7/28/2019 Matematicki list 1973 VIII 1 http://slidepdf.com/reader/full/matematicki-list-1973-viii-1 1/17 + VAZNA OBAVESTENJA 1. UredniStvo poziva nastavnike i profesore matematike kao i ostale dita' oce da Salju svoje priloge za list: dlanke, odabrane zadatke, zadatke sa prijemnih ispita i rnatematidkih takmidenja, razne zanimljivosti. PoZeljno je da svi rukopisi (osim udeniEkih re5enja zadataka) budu pisani pisadom maSinom s proredom, a crteii izradeni na posebnoj dvrSioj hartiji. Rukopisi se ne vraiaju. 2. ,,MatematiEki list" namenjen je svim uienicima V-Vm raz. osnovne 5kole. List izlazi 5 puta u toku Skolske godine. 3. GodiSnia pretplata (za svih 5 brojeva) iznosi 25 dinara. NaruEiocima za viSe od 10 kompleta odobravamo rubat (20Y", 15%, l0%), zavisno od roka do kojeg se isplati celokupna pretplata (I.XII, l.II, l.IV). Nikakvi drugi odbici ne uvaZavaju se. NarudZbine se Salju na adresu lista, a novac na iiro-raIun ,,Matematiikog lista" broi 6080,6-678-14627. Pri tome obavezno treba navesti tainu adresu na koju list treba dostavljati i jasno naznaEiti na 5ta se narudZbina odnosno uplata odnosi. 4. RaspolaZemo kompletima lista iz Skolske 1968169. god. (br. III. l-5)' 5k. 1969/70. eod. (br. IV. l-5), sk.1970/71.eod.(br.V.3-5), sk. 1971/72. god. (br. VI. l-5) i 5k. 1972173 god. (br. VII. 1-5). Od ovih godiSta prodaju se III, IV, VI i VII po sniienoi ceni od 6 dinara za komplet, a godi5te III po ceni od 3 dinara. 5. Mole se poverenici ,,Mat. lista" da izmire sva zaostala dugovanja. 6. Sve priloge, primedbe i narudZbe slati iskljuiivo na adresu: Matematilki list, p.p. 728, 11001 Beograd MATEMATIEKI LIST ZA UCENIKE OSNOVNE srcOTE VIII I SADRZAJ l. Dr M. Ilit-Dajovit: Krug i prava. 2. D. S.: Tablica sabiranja 3. Dr M. Stojanovit: Neke zanimljivosti o brojevima 4. M. I. D..' O zadacima .. .. 5. Odabrani zadaci . 6. Konkursni zadaci. 7. Resenja konkursnih zadataka 174-188 8. Najuspe5niji reSavatelji konkursnih zadataka 153-188 9. eetvrto savezno takmidenje mladih matematidara osnovnih Skola Jugoslavije 10. Matematidka razonoda ll. Nagradni zadatak ........korice 12. ObaveStenja pretplatnicima .. . . . ..korice I 6 9 il 15 16 l7 22 26 3l J 4 BEOGRAD 1973. CENA 5 DINARA
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
1. UredniStvo poziva nastavnike i profesore matematike kao i ostale dita'oce da Salju svoje priloge za list: dlanke, odabrane zadatke, zadatke sa prijemnihispita i rnatematidkih takmidenja, razne zanimljivosti. PoZeljno je da svi rukopisi(osim udeniEkih re5enja zadataka) budu pisani pisadom maSinom s proredom, a
crteii izradeni na posebnoj dvrSioj hartiji. Rukopisi se ne vraiaju.
2. ,,MatematiEki list" namenjen je svim uienicima V-Vm raz. osnovne
5kole. List izlazi 5 puta u toku Skolske godine.
3. GodiSnia pretplata (za svih 5 brojeva) iznosi 25 dinara. NaruEiocima zaviSe od 10 kompleta odobravamo rubat (20Y", 15%, l0%), zavisno od roka do
kojeg se isplati celokupna pretplata (I.XII, l.II, l.IV). Nikakvi drugi odbici ne
uvaZavaju se.
NarudZbine se Salju na adresu lista, a novac na iiro-raIun ,,Matematiikoglista" broi 6080,6-678-14627. Pri tome obavezno treba navesti tainu adresu na kojulist treba dostavljati i jasno naznaEiti na 5ta se narudZbina odnosno uplata odnosi.
4. RaspolaZemo kompletima lista iz Skolske 1968169. god. (br. III. l-5)'5k. 1969/70. eod. (br. IV. l-5), sk.1970/71.eod.(br.V.3-5), sk. 1971/72. god.
(br. VI. l-5) i 5k. 1972173 god. (br. VII. 1-5). Od ovih godiSta prodaju se III,IV, VI i VII po sniienoi ceni od 6 dinara za komplet, a godi5te III po ceni
od 3 dinara.
5. Mole se poverenici ,,Mat. lista" da izmire sva zaostala dugovanja.
6. Sve priloge, primedbe i narudZbe slati iskljuiivo na adresu:
Matematilki list, p.p. 728, 11001 Beograd
MATEMATIEKI LIST
ZA UCENIKE OSNOVNE srcOTE
VIII
I
SADRZAJ
l. Dr M. Ilit-Dajovit: Krug i prava.
2. D. S.: Tablica sabiranja
3. Dr M. Stojanovit: Neke zanimljivosti o brojevima
4. M. I. D..' O zadacima .. ..5. Odabrani zadaci .
prema a(s1.2). Uodimo LOMMti AOMM.. To su-p-ravougli trougli,
s pravim uglovima kod temena M i s hipotenuzom OM, odnosno OMr'
fato je u"svakom pravouglom trouglu hipotenuza najduZa stranica,
to jeoMl>oM i oM2>oM'
pa je zaista OM najkrata duZ povudena iz centra O do prave a'
ftlt r'l /'/2
sl. 2
Z akl ju d a k. -Tadka na pravoj a najblila centru kruga jeste
podnoZje norrnale spu5tene iz tog centra na datu pravu'
N a p o m e n a. Tadkana pravoj najblila centru kruga istovremno
je najbli2a i krugu; zato se ,idatak I desto izraLava i u ovakvom
tUtitu, Odrediti-na
pravoj a tadku najbliZu krugu'
Da bismo re5ili drugi zadatak, uodimo na krugu (K) d'ue.tadke
N i Nr (sl. 3), od kojih ie taem N istovremeno na normalnoj duZi
Povucimo iz N, tetivu kruga N,N,' paralelnu pravoj a i obele-Zimo sa P tatku u kojoj ta tetiva sededuZ OM.Kako jeP unutra5njatadka tetive, to se ona nalazi u krugu, pa je PM:PN+NM. Kakoje detvorougao NrfufrMP pravougaonik, to je NrMr:PM, te uzimajuiiu obzir prethodnu jednakost imamo:
PM:PN+NM:NtMt,
!o jest NM : NtM - PN,5to znadi da je duZ NM manja od duZi NtM;kao 5to znate, to se piSe u obliku:
NM<NlMt.
