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775
20
Anlisis ssmico y respuesta de edificios inelsticos
AVANCE
Como se mencion en el captulo 7, se esperara que la mayora de
los edificios se deforme ms all del lmite del comportamiento
elstico lineal cuando se somete a un fuerte movi-miento del
terreno. Por lo tanto, la respuesta ssmica de los edificios que se
deforman en su intervalo inelstico es de vital importancia en la
ingeniera ssmica. Este captulo abarca ciertos aspectos de este
basto tema, y est organizado en dos partes.
En la parte A se aborda un anlisis riguroso sobre la historia de
la respuesta no lineal. Se mencionan las ecuaciones que controlan
el movimiento y las diferencias entre las me-todologas para
resolver estas ecuaciones en el caso de los sistemas de VGDL
inelsticos, y en el de los sistemas elsticos. Enseguida, se
demuestra que la respuesta inelstica de los edificios tiene una
gran influencia de los supuestos realizados al idealizar o modelar
la es-tructura, por los efectos P- de segundo orden de las cargas
gravitatorias que actan sobre el estado deformado lateralmente de
la estructura y por la variacin detallada del movimien-to del
terreno con el tiempo. Estos factores influyen ms en la respuesta
de las estructuras que se deforman en su intervalo inelstico que
sobre aquellas que se mantienen elsticas. Despus, se demuestra que
las demandas de ductilidad de entrepiso y su variacin con la altura
dependen de las resistencias a la cedencia relativas de las vigas
contra las columnas y de las resistencias a la cedencia relativas
de los diferentes niveles. A continuacin se iden-tifican las
diferencias entre las demandas de ductilidad impuestas por la
excitacin ssmica en los edificios de varios niveles y en un sistema
de 1GDL, ambos diseados para el mismo cortante basal, lo cual
culmina en un anlisis cuantitativo del aumento en la resistencia
ne-cesario para limitar las demandas de ductilidad en un edificio
de varios niveles por debajo del factor de ductilidad para un
sistema de 1GDL.
En la actualidad el anlisis riguroso en la historia de la
respuesta no lineal es una tarea ardua por varios motivos y un
requisito poco razonable para cualquier edificio (sin importar qu
tan simple sea) y para cualquier oficina de ingeniera estructural
(sin importar qu tan
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Anlisis ssmico y respuesta de edificios inelsticos Captulo
20776
pequea sea); por ello, en la parte B del captulo se desarrollan
procedimientos de anlisis aproximado. Mediante el uso de la
expansin modal de las fuerzas ssmicas efectivas, se de-sarrollan
dos procedimientos de anlisis aproximado para los edificios
inelsticos: el anlisis de la historia de la respuesta modal
desacoplada y el anlisis pushover modal . El procedi-miento de la
historia de la respuesta modal, que no est diseado para su
aplicacin prctica, se desarrolla slo para proporcionar una
justificacin del procedimiento pushover modal. En este ltimo
procedimiento, las demandas ssmicas debidas a los trminos
individuales de la expansin modal de las fuerzas ssmicas efectivas
se determinan mediante anlisis estticos no lineales utilizando las
distribuciones de las fuerzas de inercia modales y las respuestas
mximas modales se combinan mediante las reglas de combinacin modal
con el fin de estimar la respuesta total. Se identifican las
aproximaciones principales en el procedimiento pushover modal y la
exactitud del procedimiento se evala al comparar las demandas
estima-das con los resultados del anlisis riguroso en la historia
de la respuesta no lineal para varios edificios. Por ltimo, se
simplifica el anlisis pushover modal para su aplicacin prctica, con
el fin de estimar las demandas ssmicas y as evaluar los edificios
existentes.
PARTE A: ANLISIS DE LA HISTORIA DE LA RESPUESTA NO LINEAL
20.1 ECUACIONES DE MOVIMIENTO: FORMULACIN Y SOLUCIN
El trmino de la fuerza restauradora en las ecuaciones de
movimiento para un edificio elstico de varios niveles (ecuacin
13.2.1) se modifica para reconocer el comportamiento inelstico del
edificio. La relacin fuerza-deformacin para cada elemento
estructural sometido a defor-maciones cclicas ahora es no lineal e
histertica. La curva de carga inicial es no lineal en las
amplitudes de deformacin grandes y las curvas de descarga y carga
difieren de la rama de carga inicial. Los experimentos con
componentes estructurales han proporcionado las relacio-nes de
fuerza-deformacin (o leyes constitutivas) apropiadas para varios
tipos de elementos estructurales (vigas, columnas, muros,
refuerzos, etctera) usando una variedad de materiales estructurales
(acero, concreto reforzado, mampostera, madera, etctera) (vea la
figura 7.1.1).
Para los sistemas inelsticos la relacin no lineal entre las
fuerzas laterales fS en los N niveles y los desplazamientos
laterales de nivel u resultantes dependen de la trayectoria; es
decir, dependen de si la deformacin aumenta o disminuye durante el
paso de tiempo:
fS = fS(u) (20.1.1)
Con esta generalizacin para los sistemas inelsticos, la ecuacin
(13.2.1) se convierte en
mu+ cu+ fS(u) = m ug(t) (20.1.2)
donde m, c y son como se definieron en la seccin 13.2. Esta
ecuacin matricial representa N ecuaciones diferenciales no lineales
para los N desplazamientos de nivel uj(t), j = 1, 2, ..., N. Dadas
la matriz de masa estructural m, la matriz de amortiguamiento c, la
relacin inelstica de fuerza-deformacin fS(u), y la aceleracin del
terreno g(t), el anlisis de la historia de la respuesta no lineal
requiere una solucin numrica de la ecuacin (20.1.2) para obtener la
respuesta de desplazamiento de la estructura; por otro lado, las
fuerzas in-ternas pueden determinarse a partir de los
desplazamientos.
La formulacin de las ecuaciones diferenciales no lineales, en
particular el trmino fS(u), exige una gran cantidad clculos. La
matriz de rigidez estructural debe formularse
-
Seccin 20.2 Clculo de las demandas ssmicas: factores a
considerar 777
de nuevo en cada instante de tiempo a partir de las matrices de
rigidez tangente de los elementos correspondientes a la deformacin
presente y a su dependencia de la trayectoria (en cualquiera de las
ramas de carga inicial, descarga o recarga de la relacin
fuerza-defor-macin del elemento). En el caso de una estructura
grande este proceso debe repetirse para miles de elementos
estructurales. En la formulacin de estas ecuaciones debe
considerarse la geometra no lineal porque las estructuras sometidas
a movimientos ssmicos intensos pueden sufrir grandes
desplazamientos. En la ingeniera ssmica, el equilibrio no lineal y
las relaciones de compatibilidad suelen aproximarse mediante un
enfoque conocido como anlisis P-. La formulacin detallada de las
ecuaciones gobernantes est fuera del alcance de este libro y se
remite al lector a otras fuentes (por ejemplo, Filippou y Fenves,
2004).
La solucin numrica de la ecuacin (20.1.2) es exigente con la
cantidad de clculos necesarios en los grandes sistemas inelsticos
(nmero de grados de libertad) porque estas ecuaciones diferenciales
acopladas deben resolverse en forma simultnea; para los siste-mas
inelsticos dichas ecuaciones no pueden desacoplarse mediante la
transformacin a coordenadas modales, como se demostrar ms adelante.
Tales soluciones numricas deben repetirse en cada paso de tiempo t,
el cual debe ser muy corto, tan corto como para asegu-rar que el
procedimiento numrico converja, se mantenga estable y d resultados
precisos. En el captulo 16 se desarrollaron los mtodos numricos
seleccionados que se utilizan por lo regular en la ingeniera ssmica
para resolver estas ecuaciones diferenciales no lineales.
20.2 CLCULO DE LAS DEMANDAS SSMICAS: FACTORES A CONSIDERAR
Existen varios factores que deben reconocerse para obtener
resultados significativos de la res-puesta inelstica de una
estructura. En esta seccin se analizan tres de estos factores (los
efectos P-, los supuestos del modelado estructural, o idealizacin,
y las caractersticas del movimien-to del terreno) sobre la base de
los resultados presentados para un marco perimetral de acero
resistente al momento en el edificio SAC de Los ngeles. Los valores
calculados para las can-tidades de respuesta (desplazamientos de
nivel, distorsiones de entrepiso y rotaciones plsticas en las
articulaciones) representan las demandas impuestas a la estructura
por el sismo de diseo.
20.2.1 Efectos P-
Los efectos de segundo orden de las cargas de gravedad que actan
sobre el estado deformado lateralmente de una estructura, conocidos
como los efectos P-, pueden influir mucho en la
SAC fue un consorcio de tres organizaciones sin fines de lucro:
Structural Engineers Association of Cali-fornia (SEAOC), Applied
Technology Council (ATC) y California Universities for Research in
Earthquake Enginee-ring (CUREE). Impulsado por un dao inesperado a
los marcos de acero en muchos edificios durante el sismo de
Northridge de 1994, el SAC se organiz para llevar a cabo un amplio
programa de investigacin aplicada. El SAC comision a tres empresas
de consultora para disear marcos especiales de edificios con 3, 9 y
20 niveles, que fueran resistentes al momento de acuerdo con los
requisitos del cdigo local en tres ciudades: Los ngeles (UBC,
1994), Seattle (UBC, 1994) y Boston (BOCA, 1993). Estos edificios
de planta cuadrada, tienen propiedades idnticas en ambas
direcciones laterales. Las descripciones de sus dimensiones en
planta y elevacin, del tamao de sus elementos y de otras
propiedades pueden encontrarse en varias publicaciones (por
ejemplo, Gupta y Krawinkler, 1999). Los marcos perimetrales de
siete de estos nueve edificios se utilizan como ejemplos en este
captulo. Los movimientos del terreno seleccionados para los
ejemplos son los 20 registros de movimiento del terreno reunidos en
el proyecto SAC para representar el 2% de probabilidad de
excedencia en 50 aos (un perodo de retorno de 2475 aos).
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Anlisis ssmico y respuesta de edificios inelsticos Captulo
20778
respuesta ssmica de los edificios en su intervalo inelstico. Con
o sin estos efectos, en la figura 20.2.1 se muestra la grfica de la
fuerza cortante basal Vb (normalizada mediante el peso total W)
contra el desplazamiento del techo (normalizado mediante la altura
del edificio), comn-mente conocida como curva de capacidad, la cual
se determina por medio del anlisis esttico nolineal del marco
sometido a fuerzas laterales con una distribucin especificada segn
la altura, que se incrementa poco a poco impulsando al edificio a
tener grandes desplazamientos. Los efectos P- reducen ligeramente
la rigidez elstica inicial de una estructura y, por lo tanto,
tienen poca influencia en la respuesta ssmica de una estructura si
sta se mantiene elstica du-rante el movimiento del terreno de
diseo. Sin embargo, los efectos P- tienen una profunda influencia
en la respuesta despus de la cedencia, que ahora muestra una breve
meseta de fuer-za constante en una resistencia a la cedencia
reducida, seguida por una rpida disminucin de la resistencia a la
fuerza lateral representada por la rigidez negativa, culminando en
una resis-tencia lateral cero en un desplazamiento de techo igual
al 4% de la altura del edificio; en con-traste, si se desprecian
los efectos P-, la rigidez despus de la cedencia sigue siendo
positiva.
