Lý thuyết + bài tập hình Oxy đầy đủ các dạng.pdf

8/17/2019 Lý thuyết + bài tập hình Oxy đầy đủ các dạng.pdf

1/33

Phươ ng pháp ta trong mt phng

Giáo viên: Nguyn Trung Ngh ĩ a - THPT chuyên Quc Hc Hu 1

MC LC

Trang

• Tóm tt kin th c 2

•

Các bài toán v im và ư ng thng 4

• Các bài toán v tam giác 6

• Các bài toán v hình ch nht 13

• Các bài toán v hình thoi 16

• Các bài toán v hình vuông 17

• Các bài toán v hình thang, hình bình hành 19

• Các bài toán v ư ng tròn 21

• Các bài toán v ba ư ng conic 31

Upload By TaiLieuTHPT.Net


2/33



TÓM TT KIN TH C

1. Phươ ng trình ư ng thng

• ư ng thng i qua im ( );o o A x y và có VTCP ( );u a b=

có PTTS là= +

= +

o

o

x x at

y y bt .

• ư ng thng i qua im ( );o o A x y và có VTPT ( )=

;n a b có PTTQ là ( ) ( )− + − = 0o oa x x b y y .

• ư ng thng i qua hai im ( ); A A A x y và ( ); B B B x y có phươ ng trình:− −

=− −

A A

B A B A

x x y y

x x y y.

• ư ng thng i qua hai im ( );0 A a và ( )0; B b v i ≠ 0a và ≠ 0b có phươ ng trình: + = 1 x y

a b.

• ư ng thng song song hoc trùng v i Oy có phươ ng trình là ( )+ = ≠0 0ax c a .

• ư ng thng song song hoc trùng v i Ox có phươ ng trình là ( )+ = ≠0 0by c b .

• ư ng thng i qua gc ta O có phươ ng trình là + = 0ax by ( )2 2 0a b+ ≠ .• nu (d ) vuông góc v i + + =( ') : 0d ax by c thì (d ) có phươ ng trình là − + = 0bx ay m .

•

nu (d ) song song v i + + =( ') : 0d ax by c thì (d ) có phươ ng trình là ( )+ + = ≠0ax by m m c .• ư ng thng có h s góc k có phươ ng trình là = + y kx b .

• ư ng thng i qua im ( );o o A x y và có h s góc k có phươ ng trình là ( )− = −o o y y k x x .

• = +( ) :d y kx b vuông góc v i = + ⇔ = −( ') : ' ' . ' 1d y k x b k k .

• = +( ) :d y kx b song song v i = + ⇒ =( ') : ' ' 'd y k x b k k .

2. Khong cách và góc

• khong cách t ( );o o A x y n ∆ + + =( ) : 0ax by c tính b i công thc: ( ) + +

∆ =

+2 2

, o oax by c

d Aa b

•

M, N cùng phía i v i ư ng thng ∆ + + =( ) : 0ax by c ( )( )⇔ + + + + > 0 M M N N ax by c ax by c

• M, N khác phía i v i ư ng thng ∆ + + =( ) : 0ax by c ( )( )⇔ + + + + < 0 M M N N ax by c ax by c

• cho hai ư ng thng ∆ + + =( ) : 0ax by c và ∆ + + =( ') : ' ' ' 0a x b y c thì:

phươ ng trình hai ư ng phân giác ca các góc to b i ∆ và ∆ ' là+ + + +

= ±

+ +2 2 2 2

' ' '

' '

ax by c a x b y c

a b a b

( ) +

∆ ∆ =

+ +2 2 2 2

' 'cos ; '

. ' '

aa bb

a b a b

∆ ⊥ ∆ ⇔ + =' ' ' 0aa bb .

3. ư ng tròn

• ư ng tròn (C ) tâm ( );o o T x y , bán kính R có phươ ng trình là ( ) ( )− + − =2 2 2

o o x x y y R .

• phươ ng trình + + + + =2 2 2 2 0 x y ax by c v i + − >2 2 0a b c là phươ ng trình ca mt ư ng tròn

v i tâm ( )− −; T a b và bán kính = + −2 2a b c .

• cho ư ng thng ∆ + + =( ) : 0ax by c và ư ng tròn (C ) có tâm ( );o o T x y và bán kính R . Lúc ó:

∆( ) tip xúc (C ) ( ) + +

⇔ ∆ = ⇔ =

+2 2

; o oax by c

d T R Ra b

.

Upload By TaiLieuTHPT


3/33



4. ư ng elip

x

y

F2F 1

O

M

• nh ngh ĩ a:

( ) { }= + =1 2| 2 E M MF MF a

• Phươ ng trình chính tc:

( ) ( )+ = < <2 2

2 2: 1 0

x y E b a

a b

• Tiêu im: ( ) ( )−1 2;0 , ;0 F c F c v i2 2c a b= −

• Tiêu c: =1 2

2 F F c

• Bán kính qua tiêu: = + = −1 2;c c

MF a x MF a x a a

• Tâm sai: = < 1c

ea

• Trc l n là Ox, dài trc l n: 2a • Trc bé là Oy, dài trc bé: 2b • Ta các nh: ( ) ( ) ( ) ( )− −;0 , ;0 , 0; , 0;a a b b

5. ư ng hypebol

x

y

M(x;y)

F2

(c;0) F 1

(-c;0) O

• nh ngh ĩ a:

( ) { }= − =1 2| 2 H M MF MF a

• Phươ ng trình chính tc:

( ) ( )− = < <2 2

2 2: 1 0 ;0

x y H a b

a b

• Tiêu im: ( ) ( )−1 2;0 , ;0 F c F c v i2 2c a b= +

• Tiêu c: =1 2

2 F F c

• Bán kính qua tiêu: = + = −1 2

;c c

MF a x MF a x a a

• Tâm sai: = > 1c

ea

• Trc thc là Ox, dài trc thc: 2a • Trc o là Oy, dài trc o: 2b

• Phươ ng trình các ư ng tim cn: = ±b

y x a

• Ta các nh: ( ) ( )− ;0 , ;0a a

6. ư ng parabol

x

y

H

P

FO

M

• nh ngh ĩ a: ( ) ( ){ }= = ∆| , P M MF d M

• Phươ ng trình chính tc: ( ) ( )= >2: 2 0 P y px p

• Tiêu im:

;02

p F

• ư ng chuNn: + = 02

p x

• Bán kính qua tiêu: = +2

p MF x

• Ta nh: ( )0;0O

*****


4/33



CÁC BÀI TOÁN V IM VÀ Ư NG THNG

B04: Cho hai im A(1; 1), B(4; –3). Tìm im C thuc ư ng thng − − =2 1 0 x y sao cho khong cách t C n ư ng thng AB bng 6.

S: C C 1 2

43 27(7;3), ;

11 11

− −

A06: Cho các ư ng thng ln lư t có phươ ng trình: + + = − − = − =1 2 3

: 3 0, : 4 0, : 2 0d x y d x y d x y .

Tìm to im M nm trên ư ng thng d 3 sao cho khong cách t M n ư ng thng d 1 bng hai lnkhong cách t M n ư ng thng d 2.

S: M(–22; –11), M(2; 1)B11: Cho hai ư ng thng : 4 0 x y∆ − − = và : 2 2 0d x y− − = . Tìm ta im N thuc ư ng thng d sao cho ư ng thng ON ct ư ng thng ∆ ti im M tha mãn . 8OM ON = .

S: ( )0; 2N − hoc 6 2

;5 5

N

Toán hc & Tui tr: Cho ư ng thng : 2 2 0d x y− − = và hai im A(0 ; 1) và B(3 ; 4). Tìm ta

ca im M trên d sao cho 2 22 MA MB+ nh nht.

S: M (2 ; 0) chuyên H Vinh: Cho hai im A(1 ; 2) và B(4 ; 3). Tìm ta im M sao cho o135 AMB = và

khong cách t im M n ư ng thng AB bng10

2.

S: ( )0;0 M hoc ( )1;3 M −

D10: Cho im A(0; 2) và ∆ là ư ng thng i qua O. Gi H là hình chiu vuông góc ca A trên ∆. Vitphươ ng trình ∆, bit khong cách t H n trc hoành bng AH .

S: 2 ư ng ∆: ( ) x y5 1 2 5 2 0− ± − = B04(d b): Cho im I (–2; 0) và hai ư ng thng d x y d x y

1 2: 2 5 0, : 3 0− + = + − = . Vit phươ ng trình

ư ng thng d i qua im I và ct hai ư ng thng d 1 , d 2 ln lư t ti A, B sao cho IA IB2=

.

S: : 7 3 14 0d x y− + + =

Toán hc & Tui tr: Cho hai ư ng thng 1 2: 1 0; : 2 1 0d x y d x y+ + = − − = . Lp phươ ng trình ư ng

thng d i qua ( )1; 1 M − và ct 1 2;d d ln lư t ti A và B sao cho 2 MB MA= −

.

S: : 1d x = Toán hc & Tui tr: Cho hai im ( ) ( )2;5 , 5;1 A B . Vit phươ ng trình ư ng thng d i qua A sao cho

khong cách t B n d bng 3. S: : 7 24 134 0d x y+ − =

Toán hc & Tui tr: Cho im ( )3;4 M − và hai ư ng thng 1 : 2 3 0d x y− − = và 2 : 0d x y− = . Vit

phươ ng trình ư ng thng d i qua M ct 1d ti A, ct 2d ti B sao cho 2 MA MB= và im A có tung dươ ng. chuyên Phan Bi Châu - Ngh An: Cho ba im A(1 ; 1), B(3 ; 2) và C (7 ; 10). Vit phươ ng trìnhư ng thng ∆ i qua A sao cho tng khong cách t B và C n ∆ là l n nht.

S: : 4 5 9 0d x y+ − =

chuyên H Long - Qung Ninh: Cho tam giác ABC có nh A(0 ; 4), trng tâm ( )4/3;2/3 G và trc

tâm trùng v i gc ta . Tìm ta B, C bit B C x x < .

S: ( ) ( )1; 1 , 5; 1 B C− − −


5/33



ng Thúc H a - Ngh An - 2013: ( ) ( ) ( )− + − =2 2

: 1 2 10C x y có tâm là I. Vit phươ ng trình ư ng

thng d cách O mt khong bng 5 và ct (C) ti hai im phân bit A, B sao cho din tích tam giácIAB l n nht.

S: − − =: 2 5 0d x y

S GD&T V ĩ nh Phúc - 2014: Cho hai ư ng thng + − =1 : 2 3 0d x y và − − =2 : 2 1 0d x y ct nhauti. Vit phươ ng trình ư ng thng d i qua O và ct 1 2,d d ln lư t ti A, B sao cho 2IA=IB.

S: − =: 3 4 0d x y hoc =: 0d x chuyên H Vinh - 2013: Cho hai ư ng thng − − = + − =

1 2: 2 0, : 2 2 0d x y d x y . Gi I là giao im

ca 1 2,d d . Vit phươ ng trình ư ng thng i qua M(-1;1) ct 1 2,d d ln lư t ti A, B sao cho AB = 3IA.

S: + = 0 x y hoc 7 6 0 x y+ − = chuyên Nguyn Quang Diêu - ng Tháp - 2014: Cho im A(0;2) và ư ng thng : 2 2 0.d x y− + = Tìm trên d 2 im M, N sao cho tam giác AMN vuông ti A và AM=2AN, bit hoành và tung caN là nhng s nguyên.

S: M(2;2), N(0;1)chuyên Lý T Trng - Cn Thơ - 2014: Cho im A(4;-7) và ư ng thng : 2 4 0 x y∆ − + = . Tìm imB trên ∆ sao cho có úng ba ư ng thng

1 2 3, ,d d d tha mãn khong cách t A n

1 2 3, ,d d d u bng 4

và khong cách t B n1 2 3, ,d d d u bng 6.

S: ( )2;1 B − hoc6 13

;5 5

B

*****



6/33



CÁC BÀI TOÁN V TAM GIÁC

1. Tam giác thư ng

1.1. Tìm ta ca im

A04: Cho hai im A(0; 2) và ( )− −3; 1 B . Tìm ta trc tâm và ta tâm ư ng tròn ngoi tip catam giác OAB.

