Livro de Problemas de Álgebra Linear

Algebra LinearProblemas de Avaliaca~o Contnua

Jorge BuescuCursos: LMAC, MEBM, MEFT1o semestre de 2006/2007Observac~ao importante!

Estes problemas destinam-se a avaliaca~o contnua dos estudantes. Note-se que os problemas propostos para cada semana est~ao programados para um investimento de tempode cerca de seis horas semanais, nas quais se inclui a aulapratica.Isto signica, em particular, que e totalmente errado pen-

sar que o trabalho desenvolvido nas aulas praticas e suciente para resolver os problemas propostos . Pelo contrario:

no esprito de Bolonha, este metodo pressup~oe o trabalho,individual ou em grupo, dos estudantes fora das aulas, cercade quatro horas semanais.

A unica forma ecaz de o estudante obter rendimento nas aulaspraticas e o de comparecer na aula pratica tendo ja trabalhado emtodos os problemas propostos para essa semana e resolvido partedeles, prosseguindo a sua resoluca~o na aula com o apoio do grupo detrabalho e do professor e eventualmente concluindo a sua resoluca~odepois da aula.

1

PROBLEMAS DE ALGEBRALINEAR, LMAC+MEBM+MEFT 06/071

2

Sistemas de equaco~es lineares, eliminac~ao deGauss-Jordan, algebra de matrizes

P 1.1. Ana: \Se me desses uma moeda, caria com o dobro das moedas com que

tu carias". Bernardo: \Mas se fosses tu a dar-me uma moeda, caramos amboscom o mesmo numero". Quantas moedas tem cada um?

P 1.2. Eu tenho o dobro da idade que tinha quando o meu pai tinha a idade queeu tenho. Alem disso, a soma das nossas idades e 100. Que idades temos?

P 1.3. Resolva, por eliminac~ao de Gauss-Jordan, o sistema de equaco~es A X = b,para os seguintes pares (A; b):(a) A =

1 32 4

2

143(c) A =42

16 2(e) A = 64 41

; b = 11

2512111

2

3

2

3

13548; b= 2 5531151

3

2

56377; b = 64253

3

3

2

3

1 1 11(b) A = 4 1 1 4 5 ; b = 4 2 51 2 332

143(d) A =4

251

3

2

1077152

P 1.4. Determine os coecientes a; b; c; d por forma a que a curva na gura 1 acimaseja o graco de uma funca~o f (x) = ax3 + bx2 + cx + d.P 1.5. Discuta a existência de soluc~ao dos seguintes sistemas de equac~oes lineares,em termos dos parâmetros reais e :(a)

(c)

8>>>:

8>>>:

x+y+zx y+zx+z3x y + 3 z

x1 + 2x2 + 3x3 + 4x45 x3 + 6 x4x3 + 6x4x2 + 7 x3 + 8 x4

8=2< 2x + 4y + 3z = 10= 3(b) 2x + 7y 2z = 10= 1 =2:x + 5y + z = =

====

00

8>>>1

:

3

13548; b= 2 550

x1 + x2 + x3 + 3 x42x1 + 2x2 + x3 + x4x1 + x2 + 3x3 + 14x42x3 + x4

====

124


3

321

-1

-2

1

2

3

-1

Figura 1:

( 1; 0); (0; 1); (1; 0); (2; 3)

A curva passa pelos pontos

(problema 1.4).

P 1.6. Calcule, sempre que possvel, os produtos AB e BA, quando:(a) A =

p

1 42 1

23

2

;

(c) A =

P 1.7. Seja A =

01

p14B=30

12

41

pn

73

3

211

1

2 5 (b) A = e e ;12

B=

3

4 2B = 4 1 1 5:0 1

;

1. Obtenha, por induc~ao, uma formula para An .0

P 1.8. Suponha que A comuta com qualquer matriz 2 2; em particular

A = ac db

comuta com

1 00 0

e com

0 10 0

:

Mostre que a = d e que b = c = 0, pelo que A e um multiplo da matriz identidade.Estas matrizes, conhecidas como matrizes escalares , s~ao as unicas que comutamcom todas as outras.