Estas grandes diferencias en el comportamiento esttico posterior
a la cedencia de un edificio sugieren que los efectos P- tambin
deben ser importantes en la respuesta del edificio a la excitacin
ssmica. Esta expectativa se confirma con la figura 20.2.2, donde la
historia de la respuesta de la distorsin de entrepiso o deformacin
relativa (normalizada
Figura 20.2.1 Curvas de capacidad para el edificio de 20 niveles
de SAC en Los ngeles con y sin efectos P-. (Tomadas de Gupta y
Krawinkler, 2000b).
1 2 3 4 50
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
Desplazamiento del techo altura del edicio, %
Cor
tant
e ba
sal
p
eso
P Efectos excluidos
P Efectos incluidos
Figura 20.2.2 Importancia de los efectos P- en la distorsin de
entrepiso del segundo nivel del edificio SAC de 20 niveles en Los
ngeles, debi-do al movimiento del terreno LA30. (Adaptada de Gupta
y Krawinkler, 2000b).
0 10 20 30 40 505
0
5
10
15
Tiempo, s
Dist
orsi
n de
entre
piso
PEfectos incluidos
PEfectos excluidos
-
Seccin 20.2 Clculo de las demandas ssmicas: factores a
considerar 779
mediante la altura del nivel) en el segundo nivel del edificio,
debido a uno de los movimien-tos de terreno de SAC (el registro
LA30 Tabas) se presenta para dos casos: los efectos P- incluidos o
excluidos. Cuando se incluyen, despus del primer episodio de
cedencia mayor, la distorsin de entrepiso crece en una direccin sin
ninguna reversin hacia la direccin lateral opuesta, lo que da como
resultado una inestabilidad dinmica. Por el contrario, el anlisis
al excluir estos efectos predice una respuesta oscilatoria que
permanece acotada. Es evidente que es esencial incluir los efectos
P- en la prediccin de la respuesta ssmica de edificios que se
deforman mucho en su intervalo inelstico.
20.2.2 Supuestos del modelado
La respuesta ssmica de un edificio puede estar influida de
manera significativa por los supuestos del modelado (o idealizacin)
de la estructura para su anlisis en computadora. Para demostrar
esta posibilidad se consideran tres diferentes idealizaciones
planas del mar-co seleccionado: (1) el modelo M1, un modelo bsico
de lnea central en el que el tamao de la zona, la resistencia y la
flexibilidad del panel no se representan; (2) el modelo M2, un
modelo que incorpora en forma explcita la propiedades de
resistencia y flexibilidad de las zonas del panel; y (3) el modelo
M2A, una versin mejorada del modelo M2, que incluye las columnas de
gravedad interiores, las conexiones cortantes y las losas de
nivel.
La respuesta ssmica de un edificio puede verse muy afectada por
las diferencias en los modelos analticos, como lo demuestra la
historia de la respuesta de la distorsin del segundo entrepiso
debido al mismo movimiento del terreno (figura 20.2.3). El modelo
M1 predice que despus de la primera incursin inelstica grande, la
distorsin de entrepiso no revertir su direccin y seguir creciendo
con rapidez, de manera que el edificio se volv-era dinmicamente
inestable en los primeros 20 segundos de la excitacin. Esta
inestabi-lidad temprana no se produce en el modelo M2, pero el
movimiento del terreno posterior (despus de 20 segundos), aunque ms
dbil, hace que la distorsin crezca hasta un punto cercano a la
inestabilidad dinmica del marco. Cuando se consideran otras fuentes
de rigi-dez y resistencia (modelo M2A), la respuesta es muy
diferente. Despus de la primera in-cursin inelstica grande, la
distorsin de entrepiso ahora se recupera parcialmente y oscila
alrededor de una posicin desplazada, sin mostrar signos de
inestabilidad dinmica de la estructura. Es evidente que la
respuesta dinmica es demasiado sensible a los supuestos del
0 10 20 30 40 505
0
5
10
15
Tiempo, s
Modelo M1
Modelo M2A
Modelo M2
Dis
tors
in
de e
ntre
piso
, %
Figura 20.2.3 Influencia de los supuestos del modelado sobre la
distorsin del segundo en-trepiso en el edificio SAC de 20 niveles
en Los ngeles debido al movimiento del terreno LA30. (Adaptado de
Gupta y Krawinkler, 2000b).
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Anlisis ssmico y respuesta de edificios inelsticos Captulo
20780
modelado una vez que los efectos P- se vuelven importantes y que
un piso se deforma en el intervalo de rigidez negativa posterior a
la cedencia.
En consecuencia, las demandas de distorsin de entrepiso para un
edificio pueden ser afectadas en gran medida por los supuestos del
modelado. Esto es evidente en la figura 20.2.4, donde se presentan
los valores mximos de la distorsin de entrepiso del mismo marco
debidos al mismo movimiento del terreno. No se muestran los
resultados para el modelo M1, porque predijo un colapso del
edificio. El modelo M2 predice distorsiones de entrepiso que se
acercan al 15%, las cuales son tan grandes que el desempeo del
edificio no sera aceptable. Sin embargo, el modelo ms realista
(M2A) predice distorsiones de entrepi-so mucho ms pequeas, con la
distorsin ms grande entre todos los niveles cercana al 5%.
20.2.3 Variabilidad de la respuesta con el movimiento del
terreno
Las demandas de distorsin de entrepiso tambin son sensibles a la
variacin en el tiempo de aceleracin del terreno; por lo tanto,
varan de un movimiento del terreno a otro. Esto es evidente a
partir de los valores mximos de la distorsin de entrepiso en el
modelo M2 para el mismo edificio de 20 niveles, debidos a 20
registros de movimientos del terreno SAC (figura 20.2.5). Las
demandas de distorsin de entrepiso impuestas por los 20 registros
individuales varan mucho, lo que implica que la respuesta a
cualquier excitacin no debe ser la base para el diseo de edificios
nuevos o para la evaluacin de edificios existentes.
Para seleccionar los valores de demanda a considerar en el diseo
y la evaluacin de estructuras es necesario determinar las demandas
ssmicas debidas a un nmero suficiente-mente grande de movimientos
del terreno, as como tomar en cuenta su variabilidad registro a
registro. Los valores de la mediana y el percentil 84 de las
demandas de distorsin de entrepiso para el modelo M2 de la
estructura se presentan en la figura 20.2.6, durante tres series de
20 movimientos del terreno para Los ngeles representando diferentes
probabi-lidades de excedencia: 2% en 50 aos (un perodo de retorno
de 2475 aos), 10% en 50 aos (un perodo de retorno de 475 aos), y
50% en 50 aos (un perodo de retorno de 72
Figura 20.2.4 Influencia de los supuestos del modelado sobre las
demandas de la distorsin de entrepiso para el edificio SAC de 20
niveles en Los ngeles, debido al movimiento del terreno LA30; se
muestran los resultados para los modelos M2 y M2A, pero el modelo
M1 predijo un colapso del edificio. (Adaptado de Gupta y
Krawinkler, 2000a).
0 2 4 6 8 10 12 14 16G
4
8
12
16
20
Distorsin de entrepiso, %
Niv
el
Modelo M2
Modelo M2A
Mediana se refiere al exponente de la media de los valores
logartmicos naturales del conjunto de datos. El percentil 84 es la
mediana multiplicada por el exponente de la dispersin, donde la
dispersin se deter-
mina como la desviacin estndar de los valores logartmicos
naturales del conjunto de datos.
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Seccin 20.3 Demandas de la distorsin de entrepiso 781
aos). Tal como se esperaba, a medida que la intensidad del
conjunto de movimientos del terreno aumenta, los valores tanto de
la mediana como del percentil 84 de las demandas de distorsin de
entrepiso se incrementan; y an ms importante, la dispersin de la
demanda tambin crece. La variabilidad en la respuesta excitacin
tras excitacin es ms grande para el conjunto de movimientos del
terreno ms intenso debido a que causan distorsiones de entrepiso
suficientemente grandes como para que los efectos P- sean
importantes.
20.3 DEMANDAS DE LA DISTORSIN DE ENTREPISO
20.3.1 Influencia del mecanismo de articulacin plstica
La variacin con la altura de las demandas de ductilidad en los
edificios de varios niveles depende, en parte, de las resistencias
a la cedencia relativas de las vigas y columnas, y de las
resistencias a la cedencia relativas de los diferentes niveles.
Para demostrar este con-cepto importante, se presentan las demandas
de ductilidad para los tres tipos de estructuras que se muestran en
la figura 20.3.1. Designado como el modelo viga-articulada, el
primer tipo estructural es un marco con columnas fuertes y vigas
dbiles en el que se forma un mecanismo completo con articulaciones
plsticas en todas las vigas a medida que se incre-
Figura 20.2.5 Demandas de distorsin de en-trepiso para el
edificio SAC de 20 niveles en Los ngeles, debidas a 20 movimientos
del terreno SAC. (Datos proporcionados por Akshay Gupta).
0 2 4 6 8 10 12 14 16G
4
8
12
16
20
Distorsin de entrepiso, %
Niv
el
Figura 20.2.6 Valores de la mediana y del percentil 84 de las
demandas de la distorsin de entrepiso para el edifico SAC de 20
niveles en Los ngeles para tres conjuntos de movimientos del
terreno. (Tomados de Gupta y Krawinkler, 2000a).
0 2 4 6 8G
4
8
12
16
20
Distorsin de entrepiso, %
Niv
el
Mediana50/5010/502/50Percentil 8450/5010/502/50
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Anlisis ssmico y respuesta de edificios inelsticos Captulo
20782
mentan la fuerzas laterales con una distribucin especificada por
cdigo (figura 20.3.1a). Designado como el modelo
columna-articulada, el segundo tipo estructural es un sistema con
columnas dbiles y vigas fuertes en el que todas las columnas
desarrollan articulaciones plsticas a medida que se incrementan las
fuerzas laterales con una distribucin especifi-cada por cdigo
(figura 20.3.1b). Designado como el modelo de piso dbil, el tercer
tipo estructural desarrolla un mecanismo de piso slo en el primer
nivel bajo una distribucin de fuerza lateral especificada por cdigo
(figura 20.3.1c); las resistencias a la cedencia de niveles
superiores al primero se incrementan de manera considerable con
respecto al mo-delo columna-articulada para asegurar que sigan
siendo elsticos. As, el primer nivel no es ms dbil que en el modelo
columna-articulada, sino que es dbil slo en relacin con los dems
niveles, lo que implica una gran discontinuidad de la fuerza a
travs del primer nivel.
Los valores medios (para un conjunto de 15 movimientos del
terreno) del factor de duc-tilidad en los entrepisos se presentarn
para los modelos antes mencionados de tres marcos de edificio de 20
niveles y resistencia a la cedencia por cortante basal determinada
a partir del sistema de 1GDL correspondiente. En el intervalo
elstico lineal, el perodo natural y la fraccin de amortiguamiento
del sistema de 1GDL correspondiente son iguales a las propie-dades
del modo fundamental T1 y 1 del marco de varios niveles. El peso
del sistema de 1GDL correspondiente es igual al peso total W del
marco de varios niveles. La resistencia a la ceden-cia por cortante
basal para este sistema de 1GDL correspondiente a un factor de
ductilidad seleccionado est dada por la ecuacin (7.12.1) con el
cambio apropiado en la notacin:
Vby =AygW (20.3.1)
donde Ay es la pseudo-aceleracin correspondiente al seleccionado
(en este ejemplo = 8) y T1 y 1 conocidos. La pseudo-aceleracin se
determina a partir del espectro de respuesta inelstico medio de un
conjunto de 15 movimientos del terreno.
