélda11

Oldjuk meg a 107333 213 =+− +−+ xxx egyenletet az egész számok halmazán!

Megoldás:

Azokat a hatványokat, melyeknek a kitevőjében összeg szerepel, azonos alapú hatvá-

nyok szorzataként, ahol különbség, azokat azonos alapú hatványok hányadosaként is fel-

írhatjuk: 107333

333 23 =⋅+−⋅ xx

x


Innen 10733133 23 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−x

1073

1073 =⋅x

33 =x, ebből: 1=x .

Ellenőrzés: Bal oldal: 10727181333333 304211131 =+−=+−=+− +−+ .

Jobb oldal: 107. Megoldáshalmaz: { }1=M .

Mintapélda12

Oldjuk meg a 1822 8946 ++ ⋅=⋅ xxxx egyenletet a pozitív számok halmazán!

Megoldás:

Bontsuk fel a hatványalapokat prímtényezőkre: ( ) ( ) ( ) ( ) 1832222 23232 ++⋅=⋅⋅

xxxx

Alkalmazzuk a hatványozás azonosságait: 54324222 23232 ++ ⋅=⋅⋅ xxxxx

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk x23 -nel (ez x-től függetlenül mindig pozitív): 543422 222 ++ =⋅ xxx

Innen 54344 22 ++ = xx

A 2-es alapú exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt a függvényértékek

egyenlőségéből a kitevők egyenlősége következik: 54344 +=+ xx , azaz 50=x .

Ellenőrzés: Bal oldal: 10020410410010052100250502 322324646 ⋅=⋅⋅=⋅=⋅ +⋅ .

Jobb oldal: 20410068100185050 238389 ⋅=⋅=⋅ + . Megoldáshalmaz: { }50=M .

Feladatok

Módszertani megjegyzés: A tanulók négy fős csoportokban dolgoznak. Minden csoporttag kap

egy-egy kártyát, amelyen az A, B, C vagy D betűk szerepelnek. Ezután egy munkacsoportot

alkotnak azok a tanulók, akik azonos betűt kaptak. A betűk a feladatok nehézségi fokát jelen-

tik: A a legkönnyebb, a D pedig a legnehezebb. A munkacsoportok megoldják a kapott felada-

tot, majd visszamennek az eredeti csoportjukhoz. A négy fős csoportokban megbeszélik mind

a négy feladat megoldását. Ezután a tanár tetszőlegesen kiválaszt négy tanulót, és mindegyi-

küktől egy feladat ismertetését kéri a táblánál.


21. Oldd meg a következő exponenciális egyenleteket az egész számok halmazán!

A jelűek feladatai

a) 32505545 21 =+⋅− ++ xxx b) 23527767 12 =−⋅+ ++ xxx

B jelűek feladatai

c) 36222 21 =+− +− xxx d) 4235 23532 ++++ −⋅=− xxxx

C jelűek feladata

e) 1293 132 =+ −− xx

Megoldás:

a) ( ) 312553250526325025455 =⇒=⇒=⋅⇒=+−⋅ xxxx

b) ( ) 24972352748235276497 =⇒=⇒=⋅⇒=−+⋅ xxxx

c) 382362543642112 =⇒=⇒=⋅⇒=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⋅ x, xxx

d) ⇒⋅⋅+⋅=⋅+⋅⇒⋅−⋅⋅=⋅−⋅ xxxxxxxx 395327216232216395327232

( ) ( ) 132

32

4872

324527316322

1

−=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇒=⇒+=+

−

xx

x

xxx

e) 281932494324399129

92732

=⇒=⇒=⋅⇒=⋅+⇒=+ xxxxxxx

22. Oldd meg a következő exponenciális egyenleteket a valós számok halmazán!

C jelűek feladata a) ( )55

133

616

−−− ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

xxx

D jelűek feladatai b) 292842 +⋅= xx c) xxx 43132 555

2 −− =⋅

Megoldás:

a) ( )( ) ( )

312025366 21

255133 −==⇒=−−⇒= −−−− xxxxxxx

b) 215059222 21

22932 2

−==⇒=−−⇒= ++ xxxxxx

c) 214047255 21

243132 2

=−=⇒=−+⇒= −−+ xxxxxxx


Másodfokú egyenletekre visszavezethető exponenciális egyenle-

tek

Vannak olyan exponenciális egyenletek, amelyek az exponenciális tagban válnak másodfokú

egyenletté. Itt a másodfokú egyenlet megoldása után, ismét a függvény tulajdonságára hivat-

kozva tudjuk meghatározni az ismeretlen értékét.

Mintapélda13

Oldjuk meg a 0213432 =−⋅+ xx egyenletet az egész számok halmazán!

Megoldás:

Észrevehetjük, hogy a ( )22 33 xx = , ezért bevezetjük az yx =3 új ismeretlent.

A következő másodfokú egyenletet kapjuk: 02142 =−+ yy .

Ebből ( )

2104

12211444 2

21±−

=⋅

−⋅⋅−±−=,y azaz, 73 21 −== y,y .

Ha 31 =y , akkor 33 =x , innen 1=x .

Ha 72 −=y , akkor 73 −=x , innen nem kapunk megoldást, hiszen minden x-re 03 >x .

Az egyenlet megoldása 1=x .

Ellenőrzés: Bal oldal: 02134921343 112 =−⋅+=−⋅+⋅ . Jobb oldal: 0.