S: ( ) ( ) H I 3; 1 , 3;1− − B08: Hãy xác nh to nh C ca tam giác ABC bit rng hình chiu vuông góc ca C trên ư ngthng AB là im H (–1; –1), ư ng phân giác trong góc A có phươ ng trình − + =2 0 x y và ư ng cao k t B có phươ ng trình + − =4 3 1 0 x y .

S: C 10 3

;3 4

−

D10: Cho tam giác ABC có nh A(3; –7), trc tâm là H (3; –1), tâm ư ng tròn ngoi tip là I (–2; 0).Xác nh to nh C , bit C có hoành dươ ng.

S: ( )C 2 65;3− +

B11: Cho tam giác ABC có nh1

;12 B

. ư ng tròn ni tip tam giác ABC tip xúc v i các cnh BC ,

CA, AB tươ ng ng ti các im D, E , F . Cho D(3 ; 1) và ư ng thng EF có phươ ng trình 3 0 y − = . Tìmta nh A, bit A có tung dươ ng.

S: 13

3;3

A

D11: Cho tam giác ABC có nh ( )4;1 B − , trng tâm ( )1;1 G và ư ng thng cha phân giác trong ca

góc A có phươ ng trình 1 0 x y− − = . Tìm ta các nh A và C .

S: ( ) ( )4;3 , 3; 1 A C −

B13: Cho tam giác ABC có chân ư ng cao h t nh A là17 1

;5 5 H

− , chân ư ng phân giác trong ca

góc A là ( )5;3 D và trung im ca cnh AB là ( )0;1 M . Tìm ta nh C .

S: ( )9;11C

D13: Cho tam giác ABC có im ( )9 / 2 ; 3 / 2− M là trung im ca cnh AB, im ( )2;4 H − và ( )1;1 I −

ln lư t là chân ư ng cao k t B và tâm ư ng tròn ngoi tip tam giác ABC . Tìm ta nh C . S: ( )−1;6C

D03(d b): Cho tam giác ABC có nh A(1; 0) và hai ư ng thng ln lư t cha các ư ng cao v t B và C có phươ ng trình tươ ng ng là: x y x y2 1 0, 3 1 0− + = + − = . Tính din tích tam giác ABC .

S: B C ( 5; 2), ( 1; 4)− − − ⇒ S 14=

D04(d b): Cho im A(2; 3) và hai ư ng thng d x y d x y1 2

: 5 0, : 2 7 0+ + = + − = . Tìm to các im B

trên d 1 và C trên d 2 sao cho tam giác ABC có trng tâm G(2; 0). S: ( ) ( )1; 4 , 5;1 B C− −

A06(d b): Cho tam giác ABC có nh A thuc ư ng thng x yd : 4 2 0− − = , cnh BC song song v i d .Phươ ng trình ư ng cao BH : x y 3 0+ + = và trung im ca cnh AC là M (1; 1). Tìm to các nh A,

B, C .

S: A B C 2 2 8 8

; , ( 4;1), ;3 3 3 3

− − −


7/33



B06(d b): Cho tam giác ABC có nh A(2; 1), ư ng cao qua nh B có phươ ng trình x y3 7 0− − = vàư ng trung tuyn qua nh C có phươ ng trình x y 1 0+ + = . Xác nh to các nh B và C ca tamgiác.

S: B(–2; –3), C(4; –5)A07(d b): Cho tam giác ABC có trng tâm G(–2; 0), phươ ng trình các cnh AB: x y4 14 0+ + = , AC : x y2 5 2 0+ − = . Tìm to các nh A, B, C .

S: A(–4; 2), B(–3; –2), C(1; 0)

Toán hc & Tui tr: Cho tam giác ABC bit ba chân ư ng cao tươ ng ng v i ba nh A, B, C ln lư tlà ( )' 1;1 A , ( )' 2;3 B − và ( )' 2;4C . Vit phươ ng trình cnh BC .

S: 2 3 3 1 5 2

013 10 13 10 13 10

x

− + + − + =

Toán hc & Tui tr: Cho tam giác ABC có : 5 2 7 0; : 2 1 0 AB x y BC x y+ + = − − = . Phươ ng trìnhư ng phân giác trong góc A là 1 0 x y+ − = . Tìm ta im C .

S: 11 4

;3 3

C

Toán hc & Tui tr: Cho tam giác ABC bit C (4 ; 3). ư ng phân giác trong và trung tuyn k t nh

A ca tam giác ln lư t có phươ ng trình 2 5 0 x y+ − = và 4 13 10 x y+ − . Tìm ta im B. S: ( )12;1 B −

Toán hc & Tui tr: Cho tam giác ABC bit ( )1;1 A − , trc tâm H (1 ; 3), trung im ca cnh BC làim M(5 ; 5). Xác nh ta các nh B và C ca tam giác ABC . ng Thúc H a - Ngh An: Cho tam giác ABC có : 2 3 0d x y− − = là ư ng phân giác trong góc A.

Bit ( ) ( )1 16;0 , 4;4 B C− − ln lư t là hình chiu vuông góc ca B, C lên các ư ng thng AC , AB. Xác

nh ta ca A, B, C .

S: ( ) 21 21 31 1

1; 1 , ; , ;4 4 4 4

A B C

− − −

Lê Hng Phong - Thanh Hóa:1. Cho tam giác ABC có A(5 ; 2). Phươ ng trình ư ng trung trc on BC là 6 0 x y+ − = , trung

tuyn CC ’ là 2 3 0 x y− + = . Tìm ta các nh B, C .2. Cho tam giác ABC có A(1 ; 5). Phươ ng trình : 2 6 0 BC x y− − = . Tâm ư ng tròn ni tip

I (1;0). Tìm ta các nh B, C . S: 1. ( ) ( )23/5;55/3 , 28 /3; 14 / 3C B − − 2. ( ) ( )4; 1 , 4; 5 B C− − −

chuyên H Vinh: Cho tam giác ABC có trng tâm G(1 ; 1); : 2 1 0d x y− + = là phươ ng trình ca ư ngcao k t nh A. Các nh B, C thuc ư ng thng : 2 1 0 x y∆ + − = . Tìm ta các im A, B, C bittam giác ABC có din tích bng 6.

S: ( ) ( ) ( )1;3 , 3; 1 , 1;1 A B C− −

hoc ( ) ( ) ( )1;3 , 3; 1 , 1;1 A C B− −

Lý Thái T - Bc Ninh: Cho tam giác ABC bit ư ng cao k t nh B và ư ng phân giác trong góc A ln lư t có phươ ng trình là 1 2: 3 4 10 0; : 1 0d x y d x y+ + = − + = . im M (0 ; 2) thuc ư ng thng AB

ng th i cách C mt khong bng 2 . Tìm ta các nh ca tam giác ABC . S: ( ) ( ) ( )4;5 , 3; 1 / 4 , 1;1 A B C− − hoc ( )31/ 25;33/ 25C

THPT Cu Xe: Cho tam giác ABC bit ư ng cao k t nh C và ư ng trung trc on BC ln lư tlà 2 0;3 4 2 0 x y x y− + = + − = . im ( )4; 2 A − . Tìm ta các nh B, C .

S: ( ) ( )1 / 4;9 / 4 , 7 / 4;1/ 4 B C− −


8/33



THPT Triu Sơ n 4: Cho tam giác ABC bit ư ng cao k t nh A và ư ng phân giác trong góc B lnlư t có phươ ng trình là 2 2 0; 1 0 x y x y− − = − − = . Tìm ta các nh ca tam giác ABC , bit M (0 ; 2)thuc ư ng thng AB và AB = 2 BC .

S: ( ) ( ) ( )3;1 /2 , 2;1 , 7 / 4;3 /2 A B C

Quỳnh Lư u 2 - Ngh An: Cho tam giác ABC có din tích bng 12 6 6+ , ( ) ( )2;0 , 4;0 A B− , bán kính

ư ng tròn ngoi tip bng 5. Tìm ta im C bit tung ca C dươ ng.

S: ( )0;4 2 6C +

hoc ( )2;4 2 6C +

chuyên Nguyn Quang Diêu - ng Tháp: Cho tam giác ABC có 5 AB = , ( )1; 1C − − , ư ng thng

: 2 3 0 AB x y+ − = . Trng tâm G thuc ư ng thng : 2 0d x y+ − = . Tìm ta ca A, B.

S: ( ) ( )4; 1/ 2 , 6; 3 / 2 A B− − hoc ( ) ( )4; 1/ 2 , 6; 3 / 2 B A− −

GSTT.VN - 2013: Cho tam giác ABC có M(0;-1) nm trên cnh AC. Bit AB=2AM, ư ng phân giáctrong góc A là : 0d x y− = , ư ng cao i qua nh C là ' : 2 3 0d x y+ + = . Tìm ta các nh ca tamgiác ABC.

S: ( ) ( )

− − − −

11;1 , 3; 1 , ; 2

2 A B C

ng Thúc H a - Ngh An - 2013: Cho tam giác ABC có

135o BAC = , ư ng cao : 3 10 0 BH x y+ + = ,

trung im ca cnh BC là1 3

;2 2

M

−

và trc tâm H(0;-10). Bit tung ca im B âm. Xác nh ta

các nh ca tam giác ABC.ng Thúc H a - Ngh An - 2013: Cho tam giác ABC có trc tâm H, : 4 0 BC x y− + = , trung imca cnh AC là M(0;3), ư ng cao AH ct ư ng tròn ngoi tip tam giác ABC ti N(7;-1). Xác nh ta các nh ca tam giác ABC và vit phươ ng trình ư ng tròn ngoi tip tam giác HBC.chuyên Lê Quý ôn - Qung Tr - 2013: Cho tam giác ABC có trng tâm G(1;2), im M(-2;1) nmtrên ư ng cao k t A. ư ng thng BC có phươ ng trình 1 0 x y− − = . Tìm ta im B bit 0 B x > và din tích tam giác ABC bng 24.

S: B(7;6) chuyên H Vinh - 2013: Cho tam giác ABC có A(-1;-3), B(5;1). im M nm trên on thng BC saocho MC=2MB. Tìm ta im C bit rng MA = AC = 5 và ư ng thng BC có h s góc là mt s nguyên.

S: C(-4;1)

Toán hc & Tui tr - 2014: Cho tam giác ABC có A(1;2), trng tâm G(1;1) và trc tâm2 10

;3 3

H

.

Tìm ta hai nh B và C ca tam giác. S: B(-1;0) và C(3;1)

Hng Quang - Hi Dươ ng - 2014: Cho tam giác ABC có din tích bng 2. Phươ ng trình ca ư ng

thng AB là 0 x y− = . im M(2;1) là trung im ca cnh BC. Tìm ta trung im N ca cnh AC. S: B(3;2) và C(1;0)

S GD&T V ĩ nh Phúc - 2014: Cho tam giác ABC có nh C(5;1), M là trung im ca BC, im B thucư ng thng : 6 0d x y+ + = . im N(0;1) là trung im ca AM, im D(-1;-7) không nm trên ư ngthng AM và khác phía v i A so v i ư ng thng BC, ng th i khong cách t A và D t i ư ng thngBC bng nhau. Xác nh ta các im A, B.

S: B(-3;-3) và A(-1;3)


9/33



chuyên Nguyn ình Chiu - ng Tháp - 204: Cho tam giác ABC có ( ) ( ) ( )0;2 3 , 2;0 , 2;0 A B C− vàBH là ư ng cao. Tìm ta ca im M, N trên ư ng thng cha ư ng cao BH sao cho ba tam giácMBC, NBC và ABC có chu vi bng nhau.

S: 8 24 3 24 6 3 8 24 3 24 6 3

; , ;13 13 13 13

M N − + + − − − +

chuyên H Vinh - 204: Cho tam giác ABC có phươ ng trình ư ng thng cha ư ng cao k t B là

3 18 0 x y+ − = , phươ ng trình ư ng thng trung trc ca BC là 3 19 279 0. x y+ − = nh C thuc ư ngthng : 2 5 0.d x y− + = Tìm ta nh A bit rng 135 .o BAC =

S: A(4;8) chuyên Lý T Trng - Cn Thơ - 2014: Cho tam giác ABC có H(1;1) là chân ư ng cao k t nh A.

im M(3;0) là trung im ca cnh BC và . BAH HAM MAC= = Tìm ta các im A, B, C.

