Mat In Format Or 10

Informator o egzaminie maturalnymod

2010 roku

Warszawa 2008

Opracowano w Centralnej Komisji Egzaminacyjnej we wsppracy z okrgowymi komisjami egzaminacyjnymi

SPIS TRECI

I. II.

Wstp ................................................................................................. 5 Podstawy prawne egzaminu.................................................................... 7

III. Matura w pytaniach uczniw ................................................................... 9 IV. Struktura i forma egzaminu .................................................................. 11 V.Wymagania egzaminacyjne .................................................................. 13

VI. Szczegowy opis standardw egzaminacyjnych ...................................... 19 VII. Przykadowe arkusze i schematy oceniania ............................................. 33 VIII. Zbir przykadowych zada maturalnych ................................................ 75

3

I. WSTP

Oddajemy do rk Pastwa Informator o egzaminie maturalnym z matematyki w nadziei, e pomoe w przygotowaniu si do egzaminu maturalnego w roku 2010 i nastpnych sesjach egzaminacyjnych. Znajd w nim Pastwo tekst Standardw wymaga egzaminacyjnych, opis wymaga egzaminacyjnych wraz z przykadowymi zadaniami egzaminacyjnymi. W maju 2010 r. matematyk jako przedmiot obowizkowy bd zdawa wszyscy przystpujcy do matury. O zasadach tego egzaminu informowalimy ju w zeszym roku, a w tym uzupeniamy zestaw informacj o przykadowe ktry arkusze w egzaminacyjne przygotowaniach dla do poziomu egzaminu podstawowego, ktry bdzie obowizywa wszystkich maturzystw. Publikujemy rwnie przykadowych zada, pomoe maturalnego w 2010 roku. Chcemy przekaza Pastwu rzeteln informacj, liczc na wszelkie uwagi i komentarze, ktre by moe wska na konieczno pewnych usprawnie w przeprowadzaniu tego egzaminu. Sugerujemy zatem uwane zapoznanie si z Informatorem. Jest to wane zarwno dla Pastwa, jak i dla nas. Pastwo dowiedz si, jak bdzie wyglda egzamin, natomiast ewentualne uwagi i komentarze bd przydatne do poprawy jakoci i rzetelnoci egzaminu oraz sposobw informowania o nim. Pastwa sukces podczas egzaminu, to rwnie nasza satysfakcja. yczymy zatem sukcesu! Dyrektor Centralnej Komisji Egzaminacyjnej

5

II. PODSTAWY PRAWNE EGZAMINU

Podstawowym aktem prawnym wprowadzajcym zewntrzny system oceniania jest ustawa o systemie owiaty z 1991 roku wraz z pniejszymi zmianami (DzU z 2004 r. nr 256, poz. 2572 z pniejszymi zmianami). Aktami prawnymi regulujcymi przeprowadzanie egzaminw maturalnych s: 1. Rozporzdzenie Ministra Edukacji Narodowej z dnia 25 wrzenia 2008 r. zmieniajce rozporzdzenie w sprawie warunkw i sposobu oceniania, klasyfikowania i promowania uczniw i suchaczy oraz przeprowadzania sprawdzianw i egzaminw w szkoach publicznych (DzU z 2008 r., Nr 178, poz. 1097). 2. Rozporzdzenie Ministra Edukacji Narodowej z dnia 28 sierpnia 2007 r. zmieniajce rozporzdzenie w sprawie standardw wymaga bdcych podstaw przeprowadzania sprawdzianw i egzaminw(DzU z 2007 r., Nr 157, poz. 1102). 3. Rozporzdzenie Ministra Edukacji Narodowej z dnia 19 padziernika 1999 r. w sprawie wymaga, jakim powinni odpowiada egzaminatorzy okrgowych komisji egzaminacyjnych oraz warunkw wpisywania i skrelania egzaminatorw z ewidencji egzaminatorw (DzU z 1999 r. Nr 93, poz.1071).

7

III. MATURA W PYTANIACH UCZNIW

1. Dlaczego zostay zmienione standardy wymaga egzaminacyjnych? 2. Jaka jest struktura nowych standardw wymaga?

Ulega zmianie podstawa programowa z matematyki, za standardy wymaga egzaminacyjnych musz by zgodne z obowizujc podstaw. Nowe standardy wymaga egzaminacyjnych maj dwie czci. Pierwsza cz opisuje pi podstawowych obszarw umiejtnoci matematycznych. Druga cz podaje list szczegowych umiejtnoci, ktrych opanowanie bdzie sprawdzane na egzaminie maturalnym. Lista ta cile odpowiada hasom z podstawy programowej. W analizach porwnawczych systemw edukacyjnych w ramach Unii Europejskiej matematyka stanowi obecnie bardzo wany element jako podstawowy czynnik warunkujcy postp naukowo-techniczny Europy. Nowe ujcie standardw wydobywa na plan pierwszy podstawowe cele ksztacenia uczniw w zakresie matematyki: umiejtno modelowania, mylenia strategicznego i rozumowania. Matematyki uczymy po to, by ucze nauczy si rozumowa, planowa strategi itp., a nie wycznie po to, by umia rozwiza rwnanie kwadratowe lub nierwno. Taki sposb formuowania wymaga jest obecnie powszechnie przyjty w wiecie, zarwno przez systemy egzaminacyjne, jak i przez midzynarodowe badania porwnawcze, np. badania OECD PISA. W warstwie praktycznej nic si nie zmieni. Zdajcy nadal bdzie musia po prostu jak najlepiej rozwiza pewn liczb zada. Zadania te w wikszoci nie bd odbiega od tych, jakie znamy z dotychczasowych sesji egzaminu maturalnego. Klasyfikacja tych zada w ramach schematu oglnych umiejtnoci nie ma znaczenia dla samego procesu zdawania egzaminu. Jednake ucze, ktry chce sobie zapewni dobry wynik, gwarantujcy przyjcie na renomowan uczelni, powinien liczy si z tym, e sama znajomo podstawowych algorytmw nie gwarantuje sukcesu powinien powici take pewn ilo czasu na zadania, w ktrych bdzie wiczy umiejtno rozumowania. 1. Poszczeglne arkusze egzaminacyjne z kadego przedmiotu s sprawdzane i oceniane przez egzaminatorw zewntrznych, przeszkolonych przez okrgowe komisje egzaminacyjne i wpisanych do ewidencji egzaminatorw. Kady oceniony arkusz jest weryfikowany przez egzaminatora zwanego weryfikatorem. 2. Wynik egzaminu jest wyraony w procentach. 3. Wynik egzaminu z dodatkowego przedmiotu nie ma wpywu na zdanie egzaminu, ale odnotowuje si go na wiadectwie dojrzaoci. 4. Komisja okrgowa sporzdza list osb, zawierajc uzyskane przez te osoby wyniki, i przesya j do szkoy wraz ze wiadectwami dojrzaoci. 9

3. Dlaczego wybrano tak struktur standardw?

4. Jaki efekt przyniesie ta zmiana dla zdajcych egzamin maturalny?

5. Jak sprawdzane s prace i ogaszane wyniki matury?

6. Kiedy egzamin maturalny uznawany jest za zdany?

Egzamin jest zdany, jeeli zdajcy z kadego z trzech obowizkowych przedmiotw (w przypadku jzykw zarwno w czci ustnej, jak i pisemnej), uzyska minimum 30% punktw moliwych do uzyskania za dany egzamin na zadeklarowanym poziomie. Zdajcy otrzymuje wiadectwo dojrzaoci i jego odpis wydane przez komisj okrgow. Egzamin uwaa si za niezdany jeeli: a) zdajcy z ktregokolwiek egzaminu obowizkowego, w czci ustnej lub pisemnej, otrzyma mniej ni 30% punktw moliwych do uzyskania na zadeklarowanym poziomie, b) w trakcie egzaminu stwierdzono, e zdajcy pracuje niesamodzielnie i jego egzamin zosta przerwany i uniewaniony, c) w trakcie sprawdzania prac egzaminator stwierdzi niesamodzielno rozwizywania zada egzaminacyjnych i uniewaniono egzamin. Na wniosek zdajcego komisja okrgowa udostpnia zdajcemu do wgldu sprawdzone arkusze, w miejscu i czasie okrelonym przez dyrektora OKE.

7. Kiedy egzamin maturalny uznawany jest za niezdany?

8. Czy prace maturalne po sprawdzeniu bd do wgldu dla zdajcego? 9. Czy matura zapewni dostanie si na wybrany kierunek studiw?

Matura nie daje gwarancji automatycznego dostania si na studia. Warunki rekrutacji na dan uczelni ustala senat tej uczelni. Ustawa o szkolnictwie wyszym zastrzega, e uczelnie nie bd organizowa egzaminw wstpnych dublujcych matur. To znaczy, jeeli kandydat na studia zda na maturze egzamin z wymaganego na dany wydzia przedmiotu, to jego wynik z egzaminu maturalnego bdzie brany pod uwag w postpowaniu kwalifikacyjnym.

10

IV. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU

Egzamin maturalny z matematyki jest egzaminem pisemnym sprawdzajcym wiadomoci i umiejtnoci okrelone w Standardach wymaga egzaminacyjnych i polega na rozwizaniu zada zawartych w arkuszach egzaminacyjnych. 1. Egzamin maturalny z matematyki zdawanej jako przedmiot obowizkowy jest zdawany na poziomie podstawowym. Egzamin trwa 170 minut i polega na rozwizaniu zada egzaminacyjnych sprawdzajcych rozumienie poj i umiejtno ich zastosowania w yciu codziennym oraz zada o charakterze problemowym. Zadania egzaminacyjne obejmuj zakres wymaga dla poziomu podstawowego. 2. Egzamin maturalny z matematyki zdawanej jako przedmiot dodatkowy jest zdawany na poziomie rozszerzonym. Egzamin trwa 180 minut i polega na rozwizaniu zada egzaminacyjnych wymagajcych rozwizywania problemw matematycznych. Zadania egzaminacyjne obejmuj zakres wymaga dla poziomu rozszerzonego. Konstrukcja arkusza nie zmienia si w stosunku do lat ubiegych. Opis arkusza dla poziomu podstawowego Arkusz egzaminacyjny skada si z trzech grup zada: 1. grupa zawiera od 20 do 30 zada zamknitych. Do kadego z tych zada s podane cztery odpowiedzi, z ktrych tylko jedna jest poprawna. Kade zadanie z tej grupy jest punktowane w skali 0 - 1. Zdajcy udziela odpowiedzi, zaznaczajc je na karcie odpowiedzi. 2. grupa zawiera od 5 do 10 zada otwartych krtkiej odpowiedzi punktowanych w skali 0-2. 3. grupa zawiera od 3 do 5 zada otwartych rozszerzonej odpowiedzi punktowanych w skali 0-4, albo 0-5, albo 0-6. Za rozwizanie wszystkich zada zdajcy moe uzyska maksymalnie 50 punktw. Zasady oceniania arkuszy egzaminacyjnych 1. Zadania otwarte w arkuszach egzaminacyjnych sprawdzaj i oceniaj egzaminatorzy powoani przez dyrektora okrgowej komisji egzaminacyjnej. 2. Rozwizania poszczeglnych zada oceniane s na podstawie szczegowych kryteriw oceniania, jednolitych w caym kraju. 3. Egzaminatorzy w szczeglnoci zwracaj uwag na: poprawno merytoryczn rozwiza, kompletno prezentacji rozwiza zada wykonanie czstkowych oblicze i przedstawienie sposobu rozumowania. 4. Ocenianiu podlegaj tylko te fragmenty pracy zdajcego, ktre dotycz polecenia. Komentarze, nawet poprawne, nie majce zwizku z poleceniem nie podlegaj ocenianiu. 5. Gdy do jednego polecenia zdajcy podaje kilka rozwiza (jedno prawidowe, inne bdne), to egzaminator nie przyznaje punktw. 6. Za cakowicie poprawne rozwizania zada, uwzgldniajce inny tok rozumowania ni podany w schemacie punktowania, przyznaje si maksymaln liczb punktw. 7. Zapisy w brudnopisie nie s oceniane. 8. Zdajcy zda egzamin maturalny z matematyki, jeeli otrzyma co najmniej 30% punktw moliwych do uzyskania za rozwizanie zada z arkusza dla poziomu podstawowego. 9. Wynik egzaminu maturalnego z matematyki ustalony przez komisj okrgow jest ostateczny.