Feladatok

3.5 torpedó játék

Módszertani megjegyzés: A játékban páros számú csoportra bontjuk az osztályt, majd megbe-

széljük, hogy melyek a szembenálló csoportok. A csoportok egy-egy hadiflottának a parancs-

nokai; céljuk az ellenfél flottájának elsüllyesztése. Az első teendő a flotta elhelyezése a bal

oldali 10x10-es táblán úgy, hogy a többi csoport ne láthassa. Minden csoportnak 3 db 1-

mezős, 2 db 2-mezős, 1-1 db 3-, 4- és 5 mező nagyságú hajója van. Ügyeljünk arra, hogy az

elhelyezett hajók ne érintsék egymást, de a hajók mezőinek kapcsolódni kell egymáshoz (l. az

ábrát). Ha az összes csoport minden hajóját elhelyezte, kezdődhet a munka. Minden csoport-

nak az a feladata, hogy a 23. feladatot legjobb tudása

szerint megoldja. Minden jó feladatért adjunk 5 torpedót.

Ha a feladatok megoldása nem tökéletes, de bizonyos

része értékelhető adhatunk érte résztöltényeket is. Ezután


összegezzük, hogy melyik csoport hány lövéssel rendelkezik, majd kezdődhet az ütközet. A

csoportok felváltva indítják a torpedóikat, és bemondják az éppen célzott mezőt (pl. C2). Vá-

laszul az ellenfél bemondja, hogy sikeres volt-e a találat (pl.: nem talált, talált, süllyedt). A

jobb oldali táblán jelölhetik a csoportok az ellenfél flottájának elhelyezkedését. A játék nyer-

tese az a csoport, aki előbb lövi ki az ellenfél összes hajóját.

23. Oldd meg a következő exponenciális egyenleteket a természetes számok halmazán!

a) 04254 =+⋅− xx b) 183732 =⋅− xx c) 031255625 2 =+⋅− +xx

d) 16239 31 =+ ++ xx e) 41 21284 ++ += xx f) 3212 5255 ⋅=+ ++ xx

g) 322 21922 ++ =− xx h) xx

3162793 =−

Megoldás:

a) 0;21;40452 21212 ==⇒==⇒=+⋅−⇒= xxyyyyyx

b) 22;901873 212 =⇒−==⇒=−⋅−⇒= xyyyyyx

c) ⇒=+−⇒=⇒=+⋅− 0312515050312551505 22 yyyxxx

3;2125;25 2121 ==⇒== xxyy

d) ⇒=−+⇒=⇒=−⋅+⋅ 054933016232739 22 yyyxxx

16;3 21 =⇒−== xyy

e) ⇒=−−⇒=⇒=−⋅−⋅ 03242012821624 22 yyyxxx

34;8 21 =⇒−== xyy

f) ⇒=−+⇒=⇒=−⋅+⋅ 05055025052555 22 yyyxxx

110;5 21 =⇒−== xyy

g) ⇒=−−⇒=⇒=−⋅−⋅ 0482201922824 22 yyyxxx

36;8 21 =⇒−== xyy

h) ⇒=−−⇒=−⇒= 016279162793 2 yyy

yyx

42;81 21 =⇒−== xyy

24. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán!

a) 2166 23 =+x b) 1255 23 =−x c) 636 13 =−x d) 8127 14 =+x


Megoldás:

a) 31

=x b) 35

=x c) 21

=x d) 121

=x

25. Oldd meg az alábbi egyenleteket a racionális számok halmazán!

a) 23

827

94 −+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

xx

b) 321

81

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x

c) 271

91 2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+x

d) 2764750 13 =+x,

Megoldás:

a) 0=x b) 35

=x c) 21

−=x d) 34

−=x

26. Oldd meg az alábbi egyenleteket a nemnegatív számok halmazán!

a) 33 45 −− = xx b) 113 12x5x2 2

=−− c) 5,132 75 −− = xx d) 623 116 −− = xx

e) 112 =x f) 11 6364256 +− ⋅=⋅ xx g) xx 58255 ⋅=⋅ h) 07 =x

Megoldás:

a) 345

451

45 03

3

3

=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇒=

−

−

−

xx

x

x

b) 23;4012521313 21

201252 2

−==⇒=−−⇒=−− xxxxxx ez utóbbi nem tarto-

zik az alaphalmazhoz, így az egyenlet megoldása: 4=x .

c) ( ) 5,1257

257

257175

5,10

5,1

5,15,15,12 =⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇒=⇒=

−

−

−−− x

x

x

xxx

d) 36

1216

1216

11130

3

62

=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇒=

−

−

−

xx

x

x

e) 01212 0 =⇒= xx

f) 346

46

46

216646636

44256

3

−=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇒=⇒⋅⋅=⋅

−

xx

x

xx

x

, ez nem tar-

tozik az alaphalmazhoz, ezért az egyenletnek nincs megoldása.

g) 23

25

25

25

2

525

855 2

3

23

23

=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇒=⇒=

⋅ xx

x

x

x

x

h) Nincs megoldás.


Kislexikon Exponenciális függvény: az ( ) xaxf = (a ≠ 1, x ∈ R) hozzárendelési utasítással megadott

függvény.

Exponenciális egyenlet: Azok az egyenletek, amelyekben az ismeretlen a hatványkitevőben

szerepel.

Aszimptota: Egy végtelenbe nyúló görbeív aszimptotája olyan egyenes, amelyet a görbe tet-

szőleges pontossággal közelít meg a végtelen felé haladva.

Algebrai kifejezés: Változók, számok és matematikai műveletek összekötése, ha a változóval

(változókkal) csak algebrai műveleteket kell végezni.

MATEMATIKA „A” 11. évfolyam Exponenciális függvények és egyenletek …kooperativ.hu/matematika/3_modulleírások-tanár-tanuló... · 2018-09-19 · Matematika „A” –

Documents