S: ( ) ( ) ( )1 3;1 2 3 , 1;2 , 7; 2 A B C± ± − − HSP Hà Ni - 2014: Cho tam giác ABC có AC>AB, C(6;0) và hai ư ng thng : 3 10 0d x y− − = ,

: 3 3 16 0. x y∆ + − = Bit rng ư ng thng d cha ư ng phân giác trong ca góc A, ư ng thng ∆ vuông góc v i cnh AC và ba ư ng thng ∆ , d và trung trc ca cnh BC ng qui ti mt im.

S: 4 2;3 3

B

chuyên H Vinh - 204: Cho tam giác ABC có M(2;1) là trung im cnh AC, im H(0;-3) là chânư ng cao k t A, im E(23;-2) thuc ư ng thng cha trung tuyn k t C. Tìm ta im B bitim A thuc ư ng thng : 2 3 5 0d x y+ − = và im C có hoành dươ ng.

S: ( )3; 4 B − −

Nguoithay.vn - 2014: Cho tam giác ABC có A(1;5), im B nm trên ư ng thng1 : 2 1 0d x y+ + = và

chân ư ng cao h t nh B xung ư ng thng AC nm trên ư ng thng2 : 2 8 0d x y+ − = . Bit

M(3;0) là trung im ca cnh BC. Tìm ta ca các im B và C.

1.2. Vit phươ ng trình ư ng thngD09: Cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung im ca cnh AB. ư ng trung tuyn và ư ng cao quanh A ln lư t có phươ ng trình là − − = − − =7 2 3 0, 6 4 0 x y x y . Vit phươ ng trình ư ng thng AC .

S: AC x y: 3 4 5 0− + =

chuyên Phan Bi Châu - Ngh An: Cho tam giác ABC có trc tâm ( )1;4 H − , tâm ư ng tròn ngoi

tip là ( )3;0 I − và trung im ca cnh BC là ( )0; 3 M − . Vit phươ ng trình ư ng thng AB bit B có

hoành dươ ng. S: : 3 7 49 0 AB x y+ − =

chuyên Hà Ni - Amsterdam: Cho tam giác ABC và im ( )0; 1 M − . Phươ ng trình ư ng phân giác

trong ca góc A và ư ng cao k t C ln lư t là 0; 2 3 0 x y x y− = + + =

. ư ng thng AC i qua M và AB = 2 AM . Vit phươ ng trình cnh BC . S: : 2 5 11 0 BC x y+ + =

Toán hc & Tui tr - 2013: Cho tam giác ABC có C (5;4), ư ng thng : 2 11 0d x y− + = i qua A vàsong song v i BC , ư ng phân giác trong AD có phươ ng trình 3 9 0 x y+ − = . Vit phươ ng trình các cnhcòn li ca tam giác ABC .

S: + − = − + = − + =: 2 13 0, : 2 3 0, : 2 4 0 AC x y BC x y AB x y


10/33



Toán hc & Tui tr - 2014: Cho tam giác ABC có A(-1;3), trng tâm G(2;2). Bit im B, C ln lư t làthuc các ư ng thng : 3 3 0d x y+ − = và ' : 1 0d x y− − = . Vit phươ ng trình ư ng thng ∆ i qua Acó h s góc dươ ng sao cho tng khong cách t B và C n ∆ là l n nht.

S: ∆ − + =: 3 6 0 x y chuyên Nguyn ình Chiu - ng Tháp - 2014: Cho tam giác ABC có phươ ng trình ư ng cao AH là

3 3. x = Phươ ng trình ư ng phân giác trong góc ABC , ACB ln lư t là 3 x y− , 3 6 3 0. x y+ − = Bán kính ư ng tròn ni tip tam giác ABC bng 3. Vit phươ ng trình các cnh ca tam giác ABC, bit

nh A có tung dươ ng. S: : 3 18 0, : 0, : 3 0 AC y x BC y AB y x + − = = − =

2. Tam giác cân

2.1. Tìm ta ca im

B03: Cho tam giác ABC có = , AB AC = 90o BAC . Bit M (1; –1) là trung im cnh BC và ( )2/3; 0G là

trng tâm tam giác ABC . Tìm ta các nh A, B, C . S: A(0; 2), B(4; 0), C(–2; –2)

B09: Cho tam giác ABC cân ti A có nh A(–1; 4) và các nh B, C thuc ư ng thng ∆: − − =4 0 x y .Xác nh to các im B và C , bit din tích tam giác ABC bng 18.

S: B C 11 3 3 5; , ;2 2 2 2

−

hoc B C 3 5 11 3; , ;2 2 2 2

−

A10: Cho tam giác ABC cân ti A có nh A(6; 6); ư ng thng i qua trung im ca các cnh AB và AC có phươ ng trình + − =4 0 x y . Tìm to các nh B và C , bit im E (1; –3) nm trên ư ng cao iqua nh C ca tam giác ã cho.

S: B(0; –4), C(–4; 0) hoc B(–6; 2), C(2; –6)

A05(d b): Cho tam giác ABC cân ti nh A có trng tâm G 4 1

;3 3

, phươ ng trình ư ng thng BC là

x y2 4 0− − = và phươ ng trình ư ng thng BG là x y7 4 8 0− − = .Tìm ta các nh A, B, C . S: A(0; 3), B(0; –2), C(4; 0)

chuyên Lý T Trng - Cn Thơ : Cho tam giác ABC cân ti B, có : 3 2 3 0 AB x y− − = . Tâm ư ngtròn ngoi tip tam giác ABC là I (0 ; 2). im B thuc trc Ox. Tìm ta im C .

S: ( )3 1;1 3C − − Quỳnh Lư u 1 - Ngh An: Cho tam giác ABC cân ti A có : 2 2 0; : 2 1 0 AB x y AC x y+ − = + + = , im

M (1 ; 2) thuc on BC . Tìm ta im D sao cho . DB DC

nh nht. S: D(0 ; 3)

Nguyn c Mu - Ngh An: Cho tam giác ABC cân ti A, nh B thuc : 4 2 0d x y− − = , cnh AC song song v i d . ư ng cao k t nh A có phươ ng trình 3 0 x y+ + = , im M (1 ; 1) nm trên AB. Tìmta các nh ca tam giác ABC .

S: ( ) ( ) ( )0; 3 , 2 / 3; 1 / 3 , 8 / 3; 11 / 3 A B C− − − − chuyên Phan Bi Châu - Ngh An - 2013: Cho tam giác ABC cân ti A. Gi D là trung im ca AB.

Bit rng11 5

;3 3

I

và13 5

;3 3

E ln lư t là tâm ư ng tròn ngoi tip tam giác ABC, trng tâm tam

giác ADC. Các im M(3;-1), N(-3;0) ln lư t thuc các ư ng thng DC, AB. Tìm ta các im A,B, C bit A có tung dươ ng.

S: ( ) ( ) ( )− −7;5 , 1;1 , 3; 3 A B C


11/33



chuyên H Vinh - 2013: Cho tam giác ABC cân ti A, có trc tâm H(-3;2). Gi D, E là chân ư ng caok t B và C. Bit rng im A thuc ư ng thng : 3 3 0d x y− − = , im F(-2;3) thuc ư ng thng DEvà HD=2. Tìm ta im A.

S: ( )3;0 A

Lươ ng Th Vinh - Hà Ni - 2014: Cho tam giác ABC cân ti A. Gi N là trung im ca AB. Gi E vàF lân lư t là chân ư ng cao h t các nh B, C ca tam giác ABC. Tìm ta ca nh A bit rng

E(7;1), 11 13;5 5

F

và phươ ng trình ư ng thng CN là 2 13 0. x y+ − =

S: ( )7;9 A

2.2. Vit phươ ng trình ư ng thngB06(d b): Cho tam giác ABC cân ti B, v i A(1; –1), C (3; 5). im B nm trên ư ng thngd x y: 2 0− = . Vit phươ ng trình các ư ng thng AB, BC .

S: AB: x y23 24 0− − = , BC: x y19 13 8 0− + =

Toán hc & Tui tr: Cho hai ư ng thng 1 : 2 1 0d x y− + = và 2 : 2 7 0d x y+ − = . Lp phươ ng trình

ư ng thng i qua gc ta O và to v i 1 2;d d mt tam giác cân có áy thuc ư ng thng ó.

S: 118

3 8 0;5

x y S − + = = hoc 232

3 6 0;5

x y S + − = =

Toán hc & Tui tr: Cho tam giác ABC cân ti A. Bit : 2 1 0; : 4 3 0 AB x y BC x y+ − = + + = . Vitphươ ng trình ư ng cao k t nh B ca tam giác ABC .

S: 31 22 9 0 x y+ − =

Toán hc & Tui tr: Cho hai ư ng thng 1 2: 3 3 0; : 3 3 2 0d x y d x y− − = + − − = ct nhau ti

A. Lp phươ ng trình ư ng thng d ct 1 2;d d ln lư t ti B và C sao cho tam giác ABC u có din tích

bng 3 3 .

3. Tam giác vuông

3.1. Tìm ta ca im

A02: Xét tam giác ABC vuông ti A, phươ ng trình ư ng thng BC là − − =3 3 0 x y , các nh A và B thuc trc hoành và bán kính ư ng tròn ni tip bng 2. Tìm ta trng tâm G ca tam giác ABC .

S: G1

7 4 3 6 3;

3 3

+ +

, G2

4 3 1 6 2 3;

3 3

− − − −

D04: Cho tam giác ABC có các nh A(–1; 0), B(4; 0), C (0; m) v i ≠ 0m . Tìm ta trng tâm G ca tamgiác ABC theo m. Xác nh m tam giác GAB vuông ti G.

S:m

G m1; , 3 6

3

= ±

B07: Cho im A(2; 2) và các ư ng thng: + − = + − =1 2: 2 0, : 8 0d x y d x y . Tìm to các im B và C ln lư t thuc d 1 và d 2 sao cho tam giác ABC vuông cân ti A.

S: B(–1; 3), C(3; 5) hoc B(3; –1), C(5; 3)

D04(d b): Cho tam giác ABC vuông A. Bit A(–1; 4), B(1; –4), ư ng thng BC i qua im K 7

; 23

.

Tìm to nh C . S: ( )3;5C

D07(d b): Cho im A(2; 1). Trên trc O x, ly im B có hoành B

x 0≥ , trên trc O y, ly im C có


12/33



tung C

y 0≥ sao cho tam giác ABC vuông ti A. Tìm các im B, C sao cho din tích tam giác ABC

l n nht. S: B(0; 0), C(0; 5)

D07(d b): Cho các im A(0; 1), B(2; –1) và các ư ng thng− + − + − =

1 : ( 1) ( 2) 2 0d m x m y m , − + − + − =

2 : (2 ) ( 1) 3 5 0d m x m y m

Chng minh d 1 và d 2 luôn ct nhau. Gi P là giao im ca d 1 và d 2. Tìm m sao cho PA + PB l n nht.

S: Chú ý: PA PB PA PB B2 2 2 2( ) 2( ) 2A 16+ ≤ + = = . Do ó max(PA+PB)=4 khi P là trung i m ca

cung AB. Khi ó P(2; 1) hay P(0; –1) ⇒ m = 1 hoc m = 2.Toán hc & Tui tr: Cho tam giác ABC vuông ti A. ư ng thng : 4 3 4 0 BC x y− − = . Các nh A, B thuc trc hoành và din tích tam giác ABC bng 6. Tìm ta trng tâm G ca tam giác ABC . Toán hc & Tui tr -2012: Cho tam giác ABC vuông ti A, các nh A, B thuc trc hoành và dintích tam giác ABC bng 6. ư ng thng BC có phươ ng trình là 4 3 4 0 x y− − = . Tìm ta trng tâm Gca tam giác ABC.

S:

− −

4 43; , 1;

3 3 G G

chuyên Nguyn Quang Diêu - ng Tháp: Cho ( )1;2 A − và ư ng thng : 2 3 0d x y− + = . Tìm trên d

hai im B và C sao cho tam giác ABC vuông ti C và AC = 3 BC . S:

3 6;

5 5C

−

và13 16

;15 15

B −

hoc1 4

;3 3

B −

chuyên Hà Ni - Amsterdam: Cho tam giác ABC vuông cân ti A . ư ng thng : 7 31 0 BC x y+ − =

. im5

1;2

N

thuc ư ng thng AC , im ( )2; 3 M − thuc ư ng thng AB. Xác nh ta các nh

ca tam giác ABC . S: ( ) ( ) ( )1;1 , 4;5 , 3; 4 A B C− −

Nguoithay.vn - 2014: Cho tam giác ABC vuông cân ti A có I là trung im ca cnh BC. Gi M là

trung im ca IB và N là im nm trên on thng IC sao cho NC=2NI. Bit rng11

; 42

M

− , phươ ng

trình ư ng thng AN là 2 0 x y− − = và im A có hoành âm. Tìm ta các nh ca tam giácABC.

