Matematicki list 1974 VIII 5

VAZNA OBAVESTENJA

l. Uredni5tvo poziva nastavnike i profesore matematike kao i ostale dita-9c9 da Salju svoje priloge za list: dlanke, odabrane zadatke,'zadatke sa prijemnihispita i matematidkih takmidenja, razne zanimljivosti. PoZeljno je da svi rukopisi(osim udenidkih re5enja zadataka) budu pisani pisaiom ma5inom s proredom acrteZi izradeni na posebnoj dvrstoj hartiji. Rukopisi se ne vracaju.

2. ,,Matematidki list" namenjen je svint uienicima V-VIII raz. osnovneSkole. List izlazi 5 puta u toku Skolske godine.

3. GodiSnja pretplata (za svih 5 brojeva) iznosi 25 dinara. Narudiocima zavi5e od l0 kompleta odobraramo rabat (201, 15%, 10%), zavisno od roka dokojeg se isplati celokupna pretplata (l.XII, 1.II, 1.IV). Nikakvi drugi odbici neuvaZavaju se.

NarudZbine se Salju na adresu lista, a novac na iiro-raiun ,,Matematilkoglista" broj 60806-678-14627. Pri tome obavezno treba navesti tainu adresu na kojulist treba dostavljati i jasno naznaditi na 5ta se narudzbina odnosno uplata odnoli.

4. RaspolaZemo kompletima lista iz lkolske 1968169. god. (br. III. l-5),5k. 1969/70. god. (br. IV. l-5), ik. 1970/71. god. (br. V. 3), Sk. 1911172. god.(91. YI. l-sl i 5k. 1972173 god. (br. VII. 1-5) Od ovih godista prodaju sJrII,IV,.VI i VII po sniZenoj ceni od 6 dinara za komplet, a godiite V po-ceni od2 dinara.

5. Mole se poverenici,,Matematidkog lista,. da izmire sva zaostala dugovanja.6. Sve priloge, primedbe i narudZbe slati iskljuiivo na adresu:

Matematiiki list, p.p. 7ZB, ll00l Beograd

MATEMATIEKI LISTZA UEENrcE OSNOVNE STOTN

SADRZAJl. Dr. Vladimir Mitit: Dirihleov princip2. Vladimir Jirasek: Da li san mogao brZe radunati3. I. B.: Jedan nadin konstruisanja pravilnog desetougla4. Stavra Y. Radojkovit: Poluprednik opisane i poluprednik upisane kruZnice

kod pravouglog trougla5. Jedna anegdota o matematidaru Adamu Riseu . 1476. Testovi za proveravanje znanja iz matematike 1497. Re5enja konkursnih zadataka 223-234. 1538. Najuspeiniji re5avatelji konkursnih zadataka lB9-234 iz ML VIII 1-4 1579. Nagradeni re5avatelji konkursnih zadataka 160

10. Rezultati konkursa za nagradni zadatak br. 37 . 16111. Rezultati konkursa za nagradni zadatak br. 38 . 16212. Zabavni zadaci za letnju razonodu mladih matematidara 16313. Re5enja zabavnih zadatakal4.Zanimljivi kvadrati ..... korice 315. ObaveStenja pretplatnicima .. .. korice 4

133t3'l143

t46

uII5

lll,OCl{Al)1974,CENA 5 DINARA

SAVEZ DRUSTAVA MATEMATIEAP,A, FIZIEARA I ASTRONOMAJUGOSLAvIJE

MATEMATIEK LIST

za u6enike osnovne Skole

God. VIII, broj 5 (t973174)

lzlazi pet puta godiSnje

IZDAJE DRUSTVO MATEMATIEARA, FIZIEARA I ASTRONOMASR SRBIJE

Beograd, Knez Mihajlova 35lIY, p. p. 728'

Urednici:

Platon Dimit (gl. ured.) i Miroslav Zivkovit (odg. ured.)

Redakcioni odbor:

V i inja B r k it-De vi it (Zagreb), Ko s ta M ijatov ic (Sarajevo)

Sretko Kadunc (Ljubljana), Veliko Zivkovrc (Titograd;Elena Atanasovc (Skopje), Vladimir Stojanovit (Beograd)

Sva prava umnoZavanja, pre5tampavanja i prevodenja zadrLava

Druitvo matematiiara, fizi(ara i astronoma SR Srbije

Cslobodeno placanja poreza na promet na osnovu re5enja Republidkog sekretarijaltrza kulturu SR Srbije br. 413-186-03 od 11.1.1973. godine

Stampa: Beogradski izdavadko-grafidki zavod, Beograd, Bul. vojvode Mi5ica br. l7

!p. BiraqrMup Muhnh (6eorpa.q)

AI,IPITXJTEOB IIPpIHTIT4I

Axo ce BeheM 6pojy yveur.rKa rrocraBrr 3aAaraK Aa ceAaM 3eqeBacMecre y rpr{ KaBe3a, oHH he TO yq[Hr,rrr{ 6e: reuroha (yKOnHKOcy r(aBe3r,I .4oBOJbHO BeJrI,tKr,r), aJrH he Ce cBaKaKo Haqr,rHH Ha Kojehe utrpururu nocraBJbeHr.r 3aAaraK pa3nr{KoBarr.r. Hexo he og nnx,Aa He 6u ce6u npaBrro HenorpebaH nocao, cBe 3eqeBe cMecrr,rrH yjegan o4 KaBe3a, na he Asa KaBe3a ocraru npa3Ha a oH he Moparr{.qa Hocr xpaHy caMo Ha jeAHo MecTo, Aa qr.rcT[ cavro je4an KaBe3, . . . .Apyrn he, y qrny o6esbelnnarra KoMQopHnjer cMerrrraja 3erreBr,rMacMecTurr.r rro ABa 3erla y .qBa KaBe3a a y TpehH KaBe3 he cMecTr,rrr4npeocrara rpH 3eqa. Tpehr.r he y Ana KaBe3a cMecrr4rH rlo jelHor3eIIa a y rpehu npeocTaJrr.tx [eT. qeTBpTu he . . . . Hapanno, nocTo-jn ne,urxr,r 6poj rvroryhHocrr,r Aa ce 3aAaraK r.r3Bp[lrr, aJrH, Harrr UaJbnuje .qa parlyHaMo 6poj rr.rx MoryhHocrr{.

Ma xaxo Aa ce r.r3Bprrr[ nocraBJbeHl{ 3aAaraK, yoqaBaMo Aa heHacr.rrypHo nocrojaru xaBe3 y xojn cy cMerrrreHa 6ap rpu 3erla. yTaqHocT oeor raplerLa JraKo je yaepurt ce. flperuocranHMo Aaue nocroju raraB KaBe3. Ouga je y cBaKH oA xaBe3a cMerrrreHoHajouue ,qBa 3eqa. Ho, yxynau 6poj crraerureHux 3eqeBa y roM cny-.rajy unje nehu oA urecr, A 3eqeBa je ce4au!

. Onucanlr nplrMep rpeAcraBJba rrr:ubuBy tpopvy je4uor oA 3Ha-qaJHI{X lpr.IHrlr{ua, no3HaTor y MaTeMaTr,rqu noA Ha3r,rBoM .{npnxne-oB* npr.rHrlun. .{axle:

AA'o cegdM 3eqe6a trrpe6a cuecwuutu y tuptt Ka6e3e, oHga ilopauocwojautu Ka6e3 y rcoju he 6uutu cuewweHa 6ap wpu se4a.

O.raj je [pr.rHqr{[ no3nar r,r noA Ha3r.rBoM ,,npr.rHrlr.r[ Kyrr.rja',l{ y roj, jegaa ueruro o36nJbur.rjoj Sopvrn, ucr(a3yje ce oBaKo:

Hexa cy k, n, p upupogHu 6pojeeu. Arco kn+p Kyi/ru4a frpe6acMecuuwu y n Kyfruja, oHga uopa uocwojafru xytuyja y Kojy he 6u6tucuewweua 6ap k+l xyiau4a.

flpenyrurauo quraoqy Aa ce yBepr{ y ratrHocr oaor rnpfena..{r.rpux;reor npHHr{Hrr ce qecro npnverryje y MareMarurlr.r Kao

eSuxacuo cpeAcrBo 3a AoKa3r.rBane nocrojama objerara roju uua-jy rpaxeuy oco6nuy. Berurr-*ra flpr.rMerrr.rBarba ror npr.rHrlr{na npupelrlaBarby 3a4arana cBoAr{ ce Ha Berrrruny xaacuSr{KoBarba nocMa-

i P. L. Dirichlct, rro3Earf, EcMasKo-opaHqycrtr MarcMarrsap, t805-t859.

133

TpaHr.rx eJreMeHara. Bepyjer"ro ga he npurrrepn xoju cJreAe noxa3arr,rKaKO ce ro paAH.

floce6no je sHavajxo Aa HaquH 3aKlbyquratua xoju nexlr yocHoBlr .(upnxneoror upuHqr4na Moxe Aa ce ycnerrruo npnlrenyje H

y cr-rryaqnjavra xoje Har,r3rJreA uevajy Hr.rKaxBe Be3e c xyrujaua(nugn npnr'aep 4.)

fI p n r"r e p l. V ogererby HMa 30 yueuuxa. Ha nncueuolrr{3 MareMarltKe HeKx cy oA yqeHr.{Ka HanpaBHJrH 8 rpeurara a ocra-nn yqeHnrln Marbe. ,{oxasaru Aa y oAeJberry nocroje 6ap uernpuyqeHHKa xojn cy HarrpaBr,rnlr jegnax 6poj rperuaKa Ha nHcMeHoM.

P e ur e rb e. floruro je uajnehu 6poj yvuneHr.rx rpeurara 8,sarcyvyjer"ro Aa cy yt{eHnLIH HanpaBuJrr.r 8 rpeuraxa, 7 rperuaxa, . . . ,I rperuxy uru HHjeguy rpeuKy. floAeruvo yqeHHKe Ha KJrace raKoAa y racry KJracy cMecrr.{Mo yrreHuKe roju cy Ha[paBu,rrn jegnar Spojrperuaxa. Llrravo 9 xlaca u 30 yueurxa. 36o1 30: 3. 9 + 3 na ocHoBy.{uprxreonor npHHr\Hna cnenu Aa nocroju rpyna yqeHuxa y rojoj ceHaJra3r{ 6ap 4 yrleHflKa. Onn cy HarrpaBuJrr,r jeguar 6poj rperuaxaHa rrHcMeHoM, rluMe je naue rnpfeme AoKa3aHo.

fI p u rta e p 2. Ha ruaxoscxoM TypHr.rpy, Ha KoMe cBaxtr r{rpaqca cBaKr{M Hrpa no jegHy naprujy, yvecrnyje 12 urpata. ,{oxa:araAa y cBaKoM 'rpeHyrKy nocroje 6ap Aoa yqecHrlKa rypnr.rpa rojra cyAo ror rpeHyrr(a 3aBpurrrJrr{ je4uar 6poj napruja.

P e ur e rr e. Aro y rocMarpauoM rpeHyrKy nocrojn urpar{rojx ao ror rpeHyrxa uuje 3aBprrruo Huje4uy naprnjy, oHAa Henocroju yqecur,rK rypHr,rpa xoju je 3aBprrrno cne napruje. .(axle,yqecHr.rqu rypHnpa cy Ao [ocMaTpaHof TpeHyrra MorJrr{ 3aBpr.xr.rTr.r

i0 naprnja,9 napruja, ...,2 rapruje, I naprujy r.rnu Huje4nynaprr.rjy. IloAerlruo ux y rpyre raxo Aa y cBar(y oA rpyra cMec-rHMo Hrpaqe roju cy orurparu jeAriax 6poj naprraja. Mn lrx Mo-)KeMc roAenvrr4 y najnr.lue ll rpyna a yqecxr,rxa je 12. Ha ocHoBy

.{upuxreonor npuHrlr{ra 3aKJbyqyjeMo ,qa Mopa nocrojarn rpyna yxojy he 6lrru cueureua 6ap ABa r.rrpaqa. A onAa cy oHr.r oAr.rrpilrnje4xax 6poj naprNja, qrMe je rnpfene y oBoM cnyvajy AoKa3aHo.

