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conalep
Capacitado por
conalepColegio Nacional de Educacin Profesional Tcnica
e-cbncEducacin-Capacitacin
Basadas en Normasde Competencia
PROFESIONAL TCNICOEN INFORMTICA
Manual Terico Prctico delCurso - Mdulo Ocupacional:
MATEMTICAS DISCRETAS
3er. Semestre
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2Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
Director General:Secretario Acadmico:
Director de Diseo de Contenidos:
Autores:
Instituto de Tecnologa Educativa,Comunicacin y Consultora
S.C.
Directora General:Director de Investigacin y Consultora:
Director Tcnico:
Antonio Argelles.Juan Carlos Tllez Mosqueda.Carlos Tato
Palma.
Ma. Cristina Martnez Mercado.Jorge Barbiere Meja.
Guadalupe J. Mateos Raymundo.Juan Carlos Snchez Gonzlez.Gabriel
Carbajal Vilchis.
PARTICIPANTESCoordinadores
InformticaInformtica
Manual del curso - mdulo ocupacionalMatemticas Discretas
D. R. 2000 CONALEP.Prohibida la reproduccin total o parcial de
esta obra, incluidala portada, por cualquier medio sin autorizacin
por escritodel CONALEP. Lo contrario representa un acto de
pirateraintelectual perseguido por la Ley Penal.
E-CBNCAv. Conalep N 5, Col. Lzaro Crdenas, C. P. 52140,
Metepec,Estado de Mxico.
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3Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
NDICE
ParticipantesI. Mensaje al alumno 5II. Cmo utilizar este manual
6III. Propsito del curso - mdulo ocupacional 8IV. Normas de
competencia laboral 9V. Especificaciones de evaluacin 10VI. Mapa
curricular del curso mdulo ocupacional 11
Captulo 1 Algoritmos 13
Mapa curricular de la unidad de aprendizaje 14
1.1.1. Conceptos bsicos 15
1.1.2. Representacin de grficas 16
1.1.3. La ruta ms corta 17
1.1.4. rboles 18
1.1.5. Ordenamientos 19
1.2.1. Principios bsicos de conteo 20
1.2.2. Permutaciones y combinaciones 21
1.2.3. Algoritmos 22
1.2.4. Recursin 23
1.3.1. Representacin de nmeros en otras bases 25
1.3.2. Induccin matemtica 27
Prcticas de ejercicio y Listas de cotejo 29Resumen
33Autoevaluacin de conocimientos 34
Captulo 2 Lgica y conjuntos 35
Mapa curricular de la unidad de aprendizaje 36
2.1.1. Conjunto finito 37
2.1.2. Operaciones con conjuntos 38
2.1.3 Relaciones 39
2.1.4. Funciones 40
2.2.1. Proposiciones 41 Conectivos elementales 41 Tablas de
verdad 42
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4Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
2.2.2. Proposiciones condicionales y equivalencia lgica 43
2.2.3. Cuantificadores 43
2.3.1. Circuitos combinatorios 44
2.3.2. lgebra booleana 45
2.3.3. Funciones booleanas 47
Prcticas de ejercicio y Listas de cotejo 49Resumen
61Autoevaluacin de conocimientos 62
Respuestas a la autoevaluacin de conocimientos por captulo
63Glosario 65Bibliografa 73Predominio del curso - mdulo ocupacional
de E-CBNC 75
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5Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
I. MENSAJE AL ALUMNO
CONALEP TE DA LA BIENVENIDA AL
CURSO - MDULO OCUPACIONAL
MATEMTICAS DISCRETAS!
Esta modalidad requiere tu participacin einvolucramiento activo
en ejercicios y prcti-cas con simuladores, vivencias y casos
realespara propiciar un aprendizaje a travs deexperiencias. Durante
este proceso debersmostrar evidencias que permitirn evaluartu
aprendizaje y el desarrollo de la compe-tencia laboral
requerida.
El conocimiento y la experiencia adquiridase vern reflejados a
corto plazo en el mejo-ramiento de tu desempeo de trabajo, locual
te permitir llegar tan lejos como quie-ras en el mbito profesional
y laboral.
Este curso - mdulo ha sido diseado bajola Modalidad Educativa
Basada en Normasde Competencia, con el fin de ofrecerte
unaalternativa efectiva para el desarrollo de ha-bilidades que
contribuyan a elevar tu poten-cial productivo, a la vez que
satisfagan lasdemandas actuales del sector laboral.
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6Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
II. CMO UTILIZAR ESTE MANUAL
Las instrucciones generales que a continua-cin se te pide que
realices, tienen la inten-cin de conducirte a que vincules las
compe-tencias requeridas por el mundo de trabajocon tu formacin de
profesional tcnico.
Redacta cuales seran tus objetivos per-sonales al estudiar este
curso - mduloocupacional.
Analiza el Propsito del curso - mduloocupacional que se indica
al principio delmanual y contesta la pregunta Me que-da claro hacia
dnde me dirijo y qu eslo que voy a aprender a hacer al estudiarel
contenido del manual? si no lo tienesclaro pdele al docente que te
lo expli-que.
Revisa el apartado especificaciones deevaluacin son parte de los
requisitosque debes cumplir para aprobar elcurso - mdulo. En l se
indican las evi-dencias que debes mostrar durante elestudio del
curso - mdulo ocupacionalpara considerar que has alcanzado
losresultados de aprendizaje de cada uni-dad.
Es fundamental que antes de empezar aabordar los contenidos del
manual ten-gas muy claros los conceptos que a con-tinuacin se
mencionan: competencialaboral, unidad de competencia
(bsica,genricas especficas), elementos de com-petencia, criterio de
desempeo, campode aplicacin, evidencias de desempeo,evidencias de
conocimiento, evidenciaspor producto, norma tcnica de institu-cin
educativa, formacin ocupacional,
mdulo ocupacional, unidad de apren-dizaje, y resultado de
aprendizaje. Si des-conoces el significado de los componen-tes de
la norma, te recomendamos queconsultes el apartado glosario de
trmi-nos, que encontrars al final del manual.
Analiza el apartado Normas Tcnicas decompetencia laboral Norma
tcnicade institucin educativa.
Revisa el Mapa curricular del curso - m-dulo ocupacional. Esta
diseado paramostrarte esquemticamentelas unidades y losresultados
de aprendizaje que te permi-tirn llegar a desarrollar
paulatinamente las competencias laborales que requierela ocupacin
para la cual teests formando.
Realiza la lectura del contenido de cadacaptulo y las
actividades de aprendizajeque se te recomiendan. Recuerda que enla
educacin basada en normas de com-petencia laborales la
responsabilidad delaprendizaje es tuya, ya que eres el
quedesarrolla y orienta sus conocimientos yhabilidades hacia el
logro de algunascompetencias en particular.
En el desarrollo del contenido de cadacaptulo, encontrars ayudas
visualescomo las siguientes, haz lo que ellas tesugieren efectuar.
Si no haces no apren-des, no desarrollas habilidades, y te
serdifcil realizar los ejercicios de evidenciasdeconocimientos y
los de desempeo.
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7Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
Estudio individual
Consulta con el docente
Comparacin de resultadoscon otros compaeros
Trabajo en equipo
Realizacin del ejercicio
Observacin
Investigacin de campo Portafolios de evidencias
Investigacin documental
Redaccin de trabajo
Repeticin del ejercicio
Sugerencias o notas
Resumen
Consideraciones sobreseguridad e higiene
Imgenes de referencia:
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8Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
III. PROPSITO DEL CURSO - MDULO OCUPACIONAL
Al finalizar el curso - mdulo ocupacional, el alumno solucionar
problemasmediante las matemticas discretas para la realizacin de
programas de cm-puto.
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9Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
IV. NORMAS DE COMPETENCIA LABORAL
Para que analices la relacin que guardan laspartes o componentes
de la NTCL o NIE conel contenido del programa del curso - m-dulo
ocupacional de la carrera que cursas, terecomendamos consultarla a
travs de lassiguientes opciones:
Acrcate con el docente para que tepermita revisar su programa de
estu-dio del curso - mdulo ocupacionalde la carrera que cursas,
para que con-sultes el apartado de la norma reque-rida.
Visita la pgina WEB del CONOCERen www.conocer.org.mx en caso
deque el programa de estudio del curso- mdulo ocupacional esta
diseadocon una NTCL.
Consulta la pgina de Intranet delCONALEP http://intranet/ en
caso deque el programa de estudio del cur-so - mdulo ocupacional
est disea-do con una NIE.
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10Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
1El portafolios de evidencias es una compilacin de docu-mentos
que le permiten al evaluador, valorar los conocimien-tos, las
habilidades y las destrezas con que cuenta el alumno,y a ste le
permite organizar la documentacin que integralos registros y
productos de sus competencias previas y otrosmateriales que
demuestran su dominio en una funcin espe-cfica (CONALEP. Metodologa
para el diseo e instrumenta-cin de la educacin y capacitacin basada
en competen-cias, Pg. 180).
V. ESPECIFICACIONES DE EVALUACIN
Durante el desarrollo de las prcticas de ejer-cicio tambin se
estar evaluando el desem-peo. El docente mediante la
observacindirecta y con auxilio de una lista de cotejoconfrontar el
cumplimiento de los requisi-tos en la ejecucin de las actividades y
eltiempo real en que se realiz. En stas que-darn registradas las
evidencias de desem-peo.
Las autoevaluaciones de conocimientos co-rrespondientes a cada
captulo adems deser un medio para reafirmar los conocimien-tos
sobre los contenidos tratados, son tam-bin una forma de evaluar y
recopilar evi-dencias de conocimiento.
Al trmino del curso - mdulo debers pre-sentar un Portafolios de
Evidencias1, el cualestar integrado por las listas de cotejo
co-rrespondientes a las prcticas de ejercicio,las autoevaluaciones
de conocimientos quese encuentran al final de cada captulo
delmanual y muestras de los trabajos realiza-dos durante el
desarrollo del curso - mdu-lo, con esto se facilitar la evaluacin
delaprendizaje para determinar que se haobtenido la competencia
laboral.
Deberas asentar datos bsicos, tales como:nombre del alumno,
fecha de evaluacin,nombre y firma del evaluador y plan de
eva-luacin.
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11Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
VI. MAPA CURRICULAR DEL CURSO MDULO OCUPACIONAL
Resultados de AprendizajeUnidad de AprendizajeCurso - Mdulo
Ocupacional
Matemticas Discretas
1. Mtodo de Conteo yRecursin por medio deGrficas
1.1. Desarrol lar algoritmos mediantegrficas, ordenamientos y
rbolespara la solucin de problemas.
10 hrs.
30 hrs.
72 hrs.
1.2. O p e r a r t c n i c a s d e c o n t e o yrecursin a
partir del clculo deln m e r o d e e l e m e n t o s e n u
nconjunto finito para el desarrollo dea l g o r i t m o s e n l a s
o l u c i n d eproblemas
10 hrs.
1.3. Realizar operaciones aritmticas apartir de los sistemas de
numeracincon base 2, 3 y 16 para la solucinde problemas
10 hrs.
2.1. Realizar operaciones mediante lautilizacin de los conceptos
bsicosdel lgebra de conjuntos para lasolucin de problemas
15 hrs.
2.2. Generar tablas de verdad, utilizandoconectivos y
cuantificadores para ladeterminacin del valor de verdad
deproposiciones lgicas
15 hrs.
2.3. Solucionar problemas mediante el l g e b r a b o o l e a n
a p a r a l ac o n s t r u c c i n d e c i r c u i t o
scombinatorios
12 hrs.
2. Lgica y Conjuntos
42 hrs.
