MANIFOLDS SUAVES Y SUS MORFISMOS

Chapter 2

MANIFOLDS SUAVES Y SUS MORFISMOS

En este capiacutetulo estudiaremos las propiedades elementales de los objetos baacutesicos de la topologiacutea diferencial los manifolds suaves y sus morfismos A diferencia de la manera estaacutendar como estas nociones son presentadas en la mayoriacutea de los textos en los que se define la estructura suave utilizando cartas o sistemas coordenados hemos preferido optar por el punto de vista de los espacios anillashydos A juicio de los autores esta presentacioacuten ofrece algunas ventajas ya que permite dar un tratamiento uniforme de las construcciones baacutesicas en las distinshytas categoriacuteas que apareceraacuten a lo largo de estas notas Superficies de Riemanll Manifolds Complejos Variedades Algebraicas Esquemas cte Ademaacutes el lecshytor tambieacuten encontraraacute una presentacioacuten de los conceptos en el estilo claacutesico que esperamos sea amigable tanto para matemaacuteticos como para fiacutesicos

21 Manifolds suaves

Comenzamos nuestra presentacioacuten de la nocioacuten de manifold suave introduciendo un concepto maacutes primitivo el de manifold topoloacutegico

Definicioacuten 211 Un n-manifold topoloacutegico M para n O es un espacio topoloacutegico Hausdorff segundo contable localmente homeomorfo a IRn Esta uacutelshytima condicioacuten significa que para cada punto p E vE existe un entorno U de p y un homeomorfismo P U --+ [j a un abierto [j IR

Observacioacuten 212 Muchas veces omitiremos el prefijo n y diremos simpleshymente man~fold topoloacutegico

Ejercicio 213 Demuestre que un espacio topoloacutegico es unO-manijold topoloacutegico si y soacutelo si es un conjunto numerable dotado de la topologiacutea discreta

Ejercicio 214 DernuestTe q71e el espado topoloacutegico vaciacuteo es un n-manifold topoloacutegico) para todo n O

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60 CHAPTER 2 llANIFOLDS SUAVES y SUS MORFIS1vWS

Al entero n se le denomina la dimensioacuten de IvI y como veremos a continshyuacioacuten es un entero bien definido siempre que 11 no sea vaciacuteo Esto se deduce del Teorema de Invarianza de Dominio de Bro1iquestwer el cual se demostraraacute en el Capiacutetulo 4

Teorema 215 (Browuer) Si U es un abieTto de]R y f U -4 ]R es continua einyectiva entonces f (U) es abierto en]Rn (fl])

Corolario 216 Si U e ]R y V ]Rm son abiertos no vaciacuteos y homeomorfos entonces n = m

Demostracioacuten Supongamos por el absurdo que m =1 n digamos m lt n y que existe un homeomorfismo ltp U -4 V Definamos i ]Rm -4 R como

i (Xl iexcl171) = (xl xmO 0) ---v--

n-1n

Esta funcioacuten es continua e inyectiva pero iacute (]Rm) 110 es abierto en ]R ni contiene ninguacuten subconjunto no vaciacuteo que sea abierto Si f denota la composicioacuten

U v entonces f es continua e inyectiva pero f (U) i (V) e i (]Rm) no es abierto en ]Rn lo cual contradice el Teorema 215 bull

Corolario 217 Si M es un man-~fold topoloacutegico no vaciacuteo entonces su dimenshysioacuten estaacute bien definida

Demostracioacuten Supongamos que 111 es simultaacuteneamente un 7n-manifold topoloacutegico y un n-manifold topoloacutegico Sea p E 111 Y supongamos que existen entornos abiertos U y V de p en lvI subconjuntos abiertos U e ]R v e ]Rro y homeshy0l11orfismos p U U lj V -4 V Los conjuntos p (U n V) e U e lR y-4

lj (U n V) e V e ]Rm son abiertos de ]Rn y ]Rm respectivamente y p o 1

lj (U n V) -gt p (U n V) seriacutea un homeomorfismo entre ellos lo cual obliga a que m = 71 por el Corolario 216 bull

Notacioacuten 218 De aquiacute en adelante dim iVI denotaraacute a la dimensioacuten de 111

A continuacioacuten definiremos la nocioacuten de manifold suave corno UIl espacio topoloacutegico Hausdorff y segundo contable dotado de una estructura de espacio anillado con UIla sheaf de funciones SllaVeS cuyo modelo local son funciones suaves de un cierto abierto de ]R En forma precisa

Definicioacuten 219 Un n-manifold suave es un espacio anillado (11 CJM ) donde iexcllIl es un espacio topoloacutegico Hausdorff y segundo contable CJM es una subsheaf de la sheaf de funciones con valores reales sobre iexclvI el cual satisface la siguiente propiedad Para cada punto pE 1v1 existe un entorno U de p tal que (U CJA I U) es isomorfo como espacio anillado a (U IU) donde U e ]R es abier-to y CJif denota la sheaf de funeiones suaves con valores reales sobTe JRiexcl

21 MANlFOLDS SUAVES 61

Observacioacuten 2110 De aq~LIacute en adelante rn-man~fold sign~icaraacute oh-manifold suave Ij man~fold sign~icaraacute man~fold suave Al denotaraacute un manifold (111011) o el manifold topoloacutegico VI dependiendo del contexto

Notemos que un n-manifold es en particular ~tn n-manifold topoloacutegico A la sheaf OM se le denomina la estructura suave de 1vI la cual deteTrnina el conj1mto de ~funciones suaves con valores reales en cada abierto de Al Existen manifolds topoloacutegicos que no admiten ninguna estructura suave A estos se les llama manifolds no suavizables

La sheaf OM es una sheaf de R-aacutelgebms es las funciones constantes en cada abierto U de 11 pertenecen a ()iexcliexcl(U) y dotan a este anillo (con el prod7lctousual de funciones) de una est17Lctura natural de R-aacutelgebra Sea rp U -gt U mt homeomorismo que induzca 1m isomorismo de sheaves rp C[f Ifj -7 OM IU viacutea pull-back de funciones Si c E C~ Ifj denota la funcioacuten constante con valor c entonces c rp (c) E OM IU lo cual m7Lestra que O M IU contiene todas las constantes Ademaacutes es claro que

zp(cf) cf o zp = c(f o zp) = c zp(f)

y en conseC7iCncia es un isomorfismo de R - aacutelgebras Ademaacutes como se demuestra en la siguiente proposicioacuten pam cada p E iexclvI si

Otp denota el stalk de OM en p entonces OMp es un anillo local cuyo uacutenico ideal maximal mp e OM p consiste de todos los geacutemtenes de funciones que se anulan en el punto p

Note que todo O-manifold topoloacutegico se puede dotar de manera uacutenica de una estructura suave

Ejercicio 2111 Es posible dar una deinicioacuten de manifold topoloacutegico corno un tmiddotiquestpo especial de espacio anillado Un n-manifold topoloacutegico es un espacio anilshylado (IvI OM) donde M es 1Ln espacio topoloacutegico Hausdmff y segundo contable y para cada punto p E IvI existe un ento17lo U tal q11C (U O M IU) es isomorfo como espacio anillado a (U C~ IU) donde U es un abierto de Rn Demuestre que las dos definiciones son equivalentes

Denotemos por ep OMp -7 lR a la funcioacuten evaluacioacuten definida como ep Up ) f (p) Esta funcioacuten es claramente un homomorfismo de ]R--aacutelgebras y de 3 se que es ademaacutes sobreyectiva

Proposicioacuten 2112 Para cada p E 11 el stalk OMp es un anillo local cuyo uacutenico ideal maximal mp e O Mp consiste de todos los geacuteTrnenes de funciones que se anulan en el punto p

Demostracioacuten Para cada punto pE 111 sea mp = Up E ()iexclvfp f (]raquo O Claramente ker ep = mp y como ep es un homomorfismo sobreyectivo eacuteste induce en el cociente un isomorfismo de lR-aacutelgebras O Mpmp R de lo cual se deduce que mp es un ideal maximal de OMp

Para ver que mp es el uacutenico ideal maximal de (htp basta ve~ que todo

elemento que no esteacute en mp es invertible Supongamos que (j Up --- Uf e R n es

62 CHAPTER 2 MANIFOLDS SUAVES y SUS MORFISMOS

un homeomorfismo definido en un entorno de p donde q denota el punto u(p) y cuyo pull-back induce un isomorfismo de R~aacutelgebras

Supongamos que fI eacutel mI y tomemos fq E C~ q con Vq e Uq tal que u (f) = f Como f (p) =1= Ose sigue que f(q) =1= O Tomemos Wq e Vq UIl entorno de

q suficientemente pequentildeo de tal forma que f no se anule en ninguno de sus puntos y por consiguiente f tampoco se anula en ninguacuten punto de su preimagen Wp umiddot l (Wq) Claramente g = lf E C~CWq) y gf = 1 en Wq de donde se

signe que u(gf) u(g)f 1 en Wp y por lo tanto fp es invertible bull A continuacioacuten veremos coacutemo un espacio topoloacutegico Hausdorff y segundo

contable que admita una coleccioacuten de cartas que forme un atlas puede dotarse de una estructura suave es decir de una slleaf de funciones de tal forma que el espacio anillado correspondiente resulte ser un manifold

Sea M un espacio topoloacutegico Hausdorff y segundo contable Una carta en Iv es un par (U ep) donde U es un abierto de lv y ep U -t Rn es un homeOIllOrfisll1o de U en un abierto U e R Cada punto p E U tiene coo7denadas locales (xl (p) xn (p)) E Rn con respecto a la carta (U ep) donde las funciones coordenadas xi U -t iacute = 1 n se definen como

uidonde Rn -t R denota la i~eacutesil1la coordenada de Rn Algunas veces escribiremos (U xl Xn) en lugar de (U ep)

Definicioacuten 2113 Un atlas pam Iv es una familia (Ua epa) aEA de cartas la cual satisface las siguientes propiedades

1 El entero n(c~) tal que epc(Ua ) Rn(ct) es independiente de 0

2 Los abiertos EA forman 1m cubrimiento de Iv

S Para cada par de abiertos Uet y Up cuya interseccioacuten no sea vaciacutea las funciones de transicioacuten o de cambio de coordenadas

hpo o ep-l epo (Uet n Up) epp (U n Ur)

hap = epa Oep~l ir3 (U n UB) - epo (U n U(3 )

son funciones suaves

Observacioacuten 2114 No todo espacio topoloacutegico Hausdorff ]J segundo contable admite un atlas Maacutes auacuten no todo manifold topoloacutegico admite un atlas ya que corno se veraacute en la Proposicioacuten 2119 todo atlas induce una estructura suave Pero sabemos que existen rnan~lolds topoloacutegicos que no son suavizables

Ejercicio 2115 Demuestre que exi8te una funcioacuten biyediva suave con inshyversa suave (es decir un difeomorfisrno) entre la bola unitaria centrada en el origen Bl (O) = E R lt 1 Y todo R

6321 MANIFOLDS SUAVES

Figure 21 Funciones de transicioacuten

Ejercicio 2116 DemuestTe que si 11 es un manifold es posible encontrar un

atlas (UPn)QEA para M con P(UoJ = lRn

Notacioacuten 2117 Denotemos las coordenadas locales Yn y Yiexcl3 por (xl xn) y (yl yn) La ftmcioacuten de transicioacuten h3Q deteTmina funciones SiexclULVeS yi y(x l ) xn ) de tal forma que h l3a puede escribirse en las coordenadas estaacutendar de lRn como

h3a(x l bull xn ) = (yl (xl Xn

) bullbull y (Xl xn ))

para cada punto (xl xn) en Yo (Ua n U(3) Con eoSta notacioacuten escribiremos para referirnos a h aa

Todo atlas A = (Ua Pa) aEA en un espacio topoloacutegico Hausdorff y segundo contable M permite definir una sheaf de funciones suaves de la siguiente manera Fijemos un abierto U e 11 Una funcioacuten f U -t lR se llama suave si para cada punto p E U existe una carta (Ua E A tal que p E Ua y la funcioacuten

fo

es suave en un entamo de Ya (p)

Observacioacuten 2118 Esta definicioacuten no depende de la cooTdenada Yrlt S1lpongshyamos qlle p E U3 con (U(3 Yf3) E A Entonces como

y la composicioacuten de funciones suaves es Sllave f o es una funcioacuten smwe en

un entomo de Y f3 (p)

64 CHAPTER 2 1vlANIFOLDS SUAVES y SUS MORFISMOS

A la coleccioacuten de funciones suaves sobre U la denotamos por CAM (U) Cada CA A (U) con las operaciones de suma y multiplicacioacuten de funciones forma una IR-aacutelgebra Ademaacutes para cada par de abiertos V e U la restriccioacuten usual de funciones p~ CAM (U) - CAlIJ (V) es un homomorfismo de IR-aacutelgebras Es faacutecil ver dada la naturaleza local de la definicioacuten de funcioacuten suave que CAM es una sheaf de R-aacutelgebras sobre A1 llamada la sheaf de f~mciones suaves A

Proposicioacuten 2119 Sea Al un espacio topoloacutegico HausdorjJ y segundo conshytable Todo atlas A = (Un nEA dota a Al de una sheaf de funciones sUaves CA 1 de tal manera que el par (111 CAA) resulta ser un manifold Reciacuteprocashymente siacute (A1 OM) es un man~fold y 2[ (U Pu) es Una coleccioacuten de abiertos que cubren a A1 acomparlados de isomorfismos locales

entonces el atlas 2[ definido de la manera obvia por 2[ induce a Stiquest vez la she(4 01H es decir CifM OMmiddot

Demostracioacuten Sea A = (U Pn) un n-atlas para Al y CAM su sheaf de funciones suaves Por la Proposicioacuten 2112 (vI CA A ) es un espacio anillado

local Hay que demostrar que el morfismo Pn (U(1 CAM IU(1) - (Ue CiR1 Un) ~n U~ = f(1(UoJ es un isomorfismo de espacios anillados Sea f (W) con

Wc Uen un abierto La funcioacuten P~(f) iexcl o Pa pertenece el CAM l(W)) si

y soacutelo si (f o Ya) O es suave en VV Pero esta funcioacuten es iexcl que por hipoacutetesis

es suave en lV Similarmente si g E CAM (V) con V e Ua un abierto entonces f~ h (9) 9 o y E Cjiexcl (P a (V)) De lo anterior se sigue que Ya es U11 morfislllo de espacios anillados con inversa P~ 1 Y por consiguiente uu isomorfismo de espacios anillados Por lo tanto (Al CA M ) es un manifold

Reciacuteprocamente supongamos que (A1 OA) es un manifold Sea 21 un atshylas conformado por parejas (U Pu) donde UU = M y Pu (U OM IU) -

(U IU) es un isomorfismo de espacios anillados para cada U Entonces si

u i denota iacute-eacutesima coordenada en Rn se tiene que

P~J (ui ) u i o fu = Pu E OM (U)

para todo i 1 n Sean U y V dos abiertos de 21 tales que U n V r 0 Veamos que hvu = Pv o PUl es una funcioacuten suave en Pu (U n V) Basta probar que htu = ui (hvu) = PtoP[ es una funcioacuten suave en YU (U n V) para todo i bullbullbullbullbullbull 1 n Puesto que (Pu Puacute) es un isomorfismo de espacios anillados esto es equivalente a demostrar que

Pero esto es claro ya que

IVmiddot o 11 o A r Pi (Unv) tu lunv o

Pvlunv E OM (U n V)

21 MANIFOLDS StHVES 65

Lo anterior muestra que 21 = (U Pu) es un atlas para A1 que por la forma como fue construido induce la misma estructura suave que vI poseiacutea bull

Ejercicio 2120 Sea lvI un cOlljunto y A = (UP)aEA una coleccioacuten de subconjmtos Uo de Al cuya unioacuten es lvI acompantildeados de biyecciones Po

Un --gt fjCo donde cada fja es un abierto de ~n tal que para todo a f3 E A con Un n Uiacute3 -=1 (iexcl) Pa(Ua n U(3) y Pe(Un n Ufl) son abiertos de ~ y las funciones

Pe o Po(Un n Uiexcl3) --gt P3(Ua n Ut3) Y

Po o Pp(Un n Up) ~-+ Pn(Ua n Up)

son suaves

1 Dernuestre qLe el confunto W e 1vI PQ(W n Un)es abierto para todo a es ww topologiacutea para jJ y

2 que si el coTTespondiente espacio topoloacutegico es H(l7Lsdorff y segundo conshytable entonces A es un atlas para Al y por lo tanto dota a vI de mw estnut1tra suave CA M

Es posible que dos atlas sobre un mismo manifold topoloacutegico definan estrucshyturas suaves distintas A continuacioacuten caracterizamos esta situacioacuten

Definicioacuten 2121 Sea lvI un espacio topoloacutegico Hausdorff y segundo contable y sea A (Un Pa) aEA un atlas para M Una carta (U P) de A1 (qlle no pertenece necesaTiamente a A ) se dice que es compatible con el atlas A si 1Jam todo Uo q1te intersecta a U la funcioacuten P 0 P1 Pa (U n Uo) --gt P (U n Ua ) es 1m d~feomorjismo entre abiertos de ~n Dos atlas A y B para IvI se dice que son equivalentes si cada una de las caTtas de B es compatible con A

Lema 2122 La equivalencia de atlas es una relacioacuten de equivalencia

Ejercicio 2123 Demuestre este lema

Proposicioacuten 2124 Sea A1 un espacio topoloacutegico Hausdorff y segundo conshytable Entonces en cada clase de equivalencia de atlas sobre Af hay un uacutenico atlas maximal

Demostracioacuten Basta demostrar que cada atlas sobre AJ es equivalente a un uacutenico atlas maximaL Sea A (UoPa)aEA un atlas sobre vI Definamos un atlas A como la clase de todas las cartas (U P) compatibles con A Claramente A e A t Tomemos (U P) (V 1) E A y veamos que P o 1 11 (U n V) --+

P (U n V) es suave Sea pE1) (U n V) Veamos que P o 1jJ-l es suave en un entorno de p Sea (UQ Po) E A tal que 1jJ-l (p) E Ua Entonces Pa o 1jJ-l 1jJ (Uo n V) -- Pa (Ua n V) es suave y P o P1 Pa (U n Un) --gt P (U n Ua ) es suave Sea W un entorno de p contenido en 1jJ (U n V n Uo) En lV tenemos que

-1 1 o 1 ti) 01-1P o 11) y y~ Ya )

66 CHAPTER 2 MANIFOLDS SUAVES y SUS AI0RFISiacutevIOS

y aHiacute p olJ -1 es suave en W Similarmente He prueba que 1 o p-l p (U n V) --gt

1J (U n V) es suave Por lo tanto Al es un atlas de M Claramente Al es maximal (bajo la relacioacuten de inclusioacuten) pues si (VlJ)

es una carta de M compatible con Al seraacute en particular compatible con A La unicidad es inmediata ya que si A es otro atlas l1laximal equivalente a A entonces A e A porque de lo contrario A U Aseriacutea equivalente a A y contendriacutea a A propiamente violando la maximalidad de AI

Entonces A e A e Al pero la maximalidad de A obliga a que Al Al

bull Observacioacuten 2125 Insistimos en que es posible q11e la coleccioacuten de atlas para un espacio topoloacutegico y segundo contable puede ser vaciacutea

22 Ejemplos de manifolds suaves

En esta seccioacuten damos algunos ejemplos de manifold s suaves

Ejemplo 221 Todo abierto fj de R n dotado de la sheaf CiexclI fj de funciones

suaves con valores reales restringida a es un man~fold En general si (lV[OM) es un man~fold y U es cualquier abierto de M entonces (U OMIU) es un manifold

Ejemplo 222 Sea eJen una base de un espacio vectorial real V Sea p V -~ lRn el isomorfismo que asocia a cada vector de V sus coordenadas en esta base El conjunto (Vp) satisface las hipoacutetesis del Ejercicio 2120 Y por lo tanto dota a V de estructura de manifold Veamos ql1e esta estr1tctura es independiente de la base elegida Sea ei e~ otra base de V y sea pI V --gt JFtn elisomorlismo correspondiente Si el cambio de base es dado por ei = iquest Pije i j = 1 n entonces el cambio de cartas estaacute determinado por la funcioacuten lineal

pI o p-1(Xl xn) = (iquestXiPil iquest r Pin)

Puesto que cada componente de pI o p-l es suave o p-l es Sl1ave Por simetriacutea su inversa p o (p) -1 tambieacuten es suave Esto nos dice que los atlas (Vp) y (V pI) son compatibles y por lo tanto determinan una misma esshytructura suave sobre V Esta est7uctum se llama la estructura suave estaacutendar de V

En particular el conj1mto Mnxm (R) de matrices Teales de tamantildeo n x m tiene estT1tctura de manifold nrn-diacutemensional ya que este conjunto puede verse corno un espacio vectorial real de dimensioacuten nm La base canoacutenica

E 2rn bullbull En 1 Ertrn

donde Eij [ekd representa la matriz n x m cuya uacutenica entrada no nula es eij = ldefine coordenadas que asocian a wda matriz A la nm-~tupla que se obtiene colocando las filas de A una a contimtaci6n de la otm

22 EJEMPLOS DE MANIFOLDS SUAVES 67

DFPTO DE BTBLJOTECAS BIBLIOTECA EFE GOMEZ

Figure 22 Proyeccioacuten estereograacutefica

Ejemplo 223 Definimos la O-esfera SO como el subespacio topoloacutegico

1 -lI

Este es un O-manfold topoloacutegico y por lo tanto en un manifold suave (y de manera uacutenica) Para cualq1tier entero n 2 1 definimos la n-esjera sn como el s7tbespaoacuteo topoloacutegico de Rn+ 1 dado por

2(iexcln) l

Este espacio hereda las propiedades de ser Haltsdorff y segundo contable Podeshyrnos dotar a sn de una estntctura suave utilizando las 1)royecciones esteTeogTaacuteshyficas Sean N = (O 0 1) Y S = (O O -1) los polos norte y S111 de sn y definamos U s sn N Y UN=--= sn - S Introduzcamos las funciones de proyeccioacuten estereograacutefica 9 s Us Rn y 911 UN IRn definidas p01

ArS (e 1 Xn+l)

y Xl iexcln

911 (Xl ) == ( 1 + Xn+ 1 bull 1 +

(rps (Xl xn+l) es el pnnto de interseccioacuten de la recta en JRn+l que une a (xl iexcln+l) con N con el plano 1 =0 (similannenteparaPN (xl xn+1)) ver Figum )Es claro q1te Ps Y PN son continuas Ademaacutes se puede ver faacutecilmente qtte estas funciones son biyectivas 11 que S1tS inVCTsas son continshynas Simplemente calculamos expHcitarnente sus inveTsas PSI Rn - Us 11 P- Rn UN Estas son dadas l)()T

68 CIIAPTER 2 MANIFOLDS SUAVES y SUS MORFISMOS

y

PNtilde 1 (y 1 yn) = (1 + lyl2rl

(2 y l 2yn 1_lyl2)

para cada y = (yl y) E ~n

Lo anterior muestra que (UsiexclPs) y (UNiexclPN) son cartas pam Srt Veamos que (Us iexclPs) (UN iexclPN) es un atlas para S Obviamente n(S) = n(N)== n y U s U UN = sn Las funciones de transicioacuten estaacuten dadas por

pam cada y ~n (O O) Como estas funciones son mnbas suaves res1iquestlta que sn es efectivamente un n-manifold

Observacioacuten 224 Note que en este uacuteltimo ejemplo se plldo haber considemdo a sn simplemente como un conjunto dotado de unas biyecciones que satisfacen las hipoacutetesis en el Ejerciciacuteo 2120

Ejemplo 225 Veamos como extender el resultado de la Seccioacuten 121 S1tpongshyamos dada una familia Ua de abiertos de ~ Consideremos la familia a x Ua aEA Note que en esta familia cualquiem dos miembros son disshyj7tntoS SU1JOngamos que para cada par de iacutendices a 8 hay espec~ficado un subconjwnto abierto Upa e Ua de tal forma (rUe UaO Ua y que cada Uf3Q estaacute relacionado con Ua3 por un difeomorfismo hpa Uljo -+ Ucxi3 con las siguientes propiedades

1 para cada a haa Id

h- 12 para todo a hpo cxf3

Sea 11 = U (a x Ua) dotado de la topologiacutea natural como unioacuten aEA

disjunta de espaciacuteos topoloacutegicos (es decir IV es abierto en M s0 soacutelo siacute

W n ( a x Ua) es abierto en UQ para cada a) Definamos en 1Y la sigushyiente relacioacuten

(a x) rv (p y) si y hpo (x)

Por la propiedades 1 2 Y 3 esta es una relacioacuten de equivalencia Sea A = II V el conjunto de clases de equivalencia dotado de la topologiacutea cociente Si los difeomorfismos ha3 son tales q1le M resulte ser un espacio Hausdorff y segundo contable entonces se deja como ejercicio al lector demostrar que 1v1 se pllede dotar de una estructura suave de tal forma que localmente res1iquestLte isomorfo a (Ua CRI Uo) para alguacuten a E A Cuando se haya definido el concepto de difeomorfismo entre manifolds se le sugiere al lector que demuestrc que todo manifold es difeomorfo a un man~fold obtenido de esta manera

22 EJElvlPLOS DE NIANIFOLDS SUAVES 69

Ejercicio 226 Denotemos por 1 el intervalo (-22) Sean U1 y U2 copias disjuntas de 1 y sean U21 11) UI y UI2 (-11) e U2 Tomemos h12 U12 --) U21 y h21 U21 --) U12 como la funcioacuten identidad Entonces (U1 U U2) ~ es un espacio topoloacutegico que no es HausdorjJ pe1O que es localmente homeomorfo a 1Ft

Ejemplo 227 Sea G GL (n1Ft) el conjunto de matrices c7wdradas reales invertibles G Tiene una estructura estaacutendar de n2-manifold por ser un abierto de 1vfnxn (lR) (notemos que G = l[nxn (lR) - deC 1 O donde det denota la funcioacuten determinante que es continua)

Ejemplo 228 Sean (11 Oy[) y (N ON) man~folds de dimensiones rn y n respectivamente Dotemos a 11 x N de la topologiacutea producto Claramente este eSlHlcio es H ausdorjj seg11ndo contable y puede dotarse en forma natural de una sheaf inducida por las sheaves de lv[ y N de la sig1LIacuteente manera Supongamos que Ucgt OEA y I3 iexcl3EB son cubrimientos abiertos de 11 y N respectivamente lJara 108 cuales existen isomorfismos locales

donde Uo e lRm y e lRn son abiertos para cada a (3 Para cada a la funcioacuten

x eiexcl3 Uclt x 13 --) Uo X Viexcl3

es un horneomorismo Para cada abierto W e ]v[ x N definamos OI1XN(W) como el con)unto de todas las funciones en vV que localmente (es decir en cada W ciexcl3 = W n (Uo x Viexcl3) ) son el p11ll-back viacutea epo x Oe de alguna funcioacuten suave en ltPo x eiexcl3)(vV Por la naturaleza local de la definicioacuten 0MxN es una sheaf con la restriccioacuten 11sual de funciones y por definicioacuten (NI x NOAIxN)

es localmente isomorfo a x Viexcl3 Ciexcl+ IUo x Viexcl3) de donde se sigue que este espacio anillado es 1m manifold Si escogemos dos atlas A = (Uo ltPcJLEA y

B = (Viexcl3 7Jiexcl3) iexcl3EB que induzcan las estructuras de v[ y N Tespectivamente entonces es faacutecil ver q11e el atlas definido por la coleccioacuten

(niexcl3)EAx B

induce en 11 x N la misma estructum que la dada por OMxN

Observacioacuten 229 Sean Ua y Viexcl3iexcl3EB bases para las topologiacuteas de 11 y N TespectiacuteUamente Denotemos por degM (gtQ1R 01 a la sheafificacioacuten de la presheaf que a cada abieTto base Ua x Viexcl3 de la topologiacutea producto de NI x N le asigna la lR-aacutelgebra degM (U0) XIR (JN(Ve) y cuyas restTicciones son los productos tensoriales de las restricciones de funciones corrmiddotespondientes Es faacutecil UeT que en general esta sheaf estaacute contenida propiamente en la sheaf (JM x N

Ejemplo 2210 Tomemos cualquier homeomorfismo del plano ltIgt Ir --) R 2

Pam cada abierto U e R 2 sea 0(1) (U) el anillo de funciones de la forma f o ltIgt

70 CHAPTER 2 MANIFOLDS SUAVES y SUS MORFISiJOS

--tdonde f es suave en lt1gt (U) y para cada V e U sea p~ 0lt1gt (U) 0lt1gt (V) la restriccioacuten us1wl de funciones Entonces 0lt1gt es una sheaf de aniacutellos en R2

Por construccioacuten es claro q1~e el par (lt1gtlt1gt) (R2 Oltlraquo --gt (R2 CiRn es un isomorshyfismo de espacios anillados y se sigue entonces que (R2

0lt1raquo es un manifold

La sheaf aiacute obtenida puede ser en general distinta de la sheaf usual de funshyciones suaves del plano Esto ocurre si y solamente si lt1gt no es un difeomorfismo Si por ejemplo escogemos lt1gt como lt1gt (xy) (4) (x) y) con

X si 1 lt O4gt (x)

xj2 si x ~ O

entonces la sheaf 0lt1gt es distinta de la sheaf estaacutendar C~) ya que la funcioacuten lt1gt es suave en IR2 en esta estructura (es decir lt1gt E 0lt1gt (lR2raquo pero no es ni siquiera diferenciable en el sentido ordinario (es decir lt1gt rfc C~(IPiexcl2)) Sin embargo como ambos espacios anillados son isomorfos es natural considerar ambas estructuras como equivalentes En general cuando esto ocurra diremos que los dos manifolds son difeomorfos

Ejemplo 2211 Dados enteros n y r con O S r S n denotamos por Gr (IR) el conj1tnto de todos los Subespacios vectoriales r-dimensionales de IR El confunto G r bulln (iR) es conocido como el Grassmanniano real de subespacios rshydimensionales de IR Veamos como dotar a Grn (IR) de una estrnct-nra de manifold

Sea IRn = tVOCD1-l una descomposicioacuten en suma directa de JPi) con dim W o =

r (y por tanto dim W 1 = n - r) Si T Wo --gt Wiexcl es una transformacioacuten lineal entonces su graacutefico es ident~ficable con el snbes11acio de IR

Gr (T) = v + Tv v E Wo

La funcioacuten v I-t v + Tv proporciona un isomorfismo de Wo en Gr (T) y pOT lo tanto Gr (T) tiene dimensioacuten T Observemos que Gr (T) n Wiexcl = O (de hecho IRn Gr (T) (1) VViexcl) Ademaacutes si V e IR es un subespacio r-dimensional con V n VViexcl = O (o sea JPin V ([1 Wiexcl) entonces V Gr (T) para una Uacutenica

transformacioacuten lineal T W o Wiexcl dada por

donde 7iacuteo JPin --gt Wo 7iacuteiexcl IRn --gt Wiexcl denotan las lJroyecciones relativas a la suma directa Wo (1) W 1 (la restriccioacuten de 7iacuteo a V es de hecho un isomorfismo sOiexclTe Wo)

La d-isCttsioacuten anterio nos dice que la funcioacuten

Hom (Wo Wiexcl) 3 T ~ Gr (T) E Uw

es un biyeccioacuten donde Uw denota el subconjunto de Grn (IR) definido 110r

Uw VE Grn(IR)IRn VCDWiexcl

V E Grn(lR) vnwiexcl = O

22 EJEMPLOS DE MANLFOLDS SUAVES 71

Denotemos por YWw a la funcioacuten

Hom (Ho Wd

inversa de la biyeccioacuten T f-gt Gr (T) La composicioacuten dc PI IV con un isoshy0 1

morfismo (de espacios vcctorialcs) dc Hom (Ho Wiexcl) a ]Rr(n-r) proporciorwriacutea una biyeccioacuten de Uw en ]R(n-r) Denotemos p01 P~v w a la composicioacuten de

o 1

YWoW con un isomorfismo vectorial paTticula1 de Hom(Wo iexclViexcl) a ]Rr(n-1) Vcamos que la coleccioacuten

satisface las condiciones del Ejercicio 2120 En primc1 lugar como a todo subespacio se le pliquestede hallar un complemento

diacuter-ecto es faacutecil ver que los dominios de las funciones Pw w Y por- lo tanto los de las funciones P~oIV cubren a Grn (R) Ademaacutes cada Y~w (Uw) ]Rr(n-1) es abie1to En segmldo 11lga1

1 f~vo IV (Uw n Uw) es clammente 1m abierto de ]R(n-r) y

2 veamos qlle las funciones de transicioacuten son Sllaves

Supongamos que ]Rn Wo mWiexcl W~ CI) Wiexcl

son dos descomposiciones de]Rn en suma directa con dim Wo = dim l-flOacute r Calculemos la funcioacuten YV IV deg y-iexcl Obseacutervese que flv IV Y

(p 1 llo ~ I 0 1

Piexclv IV tienen el mismo dominio y por lo tanto esta funcioacuten se1aacute unao I

biyeccioacuten de Hom (Wo Wiexcl) en Hom (WOacute Wiexcl)

Sea T E Hom(Wo Wiexcl) Querernos determinar YIV w (Gr(Traquo es deciro 1

queremos escribir- Gr (T) como el g1aacutefico de una tmnsformacioacuten lineal t l-VOacute -+

l-iacute-iexcl Consideremos entonces un punto geneacuterico = v + Tv de Gr (T) donde v E Wo Denotemos por 7r~ Rn -+ l-VOacute 7r

iexcl ]R -+ l-V1 las proyecciones cDrTespondientes a la descomposicioacuten VVOacute Il Wiexcl Escribamos x 7r~ () e y 7r~ () y definamos t (x) y Tenemos que

x = 7r~ (v) -+ 7r~ (Tv) 7r~ (v)

y que y 7r~ (v) + 7r~ (Tv) = 7r (v) + Tv

La restriccioacuten de 7r~ a Ho es un isomorfismo sobre l-VOacute Por lo tanto dado iexcl E

Woacute podemos encontrar un Uacutenico v E Wo tal qllC (7r~IIVJ-l(x) v Sustitltyendo

en y = 7r~ (v) Tv obtenemos la expresioacuten deseada pam t En resumen

l Oll-) Hom(WoWiexcl)iexclT----t E Hom (Wiquest Wiexcl)r IV IV r IV ~v

El lector ptiacuteCde verificar que esta foacuterrnula muestra qne la funcioacuten Y~v( IV deg I )-1

( PIVo IV es suave


Consideremos ahora descomposiciones en suma directa

lIt = Wo W W1 = Wo (i) H

con dim Wo r y calculemos la funcioacuten Pv o P~vl Uf bull Note que [as funshy1 (j 1ft 1 YO Vi l

dones Pw w Y Pw IV no tienen necesariamente el mismo dominio Por loD 1 O I

tanto debemos primero deterrninar el dominio de Pw IV o Piexcl- w En teacutershyo 10 YY I

minos precisos debemos determinar cuales son las transforrnaciones lineales T E Rom (Wo IV1) tales que Gr (T) = Piexcl-f w (T) pertenece a Uw esto es yo t 1 iquest

tales que 1Ft n Gr (T) (i) W Denotemos por r~ 1Ftn -gt Wo r~ 1Ftn W [as proyecciones correspondientes a la suma directa IVo (Jl H Tenemos que 1Ftn = Gr (T) el) lil si y soacutelo si la restriccioacuten de r~ a Gr (T) esunisom01fismo sobre Wo Como la f~mcioacuten v 1-gt v + Tv de Wo en Gr(T) es un isomorfi8mo se sigue que

1Ftn = Gr (T) (l W ~ la funcioacuten Wo 1 v 1-gt r~ (v + Tv) es un isomorfismo

Sea z v + Tv un punto geneacuterico de Gr (T) donde v E Wo y escribam08 x r~ (z) e y --= r~ (z) Entonces x r~ (v + Tv) = ti + r~ (Tv) e y r~ (v + Tv) = ro (Tv) Como vimos maacutes arriba la condicioacuten Gr (T) E U w es eq1livalente a la biyectividad de la funcioacuten Ho v 1-gt iexcl E lVo Luego

T E

~ 1d + ( r~ Iw) o T Wo --t IVo es biyectiva

Concluimos de aquiacute que Pwow (lhviexcl n UW) es abierto en Rom (lVo Wiexcl) Cuando la relacioacuten iexcl = x (v) es biyectiva (o sea cuando T esta de hecho en el dominio de la funcioacuten de transicioacuten que q1leremos determinar) podemos eScribiT v en funcioacuten de x y sustituir en y r~ (Tv) obtenemos asiacute wna erpre8ioacuten para y = T (x) En resumen

Pwow o Pwiexclwiexcl Rom (Wo Wiexcl) --t Rom (Wo lil)

T T=(r~lw)oT (id+(r~lwJoTrlf---gt

La foacutermula anterior muestra que la funcioacuten PwoWiexcl o PiexclJw es suave y su inversa (dada por (ma f6Tmula similar intercambiando los papeles de W1 y W) tambieacuten es suave Luego las cartas Pw y PV W son compatibles

YYo y l ()) 1

Consideremos ahora dos descompo8iciones en suma diTecta arbitraria8 1FtT =

Wo ([) Hl Y 1Ftn = Wiquest (i) W con dim Wo = dim Wiquest = T Sabemos que Pww es compatible con P~ w tambieacuten que P W es compatible con Pw PI Corno v i)l 1 yy) 1 p Y

PWoW YPwwiexcl tienen el mismo dominio se sigue qlle Pww es compatible con Pw Lo anterior muestra q~le la coleccioacuten de todas [as cartas cpun m I

P YY 1 YY Uuml 1 YY 1

donde (Ho W1) recorre el conjunto de las descomposciones en 8~lma directa 1Ft = WO(iexcl)W1 condim Wo = 1 es un atlas de dimensioacuten r (n - r) para Grn (1Ft)

Para demostrar que Grn (1Ft) es Hawrdorff y segllndo contable notemos en primer lugar que si V es Iln espacio vectorial de dimensioacuten finita y ~V lV subeshyspacios de V con dim W dim W eaacuteste un sllbespacio Z e V con V lil (IJ Z


y V = W Z Ademaacutes dados W a W~ E (R) existe un sube8pacioW ~Vl e lRn con lRn ~Va (i) ~VI 1lRn = W~ (i) Wl De aqu-iacute que la ca1ta Pw W

I

contiene a Wa y ~V~ en su dominio Entonces Pww (Wo) y Pww (W~) tienen entOTn08 di8junt08 en Hom (Wa Wiexcl) 1 ya que Hom (Wa Wiexcl) es Ha1t8shyd01JJ Grn tambieacuten lo es