Las demandas de ductilidad para cada entrepiso difieren mucho
entre los tres tipos estructurales (figura 20.3.2). Estos factores
de ductilidad pueden ser poco realistas, pero este ejemplo se eligi
con el fin de ilustrar las tendencias. Observe que la demanda de
ductilidad de los entrepisos para las estructuras consideradas es
ms grande en el entrepiso inferior, lo cual es por lo general
cierto (pero no siempre). Entre los tres tipos estructurales, las
deman-
(a) (b) (c)
Figura 20.3.1 Modelos (a) viga-articulada, (b)
columna-articulada y (c) de piso dbil. (To-mados de Krawinkler y
Nassar, 1991).
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Seccin 20.3 Demandas de la distorsin de entrepiso 783
das de ductilidad en los entrepisos inferiores son ms grandes
para el modelo de piso dbil, ms pequeas para el modelo
viga-articulada, y medias para el modelo columna-articulada. Tambin
es evidente que el tipo estructural tiene una gran influencia en la
variacin de las demandas de ductilidad de los entrepisos con la
altura. A pesar de que esta variacin es sig-nificativa en los tres
casos, es ms pequea para el modelo viga-articulada y ms grande para
el modelo de piso dbil; en este ltimo caso, los niveles superiores
siguen siendo en esencia elsticos. Por lo tanto, toda la energa que
se disip a travs de la cedencia de los niveles superiores en los
modelos viga-articulada y columna-articulada debe ser disipada por
el piso dbil, dando como resultado una demanda de ductilidad muy
grande de alrededor de 50.
En los edificios reales, si el primer entrepiso es relativamente
dbil, por lo general tambin es relativamente flexible debido a que
la rigidez y la fuerza suelen estar interrela-cionadas. El
comportamiento de tales edificios con primer piso suave es similar
al de un edi-ficio con el primer piso dbil: los pisos superiores
siguen siendo elsticos, con la cedencia limitada al primer nivel,
lo que resulta en demandas de ductilidad grandes en ese
entrepiso.
Un ejemplo bien conocido de un edificio con un primer piso suave
es el edificio del hospital Olive View. ste era un edificio de seis
pisos construido en concreto reforzado, con su primer entrepiso
parcialmente subterrneo. El sistema de resistencia a la fuerza
lateral inclua grandes muros en los cuatro entrepisos superiores
que no se extendan a los dos en-trepisos inferiores (figura
20.3.3). Estos muros cortantes discontinuos crearon una gran
dis-continuidad en la resistencia y la rigidez al nivel del segundo
entrepiso. Durante el sismo del 9 de febrero de 1971, en San
Fernando, esta estructura se comport segn lo sugerido por los
resultados anteriores del anlisis dinmico de un edificio hipottico.
Los cuatro niveles superiores de este edificio tuvieron daos
menores, con el dao disminuyendo hacia la parte superior. La mayora
de los daos se concentraron en el entrepiso parcialmente subterrneo
y en el primer entrepiso por encima del nivel del suelo, con una
distorsin permanente en este ltimo entrepiso superior a 30 pulg
(figura 20.3.4). Esta gran distorsin impuso de-formaciones y
demandas de ductilidad muy severas en las columnas del primer
entrepiso. Como resultado, las columnas sujetas fallaron de una
manera frgil (figura 20.3.5); sin em-bargo, el comportamiento dctil
de las columnas reforzadas en espiral impidi el colapso del
edificio (figura 20.3.6). Este edificio, terminado slo unos meses
antes del sismo, se vio daado de una manera tan severa que tuvo que
ser demolido. Existen muchos ejemplos de daos graves a edificios
con un primer piso blando incluso durante sismos recientes.
0 4 8 12 16 20G
4
8
12
16
20
Factor de ductilidad del entrepiso
Niv
el
Viga-articulada
Columna-articulada
Factor de ductilidad del sistema de 1GDL Figura 20.3.2 Demandas
de ductilidad media
por entrepiso para los modelos viga-articulada,
columna-articulada y de piso dbil en un marco de 20 niveles debidas
a un conjunto de 15 movi-mientos del terreno, en comparacin con el
factor de ductilidad = 8 del sistema de 1GDL. Para el modelo de
piso dbil, la demanda de ductilidad es aproximadamente de 50 para
el primer entrepiso, pero todos los dems entrepisos se mantienen
els-ticos. (Datos de Nassar y Krawinkler, 1991).
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Anlisis ssmico y respuesta de edificios inelsticos Captulo
20784
Aunque los edificios con primer piso suave no son, obviamente,
apropiados para las regiones propensas a sismos, su respuesta
durante los sismos pasados sugiere la posibilidad de reducir el dao
al edificio mediante un sistema de aislamiento en la base que acta
como un primer piso blando. (Este tema se trata en el captulo 21,
el cual se encuentra en ingls en el sitio web).
20.3.2 Influencia del comportamiento inelstico
La distribucin de las distorsiones de entrepiso a travs de la
altura de un marco de varios niveles tambin depende de qu tanto se
deforma el marco en el intervalo inelstico, como se demuestra en la
figura 20.3.7. Se presentan las medianas de las demandas de
distorsin de entrepiso, debidas a un conjunto de movimientos del
terreno para los modelos de viga-articulada de cinco marcos de 9
niveles, diseados para la distribucin de fuerza lateral
es-pecificada en el Cdigo Internacional de Construccin (IBC) 2009 y
para la fuerza cortante
Figura 20.3.3 Edificio del hospital Olive View. Los muros
cortantes en los cuatro entrepisos supe-riores no se extendieron a
los dos niveles inferiores. (Tomada de la coleccin K. V.
Steinbrugge, cor-tesa del Centro de Investigacin en Ingeniera
Ssmica de la Universidad de California en Berkeley).
-
Seccin 20.3 Demandas de la distorsin de entrepiso 785
Figura 20.3.4 Grandes deformaciones en el primer entrepiso sobre
el nivel del suelo del edificio del hospital Olive View, debido al
sismo de San Fernando, del 9 de febrero de 1971. (Cortesa de la
coleccin K. V. Steinbrugge, Centro de Investigacin en Ingeniera
Ssmica de la Universidad de California en Berkeley).
Figura 20.3.6 Gran deformacin permanente de una columna
reforzada en espiral del edificio del hospital Olive View. (Tomada
de la colec-cin K. V. Steinbrugge, cortesa del Centro de
Investigacin en Ingeniera Ssmica de la Uni-versidad de California
en Berkeley).
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Anlisis ssmico y respuesta de edificios inelsticos Captulo
20786
basal dada por la ecuacin (20.3.1), donde se elige Ay de modo
que corresponda al factor de ductilidad = 1, 1.5, 2, 4 y 6 de un
sistema de 1GDL; se incluyen las distorsiones de entre-piso para el
marco que se supone elstico lineal. Las demandas de distorsiones de
entrepiso y su variacin con la altura para los sistemas inelsticos
difieren de las demandas de los sistemas elsticos y dependen mucho
del factor de ductilidad, una medida del grado de com-portamiento
inelstico. Las distorsiones de entrepiso aumentan en los niveles
superiores del marco elstico, donde se sabe que las contribuciones
a la respuesta de los modos superiores son significativas (vea el
captulo 19). A medida que el factor de ductilidad, , aumenta (es
decir, la resistencia del marco disminuye, lo que implica un mayor
grado de accin inelsti-ca), las distorsiones de entrepiso
superiores decrecen y la distorsin ms grande se produce cerca de la
base de la estructura. Esta tendencia tambin puede observarse en la
figura 20.3.2.
Figura 20.3.5 Falla frgil de una columna de esquina en el
edificio del hospital Olive View. (Tomada de la coleccin K. V.
Steinbrugge, cortesa del Centro de Investigacin en Ingeniera Ssmica
de la Universidad de California en Berkeley).
Figura 20.3.7 Variacin de las demandas de distorsin de entrepiso
en marcos de 9 niveles, diseados para diferentes valores del factor
de ductilidad de un sistema de 1GDL.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1G
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Niv
el
Distorsin de entrepiso, %
Elstico = 1 1.5 2 4 6
-
Seccin 20.4 Demandas de resistencia para sistemas de 1gDl y vgDl
787
20.4 DEMANDAS DE RESISTENCIA PARA SISTEMAS DE 1GDL Y VGDL
Qu resistencia a la cedencia cortante en la base se requiere en
un edificio de varios niveles para mantener la demanda de
ductilidad inducida por un sismo en cada entrepiso por debajo de un
valor seleccionado? Para abordar esta pregunta se examinan las
demandas de ductilidad por en-trepiso de un edificio, con su
resistencia a la cedencia cortante en la base determinada a partir
de la ecuacin (20.3.1) para el sistema de 1GDL correspondiente. Al
definir la cedencia al cortante basal para un edificio de varios
niveles como idntica a la del sistema de 1GDL correspondiente, las
demandas de ductilidad calculadas permitirn la comparacin directa
entre los dos sistemas y con el factor de ductilidad del sistema de
1GDL seleccionado para determinar Ay en la ecua-cin (20.3.1). Antes
de presentar las demandas de ductilidad para el edificio de varios
niveles, se observa que la demanda de ductilidad media impuesta por
el conjunto de movimientos del terreno en el sistema de 1GDL
correspondiente ser idntica al seleccionado (captulo 7).
Sin embargo, para los edificios de varios niveles, las demandas
de ductilidad difieren del factor de ductilidad seleccionado para
el sistema de 1GDL y varan con la altura. La figura 20.3.2 muestra
los valores medios (para un conjunto de 15 movimientos del terreno)
de los facto-res de ductilidad de entrepiso de dos marcos del
edificio de 20 niveles (modelos viga-articulada y
columna-articulada) con la resistencia cortante basal definida de
acuerdo con la ecuacin (20.3.1) para = 8. Es claro que las demandas
de ductilidad por entrepiso difieren de = 8 y no son cons-tantes a
travs de la altura debido a la dinmica ms compleja existente en los
sistemas de VGDL.
La demanda de ductilidad del primer entrepiso (a menudo, la ms
grande en todos los niveles) aumenta con el periodo fundamental, T1
(o con el nmero de niveles), y puede exce-der el factor de
ductilidad del sistema de 1GDL. Tambin se ve afectada por el
mecanismo de articulacin plstica, debido a las diferencias entre
los modelos viga-articulada y columna-articulada. Estas tendencias
se muestran en la figura 20.4.1, donde la demanda de ductilidad
media en el primer entrepiso de los edificios de 2, 5, 10, 20, 30 y
40 niveles de altura se pre-senta como una funcin del periodo
fundamental T1 para = 2 y 8.
A partir de los resultados anteriores (figura 20.4.1) y de las
observaciones relacionadas, es evidente que, a diferencia de los
sistemas de 1GDL, la resistencia a la cedencia cortante basal
determinada a partir de la ecuacin (20.3.1) no es suficiente para
limitar las demandas
0 0.5 1 1.5 2 2.50
10
20
30
Perodo de vibracin fundamental T1, s
Dem
anda
de
duct
ilida
d de
l pri
mer
ent
repi
so
CA, = 2
VA, = 2
CA, = 8
VA, = 8
2 5 10 20 30 40Nmero de niveles
Figura 20.4.1 Demandas de ductilidad me-dias del primer
entrepiso para los modelos viga-articulada (VA) y
columna-articulada (CA) en los marcos de edificios con 2, 5, 10,
20, 30 y 40 niveles diseados para los factores de ducti-lidad de un
sistema de 1GDL = 2 y 8. (Datos de Nassar y Krawinkler, 1991).
