M A T E M A T I C A - Scienze umane – Scienze applicate

P R O G E T T O G U I D A A L L O S T U D I O

M A T E M A T I C A CALCOLO DI LIMITI

PARTE I

Giovanni Zingales

G.Zingales, Calcolo di limiti, 2017

1

CALCOLO DI LIMITI DI FUNZIONI REALI DI VARABILE REALE

Introduzione

La nozione di limite riguarda le funzioni reali di una o più variabili reali. Essa è alla base di tutta

l’Analisi matematica in quanto essenziale per definire in modo rigoroso i concetti di derivata e di integrale

definito, cioè i pilastri del calcolo differenziale e integrale (in pratica, il programma di matematica di V Liceo)

le cui applicazioni alla fisica, all’ingegneria all’economia, sono di fondamentale importanza.

Storicamente, a partire dal ‘600 e fino – almeno – alla prima metà dell’800, i matematici hanno adoperato

la nozione di limite guardando esclusivamente al suo aspetto, diciamo, computazionale: si preoccupavano cioè

di sviluppare procedure di calcolo, piuttosto che – o prima ancora di − elaborare una sua definizione formale

su cui costruire la teoria che desse fondamento solido, sul piano logico, alle procedure di calcolo e ai

conseguenti risultati che via via ottenevano. In effetti, ancora oggi, la maggior parte degli studenti calcola

limiti, anche complicati, pur non avendo assimilato bene la definizione formale di limite; questo paradosso si

chiarisce facilmente non appena si consideri che la definizione di limite non fornisce alcuna indicazione

operativa, ma serve solo − se in qualche modo si è riusciti a calcolare un limite − a dare i mezzi per verificare

l’esattezza del risultato ottenuto. In ragione di ciò, ritengo quindi consigliabile, sul piano didattico, avviare lo

studente allo studio dei limiti, con un approccio di tipo operativo, basato in buona parte sull‘intuizione,

mantenendo sullo sfondo l’aspetto formale Sto dicendo, in altre parole, che è bene cominciare lo studio dei

limiti, imparando subito a calcolarli.

L’operazione di limite

L’operazione di limite, si diceva, riguarda le funzioni reali di una o più variabili reali. Qui ci occuperemo

di funzioni di una sola variabile reale, definite su intervalli; in altra sede, tratteremo dei limiti di alcune

successioni, che sono quelle particolari funzioni reali il cui dominio è l’insieme N dei numeri naturali. (Tra

queste, notevole è la successione

n

nn

a

+=

11 il cui limite definisce il numero e , base dei logaritmi

naturali).

Per capire il significato di tale operazione cominciamo a discutere alcuni esempi. Partiamo da una funzione

come la seguente:

1

2)(

2

−

−+=

x

xxxf


2

ossia una funzione razionale fratta (definita cioè dal rapporto di due funzioni polinomiali). Poiché il

denominatore si annulla (solo) per 1=x , la funzione è definita per ogni x reale tranne, appunto, per 1=x :

non possiamo quindi calcolare il valore della funzione nel punto 1=x ; però, possiamo calcolarne il valore

quando la variabile x assume valori vicini a 1 quanto si vuole: per esempio, 1,1=x e 01,1=x da un lato, e

9,0=x e 09,0=x dall’altro; si avrà:

1,3)1,1( =f e 01,3)01,1( =f ; e poi, 9,2)9,0( =f 99,2)99,0( =f

Per valori di x ancora più vicini a 1, per esempio 0001,1=x o 9999,0=x i corrispondenti valori della

funzione risultano.

0001,3)0001,1( =f e 9999,2)9999,0( =f

Si nota chiaramente la tendenza che tali valori hanno − da un lato per eccesso, e dall’altro per difetto − ad

avvicinarsi sempre più al valore 3.

La situazione è quindi la seguente: da un lato, non possiamo calcolare il valore della funzione per 1=x ;

dall’altro lato, in base ai calcoli eseguiti, sembrerebbe del tutto naturale poter dire che, in sostanza, è come se

il valore della funzione nel punto 1=x fosse 3.

Nasce quindi questa nuova operazione di limite, che in qualche modo – anzi in modo preciso e

rigoroso, come si vedrà −, permette di associare il valore 3 alla funzione; non in quanto valore da essa assunto

per 1=x , ma come valore cui la funzione stessa può avvicinarsi indefinitamente, in corrispondenza di valori

di x scelti opportunamente vicini a 1.

Tutto ciò si esprime dicendo che 3 è il limite della funzione per x che tende a 1 : in simboli

1lim→x 1

22

−

−+

x

xx= 3

(da leggersi “limite, per x che tende a 1, di )(xf uguale 3 ).

Vediamo un altro esempio:

x

senx

x 0lim→

(Questo limite, come vedremo, è fondamentale per il calcolo di limiti di funzioni trigonometriche).

La funzione x

senxxf =)( , chiaramente, non è definita nel punto 0=x ; ci si convince facilmente però, che

se si scelgono valori di x vicini quanto si vuole al valore 0=x , ma distinti da questo, i corrispondenti valori


3

del rapporto x

senx saranno valori vicini a 1 quanto si vuole (per esempio già con 1,0=x si ha

998,01,0

)1,0(=

sen; lo studente esegua i calcoli considerando altri valori, ancora più vicini a 0 ; per esempio,

01,0=x e 001,0=x , tenendo conto che i valori di x devono riguardarsi come misure di angoli espresse

in radianti).

In altri termini, il limite vale 1:

1lim0

=→ x

senx

x

Osservazione.

I due esempi proposti rischiano di creare nello studente il falso convincimento che per calcolare limiti basta

disporre di una buona calcolatrice. In realtà, l’operazione di limite non richiede di effettuare calcoli nel senso

tradizionale, come sarà chiarito nelle pagine seguenti, dedicate appunto alle regole e ai procedimenti da

adoperare per il calcolo dei limiti.

Grafici e limiti.

Partiamo da un esempio, ben noto allo studente: la funzione f di equazione x

y1

= (il cui grafico, riportato

in figura, rappresenta un’iperbole equilatera avente per asintoti gli assi cartesiani).

La funzione è definita (e continua) in R 0− , cioè ovunque

in R , tranne nel punto 0=x , poiché l’operazione0

1 è

impossibile. Questa impossibilità aritmetica traduce, dal punto

di vista geometrico, la circostanza che il grafico non può

intersecare l’asse delle y . E infatti, il grafico non interseca

l’asse delle y ; gli si avvicina però sempre più, se i valori di x

si prendono via via sempre più vicini a zero.

La figura mostra chiaramente che quanto più i valori x si avvicinano a zero, tanto più i valori della funzione

diventano infiniti (il grafico sale verso + nel I quadrante e scende verso − nel III).


4

D’altronde, anche con semplici calcoli, ci si convince subito che assegnando alla variabile x valori

positivi e vicini a zero quanto si vuole, i valori corrispondenti di x

y1

= risultano positivi e diventano

grandi quanto si vuole, cioè infinitamente grandi (per esempio, per 010000000000,0=x = 1210−

si

ha, in corrispondenza, il valore y = 1210 (mille miliardi); e sarà y >

1210 non appena si sceglie

1210−x ).

