Makalah Relasi Fungsi Satu Fix

Relasi Fungsi Satu-Satu, Relasi Onto, Relasi Into (Domain, Kodomain, Range),

Komposisi Fungsi, Fungsi Invers

1.1. Definisi Relasi

Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke

anggota himpunan lain. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah

perkawanan atau pemasangan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A

ke anggota-anggota himpunan B.

Bila diketahui anggota himpunan A = {0,1,2,5}; B = {1, 2, 4, 6} maka relasi

dari himpunan A ke himpunan B dapat disajikan dalam bentuk diagram panah,

diagram cartesius, himpunan pasangan berurutan.

a. Diagram panah

Cara membuat relasi dengan diagram panah adalah :

Himpunan pertama atau himpunan A diletakkan di sebelah kiri.

Himpunan kedua atau himpunan B diletakkan di sebelah kanan.

Buatlah anak panah menunjukkan relasi antara himpunan A dengan

himpunan B.

Contoh :

b. Diagram cartesius

Cara membuat relasi dengan diagram Cartesius adalah:

Anggota himpunan pertama atau himpunan A diletakkan pada sumbu

horizontal (sumbu x).

Anggota himpunan kedua atau himpunan B diletakkan pada sumbu

vertical (sumbu y).

Buatlah Noktah (∙) yang menunjukkan relasi antara himpunan A

dengan himpunan B. 

1

Contoh :

c. Himpunan pasangan berurutan

R = {(0,1) (1,2) (2,3) (5,6)}

1.2. Definisi Fungsi

Fungsi merupakan bagian dari relasi, dikatakan fungsi jika setiap anggota

himpunan A memiliki pasangan tepat satu di anggota himpunan B, seperti pada

gambar berikut :

Sekarang amati Gambar 1.2(a).

Pada relasi {(x , y )∨ y=x2 ; x , y∈R }, setiap unsur pada daerah asal dihubungkan

dengan satu dan hanya satu unsur pada daerah hasil; –2 dihubungan dengan 4, –1

2

dengan 1, 0 dengan 0, 1 dengan 1, 2 dengan 4, dan seterusnya. Relasi {(x, y)|y = 2x;

x, y∈R} dan relasi{(x, y)|y = x2; x, y∈R} disebut fungsi.

Berbeda dengan Gambar 1.2(b),

yaitu relasi {(x, y)|x2 + y2= 25; x, y∈R}. Pada relasi ini, untuk nilai x yang sama

misalnya x = 3, terdapat dua nilai y yang berbeda, yaitu y = 4 dan y = –4.

Jadi, relasi {(x, y)|x2 + y2 = 25; x, y∈R) bukan fungsi.

1.3. Definisi Domain, Kodomain, Range

Jika f adalah suatu fungsi dari A ke B maka :

Himpunan A disebut sebagai domain atau daerah asal.

Himpunan B disebut sebagai kodomain atau daerah kawan.

Himpunan B yang berpasangan disebut Range atau daerah hasil.

Aturan memasangkan anggota himpunan A ke anggota himpunan B disebut aturan

fungsi

a. f : A → B dinotasikan dengan f(x).

b. g :C → D dinotasikan dengan g(x).

1.4. Macam-Macam Fungsi

a. Fungsi Konstan (Fungsi Tetap)

Fungsi f : A → B ditentukan dengan rumus f(x) disebut fungsi konstan

bila setiap anggota domain selalu berlaku f(x) = C dan C merupakan bilangan

konstan. Contoh :

3

b. Fungsi Linear

Suatu fungsi disebut linear jika fungsi tersebut memenuhi rumus fungsi

f(x) = a + b dimana a ≠ 0, a dan b bilangan konstan. Grafik dari fungsi linear

ini berupa garis lurus.

c. Fungsi Kuadrat

Suatu fungsi disebut fungsi kuadrat jika fungsi tersebut memenuhi

rumus f(x) = ax2 + bx +c, dengan a, b, c bilangan konstan. Grafik fungsi

kuadrat berbentuk parabola.

4

d. Fungsi Identitas

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi identitas jika setiap anggota domain

fungsi f(x) = x atau setiap anggota domain x fungsi dipetakan pada dirinya

sendiri. Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melewati titik asal dan

semua titik absis atau ordinatnya sama. Fungsi identitas ditentukan oleh

f(x) = x

.

e. Fungsi Modulus

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus atau fungsi mutlak apabila

fungsi ini memetakan setiap unsur di domain ke suatu nilai positif atau nol,

yaitu f : A → B∋ f ( x )=|x|, dengan a∋D .