Axo y nocMarpaHoM rpeHyrxy ue nocroju urpa.r xoju nr.rje3aBprrruo nujeguy naprajy, oHAa Moxe nocrojarn r.lrpau xojr.r je goTor rpeuyrKa 3aBpruuo cnux I 1 uapruja. Aru ox4a cy uoryhnocrura 6poj 3aBprueHnx uaprnja 11, 10, ...,2,1, yxynHo oner lluoryhnocru a 12 urpaua. Tnpfeme cne.qn Kao H y nperxoAHoMcnyqajy.

134

fI p r.r vr e p 3. ,{aro je npousnourux 5 np}rpoAHr.rx 6pojena..(oxa:aru .qa vefy nnua nocroje 6ap gna rarni 6poja ur.rja le pa:_nHKa AeJbr4Ba ca 4.

P e ur e rr e. IIpn AeJberly ca 4 Aaru bpojenu Mory AaBarHocraraK 0_ (y cnyvajy xag je 6poj 4erun ca 4), l, 2 u 3. Ha rajHarrr'rH 406ujarr,ro ner _ocraraKa xoju Mory y3l{Marr.r caMo qerilpHBpeAHocrH. Ou4a lrely rrnlra r"ropajy uocrojarn 6ap Ana jegnaraocrarxa. Ilocuarpajuro pa3JrHXy bpojena xoju upu ,qerberby ci + aajy,rlcrl,r ocrarar. Iltraapro

br:4.kr+r, br:4.kr+r,br- br:4 (kr- kr):4.m, m je qeo 6poj,

ruro je u rpebalo .qora3arr,r.fI p u vr e p 4. Hecnpernu yqeHr.rr Macrr.rJroM je u:6prao npa_

BoyraoHr{ lucr xapruje Anveuauja 2l cm x 30cm raxo ga je yxynna[oBprur.rHa cBr.rx MpJba je4uaxa 3l4cmz. loxararu Aa Ha n?rcrynocroje 6ap ane raure xoje cy cnMerpuqHe y oAHocy Ha cr{MerpaJlynpaBoyraoHuKa r.r raKBe ga xr.rje4na oA IbHx uaje lrs6pnaua.

P e ur e rr e. flpernocraurMo Aa je y.renr.rx pearoBao MoMeH-TUUIHO IT, AOK CC MACTI,IJIO JOUr rrUJC OCYIIII,IJIO, CABI4O JII,ICT IIO CI,IME-TpaJrH. OnAa he ce cBe MpJbe [pecJrlrKarr.r cr{Merpuquo y oAHocyHa cr4Merpany,u rrpH ront he ce [oBprur.rHa urbpDanor AeJre rroBe-naru, HaJBuure yABocrpyrrr{Tu. Jacuo je Aa ce Ta noBprurrHa He MopayABocrpyruru jep je rraoryhno Aa ce HeKa MpJba, ytilvr rbeH Aeo,npecJrr'rKa na seh us6pEanu Aeo JrHcra. rlpeua roMe, rrocre caB[-jarra he noBprrr.rHa us6pnaHor gena 6r,rru Hajuunre jeguaxa 62g cm2a cnMe-TpaJra npaBoyraonr.rxa he 6uru r.rcrospeMeHo r{ cnMerpiuraror ns6pnaHor Aena npaBoyraoHura. flonpurlr*a lrvcra je 630cm2na he u nocre carujarba ocrarr.r 6ap 2cm2 nens6pr"a"e'nonp-nrre.OHa lropa 6nrr.r pacnopefena cuuerpnvno y oAHocy Ha cuMerpaJry(rauro?) lra npeMa roMe Hacrrrypno nocroje 6ap 4ne ,u"*" *oje

"ycr.rMerpr{qHe y o.qHocy Ha cr.rMerpany r.r Hujegua uuje us6praua,AaKJre, ruajy rpaxeuy oco6nuy.

flpnuep 5. V xaagpar crpanr.rqe I clreurrena jena[por.r3-BoJbaH HaquH 5l raqra. ,{oxa:aru ga vefy rbr.rMa nocroje rpN xojece Mory npeKpr.rrr{ reyroM noJryrrpeqHrlxa ll7.

Peruene. floAennuo KBaApar ua 25 jeguaxux r(BaAparacrpaHr4rle l/5. Ha ocHoBy ,{upuxleonor flpr{Hrlr{rda aaxryvyjerrao ganocroju Manr{ xBaApar y xoMe ce, r{Jrr.r Ha rberoBr{M crpaHr.rqaMa,

135

HaJra3e 6ap rpn oA nocMarpane 5l raqKe. (Vxonuro HeKa oA Tarla-Ka Jrexn Ha crpaHr.rqaMa MaJrI,rx KBaApara, rep$ene BaxI,I TI,IM npe.

3aurro?). .{r.rjarouana Marrrrx KBa.qpara je.{Hara j" !V'Z a rpeqHrx5

Kpyra nonyrper{HnKa l/7 jegHar je 217. flourro jett',>:-v z75

cBaKr.r ce oA KBaApara crpaHl{qe l/5 rr,roxe [peKpLIrI,I HeKLIM KpyroMroJ'rynperrHr4xa ll7, rra H KBaApar y xoMe ce HaJIa3e 6ap rpr,r o4nocMarpaHe 5l ravxe, vuue je rnpferre AoKa3aHo.

3aAauu

1. Ha jeanoM cacraHr(y yvecrryje 83 yueHuxa. .[,oxa:aru gauefy runva nocroje 6ap 4aa yqeHr.rKa rojn ltefy lyecHu{HMa cac' -raHxa ulrajy je4uax 6poj norHannxa. (lla:u, axo yqeHHx ,4 noruajeyrreHqKa B cuarpa ce Aa t4 yqeHr.rK -B uornaje yqeHKKa A, rj. peta-uuja je crlMerpr.Ira).

2. Epoj yqeHr,rxa je4ue rurole jeAsax je 875. Htt xoA jeAnoryqeHr.{Ka noqerHo cJ'roBo }beroBor uMeHa nuje jegHaxo noqernoM cnoByIberoBor rpe3r.rMeHa. ,I[,orararu 4a nocroje 6ap Ana yveHuxa xojnuvrajy je4uaxe lrulrqr.rjane.

3. Ha $ucry,rrypnoM cnery rpe6a ga yuecrnyjy 64 4enoj'rr.rqe.HacrasHux $ucrynrype Hrur je AoHeo AoBoJbHe KoJII{qflHe MapaMa,6ryra n uoprleBa y nlaroj, 6eroj, rerenoj u xyroj 6ojn. Peraourr,r je 4a ce o6yry raKo Aa Ha caaxoj oA rbr,rx 6ygy :acrynJbeHe rloTpu pa3nfitrr.rre 6oje anw Aa [pr,r roMe cne 6yay pa3rr.rilnTo obyveHe(Aaxre, Aa He Ao3BoJre .qa r(oA ABejy o,u rbnx r,r MapaMe n 6lyre r.r

ruopqeBlr 6yay r.rcre 6oje). lora:arr.r Aa Aesoj.{rqe HLIcy MouenocnyluaTr{ cBor HacraBHuKa.

4. floxazaru 4a nocroju 6poj o6nr.rra ll . . . 100. . . 0 ('rujn ce

AeKaAHr,r :aunc cacroj[ oA r,r3Becnor 6poja jegnnuqa Ha loqerKy [rH3BecHor 6poja nyna Ha rpajy), xojq je AerbI,IB ca 17 .

Vnyrcrno. Ha noroAas HarrHH nrabparlr 18 6pojena H Kopl{c-Tr,rrlr HarrriH peruaBarba npnutepa 3.

5. Ha Kpyry roJryrpeqHllKa I qpnenou bojovrje o6ojen H3BecraI{6poj nyxona u npr roue je r6rap Ayxnxa obojeunx JIyKoBa jegHax 3.

[oxa:arr.r ga nocrojn npeqHrlK ror Kpyra uuja cy o6a rpaja ocraJlaneo6ojeHa.

136

Vladimir Jirasek (Zagreb)

DA LI SAIVI MOGAO BRZE RAEUNATI?

Da li sam to mogao brle izradunati pitanje je, kojemgZda rijetko koji iovjek sebi postavlja, nakon Sto le ne5to

- brojio,

odbio, pomnoZio ili podijelio. Obidno nitko ne smarra to pitanje takovainim, da bi ga sebi postavio, ili jednostavno ne smatra, da imatoliko vremena, da i tim problemom sebi tare glavu.

Za ljude, koji jednom u osam ili detrnaest dana dodu u priliku,oe ne5to radunaju, i nije toliko vaZno, da ono Sto radunaju, udinepr moiu svih moguiih pravila za brzo radunanje. Ali ima ljudi, kojivrlo desto treba da radunaju, a kod toga vrlo polagano i jo5 pogre5noracunaju.

NaSe doba traZi od nas brzinu u svemu - pa tako i u radu-nanju. No nije dovoljno da radunanje bude i dovoljno brzo; onotreba biti uz to i toino, kaq i ekonomiino.

Govorimo li o brzom radunanju, tada ne mislirno'samo na brzoradunanje u smislu brzog izvodenja radunskih operacija, nego i usmislu upotrebljavanja nekih pomoinih operacija u svrhu brZeg do-laienja do cilja. Cilj.je ovog dlanka, do nas upozna sa najobidnijimpomodnim sredstvima radunanja, do kojih dolazimo i samim razmi5-ljanjem.

TocYnost radunanja bit ie, kako ce se vidjeti na primjerima, Iupravo uvjetovana brzinom radunanja. eesto kaiemo: ,,polagano, alisigurno". . . No ovdje iemo upravo na jednom primjeru pokazati nainteresantnu, moZda dudnu dinjenicu; brzo, zato toinije.

EkonomietnoJt radunanja znadi ovo: ako imamo dva nadina zaizradunavanje jednog radunskog zadatka, tada 6emo odabrati uvijekonaj, koji sa 5to manje pisanja brojeva dolazi do rezultata. Sto manjebrojeva pi5emo, manja je i moguinost (uz ostale iste uvjete) daiemo pogrrje5iti.

Za ilustraciju ovih tvrdenja uzet iemo primjer: treba pomnoZiti4932 sa 25.

Ako obidno radunamo, postupamo ovako:Ovdje smo mnoZili sa 2, onda sa 5, parcijalne

smo produkte zbrojili. No sjetimo li se, da je 25 : 5 . 5,tada taj isti raiun moZemo izvesti u dvije etape: najprijeiemo mnoZiti sa 5, a rezultat tog mnoZenja ponovo sa 5.

!23?:2s986424660

r 23300

t37

Dakle:Ovdje smo izveli dva mnoZenja, a zbra'

janja nije bilo. Manje posla, a i manja mogui-nost, da iemo se zabuniti u radunanju.

Uzmemo li, da je 25- 100:4, tada iemo doii do rezultata ina taj nadin, da zadani broj pomnoZimo sa 100 i taj produkt po-dijelimo sa 4:

Ovdje je postupak joS brZi od preda5njeg, jermnoZenje sa 100 izveli samim dodavanjem dvijuiza toga je slijedilo jednostavno dijeljenje brojem 4.