Quanto appena detto si esprime in simboli scrivendo

+=+→ xx

1lim

0

La scrittura +→ 0x indica che x tende a 0 assumendo sempre valori maggiori di 0 , ovvero, x tende a 0

mantenendosi in un intorno destro di 0 e per tale motivo il limite è detto limite destro.

E così, per valori di x negativi e vicini a zero quanto si vuole, i valori corrispondenti di x

y1

= risultano

negativi e diventano infinitamente grandi in valore assoluto (per esempio, con 𝑥 = −10−12 si ha in

corrispondenza il valore 𝑦 = −1012).

Si ha pertanto il limite sinistro

−=−→ xx

1lim

0

dove con −→ 0x si indica che x tende a 0 assumendo sempre valori minori di 0 , ovvero, mantenendosi

in un intorno sinistro di 0 .

Osservazione. La scrittura lim𝑥→0

1

𝑥 indica che x tende a 0 assumendo valori in un intorno completo di 0 ;

come appena visto, il limite è +∞ se +→ 0x mentre è −∞ se

−→ 0x e quindi si potrebbe pensare di

riassumere i due casi nell’unica scrittura =→ xx

1lim

0come si trova generalmente nei libri di testo. Tale

scrittura, ancorché comoda, è tuttavia, se non errata, quanto meno ambigua – e quindi (almeno per me) da

evitare – in quanto, come si vedrà più avanti, se il limite sinistro e il limite destro sono diversi, si deve

concludere che il limite non esiste.


5

Anticipo qui che, come per l’iperbole esaminata, se per una data funzione 𝑦 = 𝑓(𝑥) il limite per 0→x

è infinito, allora, geometricamente, il grafico della funzione ha per asintoto l’asse delle y , cioè la retta di

equazione 0=x . Più in generale, se risulta

lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) = +∞ (oppure −∞ )

ciò implica che, dal punto di vista geometrico, la retta di equazione 0xx = è un asintoto verticale per il

grafico della funzione; e questo vale anche se è +∞ o −∞ anche uno solo dei limiti destro o sinistro.

(Mi sembra questo un ottimo motivo per imparare a calcolare limiti: stabilire se il grafico di una data funzione

ha asintoti verticali).

Continuando la lettura del grafico in figura, possiamo notare che se i valori di x diventano via via

grandi quanto si vuole ( +→x ), il ramo di iperbole (I quadrante) scende sempre più verso l’asse delle

ascisse, ma senza intersecarlo; in altri termini, se +→x allora i corrispondenti valori di y diventano sempre

più vicini a zero.

D’altro canto, anche algebricamente è facile verificare che a valori di x via via sempre più grandi

corrispondono valori di x

y1

= sempre più prossimi a zero. Per esempio, se x = 1210 (mille miliardi), in

corrispondenza risulta 1210−=y = 010000000000,0 ; e così via. Scriviamo quindi, in simboli

01

lim =+→ xx

Ragionando in modo analogo, con riferimento al ramo di iperbole del III quadrante, ci si convince

subito che vale la relazione di limite seguente:

01

lim =−→ xx

Di nuovo, l’interpretazione geometrica del limite è chiara: se per una data funzione 𝑦 = 𝑓(𝑥), come per

l’iperbole esaminata, il limite per 𝑥 → +∞ o per 𝑥 → −∞ è 0 , allora il grafico della funzione ha per

asintoto l’asse delle x , cioè la retta di equazione 0=y .


6

Più in generale, se risulta

lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥) = lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = 𝑙

ciò vuol dire che la retta di equazione ly = è un asintoto orizzontale per il grafico della funzione.

Se in particolare vale solo una delle due relazioni di limite lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥) = 𝑙 o lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = 𝑙, allora la

retta ly = è, rispettivamente, asintoto orizzontale destro o sinistro.

* * * * *

CALCOLO DI LIMITI

1. Ai fini del calcolo di limiti, quanto detto per la funzione x

y1

= può essere esteso a tutti i casi in cui

si ha una funzione fratta il cui denominatore tende a 0 oppure a + o a − , enunciando le due

regole seguenti:

I) se il denominatore della funzione tende a 0 , e il numeratore ha (o tende ad assumere) un valore

finito, purché diverso 0 , allora il limite della funzione, o almeno uno dei limiti destro o sinistro

è + o − .

II) se il denominatore della funzione tende a + oppure a − , e il numeratore ha (o tende ad

assumere) un valore finito, allora il limite della funzione è 0 .

Possiamo fare uso (ma non abuso) dei seguenti simboli per memorizzare queste due regole:

I) 𝑎

0→ ±∞ (se 0a ); II) 0→

a (anche se 0=a )


7

Esempi di applicazione della regola I).

1. lim𝑥→1+

5

𝑥−1 = +∞ e lim

𝑥→1− 5

𝑥−1 = −∞

In entrambi i casi, quando 1→x (sia da destra che da sinistra), il denominatore tende a zero, e poiché il

numeratore è 5, ovvero il numeratore ha un valore finito diverso da 0, si può applicare la regola I. Nel primo

caso, dato che 𝑥 → 1+, il denominatore risulta positivo e quindi la funzione assume valori positivi, e pertanto,

il limite è +∞; nel secondo caso, 𝑥 → 1− e quindi, essendo il denominatore negativo, la funzione assume

valori negativi e il limite risulta, di conseguenza, −∞. Dal punto di vista geometrico ciò implica che la retta

di equazione 1=x è un asintoto verticale per il grafico della funzione.

2. lim𝑥→2+

3𝑥

2−𝑥 = −∞ e lim

𝑥→2− 3𝑥

2−𝑥 = +∞

In entrambi i casi, quando 𝑥 → 2 (sia da destra che da sinistra), il denominatore tende a zero mentre il

numeratore tende a 6: vale quindi la regola I e i due limiti si giustificano con ragionamento analogo a quello

dell’esempio precedente. La retta di equazione 𝑥 = 2 è asintoto verticale per il grafico della funzione.

3. lim𝑥→0

1

𝑥2 = +∞

Qui, quando 𝑥 → 0 (sia da destra che da sinistra), il denominatore tende a zero mantenendosi positivo, mentre

il numeratore vale 1; la funzione è quindi positiva, e ciò comporta che il limite sia +∞.

Non è forse inutile osservare che, in tal caso, anche il limite destro e il limite sinistro sono uguali +∞.

La retta di equazione 𝑥 = 0, cioè l’asse delle 𝑦, è asintoto verticale per il grafico della funzione.

4. lim𝑥→2+

𝑥2−5𝑥+4

2−𝑥 = −∞ e lim

𝑥→2− 𝑥2−5𝑥+4

2−𝑥 = +∞

In entrambi i casi, quando 𝑥 → 2 (sia da destra che da sinistra), il denominatore tende a zero mentre il

numeratore tende a −10; è facile spiegare i risultati dei due limiti in base alla regola I, ove si tenga conto che

la funzione è negativa per 𝑥 → 2+, mentre è positiva per 𝑥 → 2−.

5. lim𝑥→3

𝑥2−2𝑥−3

𝑥−3

Attenzione: per 3→x , non solo il denominatore, ma anche il numeratore tende a zero; non possiamo

applicare la regola I; vedremo dopo come si calcola il limite in casi del genere. Lo studente potrebbe comunque

tentare di intuire il risultato, calcolando i valori che la funzione assume per valori di x molto vicini a 3 ; per

esempio, 01,3=x e 99,2=x , o altri valori ancora più vicini a 3 .


