Matematicas financieras

Matemáticas Financieras

Agosto- Diciembre de 2008.

Objetivo General

Proporcionar los temas fundamentales de las matemáticas

financieras, a partir del concepto de Valor de Dinero en el Tiempo y

sus derivaciones, como marco de referencia para la solución de

problemas en la operación y evaluación de los instrumentos de

inversión, deuda y cobertura que se operan en los mercados

financieros.

Criterios de evaluación y acreditación

Examen: 60% Trabajo final y exposición: 30% Participación: 10%

Contenido

1. Conceptos Básicos

2. Interés Simple

3. Interés Compuesto

4. Tasas equivalentes, efectivas y nominales

5. Inflación

6. Técnicas de evaluación de proyectos de inversión

7. Anualidades y Perpetuidades

8. Amortización

Capítulo 1

CONCEPTOS BÁSICOS

Conceptos Básicos

Matemáticas Financieras

Son una rama de las matemáticas que explica el comportamiento del dinero a través del tiempo.

Es una herramienta básica para la toma de decisiones de tipo social, económico y financiero

Capítulo 1. Conceptos Básicos


CAMPO DE APLICACIÓN

Tasa instantánea de descuentoAnálisis en contextos inflacionarios

Valor Actual en el campo continuo

Emisión de empréstitosDescuentos de tasas

Valuación de deudasProcesos de Actualización

Problemas relativos a la tasa de interés Tasa instantánea de interés

Monto en el campo continuoSistemas de amortizaciones

Tasas y sus relaciones

Amortizaciones de valores o extinción de deudasProcesos de Capitalización a Interés Simple y Compuesto

APLICACIONESFUNDAMENTOS

Yasukawa (2000)

Valor del Dinero en el tiempo

Aquí es importante familiarizarse con 2 elementos: Dinero Tiempo

Estos dos factores están estrechamente relacionados debido a que el valor del dinero dependerá del momento en que lo utilicemos.


Ejemplo:

Si recibimos una cierta cantidad de dinero el día de hoy, probablemente nos sería más útil a que si nos la entregaran en dos meses

Ahora si decidimos no utilizar el dinero en este momento estamos sacrificando un beneficio presente por uno futuro

Este sacrificio debe ser compensado por una ganancia adicional . Esta ganancia es la tasa de interés que no es más que el pago

por el uso del dinero


Consumo (Gasto) Ahorro

Inversión

PRESENTE

Consumo (Gasto) Ahorro

Inversión

FUTURO

Tiempo = Tasa de interés

La tasa de interés dependerá de la oferta y la demanda

Si hay escasez de dinero el precio será alto y por tanto la tasa de

interés será alta

Si hay abundancia de dinero el precio bajará y las tasas también


TASA DE INTERÉSCaracterísticas

•Costo del Dinero

Acreedor

Ahorrador o inversionista Sacrifica el gasto presente Dispone exceso de recursos

en un ahorro o inversión Recibe un rendimiento sobre

sus ingresos

Deudor

Persona con necesidades financieras

Acude a Instituciones financieras para allegarse de recursos


El costo del dinero depende del papel que se asuma en alguna operación financiera, es decir acreedor o deudor

•Tasas de interés

Tasa Activa

Activo de la Institución

Financiera

El deudor pagará por hacer

uso del dinero prestado

Tasa Pasiva

Pasivo de la Institución

Financiera

La institución financiera ofrece

al acreedor a cambio de

resguardar el dinero por un

determinado tiempo


Costo del dinero

Ahorrador Institución Financiera (Banco) Deudor

RENDIMIENTO (Tasa de interés pasiva)

Exceso de dinero Falta de dinero

COSTO DE CAPITAL (Tasa de interés activa)


RESUMEN

Conceptos:

Matemáticas Financieras y aplicaciones

Valor del dinero en el tiempo

Tasa de interés

Costo del dinero

Acreedor

Deudor

Tasa Activa

Tasa Pasiva


Capítulo 2

INTERÉS SIMPLE

INTERÉS SIMPLECaracterísticas

Rendimiento

Se cobrará o pagará (dependiendo la situación) al final de un

intervalo de tiempo

Utilizado en deudas a corto plazo (de un año o menos).

Capítulo 2. Interés Simple

Componentes

Sigla Definición Descripción

M MontoCapital más intereses generados al final del intervalo de tiempo.

C Capital InicialCantidad invertida, ahorrada o prestada al inicio del período

I InterésRendimiento generado al final del período procedente del Capital Inicial

iTasa de interés

Relación que se da entre el Interés y el Capital. Se expresa en porcentaje y representa el valor de una unidad monetaria en el tiempo.

t Plazo

Intervalo de tiempo que dura la operación financiera. Existen dos criterios para la aplicación del plazo, tomar como base Año Comercial de 360 días o Año Natural 365 días.


La tasa de interés y el plazo siempre deben de tener la misma base (Anual, mensual, bimestral, trimestral, etc. )

A menos que se aclare otra base, la tasa de interés se considera anual simple.

