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Livro Analog Filters
Kendall L. Su
Captulo 3: Funes de Rede
Objetivo:
Uma vez que a caracterstica de mdulo tenha sido escolhida para
uma determinada aplicao de filtragem, o prximo passo determinar uma
funo de rede H(s)que tenha esta caracterstica de mdulo e que tambm
seja realizvel. Por realizvel, entende-se que a funo deve ser tal
que exista pelo menos uma rede funcional, que posa ser implementada
com componentes reais, e que execute a tarefa de filtragem de
acordo com o esperado. Por exemplo, a funo de rede deve ser tal que
no tenha plo na metade direita do plano s. Se isso acontecer, a
rede no ser estvel, e poder ou tornar-se no-linear, passando a
funcionar de forma inadequada, ou mesmo autodestruir-se.
3.1 - Procedimento Geral
Dado |()|2, o que se quer obter H(s) Do Captulo 2, sabe-se que
|()|2 = ()()]= . Aqui, o que se quer exatamente o procedimento
inverso, ou seja, partir de |()|2 para obter H(s). Ento, partindo
de |()|2 pode-se escrever
()() = |()|2]2=2 = (2)(2)2=2
Se desejamos obter () = ()(), ento pode-se escrever
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()() = (2)]2=2e()() = (2)]2=2 . O procedimento para obteno do
polinmioP(s) correspondente a um dado (2) idntico quele para obteno
do polinmio Q(s) correspondente a um dado (2). Ento, escolhemos,
arbitrariamente, ilustrar o procedimento usando (2) e P(s). Uma vez
que P(s) um polinmio com coeficientes reais, suas razes devem ser
reais ou ocorrerem em pares complexos conjugados. Por outro lado,
os zeros de P(-s) so os negativos daqueles de P(s). Assim, os zeros
de P(s)P(-s) s podem ocorrer em grupos como aqueles ilustrados na
figura a seguir.
No grupo (a) as razes so reais, e para cada raiz num semiplano
do plano s deve haver outra no semiplano contrrio. O grupo do tipo
(b) contm razes complexas, que devem ocorrer em conjuntos de
quatro, simtricas em relao a ambos os eixos (tal grupo apresenta a
chamada simetria quadrantal). J o grupo (c) corresponde a razes
imaginrias. Alm de serem conjugadas, elas devem aparecer sempre com
multiplicidade par (na figura so dois pares de razes imaginrias).
Para obteno de P(s) dado (2), primeiro se substitui cada 2 em (2)
por 2, ou cada por . Ento, resolve-se
(a)
(b)
(c)
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(2) = 0, obtendo-se todas as razes de (2). Razes reais
correspondero a termos ( + )( )(razes e ), razes complexas
correspondero a termos (2 + 2 + 2 + 2)(2 2 + 2 + 2) (razes e ), e
razes imaginrias correspondero a termos (2 + 2)2 (razes
duplicadas). Com isso, constri-se P(s) da seguinte forma: para cada
grupo de razes dos tipos (a) ou (b) alocam-se aqueles em um dos
semiplanos laterais para P(s), e aqueles no outro semiplano lateral
para P(-s). Observe-se que considerando o caso de (2) no importa
qual o semiplano lateral alocado para P(s). J no caso de razes
imaginrias, grupo (c), simplesmente aloca-se um par para P(s) e
outro par para P(-s), j que elas ocorrem em multiplicidade par. Por
exemplo, se (2) = ( + 2)( 2)(2 + 2 + 5)(2 2 + 5)(2 + 6)2, P(s)
poderia ser qualquer um dos polinmios ( + 2)(2 + 2 + 5)(2 + 6) (
2)(2 + 2 + 5)(2 + 6) ( + 2)(2 2 + 5)(2 + 6) ( 2)(2 2 + 5)(2 + 6) os
quais correspondem exatamente mesma expresso para P(s)P(-s). O
procedimento para obter Q(s) dado (2) exatamente o mesmo que para
obter P(s) dado (2). Porm, como Q(s) deve ser Hurwitz (um polinmio
Hurwitz se todas as suas razes esto no semiplano lateral esquerdo
do plano s), devemos sempre escolher as razes do semiplano lateral
esquerdo para Q(s), e as do semiplano lateral direito para Q(-s).
Da, se (2) = ( + 2)( 2)(2 + 2 + 5)(2 2 +5)(2 + 6)2, a nica opo para
Q(s) seria
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( + 2)(2 + 2 + 5)(2 + 6) As vrias formas de alocao das razes de
(2) no modificam (2). Porm, a fase da funo de transferncia H(s)
resultante afetada. Quando apenas razes no semiplano lateral
esquerdo so escolhidas para P(s), H(s) ter a menor fase em cada
freqncia (neste caso, H(s) chamada de funo de transferncia de fase
mnima). Se razes do semiplano lateral direito forem selecionadas
para P(s), ento H(s) dita funo de transferncia de fase no
mnima.