8

Esempi di applicazione della regola II).

1. 03

lim =+→ xx

e anche 03

lim =−→ xx

;

2. 07

lim2=

+→ xx (se +→x , anche, e a maggior ragione, +→2x ; e questo vale anche se −→x );

3. 01

lim3=

−→ xx (se −→x , cioè se i valori di x diventano infinitamente grandi in valore assoluto ma

sono negativi, anche, e a maggior ragione, −→3x );

* * * * *

2. Calcolo di limiti di funzioni polinomiali (per +→x e per −→x ).

Le funzioni polinomiali hanno dominio )( +−== RD ; per conoscere il comportamento di

queste funzioni agli estremi del dominio, occorre quindi calcolare i limiti per +→x e per −→x

(vedremo poi che, essendo tali funzioni continue, i limiti per 0xx → , si calcolano semplicemente valutando

il valore del polinomio nel punto 0xx = ; si ha cioè, per i polinomi e, in generale, per tutte le funzioni continue

in un punto 0xx = , che )()(lim 00

xfxfxx

=→

).

I) Cominciamo dai casi più semplici e immediati.

+=+→

xx

3lim ; −=−→

xx

2lim ; −=−+→

)3(lim xx

; +=−−→

)2(lim xx

Spero che sia tutto chiaro; tuttavia, invito lo studente a interpretare geometricamente gli esempi trattati

disegnando i grafici delle rette di equazioni xy 3= e xy 2= .

II) Passiamo al secondo grado.

+=+→

23lim xx

+=−→

22lim xx

−=−+→

)3(lim 2xx

−=−−→

)2(lim 2xx


9

Anche per questi esempi invito lo studente alla rappresentazione grafica delle parabole di equazioni

23xy = e 22xy = .

III) Gli esempi proposti si possono estendere alle potenze nx , con n intero positivo qualsiasi, nel

modo seguente:

a) Se n è pari, allora

+=→

n

xxlim

cioè, il limite della funzione potenza nx (con n pari) è + sia per +→x sia per −→x .

b) Se n è dispari, allora

+=+→

n

xxlim e −=

−→

n

xxlim

cioè, il limite della funzione potenza nx (con n dispari) è + per +→x ed è − per −→x .

Inoltre,

c) Se n è pari, e 0 , aRa , allora

−

+=

→ 0 se

0 se lim

a

aaxn

x

d) Se n è dispari, e 0 , aRa allora

−

+=

+→ 0 se

0 se lim

a

aaxn

x e

+

−=

−→ 0 se

0 se lim

a

aaxn

x

Questi risultati sono più facilmente memorizzabili se si utilizzano – come gli stessi risultati suggeriscono −

le seguenti relazioni formali relativi al prodotto del simbolo per un numero 0 , aRa :

+=+ a)( (se )0a ; −=+ a)( (se )0a ;

−=− a)( (se )0a ; +=− a)( (se )0a ;

Vale cioè la regola dei segni dell’algebra ordinaria e tale regola, com’è facile intuire, si estende al prodotto

del simbolo per sé stesso:


10

+=++ )()( ; −=−+ )()( ; +=−− )()( .

Raccomando tuttavia allo studente di attenersi scrupolosamente alle regole appena esposte e di resistere

alla tentazione di estenderle incautamente, inventando magari altre regole, che quasi sicuramente si

riveleranno completamente sbagliate; e raccomando, inoltre, di prendere atto che il simbolo è, appunto,

un simbolo, e in nessun caso può essere considerato alla stregua di un numero ordinario.

IV. Siamo in grado ora di calcolare i limiti per 𝑥 → +∞ e per 𝑥 → −∞ di una qualsiasi funzione

polinomiale. Il seguente esempio mostra il modo di procedere.

)7452(lim 23 −+−+→

xxxx

Premesso che pensare di sostituire alla variabile x il simbolo e tentare di eseguire le conseguenti

improbabili operazioni significa non aver capito bene quanto detto sopra, vediamo come si affronta il limite

proposto.

Si riscrive il polinomio raccogliendo il fattore di massimo grado, nel nostro caso 3x :

−+−=−+−

32

323 74527452

xxxxxxx ;

si vede così, in base alla regola 0→

a, che quando +→x , tutti i termini frazionari dentro le

parentesi tendono a zero; si ha pertanto

)7452(lim 23 −+−+→

xxxx

= +→x

lim

−+−

32

3 7452

xxxx = )2(lim 3x

x +→ = + ,

ove si ricordi quanto detto per il limite n

xax

→lim .

Il procedimento appena descritto vale per qualsiasi funzione polinomiale e quindi si troverà sempre che,

saltando il passaggio intermedio,

lim𝑥→±∞

(𝑎𝑛𝑥𝑛 +𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2+ . . . + 𝑎1𝑥 + 𝑎0) = lim

𝑥→±∞𝑎𝑛𝑥

𝑛

Ciò equivale a dire che, quando →x , tutti i termini del polinomio di grado inferiore al termine di

massimo grado (cioè il grado del polinomio) si possono trascurare. Con linguaggio più preciso si dice che

la potenza nx , per →x , è un infinito di ordine superiore rispetto a tutte le potenze di grado inferiore


11

a n . Questa “gerarchia” di infiniti, può essere evocata a parole dicendo che, quando →x , la potenza

nx “comanda” su tutte quelle di grado inferiore che, appunto non contano nulla. In questa “corsa” verso

l’infinito, la potenza nx è molto più “veloce” delle altre, e quindi è proprio questa a determinare il limite

della funzione.

* * * * *

3. Calcolo di limiti di funzioni razionali fratte

Le funzioni razionali fratte, quelle cioè definite dal rapporto di due funzioni polinomiali, hanno come dominio

l’insieme R privato degli eventuali zeri del denominatore. Per esempio, la funzione definita da

6

352)(

2

2

−+

−+=

xx

xxxf ,

ha come dominio l’insieme 2;3−−= RD , in quanto com’è facile verificare, il denominatore si annulla per

3−=x e per 2=x . È utile scrivere il dominio sotto forma di unione di intervalli, e precisamente

);2()2;3()3;( +−−−=D

in modo da individuare subito che i limiti significativi da calcolare sono quelli per →x , 3−→x e

2→x .

Cominciamo dai limiti per →x .

Il calcolo di tali limiti è abbastanza semplice: basta ripetere il procedimento adoperato nel caso delle funzioni

polinomiali. Si ha:

+→xlim

6

3522

2

−+

−+

xx

xx =

+→xlim

−+

−+

2

2

2

2

611

352

xxx

xxx

= +→x

lim2

22

x

x= 2

Nell’ultimo passaggio, la frazione 2

22

x

x è ben definita in quanto, dal momento che +→x , è senz’altro

lecito supporre 0x , e questo giustifica inoltre anche la semplificazione effettuata.


12

Seguendo la metafora precedente, nella corsa verso l’infinito, i due “comandanti” 35x e

32x procedono

con la stessa velocità e nessuno dei due vince sull’altro: con linguaggio appropriato, si dice che i due sono

infiniti dello stesso ordine.