Ahom veamos que el atlas en Grn (lR) formado p01 las ca1tas Pwow conshytiene un atlas finito Sea Aa el conjunto de toda8 las cadas Pwow donde lRn = ~Va el) WI dim ~Va l 1 tanto W o como ~h son genemdos p01 vectores de la base canoacutenica de lRn

Obviamente Ao es finito (precisamente Ao tiene C) elshyementos) Vamos a mostmr que Aa es un atlas pam Grn (iR) Sea V E Grn (lR) Denotemos por B la base canoacutenica de lRn 1 sea B una base arbitmrIacutea para V Como B es un conjunto linealmente independiente 11 B es un conjunto de genshyemdores pam lRll

podemos encontmr 1ln subconjunto BI de B tal que B U Bl es una base de Rn Sea WI el subespacio genemdo por B I 11 Wo el subespacio genemdo por Ba = B B 1 De aquiacute que Pw w E Ao 11 lRn V U ~Vl) o sea V o l

pertenece al dominio de Pwowiexcl De lo anterior se sigzle que el Gmssmanniano Grn (lR) es segundo contable

Ejemplo 2212 A lo largo de este ejemplo n seraacute un entero positivo fijo los elementos de lRll se representaraacuten por (ul un) 11 en los elementos de lRn considemremos la primem componente como la componente 0 la segunda componente como la componente 1 11 asiacute sucesivamente Entonces a un elshy

de lRnt1emento tiacutepico lo representaremos por (xo xn) Similarmente la base canoacutenica de lRn+l la denotaremos por ea en

Considere la relacioacuten de equivalencia Ven lR n +I ~ O definida por

X rv y~ existe AE lR~ O tal que y = AX

El conjunto cociente (lRrL+l O) es conocido como el espacio proyecshyrv

tivo real n-dimensional 11 se denota por Pil (tambieacuten es comuacuten encontrar la notacioacuten Rpn) Existe zma ident~ficacioacuten natural entre Pil 11 el Grassmannishyano Gln+l (JR) de subespacios unidimensionales de JRll+l si x E lR+1 1 0 entonces la clase de equivalencia de x

[xl = iexcl AE lR- O

se identifica con el subespaciacuteo AX AE lR de lRn+ l Esta identificacioacuten la denotaremos por Lo En el ejemplo anterior construiacutemosuna estructum suave para Gln+1 (lR) Entonces podemos pasar esta estfuctura suave a Pil a traveacutes de L De esta manera considemmos a piexcl como un ll-man~fold

Describiremos a continuacioacuten un atlas para Pi espeCialmente conveniente Para cada i = O n consideremos la descomposicioacuten en suma directa

donde Wuuml es el subespacio generado por el vector ei 11 WI es el subeslJacio genshyemdo por 108 vectores ej restantes Vamos (l iacutedent~ficar a JRn con Hom(~V(~ wf)

74 CHAPTER 2 MA11IFOLDS SUAVES y SUS MORFISMOS

a traveacutes del isomorfismo tal que

donde Tu iexclVd -t Wi es la transformacioacuten lineal tal que

1 -1 O in)T u () u u u u eiacute (

Notemos que el graacutefico de Tu es el subespacio de JRn+1 generado por el vector (U I U U bull u a Inversa lfi enna a en e e emeno (e lAo i-1 1 i n) L -1 T lit i mm

obtenido suprimiendo la i-eacutesima coordenada de T(ed E iexclVi e JRn para i O n

El dominio Uw de la f1Lncioacuten Pw wi asociada a la decomposicioacuten en suma] o I

directa Wd l iexclV consiste de los subespacios 1midimensionales de lR+ I que tienen interseccioacuten O con el hiperplano W Por lo tanto Uw se identifica viacutea 1 con el subconjunto Ui del espacio proyectivo PJit definido por

Ui == [xl 1 (XO xn) E JRn+ 1 Xi =1 O

rr t b l foacute 1- Vmiddot 111) nlenemos am zen que a uncz n Pi = lpi 1 deg PWWiexclO L i -t lA que correshy

sponde bajo la ident~ficacioacuten L a la funcioacuten Pww estaacute dada por

xi-l xi+ 1 X) Pi ([r]) x x

Obviamente Pffiquest = U=o Ui y por tanto las cartas (Ui P) ~=o constituyen un atlas para el espacio proyectivo Sus funciones de tmnsicioacuten son

u j bullbullbull

I ji~i~ u UT

si i lt j

si i gt j

23 Funciones suaves

En la Seccioacuten 21 definimos nuestros objetos de estudio En esta seccioacuten definireshymos los morfismos entre ellos

Definicioacuten 231 Sean (ilv1 Olvd Y (N ON) manifolds Una funcioacuten f 1-1 -t

N se dice suave si el par (j 1) define un morfismo de espacios anillados Una funci6n f se llama un difeomorfismo si el morfismo (j1) es 1m isomorfismo de espacios anillados Decirnos que f es nn difeomorfismo local si cada punto p E A posee un entorno U e lH tal que flu U f (U) es un difeomorfismo Se dice que un man~fold (M o(gt[) es difeoIllorfo a un manifold (N ON) si existe un feomorfismo entre A1 y N

Observacioacuten 232 Note que esta definici6n es equivalente a decir q7Le una funcioacuten suave de (A1 OM) en (N ON) es un morfismo (j f) de espacios anilshylados Esto debido a que llar el Teorema 1442 es necesariamente igual a 1 y por lo tanto existe 1ma biyecci6n entre morfismos de (M 04) en (N ON) Y funeiones f A1 -t N tal que (j1) es 7m morfismo de espacios anillados

23 FUNCIONES SUAVES 75

Obviamente todo difeomorfismo es un homeoIllorfismo y todo difeoll1orfisrno local es un homeomorfismo local En particular todo difeornorfismo local es una funcioacuten abierta

Ejercicio 233 Sea M un manifold y U e lvI ~m abierto Demuestre que la funcioacuten inclusioacuten i U -+ 1v es suave es decir que induce un morfismo

A este morfismo se le denomina morfismo inclusioacuten

Ejercicio 234 Sea 111 un manifold topoloacutegico y sean A B atlas liara jv1 Enshytonces A B son equivalentes si y soacutelo si el morfismo de (Al CA M ) en (M ClfM) inducido por IdA[ es un diacutefeomorfismo Por otro lado (M CA M ) es d~feomorfo a (M ClfM) si y soacutelo si existe un homeomorfismo f M -+ M tal que (j1) es un isomorfismo Esto dice en particular que puede haber dos atlas para el manshy~fold topoloacutegico M que sean no equivalentes y tal que (IvI CA M) sea d~feomorfo a (MCBM )

Sean (A 01) y (N ON) manifolds suaves y supongamos que las estrucshyturas suaves han sido obtenidas por medio de dos altas A (Ua PeJaEA Y B (Ve 1JB) iexcl1EB respectivamente los cuales supondremos maximales

Proposici6n 235 La funcioacuten f 111 -~ N es suave si y soacutelo 8i para todo (Ua p) A y (Viexcl3IfIacuteB) E B tal que f (Ua) e V la funcioacuten ojo Pa (Ua) -+ (Viexcl3) es suave

Demostraci6n Supongamos que j Al N es suave Elijamos coordenadas (Ua pa) E A y (Viexcl3113) E B tales que f (Ua) e Viexcl3 Sabemos que E

ON (ViexclJ) para todo i = 1 n Por tanto

y en particular1fp o f E 0 111 (Uer ) De aquiacute que la funcioacuten

o Jiu o pl = o f o

sea suave para todo i = 1 n y por tanto 1iexcl3 o j o es suave en Po (UaJ Reciacuteprocamente supongamos que se satisface la condicioacuten enunciada en la

proposicioacuten y veamos que (j1) (Al 01) -+ (N ON) es un morfismo de espacios anillados Sea 9 E ON (W) con ~V e N un abierto Entonces para todo que intersecte a lV la funcioacuten jo1fi es suave en wa (TV n Vrj) Debemos

probar que 9 o j 0111 (1-1 (W)) Sea p E JI (W) n Ua para alguna carta

(Ua Po) E A Elijamos (Vr E B de tal forma que j (Ua) e Vr1 y tal las funciones

ojo 1 ~ (U) ~ t ex Q (ViexclJ)

76 CHAPTER 2 IvL4NIFOLDS SUAVES y SUS MORFISMOS

y

9 o 1Vi l iexclfB (W n Viexcl3) IR

sean suaves Entonces la funcioacuten gofoiexclp~~l iexclPa (1-1 (W) n U) -gt IR estaacute dada por la composicioacuten

(W n Viexcl3) g~ IR

de donde se deduce que 9 o fE 0M (1-1 (W)) Esto prueba que 1 es un morshyfismo de sheaves La continuidad de f se sigue inmediatamente de las hipoacutetesis y por consiguiente f es un morfismo de espacios anillados bull

A las funciones Ij B o f oiexclp 1 se les llama repr-esentaciacuteones locales de la funcioacuten

f con respecto a las cartas (UaiexclPoJ y (Vlliexclfiexcl3) en IV1 y N respectivamente La Proposicioacuten 235 indica la manera estaacutendar de construir funciones suavegt entre manifolds Para verificar si una funcioacuten f vI -gt N es una funcioacuten suave basta verificar que para cada punto pE lv1 existen cartas (Uiexclp) en vI y (Vmiddotiexclf) en N con p E U Y f (U) e V tales que Ij o f o iexclp-l es suave En teacuterminos de coordenadas locales x alrededor de p E 11 Y Y alrededor de f (p) E N f es descrita por n funciones suaves en m variables yi = fi (x 1 Xm)

Lema 236 Sean (vlOM) (NON) Y (POp) man(folds suaves Si f ]v-gt N y 9 N -) P son funciones suaves entonces 9 o f 11 -) P es suave

Demostracioacuten Se sigue inmediatamente de la definicioacuten de funcioacuten suave bull

Proposicioacuten 237 Una f v -gt N es un difeomorfismo si y soacutelo si f es biyectiva y tanto f corno su iacutenver-sa son funciones suaves

Demostracioacuten Se sigue faacutecilmente de laltiexcl observaciones anteriores bull

Ejemplo 238 Con el objeto de presentar- un ejemplo no trivial de una funcioacuten suave entr-e manifolds vamos a mostrar- que la funcioacuten complemento ortogonal es un d~feomorfismo entr-e Gmismanianos

Si V es un subespacio de IRn denotemos por V J el complemento ortogonal de V con respecto aI1)md1iquestcio inter-no euclidiano estaacutendar (~ Dado O -s r S n la funcioacuten de Gmiddotn (IR) en Gn-rn (IR) q1iqueste envla a V en V J es biyectiva Veamos que esta funcioacuten es suave

Antes de entrnr- pmpiacuteamente en la demostracioacuten recordemos algunos hechos de Algebra Lineal Sean (V (~ v) (W ~)w) eSl)acios vectoriales reales de dimensioacuten finita dotados de un producto interno no degenerado Entonces

1 la funcioacuten I~ de V en V que enviacutea a v en (v es Un isomorfismo de espacios vectoriales y

2 toda transformacioacuten lineal T V -gt W induce una tmnsformacioacuten lineal TI W -) V definida por T(iexclp) = T o iexclp


La tmnsforrnaci6n lineal

T = Iv 1 oT o Iw

de W en V se llama transpuesta de T Y 8atisface

(w T(v)w = (T(w) vv

para todo 11 E V w W

Sea nToun stibespaciacuteo r-dimensional de IR Y sea W l = iexclVd Entonces lRn 1Vo (i) 1Fiexcl lo cual proporciona una cana Pww de Grn (IR) Dada una transformacioacuten lineal T iexclVa ---t 1Fiexcl calculemos el complemento ortogonal de Gr (T) Dados Wo E Wo Wl E niexcl tenemos

Wo+Wiexcl E Gr(T)J~(WO~101V Tv)=OlvEWo (Wo v) (wiexclTv) Olv E W o

~ (wo v) + (TlOl v) 0 Iv E Wo oc-= (wo + Twiexcl v) = 0 Iv Wo

Tdonde T n iexcl ---t 1Vo denota la transformacioacuten lineal traspuesta de T (aquiacute Wo y Wiexcl se consideran como dotados de las restricciones del producto interno usual

-) de IRn) Como 100 Twiexcl E Wo concluimos que Wo + WI E Gr (T)J si y soacutelo si Wo + TWl 0 o sea si y soacutelo si 100 - Twiexcl Se sigue que

Gr (T)J = Gr (~T)

donde Gr( - T) = Wiexcl T Wiexcl 1Oiexcl E W 1 La igttaldad anterior muestra que la jjmcioacuten V gt-gt V J enviacutea el dominio de n w iexcl dentro del dominio de m

rVViexcl)JYl )YTO

en Gn~rmiddotn (IR) Ademaacutes la funcioacuten que representa a V gt-gt VJ con resl)ecto a las cartas Pw wiexcl y P Wiexcl w estaacute dada por

Rom (Wo Wiexcl) 1 T -T E Rom (Wiexcl Wo)

La funcioacuten T iexcl- -T es obviamente suave (por ser lineal) Ademaacutes para todo V E Grn podemos encontrar una carta Pw()w en (IR) cuyo dominio contiene a V y tal que Wiexcl wd (basta tomar Wo V y Wiexcl = V J ) Eso prueba que la funcioacuten V gt-gt V J es suave La inversa de la funcioacuten biyectiva Grn (IR) 1 V gt-gt VJ E Gn-rn (IR) estaacute dada por

y por tanto tambieacuten es suave (basta intercambiar los papeles de r y n-r) Luego Vgt-gt V J es un d~feomorfismo entre los Grassmannianos (IR) y Gn - r bulln (IR)

78 CHAPTER 2 MANIFOLDS SUAVES y SUS MDRFISMOS

24 Estructuras suaves inducidas

En esta seccioacuten veremos la forma de generalizar el Ejemplo 2210

1 Sea (A1 Chl) un manifold N un espacio topoloacutegico Hausdorff segundo contable y 7 A1 -t N un homeomorfismo local sobreyectivo Sea 01 la sheaf que a cada abierto VeN le asigna el conjunto 01 (V) de todas las funciones continuas con valores reales f en V tales que T (1) E OM (T- 1 (V)) y cuyas restricciones son las restricciones usuales de funciones Veamos que (N 01) es ullmanifold Tomemos un entorno U de p E M para el cual la restriccioacuten de T a U sea un homeolIlorfislIlo a un abierto de N y existan coordenadas locales P (U OM IU) -t (U COuumlI U) Denotemos por V a 7 (U) y consideremos cualquier fUllcioacuten continua con valores reales f en V Entonces si 71 U -t V denota la restriccioacuten de 7

a U se tiene que f E OT (V) si y soacutelo si Ti (1) E OM (U) y puesto que TI

es un homeomorfismo se sigue que

es un isomorfismo de espacios anillados Por tanto P o 1 es UIl isomorshyfismo de espacios anillados Como la coleccioacuten

e = V abierto V T(U) para alguacuten abierto U tal que es un homeomorfismo

es un cubrimiento de N entonces (N 0) es un manifold Note que 7

1111 -t N resulta ser UIl diacutefeomorfismo local sobreyectivo Ahora supongshyamos que (lvl OM) Y (N ON) son manifolds suaves Sea T M N un difeomorfismo local sobreyectivo Entonces f E ON (V) si Y soacutelo si T (1) E OM (T-

1 (V)) De lo anterior se sigue que 01 ON en N Por consiguiente 01 es la uacutenica slteaf en N que hace que (N 01) sea un manifold y que 7 A1 -t N sea un difeomorfismo locaL

2 Ahora supongamos que (N ON) es un manifold 1111 un espacio topoloacutegico Hausdorff y segundo contable y T Al -t N un homeomorfismo local Sea B el conjunto formado por todos los abiertos U e M para los cuales la restriccioacuten de T a U es un homeomorfismo a un abierto de N Es faacutecil ver que B forma una base para la topologiacutea de A1 Para cada abierto U E B denotemos por 01 (U) el conjunto de funciones de la forma 7 (1) donde f E ON (7 (U)) Se tiene que 01 es una B-sheaf y por la discusioacuten de la Subseccioacuten 145 del Capiacutetulo 1 ()1 extiende a una uacutenica sheaf de funciones con valores reales en lvl Un razonamiento similar al de 1 (de esta seccioacuten) muestra que (Al 01) es un manifold Ademaacutes si OiJ es una estructura suave para Jiexclf y si 7 A1 N es un difeomorfismo local entonces 01 = OM en M ya que 9 E OM (U) si Y soacutelo si 9 es de la forma T (1) con f E ON (7 (U)) Por lo tanto 01 es la uacutenica sileaf en ]II que hace que (Jl 01) sea un manifold y que T A1 -t N sea un difeomorfislllo local sobreyectivo

25 COCIENTES DE MANIFOLDS POR LA ACCI6N DE UN GRUPO 79

25 Cocientes de manifolds por la accioacuten de un grupo

Supongamos que (Al OM) es un manifold y G un grupo que actuacutea suave y apropiadamente sobre 11 (ver las Definiciones 123 y 125) Sea 1r 11 -4 MG la funcioacuten natural que enviacutea cada punto de 11 en su clase de equivalencia y dotemos a MC de la topologiacutea cociente (esto es V en MC es abierto si y soacutelo si 1r-1(V) es un abierto de 11) El que la accioacuten sea apropiada y que 11[ sea Hausdorff hace que Ale sea Hausdorff y el que A[ sea segundo contable y que esta propiedad se herede bajo cocientes (ver el Lema 126 y resultado 127) hace que vIe sea segundo contable Para cada abierto V en A[ e definamos OMIC (V) como el conjunto de todas las funciones continuas con valores reales f en V tales que

1r (1) E Ovf (1r- 1 (V))

Puesto que 1r es un homeomorfismo local sobreyectivo esta sheaf es precisamente la sheaf 011 definida en la Seccioacuten 24 de lo cual se sigue que (A[ e oAfIC) es un manifold y que con esta estructura la proyeccioacuten canoacutenica 1r 11 ---) A[ e es un difeomorfismo local sobreyectivo

Supongamos ahora que la estructura suave de M proviene de un atlas que supondremos maximal y veamos expliacutecitamente coacutemo dotar de cartas a lvIe para que eacutestas induzcan a su vez la estructura suave dada por la sheaf OIrlc

Sea (U 1) Y U fj e ]Rn una carta en M tal que 9 (U) n U IJ para todo 9 E e gIl Entonces 1r (U) es un abierto en Ale maacutes auacuten la funcioacuten 1rlu U -4 1r (U) es continua abierta y biyectiva y por tanto un homeomorfismo De aquiacute se sigue que la fuucioacuten ip 1r (U)-gt fj definida por cp yO (1rlu )-1 es Ull

homeomorfismo Veamos que la coleccioacuten A de todas las cartas (1r (U) cp) en lv[G definidas de esta manera forman un atlas para lvIC La condicioacuten 2 en la definicioacuten de accioacuten apropiada implica que A1 e es Hausdorff y como la funcioacuten natural1r 1vI -4 MC es continua abierta y sobreyectiva se sigue que 11e es segundo contable En consecuencia el atlas maximal que contiene a A dota a Aie de una estructura de manifold y con respecto a esta estructura la funcioacuten cp es un difeomorfismo Como 11lu = 1 o y se sigue que 1r es un difeomorfismo locaL

Resta probar que A es en efecto un atlas para MC De la condicioacuten L en la definicioacuten de accioacuten apropiada se sigue que los dominios de las cartas que pertenecen a A cubren a lvl e En efecto sea E A[e y escojamos cualquier p E vI con [P] 1r (p) El punto p pertenece a un cierto abierto U1 en vI COIl

g(Uiexcl) n U1 0 para todo 9 E e gil Sea U e U1 un entorno de p que sea dominio de alguna carta y Claramente la carta (11 (U) ip) contiene a [p] en su dominio

Sean (U y) (V -iexclj) cartas en Al con 9 (U) nU = 0 y 9 (V) nV = IJ para todo 9 e giL Sean (1r (U) cp) (1r (V) ~)) las correspondientes cartas en Iv e Veamos que la funcioacuten de transicioacuten correspondiente es un difeomorfismo El


Figure 23 El toro T 2 e iexcliexclfl

dominio de V o ip-l es igual a

ip (iacuteT (U) n iacuteT (V)) rp (U n (iacuteT (V)))

~ (un tiquestg(V)) u rp (U n 9 (V))

Corno rp (U n 9 (V)) es abierto en JRn es suficiente probar que la restriccioacuten de ~) o a rp (U n g (Vraquo es suave Sea x E P (U n g (V)) Si hacemos x rp (p) con p E Un 9 (V) entonces 1 (x) iacuteT (p) Por tanto

iacuteT (p) = iacuteT (g-1 p) y P E V y ademaacutes

Luego (iJ o 1) (x) 1IacuteJ (g-1 rp-l (x))

para todo x E rp (U n 9 (Vraquo Como por hipoacutetesis la accioacuten es un difeolllorfismo se sigue que ~) o ip-l es suave

Ejemplo 251 Sea 111 JR2 Y sea G =c U el grupo aditivo formado por pares ordenados de nuacutemeros enteros Tenernos una accioacuten de 12 en JR2 definida por

(nm)(xy) (x+ny+m)

pam todo n m E 1 x y E JR Es faacutecil ver que la accioacuten es S1taVe y apropiada Vamos a estlldiar el conjunto JR2J12 Consideremos la funcioacuten f JR2 - SI XSI definida por f (x y) (e211iacutex e2 11iY ) Teniendo en cuenta que la funcioacuten JR 7

e2rritt ]----) E SI es un d~feomorfisrno local se sigue que f es un difeomorfismo local sobreyectivo Es faacutecil ver que f conserva la relacioacuten de equivalencia es decir que f (x y) f (x y) si y soacutelo si x - x E 1 Y Y - y E 1 pam todo (x V) (x V) E JR2 De lo anterior se deduce que f indnceuna biyeccioacuten f entre JR2J12 y SI X Si) y una estructum suave para JR212 de tal manera qlte tal biyeccioacuten es nn difeomorfismo En otms palabras podemos identificar el cociente JR212 con el toro SI x SI

26 ESPACIO TANGENTE 81

Ejercicio 252 Sea sn x = (xo xn ) E lFI n +1 x6 + xi + + x = l

la esfem 71- dimensional en lFIn +1 Y sea G 1 a el grupo ciacuteclico que consiste de la identidad y la funcioacuten antipodal a(x) -x Dem1lestre que esta accioacuten satisface las condiciones necesarias para que sn IG herede una estr1Jctura de man~fold Sea

rp Plll -4 sn IG nla funcioacuten que enviacutea a cada elemento [x] [xOmiddotmiddotmiddot Xn ] E Tk en la clase de

equivalencia del vector

Demuestre que rp es 1m dmiddotZfeomorismo

26 Espacio tangente

Vn problema en topologiacutea diferencial se descompone a menudo en una parte local y otra globaL El concepto quizaacute maacutes importante en la teoriacutea local es el de espacio tangente en un punto p E vI de un manifold (111 OM) Daremos a continuacioacuten tres versiones distintas del espacio tangente y mostraremos su equivalencia A estas definiciones las llamaremos definicioacuten geomeacutetrica definicioacuten algebraica y

definicioacuten tradicional de la fiacutesica Cada una de estas definiciones presenta sus ventajas y es conveniente que el lector se familiarice con cada una de ellas

261 Definicioacuten geomeacutetrica

La maacutes intuitiva es la definicioacuten geomeacutetrica y estaacute inspirada en la idea de que el espacio tangente se compone de vectores tangentes en p a curvas que pasan por este punto Sea (M O M) un manifold y fijemos p E A1 Una C1tTVa suave en vI que pasa por p es una funcioacuten suave 1 1 -4 vI con 1 (O) p donde 1 lFI es un intervalo abierto que contiene el cero (aquiacute 1 se considera como el manifold (I CiexclV I I)) Definamos una relacioacuten de equivalencia entre curvas que pasan por el punto p Dos curvas 11 y 12 se llamaraacuten equivalentes lo cual denotaremos por 1 1 ~ 12 si existe una carta (U rp) en AI con p E U tal que

Como 11 Y 12 son continuas las composiciones rp o 11 y rp o 12 estaacuten definidas en un entorno del cero en RUna aplicacioacuten directa de la regla de la cadena nos muestra que esta definicioacuten no depende de la carta escogida Ademaacutes es faacutecil ver que la relacioacuten ~ es una relacioacuten de equivalencia A cada clase de equivalencia bl se le llamaraacute vector tangente a 111 en ]J y el espacio tangente Tp (A) a lllI en el punto p E v seraacute el conjunto de todos los vectores tangentes en el punto p

Ejercicio 261 Descriacuteba el espacio tangente en un punto p de un O-manifold


Teorerna 262 El eS1Jacio tangente Tp (A1) tiene estrnctura natural de eS1Jacio vectorial real

Demostracioacuten Sean 11 y 12 dos curvas representantes de dos vectores tanshygentes VI y V2 en Tp (Al) Tomemos una carta (U ltp) alrededor de p con P (p) = O E ]Rn Por supuesto las curvas 11 y 12 no pueden sumarse dishyrectamente ya que el conjunto Al en el que toman valores no es un espacio vectorial Sin embargo el espacio ]Rn es un espacio vectorial y por lo tanto tiene sentido considerar la suma t I--t P o 11 (t) +- ltp deg12 (t) que es una curva en ]Rn que pasa por O Se sigue entonces que la funcioacuten

es una curva en Al que pasa por p Definimos

[ltp-I deg (ltp deg 11 (t) +- ltp deg12 (t))]

TV [ltp-Io(TP0)] paratodo T R

Puede verse faacutecilmente que esta definicioacuten es independiente de la carta escogida (U ltp) y de la eleccioacuten de los representantes 11 y 12 de los vectores tangentes VI

y V2 Y que bajo estas definiciones Tp (Al) es un espacio vectorial real _

Ejercicio 263 Dejamos como ejercicio verificar que cada sistema de coordeshynadas alrededor de p determina un isomorfismo entre el espacio tangente Tp (M) Y ]Rn donde n es la dimensioacuten de M

Sea p un punto de un manifold Al y sea f Al -gt N una funcioacuten suave Entonces f induce una transformacioacuten lineal f p (M) -gt Tf(p)(N) del modo siguiente Si V E Tp (lvf) entonces

donde v = [iexcll Llamaremos a fp la diferencial en el punto p Esta definicioacuten es independiente de la eleccioacuten particular del representante 1 de la clase v E

Tp (M)

262 Definicioacuten algebraica

La definicioacuten del espacio tangente que daremos a continuacioacuten al quizaacute mellOS intuitiva pero es la adoptada en la mayoriacutea de los textos de Geometriacutea Difershyencial La idea consiste en identificar cada vector tangente con la derivada direccional que eacutel define Cada curva I suave que pase por p define Ulla funcioacuten

D( f U ---gt R U entorno de p f suave ---gt R

dada por

D((f) = (f deg )(0)


Es faacutecil verificar que DI = DI2 si y soacutelo si bl] = [12] Esto dice que la funcioacuten que enviacutea a cada b] en D esta bien definida y es ademaacutes inyectiva Definimos entonces

v (I) Dv (I) (21)

para cada v E Tp(Af donde este uacuteltimo espacio tangente se considera definido geomeacutetricamente Ahora si f U - lR Y 9 V --gt lR son funciones suaves definidaeiexcl en entornos U V de p y O E R entonces

v(I g) v(I) + v(g)

v(OI) Ov(I) y

V (Ig) f (p) v (g) + v (I) 9 (p)

Lo anterior motiva la siguiente definicioacuten

Definicioacuten 264 Sea (Al 011) un n-manifold y p vI Una derivacioacuten en el punto p es una transformacioacuten lineal D OMp _ lR tal q1le D (fpgp) D(fp)g(p) + f(p)D(gp) para todo fpgp E OMp El conjunto de todas las derivaciones en p EvI se denota po Der]R (OvfplR)

Ejercicio 265 Describa a DerlR (OMp lR) donde Al es un O-manifold

Notacioacuten 266 A menos que haya cor~fusioacuten escribiremos Op en vez de OMP

Si D Y DI son dos derivaciones en el punto p E Al entonces la suma D DI definida por la foacutermula (D -+ DI) (Ip) D (Ip) + DI (Ip) es tambieacuten una derivacioacuten Ademaacutes siacute O E lR podemos definir c~D por (OD) (Ip) = aD (Ip) Es rutinario comprobar que OD es de nuevo una derivacioacuten en el punto p El conjunto DerlR (Opl lR) con las operaciones anteriores tiene estructura de espacio vectorial reaL

bullLema 267 Si e es una I1lncioacuten constante y D es una derivacioacuten en el punto p E M entonces D (c p) = O

Demostracioacuten Consideremos primero el caso de c 1 donde 1 es la funcioacuten constante 1 sobre Al Entonces

Se sigue que D (Ip ) = O Para una constante arbitraria e por la linealidad se deduce que D (cp ) cD (Ip) Obull

Del lema anterior se sigue que D estaacute completamente determinada por los valores que toma en el ideal maxirnal

mp fp E Op f(p) =O e Op)

ya que si Ip E Op Y e = I (p) D (fp) = D (fp - e) En la Proposicioacuten 2112 de la Seccioacuten 21 vimos que mp e Op es un ideal

maximal Denotemos por m~ a la potencia k-eacutesima del ideal mp Observe que

gt i


m~ estaacute formado por todos los geacutermenes que son cero hasta el orden k-eacutesimo si f p E O p y (U ~J es una carta alrededor de p la fnncioacuten f o ~ - 1 tiene todas las derivadas parciales de orden menor o igual que k iguales a cero en el punto

~ (PJmiddot Por otro lado toda derivacioacuten se anula en m~ pues f (PJ = 9 (p) = Oimplica

que

De hecho es vaacutelido el siguiente resnltado

Proposicioacuten 268 El espacio de todas las derivaciones DerlR (Op lR) es isoshy

morfo al espacio vectorial dual (mp j m~)

Demostracioacuten Ya vimos que si D E DerlR (Or) lR) entonces D determina un funcional lineal )D mp ---gt lR que es cero en m~ y por lo tanto desciende a nn

funcional )D del espacio vectorial mpjm~ Reciacuteprocamente dado un funcional

lineal v E (mpjm~r definimos Dv Op ---gt lR por

Es claro que Dv es una transformacioacuten lineal y se verifica faacutecilmente qne es nna derivacioacuten La fnncioacuten D ---gt )D es lineal y tiene inversa v ---gt Dv Esto nos proporciona un isomorfismo

bull Consideremos nna carta (U~) alrededor de p y denotemos las fnnciones

icoordenadas u o In por xi para i = 1 n Definamos las derivaciones Ji I r 8x p

Op ---gt lR como

8~i I (Jp) = 8~i (J o ~-1) (~ (p)) p

Esto es tomamos una representacioacuten local cualquiera de f r) y la escribimos en teacuterminos de las coordenadas locales Lnego compntamos la derivada parcial ordinaria con respecto a la i-eacutesima coordenada en el punto ~ (p) Por conveshyniencia denotaremos esta derivada parcial como 8fpj8xi o abnsando un poco de la notacioacuten simplemente como a~ f (p)

Lema 269 Sea (U~) una carta alrededor de p E M con funciones coordeshyinadas xi = u o~ tales que xi (p) = O para todo i = 1 n Entonces para

todo fp E Op existen funciones suaves definidas en un entorno Up e U de p tales que

y n

f = f(p) + Lxi i=1

para todo punto en Up


Demostracioacuten Si] denota la escritura de f en las coordenadas locales (U ltp) esto es f fa por el Lema de Morse (ver Lema 132)

n

]=](0)+ Luiacute] i=1

para ciertas fl1Ilciones suaves ]i definidas en un entorno del cero BE (O) Si hacemos Ji = fi o ip se obtiene

n

f=f(1)+ Lxifi t=1

en Up (Biquest(O)) Aplicando la funcioacuten I a ambos lados se obtiene p

i=1 i=1 n

L Ji (1) oacutej = fj (1) i=1

ya que x(1) Oparai=1 nyporeILema267 g~(p) oacutejbull

Teorema 2610 Sea (U ltp) una carta alrededor de p E NI con funciones coshyiordenadas Xi u o ip iacute 1 n Entonces amp~ Ipl amp~ Ip es una base

pam DcrlR(OplR) Una derivaci6n D E Der~(OplR) admite en esta base la siguiente eL]Jre8iacute6n

Demostracioacuten Sea fp E Op Podernos suponer sin peacuterdida de generalidad que xi (p) = O componiendo las coordenadas xi con una traslacioacuten yi - x (1) si fuera necesario El Lema 269 nos dice que

n

f f (p) + LXi fi i=1

Aplicando D a ambos lados se obtiene

n li

D (f (p)p) + Lxi (p) D((Ji)p) + L D (x~) Ji (p) i=1 i=l

iPor otro lado si tenemos una combinacioacuten lineal D = a I O]1

Y se la aplicamos a caela germen x~ entonces O = D (xt) a j para todo j =

86 CHAPTER 2 MANIFOLDS SUAVES y SUS MORFISlviOS

1 n Esto significa que el conjunto de vectores aax) 11 bull aacI es1

linealmente independiente y como ya vimos genera todo el espacio DerlR (01 IR)

bull Observacioacuten 2611 En parmiddottiwlar oe deduce de aquiacute que dim DerlR (01 IR) =

dimkl El espacio vectorial de todas lao derivaciones DerlR (OplR) puede ser ident~ficado con IR mediante la funcioacuten

Corolario 2612 Sean (U P) Y (V 1b) dOo cartas de Al tales que U n V i= 0 Y cuyas funcioneo coordenadao 8012 x j respectivamente Entonces para todo p E U n V

- I =- aiexclJ (1)) a Ip ay L ay

p j=1

Ejercicio 2613 Demuestre eote Corolario

Los resultados anteriores nos permiten ahora probar que los espacios vectoshyriales (A1) y DerlR (OplR) son (canoacutenicamente) isomorfos

Teorema 2614 La tran8fonnacioacuten lineal T1 (k1) DerlR (01 IR) definida---f

por (ver ecuacioacuten (21)) (22)

e8 1m isomorfismo de espacios vectoriales

Demostracioacuten Claramente la funcioacuten iquest es una transformacioacuten lineal Notemos primero que en la ecuacioacuten (22) la funeioacutell f estaacute definida en un entorno del punto p E 1vl Supongamos que para VI E T1Uv1) se tiene que iquest(VI) = O con VI [JI] y elijamos una carta (U P) alrededor de p en Al con funciones coordenadas xi u i o P Si DhlJ(X~)= O es porque

para todo i 1 n De aquiacute que 1 p Y por tanto iquest es inyectiva Ahora veamos que iquest es sobreyectiva Sea D E DerR (01 IR) y elijamos una

carta (U alrededor de p en 11 con funciones coordenadas ci = Ii o P Es-i icribamos D iquest~=1 a 11 con a D (x~) Definamos

una curva suave en 11 con tE E) para cierto Egt O Ahora

(Xi o ) (O)


Por tanto si fp E Op tenemos que

D (Ip) t aiacute O~i (Ip) t (xi o ) (O) o (Ip) =l =1

Pero por lA reglA de la cadena

oip-1)0(ipo DIII (Ip) d (Id ) It=o dt to

n ( o 1) (ip (p))) ( d8 oxi (J o IJ D (ip)

p t (oil (Ip)) ((Xi o) (O))

lo cual significa que L ([iexcl]) (Ip) = D (Ip) En consecuencia Les sobreyectiva bull De la proposicioacuten anterior se sigue que cualquier vector tangente v E Tp (11)

puede ser identificado con la derivacioacuten

~ iexcl-iolv=Lv (23) t=1 P

donde Vi = (xi o ) (O)

donde [iexcll v Es claro que entonces vi V(x~) En el lenguaje algebraico de las derivaciones la diferencial de Ulla fUllcioacuten

suave f vI --gt N en un punto p E 111 puede ser definida en forma natural como la funcioacuten de Der] (OMplR) en Der] (ONJ(p)lR) que a cada derivacioacuten D le asigna la derivacioacuten D fp(D) cn el punto q f(p) definida como

en cada gl] E ONq Algunas veces con el propoacutesito de simplificar la notacioacuten omitiremos el subiacutendice p en la diferencial

Ejercicio 2615 Dejamos al lector verificar que D iexclc D es una tmnsfo17nashycioacuten lineal

Veamos la matriz que le corresponde a f en las bases

asociadas a las coordenadas locales (Up ip (xl xm )) y (VI] 1jJ = (yl yn))

Por definicioacuten si hacemos Di = f ( I ) entonces p

88 CHAPTER 2 MANIFOLDS SUAVES y SUS lvfORFISMOS

donde Ji denota la i-eacutesima coordenada de la funcioacuten J es decir 1 y o f Por lo tanto la funcioacuten Dj puede escribirse en la base Bvq como

De lo anterior se sigue que la matriz que representa a f respecto a las bases Bup 1 y Bv1 que llamaremos la matriz Jacobiana de f en el punto p y que denotamos por JVluiexcl (p) es

L (p) 1 ox (p) nXm

Como lo sugiere la notacioacuten escogida esta matriz depende de las cartas (Up iexclp) y (Vq ~) que se tomen

Teorema 2616 Sean 1 M --+ N y 9 Nmiddotmiddotmiddot P funciones suaves Si p E M Y q 1(p) entonces

1 (g o )1 g1 o f 1

2 Id1 = IdDelI(oMJllt)

Demostracioacuten La demostracioacuten se sigue faacutecilmente de la definicioacuten de la diferencial bull

Corolario 2617 Sea f vl--+ N 1LnafunCioacuten suave y sea]) E A1 Entonces J1 DerlR(Od1IR) --+ Derlll (ONf(1)IR) es un isom01fismo si y 8oacutelo si f es un d~feomorfi8mo local en p

Demostracioacuten Elijamos cartas (Uiexclp) y (Vmiddottb) alrededor de p y q f(p) respectivamente Si f1 es un isomorfismo la matriz Jacobiana de VJ o f o iexclp-l es invertible en iexclp (p) Por el Teorema de la Funcioacuten Inversa tb f o iexclp-l es un difeomorfismo local alrededor de iexclp (p) y de esta manera f es un difeomorfismo local alrededor de p

Reciacuteprocamente supongamos que f es un difeomorfismo local en p Enshytonces en alguacuten entorno de p f-l o f Id Por el Teorema 2616 (J-l )f(p) o

11 = Id 1 IdDeliexcliexcl(oMIll)middot Similarmente f 1 o (J-l)f(1) es la identidad en

Derriexcl (ONf(1) IR) y por tanto f p es un isomorfismo bull

Notemos que si fp es un isomorfismo entonces (11)-1 (J-ILf(p)

Ejercicio 2618 Sea iexcl I --+ M una cnrva suave en lv1 definida en un intershyvalo abierto clwlq1tiem I (-a a) que contenga al ceTO y denotemos pOT eldtlo la derivacioacuten asociada a la cooTdenada estaacutendaT t de R en ceTO Demuestre que