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12Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
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13Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
1CAPTULO 1 METODOS DE CONTEO Y RECURSIN
POR MEDIO DE GRFICAS
Al finalizar el captulo, el alumno elaboraralgoritmos utilizando
las tcnicas de programacinestructurada para la solucin de
problemas.
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14Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
MAPA CURRICULAR DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE
Resultados de AprendizajeUnidad de AprendizajeCurso - Mdulo
Ocupacional
Matemticas Discretas
1. Mtodo de Conteo yRecursin por medio deGrficas
1.1. Desarrol lar algoritmos mediantegrficas, ordenamientos y
rbolespara la solucin de problemas.
10 hrs.
30 hrs.
72 hrs.
1.2. O p e r a r t c n i c a s d e c o n t e o yrecursin a
partir del clculo deln m e r o d e e l e m e n t o s e n u
nconjunto finito para el desarrollo dea l g o r i t m o s e n l a s
o l u c i n d eproblemas
10 hrs.
1.3. Realizar operaciones aritmticas apartir de los sistemas de
numeracincon base 2, 3 y 16 para la solucinde problemas
10 hrs.
2. Lgica y Conjuntos
42 hrs.
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15Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
SUMARIO
Conceptos bsicos
Representacin de grficas
La ruta ms corta
rboles
Ordenamiento
Principios bsicos de conteo
Permutaciones y combinaciones
Algoritmos
Recursin
Representacin de nmeros en otras ba-ses
Induccin matemticas
RESULTADO DE APRENDIZAJE
1.1. Desarrollar algoritmos mediante grfi-cas, ordenamientos y
rboles para lasolucin de problemas.
1.1.1.CONCEPTOS BSICOS
EXPLICARA EL DESARROLLO DEALGORITMOS.
Un algoritmo es un conjunto limitado ( ofinito ) de
instrucciones que tienes las siguien-tes caractersticas:
1. Precisin. Las instrucciones se enuncian
en forma precisa.
2. Univocidad. Los resultados intermedioscorrespondientes a cada
paso de la eje-cucin estn definidos unvocamente yslo dependen de
los datos de entrada yde los resultados de los pasos
anterio-res.
3. Finitud. El algoritmo termina despus dela ejecucin de una
cantidad finita de ins-trucciones.
4. Datos de Entrada ( input ). El algoritmorecibe datos que
ingresan.
5. Datos de Salida ( output ). El algoritmorecibe datos que
egresan.
6. Generalidad. El algoritmo se aplica a unconjunto de datos de
entrada.
Vrtice.-Punto en que concurren dos ladosde un ngulo.
Arista.- Lnea resultante de la interseccinde dos
superficies.
Grfica.-Representacin de datos numricospor medio de lneas que
hacen visible la gra-dacin o relacin de estos datos.
rbol.- Es un grafo simple en el cual existeun nico camino entre
cada par de vrtices,constituyen una de las subclases ms tilesde lo
grafos y en su trazo se asemeja a unrbol con su ramificacin hacia
abajo.
Lazo.- Es un arco que se forma al regresar elsentido al mismo
punto.
Camino.- Un camino de longitud n de v a wes una sucesin de lados
que va de v a w y
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16Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
la cual tiene n lados distintos entre s.
Circuito.- Es un camino de v a v y es de laforma ( Vo, V1,
V2,...,Vn)
Grfico Conexo.- Se dice que un grafo G esconexo si para
cualquier par de vrtices u yw, distintos entre s, existe un camino
de v aw.
MATRIZ DE ADYACENCIA
Si se desea analizar un grafo utilizando unacomputadora, se
necesita una representacinms formal. Un primer mtodo de
repre-sentacin de un grafo lo constituye la ma-triz de
adyacencia.
Para obtener la matriz de adyacencia de estegrafo se selecciona
un orden arbitrario paralos vrtices, por ejemplo a, b, c, d, e. A
con-tinuacin, se le asigna a las filas y las colum-nas de una
matriz el mismo orden dado alos vrtices. Un elemento de la matriz
es 1 silos vrtices correspondientes a la fila ( o ren-gln ) y a la
columna de dicho elemento es-tn unidos por un lado, y 0 en caso
contra-rio. La matriz de adyacencia para este grafoest dad por:
MULTIPLICACIN DE MATRICES CUADRADAS.
Para multiplicar la matriz A por la matriz Bse requiere que el
nmero de columnas deA sea igual al nmero de filas de B.
Un rbol binario.- Es uno con raz en el cualcada vrtice tiene un
hijo a la derecha o unhijo a la izquierda, o un hijo a la derecha
yuno a la izquierda, o bien, ningn hijo.
1.1.2. REPRESENTACIN DEGRFICAS
Cuando utilizamos un mapa de carreteras,nos interesa ver cmo
llegar de un pueblo aotro por medio de las carreteras que se
indi-can en el mapa. En consecuencia, tratamoscon dos clases
distintas de objetos paradefinir una relacin. Si V denota el
conjuntode pueblos y A el conjunto de carreteras ,podemos definir
una relacin R sobre V
a b c d e a 0 1 0 0 1 b 1 0 1 0 1 c 0 1 1 0 1 d 0 0 0 0 1 e 1 1
1 1 0
a b c c e
1 6 A = 4 2 3 1
1 2 -1 B = 4 7 0
a b c d
a c
Resultado
ax + by cx + dy
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17Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
como a R si podemos viajar de a a b son dedoble sentido,
entonces tambin tenemos bR a. Si todas las carreteras son de
doblesentido, tenemos una relacin simtrica.
Una forma de representar cualquier relacines enumerar los pares
ordenados que sonsus elementos. Aqu sin embargo es msconveniente
usar un diagrama como sigue:
Sea V un conjunto finito no vaco , y sea E VX V. El par ( V, E )
es un grafo dirigido (sobre V) , o digrafo ( sobre V ) , donde V
esel conjunto de vrtices, o nodos y E es suconjunto de aristas.
Escribimos G = (V, E)para denotar tal digrafo.
La figura anterior proporciona un ejemplode un grafo dirigido
sobre V = {a,b,c,d,e)con E= { (a,a), (a,b), (a,d), (b,c )}. La
direc-cin de una arista se indica al colocar unaflecha dirigida
sobre ella, como se ve. Paracualquier arista, como (b,c) decimos
que laarista es incidente con los vrtices b,c; b esadyacente hacia
c, mientras que c es adya-cente desde b. Adems, el vrtice b es
elorigen , o fuente, de la arista ( b , c) y elvrtice c es el
trmino, o vrtice terminal . Laarista ( a, a) es un ejemplo de un
lazo y elvrtice e que no tiene aristas incidentes esun vrtice
aislado.
1.1.3.LA RUTA MS CORTA
Cuando se quiere visitar todos los vertices
de una grfica regresando al punto departidanos interesa
nicamente encontrar laruta mas corta de un vertice a otra
grfica.Consideraremos un sistema de carreteras eintersecciones. Una
persona desea viajar des-de su automovil desde una interseccin Adel
sistema hacia otra interseccin B. En ge-neral hay muchas rutas
disponibles de A aB. El problema consiste en determinar unaruta
para la cual la distancia recorrida sea lamenor posible, es decir
la ruta ms corta.Suena similar? en trminos puramente ma-temticos,
recurriendo al lenguaje de teorade grficas, el problema de la ruta
ms cor-ta consiste en determinar una trayectoria demenor peso total
que une a cualquiera dosvrtices de una grfica ponderada conexa.As
planteando el problema, y de acuerdocon la experiencia que hemos
adquirido, yate podrs haber imaginado la cantidad desituaciones
prcticas que este problema ma-temtico representa. Si recordamos que
lepeso de las aristas pueden representar dis-tintas variables
(distancia, tiempo, costo, etc.)y que los vrtices pueden
representar dis-tintos objetos (ciudades, intersecciones decalles,
etc.), el problema de la ruta ms cor-ta estar involucrado en
cualquier problemaprctico de la vida real en el que el objetivosea
encontrar la manera ms eficiente deinterconectar a cualesquiera dos
de estosobjetos.
Una posible manera de resolverlo es recurrira la fuerza bruta
como ya hemos hecho an-tes, enlistando de una manera
sistemticatodas las posibles rutas (trayectorias) entrelos dos
vrtices en cuestin, calculando elpeso total de cada una de ellas, y
seleccio-nando la de menor peso total. Como ya sa-bemos este no es
un procedimiento eficien-te cuando la grfica involucrada tiene
mu-
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18Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
chos vrtices, y el trabajo se vuelveinmanejable incluso para
unasupercomputadora. Lo que necesitamos esun algritmo eficiente
para determinar la rutams corta en el que el trabajo necesario
nocrezca muy rpidamente cuando el tamaode la grfica crece.
Afortunadamente en elproblema de la ruta ms corta nos encontra-mos
nuevamente ante una de esas situacio-nes excepcionales en donde
todo funcionamuy bien y en donde, como en el problemade los rboles
generadores mnimos, conta-mos con un algoritmo simple, ptimo y
efi-ciente. El algoritmo que se usa para encon-trar una trayectoria
ptima se atribuye a E.W. Dijistra, nacido en los pases bajos
en1930, y considerado como uno de lostericosoriginales de las
ciencia de la com-putacin moderna El algoritmo de dijistra,llamado
as en su honor, permite encontrarla trayectoria ms corta de un
vrtice de unagrfica hacia cada uno de los otros vrticesde la
grfica.
1.1.4.RBOLES
Es una estructura no lineal en la que cadaelemento esta
relacionado con dos o mselementos. Un rbol consta de un conjuntode
nodos en las que adems de la propiainformacin contiene direccin de
otrosnodos de menor importancia o jerarqua ycumple las siguientes
condiciones:
a) Existe un nodo raz
b) El resto de los nodos se distribuye enun nmero n de
subconjuntos distintos.
c) Cada uno de estos subconjuntos es unsubrbol de nodo raz.
- Grado de un nodo
Es l numero de subrboles de ese nodo.
- Camino de un nodo
Es el conjunto de aristas a travs de las cua-les se pasa desde
el nodo raz a ese nodo.
Todo rbol est compuesto por una jerar-qua de elementos llamados
nodos. El nivelsuperior de la jerarqua tiene un slo nodo,al que se
llama raz. Excepto la raz, todonodo est vinculado a otro nodo de
nivelsuperior que llamaremos antecesor o padre.Ningn elemento puede
tener ms de unantecesor. En cambio, todo elemento puedetener uno o
ms elementos relacionados conl, en un nivel inferior, a los que
llamaremosdescendientes o hijos. Los elementos que notienen
descendientes se llaman hojas y laslneas que unen unos nodos con
otros ra-mas. Se dice que un rbol es N-ario cuandoel nmero mximo de
descendientes de cadauno de los nodos es N. Todo rbol N-ariopuede
convertirse en un rbol binario equi-valente y, frecuentemente, es
sta la formade representar un rbol en la memoria cen-tral del
computador, por ser ms simpleslos procesamientos relacionados con
ellos.
- rboles binarios
Un rbol binario es una estructura que pue-de estar formada
por:
Ningn elemento (rbol vaco).
Una raz y un nmero finito de nodos. Cadauno de ellos estar
constituido por dossubrboles distintos (ocasionalmente
vacos)llamados subrbol izquierdo y subrbol de-recho del rbol
binario.
La altura y profundidad de un rbol binario
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19Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
es el nmero de nodos que constituye el ca-mino ms largo desde la
raz hasta un hoja.Un rbol vaco tiene una profundidad nula.Decimos
que un rbol binario est equilibra-do si la diferencia entre las
alturas de losdos subrboles de cada uno de los nodosdel rbol es
como mximo igual a la unidad,es decir, si para todo nodo del rbol
se cum-ple:Valor abs (altura (subrbol-izq) - altura (subrbol-der)=
1
Operaciones
Las operaciones usuales sobre un rbolbinario son:
- Recorrido del arbol.