P 1.9. Determine os valores de para os quais os seguintes sistemas admitem

soluco~es n~ao triviais. Nesses casos, determine essas soluco~es e diga qual o seusignicado geometrico.(a)

x + 2y = xx= y

(b)

4x + 2y = x2x + 8y = y

p3

51

;


P 1.10. Determine as inversas das seguintes matrizes:(a) A =

2

1 12 3

(b) B =3

2

cos() sen()sen() cos()

13 5 5(c) C = 4 2 4 4 5 (d) D = 4 362 4 6

3

3 35 356 4

4


5

Propriedades de matrizes

P 2.1. Em que condico~es uma matriz diagonal n n26

d1 00 d2

.0

dn

D=66 ..4

0

...

00...

37775

e invertvel, e qual a sua inversa?

P 2.2. Seja P a matriz n n que corresponde a operac~ao de troca da linha i coma linha j . Escreva a matriz P e verique que P 2 = I .P 2.3. Repita o problema anterior para o caso de troca das colunas i e j .P 2.4.

a) Mostre que, se A e B s~ao matrizes quadradas invertveis com inversasresp. A 1 e B 1 , ent~ao a matriz A B e invertvel e a sua inversa e B 1 A 1 .

b) Conclua da alnea anterior que, se A e uma matriz quadrada invertvel, ent~aoAn e invertvel e (An ) 1 = (A 1 )n .

P 2.5. Mostre que se Aj (j = 1; 2; ; n) s~ao matrizes m m invertveis, ent~ao amatriz B = A1 A2 An tambem o e, e determine uma express~ao para B 1 . (Sug.:

inspire-se no problema anterior)

P 2.6. Sendo A e B duas matrizes quadradas, sera verdade que se o produto ABse anula, ent~ao se tem necessariamente A = 0 ou B = 0? O que pode concluir nocaso em que A e uma matriz invertvel?P 2.7.

a) Sejam A, B matrizes tais que esta denido o produto matricial A:B .Mostre que (AB )T = B T AT . (sug.: deve mostrar que ((AB )T )ij = (B T AT )ijpara todos os i; j ).

b) Se Aj (j = 1; 2; ; n) s~ao matrizes tais que o produto A1 A2 An estadenido, qual a express~ao de (A1 A2 An )T em func~ao de AT1 ; AT2 ; ; ATn ?

Obs.: A notac~ao AT designa a matriz transposta de A. Isto e, dada umamatriz Amn de elemento generico aij , a matriz AT e a matriz n m cujo elementona linha i, coluna j e aji .


Caracterstica

(rank)

6

e nucleo de matrizes

P 3.1. Seja A = ac db uma matriz 2 2. Escreva, em funca~o das entradas deA, uma condica~o necessaria e suciente para que A seja n~ao singular, e determinea express~ao da matriz inversa.

P 3.2. Determine a caracterstica de cada uma das seguintes matrizes:3

2

1 1 34(a) A = 1 1 4 51 1 52

16 4(c) C = 64 710

25811

2

16 1(e) E = 64 01

3

2

1 2 3 44(b) B = 5 6 7 8 59 10 11 122

3

26 1(d) D = 64 35

36 779 5122 41 21 20 2

0113

2135

3

10 774 510

3

0177

ao de5 em func~

2 R:

0

P 3.3. Nos casos das matrizes B; D e E do problema anterior, o que pode dizersobre as soluco~es do sistema linear homogeneo correspondente?

P 3.4. Determine a caracterstica das seguintes matrizes n n:a) A matriz cujas entradas s~ao todas iguais a 1;b) A matriz \tabuleiro de xadrez", em que a entrada aij e zero se i + j e par e1 se i + j e mpar.

