7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
1/98
UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIOARA
DEPARTAMENTUL PENTRU PREGTIREAPERSONALULUI DIDACTIC
LUCRARE METODICO TIINIFIC
PENTRU OBINEREA GRADULUI
DIDACTIC I N NVMNT
COORDONATOR TIINIFICPROF. UNIV. DR. NICOLAE SUCIU
CANDIDAT
PROF. ALMJAN CTLINCOALA CU CLASELE I- VIII RAMNA
JUDEUL CARA SEVERIN
TIMIOARA2009
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
2/98
2
UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIOARADEPARTAMENTUL PENTRU PREGTIREA
PERSONALULUI DIDACTIC
APROXIMAREA FUNCIILOR PRININTERPOLARE
COORDONATOR TIINIFICPROF. UNIV. DR. NICOLAE SUCIU
CANDIDATPROF. ALMJAN CTLINCOALA CU CLASELE I- VIII RAMNA
JUDEUL CARA SEVERIN
TIMIOARA2009
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
3/98
3
CUPRINS
INTRODUCERE....pag.4
Capitolul I : Interpolare Polinomial...pag.6
1.1. Noiuni Introductive.. .....pag.61.2. Polinomul de interpolare Lagrange ....pag.7
1.3. Interpolarea cu ajutorul programelor Maple i Matlab..pag.15
1.4. Interpolarea iterativ. Metoda Aitkenpag.17
1.5. Interpolarea iterativ. Metoda Neville...pag.19
1.6. Diferene Divizate.Polinomul Newton de interpolarepag.20
1.7. Diferene finite. Polinomul Newton ascendent i descendentpag.30
1.8. Polinoame Cebevpag.37
Capitolul II : Interpolarea cu ajutorul funciilor spline....pag.41
2.1. Funcii Spline Introducere ......pag.41
2.2. Funcii Spline de gradul I ..pag.42
2.3. Funcii Spline de gradul II .pag.44
2.4. Funcii Spline de gradul III ...pag.46
2.5. Evaluarea erorii de interpolare prin funcii spline .pag.51
2.6. Utilizarea Maple i Matlab pentru interpolare prin funcii spline..pag.54
Capitolul III : Aplicaii ale interpolrii funciilor.......pag.56
3.1 Utilizarea interpolrii la derivarea numeric.pag.56
3.2 Utilizarea interpolrii la integrala numeric...pag.60
Capitolul VI : Aspecte metodice i metodologice... .....pag.65
4.1. Aspecte generalepag.65
4.2. Metode de predare nvare...pag.684.3. Metode de rezolvare a problemelor.. pag.83
4.4. Utilizarea interpolrii n rezolvarea unor probleme..pag.85
Bibliografie.pag.97
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
4/98
INTRODUCERE
n rezolvarea unor probleme practice (de fizic, economice , sociale)
suntem pui n situaia de a modela funcii necunoscute ca expresie i definite
doar prin valorile lor n anumite puncte. De aceea este necesargsirea unei
funcii de aproximare cu o form analiticmai simpl . Aproximarea mai
poate fi util i atunci cnd funcia este cunoscut dar are o form
complicat, dificil de manipulat n calcule .
Pentru determinarea unei funcii de aproximare g(x) pentru o funcie
f(x) trebuie impus un criteriu de aproximare. De regul , criteriile de
aproximare se mpart n doucategorii:
a) Funcia de aproximare trebuie streacprin punctele cunoscute:
g(xi) = f(xi)
b) Funcia de aproximare nu trebuie streacprin punctele cunoscute,
dar saproximeze ct mai bine valorile cunoscute. (de ex. Metoda
celor mai mici ptrate).
n lucrarea de fa, ne vom ocupa de primul caz, funcia g(x) numindu-se funcie de interpolare , iar operaia de determinare a ei se numete
interpolare.
Prin interpolare se nelege o metodde calcul a unui nou punct ntre
doupuncte cunoscute. Cuvntul interpolare provine de la : ,,inter = ntre i
,,pole = punct sau nod , deci interpolare nseamn o metodde calcul a unui
nou punct ntre doupuncte cunoscute.
Exemple :
- interpolare polinomial : =
n
i
iixaxf
0
)(
- interpolare trigonometric: =
+n
kkk kxbkxaxf
0
sincos)(
(serii Fourier)
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
5/98
5
- interpolare exponenial : =
n
i
xki
ieaxf0
)( .
Dintre posibilitile prezentate mai sus , cea mai utilizat este cea
polinomial, datorituurinei cu cu care se integreazi se deriveaz.Baza teoretic a aproximrii polinomiale o constituie teorema lui
Weierstrass, n care se aratca oricefuncie continuf(x) poate fi aproximat
cu o precizie orict de bunpe un interval dat nchis, de un polinom )(xPn .
Teorem: Fie funcia f : [a,b] R , o funcie continu. Atunci f(x) poate fi
aproximat uniform de un ir de polinoame {Pk(x)} cu o acuratee
prestabilit.
Adic pentru o funcie continu , exist un ir depolinoame {Pk(x)} cu proprietatea c
)()(lim xfxPkk
=
Demonstraie Se consider funcia ajuttoare F : [0, 1] R ,
F(t) = f ( a + t (b a )) , t [0, 1]
Funcia F ndeplinete condiiile din teorema lui Bernstain , care spune c
pentru orice funcie continu f : [0, 1] R i (Bn)n1 un ir de funciipolinomiale definit astfel :
Bn(x) = ( )knkk
n
n
k
xxCn
kf
=
1
0, pentru orice x[0,1]
Atunci (Bn)n1 converge uniform la f.
Deci fie (Bn)n1 polinoamele asociate funciei F(t) i
( )
=
abaxBxP kk , [ ]bax ,
Atunci :[ ] [ ]
0)()(sup)()(sup1,0,
=
xBxfxPxf nx
nbax
NOT : Din pcate , teorema lui Weierstrass nu oferun criteriu practic de
aflare a polinomului potrivit.
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
6/98
6
Capitolul IINTERPOLAREA POLINOMIAL
1.1 NOIUNI INTRODUCTIVE
Fie o funcie f : [a,b] R , se pune problema aproximrii ei printr-un
polinom cnd se cunosc valorile funciei n anumite puncte xi [a, b] , i= n,0 .
1.1.1. DefiniieMulimea de puncte xi[a, b] , i= n,0 cu proprietatea :
a x0 < x1 < x2
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
7/98
7
Dacrestul 0)( xrn , atunci din (1.1) i (1.2) rezultun sistem de n+1
ecuaii liniare:
=++++
=++++=++++
=++++
)(...
...............................................................
)(...)(...
)(...
2210
22222210
11
2
12110
00202010
nnnnnn
nn
n
n
nn
xfxaxaxaa
xfxaxaxaaxfxaxaxaa
xfxaxaxaa
(1.3)
Soluia acestui sistem o constituie chiar coeficienii polinomului de
aproximare cutat. Determinantul acestui sistem:
nnnn
n
n
n
xxx
xxx
xxx
xxx
D
...1
...............
...1
...1
...1
2
2222
1211
0200
=
este cunoscut ca determinantul lui Vandermonde. Acesta este nenul ( 0D )
pentru orice )( jixx ji . Rezult deci, ca sistemul de ecuaii dat (1.3)
admite o soluie unic pentru coeficienii naaa ,...,, 10 , cu alte cuvinte
polinomul de interpolare este unic.
Pentru un numr mic de noduri sistemul se poate rezolva relativ uor,
dar pentru un numr mai mare de noduri este necesar utilizarea unui
computer. De-a lungul timpului s-au propus foarte multe variante de generare
a polinomului de interpolare .
1.2 POLINOMUL DE INTERPOLARE LAGRANGE
1.2.2. Teorem Fie f : [a,b] R i x0, x
1, ..., x
n; (n+1) noduri din
intervalul [a,b]. Atunci exist un polinom unic Pn, de grad cel mult n, care
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
8/98
8
interpoleazfuncia f n nodurile xi
, 0 i n ( f(xi)=P
n(x
i) , 0 i n). Acest
polinom se numete polinomul de interpolare al lui Lagrange.
Demonstraie :
n spatiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult n , vom construi obaz li ( x)care se anuleazn toate punctele cu excepia lui xi , i= n,0
li ( xj )= ij =
=
ijdaca
ijdaca
0
1
Deoarece li(x
j) = 0 pentru ij , rezultc l
iadmite rdcinile x
0,x
1,
...,xi1
,xi+1
,...,xn.
Deci li ( x) = ai(x x0)(x x1). . . . . . . . (x xi-1)(x xi+1)
. . . . . . . (x xn)Deoarece li(xi)=1 , rezult c
( )( ) ( )( ) ( )niiiiiiii xxxxxxxxxxa = + 1110
1
Atunci li ( x) =( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )niiiiiii
nii
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
+
+
1110
1110 =
= ( )=
n
ijj ji
j
xx
xx
0
Polinomul de interpolare Lagrange se scrie sub forma :
Pn (x) = l0(x)f(x0) + l1(x)f(x1)+ .......................+ ln(x)f(xn) = l0(x)y0+ l1(x)y1+
........ + ln(x)yn .
Scris sub formcondensat, polinomul de interpolare Lagrange este :
Pn(x) = =
n
iii xlxf
0
)()( (1.4)
Evident polinomul (1.4) ndeplinete condiia f(xi)=P
n(x
i) , i= n,0 .
Polinoamlele li ( x), i= n,0 poartdenumirea depolinoame Lagrange
fundamentale.
Pentru a demonstra unicitatea polinomului Pn spresupunem cexist
doupolinoame distincte Pn, Qn R[X] de grad cel mult n astfel nct
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
9/98
9
Pn(xi) = Qn(xi) = f (xi) , i= n,0 .Atunci polinomul Tn(x) = Pn(x ) - Qn(x )
este un polinom de grad cel mult n i Tn(xi) = Pn(xi) - Qn(xi) = 0 i= n,0 .
Deci polinomul Tn(x) are n+1 rdcini . Cum gradul lui Tn(x) este cel mult n ,
atunci polinomul Tn(x) este identic nul Tn(x) = Pn(x ) - Qn (x ) = 0
Pn(x ) = Qn(x ) .
Aceast metod este mai util de determinare a polinomului de
interpolare dect metoda (1.3) care necesitun volum mare de calcule.
Cazuri particulare
Fie funcia f : [a,b] R
1. Dac n=2,adic diviziunea intervalului conine doar dou noduri, a x0
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
10/98
10
1.2.3. Exemplu Determinai polinomul de interpolare Lagrange atasat funciei
f(x) :
xi 0 1 3
f(xi) 1 3 5
Rezolvare : Polinoamele Lagrange fundamentale sunt :
l0(x) =( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
3
31
3010
31
2010
21 =
=
xxxx
xxxx
xxxx
l1(x) =( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
2
3
3101
30
2101
20
=
=
xxxx
xxxx
xxxx
l2(x) =
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
6
1
1303
10
1202
10 =
=
xxxx
xxxx
xxxx
Polinomul de interpolare este : P(x) =f(0)l0(x)+ f(1) l1(x)+ f(2) l2(x) ;
P(x) = ( )( ) ( ) ( )6
6142
6
15
2
33
3
311
2++
=
+
+
xxxxxxxx;
P(x) = 13
7
3
1 2++ xx .
1.2.4. Teorem Operatorul de interpolare Lagrange Pn definit pe mulimea
F= { f : [a,b]R } i cu valori n mulimea polinoamelor de grad cel mult n,care face ca unei funcii din F s-i corespund polinomul de interpolare
Lagrange , este un operator liniar.