Tredi je, dakle, postupak najbrii. On 6e biti od svih postupakavjerojatno i- najto{niii,-jer se radunalo s vrlo jednostavnini brojevima.No on ie biti i najekonomiini.ii, jer je uz najmanju upotrebu radun-skog aparata doveo do rezultata. Vidlmo, dakle, da smo postiglitodnost uz veliko poboljSanje u brzini, a uz to smo proveli i ekono-miju radunanja.

II

Nastojat 6emo sada prijeii sve detiri osnovne vrste radunanja ipogledati, da li se kod tih vrsta radunanja moZe izradunati ne5to

brZe, todnije i ekonomidnije, nego Sto obidno radimo.

. Treba li da, pr., zbrojimo 4975 i 998, tada to zbrajamo najbriei najtodnije tako, da se sjetimo, da je 998 : 1000 - 2; treba daklebroju 4975 pribrojiti broj 1000, i odrezultataodbiti broj2:49j5++998:4975+ 1000-2:5973. Naravno, da taj cijeli postupakmo-Zemo sasma lako provesti i na pamet. Analogno radimo pri pribrajanjulrojeva, koji su blizu bilo kojem broju, koji ima na kraju nulu. Broj29 najlak5e iu pribrojiti, ako pribrojim broj 30, a od rezulrata od-bijem broj l. Na pr. 87 +29:ll7 - l: 116.

III

Ako od nekog broja treba odbiti vi5e brojeva, tada ro najboljedinimo u isti mah, naime da u isti mah pribrajamo sve brojeve iodbijamo ih od zadanog broja. Kod toga upotrebljavamo onaj pcstu-pak dopunjavanja do broja 10, koji smo vei vidjeli kod zbrijanja.Tako na pr., radunamo:

!2Y11 (:5'5)24660

I 23300

4932. 25 -sTo - 4932oo:4nula:

r 23300

(5,10i0je10,111,3,5ii 2 je 22, 2; 10, 20, 23 i 6 je 29,25,2;2, 5,7 i 7 je 14, l;1,2, i

oje,.)oje

5; 7, 10,2012,22 i 3 je2.)

24592,50638,25

- 2413,00782,25

- 13397,00Sliino kao i kod zbrajanja s brojevima koji su

blizu nekom broju s 0 na kraju, postupat iemo i kododbijanja. Na pr.: 5698 - 199:5698 - 200 + t:5499.Ako je suptrahend veii od okruglog broja, tada ne dobivamo mnogona vrernenu: 4972-3105 :4972- 3100- 5 : 1867.

IV

Kod mnoZenja najde56e grije5imo, mnoZe6i opSirno na obidninadin, mjesto da kakovim skradenim postupkom dodemo do rezultata.To je razlog, zbog kojega cemo ovdje biti malo op5irniji.

Kako treba mnoZiti sa 25, pokazali smo vei na jednom pri-mjeru. Sa 50 iemo lako pomnoZiti, uvaZiv5i da je 50:100:2. Dakle:mnoZit iemo sa 100 i dijeliti s 2. Tu ne dobivamo mnogo u vremenu,jer tamo moramo mnoZiti s 5, a ovdje dijeliti s 2. Ipak ie postupakdijeljenja s 2 biti ne5to brZi od mnoZenja s 5. Na primjer:

1923.50: 192300:.2:

96150

7362.00

Uzmimo, na pr. zbrajanje. Zbrojit 6emo na obidni

Uzev5i u obzir da se zbroj ne mijenja, ako iz-mijenimo mjesta pojedinih pribrojnika (zakon komuta-cije!), moZemo i ovdje izmijeniti unutar vertikalnih

nadin brojeve:

2143,7 55780,503006,00

kolona pojedine pribrojnike, kako bismo olak5ali posao t8172,2s

zbrajanja. To iemo provesti nadopunjujuii po mogui- -l!59nosti svaki od pribrojnika drugim tako, da oni zajedno 29528,00

dine zbroj 10. Posao time postaje brZi, jer se broju l0najlak5e pribrajaju drugi brojevi. Zbraiat iemo, dakle, ovako: 5, 10, 11

8, 20, 2;4, 10,15, 18, l; 10,22,2;10,15, 1; 9, 19, l;2.Imamo li zbrojiti dugadku kolonu na pr. od 30 brojeva, onda

zbrajamo jednom odozdo prema gore, drugi pvt, za kontrolu' odozgoprema dolje. JoS je sigurnije, da tu dugadku kolonu razdijelimo napr. u 3 giupe po l0 brojeva, zbrojimo svaku grupu posebno, a onda

iezultate g."pnitt zbrajanja opet zbrojimo. Time nista nismo izgubilinabrzini:iakle je zbrojiti po l0 brojeva i jo5 jednom zbrojiti ta trirezultata, nego samo jednom jednu'grupu od 30 brojeva' Rezultat je

todniji i sigurniji.

138 139

MnoZeii sa 75 moramo uvaZiti, da je toopet l/4 od broja 100. Treba dakle pomnoZiti sa

od produkta odbiti njegovu jednu detvrtinu:

100-25, a 25 jer00 i

498.75

49800

-1245037350

8945.15

89450

_1472s_t3417 5

8972.1326?_!6_

tl 6636

broj multi-

Dakle:

(3.2:6,3.7:21i7:36,3;3.8:24i3je

Slidno sa 12, 14,Iak5i postupak

8972.13i 2 je 23,2;3.9:27 i 2 je2927 i9 je 36,3; I .8:8 i 3 je I l.)

16, 17, l8 i 19. Sa 15 smo ve6 prije pokazali

593.36 (:4O-4)23720* 2372

21348

317425392

342792

produkt

t4t

116636

(Mjesto ovog pripisivanja dviju nula moZe se nasamom multiplikandu dodati dvije todke, koje imaju ondafunkciju dviju nula na kraju.)

Ako treba neki broj pomnoZiti sa 15, treba uzeti uobzir da je I 5 : 10 + 5, dakle l0 + 1 12 od broja l0;rrnoZit 6emo tako, da broj pomnoZimo s l0 (dodavanjemjedne nule ili stavljanjem todke), od t:rga uzmemo jednupolovinu, i ta dva broja zbrojimo.

Nekad se u srednjoj Skoli trairlo, da daci osim t. zv. ,,malogjedamputjedan", nama poznate ,,tablice mnoZenia", znadu i ,,velikijedamputjedan", t. j.tablicu mnoZenja brojeva, gdje pojedini faktoriidu do 20 (na pr. 14.17:238). Iako se sada to u Skoli moZda ne

traZi, ipak Eesto puta trebamo taj ,,velikiiedamputjedan".'Da vidimo,kako bismo mogli izradunati taj ,,veliki jedamputjedan", a da i neupotrebimo papir.

Uzmimo opet primjer 14.17! Treba upamtiti ovaj kratki postu-pak (koji se teoretski vrlo lako dokazuje): Zbroiat iemo jedan faktori znamenku na mjestu jedinica u drugom faktoru, pa sumu pomno-Ziti s 10, i tome pribrojiti produkt jedinica u faktorima. Konkretnijeie biti ako to napi5emo:

Taj raiunski postupak moZemo i u mislima prove- *tlsti i brzo izreii produkt. Na pr. 13 ' 19 u mislima iemo

-nprelaziti ovako: 22,220 i 27 je 247.

Svi se sjedamo, koliko smo okapanja imali jo5 u -'tgpudkoj Skoli kod mnoZenja brojevima 12, 13... 19. Po tnobidaju kod mnoZenja povukli smo odmah ispod multi-plikanda crtil. Uditelj bi odmah pcviknuo: ,,S I ve6 je pomnoZeno!" ...

'i - drugi red!Danas to znamo. Na pr. brojem l3 mnoZit iemo ovako:

No, jo5 bolje je i brie ovako: buduii da je sa I

vei pcmnoZeno, a produkt sa 3 promaknut je za jednomjesto na desno, to iemo mnoZiti samo sa 3, a svakomproduktu sa 3 pribrojiti prvi desni broj multiplikanda.Kad svrSimo mnoZenje sa 3, onda jo3 poslednji lijeviplikanda pomnoZimo sa l.

140

No najlak$e je mnoziti sa l l. Buduii da sa l n.e rreba mnoziti,to 1r9ba samo zbrajati .grupe 9d po 2 znamenke, uzevli kao da predmultiplikandom i iza njega stoji po jedna nula (todka). Na pr.:

(0i5je5,5i4.je9,4 i9 je l3,t; ligje 6s4s.ttl0 i 6 je 16,1; I i 6 je 7 i O je 7.)

Kad izradunavamo pcstotak iz zadane glavnice, 76395

kamata i broja dana, tada radimo pc obrascu: ,_36OOO.KU sludaju da se broj 36 000 ne da kratiti zgodno G.d

ni s kojim faktorom nazivnika, tada treba mnoEiti s 36. No kako?Uodiv5i, da je 36:40-4, treba zadnji broj pomnoZiti samo sa

40 i od toga odbiti produkt sa 4, koji je i onltio vei gotov, jersmo mnoiili sa 40, a 4 je ll10 od 40. Uzmimo:

Slidno iemo mnoZiti sa 27 (: 30 - 3), 45(:50- 5), 54,63,72. Sa 8l iemo lak5e mno-Ziti tako, da mnoiimo sa 8, a sa I je veipomnoZeno, pa treba produkt sa 8 pomaknutisamo za jedno mjesto na lijevo.

MnoZimo li nekim dvoznamenkastim brojem, u kojem se zna-menke multiplikatora nalaze u nekom jednostavnom medusobnomodnosu, moZemo sebi i ovdje olak5ati poiao. Na pr. 5904.49. Broj gje dva puta veii i od 4; pomnoZit iemo, dakle-, sa 4, a produktsa 8 dobit iemo tako, da produkt sa 4 mnoZimo jo5 sa inoo.o,2 - mnolenje sa 2 je brLe nego sa 8: 123616

Slidno bismo radili na pr. s troznamenkastim bro- 47232jem 648. Tu je 48 :6. 8; mnb|it iemo sa 6, dobiveni pro- 342792

dukt sa 8, pomaknuti ga za dva mjesta na desno i zUrojiti: 529.648

Koji puta, da olak5amo sebi pbsao, rastavimo multi-plikator na dva ili vi3e faktora. Tada mnoZimo tim fak-torima tako, da najprije pomnoZimo prvim, dobiveniprodukt drugim i td. do zadnjeg faktora. Na pr. sa 566emo mnoZiti tako, da pomnoZimo najprije sa g, a dobiveni

sa 7 (ili obratno); time dobivamo u vremenu u toliko, da ne moramozbrajati, a na todnosti i toliko, Sto izvodimo

eesto puta nam je te5ko pogoditi, koliko puta ,,ide,. divizor udividend. Praktidno je pravilo: ako je druga znamenka divizora blizu 9,tada pogadamo tako, da pitamo, koliko puta fi2921:49:3529jednu operaciju manje. Na pr.:

Slidno 6emo mnoZiti sa 28 (4'7), 66(6. 11) i td.