Funcionamiento

Capital Capital

Interés

Fecha inicial Fecha final

Monto

Plazo


Ejemplo

El Tesorero del Municipio A decide pedir un préstamo a una institución bancaria por la cantidad de $200,000.00; acordando con el ejecutivo de cuenta que en período de dos meses le entregará al banco la cantidad de $215,000.00. ¿Cuál es el Interés así como la tasa pactada?

Se tienen los siguientes datos:

C = $200,000M =$215,000t = dos meses


De acuerdo a la definición de Monto se tiene que:

M = C + I

Al sustituir los datos a la fórmula se obtiene que:

215,000 = 200,000 + I

Entonces si se despeja la fórmula,

I = $215,000 – $200,000

I = $15,000


La tasa de interés, de acuerdo a la definición, es la relación que existe entre el Interés o Rendimiento generado y el Capital, por lo tanto:

i = I / C

Sustituyendo,

i = $15,000 / $200,000

i = 0.075 o bien expresado en porcentaje se multiplica por 100 y se obtiene 7.5%

Lo anterior indica que el préstamo contraído generó un interés del 7.5% en DOS MESES


Para convertirlo a una tasa anual se tomará como base el año comercial:

i (anual) = i (del plazo) / T * 360

Sustituyendo,

i(anual) = 7.5% / 60 * 360

i(anual) = 45% anual

Conversión a Tasa Anual


Comprobación

Podemos obtener también el Interés a través de la siguiente ecuación:

I = C * i * t

Sustituyendo,

I = $200,000 * (7.5% / 60 días) * 60

(Recordando la aclaración de que la base de la tasa de interés y el plazo, DEBE SER EL MISMO)

I = $15,000


VALOR FUTUROCaracterísticas El Valor Futuro es la suma del Capital e Intereses

Fórmula: M = C + I

Sustituimos I por,

I= C * i * t Por tanto,

M = C + (C * i * t)

Factorizando,M = C (1 + i * t)


Ejemplo

Al jefe del Departamento de Finanzas del Organismo de Agua Potable y Alcantarillado del Municipio H, se le pide abrir una cuenta bancaria para invertir los excedentes de recursos por los próximos dos años

Investigando en diversas instituciones, la mejor tasa que le ofrecen es del 12% simple anual. ¿Cuánto obtendrá al término del plazo por el remanente de $300,000?


Los datos proporcionados son:

C = $300,000

i = 12% ó 0.12

t = 2 años

Sustituyendo

M = C (1 + i * t)

M = 300,000 ( 1 + 0.12 * 2 )

M = 300,000 ( 1 + 0.24 )

M= 300,000 ( 1.24 )

M= $372,000


Valor PresenteCaracterísticas El Valor Presente o Actual se le denomina al Capital

Usos:

Conocer la cantidad de ahorro hoy para disponer en un futuro.

Ejemplo:¿Qué cantidad se tiene que ahorrar hoy para poder

disponer de $150,000 en 10 años?

En cuestiones económicas hay necesidad de deflactar.


Fórmula:

M = C (1 + i * t)

Despejando la ecuación,

C = M / (1 + i * t)

Esta ecuación sugiere que es descontado al Valor Futuro los intereses generados durante un determinado período de tiempo.


Ejemplo: Una persona decide retirar el dinero de su Fondo de Ahorro porque

desea adquirir un automóvil nuevo.

Analizando la compra, se observó que el Primero de Marzo pagó $90,000.00; sin embargo el Primero de Diciembre decide venderlo para pagar unas deudas. Afortunadamente, la persona pudo venderlo a un precio de $110,000.00

Si sabemos que la tasa de mercado es de 11%, ¿Fue conveniente la operación?.

(Para poder resolver este tipo de problema es necesario comparar el ingreso de $110,000 a la fecha del primero de marzo en condicione similares de mercado)


Por tanto:

C1 = $90,000

M = $110,000

i = 11% ó 0.11 anual simple

t = 9 meses ó 9/12 = 0.75

Sustituyendo los datos:

C2 = 110,000 / (1 + 0.11 * 0.75)

C2 = 110,000 / ( 1.0825 )

C2 = $101,617

Ahora bien la diferencia entre C2 y C1 es de $11,617.00 lo que significa

que a la persona le convino haber adquirido el automóvil y deshacerse de

él 9 meses después, que haber invertido su fondo en alguna institución

porque financieramente hubiera dejado de ganar dicha cantidad. Capítulo 2. Interés Simple

Resumen

Interés Simple y sus componentes

M = C + I

i (anual) = i (plazo) / T * 360

I = C * i * t

VF = C * (1 + i * t )

VP = M / (1 +i * t )


Capítulo 3

INTERÉS COMPUESTO

Características

Es utilizado en operaciones donde el Interés se van capitalizando, es decir, terminando un lapso de tiempo, éste se añade al Capital y se reinvierte

Utilizando en operaciones con plazo mayores a un año

Capítulo 3. Interés Compuesto

ComponentesSigla Definición Descripción

M MontoCapital más intereses generados al final del intervalo de tiempo.

C Capital InicialCantidad invertida, ahorrada o prestada al inicio del período

I InterésRendimiento generado al final del período procedente del Capital Inicial

i Tasa de interésRelación que se da entre el Interés y el Capital. Se expresa en porcentaje y representa el valor de una unidad monetaria en el tiempo.