Demonstraie :
Fie funciile f i g din F , atunci funcia af+bg este de asemenea din F, unde
a i b sunt dou numere reale. Fie Pn polinomul de interpolare a funciei
af+bg
Pn(x) = ( )( ) = ==
+=+n
i
n
iii
n
iiiiii xgxlbxfxlaxbgxafxl
0 00
)()()()()()( = a.Pnf+ b.Pn
g
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
11/98
11
Unde Pnf i Pn
g sunt polinoamele Lagrange ataate funciilor f i g , deci Pn
este un operator liniar.
1.2.5. Definiie Diferena f(x) Pn(x) = Rn(x), unde Pneste polinomul de
interpolare Lagrange, se numete restul de aproximare a funciei f .
Formula f(x) = Pn(x) + Rn(x) se numete formula de aproximare a lui
Lagrange.
1.2.6. Teorem Restul Rn(x) din formula de aproximare Lagrange este un
operator liniar.
Demonstraie : Fie funciile f i g din F i Pn polinomul de interpolare a
funciei af+bg , unde ai b sunt dounumere reale .
Atunci Rn(x) = [af(x) + bg(x)] - ( )=
+n
iiii xbgxafxl
0
)()()( = [af(x) + bg(x)]
[ = =
+n
i
n
iiiii xgxlbxfxla
0 0
)()()()( ] =[ af(x) a Pnf(x) ] + [ bg(x) bPn
g(x) ] =
= a Rnf(x) + bRn
g(x) . Deci operatorul Rneste un operator liniar.
1.2.7. Observaie Evident Rn(xi) = 0 , i= n,0 .
1.2.7. Teorem (evaluarea restului de interpolare)
Dac f C(n+1)[a,b], atunci pentru orice x [a,b] , existx(a, b) astfel
nct
Rn(x)= )()!1(
)(1
)1(
xUn
fn
xn
+
+
+
, unde Un+1(x) = (x x0)(x x1)
. . . . . . (x xn).
Demonstraie :
Fie funcia auxiliar g(t)= )()(
)()()( 1
1
tUxU
xRtPtf n
n
nn +
+
Observm cfuncia g se anuleazn n+2 puncte : x0, x1, x2, ........ , xn, x .Din teorema lui Rolle rezultcexistx(a, b) astfel nct g
(n+1)(x) = 0.
g(n+1)(t) = )!1()(
)()(
1
)1(+
+
+ nxU
xRtf
n
nn . Deci Rn(x)= )()!1(
)(1
)1(
xUn
fn
xn
+
+
+
.
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
12/98
12
1.2.8. Corolar Dac exist M > 0 astfel nct Mxf n + )()1( pentru orice
x[a,b], atunci : )()!1(
)( 1 xUn
MxR nn +
+ ,x[a,b] .
Demonstraie |Rn(x)| = | )()!1(
)(1
)1(
xUn
fn
xn
+
+
+
| )(
)!1( 1xU
n
Mn+
+.
1.2.9. Observaie : n cazul n care diviziunea este format din noduri
echidistante, adic xi= x0+ i.h , i= n,0 , undeh se numetepasul diviziunii,
atunci polinomul de interpolare Lagrange corespunztor acestei diviziuni este:
=
=+=
n
i
in
in
inn it
ntttt
n
CxfhtaPtp
0
)).......(2)(1(
!
)1()()()(
Demonstraie : Considerm schimbarea de variabil : x = x0 + t. h , h =
n
xxn 0
, atunci expresia polinomului Lagrange este Pn(x) = = n
iii xlxf0 )()( ,
unde li ( x) = ( )=
n
ijj ji
j
xx
xx
0 . Atunci :
=n
ji
n
ij
nj jthxx )()( i
( ) ( )
= +=
===n
ji
i
j
n
ij
ninninn
ij
nji inihijjihjihxx
1
0 1
!!)1()()(1)()(
Rezultc Li(t)=li(x0+ t.h) =
=
=
n
ijj
n
it
ntttt
iniji
jt
0
)).....(2)(1(
)!(!
)1(
)(
)(
Expresia polinomului Lagrange este :
=
=
n
i
in
in
in it
ntttt
n
Cxftp
0
)).......(2)(1(
!
)1()()(
Eroarea devine )()!1(
))......(2)(1()( )1(1 t
nnn fhn
nttttxr ++
+
=
1.2.10. Exemplu Sse calculeze valoarea aproximativa lui 15 utiliznd un
polinom de interpolare Lagrange pentru funcia x ( x 0) i trei puncte de
interpolare convenabil alese.
Fie funcia f : [0 ; +) , f(x) = x i nodurile x0= 9 , x1= 16 i x2=
25. Sub formde tabel funcia aratastfel :
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
13/98
13
xi 9 16 25
f(xi) 3 4 5
Polinomul de interpolare Lagrange atasat funciei f este :
P(x) =7
10
504
97
504
2
++ xx .
Atunci 869047619,3)15(15 = P .Sevalum acum eroarea n punctul x = 15
U3(15) = (15 9 )(15 16) (15 25 ) = 6.( - 1) .( - 10) = 60
xxxf
2
1
2
1)(' 2
1
==
;3
2
3
4
1
4
1)("
xxxf ==
;5
2
5)3(
8
3
8
3)(
xxxf ==
;
7
2
7)4(
16
15
16
15)(
xxxf
==
.
Deoarece f(4) (x) < 0 rezult c funcia f(3) este descresctoare
001543,038
3
8
3)(
55
)3(=
=
xxf
R(15) 01543,06000012,0!3
1= .
Pe de altparte , cu ajutorul calculatorului obinem 87298334,315
= )15(15 P 0,0039 , ceea ce confirmafirmaa de mai sus.
1.2.11. Observaie Dac f(x) = Q(x) R[x] un polinom de grad cel mult n ,atunci Rn(x) = 0 .
Demonstraie Deoarece f este un polinom de grad cel mult n , atunci
f(n+1)(x) = 0 din teorema 1.2.7 cRn(x) = 0.
1.2.12. Observaie Fie o funcie f : [a,b] R, considerm irul de
diviziuni dn a intervalului [a, b] cu proprietatea :
bxxxa nnnn
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
14/98
14
mare de puncte , deci ne ateptm ca eroarea Rn(x) = f(x) Pn(x) sfie mic,
eventual ca 0)(lim =
xRnn
.
n anul 1912, S. N. Bernstein a artat c pentru funcia f(x)=|x|,
x[1,1], dacalegem nodurile echidistante nini
xn
i ,0,2
1)(
=+= , atunci)()(lim xfxPn
n
dacx{1,0,1}.
Sar putea crede cacest lucru se datoreazfaptului cfuncia modul
nu este derivabiln origine.
Exemplu dat de C. Runge n 1901 arat c exist funcii indefinit
derivabile pentru care {Pn} nu converge laf .
Fie f(x) = 21
1
x+ , x [-5 , 5 ] . Evident f C[-5 ,5 ] , fie nodurile
echidistante in
xi10
5 += , i= n,0 .
Se poate arta c )()(lim xfxPnn
=
, dac| x | c i )()(lim xfxPnn
dac| x | > c , unde c 3,6334.
n 1914 , S.N. Bernstein a artat cpentru orice sistem de noduri )(nix ,
i= n,0 din intervalul [a, b] , dat dinainte, existo funcie continu f : [a,b]
R astfel nct irul polinoamelor Lagrange {Pn} care interpoleazfuncia f
n aceste noduri nu converge uniform laf pe [a,b].
Se pune ntrebarea dacinterpolarea cu polinoame Lagrange este util
n practic, din moment ce aa cum am vzut, n general irul polinoamelor de
interpolare { Pn} nu converge laf.
Rspunsul este c interpolarea Lagrange este util. Se constat n
practic faptul cpentru un punct [a,b], eroarea | f () Pn( ) | scade
pn la un punct, pe msur ce n crete, i deci, pentru n relativ mic, Pn()
aproximeazacceptabil valoareaf(). Pentru valori mari ale lui n, interpolarea
Lagrange nu este recomandat.
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
15/98
15
1.3. INTERPOLAREA CU AJUTORUL LIMBAJELOR DEPROGRAMARE MAPLE I MATLAB
MAPLE i Matlab sunt doulimbaje de programare deosebit de utile n
domenii diverse, cum ar fi : statistica , matematica, ingineria . Aceste
programe sunt folosite i n interpolarea polinoamelor.
MAPLE dispune de funcia predefinitinterp care determinpolinomul
de interpolare Lagrange corespunztor unei funcii tabelate.
Sintaxa : interp ( x, y, var)
unde x list/ vector cu nodurile de interpolare;
y list/ vector cu valorile funciei n nodurile de interpolare;
var nume variabil
Exemplu >
Pentru determinarea valorii polinomului de interpolare ntr-un punct se
procedeazastfel :>
Pentru trasarea graficului funciei f i a polinomului de interpolare
atasat funciei procedm astfel:
- definim funcia i determinm polinomul de interpolare ca mai sus;
- trasm graficul celor doufuncii utiliznd comanda plot
Exemplu >
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
16/98
16
Programul Matlab dispune de mai multe funcii pentru trasarea
polinomului de interpolare Lagrange astfel :
1) v = INTERP(x,y, u), unde x reprezintvectorul nodurilor , y reprezint
vectorul valorilor funciei pe noduri, de aceeai dimensiune cu x.
2) yi= INTERP1(x, y, xi, METOD)
Unde x reprezintvectorul nodurilor
y reprezintvectorul valorilor funciei pe noduri
metoda reprezintmetoda de interpolat (nearest , linear, etc)
Exemplu x = 0:10; y = sin(x);
xi = 0:.25:10;
yi = interp1(x,y,xi);
plot(x, y, 'o', xi, yi)(interpoleazfuncia sin n nodurile :
0, 1, 2, 3, .... 10 i traseaz
graficul funciei interpolate)
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
17/98
17
Pentru a calcula valoarea polinomului Lagrange ntr-un punct , trebuie
mai nti s scriem mai nti un program Matlab ce calculeaz polinomul
Lagrange ataat unei funcii i unei diviziuni :
% POLINOMUL DE INTERPOLARE LAGRANGE Ln(x), de gradul n = 2
% fie func?ia f(x) = x pe intervalul [9;25]%*********************************************************x = [9. 16. 25.];y = sqrt(x);n1 = length(x);n = n1-1;xs = 15.; % valoarea x* n care se evalueaz? func?ia cu L2(x)% se calculeaz? valoarea polinomului Lagrange de ordinul n n x*; aici
n=2 => L2(x*):L = 0.;fork = 1:n+1p = 1;forj=1:n+1ifk ~= j
p = p*(xs-x(j))/(x(k)-x(j));endendL = L + y(k).*p;end% afi?area valorii L2(x*)=L2(5) calculate:L2xs = L% valoarea exact? a func?iei n x*=5 este:
Programul o sne afieze L2xs =
3.8690
1.4. INTERPOLAREA ITERATIV. METODA AITKEN
Vom nota polinomul lui Lagrange care interpoleaz funcia f nnodurilex
i , cu P
n(x ;x
0,x
1, ...,x
n). Evident,
P0(x;x
0) =f(x
0).
1.4.1 Teorem: Are loc urmtoarea relaie de recuren:
Pn
(x ;x0
,x1
, ...,xn
) =xxxxxxxP
xxxxxxxP
xx nnnn
nnnn
nn
),,........,;(
),,........,;(1
2101
112101
1
.
