-
Fakultet kemijskog inenjerstva i tehnologijeZavod za
matematikuPoslijediplomski studij: Kemijsko inenjerstvoKolegij:
Elementi inenjerske matematikeAkademska godina:
2009./2010.Postdiplomant: Katarina Dodik
Matematiki modeli u ekologijiLotka- Volterra model
Elementi inenjerske matematike
-
Sadraj1. Matematiki modeli u ekologiji1.1 Uvod1.2 Klasifikacija
matematikih modela u ekologiji1.2.1 Izomorfni i homomorfmi
modeli1.2.2 Vremenski ovisni i stacionarni modeli1.2.3 Modeli s
usredotoenim i raspodijeljenim parametrima1.2.4 Modeli budueg i
prolog vremena1.2.5 Kontinuirani i diskretni modeli1.2.6
Deterministiki i stohastiki modeli1.2.7 Analitiki i numeriki
modeli1.2.8 Dominantni i subdominantni modeli 2. Lotka- Volterra2.1
Uvod2.2 Rjeavanje diferencijalnih jednadbi2.2.1 Plijen2.2.2
Grabeljivac2.3 Rjeenje problema2.4 Vektorski prikaz3.
Literatura
Elementi inenjerske matematike
-
Elementi inenjerske matematike
-
1.Matematiki modeli u ekologiji
1.1 UvodMatematiki modeli ine nae procjene i predvianja u
ekologiji objektivnijim i pouzdanijim.
Matematiki model stvarnog objekta ini ukupnost logikih veza,
ovisnosti i jednadbi koje omoguuju prouavanje populacija, zajednica
i ekosustava.
Eksperimenti na takvim objektima nisu mogui, jer mogu dovesti do
promjena ili ak unitenja ekolokog objekta.
U takvim situacijama je oito da matematiko modeliranje igra
kljunu ulogu u istraivanju ekosustava.
Elementi inenjerske matematike
-
1.2 Klasifikacija matematikih modela u ekologiji1.2.1 Izomorfni
i homomorfmi modeli
Matematiki model je izomorfan kada su zadovoljeni sljedei
uvjeti:
Svaki element objekta predstavljen je odgovarajuim elementom
modela i obratno.Svaka funkcija definirana elementom objekta
opisana je odgovarajuom funkcijom, definirana odgovarajuim
elementom modela i obratno.Svaki odnos elemenata objekta je
predstavljen odgovarajuim odnosima elemenata modela i obratno.
Elementi inenjerske matematike
-
Cijeli ekosustav je vrlo kompleksan i nemogue je opisati sve
znaajke takvih objekata modelom.
Za homomorfni model vrijedi: sve komponente modela imaju
analogne komponente u objektu, ali ne obratno!
Jasno je da su svi matematiki modeli u ekologiji homomorfni.
Elementi inenjerske matematike
-
1.2.2 Vremenski ovisni i stacionarni modeli
U procesu modeliranja neke od sljedeih komponenti e biti
argumenti a ostali funkcije koje ovise o tim argumentima:Gi =
f(G1,G2, . . .,Gi1,Gi+1, . . .,Gn)(1)Gi- parametar koji elimo
predvidjetiG1,G2 ,Gi1, Gi+1 ,Gn- argumenti koji definiraju
predvieni parametar GiPojednostavljeno: G = f(g)(2)
Poto su ekoloki objekti rasporeeni na odreeni nain u svemiru s
prostornim koordinatama x,y i z i poto se mijenjaju u vremenu t
moemo pisati: G = f [g(x, y, z, t)](3)Kada parametar G ovisi o
prostornim koordinatama i vremenu kao to je prikazano u jednadbi
(3) govorimo o vremenski ovisnom modelu. Kada parametar G ovisi
samo prostornim koordinatama kao to je prikazano u jednadbi (4)
govorimo o stacionarnom modelu. G = f [g(x, y, z)](4)
Elementi inenjerske matematike
-
1.2.3 Modeli s usredotoenim i raspodijeljenim parametrima
Ako generalizirani argument g ovisi samo o vremenu, ne o
prostornim koordinatama, kaemo da se radi o tokastom modelu ili
modelu s usredotoenim parametrima.G = f [g(t)](5)
Ako generalizirani argument g ovisi o vremenu i o prostornim
koordinatama, kaemo da se radi o modelu s raspodijeljenim
parametrima.
Moemo rei da:model s raspodijeljenim parametrima ~ vremenski
ovisan model
Elementi inenjerske matematike
-
1.2.4 Modeli budueg i prolog vremena
Veina se modela u ekologiji koristi za predvianje buduih stanja
ekolokih objekata, takve modele moemo nazvati modelima budueg
vremena.U takvom sluaju naemo predvieni parametar G iz izraza (3) u
vremenu t=0 (poetak modeliranja) i onda ga definiramo u odreenom
trenutku u buduem vremenu tk.
Istraivanje ekolokih objekata u prolosti relativno prema poetku
modeliranja je od velikog znaaja.Kada govorimo o modelima prolog
vremena: razmotrit emo sadanji trenutak u vremenu tk kao poetak
modeliranja i definirati predvieni parametar G za taj trenutak u
vremenu, koristei jednadbu (3) moemo definirati predvieni parametar
g u vremenu t=0 koji lei u prolosti prema vremenu tk.
Elementi inenjerske matematike
-
1.2.5 Kontinuirani i diskretni modeli
Kontinuirani modeli predstavljaju kontinuiranu promjenu objekta
u vremenu. Ovakav tip modela nam doputa definirati generalizirani
argument g i predvieni parametar G u izrazu (3) u svakoj toki u
vremenskom intervalu [t0, tn] koji je modeliran.
Diskretni modeli koriste diskretne vremenske korake t0 <
t1