- Insercin de elementos.
- Eliminacin de elementos.
Existen tres modos estndar de recorrer unrbol binario de raz R.
Estos tres algoritmos,denominados preorden, orden central
ypostorden, son los siguientes:losprocesamientos relacionados con
ellos.
Existen tres modos estndar de recorrer unrbol binario de raz R.
Estos tres algoritmos,denominados preorden, orden central
ypostorden, son los siguientes:
Preorden: R - A - B.
Orden central: A - R - B.
Postorden: A - B - R.
Ejemplo:Sea T = ( V, E ) un rbol con raz r. Si T no tiene
otrosvrtices, entonces la misma raz es el recorrido enorden previo
y orden posterior de T. Si |V| > 1 , sean
T1, T2, T3,...,Tk los subrboles de T, de izquierda aderecha
a) El recorrido en orden previo de T visita primero ry despes
recorre los vrtices de T1 en orden previo,despus los vrtices de T2
en orden previo y assucesivamente, hasta recorrer los vrtices de Tk
enorden previo.b) El recorrido en orden posterior de T recorre
enorden posterior los vrtices de los subrboles T1, T2,T3,...,Tk
para despus llegar a la raz.
1.1.5. ORDENAMIENTOS
Sean L1 y L2 dos listas ordenadas con nme-ros ascedentes, donde
Li contiene ni elemen-tos, i=1,2 . Entonces L1 y L2
puedenintercalarse en una lista ascedente L con unmximo de n1+n2 1
comparaciones.
Para intercalar las listas L1 , L2 en la lista L,utilizamos el
siguiente algoritmo.
PASO 1 : Hacemos L igual a la lista vaca
PASO 2: Comparamos los primeros elemen-tos de L1 , L2 .
Eliminamos el menor de ellosde su lista correspondiente y lo
colocamosal final de L.
PASO 3: Para las listas actuales L1 , L2 ( cadavez que se
ejecuta el paso 2 se modifica unade estas listas), hay dos
casos.
a) Si alguna de las listas L1 , L2 es vaca,entonces la otra se
concatena al final de L, loque completa la insercin.
b) En caso contrario, regresamos al paso2.
Cada comparacin de un nmero de L1 con
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20Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
uno L2 hace que un elemento se coloque alfinal de la lista L,
por lo que no hay ms den1+n2 comparaciones. Cuando una de las
lis-tas L1 , L2 es vaca, no necesitamos ms com-paraciones, por lo
que el nmero mximode comparaciones necesarias es n1+n2 1.
Trabajo en equipo
Revisa en grupo los concep-tos de vrtice, arista,
grficadirigida, lazo, camino, circui-to, grfica conexa, rbol
ysubgrfica.
Resuelve por equipos losproblemas de los puentes yagente viajero
deKoenigsberg.
Representa en forma grupaluna grfica dada por su ma-triz de
adyacencia.
Realizacin del ejercicio
Realiza multiplicaciones dematrices cuadradas.
Localiza la potencia de ma-trices de adyacencia de gr-ficas.
Redaccin de trabajo
Define en grupo las grficasponderadas y revisa el algo-ritmo de
Dijkstra para la rutams corta y el algoritmo de
burbujeo para el ordena-miento de un arreglo de da-tos.
Realizacin del ejercicio
Soluciona los problemas.
Recopila y define rbol libre,rbol con raz, rbol binarioy rbol
generador de unagrfica.
RESULTADO DE APRENDIZAJE
1.2. Operar tcnicas de conteo y recursina partir del clculo del
nmero de ele-mentos en un conjunto finito para eldesarrollo de
algoritmos en la solucinde problemas.
1.2.1. PRINCIPIOS BSICOS DECONTEO
CONTEO
Si una actividad puede realizarse en t pasosy el paso 1 se puede
hacer en n1 formas, elpaso 2 puede hacerse en n2 formas,..., y
elpaso t, en nt formas, entonces el nmero deactividades posibles en
n1* n2 ........ nt
Ejemplo Cuntos arreglos o cadenas de lon-gitud 2 se pueden
formar usando las letrasABC, si se permite repetir letras?
Se tienen tres posibilidades para la eleccinde la primera letra
y tres posibilidades para
-
21Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
la segunda. Se desprende que hay 3 * 3 = 9arreglos posibles,
ejemplo:
Cuntos arreglos de ocho bits comienzan con 101 obien 111?
Una cadena de ocho bits que comience en 101 sepuede construir en
cinco pasos sucesivos: seleccio-nar el cuarto bit, seleccionar el
quinto bit,..., seleccio-nar el octavo bit.
Ya que hay dos maneras diferentes de seleccionarcada bit, por el
Primer Principio del conteo, hay
2* 2 * 2 * 2 * 2 = 25 = 256
1.2.2.PERMUTACIONES YCOMBINACIONES
PERMUTACIN.
Una permutacin de objetos implica ordenmientras que una
combinacin no toma encuenta el orden de los objetos
considerados.
1) Una permutacin r de X, donde r
-
22Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
C(8,4) = 70 formas.
FACTORIAL
Ejemplo:
3! = 1 * 2 * 3 =64!= 1 * 2 * 3 * 4 =24
COEFICIENTE BINOMIAL.
Los nmeros C (n,r) se llaman coeficientesbinomiales, pues
aparecen en el desarrollodel binomio a + b elevado a una
potencia.La interrelacin entre los nmeros que apa-recen en los
problemas de conteo y los queaparecen en expresiones algebraicas
tiene im-portantes implicaciones.
Una identidad que es en consecuencia dealgn proceso de conteo se
denomina iden-tidad combinatoria y el razonamiento quelleva a su
formulacin se conoce como razo-namiento (o argumento)
combinatorio.
1.2.3.ALGORITMOS
En primer lugar, un algoritmo es una lista deinstrucciones
precisas diseadas para resol-ver un tipo de problema particular, no
sola-mente un caso especial. En general, espera-mos que todos
nuestros algoritmos recibanuna entrada y nos proporcionen el
resultado(o resultados) necesario como salida. De igualmodo, un
algoritmo debe proporcionar elmismo resultado si repetimos el valor
( ovalores ) para la entrada. Esto sucede cuan-do la lista de
instrucciones es tal que cadaresultado intermedio proveniente de la
eje-cucin de cada instruccin es nico y slo
depende de la entrada (inicial) y de cualquierresultado que se
pudiera haber obtenido encualquier de las instrucciones
precedentes.
Para lograr esto hay que eliminar toda va-guedad del algoritmo;
las instrucciones de-ben describirse de forma simple, pero
noambigua, de modo que pueda ser ejecutadapor una mquina. Por
ltimo, nuestro algo-ritmo no puede continuar por siempre.
Tal como est establecido, no proporcionalas instrucciones
precisas para determinar lasalida deseada.
Es una serie de operaciones detalladas y noambiguas, a ejecutar
paso a paso y que con-ducen a la resolucin de un problema.
Caractersticas de los algoritmos
Finitud
Un algoritmo debe ser finito. Si se sigue unalgoritmo, se debe
terminar en algn mo-mento.
Precisin
Un algoritmo debe ser preciso e indicar elorden de realizacin de
cada paso.
Entradas y salidas
Un algoritmo debe estar definido. Si se si-gue un algoritmo dos
veces, se debe obte-ner el mismo resultado cada vez.
Efectividad
La definicin de un algoritmo describe trespartes: entrada,
proceso y salida. Un algo-
-
23Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
ritmo implica generalmente alguna entrada(algo que existe y es
utilizado por el algorit-mo), produce tambin resultados
denomi-nados salida.
Ejemplo:Determinaremos el mximo comn divisor de 250 y111, y
expresaremos el resultado como una combina-cin lineal de estos
enteros.
250 = 2(111) + 28, 0 < 28 < 111111= 3(28) + 27, 0<
27
-
24Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
Sea fi el nmero de parejas de conejos alcabo del i-simo mes.
Entonces
f0 = 1
Al final del primer mes hay slo una pareja,ya que comienza a ser
productiva despusde un mes. Por consiguiente,
f 1= 1
Las ecuaciones anteriores son las condicio-nes iniciales para la
sucesin de Fibonacci .El aumento en las parejas de conejos fn
fn-1del mes (n-1) al mes n se debe a que cadapareja viva en el mes
( n-2 ) produce unapareja adicional. Esto es,
fn fn-1 = fn-2
o bien
fn = fn-1 + fn-2
La relacin de recurrencia con las condicio-nes iniciales
anteriores define una sucesinde Fibonacci. Puede verificarse que la
solu-cin a la pregunta de Fibonacci es f12 = 233.
LA TORRE DE HANOI
La torre de Hanoi es un juego de ingenieroque consiste en tres
espigas verticales quesalen de una tabla y n discos de varios
ta-maos, cada uno de los cuales posee un ori-ficio central. Se
asume que si un disco estensartado en una espiga, slo uno de
di-metro menor puede colocarse sobre aqul.Si todos los discos estn
ensartados en unaespiga y solo se permite mover un disco a lavez,
el problema consiste en transferir losdiscos a otra espiga,
cumpliendo la condi-cin anterior.
Si Cn denota el nmero de movimientos conlos cuales se puede
resolver el problema delos n discos, encuntrense una relacin
deconcurrencia y una condicin inicial para lasucesin C1, C2,...
Supngase que se tienen n discos en la espi-ga 1, Entonces, en
Cn-1 movimientos, pue-den moverse los n 1 discos de arriba a
laespiga. Durante estos movimientos el discoinferior de la espiga 1
permanece fijo. A con-tinuacin se pasa a la espiga 3 el disco
quequed en la 1. Finalmente en Cn-1 movimien-tos, se pueden pasar a
la espiga 3 los n-1discos que estn en la 2, por lo tanto, larelacin
de recurrencia buscada es
Cn = 2Cn-1 + 1
La condicin inicial es
C1 = 1
Trabajo en equipo
Revisa en grupo sobre elprincipio de multiplicacin yadicin.
Resuelve en grupo proble-mas utilizando el principio
deconteo.
Revisa en grupo sobrepermutacin de n elemen-tos tomados de r en
r.
Revisa en grupo sobre com-binaciones de n elementostomados de r
en r.
-
25Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
Soluciona y expondr porequipos los problemas deFibonacci, torre
de Hanoi,factorial de un entero y trin-gulo de Pascal.
Realizacin del ejercicio
Realiza ejercicios de factorialy coeficiente binomial.
Realiza algoritmos de bs-queda binaria y algoritmospara la
obtencin del elemen-to mximo y mnimo de unarreglo de datos.
Realiza la prctica de ejerci-cio nm. 1: Algoritmo delmtodo de
burbuja.
Estudio individual
Resuelve los problemas uti-lizando variaciones,permutaciones con
repeti-cin y sin repeticin, as comopermutaciones circulares.
RESULTADO DE APRENDIZAJE
1.3. Realizar operaciones aritmticas a par-tir de los sistemas
de numeracin conbase 2, 3 y 16 para la solucin de pro-blemas.
1.3.1. REPRESENTACIN DENMEROS EN OTRAS BASES
REPRESENTACIN DE NMEROS EN OTRASBASES.
Los dgitos en un sistema numrico se deno-mina Raz o Base del
sistema. Los dgitos enel sistema varan en valor desde 0 hasta r 1,
donde r es la base. Para el sistema deci-mal, r=10 y los dgitos
varan en valor des-de 0 hasta (10-1)=9.