Demonstraie
Fie Q(x) =xxxxxxxP
xxxxxxxP
xx nnnn
nnnn
nn
),,........,;(
),,........,;(1
2101
112101
1
.
Observm cpentru orice i= 2,0 n avem:
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
18/98
18
Q(xi ) = )()(
)(1 1
1i
ini
ini
nn
xfxxxf
xxxf
xx =
;
Iar
Q(xn-1) =121011
1
1 ),,........,;(
0)(1
nnnnnn
n
nn xxxxxxxP
xf
xx = )( 1nxf
Q(xn) =0)(
),,........,;(1 112101
1 n
nnnnnn
nn xf
xxxxxxxP
xx
= )( nxf
Aadar, Q este un polinom de gradul n care interpoleaz funcia f n
nodurile xi , i= n,0 Din unicitatea polinomului de interpolare al lui
Lagrange, rezultcQ=Pn
.
Metoda Aitken este bine ilustratde urmtorul tabel:x
0 x
0 f(x
0)
x1 x
1 f(x
1) P
1(;x
0,x
1)
x2 x
2 f(x
2) P
1(;x
0,x
2) P
2(;x
0,x
1,x
2)
x3 x
3 f(x
3) P
1(;x
0,x
3) P
2(;x
0,x
1,x
3) P
3(;x
0,x
1,x
2,x
3)
M M M M M M
xn x
n f(x
n) P
1(;x
0,x
n) P
2(;x
0,x
1,x
n) P
3(;x
0,x
1,x
2,x
n) K Pn(;x0,x1,...,xn)
1.4.2.Exemplu : Determinai polinomul de interpolare Lagrange ataat
funciei f(x) :
i 0 1 2
xi 0 1 3
f(xi) 1 3 5
utiliznd algoritmul lui Aitken.
P1(x;x0) = f(x0) = 1
P1(x;x1) = f(x1) = 3P1(x;x2) = f(x2) = 5
P2(x;x0,x1)=x
x
xxxxP
xxxxP
xx
=
13
01
01
1
);(
);(1
111
00
01
= 1+2x
P2(x;x0,x2)=x
x
xxxxP
xxxxP
xx
=
35
01
03
1
);(
);(1
221
00
02
=3
34 +x
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
19/98
19
P3(x;x0,x1,x2)= xxxx
xxxxxP
xxxxxP
xx +
+
=
33
34021
13
1
),;(
),;(1
2202
1102
12
= 13
7
3
1 2++ xx
Polinomul de interpolare este : P3(x;x0,x1,x2)= 13
7
3
1 2++ xx
1.4. INTERPOLAREA ITERATIV. METODA NEVILLEAlgoritmul lui Neville, este foarte asemntor cu algoritmul lui Aitken .
Vom nota polinomul lui Lagrange care interpoleazfunciaf n nodurilexi,
cu Pn(x ;x
0,x
1, ...,x
n).
1.5.1. TeoremDacf este definit n x0, x1, ........., xn, xi xj, 0 i, j k,atunci:
Pn(x;x
0,x
1, ...,x
n)=
= ( )
( )jiniiinjjj
xx
xxxxxxPxxxxxxxxPxx
++ ),...,,......,;(),...,,......,;( 11101110 =
=),...,,......,;(
),...,,......,;(1
1110
1110
njji
niij
jixxxxxxPxx
xxxxxxPxx
xx +
+
Demonstraie: Notm Q1 = ),...,,......,;( 1110 nii xxxxxxP + cu
Q2= ),...,,......,;( 1110 njj xxxxxxP + i P(x) = ( )ji
ij
xxxQxxxQxx
)()( 12
Se observcQ1(xk) = Q2(xk) = f(xk) pentru orice k i i k j
P(xk) =( )
)()()()( 12
kji
kji
ji
kikkjkxf
xx
xfxx
xx
xQxxxQxx=
=
P(xi) =( )
)()()()()(
2212
iiji
iji
ji
iiiijixfxQ
xx
xQxx
xx
xQxxxQxx==
=
Analog se arat c P(xj) = f(xj), deci din unicitatea polinomului de
interpolare rezultcP(x) = Pn(x ;x
0,x
1, ...,x
n).
Metoda Neville este bine ilustratde urmtorul tabel:
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
20/98
20
x0 f(x
0)
x1 f(x
1) P
1(x;x
0,x
1)
x2 f(x
2) P
1(x;x
1,x
2) P
2(x;x
0,x
1,x
2)
x3 f(x
3) P
1(x;x
2,x
3) P
2(x;x
1,x
2,x
3) P
3(x;x
0,x
1,x
2,x
3)
M M M M M
xn f(xn) P1(x;xn-1,xn) P2(x;xn-2,xn-1,xn) P3(x;xn-3,xn-2,xn-1,xn) K Pn(;x0,x1,...,xn)
1.5.2. Exemplu : Determinai polinomul de interpolare Lagrange ataat atasat
funciei f(x) :
i 0 1 2
xi 0 1 3
f(xi) 1 3 5
utiliznd algoritmul lui Neville.P1(x;x0) = f(x0) = 1 ; P1(x;x1) = f(x1) = 3 ; P1(x;x2) = f(x2) = 5
Atunci P(x ; x0,x1) =( )
1210
3)0(1)1();()();(
10
1001 +=
=
x
xx
xx
xxPxxxxPxx
P(x ; x1,x2) =( )
231
5)1(3)3();()();(
21
2112 +=
=
x
xx
xx
xxPxxxxPxx
Polinomul de interpolare Lagrange este :
P(x;x0,x1,x2)=
( )=
++=
30
2()0()12()3(),;()(),;(
20
210102 xxxx
xx
xxxPxxxxxPxx
= 13
7
3
2
++xx .
1.6 DIFERENE DIVIZATE . POLINOMUL NEWTON DE
INTERPOLARE
Dezavantajele interpolrii Lagrange apar atunci cnd dorim sadugm
sau smodificm noduri de interpolare , pentru care trebuiesc refcute toate
calculele ce privesc polinomul. Astfel este mai greu s controlm aspectul
unei curbe folosind interpolarea Lagrange, dect dacam folosi alte metode
de interpolare , cum ar fi Newton.
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
21/98
21
a) DIFERENE DIVIZATE
Pentru construirea polinomului Newton de interpolare avem nevoie de
noiunea de diferendivizat.
Fie funcia f : [a,b] Ri diviziunea ax0< x
1< ...
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
22/98
22
Funcia care se obine n acest fel este definitpe mulimea { x0; x
1; ...
; xn-1} i va fi notatcu D1f . Prin urmare funcia D1f este o funcie real
definitpe mulimea nodurilor { x0< x
1< ...
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
23/98
23
Demonstraie :
rr
rrrrrrr xx
xxfxxfxxxf
=
+
+++
++
2
12121
],[],[],,[
=( )
+
+
++
++
+ rr
rr
rr
rr
rrxx
xfxf
xx
xfxf
xx1
1
12
12
2
)()()()(1 =
( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
+
+
+++
++
+++
++++
+++
++
+ rrrr
rrr
rrrr
rrrrr
rrrr
rrr
rr xxxx
xxxf
xxxx
xxxxxf
xxxx
xxxf
xx 112
12
112
1211
112
12
2
)()()(1
=( )( ) ( )( )rrrr
r
rrrr
r
rrrr
r
xxxx
xf
xxxx
xf
xxxx
xf
+
+++++
+
+++
+
12112
1
122
2 )(
))((
)()( =
=( )( ) ( )( ) ( )( )122
2
211
1
21
)()()(
+++
+
+++
+
++ +
+
xrrr
r
rxrr
r
rrrr
r
xxxx
xf
xxxx
xf
xxxx
xf
1.6.7. Propoziie : Pentru orice k n putem defini diferena divizat de
ordinul k a funciei f ntr-un punct xr ( r n k ) :
Dkf(xr) =( ) ( )rkr
krrrkrrr
rkr
rk
rk
xx
xxxfxxxf
xx
xfDxfD
=
+
+++++
+
+
],....,,[],.....,,[)()( 11211
11
1.6.8. Observaie : Se poate arta c:
Dkf(xr) =( )( ) ( )( ) ( )= ++++++++++
+
k
i kriririririrrirrir
ir
xxxxxxxxxx
xf
0 111 ..................
)(
(1.8)
1.6.9. Observaie : Dacse considerfamilia de funcii
Fn-k = { f : {x0,x1,....,xn-k} R } , atunci folosind diferena divizat de
ordinul k se poate asocia fiecrei funcii f Fno functie din Fn-kastfel :
f Dkf , unde Dkf(xr) = f [xr,xr+1,......,xr+k] , pentru r n k
Corespondena f Dkf se numeste operator de diferendivizatde
ordinul k .
1.6.10. Propoziie: Operatorul de diferendivizatde ordinul k, Dk:Fn
Fn-keste un operator liniar.
1.6.11. Propoziie: Pentru k = n , operatorul de diferendivizatde ordinul n
este definit doar n x0i este datde :
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
24/98
24
Dnf(x0) = ( )( ) ( )( ) ( )= + k
i niiiiiii
i
xxxxxxxxxx
xf
0 1110 ..................
)( (1.9)
1.6.12. Propoziie: Dn f(x0) =),.....,(
),.....,)((
10
10
n
n
xxxV
xxxWf (1.10) , unde
),.....,)(( 10 nxxxWf =
)(
...
)()(
...
...1
...........
...1
...11
0
1
11
10
2
211
200
nn
n
n
n
nnxf
xfxf
x
xx
xx
xxxx
i ),.....,( 10 nxxxV =
nn
n
n
nn
n
n
nn x
x
x
x
x
x
xx
xx
xx
......
...1
...........
...1
...1
1
0
1
11
10
2
211
200
Demonstraie : Determinantul ),.....,( 10 nxxxV este un determinant de tipul
Vandermonde, deci :
),.....,( 10 nxxxV =
nn
n
n
nn
n
n
nn x
x
x
x
x
x
xx
xx
xx
......
...1
...........
...1
...1
1
0
1
11
10
2
211
200
= ( )>
ji
ji xx
Pentru calculul determinantului ),.....,)(( 10 nxxxWf ,dezvoltm dupultima
coloani obinem:
),.....,)(( 10 nxxxWf = ( ) ( ) ),.....,,()(1),.....,,()(1 2013
2102
nm
nm xxxVxfxxxVxf + ++ + .
. . .+ ( ) ),.....,,()(1 110)1(2
+ nn
m xxxVxf .
Atunci),.....,(
),.....,)((
10
10
n
n
xxxV
xxxWf= ( )
( ) ( ) =
>
++
>
n
kkji
jijik
kn
jiji
xxxfxx 0
,
2 )(11
=
=( )
( )
( )
=
>
>
++
n
kji
ji
kjiji
ji
k
kn
xx
xx
xf0
,2 )(1=
= ( )( )( ) ( )( ) ( )= +
++
n
k knkkkkkk
kkn
xxxxxxxxxx
xf
0 1110
2
..................
)(1 =
= ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )
= +
++
n
k nkkkkn
kkkk
kkn
xxxxxxxxxx
xf
0 1110
2
..........1........
)(1 =
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
25/98
25
=( )( ) ( )( ) ( )= +
n
k nkkkkkkk
k
xxxxxxxxxx
xf
0 1110 ..................
)(= Dnf(x0) .
1.6.13. Observaie: Pentru orice permutare (i0,i1,.....,in) a numerelor (0, 1,
....,n) avem : [ ]niii xxxfxxxf n ,.....,,,.....,, 1010 = .