11

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

Standardy wymaga egzaminacyjnychZdajcy posiada umiejtnoci w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY interpretuje tekst matematyczny i formuuje uzyskane wyniki POZIOM ROZSZERZONY

1. wykorzystania i tworzenia informacji: uywa jzyka matematycznego do opisu rozumowania i uzyskanych wynikw

2. wykorzystania i interpretowania reprezentacji: uywa prostych, dobrze znanych obiektw matematycznych rozumie i interpretuje pojcia matematyczne i operuje obiektami matematycznymi buduje model matematyczny danej sytuacji, uwzgldniajc ograniczenia i zastrzeenia

3. modelowania matematycznego: dobiera model matematyczny do prostej sytuacji

4. uycia i tworzenia strategii: stosuje strategi, ktra jasno wynika z treci zadania prowadzi proste rozumowanie, skadajce si z niewielkiej liczby krokw. Zdajcy demonstruje poziom rozwizujc zadania, w ktrych: POZIOM PODSTAWOWY 1) liczby rzeczywiste a) planuje i wykonuje obliczenia na liczbach rzeczywistych; w szczeglnoci oblicza pierwiastki, w tym pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych, b) bada, czy wynik oblicze jest liczb wymiern, tworzy strategi rozwizania problemu

5. rozumowania i argumentacji: tworzy acuch argumentw i uzasadnia jego poprawno. powyszych umiejtnoci,

opanowania

POZIOM ROZSZERZONY jak na poziomie podstawowym oraz: a) stosuje twierdzenie o rozkadzie liczby naturalnej na czynniki pierwsze; wyznacza najwikszy wsplny dzielnik i najmniejsz wspln wielokrotno pary liczb naturalnych,

b) stosuje wzr na logarytm potgi i wzr c) wyznacza rozwinicia dziesitne; na zamian podstawy logarytmu, znajduje przyblienia liczb; wykorzystuje pojcie bdu przyblienia, d) stosuje pojcie procentu i punktu procentowego w obliczeniach, e) posuguje si pojciem osi liczbowej i przedziau liczbowego; zaznacza przedziay na osi liczbowej,

13

f) wykorzystuje pojcie wartoci bezwzgldnej i jej interpretacj geometryczn, zaznacza na osi liczbowej zbiory opisane za pomoc rwna i nierwnoci typu: x - a = b ,x - a >b, x a < b ,

g) oblicza potgi o wykadnikach wymiernych oraz stosuje prawa dziaa na potgach o wykadnikach wymiernych i rzeczywistych, h) zna definicj logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potgi o wykadniku naturalnym, 2) wyraenia algebraiczne: a) posuguje si wzorami skrconego mnoenia: (a b)2, (a b)3, a2 b2, a3 b3, b) rozkada wielomian na czynniki stosujc wzory skrconego mnoenia, grupowanie wyrazw, wyczanie wsplnego czynnika poza nawias, c) dodaje, odejmuje i mnoy wielomiany, d) wyznacza dziedzin prostego wyraenia wymiernego z jedn zmienn, w ktrym w mianowniku wystpuj tylko wyraenia dajce si sprowadzi do iloczynu wielomianw liniowych i kwadratowych za pomoc przeksztace opisanych w punkcie b), e) oblicza warto liczbow wyraenia wymiernego dla danej wartoci zmiennej, f) dodaje, odejmuje, mnoy i dzieli wyraenia wymierne; skraca i rozszerza wyraenia wymierne, 3) rwnania i nierwnoci: a) rozwizuje rwnania i nierwnoci kwadratowe; zapisuje rozwizanie w postaci sumy przedziaw, b) rozwizuje zadania (rwnie umieszczone w kontekcie praktycznym), prowadzce do rwna i nierwnoci kwadratowych, c) rozwizuje ukady rwna, prowadzce do rwna kwadratowych, d) rozwizuje rwnania wielomianowe metod rozkadu na czynniki, e) rozwizuje proste rwnania wymierne, prowadzce do rwna liniowych lub x +1 = 2; kwadratowych, np. x +3 jak na poziomie podstawowym oraz: a) stosuje wzory Vitea, b) rozwizuje rwnania i nierwnoci kwadratowe z parametrem, przeprowadza dyskusj i wyciga z niej wnioski, c) rozwizuje rwnania i nierwnoci wielomianowe, d) rozwizuje proste rwnania i nierwnoci wymierne, np.x +1 2; x+3

e) rozwizuje proste rwnania i nierwnoci z wartoci bezwzgldn, typu:

14

x +1 = 2x , x f) rozwizuje zadania (rwnie umieszczone w kontekcie praktycznym), prowadzce do prostych rwna wymiernych,

x +1 +2 > 3

i x +1 + x +2 < 3,

4) funkcje: a) okrela funkcj za pomoc wzoru, tabeli, wykresu, opisu sownego, b) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzin i zbir wartoci, miejsca zerowe, maksymalne przedziay, w ktrych funkcja ronie, maleje, ma stay znak, c) sporzdza wykres funkcji speniajcej podane warunki, d) potrafi na podstawie wykresu funkcji y = f ( x ) naszkicowa wykresy funkcjiy = f ( x + a) , y = f ( x ) + a , y = f ( x ) , y = f ( x ) ,

jak na poziomie podstawowym oraz: majc dany wykres funkcji y = f ( x ) potrafi naszkicowa: a) wykres funkcji y = f ( x ) , b) wykresy funkcji y = c f ( x ) , y = f ( c x ) , gdzie f jest funkcj trygonometryczn, c) wykres bdcy efektem wykonania kilku operacji, na przykad y = f ( x + 2 ) 3 , d) wykresy funkcji logarytmicznych dla rnych podstaw, e) rozwizuje zadania (rwnie umieszczone w kontekcie praktycznym) z wykorzystaniem takich funkcji,

e) sporzdza wykresy funkcji liniowych, f) wyznacza wzr funkcji liniowej, g) wykorzystuje interpretacj wspczynnikw we wzorze funkcji liniowej, h) sporzdza wykresy funkcji kwadratowych, i) wyznacza wzr funkcji kwadratowej, j) wyznacza miejsca zerowe funkcji kwadratowej, k) wyznacza warto najmniejsz i warto najwiksz funkcji kwadratowej w przedziale domknitym, l) rozwizuje zadania (rwnie umieszczone w kontekcie praktycznym), prowadzce do badania funkcji kwadratowej,

m) sporzdza wykres, odczytuje wasnoci i rozwizuje zadania umieszczone w kontekcie praktycznym zwizane z proporcjonalnoci odwrotn, n) sporzdza wykresy funkcji wykadniczych dla rnych podstaw i rozwizuje zadania umieszczone w kontekcie praktycznym,

15

5) cigi liczbowe: a) wyznacza wyrazy cigu okrelonego wzorem oglnym, b) bada, czy dany cig jest arytmetyczny lub geometryczny, c) stosuje wzory na n-ty wyraz i sum n pocztkowych wyrazw cigu arytmetycznego i cigu geometrycznego, rwnie umieszczone w kontekcie praktycznym, 6) trygonometria:

jak na poziomie podstawowym oraz wyznacza wyrazy cigw zdefiniowanych rekurencyjnie,

jak na poziomie podstawowym oraz: a) wykorzystuje definicje i wyznacza wartoci funkcji trygonometrycznych dla a) stosuje miar ukow i miar stopniow ktw ostrych, kta, b) wyznacza wartoci funkcji trygonometrycznych dowolnego kta przez sprowadzenie do przypadku kta c) stosuje proste zwizki midzy funkcjami ostrego, trygonometrycznymi kta ostrego, c) posuguje si wykresami funkcji d) znajc warto jednej z funkcji trygonometrycznych przy rozwizywaniu trygonometrycznych, wyznacza wartoci nierwnoci typu sin x < a , cos x > a , pozostaych funkcji tego samego kta tgx > a , ostrego, d) stosuje zwizki: sin2 x + cos2 x = 1 , sin x tgx = oraz wzory na sinus i cos x cosinus sumy i rnicy ktw w dowodach tosamoci trygonometrycznych, e) rozwizuje rwnania i nierwnoci trygonometryczne, na przykad 1 1 sin2x = , sin2 x + cos x = 1 , cos 2x < 2 2 7) planimetria: a) korzysta ze zwizkw midzy ktem rodkowym, ktem wpisanym i ktem midzy styczn a ciciw okrgu, b) wykorzystuje wasnoci figur podobnych w zadaniach, w tym umieszczonych w kontekcie praktycznym, c) znajduje zwizki miarowe w figurach paskich, take z zastosowaniem trygonometrii, rwnie w zadaniach umieszczonych w kontekcie praktycznym, d) okrela wzajemne pooenie prostej i okrgu, jak na poziomie podstawowym oraz: a) stosuje twierdzenia charakteryzujce czworokty wpisane w okrg i czworokty opisane na okrgu, b) stosuje twierdzenie o zwizkach miarowych midzy odcinkami stycznych i siecznych, c) stosuje wasnoci figur podobnych i jednokadnych w zadaniach, take umieszczonych w kontekcie praktycznym, d) znajduje zwizki miarowe w figurach paskich z zastosowaniem twierdzenia sinusw i twierdzenia cosinusw, b) rozwizuje rwnania typu sinx=a , cosx=a , tgx = a , dla 0o < x < 90o,

16

8) geometria na paszczynie kartezjaskiej: a) wykorzystuje pojcie ukadu wsprzdnych na paszczynie, b) podaje rwnanie prostej w postaci Ax + By + C = 0 lub y = ax + b , majc dane dwa jej punkty lub jeden punkt i wspczynnik a w rwnaniu kierunkowym, c) bada rwnolego i prostopado prostych na podstawie ich rwna kierunkowych, d) interpretuje geometrycznie ukad dwch rwna liniowych z dwiema niewiadomymi, e) oblicza odlegoci punktw na paszczynie kartezjaskiej, f) wyznacza wsprzdne rodka odcinka, g) posuguje si rwnaniem okrgu

jak na poziomie podstawowym oraz: a) interpretuje geometrycznie nierwno liniow z dwiema niewiadomymi i ukady takich nierwnoci, b) rozwizuje zadania dotyczce wzajemnego pooenia prostej i okrgu, oraz dwch okrgw na paszczynie kartezjaskiej, c) oblicza odlego punktu od prostej, d) opisuje koa za pomoc nierwnoci, e) oblicza wsprzdne oraz dugo wektora; dodaje i odejmuje wektory oraz mnoy je przez liczb, f) interpretuje geometrycznie dziaania na wektorach, g) stosuje wektory do rozwizywania zada, a take do dowodzenia wasnoci figur, h) stosuje wektory do opisu przesunicia wykresu funkcji,

( x a)2 + ( y b )29) stereometria:

= r2 ,

jak na poziomie podstawowym a) wskazuje i oblicza kty midzy cianami oraz wielocianu, midzy cianami a) wyznacza przekroje wielocianw i odcinkami oraz midzy odcinkami paszczyzn, takimi jak krawdzie, przektne, b) stosuje twierdzenie o trzech prostych wysokoci, prostopadych, b) wyznacza zwizki miarowe w wielocianach i bryach obrotowych z zastosowaniem trygonometrii, 10) elementy statystyki opisowej; teoria prawdopodobiestwa i kombinatoryka: a) oblicza redni arytmetyczn, redni waon, median i odchylenie standardowe danych; interpretuje te parametry dla danych empirycznych, b) zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych, niewymagajcych uycia wzorw kombinatorycznych; stosuje zasad mnoenia, c) wykorzystuje sum, iloczyn i rnic zdarze do obliczania prawdopodobiestw zdarze, d) wykorzystuje wasnoci prawdopodobiestwa i stosuje twierdzenie znane jako klasyczna definicja prawdopodobiestwa do obliczania prawdopodobiestw zdarze. jak na poziomie podstawowym oraz wykorzystuje wzory na liczb permutacji, kombinacji i wariacji do zliczania obiektw w sytuacjach kombinatorycznych.

17

VI. SZCZEGOWY OPIS STANDARDW WYMAGA EGZAMINACYJNYCHZdajcy posiada umiejtnoci w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY

1) wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formuuje uzyskane wyniki Zdajcy potrafi: odczyta informacj bezporednio wynikajc z treci zadania zastosowa podany wzr lub podany przepis postpowania wykona rutynow procedur dla typowych danych przejrzycie zapisa przebieg i wynik oblicze oraz uzyskan odpowied uywa jzyka matematycznego do opisu rozumowania i uzyskanych wynikw Zdajcy potrafi wszystko to, co na poziomie podstawowym oraz: wykona rutynow procedur na niekoniecznie typowych danych odczyta informacj z wykorzystaniem wicej ni jednej postaci danych precyzyjnie przedstawi przebieg swojego rozumowania

Przykadowe zadania (poziom podstawowy): 1. Diagram przedstawia wyniki ankiety, w ktrej ankietowani odpowiedzieli na pytanie, jakie napoje pij midzy posikami. Ankietowani wybierali tylko jeden z czterech rodzajw napojw.

