Logika kiskáté Mihálydeák Tamás és Aszalós László 2012 1. Definíciók 1. Adja meg a klasszikus nulladrend˝ u nyelv definícióját! Megoldás: Klasszikus nulladrend˝ u nyelven az L (0) = hLC, Con, F ormi rendezett hármast értjük, ahol LC = {¬, ⊃, ∧, ∨, ≡, (, )} (a nyelv logikai konstansainak halmaza). Con 6= ∅ a nyelv nemlogikai konstansainak (állítás- vagy kijelentés-paramétereinek) legfeljebb megszámlálhatóan végtelen halmaza. Az LC ∩ Con = ∅. A nyelv formuláinak a halmazát, azaz a Form halmazt az alábbi induktív definíció adja meg: • Con ⊆ Form • Ha A ∈ Form, akkor ¬A ∈ Form. • Ha A, B ∈ Form, akkor – (A ⊃ B) ∈ Form, – (A ∧ B) ∈ Form, – (A ∨ B) ∈ Form, – (A ≡ B) ∈ Form. 2. Adja meg a nulladrend˝ u atomi formula definícióját! Megoldás: Ha L (0) egy nulladrend˝ u nyelv (azaz L (0) = hLC, Con, F ormi), akkor Con halmaz elemeit nulladrend˝ u atomi formuláknak vagy nulladrend˝ u prímformuláknak nevezzük. 3. Adja meg a részformula definícióját a nulladrend˝ u nyelvben! Megoldás: Legyen L (0) = hLC, Con, F ormi egy tetsz˝ oleges nulladrend˝ u nyelv, A ∈ Form pedig a nyelv tetsz˝ oleges formulája. Az A formula részformuláinak halmaza az a legsz˝ ukebb halmaz [jelölés: RF (A)], amelyre teljesül, hogy • A ∈ RF (A), azaz az A formula részformulája önmagának; • ha ¬B ∈ RF (A), akkor B ∈ RF (A); • ha (B ⊃ C) ∈ RF (A), akkor B,C ∈ RF (A); 1
29
Embed
Logika kiskáté - unideb.hu · Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 3/29 Dom(%) = Con Ha p 2Con, akkor %(p) 2f0;1g. 8. Adja meg a formula szemantikai értékének
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Logika kiskáté
Mihálydeák Tamás és Aszalós László
2012
1. Definíciók1. Adja meg a klasszikus nulladrendu nyelv definícióját!
Megoldás: Klasszikus nulladrendu nyelven az L(0) = 〈LC,Con, Form〉 rendezett hármast értjük, aholLC = {¬,⊃,∧,∨,≡, (, )} (a nyelv logikai konstansainak halmaza). Con 6= ∅ a nyelv nemlogikaikonstansainak (állítás- vagy kijelentés-paramétereinek) legfeljebb megszámlálhatóan végtelen halmaza. AzLC ∩ Con = ∅. A nyelv formuláinak a halmazát, azaz a Form halmazt az alábbi induktív definíció adjameg:
• Con ⊆ Form
• Ha A ∈ Form, akkor ¬A ∈ Form.
• Ha A,B ∈ Form, akkor
– (A ⊃ B) ∈ Form,
– (A ∧B) ∈ Form,
– (A ∨B) ∈ Form,
– (A ≡ B) ∈ Form.
2. Adja meg a nulladrendu atomi formula definícióját!
Megoldás: Ha L(0) egy nulladrendu nyelv (azaz L(0) = 〈LC,Con, Form〉), akkor Con halmaz elemeitnulladrendu atomi formuláknak vagy nulladrendu prímformuláknak nevezzük.
3. Adja meg a részformula definícióját a nulladrendu nyelvben!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy tetszoleges nulladrendu nyelv, A ∈ Form pedig a nyelvtetszoleges formulája. Az A formula részformuláinak halmaza az a legszukebb halmaz [jelölés: RF (A)],amelyre teljesül, hogy
• A ∈ RF (A), azaz az A formula részformulája önmagának;
• ha ¬B ∈ RF (A), akkor B ∈ RF (A);
• ha (B ⊃ C) ∈ RF (A), akkor B,C ∈ RF (A);
1
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 2/29
• ha (B ∧ C) ∈ RF (A), akkor B,C ∈ RF (A);
• ha (B ∨ C) ∈ RF (A), akkor B,C ∈ RF (A);
• ha (B ≡ C) ∈ RF (A), akkor B,C ∈ RF (A).
4. Adja meg a közvetlen részformula definícióját a nulladrendu nyelvben!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy tetszoleges nulladrendu nyelv.
• Ha A atomi formula (azaz A ∈ Con), akkor nincs közvetlen részformulája;
• ¬A egyetlen közvetlen részfomulája A;
• Az (A ⊃ B), (A ∧B), (A ∨B), (A ≡ B) formulák közvetlen részformulái az A és a B formulák.
5. Adja meg a részformula definícióját a közvetlen részformula segítségével nulladrendu nyelvben!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy tetszoleges nulladrendu nyelv, A ∈ Form pedig a nyelvtetszoleges formulája. Egy A formula részformuláinak halmaza az a legszukebb halmaz [jelölés: RF (A)],amelyre teljesül, hogy
• A ∈ RF (A), (azaz az A formula részformulája önmagának);
• ha A′ ∈ RF (A) és B közvetlen részformulája A′-nek, akkor B ∈ RF (A) (azaz, ha egy A′ formularészformulája A-nak, akkor A′ összes közvetlen részformulája is részformulája A-nak).
6. Adja meg a szerkezeti fa definícióját nulladrendu nyelv esetén!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy tetszoleges nulladrendu nyelv, A ∈ Form pedig a nyelvtetszoleges formulája. Az A formula szerkezeti fáján egy olyan véges rendezett fát értünk,
• amelynek csúcsai formulák,
• gyökere az A formula,
• ¬B alakú csúcsának egyetlen gyermeke a B formula,
• (B ⊃ C), (B ∧ C), (B ∨ C), (B ≡ C) alakú csúcsainak két gyermekét a B, illetve a C formulákalkotják,
• levelei prímformulák (atomi formulák).
7. Adja meg a nulladrendu logika interpretációjának definícióját!
Megoldás: A % függvényt az L(0) = 〈LC,Con, Form〉 nulladrendu nyelv egy interpretációjának nevezzük,ha
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 3/29
• Dom(%) = Con
• Ha p ∈ Con, akkor %(p) ∈ {0, 1}.
8. Adja meg a formula szemantikai értékének definícióját nulladrendu logika esetén (azaz adja meg nulladrendulogika szemantikai szabályait)!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, és % egy nulladrendu interpretáció.Az A ∈ Form formula % interpretáció szerinti szemantikai értékét a következo szabályok határozzák meg(jelölés: |A|% jelöli az A formula % interpretáció szerinti értékét):
• Ha p ∈ Con, akkor |p|% = %(p)
• Ha A ∈ Form, akkor |¬A|% = 1− |A|%.
• Ha A,B ∈ Form, akkor
• |(A ⊃ B)|% =
{0, ha |A|% = 1 és |B|% = 01, egyébként
• |(A ∧B)|% =
{1, ha |A|% = 1 és |B|% = 10, egyébként.
• |(A ∨B)|% =
{0, ha |A|% = 0 és |B|% = 01, egyébként.
• |(A ≡ B)|% =
{1, ha |A|% = |B|%0, egyébként.
9. Adja meg a formulahalmaz modelljének definícióját nulladrendu logika esetén!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és Γ ⊆ Form egy tetszoleges formu-lahalmaz. A % interpretáció nulladrendu modellje a Γ formulahalmaznak, ha minden A ∈ Γ esetén |A|% = 1
10. Adja meg a formula modelljének definícióját nulladrendu logika esetén!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és A ∈ Form egy tetszoleges for-mula. Az A formula modelljén az {A} egyelemu formulahalmaz modelljét értjük.
11. Adja meg a formulahalmaz kielégíthetoségének definícióját nulladrendu logika esetén!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és Γ ⊆ Form egy tetszoleges formu-lahalmaz. A Γ fomulahalmaz kielégítheto, ha van modellje.
12. Adja meg a formula kielégíthetoségének definícióját nulladrendu logika esetén!
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 4/29
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és A ∈ Form egy tetszoleges for-mula. Az A formula kielégítheto, ha az {A} formulahalmaz kielégítheto.
13. Adja meg a formulahalmaz kielégíthetetlenségének definícióját nulladrendu logika esetén!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és Γ ⊆ Form egy tetszoleges formu-lahalmaz. Az Γ formulahalmaz kielégíthetetlen, ha nem kielégítheto, azaz nincs modellje.
14. Adja meg a formula kielégíthetetlenségének definícióját nulladrendu logika esetén!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és A ∈ Form egy tetszoleges for-mula. Az A formula kielégíthetetlen, ha az {A} formulahalmaz kielégíthetetlen.