(Prima di continuare la lettura, lo studente potrebbe verificare rapidamente quest’altro limite:

−→xlim

32

1253

23

++

−+

xx

xx=

2

5)

Vediamo altri due esempi in cui i polinomi non hanno lo stesso grado.

352

1433lim

3

24

+−

−+−

+→ xx

xxx

x = + e

173

5362lim

5

23

++

−+−

+→ xx

xxx

x = 0

Saltando il passaggio intermedio, nel primo caso si ottiene

352

1433lim

3

24

+−

−+−

+→ xx

xxx

x= +==

+→+→ 2

3lim

2

3lim

3

4 x

x

x

xx

Per la frazione 3

4

2

3

x

x e la sua semplificazione, vale quanto detto nell’esempio precedente; qui però il

numeratore è un infinito di ordine superiore al denominatore e quindi il limite è (il numeratore è “più

veloce” del denominatore e quindi si aggiudica la corsa); nel secondo caso, si ha

173

5362lim

5

23

++

−+−

+→ xx

xxx

x=

5

3

3

2lim

x

x

x +→=

23

2lim

xx +→= 0

L’ultimo passaggio sfrutta la regola 0→

a.

In questo esempio, l’infinito di ordine superiore è il denominatore e quindi il limite vale 0 (riproponendo

la metafora della corsa, il denominatore arriva prima all’ rispetto al numeratore, facendo scattare la regola

0→

a). Passando al caso generale, si ha:

lim𝑥→±∞

𝑎𝑛𝑥𝑛+ 𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1+ 𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2+ . . .+𝑎𝑥+ 𝑎0

𝑏𝑚𝑥𝑚 + 𝑏𝑚−1𝑥

𝑚−1+ 𝑏𝑚−2𝑥𝑚−2+ . . .+𝑏𝑥+ 𝑏0

= lim𝑥→±∞

𝑎𝑛𝑥𝑛

𝑏𝑚𝑥𝑚

e, dal confronto degli ordini di infinito tra numeratore e denominatore, cioè dal confronto dei rispettivi

gradi, si deduce che – come per gli esempi particolari appena trattati − i risultati possibili sono i tre seguenti:


13

lim𝑥→±∞

𝑎𝑛𝑥𝑛

𝑏𝑚𝑥𝑚 =

{

𝑎𝑛𝑏𝑚

𝑠𝑒 𝑛 = 𝑚

0 𝑠𝑒 𝑛 < 𝑚

±∞ 𝑠𝑒 𝑛 > 𝑚

Lo studente presti attenzione al fatto che questi sono i tre possibili risultati per i limiti di funzioni

razionali fratte solo se →x .

Osservazione. Nel caso in cui si ha n > m, il limite vale −∞ oppure +∞ (l’un caso esclude l’altro) in

considerazione del fatto che 𝑥 tenda a +∞ o a −∞, nonché del segno del rapporto 𝑎𝑛

𝑏𝑚 . Per esempio,

lim𝑥→+∞

−4𝑥3

5𝑥2 = lim

𝑥→+∞

−4𝑥

5 = −∞; lim

𝑥→−∞

7𝑥5

2𝑥2 = lim

𝑥→−∞

7𝑥3

2 = −∞; lim

𝑥→−∞

5𝑥4

3𝑥2 = lim

𝑥→−∞

5𝑥2

3 = +∞.

Vediamo come si calcolano i limiti quando 0xx → , dove 0x è uno zero del polinomio al

denominatore. Riprendiamo la funzione di partenza

6

352)(

2

2

−+

−+=

xx

xxxf ,

e calcoliamo i limiti per 2→x e per 3−→x (ricordo che 3−=x e per 2=x sono gli zeri del polinomio

al denominatore).

Quando 𝑥 → 2 (sia da destra che da sinistra), il denominatore tende a zero mentre il numeratore tende ad

assumere il valore 15: vale quindi la regola 𝑎

0→ ±∞. Poiché per 𝑥 → 2+ la funzione è positiva (com’è

facile verificare), mentre per 𝑥 → 2− essa è negativa, si hanno i seguenti risultati:

lim𝑥→2+

2𝑥2+5𝑥−3

𝑥2+𝑥−6 = +∞ e lim

𝑥→2− 2𝑥2+5𝑥−3

𝑥2+𝑥−6 = −∞

(Come già detto, dal punto di vista geometrico un tale risultato indica che la retta di equazione 2=x è un

asintoto verticale per il grafico della funzione).

Calcoliamo ora il limite per 3−→x :

3lim

−→x 6

3522

2

−+

−+

xx

xx


14

A differenza del caso precedente, qui per 3−=x si annulla non solo il denominatore, ma anche il

numeratore; in altri termini, 3−=x è uno zero per entrambi, e quindi, per 3−=x il rapporto assume,

come si dice in tali casi, la forma indeterminata 0/0 . Non possiamo quindi applicare la regola I). D’altra

parte però, i due polinomi, come sappiamo dall’Algebra, si possono fattorizzare presentando entrambi il

fattore )3( +x e quindi, se 03 +x , la frazione si può così semplificare:

6

3522

2

−+

−+

xx

xx=

)2)(3(

)12)(3(

−+

−+

xx

xx=

2

12

−

−

x

x

Per 3−x , quindi, la funzione data coincide con la funzione definita da 2

12)(

−

−=

x

xxf ; e quest’ultima,

per 3−=x , fornisce il valore 7

5. Tutto ciò comporta, in definitiva, che la funzione di partenza assuma valori

vicini quanto si vuole a 7

5, in corrispondenza a valori di x via via sempre più vicini a 3− ; in altri termini,

7

5 è il limite cercato.

In sintesi, tutto quanto detto si riassume con la seguente scrittura:

3lim

−→x 6

3522

2

−+

−+

xx

xx=

3lim

−→x )2)(3(

)12)(3(

−+

−+

xx

xx=

3lim

−→x 2

12

−

−

x

x=

5

7

avendo calcolato l’ultimo limite con la sostituzione 𝑥 = −3 (come anticipato all’inizio del paragrafo 2.)

Osservazione. Dal punto di vista geometrico, il risultato ottenuto indica che il grafico della funzione

6

352)(

2

2

−+

−+=

xx

xxxf coincide col quello della funzione

2

12)(

−

−=

x

xxf per ogni 𝑥 ≠ −3, presentando

un “buco” in corrispondenza del punto di coordinate (−3; 7

5).

Riassumendo: se 0x è uno zero del polinomio al denominatore, per il calcolo del limite

lim𝑥→𝑥0

𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥)

di una funzione razionale fratta 𝑓(𝑥) =𝑝(𝑥)𝑞(𝑥)

(qui abbiamo indicato semplicemente con )(xp e )(xq i due

polinomi in quanto non occorre confrontare i rispettivi gradi) si distinguono due casi:

a) 0)( 0 =xq e 0)( 0 xp (cioè 0x è uno zero solo del polinomio al denominatore).

In tal caso, il limite di 𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥) (per 𝑥 → 𝑥0 o, eventualmente, per 𝑥 → 𝑥0

+ o per 𝑥 → 𝑥0− ) vale

+∞ o −∞, in base alla regola 𝑎

0→ ±∞.