Período de Capitalización

Lapso de reinversión de intereses (Anual, semestral, trimestral, bimestral, etc.)

Frecuencia de Conversión

Número de veces que el interés se capitaliza durante un año.

t Plazo

Intervalo de tiempo que dura la operación financiera. Existen dos criterios para la aplicación del plazo, tomar como base Año Comercial de 360 días o Año Natural 365 días.


Puntos a considerar

La tasa de interés y el plazo siempre deben de tener la misma base (Anual, mensual, bimestral, trimestral, etc. )

A menos que se aclare otra base, la tasa de interés se considera que su capitalización es anual.

La tasa de interés anual siempre debe convertirse de acuerdo al período de capitalización establecido.

El interés compuesto es mayor al interés simple.

A mayor frecuencia de conversión, mayor será el interés que se obtenga siendo igual la tasa anual nominal.


Funcionamiento

Capital

Intereses

Fecha 0 Fecha 1

Monto 1Capital

InteresesMonto 2

Monto 1

Fecha 2

Período de capitalización 2

Frecuencia de Conversión = 2

Período de capitalización 1


¿Cuál es la tasa de interés por período de:

60% anual capitalizable mensualmente?:

i = 60% anual / 12 meses = 5%

36% semestral capitalizable trimestralmente?:

i = 36% semestral / 2 trimestres = 18%

12% trimestral? : i = 12%

15% anual?: i = 15% anual / 1 año = 15%

18% anual capitalizable semestralmente?:

i = 18% anual / 2 semestres = 9%

18% anual capitalizable mensualmente?:

i = 18% anual / 12 meses = 1.5%

6.5% mensual? : i = 6.5%

Ejercicios sobre Período de capitalización y frecuencia de conversión:


¿Cuál es la frecuencia de conversión?:

60% anual capitalizable mensualmente?: 12 veces en 1 año 36% semestral capitalizable trimestralmente?: 2 veces en 1

semestre 12% trimestral? : 4 veces en 1 año 15% anual?: 1 vez en un año 18% anual capitalizable semestralmente?: 2 veces en 1 año 18% anual capitalizable mensualmente?: 12 veces en 1 año 6.5% mensual? 1 vez al 1 mes


Valor FuturoCaracterísticas

Al Monto se le van adicionando los intereses generados por cada período de tiempo contemplando la tasa de interés capitalizada

Fórmula:M = C (1 + i * t)

En este caso t = 1, ya que es un período, por lo que:

M = C (1 + i )

Ahora (1 + i ) representa cada período de capitalización, por lo que el Capital se verá afectado por cada uno de los períodos que dure la operación financiera es decir:


M = C (1 + i )* (1 + i ) *(1 + i )

(Para tres períodos de una operación financiera)

Por lo que, esta sucesión de montos expresada como progresión geométrica resulta:

M = C (1 + i)n

C M3

1 + i 1 + i 1 + i

M1 M2


EjemploEl jefe del área administrativa de la tesorería del Municipio “Z”, ha recibido una visita de un ejecutivo de una Sociedad de Ahorro y Préstamo para que abra una cuenta de ahorro.¿Cuánto recibirá al término de dos años?

Le ofrecen dos opciones:

a) Una cuenta a un plazo de 90 días con opción a reinvertirse los intereses, a una tasa anual fija de 9%. Si el Jefe de Administración tiene disponible $14,000.00;

b) Una cuenta a un plazo de dos meses reinvirtiendo los intereses, a una tasa fija de 8%.

c) Que pasaría si decidiera retirar su dinero al término de 1 año bajo la situación del inciso a


Inciso a)Los datos son:C = 14,000t = 2 años i = 9% anual capitalizable trimestralmente

En primer lugar es necesario convertir la tasa anual a trimestral:

i = 9% anual / 4 trimestres = 2.25% ó .0225

Ahora bien en 2 años hay 8 trimestres, por lo tanto n = 8

Sustituyendo,

M = C (1 + i )M = 14,000 ( 1 + .0225 ) M = 14,000 ( 1.194831 )

M = $16,727

n

8


Inciso b)b) Una cuenta a un plazo de dos meses reinvirtiendo los intereses, a una tasa fija de 8%.

C = 14,000t = 2 añosi = 8% anual capitalizable bimestralmente.

Convirtiendo la tasa: i = 8% anual / 6 bimestres = 1.33% ó 0.0133n = 12

Sustituyendo,M = 14,000 (1 + 0.0133)¹² M = 14,000 ( 1.111779)

M = $16,405.31

8


Inciso c)c) Que pasaría si decidiera retirar su dinero al término de 1 año bajo la situación del inciso a.

n = 4

Sustituyendo,

M = 14,000 ( 1 + 0.0225 )

M = 14,000 (1.093083 )

M = $15,303

4


VALOR PRESENTECaracterísticas

Es utilizado para determinar el Capital necesario para invertir

actualmente, a una tasa determinada, para llegar a tener un Monto

fijado.

Fórmula:

M = C (1 + i )

C = M / (1 + i) ó C = M * (1 + i)-nn

n


Ejemplo

Una persona necesita contar con $250,000 para terminar de pagar su casa en dos años, por lo que decide acudir a una Operadora de Fondos de Inversión en donde le ofrecen un instrumento de inversión con una tasa de interés del 13% anual capitalizable semestralmente.