3.2. Vit phươ ng trình ư ng thngB10: Cho tam giác ABC vuông ti A, có nh C (–4; 1), phân giác trong góc A có phươ ng trình

+ − =5 0 x y . Vit phươ ng trình ư ng thng BC , bit din tích tam giác ABC bng 24 và nh A cóhoành dươ ng.

S: BC: x y3 4 16 0− + =

*****


13/33



CÁC BÀI TOÁN V HÌNH CH NHT

1. Tìm ta ca im

B02: Cho hình ch nht ABCD có tâm

1I ; 0

2, phươ ng trình ư ng thng AB là x – 2 y + 2 = 0 và AB =

2 AD. Tìm ta các nh A, B, C , D bit rng nh A có hoành âm.

S: A(–2; 0), B(2; 2), C(3; 0), D(–1; –2)D12: Cho hình ch nht ABCD. Các ư ng thng AC và AD ln lư t có phươ ng trình là 3 0 x y+ = và

4 0 x y− + = . ư ng thng BD i qua im ( )−1 / 3;1 M . Tìm ta các nh ca hình ch nht.

S: ( ) ( ) ( ) ( )3;1 , 3; 1 , 1;3 , 1; 3 A C D B− − − −

A13: Cho hình ch nht ABCD có im C thuc ư ng thng : 2 5 0d x y+ + = và ( )4;8 A − . Gi M là

im i xng ca B qua C , N là hình chiu vuông góc ca B trên ư ng thng MD. Tìm ta cácim B, C bit rng ( )5; 4 N − .

S: ( ) ( )− − −1; 7 , 4; 7C B

Toán hc & Tui tr: Cho hình ch nht ABCD bit : 2 1 0; : 7 14 0 AB x y BD x y− − = − + = . ư ng

chéo AC i qua im M (2 ; 1). Tìm ta các nh ca hình ch nht. S: ( ) ( ) ( ) ( )1;0 , 7;3 , 6;5 , 0;2 A B C D ô Lươ ng 4 - Ngh An: Cho hình ch nht ABCD có din tích bng 12, tâm I thuc ư ng thng

: 3 0d x y− − = và9

2 I x = , trung im ca mt cnh là giao im ca d và trc Ox. Tìm ta các nh

ca hình ch nht. S: ( ) ( ) ( ) ( )2;1 , 5;4 , 7;2 , 4; 1 A B C D −

Nguyn c Mu - Ngh An: Cho hình ch nht ABCD có din tích bng 16, phươ ng trình ư ngthng : 3 0 AB x y− + = , im I (1 ; 2) là giao im ca hai ư ng chéo. Tìm ta các nh ca hình ch nht.

S: ( ) ( ) ( ) ( )2;5 , 2;1 , 0; 1 , 4;3 A B C D− − hoc ( ) ( ) ( ) ( )2;5 , 2;1 , 0; 1 , 4;3 B A D C− −

Lươ ng Th Vinh - Hà Ni - 2012: Cho hình ch nht ABCD có din tích bng 12, tâm9 3

;2 2

I

và trung

im ca cnh AD là M(3;0). Tìm ta các nh ca hình ch nht. S: ( ) ( ) ( ) ( )−2;1 , 5;4 , 7;2 , 4; 1 A B C D

ng Thúc H a - Ngh An - 2013: Cho hình ch nht ABCD có các cnh AB, DA tip xúc v i ư ng

tròn ( ) ( ) ( )2 2

: 2 3 4C x y+ + − = , ư ng chéo AC ct (C) ti các im16 23

;5 5

−

M và N thuc trc Oy.

Tìm ta các nh ca hình ch nht ABCD, bit im A có hoành âm, im D có hoành dươ ngvà din tích tam giác AND bng 10.

S: ( ) ( ) ( ) ( )− −4;5 , 4;0 , 6;0 , 6;5 A B C D

chuyên HKHTN Hà Ni - 2013: Cho hình ch nht ABCD có din tích bng 12. Tâm I ca hình ch nht là giao im ca hai ư ng thng

1 : 3 0d x y− − = và 2 : 6 0d x y+ − = . trung im ca mt cnh là

giao im ca 1d v i trc hoành. Tìm ta các nh ca hình ch nht ABCD. chuyên Nguyn Quang Diêu - ng Tháp - 2014: Cho hình ch nht ABCD có din tích bng 6, ư ngchéo : 2 9 0 AC x y+ − = . im M(0;4) nm trên cnh BC, ư ng thng CD i qua im N(2;8). Tìm ta các nh ca hình ch nht ABCD bit nh C có tung là mt s nguyên.


14/33



S: ( ) ( ) ( ) ( )−3;3 , 2;2 , 1;5 , 0;6 A B C D chuyên Nguyn Quang Diêu - ng Tháp - 2014: Cho hình ch nht ABCD có hai nh B, C thuctrc tung. ư ng chéo : 3 4 16 0 AC x y+ − = . Bán kính ư ng tròn ni tip tam giác ACD bng 1. Tìmta các nh ca hình ch nht.

S: ( ) ( ) ( ) ( )4;1 , 0;1 , 0;4 , 4;4 A B C D hoc ( ) ( ) ( ) ( )− − −4;7 , 0; 7 , 0;4 , 4;4 A B C D

chuyên Nguyn Quang Diêu - ng Tháp - 2014: Cho hình ch nht ABCD có din tích bng 48, nh

D(-3;2). ư ng phân giác ca góc BAD có phươ ng trình 7 0 x y+ − = . Tìm ta nh B bit im Acó hoành dươ ng.

S: ( )5;8 B Hng Quang - Hi Dươ ng - 2014: Cho hình ch nht ABCD có nh C(3;-1). Gi M là trung im cacnh BC, ư ng thng DM có phươ ng trình 1 0 y − = . Bit nh A thuc ư ng thng : 5 7 0d x y− + = và im D có hoành âm. Tìm ta các nh A và D.

S: ( )2

;5 , 2;15

A D

− −

S GD&T Bc Ninh - 2014: Cho hình ch nht ABCD có : 2 1 0 AD x y+ − = , im I(-3;2) thuc BD sao

cho 2 IB ID= −

. Tìm ta các nh ca hình ch nht bit 0 D x > và 2 AD AB= .

S: ( ) ( ) ( ) ( )5;11 , 11;8 , 5; 4 , 1; 1 A B C D− − − − −

S GD&T Bc Ninh - 2014: Cho hình ch nht ABCD có AD = 2AB. Gi M, N ln lư t là trung imca AD, BC. Trên ư ng thng MN ly im K sao cho N là trung im ca ca MK. Tìm ta cácnh ca hình ch nht bit K(5;-1), : 2 3 0 AC x y+ − = và 0 A y > .

S: ( ) ( ) ( ) ( )1;1 , 3;1 , 3; 3 , 1; 3 A B C D− − Can Lc - Hà T ĩ nh - 2014: Cho hình ch nht ABCD có AB = 2AD. Gi N là trung im ca cnh BC,M là im thuc cnh CD sao cho DC=4DM. Bit ta M(1;2), phươ ng trình ư ng thng AN là4 5 0. x y− + = Tìm ta nh A bit 0,5 A x < − .

S: ( )1;1 A −

Toán hc & Tui tr - 2014: Cho hình ch nht ABCD có B(1;1). Trng tâm ca tam giác ABC nmtrên ư ng thng : 3 2 0.d x y− − = im N(4;6) là trung im ca cnh CD. Tìm ta nh A.

S: ( ) 9 57

1;3 , ;5 5

A A

−

Nguoi thay.vn - 2014: Cho hình ch nht ABCD có hai im E, F ln lư t nm trên các cnh AB, ADsao cho EB=2EA, FA=3FD. Bit rng F(2;1), phươ ng trình ư ng thng CE là 3 9 0 x y− − = , tam giácCEF vuông ti F và im C có hoành dươ ng. Tìm ta các nh ca hình ch nht ABCD.Nguoi thay.vn - 2014: Cho hình ch nht ABCD có din tích bng 30 và nh B nm trên ư ng thng

: 2 2 0d x y− − = . Trung im ca AB là M(4;3) và im N(1;-3) nm trên ư ng thng CD. Tìm ta các nh ca hình ch nht ABCD, bit im B có tung dươ ng.

Nguoi thay.vn - 2014: Cho hình ch nht ABCD có din tích bng 30 và hai im M(1;4), N(-4;-1) lnlư t nm trên các ư ng thng AB, AD. Phươ ng trình ư ng chéo AC là 7 4 13 0. x y+ − = Tìm ta các nh ca hình ch nht ABCD bit im A và D u có hoành âm.2. Vit phươ ng trình ư ng thngA09: Cho hình ch nht ABCD có im I (6; 2) là giao im ca hai ư ng chéo AC và BD. im M (1;5) thuc ư ng thng AB và trung im E ca cnh CD thuc ư ng thng ∆: + − =5 0 x y . Vit phươ ngtrình ư ng thng AB.

S: y x y5 0, 4 19 0− = − + =


15/33



Toán hc & Tui tr: Cho hình ch nht, hai ư ng chéo ln lư t có phươ ng trình là + − =1 : 7 4 0d x y

− + =2; : 2 0d x y . Vit phươ ng trình ư ng thng cha cnh ca hình ch nht bit nó i qua im

( )3;5 M − .

S: 3 12 0 x y− − = hoc 3 14 0 x y− + = Toán hc & Tui tr: Cho hình ch nht ABCD có din tích bng 6, : 2 12 0 BD x y+ − = . ư ng thng

AB i qua im M (5 ; 1), ư ng thng BC i qua N (9 ; 3). Vit phươ ng trình các cnh ca hình ch nht,bit im B có hoành l n hơ n 5.

S: : 6 0; : 6 0; : 0; : 8 0 AB x y BC x y AD x y CD x y+ − = − − = − = + − =

hoc : 6 0; : 6 0; : 12 0; : 4 0 AB x y BC x y AD x y CD x y+ − = − − = − − = + − =

*****


16/33



CÁC BÀI TOÁN V HÌNH THOI

1. Tìm ta ca imLươ ng Tài 2 - Bc Ninh: Cho ABCD là hình thoi v i AC = 2 BD, tâm I(2 ; 1). im ( )0;1/3 M thucư ng thng AB, im N (0 ; 7) thuc ư ng thng CD. Tìm ta nh B bit B có hoành dươ ng.

S: ( )1; 1 B −

chuyên Quc Hc Hu: Trong mt phng v i h ta Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = 2 BD. Bitư ng thng AC có phươ ng trình 2 1 0 x y− − = ; nh ( )3;5 A và im B thuc ư ng thng

+ − =: 1 0d x y . Tìm ta các nh B, C , D ca hình thoi ABCD.

S: ( ) ( ) ( )1;2 , 3;0 , 1; 3 B D C− − − hoc ( ) 13 4 13 31

3; 2 , ; , ;5 5 5 5

B D C

− − − −

Thun Thành 3 - Bc Ninh - 2014: Cho hình thoi ABCD có phươ ng trình cnh BD là 0 x y− = , ư ng

thng AB i qua im ( )1; 3P , ư ng thng CD i qua ( )2; 2 3Q − − . Tìm ta các nh ca hìnhthoi, bit AB AC = và im B có hoành l n hơ n 1.

S: ( ) ( ) ( ) ( )− − − − − − − −1 3; 3 1 , 2;2 , 3 1; 1 3 , 4; 4 A B C D

Lng Giang 1 - Bc Giang: Cho hình thoi ABCD có phươ ng trình cnh AC là 7 31 0 x y+ − = , hai nh

B, D ln lư t thuc các ư ng thng + − =1

: 8 0d x y và − + =2

: 2 3 0d x y . Tìm ta các nh ca hình

thoi bit din tích ca hình thoi bng 75 và nh A có hoành âm. S: ( ) ( ) ( ) ( )− −10;3 , 0;8 , 11;6 , 1;1 A B C D

GSTT.VN - 2013: Cho hình thoi ABCD bit : 3 1 0; : 5 0 AB x y BD x y+ + = − + = . ư ng thng AD iqua im M(1;2). Tìm ta các nh ca hình thoi.