15

Esempi.

lim𝑥→1

5𝑥−3

(𝑥−1)2 = +∞ ;

−

→3

1limx 13

2

−

−

x= + ;

+

→3

1limx 13

2

−

−

x= − ;

−→2limx 8

143 −

−

x

x= − ;

+−→ 2lim

x 8

143 −

−

x

x= +

Invito lo studente a verificare i risultati dopo avere determinato il segno delle funzioni nei vari casi.

b) 0)()( 00 == xpxq (cioè 0x è uno zero di entrambi i polinomi).

In tal caso, si ha la forma indeterminata 0/0 ; per il calcolo del limite, bisogna prima togliere la causa

di indeterminazione, e ciò si ottiene facilmente dividendo numeratore e denominatore per (𝑥 − 𝑥0),

presente in entrambi i polinomi in quanto, appunto, entrambi si annullano per 𝑥 = 𝑥0. Si può scrivere

quindi

𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥) =

(𝑥−𝑥0)𝑝1(𝑥)

(𝑥−𝑥0)𝑞1(𝑥))

e, dopo avere semplificato, passare al calcolo del limite della frazione semplificata.

Vediamo qualche esempio. Raccomando allo studente:

a) di verificare che in ciascun esempio si presenta la forma indeterminata 0/0 ;

b) di trovare da solo la scomposizione dei due polinomi della frazione e procedere quindi al calcolo del

limite, piuttosto che accettare passivamente il risultato proposto (l’apprendimento richiede una

partecipazione attiva, altrimenti risulta sterile: fai e sai!)

2lim

−→x 22

834

3

+++

+

xxx

x=

2lim

−→x )1)(2(

)42)(2(3

2

++

+−+

xx

xxx=

2lim

−→x 7

12

1

423

2

−=+

+−

x

xx

3lim−→x 33

923

4

+−−

−

xxx

x=

3lim−→x )1)(3(

)3)(3(2

22

−−

+−

xx

xx=

3lim−→x 13

6

1

32

−=

−

+

x

x= )13(3 +=

Vediamo infine due esempi nei quali il fattore (𝑥 − 𝑥0), che causa l’indeterminazione, non si elimina del

tutto.

3lim

−→x 6

9352

23

−−

++−

xx

xxx=

3lim

−→x )2)(3(

)1()3( 2

+−

+−

xx

xx=

3lim

−→x 2

)1)(3(

+

+−

x

xx= 0

5

40=


16

lim𝑥→1+ 1274

5523

34

++−

+−−

xxx

xxx= lim𝑥→1+ )14()1(

)5)(1(2

3

+−

−−

xx

xx= lim𝑥→1+ )14)(1(

53

+−

−

xx

x= +∞

* * * * *

4. Calcolo di limiti di funzioni irrazionali.

I) Cominciamo dal caso più semplice, e cioè la funzione definita da

xxf =)( (funzione radice)

il cui domino è l’insieme )+= ;0D . L’unico limite significativo da calcolare è quello per +→x ;

risulta

+=+→

xxlim

(Invito lo studente a verificare geometricamente tale risultato disegnando il grafico della funzione data).

Questo esempio può estendersi facilmente al caso in cui il radicando sia un polinomio )(xp : se risulta

)(lim xpx →

= + , si ha anche

)(lim xpx →

= +

Esempi.

1lim 2 −→

xx

= + ; 32lim 3 +−+→

xxx

= + ; 13lim 23 −+−−→

xxx

= + .

Estendiamo ancora questi esempi, comprendendo il caso in cui il radicando sia una funzione razionale

fratta:

xx

x

x 3

1lim

2

3

+

−

+→= + ;

34

12lim

25

3

+−

−+

+→ xx

xx

x= 0

135

522lim

3

23

−+

+−

+→ xx

xx

x=

5

2

Inoltre

20

2lim

x

x

x

+

→= + ;

2

2

1

12lim

x

x

x

+−−

→

= 0 ; xx

x

x 3

1lim

2

2

0 +

++→

= + xx

x

x 3

1lim

2

2

3 +

+−−→

= +


17

Osservazione.

In realtà, quelli proposti, sono tutti esempi particolari del caso più generale, in cui il radicando sia una

qualunque funzione:

se +=)(lim xf si ha anche +=)(lim xf ; e anzi, più in generale, +=n xf )(lim

inoltre,

se lxf =)(lim si ha anche lxf =)(lim ; e anzi, più in generale, nn lxf =)(lim

indipendentemente dal fatto che →x oppure 0xx → . Al momento opportuno vedremo alcuni

esempi.

II) Limiti in cui si presenta la forma indeterminata 0/0

Il seguente esempio ci permetterà, quando sarà il momento, di calcolare la derivata (nel punto 9=x )

della funzione radice.

9lim→x 9

3

−

−

x

x =

6

1

Per calcolare il limite, in generale, bisogna eliminare la causa di indeterminazione cercando di

semplificare la frazione. Qui si raggiunge facilmente lo scopo fattorizzando il denominatore come segue:

)3)(3(9 +−=− xxx ; si ha pertanto

9lim→x 9

3

−

−

x

x=

9lim→x )3)(3(

)3(

+−

−

xx

x=

9lim→x 6

1

39

1

3

1=

+=

+x

Osserviamo che nel calcolo del limite, la scelta del valore 9=x non ha alcun significato particolare. Lo

studente può calcolare, adoperando il procedimento illustrato, i seguenti limiti:

4lim→x 4

2

−

−

x

x [

14] ;

1lim→x 1

1

−

−

x

x [

12];

2lim→x 2

2

−

−

x

x [

1

2√2];

0

limxx→

0

0

xx

xx

−

−= . . . =

0

limxx→

0

1

xx + =

02

1

x )0( 0 x


18

III) Limiti in cui si presenta la forma indeterminata /

x

x

x

1lim

2 +

→

Propongo due modi di eliminare l’indeterminazione e rendere possibile il calcolo. Attenzione però:

entrambi offrono allo studente una occasione di errore che, nella maggioranza dei casi, viene colta al volo!

a) Primo modo: portare sotto il segno di radice la variabile x .

La maggior parte degli studenti trova del tutto corretta la seguente uguaglianza:

x

x 12 +=

2

2 1

x

x +

E sono pochi, tra questi, quelli che opportunamente sollecitati, riescono a scoprire l’errore. Invito lo

studente a esprimere il suo giudizio sulla correttezza o meno della seguente uguaglianza: 4

3

2

3=

−.

(Si può prevenire l’errore, per esempio, scrivendo 4

3

2

3

2

3−=−=

−; ovviamente l’uguaglianza

4

3

2

3= è corretta. Capito il problema?)

Torniamo all’esempio generale. Ecco il modo corretto di portare sotto il segno di radice la variabile x :

x

x 12 +=

+

−

+

0 se 1

0 se 1

2

2

2

2

xx

x

xx

x

E allora, se +→x si ha

x

x

x

1lim

2 +

+→ =

+→xlim

2

2 1

x

x += 11 =

mentre, se −→x avremo

x

x

x

1lim

2 +

−→ =

+→xlim

+−

2

2 1

x

x= 11 −=−


19

Dal punto di vista geometrico, i due risultati portano a concludere che il grafico della funzione data presenta

un asintoto orizzontale a destra, di equazione 1=y , e un (diverso) asintoto orizzontale a sinistra di

equazione 1−=y .

b) Secondo modo: portare fuori dal segno di radice la variabile x .