En la llamada notacin posicional de un n-mero, el punto de la
base separa la porcinentera de un nmero de la porcinfraccionaria.
Si no existe porcinfraccionaria, el punto de la base no se mues-tra
explcitamente en la notacin posicional.Adems, cada posicin en la
representacintiene un peso asociado con l. El peso decada posicin
es equivalente a la base eleva-da a una potencia. La potencia se
inicia con0 en la posicin inmediata a la izquierda delpunto de la
base y aumenta de uno en unoconforme se desplaza hacia la
izquierda, ydisminuye de uno en uno conforme se correhacia la
derecha. Un nmero clsico del sis-tema decimal se muestra a
continuacin.
1256.932 tiene punto decimal, tiene parteentera y parte
fraccionaria
103 102 101 100. 10-1 10-2 10-3 pesos
Las potencias aumentan de 1 en 1. Las po-tencias disminuyen de 1
en 1
Este nmero tambin puede representarsecomo un polinomio:
1x103+2x102+5x101+6x100+9x10-1+3x10-2+2x10-3
-
26Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
De esta manera podemos generalizar estasdos representaciones a
cualquier sistemanumrico.
Por lo general, N es la notacin posicional deun nmero:
N=( an...a3a2a1a0.a-1a-2a-3a-m)r
Donde r es la base de los sistemas numri-cos; a-1, a0, a1, a2,
etctera, son dgitos talescomo 0
-
27Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
X 8-2
= 2048 + 320 + 16 + 6 + 2/8 + 3/64 (de-cimal )
= (2390 19/64)10
SISTEMA HEXADECIMAL
En este sistema , r= 16 y los dgitos permiti-dos son
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E Y F.
Los dgitos de la A a la F corresponden a losvalores decimales de
10 hasta 15 , respecti-vamente. En el siguiente ejemplo se mues-tra
un nmero representativo.Ejemplo
N = (A 1 F. 1 C )16= 162161160 . 16-1 16-2= A x 162 + 1 X 161 +
F X 160 + 1 X 161 + C X 162Forma polinomial= 10 x 162 +1X 161 +15 x
160 +1 x 16-1 + 12 x 16-2 (decimal )= (2591 28/256) 10
CONVERSIN
(245)10 = ( X ) 2
= ( 1110101 )2
ejemplo
( 245 ) 10 = ( X )8
= ( 365 ) 8
ejemplo
( 245 )10 = ( X )16
= ( F5 ) 16
1.3.2. INDUCCIN MATEMTICA
Supngase que se tiene una proposicin S(n)para cada entero
positivo n, la cual es ver-dadera o falsa. Consideremos que:
S(1) es verdadera;
Si S(i) es verdadera para todo i < n+1, en-tonces S(n+1) es
verdadera
De modo que S(n) es verdadera para todoentero positivo
n.Ejemplo
Emplese induccin para probar que:
n! >= 2n-1 para n= 1,2,...
Debe demostrarse que es verdadera si n =1 , esto seconsigue
fcilmente debido a que:
1! = 1 >= 1 = 2 1-1Debe probarse que si i! >= 2 i-1 para
i= 1,2...,nentonces:
(n+1)! >= 2n
Supngase que i! >= 2 i-1< para i= 1,2,...,n, Entonces,en
particular, para i = n se tiene que:
2 245 2 122 1 2 61 0 2 30 1 2 15 0 2 7 1 2 3 1 2 1 1 0 1
8 245 8 30 5 8 3 6 8 0 3
16 245 16 15 5=5 0 15 = F
-
28Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
n! >= 2n-1
Es posible relacionar las ecuaciones anterioresobservando
que:
(n+1) ! = (n+1) (n!)
Ahora bien :
(n+1) ! = (n+1) (n!) >= (n+1) 2 n-1
>= 2 * 2n-1>= 2n
Consecuentemente es verdadera . Se ha ter-minado as el Paso
inductivo.
Puesto que se han verificado el Paso Bsico yel Paso Inductivo,
el principio de Induccinmatemtica establece que es verdadera
paratodo entero positivo n.
Trabajo en equipo
Representa en grupo nme-ros reales en base 2, 3 y 16.
Realiza en grupo las cuatrooperaciones elementales enotras
bases.
Revisa en grupo el principiode induccin matemtica.
Realizacin del ejercicio
Realiza ejercicios.
Realiza un resumen sobre eltema.
Investigacin documental
Demuestra por equipos laspropiedades de los enterosutilizando el
principio de in-duccin matemtica.
-
InformticaMatemticas Discretas
Informtica
29
PRCTICAS DE EJERCICIO Y LISTAS DE COTEJO
Portafolios de evidencias
Desarrollo de la Prctica
Unidad de Aprendizaje: 1 Prctica Nm.: 1
Nombre de la Prctica: Algoritmo del mtodo de burbuja. Propsito:
Al finalizar la prctica, el alumno realizar la prueba de escritorio
para el algo-ritmo de la burbuja para conocer el procedimiento de
ordenacin Escenario: Aula Duracin: 4 hrs.
Materiales Maquinaria y equipo Herramienta Hojas Lpiz Goma
-
InformticaMatemticas Discretas
Informtica
30
Procedimiento
1. Escribir un algoritmo guardando la sangra debida entre cada
instruccin. 2. Escribir Inicio 3. Escribir i se le asigna 1 4.
Escribir repetir 5. Escribir NoIntercambio se le asigna trufe 6.
Escribir desde j se le asigna hasta n-i hacer 7. Escribir s A[j]
> A[j+1] 8. Escribir entonces Intercambio (A[j], A[j+1]) 9.
Escribir NoIntercambio se le asigna false 10. Escribir fin-si 11.
Escribir fin-desde 12. Escribir i se le asigna y+1 13. Escribir
hasta-que NoIntercambio = Trufe 14. Escribir Fin 15. Realizar una
prueba de escritorio a este algoritmo.
-
InformticaMatemticas Discretas
Informtica
31
Lista de cotejo de la prctica nmero: 1
Algoritmo del mtodo de burbuja. Fecha:
Nombre del alumno:
Instrucciones: A continuacin se presentan los criterios que van
a ser verificados en el des-empeo del alumno mediante la observacin
del mismo. De la siguiente lista marque con una aquellas
observaciones que hayan sido cumplidas por el alumno durante su
desempeo.
Desarrollo S No No
aplica 1. Escribi un algoritmo guardando la sangra debida
entre
cada instruccin.
2. Escribi Inicio
3. Escribi i se le asigna 1
4. Escribi repetir
5. Escribi NoIntercambio se le asigna trufe
6. Escribi desde j se le asigna hasta n-i hacer
7. Escribi s A[j] > A[j+1]
8. Escribi entonces Intercambio (A[j], A[j+1])
9. Escribi NoIntercambio se le asigna false 10. Escribi
fin-si
11. Escribi fin-desde
12. Escribi i se le asigna y+1
13. Escribi hasta-que NoIntercambio = Trufe
14. Realizar una prueba de escritorio a este algoritmo.
15. Escribi Fin
-
InformticaMatemticas Discretas
Informtica
32
Observaciones:
Docente: Hora de inicio:
Hora de trmino: Evaluacin:
-
33Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
RESUMEN
Un algoritmo es una lista de instruccionesprecisas diseadas para
resolver un tipo deproblema particular, no solamente un
casoespecial. En general, esperamos que todosnuestros algoritmos
reciban una entrada ynos proporcionen el resultado necesariocomo
salida. De igual modo, un algoritmodebe proporcionar el mismo
resultado si re-petimos el valor para la entrada. Esto suce-de
cuando la lista de instrucciones es tal quecada resultado
intermedio proveniente de laejecucin de cada instruccin es nico y
slodepende de la entrada (inicial) y de cualquierresultado que se
pudiera haber obtenido encualquier de las instrucciones
precedentes.
Este captulo describe un conjunto de mto-dos distintos para un
mismo objetivo. Elanlisis matemtico de algunos de estosalgoritmos
muestra sus ventajas e inconve-nientes y hace consciente al
estudiante de laimportancia del anlisis en la eleccin debuenas
soluciones para un problema dado.La divisin en mtodos para realizar
la orde-nacin interna y externa pone de relieve lainfluencia
crucial de la representacin de losdatos en la seleccin de
algoritmos aplica-bles y en su complejidad. El espacio asigna-do a
los algoritmos de ordenacin no seratan amplio en este manual si no
fuera porque este tipo de algoritmos constituye unvehculo idneo
para ilustrar muchos princi-pios de programacin.
-
34Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
AUTOEVALUACIN DE CONOCIMIENTOS
1. Qu es el lgebra Booleana?
2. Cules son las operaciones bsicas del lgebra boolena?
3. Qu es un algoritmo?
4. Qu es una funcin?
5. Qu es una combinacin?
6. Qu es una permutacin?
7. Cul es el procedimiento para realizar circuitos
combinatorios?
8. Qu es una tabla de verdad?
9. Qu la induccin matemtica?
10. Qu procedimiento se sigue para hacer una induccin
matemtica?
Portafolios de evidencias
-
35Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
2CAPTULO 2 LGICA Y CONJUNTOS
Al finalizar el captulo, el alumno realizaroperaciones aplicando
algebra de conjuntos parala solucin de problemas.
-
36Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
MAPA CURRICULAR DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE
Resultados de AprendizajeUnidad de AprendizajeCurso - Mdulo
Ocupacional
Matemticas Discretas
1. Mtodo de Conteo yRecursin por medio deGrficas
1.1. Desarrol lar algoritmos mediantegrficas, ordenamientos y
rbolespara la solucin de problemas.
10 hrs.
30 hrs.
72 hrs.
1.2. O p e r a r t c n i c a s d e c o n t e o yrecursin a
partir del clculo deln m e r o d e e l e m e n t o s e n u
nconjunto finito para el desarrollo dea l g o r i t m o s e n l a s
o l u c i n d eproblemas 10 hrs.
1.3. Realizar operaciones aritmticas apartir de los sistemas de
numeracincon base 2, 3 y 16 para la solucinde problemas
10 hrs.
2. Lgica y Conjuntos
42 hrs.
-
37Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
SUMARIO
Conjunto finito
Operaciones con conjuntos
Relaciones
Funciones
Proposiciones
Proposiciones condicionales y equivalen-cia lgica
Cuantificadores
Circuitos combinatorios
lgebra booleana
Funciones booleanas
RESULTADO DE APRENDIZAJE
2.1. Realizar operaciones mediante la utili-zacin de los
conceptos bsicos del l-gebra de conjuntos para la solucin
deproblemas.
2.1.1.CONJUNTO FINITO
Un conjunto puede designarse enumerandosus elementos dentro de
llaves. Por ejemplosi A es el conjunto formado por los
cincoprimeros enteros positivos, escribimos A={1,2,3,4,5}. En este
caso 2 E A pero 6 nopertenece a A.
Otra notacin comn para este conjunto esA= { x | x es un entero y
1
-
38Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
C, podemos describir los conjuntos en tr-minos de las
propiedades que deben satis-facer sus elementos o enumerar los
elemen-tos suficientes para indicar, esperemos, unpatrn evidente.
Para cualquier conjunto fi-nito A, |A| denota el nmero de sus
ele-mentos y se conoce como el cardinal, o ta-mao, de A. En este
ejemplo, tenemos que|A| = 9 y |B| = 4.
En este caso, los conjuntos B yA son talesque todo elemento de B
es tambin un ele-mento de A. Esta importante relacin apa-rece en
toda la teora de conjuntos y susaplicaciones, y conduce a la
siguiente defini-cin.
2.1.2.OPERACIONES CONCONJUNTOS
Conjunto.- Llamamos conjunto a una colec-cin de objetos y a los
objetos que lo for-man se les llama elementos del conjunto.