Na podstawie informacji przedstawionych na diagramie oblicz: ile procent badanych osb pije soki owocowe lub wod mineraln, ile procent badanych osb nie pije owocowych napojw gazowanych, ile procent badanych osb nie pije sokw warzywnych i nie pije wody mineralnej.19

2. Dany jest cig (a n ) okrelony wzorem a n = ( 1)2

n

2n dla n = 1,2,3... . Oblicz a2 , a 4 i a5 . n2

2 41 3 3 w postaci nieskracalnego uamka zwykego. 3. Przedstaw 1 1 5 2 4. Podaj miejsca zerowe funkcji okrelonych dla wszystkich liczb rzeczywistych x:

f ( x) = x( x + 2) ,

g ( x) = ( x 5 ) ( x + 2) ,

h( x) = ( 5 2 x )( 2 x + 1) .

5. Oblicz a b , gdy a = sin 4 cos 4 , b = 1 4sin 2 cos 2 dla = 60 . 6. Wska rwnanie okrgu o rodku w punkcie S = ( 1, 2 ) i promieniu r = 2 :

a)b) c) d)

( x + 1) + ( y 2 )2

2

= 2, = 2, = 2, = 2.

( x + 1) + ( y 2 )2

2

( x 1) + ( y + 2 )2

2

( x + 1) ( y 2 )2

2

Przykadowe zadania (poziom rozszerzony): 7. Oblicz

(

2 3 2+ 3 .

)

2

8. Miary dwch ktw trjkta wynosz

6

i

5

. Oblicz miar trzeciego kta. Odpowied

podaj w stopniach.9. Dane jest rwnanie sin x = a 2 + 1 , z niewiadom x . Wyznacz wszystkie wartoci

parametru a , dla ktrych dane rwnanie nie ma rozwiza.x < 5 x + 5 dla 10. Funkcja f jest okrelona wzorem f ( x ) = x + 2 dla 5 x < 5 . Miejscami zerowymi x 6 dla x5

tej funkcji s liczby a) 5, 2, 6. b) 2, 6. c) 5, 2. d) 5, 2, 6.

20

2) wykorzystania i interpretowania reprezentacji: uywa prostych, dobrze znanych obiektw matematycznych Zdajcy potrafi: poprawnie wykonywa dziaania na liczbach i przedziaach liczbowych, przeksztaca wyraenia algebraiczne, rozwizywa niezbyt zoone rwnania, ich ukady oraz nierwnoci, odczytywa z wykresu wasnoci funkcji, sporzdza wykresy niektrych funkcji, znajdowa stosunki miarowe w figurach paskich i przestrzennych (take z wykorzystaniem ukadu wsprzdnych lub trygonometrii), zlicza obiekty i wyznacza prawdopodobiestwo w prostych sytuacjach kombinatorycznych zastosowa dobrze znan definicj lub twierdzenie w typowym kontekcie rozumie i interpretuje pojcia matematyczne i operuje obiektami matematycznymi Zdajcy potrafi wszystko to, co na poziomie podstawowym, take: w odniesieniu do bardziej zoonych obiektw matematycznych, a ponadto potrafi poda przykad obiektu matematycznego speniajcego zadane warunki

Przykadowe zadania (poziom podstawowy): 1. Na osi liczbowej zaznaczono przedzia A zoony z tych liczb rzeczywistych, ktrych

odlego od punktu 1 jest niewiksza od 4,5. Przedzia A przesunito wzdu osi o 2 jednostki w kierunku dodatnim, otrzymujc przedzia B. Wyznacz wszystkie liczby cakowite, ktre nale jednoczenie do A i do B.2. Rozwi rwnanie x + x 3 = 1 + x 2 . 3. Oblicz najwiksz i najmniejsz warto funkcjiA = 0, 4 .

f ( x) = 2 x 2 4 x + 11 w przedziale

4. Pan Kowalski planujc wyjazd na wakacje letnie w nastpnym roku postanowi zaoy

lokat, wpacajc do banku 2000 z na okres jednego roku. Ma do wyboru trzy rodzaje lokat: lokata A oprocentowanie w stosunku rocznym 5%, kapitalizacja odsetek po roku, lokata B oprocentowanie w stosunku rocznym 4,8%, kapitalizacja odsetek co p roku, lokata C oprocentowanie w stosunku rocznym 4,6%, kapitalizacja odsetek co kwarta. Oce, wykonujc odpowiednie obliczenia, ktra lokata jest najkorzystniejsza dla Pana Kowalskiego.

21

5. W

trjkcie

rwnoramiennym

ABC,

w

ktrym

AC = BC = 10 cm ,

wysoko

poprowadzona z wierzchoka C jest rwna 5 cm. Oblicz miary ktw tego trjkta. Odpowied podaj w stopniach.6. Ostroktny trjkt rwnoramienny ABC o podstawie AB jest wpisany w okrg o rodku S,

przy czym kt SAB ma miar 40 . Oblicz miar kta CAB.7. Oblicz

odlego

punktu

A

od

rodka

odcinka

BC,

gdzie

A = ( 1,3) , B = ( 4, 7 ) , C = ( 2, 3) .

8. W graniastosupie czworoktnym prawidowym przektna o dugoci m jest nachylona do

paszczyzny podstawy pod ktem . Wiadomo, e sin = 0, 2 . Wyznacz objto tego graniastosupa. 1 2 4 9. O zdarzeniach losowych A i B wiemy e: P( A) = , P( B) = , P ( A B) = . Oblicz: 2 3 5 a) P( A B), b) P ( A \ B) .10. Na podstawie fragmentu wykresu funkcji kwadratowej f ( x ) wska, ktre zdanie jest

prawdziwe.y9

.(1,9)

8

7

6

5

4

f(x)

3

2

1

x-4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 6 7

-2

-3

-4

a) Miejscami zerowymi funkcji s liczby: 2 oraz 4. b) Funkcja jest rosnca w przedziale ( 2, 4 ) . c) Funkcja przyjmuje wartoci wiksze od zera dla x < 1 . d) Zbiorem wartoci funkcji jest przedzia ( ,9 ) .

22

Przykadowe zadania (poziom rozszerzony): 11. W kolejce do kasy biletowej ustawiy si cztery dziewczynki i piciu chopcw. Liczba

wszystkich moliwych ustawie osb w tej kolejce wynosi a) 4! + 5!. b) 9!. c) 45. d) 4!5!.12. Rozwi rwnanie log 5 ( log 4 ( log 2 x ) ) = 0 . 13. Funkcja f jest okrelona wzorem f ( x ) =

1 1 dla wszystkich liczb rzeczywistych x +1

x 1 . Rozwi nierwno f ( x ) > f (2 x ) .

14. Narysuj wykres funkcji f okrelonej w przedziale 2, 2 wzorem

a)

f ( x ) = 2x 1,

b)

f ( x ) = 2 x 1 .

15. Pole wycinka koa o promieniu 3cm jest rwne 2 cm 2 . Oblicz miar ukow kta

rodkowego tego wycinka.16. Punkty A = (1, 1), B = ( 5,5), C = ( 3,5) s wierzchokami trapezu rwnoramiennego

ABCD niebdcego rwnolegobokiem, w ktrym AB || CD.

a) Wyznacz rwnanie osi symetrii tego trapezu. b) Oblicz pole tego trapezu.17. Na okrgu zaznaczono sze rnych punktw. Ile rnych wieloktw wypukych

o wszystkich wierzchokach w tych punktach mona narysowa?18. Dla

jakich

wartoci

parametru

m

reszta

z

dzielenia

wielomianu

x17 mx15 + ( m 2 ) x10 + 2 x + m 2 2 przez dwumian x 1 jest rwna 3?

19. Wyznacz rwnanie okrgu o rodku A = ( 2,3) , stycznego do prostej o rwnaniu

x 2y +1 = 0 .

23

3) modelowania matematycznego: dobiera model matematyczny do prostej sytuacji Zdajcy potrafi, take w sytuacjach praktycznych: poda wyraenie algebraiczne, funkcj, rwnanie, nierwno, interpretacj geometryczn, przestrze zdarze elementarnych opisujce przedstawion sytuacj przetworzy informacje wyraone w jednej postaci w posta uatwiajc rozwizanie problemu oceni przydatno otrzymanych wynikw z perspektywy sytuacji, dla ktrej zbudowano model buduje model matematyczny danej sytuacji, uwzgldniajc ograniczenia i zastrzeenia Zdajcy potrafi wszystko to, co na poziomie podstawowym, take: buduje model matematyczny danej sytuacji, take praktycznej, rwnie wymagajcy uwzgldnienia niezbdnych ogranicze i zastrzee

Przykadowe zadania (poziom podstawowy): 1. Dany jest prostokt o bokach a i b. Zmniejszamy dugo boku a o 10% oraz zwikszamy

dugo boku b o 20%. a) O ile procent zwikszy si pole tego prostokta? b) Wyznacz dugo boku b, dla ktrej nowy prostokt bdzie mia taki sam obwd jak prostokt wyjciowy, jeli wiadomo, e bok a ma dugo 30 cm.2. Liczb 42 przedstaw w postaci sumy dwch skadnikw tak, by rnica ich kwadratw

bya rwna 168.3. Dla kadej liczby rzeczywistej b rwnanie y =

1 2 x bx + 2 opisuje pewn parabol. 2

Wyznacz wszystkie wartoci parametru b , dla ktrych wierzchoek paraboli ley nad osi Ox.4. Punkt B = (1,9) naley do okrgu stycznego do osi Ox w punkcie A = (2,0) . Wyznacz

rwnanie tego okrgu.5. Strzelajc

do

tarczy

pewien

strzelec

uzyskuje

co

najmniej

9

punktw

z prawdopodobiestwem 0,5 , a co najwyej 9 punktw z prawdopodobiestwem 0,7. Oblicz prawdopodobiestwo, e ten strzelec uzyska dokadnie 9 punktw.

24

6. Dugo ramienia BC trapezu prostoktnego jest dwa razy wiksza od rnicy dugoci

jego podstaw. Kt ABC ma miar a) b) c) d) 30 . 45 . 60 . 75 .A B D C

Przykadowe zadania (poziom rozszerzony): 7. Niech A bdzie zbiorem wszystkich liczb x, ktre speniaj rwno x 1 + x 3 = 2 .

Niech B bdzie zbiorem wszystkich punktw na osi liczbowej, ktrych suma odlegoci od punktw 4 i 6 jest niewiksza ni 4. Zaznacz na osi liczbowej zbiory A i B oraz wszystkie punkty, ktre nale jednoczenie do A i do B.2 3 8. Przedzia , 0 jest zbiorem wszystkich rozwiza nierwnoci < m z niewiadom x 2 x . Oblicz m .

9. Rozpatrujemy wszystkie prostokty o polu rwnym 6, ktrych dwa ssiednie boki zawarte

s w osiach Ox i Oy ukadu wsprzdnych. Wyznacz rwnanie krzywej bdcej zbiorem tych wierzchokw rozpatrywanych prostoktw, ktre nie le na adnej z osi ukadu wsprzdnych. Narysuj t krzyw.10. Miary piciu ktw tworz cig arytmetyczny. Drugim wyrazem tego cigu jest 150 ,

a czwartym 270 . Oblicz sum sinusw tych piciu ktw.11. Dane jest rwnanie x 2 + (3m 2)x = m 2 z niewiadom x . Sformuuj warunki, jakie

powinien spenia parametr m, by to rwnanie miao dwa rne pierwiastki, ktrych suma odwrotnoci jest dodatnia.12. Wyznacz pierwsze trzy wyrazy cigu geometrycznego wiedzc, e s one dodatnie, ich

suma jest rwna 21 oraz suma ich odwrotnoci jest rwna

7 . 12

13. Z szuflady, w ktrej znajduje si 10 rnych par rkawiczek wybieramy losowo cztery

rkawiczki. Opisz zbir wszystkich zdarze elementarnych, a nastpnie oblicz prawdopodobiestwo zdarze:

A wrd wylosowanych rkawiczek nie bdzie pary, B wrd wylosowanych rkawiczek bdzie dokadnie jedna para.