15. Adja meg a formulahalmaz logikai következményének definícióját nulladrendu logika esetén!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, Γ ⊆ Form egy tetszoleges formu-lahalmaz, és A ∈ Form egy formula. A Γ formulahalmaznak logikai következménye az A formula, ha aΓ ∪ {¬A} formulahalmaz kielégíthetetlen. Jelölés: Γ |= A
16. Adja meg a formula logikai következményének definícióját nulladrendu logika esetén!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és A,B ∈ Form két tetszolegesformula. Az A formulának logikai következménye a B formula, ha a {A} |= B. Jelölés: A |= B
17. Adja meg az érvényesség definícióját nulladrendu logika esetén!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, és A ∈ Form egy formula. Az A for-mula érvényes, ha ∅ |= A, azaz ha az A formula logikai következménye az üres halmaznak. Jelölés: |= A
18. Adja meg a formulák logikai ekvivalenciájának definícióját nulladrendu logika esetén!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, és A,B ∈ Form két formula. Az Aés a B formula logikailag ekvivalens, ha A |= B és B |= A. Jelölés: A⇔ B
19. Adja meg a zárójelelhagyási konvenciókat nulladrendu nyelv esetén!
Megoldás:
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 5/29
• A legkülso zárójelpár mindig elhagyható.
• A kétargumentumú logikai konstansok elsobbségi (precedencia) sorrendje: ∧,∨,⊃,≡
• A negáció erosebb bármely kétargumentumú logikai konstansnál.
• Az azonos kétargumentumú logikai konstansok egymás közötti elsobbségét a balról jobbra szabályrendezi: eloször mindig a bal oldali formulát tekintjük külön muveleti komponensnek.
20. Adja meg a literál definícióját!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv. Ha p ∈ Con, akkor a p,¬p formulákatliterálnak nevezzük. A p,¬p literálok esetén a p paramétert a literál alapjának nevezzük.
21. Adja meg az elemi konjunkció definícióját!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv. Ha az A ∈ Form formula literál vagykülönbözo alapú literálok konjunkciója, akkor A-t elemi konjunkciónak nevezzük.
22. Adja meg az elemi diszjunkció definícióját!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv. Ha az A ∈ Form formula literál vagykülönbözo alapú literálok diszjunkciója, akkor A-t elemi diszjunkciónak nevezzük.
23. Adja meg a diszjunktív normálforma definícióját!
Megoldás: Egy elemi konjunkciót vagy elemi konjunkciók diszjunkcióját diszjunktív normálformának ne-vezzük.
24. Adja meg a konjunktív normálforma definícióját!
Megoldás: Egy elemi diszjunkciót vagy elemi diszjunkciók konjunkcióját konjunktív normálformának ne-vezzük.
25. Adja meg az axiómaséma definícióját nulladrendu kalkulus esetén!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv (a klasszikus állításlogika nyelve). Anulladrendu kalkulus (klasszikus állításkalkulus) axiómasémái (alapsémái):
(A1) A ⊃ (B ⊃ A)
(A2) (A ⊃ (B ⊃ C)) ⊃ ((A ⊃ B) ⊃ (A ⊃ C))
(A3) (¬A ⊃ ¬B) ⊃ (B ⊃ A)
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 6/29
26. Adja meg a axiómaséma szabályos behelyettesítésének definícióját!
Megoldás: Az axiómaséma szabályos behelyettesítésén olyan formulát értünk, amely az axiómasémából abenne szereplo betuk tetszoleges formulával való helyettesítése útján jön létre.
27. Adja meg az axióma definícióját nulladrendu kalkulus esetén!
Megoldás: A nulladrendu kalkulus (klasszikus állításkalkulus) axiómái az axiómasémák szabályos behe-lyettesítései.
28. Adja meg a formulahalmaz szintaktikai következményének definícióját nulladrendu kalkulus esetén!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, Γ ⊆ Form egy tetszoleges formula-halmaz. A Γ formulahalmaz szintaktikai következményeinek induktív definíciója:
Bázis:
• Ha A ∈ Γ, akkor Γ ` A.
• Ha A axióma, akkor Γ ` A.
Szabály (leválasztási szabály):
• Ha Γ ` B, és Γ ` (B ⊃ A), akkor Γ ` A.
29. Adja meg a formula szintaktikai következményének definícióját nulladrendu kalkulus esetén!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és A,B ∈ Form két tetszolegesformula. Az A formulának szintaktikai következménye a B formula, ha {A} ` B. Jelölés: A ` B
30. Adja meg az inkonzisztens formulahalmaz definícióját nulladrendu kalkulus esetén!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és Γ ⊆ Form egy tetszoleges formu-lahalmaz. A Γ formulahalmaz inkonzisztens, ha Cns(Γ) = Form.
31. Adja meg az inkonzisztens formula definícióját nulladrendu kalkulus esetén!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és A ⊆ Form egy tetszoleges for-mula. Az A formula inkonzisztens, ha Cns({A}) = Form.
32. Adja meg a konzisztens formulahalmaz definícióját nulladrendu kalkulus esetén!
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 7/29
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és Γ ⊆ Form egy tetszoleges formu-lahalmaz. A Γ formulahalmaz konzisztens, ha nem inkonzisztens.
33. Adja meg a konzisztens formula definícióját nulladrendu kalkulus esetén!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és A ⊆ Form egy tetszoleges for-mula. Az A formula konzisztens, ha nem inkonzisztens.
34. Adja meg a levezetheto formula definícióját!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, és A ∈ Form egy formula. Az Aformula levezetheto, ha ∅ ` A, azaz ha az A formula szintaktikai következménye az üres halmaznak. Jelölés:` A
35. Adja meg a szekvencia definícióját!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, Γ ⊆ Form egy formulahalmaz ésA ∈ Form egy formula. Ha az A formula szintaktikai következménye a Γ formulahalmaznak, akkor a’Γ ` A’ jelsorozatot szekvenciának nevezzük.
36. Adja meg a természetes levezetés által bizonyítható következményrelációk definícióját nulladrendu kalkulus ese-tén (azaz adja meg a természetes levezetés által bizonyítható szekvenciák definícióját)!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, Γ,∆ ⊆ Form és A,B,C ∈ Form.A természetes levezetés által az L(0) nyelvben bizonyítható következményrelációk PrND halmazát az alábbiinduktív definíció adja meg:
Bázis:
• Γ, A ` A ∈ PrND.
Szabályok:
• Strukturális szabályok:
– Ha Γ ` A ∈ PrND, akkor Γ, B ` A ∈ PrND.
– Ha Γ, B,B,∆ ` A ∈ PrND, akkor Γ, B,∆ ` A ∈ PrND.
– Ha Γ, B,C,∆ ` A ∈ PrND, akkor Γ, C,B,∆ ` A ∈ PrND.
– Ha Γ ` A ∈ PrND és, ∆, A ` B ∈ PrND, akkor Γ ∪∆ ` B ∈ PrND.
• Logikai szabályok:
– Ha Γ, A ` B ∈ PrND, akkor Γ ` (A ⊃ B) ∈ PrND.
– Ha Γ ` A ∈ PrND és Γ ` (A ⊃ B) ∈ PrND, akkor Γ ` B ∈ PrND.
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 8/29
– Ha Γ, A ` B ∈ PrND és Γ, A ` ¬B ∈ PrND, akkor Γ ` ¬A ∈ PrND.
– Ha Γ ` ¬¬A ∈ PrND, akkor Γ ` A ∈ PrND.
– Ha Γ ` A ∈ PrND és Γ ` B ∈ PrND, akkor Γ ` (A ∧B) ∈ PrND.
– Ha Γ, A,B ` C ∈ PrND, akkor Γ, (A ∧B) ` C ∈ PrND.
– Ha Γ ` A ∈ PrND, akkor Γ ` (A ∨B) ∈ PrND.
– Ha Γ ` B ∈ PrND, akkor Γ ` (A ∨B) ∈ PrND.
– Ha Γ, A ` C ∈ PrND és Γ, B ` C ∈ PrND, akkor Γ, (A ∨B) ` C ∈ PrND.
– Ha Γ, A ` B ∈ PrND és Γ, B ` A ∈ PrND, akkor Γ ` (A ≡ B) ∈ PrND.
– Ha Γ ` A ∈ PrND és Γ ` (A ≡ B) ∈ PrND, akkor Γ ` B ∈ PrND.
– Ha Γ ` B ∈ PrND és Γ ` (A ≡ B) ∈ PrND, akkor Γ ` A ∈ PrND.
37. Adja meg a klasszikus elsorendu nyelv definícióját!
Megoldás: Klasszikus elsorendu nyelven az
L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉
rendezett ötöst értjük, ahol
• LC = {¬,⊃,∧,∨,≡,=,∀,∃, (, )} (a nyelv logikai konstansainak halmaza).
• V ar (= {xn|n = 0, 1, 2, . . .}) a nyelv változóinak megszámlálhatóan végtelen halmaza.
• Con =⋃∞
n=0(F(n)⋃P(n)) a nyelv nemlogikai konstansainak legfeljebb megszámlálhatóan végtelen
halmaza.
– F(0) a névparaméterek (névkonstansok),
– F(n) az n argumentumú (n = 1, 2, . . .) függvényjelek (muveleti jelek),
– P(0) az állításparaméterek (állításkonstansok),
– P(n) az n argumentumú (n = 1, 2, . . .) predikátumparaméterek (predikátumkonstansok) hal-maza.