Prema tome, rastojanje NM tadke .l/ kruga od prave c manje je odrastojanja proizvoljne tadke N, na krugu od te prave.
Zakljudak. - Tadka na datom krugu najbliZa datoj pravojnalazi se u preseku tog kruga i normale spuitene iz centra kruga napravu 4.
Na slidan nadin ie5ava se i treii zadatak, to jest odreduje se
na krugu taika koja se nalazi najdalje od date prave.
3. Uodimo sada krug i njegovu tangentu i obeleiimo sa Mnjihoru zajednidku tadku (ta se tadka zove dodirna tadka kruga i prave).
Poluprednikpovuden
do dodirne tadke zove se dodirnipouluprednik.
Za poloLaj tangente prema krugu karakteristitno je sledeie tvrdenje,koje iemo i dokazati:
st. 4
4, Dodirni polupreinik je normalan na tangentu.
Dokaz je veoma jednostavan. Koristi6emo se re$enjem zadatkaI (ili zadatka 2): tadka na pravoj a najblila krugu jeste podnoZjenormale spu5tene iz centra kruga na tu pravu (odnosno, taika na
3arHM cre 6pojy 3 AoAasaru pegoM 6pojeae 1,2, 3, 4, 5, 6, 7,ur4., 6pojy 8 AoAanaln cre peAoM 6pojene I u 2, H HanocJrerxycre 6pojy 9 AoAalu 6poj l.
-Taxsa rabrnua Moxe ce rperneA-
Huje, 6er uraxa ca6raparsa u :naxa jeAnaxocru, Halncaru y cleAeheuo6nnxy:
Kao ruro BHAHTe, ra ra6lnUa je cacrar:teHa raxo rrrTo cy y3arnaBJby wcilvcaHll' peAoM 6pojenn l, 2, 3, .. ., 9, 10, a :arnr,rje y npnona cleAeheu peAy ra Bpcra noMepeHa 3a jeAuo uecroyJreBo H npnn 6poj je urocranneH, rra je ora HoBa Bpcra, 6es csor
rlpaBor 6poja, roMepeHa ra jegno Mecro yJreBo r{ clyrrrreHay
cne-Aehn peA, HrA.; Taxo je nacraurseHo cBe Ao rrpernocneAlber peAa,
xojn cagpxrr caMo bpojere 9 u 10, H nocneAller, xojn caApxn caMo6poj l0;
.rrpr,rroMe cy npBH bpojenn y cBaKoM peAy o.qBojeHr{ oA
ocraJrllx jeluor"r Beprr{KanHoM IIproM y noceban cry6au.
Ha raj HaqrrH, y 3arnaBJby u y o4rojeHoM crynuy uMaMo Hr.{3
6pojena l. 2, 3, ..., 9, 10, a y yHyrpaubeM Aeny rabrnue rpBanpcra je Hcra Kao r{ rpBH crybau (ro je Hnr bpojera 2,3,4,...,9, l0), Apyra Bpcra je ncra Kao Apyrn crybaq (ro je Hne bpojeua3, 4, 5, ..., 9, l0), ..., ocMa upcra je r{cra Kao H ocMrr cry6aq(ro je nap 6pojeoa 9, l0) n AeBera npcra je xcra Kao H AeBerHcry6au (cacrojr.r ce caMo oa 6poja l0).
yMaIbeHHK, a rAe yMalbHnau fi r.qe ceHtuIa3I{ pe3yJITaT oAy3I{MaILa
-pa3Jrr{Ka.-
(V nape4norut 6pojy Materuarnqror Jrl{cra parronapaheno o
jeanoj'ra6r'qg uno*erti xoja uau Ha oq'rreAaH HaqLIH noxaryje
uexa coojcrna re onepaunje.)n. C.
8
Pada u odi da se kub neparnog prirodnog broja izmedu I i l0izradunava na odreden nadin pomoiu kvadrata svih od tog brojamanjih parnih prirodnih brojeva, a kub parnog prirodnog brojaizmedu I i l0 izradunava se pomoiu kvadrata svih od tog brojamanjih neparnih prirodnih brojeva.
MoZe se dokazati (to 6emo pokazati u jednom od narednihbrojeva MalematicYkog lista) da jednakosti slidne prethodnim vale za
bilo koji neparan ili paran prirodni broj, to jest da je, na primer:
442:44+ 6.(12+32+ 52-l- .'. .+43:'),
1252 : 125 t 6. (22 1 4z+-62+ . . . + 1242).
2. Iz jednakosti (3)-(9) rnoZemo naii zbirove kvadrata uza-stopnih neparnih ili uzastopnih parnih brojeva. Zaista, iz jednakosti
a zatim iemo razliku kvadrata 42 - 12 napisati kao proizvod razlike i
zbira:
, 42 _ 12:(4_ l) (4+ l):3. s.
S obzirom na to, ima6emo da je
a, 4, 43-4 4(42-12) 4.3-5 3.4.5l- -r J-:
- 6. 6 6 6
Kao Sto se vidi, rezultat je reoma jednostavan: t6 je jedna
Sestina proizvoda tri uzastopna prirodna broja.
Dalje je iz jednakosti (4):
MoZe se dokazati (to iemo objasniti u jednom od narednihbrojeva Matematiikog lis6a) da slidne jednakosti vaie za zbirovekvadrata bilo koliko uzastopnih neparnih ili uzastopnih parnih pri-rodnih brojeva, to jest da je, na primer:
22+42+62+...+1002:100.101.102 : t7 I 700.
6
Koristeii se time, sada se moZete i opkladiti da iete brzo izra-
iunati, na primer, zbir kvadrata svih neparnih brojeva od I do 999ili zbir kvadrata svih parnih brojeva od 2 do 10000.
zADLCtl. Izradunati: a) zbir kvadrata svih neparnih brojeva od t do 99: b) zbir
kvadrata svih parnih brojeva od 2 do I 000.
2. Izradunati sledede zbirove:
a) 122 + 142 + 162 t- 182 + 2O2:
b) ll'? + 132 + 152 + 172 + 192.