S: ( ) ( )−4;1 , 0;5 B D

S GD&T V ĩ nh Phúc - 2014: Cho hình thoi ABCD có : 1 0 AC x y+ − = . im E(9;4) nm trên ư ng

thng AB, im F(-2;-5) nm trên ư ng thng CD và 2 2 AC = . Xác nh ta A, B, C, D bit imC có hoành âm.

S: ( ) ( ) ( ) ( )0;1 , 3;0 , 2;3 , 1;4 A B C D− −

2. Vit phươ ng trình ư ng thng

• Cho hình thoi ABCD có tâm I(3;3) và AC = 2 BD. im4

2;3

M

thuc ư ng thng AB, im

133;

3 N

thuc ư ng thng CD. Vit phươ ng trình ư ng thng BD bit 3 B x < .

S GD&T Bc Ninh - 2014: Cho hình thoi ABCD có 60o ABC = , ư ng tròn (C) có tâm I bán kính R=2tip xúc v i tt c các cnh ca hình thoi (tip xúc v i AB và CD ln lư t ti M và N, tung ca I

dươ ng). Bit phươ ng trình ư ng thng : 3 1 0 MN x y+ − = , ư ng thng AD không vuông góc v itrc tung và i qua im P(3;0). Vit phươ ng trình ư ng thng AB, AD.

S: : 3 4 5 3 0; : 3 3 3 0 AB x y AD x y− + − = + − =

*****


17/33



CÁC BÀI TOÁN V HÌNH VUÔNG

1. Tìm ta ca imA05: Cho hai ư ng thng − =1 : 0d x y và + − =2 : 2 1 0d x y . Tìm to các nh hình vuông ABCD bitrng nh A thuc d 1, nh C thuc d 2 và các nh B, D thuc trc hoành.

S: A(1; 1), B(0; 0), C(1; –1), D(2; 0) hoc A(1; 1), B(2; 0), C(1; –1), D(0; 0)A12: Cho hình vuông ABCD. Gi M là trung im ca cnh BC , N là im trên cnh CD sao cho

CN = 2 ND. Gi s 11 1

;2 2

M

và ư ng thng : 2 3 0 AN x y− − = . Tìm ta im A.

S: ( ) ( )1; 1 , 4;5 A A−

Toán hc & Tui tr: Cho ba ư ng thng 1 2: 3 4 4 0; : 6 0d x y d x y− − = + − = và 3 : 3 0d x − = . Tìm

ta các nh ca hình vuông ABCD bit A, C thuc 3d , B thuc 1d và C thuc 2d .

S: ( ) ( ) ( ) ( )3;3 , 2;2 , 1;3 , 4;2 A B C D hoc ( ) ( ) ( ) ( )1;3 , 2;2 , 3;3 , 4;2 A B C D

chuyên V ĩ nh Phúc: Cho hình vuông ABCD có M là trung im ca cnh BC , phươ ng trình ư ng thng: 2 0 DM x y− − = và ( )3; 3C − . Bit nh A thuc ư ng thng : 3 2 0d x y+ − = . Tìm ta các im A,

B, D. S: ( ) ( ) ( )1;5 , 3; 1 , 5;3 A B D− − −

T Kỳ - Hi Dươ ng: Cho hình vuông ABCD có ( )2;6 A − , nh B thuc : 2 6 0d x y− + = . Gi M , N ln

lư t là hai im trên hai cnh BC , CD sao cho BM = CN . Bit AM ct BN ti2 14

;5 5

I

. Xác nh ta

im C . S: C (0 ; 0) hoc C (4 ; 8)

ô Lươ ng 4 - Ngh An: Cho hình vuông ABCD có tâm 3 1;2 2

I

. Các ư ng thng AB, CD ln lư t i

qua ( )4; 1 M − − , ( )2; 4N − − . Tìm ta các nh ca hình vuông bit im B có hoành âm.

S: ( ) ( ) ( ) ( )2;3 , 1;1 , 1; 2 , 4;0 A B C D− −

chuyên H Long - Qung Ninh: Cho hình vuông ABCD có nh C (1 ; 2). Gi M là trung im ca BC .ư ng thng DM có phươ ng trình 2 7 0 x y+ − = . nh A thuc ư ng thng : 5 0d x y+ − = . Tìm ta

A, B, D.

S: ( ) 1 17 1 15

1;6 , ; , ;2 4 2 4

A B D

− −

ng Thúc H a - Ngh An: Cho hình vuông ABCD có nh A thuc : 4 0d x y− − = . ư ng thng BC, CD ln lư t i qua M (4 ; 0) và N (0 ; 2). Bit tam giác AMN cân ti A, xác nh ta các nh cahình vuông.

S: ( ) ( ) ( ) ( )1; 5 , 2; 2 , 1; 1 , 2; 4 A B C D− − − − − − hoc ( ) ( ) ( ) ( )1; 5 , 5; 3 , 3;3 , 3;1 A B C D− − − −

S GD&T V ĩ nh Phúc: Cho ( ) ( ) ( )2 2

: 2 3 10C x y− + − = ni tip hình vuông ABCD. Xác nh ta

các nh ca hình vuông bit ư ng thng cha cnh AB i qua im M(-3;-2) và im A có hoành dươ ng.

S: ( ) ( ) ( ) ( )− −6;1 , 0; 1 , 2;5 , 4;7 A B C D


18/33



chuyên Quc Hc Hu - 2014: Trong mt phng v i h ta Oxy, cho hình vuông ABCD. Gi M , N

ln lư t là trung im ca các cnh AB và CD. Bit rng1

;22

M

−

và ư ng thng BN có phươ ng trình

2 9 34 0 x y+ − = . Tìm ta các im A và B bit rng im B có hoành âm.

S: ( ) ( )−1;4 , 0;0 B A chuyên Nguyn Quang Diêu - ng Tháp - 2014: Cho hình vuông ABCD có A(2;-4), nh C thucư ng thng : 3 2 0d x y+ + = . ư ng thng : 2 0 DM x y− − = v i M là trung im ca AB. Tìm ta các nh B, C, D ca hình vuông, bit im C có hoành âm.

S: ( ) ( ) ( )− − −4; 2 , 2;4 , 4;2 B C D

S GD&T V ĩ nh Phúc - 2014: Cho hình vuông ABCD có : 3 0 BD x y+ − = , im M(-1;2) thuc ư ng

thng AB, im N(2;-2) thuc ư ng thng AD. Xác nh ta các nh ca hình vuông bit 0 B

x > .

S: ( ) ( ) ( ) ( )2;2 , 1;2 , 1;1 , 2;1 A B C D

T ĩ nh Gia 1 - Thanh Hóa - 2014: Cho hình vuông ABCD có D(5;1). Gi M là trung im ca BC, N làim thuc ư ng chéo AC sao cho AC=4AN. Tìm ta im C bit phươ ng trình ư ng thng MN là3 4 0 x y− − = và M có tung dươ ng.

S: C(5;5)

ng Thúc H a - Ngh An - 2014: Cho hình vuông ABCD. Gi E là trung im ca cnh AD,11 2

;5 5

H

−

là hình chiu vuông góc ca B lên CE và3 6

;5 5

H

−

là trung im ca on BH. Xác nh

ta ca các nh ca hình vuông ABCD bit im A có hoành âm. S: ( ) ( ) ( ) ( )1;2 , 1; 2 , 3; 2 , 3;2 A B C D− − − −

chuyên Lươ ng Th Vinh - ng Nai - 2014: Cho hình vuông ABCD có A(1;1), AB=4. Gi M là trung

im cnh BC, im9 3

;5 5

H

−

là hình chiu vuông góc ca D lên AM. Tìm ta các nh còn li ca

hình vuông bit 2. B

x <

S: ( ) ( ) ( )1; 3 , 5; 3 , 5;1 B C D− − Nguoithay.vn - 2014: Cho hình vuông ABCD có M(2;2) là trung im ca cnh AB, ư ng thng i quanh C và trung im ca cnh AD có phươ ng trình là 7 46 0. x y+ − = Xác nh ta các nh ca hìnhvuông ABCD bit im C tung âm.2. Vit phươ ng trình ư ng thng

• Cho hình vuông ABCD bit các im ( ) ( ) ( ) ( )2;1 , 4; 2 , 2;0 , 1;2 M N P Q− ln lư t thuc các cnh AB,

BC, CD, DA. Vit phươ ng trình các cnh ca hình vuông ABCD. S GD&T V ĩ nh Phúc - 2014: Cho hình vuông ABCD có nh A thuc ư ng thng : 4 0d x y− − = ,ư ng thng BC i qua im M(4;0), ư ng thng CD i qua im N(0;2) và tam giác AMN cân ti A.Vit phươ ng trình ư ng thng BC.

S: : 3 4 0 BC x y− − = hoc : 3 12 0 BC x y+ − =

*****


19/33



CÁC BÀI TOÁN V HÌNH THANG, HÌNH BÌNH HÀNH

1. Tìm ta ca imB13: Cho hình thang cân ABCD có hai ư ng chéo vuông góc v i nhau và AD = 3 BC . ư ng thng BD có phươ ng trình 2 6 0 x y+ − = và tam giác ABD có trc tâm ( )3;2 H − . Tìm ta các nh C và D.

S: ( )−1;6C và ( )4;1 D hoc ( )8;7 D −

chuyên V ĩ nh Phúc: Cho hình bình hành ABCD có din tích bng 4. Bit ( ) ( )2;0 , 3;0 A B và giao im Ica hai ư ng chéo AC và BD nm trên ư ng thng :d y x = . Tìm ta ca C và D.

S: ( ) ( )3;4 , 2;4C D hoc ( ) ( )5; 4 , 6; 4C D− − − −

Yn Khê - Phú Th: Cho hình bình hành ABCD có A(1 ; 2), : 2 1 0 BD x y+ + = . Gi M là mt imnm trên ư ng thng AD sao cho A nm gia M và D, AM = AC . ư ng thng : 1 0 MC x y+ − = . Tìmta các nh còn li ca hình bình hành.

S: ( ) ( ) ( )1/ 2; 2 , 7;8 , 13 / 2;12 B C D− − −

GSTT.VN - 2013: Cho hình bình hành ABCD có A(1;5). im H(1;3) là hình chiu vuông góc ca Btrên AC và ư ng trung trc ca BC có phươ ng trình 4 5 0 x y+ − = . Tìm ta các im B, C, D.

S: ( ) ( ) ( )− − − − −2; 6 , 4; 2 , 1; 3 B C D chuyên Nguyn Quang Diêu - ng Tháp - 2013: cho hình thang ABCD v i hai áy là AB và CD, bitB(3;3), C(5;-3). Giao im I ca hai ư ng chéo nm trên ư ng thng : 2 3 0d x y+ − = và CI = 2BI.Xác nh ta ca im A và im D bit tam giác ACB có din tích bng 12, 0; 0 A I x x< > .

S: ( ) ( )− − −1;3 , 3; 3 A D

Toán hc & Tui tr - 2014: Cho hình thang vuông ABCD vuông ti A và D có AB AD CD= < ( ), 1;2 B , ư ng thng BD có phươ ng trình 2 0 y − = . Bit ư ng thng : 7 25 0d x y− − = ct các on

thng AD, CD ln lư t ti hai im M , N sao cho BM vuông góc v i BC và tia BN là tia phân giác ca

góc MBC . Tìm ta im D bit D có hoành dươ ng.

S GD&T Bc Ninh - 2014: Cho hình thang vuông ABCD vuông ti A(1;1) và B. Trên cnh AB lyim M sao cho BM = 2AM, im N(1;4) là hình chiu vuông góc ca M trên ư ng thng CD. Tìm ta các nh B, C, D bit CM vuông góc v i DM, im B thuc ư ng thng : 2 0d x y+ − = .

S: ( ) ( ) ( )2;4 , 1;5 , 3;3 B C D− − S GD&T V ĩ nh Phúc - 2013: Cho hình thang cân ABCD có AB=2CD. Phươ ng trình các ư ngthng AC là 4 0 x y+ − = và ư ng thng BD là 2 0 x y− − = . Tìm ta các nh ca hình bình hànhbit hoành ca A và B dươ ng và din tích ca hình bình hành bng 36.

