Matematika a zenében

Matematika a zenében

A Fourier-elemzés• Fourier-elemzésnek nevezett matematikai

tételből következik, hogy minden periodikus rezgés megfelelő számú tiszta, színuszos részrezgés eredőjeként is felfogható. Ezeknek a részrezgéseknek a körfrekvenciái az előforduló legkisebb körfrekvencia egész számú többszörösei lesznek.

…mindez képlettelahol n = 1, 2, 3, ….y(t) az elemzett periodikus rezgés pillanatbeli kitérése, αn az egyes részrezgések csúcsértéke, amplitúdója, ω0 = 2π x f0, ahol f0 az elemzett periodikus rezgés alapfrekvenciája, φn az egyes részrezgések kezdeti fázisszöge.

Grafikonon ábrázolt rezgésciklusok:

A felhangsorA részhangok és a felhangsor fogalma

nem más, mint ennek az összefüggésnek a hangok világára való

alkalmazása.

A felhangsor az akusztikus hangszereknél játszik szerepet, de vannak kivételek. Többek között a zongora, a hárfa és a gitár (bundozott). Ennek kapcsán írta J. S. Bach – Wohltemperiertes Klavier (= Jól hangolt zongora) c. művét.

Az alábbi ábrán a „C” hang felhangsora látható.

A felhangsorAz előző ábrán látható felhangsor számozásából rezgésszám aránypárokat kapunk, melyekből megkapjuk a hangköz nagyságát (ti. a két hang rezgésszámának hányadosát, vagyis a két hang távolságát).

Mindez fizikai szemszögből ábrázolva:

A felhangsorNézzük tehát a legfontosabb hangközök aránypárjait!

•Az oktáv:Akkor jön létre, ha a két hang rezgésszámának aránya 1:2A zeneelmélet legfontosabb hangközeA hangrendszerekben a hangok magassági viszonyainak alapegységeKülönböző népek, különböző korokban, eltérő módszerek alapján alakították ki hangrendszereiket, egy dolog azonban majdnem az összesben közös, hogy a hangok viszonya egymáshoz képest oktávonként megismétlődikEnnek fizikai magyarázata van, mivel az oktávot alkotó hangok jól szólnak együtt, hasonlítanak egymásraA különböző hangnemek skálái is az alaphangtól, az alaphang oktávhangjáig tartanak, mivel utána minden hangköz megismétli önmagát

A felhangsor•A kvint

Akkor jön létre, ha a két hang rezgésszámának aránya 2:3Ezt szokták a második legfontosabb hangköznek nevezniEz is nagyon jól szól együtt, ezért hangzatok fontos alkotórészeIlyen hangközzel hangolják a szomszédos húrokat

a hegedűna brácsána csellóna mandolinona német citerán

• A kvart Akkor jön létre, ha a két hang rezgésszámának aránya 3:4

A kvint kiegészítő hangköze, mivel együtt egy oktávot tesznek ki (Hangközöket úgy tudunk összeadni, hogy a rezgésszámok arányát kifejező

törteket összeszorozzuk) Erre hangolják a nagybőgő és a basszusgitár húrjait, illetve egy-egy

hangköztől eltekintve a lant és a gitár húrjait is

A felhangsor•A terc

Ha a két hang rezgésszámának aránya 4:5, akkor a hangközt nagytercnek nevezzükHa 5:6, akkor a hangközt kistercnek hívjukEgyütt egy kvintet alkotnak

•A szekundA második legkisebb hangköz (ti. a legkisebb hangköz a prím, de a gyakorlatban nem

létezik, mivel hangközaránya 1:1)A szekundnak nincs meghatározott aránypárja

A felhangsor 8. fokától „felfelé” már csak kis- és nagyszekundok vannakKét nagy szekund egy nagytercet alkot

Egy kisszekund és egy nagyszekund együtt, egy kistercet alkot

A felhangsorEz itt a természetes hétfokú hangsor. Attól természetes, hogy a természetes felhangrendszer darabjai fedezhetők fel benne, és attól hétfokú, hogy oktávonként hét hangból áll. Nézzük meg közelebbről, számozzuk meg a hangokat, majd írjuk le ezeket a sorszámneveket latinul:

A felhangsorÁbrázoljuk végül a felhangsort számegyenesen úgy, hogy feltűntetjük az aránypárok neveit is!

ZárógondolatokMivel idén született 200 éve Liszt Ferenc, ezért nem fejezhetem be mással, mint pár szóval a zongora hangterjedelméről, és annak fejlődéséről. (A hangközöknél - így a hangterjedelemnél is - a hangok számába beleszámoljuk a kezdő- és záróhangot is)

1. A klaviatúra terjedelme Christofori gravicembalo col pian e fortéján 1700 körül 4 és fél oktáv (54 hang).

2. A klaviatúra terjedelme Silbermann, Stein zongoráin és az angol zongorákon az 1770-es évekig 5 oktáv (61 hang).

3. Broadwood ért el előszőr 5 és fél oktáv terjedelmet 1792 körül (68 hang).4. A bécsi zongorák körében 1805 körül mindennapinak számított a 6 oktávos terjedelem

(73 hang).5. Az angol zongorák 1805 körül általában 6 oktávos terjedelműek voltak (73 hang).6. Egy 18. század közepén készült zongora jellemző hangterjedelme 82 hang volt.7. Napjaink standard hangterjedelme 7 és 1/4 oktáv (88 hang)8. A Bösendorfer Imperial koncertzongoráknak 8 oktáv a hangterjedelme (97 hang)

BibliográfiaForrások:

http://www.mek.iif.hu/porta/szint/human/zene/kaboca01/html/dalla1.htm

http://hu.wikipedia.org/wiki/Felhangsor

John-Paul Williams : A Zongora

Kiegészítve zenei tanulmányaimmal. /Kővári Gergő/

Készítették

Joó Róbert (fizikai elméleti rész)Nádas László (fizikai elméleti rész)

Kővári Gergő (egyéb zeneelméleti részek)

2011. február 9.