Luận văn tốt nghiệp 2011 Nguyễn Thị Quyên 1 MỞ ĐẦU Trong hai thập kỉ cuối thế kỉ XX, tiến bộ của vật lý chất rắn cả lý thuy ết và thực nghiệm được đặc trưng bởi việc chuy ển đối tượng nghiên cứu chính từ các khối tinh thể sang các màng mỏng và các cấu trúc thấp chiều (các hố lượng tử (quantum wells), các cấu trúc siêu mạng (supelattices), các dây lượng tử (quantum wires), các chấm lượng tử (quantum dots)…). Trong đó hệ một chiều đã và đang được nghiên cứu và đã có được những kết quả có ứng dụng thực tế. Dây lượng tử là một ví dụ về hệ khí điện tử một chiều. Dây lượng tử có thể được chế tạo nhờ phương pháp epytaxi chùm phân tử (MBE), hoặc kết tủa hóa hữu cơ kim loại MOCVD, hoặc sử dụng các cổng (gates) trên một transistor hiệu ứng trường (bằng cách này, có thể tạo ra các kênh thấp chiều hơn trên hệ khí điện tử hai chiều)[1,2]. Chúng ta biết rằng trong hệ một chiều, chuy ển động của điện tử bị giới hạn hai chiều, vì vậy chúng chỉ chuy ển động tự do theo một chiều. Sự giam giữ của điện tử trong hệ này làm thay đổi đáng kể độ linh động của chúng [7]. Điều này dẫn đến xuất hiện nhiều hiện tượng mới lạ liên quan đến việc giảm số chiều của hệ. Các hiệu ứng này rất khác so với trong bán dẫn khối thông thường. Hiệu ứng giảm kích thước ảnh hưởng lên các tính chất vật lý của bán dẫn nói chung. Khi chuy ển từ bán dẫn khối sang hệ thấp chiều [2 chiều (2D), 1 chiều (1D), không chiều (0D)], hay chuy ển từ hệ điện tử 3D sang 2D cũng như từ 2D sang 1D đã làm thay đổi đáng kể cả về mặt định tính cũng như định lượng nhiều tính chất vật lý trong đó có tính chất quang của vật liệu do hiệu ứng giảm kích thước gây lên đã làm thay đổi một loạt các tính chất vật lý. Chính những sự thay đổi vể tính chất vật lý cả vể định tính và định lượng do hiệu ứng giảm kích thước đã giúp tạo ra các thiết bị, linh kiện điện tử hiện đại, công nghệ cao có tính chất cách mạng về khoa học, đồng thời là cơ sơ tạo ra các linh kiện điện tử thế hệ mới siêu nhỏ, đa năng, thông minh như hiện nay và trong tương lai.
90
Embed
MỞ ĐẦU - hus.vnu.edu.vn · hấp thụ phonon), bởi trường sóng điện từ do tương tác điện tử - phonon gây ra. Hiệu ứng gia tăng sóng âm (phonon âm)
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Luận văn tốt nghiệp 2011
Nguyễn Thị Quyên 1
MỞ ĐẦU
Trong hai thập kỉ cuối thế kỉ XX, tiến bộ của vật lý chất rắn cả lý thuyết và
thực nghiệm được đặc trưng bởi việc chuyển đối tượng nghiên cứu chính từ các
khối tinh thể sang các màng mỏng và các cấu trúc thấp chiều (các hố lượng tử
(quantum wells), các cấu trúc siêu mạng (supelattices), các dây lượng tử (quantum
wires), các chấm lượng tử (quantum dots)…). Trong đó hệ một chiều đã và đang
được nghiên cứu và đã có được những kết quả có ứng dụng thực tế.
Dây lượng tử là một ví dụ về hệ khí điện tử một chiều. Dây lượng tử có thể
được chế tạo nhờ phương pháp epytaxi chùm phân tử (MBE), hoặc kết tủa hóa hữu
cơ kim loại MOCVD, hoặc sử dụng các cổng (gates) trên một transistor hiệu ứng
trường (bằng cách này, có thể tạo ra các kênh thấp chiều hơn trên hệ khí điện tử hai
chiều)[1,2].
Chúng ta biết rằng trong hệ một chiều, chuyển động của điện tử bị giới hạn
hai chiều, vì vậy chúng chỉ chuyển động tự do theo một chiều. Sự giam giữ của điện
tử trong hệ này làm thay đổi đáng kể độ linh động của chúng [7]. Điều này dẫn đến
xuất hiện nhiều hiện tượng mới lạ liên quan đến việc giảm số chiều của hệ. Các hiệu
ứng này rất khác so với trong bán dẫn khối thông thường.
Hiệu ứng giảm kích thước ảnh hưởng lên các tính chất vật lý của bán dẫn nói
chung. Khi chuyển từ bán dẫn khối sang hệ thấp chiều [2 chiều (2D), 1 chiều (1D),
không chiều (0D)], hay chuyển từ hệ điện tử 3D sang 2D cũng như từ 2D sang 1D
đã làm thay đổi đáng kể cả về mặt định tính cũng như định lượng nhiều tính chất vật
lý trong đó có tính chất quang của vật liệu do hiệu ứng giảm kích thước gây lên đã
làm thay đổi một loạt các tính chất vật lý. Chính những sự thay đổi vể tính chất vật
lý cả vể định tính và định lượng do hiệu ứng giảm kích thước đã giúp tạo ra các
thiết bị, linh kiện điện tử hiện đại, công nghệ cao có tính chất cách mạng về khoa
học, đồng thời là cơ sơ tạo ra các linh kiện điện tử thế hệ mới siêu nhỏ, đa năng,
thông minh như hiện nay và trong tương lai.
Luận văn tốt nghiệp 2011
Nguyễn Thị Quyên 2
Trong hệ bán dẫn thấp chiều, hiệu ứng giảm kích thước làm biến đổi các đại
lượng vật lý trong đó có làm thay đổi tốc độ thay đổi phonon âm (gia tăng phonon,
hấp thụ phonon), bởi trường sóng điện từ do tương tác điện tử - phonon gây ra.
Hiệu ứng gia tăng sóng âm (phonon âm) trong bán dẫn khối đã được nghiên
cứu [4,5,9,11,13,14,19,27], các công trình này đã xét các cấu trúc bán dẫn suy biến
[13,14] và bán dẫn không suy biến [4,5,9,11,27]…. Trong hố lượng tử, bài toán
cũng đã được giải quyết [6,21].
Trong hệ một chiều, hiệu ứng gia tăng sóng âm (phonon âm) không giam
cầm đã được nghiên cứu [8, 24]. Nhưng hiệu ứng gia tăng sóng âm (phonon âm)
giam cầm trong dây lượng tử thì cả thực nghiệm và bài toán vật lý (lý thuyết) vẫn
còn bỏ ngỏ. Trong luận văn này, tôi nghiên cứu bài toán vật lý (lý thuyết) còn bỏ
ngỏ đó, đó là: Ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên sự gia tăng sóng âm
(phonon âm) giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn.
Phương pháp nghiên cứu:
Để giải quyết những bài toán thuộc loại này, ta có thể áp dụng nhiều phương
pháp lý thuyết khác nhau. Để tính toán tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam
cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn từ góc độ lý thuyết cổ điển
ta sử dụng phương trình động cổ điển Boltzmann…còn từ góc độ lượng tử ta sử
dụng phương pháp hàm Green, phương trình động lượng tử, phương pháp tích phân
phiếm hàm… Khi nghiên cứu và tính toán ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước
lên sự gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật
hố thế cao vô hạn, chúng tôi sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử.