Ako je broj, kojim mnoZimo, blizu nekogokruglog broja, ali manji od njega, tada mno-Zimo okruglim brojem, a razliku koju smouzeli previ5e, odbijamo: MnoZit iemo na pr.sa 97 tako, da pomnoZimo sa 100, a oddobivenog produkta odbijemo trostruki multi-plikand:

Tako bismo mnoZili i sa 98 (:100-2),i slidno. Najzgodnije je taj postupak primije-niti kod dvoznamenkastih brojeva, koji zavr5a-vaju na deveticu, troznamenskih brojeva, kojizavriavaju na dvije devetice, i td. Na pr.:

dijeleii sa 50, dijeliti sa 100, a mnoZiti sa 2:

Budu6i da je 75 tri ietvrtine od 100, tj.30014, to iemo, mjesto da dijelimo sa 75,mnoZiti sa 4, a onda dijeliti sa 300:

Druga olak3ica kod dijelenja je dijelenjerastavljanjem na faktore, slidno kod mnoZe-nja. Na pr.:

Tako 6emo dijeliti na pr. sa 22 (:2. l1),56 (:8.7) i td.

142

8098.56 (: 8 .7)

64784

453488

7945oc.97 (:100- 3)

_- 23835

770665

653.59 (:60- l)39180

653

38527

1654:50 (:100:2)33,08

16974:75 (:300:4)678,96

226,32

6484:16 (:4.4)1621

,,ide" prva znamenka divizora, uvedana za l, uprvi ili prve dvije znanrenke dividenda. (Kodnavedenog dijeljenja govorimo: kao 5 u 17,kao 5 u 25,i td.)

259142

4410

v

Prelazeii na dijeljenje, dakle najteZe od svih do sada spomenutihoperacija, treba spomenuti, da bai dijeljenje ima manje ovakvih po-moinih postupaka nego li mnoZenje.

Uzmimo najprije dijeljenje sa 25, 50, 75.

Kako je 25 : 100 : 4, to 6emo dijeliti sa 25 tako, da dijelimo sa 100,a dobiveni rezultat pomnoZimo sa 4. Na pr.: j_091t2t (:100:4)

Budu6i da je nadalje 50 : 100 :2, to 6emo, 323,88

VI

Ne sluZimo se samo pomoinim sredstvima obidnog radunanja dadodemo brZe do rezultata; i upotrebom drugih pomo6nih sredstava(na pr. logaritamskih tablica, Crelleovih i Petersovih tablica mnoZenjabrojeva od I 000, Multi-sistema W. Wilkensona, logaritamskog ra-dunala, strojeva za railtnanje) olak5avamo znatno posao raduna.nja. -No izlaganje upctrebe ovih pomoinih sredstava odvelo bi nas preda-leko i daleko bi prema5ilo cilj na5eg izlaganja.*

JEAAH HATTLIH KOHCTPyI{CAIbA nPABTIJIHOTAECETOyrJIA

Marerraaruqapu y crapoj fpuxoj qecro cy peuraBanll pa3ue Ma-TeMarlrqxe npo6leve xoHcrpyKTKBHr{M nyreM. IrIs ror uepr{oAa flornqe4a je jegan npo6reu KoHcrpyKrr{BHo npaBnnuo perreH axo je npunanoferly roacrpyrqr.rje ynorpebneH caMo uecrap r4 Jrelbr.rp.

Taxso cxBaralbe Bna4a v Aanac, na ce y ToM cMr,rcny u oBAeroBopI,I o xoucrpyr(qujn npanuruor Aeceroyura.

V ouroanoj rrrKoJrr{ ce uecrapoM r.r Jrerbr{poM xoncrpyr,ruy caMonpaBlirrHlr loJrr{roHr{ ca 3, 4 u 6 crpannua, rj. je4naxocrpaHr4traH Tpoy-rao, KBa,qpar u npaBrtrrrHlr rxecroyrao. Ocranl npaBr.IJrHr{ noJrr,IroHu,Kao ruro je noeHaro, Uprajy ce novrohy rIeHTpanHoI yura onl,IcaHeKpyxHl{ue, xoju o4rooapa crpaHr,rqlr noJrr{roHa.

Os.qe je Hajnpe rroKa3aHo xaKo ce crpaHurla x [paBunHor Aecero-yrna, yurlrcaHor y Kpyry rroJry[peqHr.rxa R, u:paxaBa xao $ynxuuja ogR, earnvr je urnegena jegna jegnocraBna reoMerpujcxa xoucrpyxqnjanpaBHnHor AeceToyrna..

r elanak preftampan sa dozvolomautora iz knjige,,Matematidka litanka.., Zagreb, 1947.405,25

t43

1. Ilo:naro je 4a ce rpaBnJrHH Aeceroyrao cacrojn o.q Aecer[oAyAapHr4x je4uaxoxparr{x rpoyrJroB a. Je Aaw raKaB Tpoyrao np}rxa3aHje Ha cr. l; rrerouu xpaqu cy norynpeqnurln R KpyxHr.rqe o[]rcaHe oKoAeceroyrJra, ocHoBr,rqa x je crpaHulra AeceroyrJra, a yrao Ha Bpxy

je 4ACB--36". To 3HarrnAa cy yrJroBr{ Ha ocHoB-uuw 4.BAC:4ABC:72'.

Eacexrpnca yrJra 4BAC .qeJrr,r rpoyraoLABC Ha ABaje4naxoxpara rpoyrna, Ha rpoyrJreAABD u AADC. To npouaala3r,r oryl urro je

^ 4BAD:36", na je iADB:180" - (72" +37"):

" :72", re je raxo IABD:1ADB; a ltcro raKoje w 4ACD:4CAD:36". Oaarne cnegyje 4aje AD:x, BD:R*x.

Mefyrurnr, rpoyrnu AABC u L,ABD cy crr.rr{Hr,r jep uuajy jegnareyrnoBe; rlpeMa rorvre, uely rbllxoBrrM crpaHrr.rraMa nocroju rrporrop-uuja AB: BD:AC : AB, rj.

Ilpevra roMe, TpaxeHa crpaHrrqa x Aeceroyrna je

(2) ,:+us- r)

. 2. Kopucrehn ce obpacqeu (2), norraenyra je4Hocranna r(oHcrpyK-unJa npaBunHor Aeceroyrna r,r3BoAn ce ua onaj Haqnlr:

V Aarou Kpyry yrruure cexBaApar ABCD (c1.2), 3arHM ceAB rryoyyxtr za B E: AB H rayKa.E cnojr.r npaBoM ca O. Ona npanaceqe KpyxHnuy y rarrru -F. Moxece rroxa3arr4 la EF [peAcraBJbaABocrpyr(y cTpaHr,tqy,qeceToyrJra,rj. EF:2x. Hauue, r{3 rpaBo-yrnor rpoyrna LOEH cne.qyjeHa ocHoBy flnraropune reopeMe

(3) OEZ:OH2+EH2.

Cn. I

oAaxJre cne.4yJe

vnn

(l)

I,1: je4uavraue (l)snxa R. KaA ce o6eua

x :(R-.x):ft ;v,

12:ft2-yfi,

x2+xR:R2.ce Moxe x u3pa3firH xao $yHxqnja norynperr-

R2crpaHaMa ,uoAa -- , uruahevo:

4

x2.-xR*{:R'+{44

Mefyrr,rv, norrrro je AB:a:Ry'f (nponepu!) r.r

or:+ -RF ; HE:lg :2N2 ,

ro ce je4na.rnna (3) jaara y o6rurry

(R+ FES'z:R'*2{:5 a','22o.qaxne cne4yje

Cl.2

ycTo,

OE: R+ FE,

Jlena crpaua je rnagpar 6lrHolla x + (nponepu!), re je:42

(4)

Vnopefyjyhn (4) ca

R+FE:Rr's,

FE:R(tzs - r).

(2) uatazu ce FE:2x, a ro je u rpe6alo

, R\2 5R2

("*;/ : 4 '

oAaKJre ce r{3BJraqerr,eM r(BaAparnor r(opeHa ,qo6llja

AOKa3aTr,r.

Hanouena. flourro ce Ha noxa3aHu HaulrH oApeAr.t crpaHr4qa .xnpaBr{JrHor Aeceroyrna }r oBa npeHece l0 nyra Kao rer}rBa Ha KpyxHr.ruy,c[aJarbeM cBaKe Apyre AeoHe raqKe gobnje ce npaBr.rJrHu reroyrao.flpertaa roMe, noKa3aHa r(oHcrpyxqrja lroxe ce [pr.rMeuuTtr ]r Ha xoH-crpyxudy upaBuirHor rreroyrna.

v|. B.R R.,=x+--: |/j, T.j.22

R,,= Rn: V J--22

t44 145

Stavra V. Radojkovid (Nis)

POLUPREENIK OPISANE I POLUPREENIK UPISANEKRUZNICE KOD PRAVOUGLOG TROUGLA

Neka je dat pravougli trougao ABC sa katetama a, i i hipo-tenuzom c. 'Obrasce za izradunavanje mernih brojeva poluprednikaopisane kruZnice R i poluprednika upisane kruZnice r kod tog trouglamoZemo naii na slede6i nadin.

1. U pravouglom trouglu ABC podelimo njegov pravi ugaokod C (sl. l) pomodu odsedka CD tako, da 4ACD:4CAD:q ?

4BCD:4CBD: p. To je moguie u6initi,jer je {C: 90", a a + p: 90". Na taj nadinse unutar datog trougla dobiju dva jednako-kraka trougla, trougli ACD i BCD. Sleduje:BD:CD:AD. Odatle se vidi da tadka Dleli na sredini hipotenuze c i da je jednako

udaljena od sva tri temena datog trougla.Ona je, prema tome, centar kruZnice opisane '

oko trougla ABC. DuLina poluprebnika tekrulnice je, odigledno, R:cf2.

2. Pretpostavimo da je centar kruZnice, upisane u dati pravo-ugli trougao ABC Gl. 2) u tadki O, i da krug dodiruje stranicea, b i c u tadkama N, P i M. Na osnovu Bteoreme da su tangentne duZi, povudenena datu kruZnicu iz ma koje tadke vandate kruZnice medusobno jednake, (vididlanak ,,Krug i prava" u M.L. br.VIII, I i VIII, 2) imamo:

CP:CN, BN:BM, AM:AP.

Kako je detvorougao CPON kvadrat (Sto moZe sam ditalacdckaZe), to je CP: CN: r. Otud sleduje: BN: BM: a- r, pausled toga

AM:c-(a-r):c-atr.

Ali je AM:IP, usled iega je c-a+r:b-r, te tako dobijamo:

2r:a*b--c. r2

, Tako se, na osnovu mernih brojeva stranica pravouglog trougla,lako izradunavaju merni brojevi poluprednika njegove opisane-i njegoveupisane kruZnice.

Zadaci1. U kom odnosu stoje poluprednik opisane kruZnice i poluprednik upisane

kruzrice kod pravouglog trougla, ako su merni brojevi njegovili stranica a:3,b==4, c:5?

. 2..egmu je jednak zbir poluprednika opisane kruZnice i poluprednika upi-sane kruZnice kod pravouglog trougla Eija je svaka kateta a?

3. Poku5ajte dokazati da se duZina poluprednika upisane kruZnice kod

pravouglog trougla moZe dobiti i po obrascu , r: i! '.r"t' --i" a+b+c:'

IZ ISTORIJE ELEMENTARNE MATEMATIKE

Jedna anegdota o matematiIaru Adamu Riseu

Kod Nemaca se moZe jo3 i danas duti da neko kaZe, kad Zeliistaii da je ne5to nesumljivo tadno izradunato, da je to ,,nach AdamRiese' , tj. po Adamu Riseu. To je ne3to slidno onom Sto se kodHrvata ranije u takvim sludajeviryra govorilo ,,po Silobodu,,, a to iereii prema radunskim pravilima Siloboda, pisca prvog matematidkogudZbenika kod Hrvata, koji je dugo vremena kod Siiokih narodnifislojeva bio vrlo popularan.