Si la tasa permanecerá constante durante este período ¿Con cuanto dinero deberá de abrir su cuenta en la Operadora?


Ejemplo

Tenemos los datos:

M = $250,000i = 13% anual capitalizable semestralmente

Obteniendo la tasa del período:i = 13% anual / 2 semestres = 6.5% ó 0.065n = 4

Sustituyendo,C = 250,000 / (1 + 0.065 )C = 250,000 / 1.286466

C = $194,330

4


Resumen

Interés compuesto y sus componentes

Período de capitalización

Frecuencia de conversión

VF = C * (1 + i )

VP = M / ( 1 + i ) ó VP = M * ( 1 + i )

n

n -n


Capítulo 4

TASAS NOMINALES,

EFECTIVAS Y EQUIVALENTES

TASA NOMINAL Tasa anual

Permanece constante durante la vigencia de la

operación financiera

INICIO FIN

15%

Ejemplos:

25% anual capitalizable bimestralmente

18% anual capitalizable trimestralmente

11% anual capitalizable semestralmente

5% anual

Capítulo 4. Tasas

TASA EFECTIVA

Período de capitalización

(semestral)TASA NOMINAL

( 11 % anual ) + = Tasa nominal

capitalizable al semestre

≠11% nominal anual capitalizable semestralmente

11% nominal anual

( Interés efectivamente generado durante un período )

TASA EQUIVALENTE

Dos tasas nominales anuales

con diferentes períodos de capitalización

serán equivalentes,

SíGeneran los mismos intereses al final de un año.

Capítulo 4. Tasas

Interés

( 1 + i )

Interés

( 1 + j/m)j = tasa de interés anual nominal

m = no. capitalizaciones al año

Tasa Equivalente

TASA NOMINAL

CAPITALIZABLE

1 VEZ AL AÑO

TASA NOMINAL

CAPITALIZABLE

2 ó MÁS VECES AL AÑO

m(1 + i ) = ( 1 + j / m )

Capítulo 4. Tasas

Ejemplo:

¿Cuál es la tasa efectiva de un instrumento financiero pactado a una tasa de 17% anual capitalizable mensualmente?

Despejando i :

m(1 + i ) = ( 1 + j / m )

mi = ( 1 + j / m ) - 1

i = ( 1 + 0.17 / 12) - 112

i = 1.183892 - 1Capítulo 4. Tasas

i = 1.183892 - 1

i = 0.1838 ó 18.38%

Tasa nominal: 17 % anual

Tasa efectiva de interés ganado : 18.38%

Tasa equivalente a una tasa del 17% capitalizable mensualmente es 18.38%

Si la persona decide invertir una cantidad de dinero a una tasa de interés de 17% reinvirtiendo los intereses cada 30 días, obtendrá el mismo rendimiento si lo invierte a una tasa del 18.38% capitalizados anualmente.

Capítulo 4. Tasas

Resumen

Tasa Nominal

Tasa Efectiva

Tasa Equivalente

(1 + i ) = (1 + j / m)

m

Capítulo 4. Tasas

Capítulo 5

INFLACIÓN

¿Qué es la Inflación?

y por tanto,

la consiguiente pérdida del poder de compra o poder adquisitivo de la moneda.

$

$Aumento generalizado y sostenido de los precios de los bienes y servicios

Capítulo 5. Inflación

¿Causas? El aumento de emisión de circulante sin un aumento equivalente de

la producción de bienes y servicios.

YYoO

P

P’

PoE

E1

OA

DADA’


¿Cómo se mide?

Se mide mediante el Índice Nacional de Precios al Consumidor

(INPC), el cual es un indicador que mide el crecimiento promedio

que sufren los precios de los bienes y servicios a través del tiempo.


¿Cómo se calcula el INPC?

Actualmente el INPC se calcula a través de un sistema de muestreo mediante el cual se recopilan 170,000 cotizaciones de productos específicos, que se agrupan en 313 conceptos genéricos provenientes de 46 localidades agrupadas en siete regiones del país.

Banco de México Capítulo 5. Inflación

Características

FORMAS DE

EXPRESION

PORCENTAJE

(mensual, quincenal, trimestral)

Ej. 2.4%

INDICE

(Respecto al año base)

Ej. 126.18028


Efecto compuesto(progresión geométrica)

Ejemplo:

31/ 01 /0731/12/06 28/02/07 31/03/07

5% 2% 3%

(Enero – Marzo) = 5% + 2% + 3% = 10%

(Enero – Marzo) = 5% * 2% * 3% = 0.003%


Cálculo de la Inflación

= Índice del período actual Índice del período anterior

- 1 * 100

**Su cálculo es un incremento común de valores


Ejemplos

1. Sí el índice de precios a finales de Marzo de 2006 fue de 121.06816000 y a fin de Diciembre del mismo año fue de 124.86924600, ¿Cuál fue la inflación en el período de tiempo?