Cu alte cuvinte diferena divizat de ordinul n nu depinde de ordinea
nodurilor.
1.6.14. Observaie:Dacnotm Un+1(x) = (x x0)(x x1). . . . . . (x xn) i
Un+1(xi) = (xi x0) (xi x1). . . . . . (xi xi-1)(xi xi+1) .......(xi xn) , atunci
[ ] = +=n
k kn
k
n xU
xf
xxxf 0 110 )('
)(
,.....,, (1.11)
1.6.15. Propoziie: Dac f este un polinom de grad cel mult n 1 , atunci
Dnf(x0) = 0 .
Demonstraie : Dac f este un polinom de grad cel mult n 1 , atunci
=
=1
0
)(n
k
kkxaxf i innd cont de faptul c Dn f este un operator liniar ,
obinem Dnf(x0) = ( )
=
1
00)(
n
k
knk xxDa .
Din (1.10) avem Dn (xk)(x0) = ),.....,(
),.....,)((
10
10
n
nk
xxxV
xxxxW , cu
kn
k
k
nn
n
n
nn
nk
x
x
x
x
x
x
xx
xx
xx
xxxxW......
...1
...........
...1
...1
),.....,)(( 1
0
1
11
10
2
211
200
10
= = 0 , deci Dnf(x0) = 0 .
1.6.16. Propoziie: Dac f i g sunt dou funcii reale definite pe [a,b] ,
atunci:
[ ] [ ] [ ]nkkn
kkn xxxgxxxfxxxgf ,....,,...,,.....,, 1
01010 +
=
=
Demonstraie: Se aplicmetoda induciei n raport cu n
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
26/98
26
- pentru n =1 avem :
[ ]01
0011
01
0110
)()()()()()(,
xx
xgxfxgxf
xx
xgfxgfxxgf
=
= =
=01
00101011 )()()()()()()()(
xx
xgxfxgxfxgxfxgxf
+=
=01
010011 )]()()[()]()()[(
xx
xgxgxfxfxfxg
+=f(x0) g[x0,x1] + g(x1) f[x0,x1] .
- presupunem adevratrelaia :
[ ] [ ] [ ]111
010110 ,....,,...,,.....,, +
=
= nkk
n
kkn xxxgxxxfxxxgf i scalculm :
[ ] ( )],.....,,[],.....,[1
,.....,, 110210
10
= nn
n
n xxxfgxxxfg
xx
xxxgf =
=
=
++
1
01011121
0
],....[],...,[],....,[],....,,[1 n
knkknkk
n
xxgxxfxxgxxxfxx =
=
=
++
1
01011121
0
],....[],...,[],....,[],....,,[1 n
knkknkk
n
xxgxxfxxgxxxfxx +
],.....,[],.....,[],.....,[],.....,[ 1010 nkknkk xxgxxfxxgxxf ++ + =
= }],....[],....,[{],....,,[1 1
0
1110
0
=
+
n
k
nknkk
n
xxgxxgxxxfxx +
+ }],....[],...,[{],....,[1 1
00111
0
=
++
n
kkknk
n
xxfxxfxxgxx =
=
=
1
010
0
],....[)(],....,,[1 n
knkkmk
n
xxgxxxxxfxx +
+ }],....[)(],....,[1 1
0001
0
=
+
n
kkknk
n
xxfxxxxgxx =
( ) ( )
=
+
1
11001000
0],...,[],...,[],....,,[][{
1 n
knkknnn
nxxgxxfxxxxxgxfxxxx
+ (xn x0).f[x0,x1,....,xn]
. g[xn] = [ ] [ ]nkkn
kk xxxgxxxf ,....,,..., 1
010 +
=
.
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
27/98
27
b) POLINOMUL LUI NEWTON CU DIFERENE DIVIZATE
Fie funcia f : [a,b] Ri diviziunea ax0< x
1< ...
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
28/98
28
1.6.19. Teorem(teorema de medie): Fie o funcie f : [a, b] R, de n- ori
derivabilpe intervalul (a , b) i diviziunea : ax0< x
1< ...
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
29/98
29
1.6.20. Exemplu : Determinai polinomul de interpolare Newton ataat
funciei f(x) :
xi f(xi) f[xi,xi+1] f[x0,x1,x2]
0 1
f[x0,x1]= 201
13
=
f[x0,x1,x2]= 3
1
03
21
=
1 3f[x1,x2]= 1
13
35=
3 5
Atunci polinomul de interpolare Newton se scrie sub forma:
P(x)= ],,[)()(],[)()( 210101000 xxxfxxxxxxfxxxf ++= =
=1 + (x 0)
.
2 + (x 0)(x 1)
.
3
1
=1
3
7
3
1 2++ xx
.Observm c polinomul de interpolare se obine mult mai uor dect
polinomul Lagrange de la execiiul 1.2.3 .
C) DIFERENE DIVIZATE I POLINOMUL NEWTON N MATLAB
n Matlab putem crea un cod de program pentru calculul diferenelor
divizate ct i valoarea polinomului de interpolare ntr-un punct.
functionfp = newton_interpolation(x,y,p)% Script for Newton's Interpolation.
% x and y are two Row Matrices and p is point of interpolationx=[0,1,3]y=[1,3,5]p=10n = length(x);a(1) = y(1);fork = 1 : n - 1
d(k, 1) = (y(k+1) - y(k))/(x(k+1) - x(k));endforj = 2 : n - 1
fork = 1 : n - jd(k, j) = (d(k+1, j - 1) - d(k, j - 1))/(x(k+j) - x(k));
endenddforj = 2 : n
a(j) = d(1, j-1);endDf(1) = 1;c(1) = a(1);forj = 2 : n
Df(j)=(p - x(j-1)) .* Df(j-1);c(j) = a(j) .* Df(j);
endfp=sum(c);
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
30/98
30
Programul o sne afieze : d = 2.0000 -0.3333
1.0000
ans = -9 .
care reprezintdiferenele divizate f[0, 1] = 2.0000; f[1, 3] = 1.0000; f[0, 1, 3]
= - 0.3333 i P(10) = - 9 .
1.7 DIFERENE FINITE . POLINOMUL LUI NEWTON
ASCENDENT I DESCENDENT
Fie o funcie f : [a, b] R i o diviziune a intervalului : ax0< x
1
2.5. EVALUAREA ERORII DE INTERPOLARE PRIN
FUNCII SPLINE
2.5.1. Propoziie : Dacf ],[2 baC i funcia spline cubicde interpolare
S(x) pentru funcia f(x) i diviziunea : a = x1< x2< < xn-1< xn= b .
Presupunem c funcia spline ndeplinete condiia S(x0) = f(x0) i S(xn) =
f(xn),sau condiia natural(S(a) = S(b) = 0 ) atunci :
[ ] [ ] [ ] +=b
a
b
a
b
a
dxxSxfdxxSdxxf 222 )(")(")(")("
Demonstraie :
[ ] [ ] [ ] [ ] ++=+= 2222 )(")(")(")(")(")(")(" xSxSxfxSxSxfxf
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
52/98
52
[ ] )(")(")("2 xSxSxf + ,de unde deducem :
[ ] [ ] [ ] +=b
a
b
a
b
a
dxxSdxxSxfdxxf 222 )(")(")(")(" + [ ] b
a
dxxSxSxf )(")(")("2
ntruct f ],[2 baC , S ],[2 baC i S(x) este o constantpe intervalul[xi-1, xi], i= n,1 .Prin integrare prin pri , ultimul termen al egalitii devine:
[ ] [ ] [ ] = =
==
b
a
n
i
x
x
n
i i
ii
ix
xxSxfxSdxxSxfxSdxxSxSxf
1 1 11
)(')(')(")(")(")(")(")(")("
[ ] [ ] [ ]=
=n
i
x
x
nnn
i
i
xSxfMxSxfMdxxSxfxS1
000
1
)(')(')(')(')(')(')('"
dacfuncia spline ndeplinete una din condiiile (I) sau (II), atunci ultimul
termen este nul , deci propoziia este demonstrat.
2.5.2. Consecin : Dac funcia spline cubic S(x) ce interpoleaz funcia
f(x) i satisface una din condiiile (I) sau (II) , atunci ea este unic.
Demonstraie : Presupunem c ar exista dou funcii spline cubice S1(x) i
S2(x) cu aceste proprieti.
Atunci : S(x) = S1(x) - S2(x) este o funcie spline de interpolare fentru funciaidentic nul. Aplicm propoziia anterioarpentru funcia f 0 i funcia S(x),
obinem:
0= [ ] [ ] =b
a
b
a
dxxSdxxf 22 )("2)(" . Cum S(x) ),(0 baC rezult S(x) =0,
deci S(x) =x+. Pe de altparte funcia S(x) interpoleazfuncia identic nul
pe intervalul [a,b], deci trebuie ca S(a)=S(b)=0, ceea ce implicS(x) = 0 i
deci S1(x) = S2(x) pe [a,b] .
2.5.3. Teorem : Dac f ),(0 baC i S(x) este funcia spline cubic de
interpolare pentru funcia f(x) i diviziunea : a = x1< x2< < xn-1< xn= b.
Dacfuncia spline ndeplinete una din condiiile (I) sau (II) , atunci:
a) hfxSxf 2")(')(' ;
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
53/98
53
b)3
2")()( hfxSxf , unde
h = )(max 1,1
iini
xx , iar 2 este norma natural din L(a,b)2 , adic2/1
2
2 )(
=
b
adxxgg .
Demonstraie: f(xi)=S(xi) , deci f(xi) - S(xi) = 0 i= n,0 . Din teorema lui Rolle
rezultcfuncia f(xi) - S(xi) admite cte o rdcinipe fiecare din intervale
(xi-1, xi) , i= n,1 .Fie x [xi-1, xi], dacx > i atunci :
f(x) S(x) = [ ] x
i
dttStf
)(")("
Din inegalitatea lui Schwarz deducem:
[ ]
2/1
2
2/1
2 1)(")(")(')('xx
ii
dtdtxSxfxSxf
[ ] hSfxdxxSxf ib
a2
2/1
2/1
2 "")(")("
Din propoziia anterioarce poate fi scrisi sub forma :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2""""""" fSfSfSf += , deci
hfxSxf 2
")(')(' .Pentru a demonstra relaia b) plecm de la inegalitatea :
f(x) S(x) = [ ]
x
xi
dttStf1
)(')(' , deoarece hftStf 2")(')('
rezultc2/3
22"")()(
1
hfdthfxSxfx
xi
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
54/98
54
2.6. UTILIZAREA PROGRAMELOR MATLAB I MAPLE
PENTRU INTERPOLARE PRIN FUNCII SPLINE
2.6.1. Funcii spline n MAPLEPentru determinarea funciei spline ataat unei funcii programul
MAPLE dispune de o funcie predefinitspline .
Funcia determinfuncia spline de gradul unu, doi, trei sau patru.
Sintaxa: spline (x,y,var,d)
Argumente : x list/vector cu punctele diviziunii;
y list/vector cu valorile funciei n punctele diviziunii;
var numele variabilei din funcia spline
d (op) numr ntreg sau nume predefinit.
n lista/vectorul x elementele sunt distincte, n ordine cresctoare. Argumentul
d specific gradul polinoamelor ce definesc funcia spline. El poate fi un
numr ntreg pozitiv (valoarea impliciteste 3) sau un cuvnt cheie : linear,
quadratic, cubic, quartic.
Utilizarea funciei trebuie precedatde comanda readlib(spline).