Mục đích nghiên cứu:
Tính toán tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm bởi trường bức xạ
laser trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn trên cơ sơ phương trình
động lượng tử cho phonon, thu được biểu thức giải tích của tốc độ gia tăng sóng âm
(phonon âm) giam cầm, phân tích sự phụ thuộc của tốc độ gia tăng sóng âm
(phonon âm) giam cầm vào vectơ sóng của phonon (qz) , tần số (Ω), cường độ (E0)
của trường bức xạ laser, nhiệt độ (T) của hệ và các tham số đặc trưng cho dây lượng
Luận văn tốt nghiệp 2011
Nguyễn Thị Quyên 3
tử (Lx, Ly), chỉ số đặc trưng cho sự giam cầm phonon (m, k). Tốc độ gia tăng sóng
âm (phonon âm) giam cầm phụ thuộc không tuyến tính vào các đại lượng vật lý
trên. Tính toán số và vẽ đồ thị cho dây lượng tử GaAs/GaAsAl và so sánh kết quả
chính thu được với tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) trong dây lượng tử hình
chữ nhật hố thế cao vô hạn nhưng chưa kể đến giam cầm phonon.
Cấu trúc luận văn:
Ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục, luận văn được chia làm ba chương:
Chương 1: Lý thuyết gia tăng sóng âm (phonon âm) trong bán dẫn khối và
trong dây lượng tử (nhưng không kể đến giam cầm phonon).
Chương 2: Hiệu ứng giảm kích thước ảnh hưởng lên phổ năng lượng của
điện tử trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn và phương trình động
lượng tử cho phonon giam cầm trong dây lượng tử.
Chương 3:Ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên tốc độ gia tăng sóng
âm (phonon âm) giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn.
Trong đó, chương 2 và chương 3 là hai chương chứa đựng kết quả chính của
luận văn. Các kết quả đều được tính toán số và vẽ đồ thị cho dây lượng tử
GaAs/GaAsAl.
Kết quả thu được của luận văn đã báo cáo ở hội nghị Vật lý lý thuyết toàn
quốc tháng 8 năm 2011 (Quy Nhơn/2011) và gửi đăng ở Tạp chí Nghiên cứu Khoa
học và Công nghệ Quân sự, viện Khoa học và Công nghệ Quân sự.
Luận văn tốt nghiệp 2011
Nguyễn Thị Quyên 4
CHƯƠNG 1.
LÝ THUYẾT GIA TĂNG SÓNG ÂM (PHONON ÂM) TRONG
BÁN DẪN KHỐI VÀ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ
(NHƯNG KHÔNG KỂ ĐẾN GIAM CẦM PHONON).
1.1. Lý thuyết gia tăng sóng âm (phonon âm) trong bán dẫn khối.
1.1.1. Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon trong bán dẫn
khối khi có mặt trường sóng điện từ.
Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối khi có mặt trường
bức xạ laser )sin(0 tEE :
2
,
1( ) ( ) ( ) 1.12 p p q q q q p q p q q
p q p q
eH t p A t a a b b C a a b bm c
Trong đó p
a và pa (
qb và
qb ) tương ứng là toán tử sinh và toán tử huỷ của
điện tử (phonon);
p
và ( )p q
là trạng thái của điện tử trước và sau khi tán xạ;
p
)(q là vectơ sóng của điện tử (phonon) trong bán dẫn khối;21( ) ( )
2ep p A t
m c
là năng lượng điện tử;
q là năng lượng của phonon âm; c là vận tốc ánh sáng; m và e tương ứng
là khối lượng và điện tích của điện tử;
qC là hằng số tương tác điện tử - phonon;
)(tA là thế vectơ và trong mối liên hệ với trường sóng điện từ, xác định bởi
biểu thức:
01 ( ) sin( )d A t E tc dt
(1.2)
Luận văn tốt nghiệp 2011
Nguyễn Thị Quyên 5
Từ Hamilton (1.1) ta có: 2
,
1, ( ) ( ) ,2
, , ( ) .
q q q p pt t tp
q qk k k k kk p k pt tk p k
ei b b H t p A t b a at m c
b b b C b a a b b
(1.3)
Thực hiện phép biến đổi, và chú ý các hệ thức toán tử, ta có:
q q q q p q pt t tp
i b b C a at
(1.4)
Ta thiết lập phương trình cho p q p ta a
:
2
' ''
' '',
1, ( ) ' ( ) ,2
, , ( ) . 1.5
p q p p q p p q p p pt t tt tp
p q p p q pk k k kk p k p kt tt tk p k
ei a a a a H t p A t a a a at m c
h a a b b C a a a a b b
Thực hiện biến đổi đại số toán tử biểu thức (1.5), ta thu được:
( )
( ) ( )
p q p p p q p q pt t
p pp k k p k kk k kt tk t
eqi a a A t a at mc
C a a b b a a b b
(1.6)
Từ (1.6) ta tìm được:
1
1
1 2 2
( ) ( )
exp ( )( ) ( )
t
p q p p pp k k p k kk k kt t tk
t
p p qt
a a i dt C a a b b a a b b
ei t t i qA t dtmc
(1.7)
Luận văn tốt nghiệp 2011
Nguyễn Thị Quyên 6
Thay (1.7) vào (1.4), ta có:
1
1,
1 2 2
( ) ( )
exp ( )( ) ( ) 1.8
t
q q q q p pp k k p k kk k kt t t tp k k
t
p p qt
b i b C C dt a a b b a a b bt
ei t t i qA t dtmc
Trong gần đúng bậc hai của qC , ta có thể bỏ qua 1
q tb , và sẽ thu được:
1
1
21
,
1 2 2
( )
exp ( )( ) ( )
t
q q q q p p q qt t tp k
t
p p qt
b i b C n n dt bt
ei t t i qA t dtmc
(1.9)
Với:
02 0 2 2 2( ) sin( ) os( )cEA t cE t dt c t
(1.10)
Thay (1.10) vào (1.9) đồng thời sử dụng biểu thức biến đổi:
nn=-
exp( iz sin )= J ( ) exp( in )z
( )nJ z là các hàm Bessel đối số thực ta sẽ có :
1
21
0 01 1 2 2
,
( )
exp ( )( ) is t
t
q q q q p p q qt t tp
p p q l sl s
b i b C n n dt bt
eE q eE qi t t il t J Jm m
(1.11)
Phương trình (1.11) chính là phương trình động lượng tử của phonon trong
bán dấn khối [3]
1.1.2. Lý thuyết gia tăng sóng âm (phonon âm) trong bán dẫn khối (trường hợp
hấp thụ một photon).
Luận văn tốt nghiệp 2011
Nguyễn Thị Quyên 7
Sử dụng công thức chuyển phổ Fourier:
( )
1 ( )2
i tq q t
i tq qt
B b e d t
b B e d
q qt tb i b
t
(1.12)
Từ phương trình (1.11) và (1.12) ta có
1
21
0 01 12 2
,
( )
exp ( )( ) is t
t
q q q q p p q qt t tp
l s p p ql s
i b i b C n n dt b
eE q eE qJ J i t t il tm m
(1.13)
Hay viết dưới dạng khác:
2 0 02 2
,
1 1 1
1 1( ) ( )2 2
( )
1 ( ) exp ( )( ) is t2
i t i tq q q
q p p q l sp l s
ti t
q p p q
i B e d i B e d
eE q eE qC n n J Jm m
dt B e d i t t il t
2 0 02 2
,
íl t
( )
( )1 2 ( )
q p p q l sp l s
i t il tq
p p q
eE q eE qC n n J Jm m
B ed
i l i
Trong đó: ( )x là hàm Delta-Dirac.
Dùng công thức chuyển phổ Fourier ta lại có:
ís t( ) ( )i t il t i tq qB e d B s l e d
Luận văn tốt nghiệp 2011
Nguyễn Thị Quyên 8
Nên:
2 0 02 2
,
1 1( ) ( )2 2
( )
( )12 ( )
i t i tq q q
q p p q l sp l s
i tq
p p q
i B e d i B e d
e E q e E qC n n J Jm m
B s l ed
i l i
(1.14)
Từ phương trình (1.14) ta có:
2
0 02 2
,
( ) ( )( )
( )
p p qq q q q
p p p q
l s ql s
n ni B i B C
i l i
eE q eE qJ J B s lm m
(1.15)
Từ (1.15) đặt 02
eEam
, ( ) ; 0( )
p p q
pq p p q
n nl i
(1.16)
Ta sẽ có:
2
,
( ) ( ) ( ) ( )q q q l s ql s q
B C J aq J aq l B s l
(1.17)
Nhận xét rằng trong phương trình (1.17) các số hạng với l s bên vế phải sẽ
cho đóng góp hằng số tương tác điện tử - phonon bậc cao hơn số hạng với l s .