S: A(7; –3), B(7; 5), C(1; 3), D(1; –1)chuyên Lý T Trng - Cn Thơ - 2014: Cho hình bình hành ABCD có A(4;0), phươ ng trình ư ngthng cha trung tuyn k t B ca tam giác ABC là 7 4 5 0. x y+ − = Phươ ng trình ư ng trung trc ca

on BC là 2 8 5 0. x y+ − = Tìm ta các im B, C, D. S: ( ) ( ) ( )1; 3 , 2; 1 , 3; 4 B C D− − − − −

2. Vit phươ ng trình ư ng thngào Duy T - Thanh Hóa: Cho hình thang cân ABCD có din tích bng 18, : 2 0CD x y− + = . Haiư ng chéo AC và BD vuông góc nhau và ct nhau ti I (3 ; 1). Vit phươ ng trình ư ng thng BC , bit C có hoàng âm.

S: : 2 1 0 BC x y+ − =


20/33



chuyên Quc Hc - Hu - 2013: Cho ABCD là hình thang vuông ti A và B, có din tích bng 50, nh

C(2;-5), AD = 3BC. Bit rng ư ng thng AB i qua im1

;02

M

−

, ư ng thng AD i qua N(-3;5).

Vit phươ ng trình ư ng thng AB bit ư ng thng AB không song song v i các trc ta . S: − + =: 4 3 2 0 AB x y hoc + + =: 6 8 3 0 AB x y

*****



21/33



CÁC BÀI TOÁN V Ư NG TRÒN

1. Vit phươ ng trình ư ng tròn

D03: Cho ư ng tròn (C ): − + − =2 2( 1) ( 2) 4 x y và ư ng thng d : x – y – 1 = 0. Vit phươ ng trìnhư ng tròn (C ′ ) i xng v i ư ng tròn (C ) qua ư ng thng d . Tìm ta các giao im ca (C ) và(C ′).

S: C x y2 2

( ) : ( 3) 4′ − + = , A(1; 0), B(3; 2)B04: Cho hai im A(2; 0), B(6; 4). Vit phươ ng trình ư ng tròn (C ) tip xúc v i trc hoành ti im A vàkhong cách t tâm ca (C ) n im B bng 5.

S: C x y C x y2 2 2 21 2

( ) : ( 2) ( 1) 1, ( ) : ( 2) ( 7) 49− + − = − + − =

A07: Cho tam giác ABC có A(0; 2), B(–2; –2), C (4; –2). Gi H là chân ư ng cao k t B; M và N lnlư t là trung im ca các cnh AB và BC . Vit phươ ng trình ư ng tròn i qua các im H , M , N .

S: H(1; 1), x y x y2 2 2 0+ − + − =

D07: Cho ư ng tròn − + + =2 2( ) : ( 1) ( 2) 9C x y và ư ng thng − + =: 3 4 0d x y m . Tìm m trên d códuy nht mt im P mà t ó có th k ư c hai tip tuyn PA, PB t i (C ) ( A, B là các tip im) saocho tam giác PAB u.

S: m = 19, m = –41

A09: Cho ư ng tròn + + + + =2 2( ) : 4 4 6 0C x y x y và ư ng thng ∆: + − + =2 3 0 x my m , v i m làtham s thc. Gi I là tâm ca ư ng tròn (C ). Tìm m ∆ ct (C ) ti hai im phân bit A, B sao chodin tích ∆ IAB l n nht.

S: m= 0 hoc = 8/15m .

A10: Cho hai ư ng thng + =1 : 3 0d x y và − =2 : 3 0d x y . Gi (T ) là ư ng tròn tip xúc v i d 1 ti A, ct d 2 ti hai im B, C sao cho tam giác ABC vuông ti B. Vit phươ ng trình ca (T ), bit tam giác

ABC có din tích bng3

2 và im A có hoành dươ ng.

S: T x y2 21 3

( ) : 122 3

+ + + =

B10: Cho im ( )2; 3 A và elip ( E ): + =2 2

13 2

x y. Gi F 1 và F 2 là các tiêu im ca ( E) (F 1 có hoành

âm); M là giao im có tung dươ ng ca ư ng thng AF 1 v i ( E ); N là im i xng ca F 2 qua M .Vit phươ ng trình ư ng tròn ngoi tip tam giác ABF 2.

S: x y

2

2 2 3 4( 1)

3 3

− + − =

B12: Cho hai ư ng tròn

2 2

1( ) : 4C x y+ =

và

2 2

2( ) : 12 18 0C x y x + − + =

và ư ng thng: 4 0d x y− − = . Vit phươ ng trình ư ng tròn (C ) có tâm thuc ( )2C , tip xúc v i d và ct ( )1C ti hai

im phân bit A, B sao cho AB vuông góc v i d .

S: 2 2( ) : ( 2) ( 2) 8C x y− + − = D12: Cho ư ng thng : 2 3 0d x y− + = . Vit phươ ng trình ư ng tròn (C ) có tâm thuc d , ct trc Ox ti A và B, ct trc Oy ti C và D sao cho AB = CD =2.

S: 2 2( ) : ( 3) ( 3) 10C x y+ + + =

A13: Cho ư ng thng ∆ − =: 0 x y . ư ng tròn (C) có bán kính 10 R = ct ∆ ti hai im A và B sao


22/33



cho 4 2 AB = . Tip tuyn ca (C ) ti A và B ct nhau ti mt im thuc tia Oy. Vit phươ ng trìnhư ng tròn (C ).

S: − + − =2 2( ) : ( 5) ( 3) 10C x y

B09: Cho ư ng tròn (C): − + =2 2 4

( 2)5

x y và hai ư ng thng − = − =1 2: 0, : 7 0 x y x y∆ ∆ . Xác nh

to tâm K và tính bán kính ca ư ng tròn (C 1); bit ư ng tròn (C 1) tip xúc v i các ư ng thng ∆1,∆2 và tâm K ∈ (C )

S: K R8 4 2 5

; ,5 5 5

=

D02(d b): Cho hai ư ng tròn: C x y x C x y x y2 2 2 21 2

( ) : 10 0, ( ) : 4 2 20 0+ − = + + − − = . Vit phươ ng trình

ư ng tròn i qua các giao im ca (C 1), (C 2) và có tâm nm trên ư ng thng d: x y6 6 0+ − = .

S: x y2 2( 12) ( 1) 125− + + = B03(d b): Cho ư ng thng d x y: 7 10 0− + = . Vit phươ ng trình ư ng tròn có tâm thuc ư ng thng∆: x y2 0+ = và tip xúc v i ư ng thng d ti im A(4; 2).

S: x y2 2( 6) ( 12) 200− + + =

A04(d b): Cho im A(–1; 1) và ư ng thng d x y: 1 2 0− + − = . Vit phươ ng trình ư ng tròn i qua A,qua gc to O và tip xúc v i ư ng thng d .

S: 2 2( 1) 1 x y+ − = hoc 2 2( 1) 1 x y+ + =

A05(d b): Cho ư ng tròn (C ): x y x y2 2 12 4 36 0+ − − + = . Vit phươ ng trình ư ng tròn (C 1) tip xúcv i hai trc ta Ox, Oy ng th i tip xúc ngoài v i ư ng tròn (C ).

S: C x y C x y C x y2 2 2 2 2 21 2 3

( ) : ( 2) ( 2) 4, ( ) : ( 18) ( 18) 18, ( ) : ( 6) ( 6) 36− + − = − + − = − + + =

D05(d b): Cho 2 im A(0;5), B(2; 3) . Vit phươ ng trình ư ng tròn i qua hai im A, B và có bánkính R = 10 .

S: x y x y2 2 2 2( 1) ( 2) 10, ( 3) ( 6) 10+ + − = − + − =

D06(d b): Cho im A(–1; 1) và ư ng thng d x y: 1 2 0− + − = . Vit phươ ng trình ư ng tròn (C ) iqua im A, gc to O và tip xúc v i ư ng thng d .

S: C x y y C x y x2 2 2 21 2

( ) : 2 0, ( ) : 2 0+ − = + + =

B07(d b): Cho ư ng tròn (C ) có phươ ng trình x y x y2 2 2 4 2 0+ − + + = . Vit phươ ng trình ư ng tròn

(C ′) có tâm M (5; 1) và (C ′) ct (C ) ti các im A, B sao cho AB 3= .

S: C x y C x y' 2 2 ' 2 21 2

( ) : ( 5) ( 1) 13, ( ) : ( 5) ( 1) 43− + − = − + − = .

chuyên Nguyn Quang Diêu - ng Tháp: Cho tam giác ABC vuông cân ti A(1; 2). Vit phươ ng trìnhư ng tròn (T ) ngoi tip tam giác ABC bit tip tuyn ca (T ) ti B là ư ng thng : 1 0d x y− − = .

S: ( ) ( )2

2: 1 2 T x y+ − = hoc ( ) ( ) ( )2 2

: 2 3 2 T x y− + − = chuyên H Long - Qung Ninh: Cho im M (2 ; 1) và ư ng thng : 1 0d x y− + = . Vit phươ ng trìnhư ng tròn i qua M và ct d ti hai im A, B sao cho tam giác ABM vuông ti M và có din tích bng 2.

S: ( ) ( )2 2

1 2 8 x y− + − =

Lng Giang 2 -Bc Giang: Cho ( ) 2 2: 4 3 4 0C x y x + + − = . Tia Oy ct (C ) ti im A. Lp phươ ng

trình ư ng tròn (C ’) có bán kính bng 2 và tip xúc ngoài v i (C ) ti A.

S: ( ) ( ) ( )2 2

' : 3 3 4C x y− + − =


23/33



Nguyn ăng o - Bc Ninh: Cho 1 2: 2 6 0; : 2 0d x y d x y+ − = + = và 3 : 3 2 0d x y− − = . Vit phươ ng

trình ư ng tròn (C ) có tâm thuc 3d , ct 1d ti A và B, 2d ti C và D sao cho t giác ABCD là hìnhvuông.

S: ( ) ( ) ( )2 2

: 1 1 18/ 5C x y− + − =

H Vinh: Cho ư ng tròn ( ) 2 2: 2 4 20 0C x y x y+ + − − = và im ( )5; 6 A − . T A v tác tip tuyn AB,

AC ca ư ng tròn (C ) v i B, C là các tip im. Vit phươ ng trình ư ng tròn ni tip tam giác ABC .

S: ( ) ( )2 2 252 24

x y− + + =

Toán hc & Tui tr: Vit phươ ng trình ư ng tròn có bán kính bng 2, có tâm I nm trên ư ng thng

1 : 3 0d x y+ − = và ư ng tròn ó ct ư ng thng 2 : 3 4 6 0d x y+ − = ti A, B sao cho o120 AIB = .

Toán hc & Tui tr: Cho im ( )2; 1 M − và ư ng tròn 2 2( ) : 9C x y+ = . Vit phươ ng trình ư ng

tròn ( )1C có bán kính bng 4 và ct (C ) theo mt dây cung qua M có dài nh nht.

S: ( )

2 2

1

4 3 2 3: 2 1 16

5 5C x y

− − + + + =

; ( )

2 2

1

4 3 2 3: 2 1 16

5 5C x y

− + + + − =

Toán hc & Tui tr: Cho tam giác ABC có A(1 ; 0), ư ng cao k t B và C ln lư t có phươ ng trình2 1 0 x y− + = và 3 1 0 x y+ − = . Vit phươ ng trình ư ng tròn ngoi tip tam giác ABC .

S: 2 2 36 10 43

( ) : 07 7 7

C x y x y+ + − − =

S GD&T V ĩ nh Phúc - 2013: Cho tam giác ABC vuông cân ti A(1;2). Vit phươ ng trình ư ng tròn(C) ngoi tip tam giác ABC bit ư ng thng : 1 0d x y− − = tip xúc v i ư ng tròn (C) ti im B.

S: ( ) ( ) ( )− + − =2 2

: 2 3 2C x y hoc ( ) ( )+ − =22

: 1 2C x y

GSTT.VN - 2013: Cho A(1;5) và + − + =2 2( ) : 2 6 0C x y x y . Vit phươ ng trình ư ng tròn (C') có tâm

nm trên : 2 0d x y+ + = , i qua A và ct (C) ti 2 im phân bit M, N sao cho 2 2 MN = .