25

4) uycia i tworzenia strategii: stosuje strategi, ktra jasno wynika z treci zadania Zdajcy potrafi: dobra odpowiedni algorytm do wskazanej sytuacji problemowej ustali zalenoci midzy podanymi informacjami zaplanowa kolejno wykonywania czynnoci, wprost wynikajcych z treci zadania, lecz nie mieszczcych si w ramach rutynowego algorytmu krytycznie oceni otrzymane wyniki tworzy strategi rozwizywania problemu Zdajcy potrafi wszystko to, co na poziomie podstawowym, take: zaplanowa i wykona cig czynnoci prowadzcy do rozwizania problemu, nie wynikajcy wprost z treci zadania

Przykadowe zadania (poziom podstawowy): 1. Podaj przykad liczb cakowitych dodatnich a i b, speniajcych nierwno

5 a 6 < < . 7 b 7

2. Stosujc wzory skrconego mnoenia roz na czynniki wyraenie 1 a 2 + 2ab b 2 . 3. W cigu arytmetycznym

( an )

dane s wyrazy: a3 = 4, a 6 = 19 . Wyznacz wszystkie

wartoci n, dla ktrych wyrazy cigu ( an ) s mniejsze od 200.4. Liczby dodatnie a, b, c speniaj warunek: log 4 c = log 3 b = log 2 a = 2 . Oblicz2

abc .

5. Ile punktw wsplnych ma okrg o rwnaniu x 2 + ( y 3) = 6 z prost o rwnaniu

3x + y 15 = 0 ?6. Zbiorem wartoci funkcji kwadratowej g jest przedzia ( , 5 , a zbiorem rozwiza

nierwnoci g ( x) > 0 jest przedzia (2, 8) . Wyznacz wzr funkcji g.7. Rozwi rwnanie

( 2 x + 1) + ( 2 x + 4 ) + ( 2 x + 7 ) + ... + ( 2 x + 28) = 155 ,

jeli wiadomo,

e skadniki po lewej stronie s kolejnymi wyrazami pewnego cigu arytmetycznego.8. Wiedzc, e jest ktem ostrym i tg = 2 , oblicz warto wyraenia

4 cos 3 sin . 3 cos + 5 sin

9. Dany jest trjkt prostoktny ABC o przeciwprostoktnej AB, taki e sin BAC = 0,3

i AC = 7 . Oblicz pole koa opisanego na tym trjkcie.10. W ukadzie wsprzdnych na paszczynie zaznaczono punkty A = ( 2, 0 ) i B = ( 4, 0 ) .

Wyznacz wszystkie moliwe pooenia punktu C, dla ktrych ABC jest trjktem rwnoramiennym o podstawie AB i polu rwnym 3.

26

11. Rzucamy trzy razy symetryczn szecienn kostk do gry. Opisz zbir wszystkich zdarze

elementarnych, a nastpnie oblicz prawdopodobiestwo, e w kadym rzucie liczba oczek bdzie wiksza od numeru rzutu.Przykadowe zadania (poziom rozszerzony): 12. Wyznacz wszystkie wartoci parametru p, dla ktrych rwnaniex2 + x+3 = p

ma dokadnie dwa rozwizania.13. Wyka, e dla a ( 2, 3) zachodzi rwnoa 2 6a + 9 a 2 4a + 4 + = 2. 3 a a2

14. Dane jest rwnanie x 2 + bx + c = 0 z niewiadom x . Wyznacz wartoci b oraz c tak,

by byy one rozwizaniami danego rwnania.15. Dane s funkcje liniowe g i h okrelone wzorami: g ( x) = ax + b i h( x) = bx + a .

Wiadomo, e funkcja g jest rosnca, a funkcja h malejca. a) Wyznacz pierwsz wsprzdn punktu przecicia wykresw tych funkcji. b) Oblicz liczby a i b wiedzc, e wykresy funkcji g i h s prostymi prostopadymi, a punkt ich przecicia ley na osi Ox.16. Dany jest cig

( an )

majcy t wasno, e dla kadej liczby naturalnej n suma 1 ( 7n2 n ) . Oblicz dwudziesty wyraz 2

n pocztkowych wyrazw tego cigu jest rwna

tego cigu. Wyka, e ( an ) jest cigiem arytmetycznym.17. Proste zawierajce ramiona BC i DA trapezu ABCD przecinaj si w punkcie S. Dane s:AB = 6 , CD = 2 oraz obwd trjkta SCD rwny 18 . Oblicz obwd trjkta SAB.

18. W pewnym trapezie kty przy dwch przeciwlegych wierzchokach maj miary oraz

90 + . Jedno z ramion tego trapezu ma dugo t. Wyznacz rnic dugoci podstaw tego trapezu.19. Czworokt ABCD jest wpisany w okrg. Dane s BC = a , CD = b ,DAB = .

Wyznacz dugo przektnej BD.20. Podstaw ostrosupa ABCDS jest kwadrat ABCD o boku dugoci 4. Odcinek DS jest

wysokoci ostrosupa i ma dugo 6. Punkt M jest rodkiem odcinka DS. Oblicz pole przekroju ostrosupa paszczyzn BCM.

27

21. Ze zbioru liczb {1, 2,..., 2n + 5} wybieramy jednoczenie dwie liczby. Na ile sposobw

moemy to zrobi, tak aby otrzyma dwie liczby takie, e: a) ich rnica bdzie liczb parzyst, b) suma ich kwadratw bdzie liczb podzieln przez cztery?22. Narysuj przekrj rwnolegocianu paszczyzn PQR.

P Q

R

23. Wiedzc, e dla pewnego cigu geometrycznego ( an ) o wyrazach dodatnich prawdziwa

jest rwno

S14 = 5 S7 , oblicz iloraz tego cigu. Symbol

Sn

oznacza sum

n pocztkowych wyrazw cigu ( an ) .

28

5) rozumowania i argumentacji: prowadzi proste rozumowanie, skadajce si z niewielkiej liczby krokw. Zdajcy potrafi: wyprowadzi wniosek z prostego ukadu przesanek i go uzasadni zastosowa twierdzenie, ktre nie wystpuje w treci zadania tworzy acuch argumentw i uzasadnia jego poprawno. Zdajcy potrafi wszystko to, co na poziomie podstawowym, take: wyprowadzi wniosek ze zoonego ukadu przesanek i go uzasadni analizowa i interpretowa otrzymane wyniki przeprowadzi dowd

Przykadowe zadania (poziom podstawowy): 1. Wiadomo, e 1,5849 jest przyblieniem liczby 100,2 z zaokrgleniem do 4 miejsc po4 5

przecinku. Wyznacz przyblienie liczby 1011 5

z zaokrgleniem do 3 miejsc po przecinku

oraz przyblienie liczby 10 z zaokrgleniem do 1 miejsca po przecinku.2. Wyka, e dla m = 3 nierwno x 2 + (2m 3)x + 2m + 5 > 0 jest speniona przez

wszystkie liczby rzeczywiste x.3. Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej f jest liczba 5, maksymalny przedzia,

w ktrym ta funkcja jest malejca to 2, + ) . Najwiksza warto funkcji f w przedziale 8, 7 jest rwna ( 24 ) . Wyznacz wzr funkcji f i narysuj jej wykres.

4. W pewnym trjkcie prostoktnym suma cosinusw ktw ostrych jest rwna

2 3 . 3

Oblicz iloczyn sinusw tych ktw.5. Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD. Przektne tego trapezu przecinaj si

w punkcie S. Wyka, e SA SD = SB SC .6. Prostokt ABCD obracajc si wok boku AB, zakreli walec w1. Ten sam prostokt

obracajc si wok boku AD, zakreli walec w2. Otrzymane walce maj rwne pola powierzchni cakowitych. Wyka, e prostokt ABCD jest kwadratem.

29

Przykadowe zadania (poziom rozszerzony): 7. Wielomian f jest okrelony wzorem f ( x ) = ax 4 9 x 3 + 3 x 2 + 7 x + b dla pewnych liczb

pierwszych a oraz b. Wiadomo, e liczba Oblicz a i b.

3 jest pierwiastkiem tego wielomianu. 2

8. Dane jest rwnanie x 2 + mx + m 1 = 0 z niewiadom x . Uzasadnij, e dla kadej liczby

cakowitej m wszystkie rozwizania tego rwnania s liczbami cakowitymi.9. Funkcja g jest okrelona w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych w nastpujcy sposb:

jeli x k , k + 1) dla pewnej liczby cakowitej k, to g ( x ) = kx k 1 . a) Narysuj wykres funkcji g w przedziale 2, 0 ) . b) Uzasadnij, e funkcja g nie ma miejsc zerowych. c) Rozwi rwnanie g ( x) = 2010 .10. Wyka, e jeeli liczby b, c, 2b a s kolejnymi wyrazami cigu geometrycznego to

liczby ab, b 2 , c 2 s kolejnymi wyrazami cigu arytmetycznego.11. Wyka, e wyraenie

cos 2 x 1 = tgx + nie jest tosamoci. sin x cos x tgx

12. Dany jest taki czworokt wypuky ABCD, e okrgi wpisane w trjkty ABC i ADC s

styczne. Wyka, e w czworokt ABCD mona wpisa okrg.13. Dane s punkty A = (2,3), B = (5, 4). Na prostej o rwnaniu y = 5 wyznacz punkt C tak,

aby amana ACB miaa jak najmniejsz dugo. Odpowied uzasadnij.14. Trjkt ABC jest podstaw ostrosupa ABCS. Punkt M jest rodkiem boku AB

i AM = MC . Odcinek AS jest wysokoci tego ostrosupa. Wyka, e kt SCB jest prosty.15. Podstaw ostrosupa ABCDS jest prostokt ABCD, w ktrymAB = 1 ,

BC = 2 .

Wszystkie krawdzie boczne tego ostrosupa maj dugo 1. Wyznacz warto dowolnej funkcji trygonometrycznej kta midzy dwiema ssiednimi cianami bocznymi tego ostrosupa.

30

16. Tabela zawiera niektre wyniki pisemnego sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie

maturalnej (ocenionego w szeciostopniowej skali ocen).

Dziewczta liczba osb rednia ocen odchylenie standardowe 11 4,0 1,1

Chopcy 14 3,8 1,8

Oblicz redni ocen z tego sprawdzianu oraz odchylenie standardowe dla caej klasy. Wyniki podaj z zaokrgleniem do dwch miejsc po przecinku.

31

VII. PRZYKADOWE ARKUSZE I SCHEMATY OCENIANIA

Poziom podstawowy 170 minut

33

PRZYKADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKIPOZIOM PODSTAWOWYCzas pracy 170 minutInstrukcja dla piszcego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 16 stron. 2. W zadaniach od 1. do 25. s podane 4 odpowiedzi: A, B, C, D, z ktrych tylko jedna jest prawdziwa. Wybierz tylko jedn odpowied i zaznacz j na karcie odpowiedzi. 3. Zaznaczajc odpowiedzi w czci karty przeznaczonej dla zdajcego, zamaluj pola do tego przeznaczone. Bdne zaznaczenie otocz kkiem i zaznacz waciwe. 4. Rozwizania zada od 26. do 33. zapisz starannie i czytelnie w wyznaczonych miejscach. Przedstaw swj tok rozumowania prowadzcy do ostatecznego wyniku. 5. Pisz czytelnie. Uywaj dugopisu/pira tylko z czarnym tuszem/atramentem. 6. Nie uywaj korektora. Bdne zapisy przekrel. 7. Pamitaj, e zapisy w brudnopisie nie podlegaj ocenie. 8. Obok numeru kadego zadania podana jest maksymalna liczba punktw moliwych do uzyskania. 9. Moesz korzysta z zestawu wzorw matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora. 10. Wypenij t cz karty odpowiedzi, ktr koduje zdajcy. Nie wpisuj adnych znakw w czci przeznaczonej dla egzaminatora. yczymy powodzenia!

Zestaw P1

Za rozwizanie wszystkich zada mona otrzyma cznie 50 punktw

Przykadowy arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy

ZADANIA ZAMKNITE W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied.

Punkty A = (1, 2 ) , C = (4, 2 ) s dwoma wierzchokami trjkta rwnobocznego ABC. Wysoko tego trjkta jest rwna A.

Zadanie 1. (1 pkt)

5 3 2

B.

5 3 3

C.

5 3 6

D.

5 3 9

Zadanie 2. (1 pkt)Wska nierwno, ktra opisuje przedzia zaznaczony na osi liczbowej.5

1x2 3

x

A.

x+2 3

B.