5

1.5. Sifat Fungsi

a. Relasi Fungsi Satu-Satu.

f : A → B merupakan fungsi satu-satu (injektif) jika setiap unsur yang berbeda

di A memiliki peta yang saling beda. Fungsi satu-satu digambarkan sebagai

berikut.

Contoh:

Adapun fungsi pada A = {bilangan asli} 

yang didefinisikan dengan f(x) = 2x 

adalah fungsi satu-satu, sebab kelipatan 

dua dari setiap dua bilangan yang

berlainan adalah berlainan pula.

b. Relasi Fungsi Onto (Surjektif)

f : A → B merupakan fungsi onto atau fungsi pada (surjektif) jika setiap unsur

di B memiliki minimal satu kawan di A. Fungsi onto atau pada digambarkan

sebagai berikut.

Contoh:

Misal A = {a, b, c, d} dan B = {x, y, z} dan fungsi f: A → B yang didefinisikan dengan diagram panah adalah suatu fungsi yang surjektif.

6

c. Relasi Fungsi Into (Bijektif).

f : A → B merupakan fungsi into (bijektif) jika memiliki sifat injektif dan

surjektif. Fungsi Into digambarkan sebagai berikut

Contoh:

Relasi dari himpunan A = {a, b, c} ke himpunan B =

{p,q, r} yang didefinisikan sebagai diagram di samping

adalah salah satu fungsi bijektif.

1.6 Aljabar Fungsi.

Misalkan f(x) dan g(x) adalah dua fungsi, dan x ∈R .Operasi aljabar pada fungsi

dapat dinyatakan sebagai berikut:

1. ( f +g ) (x )=f ( x )+g (x ) , x∈ ( D1+D 2 )

2. ( f −g ) ( x )=f ( x )−g ( x ) , x∈ ( D1+D2 )

3. ( f × g ) (x )=f ( x )× g (x ) , x∈ ( D1+D 2)

4. ( fg ) ( x )= f (x )

g ( x ), x∈ ( D1+D2 ) , g ≠ 0

5. f ( x )=[ f ( x )n, x∈ Df

Contoh :

7

1.7 Fungsi Komposisi.

Fungsi hasil pengkombinasian atau penggabungan satu fungsi dengan fungsi

yang lain dengan syarat tertentu disebut fungsi komposisi.

Jika f : A → B yang dinyatakan dengan pasangan terurut f = { (x,y) | x∈ A dan

y∈B} dan g :B → C yang dinyatakan dengan pasangan terurut g = {(x,y)| x∈B

dan y∈C} dengan fungsi H adalah komposisi f dan g. Definisi ini digambarkan

sebagai berikut.

Fungsi h ( x )=( f ∘ g ) ( x )=f (g ( x )) adalah komposisi dari fungsi f dan g, dengan

demikian fungsi tersebut dinamakan fungsi komposisi. Sifat – sifat fungsi komposisi :

untuk ∀ x∈Rmaka:

8

Contoh :

1.8 Fungsi Invers.

Jika f : A → B yang dinyatakan dengan pasangan terurut f = { (x,y) | x∈ A dan

y∈B}, maka fungsi invers dari f adalah f−1: B → A yang dinyatakan dengan

f -1 ={(x,y) | x∈ A dan y∈B}. Definisi ini digambarkan sebagai berikut :

a. Teorema Fungsi Invers.

9

Misalkan f : A → B adalah fungsi bijektif dan f−1: A → B menyatakan fungsi

invers dari f yang juga bijektif.

f ( x )= y⟺ f−1 ( y )=x

Langkah – langkah menentukan fungsi invers :

1. Misalkan y = f(x), kemudian diubah menjadi bentuk x = g(y).

2. Tuliskan x sebagai f -1(y) sehingga f-1(y) = g(y).

3. Ubahlah huruf y dengan x sehingga diperoleh rumus fungsi invers f−1 (x ).

Grafik fungsi f−1 (x ) adalah pencerminan dari grafik fungsi f(x) terhadap garis

y = x.

Contoh :

Tentukan fungsi invers dari persamaan berikut f ( x )=3−2 dan f ( x )=3 x+42 x−1

Jawab:

1.9 Fungsi

Invers

dari Fungsi

Komposisi.

Teorema 1: jika f : A → Bbijektif dan f--1adalah fungsi invers dari f, maka

f ∘ f −1=f −1∘ f =I, dengan I fungsi idenitas.

Teorema 2: jika f : A → Bbijektif dang :B → Abijektif sehingga g∘ f =f ∘ g=I ,

maka g = f -1.

Teorema 3: misalkanf : A → Bbijektif dan g :B → Cbijektif, maka g∘ f : A → C

bijektif dan fungsi inversnya ¿. Sehingga ¿, jika f, g, dan h bijektif.

10