(inicial) = 121.06816000 (final) = 124.86924600

Sustituyendo la fórmula: (marzo – diciembre ) = ( 124.86924600 / 121.06816000 ) -1 * 100

(marzo – diciembre ) = 3.13%


2. Si la inflación mensual promedio durante seis meses ha sido del 1.2%, ¿de cuánto será la acumulada en el semestre?

**Lo que sugiere este ejemplo es que se tendrían que sumar la inflación de cada mes para poder obtener la inflación por el período o simplemente multiplicar 1.2% por 6.

Sin embargo, los valores inflacionarios se comportan como una progresión geométrica como es el caso de la ecuación de Valor Futuro con Interés Compuesto [ M = C (1 + i) ].

En consecuencia el cálculo correcto es el siguiente:

n


Cálculo:

(semestre) = [ (1 + (mensual) ) - 1 ] * 100

Sustituyendo,

(semestre) = ( 1. 012 ) - 1 * 100

(semestre) = 7.41 %

n

6


Resumen

Concepto de inflación

Causas de la inflación

Medición de la inflación (INPC)

Cálculo del INPC

Formas de expresión de la inflaciónEfecto compuesto: [ M = C (1 + i) ].

Fórmula: = ( Índice del período actual / Índice del período anterior -1 ) * 100

n


Capítulo 6

TÉCNICAS DE VALUACIÓN DE PROYECTOS DE INVERSIÓN

Proyectos

Definición: Conjunto de acciones planificadas que al optimizar el uso de los

recursos disponibles (humanos, materiales y tecnológicos entre otros), minimiza los costos y maximiza los beneficios económicos y sociales del entorno

Tipos: Privados: busca la mejor opción para el inversionista donde su dinero

genere los mayores beneficios, tomando en cuenta el tiempo de recuperación de la inversión y el nivel de riesgo

Sociales: + Complejo. Implica el analizar el impacto que tendrá sobre el bienestar social de la comunidad.

Capítulo 6. Proyectos de Inversión

Proyectos

Componentes:

Estudio de mercado

Estudio técnico

Estudio financiero

Estudio administrativo

Aplicación:

Valor del dinero en el tiempo


Medición de la Rentabilidad

Si el valor actual de los ingresos o beneficios generados son mayores a los desembolsos = RENTABLE

($ 300,000 )

$ 200,000$ 250,000$ 150,000$ 50,000

DesembolsosDesembolsos

BeneficiosBeneficios

PeríodoPeríodo

0 1 2 3 4


1. VALOR PRESENTE NETO (VPN) Tiene como base la ecuación de Valor Presente con interés

compuesto

Cálculo similar al empleado en el valor actual de una inversión en bonos u obligaciones.

Los administradores calculan el valor actual descontado para evaluar los proyectos de operaciones dentro de la empresa y las posibles compras de otras empresas y proyectos

El valor presente neto es el valor actual de los flujos de caja netos menos la inversión inicial.


Fórmula:

VA = C0 + M1 / (1 + i ) + M2 / (1 + i ) + M3 / (1 + i ) + M4 / (1 + i ) + … + Mn / (1 + i )

Simplificado:

VA = Co + [ Mn / (1 + i ) ]

VA = Valor Actual de los flujos

Co = Capital inicial en el período cero.

M = Flujos positivos o negativos

i = tasa de interés cuyo rendimiento iguala el invertir la misma cantidad de dinero en otro instrumento financiero con menos riesgo. Es conocida también como tasa de descuento.

n = no. de período

1 23 4 n

n

1

n


EjemploCo = $300,000F1 = $50,000F2 = $150,000F3 = $250,000F4= $200,000t = 11% ó 0.11

Sustituyendo:

VA = - 300,000 + ( 50,000 / (1 + 0.11 ) + 150,000 / (1 + 0.11) + 250,000 / (1 + 0.11) + 200,000 ( 1 + 0.11 )

VA = - 300,000 + 45,045 + 121,743 + 182,797 + 131,746

VA = $181,331

3

21

4

Los ingresos futuros respaldan la inversión inicial ya que es mayor a cero, teniendo una ganancia adicional por $181,331.

2. PERÍODO DE RECUPERACIÓN DE INVERSIÓN

También denominado payback

Determina el tiempo necesario para que los flujos de caja netos positivos sean iguales al capital invertido.

Brinda un panorama cercano a la realidad para saber en que momento los beneficios igualan a los costos o se recupera la inversión

Razón de peso para dar preferencia a los de menor tiempo de recuperación (en los países donde la situación política y económica es muy inestable).


Se basa en la liquidez que pueda generar el proyecto y no realmente en la rentabilidad del mismo

Desventajas:

Sólo considera los flujos de caja netos positivos durante el plazo de recuperación y no considera estos flujos que se obtienen después de este plazo

No toma en cuenta la diferencia que existe entre los vencimientos de los flujos de caja netos positivos.

2. PERÍODO DE RECUPERACIÓN DE INVERSIÓN (CONT.)


Ejemplo:

Sumando los flujos positivos M1 + M2 resulta un monto acumulado de $166,788; siendo el remanente $133,212 a cubrirse durante el tercer período. Esto indica que si dividimos 133,212 / 182,746 resultará la porción del tercer año en que se recupera la inversión ( 0.73), por lo tanto tenemos que la inversión se recupera en 2.73 años.