– Az LC, V ar, F(n), P(n) halmazok (n = 0, 1, 2, . . .) páronként diszjunktak.
• A nyelv terminusainak a halmazát, azaz a Term halmazt az alábbi induktív definíció adja meg:
– V ar⋃F(0) ⊆ Term
– Ha f ∈ F(n), (n = 1, 2, . . .), és t1, t2, . . . , tn ∈ Term, akkor f(t1, t2, . . . , tn) ∈ Term.
• A nyelv formuláinak a halmazát, azaz a Form halmazt az alábbi induktív definíció adja meg:
– P(0) ⊆ Form
– Ha t1, t2 ∈ Term, akkor (t1 = t2) ∈ Form
– Ha P ∈ P(n), (n = 1, 2, . . .), és t1, t2, . . . , tn ∈ Term, akkor P (t1, t2, . . . , tn) ∈ Form.
– Ha A ∈ Form, akkor ¬A ∈ Form.
– Ha A,B ∈ Form, akkor (A ⊃ B), (A ∧B), (A ∨B), (A ≡ B) ∈ Form.
– Ha x ∈ V ar, A ∈ Form, akkor ∀xA, ∃xA ∈ Form.
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 9/29
38. Adja meg az elsorendu atomi formula definícióját!
Megoldás: Ha L(1) egy elsorendu nyelv (azaz L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉), akkor az elsorenduatomi formulák halmazát (jelölés: AtForm) az alábbi induktív definíció adja meg:
• P(0) ⊆ AtForm
• Ha t1, t2 ∈ Term, akkor (t1 = t2) ∈ AtForm
• Ha P ∈ P(n), (n = 1, 2, . . .), és t1, t2, . . . , tn ∈ Term, akkor P (t1, t2, . . . , tn) ∈ AtForm.
39. Adja meg az elsorendu nyelv részformuláinak definícióját!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy tetszoleges elsorendu nyelv, A ∈ Formpedig a nyelv tetszoleges formulája. Az A formula részformuláinak halmaza az a legszukebb halmaz [jelölés:RF (A)], amelyre teljesül, hogy
• A ∈ RF (A), azaz az A formula részformulája önmagának;
• ha ¬B ∈ RF (A), akkor B ∈ RF (A);
• ha (B ⊃ C) ∈ RF (A), akkor B,C ∈ RF (A);
• ha (B ∧ C) ∈ RF (A), akkor B,C ∈ RF (A);
• ha (B ∨ C) ∈ RF (A), akkor B,C ∈ RF (A);
• ha (B ≡ C) ∈ RF (A), akkor B,C ∈ RF (A);
• ha ∀xB ∈ RF (A), akkor B ∈ RF (A);
• ha ∃xB ∈ RF (A), akkor B ∈ RF (A).
40. Adja meg a közvetlen részformula definícióját az elsorendu nyelvben!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy tetszoleges elsorendu nyelv.
• Ha A elsorendu atomi formula, akkor nincs közvetlen részformulája;
• ¬A egyetlen közvetlen részfomulája A;
• Az (A ⊃ B), (A ∧B), (A ∨B), (A ≡ B) formulák közvetlen részformulái az A és a B formulák.
• ∀xA egyetlen közvetlen részformulája A;
• ∃xA egyetlen közvetlen részformulája A.
41. Adja meg a részformula definícióját közvetlen részformulák segítségével elsorendu nyelv esetén!
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 10/29
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy tetszoleges elsorendu nyelv, A ∈ Formpedig a nyelv tetszoleges formulája. Egy A formula részformuláinak halmaza az a legszukebb halmaz [jelölés:RF (A)], amelyre teljesül, hogy
• A ∈ RF (A), (azaz az A formula részformulája önmagának);
• ha A′ ∈ RF (A) és B közvetlen részformulája A′-nek, akkor B ∈ RF (A) (azaz, ha egy A′ formularészformulája A-nak, akkor A′ összes közvetlen részformulája is részformulája A-nak).
42. Adja meg a szerkezeti fa definícióját elsorendu nyelv esetén!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy tetszoleges elsorendu nyelv, A ∈ Formpedig a nyelv tetszoleges formulája. Az A formula szerkezeti fáján egy olyan véges rendezett fát értünk,amelynek csúcsai formulák,
• gyökere az A formula,
• ¬B alakú csúcsának egyetlen gyermeke a B formula,
• (B ⊃ C), (B ∧ C), (B ∨ C), (B ≡ C) alakú csúcsainak két gyermekét a B, illetve a C formulákalkotják,
• ∀xB alakú csúcsának egyetlen gyermeke a B formula,
• ∃xB alakú csúcsának egyetlen gyermeke a B formula,
• levelei prímformulák (atomi formulák).
43. Adja meg a formula szabad változói halmazának definícióját!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, és A ∈ Form egy formula.Az A formula szabad változóinak FreeV ar(A)-val jelölt halmazát az alábbi induktív definíció adja meg:
• Ha A atomi formula (azaz A ∈ AtForm), akkor a FreeV ar(A) halmaz elemei az A formulábaneloforduló változók.
• Ha az A formula ¬B alakú, akkor FreeV ar(A) = FreeV ar(B).
• Ha az A formula (B ⊃ C), (B ∧ C), (B ∨ C) vagy (B ≡ C) alakú, akkor FreeV ar(A) =FreeV ar(B)
⋃FreeV ar(C).
• Ha az A formula ∀xB vagy ∃xB alakú, akkor FreeV ar(A) = FreeV ar(B) \ {x}.
44. Adja meg a formula kötött változói halmazának definícióját!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, és A ∈ Form egy formula.Az A formula kötött változóinak BoundV ar(A)-val jelölt halmazát az alábbi induktív definíció adja meg:
• Ha A atomi formula (azaz A ∈ AtForm), akkor a BoundV ar(A) = ∅.
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 11/29
• Ha az A formula ¬B alakú, akkor BoundV ar(A) = BoundV ar(B).
• Ha az A formula (B ⊃ C), (B ∧ C), (B ∨ C) vagy (B ≡ C) alakú, akkor BoundV ar(A) =BoundV ar(B)
⋃BoundV ar(C).
• Ha az A formula ∀xB vagy ∃xB alakú, akkor BoundV ar(A) = BoundV ar(B)⋃{x}.
45. Adja meg a változó szabad elofordulásának definícióját!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, A ∈ Form egy formulaés x ∈ V ar egy változó. Az x változó valamely A-beli elofordulását szabadnak nevezzük, ha a tekintettelofordulás nem esik az A formula valamely ∀xB vagy ∃xB alakú részformulájába.
46. Adja meg a változó kötött elofordulásának definícióját!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, A ∈ Form egy formulaés x ∈ V ar egy változó. Az x változó valamely A-beli elofordulását kötöttnek nevezzük, ha a tekintettelofordulás nem szabad elofordulás.
47. Adja meg a zárójelelhagyási konvenciókat elsorendben!
Megoldás:
• A legkülso zárójelpár mindig elhagyható.
• A kétargumentumú logikai konstansok elsobbségi (precedencia) sorrendje: ∧,∨,⊃,≡
• A negáció erosebb bármely kétargumentumú logikai konstansnál.
• Az azonos kétargumentumú logikai konstansok egymás közötti elsobbségét a balról jobbra szabályrendezi: eloször mindig a bal oldali formulát tekintjük külön muveleti komponensnek.
• A kvantorok erosebbek bármely állításlogikai muveletnél.
• Az univerzális és az egzisztenciális kvantor egyenrangú (azaz erosségben egyik sem elozi meg a mási-kat).
48. Adja meg az elsorendu logika interpretációjának definícióját!
Megoldás: Az 〈U, %〉 párt az L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 elsorendu nyelv egy interpretációjánaknevezzük, ha
• U 6= ∅, azaz U nemüres halmaz;
• Dom(%) = Con, azaz a % a Con halmazon értelmezett függvény, amelyre teljesülnek a következok:
– Ha a ∈ F(0), akkor %(a) ∈ U ;
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 12/29
– Ha f ∈ F(n) ahol n 6= 0, akkor %(f) az U (n) halmazon értelmezett az U halmazba képezofüggvény (%(f) : U (n) → U );
– Ha p ∈ P(0), akkor %(p) ∈ {0, 1};– Ha P ∈ P(n) ahol n 6= 0, akkor %(P ) ⊆ U (n).
49. Adja meg az 〈U, %〉 interpretációra támaszkodó v értékelés definícióját!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, 〈U, %〉 pedig a nyelv egy in-terpretációja. Az 〈U, %〉 interpretációra támaszkodó v értékelésen egy olyan függvényt értünk, amely teljesítia következoket:
• Dom(v) = V ar;
• Ha x ∈ V ar, akkor v(x) ∈ U .
50. Definiálja a módosított értékelés fogalmát!
Megoldás: Legyen v egy tetszoleges 〈U, %〉 interpretációra támaszkodó értékelés, x ∈ V ar egy változó ésu ∈ U egy objektum. Ekkor bármely y ∈ V ar esetén
v[x : u](y) =
{u, ha y = x;v(y), egyébként.