Vậy có thể đặt l=s trong công thức (1.17) và thu được phương trình tán sắc:
2 2( ) ( ) ( ) 0q q q ll q
B C J aq l
(1.18)
Từ phương trình tán sắc, ta thu được hệ số hấp thụ sóng âm:
2 2
( ) Im( )
q l p p q p p q ql p
q
C J aq n n l
(1.19)
Coi sóng âm đồng nghĩa với phonon âm, từ công thức chung (1.19) ta tính hệ
số hấp thụ sóng âm ( )q
cho bán dẫn.
Luận văn tốt nghiệp 2011
Nguyễn Thị Quyên 9
Xét cho trường hợp khí điện tử suy biến và trong trường hợp hấp thụ một
photon, với giả thiết q>>pF; F , thu được hệ số hấp thụ sóng âm: 22 2
02( )
4 2 2FeE qm q m q mq p
s m q q
Trong đó là khối lượng riêng, s là vận tốc sóng âm, 0eEm
PF là xung lượng Fermi của điện tử; ( )z lầ hàm có bước nhảy:
1 , 0
( )0 , 0 .
zz
z
Ở điểm 2q m , ( )q
sẽ đổi dấu và với:
2 2F Fm p p q m sẽ xuất hiện sự gia tăng sóng âm ( ) 0q
Đối với trường hợp bán dẫn không suy biến và hấp thụ một phonon: coi đối số của
hàm Bessel rất nhỏ sao cho 1aq
với
0e Em
.
Biểu thức đối với hàm phân bố của điện tử: 3 / 22
02e x p ;
2ppn A A n
m k T m k T
(1.20)
Hằng số tương tác điện tử - phonon âm:
22
0 2qqC
V s
(1.21)
Vói V0 thể tích của tinh thể, thương chọn V0=1;
- hằng số thế biến dạng.
S – vận tốc sóng âm. - mật độ tinh thể.
Đặt (1.20), (1.21) vào công hức chung (1.19).
Chuyển từ tổng sang tích phân theo p , thu được bểu thức đối với hệ số hấp thụ
sóng âm đối với trường hợp hấp thụ một photon như sau:
Luận văn tốt nghiệp 2011
Nguyễn Thị Quyên 10
1/ 2 220
42 2
2
( ) exp 22 2 2
exp 2 exp2 4
qq q
qq q q q
n mq S shs kT kT
qS sh SkT m
(1.22)
Ở đây : 22qmS
q k T
K là hằng số Boltzmann;
N0 là mật độ điện tử;
T là nhiệt độ của hệ.
Từ công thức (1.22), trong trường hợp bất đẳng thức q được thực hiện, ta
có ( ) 0q
và ứng với nó ta có hệ số hấp thụ sóng âm. Ngược lại, trong vùng sóng
âm thỏa mãn bất đẳng thức q ta có ( ) 0q
và có dạng tường minh sau:
1/ 2 22
0
42 2
2
( ) 22 2 2
exp4
q q
q q
n mq sh sh Ss kT kT
qSm
(1.23)
Công thức (1.23) chứng tỏ lúc này hệ số hấp thụ sóng âm ( ( ) 0q
) đã chuyển
thành hệ số gia tăng sóng âm ( ( ) 0q
). Nghĩa là ta có hệ số gia tăng sóng âm bởi
trường bức xạ Laser trong bán dẫn không suy biến trong trường hợp hấp thụ một
photon [3].
1.1.3. Ảnh hưởng của quá trình hấp thụ nhiều photon lên hệ số gia tăng sóng
âm (phonon âm) và điều kiện gia tăng sóng âm (phonon âm) trong bán
dẫn khối.
Ta cũng có thể viết hệ số hấp thụ sóng âm (1.19) dưới dạng khác:
2 2( ) q l p p q p q p q p ql p
q C J aq n l l
(1.24)
Đặt p q p ql trong trường hợp 1
, dùng công thức biến đổi:
Luận văn tốt nghiệp 2011
Nguyễn Thị Quyên 11
2 22
2 2ll
J l
Ta sẽ thu được:
2 2 2 22
2 2 2 2( ) q p
pq C n
(1.25)
Trong đó: 0eEm
Sử dụng: 2 2
2 2 2 2z
p q p q q qp qq pq ql
m m m m
2 2
2 2 2 2z
p q p q q qp qq pq ql
m m m m
Công thức biến đổi tổng thành tích phân
2
. .30
1... . . ....2
zp
d dP P dP
Và xét bán dẫn không suy biến, ta sẽ có từ phương trình (1.22) phương trình sau:
22 2 2
. .30 0 0
2 22 22 2
2 22 22 2
( ) . . exp exp2 22
2 2 2 2
2 2 2 2
q zz
z zq q
z zq q
A C P Pq d dP P dPmkT mkT
p q p qq qm m m m
p q p qq qm m m m
(1.26)
Luận văn tốt nghiệp 2011
Nguyễn Thị Quyên 12
Tiếp theo ta tính tích phân theo Pz, P của (1.26), ta nhận được:
22 220
2
2
2 20
222
2
20
.( ) e x p2 2.2 2
1 / 2! 2
2
e x p2 2
1 / 2!
2
q
ql
q
q
l
m n m qqq k T mk T s
m qIq q k T mm
m qq k T m
qm
2
2 2 q
q
m qIq k T m
(1.27)
Cuối cùng ta thu được biểu thức giải tích cho hệ số hấp thụ sóng âm trong bán dẫn
bởi trường bức xạ Laser đối với quá trình hấp thụ nhiều photon như sau:
1/ 2 21/ 22 2 20
2 2
2
2 20
2 2
( ) exp exp2 2 2 2 2
1/ 2! 2
2
exp
2
q
ql
q
q
q
n m m m qqs kT q kT q kT m
m qIq q kT mm
m qIqkT q kTm
2
2 qm
(1.28)
Từ (1.28) ta thấy rằng nếu bất đẳng thức sau được thực hiện:
2 2
2 22 22 22 2
q q
q q
m q m qI Iq qq kT m q kT mm m
(1.29)
Thì ( ) 0q
,còn nếu:
Luận văn tốt nghiệp 2011
Nguyễn Thị Quyên 13
2 2
2 22 22 22 2
q q
q q
m q m qI Iq qq kT m q kT mm m
(1.30)
Ta có ( ) 0q
và có dạng tường minh như sau:
1/2 21/22 2 20
2 2
2
2 20
2 2
( ) exp exp2 2 2 2 2
1 / 2exp
! 22
2
q
qq
lq
q
n m m m qqs kT q kT q kT m
m qIqkT q kT mm
mIq q kTm
2
2 qqm
(1.31)
Công thức (1.31) chứng tỏ rằng lúc này, hệ số hấp thụ sóng âm ( ) 0q
đã
chuyển thành hệ số gia tăng sóng âm ( ) 0q
. Nghĩa là một lần nữa ta thu nhận
được hệ số gia tăng sóng âm ở trong cả trường hợp hấp thụ nhiều photon bởi trường
bức xạ Laser [3]
Vậy: các biểu thức cho điều kiện gia tăng sóng âm trong bán dẫn khối là
q và hệ số gia tăng sóng âm (1.23) trong quá trình hấp thụ một photon, cũng
như các biểu thức cho điều kiện gia tăng sóng âm trong quá trình hấp thụ nhiều
photon (1.30),(1.31) được thu nhận dưới dạnh giải tích.