Anche qui, la maggior parte degli studenti trova corretta la seguente uguaglianza

xx =2

(dalla quale si avrebbe, per esempio, 3)3( 2 −=− , cioè 39 −= , chiaramente errata).

La scrittura corretta è

xx =2

Tornando al nostro esempio avremo

x

x 12 += =

+

x

xx

2

2 11

2

11

xx

x+

Quando si passa al limite per +→x o −→x , il radicando tende a 1 (in quanto 01

2→

x); il calcolo

si riduce quindi al limite del rapporto x

x.

Ricordando che

x =

−

0 se

0 se

xx

xx,

segue che

x

x=

−

0 se 1

0 se 1

x

x

e da qui:


20

se +→x (e perciò 0x )

x

x

x

1lim

2 +

+→=

+→xlim =

+

x

xx

2

2 11

+→xlim

2

11

xx

x+ =

+→xlim

x

x= 1

mentre se −→x (e perciò 0x )

−→xlim

x

x 12 += . . . =

−→xlim

x

x= 1−

Qualche altro esempio.

x

x

x

1lim

3 +

+→=

2

3 1lim

x

x

x

+

+→=

2

1lim

xx

x+

+→= x

x +→lim = +

−→xlim

x

x 23 +−=

−→xlim

+−−

2

3 2

x

x=

−→xlim

+−−

2

2

xx =

−→xlim ( )x−− = −=+− )(

IV) Limiti in cui si presenta la forma indeterminata )()( +−+

Esempio: ( )1lim 2 +−+→

xxx

= 0

In questi casi si può eliminare la causa di indeterminazione moltiplicando e dividendo per il fattore

(razionalizzante) ( )12 ++ xx ; si ottiene

( )( )( )1

11

2

22

++

+++−

xx

xxxx =

( )( )1

1(

2

22

++

+−

xx

xx=

1

1

2 ++

−

xx

Risulta quindi


21

( )1lim 2 +−+→

xxx

= +→x

lim1

1

2 ++

−

xx = 0 (poiché il denominatore tende a + )

Osserviamo che con −→x il calcolo sarebbe stato immediato

( )1lim 2 +−−→

xxx

= −=−−=+−− )(

Esempio: ( )xxxx

2lim 2 +−+→

= 1−

Si ha

( )( )( )xxx

xxxxxx

2

22

2

22

++

+++−=

xxx

xxx

2

)2(

2

22

++

+−=

xxx

x

2

2

2 ++

−

Notiamo che in questo caso, con il procedimento di razionalizzazione abbiamo trasformato la forma

indeterminata )()( +−+ nella forma / ; si prosegue quindi a eliminare anche questa

indeterminazione: xxx

x

2

2

2 ++

−=

++

−

xxx

x

21

2

2

=

++

−

xxx

x

21

2

e infine si divide tutto per x :

++

−

xxx

x

21

2=

++

−

xx

x 211

2

Si ha pertanto

( )xxxx

2lim 2 +−+→

= +→x

lim

++

−

xx

x 211

2= 1

111

2−=

+

−

Esempio: ( )5342lim 2 +−+−→

xxxx

= 4

3

Si ha:

( )( )5342

53425342

2

22

+−−

+−−+−+

xxx

xxxxxx =

( )5342

5344

2

22

+−−

+−−

xxx

xxx=

5342

53

2 +−−

−

xxx

x


22

Siamo ora in presenza della forma indeterminata / ; questa volta, ma solo per variare rispetto all’esercizio

precedente, non usiamo il valore assoluto, ma dopo avere diviso tutto per x , portiamo x sotto il segno di

radice:

5342

53

2 +−−

−

xxx

x=

x

xx

x

5342

53

2 +−−

−

=

2

2 5342

53

x

xx

x

+−+

−

(è cambiato il segno davanti al radicale perché abbiamo considerato 0x ). Possiamo finalmente calcolare il

limite:

( )5342lim 2 +−+−→

xxxx

= −→x

lim

2

2 5342

53

x

xx

x

+−+

−

= 4

3

42

3=

+

* * * * *

5. Limiti di funzioni esponenziali (Parte prima)

Partiamo da grafico della funzione esponenziale definita da xey = , per ogni x reale: )( +−== RD . I

limiti significativi si hanno per +→x e per −→x .

Il grafico mostra chiaramente che valgono le seguenti due relazioni di limite:

0lim =−→

x

xe

+=+→

x

xelim


23

E da qui seguono queste altre:

se +→)(xf allora +→)(xfe

se −→)(xf allora 0)( →xfe

Esempi.

+=+

→

12

lim x

xe ; 0lim 13

=+

−→

x

xe ; 0lim

3

0

2

=

+

→ −

x

x

xe ; +=

+

→ +

x

x

xe

3

0

2

lim

(lo studente controlli il segno della funzione che figura come esponente).

Non presentano difficoltà limiti del tipo:

eee x

x

x==

−

→

2

1

2

12

2

lim ; 1lim 0

12

==

−

→ee x

x

x

6. Limiti di funzioni logaritmiche (Parte prima)

Partiamo da grafico della funzione logaritmo naturale definita da xy ln= , per ogni x reale positivo:

);0( +=D . I limiti significativi si hanno per +→x e per +→ 0x .

Il grafico mostra chiaramente che valgono le seguenti due relazioni di limite:

−=+→

xx

lnlim0

+=+→

xx

lnlim


24

E da qui seguono queste altre:

se +→)(xf allora +→)(ln xf

se +→ 0)(xf allora −→)(ln xf

Esempi.

a) Consideriamo la funzione definita da

)1ln( 2 −= xy ;

il dominio è l‘insieme );1()1;( +−−=D

I limiti significativi si hanno per −→x , +→x , −−→ 1x ,

+→1x ; risulta:

+=−+→

)1ln(lim 2xx

e +=−−→

)1ln(lim 2xx

poiché in entrambi i casi +→− )1( 2x ;

−=−−−→

)1ln(lim 2

1x

x e −=−

+→)1ln(lim 2

1x

x

poiché in entrambi i casi +→− 0)1( 2x .

b) Consideriamo la funzione definita da

x

xy

1ln

2 −= ;

il dominio è l‘insieme );1()0;1( +−=D .

I limiti significativi si hanno per +−→ 1x ,

−→ 0x +→1x ; +→x ; valgono i seguenti risultati:_

−=−

+−→ x

x

x

1lnlim

2

1 e −=

−+→ x

x

x

1lnlim

2

1 ( poiché in entrambi i casi

+→−

012

x

x);

+=−

−→ x

x

x

1lnlim

2

0 e +=

−

+→ x

x

x

1lnlim

2

( poiché in entrambi i casi +→−

x

x 12

).


25

c) Non presentano difficoltà limiti del tipo:

01ln12

lnlim1

==−

→ x

x

x ; 2ln

32lnlim

2

2

=+

+→ x

x

x

* * * * *

7. Limiti di funzioni trigonometriche (parte prima).

a) Le funzioni seno e coseno definite da senxy = e xy cos= (il numero x deve intendersi come la

misura dell’angolo in radianti) hanno dominio )( +−== RD ; i limiti significativi si hanno

quindi per +→x e per −→x . Diciamo subito, però, che tali limiti non esistono:

senxx →lim non esiste

xx

coslim→

non esiste

Il motivo non à difficile da capire: entrambe le funzioni, periodiche, assumono infinte volte tutti i valori

compresi tra 1− e 1; pertanto, il limite non può essere ; e non può nemmeno essere un numero finito in

quanto esse assumono infinte volte tutti i valori compresi tra 1− e 1 e non c’è alcun valore particolare verso

cui i valori della funzione tendono, come invece accade nei casi in cui il limite esiste.