, 3. Izradunati zbir kvadrata svih prirodnih brojeva od I do t0. to jest
12 +22 1_ 32 + 42 +... + g2+ 102.
4. Izraiunati zbir kvadrata svih prirodnih brojeva od I do 100.
5. Izradunati sledede izraze:
a\ 12 -22 + 32 -42 + 52 -62 + 72-82
+.92i
b) 12-22 + 32-42 +. .' + 99'?-1002 + l0l2l
c) 1012-1022 + lO32-1042 + 105'?-106'?+ 107'?-108'?+ 1092.
o 3ATPAAAMA
3auaxeno je aa ce y pa3Hr{M yuEeHHqHMa H y HacraBrr v3pa3n
6ulo xao (a:b):c, 6nloKao a:(b:c). Y cBaKoM oA oBa 4ea cnyvaja ao6nja ce pa3rr,rrturp€3lJrreT. Iloxarahervlo ro aajnpe ua je.{uovr npocroM npr.rMepy:
(la4:8):2: l8:2:9,
144 : (8 :2) : 144: 4:36.
3aro u:pa: 144:8:2,6et 3arpaAa, uuje ucupanHo HarucaH. ,{axle,unje ucro Ea nr4 Konlrrrnr.rK 6pojera s u b Aenr.rMo 6pojertr c vltvl6poj c /IenHMo Korr.rrrHHKoM 6pojena b u c:
(a: b): ct' a: (b: c).
36or rora, y ucupaeilo uauucsuou u3pcr3y Mopa ce salpagaMqHa3Haqumu pegocneg uzeofierca pqqyHcKux ouepa4uja.
6. Cana clro AorxJrr.r Ao r,r3pa3a
a:b.c, oAHocHo a:bc.
OArnrax rpe6a Har,racvrv Aa npor{3BoA 6c cuarpauo jeAunu 6pojeu,pe3yJrraroM MHoxeBa 6pojena b u c. 36or rora v3pes a:bc nv.a
cauo je4uo 3Harrelbe:a: bc : a: (bc).
Ha npnrlep, r{3 no3Hare Qoprrayle ga o6uvr rpyra O
je ysu,qeru HeonxoAHocr craBJbarba 3arpaAa y cloxennjuM H3pa3I'IMa,
Kao [rro cy, Ha npI.IMep, a'.b,c:d:e, a.b'.c:d'e'f u cstwuttw'
3aAaraK. - la nw cy Ll3pa3n a:b.c:d:e, a'b:c:d'e'f,a:b:c.d.e ucnpanHo Hanl{caHn? Axo HI{cy, Ha KolHKo ce HaquHa
MOXe CXBaTnTH CBaKH O.4 rrUX?M.N, L
14
ZADACI
Odabrani zadaci
Ovi zadaci treba da vam sluZe za veLbu, pripremanje za prijemne ispite imatematidka takmiEenja. Zadatke treba samostalno da re5ite, a navedeni rezultatineka vam sluZe za kontrolu.
E53. Mleko sadrii 0,12 svoje reiine pavlake, a pavlaka dajc: 0,36 svojeteiine buler. Odrediti koliko se butera dobija od 9OO I mleka, kada litar mleka
teii l,O3 kg.t54. Odrediti cifre mesto kojih se nalaze t u
[Rez.: 40,0464]
4+7 '3+
-lr08
r28rI i5..
855. Kupac je prvo kupio robu A za koju je platio jednu petinu svoga novca,zatim je kupio robu B za koju je platio jednu iestinu ostatka i, naposletku je zaostatak kupio robu C; poito je pri ovoj poslednjoj kupovini dobio 3,5)( popusta,ostalo mu je 1,82 dinara. Odrediti sumu koju je kupac imao na poietku,
[Rez.: 78]
856. Znajuti.da se razlomak !;- uveiava kada se brojilac i imenilac uveta-b
b
vaju za isti broj,. odrediti kako se menja razlomak * kada se njegov brojilac injegov imenilac uvetavaju za isti broj. [Rez.: Umanjuje se]
t57. Radnik je uloiio dve tretine svoje uitedevine po 4\, a ostatak po 3,61i tako je za godinu dana dobio 212 dinara interesa. Odrediti njegovu uitedevinu.
[Rez.: 6 000]
tSt. Izratunati P:(3 a2+-5)(3b,t.5), a zatim dodavanjem i oduzimanjemmonoma 3oab pokazati da se P moie izraziti u obliku P==x2-r15y2.
859. U kvaCratu ABCD, sa stranicom a, povuti odseiak MN, koji spajasredine M i N stranica aB i BC, i odseiak PQ, koji spaja sredine P i Q stra-nica CD i DA. Izraiunati obim i povriinu iestougla AMNCPQ,
l*.r.,o -zo, lJ, ,-t::l
860. Neka su A, B, C, D, E, F redom sredine stranica pravilnog iestougla
u kojem su povuieni odseici AC, BD, CE, DF, EA, FB.l) Dokazati da ti odseici ograniiavaju jedan manji pravilan iestougao uunut rtinjost i datog iestougla.
2) Izraiunali povriinu tog manjeg iestougla ako je stranica datog iesto-usta a-' t'
861. U pravougaoniku ABCD su M i N sredine dveju suprotnih stranicaAD i BC; iz taike M povuieni su odseici MB i I{C, a iz taike N odseici NAi ND; ovi odseici ograniiavaju ietvorougao MPNQ,
l) Dokazati da je ietvorougao MPNQ romb.2) Izraiunati povriinu ietvorougla MPNO ako su stranice datog pravo-
ugaonika: a:6, b:3. I ablI Rez.: P:
-|
[ 4l
. 862. Iz svakog temena jednakostranitnog trougla opisan je kruini luk nadnaspramnom stranicom, a zatim su iz sredine svake stranice opisani kruini lucinad poktvinama dveju oslalih stranica. Tako je dobijena figura F ograniiena spoliasa tri veta (i jednaka) kruina luka,a iznutra sa Sesl maniih (i iednakih) kruinihlukova. - Ako se zna slranica a datog Jednakostaniinog ftougla, izradunati obimi povriinu figure F.
RESENJA KONKURSNIH ZADATAKA 174_188 IZ ML VII. 4_5
174. Od iednog delienia ostali su samo tagovi:
: :368
-200u
Nati deljenik.
Kako je 2b0 proizvod nepoznatog delioca i poslednje cifre kolidnika 368,
delilac u ovom delenju je kolidnik iz 200 i 8, tj. 25. Deljenje nema ostatka.