S: ( ) + + − =

2 223 15 377:

4 4 8C x y hoc ( ) + + + =

2 25 3 305:

4 4 8C x y

Hùng Vươ ng - Bình Phư c - 2014: Cho hình vuông ABCD, A(-1;2). Gi M , N ln lư t là trung imca AD và DC , E là giao im ca BN v i CM . Vit phươ ng trình ư ng tròn ngoi tip tam giác BME bit : 2 8 0 BN x y+ − = và 2 B x > .

S: ( ) ( ) ( )− + − =2 2

: 1 3 5C x y

Toán hc & Tui tr - 2014: Cho hai im A(1;2), B(3;4) và ư ng thng : 3 0d y − = . Vit phươ ng

trình ư ng tròn (C ) i qua hai im A, B và ct d ti hai im phân bit M , N sao cho o60 MAN = .

S: ( ) ( ) ( )2 2

: 3 2 4C x y− + − =

Toán hc & Tui tr - 2014: Cho im A(1;2) và ư ng tròn ( ) + + − + =2 2: 2 4 1 0C x y x y . Vit

phươ ng trình ư ng tròn (C' ) có tâm A và ct (C ) ti hai im phân bit M và N sao cho din tích tamgiác AMN t giá tr l n nht.

S: ( ) ( ) ( )2 2

' : 1 2 12C x y− + − =

Toán hc & Tui tr - 2014: Cho im A(-1;2) và ư ng thng : 3 4 7 0d x y− + = . Vit phươ ng trìnhư ng tròn (C) có bán kính R = 1, i qua A và ct d theo dây cung BC sao cho tam giác ABC có dintích bng 4 / 5 .


24/33



S: ( ) ( ) ( )+ + − =2 2

: 1 1 1C x y hoc ( )

+ + − =

2 21 43

: 125 25

C x y

Toán hc & Tui tr - 2014: Cho hai ư ng thng 1 2: 1 0; : 1 0d x y d x y+ − = − + = . Lp phươ ng trìnhư ng tròn (C) ct d1 ti A và d2 ln lư t ti hai im B, C sao cho tam giác ABC là tam giác u có

din tích bng 24 3 .

S: ( ) ( ) ( )− + + =2 2

: 2 1 32C x y hoc ( ) ( ) ( )+ + − =2 2

: 2 3 32C x y

Toán hc & Tui tr - 2014: Cho ( )1 3 1 1 3 4

; , ; , ; , 2;0 .2 2 5 52 2

A B C D

− Vit phươ ng trình

ư ng tròn (T) có tâm là im D và ct ư ng tròn ngoi tip tam giác ABC theo mt dây cung có dàibng 2.chuyên Trn i Ngh ĩ a - HCM - 2014: Cho hai ư ng thng 1 2: 4 3 8 0; : 4 3 2 0− + = + + =d x y d x y và

ư ng tròn ( ) 2 2: 20 2 20 0.C x y x y+ − − + = Vit phươ ng trình ư ng tròn (C') tip xúc v i (C) và ng

th i tip xúc v i ư ng thng d1 và d2.

S: ( ) ( )22

: 1 1C x y+ − = hoc ( ) ( ) ( )2 2

: 100 1 6561C x y− + − =

T ĩ nh Gia 1 - Thanh Hóa - 2014: Cho tam giác nhn ABC ni tip ư ng tròn tâm I(1;2), bán kính R=5.Chân ư ng cao k t B và C lân lư t là H(3;3) và K(0;-1). Vit phươ ng trình ư ng tròn ngoi tip t giác BCHK, bit A có tung dươ ng.

S: ( )2 2

7 1 25:

2 2 2C x y

− + + =

chuyên H Vinh - 2014: Cho hai im A(1;2), B(4;1) và ư ng thng : 3 4 5 0. x y∆ − + = Vit phươ ngtrình ư ng tròn i qua A, B và ct ∆ ti C, D sao cho CD=6.

S: ( ) ( ) ( )2 2

: 1 3 25C x y− + + = ; ( )2 2

43 51 1525:

13 13 169C x y

− + − =

2. Tìm ta ca im

D06: Cho ư ng tròn (C): + − − + =2 2 2 2 1 0 x y x y và ư ng thng − + =: 3 0d x y . Tìm to im M nm trên d sao cho ư ng tròn tâm M , có bán kính gp ôi bán kính ư ng tròn (C ), tip xúc ngoài v iư ng tròn (C ).

S: M(1; 4), M(–2; 1)

A11: Cho ư ng tròn 2 2( ) : 4 2 0C x y x y+ − − = và ư ng thng : 2 0 x y∆ + + = . Gi I là tâm ca (C ), M là im thuc ∆ . Qua M k các tip tuyn MA và MB n (C ) ( A và B là các tip im). Tìm ta im M , bit t giác MAIB có din tích bng 10.

S: ( ) ( )2; 4 , 3;1 M M − −

D13: Cho ư ng tròn − + − =2 2( ) : ( 1) ( 1) 4C x y và ư ng thng ∆ − =: 3 0 y . tam giác MNP có trc

tâm trùng v i tâm ca (C ), các nh N và P thuc ∆ , nh M và trung im ca cnh MN thuc (C ). Tìmta im P.

S: ( ) ( )−1;3 , 3;3 P P

A02(d b): Cho ư ng thng d x y: 1 0− + = và ư ng tròn (C ): x y x y2 2 2 4 0+ + − = . Tìm to im

M thuc d mà qua ó ta k ư c hai ư ng thng tip xúc v i (C ) ti A và B sao cho AMB 060= . S: M M

1 2(3; 4), ( 3; 2)− −


25/33



D05(d b): Cho ư ng tròn (C ) có phươ ng trình: C x y x y2 2( ) : 4 6 12 0+ − − − = . Tìm ta im M thuc ư ng thng d có phươ ng trình: x y2 3 0− + = sao cho MI = 2 R, trong ó I là tâm và R là bán kínhca ư ng tròn (C ).

S: M M 24 63

( 4; 5), ;5 5

− −

B07(d b): Cho ư ng tròn (C ): x y x y2 2 8 6 21 0+ − + + = và ư ng thng d x y: 1 0+ − = . Xác nh to các nh hình vuông ABCD ngoi tip ư ng tròn (C ), bit A nm trên d .

S: A(2; –1), B(2; –5), C(6; –5), D(6; –1) hoc A(6; –5), B(6; –1), C(2; –1), D(2; –5)

Toán hc & Tui tr: Cho ư ng tròn 2 2 3

( ) :2

C x y+ = và parabol ( ) 2: P y x = . Tìm trên (P) các im

M t ó k ư c hai tip tuyn n (C ) và góc gia hai tip tuyn bng 60o.

S: ( )2; 2 M hoc ( )2; 2 M −

Toán hc & Tui tr: Cho : 3 4 5 0d x y− + = và 2 2( ) : 2 6 9 0C x y x y+ + − + = . Tìm ta im M thuc (C ) và im N thuc d sao cho MN nh nht.

S: 2 11 1 7

; , ;5 5 5 5

M N

−

Toán hc & Tui tr: Cho ư ng tròn 2 2( ) : ( 1) ( 3) 1C x y+ + − = và im1 7

;5 5

M

. Tìm trên (C )

nhng im N sao cho MN nh nht. S: ( )8/5;19/5N −

Trung Giã - Hà Ni: Cho tam giác ABC vuông cân ti A ngoi tip ư ng tròn ( ) 2 2: 2C x y+ = . Tìm

ta ba nh ca tam giác ABC bit A thuc tia Ox.

S: ( ) ( ) ( )2;0 , 2,2 2 , 2, 2 2 A B C− + − − −

chuyên V ĩ nh Phúc: Cho ( ) ( )2 2

: 4 4C x y− + = , im E (4 ; 1). Tìm ta im M trên trc tung sao

cho t ó k ư c hai tip tuyn MA, MB n (C ) v i A, B là tip im và ư ng thng AB i qua E . S: ( )0;4 M

S GD&T V ĩ nh Phúc - 2013: Cho ( ) + =2 2: 25C x y , im M(1;-2). ư ng tròn (C') có bán kính

bng 2 10 . Tìm ta tâm ca (C') sao cho (C') ct (C) theo mt dây cung qua M có dài nh nht.

S: ( )−1;2 hoc (3;6)

chuyên V ĩ nh Phúc - 2013: Cho ( ) + − − − =2 2: 2 4 4 0C x y x y . Tìm ta các nh ca tam giác u

ABC ngoi tip (C) bit A thuc ư ng thng : 1d y = − và 0 A x > . S: A(6; –1), B(-4; -1), C(1; 8)

chuyên Phan Bi Châu - Ngh An - 2013: Cho im A(2;0) và ( ) ( )− + + =2 2( ) : 1 2 5C x y . Tìm ta

hai im B, C thuc (C) sao cho tam giác ABC vuông ti B và có din tích bng 4.

S: ( ) ( )16 8 6 12

2; 4 , ; , 0;0 , ;5 5 5 5

B B B B

− − − −

, C(0; -4)

chuyên Nguyn Trãi - Hi Dươ ng - 2013: Cho ( )+ − =22

( ) : 1 1C x y . Tìm ta im M thuc ư ng

thng : 3 0d y − = sao cho các tip tuyn ca (C) k t M ct trc hoành ti hai im phân bit A, B vàbán kính ư ng tròn ngoi tip tam giác MAB bng 4.

S: M(2;3) hoc M(-2;3)


26/33



Nguyn Hu - Phú Yên: Cho tam giác ABC có ư ng tròn ngoi tip ( )2 2

( ) : 4 10C x y− + = , A(1 ; 1),

trng tâm11 1

;3 3

G

−

. Tìm ta ca B và C ( )0C y > .

S: ( ) ( )3; 3 , 7;1 B C−

ào Duy T - Thanh Hóa: Cho ( ) 2 2: 2 24 0C x y x + − − = có tâm I ; ư ng thng : 3 4 28 0d x y+ − = .

Chng minh d tip xúc v i (C ). Tìm ta im A trên (C ), im B và C trên d sao cho tam giác ABC nhn I làm trc tâm và trung im cnh AC thuc (C ), bit im C có hoành dươ ng.

S: ( ) ( ) ( )2; 4 , 0;7 , 12; 2 A B C− − −

D09: Cho ư ng tròn − + =2 2( ) : ( 1) 1C x y . Gi I là tâm ca (C ). Xác nh to im M thuc (C ) sao

cho = o

O 30 IM .

S: ( )±3/ 2; 3 / 2 M

HSP Hà Ni - 2014: Cho ư ng tròn ( ) 2 2: 2 6 15 0C x y x y+ − − − = ngoi tip tam giác ABC có

A(4;7). Tìm ta các nh B và C bit H (4;5) là trc tâm ca tam giác ABC .

S: ( ) ( )− +1 2 6;2 , 1 2 6;2 B C hoc ( ) ( )− +1 2 6;2 , 1 2 6;2C B

Hà Ni -Amsterdam - 2014: Cho tam giác ABC có nh A(1;5). Tâm ư ng tròn ni tip và ngoi tip

ca tam giác ABC ln lư t là I (2;2) và5

;32

K

. Tìm ta các nh B và C .

S: ( ) ( )1;1 , 4;1 B C hoc ( ) ( )1;1 , 4;1C B

Ngô Gia T - Vính Phúc - 2014: Cho tam giác ABC có trung tuyn và phân giác trong nh B cóphươ ng trình ln lư t là 2 3 0, 2 0 x y x y+ − = + − = . im M (2;1) nm trên ư ng thng cha cnh AB;

ư ng tròn ngoi tip tam giác ABC có bán kính bng 5 . Bit nh A có hoành dươ ng, hãy xác nhta các nh ca tam giác ABC .

S: ( ) ( ) ( )−1;1 , 3;1 , 1; 3 B A C

c Th - Hà T ĩ nh - 2014: Cho ư ng tròn ( ) 2 2: 9C x y+ = , ư ng thng : 3 3 y x∆ = − + và im A(3;0). Gi M là mt im di ng trên (C ) và B là im sao cho t giác ABMO là hình bình hành. Tìmta trng tâm G ca tam giác ABM , bit G thuc ∆ và G có tung dươ ng.

S: ( )3; 3G Toán hc & Tui tr - 2013: Cho ư ng tròn ( ) 2 2: 4 2 4 0C x y x y+ − − − = có tâm là I và ư ng thng

: 1 0d x y− + = . Tìm ta im M thuc d t M có th k ư c hai ư ng thng tip xúc v i (C ) ti A, B sao cho t giác IMAB là hình vuông.