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Os passos computacionais para obter o denominador de H(s) podem
ser levados a cabo usando MATLAB, conforme a seguir:
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3.2 Funes de Rede para Filtros Butterworth Para uma funo H(s)
cuja caracterstica de mdulo a caracterstica de Butterworth passa
baixas normalizada, temos
()() = 11 + (2) Da, de imediato () = 1, e s necessrio trabalhar
com (2) = ()() = 1 + (2) , para obter Q(s) e formar a funo de
transferncia () = 1
(). As razes de Q(s)Q(-s) so as razes de 1 + (2) = 0, ou seja,
(2) = 1 = (+2 ), onde k qualquer inteiro. Da 2 = (2+1) , ou 2 =
(2+1) . Por fim, as 2n razes distintas de Q(s)Q(-s) so = (2+1)2 2,
para = 0, ,2 1. Alternativamente, podemos escrever = = , sendo =
(2+1)2 2 = (2+1)2 e = (2+1)2 2 = (2+1)2 , o que resulta em 2 + 2 =
1, ou seja,
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todas as razes de Q(s)Q(-s), ou seja, todos os plos de H(s), tm
mdulo 1. Mais ainda, variando-se o valor de k percebe-se que as
razes deQ(s)Q(-s) esto espaadas entre si de um intervalo angular
constante dado por 3602 = 180 . Tambm se pode notar que se n for
mpar duas razes de Q(s)Q(-s) sero reais, enquanto as demais sero
complexas conjugadas (simetria quadrantal). Por outro lado, se n
for par todas as razes de Q(s)Q(-s) sero complexas conjugadas
(somente teremos razes em simetria quadrantal). A figura a seguir
mostra as razes de Q(s)Q(-s) para n=6 e para n=9,
respectivamente.
Uma vez que Q(s) o denominador de H(s), tal polinmio deve ser
Hurwitz. Da, somente razes de (2) = ()() localizadas no semiplano
lateral esquerdo podem ser utilizadas para formar Q(s), ou seja,
para formar o denominador de H(s). Os polinmios formados como aqui
discutido so chamados polinmios Butterworth.
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Este exemplo tambm pode ser trabalhado em MATLAB, como a
seguir:
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Usando MATLAB:
Dois aspectos interessantes relativos aos polinmios normalizados
de Butterworth devem ser mencionados: a) o termo constante (de
ordem zero em s) sempre 1, o que se deve ao fato de que todas as
razes do polinmio tm mdulo igual a 1; b) os coeficientes dos
polinmios so sempre simtricos e positivos. Alguns polinmios de
Butterworth esto tabelados abaixo
Tabela A1: Polinmios de Butterworth na forma fatorada
n Polinmios 1 ( + 1) 2 (s2 + 1,414214s + 1) 3 (2 + + 1)( + 1) 4
(2 + 0,765367 + 1)(2 + 1,847759 + 1) 5 (2 + 0,618034 + 1)(2 +
1,618034 + 1)( + 1) 6 (2 + 0,517638 + 1)(2 + 1,414214 + 1)(2 +
1,931852 + 1) 7 (2 + 0,445042 + 1)(2 + 1,246980s + 1)(2 + 1,801938
+ 1) 8 (2 + 0,390181 + 1)(2 + 1,111140s + 1)(2 + 1,662939 + 1)(2 +
1,961571 + 1) 9 (2 + 0,347296 + 1)(2 + s + 1)(2 + 1,532089 + 1)(2 +
1,879385 + 1)( + 1) 10 (2 + 0,312869 + 1)(2 + 0,907981s + 1)(2 +
1,414214 + 1)(2 + 1,782013 + 1)(2 + 1,975377 + 1)
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Tabela A.2. Polinmios de Butterworth na forma expandida
n Polinmios 1 + 1 2 s2 + 1,414214s + 1 3 s3 + 2s2 + 2s + 1 4 s4
+ 2,613126s3 + 3,414214s2 + 2,613126s + 1 5 s5 + 3,236068s4 +
5,236068s3 + 5,236068s2 + 3,236068s + 1 6 s6 + 3,863703s5 +
7,464102s4 + 9,141620s3 + 7,464102s2 + 3,863703s + 1 7 s7 +
4,493959s6 + 10,097835s5 + 14,591794s4 + 14,591794s3 + 10,097835s2
+ 4,493959s + 1 8 s8 + 5,125831s7 + 13,137071s6 + 21,846151s5 +
25,688356s4 + 21,846151s3 + 13,137071s2 + 5,125831s + 1 9 s9 +
5,758770s8 + 16,581719s7 + 31,163437s6 + 41,986386s5 + 41,986386s4
+ 31,163437s3 + 16,581719s2 +5,758770s + 1 10 s10 + 6,392453s9 +
20,431729s8 + 42,802061s7 + 64,882396s6 + 74,233429s5 + 64,882396s4
+ 42,802061s3 +20,431729s2 + 6,392453s + 1
Os coeficientes dos polinmios de Butterworth podem tambm ser
obtidos usando o comando buttap do MATLAB, atravs da linha de
comando [z,p,k]=buttap(n) onde n a ordem do filtro, z um vetor que
contmos zeros do filtro ( um vetor vazio), p um vetor que contm os
plos do filtro ( um vetor com nelementos), e k uma constante (igual
a 1). Com isto, os polinmios de Butterworth podero ser formados com
os plos retornados por esta chamada, como ilustrado abaixo para os
Exemplos 2 e 3 vistos anteriormente.