51. Adja meg az elsorendu logika szemantikai szabályait!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, 〈U, %〉 a nyelv egy interp-retációja, v pedig az 〈U, %〉 interpretációra támaszkodó értékelés.
• Ha a ∈ F(0), akkor |a|〈U,%〉v = %(a).
• Ha x ∈ V ar, akkor |x|〈U,%〉v = v(x).
• Ha f ∈ F(n), (n = 1, 2, . . .), és t1, t2, . . . , tn ∈ Term, akkor
|f(t1, t2, . . . , tn)|〈U,%〉v = %(f)(|t1|〈U,%〉
v , |t2|〈U,%〉v , . . . , |tn|〈U,%〉
v )
• Ha p ∈ P(0), akkor |p|〈U,%〉v = %(p)
• Ha t1, t2 ∈ Term, akkor
|(t1 = t2)|〈U,%〉v =
{1, ha |t1|〈U,%〉
v = |t2|〈U,%〉v
0, egyébként.
• Ha P ∈ P(n) ahol n 6= 0, t1, . . . , tn ∈ Term, akkor
|P (t1, . . . , tn)|〈U,%〉v =
{1, ha 〈|t1|〈U,%〉
v , . . . , |tn|〈U,%〉v 〉 ∈ %(P );
0, egyébként.
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 13/29
• Ha A ∈ Form, akkor |¬A|〈U,%〉v = 1− |A|〈U,%〉
v .
• Ha A,B ∈ Form, akkor
|(A ⊃ B)|〈U,%〉v =
{0 ha |A|〈U,%〉
v = 1, és |B|〈U,%〉v = 0;
1, egyébként.
|(A ∧B)|〈U,%〉v =
{1 ha |A|〈U,%〉
v = 1, és |B|〈U,%〉v = 1;
0, egyébként.
|(A ∨B)|〈U,%〉v =
{0 ha |A|〈U,%〉
v = 0, és |B|〈U,%〉v = 0;
1, egyébként.
|(A ≡ B)|〈U,%〉v =
{1 ha |A|〈U,%〉
v = |B|〈U,%〉v ;
0, egyébként.
• Ha A ∈ Form, x ∈ V ar, akkor
|∀xA|〈U,%〉v =
{0, ha van olyan u ∈ U, hogy |A|〈U,%〉
v[x:u] = 0;
1, egyébként.
|∃xA|〈U,%〉v =
{1, ha van olyan u ∈ U, hogy |A|〈U,%〉
v[x:u] = 1;
0, egyébként.
52. Adja meg egy formulahalmaz elsorendu modelljének definícióját!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv és Γ ⊆ Form egy tetszo-leges formulahalmaz. Az 〈U, %, v〉 rendezett hármas elsorendu modellje a Γ formulahalmaznak, ha
• 〈U, %〉 egy interpretációja az L(1) nyelvnek;
• v egy 〈U, %〉 interpretációra támaszkodó értékelés;
• minden A ∈ Γ esetén |A|〈U,%〉v = 1
53. Adja meg egy formula elsorendu modelljének definícióját!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv és A ∈ Form egy tetszo-leges formula. Az A formula modelljén az {A} egyelemu formulahalmaz modelljét értjük.
54. Adja meg egy formulahalmaz kielégíthetoségének definícióját elsorendu logika esetén!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv és Γ ⊆ Form egy tetszo-leges formulahalmaz. A Γ fomulahalmaz kielégítheto, ha van (elsorendu) modellje.
55. Adja meg egy formula kielégíthetoségének definícióját elsorendu logika esetén!
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 14/29
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv és A ∈ Form egy tetszo-leges formula. Az A formula kielégítheto, ha az {A} formulahalmaz kielégítheto.
56. Adja meg egy formulahalmaz kielégíthetetlenségének definícióját elsorendu logika esetén!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv és Γ ⊆ Form egy tetszo-leges formulahalmaz. A Γ fomulahalmaz kielégíthetetlen, ha nem kielégítheto, azaz nincs modellje.
57. Adja meg egy formulahalmaz kielégíthetetlenségének definícióját elsorendu logika esetén!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv és A ∈ Form egy tetszo-leges formula. Az A formula kielégíthetetlen, ha az {A} formulahalmaz kielégíthetetlen.
58. Adja meg egy formulahalmaz logikai következményének definícióját elsorendu logika esetén!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendurendu nyelv, Γ ⊆ Form egy tet-szoleges formulahalmaz, és A ∈ Form egy formula. A Γ formulahalmaznak logikai következménye az Aformula, ha a Γ ∪ {¬A} formulahalmaz kielégíthetetlen. Jelölés: Γ |= A
59. Adja meg egy formula logikai következményének definícióját elsorendu logika esetén!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Term,Con, Form〉 egy elsorendu nyelv és A,B ∈ Form két tet-szoleges formula. Az A formulának logikai következménye a B formula, ha a {A} |= B. Jelölés: A |= B
60. Adja meg az érvényesség definícióját elsorendu logika esetén!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, és A ∈ Form egy formula.Az A formula érvényes, ha ∅ |= A, azaz ha az A formula logikai következménye az üres halmaznak. Jelölés:|= A
61. Adja meg a logikai ekvivalencia definícióját elsorendu logika esetén!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, és A,B ∈ Form két for-mula. Az A és a B formula logikailag ekvivalens, ha A |= B és B |= A. Jelölés: A⇔ B
62. Adja meg a behelyettesítoségre vonatkozó definíciókat!
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 15/29
Megoldás: Az alábbi definíciókban legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv,A ∈ Form egy formula, x, y ∈ V ar két változó és t ∈ Term egy terminus.
Definíció (Változó változóval való helyettesíthetosége) Az A formulában az x változó behelyettesítheto yváltozóval, ha az A formulában az x változó egyetlen szabad elofordulása sem esik az A formula valamely∀yB vagy ∃yB alakú részformulájába.
Definíció (Változó terminussal való helyettesíthetosége) Az A formulában az x változó behelyettesítheto a tterminussal, ha az A formulában az x változó behelyettesítheto minden olyan változóval, amely a t terminus-ban elofordul.
Definíció (Behelyettesítés eredménye) Tegyük föl, hogy az A formulában az x változó behelyettesíthetoa t terminussal. Ekkor az [A]tx kifejezéssel jelöljük azt a formulát, amely úgy keletkezik az A formu-lából, hogy benne az x változó minden szabad elofordulását a t terminussal helyettesítjük. Más jelölés:At/x, A(x‖t), A(xt )
63. Adja meg az átnevezésre vonatkozó definíciót!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, A,B,C ∈ Form háromformula, x, x1, y, y1, z, z1 ∈ V ar hat változó.
• Ha az A formula ∀xA1 alakú (A1 ∈ Form), valamint az A1 formulában az x változó behelyettesít-heto az x1 változóval, és x1 /∈ FreeV ar(A1), akkor a ∀x1[A1]x1
x formula az A formula szabályosanvégrehajtott átnevezése.
• Ha az A formula ∃xA1 alakú (A1 ∈ Form), valamint az A1 formulában az x változó behelyettesít-heto az x1 változóval, és x1 /∈ FreeV ar(A1), akkor a ∃x1[A1]x1
x formula az A formula szabályosanvégrehajtott átnevezése.
• Ha
1. a ∀yB formula egy olyan részformulája az A formulának, amely különbözik A-tól,
2. a ∀y1[B]y1y formula a ∀yB formula szabályosan végrehajtott átnevezése (következésképpen telje-
sül, hogy a B formulában a y változó behelyettesítheto az y1 változóval, és y1 /∈ FreeV ar(B)),
3. az A′ formula úgy keletkezik az A formulából, hogy A-ban a ∀yB formula valamely elofordulásáta ∀y1[B]y1
y formulával helyettesítjük,
akkor az A′ formula az A formula szabályosan végrehajtott átnevezése.
• Ha
1. a ∃zC formula egy olyan részformulája az A formulának, amely különbözik A-tól,
2. a ∃z1[C]z1z formula a ∀zC formula szabályosan végrehajtott átnevezése (következésképpen telje-sül, hogy a C formulában a z változó behelyettesítheto az z1 változóval, és z1 /∈ FreeV ar(C)),
3. az A′′ formula úgy keletkezik az A formulából, hogy A-ban a ∃zC formula valamely elofordulá-sát a ∃z1[C]z1z formulával helyettesítjük,
akkor az A′′ formula az A formula szabályosan végrehajtott átnevezése.
64. Definiálja az egy formulával kongruens formulák halmazát!
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 16/29
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv és A ∈ Form egy formula.Az A formulával kongruens formulák Cong(A)-val jelölt halmazát az alábbi induktív szabályrendszer adjameg:
• A ∈ Cong(A) (minden formula kongruens önmagával);
• ha B ∈ Cong(A) és a B′ formula a B formula szabályosan végrehajtott átnevezése, akkor B′ ∈Cong(A).
65. Definiálja, hogy mikor kongruens két formula!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv és A,B ∈ Form két for-mula. Ha B ∈ Cong(A), akkor az A formula kongruens a B formulával.