1.2. Lý thuyết gia tăng sóng âm (phonon âm) trong dây lượng tử (nhưng
không kể đến giam cầm phonon).
1.2.1. Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon trong dây lượng tử.
Luận văn tốt nghiệp 2011
Nguyễn Thị Quyên 14
Khi đặt thêm trường ngoài (chẳng hạn trường bức xạ Laser: )sin(0 tEE ),
sự tương tác điện tử - phonon được mô tả bằng Hamiltonian sau:
+ + +, , , ', 'n,l,k n,l,k n,l,k+q n',l',k
, , ', 'n,l,kk,
eH(t)= ε k- A(t) + ω + C (q) ( +b ).cn l q q q n l n l q q
q n l n lq
a a b b a a b
(1.32)
Trong đó: , ( )n lek A tc
là phổ năng lượng của điện tử trong trường ngoài. , ,n l ka
và , ,n l ka (
qb và
qb ) tương ứng là toán tử sinh và toán tử huỷ của điện tử (phonon);
q
là tần số của phonon ứng với vecto sóng q , c là vận tốc ánh sáng. là hằng số
Planck, m và e tương ứng là khối lượng và điện tích của điện tử ; )(tA là thế vectơ
và trong mối liên hệ với trường sóng điện từ, xác định bởi biểu thức:
)sin()(10 tE
dttAd
c
, , ', 'C ( q )n l n l là hằng số tương tác điện tử - phonon trong dây lượng tử, được tính
bởi công thức:
, , ', ' , , ', 'C ( )= C ( )n l n l q n l n lq I q
Với: 2, , ', '
0
2( ) , , ', ', ' * ( , ) ( , )R
iqr iqrn l n lI q n l k e n l k r e r dr
R
22
2qs
qCv V
Trong đó: V là thể tích chuẩn hóa; là hằng số thế biến dạng; sv là tốc độ sóng
âm, là mật độ tinh thể. Trong biểu diễn Heisenberg, phương trình chuyển động của phonon có dạng:
, , , , ,, ,
, , ', ', , , ', ',, , ', ',
, ( ) ( ) ,
, ( ) , ( ) .
q q n l q n l k n l kt t tn l k
p q p p n l n l q p pn l k p n l kt tp n l n lp k
ei b b H t k A t b a at c
b b b C p b a a b b
(1.33)
Luận văn tốt nghiệp 2011
Nguyễn Thị Quyên 15
Thực hiện phép biến đổi toán tử (chú ý các hệ thức toán tử) ta có:
, , ', ' , , ', ',, , ', ',
( ) .q q q n l n l n l k q n l kt t tn l n l k
i b b C q a at
(1.34)
Ta thiết lập phương trình cho , , ', ',n l k q n l k ta a
:
1 1 1 1 11 1
1 1 1 1
, , ', ', , , ', ',
, , , , ,, , ', ', , , ', ',, ,
, , ', ' ,
, ( )
( ) , ,
( )
n l k q n l k n l k q n l kt t
n l n l p n l p j j jn l k q n l k n l k q n l kt tn l p j
n l n l n
i a a a a H tt
ep A t a a a a a a b bc
C j a
1 11 11 1 1 1
', ',, ,, ', ',, , ', ',
, ( ) .n l pn l p j j jl k q n l k tn l n lp j
a a a b b
(1.35)
Thực hiện phép biến đổi toán tử (chú ý các hệ thức toán tử) ta có:
', ' , *, , ', ', , , ', ',
, , ', ' , , ', ', ', ', ', ',
( ) ( ) ( )
( ) ( )
n l n ln l k q n l k n l k q n l kt t
n l n l j j n l k q n l k j n l k q j n l k tj
ei a a k k q qA t a at m c
C j b b a a a a
(1.36)
Để giải phương trình (1.36) trước tiên ta giải phương trình vi phân thuần nhất:
0 0
', ' , *, , ', ', , , ', ',( ) ( ) ( )t
n l n ln l k q n l k n l k q n l k t
ei a a k k q qA t a at m c
(1.37)
tìm nghiệm của phương trình (1.36) bằng phương pháp biến thiên hằng số nghiệm
của phương trình (1.37).
Giải thiết ở t hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt động:
, , ', ', 0q n l k q n l kt tb a a
Ta tìm được nghiệm của phương trình (1.36):
1
1
, , ', ', , ', ', , , ', ', ', ', ', ',
', ' , 1 2 2 1*
( ) ( )
exp ( ) ( ) ( )
t
n l n l j jn l k q n l k n l k q n l k j n l k q j n l kt tj
t
n l n lt
ia a C j b b a a a a
i iek k q t t qA t dt dtm c
(1.38)
Luận văn tốt nghiệp 2011
Nguyễn Thị Quyên 16
Thay phương trình (1.38) vào (1.34), ta được:
1
1
, , ', ' , , ', ', , ', ',,
, , ', ', ', ', ', ',
', ' , 1 2 2*
( ) ( )
( )
exp ( ) ( ) ( )
q q q n l n l n l n lt tn l n lk j
t
j j n l k q n l k j n l k q j n l k t
t
n l n lt
ii b b C q C jt
b b a a a a
i iek k q t t q A t dtm c
1dt
(1.39)
Vì *q qC C nên
2
, , ', ' , , ', ' , , ', '( ) ( ) ( )n l n l n l n l n l n lC q C q C q
Chỉ lấy j q và trong gần đúng bậc hai theo hằng số tương tác 2
qC , bỏ qua sự đóng
góp của q tb .
Từ (2.8) ta được:
1 1
1
2
, , ', ', , ', ',
, , ', ', ', ', ', ',
', ' , 1 2 2 1*
( )
exp ( ) ( ) ( )
q q q n l n lt tn l n l k
t
q n l k q n l k j n l k q j n l kt t
t
n l n lt
ii b b C qt
b a a a a
i iek k q t t q A t dt dtm c
(1.40)
Kí hiệu hàm phân bố của điện tử là , , , , ,( )n l n l k n l k t
n k a a
Do ( ) oscA t c t
nên:
1 10 02 2 2 2 1* * * 2( ) os( t ) sin( ) sin( )
t t
t t
ieE q ieE qie q A t dt c dt t tm c m m
Đặt
0*
e E zqm
(1.41)
Áp dụng công thức:
Luận văn tốt nghiệp 2011
Nguyễn Thị Quyên 17
sin( ) is t( ).iz ts
se J z e
Với ( )sJ z là hàm Bessel đối số thực.
Ta được:
1exp ( ) ( ) exp sin( ) sin( )1 1* 1
( ) ( ) exp( is ) exp( il )1
( ) ( ) exp ( ) ( )1 1,
tie iq A t d t t t
tm c
J J t ts ls l
J J i l s t il t ts ls l
Từ (1.40) ta thu được phương trình động lượng tử cho phonon âm trong dây lượng
tử:
1
2
, , ', '2, , ', '
', ' , 1 1 1
( ) ( ) ( ), ', ',
( )
exp ( ) ( ) is
q q q n l n lt tn l n l
t
n l n l q t
J J n k q n kn l n ls ls l k
ib i b C qt
i k k q t t t il t b dt
(1.42)
Đây là phương trình động lương tử tổng quát cho sóng âm (phonon âm)
trong dây lượng tử [8]. Từ phương trình này, ta tiếp tục biến đổi để thu được biểu
thức tổng quát cho hệ số hấp thụ sóng âm (phonon âm) trong dây lượng tử.