P 3.5. Determine o nucleo (espaco nulo) das seguintes matrizes(a) A =

2

2 14 2

0 1 04(c) C = 0 0 20 0 0

2 04 0

3

2

3

2 6 0 2(b) B = 4 0 1 2 0 51 3 0 12

3

01 3 2540(d) D = 2 6 9 52 8 83


7

Espacos lineares

P 4.1. Diga, justicando, quais dos seguintes conjuntos s~ao espacos lineares (con-

sidere as operaco~es usuais de adica~o e multiplicaca~o por um numero real).(a) f(x; y ) 2 R2 : 2x + y = 0g. Esboce este conjunto enquanto subconjunto deR2 .(b) f(x; y ) 2 R2 : x + y = 2g. Esboce este conjunto enquanto subconjunto de2R.(c) f(x; y ) 2 R2 : xy = 0g. Esboce este conjunto enquanto subconjunto de R2 .(d) f(x; y; z ) 2 R3 : x + 2y z = 0 ^ x 2y z = 0g(e) Conjunto das matrizes m n.(f) Conjunto das matrizes n n triangulares inferiores.(g) Conjunto das matrizes n n triangulares inferiores n~ao singulares.(h) Conjunto das matrizes singulares n n.(i) Conjunto das matrizes n n que comutam com uma dada matriz A.(j) ff : R ! R : f (x) = f ( x)g (funco~es mpares)(k) ff : R ! R : f (x) = f (x + 2 )g (funco~es periodicas de perodo 2 )(l) f polinomios reais p(x) que se anulam em x = 0 g(m) ff : R ! R : f tem segunda derivada contnua e f 00 (x) + af 0 (x) + bf (x) =0g, onde a e b s~ao dois numeros reais dados.(n) ff : R ! R : f tem segunda derivada contnua e f 00 (x) + af 0 (x) + bf (x) =cos xg, onde a e b s~ao dois numeros reais dados.

P 4.2. Decida se os seguintes conjuntos, munidos das operaco~es indicadas sobre

os corpos indicados, possuem ou n~ao a estrutura de espaco linear.(a) O quadruplo (R+ ; ; ; R), onde R+ e o conjunto dos reais positivos, aoperac~ao de \soma" entre dois elementos x e y de R+ e denida por x y = x ye a operaca~o de \multiplicac~ao escalar"entre um elemento 2 R e um elemento xde R+ e denida por x = x .(b) O quadruplo (R; +; ; R), onde + e a adica~o usual de numeros reais e ea multiplicac~ao escalar denida por x = 2 : x.(c) O quadruplo (Q; +; ; R), onde + e s~ao as operac~oes usuais da aritmeticados reais.(d) O quadruplo (R; +; ; Q), onde + e s~ao as operac~oes usuais da aritmeticados reais.(e) O quadruplo (Z; 7 ; 7 ; Z7 ), onde 7 e 7 s~ao as operac~oes da aritmeticamodular modulo 7. 11 Z , ou seja, o conjunto f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6g munido das operaco~es de aritmetica modular modulo7

7, e um corpo. Os alunos mais interessados s~ao convidados a mostrar este facto. Os alunos aindamais interessados s~ao convidados a mostrar que Zn e corpo se e so se n e primo. Na verdade,

a AlgebraAbstracta permite concluir o seguinte resultado de caracterizaca~o dos corpos nitos:


8

P 4.3. Seja P o plano no espaco tridimensional que tem por equac~ao 3x +2y + z =6. Qual a equac~ao do plano P0 paralelo a P que passa pela origem? P e P0 s~aosubespacos de R3 ?P 4.4. Uma matriz quadrada Ann diz-se um

quadrado magico de ordem

n se

a soma dos elementos ao longo de qualquer linha, qualquer coluna e de ambasas diagonais (principal e secundaria) for constante. Designando o conjunto dosquadrados magicos de ordem n por Qn , mostre que Qn , munido das operaco~esusuais de soma e multiplicaca~o por escalar, forma um espaco vectorial real.