263 Definicioacuten tradicional de la fiacutesica

Los fiacutesicos parten de la descripcioacuten en coordenadas del Corolario 2612 Un vector tangente en el punto p E 1vI es una correspondencia que a cada carta (U rp) alrededor de p le asocia un vector v (v 1 1n) E IR de tal forma que si p estaacute en la interseccioacuten de dos cartas (U rp) y (V 1J) con funciones coordenadas xJ uJ o rp j 1 n y yi = u o 1J i = 1 n respectivamente y Vi = (vl] vln ) es el vector correspondiente a la carta (1 1J) entonces los vectores v y 11 se relacionan mediante la foacutermula

1 = Ln

j=l

o en forma matricial Vi Jvu(rp(p))1

donde Jvu (p) denota la matriz Jacobiana de la funcioacuten de transicioacuten evaluada en el punto rp(p) y los vectores v 11 se han escrito en columna De manera formal el conjunto de vectores tangentes en el punto p puede ser definido como el conjunto Tp (NI) de clases de equivalencia de elementos del conjunto Cp x IRn con Cp (Urp) (Urp) carta de M y P E U bajo la relacioacuten de equivalencia ((Urp) v) ((V 1J) Vi) si y soacutelo si Vi Jvu (p)vV

Ejercicio 2619 Demuestre q1te Tp (A1) con la suma y producto por escalar definidos como

[((U rp) v) + [((1 w) Vi)] [((V 1J) Jvu (p) v +Vi)] y

r [( (U rp) v)] [( (U rp)

tiene estructura de espacio vectorial real y que la funcioacuten Der]R (Op IR) -4

Tp Uv1) que hace correslJOnder a la derwacioacuten v = vi a~i Ipla clase del

par ((U (x 1 x ) ) (v 1 vn )) es un isomorfismo de espacios vectoriales reales (aquIacute U es el dominio de las funciones xl xn J

De ahora en adelante no haremos distincioacuten entre los espacios vectoriales 1 (JVI) Dera (Op IR) Y Tiexcl) (M) Seguacuten sea maacutes conveniente consideraremos un vector tangente como la clase de equivalencia 11 = bL de UIla curva 1 o como la derivacioacuten Dbl = 2=1 vi a~i I

p o como la clase de equivalencia correspondiente

al par ((U (Xl iexcl11)) (v1 1I n ))

264 Observaciones sobre el espacio tangente

1 Sea lvun manifold U e 1vI un abierto y p E U un punto El espacio tanshygente Tp (U) puede ser identificado naturalmente con el espacio tangente Tp (fIf) mediante la diferencial en p del morfismo inclusioacuten U -4 1v Ver Ejereicio 233

90 CHAPTER 2 lHANIFOLDS SUAVES y SUS lvl0RFISAfOS

2 Si V es un espacio vectorial real de dimensioacuten finita entonces V es un manshyifold (ver Ejemplo 222) yes natural esperar que exista una identificacioacuten natural entre Tu (V) y V para todo u E V

Ejercicio 2620 Sea V 1m espacio vectorial real de diacutemensioacuten n y sea iexclp V ---gt ]Rn un isomorfismo de espacios vectOTiales (p es IJOr tanto una carta en V j Demltestre que para cada u E V el isom01fismo de espacios vectoriales

no depende de iexclp es decir siacute w V ---gt ]R es otro isomorfismo de espacios vectoriales entonces iexclp-l oiexclpu 1j- l owu

En particular para cada x E ]R es posible identificar a TT (]Rn) con ]R a traveacutes del isomorfismo 1du Tu (]R) ---gt ]Rn inducido por la carta (]R Id) de ]Rn

Proposicioacuten 2621 Sean IH y N manifolds suaves y 4gt A1 x N ---gt kI 11 11 x N -gt N las proyecciones canoacutenicas Denotemos por (p (1) un IJUnto cualquiera de lvIxN y por 4gt ltf(pq Yiexcl)J w(pq) las correspondientes difershyenciales en este punto Entonces la funcioacuten lineal (4) ) T(pq) (A1 x N) ---gt

Tp (11) Tq (N) es un isomorfismo de espacios vectoriales

Demostracioacuten Sean iriexcl M ---gt kI x N ip N ---gt 11 x N las inclusiones canoacutenica definidas por iq (pi) = (pi q) y ip (1 1) (p q) Definamos la funcioacuten

X Tp (M) (1) TqN --t T(pq (Al x N)

dada por X (u v) (iq) (lt) + (ip) (v) Notemos que

(4) ljJ) X (u v) (4) w) (i q ) (u) + (i p ) (v))

(4gt o iq) (u) + (1) o ip) (v) (1) o iq) (u) + (ljJ o ip) (v)) (u v)

donde hemos utilizado el Lema 267 Y el Teorema 2616 De lo anterior se sigue que (4) ljJ) es sobreyectiva y por ser una funcioacuten lineal entre espacios vectoriales de la misma dimensioacuten deberaacute ser un isomorfismo _

Ejercicio 2622 Con la notacioacuten anterior demuestre qlLe si P es un manifold y f A1 x N ---gt P es suave entonces para cada w E T(pq) (1v1 x N)

f(pq) (w) = ((lo iq) 01gt) (w) + ((lo ip) o ) (w)

donde ip(t) = (pt) para cada tEvI y iqs) = (sq) para cada s E N

27 Inmersiones submersiones y embebimientos

Las propiedades locales de una funcioacuten suave estaacuten en muy buena medida deshyterminadas por las propiedades de su diferencial A continuacioacuten estudiaremos coacutemo la inyectividad y la sobreyectividad de la diferencial determinan el COlllshy

portamiento local de una funcioacuten suave

27 INMERSIONES SUBMERSIONES y EMBEBIMIENTOS 91

Definicioacuten 271 Sean Af y N man~folds suaves y f Ill -~ N una funcioacuten suave de II en N

1 se dice que f es una inmersioacuten en el punto p E lv[ si fp Tp (lv) -+

Tf(p) (N) es invectiva Se dice que f es una inmersioacuten siacute f e8 una inshymersioacuten en cada p E 111

2 se dice que f es una submeTsioacuten en el p1tntO p E AI si fp Tp (M) -+

Tf(p) (N) es sobTeyectiva Se dice que f es una submeTsioacuten si f es UTW

submersioacuten en cada punto p E lvl

3 diremos que f es un embebimiento si f es una inmeTsiacuteoacuten y f es un homeomorfismo de A1 a su imagen f (IV) e N donde f(A) es dotado de la topologIacutea que hereda como subespaciacuteo de N

Sea f 111 -+ N una funcioacuten suave y p E ]11 En el siguiente teorema mostraremos que si f es una inmersioacuten en p entonces f luce localmente como la inclusioacuten natural de IR en IRn con 171 lt n y que si f es una submersioacuten en p entonces f luce localmente como la proyeccioacuten natural de ]R en IR con m~n

Teorema 272 Sean ]fm y Nn maniacutefolds suaves y f ]11 -~ N una inmeTsioacuten en el punto p E IV Entonces m lt n y es Jlosible escogeT carlas (U p) en 1vl con p E U y (V1)) en N con f (U) e V tal que la TepTesentacioacuten local de fJ

respecto a estas caTtas estaacute dada por

iexclfJofo

con (xl xm) E f(U) En forma similaT si f es una submeTsioacuten en p entonces 171 ~ n y las carlas pueden escogeTse de tal fOTTna que

Demostracioacuten Tomemos (VI rP) una carta arbitraria en N que contenga al punto q = f (p) y sea (UI p) una carta cualquiera que contenga a p tal que f (Ul) e Viacute Denotemos por

a la representacioacuten local de f Del Teorema 2616 se sigue que

l Jltp(p) rq o f p o (p-l)ltp(p) rq o f p o (fpr

Como rPq y Pp son ambos isomorfismos se deduce que Jltp(p) es inyectiva es

decir Jes una inmersioacuten en el punto P (p) Entonces por el Lema 135 existen

entornos abiertos iJ e fUt de f(p) en Rm Ve r(Viexcl) de r(q) en]Rn y un

difeomorfisrno Q V -+ n a un abierto W e IRn tales que J(iJ) e V y

etO f~ (X 1 bullbull Xm) -_ (X I Xm O bullbull O)

92 CHAPTER 2 iHANIFOLDS SUAVES y SUS TvfORFISMOS

Figure 24 Manifold no embebido en JR2

npara todo (Xl x ) E U Para completar la demostracioacuten basta tomar

U ltp-l (U) V = dgt-I(V) y -iexclP = a op Claramente

VJOfoltp-1 ooj

en U En forma similar si f es Ulla submersioacuten jP(p) es sobreyectiva Haciendo

uso del Lema 136 el difeomorfismo o puede escogerse de tal forma que

a o j (xl xm) (X l xmiddotn)

y el razonamiento se sigue en forma similar al caso anterior bull Consideraremos a continuacioacuten el problema de determinar cuaacutendo una funshy

cioacuten suave f que sea una inmersioacuten inyectiva es un embebimiento En general estas condiciones no garantizan que f sea Ull homeomorfisllIO a su imagen Por ejemplo la fuucioacuten que enviacutea el intervalo abierto (01) en la figura ocho (ver Figura ) en R2 no es un homeomorfismo La razoacuten es que el punto (O O) del ocho tiene un entorno conexo tal que si se le quita (O O) queda un espacio de cuatro componentes mientras que para el punto correspondiente 12 de (01) no existe un entorno con tal propiedad (de hecho ninguacuten punto de (01) tiene un entorno con tal propiedad Lo que le falta a una inmersioacuten inyectiva para ser un embebimiento es exactamente tener la propiedad de ser funcioacuten propia como funcioacuten a su imagen

Definicioacuten 273 Sean X Y espacios topoloacutegicos Una funcioacuten f X --+ Y se dice que es propia si para cada subconjunto compacto K e Y f-1 (K) es compacto

Proposicioacuten 274 Sean v y N man~folds y f lvl -+ N una inmersioacuten inyectiva Entonces f es un embebimiento si y soacutelo f M --+ f(vI) es pTOpia En pmtiacutecular toda inmersioacuten inyeciiva de 1m man~fold compacto en atTO manifold (no necesariamente compacto) es un embebimiento

28 SUBMANIFOLDS 93

Demostracioacuten Recordemos que todo manifold es mctrizable (ver comentario inmediatamente despueacutes del Teorema 121 Fijemos meacutetricas dM y dN que induzcan las topologiacuteas de M y N respectivamente

Si f es un embebimiento entonces f lv ---4 f(1II) es un homeomorfismo Por lo tanto si K e f(v) es compacto entonces fl(K) es compacto por ser imagen bajo la funcioacuten continua f-1 del compacto K

Para ver que la condicioacuten de ser propia es suficiente basta demostrar que f (lv1) ---4 M es una funcioacuten continua Si esto no fuera cierto podriacuteamos

encontrar p E Iv y una secuencia qn E N cuyo liacutemite es q f(p) E N tal que la secuencia de sus preimaacutegenes Pn = f-1 (qn) se mantiene por fuera de un cierto entorno U de p Ahora el conjunto Q = qn n - 1 U q es claramente un subconjunto compacto de f(M) Por lo tanto su preimagen P f-1(Q) tambieacuten lo es Esto fuerza a que la secuencia Pn tenga una subsecuencia que converge a alguacuten punto p P Como cada Pn fe U entonces p tiene que ser distinto de p Pero como f es continua

lim qn = f(p) = f(p) n-oo

lo cual viola la inyectividad de f Finalmente si v es compacto f es propia ya que por ser f(M) Hallsdorff

todo compacto K e f(M) es cerrado y la continuidad de f garantiza qle f-1 (K) es cerrado y por tanto compacto en v bull

Ejercicio 275 Si M Y N son manifold8 de la misma dimensioacuten y f 111 -lo N es un embebimiento entonces f( lv) es abierio

28 Submanifolds

En esta seccioacuten definiremos la nocioacuten de submanifold de un manifold v corno una clase de equivalencia de embebimientos en lv1 Mostraremos que un subshyconjunto Z de M dotado de la topologiacutea que hereda de lv1 y con la estructura de espacio anillado en la cual las funciones suaves en abiertos de Z son localshymente restricciones de funciones suaves en 11 es un submarlIacutefold de lv1 y que todo submanifold es esencialmente de esta forma Como veremos el lenguaje de sheaves nos permitiraacute expresar lo anterior de una manera compacta y elegante ademaacutes de sugerir la nocioacuten correcta de lo que significa ser una subestructura en otras categoriacuteas corno la categoriacutea de variedades algebraicas o la categoriacutea de esquemas

Sea U1 01) un manifold y denotemos por [ a 1ft coleccioacuten formada por todos los pares ((Z Oz) 1) donde (ZOz) es un manifold e i (Z Oz) ---4

(M OM) es un embebimiento Decimos que dos pares ((Z Oz) t) (( Z Oz) I) de E son equivalentes si existe un difeomorfislllo h (Z Oz) (Z OZI) tal que l o h = 1 Claramente eacutesta es una relacioacuten de equivalencia

Definicioacuten 281 Un k-submanifold del n-manifold (Al (iexcl1) es una clase de equivalencia (( Z Oz ) L) de un par en E con dim Z k En situaciones en


las que no es iacutemlJOTtante destacar la dimensioacuten de Z se diTaacute simplemente que Z es un submaniacutefold de lvI Notemos que como iquest es en paTticula7 una inmeTsioacuten entonces k $ n Al nuacutemero n -~ k se le llama la codimensioacuten del submanifold

Entre los ejemplos maacutes simples de submanifolds estaacuten la inclusioacuten natural de un abierto de AI en Al y el embebimiento estaacutendar j ]Rk -gt ]R1l k $ n que enviacutea la k-tupla (Xl iexclk) en la n-tupla (XI Xk O O)

Teorema 282 Sea iquest (Z (Jz) (1vI ()At) un embebimiento y denotemos pOT Z = iquest(Z) a la imagen de Z en lv[ Para cada Zo E Z existe una carta de M (lV 7J) 7J (yI yn) alrededor de t( zo) tal que

Z n W = p W yk+l(p) = yn(p) = O

Demostracioacuten Como Les lna inmcrsieacutem (ver Teorema 272) existen cartas (Uy) en Z y (Wo7J) en 1v[ con Zo E U iquest(U) e Wo tales que

V)Oi y~l =j

Como L(U) es un abierto relativo ele Z existe W1 e M abierto tal que t(U) Hiexcl n Z Ahora j(y(U)) es un abierto relativo de j(]Rk) Por tanto existe V e ]Rn abierto tal que

V nj(]Rk) j(y(U))

Definamos W Won W1 n (L~l (V) Como jy(U) 7Ji(U) se sigue que

t(U) e iJ~l(jy(U)) e l(Vnj(]Rk)) e (V)

Por otro ladoi(U) lVo implica que

Wiexcl n Z = I~(U) e Won 1(V)

y por tanto t(U) = (W1 n Z) n l n 7J~1(V) W n Z

Podemos suponer entonces que (H1 iexclj) es una carta en M tal que

iJ(yl(t(Z)) 1J(t(Z))) (xl (z) xk(z) O O)

para todo z U y por consiguiente

W iacutel Z e p E W yk+l(p) = yll(p) = O

Por otro lado si p E W es tal ltllle 1)(p) tiene sus uacuteltimas n-k coordenadas iguales a cero entonces iJ(iexcl) E j(lRk) n V jy(U) y por tanto existe z E U tal que

7J(p) = j(y(z)) = 7J(L(Z))

Como 7J es un homeomorfisll1o ]gt = t( z) y en consecuencia ]gt E Z Esto muestra que

wnZ=pEWyk+l(p) =yn(p)=O

bull Seraacute uacutetil tener un nombre para la propiedad que aparece en el enunciado del

teorema anterior

28 SUB1IANIFOLDS 95

Definicioacuten 283 Sea lv1 n un man~fold 1 Z un subconjunto de vI con la sigushyiente pTOpiedad Existe un O k n tal que paTa cada z E Z existen coordeshynadas locales (U if = (y 1 y)) alrededor de 2 tales que

znu = p E U yA+I(p)

Decimos que Z es enderezable

Sea ahora Z un subconjunto encleremble de Al Dotemos a Z de la topologiacutea que hereda de 11 y de la sheaf de funciones COIl valores reales que en cada abierto relativo V de Z estaacute definida como

(OM Z)(V) s V -----t lR 8 satisface

donde la condicioacuten significa que P(1Ta todo] E V existe un entorno Up de M y O E Oiexcl(Up ) tal queOlunz coincide con sA esta sheaf la llamaremos la 1Tstriccioacuten de O~J a Z

Ejercicio 284 Sea AJ un manifold y Y Z subconjuntos de M tales que Z e y Demuestre que la sheaf O[ IZ esiyual (1 la she(1f que (1 cada abierto V de Z le asigna el anillo

(Oy IZ) (V) 8 V lit s satisface la condicioacuten

donde sign~fica que pam cada p V existe un entorno Up en Y Y O E

(ch1 Y)(Up ) tal que = s

La naturaleza local de la definicioacuten hace que OM i Z con la restriccioacuten usual de funciones sea una sheaf en Z El siguiente teorema nos muestra que todo subconjunto Z que satisfaga la condicioacuten Jacobiana expresada en su enuncishyado o equivalentemente que satisfaga la condicioacuten aparentemente maacutes fuerte de ser enderezable con la sheaf OMIZ define un submanifold de AJ

Teorema 285 Sea (1V1 Oiexclr) un n~ manifold O k n y Z un subconjunto de 111 con la siguiente propiedad Para cada z E Z existe un entorno W de z y funciones Jiexcl en OM (vV) tales que

Z n W p E W Jiexcl (p) = fn~A (p) = O

y tales que el rungo de la matriz Jacobiana (z) eB igual a n-k (para alguna carta (U P) alrededor de z y por lo tanto paTa cualquier carta alrededor de z) Entonces la clase de ((Z OMI Z)i) donde i denota la inclusioacuten es un k-subman~fold de Al

Demostracioacuten Si se escogen coordenadas locales adecuadas alrededor de z (U P = (Xl podemos suponer que las uacuteltimas n-k coluIllnas de la matriz Ju IR middotmiddotA (z) en estas coordenadas son linealmente independientes Sea IjJ U -gt ]Rn la funcioacuten definida por Vi = (iexcl1 Jiexcl fn~k) Si denotamos

96 CHAPTER 2 MANIFOLDS SUAVES y SUS lvIORFISMOS

Figure 25 Carta enderezable

a iacutep(U) por fJ y por 1jJ a la funcioacuten~) p-I fJ --gt JRn la diferencial de 1jJ estaacute dada por la matriz n x n dada en bloques por

(z)D= (z)

Un-A (~)a J (z) (z)N

1

De nuestra hipoacutetesis sobre las columnas de JUIR-(z) se sigue que el rango por columnas de esta matriz es exactamente n y en consecuencia D es invertible Del Teorema de la Funcioacuten Inversa (ver Teorema ) se sigue que 1 es localmente Iacutenvertible y por tanto1 tambieacuten lo es Escogiendosi fuera necesario un entorno de z maacutes pequentildeo (que llamaremos nuevamente U) podemos suponer que 1jJ U --gt V donde W = 1jJ(U) es un difeomorfismo Bajo este difeomorfismo ZnU se mapea biyectivamente en Wo = JRk n V (donde hemos identificado a JRk con su imagen bajo la inclusioacuten natural j JRk --gt JRn es decir

un = O

Denotemos por C~ a la sheaf de funciones en Wo que localmente admiten una extensioacuten a una funcioacuten suave en cierto abierto de JRn El difeomorfismo lJ induce un isomorfismo de sheaves

lJ cr _-t (OM IZ)I (U 1I Z)

Por consiguiente para demostrar que OMZ es una sheaf localmente isomorfa a basta probar que q lo es Sea V un abierto de JRk tal que el conjunto Vo = j(V) esteacute incluido en W Definamos

28 SUBMANIFOLDS 97

la funcioacuten que enviacutea cada funcioacuten suave g(u1 uk ) en V en la funcioacuten G definida en Vo corno

Claramente G se puede extender localmente a una funcioacuten suave en (Vox ]Rn~k)n W haciendo

1 k k+l n) _ ( 1 k)G(U bullbull U u U -g 11 U

kReciacuteprocamente si G E e(Vo) la funcioacuten definida en V como g(v1 u ) = G(u1 bullbull uk

O O) es suave ya que G por definicioacuten se puede extender loshycalmente a una funcioacuten suave en un cierto abierto de ]Rn Obviamente esta funcioacuten proporciona la inversa de 9v COIllO estas funciones conmntan con la restriccioacuten usual de funciones se signe que la heaf restringida a la preimshyagen bajo 7 de lVo y la sheaf e restringida a Wo son isomorfal Finalmente de la referencia se sigue que la dimensioacuten de Z es kbull

De este teorema se sigue inmediatamente el siguiente Corolario

Corolario 286 Sea Zan subconjunto enderezable de IV Entonces la clase de ((Z OA11 Z) i) es vn k-subman~fold de IV

En particular si [((ZOz)iquest)] es Ull submeacuteLnifold de M como ya sabemos que Z L(Z) es enderezable entonces ((Z OM 1 Z) i) es un subrnanifold El teorema siguiente nos muestra que ((ZOZ)I) y ((Z 0111 Z)i) son eq1uacutevashylentes y por tanto definen el mismo sl1bman~f()ld

Teorema 287 Sea 1 (ZOz) - (iexclOM) un embebimiento Entonces L

(Z Oz) -- (Z OMI Z) es un difeomorfismo y poTtanto ((Z Oz) L)Y ((Z O MI Z) i) son equivalentes

Demostraci6n Es claro que 1 Z - Z es un homeomorfismo Resta probar entonces que ~ O MI Z -- ~ Oz es un isomorfismo de sheaves Veamos en primer lugar que es un morfismo Sea f un elemento de ( OA[ IZ)(V) para V = W nz un abierto cualquiera de Zmiddot Como fE (OA- IZ)(V) por definicioacuten de esta sheaf existe un cubrimiento Wa de ~v y funciones suaves Fa E OAtWa) tales que cada Fe restringida a Ve ~V n Zmiddot coincide con la restriccioacuten de f a este mismo abierto Ademaacutes como ~ Oz -- OM es un morfisl11o de sheaves o ~ F o ~ O z (L - 1 (Va)) y por lo tanto f o iquest E O z (e 1 (V)) Esto muestra que L OMI Z -gt LOZ es un lllorfismo de sheaves La inyectividad de iquest se sigue inmediatamente del hecho de que 1 es sobreyectiva Veamos ahora que iquest es sobreyectiva Para ello basta ver que localmente lo es Fijemos Zo E Z un punto cualquiera y sea su imagen en Z Por ser iquest una inmersioacuten local el Teorema 272 nos dice que existen entornos abiertos V W r Z (W abierto en 11) alrededor de U iexcl 1 (V) e Z alrededor de zo y coordenadas locales Xl) bull iexclk en U y yJ yl1 en ~v tales que L en estas coordenadas luce corno el embebimiento estaacutendar de ]Rk en lR es decir si z L(Z) entonces

98 CHAPTER 2 AIANIFOLDS SUAVES y SUS MORFISMOS

yi() = xi(z) para todo E U i = 1 k Y yk+l(z) yn(z) O Supongamos que g E ()iquest(U) Sabemos que existe g suave en ]Rk tal que

g(z) g(x1(z) xn(zraquo

para todo z E U Definamos F -iexclV -- R como

F(p) = g(yl (p) y(praquo

para todo p E W y a f como la restricciacuteoacuten de F a V Claramente f E (OAE IZ) (V) Y para cada z E U

(Joiquest)(z) g(yl () yk(zraquo =

g(I 1 ( z) xk (zraquo

1J(z)

lo cual demuestra la sobreyectividad de iquest y completa la demostracioacuten del teoshyremabull

Observacioacuten 288 Lo antcriorimplica que dos pares laquoZ Oz) iquest) laquoZ Oz) i) en E son equivalentes si y soacutelo si I(Z) iexcl(Z) Entonces la definicioacuten de sllbshyman~fold que dimos pennanece equivalente si reemlJlazamos la condicioacuten de que exista nn d~feomorfismo h Z - Z tal que i = iquest o h en la definicioacuten de equivalencia por la condicioacuten maacutes deacutebil iquest(Z) iquest (Z)

Supongamos ahora que Z e A1 es un subconjunto cualquiera de lv1 dotado de la topologiacutea que hereda de 1111 y de la sheaf OMI Z de funciones que son localmente restricciones de funciones suaves en A1 Si (Z OAI IZ) es un manifold entonces la inclusioacuten i Z -gt iVI es un embebimiento y Z es un submallifold de A1 El teorema anterior muestra que todo submanifold de lv1 es esencialmente de esta forma En algunos textos un k~manifold se define como un subconjunto Z de alguacuten espacio eucliacutedeo ]RN el cual es localmente difeomorfo a un abierto de ]Rk Esta uacuteltima condicioacuten como puede faacutecilmente verificarse es equivalente a decir que Z con la sheaf que el cada abierto le asigna el conjunto de las funciones que son restricciones locales de funciones suaves de ]RN es un manifold

Ejercicio 289 Sean Al y N man~folds y X e lvI y N subconjuntos Decimos que una funcioacuten f X -gt Y es suave si ella induce un morfis1no de espacios anillados (j r) (X OMI X) -gt (Y ONI Y) DemuestTe que esto eq~Livale a que pam cada x E X eaacuteste un entorno U en A1 y nna funcioacuten suave F Ux N tal que Flunx f Decirnos que f es un difeo1norfis1no entre X y Y si existe g Y - X s1taVe tal que g o f y f o g son la identidad Dernuestr-e qne Z e ]Rv es un k~8ubman~old decir Z es ende7Czable) si y s610 si lmm cada z E Z eziste un entoTfw en Z difeomoTfo (seguacuten la definicioacuten dada en la liacutenea anteruacuten) a un abierto de JRk

9928 SUBMANIFOLDS

La nocioacuten de submanifold admite un caracterizacioacuten en teacuterminos de las sheaves involucradas que resulta ser aplicable a otras categoriacuteas y que es parshyticularmente importante en Geometriacutea Algebraica Sea l((Z Oz) i))] un subshymanifold de Al Por el teorema anterior podemos suponer sin peacuterdida de generalidad que este submanifold es ((Z OMI Z)i) donde i denota la inshyclusioacuten de Z = i(Z) en Al Para cada abierto H de M denotemos por I(W) al conjunto de todas las funciones on 011 (H) que se anulan ideacutenticashymente sobre Z n ~VComo se puede verificar faacutecilmente la coleccioacuten de toshydos los I(W) con la restriccioacuten llsual de funciones es una sheaf en NI Cada funcioacuten de (OAII Z-)(Z n W) es localmente la restriccioacuten de UIla funcioacuten de thICW) Luego el modismo de sheaves dado por la restriccioacuten de funciones a Z p Oyf i( OArI Z) es sobreyectivo y el kernel de este morfismo es claramente I Es decir la secuencia

o 0

es exacta y por consiguiente OAIII =i( OArI Z) De la discusioacuten anterior se sigue el siguiellte teorema

Teorema 2810 Sea [((Z Oz) i)] ~m s~Ilnnanifold del manifold M Entonces la sheaf i Oz es canoacutenicamente isomorfa a una sheqf cociente OAl 1 para un cierto ideal I Reciacuteprocamente [( (Z O z ) i)1 es un 8ubman~fold de 1lt1 si (Z Oz) es un manifold iquestun homeomorfismo a S~L imagen y existe ~tna subsheaf de ideales 1 de OAl tal q1le OM 1 es isomorfa a L Oz

281 Puntos criacuteticos y regulares valores criacuteticos y regushylares

Definicioacuten 2811 Sean Al y N manifolds de dimensioacuten m y n respectivashymente y j N ---iexcl N una funcioacuten suave de Iv en N

1 P E NI es un punto regular de j si jp Tiexcl (1v1) ---iexcl Tf(p) (N) es sobreyecshytiacuteva En caso cont()rio diremo8 que p es ~tn punto criacutetico de j

2 q E N es un valor regular de j si todo punto p E j-1 (q) es un punto (egular de j En caso contmrio diremos que q es un valor criacutetico de j

Observacioacuten 2812 Siacute q E N es tal que q ~ j(A1) entonces q es clammente un valor regular de j

Observacioacuten 2813 Por definicioacuten si m lt n entonces todo p E 1lt1 es punto criacutetico de f

Los conjuntos de nivel correspondientes a valores regulares son siempre subshy

manifolds

Teorema 2814 Sean Iv y N rnan40lds de dimensiones rn y n y sea j lvl ---iexcl

N una funcioacuten suave Si q E N es ~m valor r-egular entonces si Z = j-1 (q) es un submanijold de 1vl de dimensioacuten m n


Demostracioacuten Si f-l(q) = 0 entonces (q) es un manifold de cualquier dimensioacuten y por lo tanto de dimensioacuten m n Sea p un punto de f- l (q) y sean (V lj = (yl V) coordenadas locales alrededor de q tales que yiacute(q) O Denotemos por i a las coordenadas de f es decir fi f(yi) Como q es un valor regular fp Tp(AJ) Tq(N) es sobreyectiva lo cual implica que el rango de la imagen es n y eacuteste es igual al raugo de la matriz Jacobiana Juv(p) (aquiacute (Up) es cualquier carta alrededor de p) De la Proposicioacuten se sigue que Z es un submanifold de ]Yl de dimensioacuten rn n

Ejemplo 2815 Sea f R+ 1 - R la flLncioacuten f (xl x+ 1) (Xl )2 + + (1+1)2 La matrIacutez Jacobiana de f es

JIftIftH+1 (x) = [2iexcl1 2iexcln+lJ (matriz fila)

Corno ~ (iexcl) tiene rango 1 81 x i= O concluirnos que fodo c i= O es 1m valor regular de f y que S f-l (1) es un n-submanifold de Rn+l

Ejemplo 2816 Sea 1vl = SI X R donde tornarnos a SI corno el manifold cociente SI ~ Riexcl27fZ Podernos embeber a lv en R3 como el cilindroinfinito

R3cuyo eje central es el z de la siguiente manera Definamos f lv --+

como f (() t) = (cos () sen 8 t)

Esta funcioacuten es invectiva y como se verifica faacutecilmente la matriz Jacobiana (8 t) tiene rango 2 (aq1LIacute tomamos la calta (U X R tp X Id) donde U = UN

Y tp = tpN siacute f) E UN Y U Us YP = Ps si 8 E Us ver Ejemplo 223) Luego f es una inmersioacuten inyectiva cuya imagen es precisamente el conjwlto

f(M) y z) E

Ademaacutes es faacutecil ver que la ]lreimagen de tm subconjunto compacto de f(Al) es un compacto de Al de lo cual le siacuteg1Le que f Al f(AI) es una ftLncioacuten pTOpia y por la PTOposicioacuten 274 es un embebimiento

Ejemplo 2817 En forow saacutenUumlar SI X SI puede embeberse en]R3 Definimos f 1v1 --+ R3 por

f (e ip) ((R + r cos P) cos () (R + r cos P) sen e r sen tp)

Es faacutecil ver que si R gt r gt O entonres f es una inmersioacuten inyectiva nlya imagen es el 8ubconjmtto de

T

Como el manifold SI X SI es compacto f es un embebimiento Por atTO lado si definimos g --+ ]R como

g y) (iexcl2+ y2+__ R2_r2)2+4R2z2

2entonces puede compTObarse que T g-l(c) donde c = 4R2 r Dejamos como ejercicio veTIficar la afirmacioacuten anterior y el hecho de que todo e i= O es un valor regular de g Lo nnteriOT pTO]Joniona dos maneras de ver qtLe T es un 2-subrnanifold de ]R3

29 ORIENTACrOacuteN 101

282 Teorema del embebimiento de Whitney

En esta seccioacuten veremos que cualquier manifold compacto puede ser embebido en R N si N es lo suficientemente grande Vhituey realmente demostroacute que todo manifold 1ln compacto o no puede embeberse en R2n+ 1 Y que la dimensioacuten de este espacio es en general la miacutenima posible([5])

Recordemos que siacute A1 es un manifold y f Al - R es una funcioacuten entonces el soporte de f es

el p E lvf f(p) O

Para simplificar la verificacioacuten de que la funcioacuten f que se define en la deshymostracioacuten del Teorema de embebimiento de Whitney es una inmersioacuten es necesaria el siguiente resultado

Ejercicio 2818 Sca lvf un manifold y Uf un cubrimicnto abierto de 1vI Entonces existe una particioacuten de la unidad Xi subordinada a este cubrimshyiento tal que paTa cada punto p E M eJiste un iacute y 1m entomo Up tal que Xi(q) 1 para todo 1] en Up

Teorema 2819 (Vhitney) Siacute NI es un manifold compacto cxiste un embeshybimiento f Al --gt R N para alguacuten N s1~fioacuteentemente grande

Demostracioacuten Como M es compacto podernos elegir un atlas finito (U1 ltPI) bull (Uk ltPk) para lvf Existe una particioacuten de la unidad Xi i 1 k subordinada al cubrimiento Ui i = 1 k Sea

_ (X (f) X~ v X ) ~1 ---- 1T1lk(m+l)f - 111 kfbAl k JV r bull

Veamos que la funcioacuten f es un embebimiento Como Af es compacto por la Proposicioacuten 274 basta verificar que f es una inmersioacuten inyectiva En primer lugar f es obviamente suave

En segundo lugar sea p E lvf Tomemos un i tal que Xiacute(P) gt O Entonces (XiltPiacuteLp es un isomorfismo Por lo tanto

es inyectiva Por uacuteltimo supongamos que f (p) = f (1]) Si p E Uiacute Aiacute (p) = 1 entonces Xi (q) = 1 Y asiacute 1] E Uiacute Luego ltPi (p) Xi (1) ltPi (p) Xi (1]) ltPi (1]) ltPi (q) Y entonces p qbull

29 Orientacioacuten

Recordemos los siguientes resultados del Capiacutetulo I En primer lugar sean V W y Z espacios vectoriales no triviales de dimensiones n m y k respectivamente ltP V --7 W 1J W --+ Z transformaciones lineales y

A = VI 1In B 1J)1 W m y e = Z1 bull Zk

102 CHAPTER 2MANIFOLDS SUAVES y SUS MORFISMOS

bases para VlV y Z respectivamente Entonces la j-eacutesima columna de la matriz que representa la transformacioacuten lineal rp de la base A a la base B estaacute formada por (Llj bull amj tales que

Esta matriz se denota por [rp]BA En seguudo lugar la matriz de la compuesta satisface

[1jJ rplcA [1j1 CB [ifJBA

Por uacuteltimo si Al A 2 son bases para V elltoIlces [1d]A 2 A es la matriz de cambio de base cuyas columnas expresan cada vector de la base Al como combinacioacuten lineal de vectores de la base A 2 Es faacutecil ver que [IdlA 1 A2 = ([1d]A2A )-1

Sea V un espacio vectorial real llO trivial El conjunto de todas las bases de V puede partirse en dos clases de equivalencia de acuerdo a la siguiente relacioacuten dos bases Al y A2 son equivalentes si la matriz de cambio de base [IdlA2Al tiene determinante positivo En este caso decimos que Al y A2 definen la misma orientacioacuten paTa V o que estaacuten en la misma clase de orientacioacuten Una orientacioacuten para V es una escogencia particular de alguna de estas dos clases de equivalencia A una orientacioacuten particular de V la denotaremos por D(V) Una base en la clase escogida se llamaraacute una base con orientacioacuten positiva o base positiva y en caso contrario muz base con oruacutentacin negativa o base negativa Si V tiene dimeusioacuten cero entonces UIla orientacioacuten para V es uua escogencia de uno de los nuacutemeros +1 oacute -1

Ejercicio 291 Demuestre que la Idacloacuten equivalencia de bases es en efecto ww relacioacuten de equivalencia

Ejercicio 292 Demuestre q1lC ef(xtivamente el conjunto de bases de 7m esshypacio vectorial real V no trivial q7teda partido en dos clases de equivalencia por la relacioacuten equivalencia de bases

Definicioacuten 293 Un n~manifald lvI con n 1 se llama orientable si existe nna escogencia de orientacioacuten liara cada uno de los espacios tangente~ Tp (A1) de taltarma qne eacutesta sea localmente coherente (~8 decir tal q1te 1JaTa mda p1mto p E vI existan coordenadas locales alrededor de ]J (Up ltP = (Xl )x)) tales que paTa cada q E Up la base

Buq = al )~iexcliexcl I 1 uJ q

es positiva A cada una de estas escogenCias se le llama una orientacin para M y se denotaraacute por D = D(Tp (Al))PEM) donde cada D(Tp(M)) es una orishyentaCIacuteoacuten para Tp (Iv1) Un manifold orientado es un par (Al D) donde 1vl es un man~fold orientable y D es 1ma orientacioacuten paTa 1vl Si lvJ es un man~fold de dimensioacuten ceTO entonces una orientacioacuten ]lara 1M es una escogencia de orishyentacioacuten paTa el tangente en cada ]JUnto de vI Decimos que una carta (U rp) del man~fold orientado (Al D) induce de 1vI si Bu] es positiva para cada q E U

29 ORIENTACIOacuteN 103

Observacioacuten 294 Si dim A1 O entonces una oricntacioacuten para 11 se p1Lede pensar como una fmiexclcuacute5n de 11 en el conjunto -1 +1

Teorema 295 Si vI es orientable y conero entonces lvI ad1nde exactamente dos orientaciones

Demostracioacuten Esto es trivial en el caso dim 11 = O Podemos pues suponer que dim M 1 Como vI es orientable entonces admite por lo menos dos orientaciones Basta por ejemplo tomar una y su opuesta Fijemos dos orientashycionesarbitrarias quellarnaremos O O(1~iexclOvJ))PEM yD = D(TpUvJ))PEAf Dividamos los puntos de A1 en dos conjuntos disjuntos U1 y U2 donde U1 deshynota el conjunto de todos los puntos p de v1 donde las orientaciones O(J (1f) ) Y D(Tp(vI)) coinciden y U2 formado por aquellos puntos para los cuales estas orientaciones no coinciden Si demostramos que ambos conjuntos son abiertos por la conexidad de 1vI se sigue que algullo de los dos es vaciacuteo y por tanto O y D son iguales o difieren en todos los puntos de iexcl[

USea]J un punto en UJ bull Sabemos quc existcn cartas (UP = (r 1 x ))

y (V1) = (y 1 yn)) alrededor de p clonde para cada q U n V la b~c Buq E O(Tq (1I)) y la hase Bvq D(Tq(M)) es decir son positivas de acuerdo a las orientaciones O y D respectivamente Entonces en el punto plas bales Bup y Bvp estaacuten en la misma clasc de equivalencia Por otro lado como la matri de cambio de base de Bup a Bvp es precisauIfmte la matri Jacobiana de cambio de coordenadas