Período Desembolsos Ingresos o beneficios

Monto Recuperado acumulado

0 300,000 - 300,000 1 45,045 -254,955 2 121,743 -133,212 3 182,797 49,585 4 131,746 181,331


3. TASA INTERNA DE RETORNO

El TIR es la tasa específica de descuento para la cual los beneficios descontados igualan el desembolso inicial, es decir, el NPV= 0.

Es el costo máximo de Capital que puede respaldar un proyecto de inversión

Se compara con la tasa requerida de retorno (RRR) para este tipo de inversión. El RRR es la misma tasa de descuento que se utiliza para calcular el VPN. Se aprobará el proyecto de inversión cuando el TIR sea mayor que el RRR.


Fórmula:

VA = Co + [ Mn / (1 + r ) ]

Donde,

r = TIR

i = tasa de descuento (de acuerdo a condiciones del mercado o el inversionista) que utilizará como punto de comparación (RRR).

Si la TIR > i entonces la Inversión es recomendable

Si la TIR = i entonces la Inversión es indiferente y su elección dependerá de otros elementos

Si la TIR < i entonces la Inversión no es recomendable

n

1

n


Cálculo de TIR

Para la obtención de la TIR, el procedimiento resulta un tanto

complicado ya que se trata de un polinomio de grado n

Recomendable tener una calculadora financiera (ingresar flujos de

efectivo)

Método alternativo: brinda una aproximación del valor real de la TIR

y que se denomina: aproximaciones sucesivas. Dicho cálculo se

basa en la regla de “prueba y error”.


Ejemplo por el método de aproximaciones sucesivas

TIR1 = 30%TIR2 = 31%TIR3 = 32%

Sustituyendo TIR1 = 30%: VA1 = -300,000 + 38,461 + 88,757 + 113,791 + 70,025VA1 = 11,034

Sustituyendo TIR2 = 31%: VA2 = -300,000 + 38,167 + 87,407 + 111,205 + 67,911VA2 = 4,690

Sustituyendo TIR3 = 32%: VA3 = -300,000 + + 37,878 + 86,088 + 108,697 + 65,877VA3 = -1,460

**La TIR se encuentra en el rango de 31 – 32%, cifra mayor a la tasa de descuento, por lo que la inversión es recomendable


3. Relación Costo - Beneficio

Este indicador buscar medir que tanto los beneficios o flujos positivos del proyecto superan los costos

La decisión de clasificar como rentable o no el proyecto dependerá sólo si la relación es mayor a 1

Fórmula:

B/C = Valor Actual de los Beneficios

Valor Actual de los Desembolsos

> 1


Ejemplo

C0 = 300,000M1 = 45,045M2 = 121,743M3 = 182,797M4 = 131,746

t = 11% ó 0.11

B/C = (45,045 + 121,743 + 182,797 + 131,746) / 300,000 B/C = 481,331 / 300,000

B/C = 1.6

El resultado indica que por cada $1 invertido en el proyecto, se están recuperando $1.6, por lo tanto se considera que el proyecto es rentable.


Resumen

Proyectos

Medición de rentabilidad

VPN

Período de recuperación de inversión

TIR

Relación de Costo Beneficio


Capítulo 7

ANUALIDADES

Y

PERPETUIDADES

Anualidades Son una sucesión de pagos generalmente iguales realizados en

intervalos iguales de tiempo

Los intervalos no son necesariamente años, pueden ser: mensuales, bimestrales, quincenales, etc.

Ejemplos: sueldos quincenales, pagos mensuales por la renta de una casa, pagos mensuales a tarjetas de crédito, pagos anuales de primas de seguros, pagos mensuales de hipotecas

Intervalo de pago: tiempo que transcurre entre un pago y otro

Plazo: tiempo entre el primer y último pago

Rentas de una anualidad: son los pagos periódicos por la vida de la anualidad.

Clasificación de anualidades

ANUALIDADES

CIERTAS (Los plazos comienzan y terminan en fechas determinadas )

Se dividen de acuerdo al tiempo en:

CONTIGENTES O EVENTUALES (El primer y/o el último pago dependen de algún

suceso, sin saber cuando ocurrirá )

VENCIDAS (Los pagos se hacen al final de cada período)

ANTICIPADAS (Los pagos se hacen al principio de cada período)

DIFERIDAS (Los pagos se aplazan por un cierto tiempo)

Ejemplo de Anualidad VencidaLa beneficiaria de un seguro de vida recibirá $8,000 mensuales durante 10 años, sin embargo prefiere que le den el equivalente total al inicio del plazo. ¿Cuánto le darán si el dinero otorga un rendimiento promedio de 14% anual capitalizable mensualmente?

VA = R 1 – (1 + i/p )-np i / p

Donde:

R = renta por cada período

i = tasa de interés capitalizable en p períodos al año

p = frecuencia de capitalización de intereses

n = plazo en años

Capítulo 7. Anualidades y Perpetuidades

Los datos que se tiene son:

R= $8,000

i = 14% anual capitalizable mensualmente ó 0.14

p = 12

n = 10

Sustituyendo,

VA = 8,000 * ( 0.751406 / 0.011667 )

VA = $515,235

VA = 8,000 1 – ( 1.011667 )-120 0.011667


Ejemplo de anualidad anticipadaUna persona renta una propiedad, cobrando una renta bimestral de $20,000, acordando con el arrendatario que los pagos deberán depositarse en el banco “X” el primer día de cada bimestre. Si el banco le paga al arrendador una tasa de interés de 6% anual capitalizable bimestralmente, ¿cuánto tendrá la persona al final de un año?

