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Ecuaciones de Lotka - VolterraInteraccin Presa - PredadorYum,
yumElija su ladoantes de que elijan por Ud.Adolfo Castillo Meza,
M.Sc.Profesor PrincipalDepartamento de Fsica, Informtica y
Matemticas - UPCHMe pareci ver un lindo gatito.....
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Breve Referencia Histrica:Propuesto por primera vez en 1925 por
Vito Volterra (Italia).Objetivo: Describir las variaciones
observadas en las poblaciones de peces en el Mar AdrticoAlfred
Lotka (USA) trabaj sobre el mismo sistema de ecuaciones, pero con
el fin de descibir una reaccin qumica en la cual las
concentraciones oscilan (1926)Recientemente se ha intentado aplicar
este juego de ecuaciones inclusive a modelacin econmica o turismo
sostenible.
Postulado:Consumidores y recursos pueden ser considerados como
partculas que interactan en un medio homogneo (gas). Bajo estas
condiciones la tasa de encuentros entre consumidores y recursos
(tasa de reaccin) ser proporcional al producto de sus poblaciones
(masas), es decir, se rigen por la ley de accin de masas.
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FORMULACION DEL PROBLEMA:1. La velocidad con que vara la
poblacin de presas x es proporcional a la poblacin existente en el
momento t. 2. La velocidad con que vara la poblacin de presas x es
proporcional al nmero de encuentros con los predadores y.Esto puede
ser escrito como:A = tasa de crecimiento de las presas en ausencia
de predadores. B = tasa de eliminacin de presas por parte de los
predadores.La velocidad de variacin de la poblacin ser, combinando
ambos efectos:
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Para los predadores (y), la velociodad de variacin de la
poblacin sera:Proporcional al nmero de predadores (y) en el momento
t.Propocional al nmero de encuentros presa (x) predador (y), v.g.
Propocional tanto a la poblacin de presas como de predadores en el
momento t.
C = tasa de mortalidad de predadoresD = tasa de crecimiento de
los predadores como resultado del exitoso consumo de presas.
Combinando ambos efectos:
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Puede verse que:1. En ausencia de predadores, la presa crece en
forma exponencial. Para ello basta resolver2. En ausencia de
presas, los predadores se extinguen en forma exponencial.xoyo
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Lo que tenemos en realidad es un sistema de dos ecuaciones
acopladas:El sistema es acoplado porque la variacin de uno de los
componentes del sistema afecta al segundo componente que a su vez
afectar al primero. Una analoga mecnica sera ver el comportamiento
de dos sistemas oscilatorios acoplados. Este sera el resultado
ideal, lamentablemente, no siempre ser as.
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El punto estacionario de este sistema se encuentra cuando
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En el plano xy, eliminando el parmetro t, este punto se
ubicar:C/DA/Bxy
Punto de estabilidadEn el plano xy la solucin es una familia de
curvas.
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A=1B=1C=1D=1xy
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Una presentacin ms refinada permite escribir el sistema en la
forma:Donde el punto de estabilidad es Podemos definir las
denominadas funciones R:Tasa de variacin per cpita (densidad)
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La solucin para este sistema de ecuaciones, grficamente, tiene
el siguiente aspecto:
ANALICE EL DESFASE ENTRE LOS MAXIMOS Y MINIMOS DE AMBAS
FUNCIONES. EXPLIQUE POR QUE ES NECESARIO EL DESFASE. CALCULE EL
DESFASE MAXIMO POSIBLE.
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Al graficar las soluciones x(t) e y(t) en forma paramtrica en el
espacio de fases (x,y), obtenemos la superposicin de dos funciones
oscilatorias(1):(1) Recuerde p.e. que sin(t) + cos(t) = 1 -
circunferencia
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Por otro lado, las isoclinas x = const e y = const dividen la
grfica en cuatro regiones:En este punto el nmero de presas y
predadores permanece constanteI. Ambas poblaciones crecenII. El
nmero de predadores crece, pero como consecuencia de la caza
decrece el nmero de presasIII. El nmero de presas decrece an m,as,
empieza la escacez, disminuye el nmero de predadores.IV. El nmero
de predadores ha decrecido, permitiendo la reproduccin y desarrollo
de presas. CICLO LIMITE NEUTRALMENTE ESTABLE
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Mostramos aqu un Ciclo Lmite Estable80 presas, 30 predadores
A =0.25B =0.01C=1.00D=0.01
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Dupliquemos la eficiencia de captura B (0.02)
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Sea B = 0.03
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Sea B =0.06Extincin, pero, en qu momento del ciclo?
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Interprete la sigueitne grfica:
A =0.10B =0.09C =0.50D =0.01
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Ampliemos ahora a tres especies el modelo:Restriccin: No hay
poblaciones negativas. La solucin debe analizase en x 0, y 0, z
0.
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Ejemplo de SolucionesA=B=C=D=E=F=G=1(xo, yo, zo) =
(0.5,1,2)A=B=C=D=E=F=1G = 0.88PresaPredadorPredador del
Predador
82.bin
83.bin
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Has ahora habamos asumido que los individuos de una msima
especie no compiten entre s. Qu ocurre si tomamos en cuenta esta
competencia INTRAESPECIFICA?Modelo LogsticoSi es mayor que 1,
significa que el impacto sobre la especie por parte de individuos
de la otra especie es mayor que el impacto de los congneres.
Impacto sobre el crecimiento de la especie 1 de individuos por
parte de la especie 2 en relacin al impacto de individuos de la
misma especieSi es menor que 1, el impacto por parte de individuos
de la misma especie es mayor.
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Determinemos el estado en el cual las poblaciones se encuentran
en equilibrio:1) Determinaremos la condicin de crecimiento cero de
x2) Determinaremos la condicin de crecimiento cero de y.Aqu hemos
descartado dos soluciones triviales, por qu?Obtenemos una
rectaISOCLINA DE CRECIMIENTO CERO
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Pueden darse las siguientes situaciones:ISOCLINA DE CRECIMIENTO
CEROExisten menos individuos que los requeridos para lograr
crecimiento cero. Los individuos x se multiplican y las poblaciones
crecen.Existen ms individuos que los requeridos para crecimiento
cero, la poblacin x decrece (se consume todo el forraje p.e.),
Ambas poblaciones decrecen.
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Procedemos en forma anloga para y:
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TAREA PARA EXAMEN:
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Si no hay competencia dentro de los predadores....
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SOLO HAY DOS EXCEPCIONES A ESTE MODELO, VERIFICADAS AD INFINITUM
A LO LARGO DEL TIEMPO:Coyotis HambrientusCorrecaminus
Habilidosus