Proposiciones.- Una expresin que deba serverdadera o falsa pero
no ambas, la llama-remos una proposicin.
Funcin.- Es una regla de correspondenciaque asocia a cada objeto
x de un conjuntollamado dominio un valor nico f(x) de unsegundo
conjunto. El conjunto de valores asobtenidos se llama rango de la
funcin.
Esto se escribe : I=A n B
Que se lee a Interseccin con B
La adicin y la multiplicacin de enterospositivos son operaciones
binarias cerradasen Z+.
Por ejemplo, cuando calculamos a + b , para
a, b E Z+ , hay dos operandos , a y b; porello, la operacin se
llama binaria. Como a+ b E Z+ , decimos que la operacin
binariaadicin ( en Z+ ) es cerrada. Sin embargo, laoperacin binaria
de la divisin ( con divisordistinto de cero ) no es cerrada en Z+ ,
yaque, por ejemplo , ( = 1 / 2) no perteneceZ+ , aunque 1,2 E Z+ .
Pero esta operacin ses cerrada cuando consideramos el conjuntoQ+ en
lugar del conjunto Z+
PERTENENCIA.- Para indicar que un elemen-to a pertenece a un
conjunto E debes escri-bir:
a E E
y lo lees: a pertenece a E
o bien: a es un elemento de E
Lo anterior podra indicarte, por ejemplo, queAlfredo (a)
pertenece a la familia Escandn(E).
Si b no pertenece a E, escribes:
A E E
CONJUNTO VACIO.- Si un conjunto carece deelementos , es decir,
si no tiene ningn ele-mento, es un conjunto vaco y se
denotacomo:
CONJUNTO UNITARIO.- Es un conjunto quepuede contar
exclusivamente de un solo ele-mento.
CONTENCIN.- Todo conjunto M compues-to de elementos que
pertenecen a un con-junto E, est incluido en el conjunto E, y
cons-tituye un subconjunto o una parte de E.
Se considera adems:
-
39Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
1) Todo conjunto E est incluido en si mis-mo.
E C E
2) El conjunto vaco est incluido en todoconjunto E: C E
3) A C B y B C A => A=B En efecto todoelemento de A pertenece
a B y todo ele-mento de B pertenece a A,, slo si A =B.
4) A C B y B C C => A C C Si todoelemento de A pertenece a A,
y todo ele-mento de B pertenece a C, entonces, todoelemento de A
pertenece a C.
SUBCONJUNTO.- El conjunto S de los ros sud-americanos est
totalmente incluido en elconjunto A de los ros de Amrica. Se
diceque entonces que est incluido en A, que Ses un subconjunto de
A, o que S es una par-te de A y se escribe:
S C A
RELACIN.- Cuando tienes una proposicinque es verdadera para
ciertos pares de unproducto cartesiano de dos conjuntos, se diceque
hay una relacin binaria de un conjuntohacia el otro conjunto.
INTERSECCIN.- El conjunto I formado porlos elementos comunes a
dos conjuntos A yB, se llama interseccin de esos dos
conjun-tos.
Operaciones con conjuntos:
a) A U B ( la unin de A y B ) = { x | x E A
V x E B }.
b) A B ( la interseccin de A y B) = { x |x E A x E B }.
c) A B ( la diferencia simtrica de A yB ) = { x | x E A V x E x
A B} = {x|x EA U B x A B }Ejemplo
Si U = { 1,2,3,...,9 ,10}, A = {1,2,3,4,5} y C =
{7,8,9},tenemos:
a) A B = {3,4,5}b) B C = {7}c) A B = { 1,2,6,7}d) A C = {
1,2,3,4,5,7,8,9}e) A U B = { 1,2,3,4,5,6,7}f) A C = g) A U C = {
1,2,3,4,5,6,7,8,9}
2.1.3 RELACIONES
Con A, B, U como en este ejemplo las rela-ciones de A en B.
a)
b) {(2,4)}
c) { (2,4), (2,5)}
d) { ( 2,4) , (3,4), (4,4)}
e) {(2,4), (3,4),(4,5)}
f) A X B
Como | A X B | = 6, se sigue de la defini-cin que 26 posible
relaciones de A en B.
En general, para conjuntos finitos A, B con |A | = m y | B | = n
, existen 2mn relaciones
-
40Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
de A en B, incluyendo la relacin vaca y lapropia relacin A X B
.
Tambin existen 2nm (=2mn ) relaciones de Ben A, una de las
cuales es tambin y otraes B X A. La razn por la que obtenemos
elmismo nmero de relaciones de B en A quede relaciones de A en B es
cualquier relacinR1 de B en A puede obtenerse a partir deuna nica
relacin R2 de A en B, invirtiendosimplemente las componentes de
cada parordenado en R2 .
Sea B= {1,2} N, U = P ( B ) y A = U = { ,{1}, {2}, {1,2}}. El
siguiente es un ejemplode una relacin binaria en A: R =
{(,),(,{1}), (,{2}), (,{1,2}), ({1},{1}),({1},{1,2}),
({2},{2}),({2},{1,2},({1,2},{1,2})}.
Podemos decir que la relacin R es la rela-cin inclusin, donde (
C, D) E R si y slo siC, D B y C D.
2.1.4.FUNCIONES
Para los conjuntos no vacos A, B, una fun-cin, o aplicacin, f de
A en B, que se deno-ta con f: A B, es una relacin de A en Ben la
que cada elemento de A aparece exac-tamente una vez como la primera
compo-nente de un par ordenado en la relacin.
Con frecuencia escribimos f(a) = b cuando(a,b) es un par
ordenado en la funcin f. Si(a,b) E f, b se conoce como la imagen de
amediante f, mientras que a es una preimagende b. Adems, la
definicin sugiere que f esun mtodo para asociar a cada a E A
unanica b E B; denotamos este proceso con f(a) = b. En consecuencia
, (a , b), ( a ,c) E f
implica b=c.
DOMINIO.- Es el conjunto de objetos a losque la funcin asigna
valores.
RANGO.- Es el conjunto de valores obteni-dos.Ejemplo
Si F es la funcin cuya regla es F(x)= x2 +1 y si seespecifica
que el dominio es {-1, 0, 1, 2, 3 } entoncesel rango es: { 1, 2, 5,
10}
Consideremos la funcin f: R R tal quef(x) = 3x + 7 para todo x E
R. Entoncespara cualesquiera x1, x2 E R, tenemos que
f(x1) = f(x2) 3x1 + 7 = 3x2 + 7 3x1 = 3x2 x1 = x2
por lo que la funcin dada f es uno a uno.
Por otro lado, supongamos que g: R Res la funcin definida como
g(x) = x4 xpara cada nmero real x. Entonces
g(0) = (0)4 0 = 0 y g(1) = (1)4 (1) = 1-1=0
En consecuencia , g no es uno a uno, ya queg(0) = g(1) pero 0 1,
es decir, g no es unoa uno ya que existen nmeros reales x1, x2tales
que g(x1) = g2(x) x1 x2.
3 10 2 5 1 2 0 1 -1 dominio Rango
-
41Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
Investigacin documental
Recopila informacin sobreconjunto, pertenencia, con-tencin,
subconjunto, con-junto vaco, conjunto univer-sal e igualdad de
conjuntos.
Trabajo en equipo
Elabora por equipos de uncuadro comparativo entre lasrelaciones
de las operacionesde unin, interseccin y com-plemento.
Realiza en grupo losdiagramas de Venn Euler conlas leyes de
Morgan.
Ejemplifica en grupo del con-cepto de relacin especifican-do
puntos en el productocartesianm.
Explica por equipos las rela-ciones de equivalencia:
pro-piedades reflexiva, simtricay transitiva.
Explica por equipos sobre lasdiferencias entre una relaciny una
funcin.
Localiza el dominio ycontradominio de una fun-cin.
Revisa en grupo funcionesinyectiva, suprayectiva ybiyectiva.
Realiza operaciones de com-posicin de funciones.
Estudio individual
Localiza el dominio y rangode una relacin.
Recopila informacin sobre elconcepto de funcin comomapeo.
RESULTADO DE APRENDIZAJE
2.2. Generar tablas de verdad, utilizandoconectivos y
cuantificadores para la de-terminacin del valor de verdad de
pro-posiciones lgicas.
2.2.1. PROPOSICIONES
Conectivos elementales
En el desarrollo de cualquier teora, se ha-cen afirmaciones en
forma de oraciones. Ta-les afirmaciones, llamadas enunciados (
oproposiciones ), son oracione declarativasque son verdaderas o
falsas ( pero no am-bas ). Por ejemplo, las siguientes son
propo-siciones y, para representarlas, utilizaremoslas letras
minsculas ( como p, q y r ).
p: La combinatoria es un curso obligatorio
-
42Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
para el segundo ao de bachillerato.
q: margaret Mitchel escribi Lo que el vien-to se llev
r: 2 + 3= 5
Por otro lado, no consideramos como pro-posiciones algo como la
exclamacin Qubonita tarde! o el mandato Levntate y haztus
ejercicios.
Las proposiciones anteriores, representadaspor las letras p,q y
r , se consideran propo-siciones primitivas, ya que no hay forma
dedescomponerlas en algo ms sencillo. Esposible obtener nuevas
proposiciones , apartir de otras existentes, de dos maneras.
1) Transformando una proposicin p en laproposicin p , que denota
su negaciny se lee como no p .
2) Combinando dos o ms proposicionesen una proposicin compuesta
mediantelas siguientes conectivas lgicas.
a) Conjuncin: La conjuncin de dos propo-siciones p,q se denota
como p q, quese lee como p y q. En nuestro ejem-plo, la proposicin
compuesta p q selee como la combinatoria es un cursoobligatorio
para el segundo ao de ba-chillerato y Margaret Mitchell escribi
loque el viento se llev
b) Disyuncin: La expresin p V q denota ladisyuncin de cualquier
par de proposi-ciones p, q y se lee como p o q . Porlo tanto, la
combinatoria es un cursoobligatorio para el segundo ao de
ba-chillerato o Margaret Mitchell escribi loque el viento se
llev.
c) Implicacin: Decimos que p implica qy escribimos p q para
designar laproposicin que es la implicacin de qpor p.
Tablas de verdad
TABLAS DE VERDAD
Las funciones booleanas se representan envarias formas. Las dos
formas ms popula-res son las tablas de verdad y los diagramasde
Venn. Las tablas de verdad representanlas funciones en forma
tabular, mientras quelos diagramas de Venn proporcionan una
re-presentacin grfica. Adems hay dos repre-sentaciones algebraicas
conocidas como laforma estndar ( o normal ) y la forma
can-nica.
Ejemplo
Dibuje la tabla de verdad para Z = AB + AC + A B C
Hay tres variables componentes : A, B y C.Entonces, habr 23 = 8
combinaciones devariables.
Estas ocho combinaciones se muestran enlas primeras tres
columnas de la tabla, estascombinaciones corresponden a los
nmerosbinarios de 000 hasta 111, o ( 0 )10 hasta(7)10 .
Para evaluar Z en la funcin del ejemplo, co-nociendo los valores
d A, B, Y C en cadarengln de la tabla de verdad, primero
ob-tendramos valores para A Y B y luego ge-neraramos valores para
AB , AC Y ABC almultiplicar los valores en las columnas apro-piadas
para cada rengln. Finalmente, deri-
-
43Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
varamos el valor de Z al sumar los valoresen las tres ltimas
columnas para cada ren-gln. Observe que evaluar A BC correspon-de a
multiplicar los valores de A y B yenseguida multiplicar el
valor
De manera similar, si ms valores han de su-marse, se suman de
dos en dos. Las colum-nas que corresponden a A,B , AB, AC YABC por
lo general no se muestran en latabla de verdad final.