Adam Rise (1492-1559 e.) bio je jedan tzv. ,,Rechenmeistero.,tj. jedan.od majstora radundZija, kakvih jc u to vreme bilo u svakomve6em gradu, po$to se tada u Skolama jo5 malo udila matematika,pa je od manje obrazovanih ljudi pravilno radunati malo ko znao.Ali je on bio i dobar poznavalac elementarne matematike. a njegovi1u ga udZbenici u svim nemadkim zemljama udinili veoma populirnim.Ziveo je u Erfurtu i Anabergu, i o njemrn.,.je zabeleZena siededa

daje,

r':n.t

a*b-c

st. 2

r46

anegdota.

147

Jedared srete Adam Rise nekakvog leometra koji je na. svom- Se5iru nosio kao znadku jedan mali srebrni $estar, dime je hteo istaii

da je on majstor za rad sa Sestarom. Na to mu Rise predloZi jednotakmidenje: da vide, ko od njih dvojice moZe u toku izvesnog kratkogvremena da konstrui5e vi$e pravih uglova nad datom duLi AB. I,kako je u to vreme bilo dosta obidno da dak i znadajni matematidari,,izlaze jedno drugom na megdan", geometar prihvati ovaj izazov,tepodne takmidenje.

No, geometar je dolazio do pravih uglova tako 5,o je iz krajnjeIalke A date duii povladio redom poluprave AL, AM,IN itd. (sl. l)pa na njih iz tadke,E spu3tao normale, onako kao 5to se to radi kadase prilikom konstrukcije sme da upotrebi samo lenjir i Sestar. A Rise

sl. I sl. 2

je najpre na5ao sredisnu tadku O duli AB, pa je nacrtao polovinukruZnice nad duZi AB, i poteo da spaja proizvoljno izabrane tadkeL, M,1/ i td. (sl. 2) na kruZnici sa tadkama A i B. Tako je dalekobrZe nego geometar podeo dobivati prave uglove iznad, date duLi ABi pobedio geometra.

Danas svi oni uienici, koji su udili o centralnim i periferijskimuglovima u datom krugu (ili koji su proditali dlanak ,,Konstruisanjepravouglog trougla" u M. L. VIII, 2) znaju za5to je Rise kod svake pro-izvoljno izabrane tadke na kruZnici dobijao prav ugao. Ali u to vremesu za to znali samo udeniji rnatematidari, pa je tako Rise svakakomorao u ovom sludaju jo5 i da objaSnjava svom suparniku zaSto sunjegovi postupci bili tadni. U.

Odgovor:

3. iTradunati 0,2 duZine 5,7 m; novu duizinu izraziti u decimetrima.fu'l/"

,- &dior'.\./ *

. 4. Ako se zbir jednog nepoznatog sabirka i broja 0,9 pomnoZi razlikombrojeva I i 0,4, dobija se proizvod 2,472; odrediti nepoznati sabirak.

Odgovor:

5. DuZina sobe je 5,8 m, Sirina je 4,6 m, a visina je 2,8 m. Visina vrataje 2m,Sirina 0,90m; visina svakog od triju prozora je 1,8m, a Sirina prozora jeI ,2 m. Koliko treba platiti moleru za kredenje sobe, ako on traZi po l5 dinara po I nr2?

Odgovor:

. 6. Bazen zaptivanje i,nu ourir. i""0." .;" ,; ;;;;;;, zo- i r-.Izradunati za koje ie se vreme ovaj bazen napuniti vodom do visine 2,g m, akoje brzina punjenja bazena 6,7 mr na minut.

Odgovor:

, TEST

ZA PROVERAVANJE STEEENOG ZNANJA IZ MATEMATIKEV RAZRED

1. Odrediti kako ce se promeniti razlika kada se umanjenik uveea za 1,7i umanjilac umaji za 6,5.

Odgovor:

2. Proizvod dva broja je 242; alco bi se jedan od dinilaca uvecao zaproizvod bi bio 286. Odrediti dinioce.

. Napomena u vezi sa datim testoyima

Namena ovih testova je samo da se uienici veZbaju u davanju odgovora prilikom testiranja.ono za sta nema mesta u lstu, treba uraditi u svesci, Merite vreme koje vam je bilo potrebno zadavanje odgovora i proveravajte njihovu tadnost uporedujuii ih sa odgovorima vasih drugova. zasludaj spora, zamolite nastavnika da vam objasni ko je u pravu.

Bst. I

r48 r49

TEST

zA pRovERAvANJE srrfBNoc ZNANJA Iz MATEMATTKEVI RAZRED

l. Odrediti broj koji pomnoZen razlikom brojeva 7 18 i 1 | 5 daje proizvod 1 2,6.

Odgovor:

2. Kad se iz boce,B, pune tednosti, odlilo prvo 2/5 tednosti i zatim 113prvobitne kolidine, u boci je ostalo 8 dl tednosti; odrediti zapreminu (kapacitet)boce ,8.

Odgovor:

33. lzraziti u procentima 3 7, uzimajuii za osnovnu vrednost

Odgovor:

4. Komad bakra ; 2mefi 32 - kg; odrediti zapreminu ovog komada bakra,

u m3, kada 1 dm3 bakra meri 8,9 kg.

Odgovor:

- 5. U paralelogramu ABCD dijagonala BD gradi se stranicom DC ugao od48". Ako je 4ABC:112', izradunati 4BCD i 4ADB.

Odgovor:

6. U paralelogramu ABCD (sl. l) iz te-mena oitrih uglova ,4 i C povuiene su normaleAG i CH na dijagonalu .BD.

Dokazati da je AH:CG.

Odgovor:

7. Povriina paralelograma ja 48 cm2, anjegove stranice su 6cm i l2cm. Odrediti obevisine paralelograma i konstruisati taj paralelo-gram.

Odgovor:

TE ST

ZA PROVERAYANJE STECENOG ZNANJA IZ MATEMATIKEVII RAZRED

1. Proveriti da li je za sve vrednosti promenljivih istinito:

. (mx + ny)z + (my-nx\z : (m2 + n2) (x2 + f).Odgovor:

2. Odrediti vrednost promenljive n za koju izrazi 2n-3 i 3z-7 imajujednake brojne vrednosti.

Odgovor:

3. U jednom trouglu ugao p iznosi 180ft ugla.1, a ugao y iznosi 125/ougla a; odrediti uglove ovog trougla.

Odgovor:

4. tzraziti; ;iil ;;;;;" .'"iJi "ir', ' - i. t" * it ;. - -

Odgovor:

5. Nacrtaj tri proizvoljne duZi i obeleZi ih sa a, b i c, pa konstruiSi duZ xtako da je x2: a2 + b2-c2.

Odgovor:

6. Jedan dovek preiao je I km iduii ka severu, 3 km iduci ka istoku i 5 kmidudi ka jugu. Na kom se rastojanju on nalazi od poletne taEke svoga puta?

1I -.5

1

il

l\t

ll

7. Izradunati povrSinu paralelograma (r,idi sliku), ako su njegove'stranice15 cm i 12 cm i ako je jeCna njegova dijagonala normalna na kradoj stranici.

DC

a lst150

TESTZA PROVERAVANJE STEEENOG ZNANJA IZ MATEMATIKE

VIII RAZRED

1. Odrediti vrednost promenljivie r tako da se odgova?ajuie brojne vred-I

nosti izraza 2t-3 i 7 --3r odnose kao 2:3.2

Odgovor:

2. Cifra jedinica dvocifrenog broja veda je za 2 od njegove cifre desetica;kada se tom dvocifrenom broju doda 18, dobija se broj sa obratnim redosledomcifara. Odrediti ovaj dvocifreni broj i napisati sve dvocifrene brojeve sa ovomosobinom.

Odgovor:

3. U jednaEini 3x-by:7 odrediti b kada se zna da je njeno re5enjeuredeni par (x, y) za koji je istinito: 2x-l:7-2x i 3-y:2y+9.

Odgovor:

4. Odrediti vrednosti promenljivih za koje je istinito:

2x-y x-2v'14

Odgovor:

5. Osnovna ivica pravilne trostrane piramide je a: 30 cm, a bodna ivicaje t:25 cm. IzraEunati povr5inu ove piramide (17 = 1,7).

Odgovor:

6. Visina pravilne eetvorostrane piramide ie H:14 cm, a osnovnaje a:16 cm. Izradunati bodnu ivicu i zapreminu ovc piramide.

Odgovor:

7. Visina prave kruZne kupe je 20 cm, a njenadunati omotad i zapreminu ove kupe.

izvodnica je 25 cm. lzra-

Odgovor:

lvlca

t52153

RESENJA KONKURSNITI ZADATAK A 223_234 ML VIII' 4

A) Za uienike V, W, VII i VIII razreda

. 273. lnfamo 5 broieva, od koiih ie svaki sledeii dva puta -vet-i od prethod'

nos. VWGiiiii i"iiiiire'i naiveleg'za 9 ie veii od zbira (zbroia) ostata tri'Koji su to brojevi?""'" "b;;sib;;ile

vedi od prvog 2 puta, treci 4 puta, d€tvrti 8 puta,i.peti 16

outu. ZUir'nui,o-ui:.g i naju'eeeg"broia ti pura je ve6i d.o.prvog,. a zbir ostala

Li --lL

l+ outu niei -oa prvbg' Prema-tome, prvi zbir veii je.od drugog za tro-

,irr't'i ,"iri""ii tt-j, Stn preila datom uslovu iznosi 9. Zna1i, prvi broj je 3, aostali su: 6, 12, 24 i 48.

Balaia Balint, V, r. O. S. ,,J. Jovanovie Zmaj", Pandevo

224, Nati najmanii prirodni broi, koii poiinje crfro-m. l, takav.da se preme-

Stanjei te devetke no ^rrio iedinicc iioslraiie mesto) dobije broi 4 puta manji

od tralenog.I nadin. Neka je traZeni broj: 9 xy ." zt, gde su x, y, "" z'-t cifre'

Onda j1 pi"-n uttovu:'9 xy ... zt'=4;x! .. '. zt9' Ako izvriimo mnoZenje na

J".no: ,tri"i, dobiiemo da 1e zadnja cifra proizvoda 6,izEega sleduje.da je r:6.Sada imamo: 9xy ... ,6-:"i';; ..'. 269, odakle mnoZenjem zakljudujemo da je

pi"qp..i.O"iu cifia: z:'t. Ovaj postupak treba nastaviti dok ne dobijemocifru9.Rezultat je: 923076.

Dragan lvanovit, V, r. O. S. ,,22. decembar", Beograd

Ilnadin(pomoiujednadine).Ako-brojkojidotijemoizostavljanjemdevetke oznadimo ii

",.onOu p."ma ditom uslovu imamo: 9'lOk - 'r:4 (t0x + 9)'

gi.-.i"-L-i" .ada nepoinati bioj cifara traZenog broja x. Odavde dobijamo:

3 (lok-4)x: 11:: " . Resenje zadatka dobijamo za k :5:

l3

x:923076. (Za k.-1,2,3,4, (10k-4) nije deljivo sa 13')

225. Figuru datu na slici podeliti na ietiri podudarna dela'

ReSenje je Prikazanu na sl' l'Ivica Adamov, V r. O. S. ,,Dr B. Vrebalov"' Melenci

B) Za uienike VI, VII i VIII razreda

226. Naii st'e delioce broia 600.Rastaviiemo 600 na Proste dinioce:

600:2.2.2'3'5.5Kombinujucipojedandinilac,zatinrpo],no3,itd',i-radunajuci.udinioce

uroi.u. T'i-oiiil,"ooui:u-o ive delioci: 1,2,'3, li-4 \2::2),,^6^(2'3)' l0' 15' 25; 8'

12,10; io,5o,'75:24,40, 60, 100, 150; 120,-200' 300'-600'Gorai' Zlatit. v, t. o. S. ,,Heroj R' Si5kovi6"' Smed' Palanka

\.22l.uieniksabiraredomneparnebrojeveidobijarezultat,'113.:!,1|31

+559, l+3+5+7:16, i td. Treba pronati pravilo za izraiunqvanje zbira, bez ne.

posrednog sabirania.