C.

x3 2

D.

x+3 2

Zadanie 3. (1 pkt)Drut o dugoci 27 m pocito na trzy czci, ktrych stosunek dugoci jest rwny 2:3:4. Jak dugo ma najkrtsza z tych czci?A. 4,5 m B. 6 m C. 6,75 m D. 9 m

Zadanie 4. (1 pkt)

Ile punktw wsplnych ma prosta o rwnaniu y = x + 2 z okrgiem o rodku w pocztku ukadu wsprzdnych i promieniu 2?A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Liczby: 1, 3, x 11 , w podanej kolejnoci, s pierwszym, drugim i trzecim wyrazem cigu arytmetycznego. Liczba x jest rwnaA. 5 B. 9 C. 16 D. 20

Zadanie 5. (1 pkt)

36


BRUDNOPIS

37


Zadanie 6. (1 pkt)y

Na rysunku 1. jest przedstawiony wykres funkcji y = f ( x ) .yy = f (x )

1 0 1 x

1 0 1 x

Rys. 1. Funkcja przedstawiona na rysunku 2. jest okrelona wzoremA.y = f ( x) + 2

Rys. 2.D.y = f ( x + 2)

B.

y = f ( x) 2

C.

y = f ( x 2)

Zadanie 7. (1 pkt)Kt jest ostry i cos =A.

1 4

3 . Wtedy sin jest rwny 4 7 7 B. C. 16 4

D.

7 16

Zadanie 8. (1 pkt)A.

Wska funkcj kwadratow, ktrej zbiorem wartoci jest przedzia 2, ) .

y = 2 x 2 + 2

B.

y = ( x + 1) 22

C.

y = 2( x 1) + 22

D.

y = ( x + 1) 22

Zadanie 9. (1 pkt)Liczba log 36 jest rwnaA. 2 log18 B. log 40 2 log 2 C. 2 log 4 3log 2 D. 2 log 6 log1

Zadanie 10. (1 pkt)Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w ktrych obie cyfry s parzyste?A. 16 B. 20 C. 24 D. 25

Zadanie 11. (1 pkt)Powierzchnia boczna stoka po rozwiniciu jest pkolem o promieniu 12 cm. Podstawa tego stoka jest koem o promieniuA. 12 cm B. 6 cm C. 3 cm D. 1 cm

38


BRUDNOPIS

39


Zadanie 12. (1 pkt)Wyniki sprawdzianu z matematyki s przedstawione na diagramie liczba osb8 7 6 5 4 3 2 1 0

1 2 3 4 5 6 Mediana ocen uzyskanych przez uczniw jest rwnaA. 6 B. 5 C. 4,5

ocenaD. 4


Prosta l ma rwnanie y = 2 x 11 . Wska rwnanie prostej rwnolegej do l. y = 2xB.

y = 2 x

C.

1 y= x 2

D.

y=

1 x 2

Zadanie 14. (1 pkt)A. 3

Liczba rozwiza rwnania

x+3 = 0 jest rwna (5 x )(x + 2) B. 2 C. 1

D. 0

Zadanie 15. (1 pkt)Wska przedzia, ktry jest zbiorem rozwiza nierwnociA.

( , 2)

B.

( , 2)

x 1 x + < . 4 6 3 C. ( 2, + ) D.

(2, + )

Zadanie 16. (1 pkt)A. 2 5

Przektna prostopadocianu o wymiarach 3 4 5 ma dugoB.

2 3

C. 5 2

D. 2 15

Zadanie 17. (1 pkt)A. a = 7

Liczba x = 7 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f ( x ) = (3 a )x + 7 dlaB.a=2

C. a = 3

D. a = 1

Zadanie 18. (1 pkt)Zbiorem rozwiza nierwnoci x 2 9 jestA.

( , 3

3, + ) B.

3, 3

C.

3, + )

D.

3, + )

40


BRUDNOPIS

41


Zadanie 19. (1 pkt)

Zaznaczony na rysunku kt jest rwny

40

O30

r

A. 50

B.

40

C. 30

D. 10

Zadanie 20. (1 pkt)

Ktra z liczb jest rozwizaniem rwnania 2( x 1) + x = x 3(2 3 x ) ? 4 8 4 A. B. C. D. 1 11 7 11

Zadanie 21. (1 pkt)Liczba 240 420 jest rwnaA. 440 B.450

C. 860

D. 8800

Zadanie 22. (1 pkt)Wska liczb, ktrej 4% jest rwne 8.A. 3,2 B. 32 C. 100 D. 200

Zadanie 23. (1 pkt)

Kt jest ostry i cos = 0,9 . Wwczas A. < 30o B. = 30o

C. = 45o

D. > 45o

Zadanie 24. (1 pkt)

Trzeci wyraz cigu geometrycznego jest rwny 4, a czwarty wyraz tego cigu jest rwny (2) . Pierwszy wyraz tego cigu jest rwnyA. 16 B.16

C. 8

D. 8

Zadanie 25. (1 pkt)Ze zbioru liczb {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8} wybieramy losowo jedn liczb. Liczba p jest prawdopodobiestwem wylosowania liczby podzielnej przez 3. Wtedy 1 1 A. p < 0,3 B. p = 0,3 C. p = D. p > 3 3

42


BRUDNOPIS

43


ZADANIA OTWARTERozwizania zada o numerach od 26. do 33. naley zapisa w wyznaczonych miejscach pod treci zadania.

Zadanie 26. (2 pkt)Dany jest cig (an ) okrelony wzorem an = ( 1)n

2n dla n 1 . Oblicz a 2 i a5 . n2

Odpowied: a2 = ............... i a5 = ............ .

44


Zadanie 27. (2 pkt)Rozwi rwnanie x 3 12 x 2 + x 12 = 0 .

Odpowied: .

Zadanie 28. (2 pkt)Punkt E ley na ramieniu BC trapezu ABCD , w ktrym ABAED = BAE + CDE . CD . Udowodnij, e

45


Zadanie 29. (2 pkt)Podaj przykad liczb cakowitych dodatnich a i b, speniajcych nierwno 4 a 5 < < . 9 b 9

Odpowied: Liczby takie to np.: a = ............ i b = ............ .

Zadanie 30. (2 pkt)Dany jest prostokt o bokach a i b oraz prostokt o bokach c i d . Dugo boku c to 90% dugoci boku a. Dugo boku d to 120% dugoci boku b. Oblicz, ile procent pola prostokta o bokach a i b stanowi pole prostokta o bokach c i d .

Odpowied: Pole prostokta o bokach c i d stanowi ... % pola prostokta o bokach a i b.46


Zadanie 31. (6 pkt)Dwa pocigi towarowe wyjechay z miast A i B oddalonych od siebie o 540 km. Pocig jadcy z miasta A do miasta B wyjecha o godzin wczeniej ni pocig jadcy z miasta B do miasta A i jecha z prdkoci o 9 km/h mniejsz. Pocigi te miny si w poowie drogi. Oblicz, z jakimi prdkociami jechay te pocigi.

47


Zadanie 32. (4 pkt)Dane s dwa pojemniki. W pierwszym z nich znajduje si 9 kul: 4 biae, 3 czarne i 2 zielone. W drugim pojemniku jest 6 kul: 2 biae , 3 czarne i 1 zielona. Z kadego pojemnika losujemy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobiestwo wylosowania dwch kul tego samego koloru.

48


Zadanie 33. (5 pkt)Wysoko ostrosupa prawidowego czworoktnego jest rwna 8. Krawd boczna jest nachylona do paszczyzny podstawy pod ktem 40 . Oblicz objto tego ostrosupa.

49


BRUDNOPIS

50


Karta odpowiedzi Wypenia piszcyNr zadania

A

B

C

D

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25.Suma punktw Cyfra dziesitek Cyfra jednostekNr zadania

Wypenia sprawdzajcyNr zadania

X

0

1

2

26. 27. 28. 29. 30.

X

0

1

2

3

4

5

6

31. 32. 33.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

D

J

51

Zestaw P1Odpowiedzi do zada zamknitychNr zadania1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Odpowied A A B C C B B D D B B B A C D C B A A C A D A A A

Odpowiedzi do zada otwartychNumer zadania 26 a2 = 0, a5 =x = 12

Odpowied

3 25

27 28 29

Dowd np. a = 1, b = 2108%

30 31 32 33

45 km/h, 54 km/h 19 54 V= 1024 484,9 3 tg 2 40

52

PRZYKADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKIPOZIOM PODSTAWOWYCzas pracy 170 minutInstrukcja dla piszcego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 17 stron. 2. W zadaniach od 1. do 20. s podane 4 odpowiedzi: A, B, C, D, z ktrych tylko jedna jest prawdziwa. Wybierz tylko jedn odpowied i zaznacz j na karcie odpowiedzi. 3. Zaznaczajc odpowiedzi w czci karty przeznaczonej dla zdajcego, zamaluj pola do tego przeznaczone. Bdne zaznaczenie otocz kkiem i zaznacz waciwe. 4. Rozwizania zada od 21. do 29. zapisz starannie i czytelnie w wyznaczonych miejscach. Przedstaw swj tok rozumowania prowadzcy do ostatecznego wyniku. 5. Pisz czytelnie. Uywaj dugopisu/pira tylko z czarnym tuszem/atramentem. 6. Nie uywaj korektora. Bdne zapisy przekrel. 7. Pamitaj, e zapisy w brudnopisie nie podlegaj ocenie. 8. Obok numeru kadego zadania podana jest maksymalna liczba punktw moliwych do uzyskania. 9. Moesz korzysta z zestawu wzorw matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora. 10. Wypenij t cz karty odpowiedzi, ktr koduje zdajcy. Nie wpisuj adnych znakw w czci przeznaczonej dla egzaminatora. yczymy powodzenia!

Zestaw P2

Za rozwizanie wszystkich zada mona otrzyma cznie 50 punktw


ZADANIA ZAMKNITEW zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied.

Zadanie 1. (1 pkt)Liczba 220 440 jest rwna A. 260 B.450

C. 860

D. 8800

Zadanie 2. (1 pkt)Zbir rozwiza nierwnoci x 3 1 jest przedstawiony na rysunku A. B.0 0

2 2

4 4 4 4

x x x x

C. D.

4

0 0

Zadanie 3. (1 pkt)

O zdarzeniach losowych A, B wiadomo, e: P( A) = 0,5 , P(B ) = 0,3 i P( A B ) = 0,7 . Prawdopodobiestwo iloczynu zdarze A i B spenia warunek A. P ( A B ) = 0, 2 B.

P ( A B) > 0,3

C. P ( A B ) < 0, 2

D. P ( A B) = 0,3

Zadanie 4. (1 pkt)Wska liczb, ktrej 6% jest rwne 6.A. 0,36 B. 3,6 C. 10 D. 100

Zadanie 5. (1 pkt)Rnica miar dwch ssiednich ktw wewntrznych rwnolegoboku jest rwna 30 . Kt rozwarty tego rwnolegoboku jest rwnyA. 105 B. 115 C. 125 D. 135

Zadanie 6. (1 pkt) x 4 dla Funkcja f jest okrelona wzorem f ( x ) = x + 2 dla Ile miejsc zerowych ma ta funkcja? A. 0 B. 1 C. 2

x3 x>3D. 3

54


BRUDNOPIS

55


Zadanie 7. (1 pkt)Kt jest ostry i sin =A. < 30o

3 . Wwczas 4C. = 45o D. > 45o

B. = 30o

Zadanie 8. (1 pkt)4

Liczba 7 3 3 75 jest rwnaA.74 5

B. 7

3

C. 7

20 9

D. 7 2

Zadanie 9. (1 pkt)na rysunku:

Dana jest funkcja y = f (x ) okrelona dla x 1, 8 , ktrej wykres jest przedstawiony

y

1 0 1 x

Wska zbir wartoci tej funkcji.A.

{ 1, 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

B.

( 1, 4)

C.

1, 4

D.

1, 8

Zadanie 10. (1 pkt)Trzeci wyraz cigu geometrycznego jest rwny 4, a pity wyraz tego cigu jest rwny 1. Pierwszy wyraz tego cigu jest rwnyA.

4

B.

4 2

C. 16

D. 16 2

Zadanie 11. (1 pkt)Pewien wielocian ma 6 krawdzi. Liczba jego cian jest rwnaA. 4 B. 5 C. 6 D. 9


Wykres funkcji kwadratowej f ( x ) = ( x 3) 2 nie ma punktw wsplnych z prost o rwnaniu2

y = 3

B.

y = 1

C.

y =1

D.

y=3

56


BRUDNOPIS

57


Zadanie 13. (1 pkt)Odcinki AB i CD s rwnolege. Dugoci odcinkw AB, CD i AD s podane na rysunku.C E B

20D

32

24

A

Dugo odcinka DE jest rwnaA.

44

B. 40

C. 36

D. 15

Zadanie 14. (1 pkt)A. B. C. D.