Tabla de verdad para Z = AB+AC+ABC
2.2.2.P R O P O S I C I O N E SCONDICIONALES YEQUIVALENCIA
LGICA
Para las proposiciones primitivas p y q , pro-porciona las
tablas de verdad de las propo-siciones compuestas p V q y p q.Aqu
vemos que las tablas de verdad corres-pondientes de las dos
proposiciones p V yq y q son exactamente iguales.
Dos proposiciones s1, s2 son lgicamenteequivalentes, y
escribimos s1 s2 cuando laproposicin s1 es verdadera (
respectivamen-te, falsa) si y slo si la proposicin s2 es
verdadera ( respectivamente, falsa ).
Observe que cuando s1 s2 las proposicio-nes s1 y s2 dan lugar a
las mismas tablas deverdad ya que s1 y s2 tienen los mismos
valo-res de verdad para todas las opciones devalores de verdad de
sus componentes pri-mitivas.
2.2.3. CUANTIFICADORES
Comenzaremos con el universo de todos loscuadrilteros que hay en
el plano e intente-mos identificar los que se denominan
rec-tngulos.
Una persona podra decir que Si un cua-driltero es un rectngulo
entonces tiene cua-tro ngulos iguales.
Otro podra identificar estos cuadrilterosparticulares sealando
que si un cuadrilte-ro tiene cuatro ngulos iguales, entonces esun
rectngulo.
En este caso, ambas personas estn hacien-do proposiciones
cuantificadas en formaimplcita, con un cuantificador universal.
p(x) : x es un rectngulo
q(x) : x tiene cuatro ngulos iguales.
Podemos expresar lo que dice la primerapersona como
x [ p(x) q(x) ],
A B C A B AB AC ABC Z 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0
1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0
P q p p V q p q 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1
-
44Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
mientras que para la segunda escribiramos
x [ p(x) q(x) ]
Estudio individual
Elabora tablas de verdadpara la determinacin de lavalidez de
proposiciones sim-ples y compuestas.
Recopila informacin sobre eltema.
Trabajo en equipo
Valida por equipos de tauto-logas, utilizando tablas
deverdad.
Elabora en grupo conclusio-nes.
Revisa en grupo conectivoscondicional y bicondicional.
Define por equipos de pro-posiciones condicionales y
lacontrapositiva de una propo-sicin condicional.
Discute por equipos sobre ladiferencia entre una condi-cin
necesaria y una condi-cin suficiente.
Explica en grupo decuantificadores universal yexistencial.
Obten la negacin de propo-siciones que
contienencuantificadores.
Comparacin de resultados con otros com-paeros
Soluciona argumentos vli-dos e invlidos explicandosus
fallas.
Resumen
Elabora un resumen sobre eltema.
Realizacin del ejercicio
Realiza la prctica de ejerci-cio nm.2 Multiplicacin dedos
matrices cuadradas.
RESULTADO DE APRENDIZAJE
2.3. Solucionar problemas mediante el l-gebra booleana para la
construccin decircuitos combinatorios.
2.3.1. C I R C U I T O SCOMBINATORIOS
Supongamos que se tienen n objetos queson suficientemente
distintos para que po-
-
45Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
damos reconocer cada uno: diremos que es-tos objetos son
distinguibles. Para facilitarla exposicin supongamos que estn
rotula-dos con las letras a, b, y as sucesivamente,teniendo cada
objeto un rtulo distinto. Deahora en adelante aludiremos
simplementea a, por ejemplo, cuando queremos decir elobjeto cuyo
rtulo es a.
Nuestra primera definicin concierne al n-mero de formas en que
se pueden ordenarestos n objetos.
Definicin . Una permutacin n objetos esuna disposicin ordenada
de los objetos
Por ejemplo, si tenemos cuatro objetos a, b,c y d, podemos
disponerlos por orden de24 maneras distintas
El primer objeto de la permutacin se pue-de seleccionar de n
manera; una vez que seha seleccionado el objeto, el segundo se
pue-de seleccionar de n 1 formas distintas; unavez que se han
seleccionado el primero y elsegundo, el tercero se puede
seleccionar den 2 formas distintas, y as sucesivamente.Hay dos
posibilidades cuando se ha selec-cionado el penltimo objeto, y
solamente hayuna forma de seleccionar el ltimo objeto.El nmero
total de permutaciones de n ob-jetos es por tanto
n (n 1) (n 2) ...2 . 1 =n!
A continuacin consideraremos el nmero deformas de seleccionar un
cierto nmero de
estos objetos, independientemente del or-den en el cual hagamos
nuestras seleccio-nes.
Definicin. Una combinacin de r objetos deentre n objetos es una
seleccin de r objetossin tener en cuenta el orden
Por ejemplo, si tenemos cinco objetos a, b,c, d y e, podemos
seleccionar tres de ellosde 10 maneras distintas si no se tiene
encuenta el orden:
Una seleccin tal como eba no aparece enesta lista, puesto que es
lo mismo que abecuando no se tiene en cuenta el orden de
losobjetos.
Cuando hacemos nuestra seleccin de r ob-jetos de entre n, hay n
formas de efectuar laprimera opcin. Cuando se ha seleccionadoel
primer objeto, quedan n 1 formas paraseleccionar el segundo, y as
sucesivamente.Cuando se seleccionan el ltimo de los r ob-jetos,
quedan n r + 1 posibilidades.
2.3.2. LGEBRA BOOLEANA
Los lados derechos de las ecuacionesbooleanas son expresiones
booleanas. Unaexpresin est formada por operadores com-binados ( +,
. , /) con operandos, que sonvariables o constantes booleanas , (
1, 0 ).Cada variable puede tomar un valor de 0 o1. Conociendo el
valor de las variables com-ponentes de una expresin, uno puede
en-
abcd abdc acbd acdb adbc adcb bacd badc bcda bcda bdac bdca cabd
cadb cbad cbda cdab cdba dabc dacb dbac dbca dcab dcba
abc abd abe acd ace ade bcd ace bde cde
-
46Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
contrar el valor de la expresin misma.
La jerarqua de operaciones es importanteen la evaluacin de
expresiones. Siempre eje-cutamos la operacin NOT primero, seguidade
AND y luego de OR, en ausencia de pa-rntesis. Si hay parntesis, las
expresionesdentro de ellos se evalan primero (obser-vando la
jerarqua de operaciones indicada )y, por ltimo, se evalan las
expresiones res-tantes.
Evale la funcin Z= A B C + ( A B ) ( B +C), dada A = 0 , B = 1 y
C=1
Z = ( A * B * C )+ ( A * B ) * ( B + C )
= ( 0 * 1 * 1) + ( 0 * 1 ) * (1 + 1 )
= ( 0 * 0 * 1) + ( 1* 1) + (1 + 0 )
= ( 0 ) + (1) * (1)
= 0 +1
= 1
IGUALDAD DE EXPRESIONES
Se dice que dos expresiones son equivalen-tes si una puede ser
reemplazada por la otra.Es decir, para que dos expresiones sean
equi-valentes, deben obtener valores idnticospara todas las
combinaciones de valores desus variables componentes.
DUALIDAD
El dual o doble de una expresin se obtieneal reemplazar cada +
en la expresin por*, cada * por + , cada 1 por 0 ycada 0 por 1 , y
conservando la existencia detodos los parntesis, ya sea que estn
pre-sentes o implcitos.
El principio de dualidad establece que si unaecuacin es siempre
vlida en lgebrabooleana, su dual es tambin vlida.Ejemplo
Dado X + YZ = ( X +Y ) * ( X+ Z ) , su dual es X * ( Y +Z ) = (
X + Y ) + ( X *Z )
Note que la parte b) de cada postulado dado anterior-mente, es
el dual de la parte a)correspondiente.
-
47Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
POSTULADOS
P1. Existencia de 0 y 1 1. X + 0 = X
2. X * 1= X P2. Conmutativa 1 X + Y = Y + X
2 X * Y = Y * X P3. Asociatividad 1 X + ( Y +Z ) = ( X + Y ) +
Z
2 X * ( Y * Z ) = ( X * Y ) * Z P4. Distributividad 1) X + ( Y *
Z ) = ( X + Y ) * ( X + Z )
2) X * ( Y + Z ) = ( X * Y ) + ( X * Z ) P5. Complemento a) X +
X = 1
b) X * X = 0
TEOREMAS
T1.Idempotencia. a) X + X = X
b) X * X = X T2. Propiedades de 1 y 0. a) X + 1 = 1
b) X * 0 = 0 T3. Absorcin. a) X + XY = X
b) X * ( X+ Y ) = X T4. Absorcin. a) X + XY = X + Y
b) X * ( X + Y ) = X * Y T5. Ley de DeMorgan. a) ( X * Y) = X *
Y
b) ( X * Y) = X + Y T6. Consenso. a) XY + XZ +YZ = XY
b) (X + Y ) * (X + Z) * ( Y + Z ) = (X+Y ) * (X + Z )
T7. Involucin. a) (X)= X
2.3.3.FUNCIONES BOOLEANAS
POSTULADOS Y TEOREMAS
-
48Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
Representa grfica en formagrupal de funcionesbooleanas: en forma
normaldisyuntiva y forma normalconjuntiva.
Construye circuitos que su-men nmeros binarios.
Realizacin del ejercicio
Realiza la prctica de ejerci-cio nm.3 Aplicar el teore-ma 1 y 2
del lgebrabooleana.
Realiza la prctica de ejerci-cio nm.4 Resolucin deproblemas de
combinacin ypermutacin.
Trabajo en equipo
Define en grupo el conceptode las compuertas y, o, no;circuito
combinatorio y ex-presin boolena.
Comprueba en grupo de lasleyes asociativas,conmutativas,
distributiva deidentidad y decomplementacin de expre-siones
booleanas.
Revisa en grupo el lgebrabooleana y sus leyes.
Disea por equipos de circui-tos semisumador y sumador.
Comparacin de resultados con otros com-paeros
Representa circuitoscombinatorios por medio deexpresiones
booleanas y vi-ceversa.
Estudio individual
Resuelve circuitoscombinatorios.
Recopila informacin sobre elconcepto de funcinbooleana.
-
InformticaMatemticas Discretas
Informtica 49
PRCTICAS DE EJERCICIO Y LISTAS DE COTEJO
Portafolios de evidencias
Desarrollo de la Prctica
Unidad de Aprendizaje: 2 Prctica Nm. : 2
Nombre de la Prctica: Multiplicacin de dos matrices cuadradas.
Propsito: Al finalizar la prctica, el alumno realizar la
multiplicacin de dos matrices cua-dradas tomando en cuenta los
ndices para su multiplicacin Escenario: Aula Duracin: 2 hrs.
Materiales Maquinaria y equipo Herramienta Hojas Lpiz Goma
-
InformticaMatemticas Discretas
Informtica 50
Procedimiento
1. Escribir la matriz A que tiene los siguientes ndices (a11=5,
A12=3,A13=-1, A21=0, A22=1, A23=-3).
2. Escribir la matriz A que tiene los siguientes ndices (a31=-2,
A32=0, A33=-1, A41=1, A42= -1, A43=-3).
3. Escribir la matriz B que tiene los siguientes ndices (a11=2,
A12= 0, A21= -3, A22=4, A31= -1, A32= 3).
4. Multiplicar AB, P11 = (5) (2)+(3) (-3)+ (-1) (-1)= 10-9+1=2
5. Multiplicar AB, P12 = (5) (0)+(3) (4)+ (-1) (3)= 0+12-3=9 6.
Multiplicar AB, P21 = (0) (2)+(1) (-3)+ (-3) (-1)=0-3+3=0 7.