(p)

Iv () ~ [

(]Y)

vemos que det Jvu(p) gt O Por continuidad existe un entorno de p ~V e U n V donde el determinante es positivo y por consiguiente la matriz de cambio de bale de Buq a Bvq tieue determinante positivo para cada q E lV Esto muestra que O(Tq(M)) D(TI](lvI)) para todo punto q E W Entonces VIl e U1 Concluiacuternos que U1 es abierto En forma similar se demuestra que U2 tambieacuten es abierto bull

Si O es una orientacioacuten para un manifold Al entonces denotaremos por a la orientacioacuten opuesta o sea la obtenida tomando la otra clase de orientacioacuten en cada uno de los espacios tangentes Si 111 cl(nota alllll1nifold orientado (M O) entonces lvI dcnotaraacute elmallifold orientado (]I1 O)

Ejercicio 296 Demuestre qUf si 11 es oTientable eiexcliste un atlas (Uo POt) de talforrna que las matTuacutees Jacobiacuteana de carnbio de coordenadas J po (p) tienen determinantf positiiexclo para todo p E UOt n DemlIestre qne el reciacuteproco tambieacuten es cierto Es decir q1le si existenn atlas con esta pTOpiedad entonces A1 es oriacuteentable y tal atlas escoge vna orientacioacuten ]Jam Af

El siguiente ejercicio se usaraacute en la demostracioacuten de la siguiente proposicioacuten


Ejercicio 297 Denmestre qve siacute 11 y lV son espacios vectoriales reales no triviales y O 1) son orientaciones para 11 y vV reS1)ectivamente entonces el espacio vectorial 11 X vV es orientado eanoacutenicamentA de la siguiente forma Tome una base B = viexcl v de V y una base e wiexcl wm de W y declare lJOsitiva la baSA (VI O) (vl1 O) (O wiexcl) (O wm ) de 11 x wiquest Queacute OCUTre si al menos uno de los espacios vectoriales es tiexclivial

Proposicioacuten 298 Sean Apn y Nnman~folds Si ambos manifolds son orishyentables entonces Aiacute x IV es orientable y cada escogencia de orientaciones lJara 1111 y N determina 1lTa orIacuteentacioacuten ]Jara lV X N

Demostracioacuten Cada espacio tangente T(pq) (A1 x IV) es canoacutenicamente isoshymorfo a 7~(1vI) x Tq(N) y por tanto recihe una orientacioacuten canoacutenica de las orientaciones de Tp ( AI) Y Tq (N) ele la siguiente manera Si Bp = VI bull Vm y Bq Wiexcl w son bases positivas para Tp(iexclVI) Y 11 (IV) respectivamente la base ordenada B(pq) (viexcl O) (vm O) (O Wl) (O wn ) se declara posishytiva para 1(11) (M x IV) Por la condieioacuten de coherencia local para los tangentes de Al y N existen cartas alrededor de P y (j (Up y (111 tJ) cuyas bases asoshyciadas Buiexclz y Bvw son positivas para todo E Up Y 10 E Vq bull De aquiacute que (Up x Viexcl P XV)) es un sistema de coordenadas cuyas bases asociadas I3uxviexcl(z1JI) son positivas para todo (11)) Up x lIq Esto deUllwstra la condicioacuten de coshyhereucia local para la orientacioacuten para el producto shy

Ejercicio 299 DemuestTe el1edp7Oco de la proposicioacuten anteTior es deciT que si Al x N es orientable entonces lvI y IV tambieacuten lo son

La siguiente proposicioacuten seraacute uacutetil en los Ejemplos 2913 y 2914

Proposicioacuten 2910 Sea id un man~fold con dirn[ 2 1

1 SU1JOngamos que existen caTta8 (U P) Y (lI IJ) con U yV conexos unV I V) y M = U U V tal que la funcioacuten de tmnsuacuteioacuten V o P -1 P (U n V) ---gt

1jJ (U n V) tiquestene matriz Jacobiana con detmminante de signo constante en p (U n 11) Entonces jiexcl[ e8 oriacuteentable

2 Si 1)OT el contmrio eEIacutesten al menos dos puntos distintos PI P2 E P (U n 11) donde el determinante dI la matriz Jacobiana tiquestene signos 01JUesto8 enshytonCt8 Al no es OfIacuteentable

Demostracioacuten 1 Si el signo del determinante es positivo AI es orientable como se observoacute anteriormente Si el signo es negativo Ulla de las cartas digshyamos P puede cambiarse por otro carta (U P) donde p se ohtiene de P mulshytiplicando por-1 una de sus coordenadas C0l110 se verifica faacutecilmente esta operacioacutell tiene el efecto ele multiplicar por -1 uua de las columnas de la matriz Jacobiana y hace por consiguiente que el signo de 81] determinante sea positivo

en cada puuto ele P (U n 11) 2 Notemos primero que si Al fuera orientable y O = O(Tp (iv1))PEM

fuera una ele las dos posibles orientaciones para 11 la orientacioacuten que induce la

29 ORJENTACIOacuteN 105

carta (U P) es decir aquella donde la base posi tiva en cada Tiexcliexcl (vI) q E U es Bltpq es equivalente a D(Tq (lJ)) para todo q E U o es la opuesta prtra todo q E U por ser U un abierto conexo Multiplicando por -1 una de las coordenadas de P (xl xn) si fuera necesario obtenemos una nueva carta (U P) tal que cada Bltpq es equivalente a D(Tq(Iv1)) para todo q E U En forma similar existe una carta (V 1) que induce la misma orientacioacuten que la escogida para 1111 Si PI Y P2 son puntos donde el determinante de la matri7 Jacobialla original teniacutea signos opuestos estos seguiraacuten siendo opuestos al hacer cualquiera de los cambios en P o en 1jJ que dieron origen a PI ya Pero esto es Ulla contradiccioacuten ya que en todos los puntos q E unv las bases BPq y B~)Iq son equivalentes a D(Tq(1vI))

bull Ejemplo 2911 iR es omiddotrientable Si u1 u 80n 1l1s coordenadas estaacutenshydar las bases positivas en cada Tp(lR) son aquellas equivalentes a BlRnp c

a~ I ae IJ A esta orientacioacuten se le llanw orientacioacuten positiva de lR p

Ejemplo 2912 Todo ablerto de l1n man~foacuteld orientable e8 lJn manifold 01ishy

entable

Ejemplo 2913 sn es 01middotientable Sabemos qite la pr-oyeccioacuten estenograacutefica permite dotar la esfem de carta8 (Us Ps) y (UN Piexclv) cuya fl1ncioacuten de tmnsishycioacuten es

-1 r Ps o PN (1) = ~ c el O

Irl El dete1minante de la matriz Jacobiacuteana de esta funcioacuten es el cl1al es

negativo pam todor el O De la P1Oposicioacuten 2910 se sigue lJue es oTientable

Ejemplo 2914 La cinta de Mobiu8 no es orientable En efecto consideTernos la cinta de Miibuacutel8 como el man~fold cOClente iexclvI R 2

rv donde (x y) ~ (x + n ( 1) y) con n enteTO Sea 1f --gt 111 la proyeccioacuten canoacutenica Tomemos el atlas formado pOT las GnTtas P = (1fI(Ol)XIR)-I 1jJ ( 1f I(1232)XIR)-1

1J11e corno es faacutecuuml VeT Iienen dominio conexo La funcioacuten de tmnsicioacuten entTe P y 1j) viene dada por

1jJo (xiexcl)- (r+l--y) si Oltxlt12 y - (iexcly) si 12 lt x lt 1

Entonces det [D (1j) o ) (r Jj)] es igual a 1 para O lt 1 lt 12 Y --1 para 12 lt x lt 1 Por la Propo8icioacuten 2910 A1 no es orientable

Cinta de Albiacutell8

CHAPTER 2 1JANIFOLDS SUAVES y SUS lvl0RFIS11iexcl10S106

Ejercicio 2915 Complete la dernostmcuacute5n de laB afirrnaciones hechas en los

ejemplos anterioTes

Ejercicio 2916 Denmestre que si Iv 11 N son man~folds tales que existe un difeomorfismo local f vI ~ N entonces si N es orientable jV tambieacuten lo es y cada orientaCioacuten de N deteT7niacutena una orientacioacuten de ji1 viacutea fmiddot

Observacioacuten 2917 El reciacuteproco de lo afirmado en el ejercicio anterior es falso Siacute AI es oriacuteentable 11 eiexcliste un diacutefeomorfismo local f Iv ~ N entonces N no es necesariamente o7Iacuteentable Sin embargo siacute 1vl es conexo y f es un difeomorfismo local sobreyectiuo entonces N es o1Iacuteentable si 11 soacutelo si para cada par de puntos p p E 11 tales (jue f (p) =~ f (p) el isomorfismo f-~ o fp

T (AI) -gt TiexclJ (vI) pTeserua orientacioacutenp

Ejercicio 2918 Demuestre la afiT7nacioacuten anteTior

Definicioacuten 2919 Sean (lv D) y (N TI) manifolds orientados y sea f M ~ N Iln d~feomorfismo Decimos que f prYsenw orientacioacuten siacute pam cada p E Al el isomorfismo f~p T p(AI) ~ Tf(p) (N) enviacutea bases positivas en baseslJOsiacutetivas Decimos (jlte f r-ever-sa orientacioacuten si pam cada p E A1 fp enviacutea bases positishyvas en bases negativas Dos manifolds mientados se dice qllc son orientacioacuten d~feommfos si c1Iacuteste IlT difeom01fismo entre ellos que pr-eserua orientacioacuten

Observacioacuten 2920 Si en esta definicioacuten vI (y por lo tanto N) es conexo cada difeomorfismo entre ellos o preserva orientacioacuten () Tever-sa oTIacuteentacioacuten

Observacioacuten 2921 Existen pares de manifol(L9 orientados 1]1LC son d~feomorshyfos peTO que no son or-iacuteentacioacuten difeom01fos

Ejercicio 2922 Sea a Srlt S la fancioacuten antiacutepodal a (p) = -p Esta funshy1cioacuten es un d~feomorfismo 11 clammente a- a Demuestre que para cualquier

pE sn Tp(sn)= T_p(sn) yap Tp(sn) -gt T_p(sn) es Ilnisom01jismo que enviacutea cada v en -v A11lestre que por tanto a es or-ientacioacuten preseuante sl y

soacutelo si n es impar

Ejemplo 2923 El espacio prOyectivo Pi 2212 es oTientable si y soacutelo si n es impar En efecto seaiacuteT sn -gt Pi la jJ7Oyeccioacuten canoacutenica Fijemos una orientacioacuten para la esfera S que denotaremos 1JOr 0= O(Tp(sn)) Sabemos qlle 7f es un d~teomorfismo local y que la funcioacuten (L1ti1Jodal a Srlt -gt Srlt satisface 7foa iacuteT Si n es impar definirnos una orientacioacuten D(Tq(P~1)) en cada Tq (P~) q 7f (ji) erigiendo que el isomorfismo iacutel p (Srraquo -gt 1] (Prriexcl) sea orientacioacuten pr-eseTuante Como T (--p) = (j de acner-do a la obseruacioacuten anterior iexcllara

demostrar que es oTientable debernos vel~fiCaT que 7f(~p) o iacutelp T p (8)--gt T_psn) presliexclua orientaciones De la igualdad q iacutel (p) = 7f o a (p) se sigue

que


y pOT lo tanto o 1[1 = a p PeTo como n es impar ap 1 (sn) --- T~ p (S) es positivo

Reciacutepmcamente 8uponJamo8 quc Pi C8 oTIacuteentable Corno sn es un manifold conexo podemos elegir- una orientacioacuten Pl~ dc modo que 1[ sn --+ Pi sea orientacioacuten prescnJ(mtc es dcclT pam cada ]J E sn 1[1 Tp (Sl) --+ Tq (P~)

q = 1[ (p) sea lJOsitivo En particular los isomorfismos 1[p Tp (sn) 1 (Pi) Y 1[(_p) 1-p (sn) --+ T p son positivos Lucgo a S--- sn es positivo

plteS ap o 1[ p cs positivo de lo cual sc siguc qllc n es impar

Para ver por cjemplo qte no e8 orientable mostTl~mos que eacuteste contiene una cinta de lvlobws Es clam que pasando al cociente la imagen de la cinta anchura en S2 JiTOdnce tt1W cinta de lvliquestbius cn Pl~

291 Orientacioacuten de superficies en ]RJ y crunpos normales

Denotemos por E = c1 e2 e3 a la base estaacutendar del espacio eucliacutedeo IR3

Recordemos que para cada par de vectores

11 alel a2c2 + a3e3

tu blel b2C2+bIC3

el producto vectorial 11 x tu se define corno

l [ a2

11 x W = (et b 2

Si identificamos a 2IR3 con IRl mediante el isomorfismo que enviacutea a el e2 en e3 a el c3 en -c2 Y a e2 eiexcl en el entonces 11 w es enviado precisamente en v x w Esto 110S penllitp identificar P11 forma natural a v W C011 11 X w En lo que sigue v w seraacute pensado como el vector v x 111 ell En lo que sigue la) coordenadas usuales de IR2 las denotaremos por x y y las coordenada) usuales de R) por x y z

En el caso de superficies (es decir 2-manifolds) embebidas el1IR) la nocioacuten de orientacioacuten corresponde a la idea geomeacutetrica de escoger en cada punto del manifold un vector normal al espacio tangente de tal forma que esta escogencia variacutee suavemente En forma precisa sea A12 un manifold conexo de dimensioacuten dos (una superficie) y z 1112 -- un embebimiento Entonces A12 es orientable si y soacutelo si existe un campo normal suave en z(Iv12 ) es decir si y soacutelo si existe una funcioacuten suave (en el sentido del Ejercicio 289) n z(lvf2 ) --+ IR) tal que

(n(z(]J)) z(u)) O y iexcln(z(p))1 1 iacutep E A1 iacutev E Tp(Af 2 )

Supongamos que A12 es orientable y escojamos una orientacioacuten para A12 Sea 1L U --- IR2 U = (u l n2 ) coordenadas locales tales que para todo punto q E U

la base BUq = IfJ Iq sea positiva Denotemos por Zi i 1 23


las coordenadas en ]R3 de la funcioacuten z Escrita en estas coordenadas la matriz J acobiana de viene dada por

donde iexcl es la base canoacuteuica dada por las coordenadas estaacutendar de ]R3 Definamos para cada q U

y nuz(q))

nu((q)) = ))1-I~(-(nu z q

Ejercicio 2924 Derrmestre que la fnncioacuten l1u z( Af2) ]R3 asiacute definida es Una fnncioacute1I suave

Suponga que este procedimiento se realiza en eada carta de iV Veamos que las fundones asiacute definidai coinciden en lai intersecciones de las cartas y

por consiguiente definen Ulla funcioacuten suave globaln Para ello supongamos que 2v V -) ]R2 V (Vi v ) es otra carta de tal forma que Bvq = Iq ir Iq

es positiva para todo q V y demostremos que el campo lIormalnv definido por medio de esta carta eoineide eon nu en z(U n V)Sea W = Z ov-l Entonces z w o Pvu o 1L y por tanto z w o Pvu o u donde Pv u denota la funcioacuten de cambio de coordenadas Querelllos ver que para todo punto q E U n V se tiene que el vector

( iJ~l IJ A ~1 ( a IJ es a veces (con a dependiendo de q) el vector

para un cierto a gt O Claralllente [w]tdPvlhl EE [vlw (aqnIacute iexclu esta denotando simultaacuteneamente la base canoacutenica dada por las coordenadas estaacutendar de y la base canoacutenica dada por las coordenadal estaacutendar de ]R2)

implica que

Jvu

10929 ORIENTACIOacuteN

ya que [UlEB es la maJriiacutel identidad 2 x 2De aquiacute se sigue la siguiente igualdad para el primer menor (es decir el que se obtiene olllitielHlo la primera fila) de

la matriz de la iiacutelquierda

Similarmente se deducen expresiones anaacutelogas para los otros dos llenores de lo

cual se deduce que

nu(z(q)) det Jvu(z(q))nv(z(q)) para todo q E un V

Como cada det JlU(q) O se deduce que

nu nv

jnul

es decir nu(z(q)) = nv(z(q))) para cada q E un V Veamos ahora que la condicioacuten es suficiente Supongamos que existe un

campo normal suave n) en z(NP) Para cada puuto p E 11 tomemos una carta (U )u) alrededor de p tal que Up sea conexo El vector p

es perpendicular eacutel cada uno de los vectores zp (

tanto

(o IJ A ( aIJ ~ an(z()) lam alguacuten a 0

Si a lt O cambiamos la carta (Upl u) por la carta (Up Uf) donde Uf R o u con R(x y) = (y ~iexcl) Luego sin peacuterdida de generalidad podemos suponer que las coordenadas locales (Upl u) han sido escogidas de tal forma que el valor de a es positivo para cada p E N Esto nos proporciona Ulla escogencia de orientacioacuten para T ( NI) en la cual las baies positivas son todas aquellas equivalentes a Bup

p Es claro de la continuidad de las funciones z ( 8~i 1) 1 z ([)~21) Y de

no z (maacutes auacuten estas funciones S011 suaves) que eIl llll ltlltoruo suficientemente

pequentildeo e Up de ]J se tiene que para todo q E

uuml(q)n(z(q)) con a(riexcl) gt O

Esto muestra que las orientaciones asiacute escogidas son localmente coherentes y

por tanto A2 es orielltable

110 CHAPTER 2 MANIFOLDS SUAVES y SUS MOHFISMOS

210 Manifolds con frontera

El selllidisco (xy) E jR2

el semiacuteplano o

y el cilindro semiabierto

son algunos ejemplos elementales de un nuevo tipo de objetos que en sentido estricto no son manifolds suaves pero que aparecen en forma uatural en un grall nuacutemero ele consideraciones y problemas topoloacutegicos

Recordemos que denota la sIteaf de funciones suaves con valores reales en Rn En lo que sigue Cnf denotaraacute la llenf restriccioacuten CiexclJf [lH[n Recordemos (Ejercicio 289) que ulla funcioacuten f de un subconjunto arbitrario X de Rn en un subconjunto arbitrario Y de ]Rm es suave si para cada p E X existe un entorno Up en IRn y una funcioacuten suave iexcl Up -gt IRm

tal que Fplulnx f Esto equivale a pedir que f sea continua y que para cada abierto V e Y y cada 9 E (CiexclJf [ Y)( V) la funcioacuten 9 o f pertellccP a (C~ [ X) (1-1 (V)) Si esta condicioacuten se satisface por el Teorellla 1442 f define un morfismo de espacios anillado ele (X Ciexcl [X) en (Y CJR IY)

En forma intuitiva un manifold con frontera es un espacio modelado localshymente con un abierto del semiacuteplano superior

lHIn = (tI E IR un 2 O

de IR Yla estructura suave estltludar que dicho abierto hereda como subconjunto de JH[ (o por el Ejercicio como subconjunto de

Definicioacuten 2101 Un n-manifold suave COll frontera es un espacio anillado (vI aM ) donde Al es Hausdorff ysegmulo contable ya j[ es una subsheaf de la sheaf de funciones con valores reales sobre 1vI con la siguiente iexclimpiedad Pam cada iexclnmto p Al eDIacuteste un entorno U tal que (U a 111 U) es isomorfo como espacio anillado a (U I U) pam alguacuten abierto U delHln

Observacioacuten 2102 Note que todo n-manifold S1wve es un n-man~fold suave con fTOntera

Observacioacuten 2103 De aquiacute en adelante omitiremos la palabra suave y dishyremos simplemente n-rnanifold con frontera o manzfold con fTOntera en situaciones en las que no se necesita enfatizar la dimensioacuten

En forma similar a como se hizo para manifolds suaves se puede ver sin dificultad que la definicioacuten anterior es equivalente a la definicioacuten claacutesica dada en teacuterminos de coordenadas locales

Sea Al un espacio topoloacutegico Hausdorff y segundo contable Una carta para AI es un par (U ) donde U es un abierto de AI y P es U11 homeomorfismo de U en un abierto U de JHn

111210 MANIFOLDS CON FRONTERA

Definicioacuten 2104 Un atlas pam Iv1 e8 una familia (Um PO) EA de cartas

la cual sati8face las siacuteguientes propiedades

es independiente de (t

2 los abiertos UO LxEA f071nan 117L cubrimiento dE IvI

3 para cada par de abiertos Uu y Uf3 caga interseccioacuten no sea vaciacutea las funciones de tramuacutecioacuten o de cambio de coordenadas

o P ex (Uex iacuteI Ui)) -4 f [3 (Urlt iacuteI UfJ )

1 P(j (Un n U(j) -4 f (Uex n U13)

son suaves

Todo atlas A (Ueo fex) permite definir una slleaf de funciones con valores reales ele la siguiente manera Fijemos un abierto U e NI Una funcioacuten f U -gt

lR se llama suave si para cada punto p E U existe una carta (UoPa) E A tal

que p E Ua y la funcioacuten

es suave en un entorno de Plaquo (p)

Observacioacuten 2105 Esta definicioacuten no depende de la coordenada fex Supongshy

amos que p E Uf con (Uf Piexcl3) E A Entonces como

1 e8 Una fllTtcioacuten suave eny la composicioacuten de f7mciacuteone~ suaves es suave fe

un entorno de (p)

A la coleccioacuten de fnnciones suaves sobre U la denotamos por CA M (U) Cada CAM (U) COIl las operaciones de suma y multiplicacioacuten de funciOl~~s forma una lR-aacutelgebra Ademaacutes para cada par de abiertos V e U la restriccioacuten usual de fWlciones p~ CAM (U) -gt CAM (V) es un homomorfismo de lR-aacutelgebras Es faacutecil ver dada la naturaleza local de la definicioacuten de funcioacuten suave que CAJ- es Ulla sheaf de IR -aacutelgebras sobre Al llamada la 8heaf de funciones sItaves sobr-e

IvI aSOCIacuteada a A

Ejercicio 2106 Sea Al 1m espacio tOjwloacutegico Hausdorff Y segundo contable Todo atlas A (U exEA dota a 11 de una she(~f de funciones suoues en CAjf de tal manera que el par (VI CA M ) Tesulta ser un manifold confrontera Reciacuteprocamente siacute (MOviexcl) es 1m man~fold con fmntera Y 2 = (U fu) es una coleccioacuten de abiertos qlLe cubren a lv1 acompafiados de isomorfismos locales fu (U OMI U)--+ (U qiexcl IU) entonces el atlas 2 definido de la manem obvia

por 2 induce a su vez la sheoJ OM es decir c~ M = OMmiddot


Ejercicio 2107 Demuestre que si vI es un man~fold con frontera existe un atlas para 11 en el cual cada y uuml es una funcioacuten sobrcyectiva o a todo Rn o a todo lHIn

bull

Ejercicio 2108 Es Jlosible definir la nocioacuten de manifold suave con frontera topolgica Un n-manifold suave con frontera topoloacutegica es un espacio topoloacutegico Hausdorff y segundo contable acom1wriacuteado de una coleccioacuten de cartas (Uex Y uuml) con Yn Un -- lHIn tales que

1 la unioacuten de los Unes 111

2 siacute Ua n Uf3 cc Vl las funciones

son home01norjismos y sus resfricCones

o

son Smiddotlaves

Los puntos interiorEs de vI SOll aquellos para los que existe un entorno U tal que DA U) es isomorfo a (U IU) para alguacuten abierto U de lHIn

que no intersecta a olHI (u 1 un) Un O El conjunto de puntos inshyteriorei de 101 se llamainteriacuteoT de 1v1 y se denota por int(Al) Es faacutecil ver que (int(1v1) Diexclf lint(vI)) es llll manifold Los puntos restantes conforman la fronshytera de lvl y ie denota por ovl Esta por definicioacutell consiste de los puntos p E 1vl tales que si U es un entorno de ]J con (U DA IU) isomorfo a (U qr IU) entonces U rlolHIn 0

El siguiente lema es necesario pam la demostracioacuten de la Proposicioacuten 21012 Esta caracteriza de varias maneras los puutos de la frontera de A1

Lema 2109 Sea ep [n-- frJ una funCIacuteoacuten biyectiva suave y con inversa smiddotuave Entonces rp envla alfil en si rnuacutemw

Demostracioacuten Fijemos p E lllln COllU(jI) O y veamos quc si q y(p) entoncesun(q) O Supongamos que la afirmacioacuten 110 es cierta es decir que un(q) 0 y tornemos ltIgt una fUllcioacuten suave definida eu un entorno Wp de p en lR tal que ltIgtlwnlHln = rp1wnlHIn Sea ahora Y un eutorno de IJ en lR que no intersecte a aH Haciendo maacutes pequeuo a H1p podemos suponer sin peacuterdida de gencralidad que ltIgt(lVp) e Y Notemos que (rp-I )1 pstaacute definida y como la compuesta ep-I oq) es la funcioacuten identidad se sigue entonces que (rp-l )1 oltIgtp Id Y por tanto ltIgtp es invertible Por el Teorema de la Funcioacuten Inversa (ver Teorema ) existen entornos abiertos en lRn W e vVp de p y Vq Vq de q tales que ltIgt ~VT -- V es un difeolllorfislllo Como JV fllHIn es un abierto deq

lllln y 1 es continua se tiene que vt rp(W n iHIn) ltIgt(W n lHI n) e Vq es

210 MANIFOLDS CON FRONTERA 113

un abierto de lHIn y por lo tanto de ]Rn ya que VI no Iacutentersecta la frontera de I1f Entonces iexclp-l (Vq) es abierto cn IR lo cual es una contradiccioacuten ya que este conjunto es precisamente Hriexcl~ (l y este conjunto no puede ser abierto de IR por contener al llenos un punto (el punto p) que no esta en int(vVl~ (llilln)

bull Corolario 21010 Sean U 11 V abiertos de TIlIn y sea tp U --gt V una funcioacuten biacute1lectiva suave 11 con inversa suave Entonces tp( U (l uumllHI) = V (l uumllllI

Ejercicio 21011 Dernllcstre este C01Olario

Proposicioacuten 21012 Las sirr1tIacuteentes afirrnaCiones 80n eq1lilalentcs

i) p es un pllnto de la fronteTa de NI

PaTa todo entoTTw U de p tal que (U CJAf U) esisornorfo a (U U) paTa alguacuten abierto U de lYIn~ todo isornOlisrno tp (U CJ A1 U) --gt (U CUl]1 U) enviacutea a p en un punto de U (l alHI

Existe un entamo U de p y un iSOTrlOrfisrno tp (U OMI U) - (U Clip IU) pam alguacuten abierto U de ]I que enviacutea a JI en UTI ]Junto de U(l aI1f

Delnostracioacuten i) == iiacute) Sea p un punto de la frontera de Al U un entorno de py

un isomorfismo) donde Ues un abierto de IHIn Supongamos que y(p) ~ U(lalHI Entonces existe un entorno V e Ude tp(p) tal que V(luuml]In iacute1 Sea V y-l( V) Es claro que V es un entorno de 1 y que tp (V CJM ll) (V 1 V) es un isomorfismo Esto contradice el que p sea un pUllto ele la frontera de Al

ii) i) Es inmediata iiacute) =gt iuacute) Es inmediata

iii) == ii) Sea VV un entorno de p y jiexcl (VV 0111 W)- (W IW) un

isomorfismo donde H es UII abierto de lHI Por el Corolario del Lellla 2109 la composicioacuten

-1

(tp(unw) Iy(UnW)) --gt (UnW OMI U(lW)

enviacutea a (p) en un punto de1jJ(U n V) (l uumlJEn COlllO y- L enviacutea a y(p) en p entonces1(1) E 8lHIn

bull

Teorema 21013 Sea Altlnn~manifold confTOntem El par (iJA1 OM uumlIiexclf) donde 8M tiene la topologiacutea que hEreda de Al es un (n l)--rnan~fold

Ejercicio 21014 DcrlluestTe eite TeoTema

CFL4PTER 2 MANIFOLDS SUAVES y SUS MORFISMOS114

Ejercicio 21015 Demuestre que si Al es un man~fold con frontera 11 (Um Pa) es un atlas para Al entonces la eolecciacuteoacuten (Uex n 8Iv1 PJ Ua n 8A1 f 0 donde

ncada P~ es la composicioacuten i o lttevIUJii)M con i 8lBI -gt siendo la funshycioacuten qne enviacutea (1] rn - l O) en (x 1 1n- 1 ) es un atlas lJara el manifold

(Blv[ OJ 18111)

Ejercicio 21016 Cuales de l08 siguientes ion manifold con frontera

1 el disco

2 y) + 1 lt l l (1 y) + 11 1 Olt Y

2 el disco

3 el cnadmdo (ry) O lt x lt 10 lt y lt l

4 el Cuadmdo

(x y) deglt x lt 1 O lt Y lt 1 U (Xl y) ~ lt x lt ~ y = O

5 el cuadrado

1 2 1) lt l U (x y) - lt x lt 71) O(x y) Olt x lt 10 J - 3

6 el cnadmdo (xy) O s 3 s 10 s y s 1

7 el cuadrado

(c y) degs x s 1 O s y l - (O O) (1 1) (1 O) (O 1)

2101 Funciones suaves

Definicioacuten 21017 Sean 1v1 y N rnanifolds con frontera Y f unafllncioacuten de M en N Decuacutenos q71e f es una funcioacuten suave siacute f induce nn morfismo de espacios anillados (11) (1vf(hf) -gt (NOfiexcl) f es 1tn difeolllorfismosi f es un i50shyrrwrfisrrw de espacios a1Uacutellados Se dice que un manifold con frontera (Iv1 OA[) es difeomorfo a otm manifold con frontem (N ON) smiddotiacute eIIacutesteun difeomOtismo

entre IvI Y N

Observacioacuten 21018 Obviamente todo difeomortis7I10 es 7m horneornorfismo

210 A1ANIFOLDS CON FRONTERA 115

Sean (Al OlvI) Y (N ON) manifolds con frontera y supongamos que sus esshytructuras han sido determinadas por altas A (U(n Ya) y B = (Viexcl3 ljlp) respectivamente los cuales supondremos nwximale5 Entonces tenernos la sigushyiente caracterizaciacuteoacuten de la suavidad de una funcioacuten

Proposicioacuten 21019 La funcioacuten I Al -gt N es suave 8I y soacutelo para todo

(Uo ltPo) E A y (Ve E B tal que f (Uo) e Va la fllncioacuten o 101

fo (Ua ) (V0) es snrue

Ejercicio 21020 Demue8tre e8ta Proposicioacuten

2102 Tangente

La nocioacuten de espacio tangente en un punto puede extcllclenlc faacutecilmente al caso de manifolds con frontera Para ver (sto necesitaremos el siguiente hecho

Proposicioacuten 21021 La funcioacuten r- de C~o en CJfo q1U~ enviacutea cada lo en

(f1~lH)O es un isomor-fismo de IR-aacuteZgebms

Ejercicio 21022 Demuestre esta Proposicioacuten

Sea A1 un mallifokl con frontera Si fJ es un punto en int(llf) entonces el tanshygente en p de AJ el cual denotaremos por 7~(IVI) se define como DerlR (Oint(Mp IR) Supongamos ahora que p pertenece a ()1I La nocioacuten ele derivacioacuten en p es exshyactamente la misma que la usada para definir en forma algebraica el tangente en un punto de un manifold

Definicioacuten 21023 Una derIacutevacIacuteoacuten en p es 1lfW tnlnsformacioacuten lineal D OJlfp IR que satisface D (fpgp) ~ D (fp) g (]J) + I (p) D (gp) pam todo Ipgp E

OMp El cOf~j1lnto DerIR (OIVIp IR) de todas la5 derivacuacutemes en]J dotado de la

suma y la multiplicacioacuten por- reales

es un espacio vectorial real A ete espacio vectorial realZo llarnllr-emos tangente en p de IV y lo denotaTemos por Tp (11)

Ejercicio 21024 Ve1Iacutefiqw que Tp (11) = Deriexcliexcliexcliexcl (OAfp IR) es un espacio vectoshy

rial real

Cada elemento de Der]R (OMp IR) se puede obtener de un elemento de DerlR(C~o de la siguiente manera Fije una carta ltP Up lHI alrededor d(~ p tal que

f(p) O Denote por iexcl1 iexcl las coordenadas locales asociadas a f Si i5 es Ull elemento de DerlR(Ciexcljf 0 y fp es un elemento de OMp entonces definimos

donde ltP o -4 OMp es el isomorfismo de R-aacutelgebras inducido por y Se puede ver que D es lIla derivacioacuten en p

116 CHAPTER 2 MANIFOLDS SUAVES y SUS MORFISlvfOS

Ejercicio 21025 Verzfiqne qne D es una deTivacioacuten en p

La fUllcioacuten de DerlFt(C~nlR) en DerlR (OMiexcllR) que enviacutea a jj en D es un isomorfismo de espacios vectoriales Esto demuestra en particular que Tp ( A1) tiene dimensioacuten n

Ejercicio 21026 Demltestre qnc la funcioacuten jj -+ D es efectivamente nn isoshy

morfismo de espacios ve(toruacutedes

Tal y como hicimos en el caso del tangente en un punto de un manifold denotaremos por Ir a la derivacioacuten imagen de la derivacioacuten 8~i lo bajo este

isomorfismo Es importante observar que Tp (uumll1) se inyecta lineal y canoacutenicamente en

T p

(A1) En efecto si DE DerlR ((01111 uumlAJ)p entonces la funcioacuten D OMp -+

lR definida por DU) D( f1 8M )

es una derivacioacuten

Ejercicio 2]027 Demuestre que D es una deTIacutevacioacuten y que la funcioacuten que enviacutea D en D eH lineal e inyectiacuteva

Ejercicio 21028 Ver~fiexclqae que a~ 11 Ip

es una base para la imshy

agen de Tp(uumlAf) en Tp(M)

Definicioacuten 21029 Sea p un punto de [JAl Decimos que lLTluector v E Tp(M)

es un vector hacia afuera en p si existe una carta rp U fJ alrededor de p

tal que rp(p) = 0 y

+ + an~ i a Ial )[J j I ~[J + an -[JuCt o uu- o un O

con a n O

Ejercicio 21030 Si v E 1~)(Af) es nn vector hacia afuera y 1jJ V -+ V es otm carta (drededor de p con I(p) 0 entonces

b1 )DI1 ~ + bn~ 1 uIL o

con b lt O

2103 Diferencial

Sea ahora f A1 -+ N una fundoacuten suave cntre manifolds con frontera y sea p un punto de Al

210 lvIANIFOLDS CON FRONTERA 117

Definicioacuten 21031 La tmnsformacioacuten lineal de Der( (OMp IR) en DerlR (ON(p) IR) q7te a cada derivacioacuten D la enviacutea en la derivacioacuten D en el p7iquestnto q = f(p) definida como

D(griexcl) D((gof)p)

se llama diferencial de f en p y se denota por f p bull

Observacioacuten 21032 Algunas veces con el pTOpoacutesito de simphficaT In noshytacioacuten orndiTemos el sub[nduacutec p en la difeacuterencial

Ejercicio 21033 Demuestre qlle cada fp(D) es l1n elemento de Derlllt (ON(P) IR) Y que fp es una tmnsformacioacuten lineal

2104 Orientacioacuten

Igualmente tiene sentido hablar de ulla orIacuteentacioacuten para ]vI como uua escogenshycia de orientacioacuten para cada eiipacio tangente que sea localmente coherente Veamos que una orientacioacuten para vI induce de manera natural UIla orielltacioacuten para 8JvI Supongamos que se ha escogido una orientacioacuten para 1111 Sea pE 8A1 y (Upep = (11 xH

)) coordenadas locales alrededor de p tales que ep(p) O

Y para todo q E Up ) la base Bu1 = 11 Iq sea positiva enl~(AI) Una base D = Xl XI1~I del espacio tangente 1)(8AI) se declara positiva si la base

es de la misma clase de equivalencia que BU1raquo como bases de Tp (Jv1) Este convenio de signos obedece a raiacutelones teacutecnicas que como se veraacute eIl el capiacutetulo de Integracioacuten en Manifolds hacen que el Teorema de Stokcs se pueda enunciar libre de signos

Veamos que esta definicioacuten no depende de las coordenadas escogidagt y que ademaacutes es localmente coherente Para esto necesitamos los siguientes dos hechos

V 7ln difeomorfismo entre

abiertos de lHIn que contienen el origen Entonces (O) gt O Proposicioacuten 21034 Sea ep

Ejercicio 21035 DemlestTe esta ProposiCioacuten

Proposicioacuten 21036 Sea lvluTI manifold con frontera y pE 8JvI SupoTiquestgamos q1le tenemos cartas ep = Up lEF y 1liexcl (yl yll) Up --gt llIn

con ep(p) =~ltJ(p) O Entonces

J(O) ico) J donde J(O) denota la matriz Jacobiana de la composicioacuten

en el origen AdeTnaacutes clet Jyx(O) tiene el ntismo signo qlle det 1(0)


Si q = (yl yl1) es otro sistema de coordenadas en Up con 1J(p) = O Y tal que Biexcljq Stt positiva para todo q E Uiexcl entonces 13tJq es equivalente a Bltpq Como ademaacutes B~riexcles equivalente a Bqq y IJltp1 es equivalente a 131 se sigue

que IJq es equivalente a B1 Si denotamos por (r1 iexcl-1) al sistema de coordenadas locales en

Up n 81vi entonces de lo anterior se deduce que para todo q E Up n 8M

es ]lositi7la sl 11 soacutelo si n es paT ya que para pasar de la base

8 I 8 I ax~-~tl 1 riexcl q

a la base Buq hay que efectuar n - 1 transposiciones y finalmente cambiar el signo del uacuteltimo vector lo cual equivale a hacer n cambios de signo De lo anterior se signe la condicioacuten de coheTencia local pam la orientacioacuten para 011 ya que si n es par las bases canoacutenicas DUpnDA[q dadas por el sistema de coordenadas (Upl 8111 iexcl) reproducen las orientaciones escogidas y si n es impar cambiando de signo a Ulla de [as coordenadas ri o permutando dos de ellas se obtiene un nuevo sistema de coordenadas locales que reproduce la orientacioacuten escogida

2105 Embebimientos y submanifolds

Definicioacuten 21037 Sean Af y N manifolds con frontem y f Ai -- N una jimcioacuten suave Decimos (jUr f es ~m embebimiento si satisface las siguientes condiciones

1 f es inyectitJa

2 pam cada punto p E Ai la diferencial f p es invectiva y

8 f 1i -- f(M) es li1I h01Trorn01isfllo

Proposicioacuten 21038 Sean 111 y N manitolds con frontem Una flLncioacuten 8lLave f vi -- N es un embebimiento si y soacutelo si J es un difeomorfismo de (NI ()iexcl1) en (f(jvI) OM i f (Iv) )