Wska rwnanie okrgu o rodku S = (1, 2 ) i promieniu r = 2 .

(x 1)2 + ( y + 2)2 = 2 (x + 1)2 + ( y 2)2 = 2 (x 1)2 + ( y + 2)2 = 4 (x + 1)2 + ( y 2)2 = 42x + 1 = 3x x

Zadanie 15. (1 pkt)RwnanieA. B. C. D.

1 ma dwa rozwizania: x = , x =1 . 3 1 ma dwa rozwizania: x = , x = 1 . 3 nie ma adnego rozwizania. ma tylko jedno rozwizanie: x = 1 .

Zadanie 16. (1 pkt)Suma dugoci wszystkich krawdzi szecianu jest rwna 24. Objto tego szecianu jest rwnaA.

64

B. 27

C. 24

D. 8

58


BRUDNOPIS

59


Zadanie 17. (1 pkt)Cig (a n ) jest okrelony wzorem a n = ( 1) (n 2 2n ) dla n 1 . Wtedyn

A.

a3 > 3

B.

a3 = 3

C. a3 < 2

D. a3 = 2

Zadanie 18. (1 pkt)Liczba log 12 jest rwnaA.

log 3 log 4

B. log 3 + log 4

C. log 16 log 4

D. log 10 + log 2

Zadanie 19. (1 pkt)Zbiorem rozwiza nierwnoci x 2 > 4 x jestA. B. C. D.

( , 4 ) ( 0, + ) ( 4, )

( , 2) (2, )

( , 0) (4, + )

Prosta l ma rwnanie y = 7 x + 2 . Rwnanie prostej prostopadej do l i przechodzcej przez punkt P = ( 0,1) ma postaA.

Zadanie 20. (1 pkt)

y = 7x 1

B.

y = 7x + 1

C.

y=

1 x +1 7

D.

y=

1 x 1 7

60


BRUDNOPIS

61


ZADANIA OTWARTERozwizania zada o numerach od 21. do 29. naley zapisa w wyznaczonych miejscach pod treci zadania.

Punkty A = ( 3, 5) , B = (4, 1) , C = ( 2, 3) s wierzchokami trjkta rwnoramiennego. Oblicz dugo ramienia tego trjkta.

Zadanie 21. (2 pkt)

Odpowied: .... .

62


Zadanie 22. (2 pkt)Rozwi rwnanie x 3 4 x 2 3 x + 12 = 0 .

Odpowied: .... .

Zadanie 23. (2 pkt)W trjkcie prostoktnym przyprostoktne maj dugoci 2 i 4, a jeden z ktw ostrych ma miar . Oblicz sin cos .

Odpowied: sin cos = ........63


Zadanie 24. (2 pkt)Ucze otrzyma pi ocen: 5, 3, 6, x, 3. rednia arytmetyczna tych ocen jest rwna 4. Oblicz x i median tych piciu ocen.

Odpowied: x = ..... , a mediana tych piciu ocen jest rwna .. . Liczby x 2, 3, x + 6 s w podanej kolejnoci pierwszym, drugim i trzecim wyrazem cigu arytmetycznego. Oblicz x.

Zadanie 25. (2 pkt)

Odpowied: x = .....64


Zadanie 26. (6 pkt)Do zbiornika o pojemnoci 700m3 mona doprowadzi wod dwiema rurami. W cigu jednej godziny pierwsza rura dostarcza do zbiornika o 5m3 wody wicej ni druga rura. Czas napeniania zbiornika tylko pierwsz rur jest o 16 godzin krtszy od czasu napeniania tego zbiornika tylko drug rur. Oblicz, w cigu ilu godzin pusty zbiornik zostanie napeniony, jeli woda bdzie doprowadzana przez obie rury jednoczenie.

65


Zadanie 27. (4 pkt)Rzucamy dwa razy symetryczn, szecienn kostk, ktrej jedna ciana ma jedno oczko, dwie ciany maj po dwa oczka i trzy ciany maj po trzy oczka. Oblicz prawdopodobiestwo zdarzenia: liczby oczek otrzymane w obu rzutach rni si o 1.

66


Zadanie 28. (5 pkt)Podstaw ostrosupa ABCS jest trjkt rwnoboczny ABC o boku dugoci 8. Punkt D jest rodkiem krawdzi AB , odcinek DS jest wysokoci ostrosupa. Krawdzie AS i BS maj dugo 7. Oblicz dugo krawdzi CS tego ostrosupa.

67


Zadanie 29. (5 pkt)Punkt M ley wewntrz prostokta ABCD (zob. rysunek). Udowodnij, e 2 2 2 2 AM + CM = BM + DM .D C

M A B

68


BRUDNOPIS

69


Karta odpowiedzi Wypenia piszcyNr zadania

A

B

C

D

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.Nr zadania

Wypenia sprawdzajcyNr zadania

X

0

1

2

21. 22. 23. 24. 25.

X

0

1

2

3

4

5

6

26. 27. 28. 29.

Suma punktw Cyfra dziesitek Cyfra jednostek

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

D

J

70

Zestaw P2Odpowiedzi do zada zamknitych.Nr zadania Odpowied1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

B A C D A A D B C C A A B C A D C B D C

Odpowiedzi do zada otwartych.Numer zadania 21 22 AB = AC = 65 Odpowied

x = 4, x = 3 , x = 3sin cos = 2 5

2324 25 26 27 28 29

x = 3 , mediana jest rwna 3 x =1

23 godziny 20 minut 4 9CS = 9

Dowd

71

PODSTAWOWE ZAOENIA OCENIANIA ZADA OTWARTYCH ROZSZERZONEJ ODPOWIEDZI Rozwizanie zadania oceniamy wedug tego, jak daleko dotar rozwizujcy na drodze do cakowitego rozwizania zadania. Rozwizanie zadania przydzielamy do jednej z nastpujcych kategorii: 1. rozwizanie, w ktrym nie ma istotnego postpu; 2. zosta dokonany istotny krok w kierunku rozwizania, ale nie zostay pokonane zasadnicze trudnoci zadania; 3. zostay pokonane zasadnicze trudnoci zadania, ale w trakcie ich pokonywania zostay popenione bdy, usterki; 4. zasadnicze trudnoci zadania zostay pokonane bezbdnie, rozwizanie zadania nie zostao dokoczone lub w dalszej czci rozwizania wystpiy powane bdy merytoryczne; 5. zasadnicze trudnoci zadania zostay pokonane bezbdnie, jednak dalsza cz rozwizania zadania zawiera usterki (bdy rachunkowe, zgubienie rozwiza, brak wyboru waciwych rozwiza itp.); 6. zadanie zostao rozwizane bezbdnie.

PRZYKADY OCENIANIA ZADA OTWARTYCH ROZSZERZONEJ ODPOWIEDZI

Zadanie 1. (6 pkt)Dwa pocigi osobowe wyjechay z miast A i B oddalonych od siebie o 616 km. Pocig jadcy z miasta A do miasta B wyjecha o godzin wczeniej ni pocig jadcy z miasta B do miasta A i jecha z prdkoci o 11 km/h mniejsz. Pocigi te dojechay do celu w tym samym momencie. Oblicz, z jakimi prdkociami jechay te pocigi. Rozwizanie, w ktrym postp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do cakowitego rozwizania zadania .............................................................................. 1 pkt Zapisanie zalenoci midzy drog, prdkoci i czasem dla jednego z pocigw, np.: 616 = v t (dla pocigu jadcego z miasta B do miasta A) Rozwizanie, w ktrym jest istotny postp .................................................................... 2 pkt Zapisanie ukadu rwna z niewiadomymi v i t odpowiednio z prdkoci i czasem dla pocigu wyjedajcego z B: 616 = v t 616 = (v 11) (t + 1)

72

Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania .................................................................. 3 pkt Zapisanie rwnania z jedn niewiadom v lub t, np: 616 616 616 = (v 11) + 1 lub 616 = 11 ( t + 1) v t Zdajcy nie musi zapisywa ukadu rwna, moe bezporednio zapisa rwnanie z jedn niewiadom. Zostay pokonane zasadnicze trudnoci zadania, ale w trakcie ich pokonywania zostay popenione bdy rachunkowe lub usterki .................................................................... 2 pkt Rozwizanie zadania do koca lecz z usterkami, ktre jednak nie przekrelaj poprawnoci rozwizania (np. bdy rachunkowe) ...................................... 4 pkt lub 5 pkt

doprowadzenie rwnania wymiernego do rwnania kwadratowego ........................... 4 pkt rozwizanie rwnania z niewiadom t bezbdnie i nieobliczenie prdkoci pocigw albo rozwizanie rwnania z niewiadom v lub t z bdem rachunkowym i konsekwentne obliczenie prdkoci obu pocigw .............................................................................. 5 pktRozwizanie bezbdne ................................................................................................... 6 pkt

Obliczenie prdkoci pocigw: 77 km/h i 88 km/h.

Uwagi do schematu oceniania zadania 1.

1. Jeeli zdajcy poda tylko odpowied, to otrzymuje 0 pkt zdajcy nie stosuje si do instrukcji dla zdajcego umieszczonej na pierwszej stronie arkusza (punkt 4.). 2. Jeeli zdajcy oznacza: v prdko pocigu z A, t czas przejazdu pocigu z B, lub odwrotnie i zapisze rwnanie: v t = 616 , to otrzymuje 0 pkt (brak postpu). 3. Jeeli zdajcy pomyli jednostki lub np. czas i prdko, to otrzymuje 0 pkt. porwnuje wielkoci rnych typw,

4. Jeeli zdajcy zapisa ukad rwna v t = 616 v t = 616 lub ( v 11) ( t 1) = 616 ( v + 11) ( t + 1) = 616 to otrzymuje 1 pkt (za postp).

73

Zadanie 2. (5 pkt)Podstaw ostrosupa ABCS jest trjkt rwnoboczny ABC o boku dugoci 8. Punkt D jest rodkiem krawdzi AB, odcinek DS jest wysokoci ostrosupa. Krawdzie AS i BS maj dugo 7. Oblicz dugo krawdzi CS tego ostrosupa.Rozwizanie, w ktrym jest istotny postp .................................................................... 2 pkt

Wykonanie rysunku ostrosupa, zaznaczenie na nim odcinka DS bdcego jego wysokoci oraz zaznaczenie, e odcinek ten jest jednoczenie wysokoci ciany bocznej ABS.Uwaga. Nie wymagamy rysunku, jeeli z dalszych oblicze wynika, e zdajcy poprawnie interpretuje tre zadania. Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania ................................................................... 4 pkt

Zdajcy poprawnie obliczy wysoko podstawy h = 4 3 oraz wysoko ostrosupa H = 33 .Uwaga. Jeeli jedn z tych wysokoci zdajcy obliczy z bdem rachunkowym i na tym skoczy rozwizywanie zadania, to otrzymuje 3 pkt Rozwizanie zadania do koca lecz z usterkami, ktre jednak nie przekrelaj poprawnoci rozwizania (np. bdy rachunkowe) ....................................................... 4 pkt

Zdajcy popeni jeden bd rachunkowy przy obliczaniu dugoci dowolnego spord trzech odcinkw DC, DS, CS.Rozwizanie bezbdne .................................................................................................... 5 pkt

Obliczenie dugoci krawdzi CS: CS = 9 .

Przyznajemy 0 pkt, gdy zdajcy le zinterpretuje tre zadania.

74

VIII. ZBIR PRZYKADOWYCH ZADA MATURALNYCH

ZADANIA ZAMKNITE Zadanie 1. (1 pkt) Liczba 330 990 jest rwna A. 3210 B. 3300 Zadanie 2. Liczba A. 33

C. 9120

D. 27 2700

(1 pkt) jest rwna B.32 39

8 3 33 92

C. 34

D. 35

Zadanie 3. (1 pkt) Liczba log 24 jest rwna A. 2 log 2 + log 20 B. log 6 + 2 log 2 Zadanie 4. (1 pkt) Liczba 30 to p% liczby 80, zatem A. p < 40 B. p = 40 Zadanie 5. (1 pkt) 4% liczby x jest rwne 6, zatem A.x = 150

C. 2 log 6 log12

D. log 30 log 6

C.

p = 42,5

D.

p > 42,5

B.

x < 150

C.

x = 240

D.

x > 240

Zadanie 6. (1 pkt) Liczba y to 120% liczby x. Wynika std, e A.

y = x + 0, 2

B.

y = x + 0, 2 x

C.

x = y 0, 2

D.

x = y 0, 2 y

Zadanie 7.

(1 pkt)

Rozwizaniem rwnania4 3

x3 1 = jest liczba 2 x 2B.