Koristeti se dobijenim zakljutkont odgovoriti na sledeta pitanja:a) A\o je utenik dobio zbir: 1+3+5+...:5041, kotiko

-ie neparnih bro-

jeva sabrao?b) Koji je najveii sabirak?

. .c) Koliko ukupno cdara treba napisati u navedenoj jednakosti, ako su zapisanisvi sabirci?

Ako zbir.Sn prvih n neparnih brojeva napi5emo na slede6a_dv2-g1i!na,s,:l + 3 + 5*...*(2n_5)+(2n_3)_l(2n_t)S,:(2n-l)f(2n-3)+(2n-tJ*...+ 5 + 3 + t,

vidimo da je25,: n. (ln) :2n2, S n: 7f .

a) Po5to je 5o4l:71'r, zakljudujemo da je udenik sabrao prvih 7l neparnihbrojeva.

b) Najveii sabirak je pri tome bio l4l.c) Od 1 do 99 ima zapisanih 95 cifara i od l0l do l4l ima zapisanih 2l .3:63

cifre. Zajedno sa ciframa broja 5041 to dini r.rkupno 162 cifie.Dragan Stefanovii, VI. r. O. S. ,,S. pittovljevi6

- pinki.., Stara pazova

.228. Nacrtaj polukiug i u unutrainjosti polukruga izaberi proizvoljnu taiku A.N v^..^...-.:::Konstruiii normalu, povutenu iz taike A na pretnikpolukruga, koristeti se samo lenjirom (bez upotrebeiestara i trougla).

Ako je .BC prednik, konstrui5emo Wave AB iAC. One seku polukrug u tadkama D i E Konstrui5imoprave BE i CD. Ugao nad prednikom je prav, pa suBD i CE visine trougla BCN (vidi sl. 2) i taEka A jeortocentar. Prema tome, prcva NA ie treia visina trougla

e BCN i normalna je na BC. Pri konstrukciji koristiliJl. z smo samo lenjir.

Todor Jovantevit, Yl, r. O. S. ,,8. Lazi6", Vla5ka

. -22g. Broj a je iradrat nekog prirodnog broja. Dokazati da je a deljiv sa 4, iti

pri deljenju sa 8 daje ostatak 7.

. . ... Dati broj a jeparan ili neparan broj,tj:a:2n,ili a:2n-l,prematome:a2:4nz(deljivo g a), ili a2:(2n-l)2-4n2-4ni'7':4n(z-l)f I. posto su n i (n_I) va-stopni prirodni brojevi, to je jedan od njih paran, pa je 4n(n.-l) deljiv sa'8. U ovomsludaju a2:42 (n-t)+l pri deljenju sa 8

-daje ojtatlk 1.

Nenad Popovit, VII, r. O. S. ,,M. Pav1ovi6", Beograd

230. Oko kruga preinika 3 opisanje mnogougao, (polieon) iije su sve stranicetangente (airke) datog kruga. Povriina mnogougla je 20 cmz. Izraiunati njegov obim.

Neka mnogougao ima ', stranica.Spajanjem centra kruga sa temenima mnogougla, dobijamo onoliko trou-

uglova, koliko mnogougao ima stranica. Visina svakog je r (vidi sl. 3). Povr5inamnogougla jednaka je zbiru povrSina svih trouglova:

a,r a"r a,r a,,r r rP: +' l- ' t ...+ " :-(a,+a.+a,+...+a-)--.0.2 2 2 2 2" '' 2

Jer je obim mnogougla:O:ar*ar* ar+ ... + on.

r54 155

odavde je: ,:+. polto je p:20, a 2r:31 , odnorno ,:1, dobijamo:

O:4O:815:25 cm.Vladan Stojanovit, YIl, r. O. S. ,,M. Pavlovii.', Beograd 4r

I

a84

231. Izraiunati povriinu osenienogdrata ABCD je a.

sl.

kvalrata na sl. 4. Stranica datog kva-

Pravougli trougli ABH, BCE, CDF i CAG, podudarni su medusobno isvaki predstavlja polovinu jednakostranidnog trougla, Eija je stranica a. Otudaimamo:

::!j_:22

llll ...11\-?-/

20O jedinica

imamo:

2OO nula

2O0 nula

10000 . .. 00-1

100 nula

222 .. 22:2.l0O dvojki

illl ... 11 -. 222 .. . 22

-v-/

-

20O jedinica 100 dvojki

,,8. oktobar". Rabrovo

100 nula

1000 ... 00 -1

l0O nula

rj009..,09,,- l_-_2 ( 1s9 ::,: 00-_u _

9

a"-sl 3

a ar/ IAH--,AG=

, , GH

Stoga je povrsina kvadrata ABCDT p:f,fz*.lSl .

Dragan Tihomirovit, VII, r. O. 5.

23?,.'lzraturtati l/

Uodimo da je

pa

vI f

-- ';;;"- roo nura

l/ rr6dllh-rv rffi5-r j99:vl , _) : :333..33

Jevtit LJitjana, VII, r. O. S. ,,R. Pavlovid", Bajina Ba5ta

233. Taike D, E i F, redom, pripadaju stranicama AB, BC i CA jednako-slraniinog trougla (trokuta) ABC. Pritom, duii DB, EC i FA jednake su treilnistranice datog trougla (trokuta). DuZi AE, BF i CD seku se u taikama (toikama)K, L i M. Izrctziti povriinu S trougla (trokuta) KLM pomotu date povriine ptrougla (tokuta) ABC.

Da bismo reSili ovaj zadatak, uodimo najpre da su trougli AADC, ABEAi XCpn, a isto tako i trougli ADBC, AECA i AF,4C (sl. 5; metlusobno podu-darni. Posle toga su i trougli LADL, LBEM i LCEK, odnosnotrougli ADBI,AECM i LF,4K, odnosno trougli All-K, ABML i ACKM medusobno podudarni.Dalje je:

Pnps : 2 PDBg, P,qor: 2 Poab Ptopt : 2 PoBpt

po5to su g.pitanju po 2 trougla istih visina, od kojih svaki prvi ima 2 putaveiu osnovicu nego-drugi.

. ObeleZimo sada povr5ine .trouglova /':DBL, L-ECM i AFAK sa S,, apovriine trouglova LALK, {1BML i LCKM sa Sr. Tada je:

Pzoc :5S, -r- 25, + S, PpB6,: 4,S, + Sr;

5S, +2Sr+S:2(4^Sr +Sr; +.S:3S,.Analogno je:

P'DII:2St +.S, r S, Ppp74: Sr+ Sr;2Sr+E+S-2(S,+Sr) = S-&

Naposletku imamo:

P:S+9S, + 3S,:S+ 3S+ 3S:7 S = S: -1.7

Madiarevit Nenad, Ylllu r. O. S. ,,M. Nikola - Nina.., Miljevina

sl. 5 sl. 6

234. Ako su sve ivice (rubovi) ietyorostrane piramide .iednake medu sobont.onda'su boine ivice (rubovi) nagnute prema ravni osnove (baze) pod uglom od 45"-.Dokazati.

Prema uslovu data piramida je pravilna detvorostrana, sa kvadratom ivicea u osnovi. Dijagonala osnove je a l,/2. Osendeni pravougli trougao na slici 6. ima

156

/lc/r-\-

"t/ zhipotenuzu a i jednu katetu 1:. Nepoznatu katetu F/ izraduna6emo pomoiu

2^Pitagorine teoreme:

tav2 t2 2a2 a v 2,,:",_\z)__;, H_ T.ZnaEi, ozna(eni trougao je pravougli jednakokraki, sa oitrim uglom od 45"..

Isti zakljudak dobijemo uzimaju6i bilo koju bodnu ivicu.Radmila Avramovit, VIII, r. O. S. ,,S. Markovii", Sjenica

NAJUSPESNIJI RESAVATELJI KONKURSNIH ZADATAKA 189-234IZ ML VIII 1_4

V RAZRED

Re5ili tadno bar 3 zadatka

Adamovid Lazar O.S. rI.L. Ribar< Plavna I 89, 19l , 194; Adamov Ivica O.S. >Dr. B. Vrebalov<Melenci li6, 211,223,225,226: Altman Boris O.S. >B.Radidevii< N. Beoqrad 189, 196. 199,2M,205,Ztt,-^i:213,216;Areiina'Mariia O.S. >Dr B. Vrebalov< Melenci-196,211,214,223,225; Bal5i6 LidiiaO.Sl 'iV'ii"ri. t.r'.rjon,irrarjiu6 Zii,2t l,_zt+l naralid Liiliana O.S. >M. M. Copo< JvlrCajevci 195-199,iil-it+, Zii, Z2S,'226; nogimit ,f asna O.S. >2. Zrenjaninn Novi Sad 2ll-214: Vaskovid Zorica O.S.nt"i. p. Citr"ni paia6n'2tl-2t4; Veselinovid Suzana O.S. >S. VeljkoviC - Zele<< Bojnik 189, 190,2)7=_2251 Vukidevid Draeaqa ci.S. Dsranimir veljkovii - Zele< Bojnik 214, 217,224,225iv,,rr. - ie Vl"ai.i. O.S. >V.karadZii< dadak 195-197; Caiid vera O.S. >Vuk KaradZic< Sa6ac2ll * 214:cil#;; liiil*b.S.',, i1.

-"*mvii. Skoprje 2tt-21'4i Grueska Roza O.S. ,t 3. noemvri<< S_koplje

iii:jia;-bi^li.iievie iiuuisa b.S. os. v. zLli,< sojnik 223,225,2?6;-Dobrevsk-a.sneiana -o.S. >ll'

n.r.mvri< Skoolie iss-192, 2ll-214,223-225i Dakovid Milena o.s. Dv. Karadzii< Sabac 2ll-214;O"ia."it n.ai"i.v O.5. >8, Radieevic< Sedlare 189-192,223-227: Zivkovli Sneiana O-S. >B. P. Pinki"5r. Mitrouii. 195, 196, 2tt-214; Zlatid coran O-S. >Heroj R. Si5kovii< Sln. lalqn\a 223-228:lva-.""ie b*e"" O.S.' >22. decembar<i Beograd 223-226; tvuovid Sladana O.S-. "S. Y, Z_"h" Bojnik 2l I,ili,Z1+:'i,ie Ana O.S. >Karadorde< Beograd 2tt,213,214; Ilid Drasan O.S. >S-.V. ?ele,t Bojnik 196,

iS9, Zot; fsaifo"ie Duiaoka O.S. >V. Nazor< Zeleznik< l8-9, I90, 196, 199;Janev lr-d^a O,!. DA. Bogicevic(iss, lse, lsg,ztt-it+,223-225:Jarkevid Zorano.S. "l.Y.Zele<Bojnik