-
Anlisis ssmico y respuesta de edificios inelsticos Captulo
20788
de ductilidad de entrepiso en un edificio de varios niveles por
debajo del factor de ductilidad del sistema de 1GDL. Para lograr
este objetivo de diseo es necesario aumentar para los sistemas de
VGDL la resistencia a la cedencia cortante basal Vby de los
sistemas de 1GDL. El factor de modificacin (Vby)VGL (Vby)1GDL,
donde (Vby)VGL y (Vby)1GDL son las resistencias a la cedencia
cortante basal de los sistemas de VGDL y 1GDL, respectivamente,
vara entre 1 y 2.5 para los ejemplos considerados, aumenta con T1
(o nmero de niveles) y con el valor de , y tambin est influenciado
por el mecanismo de articulacin plstica, que es ms grande para el
modelo columna-articulada que para el de viga-articulada (figura
20.4.2).
PARTE B: PROCEDIMIENTOS DE ANLISIS APROXIMADO
20.5 MOTIVACIN Y CONCEPTO BSICO
En la actualidad, el anlisis riguroso sobre la historia de la
respuesta no lineal es una tarea pesada por varias razones. En
primer lugar, debe seleccionarse un conjunto de movimientos del
terreno compatibles con el espectro de diseo ssmico para el sitio.
En segundo lugar, a pesar de que el poder computacional ha
aumentado, el modelado inelstico sigue siendo un reto y el anlisis
riguroso sobre la historia de la respuesta no lineal sigue siendo
exigente en trminos del clculo, en especial para los edificios con
planta no simtrica (los cuales requieren un anlisis tridimensional
para representar el acoplamiento entre los movimien-tos lateral y
torsional) sometidos a dos componentes horizontales del movimiento
del te-rreno. En tercer lugar, estos anlisis deben repetirse para
varias excitaciones debido a que es necesario considerar la gran
variabilidad de la demanda por los posibles movimientos del terreno
y la variabilidad que existe entre los diferentes registros de la
respuesta (vea la seccin 20.2.3). En cuarto lugar, el modelo
estructural debe ser tan sofisticado como para representar un
edificio en forma realista, sobre todo el deterioro de su
resistencia ante los desplazamientos grandes (vea las secciones
20.2.1 y 20.2.2). En quinto lugar, el modelado estructural y los
programas de computadora comerciales que analizan la misma
estructura deben ser suficientemente robustos como para producir
resultados idnticos para la respues-ta. Con ms investigacin y
desarrollo de programas software, la mayora de los problemas
Figura 20.4.2 Factor de modificacin para obtener la resistencia
a la cedencia cortante basal en marcos de varios nive-les, a partir
de la resistencia a la cedencia cortante basal del sistema de 1GDL
co-rrespondiente, para los modelos viga-arti-culada (VA) y
columna-articulada (CA). (Datos de Nassar y Krawinkler, 1991).
0 0.5 1 1.5 2 2.50
1
2
3
Perodo de vibracin fundamental T1, s
(Vby
) VG
L
(Vby
) GD
L
CA, = 2VA, = 2
CA, = 8
VA, = 8
2 5 10 20 30 40Nmero de niveles
-
Seccin 20.5 Motivacin y concepto bsico 789
anteriores debern resolverse con el tiempo y entonces el anlisis
riguroso sobre la historia de la respuesta no lineal podr ser comn
en la prctica de la ingeniera estructural.
Sin embargo, puede ser poco razonable exigir este complicado
procedimiento para cada edificio (sin importar cun simple sea) y a
cada oficina de ingeniera estructural (sin importar lo pequea que
sea). Por lo tanto, existe inters en desarrollar mtodos
simplifica-dos que sean aproximados pero que tengan sus races en la
teora de la dinmica estructural, como una alternativa al anlisis no
lineal riguroso. Para ello, se utilizar la nocin de las fuer-zas
ssmicas efectivas y sus componentes modales que se present en los
captulos 12 y 13.
Las fuerzas ssmicas efectivas (ecuacin 13.1.2), que se repiten
aqu por conveniencia, son
peff(t) = m ug(t) (20.5.1)La distribucin espacial de estas
fuerzas en la estructura est definida por el vector s = m. Esta
distribucin de fuerza puede expandirse como la sumatoria de las
distribuciones de las fuerzas de inercia modales sn (seccin
13.1.2), la cual se repite aqu por conveniencia:
m =N
n=1
sn =N
n=1nm n (20.5.2)
donde
n =LnMn
Ln = Tnm Mn = Tnm n (20.5.3)
Entonces, las fuerzas ssmicas efectivas pueden expresarse
como
peff(t) =N
n=1
peff,n(t) =N
n=1
snug(t) (20.5.4)
Las contribuciones del n-simo modo a pef(t) y s son
peff,n(t) = snug(t) sn = n m n (20.5.5)La expansin modal de la
distribucin de la fuerza s se ilustra para un marco peri-
metral del edificio SAC de 9 niveles en Los ngeles. Los tres
primeros perodos y modos del edificio que vibran a lo largo de un
eje de simetra plano se muestran en la figura 20.5.1, donde se
observa que los desplazamientos del terreno en el primer modo (o
modo
Figura 20.5.1 Primeros tres perodos y mo-dos de vibracin natural
del edificio SAC de 9 niveles en Los ngeles. (Tomados de Goel y
Chopra, 2004).
1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5Componente de forma modal
Niv
el
G
3
6
9
T1 = 2.27 s
T2 = 0.85 s
T3 = 0.49 s
-
Anlisis ssmico y respuesta de edificios inelsticos Captulo
20790
fundamental) tienen todos la misma direccin, pero invierten su
direccin en los modos superiores a medida que aumenta la altura del
edificio. En la figura 20.5.2 se muestra la expansin modal de la
distribucin s = m de las fuerzas ssmicas efectivas. Como se indic
en la seccin 13.2, la direccin de la fuerza sjn al nivel del j-simo
nivel est controlada por el signo algebraico de jn, el
desplazamiento del j-simo nivel en el modo n. Por lo tanto, todas
estas fuerzas para el primer modo actan en la misma direccin, pero
para el segundo modo y los modos superiores cambian su direccin a
medida que aumenta la altura del edificio. La contribucin del
primer modo a la distribucin de fuerza s es ms grande y las
contribuciones modales disminuyen progresivamente para los modos
superiores.
A continuacin se describen dos procedimientos para el anlisis
aproximado de edificios inelsticos usando la expansin modal de
pef(t) y s: el anlisis de la historia de la respuesta modal
desacoplada y el anlisis pushover modal. El procedimiento de
anlisis de la historia de la res-puesta modal desacoplada no est
diseado para su aplicacin prctica y se desarrolla slo con el fin de
proporcionar una base para el procedimiento esttico no lineal. En
el procedimiento de la respuesta modal desacoplada, la historia de
la respuesta del edificio al pef,n(t), el componente del n-simo
modo de la excitacin, se determina mediante un anlisis riguroso
sobre la historia de la respuesta no lineal de un sistema inelstico
de 1GDL y la superposicin de estas respuestas mo-dales proporciona
la respuesta total. En el procedimiento de anlisis pushover modal,
la respues-ta mxima al pef,n(t) se determina mediante un anlisis
esttico nolineal, y las respuestas modales mximas se combinan
mediante las reglas de combinacin modal para estimar la respuesta
total.
20.6 ANLISIS DE LA HISTORIA DE LA RESPUESTA MODAL
DESACOPLADA
20.6.1 Sistemas elsticos lineales
En esta seccin se demuestra que el procedimiento del anlisis
modal clsico para los siste-mas elsticos lineales, que se desarroll
en las secciones 12.4 a 12.6 y 13.1, es equivalente a encontrar la
respuesta de la estructura al pef,n(t) para cada n y superponer las
respuestas para todas las n. La respuesta del sistema al pef,n(t)
est por completo en el n-simo modo,
Figura 20.5.2 Expansin modal de la distribucin s = m de las
fuerzas ssmicas efectivas.
m1
=
1.02m
1m
1m
1m
1m
1m
1m
1m
1.08m
s1
+
0.235m
0.385m
0.540m
0.698m
0.848m
0.987m
1.128m
1.264m
1.475m
s2
+
0.208m
0.315m
0.381m
0.395m
0.339m
0.213m
0.005m
0.284m
0.573m
s3
+
0.196m
0.251m
0.202m
0.062m
0.118m
0.250m
0.231m
0.033m
0.260m
s4
+
0.131m
0.117m
0.004m
0.123m
0.137m
0.013m
0.143m
0.116m
0.125m
s5
+
0.090m
0.039m
0.067m
0.088m
0.028m
0.107m
0.016m
0.105m
0.061m
-
Seccin 20.6 Anlisis de la historia de la respuesta modal
desacoplada 791
sin ninguna contribucin de otros modos, lo que implica que los
modos estn desacoplados. Recuerde que esta caracterstica importante
de la expansin modal de la ecuacin (20.5.2) se demostr de manera
analtica en la seccin 12.8.
Las ecuaciones que controlan la respuesta del sistema elstico
lineal de VGDL al pef,n(t), definido por la ecuacin (20.5.5a),
son
mu+ cu+ ku = snug(t) (20.6.1)
y los desplazamientos de nivel resultantes estn dados por
un(t) = nqn(t) (20.6.2)
Al sustituir la ecuacin (20.6.2) en la ecuacin (20.6.1) y al
multiplicar antes esta ltima por Tn se llega a la ecuacin que
controla la coordenada modal qn:
qn + 2nnqn +2nqn = nug(t) (20.6.3)
en la que n es la frecuencia natural y n es la fraccin de
amortiguamiento, ambas para el n-simo modo, y n est definido por la
ecuacin (20.5.3). Como se demostr en la seccin 13.1, la solucin
qn(t) de la ecuacin (20.6.3) est dada por
qn(t) = nDn(t) (20.6.4)
donde Dn(t) es la respuesta de deformacin del n-simo modo del
sistema elstico lineal de 1GDL, un sistema de 1GDL con las
propiedades de vibracin (frecuencia natural n, pero-do natural Tn =
2/n, y fraccin de amortiguamiento n) del n-simo modo del sistema de
VGDL, sometido a g(t). Esta respuesta est controlada por
Dn + 2nn Dn +2nDn = ug(t) (20.6.5)
Si se sustituye la ecuacin (20.6.4) en la ecuacin (20.6.2)
resultan los desplazamien-tos laterales de los niveles:
un(t) = n nDn(t) (20.6.6)
y la distorsin de entrepiso en el j-simo nivel es la diferencia
entre los desplazamientos de los niveles j-simo y (j - 1)-simo:
jn(t) = n(jn j1,n)Dn(t) (20.6.7)
Las ecuaciones (20.6.6) y (20.6.7) representan la respuesta del
sistema de VGDL al pef,n(t), y la superposicin de las respuestas
para todas las n proporciona la respuesta del sistema debida a la
excitacin total pef(t):
r(t) =N
n=1
rn(t) (20.6.8)
ste es el procedimiento de la historia de la respuesta modal
desacoplada para un anlisis exacto de los sistemas elsticos
lineales, que es idntico al anlisis modal clsico riguroso sobre la
historia de la respuesta. La ecuacin (20.6.3) es la ecuacin estndar
que controla la coordenada modal qn(t) y es idntica a la ecuacin
(13.1.7). Las ecuaciones (20.6.6) y (20.6.7) definen la contribucin
del n-simo modo a la respuesta; stas son idn-ticas a las ecuaciones
(13.1.10) y (13.2.6). La ecuacin (20.6.8) combina las
contribuciones a la respuesta debidas a los n trminos de excitacin
en la expansin modal de la ecuacin (20.5.4), y es idntica a las
ecuaciones (13.1.15) y (13.1.16). Sin embargo, estas ecuacio-nes
estndar se han obtenido ahora de una manera poco convencional. En
contraste con
-
Anlisis ssmico y respuesta de edificios inelsticos Captulo
20792
la deduccin clsica presentada en las secciones 12.4 y 13.1.3 a
13.1.5, se ha utilizado la expansin modal de la distribucin
espacial de las fuerzas ssmicas efectivas. Esta interpre-tacin del
anlisis modal proporcionar una base racional para el procedimiento
del anlisis pushover modal que se desarrolla ms adelante para los
sistemas inelsticos.