66. Definiálja a formula szintaktikai szinonimáját!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv és A,B ∈ Form két for-mula. Ha B ∈ Cong(A), akkor a B formulát az A formula szintaktikai szinonimájának nevezzük.
67. Definiálja a változóiban tiszta formulát!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv és A ∈ Form egy formula.Az A formulát változóiban tisztának nevezünk, ha
• szabad és kötött változói diszjunkt halmazt alkotnak, azaz FreeV ar(A)⋂BoundV ar(A) = ∅,
• minden kötött változó pontosan egyszer fordul elo kvantort közvetlenül követo pozícióban (mindenkötött változó pontosan egy kvantornak a változója).
68. Definálja a prenex alakú formulát!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy tetszoleges elsorendu nyelv. Az A ∈ Formformulát prenex alakúnak nevezzük, ha az alábbi két feltétel valamelyike teljesül:
• az A formula kvantormentes, azaz sem a ∀ sem a ∃ kvantor nem szerepel benne;
• az A formula Q1x1Q2x2 . . . QnxnB (n = 1, 2, . . .) alakú, ahol
– B ∈ Form kvantormentes formula;
– x1, x2 . . . xn ∈ V ar különbözo változók;
– Q1, Q2, . . . , Qn ∈ {∀,∃} kvantorok.
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 17/29
2. Tételek
69. „Kielégítheto formulahalmaz minden részhalmaza kielégítheto.” Adja meg pontosan a nulladrendu nyelvre vonat-kozó tételt, és bizonyítsa be!
Megoldás:Tétel Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, Γ ⊆ Form egy formulahalmaz. Ha Γkielégítheto formulahalmaz és ∆ ⊆ Γ, akkor ∆ kielégítheto formulahalmaz.
Bizonyítás Legyen Γ ⊆ Form egy tetszoleges kielégítheto formulahalmaz, és ∆ ⊆ Γ!
Γ kielégíthetosége miatt a Γ formulahalmaznak van modellje, legyen Γ egy modellje a % interpretáció.
% tulajdonsága: Ha A ∈ Γ, akkor |A|% = 1.
Mivel ∆ ⊆ Γ, ha A ∈ ∆, akkor A ∈ Γ, s így |A|% = 1.
Azaz a % interpretáció modellje ∆-nak, tehát ∆ kielégítheto.
70. „Kielégíthetetlen formulahalmaz minden bovítése kielégíthetetlen.” Adja meg pontosan a nulladrendu nyelvrevonatkozó tételt, és bizonyítsa be!
Megoldás:Tétel Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, Γ ⊆ Form egy formulahalmaz. Ha Γkielégíthetetlen formulahalmaz, és Γ ⊆ ∆, akkor ∆ kielégíthetetelen formulahalmaz.
Indirekt bizonyítás Tegyük fel, hogy Γ ⊆ Form tetszoleges kielégíthetetlen formulahalmaz, és ∆ ⊆ Formolyan formulahalmaz, amelyre teljesül, hogy Γ ⊆ ∆.
Indirekt feltétel: Γ kielégíthetetlen, és ∆ kielégítheto.
A tétel feltétele szerint Γ ⊆ ∆.
A kielégíthetoségre vonatkozó tétel miatt Γ kielégítheto, ez pedig ellentmondás.
71. Adja meg a következményreláció és a modell kapcsolatáról szóló tételt, és bizonyítsa!
Megoldás:Tétel Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, Γ ⊆ Form, és A ∈ Form. Γ |= A akkorés csak akkor, ha a Γ formulahalmaz minden modellje modellje az a A formulának (azaz az {A} egyelemuformulahalmaznak) is.
Bizonyítás→ Indirekt feltétel: Tegyük fel, hogy Γ |= A és van olyan modellje a Γ formulahalmaznak, amely nemmodellje az A formulának. Legyen ez a modell a % interpretáció! A % tulajdonságai:
• minden B ∈ Γ esetén |B|% = 1;
• |A|% = 0, azaz |¬A|% = 1
Ekkor a Γ ∪ {¬A} formulahalmaz minden eleme igaz %-ban, tehát Γ ∪ {¬A} kielégítheto, azaz Γ |= A nemteljesül, ami ellentmondás.
← Indirekt feltétel: Tegyük fel, hogy a Γ formulahalmaz minden modellje modellje az A formulának, deΓ |= A nem teljesül.
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 18/29
Ekkor a Γ∪{¬A} formulahalmaz kielégítheto, azaz van modellje. Legyen ez a modell a % interpretáció! A %tulajdonságai:
• minden B ∈ Γ esetén |B|% = 1;
• |¬A|% = 1, azaz |A|% = 0
Tehát a Γ formulahalmaznak van olyan modellje, ami nem modellje az A formulának, s ez ellentmondás.
72. „Érvényes formula minden formulahalmaznak következménye.” Adja meg pontosan a nulladrendu nyelvre vonat-kozó tételt, és bizonyítsa!
Megoldás: Tétel Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, A ∈ Form. Ha A érvényesformula (|= A), akkor minden Γ ⊆ Form formulahalmaz esetén Γ |= A.
Bizonyítás Ha A érvényes formula, akkor a definíció szerint ∅ |= A. Így ∅∪{¬A} (= {¬A}) kielégíthetetlen,s így a kielégíthetetlenségre kimondott tétel alapján ennek a halmaznak a bovítései is kielégíthetetlenek.Γ ∪ {¬A} bovítése {¬A}-nak, így kielégíthetetlen, tehát Γ |= A.
73. „Kielégíthetetlen formulahalmaznak minden formula következménye.” Adja meg pontosan a nulladrendu nyelvrevonatkozó tételt, és bizonyítsa!
Megoldás: Tétel Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és Γ ⊆ Form egy formulahal-maz. Ha a Γ formulahalmaz kielégíthetetlen, akkor minden A formula esetén Γ |= A.
Bizonyítás A már bizonyított tétel szerint ha a Γ formulahalmaz kielégíthetetlen, akkor Γ minden bovítése iskielégíthetetlen. Γ ∪ {¬A} bovítése Γ-nak, így kielégíthetetlen, tehát Γ |= A.
74. Adja meg a következményreláció és a modell kapcsolatát leíró tétel következményét!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, Γ ⊆ Form és A ∈ Form. Γ |= Aakkor és csak akkor, ha minden olyan interpretációban, amelyben a Γ formulahalmaz minden eleme igaz,igaz az A formula is.
75. Adja meg a dedukció tételt, és bizonyítsa!
Megoldás:Tétel Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, Γ ⊆ Form egy formulahalmaz és A,B ∈Form két formula. Ha Γ ∪ {A} |= B, akkor Γ |= (A ⊃ B).
Bizonyítás Indirekt feltétel: Tegyük fel, hogy Γ ∪ {A} |= B teljesül, de Γ |= (A ⊃ B) nem teljesül.
Így Γ ∪ {¬(A ⊃ B)} kielégítheto, tehát van modellje. Legyen egy modellje a % interpretáció!
A % tulajdonságai:
• Γ minden eleme igaz a % interpretáció szerint.
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 19/29
• |¬(A ⊃ B)|% = 1
|(A ⊃ B)|% = 0, azaz |A|% = 1 és |B|% = 0. Így |¬B|% = 1. Γ ∪ {A} ∪ {¬B} formulahalmaz mindeneleme igaz a % interpretáció szerint, azaz a formulahalmaz kielégítheto, tehát Γ∪{A} |= B nem teljesül, amiellentmondás.
76. Adja meg a dedukció tétel megfordítását, és bizonyítsa!
Megoldás:Tétel Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, Γ ⊆ Form egy formulahalmaz és A,B ∈Form két formula. Ha Γ |= (A ⊃ B), akkor Γ ∪ {A} |= B.
Bizonyítás Indirekt feltétel: Tegyük fel, hogy Γ |= (A ⊃ B), és ugyanakkor Γ ∪ {A} |= B nem teljesül.
Így Γ ∪ {A} ∪ {¬B} kielégítheto, tehát van modellje. Legyen egy modellje a % interpretáció!
A % tulajdonságai:
• Γ minden eleme igaz a % interpretáció szerint.
• |A|% = 1
• |¬B|% = 1, így |B|% = 0
Így a % interpretáció szerint |(A ⊃ B)|% = 0, következésképpen |¬(A ⊃ B)|% = 1. Γ ∪ {¬(A ⊃ B)}formulahalmaz minden eleme igaz a % interpretáció szerint, azaz a % interpretációja modellje a formulahal-maznak, ami egyben azt is jelenti, hogy a formulahalmaz kielégítheto. Tehát Γ |= (A ⊃ B) nem teljesül, amiellentmond indirekt feltételünknek.
77. Adja meg a következményreláció és implikáció kapcsolatát leíró tételt, és bizonyítsa!
Megoldás: A dedukciótétel és megfordításának következménye: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egynulladrendu nyelv, és A,B ∈ Form két formula. A |= B akkor és csak akkor, ha |= (A ⊃ B).
Bizonyítás Alkalmazzuk a dedukció tételt és megfordítását abban az esetben, amikor Γ = ∅.
78. Adja meg a logikai és materiális ekvivalencia kapcsolatát leíró következményt!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és A,B ∈ Form két formula. A⇔ Bakkor és csak akkor, ha |= (A ≡ B).