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3.2 Funes de Rede para Filtros Chebyschev Para a caracterstica
de modulo passa baixas de Chebyschev, dada por |()|2 = 11+22(),
obtm-se que ()() =
2()() = 21+22( ). Novamente, tem-se que lidar somente com os
polinmios denominadores, j que obteremos () =
(). As razes de Q(s)Q(-s) so as solues da equao 1 + 22() = 0 2()
= 12, ou seja, de () =[1()] = 1
(eq X).
Seja cos1() = + . Ento, = cos( + ) =coscos sensen = coscos
sensen, ou seja, = sensen + coscos a soluo desejada. A partir da
equao X, escreve-se cos[( + )]=coscosh sensenh = 1
. Agora,
igualando a parte real e a parte imaginria dos dois lados desta
equao obtm-se coscosh = 0 (eq Y) sensenh = 1
(eq Z)
Como real, cosh > 1, e da a soluo da equao Y cos = 0, ou
seja, um mltiplo inteiro e mpar de 2. Logo, = (21)2 , sendo um
inteiro qualquer. Portanto, sen =1, e senh = 1
e = 1
senh1 1
.
Portanto, as razes de Q(s)Q(-s) so dadas por
-
= sen (2 1)2 senh + cos (2 1)2 cosh sendo importante destacar
que apesar de poder ter qualquer valor inteiro, apenas os valores
[1,2] geram razes distintas. Portanto, conhecendo-se e , obtm-se o
valorde , e as razes de Q(s)Q(-s) so determinadas a partir da equao
acima. Considerando = + , temos que = sen (21)2 senh e = cos (21)2
cosh, resultando em
2senh2 + 2cosh2 = 1. Esta equao nos diz que as razes de
Q(s)Q(-s) esto sobre uma elipse com semieixo maior (sobre o eixo
imaginrio do plano s) cosh e semieixo menor (sobre o eixo real do
plano s) senh . A figura a seguir ilustra a forma como essas razes
sodeterminadas. Duas circunferncias so traadas, com seus raios
iguais a cosh e senh , respectivamente. O ngulo determinado, igual
a (2 1)/2. Para = 1, mostrado como obter a raiz 1 de Q(s)Q(-s),
determinando-se os valores de 1e1 como as projees de senh (na
horizontal) e cosh (na vertical) conforme o ngulo . Determinando-se
todas as 2n razes de forma similar, variando-se o ngulo de acordo
com o valor de k, pode-se perceber que a elipse sobre a qual essas
razes esto localizadas tangencia a circunferncia de raio maior por
dentro e tangencia a circunferncia de raio menor por fora.
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Tais plos so mostrados na figura a seguir.
A partir desses plos, constri-se a funo de transferncia () =
(2+0,308504 +1,016027 )(2+0,744796+0,308921 ) ou () =
4+1,053303+1,554722+0,852035 +0,313871 . Note-se que falta
determinar o valor de K para que H(s) fique totalmente determinada.
A forma de fazer isto ilustrada a seguir. Como o filtro do exemplo
de ordem par, sabe-se que H(0) = 1/1 + 2. Porm, temos que H(0) =
K0,313871 . Portanto, 11+2 = 11+0,188502 = K0,313871 , o que leva
ao valor K =0,287906. O polinmio denominador de alguns filtros
Chebyschev passa baixas normalizados so mostrados em tabelas do
Apndice A (para alguns valores de ), na forma fatorada e na forma
expandida. A seguir esto as tabelas correspondentes ao caso em que
a atenuao mxima na banda passante p = 0,1 dB.