Ovviamente, esistono i limiti del tipo

0lim0

=→

senxx

; 1lim

2

=→

senxx

; 0lim =

→senx

x ;

2

1lim

6

=→

senxx

;

1coslim0

=→

xx

; 0coslim

2

=→

xx

1coslim −=

→x

x


26

b) Passiamo ora alla funzione tangente: tgxy = .

Il suo dominio è l’insieme

+−=

kRD2

cioè R privato dei punti

kx +=2

in cui si annulla il

coseno. Il grafico mostra chiaramente che risulta:

lim𝑥→

𝜋2

++𝑘𝜋

𝑡𝑔𝑥 = −∞

lim𝑥→

𝜋2

−+𝑘𝜋

𝑡𝑔𝑥 = +∞

(le rette di equazioni

kx +=2

sono tutte asintoti verticali per il grafico della funzione).

In particolare:

+=−

→

tgxx

2

lim

e −=+

→

tgxx

2

lim

.

Valgono poi semplici relazioni di limite del tipo:

0lim0

=→

tgxx

; 1lim

4

=→

tgxx

; 3lim

3

=→

tgxx

; e simili.

* * * * *


27

8. LIMITI NOTEVOLI.

Esistono alcuni limiti − oltre quelli finora trattati −, detti comunemente limiti notevoli, i quali risultano

fondamentali per il calcolo di altri importanti limiti. Essi riguardano le funzioni esponenziali e logaritmiche e

quelle trigonometriche. Avviso lo studente che il calcolo dei limiti di seguito considerati − tutti importanti, e

molti essenziali (quando sarà il momento) per il calcolo delle derivate −, presenta non poche difficoltà

derivanti, in larga misura, dal fatto che per eliminare le varie cause di indeterminazione non saranno sufficienti

le tecniche adottate finora (semplificazioni, razionalizzazioni, ecc.), ma occorreranno nuove e particolari

procedure, non sempre di immediata e facile comprensione.

8.1 Limiti di funzioni esponenziali e logaritmiche (seconda parte)

Il limite notevole di riferimento è il seguente:

ex

x

x=

+

+→

11lim

dove con la lettera e si indica il numero irrazionale (trascendente), detto numero di Nepero (o anche numero

di Eulero), e precisamente, il numero 71,2=e . . . (qui diamo la scrittura con due cifre decimali, come di

solito si fa con l’altro importante numero irrazionale (trascendente) 14,3= . . . ).

Osserviamo subito che il dominio della funzione

x

xxf

+=

11)(

è l’insieme )0()1;( +−−=D (lo studente verifichi ciò ponendo 0x e 01

1 +x

) e che per

+→x si presenta la forma indeterminata 1 ; il percorso per dimostrare questo limite fondamentale è molto

interessante ma troppo lungo e articolato per essere mostrato qui: lo faremo in altra sede. Qui invece

assumiamo come acquisito il risultato e lo adoperiamo subito, per dimostrare che risulta anche

x

x x

+

−→

11lim = e


28

Cominciamo con l’osservare che anche in questo caso si ha la forma indeterminata 1 ; inoltre, se −→x

allora +→− x e quindi, ponendo tx =− , possiamo riscrivere il limite dato nel modo seguente:

x

x x

+

−→

11lim =

t

t t

−

+→

−

11lim

Risulta poi:

tttt

tt

t

t

t

t

−+=

−=

−=

−

−−

1

11

1

111 ;

E ancora,

+

+=

−+

−+=

−+

−

zzttt

ztt1

11

11

11

1

11

1

11

1

(avendo posto zt =−1 )

Osservando, da ultimo, che se +→t anche +→=− zt 1 , avremo:

x

x x

+

−→

11lim =

t

t t

−

+→

−

11lim =

+→zlim

+

+

zz

z1

11

1 = ee =+ )01(

Esempi. (tutti importanti)

1.

+

+→ xx

x

11lnlim = 1

(forma indeterminata 0 )

Per una nota proprietà dei logaritmi si può scrivere :

+

+→ xx

x

11lnlim = 1ln

11lnlim ==

+

+→e

x

x

x (ovviamente il risultato vale anche se −→x ).

2.

( ) ex xx

=+→

1

01lim

(forma indeterminata 1 )


29

E’ lo stesso che et

t

t=

+

→

11lim ; basta porre, infatti, t

x=

1; così, se 0→x allora →t .

3.

x

x

x

)1ln(lim

0

+

→= 1

(forma indeterminata 0/0 )

Si ha: x

x

x

)1ln(lim

0

+

→ = )1ln(

1lim

0+

→x

xx= x

xx

1

0)1ln(lim +

→= 1ln =e

4.

x

e x

x

1lim

0

−

→ = 1

(forma indeterminata 0/0 )

Se si pone te x =−1 , cioè 1+= te x, si ottiene )1ln( += tx ; si osserva poi che se 0→x anche

0)1ln( →+t e questo è possibile se anche 0→t . Si ha perciò:

x

e x

x

1lim

0

−

→ =

)1ln(lim

0 +→ t

t

t= 1 (in base al limite precedente: se 1

)1ln(→

+

x

x anche 1

)1ln(→

+x

x)

Questi risultati si possono generalizzare al caso delle funzioni esponenziali e logaritmiche con base un

numero reale a che sia positivo e diverso da 1-

Si hanno i seguenti risultati:

1.1

+

+→ xx a

x

11loglim = ealog

Infatti:

+

+→ xx a

x

11loglim = e

xa

x

ax

log1

1loglim =

+

+→ (ovviamente il risultato vale anche se −→x ).


30

Se poi, di fatto, si vuole calcolare il limite adoperando il tasto ln della calcolatrice, basta ricordare la seguente

regola per il cambio di base: a

bb

alog

1log = ; quindi: ealog =

aln

1. Ovviamente il limite 1.) può ottenersi

immediatamente da quest’ultimo ponendo ea = , e osservando che 1log =ee .

3.3

x

xa

x

)1(loglim

0

+

→= ealog

Si ha: x

xa

x

)1(loglim

0

+

→ = )1(log

1lim

0+

→x

xa

x= x

ax

x

1

0)1(loglim +

→= ealog =

aln

1

Anche qui osserviamo che il limite 3.) può ottenersi da quest’ultimo ponendo ea = .

4.4

x

a x

x

1lim

0

−

→ = aln

Se si pone ta x =−1 , cioè 1+= ta x, e quindi )1(log += tx a , per cui, se 0→x anche 0)1(log →+ta

e quindi 0→t , si ottiene:

x

a x

x

1lim

0

−

→ =

)1(loglim

0 +→ t

t

at

= ealog

1 = aln

E naturalmente, ponendo in quest’ultimo ea = , si ottiene il limite 4.

È indispensabile conoscere questi limiti per calcolare la derivata sia della funzione esponenziale sia della

funzione logaritmica.