Exemple:
>
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
55/98
55
2.6.2. Funcii spline n MATLAB
Matlab utilizarea funciei spline pentru a gsi curba spline asociat
unei funcii f. De exemplu pentru cazul funcia f(x) = sin(x)
>> x = 0:10;
y = sin(x);
xx = 0:.25:10;
yy = spline(x,y,xx);
plot(x,y,'o',xx,yy)
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
56/98
56
Capitolul III
APLICAII ALE INTERPOLRII FUNCIILOR
3.1. UTILIZAREA INTERPOLRII LA DERIVAREA
NUMERIC
3.1.1. Derivarea numericcu ajutorul polinoamelor Newton cu diferene
finite
n cazuri practice, cnd se cere determinarea derivatei, iar funcia este
datn forma unui tabel, utilizarea metodelor analitice de calculul diferenial
devine imposibil i atunci se face apel la aproximare numeric a derivateicutate derivarea numeric.
Metoda I:
n clasa a XI a se studiazderivata unei funcii ntr-un punct. Una dindefiniiile derivatei unei funcii ntr-un punct este :
f(x0) = h
xfhxfh
)()(lim 00
0
+
i astfel obinem aproximarea
derivatei :
hxfhxfxf )()()( 000 + = h
xf )( 0 aproximarea este cu att mai bun
cu ct h este ales mai mic.Metoda II:
Fie c funcia f(x) este determinat n intervalul [a, b] i este
reprezentattabular prin n+1 puncte. Se cere stabilirea relaiei analitice pentru
derivata acestei funcii. Ca funcia de aproximare se alege un polinom de
interpolare.
Dac nodurile diviziunii, care descriu numeric funcia dat f(x), sunt
echidistante, adicxi+1 xi= h (unde i = 0, 1, 2, ... n), atunci pentru stabilirea
relaiei analitice pentru derivata acestei funcii s aproximm funcia de
originef(x) cu polinomulNewton cu diferene finite(1.15) .Atunci funcia
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
57/98
57
( ) ( )( )
( )( ) ( ))(
!
1....21.........
...........)(!3
21)(
!2
1)()()()(
0
03
02
00
xfn
n
xfxfxfxfxPxf
n
++
+
+
++=
unde: h
xx0
= ; h= xi+1- xi
Desfacem parantezele i obinem:
..................)(!4
6116
)(!3
23)(
!2)()()(
04
234
03
23
02
2
00
++
+
++
+
++
xf
xfxfxfxfxf
ntruct f(x) )()( 0 hxPxP += , atunci :
d
xdP
hd
xdP
dx
d
dx
xdf )(1)()(=
Atunci derivnd relaia (1.20) obinem :
.....])(!4
622184
)(!3
263)(
!2
12)([
1)('
04
23
03
2
02
0
++
+
++
+
+
xf
xfxfxfh
xf
Pentru x = x0, ce corespunde lui = 0 se obine:
Pentru derivata a II-a procedm astfel: (1.21)
2
2
22
22
2
2 )(1)()(
d
xPd
hd
xPd
dx
d
xd
xfd=
;
Deci f(x) ( )
+
+++ ......)(
12
11186)(1)(
10
42
03
02
2xfxfxf
h
Pentru x = x0, ce corespunde lui = 0 se obine: .(1.22)
(1.23)
Analog se pot obine aproximri pentru derivatele de ordin mai mare.
(1.20)
)....](5
1)(
4
1)(
3
1)(
2
1)([
1)(' 0
50
40
30
200 xfxfxfxfxfh
xf ++
+ ..).........(
6
5)(
12
11)()(
1)(" 0
50
40
30
220
xfxfxfxfh
xf
++ ...........)(
4
7)(
2
3)(
1)( 0
50
40
330
)3( xfxfxfh
xf
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
58/98
58
3.1.2: Exemplu: Folosind formulele de derivare (1.21-1.23) cu diferente
finite, s se determine derivatele de ordinul I , II pentru funcia
1
1)(
2+
=x
xf i nodurile x0= 0 ; x1= 0,2 ; x2= 0,4 ; x3= 0,6; x4= 0,8 ; x4= 1
Pentru a putea compara rezultatele, construim doutabele, unul cu derivata i
derivata a doua a funciei f(x) i cel de-al doilea tabel cu aproximrile
derivatei conform formulelor (1.21) - (1.23).
1
1)(
2+
=x
xf ; 22 )1(
2)('
+
=
x
xxf ; 32
2
)1(
26)("
+
=
x
xxf ;
42
2)3(
)1(
)1(24)(
+
=
x
xxxf
xi f(xi) f(xi) f(xi) f(3)(xi)
0 1 0 -2 0
0,2 0.9615384615 -0.369822485 -1.56463359 3.938937712
0,4 0.8620689655 -0.594530320 -0.666283980 4.453675413
0,6 0.7352941176 -0.648788927 0.06360675758 2.693933262
0,8 0.6097560976 -0.5948839976 0.4171442666 0.9554948207
1 0.5000000000 -0.5000000000 0.5000000000 0
xi f(xi) f(xi) 2f(xi)
3f(xi) 4f(xi)
5f(xi)
0 1 -0.0384615385 -0.0610079575 0.0337026056 -0.0051604258 -0.0088366595
0,2 0.9615384615 -0.099469496 -0.0273053519 0.0285421798 -0.0139970853
0,4 0.8620689655 -0.1267748479 0.0012368279 0.0145450945
0,6 0.7352941176 -0.12553802 0.0157819224
0,8 0.6097560976 -0.1097560976
1 0.5000000000
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
59/98
59
Atunci :f(0)
++ )0088.0(
5
1)00516.0(
4
1)0337026,0(
3
1)0610079.0(
2
1)038461.0(
2,0
1
=0.013997
f (0)
+ )0088.0(65)00516.0(
1211)0337026,0(0610079.0
)2,0(1
2 = -2.06541
Derivarea cu ajutorul polinoamelor Lagrange :
Metoda constn nlocuirea funciei cu polinomul Lagrange corespunztor i
derivarea acestuia.
3.1.3 Exemplu : Folosind polinomul de interpolare Lagrange, s se
determine derivatele de ordinul I , II pentru funcia1
1)(
2+
=x
xf i nodurile
x0= 0 ; x1= 0,2 ; x2= 0,4 ; x3= 0,6; x4= 0,8 ; x4= 1
Polinomul de interpolare Lagrange ataat funciei f este :
P(x)=
Atunci P(x) = -1.1718x4+ 1.3437x3+ 1.5999x2 2.2968 x +0.0135
P(0) = 0.0135 ; P(1) = -0.5115, analog pentru celelalte valori.
Pentru derivata a II-a se deriveazpolinomul P . Deci
P(x) = -4.6872x3+4.0311x2+3.1998x 3.2968 .
P(0)=-3.2968 ; P(1) = 2.24.
Observm c dac cretem ordinul derivatei , eroarea derivatei
numerice este mare.
Este recomandat evitarea derivrii numerice , deoarece chiar dac
aproximanta este bun, nu rezult c derivata aproximantei este o derivat
bun.
3.1.4 Exemplu :Fie functia )(sin1
)()( 2 axnn
xgxf += , unde g(x)C1[a,b]
Se observd(f ;g) 0 dacn, dar d(f ;g)=n .
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
60/98
60
3.2. UTILIZAREA INTERPOLRII LA INTEGRAREA
NUMERIC
n cazul cnd integrantul (funcia de sub semnul integralei) nu este o
simplfuncie, integrarea prin metode analitice este deseori dificilsau chiarimposibil. Alteori nici nu se cunoate expresia analitica funciei, ci numai o
serie de valori ale ei f(xi), pentru o diviziune xi,unde i=0,2,,n, a unui
interval [a,b]
n astfel de cazuri se caut o funcie g(x) care constituie o bun
aproximare pentruf(x)i care poate fi uor integrat:
b
a
b
a
dxxgdxxf )()(
Se utilizeaz n general urmtorul algoritm n cadrul metodelor numerice de
integrare:
1. Se mparte intervalul [a, b] n n subintervale cu ajutorul celor n+1
puncte ale diviziunii;
2. Se aproximeaz funcia f(x) cu un polinom g(x) , unde g(x) =
=
n
kkk xga
1)( , unde gk(x) sunt polinoame;
3. Se integreazfuncia f(x) , obinndu-se:
+=b
a
b
a
b
a
dxxrdxxgdxxf )()()(
4. Se aproximeaz integrala b
a
dxxf )( cu b
a
dxxg )( prin minimalizarea
restului r = b
a
dxxr )( .
Formulele de integrare numericse numesc cuadraturi.
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
61/98
61
3.2.1. Cuadratura Newton - Cotes
Formula de integrare Newton Cotes utilizeaz pentru aproximarea
funciei f(x), polinoamele de interpolare Lagrange. Cele n+1 puncte ale
diviziuni xi sunt echidistante(situate la distana h) nihiaxi ,0, =+=
,
n
abh
= .
Polinomul de interpolare Lagrange corespunztor funciei f i diviziunii
nihiaxi ,0, =+= este : =
=n
iiin xlxfxP
0
)()()( , unde li(x) =
( )=
n
jj ji
j
xx
xx
00
, (polinoamele Lagrange fundamentale).
Prin urmare avem : =
=
b
a
n
iii xfAdxxf
0
)()( (formula Newton Cotes nchis),
unde Ai= b
a
i dxxl )( , i= n,0 .
Cazuri Particulare:
Cazul I Fie funcia f:[a,b]R i diviziunea ce are doar dou puncte
echidistante : x0i x1 (x1= x0+h)
Atunci polinomul de interpolare Lagrange corespunzator funciei f idiviziunii este:
P2(x) = )()( 101
00
10
1 xfxx
xxxf
xx
xx
+
= )()( 1
00
0 xfh
xxxf
h
hxx
+
=
= [ ]
++ )()()()()( 1
00
0001 xfh
xxf
h
xxfxfxf
h
x
Din 1.2.7 Eroarea de interpolare este :R2(x)= ))((!2
)(10
)2(
xxxx
f x
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
62/98
62
Atunci : +=1
0
1
0
1
0
)()()( 22
x
x
x
x
x
x
dxxRdxxPdxxf =
= [ ]+
++
hx
x
dxxfh
xxf
h
xxfxfxf
h
x0
0
)()()()()( 10
00
001 +
++
hx
x
x xxxxf0
0
))((!2
)(10
)2(
Atunci
[ ]+
++
hx
x
dxxfh
xxf
h
xxfxfxf
h
x0
0
)()()()()( 10
00
001 = [ ]0
02
01 2)()(
1
x
hxxxfxf
h
+ +
=0
01
0
0
00
0
0
00 )()()( x
hxxxf
h
x
x
hxxxf
h
x
x
hxxxf
+
++
+ =
= [ ]( ) )()()(2)()(21 100002
001 xfxxfxxfhhhxxfxfh +++ =
= [ ])()(2 01
xfxfh
+
Deoarece putem spune cx0= a i x1=b , atunci :
(formula trapezului)
Evaluarea restului formulei trapezului
+==b
a
xb
a
b
a
xx dxabbxaxxf
bxaxf
bxaxf
)(2
)("))((
2
)("))((
!2
)( 2)2(
=
12
)("
12
)()("
6
33
2
)(" 332233 hfabfbaabbaf xxx =
=+
Dacnotm cu M2= sup{f(x); x[a,b]}, atunci putem scrie:
(eroarea pentru formula trapezului)
Cazul II Fie funcia f:[a,b]R i diviziunea ce are trei puncte
echidistante : x0, x1i x2 (x1= x0+h, x2= x0+2h) sau (a ,2
ba+ , b)
[ ] +
b
a
afbfab
dxxf )()(2
)(
12)(
12)(
33
2 abMhMxR =
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
63/98
63
Atunci polinomul de interpolare Lagrange corespunzator funciei f i
diviziunii este:
P3(x) = )())((
))(()(
))((
))(()(
))((
))((2
1202
101
2101
200
2010
21 xfxxxx
xxxxxf
xxxx
xxxxxf
xxxx
xxxx
+
+
= )()(2)()(
)()()(
)2()(
22110
2
12020
2
02121
2xf
hhxxxxxxxf
hhxxxxxxxf
hhxxxxxx +++
+++
++
Integrnd polinomul P3(x) obinem :
[ ] ++=b
a
xfxfxfh
dxxP )()(4)(3
)( 2103 , deci
(formula lui Simpson)
Evaluarea restului formulei lui SimpsonAnalog ca la formula trapezului, obinem
Unde M=sup{f(4)(x), unde x[a,b]}
3.2.2. Exerciiu : Folosind formula trapezului, apoi formula lui Simpson, s
se calculeze valoarea aproximativ a integralei 3
1 xdx , de unde s se deduc
valoarea aproximativa lui ln3.RezolvareCu ajutorul formulei lui Leibnitz-Newton , deducem
3ln1ln3ln1
3ln
3
1
=== xxdx
Din formula trapezului deducem c
[ ] 33333,134
1
1
3
1)1()3(2
133
1=
+=+
ffx
dx
Din formula lui Simpson obinem :
[ ] 11111,19
10
3
1
2
4
1
1
6
2)3()2(4)1(
3
133
1
=
++=++
fffx
dx
+
++
b
a
bfba
fafab
dxxf )(2
4)(6
)(
2880
)(
90)(
55
3
abMhMxR
=
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
64/98
64
Se tie c ln3= 1.0986122........ , deci metoda lui Simpson aproximeazmai bine rezultatul.