Ejercicio 21039 Denwestrc esta P7Oposicioacuten

Ejercicio 21040 Sean NI N manifold~ con frontera Demuestrc quc tina fnncioacuten J lv1 -- N suave uacutelyectiva 11 tal que Jp es inllectiacuteva en cada p E M 18 un Imbebimiento si y soacutelo J Af -- J(Al) es ProlJia

Ejercicio 21041 Demuestle la equivalenciacutea de estas dos definiciones


Ejercicio 21042 Demuestre qne si lvI 11 N son mllnifolds con frontera con dim)J dim N J 11 f 1 N es un embebimiento cU1la imagen es cerrada entonces

f(int(NF)) f(Alt 11 f(DAf) = FrU(1lI))

Esto OC1L7Te alLtomaacuteticamente si AI eli compacto

Sea lvl un Inanifold con frontera y denotemos por E el conjunto de pares ((Z Oz) iquest) formados por un manifold con frontera y un embebirniellto de eacuteste en AI Decimos que dos pares ((ZOZ)I) y ((ZOZ)iquestI) son equivalentes si existe un difeornorfismo h Z ZI tal que l = 1 oh

Definicioacuten 21043 Sea 11 un manifold con frontera Un kmiddotmiddotsubmanifold suave con frontera dc lvI es una clase de equivalencia [( (Z O) l)] donde dim Z k

Ejercicio 21044 Demuestre que si lvI es un n-manifold con frontera enshytonces iexcl((8Al 0M iDAf)i)] es un (n-l)-slIbmamfold suave con flOntera (vaciacutea)

Ejercicio 21045 Decunos lJue un subconjunto D de ]R es un dominio con frontera suave si D es cerrado 11 el espacio anillado (D C~ ID) es 111 n-manifold con frontera Dermiquestestre qIU las afirmaciones son eqUivalentes

1 D es un dominio con fronteT( SliaUe

2 D es cerrado y pam cada Ji E D existe un entoTno Up en ]R y un

difeomorfismo Pp Up - UpJ donde Up es mi abierto de ]Rn tal q1te

Pp(DrlUp) UprllE[n

3 D es cerrado y es la imagen de tn embebimiento de un rL- rnan40ld con frontem

Del ejercicio anterior se puede dedlcir que si D es un dominio con frontera suave entonces D cl(int(D)) y Fr(lJ) = Fr(]R1l- D) Esta uacuteltima propiedad es expresada algunas veces diciendo que los puntos de la frontera de D son accesibles desde el exterior de D

Ejercicio 21046 DemlIestre que siacute 11 es un domimo confmntem suave de]R entonces el manifold con fmntem (D ID) es orientable 11 cada orientacioacuten en]R deterrnina tina oruacutemtafIacuteoacuten en C) C~I D)

Sea D un dominio COIl frontera SlUre en ]R1t Entonces en cada punto p de 8D hay un vector hacia aJuem privilegitdo definido de la siguiente manera Orishyentemos D de acuerdo a la orientacioacuten estaacutendar de ]R Tomemos la orientacioacuten inducida en 8D Sea v(p) el uacuteuico elenellto de Tp(D) tal que ip(v(p)) tiene magnitud 1 es perpendicular a i p (Tp (8D)) y tal que si Xiexcl X n - I es una base positiva de Tp (8D) entonces u(p) Xl X-l es una base positiva de Tp(D) Demuestre el vector JJ(iexclraquo) es efectvamente un vector hacia afucra A este vector se lc llama vector normal hacia dUCTU en p E DD

CHAPTER 2 MANIFOLDS SUAVES y SUS MORFISMOS120

Chapter 3

FIBRADOS VECTORIALES

En este capiacutetulo definiremos la nocioacuten de fibrado vectorial y estudiaremos sus propiedades baacutesicas Como ejemplos fundamentales coustruiacuterelllos el fibrado tangente El un manifold jvI TA[ el fib111do cotangente T 111) Y los fibrados I k TU1) e introducirelllos las k-formas sobre 11 como secciones de este fishybrado Mostraremos la equivalencia entre las Ilaciones de fiblado vectorial y la nocioacuten de sheaf localmente libre asiacute como las propiedades functoriales de esta correspondencia Al final del capiacutetulo definiremos la operacioacuten de pull-back de una fibrado y mostraremos algunas de sus propiedades uuiacutes importautes

31 Nociones baacutesicas

El concepto de fibrado vectorial sobre un manifold suave JvIH aparece como una generalizacioacutell natural de la nocioacuten ele espacio tangente global a un manifold Este espacio se define tomando la unioacuten disjunta de todos los espacios tangentes TM UlEM Tp(iVI) A TA se le puede dotar de una topologiacutea y de una sheafcc

apropiada de funciones de tal manera que TAl resulta ser un manifold suave y

la proyeccioacuten natural 7f TM ---gt Al que enviacutea cada vector v E 1p(lVI) en el punto p una funcioacuten suave Este manifold resulta poseer la propiedad esencial de ser localmente difeomorfo a lUi producto de la forma U x IR para UIl abierto U e A1 Esta comtruceioacuten puede ser generalizada tOl1lando uniones disjuntas de espacios vectoriales arbitrarios E = UpE A1 VI de tal forma que el espacio total E tenga la propiedad ltle (r localmente difeomorfo a un producto U x IR E puede pensarse como uua familia de espacios vectoriales parmuetrizados e11 forma suave por lvf La definicioacuten precisa es la siguiellte

Definicioacuten 311 Sea M un n-manUold suave Un tibrado vectorial suave de rango r es una tripleta (E 7f i1) donde E eSlln manifold suave (n + r)shydimensional 7f E --gt M es lina funcioacuten SliaVe sobreyectiacuteva y donde cada fibra

121

122 CHAPTER 3 FIBRADOS VECTORIALES

Figure 31 Esquema de UI tibrado vectorial

definida cmno Ep (p) estaacute dotada de 1ma estructura de espacio vectorial real r-dimensional Ademaacutes iexclJara cada lmnto de A1 debe existir un entorno abierto U e A1 y un (hfeomorfismo ltPu (U) U x IR de tal forma que

1 El diagrama

Ir-- 1 (U) ~ U x IRr

Ir priexcl U

conmuta donde prl denota la pT01eccioacuten en la primera componente Es decir Ir o ltPUl (]JV) = P lara todo p E U v E IR

2 Pam cada]J E U la funcioacuten ltIgtup definuacutela como

ltPup ltPu

es lln isomorfL~mo de espacios vectOTiales

A E se le denomina el espacio total a A el espacio base a r el rango del tibrado y al mapeo 7f la proyeccioacuten delfibmdo El difeolllorfismo ltPu es llamado una trIacutevializacioacuten local de E sobre U Por brevedad y cuando no haya peligro de confusioacuten en lugar de (E Ir lvI) escribiremos E ~ iVI o simplemente E para denotar a toda la tripleta Cuando el rango sea igual a 1 diremos que el fibrado es un fibrado de [[neas

Ejemplo 312 ClloJquier man~fold suave lv es l1n fibrado vectorial con fibra cero-dimensional i1 x O y proyeccioacuten trivial 7f M x O --gt vI 7f(p O) p

12331 NOCIONES BAsICAS

Ejemplo 313 Sea E ]v x ]R y 1) Al x ]Rr 1vf la proyeccioacuten en la primera coordenada E esa claramente tn fibmdo de rango 1 Este fibrado recibe el nombre de fibrado vectorial trivial sobre 1vI

La siguiente proposicioacuten nos proporciona un herralllienta lllUy uacutetil para la construccioacuten ele fibrados vectoriales

Proposicioacuten 314 Sea E un conjunto iexclr E -+ 11 una fnncioacuten sobreyectiva

ysea

una coleccioacuten de biyecciones donde A = (Un EA cs lLn atlas para Al Supongamos que iexclr o (P I (p I) = ]J para todo p E Ua V ]Rr que para todo

a 8 E A con UCi n Ue T V1 la funcioacuten

es un d~feomorfismo y que S1tnSt7iccioacuten (l p x ]R es un isomorfismo de espacios vectoriales para cada p E Un n U(3 Entonces esta data especifica un uacutenico fibrado vectorial de rango T sobre Af eon espacio total E y proyeccioacuten iexclr con truacutenaliacutezacloncs locales dadas por los ltiacutegt (~

Demostracioacuten Mostremos en primer lugar que existe UIla topologiacutea T en E tal que cada iexclr-I (U ) es abierto en E y cada ltiacutegt0 es un homeolllorfismo Definamosa

T (8) = l e E

Es faacutecil ver que T (13) es una topologiacutea Por ejemplo para ver que la unioacuten de una coleccioacuten arbitraria de abiertos UEA V es a su vez un abierto basta notar

que

En forma similar se muestra que la interseccioacuten de finitos abiertos es un abierto y que tanto el conjunto vaciacuteo como todo el espacio estaacuten en T (8) Ademaacutes cada iexclr-I (U) es abierto en E y cada ltP es un homeomorfismo probemos primero que cada ltiacutegtu es continua Sea iexclV e U x Rr U11 abierto cualquiera Para mostrar que ltiacutegt1 (W) E T (8) debemos mostrar que para todo 3 E A ltiacutegtiexcl1 (ltiacutegt~1 (W) n iexclr-l (Ue)) es abierto en x IoF Esto uacuteltimo se sigue de las

igualdades

ltiacutegtiexcl1 (ltiacutegt1 (W) n iexclr-l (U) n iexclr-I (UI3))

ltiacutegt f3 (ltiacutegt 1 (W) n iexclr -1 (Un n Uiexcl3))

ltI)(j [ltr)1 (iexclV) n ltiacutegt(~1 ((Un n Uo) x ]R)]

ltiacutegt Oltiacutegt1 [W n ((Un n Uiexcl3) x ]RT)]

y del hecho de que

124 CHAPTER 3 PIBRADOS VECTORJALES

sea un homeOIllorfislllO entre abiertos de x IR De lo anterior se roigue que cada 11-1 (Ua) = lt1gt-1 (Uf) X IRT) es 1111 abierto en E Finalmente si V es un abierto en 11-1 (Ua) ltPo (V) = ltPuuml (V n 11--1 (Ueraquo) es abierto en UQ X IRr Como cada ltPo es biyectiva se sigue que ltPO ero un homeolllorfisrno

En consecuencia caua (11-1 (UoJ ltPe) es Ulla carta en E Puesto que para todo a f3 E A con Uegt n UfJ iexcl (iexcl) la funcioacuten ltPI o ltP e~1 es Ull difeomorfismo la coleccioacuten B ltjo 11 1 (UQ ) ~ Uer x IRr es un atlas en E y por lo tanto

uumlEIi

define una estructura suave para E Obseacutervese que si U es abierto en 111 entonces

nEfIacute EA

es abierto en E Luego 11 E --+ Al es coutinua y por la definicioacuten de la estructura suave en E es trivialmente una funcioacuten suave

Ya que lvl satisface el segundo axioma de enuIl1crabilidad 111 tiene un atlas contable Al el cual induce Illeuiante el procedimiento anterior un atlas B en E el cual es contable por tener como conjunto de iacutendices a un conjunto contable Por tanto la topologiacutea en E satisface el segundo axioma de enumerabilidad

Finalmente E es un espacio Hausdorff dos puntos distintos u y v de E pueden encontrarse en diferentes fibras o bkn ser puntos de la misma fibra En el primer caso las proyecciones de u v E E son diferentes y como Al es Hausdorff existen entornos disjuntos de 11 (u) y 11 (v) que pueden ser levantados a E es decir ms preilHiiacutegenes bajo 1f son elltornos disjuntos en E Si U Y 1) son puntos de la misma fibra entonces existe uu entorllo UIX de 111 que contiene a 11 (u) = 11 (v) Esto hace que 11 y V sean puntos distintos en el abierto 11-1 (Ua )

que es homeomorfo (de hecho difeomorfo) a Ua x llF como Ua x IR T es Hausshydorff existen entOrIlOS disjuntos de los puntos ltP() (U) Y p (v) Y por tanto sus preimaacutegel1es seraacuten entornos disjuntos de IL y v

Para completar la demostracioacutell debemos mostrar que Ep 7r~1 (p) P E Al admite una estructura de espacio vectorial r-dimensional de forma que si (11-1 (Ua)ltp) (1f 1 (UjJ)ltPU) SOIlcartas en E talesquepE Ua nUiexcl3entonces la restriccioacuten de ltP(I 0lt1gt~1 a p x llF es un isomorfismo de espacios vectoriales Fijemos a E A tal que p E Un ASIacute dados U w E Ep y s tE lR definimos

tv + sw = q)~~J (tltPnp (v) -1- s(fgtap (w))

Se comprueba faacutecilmente que estas operaciones definen una estructura de espacio vectorial en Ep con la cnalla restriccioacuten de ltP1301)~ 1 a p x lR es un isomorfismo Esto complet a la delllostracIacuteoacuten bull

1[ 1[

Definicioacuten 315 Sean E --gt Ji Y E ~ Al librados vectoriales no necesarishyamente del mismo rango Decimos que una funcioacuten suave 7 E ~ E es un morfismo ele fibradmi vectoriales si 1f

107 = 1f Y si para cada p E Al la restricci6n

de 7 T P Ep ~ EJ es una transfor-macioacuten lineal

Definicioacuten 316 Sean E El fibmdos vectoriales sobre A1 Un morjismo de fibrados 7 E -) E es -iexcliquestna equivalencia entre tibrados si existe atTO 1nOTjismo

31 NOCIONES nASICAS 125

p El ------t E tal que T o P lJ P T son la middotidentidad Es faacutecil ver- que T es una equivalencia siacute y soacutelo si e8 un difeornor-fi8rno tal que cada T p Ep--gt E~ es un isomor-fi8rno de espacios vectoriale8 Denotarern()~ por a la cla8e de equivalencia del fibrado vectoruacuteLl E Al El conjunto de cla8e8 de equivalencia de fibmdos vecto7iale8 de rango T 80lFre Af 8e16 denotado por Vectr- (A1) Un fibmdo vectoriacuteal E ---gt Nf 8e llama trivial si es equivalente al fibmdo trivial iexclI x IRr ---gt Af

En general no basta que existan isomorfismos T p Ep E cutre las fibras para que los fibrados sean equivalentes si fuese asiacute cualquier par de fibrados de igual rango seriacutean isomorfos lo cual como veremos es falso Para garantizar la equivalencia es necesario que estos iacuteSOlllorfisIllos provengan de un soacutelo mapeo suave global

Sea E - Al un fibrado vectorial de rango r y sea Un LEA uu cubrimiento abierto de Al Sean

fh middot1 ([T ) TT 1TlJ rplusmnn tiacute 0 -~ Urx X ~

las correspondientes trivialiacutezaciolles locales Siacute Uer fl Uf3 es no vaciacuteo la funcioacuten

enviacutea a (p v) en (P17 (p v)) y para cada p E Un fl U(1 fijo la aplicacioacuten v I-t 7] (p v) es un autoIllorfisIllo de IRT Esta uacuteltima condicioacuten es equivalente a la existencia de funcioues

Yo Un fl --) eL (1

tales que lt1gtS o ltIgt-1 (p v) = (p gljfr (p) v)

donde eL (r iR) denota el grupo lineal real de matrices r x r

Proposicioacuten 31 7 Las funciones Qf1rgt Un fl ~ eL (1 IR) son S1wves

Demostracioacuten Sea ej (0 1 O) el j-eacutesimo vector de la hase estandar de iR Sea

fl Uf

el mapeo definido como (Jj (p) 0lt1gt-1 (p eJ ) De la suavidad de ltIgtn Y lt1gt se sigue que (JJ es suave Pero (J j (p) (p gSn (p) ei) y la segunda coordenada es precisamente la j-eacutesima columna de la matriz g3a (p) de lo cual se sigue que las 12 entradas de gso son funciones suaves _

Las funciones gljn son llamadas funciones de tmn8icioacuten del fibrado vectorial E Por la forma como fueron definidas se sigue que estas fUllcioncs satisfacen las siguientes ecuaciones

gOOc = Id en Un

Diremos que las funciones de trallsicioacuten gsO del fibrado vectorial E ---gt A1 determinan un l-cociclo de eech con valores en eL (T lR) Notemos que este cocido depende de la eleccioacuten de la trivializacioacuten

126 GHAPTER 3 FIBRADOS VECTORJALES

Lema 318 Si el cocido g~(y proviene de otra tTiacutevialiacutezacioacuten (sobTe el mismo cub11miento)

ltIgtx 71- 1(UaJ --iquest Uu X ]1tT

existen f1LnCUumlmeS suaves fa u --+ GL (1 IR) tales qne

I f-l (31)f8 9Jo o

Demostracioacuten Puesto que ltIgto Y ltIgt~ son trivializaciones locales se sigue que

para alguna funcioacuten suave fo Ua ---gt GL (1 IR) Por lo tanto

(p lB (p) (p) v) ltIgt J o ltIgt- 1 (p g~Ci (p) v)

( ltIgt3 o ltIgtiexcl 1 o ltIgt~ o ltIgt~-1) (p v)

(ltIgtiexcl3 o elgt-1) (p v)

(ltIgt3 o ltIgt ~ 1 o ltIgta O ltIgt 1) (p 11)

ltIgt3 OltIgt~I (]J fa (p) 11) (p g3ltgt (p) fet (p) v)

Asiacute que f B (p) (p) = giexclju (p) f O (p)

para todo pE UOl n bull

Definicioacuten 319 Dos cocidos gB Y g~( pam 1m rnismo Cub1imiento abie1to U crEA de AI se dicen eqiexcliquestiacutevalentes siacute ~atisfacen (31) pam algnna coleccioacuten de funciones Sllaves fa U -gt GL (T IR)

Teorema 3110 Sean E ~ lv[ y E 11 librados vecto1iales de rango l y sea Ua (gtE J1 un ciexcliquestbrIacuterruacuteenio abie1to de lv[ Scan

ltIgtn 71- 1(U)---gt Ua x IR

1 ltIgt iacuteT-1 (Ua) ------gt Un X ~

las co1Tespondientes tTivializaciones locales Entonces E y E son isomorfos si y soacutelo si g3o Y 9~j son cocidos equivalentes

Demostracioacuten Sea T E E un isomorfismo de fibrados veetoriales De la igualdad

se sigue que T ltIgt~l(pv) ToltIgt31(pgiexcl3n(P)v)

para todo p E Ua n UO y por lo tanto

31 NOCIONES BAsICAB 127

es una trivializacioacuten local para El con funciones de transicioacuten 9f(x Aplicando el Lema 318 a las trivializaciones lt])~ y lt]) Ct 07- 1 vernos que gf3rx Y g~h son cocidos equivalentes

Reciacuteprocamente supongamos que

fa (p)

para todo]Y E rI Ve Definamos 7 n Un x]Ftr --gt Un x]Ftr por

7 o (p v) = (p

y definamos 7 E --gt El de tal forma que se satisfaga

Mostremos que esta funcioacuten estct bien definida Sea p E Ua rl U3 y veamos que

ltIgt~ 10 70 (p v) = 7 o ltIgt1 (p v)

implica que

lt])~-l o 7iexclJ (p v) 7 o ltIgt~1 (p v)

Para ellos hagamos el siguiente caacutelculo

-1 () (p)-l v) lt])I(p 9~(l (p) fa (p)-lv)

(p)-1 giexclJa (p) v) lt])10 7f3(p 9iexclJa (1) V)

o 7 o p V

De la igualdad 7 o ltIgt 1 (p v) 7 o lt])~ 1 (p 9(3laquo (p) V) se deduce que

lO 713 (19130 (p) v)

o bien 7 o ltIgt A1 o 7 B Por lo tanto 7 estaacute bien definida y es claramente una funcioacuten suave En forma similar se puede construir definida localmente corno

ltIgt -1 o lt]) r (U) = a O ex

donde (pv) (p fa (p) v) bull La definicioacuten de equivalencia entre cocidos correspondientes a UlI lllismo

recubrimiento de un manifold puede ser generalizada el cocidos que lO necesarishyamente corresponden al mismo recubrimiento del manifold

Sean Ua LE11 y Va aE A cubrimientos abiertos de vJ Recordemos que Va aE A es un refinamiento de Un nEOI si para cada Va existe Un tal que Va Un Definamos una funcioacuten de escogencia 21 --4 A tal que vl Ue(exj

para cada a E A Para cualquier cocido giexclJn sobre U aE21 podernos definir el cociclo 9~a sobre V aEA llamado el cociclo indtciacutedo pOT YBa en el

refinamiento Va LEA mediante la prescripcioacuten g~a 9(Bjoacute(e) I1 nViexcl


Definicioacuten 3111 Dos cocidos giexcln sobre Un nE21 y f~(t sobre Va aEA se dicen equivalentes si e~iexcliste un refinamiento comuacuten tal que los cociclos inducidos en este refinarniento sean eqwiacutevalentes de acuerdo a la definicioacuten 319 El conshyj1mto de clases de equivalencia de l-cociclos seraacute denotado 1101 H I (M GL (r IR))

A continuacioacuten veremos que todo fibraclo vectorial E -gt Al estaacute determinado por el cocielo asociado a cualquiera el sus trivializaciones

Proposicioacuten 3112 S1iquestpongamos que Un (tEA es un cubrimiento abiacuteermiddotto de A y q1le para cada CY i3 A tales que Un n Uf) es no vado

es una funcioacuten suave Snpongamos ademaacutes que estas funciones satisfacen las condiciones de cocido

nU (32)Id en U

Entonces a partir de esta informacioacuten y nsando cstas funciones como instrucshyciones de l)egado se puede const71lIacuter un fibrado vectorUacutell cuyas fvnciones de transicioacuten son precisamente las g8a

Demostracioacuten Sobre la unioacuten disjunta

U nxUnxIRT

EA

se define una relacioacuten de equivalencia como sigue (o p 11) rv q 111) si y soacutelo si p = q y 111 fiexclh (p) () (el primer factor se introduce como UIl artificio teacutecnico C

para hacer que la unioacuten sea disjunta por pares) El hecho de que esta relacioacuten es efcctivameIlte ulla relacioacuten de equivaleIlcia es una cOIlsecuencia obvia de las condiciones (32) Denotemos por E el conjunto de clases de equivalencia

E = ( U n x Un X IR) rv

EA

y consideremos la aplicacioacuten iacuteT E -4 Al definida por iacuteT ([ (n ]J 11)) p donde [(op 11)] denota la clase de (npv) Claramente iacuteT estaacute bien definida y es sobreyectiva Dado o E A la aplicacioacuten lt1gt (Un) -gt Un X IR definida por ltPegt ([(0])11)]) = (pv) es una biyeccioacuten Jotemos que ltIgtiexcliexcl ltIgt~I estaacute dada por

ltlgtB( pv)])

ltlgttJ ([JPfl3c (p) v)1)

(p g3 (p) v)

Como g3n es ulIa funcioacuten suave y gen (p) es iuvertible se sigue que ltlgtf3 0lt1gt-1 es suave y su restriccioacuten a p X ]R es un isomorfismo de espacios vectoriales De aquiacute se deduce intercambiando los papeles de lt1gt0 y lt1gt1 que lt1gt o lt1gt1 tambieacuten

31 NOCIONES BAsICAS 129

es una funcioacuten suave En consecuencia de la Proposicioacuten 3 se sigue que E A1 es un fibrado vectorial de rango ro A este fihrado vectorial se le llama el fibrado vectorial determinado por el cocielo gSn bull

El siguiente teorema nos muestra que a cada clase dltgt equivalencia de cocidos corresponde un uacutenico fibrado salvo isomorfismos

Teorema 3113 Existe una cornspondencia biyectiva entre Vect r (NI) y H 1 (M GL (1 IR))

Demostracioacuten Supongamos que 9 sobre U Yg = UumllLJ sobre Va aEA son dos cocidos equivalentes Por definicioacuten de equivalencia ele cocicshylos existe un refinamiento comuacuten 1111 EL para los dos cubrimientos Un OEA

Y Va aEA sobre el cual 9 y J son equivalentes El Teorema 3110 garantiza que los fibrados que se obtienen de 9 y g mediante la construccioacuten del paacuterrafo anterior son isomorfos Por tanto a cada elemento [g] de H 1 (M GL (1 IR)) corshyresponde un elemento bien definido ~( ) de Vect r (A1) Reciacuteprocamente dada una dase[E] E Vect (11) sea 9 = 9(Jo un cocido asociado eacutel una trivializacioacuten cualquiera de E Nuevamente el Teorema 3110 garantiza que [g] no depende de la trivializacioacuten escogida y que si E es isol1lorfo a E uu cocielo cualquiera g asociado a El es equivalente a g Por tanto la corre8pondencia[([E]) [g] estaacute bien definida y es claramente una inversa para~bull

Sean Emiddotmiddot N[ Y El 1v[ fibrados vectoriales de rangos r y s respectivamente Sea T E ---gt El un modismo de tibrados Siempre podemos encontrar un cubrimiento comuacuten UOEA trivializantc para E y E Sean

y

las correspondientes trivializaciones locales El mapeo T nos proporciona sobre cada U(X un mapeo

- l (U) T1T o---f

Ademaacutes la composicioacuten de estos morfismos debe teller la forma (p v) (p (p) v) donde h(X Uo ---gt HOl1l (IR lR8

) es una funcioacuten suave

Proposicioacuten 3114 (Con la notacioacuten anterior) Cada morfismo de fibrados vectoriales T E induce ha Ua ---gt Hom(IRIRS) (( E A donde cada ha estaacute definida por la Telacioacuten

ltP~ TOltrgt-l(pV)= h (p) v)

y las c7wles satisfacen las relanones de compatibuumliacutedad

(aa)

ReciacutelllOcamente toda familia de fttnciones H hn aEA q71e satisfaga estas relaciones define Un rnorfisrno T E ---gt E q7te a 1371 vez iacutend11ce a H

hj3 =

130 CHAPTEH 3 FIBRADOS VECTORIALES

Demostracioacuten Dado un morfismo 7 E -gt El debernos verificar la relacioacuten (33) de compatihiacutelidad Para ello calculamos

(p) 11) 701gt-1 (pv)

7 o 1gt-1 (p ga(3 (p) 11)

1gt 1 ([1 hu (p) flO(3 (p) v)

1gt~-1 (p fl3Q (p) h(~ (p) flf-J (p) 11)

Puesto que 1gt~ es un difeoll10rfilll1l0 tenemos que

para todo p E n Up

Reciacuteprocamente para cada familia

de fllncionell suaves que Ilatisface (33) definimos 7 E -gt E mediante la relacioacuten

7 o 1 (p v) 1gt1 (p hO (p) ti)

Obseacutervcllc que los abiertos l(Un cubren a E y que la relacioacuten de compatishybilidad garantiza qlH 7 queda bien definido Esto concluye la dcmostracioacuten de la proposicioacuten _

32 Secciones de un fibrado

A continuacioacuten definiremos la nocioacuten de seccioacuten de un fibrado y veremos coacutemo a partir de esta nocioacuten se pueden definir algunos objetos geomeacutetricos familiares tales como los campos vectoriales k~fonna y campoll telllloriales sobre un

manifold suave lvI

Definicioacuten 321 Sea E v wlfibrado vectorial Una Ileccioacuten local sobre 11n abieTto U de M cs nna funcioacuten suave s U -gt E tal que 7r o s 1 d en U Si U = vI s cs llamada nna seccioacuten global

De la definicioacuten anterior se sigue que Ulla seccioacuten es simplemente lna aplishycacioacuten que a cada punto ]Y E U le asocia un punto s (p) en In fibra Ep

Fijemos Ulla triviacutealizacioacuten local

UxlR

Cada elemento ei de la base de IR induce una seccioacuten local CUi U E dada por CUiacute (p) 1 (p Ci)

Obtenemos de esta forma una familia ordenada

(34)

de secciones locales que evaluadas en cada p U son una base de

32 SECCIONES DE UNFIBHADO 131

Definicioacuten 322 Dado un abierto U de lvI diremos que LTW familia ordenada S S1 sr de sectIacuteones locales sobTe U forman un marco local sobn U si2

para cada p SI (]I) 8 (p) es una ba8c ordenada de Ep

La siguiente proposicioacuten caracteriza los abiertos sobre los cuales es posible hallar marcos locales

Proposicioacuten 323 Un abierto U de j1 admitellTt marco local siacute y soacutelo siacute existe una trivializacioacuten local sobre U

Demostracioacuten Establezcamos UIla correspondencia biuniacutevoca entre marcos locales sobre U y trivializaciones locales sobre U Si s SI 81 es un marco local sobre U s determina una trivializacioacuten local de E sobre U tal que Si (p) = I (p ei) para P E U Definamos

Wu U x IRT

por r

Wu (pvl vl) = iquestviSi(P) 0=1

Es claro que WU es suave invertible y que es un isomorfismo lineal en cada fibra luego ltIgtu 1 es Ulla trivializacioacuten local sobre UWu

Reciacuteprocamente para una trivializacioacuten local

ltIgtu 7iacute- 1 (U) - U X ]R

la familia eu = cu CUT define un mareo local sobre U bull

Corolario 324 Un fibmdo vectorial es tTiviacuteal si y soacutelo si admite 1m maTeo global y cada marco global define una tTiviacutealizaCIacuteoacuten

Demostracioacuten Se sigue inmediatamente de la proposicioacuten anterior bull

Proposicioacuten 325 Sea U(~EA Un cubrimiento abierto 11ivializantp de E y consideTemos sobre cada Uet un rnaTCO local ea = en 1 em middot indncido por la trivializacioacuten Entonces cada e pude obteneTse de e8 mediante las flLnciones

f3a en la forma

Demostracioacuten Sea p E Un n U3 Entonces

CHAPTER 3 FIBRADOS VECTORlALES

Notemos que gso (p) ejes precisamente la j-eacutesima COIUl1111a de la matri7 gsrx (p) en la base e 1 e y por tanto

enj (p)

2 r

ltp31 (p =1

T

2 eiexclji (p) gSn (p)) i=1

de donde se sigue la proposicioacuten _ A continuacioacuten mostraremos la forma de construIacuter un fibrado vectorial esshy

pecificando 8eccioncs locales compatmiddotibies

Proposicioacuten 326 Sea E un cor~jiexcliquestnto Tiacute E -t vI Una funcioacuten sobreyect-iva sobre Un manifold 8wve 1iexclJ tal que para cada Ji E k El) = Tiacute-middotmiddot

1 (p) eSlln espacio vectorial real de dimen8ioacuten T Supongamos ademaacutes qne Uo oEA es un cubrimiento abie1to de Al para el ellal erisien l apluacuteacuacutemes 8U(WeS Si Un -) E las cuales satuacutefacen las signientes propiedades

1 Cada Sni eSllna seccioacuten es decir Tiacute o Soi = Id en Uuuml y el co~iunto oTdenado soJ (p) SnT (p) es una base de E p para cada JI E UQ bull

2 Para todo 0 f3 E A con Un n Us T Ijiexcl la funcioacuten

gea Uet n Uiexcl3 -t GL (1 lR)

que enviacutea cada punto p E Uuuml n Ue en la matriz de cambio de base de s ti (p) sCY1 (p) a la bas e ( spi (p) S 11 (p)) es suave

Esta data e8pecifica un uacutenico fibmdo vectorial (salvo isomorfismos) dc mngo r sobre 11 con espacio total E y proyeccioacuten Tiacute y con funCiO1ws de tmnsicioacuten Yduuml

Demostracioacuten Mostremos que esta data determina otra como la que aparece en la Proposicioacuten (314) Dado O E A definamos

ltPa Tiacute~1 (UoJ -t Un X lRT

por

donde Tiacute (u) p y 11 = L~=l (p) Entonces ifgtuuml es una biyeccioacuten Dados U (3 E 4 mostremos que

es una fUllcioacuten suave Esto mostraraacute tiUllbieacuten (intercambiando los papeles de ltP Y ltPiexcl) que ltPo o ltP I es una funcioacuten suave y en consecuencia que ifgtiacute3 o ltP 1 es

32 SECCIONES DE UN FII3RADO 133

un difeomorfislllo tal que su restriccioacuten a p x]R es un isomorfismo dc espacios vectoriales Si G (p) denota la matriz de cambio c( base de 81 (p) Sen (p) en 851 (p) 831 (11) vemos qne ltPiexclj o ltP 1 estaacute dada por

La conclusioacutell se sigue observanclo que cada GJi es una funcioacuten suave Por la

Proposicioacuten 314 E NI es un fibrado vectorial de rango r bull Consideremos ahora una seccioacuten global de 1111 fibrado vectorial1T E -4 11

s l1~-+ E Y veamos como expresarla en teacuterminos de IIlla trivializacioacuten local Consideremos Un aE A un cubrimiento abierto trivialiiquestante de 1vl y sea

la trivializacioacuten local correspondiente a U0 Sobre cada Un el mapeo

debe tencr la forma p f--f (p Su (p)) donde la --+ ]R es una fUlIcioacutell suave

Proposicioacuten 327 Una seccioacuten global 8 lv --+ E queda nniacutevocamente detershyminada por una familia de funciones suaves sa Ua -+]Rr tales que

n Uiexcl3 (35)

Demostracioacuten Dada UIla seccioacuten global 8 11 E debernos verifiear las relaciones (35) de compatibilidad Para pE Ua n Ua se tienc que

s (p) ltpl (p Su (p))

ltp~1 (1 g(3o (p) 8u (p))

Puesto que ltPB es 1111 difeOlllOrfisl1lo se sigue que

Rcciacuteprocamente dada Ulla familia


de funciones suaves podemos construir Ulla seccioacuten global haciendo oS (p) ltpl (]J 8 (p)) si p E Un De la ecuacioacuten 35 se sigue que estas funciones coinciden en cada Ulla de las intersecciones U n UfJ y por tanto s estaacute bien definidabull

La seccioacuten maacutes general sobre Uo es de la forma

s (p) = Lr

(p) e(p) =1

donde (p) son las coordenadas de So (]J) en la hase e 1 f Y por tanto de s(p) ellla base e (p) em(p) Si p E nUIJ se tiene como antes que

33 Subfibrados y secuencias exactas

Definicioacuten 331 Sen (E Tf E M) Y (F Tf A1) fibmdos sobr-c 11n manifold AL Un morfisTno de fibrados i F ---gt E se denomina inyectivo si el morfismo

inducido en las fibras O-t F~ Ep lo cs pam cada p E AJ

Supongamos que el rango de F es s y que el rango de E es r Obviamente la inyectividad de i p fuerza a que s ~ r Veamos que i es una inrneTsioacuten de man-ifolds en cada punto p E F

Sean A = (U Pu) oEA coordenadas locales para 1111 escogidas de tal forma qne existan para ella trivializaciones (Uo ltp) OEA y (Un) ltp) nEA de F y E respectivalllente Denotelllos por y por gfe a laigt correspondientes funciones de transicioacuten de F y E Por la Proposi~ioacuteIl 3114 el morfisIllo i induco Ulla coleccioacuten de funciones

las cuales satisfacen las condiciones

(36)

Denotemos por (iexcl~ a las coordenadas locale P y por H(r) a la mashytriz que repreigtenta a la tralligtformacioacutell linealhuuml(x) E HOlll(lRs lR) con respecto a las baies canoacutenicas de RS y lR respectivamente El etaigt coordenadas el mapeo ha tiene la forma

1(riquest v VS ) 1----gt (riquest x~ Ha(X)iexclkVk

k=l

33 SUBFIBRADOS y SECUENCIAS EXACTAS 135

donde Ifcv(iexcl)ij denota la entrada j) de esta matriz La matriz Jacobialla de hn tiene la forIlla

donde (On)rx7 es una matriz cuya ltmtrada (ij) es igual a

De la forma de h se ve que el rango por columnas de Jho es n + s ya que el rango de Ifn(x) es s por ser (r) una transformacioacuten lineal inyectiva Esto muestra que i es una inmersioacuten local

Ejercicio 332 Demllestr-e q1lC -i F ~ E es un mapco ]lmpio y pOT tanto F es un subman~fold de E

Ahora por el Teorema de inmersioacuten local refinando el cubrimiento A si fuera necesario es posible escoger nuevas coordenadas para Uex x lIt es decir difeomorfismos

Un X Re ------+ U X ]Rra

de tal manera que (Uen 1gtn) tamhieacuten sea ulla trivializacioacuten para 11 y de tal forma que las funciones he con respecto a esta nuevas coordenadas luzcan como una inmersioacuten local es decir

(iexclVI Vs ) (xViexcl vO O)

En estas coordenadas la matriz Hgt (x) tiene la forma

y por consiguiente la ecuacioacuten (36) escrita en forma matricial se convierte en

(iexcl) =

de lo cual se sigue que la matriz gP)x) tiene la forma

En conclusioacuten dar un subfibrado F de E es equivalente a dar un cubrimiento UuumlaEA Y matrices g~~(x) que satisfagan las condiciones de cociclo (32) de tal forma que E es triviaUumlzable sobre este cubrimiento y sus matrices de transicioacuten gffQ (r) tienen la forma descrita en la ecuacioacuten anterior


lo es difiacutecil ver que las matrices Qiexcl3n(X) satisfacenlaK cOlldiacuteciones de cocido (32) y por tanto definen un fibrado de rango r 5 sobre Iv que denotaremos por EF Y que llamarelllos el fibmdo cociente de E por F La funciones proyeccioacuten

lO UO x ]R ~ U x R(1~S)a

I 1) ( 1 n i-l-l 7)(iexcl~ V bullbull V f---middotmiddot4 X bullbull X V bull v

satisfacen las ecuaciones (36) y por tanto definen un lllorfislllO p E -t EF el cual es sobreyectivo en cada fibra con kernel ip(Fp) Ep En otras palabras

es una secuencia exacta de espacios vectoriales Lo anterior lllotiva la siguiente definicioacuten

Definicioacuten 333 Sean E E Y En fibrados sobTe un mismo manifold v Una secuencia de fibrados

l ti

E--E o

se llama exacta siacute i y ]J son nwrfismos de fibmdos y la secuencia inducida

o

O-E~

es eaacta conw secuencia de espacios vectoTiacuteales

Ejemplo 334 Sea i N ~ iexclP (r lt n) un ernbebirniento de N en A1 Escojamos cooTdenadas locales (Un Yn) aEA paTa Ai de tal f011na que si Ya =

(xiquest ) entonces

E Un x~t-I = = r~ O

y pOT tanto (N n UO iexcl~))(JeacuteEA son cooTdenadas locales pam N Como se vio las matrices de transicioacuten del fibrado tangente 1~H son las matrices jacoshybianas de cambio de coordenadas J3n(x) Definamos la restriccioacuten de T lvt a N que denotaTemos pOT TlI N corno el fibmdo en N dete17luacutenado por el cubrimshyiento V T~ 1 (U) rgtE A Y cuyas funciones de transicioacuten estaacuten dadas por Jf3n o i Como se ueni maacutes adelante este llbrado es precisamente el ]lull-back de TM a N viacutea i es decuuml iTA Notemos que en las coordenadas escogidas para cada p E Vn n V3 se da que r~+k(p) O k 1 n ~ r y por tanto