* * * * *


31

8.2 Limiti di funzioni trigonometriche (parte seconda).

Il limite notevole di riferimento è il seguente:

1lim0

=→ x

senx

x

di cui abbiamo già detto all’inizio. A partire da questo, si dimostrano altri due limiti, anch’essi notevoli:

0cos1

lim0

=−

→ x

x

x

2

1cos1lim

20=

−

→ x

x

x

Entrambi presentano la forma indeterminata 0/0 ; moltiplicando numeratore e denominatore della frazione

per xcos1+ , si ottiene, nel primo caso

x

x

x

cos1lim

0

−

→=

0lim→x

=+

−

)cos1(

cos1 2

xx

x

0lim→x

=+ )cos1(

2

xx

xsen

0lim→x

=+ )cos1(

2

xx

xsen

0lim→x x

senx

x

senx

cos1+ = 0

2

01 =

Nel secondo caso:

20

cos1lim

x

x

x

−

→=

0lim→x

=+

xx

xsen

cos1

12

2

0lim→x 2

1

2

11

cos1

1 2

2

==+

xx

xsen

Facilmente, si dimostra anche il seguente limite:

1lim0

=→ x

tgx

x

Si ha infatti:

x

tgx

x 0lim→

= 11

11

cos

1lim

0==

→ xx

senx

x


32

Completiamo questa parte, aggiungendo il seguente limite:

0lim =→ x

senx

x

la cui validità può essere qui giustificata intuitivamente, osservando che si può utilizzare la regola 0→

ain

quanto risulta 11 − senx al variare comunque di x sull’asse reale.

Si tratta in effetti di un caso particolare di un teorema più generale che è il seguente:

Se )(xf è una funzione limitata (risulta cioè Mxf )( , con M numero reale positivo) e →)(xg ,

risulta allora 0)(

)(lim =

→ xg

xf

x.

* * * * *


33

Esercizi vari

1. e

x

x

x=

+

+→1lim con R , 0

Si pone

xt = ; così, se →x anche →t . Sostituendo poi

xt

=

1 e xt = si ha:

x

x x

+

→

1lim =

et

t

x=

+

→

11lim .

2. e

ex

x

x

111lim 1 ==

− −

+→ (si ottiene dal precedente con 1−= ).

3. 2

2

211

1lime

ex

x

x==

− −

+→ (basta scrivere la funzione come

2

11

−

x

x)

4. 21

2

1lim ex x

x=−

→ (si pone

1

2

−=

xt e così, se 1→x , →t ; si ricava

tx

21+= . . .)

5. 11

1lnlim −=

−

+→ xx

x (segue dal limite 2.)

6. 2ln12

lim0

=−

→ x

x

x (è un limite notevole con 2=a )

7. 2ln312

lim3

0=

−

→ x

x

x (come il precedente con

32=a )

8. 21

lim2

0=

−

→ x

e x

x (come il precedente con

2ea = )

9. 2

1

1lim

20−=

−→ xx e

x (segue dal precedente)

10. 11

lnlim

1=

−→ x

x

x (si pone 1−= xt e si utilizza un limite notevole)

11. 2

11lnlim

0=

+

→ x

x

x (per una nota proprietà dei logaritmi . . .)


34

12. 11

lim =+→ x

xsenx

(si pone tx=

1 e si ottiene

t

sent

t 0lim→

)

13.

=→ x

xsen

x 0lim con R , 0 ; (si pone tx = e si ottiene

t

sent

t

→

0lim )

14. 44

lim0

=→ x

xsen

x; 12

2

lim0

=→ x

xsen

x ; 24

8

lim0

=→ x

xsen

x (vedi esercizio precedente)

15. 1lim0

=→ x

xsen

x

con R , 0 ; (vedi esercizio 13)

16. 13

3lim

0=

→ x

xsen

x;

3

1

6

2lim

0=

→ x

xsen

x; 2

3

5

310

lim0

=→ x

xsen


17.

=

→ x

xsen

x 0lim con R, , 0 (vedi esercizio 13)

18. 2

3

2

3lim

0=

→ x

xsen

x;

9

1

6

3

2

lim0

=→ x

xsen


19.

=

→ xsen

xsen

x 0lim (vedi esercizio 13 dopo aver diviso numeratore e denominatore per x )

20.

=→ x

xtg

x 0lim con R , 0 ; (vedi esercizio 13, ricordando che 1lim

0=

→ t

tgt

t)

21.

=−→ 1

lim1 x

xtg

x (posto tx =−1 , poiché ttgttg =+ )( , si ha . . . )

22. 2

1lim

30=

−

→ x

senxtgx

x

(si può scrivere la funzione come =−

x

senx

xx

xsenx

cos

)cos1(3

. . . e adoperare i limiti notevoli di pag. 31)

23. 2

2cos1lim

0=

−+→ x

x

x (si ricordi la formula di bisezione

2

cos1

2

xxsen

−= )

24. 2

2cos1lim

0−=

−−→ x

x


25. 12

2cos1lim

0+=

+−+→ x

xx

x (portare x sotto radice, tenendo conto che è 0x )

26. 42

24cos1lim

0+−=

+−−→ x

xx

x (portare x sotto radice, tenendo conto che è 0x )


35

27. 2lim0

=+

→ x

senxx

x (basta scrivere la funzione come

x

senx+1 )

28. 12

lim0

−=−

→ x

xsenx


29. 0cos1

lim0

=−

→ senx

x

x (moltiplicare per xcos1+ )

30. 2

1cos1lim

20=

−

→ xsen

x


31. +=−

→ x

x

x

cos1lim

0 con R , 2 (vedi esercizio precedente)

32. 0cos1

lim0

=−

→ x

x

x con R , 20

33. 1lim2

=+

+

+→ xsenx

senxx

x (ricordare il limite 0lim =

→ x

senx

x, dopo aver diviso per x )

34. 1lim2

0−=

−

→ x

ee xx

x (ricordare il limite 1

1lim

0=

−

→ x

e x

x, dopo aver messo a fattore comune

xe )

35. 11

lim0

=−

→ senx

e x

x (basta scrivere

senx

x

x

e x

−1

)

36. 3

2ln

32lim

0=

−

→ x

xx

x (ricordare il limite a

x

a x

xln

1lim

0=

−

→, dopo aver messo a fattore comune

xa )

37. b

a

x

ba xx

xlnlim

0=

−

→ (generalizza il risultato precedente)

38. 1)1ln(

lim2

2

0=

+

→ x

x

x (ponendo

2xt = si può adoperare il limite 1)1ln(

lim0

=+

→ x

x

x)

39. 2cos1

)1ln(lim

2

0=

−

+

→ x

x

x (si può scrivere )cos1(

)1ln(2

2

2

2

xxsen

x

x

x+

+)

40. ee

ex

xx

x

1

2

32lim 2

31

==

+ −−

+→

(si osservi che si può scrivere xx

x

2

31

2

32+=

+; si ha pertanto

xx

xxx

x−−

+

+=

+

2

31

2

31

2

321

; per calcolare il

limite del secondo fattore basta riconoscere che è del tipo

x

x

+

1 con 2

3= )

41. ex

xx

x=

+

+

+→ 1

2lim (si osservi che si può scrivere

1

11

1

11

1

2

++=

+

++=

+

+

xx

x

x

x).

M A T E M A T I C A - Scienze umane – Scienze applicate

Documents