KOORDINAT Oleh: MAKALAH TENTANG GEOMETRI SYAFARUDDIN A1A3 14183 DOSEN PENGAMPU: SITTI FITRIAH NASIR, S.Pd.,M.Pd. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SEMBILANBELAS NOVEMBER KOLAKA 2016
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
KOORDINAT
Oleh:
MAKALAH
TENTANG
GEOMETRI
SYAFARUDDINA1A3 14183
DOSEN PENGAMPU:SITTI FITRIAH NASIR, S.Pd.,M.Pd.
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDKAN MATEMATIKAFAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SEMBILANBELAS NOVEMBER KOLAKA 2016
Descartes berpikir geometri adalah yang seperti digambarkan Euclid, dan angka
hanya membantu dalam mempelajari geometri. Tetapi kemudian ilmuwan
matematika menemukan objek dengan sifat "non-Euclidean", seperti "garis"
memiliki lebih dari satu garis sejajar yang melalui suatu titik tertentu. Untuk
memperjelas situasi ini, perlu untuk mendefinisikan titik, garis, panjang, dan
sebagainya, dan untuk membuktikan bahwa mereka memenuhi aksioma Euclid.
Hal dilakukan dengan bantuan koordinat, disebut arithmetization of geometry.
Pada tiga bagian pertama bab ini, kita lakukan langkah-langkah utama, yaitu
menggunakan himpunan R bilangan real untuk menentukan bidang Euclidean R2
dan titik, garis, dan lingkaran di dalamnya. Disini juga akan didefinisikan konsep
jarak dan sudut, dan akan ditunjukkan bagaimana beberapa aksioma dan teorema
penting mengikuti.
Ini memberikan gambaran aljabar konstruktibiliti dengan penggaris dan
jangka, yang memungkinkan untuk membuktikan bahwa bentuk tertentu tidak
konstruktibel.
Hal ini memungkinkan kita untuk mendefinisikan apa artinya "perpindahan"
bentuk geometri, yang memberikan kebenaran untuk bukti Euclid SAS, dan
memunculkan pertanyaan baru.
BAB IPENDAHULUAN
Sekitar tahun 1630, Pierre de Fermat dan Rene Descartes menemukan
keuntungan dari angka dalam geometri, sebagai koordinat. Descartes adalah yang
pertama memperkenalkan hal tersebut secara rinci dalam bukunya “Geometrie”
pada tahun 163. Oleh karena itu dia mendapatkan penghargaan besar untuk ide
dan pendekatan koordinat geometri yang dikenal sebagai Cartesian.
A.LATAR BELAKANG
Himpunan R bilangan riil adalah hasil dari mengisi kesenjangan dalam himpunan
Q bilangan rasional dengan bilangan irasional, seperti √2. Inovasi ini
memungkinkan untuk mempertimbangkan R sebagai garis, karena tidak memiliki
kesenjangan dan angka di dalamnya digunakan menjadi titik pada garis. Salah
satu tujuannya menggunakan R untuk membangun model untuk semua bidang
geometri Euclid: struktur yang mengandung "garis", "lingkaran", "ruas garis," dan
seterusnya, dengan semua sifat-sifat yang dibutuhkan oleh Euclid.
Langkah pertama adalah untuk membangun "bidang," dalam hal ini akan
membutuhkan sifat garis sejajar dalam geometri eculid. Bayangkan garis yang
saling tegak lurus, yang disebut sumbu x dan sumbu y, berpotongan pada titik O
yang disebut titik asal (Gambar 1). Sumbu adalah garis bilangan, dengan O adalah
angka 0 pada masing-masing sumbu, dan diasumsikan bahwa arah positif pada
sumbu x adalah ke kanan dan bahwa arah positif pada sumbu y adalah ke atas.
Gambar 1. Sumbu dan koordinat
Terdapat garis yang sejajar dengan sumbu y dan sumbu x melalui titik P. Kedua
garis bertemu sumbu x dan sumbu y pada a dan b disebut “x dan y” koordinat P.
Hal ini penting untuk mengetahui yang mana angka pada sumbu x dan yang mana
angka pada sumbu y. Karena jelas sangat berbeda antara x = 3 dan y = 4 dengan x
= 4 dan y = 3.