20.6.2 Sistemas inelsticos
Aunque el anlisis modal no es vlido para un sistema inelstico,
su respuesta dinmica puede analizarse de manera til en trminos de
los modos de vibracin natural del sistema lineal co-rrespondiente.
Cada elemento estructural de este sistema lineal se define de
manera que tenga la misma rigidez que su rigidez inicial en el
sistema inelstico; ambos sistemas tienen la misma masa y el mismo
amortiguamiento. Por lo tanto, los periodos y modos de vibracin
natural del sistema lineal correspondiente son iguales a las
propiedades de vibracin del sistema inelstico sometido a una pequea
oscilacin, las cuales se conocen como los perodos y los modos del
sistema inelstico. As, las ecuaciones (20.5.2) a (20.5.5) tambin
son vlidas para los sistemas inelsticos, donde n representa ahora
los modos del sistema lineal correspondiente.
Las ecuaciones que controlan la respuesta del sistema inelstico
de VGDL al pef,n(t), definido por la ecuacin (20.5.5a), son
mu+ cu+ fs(u) = snug(t) (20.6.9)
La solucin de la ecuacin (20.6.9) ya no est descrita por la
ecuacin (20.6.2), porque los modos distintos al n-simo modo tambin
contribuirn a la respuesta del sistema, lo que implica que los
modos de vibracin ahora estn acoplados, por lo que los
desplazamientos de nivel estn dados por la primera parte de la
ecuacin (20.6.10):
un(t) =N
r=1
rqr (t) nqn(t) (20.6.10)
Sin embargo, como en el caso de los sistemas lineales qr(t) = 0
para todos los modos dis-tintos al n-simo modo, es razonable
esperar que qr(t) pueda ser pequea para los sistemas inelsticos, lo
que implica que los modos elsticos estn, a lo sumo, dbilmente
acoplados.
La expectativa mencionada con anterioridad se confirma en forma
numrica mediante la respuesta del edificio SAC de 9 niveles en Los
ngeles a un movimiento del terreno tan intenso como para causar una
cedencia significativa de la estructura. Su respuesta al vector de
fuerza pef,n(t) se determin mediante un anlisis riguroso sobre la
historia de la respuesta no lineal, la solucin de la ecuacin
(20.6.9) por medio de los mtodos numricos descritos en el captulo
16, y los desplazamientos de nivel resultantes se descompusieron en
sus componentes modales utilizando el procedimiento de la seccin
10.7, aplicado en cada instante de tiempo.
En la figura 20.6.1 se muestra que el desplazamiento del techo
debido al vector de fuerza pef,n(t) se produce principalmente por
el n-simo modo, pero que los otros modos tambin contribuyen a la
respuesta. Los modos segundo, tercero y cuarto empiezan a
res-ponder a la excitacin pef,1(t) en el instante en el que la
estructura comienza a ceder (figura 20.6.1a). Del mismo modo, los
modos primero, tercero y cuarto empiezan a responder a la excitacin
pef,2(t) en el instante en el que la estructura comienza a ceder
(figura 20.6.1b).
Las comillas se incluyen para enfatizar que el concepto de
perodos y modos de vibracin natural no es estrictamente vlido para
los sistemas inelsticos. En lo subsecuente, estas comillas se
descartarn, aunque siem-pre estarn implcitas en el contexto de los
sistemas inelsticos.
-
Seccin 20.6 Anlisis de la historia de la respuesta modal
desacoplada 793
Aunque los modos de vibracin natural ya no estn desacoplados si
el sistema respon-de en el intervalo inelstico, el acoplamiento
modal es dbil. En la respuesta estructural de-bida a pef,1(t), las
contribuciones al desplazamiento del techo de los modos segundo,
tercero y cuarto son slo de 6, 3 y 2%, respectivamente, de la
respuesta del primer modo (figura 20.6.1a). En la respuesta
estructural a pef,2(t), las contribuciones al desplazamiento del
techo de los modos primero, tercero y cuarto son de 25, 13 y 2%,
respectivamente, de la respuesta del segundo modo (figura 20.6.1b).
En la respuesta estructural a pef,3(t), las contribuciones al
desplazamiento del techo de cada uno de los modos primero, segundo
y cuarto son de menos del 1% de la respuesta del tercer modo
(figura 20.6.1c). En la respuesta estructural a pef,4(t), las
contribuciones al desplazamiento del techo de cada uno de los modos
primero, segundo y tercero son menores al 1% de la respuesta del
cuarto modo (figura 20.6.1d).
Este acoplamiento dbil de los modos implica que la respuesta
estructural debida a la excitacin pef,n(t) puede aproximarse
mediante la segunda mitad de la ecuacin (20.6.10). Al sustituir
esta aproximacin en la ecuacin (20.6.9) y al multiplicar antes por
Tn da
qn + 2nnqn +FsnMn
= nug(t) (20.6.11)
Figura 20.6.1 Descomposicin modal del desplazamiento del techo
debido a pef,n(t) = -sng(t), n = 1, 2, 3 y 4, donde g(t) =
movimiento del terreno LA25: (a) pef,1 = -s1 LA25; (b) pef,2 = -s2
LA25; (c) pef,3 = -s3 LA25; (d) pef,4 = -s4 LA25.
100
0
100(a)
Modo 1
73.962
100
0
100Modo 2
4.428
100
0
100
Des
plaz
amie
nto
del t
echo
, cm
Modo 3
2.393
0 5 10 15100
0
100
Tiempo, s
Modo 4
1.151
20
0
20(b)
Modo 1
4.107
20
0
20Modo 2
16.516
20
0
20Modo 3
2.097
0 5 10 1520
0
20
Tiempo, s
Modo 4
0.387
5
0
5(c)
Modo 1
0.009
5
0
5Modo 2
0.027
5
0
5Modo 33.020
0 5 10 155
0
5
Tiempo, s
Modo 4
0.008
2
0
2(d)
Modo 1
0.007
2
0
2Modo 2
0.001
2
0
2Modo 3
0.006
0 5 10 152
0
2
Tiempo, s
Modo 4
0.608
-
Anlisis ssmico y respuesta de edificios inelsticos Captulo
20794
donde Fsn es una funcin histertica no lineal de la n-sima
coordenada modal qn:
Fsn = Fsn(qn) = Tn fs(qn) (20.6.12)
Si las contribuciones ms pequeas de los otros modos no se
hubieran despreciado, Fsn dependera de todas las coordenadas
modales y el conjunto de ecuaciones definido por la ecuacin
(20.6.11) para n = 1, 2, ..., N estara acoplado debido a la
cedencia de la estructura; por lo tanto, no ofrece ninguna ventaja
sobre la ecuacin (20.6.9).Cul es una buena manera de expresar la
solucin de la ecuacin (20.6.11) para los sis-temas inelsticos? Para
responder a esta pregunta se resalta la similitud entre la ecuacin
(20.6.11) y su contraparte, la ecuacin (20.6.3) para los sistemas
elsticos lineales, y que la solucin para esta ltima est relacionada
por la ecuacin (20.6.4) con la respuesta Dn(t) del n-simo modo del
sistema elstico de 1GDL. Del mismo modo, la solucin de la primera
ecuacin puede expresarse como la ecuacin (20.6.4), donde Dn(t) est
controlada ahora por
Dn + 2nn Dn +FsnLn= ug(t) (20.6.13)
Dn(t) puede interpretarse como la respuesta de deformacin del
n-simo modo del sistema inelstico de 1GDL, un sistema de 1GDL
definido por (1) las propiedades de vibracin de una pequea
oscilacin (la frecuencia natural n, perodo natural Tn, y la fraccin
de amortigua-miento n) del n-simo modo del sistema de VGDL; y (2)
la relacin fuerza-deformacin (Fsn/Ln - Dn). La introduccin del
n-simo modo del sistema inelstico de 1GDL permiti la exten-sin a
los sistemas inelsticos de los conceptos bien establecidos para los
sistemas elsticos.
La solucin de la ecuacin no lineal (20.6.13) proporciona Dn(t),
que se sustituye en las ecuaciones (20.6.6) y (20.6.7) para obtener
los desplazamientos de nivel y las distorsio-nes de entrepiso. stos
se aproximan a la respuesta del sistema inelstico de VGDL a
pef,n(t), la contribucin del n-simo modo a pef(t). La superposicin
de las respuestas a pef,n(t) (n = 1, 2, ..., N) de acuerdo con la
ecuacin (20.6.8) proporciona la respuesta total a pef(t). ste es el
procedimiento de la historia de la respuesta modal desacoplada para
el anlisis aproximado de los sistemas inelsticos. Cuando se
especifica para los sistemas elsticos lineales, como se mencion en
la seccin 20.6.1, se vuelve idntico al anlisis riguroso modal
clsico sobre la historia de la respuesta no lineal, un
procedimiento de anlisis exacto.
El procedimiento de anlisis de la historia de la respuesta modal
desacoplada para sistemas inelsticos se basa en dos aproximaciones,
que pueden identificarse al comparar las ecuaciones clave en el
mtodo para sistemas estructurales elsticos e inelsticos. Las
ecuaciones (20.6.4), (20.6.6) y (20.6.7) se aplican a ambos
sistemas; las ecuaciones (20.6.3) y (20.6.5) difieren de las
ecuaciones (20.6.11) y (20.6.13) slo en la fuerza de resistencia;
las ecuaciones (20.6.2) y (20.6.8) son exactas para los sistemas
elsticos pero slo aproxi-madas para los sistemas inelsticos. Si se
analiza en primer lugar la ecuacin (20.6.8), la superposicin de
respuestas que implica esta ecuacin es estrictamente vlida slo para
los sistemas elsticos lineales; sin embargo, se ha demostrado que
es aproximadamente vlida para los sistemas inelsticos, un resultado
que no se demuestra aqu porque la intencin en el desarrollo del
procedimiento se limita a justificar la aproximacin del
desacoplamien-to modal necesario para el anlisis pushover modal.
Como resulta evidente a partir de la ecuacin (20.6.10), la segunda
aproximacin se obtiene al despreciar el acoplamiento de las
coordenadas modales, lo que permiti calcular la respuesta de un
sistema inelstico de VGDL a pef,n(t) a partir de la respuesta de un
sistema de 1GDL. De acuerdo con los resulta-dos numricos de la
figura 20.6.1, esta aproximacin es razonable slo porque la
excitacin
-
Seccin 20.6 Anlisis de la historia de la respuesta modal
desacoplada 795
es pef,n(t), la contribucin del n-simo modo a la excitacin total
pef(t). No sera vlida para una excitacin con una distribucin de
fuerza lateral diferente de sn (por ejemplo, la excitacin total
pef(t)), lo cual indica que la expansin modal de la ecuacin
(20.5.4) es un concepto clave detrs del anlisis en la historia de
la respuesta modal desacoplada.