1.2.2. Biểu thức tổng quát cho hệ số hấp thụ sóng âm (phonon âm).
Sử dụng công thức chuyển phổ Fourier:
( )
1 ( )2
i tq q t
i tq qt
B b e dt
b B e d
Luận văn tốt nghiệp 2011
Nguyễn Thị Quyên 18
q qt tb i b
t
(1.43)
Từ phương trình (1.42) và (1.43) ta có
2, , ', '2
, , ', '
', ' , 1 1
( ), ', '
( ) ( ),
1( ) ( )2 21 ( )
1 ( )2
ex p ( ) ( ) is
i t i tq q q
n l n ln l n l
ti t
q
n l n l
n k q n kn l n lk
J Js ls l
i B e d i B e d
C q
B e d
i k k q t t t il
1t d t
(1.44)
Do q tb
, thêm thừa số te , trong đó: 0
(1.44) được viết lại ở dạng:
2
, , ', '2, , ', '
, ', '
', ' ,
( ) ( ) ( ), ', ',
1( ) ( )
( ) exp ( ) ( )
exp ( ) ( )
i tq q n l n l
n l n l
t
q n l n l
n l n l
J J n k q n kn l n ls ls l k
i B e d C q
iB k q k l t
i k k q s
1 1.i t dt d
(1.45)
Tính tích phân theo dt1 ta có:
2
, , ', '2, , ', '
( )
', ' ,
( ) ( ) ( ), ', ',
1( ) ( )
( )( ) ( )
i tq q n l n l
n l n l
i l s t
q
n l n l
J J n k q n kn l n ls ls l k
i B e d C q
eB di k k q s i
(1.46)
Luận văn tốt nghiệp 2011
Nguyễn Thị Quyên 19
Dùng công thức chuyển phổ Fourier ta lại có:
( ( ) ) t( ) ( )i s l i tq qB e d B s l e d
Nên:
2, , ', '
, , ', '
', ' ,
( ) ( ) ( ), ', ',
1( ) ( )
( )( ) ( )
i tq q n l n l
n l n l
i t
qn l n l
J J n k q n kn l n ls ls l k
B e d C q
eB s l dk k q s i
(1.47)
Hay:
2
, , ', ', , ', '
( ), ', '
( )( ) ( )
( ) ( ), ', ' ,
1( ) ( )q q n l n ln l n l
n k q n kn l n lk
B s lqJ Js l k k q s is l n l n l
B C q
(1.48)
Đây là phương trình vô hạn với thành phần Fourier ( )B s lq và không
thể giải được. Giả thiết trường bức xạ laser không ảnh hưởng đến tính chất dao
động của mạng tinh thể (bỏ qua hệ số tương tác điện tử - phonon bậc cao hơn hai)
s=l và lấy q , khi đó (1.48) có dạng:
2
, , ', ', , ', '
( ), ', '
12 ( )( ) ( )', ' ,
1 ( )q n l n ln l n l
n k q n kn l n lk
J s k k q s is n l n l
C q
(1.49)
Đây là phương trình tán sắc của phonon âm trong dây lượng tử.
Sử dụng công thức:
Luận văn tốt nghiệp 2011
Nguyễn Thị Quyên 20
00 0
1 1 i x xx x i x x
với 0
Cho phương trình (1.49) ta được biểu thức cho hệ số hấp thụ sóng âm:
2, , ', '
, , ', '( ), ', '
2 ( ) ( ) ( ) .', ' ,
( ) Im ( )
( )n l n ln l n l
n k q n kn l n lk
J k k q sn l n lss
q
C q
(1.50)
Đây là biểu thức tổng quát cho hệ số hấp thụ sóng âm trong dây lượng tử [8].
Biểu thức này là chung cho cả khí điện tử suy biến và khí điện tử không suy biến.
1.2.3. Hệ số hấp thụ sóng âm (phonon âm) trong trường hợp hấp thụ một photon.
Dưới đây ta sẽ giả thiết khí điện tử không suy biến và tính toán cụ thể cho đối
số của hàm Bessel rất nhỏ (do chứa số hạng E0 – trường bức xạ laser là yếu)
0* 2 1e qEm
Ta có gần đúng:
2 2 2 21 0 1s
s
J J J J
Loại trường hợp s=0 do vi phạm định luật bảo toàn năng lượng.
Theo định nghĩa:
2
0
11 1 2
i s i
si
xJ xi s i
Và tính chất hàm Bessel: ( ) ( 1) ( ) ( )ss s sJ x J x J x
Ta có: 2
2 21 1 2
J J
22
, , ', ', , ', '
( ), ', '
( ) ( ) ( ) ( ) .', ' , ', ' ,
( ) ( )2 n l n l
n l n ln k q n kn l n l
k
k k q k k qn l n l n l n l
q C q
(1.51)
Luận văn tốt nghiệp 2011
Nguyễn Thị Quyên 21
Sử dụng:
+ Chọn chiều vecto q trùng với chiều vecto k
(trùng với trục của dây).
+ Giả thiết khí điện tử không suy biến, áp dụng phân bố Fermi – Dirac:
2 2
, . ,*
1exp exp2
cn l n l n l
B
kn k kk T m
Trong đó: ,Bk T kB là hằng số Boltzmann.
+ Sử dụng công thức chuyển tổng thành tích phân:
2L dk
Với L là chiều dài dây;
+ Sử dụng tính chất của hàm Delta:
1, 0( )
0, 0 .z
zz
Thực hiện tính toán ta thu được bểu thức đối với hệ số hấp thụ sóng âm đối với
trường hợp hấp thụ một photon như sau:
* 2 2
, , ', ' , , ', '5 2, , ', '
*2 2
', ' 2 2
( ) ( ) ( , )4
ex p .2
n l n l n l n ln l n l
cn l
L mq C q qq
m aq
(1.52)
Trong đó: 2 2
, ', ' * ;2
c cn l n l q
qam
*/2
, , ', ' 2
*/2
2
( , ) exp2 2
exp .2 2
q
q
qn l n l
q
m aq e shq
m ae shq
(1.53)
k
Luận văn tốt nghiệp 2011
Nguyễn Thị Quyên 22
Từ công thức (1.53) ta thấy, trong trường hợp giới hạn q , ta được:
2
2
* *
, , ', ' 2 2
*
2
( , ) / 2 exp exp2 2
/ 2 .2
q
q
ln l n l
l
m a m aq e shq q
m ae sh shq
(1.54)
Điều kiện xung lương k:
* *
, ', '22c cn l n l q
q m mkq q
Thay công thức (1.54) vào (1.52) ta được biểu thức hệ số gia tăng sóng âm (do
( ) 0q
) [8]:
* 2 *2 2 2
, , ', ' ', '5 2 2 2, , ', '
*
, ', '2
( ) ( ) exp2 2
1exp .2
cn l n l n l
n l n l
q c cq n l n l
Lm mq C q aq q
mshq
(1.55)
1.2.4. Hệ số hấp thụ sóng âm (phonon âm) trong trường hợp hâp thụ nhiều photon.
Xuất phát từ biểu thức (1.50), viết lại nó ở dạng:
1 2 .q q q
(1.56)
Trong đó:
21 , , ', '
, , ', '
', '
2 ( )
( ) ( )', ' ,
( ) ( )
( )
n l n ln l n l s
n lk
J s
k k q sn l n l
q C q
n k q
(1.57)
2
2 , , ', ', , ', '
', '
2 ( )
( ) ( ) .', ' ,
( ) ( )
( )
n l n ln l n l s
n lk
J s
k k q sn l n l
q C q
n k
(1.58)
Luận văn tốt nghiệp 2011
Nguyễn Thị Quyên 23
Khi hấp thụ nhiều photon (trường laser mạnh), đối số của hàm Bessel lớn: 1
.
Sử dụng biểu thức biến đổi:
2 2
2
2 2ss
EJ E s
E
(1.59)
1, 0( )
0, 0.z
zz
Xét khí điện tử không suy biến, hàm phân bố điện tử tuân theo phân bố Fermi:
2 2
*, , 2, . .
cn l n l
kk m
n ln k e e e
(1.60)
Sử dụng công thức chuyển tổng thành tich phân:
... ...2k
L dk
Thực hiện biến đổi phương trình (1.57), (1.58). ta được:
* 2,
2
1 , , ', ', , ', '
*
0
1/ 2!