79. Adja meg a metszet tételt és bizonyítsa!
Megoldás:Tétel (Metszet tétel) Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv, Γ,∆ ⊆ Form két formula-halmaz és A,B ∈ Form két formula. Ha Γ ∪ {A} |= B és ∆ |= A, akkor Γ ∪∆ |= B.
Indirekt bizonyítás Indirekt feltétel: Tegyük fel, hogy Γ∪{A} |= B és ∆ |= A, de Γ∪∆ |= B nem teljesül.
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 20/29
Ekkor Γ ∪ ∆ ∪ {¬B} kielégítheto (a következményreláció definíciója miatt), azaz van modellje. Legyen aformulahalmaz egy modellje a % interpretáció.
A % interpretáció tulajdonságai:
• Γ minden eleme igaz a % interpretációban.
• ∆ minden eleme igaz a % interpretációban.
• |¬B|% = 1
Mivel ∆ |= A és ∆ minden eleme igaz a % interpretációban, |A|% = 1. Következésképpen a Γ∪{A}∪{¬B}halmaz minden eleme igaz a % interpretációban, ami azt jelenti, hogy a Γ ∪ {A} ∪ {¬B} formulahalmazkielégítheto. Ekkor azonban a következményreláció definíciója miatt Γ ∪ {A} |= B nem teljesül. Ez pedigellentmond indirekt feltételünknek.
80. Adja meg a normálforma tételt!
Megoldás: Legyen L(0) = 〈LC,Con, Form〉 egy nulladrendu nyelv és A ∈ Form egy formula. Ekkorlétezik olyan B ∈ Form, hogy
• A⇔ B
• B diszjunktív vagy konjunktív normálformájú.
81. „A szintaktikai következményreláció reflexív.” Adja meg pontosan a nulladrendu nyelvre vonatkozó tételt, ésbizonyítsa!
Megoldás:Tétel Γ, A ` A (azaz a szintaktikai következményreláció reflexív).
Bizonyítás Jelölés: a rövidség kedvéért Γ∪{A} helyett ’Γ, A’-t írunk. Mivel A ∈ Γ∪{A}, így a szintaktikaikövetkezményreláció definíciójának második pontja miatt Γ ∪ {A} ` A, azaz Γ, A ` A.
82. „A szintaktikai következményreláció monoton.” Adja meg pontosan a nulladrendu nyelvre vonatkozó tételt, ésbizonyítsa!
Megoldás:Tétel Ha Γ ` A, akkor Γ ∪∆ ` A.
Bizonyítás (strukturális indukcióval)
• Ha A axióma, akkor minden formulahalmaznak szintaktikai következménye, így a Γ ∪∆ formulahal-maznak is.
• Ha A ∈ Γ, akkor A ∈ Γ ∪∆, így A ∈ Γ ∪∆ ` A
• Tegyük fel, hogy A nem axióma, A /∈ Γ és Γ ` A. Ekkor van olyan B ∈ Form formula, hogy Γ ` Bés Γ ` B ⊃ A. Indukciós feltevés: Tegyük fel, hogy állításunk teljesül a B és a B ⊃ A formulára,azaz ha Γ ` B, akkor Γ ∪∆ ` B, és ha Γ ` B ⊃ A, akkor Γ ∪∆ ` B ⊃ A.
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 21/29
Ekkor be kell látni, hogy Γ ∪ ∆ ` A. Mivel Γ ∪ ∆ ` B és Γ ∪ ∆ ` B ⊃ A, így a szintaktikaikövetkezményreláció definíciójának harmadik pontja miatt ekkor a Γ ∪∆ ` A is teljesül.
83. Adja meg a kalkulus dedukció tételét, és bizonyítsa! (Segédtétel bizonyítása plusz pont.)
Megoldás:Tétel (Dedukció tétel, kalkulus) Ha Γ, A ` B, akkor Γ ` A ⊃ B.
Bizonyítás (strukturális indukcióval)
• Legyen B egy axióma. Ekkor Γ ` B. Mivel a B ⊃ (A ⊃ B) formula is axióma, így Γ ` B ⊃ (A ⊃B). Ha Γ ` B és Γ ` B ⊃ (A ⊃ B), akkor a szintaktikai következményreláció definíciójának 3.pontja miatt Γ ` (A ⊃ B).
• Legyen B ∈ Γ∪{A}. Ha B = A, akkor a segédtétel szerint ` A ⊃ A. A monotonitás miatt Γ ` A ⊃ A.
Ha B ∈ Γ, akkor Γ ` B. Mivel B ⊃ (A ⊃ B) axióma, így Γ ` B ⊃ (A ⊃ B). Ha Γ ` B és Γ ` B ⊃(A ⊃ B), akkor a szintaktikai következményreláció definíciójának 3. pontja miatt Γ ` (A ⊃ B).
• Tegyük fel, hogy B nem axióma, B /∈ Γ ∪ {A} és Γ, A ` B. Ekkor van olyan C ∈ Form formula,hogy Γ, A ` C és Γ, A ` C ⊃ B.
Indukciós feltevés: Tegyük fel, hogy állításunk teljesül a C és a C ⊃ B formulára, azaz ha Γ, A ` C,akkor Γ ` A ⊃ C, és ha Γ, A ` C ⊃ B, akkor Γ ` A ⊃ (C ⊃ B). Ekkor be kell látni, hogyΓ ` A ⊃ B.
– Γ ` A ⊃ C (indukciós feltevés)
– Γ ` A ⊃ (C ⊃ B) (indukciós feltevés)
– Γ ` (A ⊃ (C ⊃ B)) ⊃ ((A ⊃ C) ⊃ (A ⊃ B)) mivel a (A ⊃ (C ⊃ B)) ⊃ ((A ⊃ C) ⊃ (A ⊃B)) formula axióma.
– Γ ` (A ⊃ C) ⊃ (A ⊃ B) (A 2. és a 3. pontból leválasztással nyerheto.)
– Γ ` (A ⊃ B) (A 1. és a 4. pontból leválasztással nyerheto.)
Segédtétel ` A ⊃ A
Bizonyítás
• ` (A ⊃ ((C ⊃ A) ⊃ A)) ⊃ ((A ⊃ (C ⊃ A)) ⊃ (A ⊃ A)) (A második axióma a következoválasztással: A := A;B := C ⊃ A;C := A)
• ` (A ⊃ ((C ⊃ A) ⊃ A)) (Az elso axióma a következo választással: A := A;B := C ⊃ A)
• ` (A ⊃ (C ⊃ A)) ⊃ (A ⊃ A) (A leválasztási szabály alkalmazása az 1. és 2. pontra.)
• ` (A ⊃ (C ⊃ A)) (Az elso axióma a következo választással: A := A;B := C)
• ` A ⊃ A (A leválasztási szabály alkalmazása az 3. és 4. pontra.)
84. Adja meg a kalkulus dedukció tételének megfordítását, és bizonyítsa!
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 22/29
Megoldás:Tétel Ha Γ ` A ⊃ B, akkor Γ, A ` B
Bizonyítás A monotonítás miatt Γ, A ` A ⊃ B. A reflexivitás miatt Γ, A ` A. A leválasztási szabálytalkalmazva az elozo két pontra kapjuk, hogy Γ, A ` B.
85. Adja meg a kalkulus metszet tételét és bizonyítsa!
Megoldás:Tétel Ha Γ ` A és ∆, A ` B, akkor Γ ∪∆ ` B.
Bizonyítás A monotonitás miatt Γ ∪∆ ` A. A dedukció tétel miatt ∆ ` A ⊃ B, s így a monotonitás miattΓ ∪∆ ` A ⊃ B. Az elozo két pontra alkalmazva a leválasztási szabályt kapjuk, hogy Γ ∪∆ ` B.
86. Adja meg az elsorendu szemantika alaptételeit!
Megoldás:Tétel Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, A ∈ Form egy formula, 〈U, %〉egy elsorendu interpretáció és v egy 〈U, %〉 interpretációra támaszkodó értékelés. Ekkor az |A|〈U,%〉
v értékegyértelmuen meghatározott.
Tétel Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, A ∈ Form egy formula,〈U, %〉 egy elsorendu interpretáció és v1, v2 két 〈U, %〉 interpretációra támaszkodó értékelés. Ha mindenx ∈ FreeV ar(A) esetén v1(x) = v2(x), akkor |A|〈U,%〉
v1 = |A|〈U,%〉v2
87. „A logikai ellentmondástalanság szukítéssel nem rontható el.” Adja meg pontosan az elsorendu tételt, és bizo-nyítsa!
Megoldás: Tétel Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, Γ ⊆ Form egyformulahalmaz. Ha Γ kielégítheto formulahalmaz és ∆ ⊆ Γ, akkor ∆ kielégítheto formulahalmaz.
Bizonyítás Legyen Γ ⊆ Form egy tetszoleges kielégítheto formulahalmaz, és ∆ ⊆ Γ! Γ kielégíthetoségemiatt a Γ formulahalmaznak van modellje. Legyen Γ egy modellje az 〈U, %, v〉 rendezett hármas. 〈U, %, v〉modell tulajdonsága:
• Ha A ∈ Γ, akkor |A|〈U,%〉v = 1
Mivel ∆ ⊆ Γ, ha A ∈ ∆, akkor A ∈ Γ, s így |A|〈U,%〉v = 1. Azaz az 〈U, %, v〉 rendezett hármas modellje
∆-nak, tehát ∆ kielégítheto.