Sleduje da je deljenik: 368.25:9200'Nenad Manasiievii, Yrr. OS ,;J. Jovanovii Zmaj," Pandevo
175. Dakrilografkinia tipka jedan^iza drugog prirodne brojeve, hez meduznaka,
be z p ro r eda : I 23 45 67 89 I 0 | I | 21 3 I 4 I 5 I 617 18 19202 I 22?3,' .
Otipkala jb ukupno 1973 cifre. Koliko ie puta pri tome udarila cifru 7?
Za otipkavanje svih jednocifrenih brojeva treba otipkati l'9=-9 cifata: za
otipkavanje svih dvocifrenih brojeva treba otipkati 2'90:180 cifara; za otipka-
vanje svih trocifrenih brojeva treba otipkati 3.900-2700 cifara. Daktilografkinjaje, bdigledno, otipkala sve jednocifrene i dvocifrene brojeve, a nije otipkala sve
trocifrene brojeve.
Iu
[n"r., "(2"::/lI1
, Konkursni zailaci
189. Odrediti broj kojim treba pomnoZiti 315 da bi se dobio proizvod ve6iza 39 834 od proizvoda broja 216 i broja koji je za 4 manji od kvadrata broja 15.
190. Znajuii da se razlomak 4 uve6ava kada se brojilac i imenilac umanjeo
za isti broj, odrediti kako se menja razlomak a kada se njegov brojilac i inre-nilac uvedaju za isti broj. P
191. TeZina tela na Mesecu manja je za O,16 svoje teiine na Zemlji, na
Marsu je manja za 0,38 Svoje teZine, a na Jupiteru je 2,64 puta veia nego na
Zemlji. Odrediti teZinu tela na Mesecu i na Jupiteru, kada je njihova teZina na
Marsu 3l kg,
192. Odredi momenat izmedu 5 i 6 dasova u kome kazaljke dasovnika
a) jedna drugu poklapaju i b) dine prav ugao.-
193. Krug (K) poluprednika r:2 ima centar u tadki O; obeleZimo sa lBjedan predniktogkruga i povucimo poluprednik OM-LAB. Iz sredine OrduZiOMopi5imo krug (K,), poluprednikom OM12,iz sredine O, duLi OrM opiSimo krug (.tKr),
poluprednikom OM1l2, iz sredine O, duli OrM opiiimo krug (Kr), poluprednikomOMl3, itd,, a zatim, paralelno predniku l.B, povucimo kroz O, tetivu l,B, kruga(K); kroz O, tetivu ArB, kruga (K,), kroz O, tetivu lrB, kruga (&), itd.
l) Dokazati da tadke Ap A2, Ar, . . ,, M leie na jednoj pravoj i da tadkeBp 82, Br, . .., M leie takode na jeCnoj pravoj.
2) Izradunati duZine tetiva: AtB, A282, A3B3 i na osnovu toga izresti
formulu za duZinu tetive l,o.B,o.
194. Uodimo kocku ivice a i jedno njeno teme A;kroz sredine sve tri ivicekoje polaze iz temena I postavimo ravan; ta ravan odseca od kocke jednu tro-stranu piramidu. Odsecimo, na isti nadin, po jednu trostranu piramidu kod svakogod preostalih temena; dobiiemo telo koje ima 14 strana.
Izradunati povr3inu i zapreminu tog tela ako je 'a:1.
16
Za otipkavanje svih jednocifrenih i dvocifrenih brojeva otipkano je svega
189 cifara. Za otipkavanje sveg ostalog upotrebljene su 1973-189:1784 cifre.
Ako se 1784 podeli sa 3, dobija se kolidnik 594 i ostatak 2. Znati, otipkana suukupno 594 trocifrena broja i prve dve cifre 595'og trocifrenog broja. Prema
tome, poslednji otipkani trocifreni broj je 693, a sem loga su otipkane jo5 iprve dve cifre broja 694. .1
Cifra 7 javlja se unutar svake desetice brojeva po jedan put, sto znadi daje usled toga morala biti otipkana 69 puta; sem toga se ova cifra javlja i na
podetku svih brojeva iz sedme desetice unutar svake stotine, tto znadi.dajeusledioga morala biti otipkana jos 10.?:70 puta. Prema tome, cifra ? bila je otipkana
ukupno 139 puta.
. Vesna Aakarevii, VI, r., OS, Vida
176. Kotiko inn razliiitih petocifrenih broieva iiia je bar jedna cifra petica?
Petocifrenih brojeva ima ukupno 90 000. Odredimo najpre kolik je medu
njima onih u kojima se ne javlja ni jedna petica.
Na prvom'mestu tih brojeva s leva moZe stajati svaka cifra, sem nule ipetice, sto znadi 8 razliditih cifara; na drugom, treeem, detvrtom i petom mestu
s leva tih brojeva mogu stajati sve cifre, osim petice, Sto znadi da na svakom odtih mesta mogu stajati 9 razliditih cifara. Prema tome, ovakvih brojeva ima
ukupno 8'9' 9. 9.9 : 52 488.
ZnaEi da je broj petocifrenih brojeva dija je bar jedna, cifra pctica
Miodrag Milanofii, VI r. O5, Brod kod Fodes:90 000-52'488 :37 512.
177. Koliko ima Sestocifrenih brojeva iiji zbir cilara izoosi 3?
Sestocifreni brojevi koji ispunjavaju gornji uslov mogu podinjati samobrojevima l, 2, 3.
Ako broj podinje cifrom l, jedna od ostalih cifara moZe biti 2, s tim dasu sve ostale njegove cifre 0; a mogu i dve od ostalih njegovih cifara biti l, s
tim da sve ostale moraju biti 0.
U prvom sludaju imamo 5 razliditih brojeva, a u drugom l0 razliditihbrojeva.
Ako broj podinje cifrom 2, jedna od ostalih njegovih cifara mora biti l,
dok ostale moraju biti 0. Takvih brojeva imamo svega 5.Naposletku, ako broj podinje crfrom 3, sve ostale njegove cifre moraju
biti 0. Takvih brojeva imamo samo l.Prema tome,ukupno 2l od svih Sestocifrenih brojeva ispunjava navedeni uslov.
Uredniitvo.
178. IJtvrditi da ti ie taina ili ne jednakosl 3100!7100-8100.
I nadin. -. Ako bi data jednakost bila tadna, moralo bi biti 7100:8r00-?r00.Kako je an-bn za n€{N} deljivo sa a-b, to bi 7r0o moralo biti deljivo sa8-3=5. No 7100 nije deljivo sa 5, pa je, prema tome, data jednakost netadna.