BAB IIPEMBAHASAN
2.1. Garis bilangan dan bidang bilangan
Dengan demikian, mengingat adanya garis bilangan R yang titik-titiknya adalah
bilangan real, maka terdapat bidang bilangan yang titiknya adalah pasangan
bilangan real. Yang biasa ditulis sebagai R × R atau R2.
Ketika koordinat diperkenalkan, memungkinkan untuk mendefinisikan bentuk
dari garis lurus yang dikenal sebagai gradien. Gradien adalah hasil bagi kenaikan
dan jarak dan yang lebih penting lagi bahwa nilai gradien tidak tergantung pada
dua titik pada garis yang menentukan kenaikan dan jarak tersebut. Perhatikan
gambar 2.
Gambar 2. Mengapa gradien sebuah garis konstan
Pada gambar di atas, terdapat dua ruas garis pada garis yang sama, yaitu:
AB, kenaikannya adalah |BC| dan jarak yang dilalui |AC|, dan
A’B’, kenaikannya adalah |B’C’| dan jarak yang dilalui |A’C’|.
Sudut α adalah sama karena AC dan A’C’ sejajar, dan sudut β adalah sama karena
BC dan B’C’ adalah sejajar. Begitu juga sudut di C dan C’ keduanya sudut siku-
siku. Jadi, segitiga ABC dan A’B’C’ sebangun, sehingga sisi yang bersesuaian
memiliki perbandingan yang proporsional.
|𝐵𝐶|
|𝐴𝐶|=
|𝐵’𝐶’|
𝐴’𝐶’
Oleh karena itu, gradien = konstan.
2.2 Garis dan persamaannya
Misal pada gambar 3, diberikan garis dengan gradien a yang memotong sumbu y
pada titik Q di mana y = c. Jika P = (x, y) adalah titik pada garis ini, maka
kenaikan dari Q ke P adalah y – c dan jaraknya adalah x.
𝐺𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛 = 𝑎 =𝑦 − 𝑐
𝑥
Dengan mengalikan kedua ruas dengan x, menjadi:
ax = y – c atau y = ax + c
Persamaan ini dipenuhi oleh semua titik di garis, dan oleh karenanya disebut
persamaan garis.
Gambar 3. Tipikal titik pada garis
Hampir semua garis memiliki persamaan ini, kecuali garis yang tidak melewati
sumbu y. Garis tersebut adalah garis vertikal, yang tidak memiliki kemiringan
seperti yang telah kita definisikan, meskipun bisa dikatakan memiliki kemiringan
yang tak terbatas. Seperti garis yang memiliki persamaan:
x = c, untuk c konstanta
Dengan demikian, semua garis memiliki persamaan:
ax + by + c = 0, untuk a, b dan c konstanta.
Disebut persamaan linear dalam variabel x dan y.
Secara khusus, jika garis didefinisikan sebagai himpunan titik-titik (x, y) pada
bidang bilangan yang memenuhi persamaan linier maka dapat dibuktikan
pernyataan berikut yang Euclid ambil sebagai aksioma:
Ada garis yang unik melalui dua titik yang berbeda,
Untuk setiap garis L dan titik P di luar L, ada garis yang unik melalui P tidak
bertemu dengan L.
Latihan
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1=
𝑦 − 𝑦1
𝑥 − 𝑥1 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥1 ≠ 𝑥2
2.2.3 Apa yang terjadi jika x2 = x1?
Tidak mengherankan garis sejajar adalah garis dengan gradien yang sama.
2.2.4 Tunjukkan bahwa garis yang berbeda y = ax + c dan y = a’x + c’ memiliki
satu titik yang sama kecuali mereka memiliki kemiringan yang sama (a =
a’). Tunjukkan bahwa hal ini juga terjadi ketika satu baris memiliki gradien
yang tak terbatas.
2.2.5 Jika L memiliki persamaan y = 3x, apa persamaan garis yang sejajar dengan
L dan melalui P = (2, 2)?
Penyelesaian
2.2.1 Persamaan garis : y = ax + c ... (1)
P1(x1, y1) terletak pada garis : y1 = ax1 + c ... (2)
P2(x2, y2) terletak pada garis : y2 = ax2 + c ... (3)
Diberikan titik yang berbeda P1 = (x1, y1) dan P2 = (x2, y2), misalkan P = (x, y)
adalah setiap titik pada garis melalui P1 dan P2.