Para probar la aproximacin del desacoplamiento modal en el
anlisis de la historia de la respuesta modal desacoplada, se
determin la respuesta del edificio SAC de 9 niveles en Los ngeles a
pef,n(t) = -sng(t), donde g(t) es el mismo movimiento del terreno
seleccio-nado con anterioridad (figura 20.6.1); con propsitos de
comparacin, el clculo se realiz utilizando dos mtodos: (1) el
anlisis riguroso sobre la historia de la respuesta no lineal
mediante la resolucin de las ecuaciones gobernantes acopladas
(ecuacin 20.6.9) y (2) el procedimiento aproximado de anlisis de la
historia de la respuesta modal desacoplada. Tal comparacin para el
desplazamiento de techo y la distorsin de entrepiso superior se
presenta en las figuras 20.6.2 y 20.6.3, respectivamente. Los
errores en los resultados de
100
0
100ARH no lineal
n = 1
71.833
30
0
30 n = 2
17.985
5
0
5
Des
plaz
amie
nto
del t
echo
, cm
n = 3
2.842
0 5 10 15
2
0
2
Tiempo, s
n = 4
0.785
100
0
100AHRMD
n = 1
75.990
30
0
30n = 2
17.810
5
0
5 n = 33.010
0 5 10 152
0
2
Tiempo, s
n = 4
0.601
Figura 20.6.2 Comparacin del desplazamiento aproximado del techo
a partir del anlisis de la histo-ria de la respuesta modal
desacoplada (AHRMD) y el resultado exacto del anlisis riguroso en
la historia (ARH) no lineal, debido a pef,n(t) = -sng(t), n = 1, 2,
3 y 4, donde g(t) = movimiento del terreno LA25.
-
Anlisis ssmico y respuesta de edificios inelsticos Captulo
20796
la historia de la respuesta modal desacoplada son ms grandes en
la distorsin que en el desplazamiento, pero los errores en
cualquiera de las cantidades de respuesta parecen su-ficientemente
pequeos como para usar la aproximacin del desacoplamiento modal en
el desarrollo de mtodos aproximados para estimar la demanda ssmica
en los edificios.
El procedimiento de anlisis de la historia de la respuesta modal
desacoplada se basa en la segunda mitad de la ecuacin (20.6.10),
restringiendo los desplazamientos de nivel debidos a pef,n(t) a ser
proporcionales al n-simo modo, que como se dijo anteriormente es
una aproxima-cin para los sistemas inelsticos. Esta aproximacin se
evita en el procedimiento de anlisis pushover modal, que se
presenta a continuacin, pero es necesario introducir una
aproximacin de la combinacin modal, como se ver ms adelante. Para
proporcionar un contexto adecuado, el anlisis pushover modal se
presenta primero para los sistemas elsticos lineales.
Figura 20.6.3 Comparacin de la distorsin de entrepiso aproximada
del ltimo nivel a partir del anlisis en la historia de la respuesta
modal desacoplada (AHRMD) y el resultado exacto del an-lisis
riguroso (ARH) no lineal, debido a pef,n(t) = -sng(t), n = 1, 2, 3
y 4, donde g(t) = movimiento del terreno LA25.
10
0
10ARH no lineal
n = 1
5.073
15
0
15n = 2
9.634
5
0
5
Dis
tors
in
de e
ntre
piso
sup
erio
r, cm
n = 33.490
0 5 10 152
0
2
Tiempo, s
n = 4
1.280
10
0
10AHRMD
n = 1
6.097
15
0
15n = 2
8.651
5
0
5n = 33.532
0 5 10 152
0
2
Tiempo, s
n = 4
1.220
-
Seccin 20.7 Anlisis pushover modal 797
20.7 ANLISIS PUSHOVER MODAL
20.7.1 Sistemas elsticos lineales
El anlisis del espectro de respuesta (secciones 13.7 y 13.8),
que es un procedimiento de anlisis dinmico, puede interpretarse de
dos maneras: como un anlisis esttico o como un anlisis pushover. En
la seccin 13.8.1 se demostr que el anlisis esttico del edificio
sometido a las fuerzas laterales
fn = sn An = nm n An (20.7.1)proporcionar el mismo valor de rn,
el valor mximo de la respuesta del n-simo modo rn(t), que en la
ecuacin (13.7.1), donde An = A(Tn, n), la ordenada del espectro de
pseudo-aceleracin correspondiente al perodo de vibracin natural Tn
y a la fraccin de amortigua-miento n del n-simo modo.
Al mismo tiempo, esta respuesta modal mxima puede obtenerse por
medio de un anlisis esttico lineal de la estructura sometida a
fuerzas laterales que aumentan progresi-vamente con una distribucin
que no vara al cambiar la altura:
s*n =m n (20.7.2)empujando a la estructura hasta el
desplazamiento de techo, urn (el subndice r indica techo o roof),
el valor mximo del desplazamiento del techo debido al n-simo modo
que, a partir de la ecuacin (20.6.6), es
urn = nrn Dn (20.7.3)donde Dn D(Tn, n) es la ordenada del
espectro de respuesta de deformacin correspon-diente al perodo Tn y
a la fraccin de amortiguamiento n del n-simo modo. En la figura
20.7.1 se muestra la distribucin de fuerza lateral s
*n para los tres primeros modos del edifi-
cio SAC de 9 niveles en Los ngeles. Sin embargo, para los
factores de escalamiento, n, estas distribuciones son idnticas a
las de la figura 20.5.2.
Las respuestas modales mximas, rn, cada una determinada mediante
un anlisis pus-hover, pueden combinarse de acuerdo con las reglas
de combinacin modal de las ecuacio-nes (13.7.3) o (13.7.4), segn
corresponda, para obtener una estimacin del valor mximo r de la
respuesta total. En forma equivalente al procedimiento de anlisis
del espectro de
s*1
0.487
0.796
1.12
1.44
1.75
2.04
2.33
2.61
3.05
s*2
1.1
1.67
2.03
2.1
1.8
1.13
0.0272
1.51
3.05
s*3
2.31
2.94
2.37
0.728
1.38
2.93
2.72
0.39
3.05
Figura 20.7.1 Distribuciones de fuerza lateral s*n =m n , n = 1,
2, y 3, para los tres primeros modos del edificio SAC de 9 niveles
en Los nge-les. (Tomadas de Goel y Chopra, 2004).
-
Anlisis ssmico y respuesta de edificios inelsticos Captulo
20798
respuesta estndar descrito en las secciones 13.7 y 13.8, el
procedimiento de anlisis pus-hover modal no ofrece ninguna ventaja
para los sistemas elsticos lineales, pero esta inter-pretacin del
anlisis del espectro de respuesta permite extender el anlisis
pushover modal a los sistemas inelsticos. Antes de hacerlo, tenga
en cuenta que la rn determinada mediante el anlisis pushover tambin
puede interpretarse como la respuesta mxima de un sistema elstico
lineal a pef,n(t), el componente del n-simo modo de las fuerzas
ssmicas efectivas. Esta interpretacin es vlida porque, como se
demostr en la seccin 12.8, el sistema res-ponde slo en su n-simo
modo cuando se somete a esta excitacin.
20.7.2 Sistemas inelsticos
La respuesta mxima rn del sistema inelstico a pef,n(t) tambin se
determina mediante un anlisis pushover, que ahora es un anlisis
esttico no lineal en vez de un anlisis esttico lineal, de la
es-tructura sometida a fuerzas laterales distribuidas en la altura
del edificio de acuerdo con s*n (ecua-cin 20.7.2), donde las
fuerzas aumentan para empujar la estructura hasta el desplazamiento
de techo urn. Este valor del desplazamiento del techo tambin se
determina a partir de la ecuacin (20.7.3), pero Dn es ahora la
deformacin mxima del n-simo modo del sistema inelstico de 1GDL (en
vez del n-simo modo del sistema elstico de 1GDL), la cual se
determina al resolver la ecuacin (20.6.13) para Dn(t). En este
desplazamiento de techo, los resultados del anlisis est-tico no
lineal proporcionan una estimacin del valor mximo rn de la cantidad
de respuesta rn(t): desplazamientos de nivel, distorsiones de
entrepiso y otras cantidades de deformacin.
El anlisis esttico no lineal usando la distribucin de fuerza s*n
conduce a la curva de capacidad del n-simo modo, una grfica de la
fuerza cortante basal Vbn contra el desplaza-miento del techo urn.
A partir de la curva de capacidad del n-simo modo se obtiene la
curva de fuerza-deformacin (Fsn/Ln - Dn) para el n-simo modo del
sistema inelstico de 1GDL, que se requiere en la ecuacin (20.6.13).
Las fuerzas y los desplazamientos en los dos con-juntos de curvas
se relacionan de la siguiente manera (vea la deduccin 20.1):
FsnLn=
VbnM*n
Dn =urn
nrn (20.7.4)
donde M*n = Ln n es la masa modal efectiva (seccin 13.2.5).En la
figura 20.7.2 se muestra la curva de capacidad del n-simo modo y su
idealiza-
cin bilineal; en el punto de cedencia la fuerza cortante basal
es Vbny y el desplazamiento del techo es urny. Los dos estn
relacionados a travs de (deduccin 20.2)
FsnyLn
= 2nDny (20.7.5)
Tal como deba ser, la pendiente inicial de la curva Fsn/Ln Dn es
igual a 2n, lo que implica su coincidencia con la relacin
fuerza-deformacin para el sistema lineal en la ecuacin (20.6.5). Al
conocer Fsny/Ln y Dny a partir la curva de capacidad y la ecuacin
(20.7.4), el perodo de vi-bracin elstica inicial Tn del n-simo modo
del sistema inelstico de 1GDL se calcula a partir de
Tn = 2piLnDnyFsny
1/2
(20.7.6)
Este valor de Tn, que puede diferir del periodo del sistema
lineal correspondiente deter-minado al resolver el problema de
valor caracterstico (seccin 10.2), debe utilizarse en la ecuacin
(20.6.13).
-
Seccin 20.7 Anlisis pushover modal 799
El valor rn de la respuesta determinado mediante el anlisis
pushover es una estimacin del valor mximo de la respuesta rn(t) de
la estructura inelstica a pef,n(t), pero no es idntica a otra
estimacin determinada mediante el anlisis de la historia de la
respuesta modal des-acoplada. Como se mencion anteriormente, la rn
determinada mediante el anlisis pushover de un sistema elstico
lineal es el valor mximo exacto de rn(t), la contribucin del n-simo
modo a la respuesta r(t). Por lo tanto, se hace referencia a rn
como la respuesta modal mxima incluso en el caso de los sistemas
inelsticos. Sin embargo, para los sistemas inelsticos, las dos
estimaciones (modal desacoplada y pushover modal) de la respuesta
modal mxima son tanto aproximadas como diferentes entre s; la nica
excepcin es el desplazamiento del techo, puesto que se hace
coincidir de manera deliberada en los dos anlisis. Las dos
estimaciones difieren porque los anlisis subyacentes implican
diferentes supuestos. El anlisis modal des-acoplado se basa en la
aproximacin contenida en la segunda mitad de la ecuacin (20.6.10),
que se evita en el anlisis pushover modal porque los
desplazamientos de nivel, las distorsio-nes de entrepiso y las
otras cantidades de deformacin se determinan mediante un anlisis
esttico no lineal utilizando la distribucin de fuerza s*n. Como
resultado, los desplazamientos de nivel del sistema inelstico ya no
son proporcionales a la forma del n-simo modo, en contraste con la
segunda mitad de la ecuacin (20.6.10). En este sentido, el
procedimiento pushover modal representa de mejor manera el
comportamiento no lineal de una estructura que el anlisis de la
historia de la respuesta modal desacoplada.