II nadin.- Kako je 3a:81, to se 3a&(k:1, 2, 3...) zavr5ava cilrvm l;
kako je 74-2401, to se i 7ae&:1, 2, 3...) zavr5ava cifrom l; a kako je84k:4096, to se 8aft (k:1, 2, 3 . ..) zavr5ava cifrom 6. Prema tome se zbir3100+7100 zavr5ava cifrom 2, a broj 8100 se zavriava cifrom 6. Datanejednakostnije tadna.
Iz 0(x i 0qy sleduje:0< 332 + 5r,0< I -3r. Odatle dobivamo' - T * r=t
.
) :3'I, kako t treba da je ceo broj, imamo: -66<t<0.
Da bi ispridala sve svoje pride, Seherezadi je potrebno .x+Jr:333+2tno6i. Znadi, najmanje noii 6e joj trebati ako je r: -66,ti. ako je.r:2,i y:199,i ako je x+y:20l; a najvi5e noii ie joj trebati ako je t:0, tj. ako je x:332,y:l i ako ie x-i-v:333'
Novica Braiit vII, r. os. ,,v. Karadzii,., KruSevac
183, Dat je oitar ilgao i toika M na jednom njegovom kraku. Na tomistom kraku odrediti (konstrukcijonr) taiku koja je jednako udaljena od taike M iod drugog kraka ugla.
Kroz datu tadku M na kraku OPugla 4.POQ (v. sl. l) povucimo normaluna OP do njene presedne tadke N sakrakom OQ i konstruiSimo simetrale ug-lova {ONM i +MNQ. Te simetraleseku krak OP u tadkama M, i Mr.Ne-ka su N, i N, normalne projekcije ovihtadaka na kraku OO. Kako se Mrnalazina simetrali ugla j.ONM, a IuI, se nalazina simetrali ugla j.MNQ, to je M,M:: MrN, i M2M - MzN.
- Znati, M I i M2su traZene tadke.
Zorica Tanaskovit, Yll, r. OS ,,Karatlorde,., Topola
184. Konstruisati trougao ako su data dva njegova ugla i obim,
. Nekg je dat trougao ABC sa uglovima 4A:u, 4B:p, +C:y. Ako sestranica A.B produii kroz A za AA..=AC i kroz B za BB.:BC, pa s! povukuduii ArC i B,C, dobiju dva jednakokraka trougla A.AC i BrBC. S obzirom na
u3to je {.4, :-; i {B-,- ^,temenal iBz ""1 2'bc nalaze na simetrali stranice ArC, od,-
nosno na simetrali stranice 8, C.
Prema tome, da bi se na osnovudatih podataka konstruisao trougao ABC,treba najpre na jednu pravu naneti duZ,4,,B,, jednaku obimu datog trougla, pasa iste strane te prave konstruisati kod
taEke A, ugao 4B1AIC:1, u kod tad-
2'A
ke B, ugao AtBtC:;. Zatim treba konstruisati simetrale stranica AtC i BtC,2
pa na(i njihove preseke sa pravoln A,B, (v. sl.2).
Stanislav Popovit, VIII, r. OS ,,M. Pavlovi6,,, Beograd
20
sl. I
sl. 2
185. Oko krainice je opisan Sestougao kome su suprotne stranice dve i dve
paralelne. Dokazati da su suprotne stranice tog iestougla dve i dve jednake'
Neka je ABCDEF oko kruZnice
opisani Sestougao (v. sl. 3) i neka je
AB)IDE, BCliEF, CDIIFA. Povucimo
kroz centar kruZnice dui MN, koja sto-
ji normalno na stranice l8 i DE S.'sto-
ugaonika i sede ih u njihovim dodirnim
tadkama sa krugom M i N. Tada se
lako dokazuje da je A AMO=ADNO i
da je A MBO: LNEO. Otud sleduje:
AM:DN i MB:NE,
AM+MB:AN+ +NE, AB.=DE.
Analogno se dokazuje i da je
BC:EF, CD:FA.
Skugor, VIII, r. oS ,,s. Matavulj", Sibenikilvana
186. Izratunati povriinu pravouglog rougla kome je hipotenuza 4cm, ajedan ugao 22"30.
Nekaje
dat trougao AABC(AC:4cm,ABC:22"30') i neka je (v. sl. 4)
LBDC trougao simetriEan sa ABC prema .BC. U trouglu ADC je 4C:45" 1
zato, ako iz D spustimo normalu DE na lC, dobijemo jednakokraki trougao
DEC(DE-EC). Po Pitagorinompravilu imamo; 2DE2 = DCz, DE2 ::8, DE:2 Y'2. Na osnovu toga
- 187. Baza (osnova) jedne piramide je romb stranice a, sastavljen od d:rajednak_ostranidna trougla. visina piramide ima svoje podnozje u ceniru simetrijebaze. Kra6a boina ivica (brid) piramide jednaka je ivici baie. lzraziti u funkcfiiod a povr5inu i zapreminu te piramide, a onda ih izradunati za a:4cm.
Dijagonale osnove piramide su AC:d,:ay' 3 i BD:dr:a; visina pira-
mide je oS-H -y'Ev,-gs,:LU t visina baze je h:MN:pe:aJa. sve
ietiri bodne ivice su Ms:Os:NS :pS:/nzant:1/11. prema tome je:
Za a:4cm, dobija se p:Z l/ I (t+ |/ 5;cmr, 4: 16cmr.
Stanislav Popovit, VIII, r. OS ,,M. Pavlovi6.., Beograd
lp.A. Qgtasya kapljica teinosti pretvara se u n medusobno jednakih loptas-tih kapljica. u kojem odnosu stoji ukupna povriina svih malih kapljica premapovriini velike?
Neka su r i r, poluprednici velike, odnosno svake od malih kapljica. Tada
su P-4rc 12 i P,-=42r,2 povr5ine,av:olt r rr-on^'J zapremine velike,od-33nosno svake od malih kapljica . Kako je V: nV,, sleduje: r: rrt y'i. Usled to-
*" i., Pl -, :i:rur .
PrzlMilutin Dostanit, VIII r. OS ,,R. Mitrovic.., CaEak
Najuspe5niji re5avatelji konkursnih zadataka f 53-188 iz ML VII, l-5
I 79. I 8 I .'iii4: Bdiie Xori"r. OS ov. rariazii", Krusevac: I 68, I 69, 172, 174 ' 175 , 176, I 82' I 84; Ctlero';Ji'iti'.;. it5';rii"i.t"b--JLontt"o(, Trnovitiiki Popovac; 154, 155, ls6' 168, 169, 174, 175: Cosid'OuSto,
CnTvnTo SAvEzNo TAKMICENJE MLADIH MATEMATIdARAosNovNIH Sxor,.l JIJGoSLAvIJE
Na dan 17.6,1973. g..odrZano je u Beogradu ietvrto savezno takmiEenjemladih matematidara osnov_nih Bkola Jugoslavije, Takmiienje je organizovao,kao i prethodnih godina, Matematidki lisi za udenike osnovnii skJla, premad.ogovoru o organizaciji i .finansiranju saveznih takmiEenja mladih matemaiieara,sklopljenom medu republickim drustvima matematidara, fiziEara i astronomaJugoslavije.