189,190' 196' 199,201'2t1.2t2.211.223.225.226:JeremidSlavkoO.S'D2l.majcNiS 196, 197' 198'2ll-215'223-226:j"iJrit r.ira" b.S. uv-iiaraOilcn $a6sq 2ll-214,223-225; Jovanlevid Todor O.S. DB. Lazic( Vlaska|i'i.iii,ziO;ki.o""ta LitianaO.S.>t3.noemvri.(Skopljelg5-197;_KitanwidLepaO.S.>l3.noemvri"Si.;;tj" tiiftl;; io"tie Soni" O:S. >S.Serkovii( Ljlci 195.-197; Krstid coratr O.S. rD. Stambolii<Srrtiie-rS5-t9i, iig r irsti6 i'redrag O.S. )S.V. Z€le< Bojlik -21t.,.2J2,

214, ]17 , 225; Lazid Sneiana

O.Sl ip. V-gofit,i ljuUovija 196, ti9, 2O1,223,224,225i LonCarid Boran O.S. DM. Pavlovic" Zasrqb)i'i-ir'+,zzi-)zsl'Mazitrada-ies"r'o.s. ,F- k"lic,iniirc_. tq2, l?1, le6: Malstorovid Milosav o.strR- V_ ._ pilot( Bolievci 223-225: Marinkovid Gordana O.S. >M. Ilic -Ciaa( Arantleloyac 2ll-213;niii""""ie Milit"x'6.S1-,,tt!toi i'vi["r" Sm. Palanka 223-225i Mirkovi6 Milka o.S. >M' Pajic<

Vica 189. 196.2li: Micevska Marina O.S. >>13. noemvri< Skoplje 195, l9'1,-2ll - 214' 223-225; Ne'#"r niirirr cj.s-''i'r-.rralCopoi M;d;jevci 196, 198, 199; Nikolid Borivoie o.S' >s. v' Zele< Bojnik 19-6

it9;r0i; Xitorii Veina O.5. "v. Kaiadiii<.Sabac 2ll-2t4,223-225; Nikolovska Suzana O.S' )ll.no"-".i,j SkoDti; 195-197, petii Zoiie O.S. >S. Jovanovii<iSabac 196, 199,223,225,221', Petakovidirirj,iii,i'O.S.-,ii. vi"eorle.'liruo'iia ts6, tss,2t2,223,225; Pooovid Aleksandar o.S. o\. l9no1i9*k|l"ru. zi:-iz!;-ft.ai"oi""ie cora.o" b.S.',S. Kerkovii< Ljig-195-197-;_Radovanovid Jovisa o.S.

"rtl.'i.itc,ivieu f ts, ig6, tgg, it2; Radosavlievid Zorica o.S. t)L. Bopovii< Milikovac 2ll-214; Ra3id

srlil"-i;S.''i. i;;;,,1 irlli*""i" itl-zia; Rislid Drasana o.S. >M' Jelenii<< Gornja.Trnava 189,

'9i,-1ga,-zzt-zz5j Ristovi6 z;rk; o.S. >M.M. copo< V'9"19":i .t9?.'-2ll^ 211: Staniul Bogdanka

i""tiru uar"*l tsi, iz|, z2s ; stevi{ ltovica O.S. )S.v. Zele< Bojnik 214, 21.7 .223-f25; Stoiilkovid Goran

it.-S.';s.V-Ai;,;b"i"iklt's, lso, tio,-igs,-2ot,223-225; stoikovid^slavica q's.''l'y.'Zele< BolnikiS6, IS9, Zbt; Srrit<ovie Staai uS.'U. Z"i"n S_ij"iL iSe, 19g,2Oli Tasi6 Stanoika O.S. >S. V. Zele(( Boinlkiti: ita,l-9-9,2'of,-io+; i"ae*i Zoran O.S.->rt3. poemvri< Skoplje 195-19,7;.Traikovid Sneiana o.S.,r*i. i-

-Cil".'rC,iurd"toru" ZtZ-it+,227-225, Culafid Slailana O.S. DJ. Serbanovic< Ranovac 196,

lgg,2Oli Sasaroga Sneiana O.S' >o.P. Radisii< Vrsac 213,223,225.

t57

Naposletku, evo kako su data reienja zadataka: ona nisu data po redu kojibi odgovarao redu zadataka, nego su data izme5ana, u proizvoljnom redu, tako dasam ditalac treba postepeno da otkriva koje reSenje odgovara kom zadataku i da tozabeleZi u praznom pravougaoniku ispred odgovora. To je udinjeno zato da re5e-nja budu data, a da ipak ditalac ne moie jednostavno da ih prodita, nego damoZe da ih natle tek polto je i sam razmiSljao o zadacima.

Zadacil. U jednoj korpi ima tri vrste jabuka. Koliko najmanje jabuka treba da se

izvadi iz te korpe, ako se jabuke vade bez gledanja, a zahteva se da bar tri jabuke buduod iste vrste?

2. Od otpadaka koji se dobijaju posle izrade 6 zavrtanja od delidnih klinovamoguie je izliti jedan nov klin. Koliko ie se zavrtanja moci nadiniti od otpadaka kojise dobijaju posle izrade 36 zavrtanja?

3. U jednom tiganju mogu da se prZe istovremeno samo dve pr2enice. Da bise isprZila jedna prZenica sa jedne strane potrebno je 30 sekundi. Kako treba da sepostupi, pa da se u tbm tiganju isprle za 1,5 minut 3 prienice, svaka sa obe strane?

4. A i B se nadu u vozu Beograd - Zagreb. )Ja se vozim ovom prugom 17.put(, ka:e A. >A ja je prelazim 22. put<<, odgovara mu na to A. Koji je od njih izBeograda, a koji iz Zagrebal

5. U jednom mesecu 3 detvrtka su pala u dane diji je broj bio paran. Koji jedan u nedelji pretstavljao 27. dan tog meseca?

6. Neki cutljivi dovek dode na blagajnu futbalskog igrali5ta i poloZi pred bla-gajnika 20 dinara, ne govoreii niSta. Blagajnik mu na to ne rede niSta, nego mu pruZiulaznicu od 20 dinara, iakoje bilojo5 i ulaznica od po 15, odnosno od po l0 dinara.Kako je blagajnik zakljudio da je taj dovek Zeleo baS ulaznicu od 20 dinara?

7. Ako se u jednom pravilnom petougaoniku povuku sve dijagonale, kolikoie se trouglova javiti na slici?

8. Od 10 palidrvaca treba sastaviti 3 podudarna kvadrata. Zatim treba uklo-niti jedno palidrvce i od ostalih treba 5 pomeriti tako da se dobiju kvadrati i 2 romba.

9. Treba nacrtati proizvoljan trougao i povuii pravu koja sede sve njegovestranice. Kako je to n-rogu6e?

10. U svakom uglu sobe nalazi se pojedna ntadka i svaka od njih vidi 3 madke.Koliko je madaka bilo u sobi?

11, Koji znak treba staviti izmedu brojeva 4 i 7, napisanih jedan iza drugog,pa da se dobije broj koji je veci od 4 a manji od 7?

12. Zbir i proizvod 4 cela broja iznosi (svaki za sebe) 8. Koji su to brojevi?13. Odredi brojeve koji treba da stoje na mestima zvezdica u sledeiim radun-

skim radnjama:a) *2*

L 1 tr',_:_*000

b) **t'. ***lo***5

*3t***+g

c) **+*{':*97d) **234* .72:*0***

14. Dva oca i dva sina ubiju svaki po jednog zeca, a ipak ubiju samo 3 zeca.Kako je to moguie?

164

15. Sta je teZe: kilogram gvoZtla ili kilogram vune?

16. Daktilografkinja je otku avala po redu, bez razdvajanja, prirodne brojeve:123456789101112131415... Ako je ovaj nadin otkucala 1000 cifara, koja je cifrabila poslednja?

17. Pomoiu Stapica napisane su sledeie neispravue jednakosti : VI-IV:IX,VI-IV:XI. Treba premestiti samo po jedan Stapii, pa da se dobiju ispravne jed-nakosti. Kako se moZe to udiniti?

18. Koji je broj deljiv sa svim brojevima? Koji broj ima svojstvo da, podeljensa svojom seCminom, daje kolidnik 7?

19. Koji je prirodni broj 7 puta veii od cifre svojih jedinica?

20. Imamo Sahovsku tablu sa 64 polja i plodice za domino takvih dimenzija,da svaka plodica pokriva po 2 susedna polja. Pomoiu 32 plodice lako je pokriti celutablu. Ako izostavimo dva dijagonalno suprotna polja table iznjena dva ugla, da li te 62 se preostala polja noii pokriti po-moiu 3l plodice? ' '

21, Na sl. I ima 9 tadaka. Ne odvajajuii olovku od hartije . ' 'trcba precrtati te tadke, povladeii samo 4 duZi. . . .

22. Ugao od 15' posmatramo kroz lupu koja daje detvoro-struko uvedanje. Koliki 6e biti ugao koji 6emo videti na slici? Sl. I

23. Kanta cilindridnog oblika puna je vode. Kako se moZe odliti polovinatc vode bez upotrebe bilo kakvog pribora za merenje?

24. >Reci mi bilo koji dvocifreni broj, deljiv sa 9, ija iu ti odmah reii kolikoce se dobiti kad se taj broj pomnoZi sa 12345679k<, tvrdio je udenik ,4 pred svojimdrugom B. Kako je on to mogao da udini? 2

.25. Napi5imo redom sve prirodne brojeve od 1 do 100. Koliko puta 6emo

t)ri tom napisati cifre 0,1,2,3,4,5,6,7,8, i 9?

26. Od dve lokomotive, koje se kreiu iston-r brzinom, jedna prelazi nekakavput za 90 min, a druga prelazi taj isti put za sat i po. Kako je to moguie?

27. Koji broj ima svojstvo da je njegova treiina polovina?

28. Na dasu fizidkog vaspitanja udenici su se postrojili u jednu vrstu tako da.ie rastojanje izmedu dva susedna udenika bilo I m. Koliko je bilo udenika, ako jecela vrsta bila dugadka 25 m?

29. Iseci od hartije komad pravougaonog oblika, tako da mu je duZina dvaputa ve6a od Sirine. Raseci ga zatim na dva dela tako, da je od njih moguie nadinitia) pravougli trougao i b) jednakokraki trougao. MoZe li se taj pravougaonik rasecina tri dela tako, da se pomoiu njih moZe sastaviti kvadrat?

30. Da li se kaZe >7 i8 iznosi 16< ili se kaie>>1 i 8 iznose 16<?

31. Popunite prazna polja na sl. 2 tako da zbir brojeva u koja bilo 3 susednapolja, bilo u horizontalnom ili vertikalnom.pravcu,lznosi 12.

32. Brojdanik sata treba podeliti dvema lini-iama na 3 dela tako, da u sva tri dela zbirovi brojevabudu jednaki.

33. Godine 1968 otac je slavio svoj desetilodendan, a sin svoj dvadeseti rodendan. Kako je tonroguie?

5I

62 2

sl. 2

r65

34. A-ko u ponoi pada kisa da Ii se moZe odekivati da 6e posre 72 iasa vremebiti sundano?

. 35. Naii takav par prirodnih brojsva, da je njihov zbir veii od njihovogproizvoda.

36. Imamo 3 lista hartije. Jedan, dva iri sva tri od njih isedemo na po tri dela,zatim neke od tih delova isedemo opet na po 3 dela, i tako postupimo viSe puta. Nakraju izbrojimo dobijene delove i nademo di je njihov broj 34. Da li smo tadn6 brojali?

37. Postaviti l2 palidrvaca tako da se dobiju 5 kvadrata.

- .. , -38. Kako se moie, bez podizanja vrha olovke sa hartije, po-deliti figura na sl. 3 na 6 podudarnih trouglova?