Sin embargo, el procedimiento pushover modal contiene una fuente
diferente de aproximacin, que no existe en el anlisis modal
desacoplado. Las respuestas modales mximas rn, cada una determinada
mediante un anlisis esttico nolineal, se combinan por medio de una
regla de combinacin modal, al igual que en el anlisis del espectro
de res-puesta de los sistemas elsticos lineales. Esta aplicacin de
las reglas de combinacin mo-dal en los sistemas inelsticos carece
de una base terica rigurosa, pero parece razonable, porque los
modos slo estn dbilmente acoplados.
20.7.3 Resumen
Las demandas de deformacin ssmica (los desplazamientos de nivel,
las distorsiones de entre-piso y las rotaciones de las
articulaciones plsticas) para un edificio de varios niveles con
planta
Figura 20.7.2 (a) Una curva de capacidad del n-simo modo y su
idealizacin bilineal; (b) rela-cin fuerza-deformacin para el n-simo
modo del sistema inelstico de 1GDL.
(a)
urn
Vbn
urny
Vbny
Real
Idealizado
1k
n
1
nk
n
(b)
Dn
Fsn
/ L
n
Dny
= urny
/ n
rn
Vbny
/ M*n
1
n2
1 nn2
-
Anlisis ssmico y respuesta de edificios inelsticos Captulo
20800
simtrica sometido a un movimiento ssmico del terreno a lo largo
de un eje de simetra pueden estimarse mediante el procedimiento
pushover modal, cuyos pasos se resumen a continuacin:
1. Calcule las frecuencias, n, y los modos, n, naturales para la
vibracin elstica lineal del edificio (figura 20.5.1).
2. Para el n-simo modo, desarrolle la curva de capacidad del
cortante basal contra el desplazamiento del techo, Vbn-urn,
mediante el anlisis esttico no lineal del edificio usando la
distribucin de fuerza lateral, s*n (ecuacin 20.7.2 y figura
20.7.1). Las cargas iniciales de gravedad (muertas y vivas) se
aplican antes que las fuerzas laterales, provocando el
desplazamiento lateral del techo urg.
3. Convierta la curva de capacidad Vbn-urn en la relacin
fuerza-deformacin, Fsn/Ln-Dn, para el n-simo modo del sistema
inelstico de 1GDL, utilizando la ecuacin (20.7.4).
4. Idealice la relacin fuerza-deformacin para el n-simo modo del
sistema de 1GDL como una curva bilineal o trilineal, segn sea
adecuado, o mediante idealizaciones ms sofisticadas. A partir de
esta curva de carga inicial, defina las ramas de descarga y carga
apropiadas para el sistema estructural y el material.
5. Calcule la deformacin mxima Dn del n-simo modo del sistema
inelstico de 1GDL, definido por la relacin fuerza-deformacin
histertica que se desarroll en el paso 4 y la fraccin de
amortiguamiento n. Calcule el perodo de vibracin elstica inicial
(ecuacin 20.7.6) y estime la fraccin de amortiguamiento (captulo
11). Para este sistema de 1GDL, Dn se determina por el anlisis
riguroso no lineal (es decir, mediante la resolucin de la ecuacin
20.6.13).
6. Calcule el desplazamiento mximo urn del techo, asociado con
el n-simo modo del sistema inelstico de 1GDL, a partir de la
ecuacin (20.7.3).
7. De acuerdo con la base de datos del anlisis pushover (punto
2), extraiga los valores de las respuestas deseadas rn+g debidos a
los efectos combinados de la gravedad y las cargas laterales del
desplazamiento de techo iguales a urn + urg.
8. Repita los pasos 3 a 7 para tantos modos como sea necesario a
fin de obtener una precisin suficiente.
9. Calcule la respuesta dinmica debida al n-simo modo: rn = rn+g
- rg, donde rg es la contribucin de las cargas de gravedad.
10. Determine la respuesta dinmica total rd mediante la
combinacin de las respuestas modales mximas utilizando una regla de
combinacin modal adecuada (seccin 13.8).
11. Determine la demanda ssmica total mediante la combinacin de
la respuesta inicial debida a las cargas de gravedad y la respuesta
dinmica mxima:
r mx(rg rd) (207.7.)
Rotaciones de articulaciones plsticas y fuerzas de los miembros.
Los desplazamientos de nivel y las distorsiones de entrepiso
totales se estiman mediante la com-binacin de los valores obtenidos
a partir del anlisis de las cargas de gravedad y el anlisis
pushover modal (pasos 10 y 11). Este procedimiento tambin puede
utilizarse para deter-minar otras cantidades de deformacin, como
las rotaciones de las articulaciones plsticas. Al mismo tiempo, es
posible obtener una estimacin mejorada mediante el clculo de las
rotaciones de las articulaciones plsticas a partir de las
distorsiones de entrepiso totales usando un procedimiento publicado
(Gupta y Krawinkler, 1999).
Como se resumi con anterioridad, el procedimiento del anlisis
pushover modal tambin puede usarse para estimar las fuerzas
internas en los miembros estructurales que permanecen dentro de su
intervalo elstico lineal, pero no en aquellos que se deforman
en
-
Seccin 20.7 Anlisis pushover modal 801
el intervalo inelstico. En este ltimo caso, las fuerzas en los
miembros se estiman a partir de las deformaciones totales de los
miembros (determinadas en el paso 11 del procedimien-to pushover
modal). Los investigadores han desarrollado procedimientos para
calcular las fuerzas en los miembros, los cuales no se incluyen
aqu.
Extensin del anlisis pushover modal. El procedimiento de anlisis
pus-hover modal, que en las secciones anteriores estuvo restringido
a los edificios de planta simtrica, se ha extendido a los edificios
de planta asimtrica, los cuales responden en movimientos acoplados
lateral-torsional durante los sismos. Esta extensin se basa en el
de-sarrollo anterior de los procedimientos modales riguroso y del
espectro de respuesta para el anlisis lineal de edificios con
planta asimtrica (secciones 13.3 y 13.9). La distribucin de fuerza
s*n utilizada en el anlisis pushover de cada modo incluye ahora dos
fuerzas latera-les y un par de torsin en cada nivel, y las demandas
modales se combinan mediante la regla CQC, en vez de la regla SRSS,
para obtener una estimacin de la demanda ssmica total.
Deduccin 20.1
La ecuacin (20.7.4b), que relaciona los desplazamientos del
techo urn del sistema de VGDL en la curva de capacidad modal con la
deformacin Dn del sistema de 1GDL, resulta evidente a partir de la
ecuacin (20.7.3); mientras que la ecuacin (20.7.4a), que relaciona
las fuerzas en los dos sistemas, puede deducirse de la siguiente
manera: en cualquier etapa del procedimiento esttico no lineal, las
fuerzas laterales estn dadas por la ecuacin (20.7.2) multiplicadas
por un factor de escalamiento; por ejemplo, : fsn = mn. Al
sustituir esta fsn en la ecuacin (20.6.12) y en la ecuacin para la
fuerza cortante basal, Vbn = 1Tfsn, donde 1 es un vector con todos
los elementos iguales a la unidad, y al utilizar las ecuaciones
(20.5.3b y c) se llega a
Fsn = Mn Vbn = Ln (a)As
FsnMn
=VbnLn
(b)
Al dividir ambos lados de la ecuacin (b) entre n, definida en la
ecuacin (20.5.3a), se obtiene la ecuacin (20.7.4a).
Deduccin 20.2
Considere las fuerzas laterales fsny = ymn que causan una fuerza
cortante basal igual a su valor de cedencia Vbny. De acuerdo con
estas fuerzas laterales, la ecuacin (20.6.12) da
Fsny = yMn (a)
Los desplazamientos estticos resultantes ustny satisfacen
kustny = ym n (b)Si se resuelven estas ecuaciones y se usa la
ecuacin (10.2.4) resulta
uny = k1(ym n) =y
2n n (c)
Al igualar las dos expresiones para el desplazamiento del techo,
una a partir de la ecuacin (20.7.3) y otra de la ecuacin (c), se
obtiene
nrn Dny =y
2nrn (d)
Si se igualan las dos expresiones para y, una a partir de la
ecuacin (d) y otra de la ecuacin (a), y se utiliza la ecuacin
(20.5.3a), resulta la ecuacin (20.7.5).
-
Anlisis ssmico y respuesta de edificios inelsticos Captulo
20802
20.8 EVALUACIN DEL ANLISIS PUSHOVER MODAL
La respuesta dinmica de cada sistema estructural a cada uno de
los 20 movimientos del terreno se determin mediante dos
procedimientos: el anlisis riguroso y el anlisis pushover modal, no
lineales. El valor mximo exacto de la respuesta estructural o la
demanda r, determinada por el anlisis riguroso no lineal, se indica
como rNL-AHR y el valor aproximado mediante el pushover modal como
rAPM. La respuesta de cada edificio tambin se calcul bajo el
supuesto de que la es-tructura es bastante fuerte como para
permanecer elstica. Para los sistemas elsticos, el anlisis no
lineal de la historia de la respuesta se especifica como el anlisis
riguroso lineal y el pushover modal se reduce al anlisis del
espectro de respuesta, por lo que estas respuestas se indican como
rAHR y rAER. En esta seccin se presentan las medianas de las
respuestas ssmicas o demandas de edificios de 9 y 20 niveles. Se
llevaron a cabo los procedimientos del anlisis del espectro de
respuesta y el pushover modal, que incluyen un nmero variable de
modos: uno, dos o tres modos para los edificios de 9 niveles y uno,
tres o cinco modos para los edificios de 20 niveles.
20.8.1 Curvas de capacidad modales y desplazamientos de
techo
En las figuras 20.8.1 a 20.8.3 se muestran las curvas de
capacidad para el primero, segundo y tercer modos, respectivamente,
y se identifican los desplazamientos modales del techo debido a
cada uno de los 20 movimientos del terreno, as como su mediana;
estos desplazamientos del techo se determinaron mediante el
procedimiento pushover modal (vea los pasos 5 y 6 en el re-sumen
del anlisis presentado en la seccin 20.7.3). En la grfica del
primer modo se excluyen los desplazamientos de techo debidos a los
movimientos del terreno que provocaron el colapso
Figura 20.8.1 Curvas de capacidad del primer modo para seis
edificios SAC; se identifica el desplaza-miento del techo debido a
cada uno de los 20 movimientos del terreno, y se indica el valor de
la mediana.