VF = R (1 + i/p )np + 1 - 1 - 1 i /p


Los datos son:

R = 20,000

i = 6% anual capitalizable bimestralmente ó 0.06%

p = 6

n = 1

Sustituyendo,

VF = 20,000 * 6.21

VF = $124,270

VF = 20,000 ( 0.072135 / 0.01000 ) – 1


Ejemplo de anualidad diferida¿Cuánto acumulará el municipio “P” en la fecha de jubilación de cada uno de sus empleados, si 3 años antes hace un depósito de $4,500 seguido de 20 depósitos mensuales de $1,200 cada uno, ganando intereses del 8% anual capitalizable mensualmente?

Para poder determinar el monto al final a los tres años con una tasa i = .08 / 12 , se tiene que calcular por separado:

1. El Valor final de $4,500 a tres años (ecuación de Valor Futuro con interés compuesto)

2. El Valor final de los depósitos a fecha del último de ellos (ecuación de Valor Futuro de una anualidad vencida)

3. El Valor final del monto acumulado de los depósitos al término de los tres años.

4. Suma de los resultados del Punto 1 + Punto 3


Esto es:

M1 = 4,500 * (1.006667 )36 M1 = $5,716

M2 = 1,280.0004 * ( 21.318869 )M2 = $25,753

M3 = 25,753 * ( 1.006667 )M3 = $28,641

M4 = 28,641 + 5,716 M4 = $34,357

M2 = 1,200 * ( 1.006667 ) ( 1.006667)20 – 1 0.006667

16


Perpetuidades Son una variable de las anualidades ciertas

Se les llama a aquellos pagos cuyo plazo no tienen fin

El número de períodos es muy grande

Se establece la tasa de interés del período de tiempo (no se capitalizan

los intereses)

El valor de cada pago o renta equivalen a los intereses que se generan


Perpetuidades (Cont.)

La tasa de interés es casi siempre anual y el valor de cada renta es igual a los

intereses que se generan en el periodo

Ejemplos: inversiones inmobiliarias de arrendamiento, pensiones o rentas

vitalicias.

Fórmula:

R = I = C * i

R = Valor de cada rentaI = InterésC = Capital Iniciali = tasa de interés del período


Ejemplo 1:

Para que mis 2 hijos estudien becados en una universidad de prestigio, dentro de 10 años, es requisito fundamental -entre otros- depositar el día de hoy una suma de dinero en una institución financiera que paga mensualmente por ahorros de este tipo el 1.5% y que permite a la institución disponer de UM 2,500 mensuales a perpetuidad. ¿Cuánto debo depositar el día de hoy?.

R = I = 2,500 i = 1.5% ó 0.015

C = ?

R = I = C * iC = I / iC = 2,500/0.015 = $166,667

(Debo depositar el día de hoy $ 166,6667. Mensualmente el dinero gana $ 2,500 de interés. Este interés constituye la beca)


Ejemplo 2:

Con el producto de sus ventas, la Lotería Nacional instituye una beca trimestral de $6,500. ¿De cuánto deber ser el capital a invertir a la tasa de interés del 15% compuesto trimestralmente?

R = $6,500i = 15% ó 0.015 / 4 = 0.0375

R = I = C * i C = R / i

Sustituyendo,C = 6,500 / 0.0375 C = $173,333

Esto indica que mientras los $173,333 permanezcan invertidos con la misma tasa de interés, se podrá otorgar la beca de $6,500 trimestralmente por un tiempo indefinido.


Resumen

Anualidades

Características

Clasificación

Perpetuidades

Características


Capítulo 8

AMORTIZACIÓN

Características

Concepto: operación mediante la cual se extingue gradualmente una deuda, mediante pagos periódicos, es decir en intervalos de tiempo iguales que comprenden una parte del capital y el interés (pueden ser simples o compuestos según sea el caso)

Cada abono reduce el Capital, los intereses que se pagan van disminuyendo y aquella parte la deuda que aún so ha sido saldada se le conoce como saldo insoluto.

Aplicación importante de las Anualidades

Capítulo 8. Amortización

Características Dependiendo del tamaño y la frecuencia de los pagos, existen

diferentes sistemas para amortizar un crédito. Estos son:

Amortización gradual:

Forma más usual para liquidar deudas, Los abonos (amortización + intereses) periódicos tienen la

misma frecuencia y son por cantidades iguales. Es conveniente cuando la inflación es relativamente baja.


Características

Amortización constante:

La porción del abono amortiza el Capital adeudado es constante. Ventajas: el cálculo del saldo insoluto en cualquier período

resulta fácil de realizar Útil en casos de refinanciar o cancelar la deuda en ese momento.


Características

Amortización con renta variable:

Cada abono y su correspondiente amortización es mayor que los anteriores.