3.2.3. Exerciiu : S se calculeze valoarea aproximativ a integralei +
1
021 x
dx
folosind metoda trapezului, respectiv metoda lui Simpson.Rezolvare:Din formula trapezului deducem c
[ ] 75,04
3
2
1
1
1
2
1)1()0(
2
1
1
1
02
==
+=+
+ff
x
dx
Din formula lui Simpson deducem c
[ ] 7833333,05.02.31
1
6
1)1()5,0(4)0(
6
1
1
1
02
=
++=++
+fff
x
dx
Cu ajutorul formulei lui Leibnitz-Newton , deducem 78540,011
1
02 ==+ arctgx
dx
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
65/98
65
Capitolul IV
CONSIDERAII METODICE I METODOLOGICE
4.1. ASPECTE GENERALE
Procesul de nvmnt este principalul subsistem al sistemului de
nvmnt, n cadrul cruia se realizeaz instruirea i nvarea elevilor i
studenilor prin intermediul activitilor proiectate, organizate i dirijate de
ctre profesori n conformitate cu anumite norme i principii didactice, ntr-un
context metodic adecvat, apelnd la resurse materiale i didactice adecvate, n
vederea atingerii dezideratelor educaiei.
Schematic relaia funcional dintre sistemul de educaie, sistemul de
nvmnt, procesul de nvmnt se reprezintastfel:
Sistemul de educaie cuprinde i educaia permanent, instituii/organizaiieconomice, politice, culturale; educaie de tip formal, nonformal, informal;
Sistemul de invamntcuprinde i instituii de educaie nonformal(cluburi,
tabere, centre de pregtire profesional);
Societate
Sistemul de educaie
Sistemul de nvmnt
Sistemul colar
Procesuldenv mnt
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
66/98
66
Sistemul colar cuprinde nvmntul primar, secundar, postliceal, superior
i special; educaie formal;
Procesul de nvmntcuprinde activitile didactice/educative;
Procesul de nvmnt funcioneaz ca o unitate, prin mbinarea
fireasc i necesar a trei funcii i componente fundamentale: predarea,
nvarea i evaluarea.
A preda nu nseamnca profesorul stransmit informaii, iar elevii s
le reproduc. A preda nseamn a organiza i dirija experienele de nvare
colar (Chi 2001). Mai putem spune c predarea este activitatea
profesorului de organizare i conducere a ofertelor de nvare, care au drept
scop facilitarea i stimularea nvrii eficiente la elevi.n procesul de predare-nvare, profesorul combindiferite mijloace de
comunicare (verbale, nonverbale i paraverbale, grafice, scheme realizate pe
tablsau slide-uri puse la retroproiector etc).
Doi cercettori americani (A. Mehrabian i M. Weiner, Decoding of
inconsistent communication) au constatat, pe la mijlocul anilor '70, c,n
comunicarea oral impactul cel mai mare l dein nu cuvintele, ci elementele
asociate vizual sau sonor cu anumite mesaje orale. Astfel: mijloacele vizuale (cuprind att elemente nonverbale ale comunicrii
mimic, gesturi, privire, poziie -, ct i modalitile de
reprezentare vizuala celor prezentate scheme, grafice, folii, slide-
uri etc.) au un impact de 55% asupra asculttorilor;
mijloacele vocale (ritmul vorbirii, volum, intonaia i inflexiunile
vocii) au un impact de 38%;
mijloacele verbale (cuvintele rostite) au un impact de doar 7%.
Chiar dac aceste procente reflect doar o medie a felului n care
oamenii percep mesajele orale, este important pentru un profesor s
foloseascmijloace vizuale i vocale care ssusini sntresc, n folosul
elevilor, cele comunicate.
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
67/98
67
Mijloacele de comunicare vizualce stau la ndemna profesorului sunt:
tabla neagr tradiional i, mai modern, cea alb, planele din hrtie sau
carton, videoproiectorul etc. Avantajele folosirii acestor mijloace este c
permit o mai bunpunere n evidena mesajului:
mesajul este vizualizat mai simplu;
informaia este expuspermanent;
contureaz mesajul verbal, acceantund punctele importante ale
temei discutate.
Subsumate vizualului, mijloacele nonverbale ale comunicrii au un
impact deosebit n relaiile ce se creeaz ntre colocutori. ntre acestea
contactul vizual cu auditoriul (n cazul unei prelegeri) sau cu partenerul decomunicare (n cazul dialogului) are un rol deosebit. E important spriveti
spre cel/cei cruia/crora te adresezi, nu s evii contactul vizual cu acetia,
plecnd ochii n pmnt sau inndu-i privirea spre un punct oarecare. De
asemenea, gestica i mimica trebuie controlate, pentru a nu induce
auditoriului anumite stri emoionale pe care le ncearc vorbitorul (un
profesor care frmntun creion, o carte toatora distrage frsvrea atenia
elevilor asupra strii sale proprii de iritare, emoie, nelinite, nesiguranetc;
de asemenea, un profesor care nu-i poate controla reaciile mimice fa de
rspunsurile greite ale elevilor poate crea inhibiii; de asemenea, ticurile de
expresie pot genera distragerea ateniei de la tem i chiar enervarea i
amuzamentul elevilor).
ntre elementele vocale/paraverbale, sunt importante ritmul /viteza
vorbirii (un ritm prea rapid poate crea dificulti n receptarea mesajului, de
asemenea un ritm prea lent poate fenera plictiseali neatenie; aproximativ
125 de cuvinte pe minut este ritmul eficient); acceantuarea trebuie svizeze
punctarea cuvintelor importante ale comunicrii (accentuarea poate schimba
uneori sensul comunicrii); tonalitatea nu trebuie s fie ridicat, ci medie
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
68/98
68
(uneori pentru a nelege zumzetul clasei, se folosete chiar tonalitatea optit,
care impune atenia clasei).
ntrebrile deschiderea dialogului cu elevii
Gnditorul chinez Confucius (551-479 .C.), preocupat de educaie,
formula cteva precepte care ar putea constitui o concluzie la cele prezentate
mai sus i o introducere pentru rolul pe care-l are dialogul n nvtare:
Spune-le i vor uita!
Arat-le i i vor aminti!
Pune-i sfaci vor nelege!
,,Pune-i s fac se refer desigur la implicarea elevilor n propria
nvare. Pentru a-i determina pe elevi sgndeasc, srezolve probleme, sgsescsoluii, profesorul trebuie sgsescstrategii de a-i implica pe elevi
n nvare i de a gestiona n mod adecvat astfel de situaii didactice.
4.2. METODE DE PREDARE - NVARE
Metodele de nvare sunt scheme de aciune identificate de teoriile nvrii;
ele sunt aplicate coninuturilor disciplinei studiate i reprezintaciuni interiorizate
de elev.
Exist mai multe modaliti de clasificare a metodelor, dintre acestea
prezentm metodele traditionale, clasice i cele moderne.
La metodele tradiionale centrul aciunii este pus pe profesor: centrate pe
activitate(exerciiul, instruirea programat, algoritmizarea) sau centrate pe
coninutul nvrii(prelegerea, explicaia , povestirea).
La metodele moderne, centrul aciunii este pus pe elev: centrate peactivitate(lucrri practice, nvare prin descoperire, nvare prin experiment,
jocuri didactice, simulare) sau centrate pe coninutul nvrii(dezbatere,
conversaie, dialog).
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
69/98
69
Noile programe analitice ncurajeazutilizarea metodelor moderne, dar nu
trebuie lsate deoparte nici metodele tradiionale. Este recomandat mbinarea
celor doumetode.
n cele ce urmeaz vom detalia cteva metode didactice pe care le
consider de o importan deosebit n procesul educaional, datorit faptului
celevii le ndrgesc i neleg mai bine noiunile predate astfel.
4.2.1. Instruirea asistat de calculator (IAC) reprezinta o metoddidactic ce folosete, ca principal material didactic, calculatorul i soft-ul
educaional.
n ultima perioadtoate colile au fost dotate cu laboratoare informatice,
dotate cu platforma AeL (Advance eLearning).AeLeste un pachet de programe educaionale creat de firma SIVECO i
ofer suport pentru predare i nvare, testare i evaluare, administrarea
coninutului i monitorizarea ntregului proces educaional. AeL este o soluie
modernde eLearning oferind faciliti de gestionare i prezentare de diferite
tipuri de coninut educaional precum i materiale interactive tip multimedia.
Aproape fiecare disciplinare pachete de lecii n biblioteca virtual. Periodic
acestea sunt actualizate, mbuntite de ctre SIVECO, iar n absena lor, elepot fi create de ctre profesorii care au un minim de cunotine n domeniul
htmlsau Office.
,,Vrem s i oferim profesorului o unealt n plus pentru a o utiliza
alturi de tabli o bucata de cret. - tefan Morcov, AeL product Manager.
Leciile n AeL se desfoarastfel:
- Elevii i profesorul deschid calculatoarele i intrn programul AeL cu
user-ul i parola pe care au primit-o anterior;
- Din meniul: Clasa Virtual, profesorul alege lecia creat anterior pe
care dorete so predea, dupcare transmite momentele leciei;
- Elevii acceseazmeniul ClasVirtuali vor primi momentele leciei.
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
70/98
70
Momentele leciei pot fi materiale interactive, documente word, slide-uri
powerpoint, filmulee educative, teste etc.
Avantajul acestei metode, constn faptul celevii nu pot trece la un nou
moment pnce nu au rezolvat corect cerinele momentului respectiv, iar la
rezolvarea unui test primesc rezultatul pe loc.