( ) ( )2
2 .
cn l N M
n l n ln l n l
ss
sss M
Lq C q eN
I M N
(1.61)
Trong đó: 2 2
, ', ' *2c cn l n l q
qMm
2
*
qNm
Do tính chất của hàm delta, chỉ có điện tử thỏa mãn:
*
, ', '22c cn l n l q
q mkq
(1.62)
Mới đóng góp vào (1.61)
* 2, 1
22 , , ', '
, , ', '
*1
0
1 / 2! 1
( ) ( )2
2 .
cn l N M
n l n ln l n l
ss
sss M
Lq C q eN
I M N
(1.63)
Luận văn tốt nghiệp 2011
Nguyễn Thị Quyên 24
Trong đó: 2 2
1 , ', ' *2c cn l n l q
qMm
2
*
qNm
Do tính chất của hàm delta, chỉ có điện tử thỏa mãn:
*
, ', '22c cn l n l q
q mkq
(1.64)
mới đóng góp vào (1.63)
Kết hợp (1.61), (1.63) và thay vào (1.56) ta được [8]:
* * 22
, , ', '3 2 2, , ', '
0
2 2 2 21/2, ', '* *! 12 2
( ) exp ( )2 2 n l n l
n l n l
s
ss q qn l n ls Mm m
Lm mq C qq q
(1.65)
Với:
* 2
, , ', '2 2
*
, ', '2 2, ', '
exp2
c c cn l n l n l q
s
c cs n l n l qc c
n l n l q
mx xq
mI xx q
(1.66)
Bất đẳng thức xung lượng của điện tử kết hợp từ (1.62), (1.64) là:
*
, ', '22c cn l n l q
q mkq
(1.67)
Dễ thấy từ (1.65) 2 2 2 2
, ', '* * ì 02n l n l
q q th qm m
nghĩa là ta có hệ số
gia tăng sóng âm.
Như vậy thông qua Hamiltonian tương tác của hệ điện tử - phonon, sau khi
tính toán ta thu được biểu thức giải tích tổng quát của hệ số gia tăng sóng âm, hệ số
gia tăng sóng âm trong trường hợp hấp thụ 1 photon, trong trường hợp hấp thụ
nhiều photon, và điều kiện xung lượng của điện tử tham gia phải thỏa mãn, điều
kiện xảy ra gia tăng sóng âm.
Luận văn tốt nghiệp 2011
Nguyễn Thị Quyên 25
1.2.5. Hệ số gia tăng sóng âm (phonon âm) không giam cầm trong dây lượng tử
hình chữ nhật hố thế cao vô hạn.
Thế năng giam giữ điện tử trong trường hợp này có dạng:
0 khi 0 L ,0 L ( , )
khi x>L ,
x yx yx y
y Lx y
U
Khi đó hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử được viết dưới dạng:
0 khi x L ,
1 2 2( , , ), , sin( ) sin( ) khi 0 x ,0
y Lx yn x n yx y z ik zzn l k e L y Lz x yL LL L Lx yz x y
222 2 2 2( ), 2 22 2
nnk yxzkzn nx y m m L Le e x y
Thừa số dạng được cho bởi:
2 '4x
, , ', ' 224 22 2 2 4 2 2x x
2 '4y
224 22 2 2 4 2 2y y
32 ' 1 1 os q
q 2 q ' '
32 ' 1 1 os q.
q 2 q ' '
n nx x x
n l n l
x x
l ly y y
y y
q L nn c LI
L L n n n n
q L ll c L
L L l l l l
(1.68)
Thay vào biểu thức (1.55) ta thu được hệ số hấp thụ sóng âm trong trương hợp hấp
thụ một photon như sau:
* 2 2
, , ', '5 2, , ', '
2 2 2 2 *2 2
* 2 2 2 2
*
2
*
2
( ) ( )2
exp2 2 2
exp2 2
exp2 2
n l n ln l n l
q
x y
q
q
Lmq C qq
n l m am L L q
m a shq
m a shq
(1.69)
Luận văn tốt nghiệp 2011
Nguyễn Thị Quyên 26
Trong đó :
2 22 2 2 /2 2 2'2 22 * 2 *
qn n l l zam mL Lx y
Bất đẳng thức xung lượng cho trường hợp hấp thụ một photon như sau:
* *2 2 /2 2 2'2 22 2 *
qq m n n l l mkq m qL Lx y
(1.70)
Thay vào biểu thức (1.65) ta thu được hệ số hấp thụ sóng âm trong trương hợp hấp
thụ nhiều photon như sau [8]:
* * 2
3 2 2
0
2 2 2 21/ 2, ', '* *! 2 2
( ) exp2 2
s
s q qn l n ls m m
L m mqq q
(1.71)
Trong đó :
,
2 2 *
2 2
*
2 2
2 2 2 /2 2 2'2 22 *
2 2 2 2 2 /2 2 2'exp 2 2 2 22 * 2 2 *
2 2 2 /2 2 '22 *
s
n l
q
q
s
xn n l l x
m L Lx y
n l m n n l l xm q mL L L Lx y x y
m n n l lIq m Lx
22 qx
Ly
Bất đẳng thức xung lượng cho trường hợp hấp thụ nhiều photon là:
* 2
2
2 2 /2 2 2'2 22 2 * q
q m n n l lkq m L Lx y
(1.72)
Luận văn tốt nghiệp 2011
Nguyễn Thị Quyên 27
Khi tính toán tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) trong dây lượng tử hình
chữa nhât hố thế cao vô hạn (chưa kể đến giam cầm phonon) và sử dụng biểu
thức gần đúng [10,16,17]
2 1 ,2l
lJ l
cho trường hợp hấp thụ nhiều photon.
Ta có [24]:
122
2, ' ' F3 * 2
, '
122
F * 2
* *( ) exp 12 2 2
*exp 12 2
zq q
z
q
L m m qG C qq m q
m qm q
(1.73)
Trong đó:
0
*e q Em
;
2 22 22 2
' 2 2
''2 *
y yx x
x y
n nn nm L L
(với nx, ny là chỉ số giam cầm điện tử theo hai phương x,y).
, ' ( )2 s
qC qV
Luận văn tốt nghiệp 2011
Nguyễn Thị Quyên 28
CHƯƠNG 2.
HIỆU ỨNG GIẢM KÍCH THƯỚC ẢNH HƯỞNG LÊN PHỔ NĂNG LƯỢNG
CỦA ĐIỆN TỬ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT HỐ THẾ
CAO VÔ HẠN VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ CHO PHONON
GIAM CẦM TRONG DÂY LƯỢNG TỬ
2.1. Hiệu ứng giảm kích thước ảnh hưởng lên phổ năng lượng của điện tử
trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn.
2.1.1. Sự lượng tử hóa do giảm kích thước.
Trong các cấu trúc bán dẫn, khi chuyển động của hạt dẫn bị giới hạn nghiêm
ngặt dọc theo một tọa độ với một vùng rất hẹp không quá vài trăm A0 và nếu chiều
rộng này so sánh được với chiều dài bước sóng De Broglie của hạt dẫn thì một loạt
các hiệu ứng vật lý mới được gọi là hiệu ứng giảm kích thước xuất hiện, làm biến
đổi hầu hết tính chất điện tử của hệ và mở ra khả năng ứng dụng cho các linh kiện
làm theo các nguyên lí hoàn toàn mới.
Xét ví dụ, tính chất của điện tử trong vùng dẫn (gọi là điện tử dẫn) trong một
màng mỏng với chiều dày a . Vật liệu của màng (kim loại hoặc bán dẫn) đóng vai
trò hố lượng tử đối với điện tử chiều rộng a và chiều sâu có giá trị bằng công thoát
. Cơ học lượng tử cho thấy rằng năng lượng của điện tử trong hố đó bị lượng tử
hóa, và chỉ có một số các mức năng lượng gián đoạn En (n=1,2…) được gọi là các
mức lượng tử hóa do giảm kích thước. Vì giá trị thông thường của khoảng 4 – 5
eV, lớn hơn năng lượng nhiệt kBT (kB là hằng số Boltzmann; T là nhiệt độ của hệ)
của hạt dẫn vài ba bậc, hố lượng tử trong ví dụ đang xét có thể được coi là sâu vô
hạn (hình 2.1).