391 Trojici udenika nastavnik je pokazao 3 bele i 2 crne kape.Zatim im je vezao odi, pa je svakom od njih stavio na glavu po jednubelu kapu. Posle toqa im je odvezao odi i zatralio da ivaki od njih,znajuii samo to kakve kape vidi na glavama ostale dvojice, kaiekakvu kapu ima on sam na glavi. Da li je neki od njih mogao to

40. Neki dovek da svakom oci svoja dva druga tadno onoliko novaca kolikoje,svaki od njih vei imao; zatim to udini i drugi dovek, a posle toga to udini i treiiod njih. Tako docle do toga da svaki od njih ima po g dinari. Kolik-o je svaki od njihimao na podetku?

^ - 41. Na jednom sportskom sastanku utvrdeno je da se 651dlanova kluba bavifutbalom, da se 45/" dlanova kluba bavi tenisom, a da se 20 dianova kluba bave ijednim i drugirn sportom. Koliko je dlanova bilo u tom klubu?

42. U sobi sa 4 zida_treba rasporediti 16 storica tako da pored svakog zidabude po 5 stolica. Zatim treba,u _toj sobi rasporediti 6 stolica tako, da pored Jvakogzida budu po 2 stolice. Naposletku se zahteva da se u toj sobi .uipo."d. l0 stolicatako da ih pored svakog zida bude u jednakom broju. Kako je to moguie udiniti?

43. Njih detvoro su igrali domine 4 sata. Koliko je sati igrao svaki od njih?

- Y. Koliko je gusaka bilo na vodi, kad je jedna od njih plovila ispred dvedruge, druga iza dve druge, a treia izmedu dve druge?

45. Da li je moguie na mesto tadkica upisati brojeve tako dabroj . . . 08 bude potpun kvadrat?

46, Ako se nekom dvocifrenom broju s leva i s desna dopiSeI, dobija se 2l puta veii broj. Koji je to broj?

47. Kako se broj 666 moZe poveiati za 501,a da se nad njimne izvrSi nikakva aritmetidka operacija?

48. Okrenuti >kuiicu< na sl. 4 na drugu stranu putem pre-meStanja samo dva >5tapi6a<.

49. Iz mesta A i B poila su istovremeno dvA voza jedan drugom u susret.Jedan je i5ao brzinom od 60 km/h, a drugi brzinom od 40km/h. Koli-ko su oni bilimedusobno udaljeni na 1 sat do trenutka susreta? Koji je od njih bio udaljeniji odmesta ,4 u trenutku susreta?

5Q. Koji celi brojevi, zapisani dvema ciframa, postaju ve6i kad im se uklonijedna cifra?

51, U punom sudu ima l0 / mleka. Kako se moZe izdvojiti 5 litara, ako seraspolaZe jo5 samo sa 2 suda, od kojih je jedan od 3 l, a drugi od 7 l?

166

hsl. 3

da udini?

sl. 4

52. Koliko puta je morao prodavac da sede tkaninu od 36 metara, ako jehteo da je podeli na komade od po 3 m?

53. Kako se moZe uz pomod 5 dvojki dobiti broj 7?

54. Koji razlomak, kad se >prevrne<, daie sebi ravan razlomak?55. Treba otkriti brojnu vrednost u sledeiim tadnim Sifrovanim radunima:

AAB

a !_c.e cABC

,4BC

ADAC

56. Neki iovek kaZe da ima 3 kieri i da svaka od njih ima jednog brata.Koiiko je on imao dece?

57, Treba da se podele na 2 jednaka dela 8(24) litara vina, koji se nalaze usudu od 8(24) litara, a pritom se raspolaZe jo5 sarno sa jednim sudom oct 5 (5)litara i jednim od 3(ll) Iitre? Kako se to moZe uraditi?

58. Kanta cilindridnog oblika napunjena je distom vodom teZi 5 kg, a kad jeu nju voda usuta samo rio polovine - te2i 3,?5 kg. Koliko litara vode rnoZe statiu kantu?

59. Kojom se cifronr zavrSava proizvod svih neparnih dvocifrenih brojeva?

60, Trojica Sahista odigrali su na turniru svega 6 partija. Koliko je partijaodigrao svaki od njih?

61. Njih dvanaestorica treba da podele 12 jabuka tako, da svaki od njihdobije po jednu jabuku, a da pritom ipak jeclna jabuka ostane u korpi. Kako je torncguie?

62. lJ prazna polja na sl. 5 treba upisati bro.ieve 1,2,3,4,5,6,'1,8,9 tako da se

dobiju tadne jednakosti.

n"n[l=n[Jf]=[]f]"f]sl. 5

63. Petao, dok stcj i na jednoj nozi na kantaru, teii 3 kg. Koliko ie kilograrnateZiti, ako stanc na dve noge?

64. Imamo 16 Stapica duZine 1cm, 16 Stapiia duZine 2cm i l5 Stapiia duZine3 crn. Da li je moguie pomoiu ov.ih Stapiia ograniditi pravougaonik?

65. Na stolu se nalaze 3 palidrvca. Ne dodajuii ni jedno palidrvce, napravitiod 3 detiri.

66. Na obali stcje 3 odrasla lica i 2 dedaka. Na raspolagatrju imaju samoI damac u koji moZe da se smeste ili samo jedno odraslc lice ili samo 2 dedaka. Kakoie svi preii na drugu stranu reke?

6?. Koliko puta u 24 dasa minutna kazaljka prede iznad satne?

68. Pravougii paralelopiped, duiine 5 dm, Sirine 4 dm i visine 3 dm obojcn jcsa svih strana i zatim je iseden na kubne decinretrc. gqliko ie se dobiti kocaka kojesu obojene a) sa 4 strane b) sa 3 strane c) sa 2 strane? i d) sa jedne strane i e) ni sajedne strane?

69. Napi5i nulu pomoiu 3 petice.

ABCi CC

t67

- . . 70: u 15 konjuinica smeSteno je 99 konja. Zasto bar u jednoj konjusnicibroj konja mora biti neparan?

. . 7l:. Neka je a:6..Otuda sleduje: a2:ab, a2-b2:ab-b2, (a*b)(a_b;)::b-(a-b),a.1!:6. Imajuii u vidu da je a:6,dobijamo:2b:b,2:1.GOe.|e ueini6nagre5ka u zakljudivanju?

72. lz 1-3:4-6 sleduje:

/ 3\2 3 312-..L l_-:2--, t--2.\ 21 2 2

, ry. Neka je a nekakav qroi,zvoljan-broj i neka je x njegova polovina. Sleduje:2x : a, 2ax :,a2, a2

-Zax : 0,. a2

-2ax * x2 : xz, (x----aj2 : yr, i-a : x, a : 0. Sledujeda je svaki broj jednak nuli. Gde je udinjena gre5ka u zakljudivanju?

74. Umesto da vozi sa prosednom brzinom od 80 km/h, Sofer ie bio orinudenda na prvoj polovini svog puta vozi s brzinom od 60 km/h. Zeleti da itigne na vreme,gnje na drugoj polovini svog puta vozio s prosecnom brzibrzinom od i00 kmih. Dali je stigao na vreme?

75. Pri svakom od pokulaja da se rasporede udenici u redove od po 2,3,4,5 i 6udenika preostajaoje po i udenik. Ali kada su bili rasporedeni u redove'od'po7udenika,.nije. preostajao ni jedan od njih. Koliko je udenika bilo u toj skoli, alio sezna da ih nije moglo biti vi5e od 500?

- .76. Naii_najmanji prirodan broj koji podeljen sa2 daje ostatak l, podeljensa 3 .daje ostatak 2, podeljen sa 4 daje ostatak 3, podeljen sa 5 daje ostatak +, iroaeljensa 6 daje ostatak 5, a podeljen sa 7 ne daje ostatak.

t- 2.t.1 * I :o-r r.:.+, ('-+)'.Gde je udinjena greSka u zakljudivanju?

tl 7; n Decimalni zarez; A Treba podi od toga da se u svim horizon-talnim i u svim vertikalnim redovima sve po 3 cifre cikliEki ponavljanju; 11 200;

je dobio jabuku s korpom; t: Po5to je a-b:0, na osnovu (a-b)(a-b):-.b(a-b) ne moZe se zakljuditi da je a+b:b;a 43; n 1,1,2,4;A U prvomsludaju treba staviti u svaki ugao po jedno stolicu, a u ostala dva sludaja trebasamo u 2 suprotna ugla staviti po jednu stolicu itd.; C ll; n 3.58:174:29.6ili 4,39:156:78.2; E Samo na osnovu jednakosti kvadrata dvaju brojeva ne'-r

168

t.'

RESENJA ZABAVNIH ZADATAKA

.'t0:t =Ai1)?r3193333339nj)393353a

rr,/(' sc zakljuditi da su i ta dva broja jednaka; D Treba najpre isprZiti 2 ptLe-

.r(( sir.icdne strane; zatim treba prvu odnjihokrenuti na drugu stranu, a drugu

z.rrrrcrriti trciom i td.; I Otac je rotten 29. februara 1928.g; E 4; n 2'2'2-2:2:7i r I lkg; n Vidi rebenje zad.72;a z, je iz Beograda,zB jeizZagteba;

i r (J lovtr su bili otac, sin i unuk: O 12345679'9: lllllllll i td; n Ne moie;L r.1; r.l ala ili *ala; E Nije mogude; f:Neie; -Ponedeljak; I Cifru 0-lllrrrt:r, cilru l-21 put, a ostale cifre 20 puta; E Nrje; r: 321 +11,321.11; I U

litlnju jc ista teZina; f: 1 i bilo kakav prirodan broj; f: IV; f] 301; n Bar

lt.tlrrr cd ,,desetica" bila je u ,,sitnom novcu"; tl Cifra 3 iz 370-og broja; E1,5 lr 90 mn; ft Nismo; f] 9l; rr 4; n Najpre ie preii oba dedaka, pa ie jedan

.tl rr.jih vratiti -amac; zatim (e preii jedno odraslo lice i td.; n Najamni od tihl,roicva jc 119; r] 35; r: VI+IV:X; n 312; = Ako se ,,prevrne"; E Putem

u/:r\r()t)r'rog prepisivanja postiZe se da u tri suda bude 4(12)1,0(0)/ i 4(12)l;ll puta; D 0; svaki broj; n 26; = 4,5: fl 8 sa po 3 obojene strane; 24

,.r lrtr 2 obojene strane; 22 sa po jednom obojenom stranom i 6 bez obojenih.,rr;rrir; L l Prava treba da prolazi kroz bilo koje teme trouglat n j5; n Jedan,,,1 rrjilr nroZe da odgovori; E 100km; ni jedan nije bio,,udaljenUi"; D 5; n(', 5),5; E 4; n Neie; E Ni jedno ni drugo; L] 13,7,4; tf Negativni; n4;

, /.rto ito bi inade broj konja morao biti paran; tl l5'; c a) 728+272,r') l7I.tl5(r, c) 99-98, d) 772344:72;

rll_r_tl_r

r.:llr

sl. 5

DDn

Xsl. I

t_-l-lt-t:l

lt

sl. 2

nsl. 4

Etuffiast. 6 sl. 7 sl. 8

ZANIMLJIVI KVADRATI

Mcdu clvocifrenim brojevima mogu se uoditi mnoge zanimljive osobine.N.r ;rrirrrcr: 1.1: 169; ako 13 i 169 proditamo s desna na levo, imanro: 31'z:961.ls.rrrt rro, zbir cifara broja l3 je 4, a kod broja 169 je 16, dakle: (l -t- 3)'z-' 1 r'6 + 9.

l'ostoji joi jedan dvocifreni broj sa ovakvom osobinom. PokuSajte da ga

1rtott;ltltlc.

esl. 3