Multiplicar AB, P22 = (0) (0)+(1) (4)+ (-3) (3)=0+4-9=-5 8.
Multiplicar AB, P31 = (-2) (2)+(0) (-3)+ (1) (-1)=-4+0-1=-5 9.
Multiplicar AB, P32 = (-2) (0)+(0) (4)+ (1) (3)=0+0+3=3 10.
Multiplicar AB, P41 = (1) (2)+(-1) (-3)+ (3) (-1)=2+3-3=2 11.
Multiplicar AB, P42 = (1) (0)+(-1) (4)+ (3) (3)=0-4+9=5 12.
Escribir el resultado AB = (a11=2, a12=9, a21= 0, a22=-5, a31=-5,
a32=3, a41= 2,
a42=5).
-
InformticaMatemticas Discretas
Informtica 51
Lista de cotejo de la prctica nmero: 2
Multiplicacin de dos matrices cuadradas Fecha:
Nombre del alumno:
Instrucciones: A continuacin se presentan los criterios que van
a ser verificados en el des-empeo del alumno mediante la observacin
del mismo. De la siguiente lista marque con una aquellas
observaciones que hayan sido cumplidas por el alumno durante su
desempeo.
Desarrollo S No No
aplica 1. Escribi la matriz A que tiene los siguientes
ndices
(a11=5, A12=3, A13=-1, A21=0, A22=1, A23=-3).
2. Escribi la matriz A que tiene los siguientes ndices (a31=-2,
A32=0, A33=-1, A41=1, A42= -1, A43=-3).
3. Escribi la matriz B que tiene los siguientes ndices (a11=2,
A12= 0, A21= -3, A22=4, A31= -1, A32= 3).
4. Multiplic AB, P11 = (5) (2)+(3) (-3)+ (-1) (-1)= 10-9+1=2
5. Multiplic AB, P12 = (5) (0)+(3) (4)+ (-1) (3)= 0+12-3=9
6. Multiplic AB, P21 = (0) (2)+(1) (-3)+ (-3) (-1)=0-3+3=0 7.
Multiplic AB, P22 = (0) (0)+(1) (4)+ (-3) (3)=0+4-9=-5
8. Multiplic AB, P31 = (-2) (2)+(0) (-3)+ (1) (-1)=-4+0-1=-5
9. Multiplic AB, P32 = (-2) (0)+(0) (4)+ (1) (3)=0+0+3=3
10. Multiplic AB, P41 = (1) (2)+(-1) (-3)+ (3) (-1)=2+3-3=2
11. Multiplic AB, P42 = (1) (0)+(-1) (4)+ (3) (3)=0-4+9=5
12. Escribi el resultado AB = (a11=2, a12=9, a21= 0, a22=-5,
a31=-5, a32=3, a41= 2, a42=5).
-
InformticaMatemticas Discretas
Informtica 52
Observaciones:
Docente: Hora de inicio:
Hora de trmino: Evaluacin:
-
InformticaMatemticas Discretas
Informtica 53
Desarrollo de la Prctica
Unidad de Aprendizaje: 2 Prctica Nm. : 3
Nombre de la Prctica: Aplicar el teorema 1 y teorema 2 del
lgebra bolean. Propsito: Al finalizar la prctica, el alumno
realizar dos ejercicios del lgebra booleana para comprobar cada una
de estas Escenario: Aula Duracin: 2 hrs.
Materiales Maquinaria y equipo Herramienta Hojas Lpiz Goma
-
InformticaMatemticas Discretas
Informtica 54
Procedimiento
TEOREMA 1 1. Comprobar x+x=x 2. Escribir x+x= (x+x) por 1 3.
Escribir (x+x)(x+x). 4. Escribir x+xx 5. Escribir x+0 6. Escribir x
TEOREMA 2 7. Adquirir una hoja de papel 8. Comprobar x+1=1 9.
Escribir x+1=1 por (x+1). 10. Escribir = (x+x) (x+1) 11. Escribir =
x+x por 1 12. Escribir x+x 13. Escribir 1
-
InformticaMatemticas Discretas
Informtica 55
Lista de cotejo de la prctica nmero: 3
Aplicar el teorema 1 y teorema 2 del lgebra boolena Fecha:
Nombre del alumno:
Instrucciones: A continuacin se presentan los criterios que van
a ser verificados en el des-empeo del alumno mediante la observacin
del mismo. De la siguiente lista marque con una aquellas
observaciones que hayan sido cumplidas por el alumno durante su
desempeo.
Desarrollo S No No
aplica TEOREMA 1 1. Comprob x+x=x
2. Escribi x+x= (x+x) por 1
3. Escribi (x+x)(x+x)
4. Escribi x+xx
5. Escribi x+0
6. Escribi x
TEOREMA 2 7. Adquiri una hoja de papel
8. Comprob x+1=1
9. Escribi x+1=1 por (x+1)
10. Escribi = (x+x) (x+1)
11. Escribi = x+x por 1
12. Escribi x+x
13. Escribir 1
-
InformticaMatemticas Discretas
Informtica 56
Observaciones:
Docente: Hora de inicio:
Hora de trmino: Evaluacin:
-
InformticaMatemticas Discretas
Informtica 57
Desarrollo de la Prctica
Unidad de Aprendizaje: 2 Prctica Nm. : 4
Nombre de la Prctica: Resolucin de problemas de combinacin y
permutacin. Propsito: Al finalizar la prctica el alumno realizar
dos ejercicios de combinaciones y permutaciones. Escenario: Aula
Duracin: 4 hrs.
Materiales Maquinaria y equipo Herramienta Hojas Lpiz Goma
-
InformticaMatemticas Discretas
Informtica 58
Procedimiento
PERMUTACIN 1. - Escribir De cuntas maneras distintas se pueden
ordenar 5 personas en una fila? 2. - Escribir La primera persona
puede ocupar uno de los 5 puestos y, una vez que se ha
situado en uno de ellos 3. - Escribir La segunda puede ocupar
uno de los 4 restantes, etc. 4. - Escribir Se podrn colocar de 5
por 4 por 3 por 2 por 1 = 120 5. - Escribir P5 = 5! = 5 por 4 por 3
por 2 por 1 = 120 COMBINACIN 6. - Escribir Cuntos grupos de 7
miembros se pueden formar con 6 qumicos y 5 bi-
logos de manera que en cada uno se encuentren 4 qumicos? 7. -
Escribir Cada grupo de 4 qumicos de los 6 se puede asociar con cada
uno de 3 bi-
logos de los 5 8. - Escribir Por lo tanto el nmero de grupos es
= 6C4 por 5C3 = 15 por 10 = 150
-
InformticaMatemticas Discretas
Informtica 59
Lista de cotejo de la prctica nmero: 4
Resolucin de problemas de combinacin y permutacin Fecha:
Nombre del alumno:
Instrucciones: A continuacin se presentan los criterios que van
a ser verificados en el des-empeo del alumno mediante la observacin
del mismo. De la siguiente lista marque con una aquellas
observaciones que hayan sido cumplidas por el alumno durante su
desempeo.
Desarrollo S No No
aplica PERMUTACIN 1. Escribi De cuantas maneras distintas se
pueden orde-
nar 5 personas en una fila?
2. Escribi La primera persona puede ocupar uno de los 5 puestos
y, una vez que se ha situado en uno de ellos
3. Escribi La segunda puede ocupar uno de los 4 restan-tes,
etc.
4. Escribi Se podrn colocar de 5 por 4 por 3 por 2 por 1 =
120
5. Escribi P5 = 5 " "= 5 por 4 por 3 por 2 por 1 = 120
COMBINACIN 6. Escribi Cuntos grupos de 7 miembros se pueden
formar con 6 qumicos y 5 bilogos de manera que en ca-da uno se
encuentren
7. Escribi cada grupo de 4 qumicos de los 6 se puede asociar con
cada uno de 3 bilogos de los 5
8. Escribi Por lo tanto el nmero de grupos es = 6C4 por 5C3 = 15
por 10 = 150
-
InformticaMatemticas Discretas
Informtica 60
Observaciones:
Docente: Hora de inicio:
Hora de trmino: Evaluacin:
-
61Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
RESUMEN
La lgica es pues muy importante; ya quepermite resolver incluso
problemas a los quenunca se ha enfrentado el ser humano utili-zando
solamente su inteligencia y apoyn-dose de algunos conocimientos
acumulados,se pueden obtener nuevos inventos innova-ciones a los ya
existentes o simplemente uti-lizacin de los mismos.
El orden en que se presenta el documentoes el siguiente:
Primeramente se establece laimportancia de la lgica matemtica,
des-pus definimos el concepto de proposicin.Se establece el
significado y utilidad deconectivos lgicos para formar
proposicio-nes compuestas. Ms tarde abordamos lasproposiciones
condicionales ybicondicionales. Definimos tautologa, con-tradiccin
y contingente, y proporcionamosuna lista de las tautologas ms
importan-tes, as mismo explicamos a que se le llamaproposiciones
lgicamente equivalente apo-yndonos de tablas de verdad. Para
finali-zar; abordamos los mtodos de demostra-cin: directo y por
contradiccin, en dondeincluye reglas de inferencia.
En este trabajo se trata adems de presen-tar las explicaciones
con ejemplos que le seanfamiliares. Nuestro objetivo es que el
alum-
no aprenda a realizar demostraciones for-males por el mtodo
directo y el mtodopor contradiccin. Ya que la mayora de loslibros
comerciales nicamente se quedan enexplicacin y demostracin de
reglas de in-ferencia. Consideramos que s el alumnoaprende lgica
matemtica no tendr pro-blemas para aprender ciencias exacta y
sercapaz de programar computadoras, ya queun programa de
computadora no es otra cosaque una secuencia de pasos lgicos, que
lapersona establece para resolver n problemadeterminado.
Es importante mencionar que en las demos-traciones no hay un
solo camino para llegaral resultado. El camino puede ser mas largoo
ms corto dependiendo de las reglas deinferencia y tautologas que el
alumno selec-cione, pero definitivamente deber llegar alresultado.
Puede haber tantas solucionescomo alumnos se tenga en clase y todas
es-tar bien. Esto permite que el estudiante ten-ga confianza en la
aplicacin de reglas y fr-mulas. De tal manera que cuando llegue
aponer en practica esto, el sea capaz de in-ventar su propia
solucin, porque en la vidacada quien resuelve sus problemas
aplican-do las reglas de inferencia para relacionarlos
conocimientos y obtener el resultado.
-
62Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
AUTOEVALUACIN DE CONOCIMIENTOS
1. Cules son las caractersticas principales en un rbol?
2. Qu es diagrama de flujo?
3. Qu es una matriz?
4. Qu es rbol binario?
5. Qu es una ordenacin por burbuja?
6. Qu es una ordenacin?
7. Qu es un conjunto?
8. Qu operaciones se realizan en los conjuntos?
9. Qu caractersticas tiene un diagrama de Ven Euler?
10. Con qu tipo de relaciones cuentan las funciones?
Portafolios de evidencias
-
63Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIN DE CONOCIMIENTOS PORCAPTULO
CAPTULO 1
1. Es una estructura algebraica definida en variables y el
resultado un conjunto de elemen-tos B con dos operaciones.
2. AND, OR y NOT
3. Consta de un nmero finito de pasos de procedimiento que
especifican como obteneruna solucin a un problema.
4. Es una relacin que existe con cada uno de los elementos de A
y con cada uno de loselementos de B.