S: ( )1 2 2;2 2 2 M − − hoc ( )1 2 2;2 2 2 M + +

Toán hc & Tui tr - 2014: Cho tam giác ABC nhn. Gi E , F ln lư t là chân ư ng cao h t B, C .nh A(3;-7), trung im ca BC là im M (-2;3) và ư ng tròn ngoi tip tam giác AEF có phươ ng

trình ( ) ( ) ( )2 2

: 3 4 9C x y− + + = . Xác nh ta các im B và C .

Toán hc & Tui tr - 2014: Cho ( ) ( ) ( )2 2

: 1 2 5C x y− + − = là phươ ng trình ư ng tròn ni tip tam

giác u ABC . ư ng thng BC i qua im7

;22

M

. Xác nh ta im A.


27/33



Toán hc & Tui tr - 2014: Cho ư ng tròn ( ) 2 2: 2 2 2 0C x y x y+ − + − = và + + =: 2 10 0d x y . T

mt im M bt k ỳ trên d k các tip tuyn MA và MB n (C ) ( A, B là các tip im). Xác nh ta im M sao cho khong cách t O n ư ng thng AB t giá tr l n nht.

S: 14 58

;3 3

M

−

Toán hc & Tui tr - 2014: Cho ư ng tròn ( ) ( ) ( )2 2

: 1 2 2C x y− + + = và hai im A(3;5) và B(5;3).

Xác nh ta im M trên (C) sao cho din tích tam giác MAB có giá tr l n nht. S: ( )0; 3 M −

Toán hc & Tui tr - 2014: Cho ư ng tròn ( ) 2 2: 5+ =C x y và ư ng thng : 3 2 0. x y∆ − − = Tìm

ta im A, B trên ∆ tam giác OAB có10

5OA = và có cnh OB ct ư ng tròn (C) ti M sao

cho MA=MB (v i O là gc ta ).

S: ( )4 22

2;4 , ;5 5

− −

B B

Toán hc & Tui tr - 2014: Cho tam giác ABC có trc tâm H(5;5), phươ ng trình ư ng thng chacnh BC là 8 0. x y+ − = Bit ư ng tròn ngoi tip tam giác ABC i qua hai im M(7;3) và N(4;2).Tính din tích tam giác ABC.Phan Chu Trinh - à Nng - 2014: Cho ư ng thng − + =: 3 0.d x y Qua im A thuc d k hai ư ng

thng tip xúc v i ư ng tròn ( ) ( ) ( )2 2

: 2 1 4− + − =C x y ti B và C. Gi G là trng tâm ca tam giác

ABC. Tìm ta ca im A, bit AG=2. S: ( ) ( )2;5 , 2;1− A A

chuyên H Vinh - 2014: Cho tam giác ABC có nh A(3;3), tâm ư ng tròn ngoi tip I(2;1), phươ ng

trình ư ng phân giác trong góc BAC là 0 x y− = . Tìm ta các nh B, C bit rng8 5

5 BC = và góc

BAC nhn. S: ( )

8 60;2 , ;

5 5

−

B C hoc ngư c li

chuyên Nguyn Quang Diêu - ng Tháp - 2014: Cho tam giác ABC có trc tâm H(-1;3), tâm ư ngtròn ngoi tip I(3;-3) và chân ư ng cao k t nh A là K(-1;1). Tìm ta các nh A, B, C.

S: ( ) ( ) ( )1; 5 , 5;1 , 1;1 A B C− − hoc ( ) ( ) ( )1; 5 , 1;1 , 5;1 A B C− −

chuyên Lý T Trng - Cn Thơ - 2014: Cho tam giác ABC vuông ti A(-1;1) và có tâm ư ng tròn nitip là I(1;5). ư ng thng vuông góc v i IA ti A ct ư ng tròn ngoi tip tam giác AIC ti im th hai là D(-7;4). Tìm ta im B.

S: ( )17;7 B

Hà Huy Tp - Ngh An - 2014: Cho ư ng tròn ( ) + =2 2: 25C x y ngoi tip tam giác nhn ABC cóta các chân ư ng cao h t B, C ln lư t là M(-1;-3), N(2;-3). Hãy tìm ta các nh A, B, C bitrng im A có tung âm.

S: ( ) ( ) ( )0; 5 , 5;0 , 4;3 A B C− −

Hà Huy Tp - Ngh An - 2014: Cho tam giác ABC cân ti A(0;3) và hai im B, C thuc ư ng tròn

( ) + =2 2: 9.C x y Tìm ta ca B, C bit rng tam giác ABC có din tích l n nht và im B có hoành dươ ng.


28/33



S: 27 3 27 3

; , ;2 2 2 2

B C

− − −

chuyên Lam Sơ n - Thanh Hóa - 2014: Cho im A(1;-3) và ư ng tròn ( ) − + + =2 2: ( 2) ( 6) 50C x y

co tâm là im I. Tìm ta im M thuc (C) sao cho s o ca góc AMI l n nht. S: ( ) ( )7; 1 , 5; 5− − − M M

ng Thúc H a - Ngh An - 2014: Cho tam giác ABC vuông ti A. Gi M là im trên cnh AC saocho AB=3AM. ư ng tròn tâm I(1;-1) ư ng kính CM ct BM ti D. Xác nh ta các nh ca tam

giác ABC bit ư ng thng BC i qua im4

;03

N

, phươ ng trình ư ng thng CD là 3 6 0 x y− − = và

im C có hoành dươ ng. S: ( ) ( ) ( )2; 1 , 2;2 , 3; 1 A B C− − − −

Nguoithay.vn - 2014: Cho tam giác ABC có ư ng cao AH, H thuc cnh BC sao cho BC=4BH. ư ng

tròn ngoi tip tam giác ABH có phươ ng trình là + + − − =2 2 2 4 20 0 x y x y . im A nm trên ư ngthng : 2 3 7 0d x y− − = và din tích tam giác ABC bng 60. Tìm ta các nh ca tam giác ABC, bitim A và C có hoành âm.

Nguoithay.vn - 2014: Cho ư ng tròn ( ) + + − =2 2: ( 1) ( 1) 20C x y và ư ng thng : 3 4 8 0.d x y− − =

Vit phươ ng trình ư ng tròn (T) có tâm nm trên d và ct (C) ti hai im A, B sao cho 2 5 AB = , bit

ư ng thng AB to v i ư ng thng d mt góc α v i1

cos .10

α =

3. Vit phươ ng trình ư ng thng

B06: Cho ư ng tròn (C ): + − − + =2 2 2 6 6 0 x y x y và im M (–3; 1). Gi T 1 và T 2 là các tip im cacác tip tuyn k t M n (C ). Vit phươ ng trình ư ng thng T 1T 2.

S: Ch ng t to x y0 0

( ; ) ca T 1 , T 2 tho phươ ng trình x y2 3 0+ − = .

D11: Cho im( )1;0 A và ư ng tròn 2 2( ) : 2 4 5 0C x y x y+ − + − = . Vit phươ ng trình ư ng thng ∆

ct (C ) ti hai im M và N sao cho tam giác AMN vuông cân ti A. S: : 1 y∆ = hoc : 3 y∆ = −

Toán hc & Tui tr: Cho im M (2 ; 1) và ư ng tròn ( ) ( ) ( )2 2

: 1 2 5C x y− + − = . Vit phươ ng trình

ư ng thng i qua M ct (C ) ti hai im phân bit A và B sao cho AB nh nht.

B02(d b): Cho hai ư ng tròn: (C 1): x y y2 2 4 5 0+ − − = và (C 2): x y x y2 2 6 8 16 0+ − + + = . Vit phươ ng trìnhtip tuyn chung ca hai ư ng tròn (C 1) và (C 2).

S: 4 ti p tuy n chung: x y y y x4

2 3 5 2 0; 1; 33

+ ± − = = − = −

D02(d b): Cho hai ư ng tròn: C x y x C x y x y2 2 2 2

1 2( ) : 10 0, ( ) : 4 2 20 0+ − = + + − − =

. Vit phươ ng trình tiptuyn chung ca các ư ng tròn (C 1), (C 2).

S: x y7 5 25 2 0+ − ± =

B05(d b): Cho 2 ư ng tròn 2 21C x y( ) : 9+ = và C x y x y

2 22

( ) : 2 2 23 0+ − − − = . Vit phươ ng trình trc

ng phươ ng d ca 2 ư ng tròn (C 1) và (C 2). Chng minh rng nu K thuc d thì khong cách t K ntâm ca (C 1) nh hơ n khong cách t K n tâm ca (C 2).

S: d x y: 7 0+ + = , xét OK IK 2 2 16 0− = − < ⇒ OK < IK


29/33



A07(d d): Cho ư ng tròn (C ): x y2 2 1+ = . ư ng tròn (C ′) tâm I (2; 2) ct (C ) ti các im A, B sao

cho AB 2= . Vit phươ ng trình ư ng thng AB. S: Chú ý AB ⊥ OI. Phươ ng trình AB: y x 1= − ±

Toán hc & Tui tr: Cho ư ng tròn 2 2( ) : 6 2 1 0C x y x y+ − − + = . Vit phươ ng trình ư ng thng d song song v i ư ng thng : 2 4 0 x y∆ − − = và ct (C ) theo mt dây cung có dài bng 4.

S: 1 : 2 4 0d x y− + = hoc 2 : 2 6 0d x y− − =

Phư c Bình - Bình Phư c: Cho hai ư ng tròn ( ) 2 21 : ( 1) 1/ 2C x y− + = , ( ) 2 22 : ( 2) ( 2) 4C x y− + − = .

Vit phươ ng trình ư ng thng d tip xúc v i ( )1C và ct ( )2C ti hai im phân bit AB sao cho

2 2 AB = .

S: 2 0; 2 0; 7 6 0;7 2 0 x y x y x y x y+ − = − − = + − = − − =

ông Hư ng Hà - Thái Bình: Cho ( ) 2 21 : ( 6) 25C x y− + = và ( ) 2 2

2 : 13C x y+ = ct nhau ti A(2 ; 3).

Vit phươ ng trình ư ng thng d i qua A và ct ( )1C , ( )2C theo hai dây cung có dài bng nhau.

S: : 2 0d x − = hoc : 3 7 0d x y− + =

H Vinh: Cho ư ng tròn ( ) 2 2: 4 2 15 0C x y x y+ − + − = . Gi I là tâm ư ng tròn (C ). ư ng thng d

i qua im ( )1; 3 M − ct (C ) ti hai im AB. Vit phươ ng trình ca d bit tam giác IAB có din tíchbng 8 và AB là cnh l n nht.

S: : 3 0d y + = hoc : 4 3 5 0d x y+ + =

THPT Lê Xoay: Cho ( ) ( ) ( )2 2

1 : 1 2 4C x y− + − = và ( ) ( ) ( )2 2

2 : 1 3 2C x y− + − = . Vit phươ ng trình

ư ng thng d i qua im A(1 ; 4) ct ( )1C ti M , ( )2C ti N sao cho AM = 2 AN .

S: : 1 0d x − = hoc : 2 7 0d x y− + =

chuyên i hc quc gia Hà Ni: Cho ư ng tròn ( ) 2 2: 2 2 23 0C x y x y+ − + − = . Vit phươ ng trình

ư ng thng i qua im A(7 ; 3) và ct (C ) ti B và C sao cho 3 AB AC= . S: 3 0 y − = hoc 12 5 69 0 x y− − =

chuyên Nguyn Quang Diêu - ng Tháp: Cho ( ) 2 2: 8 9 0C x y x + − − = và im ( )1; 1 M − . Vit

phươ ng trình ư ng thng i qua M ct (C ) ti hai im A, B sao cho MA = 3 MB. S: 2 3 0 x y− − = hoc 2 1 0 x y+ + =

chuyên Nguyn Hu - Hà Ni: Cho ( ) 2 2: 2 4 0C x y x y+ − − = và im M (6 ; 2). Vit phươ ng trình

ư ng thng d i qua M ct (C ) ti hai im A và B sao cho 2 2 50 MA MB+ = . S: 3 12 0 x y+ − = hoc 3 0 x y− =

ng Thúc H a - Ngh An: Cho ( ) 2 2: 10 10 30 0C x y x y+ − − + = . Vit phươ ng trình ư ng thng d

tip xúc v i (C

) bitd ct tia

Ox ti

A, t

Lý thuyết + bài tập hình Oxy đầy đủ các dạng.pdf

Documents