Dezavantajul constcelevii nu rmn cu multe notie i de aceea este
recomandat a se utiliza aceastmetodpentru fixarea cunotiinelor .
De asemenea, calculatorul poate fi folosit concomitent cu
videoproiectorul. Astfel se poate crea lecia n powerpoint i apoi se prezint
elevilor. Ei pot primi fie cu momente din lecia respectiv, economisindu-se
timp important. Astfel noiunile i figurile sunt mult mai clare dect pe tabli elevii sunt mult mai ateni.
Pentru geometria n spatiu exit un program Cabri 3D, creat de
compania francez Cabriolog. Cu ajutorul acestui program se pot construi
toate corpurile geometrice, se pot manipula aceste corpuri, se pot seciona, se
pot duce segmente, drepte, vectori n spaiu . Se pot explica uor elevilor de
gimnaziu noiuni dificile de geometrie, cum ar fi: perpendicularitate n spaiu,
perpendicularitate pe un plan, unghi diedru. Dezavantajul acestui programeste acela ceste destul de scump, dar poate fi ncercat 30 de zile.
Despre programele Matlabi Mapleam mai amintit n aceast lucrare.
Ele sunt folosite mai mult n matematicile superioare, dar mai pot fi utilizate
i n rezolvarea unor exerciii i probleme de liceu. Se pot folosi pentru
trasarea graficelor unor funcii, pentru calcul matricial, pentru rezolvarea unor
ecuaii i sisteme de ecuaii etc.
Internetul este o surs foarte important de informaii pentru elevi i
profesori. Informatizarea colilor i conectarea acestora la internetul de vitez
este un vis realizat ntr-o procent destul de mare. Chiar i colile din mediul
rural au laboratoare cu calculatoare legate la internet.
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
71/98
71
De pe internet cadrele didactice pot sse informeze i sse documenteze.
Pot comunica cu colegi din alte coli, din alte ri pe teme de interes comun.
Pot descrca materiale interesante, pe care le pot utiliza ulterior la clas. Pot
de asemenea s pun la dispoziia altora diferite materiale proprii. Totui
existi cteva dezavantaje: informaiile de pe internet sunt neverificate, de
multe ori neprofesioniste, elevii au uneori tendina s descarce
materialele(referate) i s le predea profesorului ca i cum ar fi creaia lor
(uneori chiar fra le fi citit), dar un profesor bun poate rezolva toate aceste
probleme cu destuluurin.
n concluzie calculatorul este un mijloc foarte util, de noi depinde ct de
eficient l folosim.4.2.2.Interdisciplinaritate
n mod tradiional, coninutul disciplinelor colare a fost conceput cu o
accentuat independen a unor discipline fa de altele, adic fiecare
disciplinde nvmnt sfie de sine stttoare. Astfel, cunotinele pe care
elevii le acumuleaz, reprezint cel mai adesea un ansamblu de elemente
izolate, ducnd la o cunoatere statica lumii. n unele cazuri la unele materii
sunt necesare noiuni teoretice de la alte materii , iar aceste noiuni teoreticesunt predate mai trziu . n alte cazuri aceleai noiuni teoretice sunt predate la
materii diferite, pierznd astfel timp preios.
Coninutul unui nvmnt interdisciplinar poate fi promovat la nivelul
planului de nvmnt, la nivelul programelor colare (prin urmrirea
legturilor ntre obiecte i prin formularea unor obiective instructiv-educative
comune), la nivelul manualelor colare i prin coninutul leciilor.
Din pcate manualele colare nu reflect caracterul interdisciplinar al
nvmntului. Se impune o corelare mai bun a programelor disciplinelor
tehnice cu programa de matematic.
De cele mai multe ori, matematica devanseaz teoretic celelalte tiine,
deschiznd drumuri, construind modele. Matematica ofer support teoretic
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
72/98
72
pentru multe discipline : fizic, chimie, biologie . O ecuaie matematica poate
fi o lege in chimie sau fizica. Proporiile, funciile trigonometrice, ca si alte
abstractizri ale matematicii se ntlnesc n fizici chimie la orice pas pentru
descifrarea tainelor naturii.
Interdisciplinaritatea este o forma a cooperarii intre discipline
diferite cu privire la o problematica a carei complexitate nu poate fi
surprinsa decat printr-o convergenta si o combinare prudenta a mai
multor puncte de vedere.
(C.Cucos,1996)
Pentru a utiliza aceastmetod, profesorul trebuie scunoascbine i
alt disciplin dect cea pe care o pred, s cunoasc programele colarecorespunztoare disciplinelor respective i sgseascaplicaii interesante ce
utilizeaznoiuni de la mai multe materii.
Multe noiuni matematice pot fi mai bine nelese dacsunt integrate n
alte tine. De exemplu matematica i fizica pot fi predate foarte bine
interdisciplinar. Legtura dintre cele dou materii este foarte veche, totui
pentru elevi existunele probleme n nelegerea acestor discipline :
- muli elevi, unii destul de buni la matematic, nu le place totuifizica i, pe care, daco nvao fac dintr-o obligaie ;
- ali elevi nu neleg la ce le folosesc multe noiuni teoretice din
matematic;
Este foarte important s tim s punem cunotinele de fizic n
strnslegturcu matematica, n viata de zi cu zi, sprivim evoluia acestora
prin prisma aplicaiilor lor i a vieii oamenilor.
Exemplu de interdisciplinaritate:
Stabilirea modelului matematic (funciei empirice) al procesului de
fierberea apei , utilznd aproximarea cu polinoame Lagrange:
Considerm tabelul urmtor:
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
73/98
73
Datele se pot obine cu ajutorul site-ului
http://www.csgnetwork.com/h2odenscalc.html ce calculeaz densitatea apei
n funcie de temperatur
Temperatura apei
(0 C)
30 60 90 120
Densitatea apei
(q Kg/m3)
995.678 983.211 965.163 942.514
Determinm polinomul Lagrange ataat nodurilor : x0= 30 ; x1= 60; x2=90;
x3=120 i funciei f(x) definittabelar astfel:
f(x0) = 995,678 ; f(x1) = 983,211; f(x2) = 965,163; f(x3) = 942,514Cu ajutorul programului Maple aflm polinomul de interpolare Lagrange P(x)
astfel:
>
P(x) =0.000006049382716 x3 0,004189444444 x2 0,0766277778 x +
+1001.584
Pentru a aprecia valabilitatea modelului matematic se determin valoarea
calculat a densitii * pentru temperatura T=1000 C i se compar cu
valoarea original, astfel :
P(100) = 958,0761, iar eroarea este : 0209,0097,9580761,958* ===
Modelul matematic al densitii n funcie de temperaturva fi := 0.000006049382716 T3 0,004189444444 T2 0,0766277778 T ++1001.584
4.2.3.Metode interactive de grup
,,nvarea n grup exerseazcapacitatea de decizie i de iniiativ, do
notmai personalmuncii, dar i o complementaritate mai mare aptitudinilor
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
74/98
74
i talentelor, ceea ce asigur o participare mai vie, mai activ, susinut de
foarte multe elemente de emulaie, de stimulare reciproc, de cooperare
fructuoas. (Ioan Cerghit)
Specific metodelor interactive de grup este faptul c ele promoveaz
interaciunea dintre minile participanilor, dintre personalitele lor, ducnd la
o nvare mai activ i cu rezultate evidente. Acest tip de interactivitate
determin,,identificarea subiectului cu situaia de nvare n care aceste este
antrenat, ceea ce duce la trans-formarea elevului n stpnul propriei
transformri i formri.
Interactivitatea presupune att competiia definit drept ,,forma
motivaionala afirmrii de sine, incluznd activitatea de avansare proprie, ncare individul rivalizeazcu ceilali pentru dobndirea unei situaii sociale sau
a superioritii - ct i cooperarea care este o ,,activitate orientatsocial, n
cadrul creia individul colaboreaz cu ceilali pentru atingerea unui el
comun(Ausubel, 1981). Ele nu sunt antitetice; ambele implic un anumit
grad de interaciune, n opoziie cu comportamentul individual.
Avantajele interactiunii:
- n condiiile ndeplinirii unor sarcini simple, activitatea de grup estestimulativ, genernd un comportament contagios i o strdanie
competitiv; n rezolvarea sarcinilor complexe, rezolvarea unei
probleme, obinerea soluiei corecte e facilitat de emiterea de
ipoteze multiple i variate; (D. Ausubel, 1981)
- stimuleazefortul i productivitatea individului;
- este important pentru autodescoperirea propriilor capaciti i
limite, pentru autoevaluare;
- exist o dinamic intergrupal cu influene favorabile n planul
personalitii;
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
75/98
75
- subiecii care lucreaz n echip sunt capabili s aplice i s
sintetizeze cunotinele n moduri variate i complexe, nvnd n
acelai timp mai temeinic dect n cazul lucrului individual;
- dezvolt capacitile elevilor de a lucra mpreun - component
important pentru via i pentru activitatea lor profesional
viitoare.(Johnson i Johnson,1983);
- dezvolt inteligenele multiple, capaciti specifice inteligenei
lingvistice (ce implicsensibilitatea de a vorbi i de a scrie; include
abilitatea de a folosi efectiv limba pentru a se exprima retoric,
poetic i pentru a-i aminti informaiile), inteligenei logice-
matematice (ce constn capacitatea de a analiza logic problemele,de a realiza operaii matematice i de a investiga tiinific sarcinile,
de a face deducii), inteligena spaial (care se refer la
capacitatea, potenialul de a recunoate i a folosi patternurile
spaiului; capacitatea de a crea reprezentri nu doar vizuale),
inteligena interpersonal (capacitatea de a nelege inteniile,
motivaiile, dorinele celorlali, crend oportuniti n munca
colectiv), inteligena intrapersonal (capacitatea de auton-elegere, autoapreciere corect a propriilor sentimente, motivaii,
temeri), inteligena naturalist (care face omul capabil s
recunoasc, s clasifice i s se inspire din mediul nconjurtor),
inteligena moral(preocupatde reguli,comportament, atitudini)
Gardner H. 1993;
- stimuleaz i dezvolt capaciti cognitive complexe (gndirea
divergent, gndirea critic, gndirea lateral capacitatea de a
privi i a cerceta lucrurile n alt mod, de a relaxa controlul gndirii);
- munca n grup permite mprirea sarcinilor i responsabilitilor n
pri mult mai uor de realizat;
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
76/98
76
- timpul de soluionare a problemelor este de cele mai multe ori mai
scurt n cazul lucrului n grup dect atunci cnd se ncearcgsirea
rezolvrilor pe cont propriu;
- cu o dirijare adecvat, nvarea prin cooperare dezvolt i
diversific
priceperile, capacitile i deprinderile sociale ale elevilor;
- interrelaiile dintre membrii grupului, emulaia, sporete interesul
pentru o temsau o sarcindat, motivnd elevii pentru nvare;
- lucrul n echip ofer elevilor posibilitatea de a-i mprti
prerile, experiena, ideile, strategiile personale de lucru,
informaiile;- se reduce la minim fenomenul blocajului emoional al creativitii;
- grupul d un sentiment de ncredere, de siguran, antrenare
reciproca membrilor ce duce la dispariia fricii de eec i curajul
de a-i asuma riscul;
- interaciunea colectivare ca efect i educarea stpnirii de sine i
a unui comportament tolerant fade opiniile celorlali, nfrngerea
subiecti-vismului i acceptarea gndirii colective (Crengua L.Oprea, 2000, p. 47)
Clasificarea metodelor i tehnicilor interactive de grup:
Dup funcia didactic principal putem clasifica metodele i tehnicile
interactive de grup astfel:
1.Metode de predare-nvare interactivn grup:
- Metoda predrii/nvrii reciproce (Reciprocal teaching Palinscar);
- Metoda Jigsaw (Mozaicul);
- STAD (Student Teams Achievement Division) Metoda nvrii pe
grupe mici;
- tiu / vreau stiu / am nvat;
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
77/98
77
- Metoda schimbrii perechii (Share-Pair Circles);
- Metoda piramidei;
- nvarea dramatizat;
2.Metode de fixare i sistematizare a cunotinelor i de verificare
interactivn grup:
- Harta cognitivsau harta conceptual(Cognitive map, Conceptual map);
- Matricele;
- Lanurile cognitive;
- Fishbone maps (scheletul de pete);
- Diagrama cauzelor i a efectului;
- Pnza de pianjn ( Spider map Webs);- Tehnica florii de nufr (Lotus Blossom Technique);
- Metoda R.A.I. ;
- Cartonaele luminoase;
3.Metode de rezolvare de probleme prin stimularea creativitii:
- Brainstorming;
- Starbursting (Explozia stelar);
- Metoda Plriilor gnditoare (Thinking hats Edward de Bono);- Caruselul;
- Multi-voting;
- Masa rotund;
- Interviul de grup;
- Studiul de caz;
- Incidentul critic;
4.Metode de cercetare n grup:
- Tema sau proiectul de cercetare n grup;
- Experimentul pe echipe;
- Portofoliul de grup.