(p) O si 1 lt j lt r Esto implica que la matriz Jpcy (p) tiquestene la forma

donde Jh~ (p) denota el jacobiacuteaTlo de la matriz de cambio de co01denadas en

N de las coordenadas (Vuumll(J~ r~)) a las coordenadas (viexcl(x1 x~)) y

34 SHEAF DE SECCIONES DE UN FIBRADO 137

donde la matriz de la casilla inferior derecha es la matriz

r+k 13Qiexcl30(p) [amiddot r +T(p)aXa

J=l) 11~r A=l n-r

Al fibrado cociente 80bl( N v N TN I TAl IN se le denomina el fibrado normal sobre N 11 estaacute dado en este cllbrIacuterniento por las fnnciones de transicioacuten Q3 Claramente en estas coonlenadas locales cada Fbra v1(N) esta generada corno espacio vectorial por- las deTivaciones

a a

Ejercicio 335 Sea i 14 -+ ]R 1Ln T-s1tbman~fold embebido en ]R Pam cada pE lvIip(Tp(AI)) es un snbespacio de Denotemos por 11 (A1) el comshyplemento ortogonal de iacutep(Tp(lU)) en Tp(Rn) clnramente 7Ln espacio vectorial (n r)-dimensmiddotional Use el Lerna 151 para dotar al conjunto

IVH = U v p (1I) pE1v

con la proyeccioacuten natural K N Al -~ Al que enviacutea a cada vector 71Ip E vp(Af) en el punto p de una estructura de fibmdo vectorial sobre lvl Dermlestn que existe un isomorfismo de fibmdo8 entre el fiacutebmdo nonnal v M y N Iv

34 Sheaf de secciones de un fibrado

En esta seccioacuten mostraremos que existe Ulla correspondencia biyectiva eutre el conjunto de fibrados vectoriales sobre un mauifold suave Al y sus sheaves de OM-moacutedulos localmente libres Haremos correspollder a cada fibrado KE __ AI sobre A la sheaf de sus seccioues U 1--gt E(U) donde E(U) denota el conjunto de secciones de E sobre U con la restriccioacuten usual Je funciones La estructura de espacio vectorial real de caJa fibra Ep induce en forma natural una estructura de espacio vedorial real sobre E(U) Maacutes auacuten E admite una estructura de 0M -moacutedulo la cllal es compatible con la multiplicacioacuten escalar para cada abierto U cada funcioacuten suave f E OAf(U) y cada seccioacuten s E E(U) defillimos (f s)(p) = f(p)s(p) en cada]) E U

Teorema 341 Sea (E nlvI) nn fibmdo vect01ial sob1(~ Al de rango r Pam cada par de abiertos V e U denotemos por p E(U)---+ E(V) la restriccioacuten de secciones de U a V p(8) = SI v Entonces E p es una hea de degM -rn6(uacutetlos sobre Al localmente libre RecoT(llTnos qLC esto uacuteltimo sign~(ica que exi8te un cubrirmento Uuuml uumlEA de )1 tal que SObTI cada Ua eIIacuteste 1m isornor(is1no local de sheaves

donde CDi==l0J denota la suma directa de r sumandos de la sheafOM 1449

138 CHAPTER 3 FIDRADOS VECTORIALES

Redprocamente si 9 es 1tTUL sheaf de OJ-m6ampulos localmente isomorfa a O M existe 1m librado vcctOTiacuteal (E 7r Al) de rango r cuya sheaf de secciones

es isomorfa a 9

Demostracioacuten El que E P sea un sheaf de grupos abelianos se sigue de las definiciones Por otro lado E (J tiene una estructura natural de OAl-moacutedulo si 8 E [(U) y f E OA[(U) definirnos (f 8) corno la seccioacuten qw en cada p E U toma el valor f(p)s(p) E Er Se sigue sin dificultad que esta operacioacuten conmuta con la restriccioacuten usual de funciones y por tanto define una estructura de OAl-moacutedulo en E Supongamos ahora que Un aEA es un cubrimiento de lvl sohre el cual existen trivicuumlizaciones locales

y sea ea = en1 c el marco local determinado por esta trivializacioacuten (34) Cada seccioacuten Sa E E(Un ) puede escribirse de manera lIacutenica en la forma Sn = a~em con iquest(Xi OJ(UoJ Ademaacutes si V e Ua es uu abierto toda seccioacuten sobre V es la restriccioacuten de UIla uacutenica in Esto nos permite definir un morfislllo de hi sheaves restringidas a que en cada V e Ua abierto estaacute definido como

y el cual enviacutea s [(V) en (4)a)V (i) (aiquest 1v a~ iexclV ) Por definicioacuten es obvio que este mapeo conmuta COll la restriccioacutell de funciolJes y es por lo tanto un modIsmo de sheaves Por otro lado si f OM(Ua ) se tiene que

lo cual muestra q ue (~)) v es un lllorfislllo de O M ~moacutedulos Reciacuteprocamente si (b 1 bullbullbull br) es un elemento de OM(V) eacuteste detershy

milla UIla uacutenica seccioacuten sobre V s = bicai lo cual nos permite definir el

morfiSlllo que en caela V e Ua estaacute elado por

[(V) n

(b 1 bullbull bT

) ~ iquest bienio =1

Se puede verificar faacutecilmente que b es un modismo de sheaves y que eacuteste es el inverso de

Supongamos ahora que 9 p es uIJa sheaf de OJf -moacutedulos la cual es loshycalmente libre Sea Uo aEA UU cubrimiento abierto de lvI y sean Po 91Ua

O M 1Ua isomorfismos locales de sheaves Si Ua n Uiacute3 iacuteiexcl) denotemos por Riexcl3o al anillo 01 (Un n U) y por T3a al Rija-moacutedulo libre Tia Uli=lRiexclJa Sea

A-Ju (Po)unu 9(Uu n UfJ)-t Tiexcl3a

el isomorfismo de R3n-moacutedulos inducido por el isomorfismo de sheaves Pa

eIl el abierto Ue n Ud Denotemos por Y30 a A3 o A l Por ser este uacuteltimo un

35 OPER4CroNES CON FIBRADOS 139

isomorfismo de R[10~moacutedulos existe una matriz T x T con entradagt en R i30

que representa a g3 en la base estandar de B c e (O 1 O)

iacute = 1 r Cada g(3cx define un mapeo suave de Ue n a Gl(r lR) el cual satisface las condiciones de cociclo del Lema 3112 Esto nos permite construir un fibrado vectorial (E iacuteT Al) cuyas funciones de transicioacuten son precisamente las 980 Y que consiste de clases de equivalencia de triplas (a]gt va) 1 con P E Ua y Va E lRT Sea U e lv[ uu abierto y s un elemento de Q(U) El isomorfismo de sheaves fa induce un Of(Uo n U)-llloacuteclulo isomorfismo

Denotemos por Va al vector colulllna cuyas Clltradas son las funcionos suaves s~ lu ) iacute = 1 T Las fUlI(ionos

satisfacen las relaciones 85 9108(gt y por tanto definen una seccioacuten de E en U que llamaremos lu(s) Se sigue faacutecilmonte de lo anterior que lu Q(U) --gt

E(U) es un isomorfismo do 0i1-111oacuteclulos el cual conmuta con restriccioacuten de funciones y por tauto define Ull isomorfismo de sheaves l Q ~ E bull

Ejercicio 342 iacute) 1lf1lestTe que la cornslJOnderuia dada 110T el teorema anteshyTIacuteor es biyectiva es decir demuestre que E es isomorfo a E siacute y soacutelo siacute sus corTespondiacuteentes sheaves de sccciones E 11 E son iacuteS07n07jas

Sea r E --gt E un 7norfismo de fibrados Para cada abiacuteerto U e M definamos r(r)u E(U) E(U) el mapeo que enviacutea llna seccioacuten s U ---gt E en la seccioacuten r o 8 U - E Muestre que r(r) u es nn OM~homomorfismo de sheaves el cnal conmnta con Testricciones y por consiguiente define un morfismo de sheaves r(r) E ---gt E l1uestre ademaacutes que esta correspondencia definenn functoT covariacuteante de la categoriacutea de fibrados vecioTiacutealcs sobre IV a la categorIacutea de sheaves localmente libres es deciacuter si id E E denota el morfismo identiacutedad Tnuestre que r(Id) es el 7nmfisrno identidad de sheaves 11 si a E --gt

E II es otro morfismo de fibrados vectoriales entonces na o r) = na) o nr) iii) Delnuest1e que si

1O~E E--gtE O

es una secnencia exacta de filnndos entonces

o~) [

es una secuencia exacta de sheaves

35 Operaciones con fibrados

En esta seccioacuten veremos como las construcciones baacutesicas cntre espacios vectoshyriales pueden extenderse fibra a fibra a operaciones anaacutelogas entre fibrados vectoriales

140 CHAPTER 3 FIBRA DOS VECTORIALES

El siguiente lema lOS llluestra coacutemo construir Ull fibrado a partir de una coleccioacuten Ep pE M de espacios vectoriales parametrizados por NI Y de un conshyjUlltO de iSOlnorfismos de espacios vectoriales Wp lR T

- El Como se quiere que la fanuumllia esteacute parametrizada cn forma suave por Al es uatural exigir que exista un cubrimiento abierto UOI OlEA de NI donde las funciones

gf3o Ua n Uiexcl3 - GL (r lR)

definidas por g10 (p) w 1 o W o l sean suaves Esta condicioacuten es obviamcnteJp

necesaria y como se veraacute a continuacioacuten tambieacuten suficiente para hacer que la unioacuten disjuuta E UPEM El junto con la proyeccioacuten canoacutenica que enviacutea cada elemento de Ep en p sea U11 fibrado vectorial de rango 7

Lema 351 Sea El pEM lLTW fmniha de espacios vectoriales parametrizada

por NI Suponganws que Al== UaEA Uo y q1te para todo (t E A y cada p E UOI

eaacuteste 1m isomorfisnw de espacios vectoriales W0lt1 lR -- El Supongamos ademaacutes qlLe para todo 0 3 E A la funcioacuten giexcl3uuml Ue n ----+ GL (r lR) definida por g30 (p) = Wr~ o Wuumlp es SlWiue Entonces E = UpEM El con la proyeccioacuten natural 7f E ----+ lVJ definida pOT 7f (u) = p Sl 11 E E J son 1m fibrado vectoriacuteal de rango T sobre Al con flLnciones de transicioacuten 93gt

Demostracioacuten Mostremos que con estas hipoacutetesis se determina la data de la Proposicioacuten (314) Dado ex E A la aplicacioacuten Wo Un X lR 7f-l (Ua )

definida por Wuuml (p v) W(gtJJ (v) es claramente una biyeccioacuten Sea ltPO Wl 7f-) (Uuuml ) - Un X lRl definida como ltP (u) (p W~(lt)) si 1l E Ep p E Ux y veamos que

es UIla funcioacuten suave Intercambiando los papeles de ltPOI y ltP3 se deduce que ltPo o ltPSl tambieacuten es suave y en consecuencia ltpiexcl oltP 1 es un difeomorfislllo cuya restriedoacuten a p x IR es un isomorfismo de espacios vectoriales Por definicioacuten

(p gacgt (p) v)

Ycomo por hipoacutetesis giexclO es una funcioacuten suave deducimos que ltppoltpl tambieacuten

lo es De la Proposicioacuten (314) se sigue que E Al es un fibrado vectorial de rango r cuyas funciones de transicioacuten son precisamente las fUIlciones g80 bull

Como aplicacioacuten del lema anterior vamos como construir el fibrado tangente a un manifold

351 Fibrado Tangente

Sea M llll manifold suave Ueacutel cxEA U11 cubrimiento de NI y sean (Ua

puuml bullbull (~r~ bull coordenadas locales en cada Ua El fibrado tangente TA

UlEM Tp (1tJ) se define como la unioacuten disjunta de todos los espacios tangentes con la proyeccioacuten natural 7f(v) p v E Tp (A1) Para cada p E Ua podemos

35 OPERACIONES CON FIBRADOS 141

definir Wnp IR ---gt Tp(JVI) como la funcioacuten que le asigna a (al a) el vector

n

a I JJ

Como vimos en el primer capiacutetulo la funcioacuten de cambio de base de ~I

a~1 I a ~ill = I i)~ I estaacute dada por la matrizI p p p iexclJ P

Jacobiana

(p) = [oa3 (p)]orX

I J=l ~not

Por tanto la matriz en la base estandar de IR de la transformacioacuten lineal gen (p) W3~ o Wp es precisamente (p) Del leIlla anterior S( sigue que (TM 1f) es un fibrado vectorial sobre lvI de rango n y con funciones de transicioacuten dadas por

Una seccioacuten de TAl sobre nn abierto cualquiera U e 11 queda determinada por una coleccioacuten de secciones locales compatibles Sey Un n U Tj1 que en coordenadas locales pueden escribirse como

para ciertas funciones suaves a E ()M(U n U) Si denotamos por aey al vector colnmna cuyas entradas son las funciones i = 1 n a E A la condicioacuten de compatibilidad se traducp cn la relacioacuten matricial

para todo p E Un n Ue n U Expliacutecitamente esta relacioacuten dice que para todo punto de esta interseccioacuten

(37)

A ulla seccioacuten de TAl sobre U se le llama un campo vectOfial sobre U A la correspondiente sheaf de secciones de Ti la deIlotarenlo~ por Tiexcl1 ER cost umbre denotar a los elementos de 7 por X Y Z etc Por definicioacuten X(p) es una derivacioacuten en p y por tanto tiene selltido asignarle a cada funcioacuten suave f E Chiexcl(U) otra funcioacuten que denotaremos por X f y que en cada p E U toma el valor ele la derivacioacuten X (1)) aplicada a j~

(X f)(p) X(p)fp

Por abuso ele notacioacuten el teacutermino derecho ~e escribe simplemente como Xpf Maacutes auacuten es claro ele la construccioacuten anterior que en cada U(x Tj[ IUn e~ isomorfa


a la sheaf oAl donde el isomorfismo estaacute dado por

+-a~n-

iacutel (i) OAllu

U uc~

A las funciones a 0 11 (U) se les llama las componentes del campo vectorial Por definicioacuten

X(f)(p) = uumlx 1 a~(p) uuml I ~I-i-middotmiddotmiddot a p p

y cada componente de X queda determinada como la funcioacuten a~k = X x~ La foacutermula 37 leiacuteda en esta notacioacuten nos dice que

a~

En T~J (U) puede definirse Ima operacioacutell interna llamada el conhete de Lie mediante la foacutermula

X Ylf = X (Yf) ~ y (Xf)

para todo X Y TAl (U) Y J E OlH (U) A priori no es obvio que esta operacioacuten produzca nuevamente un campo vectorial sobre U Para ver que efectivamente es aSIacute basta computar su valor en coordenadas locales (Ur 1 Xn) Sean X iquest~l (tiacute y Y bJ Entonces un caacutelculo clementalnos muestra que [X Yll u estaacute dado por

i ~~ ( J ab _d aai) U [X Y]l u = 8 ~ a F UiexclJ

En partiacutecular si X y Y son derivaciones dadas por lal coordenadas se tiene que [a~ a~I] = Q Esta operacioacuten tiene las siguientes propiedades

Proposicioacuten 352 Sean X Y Z E Tf (U) J 9 E OM (U) ya b E lR Enshytonce8 se 8ati8facen las siguientes propiedades

(1) Antisimetriacutea [X Yl ~ Y Xl

(2) Linealidad [(LX bY Zl a [X Z] + b [Y Z]

(3) Identidad de Jacobi [X [Y Z]] + iexclZ [X Y]l + [Y [Z Xl] = Q

(4) [X Y] (fu) f[X Y] 9 + 9 [X Y] J

(5) [JXgYj JU[XY]+J(Xg)Y g(Yf)X

35 OPERACIONES CON FIDRADOS

Demostracioacuten (1) (2) y (3) se siguen de la definicioacuten ele [X Y] Demostrelllos la propiedad (5) Sea h E OM (U) Entonces

[fXgY] h (fX) ((gY) h) - (gY) ((fX) h)

(fX)(g(Yh)) (gY) (f(Xh))

f(gX(Yh)) g(fY(Xh))

f (gX (YII) + (Xg) (Yhraquo) - 9 (fY (Xh) + (Y f) (Xhraquo

fg (X (Yh) - Y (Xhraquo + f (Xg) (Yh) - 9 (Yf) (Xh)

fg [X Yj h + (f (Xy) Y) 11- (g (Y f) X) h

La afirmacioacuten (4) se desprende de un coacutemputo COIllO el anterior bull Veamos ahora eomo hacer uso del Lema 351 para extender a fibrados vecshy

toriales las operaciones usuales eutre espacios vectoriales tales como la SUllla

directa el producto tensorial la dualizacioacutell etc

352 Fibrado dual

Sea E Al un fibrado vectorial de rango r y sea nEA un cubrIacutelni(uto abierto de At que trivializa a E Para cada P E iY sea E el espacio dual de Ep Fijemos una trivializacioacuten local

ltPo 7T~1 (U) -) Un X jR

y sea 8 0 p definida como la transpuesta de ltTp

8 -- (1) (lTllr) Enp _ np ll p

Para cada par (X 3 e011 Uu n Us -J (~ mostremos que la funcioacutelI

GL(rR)

definida por (1) = 8- 1 o 8 (8 su tve Para ello calculamospp D1P ~ ( bull

donde giexcl3n Ua n Us -) GL (r IR) S011 las funciones de transicioacuten de E Puesto que giexcl3a es una funcioacuten suave se sigue que la funcioacuten tambieacuten es suave Luego se satisfacen las condicioues del Lema 351 Por lo tanto la unioacutell disjunta E UPEM E junto con la proyeccioacuten canoacutenica E -) 11[ especificau un fibrado vectorial de rango r Llamaremos al fibrado E -- Iv el fibrado dual de E -) Al Sus funciones de transicioacuten estaacuten determinadas por (g6) Un caso especialmente importante de esta construccioacuten es cuando E = TAl Al fibraclo resultante se le denomina el fibrado cotangente de At y a sus secciones se le denominan l-formas


353 Fibrado Cotangente

Sea A1 un manifold suave U un cubrimiento de 1[ (UrxPrx) P (r~ x~) coordenadas locales en cada Ua1 y TM = UpEM Tiexcl)(M) el fibrado tangente Defillamo 7~d UPEM T(l1) como la unioacuten dijullta de los duales de cada espacio tangPllte Tp (14) Para cada trivializaeioacutell

(T bull -] (Uf) TT X JTl)nJu 1f Jo -jo Ua L~

la transpuesta de ltPnp estaacute dada por

8 n p (IR) ~ TUvl) el 1----gt dx i

donde e 1 en denota la hase dual de la base estanclar de IR 111 Y dx~

denota el funcional en Tp ( NI) que enviacutea a 11 en 1 si j i Y cero en otro

caso De la discusioacuteu anterior se sigue que T4 junto COIl la proyeccioacuten natural es un fibrado vectorial COIl fuufIacuteoncH de transicioacuten dadas por

Notemos que la entrada (Lj) dc la matriz L(3uuml = (J~aJ-lestaacute dada por

1 ]L - UJ J - gt1i bull

U~L [3

Una seccioacuten en U de T~1 estaacute dada por una coleccioacuten de Hecciolles locales comshypatibles Segt U n Un ~ T A1 que en coordenadas locales pueden escribirse como

n

Sn iquest aiUumldx~ i=1

con ate E OM (U n Un) Si (ir denota el vector columna cuyas entradas son aten

i = 1 n Q A las condiciollcS de compatibilidad puedoll ser expresadas en la forma

Liexcl3o(1o = a(3

para todo p E Un rru En forma expliacutecita en cada punto de esta interseccioacuten debe darse la igualdad

8x~gt ai(3 = iquest ajo~

j ux~

A una seccioacuten de T A en U se le denomina una 1-forrna diferencial en U A la correspondiente shoa1 de secciones de TAl la denotaremos por Tf o tambieacuten

por A~t

Ejercicio 353 Dernnestre que eXL~te un i8om01fismo natural de sheaves A11 C

Hom (7[ OtvI )

Veamos ahora como generalizar esta construccioacuten

35 OPERACIONES CON FIDRADOS 145

354 Producto exterior

Sea E - NI uu fibrado vectorial de rango r y sea Uo LEA un cubrimiento abierto de 1vI que trivializa a E Dado O S k S T para cada pE 1vl sea Ak El la k-eacutesima potencia exterior de El 114 Fijelllos Ulla trivializacioacuten local

Sobre cada punto p E se inducen isomorfismos

Bp Ak(jgtp Re) - Ak]RT -gt A k Epshy

con inversa

Veamos que la funcioacuten

definida por hs (p) B~ o BUJi es suave Para ello calculamos

E-1 [kT_I]-1c k-I kr kT-111(30 (p) -(31 o onp = A IacuteJ(3p o A lap = A ljp o A lap

kA (iexcljp o (iexcl~~) (p)

donde f]j3a Ue n Uiexcl -gt GL (r lR)

son las fUllciones de transicioacuten de E y Ak g(3c (p) es la matriz G) x G) cuyas

entradas son los menores k x k de gtu(p) 114 Ya que f](3Ct es una funcioacuten suave e sigue que la funcioacuten hiexcl3a es suave Luego se satisfacen las cOlldicioues del Lema 351 Por lo tanto la llllioacuteu disjunta Ak E UpEM Ak El junto con la

proyeccioacuten canoacutenica Ak E -gt lvI especifican Ull fibrado vectorial de raugo (D Llamaremos al fibrado Ak E -gt j1 la k-eacute8irna potencia exterior de E -gt Iv Sus funciones de transicioacuten 011 precisamente las funciones

En el caso k = O A o Ep es naturalmente identificable con y cada Aogpa

con la identidad Por tanto A o E resulta ser iexclamorfo al fibrado trivial ~M x llt En el caso k r este es un fibrado vectorial de rango 1 cuyas funciones de

transicioacuten estaacuten dadas por det f]iexclla

Sea ea ea 1 er UlI marco local para Ep en Recordemos que J k

denota el multiiacutendice ordenado y sin repeticiones 1 S JI lt jz lt lt jk S T Y

eoJ

la seccioacuten de Ak E en UQ dada por

Una seccioacuten Sa en Ua de AkE puede escribirse como


con [unciones a [)Al (U Il U) En cada interseccioacuten Urgt Il Uii =1 0 las relaciones de compatibilidad eutre Ba

y 8(3 viene dada por la foacutermula

donde det([glo]iexclh) denota el deterlllinante de la matriz que se obtiene de giexcl3u

seLeccionando las filas 1 lt IacuteI lt i 2 lt lt i k lt l y las colulIluas 1 lt jI lt j2 lt lt jk lt r

Ejercicio 354 Derrmestre qUe cristen isomorfismos natumles

36 k-formas diferenciales

Sea 11 un n~lllanifold suave Una seccioacuten W U ~ IkT[ O lt k lt n sobre un ahierto U de vI es llalllada una k-forma d~eacuterencial en U Como vimos maacutes arriha 1 ITA1 ~ T1tl es pr0lIacutesamellte el tibrado cotangente y sus secciones son las l~forIl1as cliferencial0s Denotaremos por AXt a la sheaf de secciones de IkTif Para un recubrimiento UO de Al y coordenadas locales (U0 x~ x~) un elemento w E AX1 (U) estaacute unIacutevocaltlente determinado por sus restricciones a cada IlllO de los abiertos U n Un es decir por secciones locales

W uuml =

las cuales se puedeu escribir en estas coordenadas en la forma

w o

Las funciones WajJlt E [)M(U n ) se conocen como las componentes de la k-fo-rma d~feT(ncial W COl respecto al sistema de coordenadas (Ua iexcl~ x~) Haciendo uso de la notacioacuten de multiiacutelldices ordenados sin repeticioacuten del paacuterrafo anterior podemos denotar en forllla abreviada a W n como

Reciacuteprocamente dadas k~forll1as w A~~1 (Ua Il U) escritas localmente como en la f6rmula anterior C01110 la matriz de transicioacuten del fibrado Tl~1 es Lt~a = (JSo)-l se sigue que la matri7 de transicioacuten de IkT~f es [det([L8 ohJ)] Por

tanto la coleccioacuten wn determina Ull lIacuteuico clemeuto de A~f(U) si y soacutelo siacute las funciones coeficientes de wl) WiexcllIbull estaacuten dadas por

1middot136 K -FORMAS DIFERENCIALES

Wiexcl3I L det([L3(xhJ J

en cada Ua n En forma (xpliacutecita se tiene que

En particular las secciolles del flbrado pueden ser identificadas con funshyciones suaves W E OM(U n Ua ) las cuales satisfacell las condiciones de COlllshya

patibilidad dadas por Wiexclj

1 Ulr bull

Como el determinante de una matri y el de su transpuesta coinciden y como ademaacutes le = Jaa se sigue que

=det

Ejemplo 361 Si k = 0 rYTAacutel es nllhlralmente ident~ficable con el fibrado trivial 11 x lR y en C07isecuencia A XI es naturalmente isomorfo a OAl

Ejemplo 362 Si k 1 cada elemento W E A~f(Af) es una l-fonna en Af definida en cOOrdenadas locales (U iexcll ) pOT Wp = al dx1 + + odiexcln Si (1 yl yn) es otm mn U iacutel 1 i 1 Y Wv bldyl + + dy es la esc7itura de W en esta carta entonces las condiCioues de compatibilidad obligan a que

bi L i

Pam cada ftmcioacuten S1Ulve h definamos la 1 forTlw IJne en cada carta (U xl x)

viene dada por elh L En U n V el iacute1 se satisface (regla de la cadena

) que

y 107 tanto las e1presiones estas erllresiones locales definen una l-forma global q1le denotarernos po dh y que llamaremo8 la diferencial de h

Ejemplo 363 Si k n iacuteglwl a la dimensioacuten del manifold lvI nna secci6n global de A Al (M) estaacute determinada erprcsiacuteones lora les Wu au dXI 1

dr n sujetas a la relacioacuten av lt1ltt au 1 en U r V

148 CHAPTEH 3 FIBHADOS VECTORIALES

Ejercicio 364 (Fiacutebmdo de Orientacioacuten) Sea A = (UQ(fJLgtEAun atlas para A1 En cada Uo f UI3 1 vl defina funciones de tmnsicioacuten tin Ua n Uj3 -+

GL(n dadas por (Ji) = (p))

Use la PTOposicioacuteTI 3112 para construir un fibmdo de liacuteneas O lvf llamado el librado de oriacuteentacioacuten en 1d Dcmttestre (rlte v es orientaiexcle oiacute y soacutelo si OA es trivial

Ejercicio 365 DemllestTe que A1n cs o(ientable siacute y soacutelo si cJiste una n-for1na global w E A~f(A1) talque w(p) O pam todo p E IV

361 Pull-Back de k-formas

Sean A1n y lV manifolds tUlns y 1 N --gt A1 una funcioacuten suave Para cada p E N sea q = f(p) y

la diferencial de 1 en p Sab011l0S que 11 induce (114) Ulla transformacioacuten lineal fJpOC fk(fp)

Si U e Af es Illl abierto definalllos

(38)

como el mapeo qnc enviacutea Ulla seCClOIl w E Ai (U) en fw definida como la seccioacuten que en ji E f- J (U) toma el valor

(rw) (p) gp(w(q))

La siguiente proposiacutecitlll nos lllllestra las propiedades maacutes baacutesicas del pull-back

Proposicioacuten 366 Sea f iexclV -+ ldm una funcioacuten suave w 1 () k-formas en lvl 1 h Una fllncioacuten suave en 11 Entonrcs

1 f (w + O) jCv

2 r (hw) (h o f) fw

J Sean (V iexcl1 1) y (U 1 ym) caTtas en abier-tos VeN 11 U e 1v[ con f(V) U Dcnotcnw8 por p (aI x) j = 1 m a las

cooTdenadas de f en estas caTtas 1 por- Jamp = [~] a la tmnspuesta nXrrt

de la matrIacuteZ Jacobiana con respecto a las bases estandm h=I nY

b=I m Siexclw E A~I(U) se escribe en estas cooflienadas corno

36 K ~FORlvIAS DIFERENCiALES 149

entonces fw estaacute dada en V jiUT

j w=

( Ik = (iiexcl id Y J k (jj ) son Ilultiiacutendices oTdcnado8 sm repeticioacuten 1 i 1 lt lt i s n 1 1 SJI lt lt jk s m)

Demostracioacuten Las propiedades 1 y 2 se sigucn inlllediatamente de la definishycioacuten de f Denotemos por 11 V (111 1 dc I1U = d1 dyn a las b3-3es duales de las bases estanclar asociadas a las coordenadas locales R(~cordeshymas que l14

Ak 11 Vp d2h 111 Ik multiiacutewlicc orclellado siu repeticioacuten

y

Ak I1UP = dyh 1f(p) J k lllultiiacutendice orrkrmdo sin repeticioacuten

son bases para (N) y lkliexcl(p)(Al) cn jJ C V y f(p) U respectivashymente Ademaacutes con respecto a estHs hases la matriz asociada a la transpuesta de la diferencial fp es precisumentp Juv (p) 1 Y por consiguiente la matriz que corresponde a la transformacioacuten lineal VI = AA (11) tiene como entrada (h J k) elelernento C(pkJ det(Juv(p)Ih) (114) Expliacutecitamente C(phkJ estaacute dado por

1 (iexclJ) middot (1) 1

C(1JkJ del r nrf(p) iJ- (zJ)

La imagen de dy-h If(p) bajo VI vicne dada por la coluUlna J k ele la matriz C) x (~) C(P)rh que expresado a su vez en toacuterminos de la base iexclkI1Vp

corresponde al vector

De aquiacute se sigue que

f(iquestwJdyh) J e

iquest (wJ f) d0t[Juv(p)hJkdxle J lt 1

de lo cual se sigue la proposicioacuten bull

Observacioacuten 367 La pTllpo8uacuteioacuten anteTZor proporciona 1m morfiacutesmo de O Atshy

moacutedulos entTe las cOTrespondientc8 slwavc8 de 8tcciones de los fiacutebmdos A~ y AY de la siglllfnte manera En pTlmrr layar notemos que la sheaf fAY en


jtf Nene mza estT1Lctum de OM-moacutedulo dada pOI la restriccioacuten de escalares viacutea el morfismo canoacutenico f OII(U) 101l1(U) que enviacutea a h en h o 1 si e E AtU-1(U)) y hE OM(U) entonces hO se define como f(h)O (hof)O En segundo lugar la funcioacuten definida en S8 conmuta con la restriccioacuten usual de fuacutenciones y pOi consuacutejuiente detinr un morfismo de sheaves

La proposicioacuten an teTi07 muestra que eacutestr es un morfismo de O ff - moacutedulos ya que

f(h w) (h o f)f(w) h r(w)

Ejemplo 368 Sea Al - Rl una sUJierficie es decir 1m s71bmanifold 2shydimensiacuteonal de RJ y sean v) coordenadas locales en iv Denotemos pOI x = (x)j z) las coordenadas estandllT de R3 En estas cooTdenadas escribamos i(1L v) corno x(n v) = (I(u v) y(u u) v)) Si

w P (x) dy 1 d + q (x) dz 1 dc + R (x) d 1 dy

es 1aU[ 2-fo77na en su iexclmil-baek estaacute dado por

iw i (P (x) dy 1 do + q (x) d 1 dc -+ R (x) dx 1 dy)

P (x (u v)) idy 1 idz -1 q (x (u v)) idz 1 idx + R (x (u v)) idx 1 idy

P(X(lLV)) (Y dU + ~YdV) 1 (~zdU-t ~zdV)dn av du uV

) (o E)z) (Eh Uiexcl)+Q(x(uv) llrlu+-)dv 1 lldu-r-dv

ul1 uV ulL av

+R(x(uv)) (iquestheu ~dV) 1 (2~dU+ ~YdV)OU dv ou UV

O o(zx) 8(Xy)]P(x(llv)) ~a----Tq(X(llV)) ()(n-v-) +R(X(l1V)) o(uv) (hLldv[

donde hemos denotado flor

u(y z) 1

y sirnIacutelarrnfmte (t 11

Ejercicio 369 1 Sea w w] dyj es una 1-forrrw lvl1lestre que su

pull-back Jluede escrihiTse eOTllo

m

rw=

()

36 K -FORMAS DIFERENCIALES 151

2 Genemlice la fOacute17nnla anteTior rnmdnc qie ~i

entonces rw iquest(wlof)dF middotdfjk

l

3 Sean W E AXI (U) j O A~ (U)lIna k ~fc)rma yl1na l ~forma en U respectivarnente Derrwestn que

r(w 1 O) r(w) r(O)

362 Suma de Whitney

Sean E 1vf Y E ~ Al fibrados vectoriales de rango r y s respectivamente y sea U nEA un cubrimiento abierto de Al en el que tanto E como E sonu trivializables Para cada p M sea Ep ti E) la sUllla directa de Ep y E~ Fijemos dos trivializaciones locales

y ltIgt~ rr -

l (U) ~ Uo x ]Riexcls

Sobre cada punto p E Un se induce un isolllorfislllo

definido como 0)n1 w) = (ltIgt (n) ltIgt~~ (w))

Mostremos que heuuml Un nUiexcl1 ---gt GL (r + 8 R) definido por hf1a (p) = e3~)o0)np es suave Para ello calculamos

hf10 (p) (v W) e 3~ o e laquo1 (vlJ) e ~~) (ltfgt ~~) (I) ltfgtiexcl~ (111))

(ltIgt8p (ltIgt-~ (v)) ltIgt3p Ufgt~I (w))) (g3o (p) v g~a (p) w) glJa (p) (j) (p) (V W)

es decir

han (p) g3u (1) (1) (p) o(p) ]

donde

y - GL


son las funciones de transicioacuten de E y E respectivamente Como tanto g3a

como gO son funciones suaves se sigue que la funcioacuten hiexcliet talllbieacuten es suave y por tanto se satisfaccn las condiciones del Lema 318 Luego la unioacuten disjunta

E )E = U pEM

junto con la proyeccioacuten canoacutenica E III E -gt ]11 especificalt un fibrado vectorial de rango T + s LlamareIllos al fibrado E (iexcl) E-t lvI la BlLma de Whitney de los fibrados E y E Sus funciones de transicioacuten estaacuten determinadas por gBa () g~iexclet

Como puede comprobar faacutecilmclltc el lector la suma directa de fibrados satisfacc las mismas propiedades que la SUllla directa de espacios vectoriales Por ejemplo se deja corno ejercicio comprobar que existen isomorfismos naturales E (1) El E rtJ E Y

(E ill E) 1 E E ti) (E () E)

363 Producto tensorial

Sean E ]ll Y E ~ ]1[ fibraclos vectoriales de rango T y s respectivamente y sea uu cubrimicuto abierto de ]11 en el que tanto E como E son trivializables Para cada ]J E Af sea iexclXl E~ d producto tensorial de El y Fijemos dos trivializaciolles locales

y

Para cada punto p se iexclnd uce Ul isomorfismo

se dfille 1) - 1 IXI (T) - 1SI e plusmnnp v plusmnnp Mostremos que la flndoacuten hfkl Un n U(3 -gt

GL (78 IR) definida por lijO (1) 8~1 080 1 es suave Para dio calculamos 11

heo (1)

(P6p IX lt1gt11) o (ltIgt~~ Xl ltIgt~~~)

(ltIgtL1p o (1)J 11 (ltIgt~p o ltP~~~ ) gSa (p) Xl fUacutela (p)

donde gl3aY g~u son las funciones d(~ transicioacuten de E y El respectivamente y

gf3et (p) W fl~(P) es el producto de Kronecker de las matrices gBet (p) Y g~o (p) 113 Como tanto g~-iexcln C0l110 S011 funcioues suaves se sigue que la funcioacuten

36 K -FORMAS DlFEHENCIALES 153

h3a es suave Luego se satisfacen las condiciones del Lema 351 Por lo tanto la unioacuten disjunta

E E U El pEA

EJ

junto con la proyeccioacuten canoacutenica E E Al clipecificf1n uu fibrado vectorial de rango rs Llamaremos al fibrado E X E - Al el producto tensorial de los fibrados E y El Las funciones de transicioacuten estaacuten determinadas por gpu Cioacute g~a

Supongamos ahora que ea eiexcl cm Y e = e~iexcl e~s son un marco local en Ufgt para E y El respectivamente el cual proviene de las trivialshyizaciones q y q~ Entonces

es un marco local para E El sohm U Si So c= iquesti a~e(Xi y s~ ce iquestj lie~J son secciones en Ugt para E y E ps faacutecil ver q le

Sn x s~ == iquest a~ampeOl C0 ij

es Ulla seccioacuten en UCi para el producto tensorial Sea Aa el vector coluIllna el cual es el trauspuelito del vpctor

Las relaciones de compatibilidad pueden eXIJrmmrliC matricialmente como

Como puede verificar faacutecilmente el lector lali propiedades usuales del producto tensorial son tambieacuten vaacutelidas para fibrados Se deja COIllO ejercicio demostrar las siguientes propiedades

Ejercicio 3610 Ivlnestrc que eristell isonwTiexclisrnos naturales

1 E (x) E eacute El IXgt

2 (E IX El) rgt0 E eacute E (E 0lt) E)

3 (E IXgt EI) eacute E Cioacute E

4 EIJ (El mE) eacute (E El) 11 (E E)

Ejemplo 3611 Sean V y W vectonales rcalc8 de dimensioacuten finita Como vimos en () el cm~junto de todas la8 tmn8ormaciones lineales de V a W H om( V VV) puede indentiitaTse en forma nat1lml con el producto tensorial V (XJ VV mediante eli80morlismo

V W ---) Hom(V W)

ti~1~~L~~I(JiflkiA mi (30LoacuteMBIJ

-iacute2i1t iexclI-i~r~ ~T_

DE PTO DE BTBUOTECAS BIBLIOTECA EFE GOMEZ


qne enviacutea cada generador) W en el rnapeo lineal iexclp -011 dlfinido como

iexclP-0w(V) )(v)w ])ara todo v E V

Esto nos pCTIlIite definir por analoljuumll el fibrado Hom (E El) corno E eX) El y cual es naturalmente identificable con el fibmdo vectorial cuya fibra en cada p E Iv es el espacio de mOTfismos de Ep en E~ Bajo nna trivializacioacuten local

cada una de estas fibras es isomorfa a (lR r ) ex]Rs Hom(lRr]RS) y por tanto su rango es 1S

Ejercicio 3612 Encuentre cxpliacutecdmnente las funciones de transicioacuten de Hom El)

Supongamos ahora que El Al Ek Jl1 son fibrados vectoriales de rangos rl rAlo Definimos el pmducto tensorial