. u takmieenju su udestvovali udenici vII i vIII razreda osnovne Skole, ito oni koji-su, shodno pomenutom dogovoru, odredila republidka drustva ma.e-matidara i fizidara na osnovu rezultata na prethodnim siupnjevima takmiienja.Njih-je bilo: iz SR Slovenijg-- 7, iz SR Hrvatske
- 10, iz SR BiH _ 9,-izSR Srbije - 22. Ukupno 48,
.zadatke je pripremila i radove_ takmidara je pregledala savezna komisija,sastavljena od odgovornog urednika _ML, . Bogoljubi f,tarinkoviia, i po jednb!delegata- svakgg republidkog druitva koje je upuiito udenike na takhidlnlei Delel_ggti su bili: vi5nja Brkii-De.ve1i (sR Hrvatska), Bogumila Kolenko (sR Sl6venija),Kosta Mijatovi6 (sR BjH) i Dusan Bogdanovii (sR srbija). tzraia zad,ataka' jitrajala 120 minuta. Takmidari su zadatke radili' na svom maternjem jeziku iprerlavali ih pod Sifrom. Za svaki od 5 zadataka svaki takmidar ;e mogao dobitinajvi5e po 5 bodova, Sto znadi da je mogao osvojiti najvi5e 25
-boAov'a.
.. .Takmidarima.koji-su..osvojili najmanje po l9 bodova dodeljene su nagradesa diplomarna,
aonima koji
su osvojilipo
16 do 19 bodova dodeljene su poh-vale. sem toga svakom od udesnika takmidenja od strane ML bila le dodeljenapo.jedna-matematiika knjiga, a nagraitenim udenicima bili su dodeljeni i drugipokloni. Naposletku, i svakom od nastavnika matematike onih uEenika koji sirdo5li na takmidenje upuiena je na poklon po jedna matematidka knjiga.
takmidare koji nisu bili iz Beograda ML je obezbedio u Beogradudvodnevni smeltaj i ishranu, kao i prevoJ za razgledinje grada.
Nagratleni i pohvaljeni su sledeci udeiiici:
VII razred
l. Jovanovii Moma, OS ,,Ratko Vukiievii,,, NiS (I nagrada)2. Todorovii Branislav, OS ,,svetozar Miletii,., Zemun (II nagrada)3. Grujit Ljubomir, OS ,,Vuk KaradZii.., Negotin (lI nagrada)
4. Tucakovit Kristina, OS ,,Dositej Obradovic,,, Beograd (II nagrada)5. Ianitit Biljang, OS ,,Nada popovii.,, Kruievac (pohvala)6. Bobot Vladimir, OS ,,2 oktobar.,, Zrenjanin (pohvala)7. Kaljevit Miloi, O5,,Andra SavEii.,, Valjevo (pohvala)
. 8. Loniar Predrag, OS ,,8 maj.,, Varaidin (pohvala)
26 27
VIII razred
l. Vidmar Matjai, OS.-,,Milojka Strukelj", Nova Gorica (I nagrada)
2. Zakoiek Zlatko. OS ,,12 septembar)", Majdanpek (I nagrada)
3. Sevit Drogutin, OS ,,Dositej Obradovii", Zrenjanin (II nagrada)
4. Kovaievit ^lrdan, OS ,,Miljenko Cvitkovi6", Sarajevo (II nagrada)
5. Ceiovit Miloi, OS ,,detvrti kraljev. bataljon" Kraljevo (II nagrada)
6. Dostanii Milutin, OS ,,Ratko Mitrovic", Cadak (lI nagra-da)
7. Ienti| Igor, OS ,,Pre2ihov Voranc", Ljubljana (II nagrada)
8. Pteiko Janez, OS ,,Majda Vrhovnik", Ljubljana (II nagrada)
9. Lavtiier Janez, -OS,,PreZihov Voranc", Ljubljana (III nagrada)
lO. Agoircn litvan, OS ,,p"t"fi Sandor", Novi Sad (III nagrada)ll. Ljubin Nrra, OS ,,Avgust Senoa", Z3ereb (nohvala)
12. Ilit Dragan, OS ,,Ratko Mitrov-ii", Cadak (pohvala)
B. Sakotit-Snieiana,' OS,,Avgust Seno", Zagreb (pohvala)
14. Jakopovit Zetiko, OS ,,Bozidar Adzija", Zagreb (pohvala)
16. Lazit Al'eksandar, OS ,,Nada Puri6", Valjevo (pohvala)
ZADACI NA IV SAVEZNOM TAKMIEENJU
VII razred
l. Odredi najmanji prirodan broj kojim treba pomnoZiti broj 8316 da se
dobije broj koji je kvadrat jednog prirodnog broja. Kojeg broja?
2. Posle sniZenja cena za 20%,, za iznos od 240 dinara moZe se kupiti Imetar platna vi5e nego Sto se pre sniZenja moglo kupiti za 27O dinata. Kolikaje
bila cena tog platnapre
sniienja?3. Iz gradova A i B, dija je udaljenost 250 km, istovremeno su jedan
drugom u susret krenula dva motociklista. Brzina jednog od njih je za lO km/hveda od brzine drugog. Posle dva sata putovanja ostalo im je jo5 30 km do
susreta. Kolika je brzina svakog motocikliste?
4. U jednakokrakom trapezu srednja linija (srednjica) je s, a dijagonalaje dva puta duZa od srednje linije (srednjice). Kolika je povrSina tog trapeza?
5. Zadana je kruinica s centrom O i prednikom (dijametrom) AB:4cm,a) Konstruiii tri tangente te kruZnice, od kojih dve u ladkama A -i B, a
treiu taico da joj deo (odsebak) CDizmedu pravg dve tangente bude dugadak 5cm.
b) Koliki je ugao (kut) {COD?c) Izradunaj povrsinu ogranidenu konstruisanim tangentama i datom
kruZnicom.
VIII razreo
l, lJzeta su dva proizvoljna prirodna broja, pa su sastavljeni njihova
suma, razlika i proizvod (produkt). Dokazati da je bar jedan od ova tri novabroja deljiva sa 3.