A.

3 4

C.

3 8

D.

8 3

75

Zadanie 8. (1 pkt) Mniejsz z dwch liczb speniajcych rwnanie x 2 + 5 x + 6 = 0 jest A. 6 B. 3 C. 2

D. 1

Zadanie 9. (1 pkt) Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f ( x ) = (2 m )x + 1 . Wynika std, e A. m = 0 B. m = 1 C. m = 2 D. m = 3 Zadanie 10. (1 pkt)

3x + 4 dla x < 1 . Ile miejsc zerowych ma ta funkcja? Funkcja f jest okrelona wzorem f ( x) = 2 x 1 dla x 1 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3Zadanie 11. (1 pkt) Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f ( x ) .

yy = f (x )

1 0 1x

Wska rysunek, na ktrym jest przedstawiony wykres funkcji y = f ( x + 1) . A. B. y y

1 0 1x

1 0 1x

C.

D.

y

y

1 0 1x

1 0 1x

76

Zadanie 12. (1 pkt) Ktry z zaznaczonych przedziaw jest zbiorem rozwiza nierwnoci | 2 x | 3 ? A. B. C. D.5 0

1 3 5 1 5

x x x x

3 1

0 0 0

Zadanie 13. (1 pkt) Wska rwnanie osi symetrii paraboli okrelonej rwnaniem y = x 2 + 4 x 11 . A.x = 4

B.

x = 2

C.

x=2

D.

x=4

Zadanie 14. (1 pkt) Wska funkcj kwadratow, ktrej zbiorem wartoci jest przedzia ( , 3 . A. B. C. D.f ( x) = ( x 2 ) + 32

f ( x) = ( 2 x ) + 32

f ( x) = ( x + 2 ) 32

f ( x) = ( 2 x ) 32

Zadanie 15. (1 pkt) Zbiorem rozwiza nierwnoci x 2 5 jest A. , 5

(

) (

5 ,+

)

B. ( , 5

5 ,+ )

C.

5 ,+ )

D.

5,+ )

Zadanie 16. (1 pkt)

Wykres funkcji kwadratowej f ( x) = 3 ( x + 1) 4 nie ma punktw wsplnych z prost2

o rwnaniuA.

y =1

B.

y = 1

C.

y = 3

D.

y = 5

77

Zadanie 17. (1 pkt) Prosta o rwnaniu y = a ma dokadnie jeden punkt wsplny z wykresem funkcji kwadratowejf ( x) = x 2 + 6 x 10. Wynika std, e

A. a = 3

B.

a=0

C. a = 1

D. a = 3

Zadanie 18. (1 pkt) Jaka jest najmniejsza warto funkcji kwadratowej f ( x) = x 2 + 4 x 3 w przedziale 0, 3 ? A. 7 B.

4

C. 3

D. 2

Zadanie 19. (1 pkt) Dane s wielomiany W ( x) = 3 x3 2 x, V ( x) = 2 x 2 + 3 x. Stopie wielomianu W ( x) V ( x) jest rwny A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

Zadanie 20. (1 pkt) Ile rozwiza rzeczywistych ma rwnanie 5 x 4 13 = 0 ? A. 1 Zadanie 21. (1 pkt) B. 2 C. 3 D. 4

Wska liczb rozwiza rwnaniaA. 0 B. 1

11 x x 2 11

=0.

C. 2

D. 3

Zadanie 22. (1 pkt) Wska rwnanie prostej rwnolegej do prostej o rwnaniu y = 2 x 7 . 1 1 A. y = 2 x + 7 B. y = x + 5 C. y = x + 2 D. 2 2

y = 2x 1

Zadanie 23. (1 pkt) Ktre z rwna opisuje prost prostopad do prostej o rwnaniu y = 4 x + 5 ? 1 1 B. y = x + 3 C. y = x + 3 D. y = 4 x + 3 A. y = 4 x + 3 4 4 Zadanie 24. (1 pkt) Punkty A = ( 1, 3) i C = (7, 9 ) s przeciwlegymi wierzchokami prostokta ABCD. Promie okrgu opisanego na tym prostokcie jest rwny A. 10 B. 6 2 C. 5 D. 3 2

78

Zadanie 25. (1 pkt)

Liczba punktw wsplnych okrgu o rwnaniu wsprzdnych jest rwnaA. 0 B. 1

( x + 3)2 + ( y 1)2 = 4

z osiami ukadu

C. 2

D. 4

Zadanie 26. (1 pkt) rodek S okrgu o rwnaniu x 2 + y 2 + 4 x 6 y 221 = 0 ma wsprzdne A. S = (2,3) B.

S = (2, 3)

C. S = (4, 6)

D. S = (4, 6)

Zadanie 27. (1 pkt) Dane s dugoci bokw BC = 5 i AC = 3 trjkta prostoktnego ABC o kcie ostrym

(zobacz rysunek). WtedyB

.CA. sin =

AC. sin =

3 5

B. sin =

4 5

3 34 34

D. sin =

5 34 34

Zadanie 28. (1 pkt)

Kt jest ostry i sin =A. cos

13 4

Zadanie 29. (1 pkt)

Kt jest ktem ostrym i tg =A. < 30

1 . Jaki warunek spenia kt ? 2 B. = 30 C. = 60

D. > 60

79

Zadanie 30. (1 pkt) Kt midzy ciciw AB a styczn do okrgu w punkcie A (zobacz rysunek) ma miar = 62 . Wwczas

B

S

AA. = 118 B.

= 124

C. = 138

D. = 152

Zadanie 31. (1 pkt) Kt rodkowy i kt wpisany s oparte na tym samym uku. Suma ich miar jest rwna180 . Jaka jest miara kta rodkowego? A. 60 B. 90 C. 120 D. 135

Zadanie 32. (1 pkt) Rnica miar ktw wewntrznych przy ramieniu trapezu rwnoramiennego, ktry nie jest rwnolegobokiem, jest rwna 40 . Miara kta przy krtszej podstawie tego trapezu jest rwna A. 120 B. 110 C. 80 D. 70

Zadanie 33. (1 pkt) Odcinki BC i DE s rwnolege. Dugoci odcinkw AC, CE i BC s podane na rysunku. Dugo odcinka DE jest rwna

D

B4

A

4

C

6

ED. 12

A. 6

B. 8

C. 10

80

Zadanie 34. (1 pkt) Pole kwadratu wpisanego w okrg o promieniu 4 cm jest rwne A. 64 cm2 Zadanie 35. (1 pkt)n

B. 32 cm2

C. 16 cm2

D. 8 cm2

Cig ( an ) jest okrelony wzorem an = ( 3) 9 n 2 dla n 1. Wynika std, eA. a3 = 81 B.

(

)

a3 = 27

C. a3 = 0

D. a3 > 0

Zadanie 36. (1 pkt) Liczby x 1, 4 i 8 (w podanej kolejnoci) s pierwszym, drugim i trzecim wyrazem cigu arytmetycznego. Wwczas liczba x jest rwna A. 3 B. 1 C. 1 D. 7

Zadanie 37. (1 pkt) Liczby 8 , 4 i x + 1 (w podanej kolejnoci) s pierwszym, drugim i trzecim wyrazem cigu geometrycznego. Wwczas liczba x jest rwna A. 3 B.

1,5

C. 1

D. 15

Zadanie 38. (1 pkt) Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, ktre s podzielne przez 6 lub przez 10, jest A. 25 B. 24 C. 21 D. 20

Zadanie 39. (1 pkt) Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, ktrych obie cyfry s mniejsze od 5 jest A. 16 B. 20 C. 25 D. 30

Zadanie 40. (1 pkt) Liczba sposobw, na jakie Ala i Bartek mog usi na dwch spord piciu miejsc w kinie, jest rwna A. 25 B. 20 C. 15 D. 12

Zadanie 41. (1 pkt) Mediana danych: 0, 1, 1, 2, 3, 1 jest rwna A. 1 B. 1,5 C. 2 D. 2,5

Zadanie 42. (1 pkt) Mediana danych przedstawionych w tabeli liczebnoci jest rwna

warto 0 1 2 3 liczebno 5 2 1 1A. 0 B. 0,5 C. 1 D. 5

81

Zadanie 43. (1 pkt) rednia arytmetyczna danych przedstawionych na diagramie czstoci jest rwna

czsto w % 40 30 20 10 0A. 1 B. 1,2

0

1

2C. 1,5

3 wartoD. 1,8

Zadanie 44. (1 pkt) Ze zbioru liczb {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8} wybieramy losowo jedn liczb. Liczba p oznacza prawdopodobiestwo otrzymania liczby podzielnej przez 3. Wtedy 1 1 A. p < 0, 25 B. p = 0, 25 C. p = D. p > 3 3 Zadanie 45. (1 pkt) O zdarzeniach losowych A i B s zawartych w wiadomo, e B A , P ( A) = 0, 7 i P ( B) = 0,3 . Wtedy A. P ( A B ) = 1 B.

P ( A B ) = 0, 7

C. P ( A B ) = 0, 4

D. P ( A B) = 0,3

Zadanie 46. (1 pkt) Przektna szecianu ma dugo 3. Pole powierzchni cakowitej tego szecianu jest rwne

3

A. 54

B. 36

C. 18

D. 12

Zadanie 47. (1 pkt) Pole powierzchni cakowitej szecianu jest rwne 24 cm2. Objto tego szecianu jest rwna A. 8 cm3 B. 16 cm3 C. 27 cm3 D. 64 cm3

82

Zadanie 48. (1 pkt) Przektna prostopadocianu o wymiarach 2 3 5 ma dugo

5

3A.

2C.

13

B.

29

34

D.

38

Zadanie 49. (1 pkt) Przekrj osiowy walca jest kwadratem o boku dugoci 6. Objto tego walca jest rwna

6

A. 18

B. 54

C. 108

D. 216

Zadanie 50. (1 pkt) Przekrj osiowy stoka jest trjktem rwnobocznym o boku dugoci 6. Pole powierzchni bocznej tego stoka jest rwne

6

A. 12

B. 18

C. 27

D. 36

83

ZADANIA OTWARTE KRTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. (2 pkt) 2 3x 1 Rozwi rwnanie = . 1 2x 2 Zadanie 52. (2 pkt)

x + 3y = 5 Rozwi ukad rwna . 2 x y = 3Zadanie 53. (2 pkt) Rozwi nierwno x 2 + 6 x 7 0 . Zadanie 54. (2 pkt) Rozwi rwnanie 2 x 3 x 2 6 x + 3 = 0 . Zadanie 55. (2 pkt) O funkcji liniowej f wiadomo, e f (1) = 2 oraz, e do wykresu tej funkcji naley punkt P = ( 2, 3) . Wyznacz wzr funkcji f. Zadanie 56. (2 pkt) Oblicz miejsca zerowe funkcji

2 x + 1 dla x 0 f ( x) = . x + 2 dla x > 0Zadanie 57. (2 pkt) Naszkicuj wykres funkcji

2 x + 1 dla x 0 f ( x) = . x + 2 dla x > 0Zadanie 58. (2 pkt) Oblicz najmniejsz warto funkcji kwadratowej f ( x) = x 2 6 x + 1 w przedziale 0,1 . Zadanie 59. (2 pkt) 2 Wielomiany W ( x ) = ax( x + b ) i V ( x ) = x 3 + 2 x 2 + x s rwne. Oblicz a i b. Zadanie 60. (2 pkt) 3 x Wyraenie zapisz w postaci ilorazu dwch wielomianw. x 3 x +1 Zadanie 61. (2 pkt) Napisz rwnanie prostej rwnolegej do prostej o rwnaniu 2 x y 11 = 0 i przechodzcej przez punkt P = (1, 2). Zadanie 62. (2 pkt) Wyznacz rwnanie okrgu stycznego do osi Oy, ktrego rodkiem jest punkt S = (3, 5) .

84

Zadanie 63. (2 pkt) Wyznacz rwnanie okrgu o rodku S = (3, 5) przechodzcego przez pocztek ukadu wsprzdnych. Zadanie 64. (2 pkt) Wyznacz rwnanie prostej zawierajcej rodkow CD trjkta ABC, ktrego wierzchokami s punkty: A = ( 2, 1) , B = (6,1) , C = (7,10 ) . Zadanie 65. (2 pkt) W trjkcie prostoktnym, w ktrym przyprostoktne maj dugoci 2 i 4, jeden z ktw ostrych ma miar . Oblicz sin cos . Zadanie 66. (2 pkt)

1 Kt jest ostry i sin = . Oblicz 3 + 2tg 2 . 4Zadanie 67. (2 pkt) Punkt D ley na boku BC trjkta rwnoramiennego ABC, w ktrym AC = BC . Odcinek

AD dzieli trjkt ABC na dwa trjkty rwnoramienne w taki sposb, e AB = AD = CD(patrz rysunek). Oblicz miary ktw trjkta ABC.