88. Adja meg a következményreláció és a modell kapcsolatáról szóló tételt elsorendben, és bizonyítsa!
Megoldás:Tétel Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, Γ ⊆ Form, és A ∈ Form.Γ |= A akkor és csak akkor, ha a Γ formulahalmaz minden modellje modellje az a A formulának (azaz az{A} egyelemu formulahalmaznak) is.
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 23/29
Bizonyítás→ Indirekt feltétel: Tegyük fel, hogy Γ |= A és van olyan modellje a Γ formulahalmaznak, amelynem modellje az A formulának. Legyen ez a modell az 〈U, %, v〉 rendezett hármas!
A 〈U, %, v〉 tulajdonságai:
• minden B ∈ Γ esetén |B|〈U,%〉v = 1;
• |A|〈U,%〉v = 0, azaz |¬A|〈U,%〉
v = 1
Ekkor a Γ ∪ {¬A} formulahalmaz minden eleme igaz a 〈U, %〉 interpretációban a v értékelés szerint, te-hát Γ ∪ {¬A} kielégítheto (hiszen modellje az 〈U, %, v〉 rendezett hármas), azaz Γ |= A nem teljesül, amiellentmondás.
← Indirekt feltétel: Tegyük fel, hogy a Γ formulahalmaz minden modellje modellje az A formulának, deΓ |= A nem teljesül.
Ekkor a Γ∪ {¬A} formulahalmaz kielégítheto, azaz van modellje. Legyen ez a modell az 〈U, %, v〉 rendezetthármas!
Az 〈U, %, v〉 tulajdonságai:
• minden B ∈ Γ esetén |B|〈U,%〉v = 1;
• |¬A|〈U,%〉v = 1, azaz |A|〈U,%〉
v = 0
Tehát a Γ formulahalmaznak van olyan modellje (az 〈U, %, v〉 rendezett hármas), ami nem modellje az Aformulának, s ez ellentmondás.
89. „Érvényes formula minden formulahalmaznak következménye.” Adja meg pontosan a tételt elsorendben, és bizo-nyítsa!
Megoldás:Tétel Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, A ∈ Form. Ha A érvényesformula (|= A), akkor minden Γ ⊆ Form formulahalmaz esetén Γ |= A.
Bizonyítás Ha A érvényes formula, akkor a definíció szerint ∅ |= A. Így ∅∪{¬A} (= {¬A}) kielégíthetetlen,s így a kielégíthetetlenségre kimondott tétel alapján ennek a halmaznak a bovítései is kielégíthetetlenek.Γ ∪ {¬A} bovítése {¬A}-nak, így kielégíthetetlen, tehát Γ |= A.
90. „Kielégíthetetlen formulahalmaznak minden formula következménye.” Adja meg pontosan a tételt elsorendben,és bizonyítsa!
Megoldás:Tétel Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy nulladrendu nyelv és Γ ⊆ Form egy formulahal-maz.. Ha a Γ formulahalmaz kielégíthetetlen, akkor minden A formula esetén Γ |= A.
Bizonyítás A már bizonyított tétel szerint ha a Γ formulahalmaz kielégíthetetlen, akkor Γ minden bovítése iskielégíthetetlen. Γ ∪ {¬A} bovítése Γ-nak, így kielégíthetetlen, tehát Γ |= A.
91. Adja meg a dedukció tételt elsorendu logika esetén, és bizonyítsa!
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 24/29
Megoldás:Tétel Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, Γ ⊆ Form egy formulahalmazés A,B ∈ Form két formula. Ha Γ ∪ {A} |= B, akkor Γ |= (A ⊃ B).
Bizonyítás Indirekt feltétel: Tegyük fel, hogy Γ ∪ {A} |= B teljesül, de Γ |= (A ⊃ B) nem teljesül.
Így Γ ∪ {¬(A ⊃ B)} kielégítheto, tehát van modellje. Legyen egy modellje az 〈U, %, v〉 rendezett hármas!Az 〈U, %, v〉 modell tulajdonságai:
• Γ minden eleme igaz az 〈U, %〉 interpretáció és a v értékelés szerint.
• |¬(A ⊃ B)|〈U,%〉v = 1
|(A ⊃ B)|〈U,%〉v = 0, azaz |A|〈U,%〉
v = 1 és |B|〈U,%〉v = 0. Így |¬B|〈U,%〉
v = 1. Γ∪ {A} ∪ {¬B} formulahalmazminden eleme igaz az 〈U, %〉 interpretáció és a v értékelés szerint, azaz a formulahalmaz kielégítheto, tehátΓ ∪ {A} |= B nem teljesül, ami ellentmondás.
92. Adja meg a dedukció tételének megfordítását elsorendu logika esetén, és bizonyítsa!
Megoldás:Tétel Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, Γ ⊆ Form egy formulahalmazés A,B ∈ Form két formula. Ha Γ |= (A ⊃ B), akkor Γ ∪ {A} |= B.
Bizonyítás Indirekt feltétel: Tegyük fel, hogy Γ |= (A ⊃ B), és ugyanakkor Γ ∪ {A} |= B nem teljesül.
Így Γ ∪ {A} ∪ {¬B} kielégítheto, tehát van modellje. Legyen egy modellje az 〈U, %, v〉 rendezett hármas!Az 〈U, %, v〉 modell tulajdonságai:
• Γ minden eleme igaz az 〈U, %〉 interpretáció és v értékelés szerint.
• |A|〈U,%〉v = 1
• |¬B|〈U,%〉v = 1, így |B|〈U,%〉
v = 0
Így |(A ⊃ B)|〈U,%〉v = 0, következésképpen |¬(A ⊃ B)|〈U,%〉
v = 1. Γ ∪ {¬(A ⊃ B)} formulahalmazminden eleme igaz az 〈U, %〉 interpretáció és v értékelés szerint, azaz az 〈U, %, v〉 rendezett hármas modelljea formulahalmaznak, ami egyben azt is jelenti, hogy a formulahalmaz kielégítheto. Tehát Γ |= (A ⊃ B) nemteljesül, ami ellentmond indirekt feltételünknek.
93. Adja meg a következményreláció és implikáció kapcsolatát leíró tételt elsorendu logika esetén, és bizonyítsa!
Megoldás:Tétel Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, és A,B ∈ Form két formula.A |= B akkor és csak akkor, ha |= (A ⊃ B)
Bizonyítás Alkalmazzuk a dedukció tételt és megfordítását abban az esetben, amikor Γ = ∅.
94. Adja meg a logikai és materiális ekvivalencia kapcsolatát leíró következményt elsorendu logika esetén!
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 25/29
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv és A,B ∈ Form két for-mula. A⇔ B akkor és csak akkor, ha |= (A ≡ B).
95. Adja meg a metszet tételt elsorendu logika esetén, és bizonyítsa!
Megoldás:Tétel Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, Γ,∆ ⊆ Form két formulahal-maz és A,B ∈ Form két formula. Ha Γ ∪ {A} |= B és ∆ |= A, akkor Γ ∪∆ |= B.
Indirekt bizonyítás Indirekt feltétel: Tegyük fel, hogy Γ∪{A} |= B és ∆ |= A, de Γ∪∆ |= B nem teljesül.
Ekkor Γ ∪ ∆ ∪ {¬B} kielégítheto (a következményreláció definíciója miatt), azaz van modellje. Legyen aformulahalmaz egy modellje az 〈U, %, v〉 rendezett hármas. Az 〈U, %, v〉 modell tulajdonságai:
• Γ minden eleme igaz az 〈U, %〉 interpretáció és v értékelés szerint.
• ∆ minden eleme igaz az 〈U, %〉 interpretáció és v értékelés szerint.
• |¬B|〈U,%〉v = 1
Mivel ∆ |= A és ∆ minden eleme igaz az 〈U, %〉 interpretáció és v értékelés szerint, |A|〈U,%〉v = 1. Követ-
kezésképpen a Γ ∪ {A} ∪ {¬B} halmaz minden eleme igaz az 〈U, %〉 interpretáció és v értékelés szerint,ami azt jelenti, hogy a Γ ∪ {A} ∪ {¬B} formulahalmaz kielégítheto. Ekkor azonban a következményrelációdefiníciója miatt Γ ∪ {A} |= B nem teljesül. Ez pedig ellentmond indirekt feltételünknek.
96. Adja meg és bizonyítsa az elso de Morgan törvényt elsorendu logika esetén!
Megoldás:Tétel Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, A ∈ Form egy formula ésx ∈ V ar egy változó. Ekkor ¬∃xA⇔ ∀x¬A.
Bizonyítás A törvény bizonyításához eloször lássuk be, hogy ¬∃xA |= ∀x¬A.
Indirekt tegyük fel, hogy nem teljesül a következményreláció, azaz a {¬∃xA,¬∀x¬A} halmaz kielégítheto.