Luận văn tốt nghiệp 2011
Nguyễn Thị Quyên 29
Hình 2.1: Phổ năng lượng của màng mỏng lượng tử hóa do giảm kích thước.
Hàm sóng của điện tử trong trường hợp này cho các trạng thai En được xác
đinh bởi biểu thức:
2 sin .nn zz
a a
(2.1)
Và các mức năng lượng tương ứng: 2 2 2
2 .2 *n
nEm a
(2.2)
ở đây m* là khối lượng hiệu dụng của hạt dẫn.
Trong các dạng cấu trúc lượng tử hóa do giảm kích thước khác, hố thế giới
hạn có chiều sâu xác định và nói chung, độ dốc không tạo thành với chiều tọa độ
giới hạn một góc vuông. Do đó, mặc dù kết luận chung về sự lượng tử do giảm kích
thước vẫn có giá trị nhưng không thể áp dụng biểu thức (2.2). Trong trường hợp
chung như là hệ quả của nguyên lý bất định, ta dùng biểu thức đánh giá định tính
cho các mức năng lượng như sau: 2
2~nEm a
(2.3)
Như vậy ta thấy biểu thức (2.2) chính là trường hợp riêng của biểu thức (2.3).
Luận văn tốt nghiệp 2011
Nguyễn Thị Quyên 30
Kết luận về sự lượng tử hóa năng lượng, cũng như biểu thức cho En nêu ở
trên chỉ đặc trưng cho chuyển động dọc theo phương pháp tuyến với mặt phẳng của
hố thế năng (dọc theo tọa độ trục 0z). Chuyển động trong mặt phẳng xy (song song
với mặt phẳng hố thế năng) không bị ảnh hưởng bởi hố thế năng. Trong mặt phẳng
đó, các hạt dẫn chuyển động giống như các hạt tự do và được đặc trưng tương tự
như trong vật liệu khối bởi dạng parabolic của phổ năng lượng liên tục với khối
lượng hiệu dụng m*. Năng lượng tổng cộng của hệ lượng tử hóa kích thước là phổ
kết hợp gián đoạn - liên tục, thành phần gián đoạn mô tả theo hướng có sự lượng tử
hóa, còn thành phần liên tục có quan hệ với chuyển động trong mặt phẳng của hố
thế: 2 2
,2 *x y
n
p pE E
m
(2.4)
Với px, py là các thành phần động lượng tương ứng. Sự biến đổi phổ năng
lượng như vậy gây ra những khác biệt đáng kểt trong tất cả tính chất điện tử của hệ
so với các mẫu khối. Lưu ý rằng do có thành phần liên tục của phổ năng lượng 2 2
2 *x yp p
m
các điện tử thuộc về cùng một mức năng lượng En có thể có giá trị năng
lượng bất kì trong khoảng En tới vô cực (hình 2.1). Tất cả các trạng thái có cùng giá
trị n xác định đã cho thường được gọi là thuộc về vùng con lượng tử hóa do giảm
kích thước.
Ta thấy, để sự lượng tử hóa phổ năng lượng trong các cấu trúc thấp chiều có
thể tồn tại trong mọi hiệu ứng quan sát được thì khoảng cách giữa các mức năng
lượng En+1 – En phải đủ lớn. Trước hết giá trị này phải lớn hơn đáng kể năng lượng
nhiệt của hạt dẫn: 1n n BE E k T (2.5)
Vì trong trường hợp ngược lại, sự lấp đầy hầu hết các mức lân cận và các
chuyển mức của điện tử thường xảy ra giữa chúng sẽ ngăn cản quan sát các hiệu
ứng lượng tử. Nếu khí điện tử suy biến và có mức năng lượng Fermi fE , điều kiện
sau cần có: 2 1 .fE E E (2.6)
Luận văn tốt nghiệp 2011
Nguyễn Thị Quyên 31
Trong trường hợp giới hạn ngược lại, khi 1f n nE E E về nguyên tắc có
thể quan sát được hiệu ứng lượng tử hóa do giảm kích thước, nhưng biên độ tương
đối thu được rất nhỏ. Còn tồn tại thêm một điều kiện cần thiết để hiệu ứng lượng tử
hóa do giảm kích thước có thể thấy được. Trong các cấu trúc thực tế, hạt dẫn luôn
luôn bị tán xạ bởi tạp chất, phonon…Xác suất tán xạ được đặc trưng bởi thời gian
phục hồi động lượng , là đại lượng tỉ lệ thuận với một đặc trưng khác của hạt dẫn,
độ linh động của hạt dẫn *
em . Thời gian phục hồi , được định nghĩa là thời
gian sống trung bình của hạt dẫn ở trạng thái lượng tử với bộ các số lượng tử xác
định đã cho , ,x yn p p . Theo nguyên lý bất định, giá trị hữu hạn của gây ra trong
việc xác định giá trị năng lượng ở trạng thái đã cho sai số vào cỡ E
. Tất nhiên
việc tính toán dựa trên cơ sở các mức năng lượng gián đoạn phân cách nhau trong
hệ đang xét chỉ có nghĩa khi khoảng cách giữa hai mức liên tiếp thỏa mãn:
1 .*n n
eE Em
(2.7)
Có thể thấy biểu thức (2.7) tương đương như điều kiện quãng đường tự do
trung bình của hạt dẫn phải lớn hơn chiều dày của màng mỏng a . Theo cơ học
lượng tử, sự lượng tử hóa các mức năng lượng xảy ra đảm bảo các hạt chuyển động
tuần hoàn. Tuy nhiên, điều này chỉ xảy ra khi tán xạ đủ yếu sao cho khoảng cách
giữa hai lần tán xạ, hạt dẫn đã kịp thực hiện vài dao động, nghĩa là hạt dẫn đã vượt
qua chiều dày màng mỏng vài lần. Từ biểu thức (2.3), ta thấy khoảng cách giữa các
mức lượng tử hóa do giảm kích thước tỉ lệ với 2
1a
. Do đó, để quan sát các hiệu ứng
lượng tử hóa do giảm kích thước đòi hỏi màng mỏng có chiều dày nhỏ, nhiệt độ đủ
thấp, độ linh động hạt dẫn cao và mật độ hạt dẫn đủ thấp [1,12].
Ngoài ra còn phải thỏa mãn thêm một điều kiện của hiệu ứng lượng tử hóa do
giảm kích thước, đó là chất lượng bề mặt cao. Sự phản xạ của hạt dẫn tại bề mặt của
màng mỏng phải gần như là phản xạ gương, hay nói cách khác, thành phần của hạt
Luận văn tốt nghiệp 2011
Nguyễn Thị Quyên 32
dẫn song song với bề mặt phải được bảo toàn trong phản xạ. Để đảm bảo hạt dẫn
phản xạ gương trên bề mặt màng mỏng, chiều dài bước sóng De Broglie D của
chúng phải lớn hơn kích thước đặc trưng của độ gồ ghề, đặc điểm mà bất kì bề mặt
nào cũng khó tránh khỏi. Ngoài ra, bề mặt của màng mỏng không được chứa mật độ
cao các tâm tích điện, nguyên nhân gây thêm các tán xạ phụ đối với hạt dẫn.
2.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong dây lượng tử hình chữ
nhật hố thế cao vô hạn.
Dây lượng tử là một ví dụ về hệ khí điện tử một chiều. Dây lượng tử có thể được
chế tạo nhờ phương pháp epitaxy MBE, hoặc kết tủa hóa hữu cơ kim loại MOCDV.