0 0.5 1 1.5 20
0.1
0.2
Cor
tant
e ba
sal/p
eso
Boston
9 niveles
Med
iana
= 0
.313
0 0.5 1 1.50
0.1
0.2
Cor
tant
e ba
sal/p
eso
20 niveles
Med
iana
= 0
.15
0 1 2 3 4 5
Seattle
Med
iana
= 1
.86
0 0.5 1 1.5 2 2.5Desplazamiento del techo/altura, %
Med
iana
= 0
.861
0 1 2 3 4 5 6
Los ngeles
Med
iana
= 2
.82
0 1 2 3 4
Med
iana
= 1
.54
-
Seccin 20.8 Evaluacin del anlisis pushover modal 803
Figura 20.8.2 Curvas de capacidad del segundo modo para seis
edificios SAC; se identifica el desplazamiento del techo debido a
cada uno de los 20 movimientos del terreno, y se indica el valor de
la mediana.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
Cor
tant
e ba
sal/p
eso
Boston
9 nivelesM
edia
na =
0.1
22
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
0.1
0.2
Cor
tant
e ba
sal/p
eso
20 niveles
Med
iana
= 0
.073
0 0.5 1 1.5 2
Seattle
Med
iana
= 0
.495
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Desplazamiento del techo/altura, %
Med
iana
= 0
.322
0 0.5 1 1.5 2
Los ngeles
Med
iana
= 0
.452
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Med
iana
= 0
.405
Figura 20.8.3 Curvas de capacidad del tercer modo para seis
edificios SAC; se identifica el desplazamiento del techo debido a
cada uno de los 20 movimientos del terreno, y se indica el valor de
la mediana.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
0.1
0.2
Corta
nte
basa
l/pes
o
Boston
9 niveles
Med
iana
= 0
.045
3
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
0.1
0.2
Corta
nte
basa
l/pes
o
20 niveles
Med
iana
= 0
.029
8
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Seattle
Med
iana
= 0
.129
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Desplazamiento del techo/altura, %
Med
iana
= 0
.121
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Los ngelesM
edia
na =
0.1
01
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Med
iana
= 0
.116
-
Anlisis ssmico y respuesta de edificios inelsticos Captulo
20804
del sistema de 1GDL: las excitaciones uno, tres y seis en el
caso de los edificios de Seattle con 9 niveles y Los ngeles con 9 y
20 niveles. Las figuras 20.8.1 a 20.8.3 permiten las siguientes
observaciones: los edificios de Boston siguen siendo elsticos para
todos los modos durante los movimientos del terreno, y su
desplazamiento medio del techo est muy por debajo del
des-plazamiento de cedencia. Existen varios movimientos del terreno
que conducen al edificio de Seattle con 9 niveles muy por encima
del lmite elstico en los dos primeros modos, pero no en el tercer
modo. La mediana del desplazamiento es muy superior al
desplazamiento de cedencia para el primer modo, pero slo
ligeramente superior para el segundo modo. Varios movimien-tos del
terreno conducen al edificio de Seattle con 20 niveles mucho ms all
del desplazamien-to de cedencia en los tres primeros modos; sin
embargo, la mediana del desplazamiento supera por mucho al
desplazamiento de cedencia slo para el segundo modo. Los
movimientos muy intensos de Los ngeles, que incluyen varios
movimientos del terreno cerca de la falla, condu-cen a los
edificios de Los ngeles ms all del desplazamiento de cedencia en
los dos primeros modos, incluso la mediana del desplazamiento
supera al desplazamiento de cedencia, aunque ms en el primer modo
que en el segundo. La impresin general es que algunas excitaciones
deforman los edificios de Seattle y Los ngeles en el intervalo
inelstico en los tres primeros modos, pero la mediana del
desplazamiento en los modos superiores al primero estn cerca del
desplazamiento de cedencia, o lo superan slo por una cantidad
pequea.
20.8.2 Contribuciones de los modos superiores en las demandas
ssmicas
En la figura 20.8.4 se muestran las medianas de las demandas de
distorsin de entrepiso, in-cluyendo un nmero variable de modos en
el anlisis pushover modal, superpuestos con el
Figura 20.8.4 Medianas de las distorsiones de entrepiso para
seis edificios SAC determinados mediante anlisis riguroso (ARH) y
anlisis pushover modal (APM) no lineales, con un nmero variable de
modos. (Adaptado de Goel y Chopra, 2004).
0 0.5 1 1.5 2
Boston
9-Story
Niv
el
G
3 6 9
ARH-NLAPM1 "Modo"2 "Modos"3 "Modos"
0 0.5 1 1.5 2
20-Story
Niv
el
G 4 8 12 16 20
ARH-NLAPM1 "Modo"3 "Modos"5 "Modos"
0 1 2 3 4 5
Seattle
0 1 2 3 4 5Distorsin de entrepiso
MPA o
NLRHA, %
0 1 2 3 4 5 6
Los ngeles
0 1 2 3 4 5 6
-
Seccin 20.8 Evaluacin del anlisis pushover modal 805
resultado exacto del anlisis riguroso no lineal. El primer modo
por s solo es inadecuado para estimar las distorsiones de
entrepiso, pero al incluir algunos modos, las distorsiones de
entrepiso estimadas mediante el anlisis pushover modal son mucho
mejores y se asemejan a los resultados del anlisis riguroso no
lineal; sin embargo, existen diferencias significati-vas para los
edificios de Los ngeles. Estas discrepancias se analizarn ms
adelante.
20.8.3 Exactitud del anlisis pushover modal
El procedimiento pushover modal para los sistemas inelsticos se
basa en dos aproximacio-nes principales: (1) despreciar el
acoplamiento dbil de los modos al calcular la respuesta modal mxima
rn a pef,n(t), y (2) combinar las rn mediante las reglas de
combinacin modal, conocidas por ser aproximadas al estimar el valor
mximo de la respuesta total. Debido a que esta ltima es la nica
fuente de aproximacin en el procedimiento del espectro de
res-puesta, que se utiliza mucho para los sistemas elsticos
lineales (secciones 13.7 y 13.8), el error resultante en la
respuesta de estos sistemas sirve como una lnea de base para
evaluar la aproximacin adicional en el anlisis pushover modal para
los sistemas inelsticos.
En las figuras 20.8.5 y 20.8.6 se compara la exactitud del
anlisis del espectro de res-puesta al estimar la respuesta de los
sistemas elsticos con la del anlisis pushover modal al estimar la
respuesta de los sistemas inelsticos. Para cada uno de los seis
edificios del SAC,
Figura 20.8.5 Medianas de las distorsiones de entrepiso para (a)
los sistemas elsticos lineales deter-minados mediante los
procedimientos del espectro de respuesta (AER) y riguroso (ARH); y
(b) los sis-temas inelsticos determinados mediante los
procedimientos pushover modal (APM) y riguroso (ARH) no lineales.
Los resultados son para los edificios SAC de 9 niveles. (Adaptado
de Goel y Chopra, 2004).
0 0.5 1 1.5 2
Boston
Niv
el
G
3 6 9
ARHAER
0 0.5 1 1.5 2
Niv
el
G
3 6 9
ARH-NLAPM
0 1 2 3 4 5
Seattle
(a)
0 1 2 3 4 5Distorsin de entrepiso , %
(b)
0 1 2 3 4 5 6
Los ngeles
0 1 2 3 4 5 6
-
Anlisis ssmico y respuesta de edificios inelsticos Captulo
20806
los resultados se organizan en dos partes: (a) la demanda de
distorsin de enterpiso para estos edificios tratados como sistemas
elsticos, la cual se determina mediante los procedi-mientos del
espectro de respuesta y riguroso; y (b) la demanda para los
sistemas inelsticos, determinada mediante los mtodos pushover modal
y riguroso no lineales. En la aplicacin de los procedimientos del
espectro de respuesta y pushover modal se incluyen tres modos para
los edificios de 9 niveles y cinco modos para los edificios de 20
niveles.
Observe que el procedimiento del espectro de respuesta subestima
la mediana de la respuesta de los seis sistemas elsticos. Esta
subestimacin tiende a aumentar con la altura del edificio, lo cual
coincide con la variacin con la altura que presenta la contribucin
a la respuesta de los modos superiores (seccin 19.6). La
subestimacin ms grande dependiente de la altura se encuentra en un
intervalo que va desde un 15% para el edificio de 9 niveles en Los
ngeles hasta un 28% para el edificio de 9 niveles en Boston. Con el
uso generalizado de programas de software comercial basados en la
aproximacin por combinacin modal, la pro-fesin acepta de forma
tcita dicha aproximacin, pero tal vez no ha reconocido por completo
que puede conducir a la significativa subestimacin de la respuesta
descrita con anterioridad.
Los errores adicionales introducidos por despreciar el
acoplamiento modal en el proce-dimiento pushover modal, que son
evidentes al comparar los incisos (a) y (b) de las figuras 20.8.5 y
20.8.6, dependen de hasta qu punto el edificio responde en el
intervalo inelstico.
Figura 20.8.6 Medianas de las distorsiones de entrepiso para (a)
los sistemas elsticos lineales determinados mediante los
procedimientos del espectro de respuesta (AER) y riguroso (ARH); y
(b) los sistemas inelsticos determinados mediante los
procedimientos pushover modal (APM) y riguroso (ARH) no lineales.
Los resultados son para los edificios SAC de 20 niveles. (Adaptado
de Goel y Chopra, 2004).
0 0.5 1 1.5 2
Boston
Niv
el
G 4 8 12 16 20
ARHAER
0 0.5 1 1.5 2
Niv
el
G 4 8 12 16 20
ARH-NLAPM
0 1 2 3 4 5
Seattle
(a)
0 1 2 3 4 5Distorsin de entrepiso , %
(b)
0 1 2 3 4 5 6
Los ngeles
0 1 2 3 4 5 6
-
Seccin 20.9 Anlisis pushover modal simplificado para su
aplicacin prctica 807
Esto puede juzgarse a partir las curvas de capacidad del primer
modo y de los valores mxi-mos del desplazamiento de techo (figura
20.8.1). Los errores adicionales del anlisis pushover modal (en
comparacin con los del anlisis del espectro de respuesta) son
pequeos para los dos edificios de Boston porque siguen siendo en
esencia elsticos; sin embargo, estos errores aumentan un poco para
los edificios de Seattle porque se deforman moderadamente en el
intervalo inelstico. Adems, los errores aumentan mucho para los
edificios de Los ngeles, sobre todo para los edificios de 9
niveles, que se deforman en la regin de la rigidez posterior a la
cedencia negativa y existe deterioro afn de la capacidad lateral,
lo cual conduce al colapso del primer modo de su sistema de 1GDL
durante varias excitaciones.
20.9 ANLISIS PUSHOVER MODAL SIMPLIFICADO PARA SU APLICACIN
PRCTICA
Con el fin de evaluar los edificios existentes o los diseos
propuestos para edificios nuevos, el procedimiento pushover modal
resumido en la seccin 20.7.3 puede simplificarse de dos maneras: la
primera simplificacin consiste en determinar la deformacin mxima Dn
del n-simo modo del sistema inelstico de 1GDL, que se requiere en
la ecuacin (20.7.3) para estimar el desplazamiento urn del techo,
en el que la respuesta rn del n-simo modo se determina mediante un
anlisis esttico nolineal de la estructura (pasos 7 a 9, en la
seccin 20.7.3). En los resultados que se presentaron en la seccin
20.8, Dn se determin como el valor mximo del Dn(t) obtenido
mediante el anlisis riguroso de la historia de la respuesta no
lineal del sistema de 1GDL a una g(t) dada. Aunque la aplicacin de
tal solucin num-rica de la ecuacin (20.6.13) es sencilla utilizando
los mtodos que se presentaron en el ca-ptulo 5, el clculo puede
evitarse en las aplicaciones prcticas del anlisis pushover
modal.
Un mtodo conveniente consiste en estimar Dn directamente del
espectro de diseo ss-mico (seccin 6.9) que define el riesgo ssmico
para el sitio, utilizando el mtodo presentado en la seccin 7.12.2.
De manera alternativa, el Dn para un sistema inelstico puede
estimarse como la deformacin mxima del sistema lineal
correspondiente, que se lee del espectro de diseo, multiplicado por
la relacin de deformacin inelstica. Varios investigadores han
de-sarrollado ecuaciones empricas de esta relacin, la cual se
define como la razn de las defor-maciones mximas de los sistemas
lineales de 1GDL inelsticos y correspondientes.
La segunda simplificacin consiste en calcular las contribuciones
a la respuesta