Los primeros pagos son pequeños, haciendo, en ocasiones, que la deuda se incremente para luego comenzar a reducirse cuando los pagos son mayores.

Utilizado en operaciones a mediano y largo plazo, pero sobre todo cuando los índices inflacionarios son altos.


Tablas de amortización

Herramienta de registro de la deuda donde que plasma de manera ordenada la deuda inicial, capital pagado, intereses y el saldo insoluto.

Para poder construir una tabla de amortización se debe comenzar con la obtención del valor del abono, de acuerdo a lo siguiente:

a = C * i 1 - ( 1 + i )-n

Donde:

a = Valor del abono

C = importe de la deuda

i = tasa de interés del período

n = no. de períodos en que se va a liquidar la deuda


Método de pagos iguales o anualidades

Este método consiste en hacer pagos iguales, el pago de capital va en aumento mientras que el pago de intereses va en decremento. El valor del pago se determina con la fórmula de anualidades.

(a) (b) (c) (d) (e) (f)

Período Saldo Inicial Pago Intereses Capital Saldo Insoluto

1 Capital k (b)1 . i (c)1 – (d)1 (b)1 – (e)1

2 (f)1 k (b)2 . i (c)2 – (d)2 (b)2 – (e)2

3 (f)2 k (b)3 . i (c)3 – (d)3 (b)3 – (e)3

n (f)n-1 k (b)n . i (c)n – (d)n (b)n – (e)n= 0


MÉTODO DE PAGO PERIÓDICO DE INTERÉS. CAPITAL AL VENCIMIENTO.

Este método realiza únicamente pagos de interés, haciendo la amortización total al final. Es la forma clásica de un bono.

(a) (b) (c) (d) (e) (f)


1 Capital (d)1 (b)1 . i 0.0 (b)1 – (e)1

2 (f)1 (d)2 (b)2 . i 0.0 (b)2 – (e)2

3 (f)2 (d)3 (b)3 . i 0.0 (b)3 – (e)3

n (f)n-1 (d)1+(f)n-1

(b)n . i Capital (b)n – (e)n= 0


Ejemplo del método de pagos iguales

El Tesorero del municipio “H”, le pide al encargado del área de finanzas que le realice un plan de pagos del préstamo contraído por $300,000 a 3 años a liquidarse mediante pagos semestrales con una tasa de interés del 17%.

Los datos son:C = 300,000i = 17% / 2 ó 0.085n = 6 pagos

Para poder determinar el monto de los pagos semestrales se sustituye en la fórmula los datos:


Método de amortizaciones iguales más intereses sobre saldos insolutos.

Este método realiza amortizaciones de capital iguales; los intereses y el pago decrecen. La amortización se calcula dividiendo el capital total entre el número total de pagos.

(a) (b) (c) (d) (e) (f)


1 Capital (d)1 + (e)1 (b)1 . i k (b)1 – (e)1

2 (f)1 (d)2 + (e)2 (b)2 . i k (b)2 – (e)2

3 (f)2 (d)3 + (e)3 (b)3 . i k (b)3 – (e)3

n (f)n-1 (d)n + (e)n (b)n . i k (b)n – (e)n= 0

donde k = Capital n


a = 25,500 / 0.387055

a = $65,882

Una vez teniendo el monto del Abono, se empezará a llenar la tabla de amortización.

a = 300,000 * 0.085

1 - ( 1 + 0.085 )-6


Llenado de la Tabla de Amortización

1. Los datos que se sugieren colocar son: Período, Saldo Inicial, Abono, Intereses, Amortización y Saldo Insoluto.

2. En la primera columna, se anotará el no. de cada período, que para este ejemplo son 6

3. Se empezará a llenar los datos de manera horizontal y de izquierda a derecha comenzando con el Saldo inicial en el período cero (período donde comienza la vida del préstamo y no se pagan ni intereses ni capital).

4. Comenzando el período 1, vaciamos la cifra de abono que permanecerá constante durante la vida del préstamo.


Llenado de la Tabla de Amortización (Cont.)

5. Se realiza el cálculo de intereses: 300,000 * 0.085 = 25,500

6. La amortización como parte del Abono ( Abono = Intereses + Amortización )se calculará: 65,882.12 – 25,500 = 40,381.12

7. El saldo insoluto resultará de restar el Saldo Insoluto del Período anterior (300,000) menos la amortización (40,381.12)

8. Se comienza los cálculos del segundo período y así sucesivamente hasta que el Saldo Insoluto del último período sea cero.


La tabla llenada:

Período Saldo Inicial Abono Intereses Amortización Saldo Insoluto 0 300,000.00 300,000.00 1 300,000.00 65,882.12 25,500.00 40,381.12 259,617.88 2 259,617.88 65,882.12 22,067.52 43,814.60 215,803.28 3 215,803.28 65,882.12 18,343.28 47,538.84 168,264.44 4 168,264.44 65,882.12 14,302.48 51,579.64 116,684.80 5 116,684.80 65,882.12 9,918.21 55,963.91 60,720.88 6 60,720.88 65,882.12 5,161.28 60,720.88 0.00


Resumen

Características

Sistemas de amortización

Tabla de amortización

Cálculo del Abono Llenado de tabla


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