5. Una combinacin de nmeros de entes es una disposicin de una
parte de ellos prescin-diendo del orden, a diferencia de una
variacin.
6. Una permutacin de un cierto nmero de entes es una disposicin
en la que entran todosen un orden determinado.
7.
Se enuncia el problema
Se determina a nmero de variable de entrada y salida
Se asignan smbolos de letra a las variables de entrada y
salida
Se deriva la tabla de verdad
Se obtiene la funcin booleana
Se dibuja el diagrama lgico
8. Es una tabla de todos las combinaciones posibles de las
variables, que muestra la relacinentre los valores que pueden
tomarlas y el resultado de la operacin.
9. Es un procedimiento que sirve para demostrar un teorema
general, o una frmula, apartir de casos particulares.
10.
Se comprueba por simple sustitucin
Se supone un cierto valor para n=k
-
64Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
CAPTULO 2
1. Existe un nodo especial llamado raz los restantes nodos se
dividen en M > = 0 conjuntosdisjuntos T1, T2,..., Tn, cada uno
de los cuales es un rbol.
2. Es la secuencia de pasos de procesos y trayectorias de
decisin para algoritmos.
3. Es una tabla o arreglo rectangular de elementos que
usualmente son nmeros reales ocomplejos.
Derecho. Un rbol binario de cero nodos se dice que est vaco.
4. Es un conjunto finito de m nodos, que es bien vaco o consta
de un nodo raz con dossubrboles binarios llamados subrbol izquierdo
y subrbol
5. Se basa en la comparacin de elementos adyacentes de la lista
e intercambiar sus valoressi estn desordenados.
6. Es una operacin que consiste en disponer un conjunto de datos
en algn determinadoorden con respecto a uno de los campos de
elementos del conjunto.
7. Es una coleccin de objetos que tienen una relacin en
comn.
8. En los conjuntos se realizan las siguientes operaciones:
Complemento
Conjuncin
Interseccin
Disyuncin
9. Entre sus caractersticas se encuentran las de tener
grficamente la representacin de unconjunto.
10.
Inyectiva
Suprayectiva
Biyectiva
-
65Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
GLOSARIO
Lgica Es una secuencia de operaciones realizadas por el hardware
o porel software.
Son los circuitos y Chips que realizan las operaciones de
controlde la computadora.
Es la secuencia de instrucciones en un programa.
Conjunto de sentencias / instrucciones en lenguaje nativo, los
cua-les expresan la lgica de un programa.
Son aquellos que resolver un problema no ejecuta
operacionesmatemtica en el desarrollo de algoritmo.
Son aquellos algoritmos que ejecutan operaciones numricas
du-rante su ejecucin.
Son un conjunto de registros lgicos.
Es un almacenamiento colectivo de las bibliotecas de datos
queson requeridas y organizaciones para cubrir sus requisitos de
pro-cesos y recuperacin de informacin.
(dgito binario ) un dgito simple de un numero binario (1 0) enel
computador.
Grupo de bits adyacentes operados como una unidad, ( gruposde 8
bits ).
Memoria intermedia, una porcin reservada de la memoria, quese
utiliza para almacenar datos mientras son procesados.
Lenguaje de instrucciones simblicas de propsito general
paraprincipiantes, esta disponible en modo compilador e
interprete,siendo este ultimo el mas popular para el usuario
circunstancial ypara el programador principiante.
Es la representacin grfica de una secuencia de instrucciones
de
Lgica del hadware
Lgica del software o l-gica del programa
Algoritmo
Algoritmo cualitativo
Algoritmo cuantitativo
Archivo
Base de datos
Bit
Byte
Buffers
Basic: (Biginners allpurpus Simbolicinstrution code)
Diagrama de flujo
-
66Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
un programa que ejecuta un computador para obtener un
resultadodeterminado.
Programa en su forma original, tal y como fue escrito por el
programa-dor, el cdigo fuente no es ejecutable directamente por el
computa-dor, debe convertirse en lenguaje de maquina mediante
compiladores,ensambladores o interpretes.
Es el espacio en la memoria que sirve para almacenar
temporalmenteun dato durante el proceso, Su contenido varia durante
la ejecucindel programa.
El que solo puede almacenar valores ( dgitos ).
El que puede almacenar cualquier carcter ( dgito, letra, smbolo
es-pecial ).
Cdigo fuente
Campo
Campo numrico
C a m p oalfanumrico
Programa de computadora que produce un programa en lenguaje
demaquina, de un programa fuente que generalmente esta escrito por
elprogramador en un lenguaje de alto nivel.
Dispositivo o programa que recibe una por una las sentencias de
unprograma fuente, la analiza y la convierte en lenguaje de maquina
sino hay errores en ella. Tambin se puede producir el listado de
lasinstrucciones del programa.
En programacin es una estructura que contiene datos y recibe
unnombre nico dado por el programador, mantiene los datos
asigna-dos a ella hasta que un nuevo valor se le asigne o hasta que
el progra-ma termine.
Valor o conjunto de caracteres que permanecen invariables
durante laejecucin del programa.
Campo o variable que sirve para llevar una suma o cuenta de
diferen-tes valores.
El termino que usamos para describir las seales con las cuales
trabajala computadora es dato; Aunque las palabras dato e
informacin mu-chas veces son usada indistintamente, si existe una
diferencia impor-tante entre ellas. En un sentido estricto, los
datos son las sealesindividuales en bruto y sin ningn significado
que manipulan lascomputadoras para producir informacin.
Compilador
Interprete
Variable
Constante
Acumulador
Dato
-
67Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
Es la parte tangible del computador.
Conjunto de programas, documentos, procesamientos y
rutinasasociadas con la operacin de un sistema de computadoras,
esdecir, la parte intangible de computador.
Es lo que se obtiene del procesamiento de datos, es el
resulta-do final.
Es una coleccin de instrucciones que indican a la computadoraque
debe hacer. Un programa se denomina software, por lotanto ,
programa, software e instruccin son sinnimos.
Instruccin escrita por el programador en un lenguaje de
pro-gramacin para plantear al computador el proceso que
debeejecutar.
Instrucciones en lenguaje maquina producida por el
computa-dor.
Memoria de acceso aleatorio cuyo contenido permanecer pre-sente
mientras el computador permanezca encendido.
Memoria de solo lectura. Chip de memoria que solo
almacenapermanentemente instrucciones y datos de los
fabricantes.
Es un grupo de campos relacionados que se usan para almace-nar
datos acerca de un tema ( registro maestro ) actividad(registro de
transaccin ).
Herramienta de anlisis de programacin. Versiones falsificadasy
abreviadas de las actuales instrucciones de computadora queson
escritas en lenguaje ordinario natural.
Programa ( conjunto de instrucciones ), que desde otro progra-ma
se pueden llamar a ejecucin bien se puede, decir grupode
instrucciones que realizan una funcin especifica, tal comouna
funcin o marco. Una subrutina grande se denomina usual-mente * *
MODULO * * * * PROCEDIMIENTO * *, pero todoslos trminos se utilizan
de manera alternativa.
Hardware
Software
Informacin
Programa
Subrutina
Programa fuente
Programa objeto
Memoria Ram (RadomAccess Memory)
Memoria Rom
Registro
Pseudocdigo
-
68Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
En programacin, una rutina que hace una tarea particular.
Cuan-do el programa pasa el control a una funcin, sta realiza la
tareay devuelve el control a la instruccin siguiente a la que
llamo.
Es el conjunto de instrucciones dentro del mismo programa, quese
puede llamar a ejecucin desde diferentes partes del
mismoprograma.
Una conexin e interaccion entre hardware, software y usuario,
esdecir como la plataforma o medio de comunicacin entre usuarioo
programa.
Cualquier individuo que iteracta con la computadora a nivel
deaplicacin. Los programadores, operadores y otro personal tcni-co
no son considerados usuarios cuando trabajan con la computa-dora a
nivel profesional.
Un individuo que disea la lgica y escribe las lneas de cdigo
deun programa de computadora.
Individuo que escribe programas de aplicacin en una organiza-cin
usuaria. La mayora de los programadores son programado-res de
aplicacin.
En el departamento de procesamiento de datos de una gran
orga-nizacin, tcnico experto en parte o en la totalidad de software
desistema de computadora, tal como el sistema operativo, el
pro-grama de control de red y el sistema de administracin de basede
datos. Los programadores de sistemas son responsables
delrendimiento eficiente de los sistemas de computacin.
Es un dispositivo que se construye para trabajar como otro.
Es el conjunto de registros de hardware cantidad reservada
dememoria principal que se usa para clculos aritmticos o para
elseguimiento de las operaciones internas. Las pilas se usan
pararealizar el seguimiento de la secuencia de rutinas que se
llamen enun programa.
La memoria interna de la computadora ( RAM ).
Para que se pueda ejecutar un programa, debe estar en
lenguaje
Funcin
Rutina
Interfaz
Usuario
programador
Programador deaplicaciones
Programador de sis-temas
Emulador
Pila
Almacenamientoprimario
Cdigo mquina
-
69Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
de maquina de la computadora que lo esta ejecutando.
Los archivos de programa a menudo se denominan
programasejecutables, puesto que, al teclear su nombre al hacer
clic sobreel icono que le corresponda en un entorno grfico, logra
que lacomputadora cargue y corra, o ejecute las instrucciones del
archi-vo.
Es un programa que asiste en la depuracin de un programa.
Es una tcnica que simula mas memoria que la que realmenteexiste
y permita a la computadora ejecutar varios programas
si-multneamente, sin importar su tamao.
Es un programa de computador preparado por un programadorque
toma las instrucciones que no estn en lenguaje de maquinay las
convierte en una forma que puede ser usada por el compu-tador.
Cualquier dispositivo de hardware conectado a una
computado-ra.
Conjunto de caracteres que se utilizan para dirigir un sistema
deprocesamiento de datos en la ejecucin de una operacin .
Es la salida directa de un ensamblador un compilador.
Es un software empleado para crear y manipular archivos detexto,
tales como programas en lenguaje fuente, lista de nom-bres y
direcciones.
Programa ejecutable
Depurador
Almacenamiento vir-tual
P r o g r a m aensamblador
Perifricos
Instruccin o senten-cia
Mdulo objeto
Editor
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70Informtica
Matemticas Discretas
Informtica
Campo de aplicacin Parte constitutiva de una Norma Tcnica de
Competencia Laboralque describe el conjunto de circunstancias
laborales posibles enlas que una persona debe ser capaz de
demostrar dominio sobreel elemento de competencia. Es decir, el
campo de aplicacindescribe el ambiente laboral donde el individuo
aplica el elemen-to de competencia y ofrece indicadores para juzgar
que las de-mostraciones del desempeo son suficientes para
validarlo.
Competencia laboral Aptitud de un individuo para desempear una
misma funcinproductiva en diferentes contextos y con base en los
requerimien-tos de calidad esperados por el sector productivo. Esta
aptitudse logra con la adquisicin y desarrollo de conocimientos,
habili-dades y capacidades que son expresados en el saber, el hacer
y elsaber-hacer.
Criterio de desempeo Parte constitutiva de una Norma Tcnica de
Competencia Laboralque se refiere al conjunto de atributos que
debern presentartanto los resultados obtenidos, como el desempeo
mismo de unelemento de competencia; es decir, el cmo y el qu se
espera deldesempeo. Los criterios de desempeo se asocian a los
elemen-tos de competencia. Son una descripcin de los requisitos
decalidad para el resultado obtenido en el desempeo laboral;
per-miten establecer si se alcanza o no el resultado descrito en
elelemento de competencia.
Elemento decompetencia
Es la descripcin de la realizacin que debe ser lograda por
unapersona en al mbito de su ocu