2.2.1 Dengan persamaan gradien, tunjukkan bahwa x dan y memenuhi persamaan
2.2.2 Jelaskan mengapa persamaan yang ditemukan dalam Latihan 2.2.1 adalah
persamaan garis lurus.
Persamaan (1) dikurang persamaan (2), diperoleh:
y = ax + c
y1 = ax1 + c –
(y – y1) = a(x – x1)
Menjadi
𝑎 =𝑦 − 𝑦1
𝑥 − 𝑥1 … . (4)
Persamaan (3) dikurang persamaan (2), diperoleh:
y2 = ax2 + c
y1 = ax1 + c –
(y2 – y1) = a(x2 – x1)
Menjadi
𝑎 =𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1 … . (4)
Dari persamaan (4) dan (5), diperoleh:
𝑦 − 𝑦1
(𝑥 − 𝑥1) =
(𝑦2 – y1)
(𝑥2 – 𝑥1)
2.2.2 Karena (𝑦2 – y1)
(𝑥2 – 𝑥1) = gradien (a), sehingga persamaannya menjadi:
𝑦 − 𝑦1
(𝑥 − 𝑥1) = 𝑎
𝑦 − 𝑦1 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)
Adalah bentuk persamaan garis lurus yang melalui titik (x1, y1) dan gradien
a.
2.2.3 Jika x1 = x2, maka:
𝑦 − 𝑦1
(𝑥 − 𝑥1) =
(𝑦2 – y1)
(𝑥2 – 𝑥1)
𝑎 = 𝑦2 – y1
𝑥2 – 𝑥2
𝑎 = 𝑥 − 𝑥1
0
𝑎 = ∞
Jadi garis akan memiliki gradien tak terhingga atau berupa garis vertikal.
2.2.4 Karena a, a’ ≠ ∞, maka:
y = ax + c y = a’x + c’
x = 𝑦−𝑐
𝑎 x =
𝑦−𝑐′
𝑎′
Diperoleh:
𝑦 − 𝑐
𝑎=
𝑦 − 𝑐′
𝑎′
𝑦 − 𝑐 𝑎′ = 𝑦 − 𝑐′ 𝑎
𝑎′𝑦 − 𝑎′𝑐 = 𝑎𝑦 − 𝑎𝑐′
𝑎′𝑦 − 𝑎𝑦 = 𝑎′𝑐 − 𝑎𝑐′
𝑦 𝑎′ − 𝑎 = 𝑎′𝑐 − 𝑎𝑐′
𝑦 =𝑎′𝑐 − 𝑎𝑐′
𝑎′ − 𝑎
Subtitusikan y ke salah satu persamaan di atas:
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑐
𝑎′𝑐 − 𝑎𝑐′
𝑎′ − 𝑎= 𝑎𝑥 + 𝑐
𝑎′𝑐 − 𝑎𝑐′
𝑎′ − 𝑎−
𝑐(𝑎′ − 𝑎)
𝑎′ − 𝑎= 𝑎𝑥
𝑎′𝑐 − 𝑎𝑐′ − 𝑎′𝑐 + 𝑎𝑐
𝑎′ − 𝑎= 𝑎𝑥
𝑎𝑐 − 𝑎𝑐′
𝑎′ − 𝑎= 𝑎𝑥
𝑎(𝑐 − 𝑐′)
𝑎′ − 𝑎= 𝑎𝑥
𝑐 − 𝑐′
𝑎′ − 𝑎= 𝑥
Jadi titik koordinat pada perpotongan kedua garis tersebut adalah
𝑐−𝑐 ′
𝑎 ′ −𝑎,𝑎 ′ 𝑐−𝑎𝑐′
𝑎 ′ −𝑎
Jika a = a’, maka pembaginya akan sama dengan 0, dan titik tersebut tidak
terdefinisi.
Jika salah satu gradien garisnya adalah ∞ maka bentuk garis tersebut
tentunya x = n untuk n ∈ R. Maka titik potongnya adalah (n, an + c)
2.2.5 Persamaan garis yang sejajar dengan L dan melalui titik P(2, 2)
L ≡ y = 3x , jadi L memiliki gradien = 3.
Persamaan garis yang melalui satu titik dan gradien tertentu:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 2 = 3 𝑥 − 2
𝑦 − 2 = 3𝑥 − 6
𝑦 = 3𝑥 − 4
2.3 Jarak
Misalkan P1 = (x1, y1) dan P2 = (x2, y2) adalah dua titik di R2, membentuk
koordinat segitiga siku-siku seperti yang ditunjukkan pada gambar 4, dan |P1P2|
adalah panjang sisi miringnya.