= U Elp wEkp

pEM

como el fibrado cuya fibra e Eip X) bull Ekp de rango TI bull rkmiddot Si Uegt (YE4

es un cubrimiento abierto de M y U n --gt GL (riexcl ]R) es la funcioacuten de transicioacuten correspondiente al fibrado Eiexcl entonces

pf--gt (p)

es la fUllcioacuten de transicioacuteu correspondiente al fibrado El XI 0lt Ek Si El = E entonces denotaremos por E0k al fibrado Ewmiddotmiddot VoacuteE

que llamaremos la Aacute-eacutesirna lgtotencia tensoTial delfibr-ado E

364 Campos tensoriales

Sea 11 un n~Illallifold suave Denotanlllos por T~s) al fibrado T2-r Voacute T~s Una seccioacuten de T~~s) sobre un abierto U de 11 se denomina un tensOT de tipo (13) en U Los tensoI(S de tipo (00) corresponden a las funciones escalares f U --gt lR los tensoreCi de tipo (1 O) eacutel los campos vectoriales en U y los de tipo (01) corresponderaacuten n las l-folmas en U En coordenadas locales (U lt) donde los abiertos U sean un cubrimiento de U una

seccioacuten de Ti~~S) estciacute dada por Ciccciones locales T a que escritas en coordenadas locales 1ueen como

[) a (X) dx~ 0ltoacute bullbullbull

j 1 Jr L 1 i

Con Tni E OM(U n U) Denotemos por lsJr iiexcl ijl jr a UIla 3 + T~tupla (ordenada con repeticioacuten) con entradas 1 S i u jv S n El conjunto de todas estas tuplas (1175 en total) puede ordenarse en orden lexicograacuteshyfico declarando a ls Jrmiddot lt f J~ si la primera componente -contada de izquierda a dereclla- donde las dos tnplas difieren es menor en lBI que en l~Ir En


este orden la menor tupla es aquella cuyas entradas son todas iguales a 1 y la mayor la que tiene sus elttradas iguales eacutel n DenoteIllos por A( el vector columna de jRn con compouentes las funciones Tni escritas en este orden Las relaciones de compatibilidad estaacuten dadas por las (cuaciones matriciales

130 )1 xllan L f1n Liexcl3uumlA ce Alo en un Uo n U1 V ---- ---

No es difiacutecil ver que en fornm expliacutecita estas relaciones pueden expresarse como

(39)

Ejemplo 3613 Un ejemplo pILrticulannente uacutenp01tante de campo tensorial son los tensores de tipo (02) en NI Si hacernos V = Tp (v1) el isomorfisrno canoacutenico

) V V ~ HomdV V k)

nos permite identificar a g(p) con una bilineal que denotaremos por gp Tp (A1) x Tp (A1) ----gt iR En coordenadas locales (Un Pegt = (xiquest x~)) un tensor de este tipo es por definicioacuten una seccioacuten en Uo de TZt Xl T[ la cual plede escribirse corno

11

y= iquest iacutej 1

donde Y0 E DjJ (Uo ) La funcuacute5n biliacuteneal asociada a~igna a cada par de vectores

n a I

viv I p

n ()w J W

11

Si esta funcioacuten bilineal es simeacutetrica y definida positiva en cada pE 1v[ es decir siacute se satisfacen las condiciones UP (v w) lp (w ti) Y gp (v v) 2 O con igualdad si soacutelo si v = O 9 se denomina nna meacutetrica Hiemanuiana en A1 En este caso la matriz que re1)fcsenta a la forma [iexclilineal Sir I(Un (p)] cuyas entradas estaacuten dadas 1)()r

(p) eacuteJ= Slp ( f)~gt1 IJ es una matriz simeacutetrica definida positiva 111 A esta matriz la llamareshymos larnatrIacuteZ de 9 en la8 coonienadas PIgt y la denotarernos 1JOT [g]n Sean


a i 1 bullbullbull J a las bases canoacutenlcas asociadas a

1 d tl~

coordenadas P y Piexcl3 en U nU(3 fe (J Corno se observoacute en 12 las rnatTuacutees [g]O y [g]3 estaacute relacionadas por la foacutennula

donde [IdbiexclJl es la matTiz de cambio de base de lEn a la base 1Eiexcl3 que como ya sabemos es la matriz jacobuacutew de cambio de coordenadas

Por tanto (310)

y en fOTrna similar

[Y]rJ = J(~iexclJ[Y]aJiexclJ

comparando la entrada (i j) de estas dos matrices obtenemos la foacutermula

que es un caso parficlllaT de la foacutenn1tla 89

37 Pullback de un fibrado

Vamos a describir ahora un procedillli(~nto mediante el cual podemos utilizar una funcioacuten suave f N ---f NI para trasladar un fibrado vectorial sobre M en uno sobre N Primero debemos considerar morfismos de fibrados vectoriales sobre diferentes espacios base Un rnorfisw de fibrados vectoriales de Un fibrado vectoTial F ~ N en otm E ~ Al es un par de funciones suaves f N ---f M Y T F ---f E que hacen que el siguiente diagrama conmute

----)F T

E (J 1 1 7r (311)

JN ----) M

U n procedimiento biacutesico en la nJallij11l1acioacuten de diagramas es el de completar el cuadrado cuando dos de los lados esuumliacuten ciados En la categoriacutea de fibrados vectoriales esto nos conduce a la nocioacuten de pull-back de tibrados

Definicioacuten 371 Sca E ~ 111 un fibrado vectoTial y sea f N ---f M una funcioacuten suave Denotemos pOT f E al conjunto

rE= (pn) E N x E f(p) = 7r(u)

y definamos 1f f E ---f N y 7 f E --t E por 7r (p u) = p y 7 (p u) = u

37 PULLBACK DE UN FIBRADO 157

Como mostraremos a C01ItIacutenlLacioacuten f E N es Un fibrado vectorial llashymado el pullback de E Al lJOr f 11 1 es nn morfis7rw de fibmdos En otras palabras 7f y 1 son suaves qne hacen conTrlutar el siglaacuteentc diagrama

rE E 1 17T

N f -) Al

Veamos qUe r E es en efecto lln fibmdo vectorial 8obrmiddotc N Notemos en primer lugar qlle

y asiacute cada fibm (1 E)p tiene una estnuturn dc espacio vectorial naturalmente ident~ficable con la estrnctnra de la fibm

Por otro lado sea (lE1 un cubrimiellto abierto de lJ trivializallte para E con trivializacioncs locales ltP 7T- 1 Un X IfF Y con funciones de transicioacuten gpoj Definamos Vrr f-l ) Es claro que VnEA es un cnbrimshyiento abierto para N Definamos W 7f- 1CIx) -) 1 x IRr el mapeo que enviacutea a cada (pu) E 7f-l(V) en (p (u)) donde 0 ]2 ltP denota la compuesta de ltP seguida de la proyeccioacuten del producto X IR en la segunda coordenada Para cada p Va n V6 se tiene que f(p) E Un n U asiacute que

De aquiacute se deduce que j3( v) = []j3o (1(p) )((u) lo cual muestra que rv Wa nEA

GS una trivializacioacuten para r E con funciolles de transicioacuten dadas por los pullshybacks de las funciones de transicioacuten de Y3 o f Del anaacutelisis aiexcluumlerior se sigue la suavidad de y [i y por consiguiente la de 7f v f

El pull-back de fibrados tie1le la siguiente propiedad universal cualquier morfismo de fibrados factoriza a tlaveacute del pull-back Esto significa que existe (T 1 idN ) con T F -- f E tnl que 7 = 1 o T Y por consiguiente el siguiente diagrama COllmuta

F fE 7- E O 1 17f 1 7T

N id s- N M

Basta definir T F -) 1 E COUlO la funcioacuten que enviacutea a v E F en (IJ (v) 7 (v)) que es un elemento de f E ya que f (O (v)) 7r (7 (v))

Ejercicio 372 Demltestn que (T id r) cs nn morfismo de jibmdos qHC hacc conmutar el diagrama anterio7 jvrllestre ademaacutes que si 7 es biyectivo en cada jibra entonces iexcl es unison7orfismo

La siguiente proposicioacuten nos muestra que tomar pull-backs se comporta funcshytorialmente en forma contravariante


Proposicioacuten 373 Sean f AJ g N -gt lc1 funciones SHlwes y sea E un fibrado vectonal sobTe lvI Entonccs id ~J E E y U o g) E gO UO E)

Demostracioacuten El isomorfismo entrc id~J E Y E estaacute dado por T E -gt id~1 definido como T (u) = (Ir (v) v) Para dcmostrar la segunda afirmacioacuten defishynamos (j U o g) E -gt g UE) COlllO (j (1) u) = (p (g (p) 7L)) ( es claramente un mapco suave con inversa snave dada por (j- 1 (p v) = v donde v (g (p) v)

bull Ejercicio 374 Sean El fimulos vectoriales sobr-e M y f N -gt AJ una funcioacuten sw]ve Si E y El son demuestre qve 1E Y f E son isoshymorfos

Ejemplo 375 Sca iquest N -gt M un sUiTnanifold de Al y (E Ir iV) un fibrado vectorial sobre 111 Al fibmdo 1 E se le denomina la restriccioacuten de E a N Si Ua aEiexcll (i un cubri1niento trtuializante pam E sobre AJ con fnncuumlmes de transicioacuten [JBegt entonces UIX n N n E A es un cubrimiento trivializante para iquest M Y sus lnncioncs de traniicioacuten estaacuten dadas por las 7-estriccioacuten dc eacutestas a N gpn

371 Fibrado Tautoloacutegico

Recordemos que la liacutenea proyectiva nmL p~ == [XOiexclI] T O T O o r l T O es el conjunto de clases de equivalencia d liacuteneas en IR2 Yel cual vicne dotado de una estructnra difcrenciablc (UoVo) (U1 liexclbiexcl) donde Uo = [iexclo r l

] XO T O y U1 = c l ] )1 -rO vo(liexclOiexclI]) xl y VJ1([XOiexclI]) = iexclOXl

Considercmos el conjunto

que consiste de todos los pares en x 1R2 para los cuales el plinto (a IJ) pertenece a la liacutenea l (Aiexclo Aiexcl 1) A IR (leterminada por [x O xl] Dcfinlmoslf E e P~ x - p[~ como

Abusando de la notacioacuten denotaremos nuevamente por Ir a la restriccioacuten Irl E

Veamos que E es localmente difcOlllorfo a Uiacute x IR i 01 En primer lugar

Eluu = ([lP iexcl11 IJ)) -rO es dihHnorfo a Uo x R viacutea Po donde Elu ~ Uo x IR estaacute definida como

([xo 1]fo d

-1 1 1 con lIlVerSI Po (tL( eacutel por

-1 (0 t0 [

37 PULLBACK DE UNFIBRADO 159

Por otro lado PI El u --4 U I X IR definida COlllO

es una trivializacioacuten oacuteobre U1 COIl inversa

~ 1 ( PI bull

Por consiguiente la funcioacuten de tralloacuteicioacuten glO [Jo 1 [JI ----) GL(1IR) estaacute dada por

lo cual demuestra qIlC E es Ull fibrado vectorial de rango l De acuerdo a la proposicioacuten 3112 eoacutete fibrado puede obtencrse identificando

o pegando Uox lR con UI x R a traveacutes del difeomorfislllo h Uonlliexcl -- UI nuo e cual enviacutea a ([xo Xl] t) en ([iexclo 11] 910 ([iexclO 1] )t) Ahora si identificamos Uox IR y UI x lR con dos copias distintas de lR x IR a travoacutes de los difeomorfismos llo xId Y tPI x Id vemos que lo x Id y lJI x Id enviacutean a [Jo n [JI en cada copia en lR = lR O De aquiacute que E pueda construirse identificando dos copias de lR x lR a traveacutes del clifeomorfislllo inducido

h IR x R -- ]R x R

() TI )--t ( T1 iexcl()

Es decir E es difeomorfo al manifold que resulta de pegar dos copiaoacute disshyjuntas de lR2 que denotarelllos por (IfIi x i = 12 a traveacutes de los abiertos (IR x IR) y mediante el difeolllorfislllo h(T t) (lx

E (IR x U x IRh U U

(lR x IR)iexcl Jiexcl

(IR x

No es difiacutecil ver que elmallifold resultante es precisamente la Cinta de MoJuacutets Sean A y B dos copias (en planos distintos) de In frauja infinita [-11] x y peguemos A con B a traveacutes de sus fronteras el la forma siguiente Cada punto 1 t) del borde izq uicrdo de A se llega (reversHndo la direccioacuten) al punto (-1 del borde izqnierdo de B y el bo[(t~ derecho de A eoacute decir los puntos (1 t) se pegan (en igual direccioacuteu) con los puutos (1 t) del borde derecho de B Es faacutecil ver que el espacio cociente M que reoacuteulta despueacutes de hacer este pegado es homeomorfo a la cinta de Mobius definida como un espacio cociente de IR 2 bajo la accioacuten del glllpO ele difeomorfislllos ele plano generado por el difeomorfislIlo (iexcl t) - (1 1-t) Establezcamos UIla correspondcncia f entre las clases de equivalencia en E y M que seraacuten denotadas en ambos casos


usando corchetes

-_~f E 11

t) E A Ixl 1

(11 t) E E Ixl gt 1 -~t) ]

l(-lt)] x =-1 [( 1 t )] x=l

Se verifica inlllediatamente que f es Ulla biyeccioacutell y se deja COlllO ejercicio al lector demostrar que esta biyeccioacuten es un hOll1eomorfisIllo entre E y 11 (con las respectivas topologiacuteas cocientes) La funcioacuten f permite trasladar la estructura diferenciablc de E a 11 y no es difiacutecil ver que 11 es un manifold difeomorfo a M como fue definido ell

Ejercicio 376 DermwstTCo que E 11 lvI son espacios homeomolfos y que lvI y M son difeomorfos

Ejercicio 377 (Fibmdo de Hopf) Sea el espacio ]lroyectivo real n-dimensional 238 y denoteTfW8 cada uno de SIS puntos por [xo xn] Sea

(aiexcl (ln)) euacutestcxfOxli=nii O n

y7fE Pilx 1 ----gt la restriccioacuten a E de la proyeccioacuten en el primer factor del1)1()(lucto A11lestre que E es mi libTado vectorial de Tango 1 sobre PiR Si Uiacute [iexclo Xi f O e8 el culrruacuteniento estandar de P(R demuestre 1]1U las f7LT~cione8 de tmnsicioacuten con respecto a este rectLbrimiento estaacuten dadas por

gji Ui rl --gt GL(l IR)

60 CHAPTER 2 llANIFOLDS SUAVES y SUS MORFIS1vWS

Al entero n se le denomina la dimensioacuten de IvI y como veremos a continshyuacioacuten es un entero bien definido siempre que 11 no sea vaciacuteo Esto se deduce del Teorema de Invarianza de Dominio de Bro1iquestwer el cual se demostraraacute en el Capiacutetulo 4

Teorema 215 (Browuer) Si U es un abieTto de]R y f U -4 ]R es continua einyectiva entonces f (U) es abierto en]Rn (fl])

Corolario 216 Si U e ]R y V ]Rm son abiertos no vaciacuteos y homeomorfos entonces n = m

Demostracioacuten Supongamos por el absurdo que m =1 n digamos m lt n y que existe un homeomorfismo ltp U -4 V Definamos i ]Rm -4 R como

i (Xl iexcl171) = (xl xmO 0) ---v--

n-1n

Esta funcioacuten es continua e inyectiva pero iacute (]Rm) 110 es abierto en ]R ni contiene ninguacuten subconjunto no vaciacuteo que sea abierto Si f denota la composicioacuten

U v entonces f es continua e inyectiva pero f (U) i (V) e i (]Rm) no es abierto en ]Rn lo cual contradice el Teorema 215 bull

Corolario 217 Si M es un man-~fold topoloacutegico no vaciacuteo entonces su dimenshysioacuten estaacute bien definida

Demostracioacuten Supongamos que 111 es simultaacuteneamente un 7n-manifold topoloacutegico y un n-manifold topoloacutegico Sea p E 111 Y supongamos que existen entornos abiertos U y V de p en lvI subconjuntos abiertos U e ]R v e ]Rro y homeshy0l11orfismos p U U lj V -4 V Los conjuntos p (U n V) e U e lR y-4

lj (U n V) e V e ]Rm son abiertos de ]Rn y ]Rm respectivamente y p o 1

lj (U n V) -gt p (U n V) seriacutea un homeomorfismo entre ellos lo cual obliga a que m = 71 por el Corolario 216 bull

Notacioacuten 218 De aquiacute en adelante dim iVI denotaraacute a la dimensioacuten de 111

A continuacioacuten definiremos la nocioacuten de manifold suave corno UIl espacio topoloacutegico Hausdorff y segundo contable dotado de una estructura de espacio anillado con UIla sheaf de funciones SllaVeS cuyo modelo local son funciones suaves de un cierto abierto de ]R En forma precisa

Definicioacuten 219 Un n-manifold suave es un espacio anillado (11 CJM ) donde iexcllIl es un espacio topoloacutegico Hausdorff y segundo contable CJM es una subsheaf de la sheaf de funciones con valores reales sobre iexclvI el cual satisface la siguiente propiedad Para cada punto pE 1v1 existe un entorno U de p tal que (U CJA I U) es isomorfo como espacio anillado a (U IU) donde U e ]R es abier-to y CJif denota la sheaf de funeiones suaves con valores reales sobTe JRiexcl









































fo





















Pvlunv E OM (U n V)







son suaves










-1 1 o 1 ti) 01-1P o 11) y y~ Ya )





















1 -lI


2(iexcln) l


ArS (e 1 Xn+l)

y Xl iexcln

911 (Xl ) == ( 1 + Xn+ 1 bull 1 +



y


(2 y l 2yn 1_lyl2)






















(niexcl3)EAx B










X si 1 lt O4gt (x)

xj2 si x ~ O
















Hom (Ho Wd



o 1








(p 1 llo ~ I 0 1







x = 7r~ (v) -+ 7r~ (Tv) 7r~ (v)

y que y 7r~ (v) + 7r~ (Tv) = 7r (v) + Tv






( PIVo IV es suave











T E






YYo y l ()) 1









I





























u j bullbullbull

I ji~i~ u UT

si i lt j

si i gt j

23 Funciones suaves















o Jiu o pl = o f o







y



(W n Viexcl3) g~ IR















T = Iv 1 oT o Iw


(w T(v)w = (T(w) vv







Gr (T)J = Gr (~T)


rVViexcl)JYl )YTO




















1r (1) E Ovf (1r- 1 (V))


















(nm)(xy) (x+ny+m)









26 Espacio tangente


















Tp (M)




dada por

D((f) = (f deg )(0)



v (I) Dv (I) (21)


v(I g) v(I) + v(g)

v(OI) Ov(I) y

V (Ig) f (p) v (g) + v (I) 9 (p)













gt i




que










Op ---gt lR como

8~i I (Jp) = 8~i (J o ~-1) (~ (p)) p




y n

f = f(p) + Lxi i=1




n



n

f=f(1)+ Lxifi t=1


i=1 i=1 n






n



n li











p j=1










(Xi o ) (O)






















L (p) 1 ox (p) nXm



1 (g o )1 g1 o f 1













1 = Ln

j=l





r [( (U rp) v)] [( (U rp)



















(4) ljJ) X (u v) (4) w) (i q ) (u) + (i p ) (v))




















iexclfJofo














VJOfoltp-1 ooj








28 SUBMANIFOLDS 93









28 Submanifolds











V)Oi y~l =j


V nj(]Rk) j(y(U))











7J(p) = j(y(z)) = 7J(L(Z))




teorema anterior

28 SUB1IANIFOLDS 95


znu = p E U yA+I(p)

















(z)D= (z)


1


un = O




28 SUBMANIFOLDS 97




















1J(z)





9928 SUBMANIFOLDS


o 0










manifolds













f(M) y z) E





T


g y) (iexcl2+ y2+__ R2_r2)2+4R2z2






el p E lvf f(p) O









29 Orientacioacuten




















(p)

Iv () ~ [

(]Y)























entable


-1 r Ps o PN (1) = ~ c el O











ejemplos anterioTes













que










11 alel a2c2 + a3e3

tu blel b2C2+bIC3


l [ a2

11 x W = (et b 2









y nuz(q))

nu((q)) = ))1-I~(-(nu z q







implica que

Jvu





cual se deduce que



nu nv

jnul




tanto












el semiacuteplano o




















1 P(j (Un n U(j) -4 f (Uex n U13)

son suaves








un entorno de (p)







bull





o

son Smiddotlaves




















-1



bull






(Blv[ OJ 18111)


1 el disco

2 y) + 1 lt l l (1 y) + 11 1 Olt Y

2 el disco


4 el Cuadmdo


5 el cuadrado



7 el cuadrado




entre IvI Y N








2102 Tangente











rial real











T p










tal que rp(p) = 0 y


con a n O


b1 )DI1 ~ + bn~ 1 uIL o

con b lt O

2103 Diferencial






























1 f es inyectitJa


















Pp(DrlUp) UprllE[n






Chapter 3








121




1 El diagrama


Ir priexcl U



ltPup ltPu








ysea





T (8) = l e E


que


igualdades





y del hecho de que




uumlEIi


nEfIacute EA








1[ 1[












Yo Un fl --) eL (1





fl Uf



gOOc = Id en Un






I f-l (31)f8 9Jo o





















fa (p)


7 o (p v) = (p




implica que



-1 () (p)-l v) lt])I(p 9~(l (p) fa (p)-lv)


o 7 o p V


lO 713 (19130 (p) v)













nU (32)Id en U



U nxUnxIRT

EA




EA


ltlgtB( pv)])


(p g3 (p) v)









y


- l (U) T1T o---f






(aa)


hj3 =



(p) 11) 701gt-1 (pv)

7 o 1gt-1 (p ga(3 (p) 11)

1gt 1 ([1 hu (p) flO(3 (p) v)

1gt~-1 (p fl3Q (p) h(~ (p) flf-J (p) 11)


para todo p E n Up



7 o 1 (p v) 1gt1 (p hO (p) ti)




manifold suave lvI




UxlR



(34)








Wu U x IRT

por r









f3a en la forma




enj (p)

2 r

ltp31 (p =1

T













por











n Uiexcl3 (35)



ltp~1 (1 g(3o (p) 8u (p))






s (p) = Lr

(p) e(p) =1








(36)



k=l












(iexcl) =










l ti

E--E o


o

O-E~



(xiquest ) entonces

E Un x~t-I = = r~ O








J=l) 11~r A=l n-r


a a










es isomorfa a 9







[(V) n

(b 1 bullbull bT


















1O~E E--gtE O


o~) [
















(p gacgt (p) v)










n

a I JJ



Jacobiana

(p) = [oa3 (p)]orX

I J=l ~not





(37)


(X f)(p) X(p)fp




+-a~n-

iacutel (i) OAllu

U uc~




a~










(4) [X Y] (fu) f[X Y] 9 + 9 [X Y] J






f(gX(Yh)) g(fY(Xh))







352 Fibrado dual






GL(rR)














U~L [3


n




Liexcl3o(1o = a(3



j ux~


por A~t


Hom (7[ OtvI )







con inversa














eoJ











W uuml =


w o









1 Ulr bull


=det



bi L i



) que













(38)


(rw) (p) gp(w(q))



1 f (w + O) jCv

2 r (hw) (h o f) fw







j w=




y








f(iquestwJdyh) J e
















ul1 uV ulL av




u(y z) 1




m

rw=

()




l


r(w 1 O) r(w) r(O)

362 Suma de Whitney


y ltIgt~ rr -







es decir

han (p) g3u (1) (1) (p) o(p) ]

donde

y - GL




E )E = U pEM



(E ill E) 1 E E ti) (E () E)



y




heo (1)







E E U El pEA

EJ














V W ---) Hom(V W)











= U Elp wEkp

pEM



pf--gt (p)







j 1 Jr L 1 i






(39)


) V V ~ HomdV V k)


11

y= iquest iacutej 1


n a I

viv I p

n ()w J W

11





1 d tl~



Por tanto (310)

y en fOTrna similar






----)F T

E (J 1 1 7r (311)

JN ----) M







rE E 1 17T

N f -) Al







F fE 7- E O 1 17f 1 7T

N id s- N M

















([xo 1]fo d


-1 (0 t0 [




~ 1 ( PI bull




h IR x R -- ]R x R

() TI )--t ( T1 iexcl()


E (IR x U x IRh U U


(IR x



usando corchetes

-_~f E 11

t) E A Ixl 1

(11 t) E E Ixl gt 1 -~t) ]

l(-lt)] x =-1 [( 1 t )] x=l















































fo





















Pvlunv E OM (U n V)







son suaves










-1 1 o 1 ti) 01-1P o 11) y y~ Ya )





















1 -lI


2(iexcln) l


ArS (e 1 Xn+l)

y Xl iexcln

911 (Xl ) == ( 1 + Xn+ 1 bull 1 +



y


(2 y l 2yn 1_lyl2)






















(niexcl3)EAx B










X si 1 lt O4gt (x)

xj2 si x ~ O
















Hom (Ho Wd



o 1








(p 1 llo ~ I 0 1







x = 7r~ (v) -+ 7r~ (Tv) 7r~ (v)

y que y 7r~ (v) + 7r~ (Tv) = 7r (v) + Tv






( PIVo IV es suave











T E






YYo y l ()) 1









I





























u j bullbullbull

I ji~i~ u UT

si i lt j

si i gt j

23 Funciones suaves















o Jiu o pl = o f o







y



(W n Viexcl3) g~ IR















T = Iv 1 oT o Iw


(w T(v)w = (T(w) vv







Gr (T)J = Gr (~T)


rVViexcl)JYl )YTO




















1r (1) E Ovf (1r- 1 (V))


















(nm)(xy) (x+ny+m)









26 Espacio tangente


















Tp (M)




dada por

D((f) = (f deg )(0)



v (I) Dv (I) (21)


v(I g) v(I) + v(g)

v(OI) Ov(I) y

V (Ig) f (p) v (g) + v (I) 9 (p)













gt i




que










Op ---gt lR como

8~i I (Jp) = 8~i (J o ~-1) (~ (p)) p




y n

f = f(p) + Lxi i=1




n



n

f=f(1)+ Lxifi t=1


i=1 i=1 n






n



n li











p j=1










(Xi o ) (O)






















L (p) 1 ox (p) nXm



1 (g o )1 g1 o f 1













1 = Ln

j=l





r [( (U rp) v)] [( (U rp)



















(4) ljJ) X (u v) (4) w) (i q ) (u) + (i p ) (v))




















iexclfJofo














VJOfoltp-1 ooj








28 SUBMANIFOLDS 93









28 Submanifolds











V)Oi y~l =j


V nj(]Rk) j(y(U))











7J(p) = j(y(z)) = 7J(L(Z))




teorema anterior

28 SUB1IANIFOLDS 95


znu = p E U yA+I(p)

















(z)D= (z)


1


un = O




28 SUBMANIFOLDS 97




















1J(z)





9928 SUBMANIFOLDS


o 0










manifolds













f(M) y z) E





T


g y) (iexcl2+ y2+__ R2_r2)2+4R2z2






el p E lvf f(p) O









29 Orientacioacuten




















(p)

Iv () ~ [

(]Y)























entable


-1 r Ps o PN (1) = ~ c el O











ejemplos anterioTes













que










11 alel a2c2 + a3e3

tu blel b2C2+bIC3


l [ a2

11 x W = (et b 2









y nuz(q))

nu((q)) = ))1-I~(-(nu z q







implica que

Jvu





cual se deduce que



nu nv

jnul




tanto












el semiacuteplano o




















1 P(j (Un n U(j) -4 f (Uex n U13)

son suaves








un entorno de (p)







bull





o

son Smiddotlaves




















-1



bull






(Blv[ OJ 18111)


1 el disco

2 y) + 1 lt l l (1 y) + 11 1 Olt Y

2 el disco


4 el Cuadmdo


5 el cuadrado



7 el cuadrado




entre IvI Y N








2102 Tangente











rial real











T p










tal que rp(p) = 0 y


con a n O


b1 )DI1 ~ + bn~ 1 uIL o

con b lt O

2103 Diferencial






























1 f es inyectitJa


















Pp(DrlUp) UprllE[n






Chapter 3








121




1 El diagrama


Ir priexcl U



ltPup ltPu








ysea





T (8) = l e E


que


igualdades





y del hecho de que




uumlEIi


nEfIacute EA








1[ 1[












Yo Un fl --) eL (1





fl Uf



gOOc = Id en Un






I f-l (31)f8 9Jo o





















fa (p)


7 o (p v) = (p




implica que



-1 () (p)-l v) lt])I(p 9~(l (p) fa (p)-lv)


o 7 o p V


lO 713 (19130 (p) v)













nU (32)Id en U



U nxUnxIRT

EA




EA


ltlgtB( pv)])


(p g3 (p) v)









y


- l (U) T1T o---f






(aa)


hj3 =



(p) 11) 701gt-1 (pv)

7 o 1gt-1 (p ga(3 (p) 11)

1gt 1 ([1 hu (p) flO(3 (p) v)

1gt~-1 (p fl3Q (p) h(~ (p) flf-J (p) 11)


para todo p E n Up



7 o 1 (p v) 1gt1 (p hO (p) ti)




manifold suave lvI




UxlR



(34)








Wu U x IRT

por r









f3a en la forma




enj (p)

2 r

ltp31 (p =1

T













por











n Uiexcl3 (35)



ltp~1 (1 g(3o (p) 8u (p))






s (p) = Lr

(p) e(p) =1








(36)



k=l












(iexcl) =










l ti

E--E o


o

O-E~



(xiquest ) entonces

E Un x~t-I = = r~ O








J=l) 11~r A=l n-r


a a










es isomorfa a 9







[(V) n

(b 1 bullbull bT


















1O~E E--gtE O


o~) [
















(p gacgt (p) v)










n

a I JJ



Jacobiana

(p) = [oa3 (p)]orX

I J=l ~not





(37)


(X f)(p) X(p)fp




+-a~n-

iacutel (i) OAllu

U uc~




a~










(4) [X Y] (fu) f[X Y] 9 + 9 [X Y] J






f(gX(Yh)) g(fY(Xh))







352 Fibrado dual






GL(rR)














U~L [3


n




Liexcl3o(1o = a(3



j ux~


por A~t


Hom (7[ OtvI )







con inversa














eoJ











W uuml =


w o









1 Ulr bull


=det



bi L i



) que













(38)


(rw) (p) gp(w(q))



1 f (w + O) jCv

2 r (hw) (h o f) fw







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ul1 uV ulL av




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m

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()




l


r(w 1 O) r(w) r(O)

362 Suma de Whitney


y ltIgt~ rr -







es decir

han (p) g3u (1) (1) (p) o(p) ]

donde

y - GL




E )E = U pEM



(E ill E) 1 E E ti) (E () E)



y




heo (1)







E E U El pEA

EJ














V W ---) Hom(V W)











= U Elp wEkp

pEM



pf--gt (p)







j 1 Jr L 1 i






(39)


) V V ~ HomdV V k)


11

y= iquest iacutej 1


n a I

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11





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Por tanto (310)

y en fOTrna similar






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~ 1 ( PI bull




h IR x R -- ]R x R

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E (IR x U x IRh U U


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t) E A Ixl 1

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fo





















Pvlunv E OM (U n V)







son suaves










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1 -lI


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y


(2 y l 2yn 1_lyl2)






















(niexcl3)EAx B










X si 1 lt O4gt (x)

xj2 si x ~ O
















Hom (Ho Wd



o 1








(p 1 llo ~ I 0 1







x = 7r~ (v) -+ 7r~ (Tv) 7r~ (v)

y que y 7r~ (v) + 7r~ (Tv) = 7r (v) + Tv






( PIVo IV es suave











T E






YYo y l ()) 1









I





























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I ji~i~ u UT

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23 Funciones suaves















o Jiu o pl = o f o







y



(W n Viexcl3) g~ IR















T = Iv 1 oT o Iw


(w T(v)w = (T(w) vv







Gr (T)J = Gr (~T)


rVViexcl)JYl )YTO




















1r (1) E Ovf (1r- 1 (V))


















(nm)(xy) (x+ny+m)









26 Espacio tangente


















Tp (M)




dada por

D((f) = (f deg )(0)



v (I) Dv (I) (21)


v(I g) v(I) + v(g)

v(OI) Ov(I) y

V (Ig) f (p) v (g) + v (I) 9 (p)













gt i




que










Op ---gt lR como

8~i I (Jp) = 8~i (J o ~-1) (~ (p)) p




y n

f = f(p) + Lxi i=1




n



n

f=f(1)+ Lxifi t=1


i=1 i=1 n






n



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p j=1










(Xi o ) (O)






















L (p) 1 ox (p) nXm



1 (g o )1 g1 o f 1













1 = Ln

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r [( (U rp) v)] [( (U rp)



















(4) ljJ) X (u v) (4) w) (i q ) (u) + (i p ) (v))




















iexclfJofo














VJOfoltp-1 ooj








28 SUBMANIFOLDS 93









28 Submanifolds











V)Oi y~l =j


V nj(]Rk) j(y(U))











7J(p) = j(y(z)) = 7J(L(Z))




teorema anterior

28 SUB1IANIFOLDS 95


znu = p E U yA+I(p)

















(z)D= (z)


1


un = O




28 SUBMANIFOLDS 97




















1J(z)





9928 SUBMANIFOLDS


o 0










manifolds













f(M) y z) E





T


g y) (iexcl2+ y2+__ R2_r2)2+4R2z2






el p E lvf f(p) O









29 Orientacioacuten




















(p)

Iv () ~ [

(]Y)























entable


-1 r Ps o PN (1) = ~ c el O











ejemplos anterioTes













que










11 alel a2c2 + a3e3

tu blel b2C2+bIC3


l [ a2

11 x W = (et b 2









y nuz(q))

nu((q)) = ))1-I~(-(nu z q







implica que

Jvu





cual se deduce que



nu nv

jnul




tanto












el semiacuteplano o




















1 P(j (Un n U(j) -4 f (Uex n U13)

son suaves








un entorno de (p)







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o

son Smiddotlaves




















-1



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(Blv[ OJ 18111)


1 el disco

2 y) + 1 lt l l (1 y) + 11 1 Olt Y

2 el disco


4 el Cuadmdo


5 el cuadrado



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entre IvI Y N








2102 Tangente











rial real











T p










tal que rp(p) = 0 y


con a n O


b1 )DI1 ~ + bn~ 1 uIL o

con b lt O

2103 Diferencial






























1 f es inyectitJa


















Pp(DrlUp) UprllE[n






Chapter 3








121




1 El diagrama


Ir priexcl U



ltPup ltPu








ysea





T (8) = l e E


que


igualdades





y del hecho de que




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nEfIacute EA








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gOOc = Id en Un






I f-l (31)f8 9Jo o





















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implica que



-1 () (p)-l v) lt])I(p 9~(l (p) fa (p)-lv)


o 7 o p V


lO 713 (19130 (p) v)













nU (32)Id en U



U nxUnxIRT

EA




EA


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(p g3 (p) v)









y


- l (U) T1T o---f






(aa)


hj3 =



(p) 11) 701gt-1 (pv)

7 o 1gt-1 (p ga(3 (p) 11)

1gt 1 ([1 hu (p) flO(3 (p) v)

1gt~-1 (p fl3Q (p) h(~ (p) flf-J (p) 11)


para todo p E n Up



7 o 1 (p v) 1gt1 (p hO (p) ti)




manifold suave lvI




UxlR



(34)








Wu U x IRT

por r









f3a en la forma




enj (p)

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ltp31 (p =1

T













por











n Uiexcl3 (35)



ltp~1 (1 g(3o (p) 8u (p))






s (p) = Lr

(p) e(p) =1








(36)



k=l












(iexcl) =










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E--E o


o

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(xiquest ) entonces

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es isomorfa a 9







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Jacobiana

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(37)


(X f)(p) X(p)fp




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U uc~




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f(gX(Yh)) g(fY(Xh))







352 Fibrado dual






GL(rR)














U~L [3


n




Liexcl3o(1o = a(3



j ux~


por A~t


Hom (7[ OtvI )







con inversa














eoJ











W uuml =


w o









1 Ulr bull


=det



bi L i



) que













(38)


(rw) (p) gp(w(q))



1 f (w + O) jCv

2 r (hw) (h o f) fw







j w=




y








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ul1 uV ulL av




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l


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362 Suma de Whitney


y ltIgt~ rr -







es decir

han (p) g3u (1) (1) (p) o(p) ]

donde

y - GL




E )E = U pEM



(E ill E) 1 E E ti) (E () E)



y




heo (1)







E E U El pEA

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V W ---) Hom(V W)











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j 1 Jr L 1 i






(39)


) V V ~ HomdV V k)


11

y= iquest iacutej 1


n a I

viv I p

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11





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Por tanto (310)

y en fOTrna similar






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t) E A Ixl 1

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l(-lt)] x =-1 [( 1 t )] x=l
















fo





















Pvlunv E OM (U n V)







son suaves










-1 1 o 1 ti) 01-1P o 11) y y~ Ya )





















1 -lI


2(iexcln) l


ArS (e 1 Xn+l)

y Xl iexcln

911 (Xl ) == ( 1 + Xn+ 1 bull 1 +



y


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(niexcl3)EAx B










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Hom (Ho Wd



o 1








(p 1 llo ~ I 0 1







x = 7r~ (v) -+ 7r~ (Tv) 7r~ (v)

y que y 7r~ (v) + 7r~ (Tv) = 7r (v) + Tv






( PIVo IV es suave











T E






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I





























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si i lt j

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23 Funciones suaves















o Jiu o pl = o f o







y



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T = Iv 1 oT o Iw


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Gr (T)J = Gr (~T)


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1r (1) E Ovf (1r- 1 (V))


















(nm)(xy) (x+ny+m)









26 Espacio tangente


















Tp (M)




dada por

D((f) = (f deg )(0)



v (I) Dv (I) (21)


v(I g) v(I) + v(g)

v(OI) Ov(I) y

V (Ig) f (p) v (g) + v (I) 9 (p)













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que










Op ---gt lR como

8~i I (Jp) = 8~i (J o ~-1) (~ (p)) p




y n

f = f(p) + Lxi i=1




n



n

f=f(1)+ Lxifi t=1


i=1 i=1 n






n



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p j=1










(Xi o ) (O)






















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1 = Ln

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r [( (U rp) v)] [( (U rp)



















(4) ljJ) X (u v) (4) w) (i q ) (u) + (i p ) (v))




















iexclfJofo














VJOfoltp-1 ooj








28 SUBMANIFOLDS 93









28 Submanifolds











V)Oi y~l =j


V nj(]Rk) j(y(U))











7J(p) = j(y(z)) = 7J(L(Z))




teorema anterior

28 SUB1IANIFOLDS 95


znu = p E U yA+I(p)

















(z)D= (z)


1


un = O




28 SUBMANIFOLDS 97




















1J(z)