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Tais denominadores, assim como as correspondentes constantes K,
podem ser obtidos usando a funo cheb1ap do MATLAB. Isto feito
atravs da linha de comando [z,p,k]=cheb1ap(n,Rp) onde n a ordem do
filtro, Rp o valor mximo da atenuao permitida na banda passante (ou
seja, o valor de ), z o vetor que contm os zeros de H(s) (no caso,
um vetor vazio), p o vetor que contm os plos de H(s) (com n
elementos), e K a constante do numerador de H(s).
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Para ilustrar o uso de tal funo MATLAB, o exemplo anterior seria
resolvido atravs da utilizao das seguintes linhas de comando:
3.4 Funes de Rede para Filtros de Funo Elptica (Filtros
Elpticos) Como foi mencionado na Seo 2.4, possvel construir
caractersticas de mdulo com que tal igualdade de ondulao tanto na
banda passante quanto na banda de rejeio. Tambm foi observado que
funes de rede para este tipo de filtros podem ser obtidas sem
primeiro obter a sua caracterstica de mdulo. Nesta seo se indica
qualitativamente um mtodo pelo qual isso pode ser feito (o mtodo
usa transformao conformal, que mapeia pontos de um plano complexo
para outro, preservando todas as relaes angulares).
Especificamente, a transformao
= sn(,) mapeia todo o plano s num retngulo no planop, conforme
ilustraa figura abaixo.
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A funo sn a funo Jacobiana elptica seno, o mdulo, a integral
elptica completa de mdulo e a integral elptica completa de mdulo =
1 2. Em nossa aplicao, ns consideramos = , 0 < < 1, como
sendo a banda passante, e = , 1 < < , como sendo a banda de
rejeio. Tais regies no plano s e seu mapeamento no plano p so
indicadas na figura acima. A simetria de qualquer H(s)H(-s) em
torno de ambos os eixos fica implcita nos dois planos. O retngulo
no plano p da figura acima somente uma clula de uma srie infinita
do mesmo retngulo, repetido nas direeshorizontal e vertical (porque
as funes elpticas so duplamente peridicas). A transformao assim
definida na verdade mapeia o plano ssobre um nmero infinito de
retngulos vizinhos uns dos outros de uma forma regular, como
mostrado na figura abaixo, em que a clula retangular centrada na
origem mostrada com bordas levemente mais grossas.
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Agora se ns colocarmos plos e zeros no plano p de forma
adequada, o resultado ser a variao de mdulo desejada. Note-se que
no se podem ter plos no eixo, de forma que eles so colocados a
certa distncia a partir deste eixo. Queremos colocar os zeros na
banda de rejeio, de forma queeles so colocados ao longo das linhas
verticais de distncia a partir do eixo (esse padro se repete
horizontalmente cada 2). J Verticalmente, plos e zeros so
uniformemente espaados. Por causa das posies cclicas dos plos e
zeros, uma funo de rede com estes plos e zeros deve variar
ciclicamente, com mximos e mnimos iguais ao longo de qualquer linha
vertical. Desta maneira, a ondulao desejada para os filtros
elpticos automaticamente gerada. O padro de plos e zeros da figura
acima corresponde a um filtro elptico de ordem 5. Os plos e zeros
de H(s)H(-s) so mostrados na figura abaixo. Para obter H(s), ento,
simplesmente desconsideramos os plos no semiplano lateral direito e
tomamos um de cada zero duplo sobre o eixo .
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Referindo-se antepenltima figura, v-se que as funes de rede
obtidas desta forma tm a banda passante normalizada para = 1 /. O
mdulo controla os comprimentos relativos dos dois lados do
retngulo. Assim, determina diretamente a relao da banda de transio
( = = 1 ). A distncia das colunas de plos para o eixo determina a
atenuao na banda passante . Quanto mais perto tais plos estiverem
do eixo , maior ser a atenuao na banda passante. Um desenvolvimento
quantitativo de como obter funes elpticas est alm do escopo deste
livro. Como muito comum na prtica, o livro se limita a utilizar
tabelas prcalculadas ou software de computador para lidar com funes
de rede de filtros elpticos. Um conjunto de tabelas de fcil
utilizao est no Apndice A. Outra forma de obter as funes de rede
correspondentes a filtros elpticos usando a funo ellipap do MATLAB,
atravs d alinha de comando [z,p,k]=ellipap(n,Rp,Rs);
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onde n a ordem do filtro, Rp a atenuao mxima admitida na banda
passante ( ), Rs a atenuao mnima desejada na banda de rejeio (), z
um vetor contendo os zeros do filtro (contm n elementos, se n for
par, e n-1 elementos, se n for mpar), p um vetor que contm os plos
do filtro (contm sempre n elementos), e k uma constante.
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Distribuio das razes: n=4
-3 -2 -1 0 1 2 3-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Real Part
Imag
inar
y P
art
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
-
n=5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
-8
-6
-4
-2
0
2
4
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Real Part
Imag
inar
y P
art
-
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5