C

D

A

B

Zadanie 68. (2 pkt) Oblicz pole trjkta rwnoramiennego ABC, w ktrym AB = 24 i AC = BC = 13 . Zadanie 69. (2 pkt) Liczby 4, 10, c s dugociami bokw trjkta rwnoramiennego. Oblicz c. Zadanie 70. (2 pkt) Liczby 6, 10, c s dugociami bokw trjkta rwnoramiennego. Oblicz c. Zadanie 71. (2 pkt) Liczby 6, 10, c s dugociami bokw trjkta prostoktnego. Oblicz c. Zadanie 72. (2 pkt) Liczby x 1 , x, 5 s dugociami bokw trjkta rwnoramiennego. Oblicz x.

85

Zadanie 73. (2 pkt) Obwd czworokta wypukego ABCD jest rwny 50 cm. Obwd trjkta ABD jest rwny 46 cm, a obwd trjkta BCD jest rwny 36 cm. Oblicz dugo przektnej BD. Zadanie 74. (2 pkt) Ile wyrazw ujemnych ma cig ( an ) okrelony wzorem a n = n 2 2n 24 dla n 1 ? Zadanie 75. (2 pkt) Liczby 2, x 3 , 8 s w podanej kolejnoci pierwszym, drugim i czwartym wyrazem cigu arytmetycznego. Oblicz x. Zadanie 76. (2 pkt) Wyrazami cigu arytmetycznego ( an ) s kolejne liczby naturalne, ktre przy dzieleniu przez

5 daj reszt 2. Ponadto a3 = 12. Oblicz a15 .Zadanie 77. (2 pkt) Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych takich, e w ich zapisie dziesitnym wystpuje jedna cyfra nieparzysta i trzy cyfry parzyste? Uwaga: przypominamy, e zero jest liczb parzyst. Zadanie 78. (2 pkt) Ile jest liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 15 lub 20? Zadanie 79. (2 pkt) Ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych, w ktrych cyfra dziesitek jest o 2 wiksza od cyfry jednoci? Zadanie 80. (2 pkt) Na jednej prostej zaznaczono 3 punkty, a na drugiej 4 punkty (patrz rysunek). Ile jest wszystkich trjktw, ktrych wierzchokami s trzy spord zaznaczonych punktw ?

Zadanie 81. (2 pkt) rednia arytmetyczna liczb: 3, 1, 1, 0, x, 0 jest rwna 2. Oblicz x.

86

Zadanie 82. (2 pkt) Oblicz redni arytmetyczn danych przedstawionych na poniszym diagramie czstoci czsto w % 45

30 15 10 0 0 1 2 3 warto

Zadanie 83. (2 pkt) Oblicz median danych: 0, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 1. Zadanie 84. (2 pkt) Oblicz median danych przedstawionych w postaci tabeli liczebnoci

warto liczebno

0 4

1 3

2 1

3 1 jedn liczb. Oblicz

Zadanie 85. (2 pkt) Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} wybieramy losowo prawdopodobiestwo otrzymania liczby podzielnej przez 3 lub przez 2.

Zadanie 86. (2 pkt) Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych wybieramy losowo jedn liczb. Oblicz prawdopodobiestwo otrzymania liczby podzielnej przez 15. Zadanie 87. (2 pkt) Rzucamy dwa razy symetryczn szecienn kostk do gry. Oblicz prawdopodobiestwo otrzymania iloczynu oczek rwnego 5. Zadanie 88. (2 pkt) A i B s takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w , e A B oraz P( A) = 0,3 i P(B ) = 0,4 . Oblicz P ( A B). Zadanie 89. (2 pkt) A i B s takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w , e A B oraz P( A) = 0,3 i P(B ) = 0,7 . Oblicz prawdopodobiestwo rnicy B \ A .

87

Zadanie 90. (2 pkt) Przektna szecianu ma dugo 9. Oblicz pole powierzchni cakowitej tego szecianu.

9

Zadanie 91. (2 pkt) Przekrj osiowy stoka jest trjktem rwnoramiennym o podstawie dugoci 12. Wysoko stoka jest rwna 8. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stoka.

8

12Zadanie 92. (2 pkt) Oblicz sinus kta midzy przektn szecianu a jego paszczyzn podstawy.

88

Zadanie 93. (2 pkt) Czworokty ABCD i APQR s kwadratami (patrz rysunek). Udowodnij, e BP = DR .

D

C

Q R P

AZadanie 94. (2 pkt) Na boku BC trjkta ABC wybrano punkt D tak, by

BCAD = ABC . Odcinek AE jest

dwusieczn kta DAB. Udowodnij, e AC = CE .

C

D E

A

B

89

ZADANIA OTWARTE ROZSZERZONEJ ODPOWIEDZI

Zadanie 95. Oblicz sum wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wycznie za pomoc cyfr wybranych ze zbioru {0, 1, 2, 3}. Zadanie 96. Z pojemnika, w ktrym s dwa losy wygrywajce i trzy losy puste, losujemy dwa razy po jednym losie bez zwracania. Oblicz prawdopodobiestwo, e otrzymamy co najmniej jeden los wygrywajcy. Wynik przedstaw w postaci uamka nieskracalnego. Zadanie 97. Z miejscowoci A i B oddalonych od siebie o 182 km wyjedaj naprzeciw siebie dwaj rowerzyci. Rowerzysta jadcy z miejscowoci B do miejscowoci A jedzie ze redni prdkoci mniejsz od 25 km/h. Rowerzysta jadcy z miejscowoci A do miejscowoci B wyjeda o 1 godzin wczeniej i jedzie ze redni prdkoci o 7 km/h wiksz od redniej prdkoci drugiego rowerzysty. Rowerzyci spotkali si w takim miejscu, e rowerzysta 9 jadcy z miejscowoci A przeby do tego miejsca 13 caej drogi z A do B. Z jakimi rednimi prdkociami jechali obaj rowerzyci? Zadanie 98. Ucze przeczyta ksik liczc 480 stron, przy czym kadego dnia czyta tak sam liczb stron. Gdyby czyta kadego dnia o 8 stron wicej, to przeczytaby t ksik o 3 dni wczeniej. Oblicz, ile dni ucze czyta t ksik. Zadanie 99. Liczby a, b, c tworz w podanej kolejnoci cig geometryczny. Suma tych liczb jest rwna 93. Te same liczby, w podanej kolejnoci s pierwszym, drugim i sidmym wyrazem cigu arytmetycznego. Oblicz a, b i c. Zadanie 100. Wyznacz wzr na n-ty wyraz cigu arytmetycznego wiedzc, e suma pierwszych piciu jego wyrazw jest rwna 10, a wyrazy trzeci, pity i trzynasty tworz w podanej kolejnoci cig geometryczny. Zadanie 101. Podstaw ostrosupa prawidowego czworoktnego ABCDS jest kwadrat ABCD. Pole trjkta rwnoramiennego ACS jest rwne 120 oraz AC : AS = 10 : 13 . Oblicz pole powierzchni

bocznej tego ostrosupa.

90

Zadanie 102. Podstaw ostrosupa ABCDE jest kwadrat ABCD. Punkt F jest rodkiem krawdzi AD, odcinek EF jest wysokoci ostrosupa (patrz rysunek). Oblicz objto ostrosupa, jeli wiadomo, e AE = 15 , BE = 17 .

E

D F A B

C

Zadanie 103. Dany jest trjkt prostoktny ABC, w ktrym BC = 30 , AC = 40 , AB = 50 . Punkt W jest

rodkiem okrgu wpisanego w ten trjkt. Okrg wpisany w trjkt ABC jest styczny do boku AB w punkcie M. Oblicz dugo odcinka CM. B

M W CZadanie 104. Na zewntrz trjkta prostoktnego ABC, w ktrym

A

ACB = 90 oraz AC = 5 , BC = 12 EHA = 90 .

zbudowano kwadrat ACDE (patrz rysunek). Punkt H ley na prostej AB i kt Oblicz pole trjkta HAE. D

C

E HZadanie 105.

A

B

Wyka, e prawdziwa jest nierwno 2 50 + 1 + 2 50 1 < 2 26 .

91

Zadanie 106. Udowodnij, e jeli a) x, y s liczbami rzeczywistymi, to x 2 + y 2 2 xy .

1 b) x, y, z s liczbami rzeczywistymi takimi, e x + y + z = 1 , to x 2 + y 2 + z 2 . 3Zadanie 107. Punkt D ley na boku BC trjkta rwnoramiennego ABC, w ktrym AC = BC . Odcinek

AD dzieli trjkt ABC na dwa trjkty rwnoramienne w taki sposb, e AD = CD orazAB = BD (patrz rysunek). Udowodnij, e ADC = 5 ACD .

C

D

A

B

Zadanie 108. Dane s dwa pokrgi o wsplnym rodku O i rednicach odpowiednio AB i CD (punkty A, B, C, D i O s wspliniowe). Punkt P ley na wewntrznym pokrgu, punkt R ley na zewntrznym pokrgu, punkty O, P i R s wspliniowe. Udowodnij, e APB + CRD = 180 .

R

P

A

C

O

D

B

92

Przykadowe zadaniaOdpowiedzi do zada zamknitychNr zadania1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Odpowied A C B A A B D B D A D C C A B D C C B B B D B C C

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

A C D A B C B C B C B A C B B A A A B B C A D B

B

Odpowiedzi do zada otwartychNr zadania 51 Odpowied Nr zadania Odpowied30 trjktw x=7 0,9

52

5 8 x = 2, y =1 x=x 7,1

80

81 82 83

53 54 55

x=

56 57 58 59 60 61 626364 65

1 lub x = 3 lub 2 x= 3 1 7 y = x+ 3 3 1 x= 2

1 1 7 11 1 15 1 18 0,4 0,4162 60

84 85 86 87 88 89

wykresy = 4a =1 b =1 x 2 + 6x + 3 (x 3)(x + 1) 2x y = 0

(x 3)

2

+ ( y + 5) = 92

90 919293 94

(x 3)2 + ( y + 5)2 = 34y = 2x 4 2 5

3 3 dowd dowd

93

66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79

47 1536 , 72 , 72 60 c = 10 c = 6 lub c = 10

95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

10392

7 10 7 km h , 14 km h 15 a=3 a = 31 b = 15 lub b = 31 c = 75 c = 31

c = 8 lub c = 2 34 x = 5 lub x = 6 BD = 16

a n = 2 lub a n = 3n 720 313 64 209 3 2 145 750 169 dowd dowd dowd dowd

5 wyrazwx=7

a15 = 72 2125 9 liczb 72 liczby

94

OKE POZNA

OKE GDASK OKE OMA

OKE WARSZAWA

OKE D OKE WROCAW OKE JAWORZNO

OKE KRAKW

Centralna Komisja Egzaminacyjna ul ucka 11, 00-842 Warszawa tel. 022 656 38 00, fax 022 656 37 57 www.cke.edu.pl [email protected] OKE Gdask ul. Na Stoku 49, 80-874 Gdask, tel. (0-58) 320 55 90, fax.320 55 91 www.oke.gda.pl [email protected] OKE Jaworzno ul. Mickiewicza 4, 43-600 Jaworzno tel.(0-32) 616 33 99 w.101 fax.616 33 99 w.108, www.oke.jaw.pl [email protected] OKE Krakw al. F. Focha 39, 30-119 Krakw tel.(0-12) 618 12 01/02/03, fax.427 28 45 www.oke.krakow.pl [email protected] OKE oma ul. Nowa 2, 18-400 oma Tel/fax. (0-86) 216 44 95 www.okelomza.com [email protected] OKE d ul. Praussa 4, 94-203 d tel. (0-42) 634 91 33 s: 664 80 50/51/52 fax. 634 91 54 www.komisja.pl [email protected] OKE Pozna ul. Gronowa 22, 61-655 Poznatel.(0-61) 852 13 07, 852 13 12, fax. 852 14 41

www.oke.poznan.pl [email protected]

OKE Warszawa ul. Grzybowska 77, 00-844 Warszawa tel. (0-22) 457 03 35, fax. 457 03 45 www.oke.waw.pl [email protected] OKE Wrocaw ul. Zieliskiego 57, 53-533 Wrocaw tel. sek. (0-71) 785 18 52, fax. 785 18 73 www.oke.wroc.pl [email protected]

Mat In Format Or 10

Documents