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
78/98
78
n cele ce urmeaz , vom detalia cteva din aceste metode (pe care le
consider mai importante) i cum le-am aplicat la clas.
1. Metoda predrii/nvrii reciproce
Prin aceast metod, elevii sunt pui n situaia de a fi ei profesori, de a
explica colegilor rezolvarea unor probleme.
Am utilizat aceast metod astfel: la clasa a VII-a la sfritul unitii de
nvare: ,,Formule de calcul prescurtat, elevii au primit un test de evaluare.
n funcie de rezultatele acestui test, am mprit clasa n dou pri: elevii
care au obinut rezultate bune i cei care nu au obinut rezultate bune la acest
test. n urma unei trageri la sori s-au format grupe de cte doi elevi, cte un
elev din fiecare parte. Elevul-profesor are sarcina de a-l nva pe elevulcellalt toate noiunile pe care acesta nu le-a stpnit. Dup o perioad s-a
trecut la verificarea elevilor-elevi i n funcie de rezultatele acestora, au fost
notai.
Am constatat n urma verificrilor c aproape toi elevii i-au nsuit
noiunile respective. Elevii au lucrat mpreun i acas , ceea ce n mod
obinuit nu o fac. Chiar i elevii din prima grupmi-au marturisit cau neles
aceste noiuni mult mai bine.Dezavantajul const n faptul c nu toi elevii sunt interesai de aceast
metod, mai ales cei din a doua grup.
2. Metoda mozaicului (Jigsaw)
Fiecare elev are o sarcinde studiu n care trebuie sdevinexpert.
Profesorul stabilete o tem ce poate fi mprin n 4-5 sub-teme. Se
organizeaz clasa n echipe de cte 4-5 elevi, fiecare dintre acetia primind
cte o fide nvare numerotatde la 1 la 4. Fiele cuprind pri ale unui
material, ce urmeaza fi neles i discutat de ctre elevi. Se prezintsuccint
subiectul de tratat i se explic sarcinile de lucru i modul n care se va
desfura activitatea.
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
79/98
79
Fiecare elev studiaz sub-tema lui, acest lucru poate fi efectuat n clas sau
poate constitui o temde cas. Dupce au parcurs faza de lucru indepentent,
experii cu acelai numr se reunesc, constituind grupuri de experi. Elevii
prezintun raport individual asupra a ceea ce au studiat independent. Au loc
discuii pe baza datelor i a materialelor avute la dispoziie, se adaug
elemente noi i se stabilete modalitatea n care noile cunotine vor fi
transmise i celorlali membrii din echipa iniial. Experii transmit
cunostinele asimilate, reinnd la rndul lor cunotinele pe care le transmit
colegii lor, experi n alte sub-teme.
Grupele prezintrezultatele ntregii clase. n acest moment elevii sunt gata
sdemonstreze ce au nvat. Profesorul poate pune ntrebri, poate cere unraport sau un eseu ori poate da spre rezolvare fiecrui elev o fide evaluare.
Metoda mozaicului are avantajul c implic toi elevii n activitate i c
fiecare dintre ei devine responsabil att pentru propria nvare, ct i pentru
nvarea celorlali. De aceea, metoda este foarte utiln motivarea elevilor cu
rmneri n urm: faptul cse transform, pentru scurt timp, n ,,profesori le
conferun ascendent moral asupra colegilor.
3. Metoda LOTUS-FLOAREA DE NUFARSe d problema sau tema central care se va scrie in mijlocul
tablei/plansei. Se cere copiilor sa se gandeasca la ideile sau aplicatiile legate
de tema central;
Ideile copiilor se trec n cele 8 petale,de la A la H,in sensul acelor de
ceasornic. Cele 8 idei deduse vor deveni noi teme centrale pentru alte cate
8petale;
4. Metoda BrainstormingAceast metod nseamn formularea a ct mai multor idei-orict de
fanteziste ar putea prea acestea ca rspuns la o situaie enunat, dup
principul cantitatea genereazcalitatea. Conform acestui principiu, pentru a
ajunge la idei viabile i inedite este necesar o productivitate ct mai mare.
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
80/98
80
La matematicaceastmetodpoate fi aplicatastfel: se alege o sarcin
de lucru (rezolvarea unei probleme) i se solicit exprimarea tuturor ideilor
legate de rezolvarea problemei. Toi elevii trebuie s formuleze o idee
referitoare la subiectul propus i se scriu toate aceste idei pe tabl. Se face o
pauzpentru aezarea ideilor, dupcare se reiau ideile emise, pe rnd, i se
grupeaz pe categorii, simboluri etc. Se selecteaz ideile originale sau cele
mai apropiate de soluii i se pune accent pe acestea.
Avantajul acestei metode constn faptul ctoi elevii sunt implicai n
sarcina de lucru i se obin uor ideile noi i soluiile rezolvitoare.
Dezavantajele brainstormigului constau n faptul c ofer doar soluii
posibile i nu realizarea efectiv, uneori poate fi prea obositor sau preasolicitant pentru unii participani.
5. Metoda proiectului
Metoda proiectului nseamnrealizarea unui produs, ca urmare a
colectrii i prelucrrii unor date referitoare la o temanterior fixat.
Proiectul este activitatea cel mai pregnant centrat pe elev, el
ncurajeazcel mai bine abordarea integrata nvrii: elevilor li se creeaz
ocazia de a folosi, n mod unitar, cunotine i tehnici de lucru dobndite lamai multe discipline.
Elevilor de clasa a VIII-a, spre exemplu, li se cere realizarea unui
proiect despre un corp geometric studiat anterior. Acesta const n obinerea
de informaii teoretice cu privire la corpul respectiv: definiii, clasificri,
desen, formule; n aplicarea informaiilor teoretice n aplicaii practice,
precum i realizarea modelului corpului respectiv din diferite materiale (lemn,
carton, fier).
Avantajul const n faptul c elevii neleg mai bine noiunile despre
corpul respectiv, observ utilitatea noiunilor predate i modelele corpurilor
realizate de elevi sunt utilizate mai trziu la alte clase (astfel obinndu-se
material didactic unele corpuri astfel realizate sunt chiar excepionale).
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
81/98
81
6. Metoda tiu/vreau stiu/am nvat
Cu grupuri mici sau cu ntreaga classe trece n revistceea ce elevii
tiu deja despre o anumit tem i apoi se formuleaz ntrebtri le care se
ateptgsirea rspunsului n lecie.
Pentru nceput li se cere elevilor sfaco listcu tot ce tiu despre tema
ce urmeaz a fi discutat, iar profesorul construiete pe tabl un tabel cu
uirmtoarele coloane: tiu/vreau stiu/am nvat, cum este cel de mai jos:
TIU
(Ce credem ctim)
VREAU STIU
(Ce vrem stim)
AM NVAT
(Ce am nvat)
Profesorul cere perechilor sspunce au scris i noteazn coloana din
stnga informaiile cu care tot grupul este de acord.
Folosind aceeai metodelevii vor elabora o listde ntrebri.
Profesorul noteaz n a doua coloan a tabelului ntrebrile. Aceste
ntrebri vor evidenia nevoile de nvare ale elevilor n legtur cu tema
abordat.
Elevii citesc textul individual sau cu un coleg sau profesorul l citete
elevilor.
Dup lectura textului, se revine asupra ntrebrilor formulate n a doua
coloan, se constatla care s-au gasit rspunsurile n text i se trec n coloana
Am nvat.
Elevii vor face comparaie ntre ceea ce ei cunoteau deja despre tema
abordat, tipul i coninutul ntrebrilor pe care le-au formulat i ceea ce ei au
nvat prin lecturarea textelor.
Elevii vor discuta care din ntrebrile lor au gsit rspuns prin
informaiile furnizate de text i care dintre ele nc necesit un rspuns.
Profesorul discutcu elevii unde ar putea cuta respectivele informaii.
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
82/98
82
7. Prelegerea din perspectivmodern
Prelegerea este fr ndoialcea mai frecvent alegere ntr-o abordare
tradiional. Aceast abordare este de obicei puin eficientpentru nvare.
Cu puin ,sare i piper prelegerea poate fi recondiionat ns, i introdus
ntr-un demers didactic modern, centrat pe achiziiile elevului. Din aceast
perspectiv, profesorul trebuie sse ocupe de:
stimularea interesului elevilor prin :
- intrarea n prelegere prin intermediul unei poante, poveti, imagini
captivante i n deplinrelaie cu ceea ce urmeazsfie predat prin
intermediul prelegerii;
- prezentarea unei probleme/studiu de caz pe care se focalizeazprezentarea;
- lansarea unei ntrebri incitante (astfel nct elevii s fie ateni la
prelegere pentru a afla rspunsul).
aprofundarea nelegerii elevilor prin :
- folosirea de exemple i analogii pe parcursul prezentrii;
- dublarea verbalului cu alte coduri (oferirea de imagini, prezentarea
cu ajutorul videoproiectorului)
implicarea elevilor pe parcursul prelegerii prin ntreruperea
prelegerii
- pentru a incita elevii se vor oferii exemple, analogii, experiene
personale
- pentru a da rspunsuri la diferite ntrebri
evitarea unui punct final la final !
- ncheierea prelegerii prin intermediul unei probleme/aplicaii care
urmeazsfie rezolvate de elevi
- solicitarea elevilor pentru a rezuma cele prezentate sau pentru a
concluziona.
7/22/2019 Lucrarea de Grad1 -Interpolare
83/98
83
4.3. METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR
La orele de matematic, una din activitile principale const n
rezolvarea de probleme.
,,A avea (sau a-i pune) o problemnseamna cuta, n mod contient,
o aciune adecvat pentru a atinge un scop clar conceput, dar nu imediat
accesibil. A rezolva o problemnseamna gsi o astfel de aciune.(G.Polya)
O problem prezint un anumit grad de dificultate. Dac ne raportm
doar la experiena celui care este pus srez