2. Posle sniZenja cena za, 2O'l za iznos 240 dinara moZe se kupitiplatna vi5e nego Sto se pre sniZenja moglo kupiti za 270 dinara. Kolika je
- 1:.U ravni (ravnini) pravouglog (pravokutnog) koordinatnog sistema XOykonstruisi pravougaonik
.(pravokutnik) ABCD, ako su poznate k6ordinate trijuniegovih tenena (vrhova): A(-3, -l), C(5, -1), C(5, 3).
Odredi: a) koordinate Eetvrtog vrha D tog pravougaonika;
b) koordinate presedene taike duii AC i BD;c) jednadine pravih (pravaca) kojima pripadaju stranice dijagonale
tog pravokutnlka.
4. Osnovice AB i CD ttapeza ABCD produlene su na obe strane. Sime-trale spolja5njih uglova (vanjskih kutova) trapeza kod temena ,4 i D seku se utalki M' a simefrale spoljasnjih uglova B i c seku se u tadki N. Naii obim(opseg)
trapeza ABCD, ako je MN-2k.5. Vrh prave kuoe (uspravnog stoica) je u centru jedne baze (osnove)yaljfa..lruga baza varlka.i.baza kupe (stosca) leZe u isioj ravni (ravnini) iimaju isti centar. volumeni (zapremine) ove kupe i valjka su- jednake.'polupred-nik (radijus) baze valjka je r, a visina valjka ft.
a) Koliki je polupreinik baze kupe (izralen pomocu r)?
b) Koliki je volumen onog dela valjka koji je u kupi (izraien pomocu r i &)?
Rezultati, uputstya, reienja
' VII razred
L Kakoje 8316:22.33.7.11, najmanji prirodan broj sa kojim ga trebapomnoziti da se dobije kvadrat prirodnog broja je 3.z.ll. Tako-ie.-" dobiti:8316.3.7.11 :22.34.72.11r: (2.9.7. I l)r: 1386r.
Z. \9!o je x broj metara koji su bili kupljeni po ceni od y dirlara pometru za 270.dinara. Tada, prema onom Sto nam je dato, imamo:'
xy:270, tx+ ll Y:240; sledi: .r:9, y:30. 100
3. Neka je brzina-prvog motocikliste v km/h. Tada se drugi od njih kreiebrzinom (v-10)km/h. Usled toga imamo:
2v + 2 (v -10): 250, v :60 km/h.
4. Neka je ABCD (v. sl. l) dati trapez i neka su M i N krajnje tadkenjegove srednje linije. Visina trapeza je CD:/TCL-AO|. Kako je AC:2s,
AD:o-o-b a- b 'c
2- 2:t' ito je visina trapeza CD:/4sr-sr:sV 3.Sleduje /-- -__ -_ \
,:+. At'- sFr-\"
28
5. Neka su tr i t2 tangente, konstruisane-u taEkama A i B date kruZnice
(v, sl.2). Oko proizvoljne tad[e P tangente /r treba opisati krug sa. poluprednikom
i,:5, pa njegovu preiedenu tadku O sa tangentom 12 treba spojiti sa tatkom P'Iztadke O treba spustiti normalu OR na PQiu njenoj presedenoj tadki S sa datom kruZ-nicom treba konstruisati normalu CD na OS.
Ta ce normala biti traZena tangenta date
kruZnice.
b) 4COD: {COS+.{SOD:I:: (4AOS + 4TOB).2 ''
c) TraZena povr5ina je P: Pr-Prgdeje P, povr5ina ttaryza ABCD,a P, povrSina
polovine kruga.
AD+BC DS+SCP.- .AB- -- -.AB-22
CD.AB : 10,)
' 4zrPz: -^ :2, P - l0-2:t.
,r.
VIII razred
LSvaki prirodan broj moze se izracunati u jednorq od sledecih oblika:
3k,3k+1, 3k+2 (k:1,2, 3...).Ako se predpostavi da je makar jedan od brojeva a i D.oblika_.3k,njihov
proizvod je svaiako deljiv sa 3; ako su i a.i b oblika 3k+1, ili obilka 3t+2,ijino". riiritaje aeljiui sa 3; a akoje jedan od njih oblika 37.+1, a drugi
oblika 3&+2, njihov je zbir deljiv sa 3-
2. V. re5enje zad. br. 2 za Yll tazred.
3. a) Koordinate detvrtog temena su (-3' 4).
b) Koordinate presedne tadke dnZi AC i BD stt:.
-3 + 5 - I + 3(o'= -it--t, !s-:- r-:l'
c) Jednadine pravih kojima pripadaju stranice pravougaonika su x: -3,x:5; y --1, y:3.
Jednadine pravih kojima pripadaju dijagonale piavougaonika su:
4. Poito se tadka M narazi istovremeno i na simetrari sporjalnjeg ugrakod..l (v. sl. 3), i na simetralilpotjqsnjeg ugla kod D, tatk; M-i; poitiSOnuroudaljena od prave AB i prave cD. Na-sridai nadin se'aotaiuie-oil"'ii'"&" lr
podjednako udaljena od pravih AB i CD.Usled toga MN leZi na srednjoj Iiniji.datog trapeza.
Po5to su uglovi kod A i kod Mu trouglu APM melusobno jednaki, ima_yt9: AP-.MP. Analogno je Dp:Mp,BQ NQ, CQ:NQ. Usled ioga je:
/D AB+CDMN:MP-PQ+QN:;+J:;" +
BCI+
^-:;(AB - BC a CD + DAI -.2k,
t2o:4 k.
A
lv
sr. 3
5. Neka je polupreinikkupe ,R. Kako je Vk:yo,
osnove
to je
R2h
-:r2kJ
Iz slidnosti
A OQS sleduje:
' R'-'/ i '
trouglova A BQN i
BN R-r r l/-j-,os - R
_,BN_OS .r/,,
Vt-t .3-/3ht-h.:__, h,_hVt 3
Stoga je zapremina ono! d"h uu5-
ka koji se nalazi u kupi:
t-r/1V:rr2h -
l:g,42r21r.3
30
st. 4
st. 5
/ i _--lT----_i \"',,-----j--.---.-- i-::--rF.:--+--=F-
MATEMATICKA RAZONODA
Malo Sale
l. Sedam seljaka hoie da podele 28 q krompira na jednake delove.- Jedan
od niih deti ovako:28:7-13 (jer 7 u 8 idql i ostaje l; spuStam l;7--21 .idelprt"i. Or"gi od njih hoie da iipita tadnost deljenja, pa mnoZi 1.3'7:28 (jer je
i.{azl, f t:t, a 2t i 7 daju 28). Treci potprse 7 puta 13 jedno,pod drugog,
pa-toiabere ovako: I i I su 2, i i su,3 i td., svega 7;.J i 3.su 6, i 3.s.r,r 9' i
id., .u"g" 2l: 7 i 2lsu 28.