9928 SUBMANIFOLDS


o 0










manifolds













f(M) y z) E





T


g y) (iexcl2+ y2+__ R2_r2)2+4R2z2






el p E lvf f(p) O









29 Orientacioacuten




















(p)

Iv () ~ [

(]Y)























entable


-1 r Ps o PN (1) = ~ c el O











ejemplos anterioTes













que










11 alel a2c2 + a3e3

tu blel b2C2+bIC3


l [ a2

11 x W = (et b 2









y nuz(q))

nu((q)) = ))1-I~(-(nu z q







implica que

Jvu





cual se deduce que



nu nv

jnul




tanto












el semiacuteplano o




















1 P(j (Un n U(j) -4 f (Uex n U13)

son suaves








un entorno de (p)







bull





o

son Smiddotlaves




















-1



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(Blv[ OJ 18111)


1 el disco

2 y) + 1 lt l l (1 y) + 11 1 Olt Y

2 el disco


4 el Cuadmdo


5 el cuadrado



7 el cuadrado




entre IvI Y N








2102 Tangente











rial real











T p










tal que rp(p) = 0 y


con a n O


b1 )DI1 ~ + bn~ 1 uIL o

con b lt O

2103 Diferencial






























1 f es inyectitJa


















Pp(DrlUp) UprllE[n






Chapter 3








121




1 El diagrama


Ir priexcl U



ltPup ltPu








ysea





T (8) = l e E


que


igualdades





y del hecho de que




uumlEIi


nEfIacute EA








1[ 1[












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gOOc = Id en Un






I f-l (31)f8 9Jo o





















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7 o (p v) = (p




implica que



-1 () (p)-l v) lt])I(p 9~(l (p) fa (p)-lv)


o 7 o p V


lO 713 (19130 (p) v)













nU (32)Id en U



U nxUnxIRT

EA




EA


ltlgtB( pv)])


(p g3 (p) v)









y


- l (U) T1T o---f






(aa)


hj3 =



(p) 11) 701gt-1 (pv)

7 o 1gt-1 (p ga(3 (p) 11)

1gt 1 ([1 hu (p) flO(3 (p) v)

1gt~-1 (p fl3Q (p) h(~ (p) flf-J (p) 11)


para todo p E n Up



7 o 1 (p v) 1gt1 (p hO (p) ti)




manifold suave lvI




UxlR



(34)








Wu U x IRT

por r









f3a en la forma




enj (p)

2 r

ltp31 (p =1

T













por











n Uiexcl3 (35)



ltp~1 (1 g(3o (p) 8u (p))






s (p) = Lr

(p) e(p) =1








(36)



k=l












(iexcl) =










l ti

E--E o


o

O-E~



(xiquest ) entonces

E Un x~t-I = = r~ O








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es isomorfa a 9







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1O~E E--gtE O


o~) [
















(p gacgt (p) v)










n

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Jacobiana

(p) = [oa3 (p)]orX

I J=l ~not





(37)


(X f)(p) X(p)fp




+-a~n-

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U uc~




a~










(4) [X Y] (fu) f[X Y] 9 + 9 [X Y] J






f(gX(Yh)) g(fY(Xh))







352 Fibrado dual






GL(rR)














U~L [3


n




Liexcl3o(1o = a(3



j ux~


por A~t


Hom (7[ OtvI )







con inversa














eoJ











W uuml =


w o









1 Ulr bull


=det



bi L i



) que













(38)


(rw) (p) gp(w(q))



1 f (w + O) jCv

2 r (hw) (h o f) fw







j w=




y








f(iquestwJdyh) J e
















ul1 uV ulL av




u(y z) 1




m

rw=

()




l


r(w 1 O) r(w) r(O)

362 Suma de Whitney


y ltIgt~ rr -







es decir

han (p) g3u (1) (1) (p) o(p) ]

donde

y - GL




E )E = U pEM



(E ill E) 1 E E ti) (E () E)



y




heo (1)







E E U El pEA

EJ














V W ---) Hom(V W)











= U Elp wEkp

pEM



pf--gt (p)







j 1 Jr L 1 i






(39)


) V V ~ HomdV V k)


11

y= iquest iacutej 1


n a I

viv I p

n ()w J W

11





1 d tl~



Por tanto (310)

y en fOTrna similar






----)F T

E (J 1 1 7r (311)

JN ----) M







rE E 1 17T

N f -) Al







F fE 7- E O 1 17f 1 7T

N id s- N M

















([xo 1]fo d


-1 (0 t0 [




~ 1 ( PI bull




h IR x R -- ]R x R

() TI )--t ( T1 iexcl()


E (IR x U x IRh U U


(IR x



usando corchetes

-_~f E 11

t) E A Ixl 1

(11 t) E E Ixl gt 1 -~t) ]

l(-lt)] x =-1 [( 1 t )] x=l























Pvlunv E OM (U n V)







son suaves










-1 1 o 1 ti) 01-1P o 11) y y~ Ya )





















1 -lI


2(iexcln) l


ArS (e 1 Xn+l)

y Xl iexcln

911 (Xl ) == ( 1 + Xn+ 1 bull 1 +



y


(2 y l 2yn 1_lyl2)






















(niexcl3)EAx B










X si 1 lt O4gt (x)

xj2 si x ~ O
















Hom (Ho Wd



o 1








(p 1 llo ~ I 0 1







x = 7r~ (v) -+ 7r~ (Tv) 7r~ (v)

y que y 7r~ (v) + 7r~ (Tv) = 7r (v) + Tv






( PIVo IV es suave











T E






YYo y l ()) 1









I





























u j bullbullbull

I ji~i~ u UT

si i lt j

si i gt j

23 Funciones suaves















o Jiu o pl = o f o







y



(W n Viexcl3) g~ IR















T = Iv 1 oT o Iw


(w T(v)w = (T(w) vv







Gr (T)J = Gr (~T)


rVViexcl)JYl )YTO




















1r (1) E Ovf (1r- 1 (V))


















(nm)(xy) (x+ny+m)









26 Espacio tangente


















Tp (M)




dada por

D((f) = (f deg )(0)



v (I) Dv (I) (21)


v(I g) v(I) + v(g)

v(OI) Ov(I) y

V (Ig) f (p) v (g) + v (I) 9 (p)













gt i




que










Op ---gt lR como

8~i I (Jp) = 8~i (J o ~-1) (~ (p)) p




y n

f = f(p) + Lxi i=1




n



n

f=f(1)+ Lxifi t=1


i=1 i=1 n






n



n li











p j=1










(Xi o ) (O)






















L (p) 1 ox (p) nXm



1 (g o )1 g1 o f 1













1 = Ln

j=l





r [( (U rp) v)] [( (U rp)



















(4) ljJ) X (u v) (4) w) (i q ) (u) + (i p ) (v))




















iexclfJofo














VJOfoltp-1 ooj








28 SUBMANIFOLDS 93









28 Submanifolds











V)Oi y~l =j


V nj(]Rk) j(y(U))











7J(p) = j(y(z)) = 7J(L(Z))




teorema anterior

28 SUB1IANIFOLDS 95


znu = p E U yA+I(p)

















(z)D= (z)


1


un = O




28 SUBMANIFOLDS 97




















1J(z)





9928 SUBMANIFOLDS


o 0










manifolds













f(M) y z) E





T


g y) (iexcl2+ y2+__ R2_r2)2+4R2z2






el p E lvf f(p) O









29 Orientacioacuten




















(p)

Iv () ~ [

(]Y)























entable


-1 r Ps o PN (1) = ~ c el O











ejemplos anterioTes













que










11 alel a2c2 + a3e3

tu blel b2C2+bIC3


l [ a2

11 x W = (et b 2









y nuz(q))

nu((q)) = ))1-I~(-(nu z q







implica que

Jvu





cual se deduce que



nu nv

jnul




tanto












el semiacuteplano o




















1 P(j (Un n U(j) -4 f (Uex n U13)

son suaves








un entorno de (p)







bull





o

son Smiddotlaves




















-1



bull






(Blv[ OJ 18111)


1 el disco

2 y) + 1 lt l l (1 y) + 11 1 Olt Y

2 el disco


4 el Cuadmdo


5 el cuadrado



7 el cuadrado




entre IvI Y N








2102 Tangente











rial real











T p










tal que rp(p) = 0 y


con a n O


b1 )DI1 ~ + bn~ 1 uIL o

con b lt O

2103 Diferencial






























1 f es inyectitJa


















Pp(DrlUp) UprllE[n






Chapter 3








121




1 El diagrama


Ir priexcl U



ltPup ltPu








ysea





T (8) = l e E


que


igualdades





y del hecho de que




uumlEIi


nEfIacute EA








1[ 1[












Yo Un fl --) eL (1





fl Uf



gOOc = Id en Un






I f-l (31)f8 9Jo o





















fa (p)


7 o (p v) = (p




implica que



-1 () (p)-l v) lt])I(p 9~(l (p) fa (p)-lv)


o 7 o p V


lO 713 (19130 (p) v)













nU (32)Id en U



U nxUnxIRT

EA




EA


ltlgtB( pv)])


(p g3 (p) v)









y


- l (U) T1T o---f






(aa)


hj3 =



(p) 11) 701gt-1 (pv)

7 o 1gt-1 (p ga(3 (p) 11)

1gt 1 ([1 hu (p) flO(3 (p) v)

1gt~-1 (p fl3Q (p) h(~ (p) flf-J (p) 11)


para todo p E n Up



7 o 1 (p v) 1gt1 (p hO (p) ti)




manifold suave lvI




UxlR



(34)








Wu U x IRT

por r









f3a en la forma




enj (p)

2 r

ltp31 (p =1

T













por











n Uiexcl3 (35)



ltp~1 (1 g(3o (p) 8u (p))






s (p) = Lr

(p) e(p) =1








(36)



k=l












(iexcl) =










l ti

E--E o


o

O-E~



(xiquest ) entonces

E Un x~t-I = = r~ O








J=l) 11~r A=l n-r


a a










es isomorfa a 9







[(V) n

(b 1 bullbull bT


















1O~E E--gtE O


o~) [
















(p gacgt (p) v)










n

a I JJ



Jacobiana

(p) = [oa3 (p)]orX

I J=l ~not





(37)


(X f)(p) X(p)fp




+-a~n-

iacutel (i) OAllu

U uc~




a~










(4) [X Y] (fu) f[X Y] 9 + 9 [X Y] J






f(gX(Yh)) g(fY(Xh))







352 Fibrado dual






GL(rR)














U~L [3


n




Liexcl3o(1o = a(3



j ux~


por A~t


Hom (7[ OtvI )







con inversa














eoJ











W uuml =


w o









1 Ulr bull


=det



bi L i



) que













(38)


(rw) (p) gp(w(q))



1 f (w + O) jCv

2 r (hw) (h o f) fw







j w=




y








f(iquestwJdyh) J e
















ul1 uV ulL av




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m

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()




l


r(w 1 O) r(w) r(O)

362 Suma de Whitney


y ltIgt~ rr -







es decir

han (p) g3u (1) (1) (p) o(p) ]

donde

y - GL




E )E = U pEM



(E ill E) 1 E E ti) (E () E)



y




heo (1)







E E U El pEA

EJ














V W ---) Hom(V W)











= U Elp wEkp

pEM



pf--gt (p)







j 1 Jr L 1 i






(39)


) V V ~ HomdV V k)


11

y= iquest iacutej 1


n a I

viv I p

n ()w J W

11





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Por tanto (310)

y en fOTrna similar






----)F T

E (J 1 1 7r (311)

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N f -) Al







F fE 7- E O 1 17f 1 7T

N id s- N M

















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-1 (0 t0 [




~ 1 ( PI bull




h IR x R -- ]R x R

() TI )--t ( T1 iexcl()


E (IR x U x IRh U U


(IR x



usando corchetes

-_~f E 11

t) E A Ixl 1

(11 t) E E Ixl gt 1 -~t) ]

l(-lt)] x =-1 [( 1 t )] x=l













son suaves










-1 1 o 1 ti) 01-1P o 11) y y~ Ya )





















1 -lI


2(iexcln) l


ArS (e 1 Xn+l)

y Xl iexcln

911 (Xl ) == ( 1 + Xn+ 1 bull 1 +



y


(2 y l 2yn 1_lyl2)






















(niexcl3)EAx B










X si 1 lt O4gt (x)

xj2 si x ~ O
















Hom (Ho Wd



o 1








(p 1 llo ~ I 0 1







x = 7r~ (v) -+ 7r~ (Tv) 7r~ (v)

y que y 7r~ (v) + 7r~ (Tv) = 7r (v) + Tv






( PIVo IV es suave











T E






YYo y l ()) 1









I





























u j bullbullbull

I ji~i~ u UT

si i lt j

si i gt j

23 Funciones suaves















o Jiu o pl = o f o







y



(W n Viexcl3) g~ IR















T = Iv 1 oT o Iw


(w T(v)w = (T(w) vv







Gr (T)J = Gr (~T)


rVViexcl)JYl )YTO




















1r (1) E Ovf (1r- 1 (V))


















(nm)(xy) (x+ny+m)









26 Espacio tangente


















Tp (M)




dada por

D((f) = (f deg )(0)



v (I) Dv (I) (21)


v(I g) v(I) + v(g)

v(OI) Ov(I) y

V (Ig) f (p) v (g) + v (I) 9 (p)













gt i




que










Op ---gt lR como

8~i I (Jp) = 8~i (J o ~-1) (~ (p)) p




y n

f = f(p) + Lxi i=1




n



n

f=f(1)+ Lxifi t=1


i=1 i=1 n






n



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p j=1










(Xi o ) (O)






















L (p) 1 ox (p) nXm



1 (g o )1 g1 o f 1













1 = Ln

j=l





r [( (U rp) v)] [( (U rp)



















(4) ljJ) X (u v) (4) w) (i q ) (u) + (i p ) (v))




















iexclfJofo














VJOfoltp-1 ooj








28 SUBMANIFOLDS 93









28 Submanifolds











V)Oi y~l =j


V nj(]Rk) j(y(U))











7J(p) = j(y(z)) = 7J(L(Z))




teorema anterior

28 SUB1IANIFOLDS 95


znu = p E U yA+I(p)

















(z)D= (z)


1


un = O




28 SUBMANIFOLDS 97




















1J(z)





9928 SUBMANIFOLDS


o 0










manifolds













f(M) y z) E





T


g y) (iexcl2+ y2+__ R2_r2)2+4R2z2






el p E lvf f(p) O









29 Orientacioacuten




















(p)

Iv () ~ [

(]Y)























entable


-1 r Ps o PN (1) = ~ c el O











ejemplos anterioTes













que










11 alel a2c2 + a3e3

tu blel b2C2+bIC3


l [ a2

11 x W = (et b 2









y nuz(q))

nu((q)) = ))1-I~(-(nu z q







implica que

Jvu





cual se deduce que



nu nv

jnul




tanto












el semiacuteplano o




















1 P(j (Un n U(j) -4 f (Uex n U13)

son suaves








un entorno de (p)







bull





o

son Smiddotlaves




















-1



bull






(Blv[ OJ 18111)


1 el disco

2 y) + 1 lt l l (1 y) + 11 1 Olt Y

2 el disco


4 el Cuadmdo


5 el cuadrado



7 el cuadrado




entre IvI Y N








2102 Tangente











rial real











T p










tal que rp(p) = 0 y


con a n O


b1 )DI1 ~ + bn~ 1 uIL o

con b lt O

2103 Diferencial






























1 f es inyectitJa


















Pp(DrlUp) UprllE[n






Chapter 3








121




1 El diagrama


Ir priexcl U



ltPup ltPu








ysea





T (8) = l e E


que


igualdades





y del hecho de que




uumlEIi


nEfIacute EA








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gOOc = Id en Un






I f-l (31)f8 9Jo o





















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implica que



-1 () (p)-l v) lt])I(p 9~(l (p) fa (p)-lv)


o 7 o p V


lO 713 (19130 (p) v)













nU (32)Id en U



U nxUnxIRT

EA




EA


ltlgtB( pv)])


(p g3 (p) v)









y


- l (U) T1T o---f






(aa)


hj3 =



(p) 11) 701gt-1 (pv)

7 o 1gt-1 (p ga(3 (p) 11)

1gt 1 ([1 hu (p) flO(3 (p) v)

1gt~-1 (p fl3Q (p) h(~ (p) flf-J (p) 11)


para todo p E n Up



7 o 1 (p v) 1gt1 (p hO (p) ti)




manifold suave lvI




UxlR



(34)








Wu U x IRT

por r









f3a en la forma




enj (p)

2 r

ltp31 (p =1

T













por











n Uiexcl3 (35)



ltp~1 (1 g(3o (p) 8u (p))






s (p) = Lr

(p) e(p) =1








(36)



k=l












(iexcl) =










l ti

E--E o


o

O-E~



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E Un x~t-I = = r~ O








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es isomorfa a 9







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(b 1 bullbull bT


















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n

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Jacobiana

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I J=l ~not





(37)


(X f)(p) X(p)fp




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U uc~




a~










(4) [X Y] (fu) f[X Y] 9 + 9 [X Y] J






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352 Fibrado dual






GL(rR)














U~L [3


n




Liexcl3o(1o = a(3



j ux~


por A~t


Hom (7[ OtvI )







con inversa














eoJ











W uuml =


w o









1 Ulr bull


=det



bi L i



) que













(38)


(rw) (p) gp(w(q))



1 f (w + O) jCv

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j w=




y








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362 Suma de Whitney


y ltIgt~ rr -







es decir

han (p) g3u (1) (1) (p) o(p) ]

donde

y - GL




E )E = U pEM



(E ill E) 1 E E ti) (E () E)



y




heo (1)







E E U El pEA

EJ














V W ---) Hom(V W)











= U Elp wEkp

pEM



pf--gt (p)







j 1 Jr L 1 i






(39)


) V V ~ HomdV V k)


11

y= iquest iacutej 1


n a I

viv I p

n ()w J W

11





1 d tl~



Por tanto (310)

y en fOTrna similar






----)F T

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t) E A Ixl 1

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l(-lt)] x =-1 [( 1 t )] x=l



























1 -lI


2(iexcln) l


ArS (e 1 Xn+l)

y Xl iexcln

911 (Xl ) == ( 1 + Xn+ 1 bull 1 +



y


(2 y l 2yn 1_lyl2)






















(niexcl3)EAx B










X si 1 lt O4gt (x)

xj2 si x ~ O
















Hom (Ho Wd



o 1








(p 1 llo ~ I 0 1







x = 7r~ (v) -+ 7r~ (Tv) 7r~ (v)

y que y 7r~ (v) + 7r~ (Tv) = 7r (v) + Tv






( PIVo IV es suave











T E






YYo y l ()) 1









I





























u j bullbullbull

I ji~i~ u UT

si i lt j

si i gt j

23 Funciones suaves















o Jiu o pl = o f o







y



(W n Viexcl3) g~ IR















T = Iv 1 oT o Iw


(w T(v)w = (T(w) vv







Gr (T)J = Gr (~T)


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1r (1) E Ovf (1r- 1 (V))


















(nm)(xy) (x+ny+m)









26 Espacio tangente


















Tp (M)




dada por

D((f) = (f deg )(0)



v (I) Dv (I) (21)


v(I g) v(I) + v(g)

v(OI) Ov(I) y

V (Ig) f (p) v (g) + v (I) 9 (p)













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que










Op ---gt lR como

8~i I (Jp) = 8~i (J o ~-1) (~ (p)) p




y n

f = f(p) + Lxi i=1




n



n

f=f(1)+ Lxifi t=1


i=1 i=1 n






n



n li











p j=1










(Xi o ) (O)






















L (p) 1 ox (p) nXm



1 (g o )1 g1 o f 1













1 = Ln

j=l





r [( (U rp) v)] [( (U rp)



















(4) ljJ) X (u v) (4) w) (i q ) (u) + (i p ) (v))




















iexclfJofo














VJOfoltp-1 ooj








28 SUBMANIFOLDS 93









28 Submanifolds











V)Oi y~l =j


V nj(]Rk) j(y(U))











7J(p) = j(y(z)) = 7J(L(Z))




teorema anterior

28 SUB1IANIFOLDS 95


znu = p E U yA+I(p)

















(z)D= (z)


1


un = O




28 SUBMANIFOLDS 97




















1J(z)





9928 SUBMANIFOLDS


o 0










manifolds













f(M) y z) E





T


g y) (iexcl2+ y2+__ R2_r2)2+4R2z2






el p E lvf f(p) O









29 Orientacioacuten




















(p)

Iv () ~ [

(]Y)























entable


-1 r Ps o PN (1) = ~ c el O











ejemplos anterioTes













que










11 alel a2c2 + a3e3

tu blel b2C2+bIC3


l [ a2

11 x W = (et b 2









y nuz(q))

nu((q)) = ))1-I~(-(nu z q







implica que

Jvu





cual se deduce que



nu nv

jnul




tanto












el semiacuteplano o




















1 P(j (Un n U(j) -4 f (Uex n U13)

son suaves








un entorno de (p)







bull





o

son Smiddotlaves




















-1



bull






(Blv[ OJ 18111)


1 el disco

2 y) + 1 lt l l (1 y) + 11 1 Olt Y

2 el disco


4 el Cuadmdo


5 el cuadrado



7 el cuadrado




entre IvI Y N








2102 Tangente











rial real











T p










tal que rp(p) = 0 y


con a n O


b1 )DI1 ~ + bn~ 1 uIL o

con b lt O

2103 Diferencial






























1 f es inyectitJa


















Pp(DrlUp) UprllE[n






Chapter 3








121




1 El diagrama


Ir priexcl U



ltPup ltPu








ysea





T (8) = l e E


que


igualdades





y del hecho de que




uumlEIi


nEfIacute EA








1[ 1[












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gOOc = Id en Un






I f-l (31)f8 9Jo o





















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7 o (p v) = (p




implica que



-1 () (p)-l v) lt])I(p 9~(l (p) fa (p)-lv)


o 7 o p V


lO 713 (19130 (p) v)













nU (32)Id en U



U nxUnxIRT

EA




EA


ltlgtB( pv)])


(p g3 (p) v)









y


- l (U) T1T o---f






(aa)


hj3 =



(p) 11) 701gt-1 (pv)

7 o 1gt-1 (p ga(3 (p) 11)

1gt 1 ([1 hu (p) flO(3 (p) v)

1gt~-1 (p fl3Q (p) h(~ (p) flf-J (p) 11)


para todo p E n Up



7 o 1 (p v) 1gt1 (p hO (p) ti)




manifold suave lvI




UxlR



(34)








Wu U x IRT

por r









f3a en la forma




enj (p)

2 r

ltp31 (p =1

T













por











n Uiexcl3 (35)



ltp~1 (1 g(3o (p) 8u (p))






s (p) = Lr

(p) e(p) =1








(36)



k=l












(iexcl) =










l ti

E--E o


o

O-E~



(xiquest ) entonces

E Un x~t-I = = r~ O








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es isomorfa a 9







[(V) n

(b 1 bullbull bT


















1O~E E--gtE O


o~) [
















(p gacgt (p) v)










n

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Jacobiana

(p) = [oa3 (p)]orX

I J=l ~not





(37)


(X f)(p) X(p)fp




+-a~n-

iacutel (i) OAllu

U uc~




a~










(4) [X Y] (fu) f[X Y] 9 + 9 [X Y] J






f(gX(Yh)) g(fY(Xh))







352 Fibrado dual






GL(rR)














U~L [3


n




Liexcl3o(1o = a(3



j ux~


por A~t


Hom (7[ OtvI )







con inversa














eoJ











W uuml =


w o









1 Ulr bull


=det



bi L i



) que













(38)


(rw) (p) gp(w(q))



1 f (w + O) jCv

2 r (hw) (h o f) fw







j w=




y








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()




l


r(w 1 O) r(w) r(O)

362 Suma de Whitney


y ltIgt~ rr -







es decir

han (p) g3u (1) (1) (p) o(p) ]

donde

y - GL




E )E = U pEM



(E ill E) 1 E E ti) (E () E)



y




heo (1)







E E U El pEA

EJ














V W ---) Hom(V W)











= U Elp wEkp

pEM



pf--gt (p)







j 1 Jr L 1 i






(39)


) V V ~ HomdV V k)


11

y= iquest iacutej 1


n a I

viv I p

n ()w J W

11





1 d tl~



Por tanto (310)

y en fOTrna similar






----)F T

E (J 1 1 7r (311)

JN ----) M







rE E 1 17T

N f -) Al







F fE 7- E O 1 17f 1 7T

N id s- N M

















([xo 1]fo d


-1 (0 t0 [




~ 1 ( PI bull




h IR x R -- ]R x R

() TI )--t ( T1 iexcl()


E (IR x U x IRh U U


(IR x



usando corchetes

-_~f E 11

t) E A Ixl 1

(11 t) E E Ixl gt 1 -~t) ]

l(-lt)] x =-1 [( 1 t )] x=l











1 -lI


2(iexcln) l


ArS (e 1 Xn+l)

y Xl iexcln

911 (Xl ) == ( 1 + Xn+ 1 bull 1 +



y


(2 y l 2yn 1_lyl2)






















(niexcl3)EAx B










X si 1 lt O4gt (x)

xj2 si x ~ O
















Hom (Ho Wd



o 1








(p 1 llo ~ I 0 1







x = 7r~ (v) -+ 7r~ (Tv) 7r~ (v)

y que y 7r~ (v) + 7r~ (Tv) = 7r (v) + Tv






( PIVo IV es suave











T E






YYo y l ()) 1









I





























u j bullbullbull

I ji~i~ u UT

si i lt j

si i gt j

23 Funciones suaves















o Jiu o pl = o f o







y



(W n Viexcl3) g~ IR















T = Iv 1 oT o Iw


(w T(v)w = (T(w) vv







Gr (T)J = Gr (~T)


rVViexcl)JYl )YTO




















1r (1) E Ovf (1r- 1 (V))


















(nm)(xy) (x+ny+m)









26 Espacio tangente


















Tp (M)




dada por

D((f) = (f deg )(0)



v (I) Dv (I) (21)


v(I g) v(I) + v(g)

v(OI) Ov(I) y

V (Ig) f (p) v (g) + v (I) 9 (p)













gt i




que










Op ---gt lR como

8~i I (Jp) = 8~i (J o ~-1) (~ (p)) p




y n

f = f(p) + Lxi i=1




n



n

f=f(1)+ Lxifi t=1


i=1 i=1 n






n



n li











p j=1










(Xi o ) (O)






















L (p) 1 ox (p) nXm



1 (g o )1 g1 o f 1













1 = Ln

j=l





r [( (U rp) v)] [( (U rp)



















(4) ljJ) X (u v) (4) w) (i q ) (u) + (i p ) (v))




















iexclfJofo














VJOfoltp-1 ooj








28 SUBMANIFOLDS 93









28 Submanifolds











V)Oi y~l =j


V nj(]Rk) j(y(U))











7J(p) = j(y(z)) = 7J(L(Z))




teorema anterior

28 SUB1IANIFOLDS 95


znu = p E U yA+I(p)

















(z)D= (z)


1


un = O




28 SUBMANIFOLDS 97




















1J(z)





9928 SUBMANIFOLDS


o 0










manifolds













f(M) y z) E





T


g y) (iexcl2+ y2+__ R2_r2)2+4R2z2






el p E lvf f(p) O









29 Orientacioacuten




















(p)

Iv () ~ [

(]Y)























entable


-1 r Ps o PN (1) = ~ c el O











ejemplos anterioTes













que










11 alel a2c2 + a3e3

tu blel b2C2+bIC3


l [ a2

11 x W = (et b 2









y nuz(q))

nu((q)) = ))1-I~(-(nu z q







implica que

Jvu





cual se deduce que



nu nv

jnul




tanto












el semiacuteplano o




















1 P(j (Un n U(j) -4 f (Uex n U13)

son suaves








un entorno de (p)







bull





o

son Smiddotlaves




















-1



bull






(Blv[ OJ 18111)


1 el disco

2 y) + 1 lt l l (1 y) + 11 1 Olt Y

2 el disco


4 el Cuadmdo


5 el cuadrado



7 el cuadrado




entre IvI Y N








2102 Tangente











rial real











T p










tal que rp(p) = 0 y


con a n O


b1 )DI1 ~ + bn~ 1 uIL o

con b lt O

2103 Diferencial






























1 f es inyectitJa


















Pp(DrlUp) UprllE[n






Chapter 3








121




1 El diagrama


Ir priexcl U



ltPup ltPu








ysea





T (8) = l e E


que


igualdades





y del hecho de que




uumlEIi


nEfIacute EA








1[ 1[












Yo Un fl --) eL (1





fl Uf



gOOc = Id en Un






I f-l (31)f8 9Jo o





















fa (p)


7 o (p v) = (p




implica que



-1 () (p)-l v) lt])I(p 9~(l (p) fa (p)-lv)


o 7 o p V


lO 713 (19130 (p) v)













nU (32)Id en U



U nxUnxIRT

EA




EA


ltlgtB( pv)])


(p g3 (p) v)









y


- l (U) T1T o---f






(aa)


hj3 =



(p) 11) 701gt-1 (pv)

7 o 1gt-1 (p ga(3 (p) 11)

1gt 1 ([1 hu (p) flO(3 (p) v)

1gt~-1 (p fl3Q (p) h(~ (p) flf-J (p) 11)


para todo p E n Up



7 o 1 (p v) 1gt1 (p hO (p) ti)




manifold suave lvI




UxlR



(34)








Wu U x IRT

por r









f3a en la forma




enj (p)

2 r

ltp31 (p =1

T













por











n Uiexcl3 (35)



ltp~1 (1 g(3o (p) 8u (p))






s (p) = Lr

(p) e(p) =1








(36)



k=l












(iexcl) =










l ti

E--E o


o

O-E~



(xiquest ) entonces

E Un x~t-I = = r~ O








J=l) 11~r A=l n-r


a a










es isomorfa a 9







[(V) n

(b 1 bullbull bT


















1O~E E--gtE O


o~) [
















(p gacgt (p) v)










n

a I JJ



Jacobiana

(p) = [oa3 (p)]orX

I J=l ~not





(37)


(X f)(p) X(p)fp




+-a~n-

iacutel (i) OAllu

U uc~




a~










(4) [X Y] (fu) f[X Y] 9 + 9 [X Y] J






f(gX(Yh)) g(fY(Xh))







352 Fibrado dual






GL(rR)














U~L [3


n




Liexcl3o(1o = a(3



j ux~


por A~t


Hom (7[ OtvI )







con inversa














eoJ











W uuml =


w o









1 Ulr bull


=det



bi L i



) que













(38)


(rw) (p) gp(w(q))



1 f (w + O) jCv

2 r (hw) (h o f) fw







j w=




y








f(iquestwJdyh) J e
















ul1 uV ulL av




u(y z) 1




m

rw=

()




l


r(w 1 O) r(w) r(O)

362 Suma de Whitney


y ltIgt~ rr -







es decir

han (p) g3u (1) (1) (p) o(p) ]

donde

y - GL




E )E = U pEM



(E ill E) 1 E E ti) (E () E)



y




heo (1)







E E U El pEA

EJ














V W ---) Hom(V W)











= U Elp wEkp

pEM



pf--gt (p)







j 1 Jr L 1 i






(39)


) V V ~ HomdV V k)


11

y= iquest iacutej 1


n a I

viv I p

n ()w J W

11





1 d tl~



Por tanto (310)

y en fOTrna similar






----)F T

E (J 1 1 7r (311)

JN ----) M







rE E 1 17T

N f -) Al







F fE 7- E O 1 17f 1 7T

N id s- N M

















([xo 1]fo d


-1 (0 t0 [




~ 1 ( PI bull




h IR x R -- ]R x R

() TI )--t ( T1 iexcl()


E (IR x U x IRh U U


(IR x



usando corchetes

-_~f E 11

t) E A Ixl 1

(11 t) E E Ixl gt 1 -~t) ]

l(-lt)] x =-1 [( 1 t )] x=l








y


(2 y l 2yn 1_lyl2)






















(niexcl3)EAx B










X si 1 lt O4gt (x)

xj2 si x ~ O
















Hom (Ho Wd



o 1








(p 1 llo ~ I 0 1







x = 7r~ (v) -+ 7r~ (Tv) 7r~ (v)

y que y 7r~ (v) + 7r~ (Tv) = 7r (v) + Tv






( PIVo IV es suave











T E






YYo y l ()) 1









I





























u j bullbullbull

I ji~i~ u UT

si i lt j

si i gt j

23 Funciones suaves















o Jiu o pl = o f o







y



(W n Viexcl3) g~ IR















T = Iv 1 oT o Iw


(w T(v)w = (T(w) vv







Gr (T)J = Gr (~T)


rVViexcl)JYl )YTO




















1r (1) E Ovf (1r- 1 (V))


















(nm)(xy) (x+ny+m)









26 Espacio tangente


















Tp (M)




dada por

D((f) = (f deg )(0)



v (I) Dv (I) (21)


v(I g) v(I) + v(g)

v(OI) Ov(I) y

V (Ig) f (p) v (g) + v (I) 9 (p)













gt i




que










Op ---gt lR como

8~i I (Jp) = 8~i (J o ~-1) (~ (p)) p




y n

f = f(p) + Lxi i=1




n



n

f=f(1)+ Lxifi t=1


i=1 i=1 n






n



n li











p j=1










(Xi o ) (O)






















L (p) 1 ox (p) nXm



1 (g o )1 g1 o f 1













1 = Ln

j=l





r [( (U rp) v)] [( (U rp)



















(4) ljJ) X (u v) (4) w) (i q ) (u) + (i p ) (v))




















iexclfJofo














VJOfoltp-1 ooj








28 SUBMANIFOLDS 93









28 Submanifolds











V)Oi y~l =j


V nj(]Rk) j(y(U))











7J(p) = j(y(z)) = 7J(L(Z))




teorema anterior

28 SUB1IANIFOLDS 95


znu = p E U yA+I(p)

















(z)D= (z)


1


un = O




28 SUBMANIFOLDS 97




















1J(z)





9928 SUBMANIFOLDS


o 0










manifolds













f(M) y z) E





T


g y) (iexcl2+ y2+__ R2_r2)2+4R2z2






el p E lvf f(p) O









29 Orientacioacuten




















(p)

Iv () ~ [

(]Y)























entable


-1 r Ps o PN (1) = ~ c el O











ejemplos anterioTes













que










11 alel a2c2 + a3e3

tu blel b2C2+bIC3


l [ a2

11 x W = (et b 2









y nuz(q))

nu((q)) = ))1-I~(-(nu z q







implica que

Jvu





cual se deduce que



nu nv

jnul




tanto












el semiacuteplano o




















1 P(j (Un n U(j) -4 f (Uex n U13)

son suaves








un entorno de (p)







bull





o

son Smiddotlaves




















-1



bull






(Blv[ OJ 18111)


1 el disco

2 y) + 1 lt l l (1 y) + 11 1 Olt Y

2 el disco


4 el Cuadmdo


5 el cuadrado



7 el cuadrado




entre IvI Y N








2102 Tangente











rial real











T p










tal que rp(p) = 0 y


con a n O


b1 )DI1 ~ + bn~ 1 uIL o

con b lt O

2103 Diferencial






























1 f es inyectitJa


















Pp(DrlUp) UprllE[n






Chapter 3








121




1 El diagrama


Ir priexcl U



ltPup ltPu








ysea





T (8) = l e E


que


igualdades





y del hecho de que




uumlEIi


nEfIacute EA








1[ 1[












Yo Un fl --) eL (1





fl Uf



gOOc = Id en Un






I f-l (31)f8 9Jo o





















fa (p)


7 o (p v) = (p




implica que



-1 () (p)-l v) lt])I(p 9~(l (p) fa (p)-lv)


o 7 o p V


lO 713 (19130 (p) v)













nU (32)Id en U



U nxUnxIRT

EA




EA


ltlgtB( pv)])


(p g3 (p) v)









y


- l (U) T1T o---f






(aa)


hj3 =



(p) 11) 701gt-1 (pv)

7 o 1gt-1 (p ga(3 (p) 11)

1gt 1 ([1 hu (p) flO(3 (p) v)

1gt~-1 (p fl3Q (p) h(~ (p) flf-J (p) 11)


para todo p E n Up



7 o 1 (p v) 1gt1 (p hO (p) ti)




manifold suave lvI




UxlR



(34)








Wu U x IRT

por r









f3a en la forma




enj (p)

2 r

ltp31 (p =1

T













por











n Uiexcl3 (35)



ltp~1 (1 g(3o (p) 8u (p))






s (p) = Lr

(p) e(p) =1








(36)



k=l












(iexcl) =










l ti

E--E o


o

O-E~



(xiquest ) entonces

E Un x~t-I = = r~ O








J=l) 11~r A=l n-r


a a










es isomorfa a 9







[(V) n

(b 1 bullbull bT


















1O~E E--gtE O


o~) [
















(p gacgt (p) v)










n

a I JJ



Jacobiana

(p) = [oa3 (p)]orX

I J=l ~not





(37)


(X f)(p) X(p)fp




+-a~n-

iacutel (i) OAllu

U uc~




a~










(4) [X Y] (fu) f[X Y] 9 + 9 [X Y] J






f(gX(Yh)) g(fY(Xh))







352 Fibrado dual






GL(rR)














U~L [3


n




Liexcl3o(1o = a(3



j ux~


por A~t


Hom (7[ OtvI )







con inversa














eoJ











W uuml =


w o









1 Ulr bull


=det



bi L i



) que













(38)


(rw) (p) gp(w(q))



1 f (w + O) jCv

2 r (hw) (h o f) fw







j w=




y








f(iquestwJdyh) J e
















ul1 uV ulL av




u(y z) 1




m

rw=

()




l


r(w 1 O) r(w) r(O)

362 Suma de Whitney


y ltIgt~ rr -







es decir

han (p) g3u (1) (1) (p) o(p) ]

donde

y - GL




E )E = U pEM



(E ill E) 1 E E ti) (E () E)



y




heo (1)







E E U El pEA

EJ














V W ---) Hom(V W)











= U Elp wEkp

pEM



pf--gt (p)







j 1 Jr L 1 i






(39)


) V V ~ HomdV V k)


11

y= iquest iacutej 1


n a I

viv I p

n ()w J W

11





1 d tl~



Por tanto (310)

y en fOTrna similar






----)F T

E (J 1 1 7r (311)

JN ----) M







rE E 1 17T

N f -) Al







F fE 7- E O 1 17f 1 7T

N id s- N M

















([xo 1]fo d


-1 (0 t0 [




~ 1 ( PI bull




h IR x R -- ]R x R

() TI )--t ( T1 iexcl()


E (IR x U x IRh U U


(IR x



usando corchetes

-_~f E 11

t) E A Ixl 1

(11 t) E E Ixl gt 1 -~t) ]

l(-lt)] x =-1 [( 1 t )] x=l







MANIFOLDS SUAVES Y SUS MORFISMOS

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