Một cách chế tạo khác là sử dụng các cổng (gates) trên một transistor hiệu ứng
trường, bằng cách này có thể tạo ra các kênh thấp chiều hơn trên hệ khí điện tử hai
chiều. Bài toán tìm phổ năng lượng và hàm sóng điện tử có thể được giải dễ dàng
nhờ giải phương trình Schrodinger một điện tử cho hệ một chiều:
2
2 .2 *
H V r U r Em
(2.8)
Trong đó U r là thế năng tương tác của điện tử, V r là thế năng giam giữ điện tử
do sự giảm kích thước; m* là khối lượng hiệu dụng của điện tử (ta giả thiết rằng z là
chiều không bị lượng tử hóa).
Do yêu cầu thực nghiệm, mô hình dây lượng tử hình chữ nhật cũng hay được
đề cập đến trong các công trình mang tính lý thuyết. Với mô hình dây lượng tử hình
chữ nhật có các kích thước ba trục lần lượt là Lx, Ly, Lz (Lz >> Lx, Ly). Giả sử thế
giam cầm điện tử cao vô hạn theo cả hai hướng vuông góc x và y:
Thế năng giam giữ điện tử trong trường hợp này có dạng:
0 khi 0 L ,0 L ( , )
khi x>L ,
x yx yV x y
y Lx y
(2.9)
Luận văn tốt nghiệp 2011
Nguyễn Thị Quyên 33
Khi đó hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử được viết dưới dạng [21]
0 khi x L ,
1 2 2( , , ), , sin( ) sin( ) khi 0 x ,0
y Lx yn x yx y z ipzn p e L y Lx yL LL L Lx yz x y
(2.10)
Và phổ năng lượng của điện tử:
2 2 2 2 2 2
, 2 2( )2 * 2 *n
x y
p npm m L L
Trong đo: n, ℓ là các số lượng tử của hai phương bị lượng tử hóa x và y,
0,0, zp p
là vecto sóng của điện tử,
Thừa số dạng được cho bởi [26]:
*, , ', ' ', ' ,
0
Riq r
n n n nI e r r rd r
Lấy tích phân theo toàn bộ thể tích dây lượng tử và bỏ qua quá trinh
Umklapp, trong trường hợp không kể đến giam cầm phonon, chúng ta được:
2 '4x
, , ', ' 224 22 2 2 4 2 2x x
2 '4y
224 22 2 2 4 2 2y y
32 ' 1 1 os q
q 2 q ' '
32 ' 1 1 os q.
q 2 q ' '
n nx x x
n n
x x
y y y
y y
q L nn c LI
L L n n n n
q L c L
L L
2.11)
Khi kể đến giam cầm phonon, ta có [18] , 2 2, ' ,
, 1(2 )( 1 /) 6m k
z m km k
I q P q
Trong đó: 2 2 22 ( / ) ( / )z x yq m L k Lq
/2/2
/2 /,
2
2 2 'os c ' .os os cos os os( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )yx
y xLx
LL
m kx y x x y yLy
n x x n x y m y k yP dx dy c c c cL L L L L L L L
Luận văn tốt nghiệp 2011
Nguyễn Thị Quyên 34
2.2. Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon giam cầm trong dây
lượng tử.
Hamilton của hệ điện tử - phonon trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế
cao vô hạn trong hình thức luận lượng tử hóa lần hai được biểu diễn như sau :
( ) e ph e phH t H H H (2.12)
He : là năng lượng của các điện tử không tương tác.
Hph : là năng lượng của các phonon không tương tác.
He-ph : là năng lượng tương tác điện tử- phonon.
Khi có mặt trường sóng điện từ )sin(0 tEE . Hamiltonian của hệ điện tử
- phonon giam cầm trong dây lượng tử là:
z z
z
z z z
z
+α z α,p α,p m,k,q m,k,q
α,p m,k,q
, , + +, ' z α,p +q α,p m,k,q m,k,-q
α,α',p , , ,
eH = ε - A(t) + ωb +c
γ I (q ) ( +b ).
z z
z z z
z
m k m kq
m k q
t p a a b
a a b
(2.13)
Trong đó:
zek A tc
: là phổ năng lượng của điện tử trong trường ngoài;
pz :là xung lượng của điện tử theo phương z.
: số lượng tử của điện tử. ( Gồm số lượng tử theo phương x và theo phương y)
, zka
và , zka ( , , zm k qb và , , zm k qb ): tương ứng là toán tử sinh và toán tử huỷ của
điện tử (phonon)
m, k: là số lượng tử đặc trưng cho sự giam cầm phonon.
: là tần số của phonon âm, c: là vận tốc ánh sáng.
: là hằng số Planck, e: là điện tích của điện tử;
,γz
m kq : hệ số tương tác điện tử - phonon âm [18]:
2,
2z
m kq
s
qV
(với 2 2 22 ( / ) ( / )z x yq m L k Lq )
Luận văn tốt nghiệp 2011
Nguyễn Thị Quyên 35
,, ' ( )m
zkI q : thừa số dạng, cho bởi [18]:
, 2 2, ' ,
, 1
(2 )( 1 /) 6m kz m k
m kI q P q
Trong đó: /2/2
/2 /,
2
2 2 'os c ' .os os cos os os( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )yx
y xLx
LL
m kx y x x y yLy
n x x n x y m y k yP dx dy c c c cL L L L L L L L
(2.14)
)(tA là thế vectơ và trong mối liên hệ với trường sóng điện từ, xác định bởi biểu
thức: )sin()(10 tE
dttAd
c
Với mục đích thiết lập những phương trình động lượng tử cho phonon giam
cầm trong dây lượng tử khi có mặt của trường bức xạ laser, chúng tôi dùng phương
trình lượng tử tổng quát cho toán tử số hạt.
Đặt : z z z
+m ,k,q (t) m ,k,q m ,k ,qN =
tb b
Thiết lập phương trình động cho số phonon ở tại thời điểm t:
Ta có:
z z z z z z
z z z z
z z
, , + + +m,k,q m,k,q m,k,q m,k,q α,p α,p
,
+ +m,k,q m,k,q m',k',q' m',k',q'
', ', '
', ' +' m,k,q m,k,
', '',, ' q
( ), ( ( ) ,
,
γ ( ') ,
z
z
z
z z
m k qzt tp
tm k
mq
k
q
m kz p
N t ei b b H p A t b b a at c
b b b b
I q b b a
z z
+' , m',k',q' m',k',q'
, ',', ', '
( +b .z z
zz
q p tpm k q
a b
, ,1 2 3
( )zm k qN t
i I I It
(2.15)
Trong đó:
z z z z
+ +1 m,k,q m ,k,q α,p α,p
,( ( ) ,
z
z tp
eI p A t b b a ac
Luận văn tốt nghiệp 2011
Nguyễn Thị Quyên 36
z z z z
+ +2 m ,k ,q m ,k ,q m ',k ',q ' m ',k ',q '
', ', '
, .z
tm k qI b b b b
z z z z
', ' + +3 ' m,k,q m,k,q ', ' , m',k',q' m',k',q'
, ',', '
'
',
, ', 'γ ( ' ) , ( +b
z z z zzz
m km kq z p q p tp
m k q
I q b b a a bI
Tính I1, I2, I3: chú ý ,a b ab ba là giao hoán tử của hai toán tử a và b
Và các hệ thức toán tử:
,
,
, ; , 0; , 0;
, ; , 0; , 0;
k l k l l k k l k l k l
k l k l l k k l k l k l
a a a a a a a a a a
b b b b b b b b b b
(*)
- Tính I1: Vì , , , , , ,,z z z zm k q m k q p pb b a a
là các toán tử sinh hủy hạt khác loại
nên chúng giao hoán với nhau, nên: z z z z
+ +m,k,q m,k,q α,p α,p, 0b b a a
Ta có I1=0
- Tính I2:
z z z z
+ +2 m,k,q m,k,q m',k',q' m',k',q'
', ', '
, .z
tm k qI b b b b
Sử dụng hệ thức toán tử cho toán tử sinh hủy ( a a -a al k k l lk ) ta có :