Itako izade da svaki od njih treba da dobije po
l3 q krompira!
2.,,Dokaz" da je -l :4+ 4'5+4'52-t 4'5r+ " "Ako se levoj i desnoj strani ove jednakosti doda l, dobija se:
0: 5+4.5 +4'52+4'53 + " " "'Odavde sleduje:
0:0+ 5.5+4.5'? i-4'5r+4'54+ " "'0:0+ 0 +5'52+4'53+4'5a+ ""'Posto se ovaj postupak moie nastaviti sve dok se na desnoj strani jedna
kosti ne dobiju same 0, znadi da je data jednakost tadna!
NeobiEni zbirovi
Proudite ove zbirove i pokusajte da i sami nadete slidne primere s ve6im
brojem sabiraka:
5
65
+ 4659 465
l9 465
29 465
848
648
+ 9648' 89 648
_ rlt 6q289 648
(l)(2)
(3)
Obrni, okreni-
oPet taEno
Izradunajte sledcde Proizvode:
19.9 l9l,
69.9 696,
98.8 989,
i uverite se da se isti rezultati dobijaju i ako se svaki odizraza
Zanimljivo je da ie jednakosti (l'), (2'), (3') ostati da vaZe i ako u njimaizraze na levoj i desnoj strani obrnemo ,,naglavce", na primer:
(1") I 616.61:16.6 l6l.Pri tome je, razume se, I 616.61 +1919.91.
*****Ako se u sledecim primerima znak sabiranja zameni znakom mnoZenja,
dobice se rezultat sastavljen od istih cifara kao i kod zbira, ali u obrnutom poretku:
24-+ 3 -.27,24.3:72,47 -t-2:49,47 . 2:94.
MoZeteli i sami naci job takvih primera?
Da. li ste dosetljivi?
l. U kom slutaju je 2.2.'.5'!2. Ako 5 madaka uhvate 5 miSeva u toku 5 minuta, koliko 6e madaka
uhvatiti 100 mi5eva sa 100 minuta?
3. U neku trgovinu dode kupac i zatraii robe za 60 dinara, ali preda nakasi novdanicu od 500 dinara. Kako blagajnica nije imala sitnine, ona poSaljepomoinika u susednu trgovinu da joj razmeni ovu novdanicu, pa vrati kusur.Ali vei posle pola sata dode blagajnik susedne trgovine i zalraii svoj novacnatrag, jer je predata novdanica bila laina. Na to 6e Sef radnje: ,,Eto, izgubismorobe za 60 dinara i 500 dinara u gotovul" Da li je on bio pravu?
4. Hoteii da ustupi jedno zemlji5te u obliku kvadrata svome sinu, otac gaje obeleZio stubovima i rekao mu je: ,,Uzmi zemlji5te obele2eno ovim stubovima!"Ali sin je redeno protumadio tako, da je dobio dva puta vi5e od onog Sto jeotac hteo da mu da. Kako je to noglo da budo?
5. Ako se sredine strana jednog ravnostranog trougla medusobno poveZu,trougao ie biti podeljen na 4 medusobno podudarna trougla. Ako se jedan od tihtrouglova odbaci, dobiie se jedan ravnokrak trapez. Da li i taj trapez moZe dase razdeli na 4 medusobno podudarna trapeza?
6. Sa 15 Sibica treba ograniditi 5 kvadrata. Zatim, samo oduzimanjem 3
Sibice, treba postiii da ostanu ogranidena samo 3 kvadrata. Kako je to mogu6e?
MatematiEke igre
1. Neki dedko rede svom drugu: ,,Zamisli neki broj -- ja ti dam jo5 toliko
- Branko ti pokloni jo5 6 - pola baci u vodu - od onog Sto ti ostane vralimeni 5to sam ti dao - podeli ostatak sa 3 - jesi li sve to uradio? - no, do-
bio si l!" Na osnovu degaje
taj dedko bio siguran da 6e rezultat radunanja biti l?2. Lice A rede licu B: ,,NapiSi jedan trocifreni broj, dije su cifre razlidite.Zatim napiSi broj dije su cifre iste kao i kod prvog broja, ali se javljaju u obr-nutom redu. Naposletku, oduzmi manji od ta dva broja od veieg, i reci mi samoprvu cifru nadenog rezultata. Ja cu ti posle toga reii ostale cifre tog rezultata."Kako je moglo lice A to da udini?
32
NAGRADNI ZADATAK BR. 35
Na slici je mreZa puteva izmedu 9 medugradskih stanica, sa nazradenim rasto-
janjem u kilometrima.
Kontrolor saobra6aja je nasao najkraii put da' posavsi iz stanice A, protle
svim tim putevima; pri tome je, naravno, nekim putem morao prdi i po dvaput,
Koja je to najkraia Putanja?
Zv taEno reSenje ovog zadatka nagradicemo 50 udenika matematiekim knjigama. Po po'
trebi odluCide ireb.Res€nje poslati na adresu: Matematidki list, p. p.728. ll00l Beograd'-Na ,samom radu
"Uor"rno-"upiilt!Joj" l-" i prezime, razred, Skolu,-mesto-i postu (sl postanskim brojem), kao
i t uCnu acreiu. Na koverti (omotu) naznacite: Nagradni zadatak br' 35'
Resenja Primamo do I' XII 1973 g.
Re5enja koja ne ispun.,avaju svc navedene uslove neiemo uzimati u obzir'
U iduCcm, br.2 ML za o.g. biie objavljeni rezultati nagradnih takmi'enja br'.33 i br' 34
iz ML ViI, V1.-q-S za proslu Skokliu godinu. Rezultati ovog nagradnog lakmidenja biic objavleni
u ML VII, br. 3 za ovu Skolsku godinu.
UCESNICINOVOGODISNJE LUTRIJE MATEMATICKOG LISTA
obavestavamo vas da je celokupnu godisnju preplatu na Matematidki list za ovu godinu
do 15.X.1973 g. poslalo ukupno 8263 pretplatnika. Njima ie sa idudim brojem lista biti upuieni
kuponi za u&stvovanje u novogodisnjoj lutriji Matematickog lista, ukupna vrcenost nagrada