Gambar 4. Segitiga yang mendefinisikan jarak
Sisi vertikal segitiga memiliki panjang y2 – y1, dan sisi horizontal memiliki
panjang x2 – x1. Berdasarkan teorema Pythagoras:
|P1P2|2 = (x2 – x1)
2 + (y2 – y1)
2
dan karena itu,
|𝑃1𝑃2| = (𝑥2 – 𝑥1)2 + (𝑦2 – 𝑦1)2
Persamaan lingkaran
Rumus jarak di atas mengarah langsung ke persamaan lingkaran, sebagai berikut.
Misalkan kita memiliki lingkaran dengan jari-jari r dan pusat di titik P = (a, b).
Kemudian setiap titik Q = (x, y) pada lingkaran berada pada jarak r dari P, dan
karenanya rumus di atas memberikan:
𝑟 = |PQ| = (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2
Dengan mengkuadratkan kedua sisi, didapatkan:
𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2
Ini disebut persamaan lingkaran karena memenuhi setiap titik (x, y) pada
lingkaran.
Garis berjarak sama dari dua titik
Sebuah lingkaran adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama dari titik
pusatnya. Apa himpunan titik-titik yang berjarak sama dari dua titik di R2?
Himpunan titik-titik yang berjarak sama dari dua titik adalah garis.
Untuk melihat mengapa, diberikan dua titik P1 = (a1, b1) dan P2 = (a2, b2).
Kemudian titik P = (x, y) berjarak sama dari P1 dan P2 jika |PP1| = |PP2|, yaitu
jika x dan y memenuhi persamaan
(𝑥 − 𝑎1)2 + (𝑦 − 𝑏1)2 = (𝑥 − 𝑎2)2 + (𝑦 − 𝑏2)2
𝑥 − 𝑎1 2 + 𝑦 − 𝑏1
2 = 𝑥 − 𝑎2 2 + 𝑦 − 𝑏2
2
𝑥2 − 2𝑎1𝑥 + 𝑎12 + 𝑦2 − 2𝑏1𝑦 + 𝑏1
2 = 𝑥2 − 2𝑎2𝑥 + 𝑎22 + 𝑦2 − 2𝑏2𝑦 + 𝑏2
2
−2𝑎1𝑥 + 𝑎12 − 2𝑏1𝑦 + 𝑏1
2 = −2𝑎2𝑥 + 𝑎22 − 2𝑏2𝑦 + 𝑏2
2
−2𝑎1𝑥 + 𝑎12 − 2𝑏1𝑦 + 𝑏1
2 + 2𝑎2𝑥 − 𝑎22 + 2𝑏2𝑦 − 𝑏2
2 = 0
2(𝑎2 − 𝑎1)𝑥 + 2(𝑏2 − 𝑏1)𝑦 + (𝑎12 − 𝑎2
2) + (𝑏12 − 𝑏2
2) = 0
Dengan demikian, titik P = (x, y) berjarak sama dari P1 dan P2 bentuk garis.
Latihan
Persamaan garis dan lingkaran memungkinkan untuk membuktikan banyak
teorema geometris oleh aljabar, seperti yang disadari Descartes. Bahkan , mereka
memperluas lingkup geometri dengan memungkinkan banyak kurva yang akan
dijelaskan oleh persamaan . Tapi aljabar juga berguna dalam membuktikan bahwa
jumlah tertentu tidak sama. Salah satu contoh adalah ketaksamaan segitiga.
2.3.1 Misalkan sebuah segitiga , untuk memudahkan ambil satu titik sudut di O =
(0, 0), P = (x1 ,0) dengan x1 > 0, dan Q = (x2, y2). Tunjukkan bahwa
𝑂𝑃 = 𝑥1 , 𝑃𝑄 = (𝑥2 − 𝑥1)2 + 𝑦22, 𝑂𝑄 = 𝑥2
2 + 𝑦22
Ketaksamaan segitiga menyatakan bahwa |OP| + |PQ| > |OQ| (setiap dua sisi
segitiga bersama-sama lebih besar dari sisi ketiga). Untuk membuktikan
pernyataan ini, itu sudah cukup untuk menunjukkan bahwa