Ekkor a halmaznak van modellje, legyen a tekintett formulahalmaz egy modellje az 〈U, %, v〉 rendezett hár-mas. Az 〈U, %, v〉 modell tulajdonságai:
• |¬∃xA|〈U,%〉v = 1, és így |∃xA|〈U,%〉
v = 0
• |¬∀x¬A|〈U,%〉v = 1, azaz |∀x¬A|〈U,%〉
v = 0
Az univerzális kvantor szemantikai szabálya szerint a 2. pont akkor teljesül, ha van olyan u ∈ U , hogy|¬A|〈U,%〉
v[x:u] = 0, azaz |A|〈U,%〉v[x:u] = 1. Ez pedig az egzisztenciális kvantor szemantikai szabálya szerint azt
jelenti, hogy |∃xA|〈U,%〉v = 1, ami ellentmond az elso pontnak.
Most lássuk be, hogy ∀x¬A |= ¬∃xA! Indirekt tegyük fel, hogy nem teljesül a következményreláció, azaz a{∀x¬A,¬¬∃xA} halmaz kielégítheto.
Ekkor a halmaznak van modellje, legyen a tekintett formulahalmaz egy modellje az 〈U, %, v〉 rendezett hár-mas. Az 〈U, %, v〉 modell tulajdonságai:
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 26/29
• |∀x¬A|〈U,%〉v = 1
• |¬¬∃xA|〈U,%〉v = 1, azaz |∃xA|〈U,%〉
v = 1
Az egzisztenciális kvantor szemantikai szabálya szerint a 2. pont akkor teljesül, ha van olyan u ∈ U , hogy|A|〈U,%〉
v[x:u] = 1, azaz |¬A|〈U,%〉v[x:u] = 0. Ez pedig az univerzális kvantor szemantikai szabálya szerint azt jelenti,
hogy |∀x¬A|〈U,%〉v = 0, ami ellentmond az elso pontnak.
97. Sorolja fel a kvantorok hatásköre bovítésének törvényeit!
Megoldás:Tétel Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, A,B ∈ Form két formula ésx ∈ V ar egy változó. Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor
• A ∧ ∀xB ⇔ ∀x(A ∧B)
• A ∧ ∃xB ⇔ ∃x(A ∧B)
• A ∨ ∀xB ⇔ ∀x(A ∨B)
• A ∨ ∃xB ⇔ ∃x(A ∨B)
• A⊃∃xB ⇔ ∃x(A⊃B)
• ∃xB⊃A⇔ ∀x(B⊃A)
• A⊃∀xB ⇔ ∀x(A⊃B)
• ∀xB⊃A⇔ ∃x(B⊃A)
98. Adja meg a fiktív kvantorokra vonatkozó törvényeket!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv, A ∈ Form egy formula ésx ∈ V ar egy változó. Ha x /∈ FreeV ar(A), akkor
• ∀xA⇔ A
• ∃xA⇔ A
99. Adja meg a szinonimákra vonatkozó tételeket!
Megoldás:Tétel A formulák között értelmezett kongruencia reláció ekvivalencia reláció, azaz:
• reflexív: A ∈ Cong(A);
• szimmetrikus: ha B ∈ Cong(A), akkor A ∈ Cong(B);
• tranzitív: ha B ∈ Cong(A) és C ∈ Cong(B), akkor C ∈ Cong(A).
Tétel A kongruens formulák logikailag ekvivalensek, azaz ha B ∈ Cong(A), akkor A⇔ B.
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 27/29
100. Adja meg a változótisztaságra vonatkozó tételt!
Megoldás:Tétel Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy elsorendu nyelv és A ∈ Form egy formula. Ekkorlétezik olyan B ∈ Form formula, hogy
• a B formula változóiban tiszta,
• a B formula kongruens az A formulával, azaz B ∈ Cong(A).
101. Adja meg a prenex alakra vonatkozó tételt!
Megoldás: Legyen L(1) = 〈LC, V ar, Con, Term,Form〉 egy tetszoleges elsorendu nyelv és A ∈ Form.Ekkor létezik olyan B ∈ Form, hogy
• a B formula prenex alakú,
• A⇔ B.
3. Feladatok
102. Bizonyítsa be, hogy egy kielégíthetetlen formulahalmazban mindig van hamis elem!
103. Igaz-e, hogy minden kielégíthetetlen formulahalmaznak van kielégítheto része?
104. Igaz-e, hogy minden kielégíthetetlen formulahalmaznak van nem üres kielégítheto része?
105. Igaz-e, hogy minden kielégítheto formulahalmaznak van kielégíthetetlen bovítése?
106. Igaz-e, hogy egy kielégíthetetlen formulahalmaznak minden része kielégíthetetlen?
107. Kielégítheto vagy kielégíthetetlen az üres formulahalmaz?
108. Adjon példát kielégítheto, illetve kielégíthetetlen formulahalmazra!
109. Bizonyítsa be, hogy A |= B (A,B ∈ Form) akkor és csak akkor, ha minden olyan interpretáció, amely A-tigazzá teszi, igazzá teszi B-t is!
110. Bizonyítsa be, hogy A |= B akkor és csak akkor nem teljesül, ha van olyan interpretáció, amelyben A igaz és Bhamis!
111. Bizonyítsa be, hogy egy kielégíthetetlen formulahalmaznak minden formula következménye!
112. Bizonyítsa be, hogy egy érvényes formula minden formulahalmaznak következménye!
113. Igazak-e az alábbi állítások? (Ha igaz, akkor bizonyítsa, ha hamis, akkor ellenpéldával cáfolja!)
(a) Minden A formula esetén ha az A formula kielégítheto (azaz a {A} halmaz kielégítheto), akkor a ¬A iskielégítheto.
(b) Ha ¬A érvényes akkor A nem kielégítheto.
(c) Ha ¬A kielégítheto, akkor A érvényes formula.
(d) Ha A érvényes formula, akkor A kielégítheto.
Logika kiskáté Mérnök informatikus, gazdasági informatikus 28/29
(e) Ha A kielégítheto, akkor A érvényes formula.
(f) Minden A formula esetén létezik olyan A-tól különbözo B formula, amelyre teljesül, hogy A |= B.
(g) Minden A formula esetén létezik olyan A-val nem logikailag ekvivalens B formula, amelyre teljesül, hogyA |= B.
(h) Minden A formula esetén létezik olyan A-tól különbözo B formula, amelyre teljesül, hogy B |= A.
(i) Minden A formula esetén létezik olyan A-val nem logikailag ekvivalens B formula, amelyre teljesül, hogyB |= A.
(j) Minden A,B formula esetén teljesül, hogy A |= B vagy B |= A.
(k) Létezik olyan formula, amely minden formulának következménye.
(l) Minden A,B formula esetén teljesül, hogy ha A |= B, akkor B |= A.
(m) Minden A,B formula esetén teljesül, hogy ha A |= B, akkor B-nek nem logikai következménye az A.
(n) Létezik olyan A,B formula, hogy A |= B, de B-nek nem következménye A.
(o) Ha Γ |= A vagy Γ |= B, akkor Γ |= (A ∧B).
(p) Ha Γ |= A és Γ |= B, akkor Γ |= (A ∨B).
(q) Ha Γ |= A ∨B, akkor Γ |= A vagy Γ |= B.
(r) Ha Γ |= (A ⊃ B) és Γ |= (A ⊃ C), akkor Γ, A |= (B ∧ C).
(s) Ha Γ |= (A ⊃ B) és Γ |= (A ⊃ C), akkor Γ, C |= (A ∨B).
(t) Ha Γ |= (A ⊃ C) és Γ |= (B ⊃ C), akkor Γ, (A ∨B) |= C.
(u) Ha Γ |= (A ⊃ C) és Γ |= (B ⊃ C), akkor Γ, (A ∨ C) |= B.
114. Bizonyítsa be az alábbiakat!
(a) Ha Γ |= A és Γ |= (A ⊃ B), akkor Γ |= B.
(b) Ha Γ |= A és Γ |= B, akkor Γ |= (A ∧B).
(c) Ha Γ, A |= C és Γ, B |= C, akkor Γ, (A ∨B) |= C.
(d) Ha Γ |= A, akkor Γ |= A ∨B.
(e) Ha Γ, A |= B és Γ, A |= ¬B, akkor Γ |= ¬A.
(f) Ha Γ |= A és Γ |= (A ≡ B), akkor Γ |= B.
115. (a) Döntse el, hogy egy adott formulában egy adott változó behelyettesítheto-e egy megadott változóval! Haigen, akkor hajtsa végre a behelyettesítést!
(b) Döntse el, hogy egy adott formulában egy adott változó behelyettesítheto-e egy megadott terminussal! Haigen, akkor hajtsa végre a behelyettesítést!
(c) Adja meg egy adott formula szabályosan végrehajtott átnevezését!
(d) Döntse el két adott formuláról, hogy kongruensek-e!
(e) Döntse el két adott formuláról, hogy egymás szintaktikai szinonimái-e!
(f) Adja meg egy adott formula változótiszta alakját!
(g) Adja meg egy adott formula prenex alakját!
116. Bizonyítsa be a kvantifikáció De Morgan törvényeit!