P 4.5. Determine se os seguintes conjuntos de vectores s~ao linearmente independentes ou n~ao. Caso n~ao o sejam, indique um subconjunto linearmente independente com o maior numero possvel de elementos e escreva os restantes comocombinaca~o linear desses vectores.(a) Em R4 , u1 = (1; 1; 1; 1), u2 = (1; 2; 2; 2), u3 = (1; 2; 3; 3) e u4 = (1; 2; 3; 4).(b) No espaco M22 (R) das matrizes reais 2 2,

A1 = 11 11 ; A2 = 12 22 ; A3 = 13 23 ; A4 = 13 24 :(c) Em R3 , u1 = (0; 1; 2), u2 = (1; 0; 2), u3 = (1; 2; 0) e u4 = (1; 2; 2).(d) No espaco dos polinomios de grau menor ou igual a 3, p1 (t) = 1, p2 (t) = 1+t,p3 (t) = 1 + t + t2 e p4 (t) = 1 + t + t2 + t3 .(e) No espaco dos polinomios de grau menor ou igual a 3, p1 (t) = 1, p2 (t) = 1+t,p3 (t) = 1 + t2 + t3 e p4 (t) = 1 + t + t2 + t3 .

P 4.6. Descreva, por meio de esbocos em R2 ou em R3 (de acordo com o que forapropriado para cada caso), o espaco das colunas e o nucleo da matriz

A=

1 2 33 6 9

:

Forneca uma base para o espaco das colunas.

existe um corpo nito com n elementos se e so se n = pk , onde p e primo. Mais ainda: essecorpo e unico (a menos de isomorsmo). O corpo nito com pk elementos e conhecido comocorpo de Galois GF (pn ); veja-se p. ex. van der Waerden, Algebra , vol. I. Os corpos de Galoistêm recentemente encontrado aplicaco~es surpreendentes, por exemplo, em areas de criptograae Teoria de Codigos; veja-se p. ex. R. Hill, A rst course in coding theory .


9

Bases e dimens~ao

P 5.1. Indique, justicando, qual a dimens~ao dos seguintes espacos lineares, e, no

caso de dimens~ao nita, indique uma base.(a) f(x; y; z ) 2 R3 : x z = 0g. Esboce este espaco enquanto subespaco de R3 .(b) f(x; y; z ) 2 R3 : x z = 0 ^ x y = 0g. Esboce este espaco enquantosubespaco de R3 .(c) f(x; y; z ) 2 R3 : x z = 0 ^ x y = 0 ^ y z = 0g. Esboce este espacoenquanto subespaco de R3 .(d) Matrizes reais m n, com as operac~oes usuais de adica~o e multiplicac~aopor um numero real.(e) L(S ), onde S e o subconjunto do espaco das funco~es reais de variavelreal, com as operaco~es usuais, denido por S = fcos2 (t) sen2 (t); cos(2t) +sen(t); sen(t)g.(f) Espaco nulo da matriz2

16 2A=64 34

5678

3

910 77:11 512

(g) Espaco das colunas da matriz A da alnea (f).(h) Espaco das linhas da matriz A da alnea (f).(i) Espaco das sucess~oes reais que vericam a relac~ao k = k 1 + 2k 2 ,k = 3; 4; : : :.(j) Espaco das funco~es reais da variavel real que se anulam em x = 1.

P 5.2. Seja V o espaco linear dos polinomios de variavel real de grau menor ou

igual a 3, com as operac~oes usuais de adic~ao e multiplicac~ao por um numero real.(a) Diga qual a dimens~ao de V e indique uma base ordenada. Justique.Indique as coordenadas do polinomio (1 t2 )(1 + t) nessa base.(b) Considere o subconjunto S V dado por S = f1 2t; 1+t2 ; t; 1+2t 3t2 ; t2 g.Diga, justicando, se S e linearmente independente.(c) Diga qual a dimens~ao do espaco linear L(S ), e determine uma base desseespaco. Justique.(d) Seja T o subconjunto de todos os polinomios de V que se anulam em 0.Diga se T e um subespaco linear. Em caso armativo, indique a sua dimens~ao euma base. Justique.

P 5.3. Recordando, se necessario, a denica~o (problema 4.4), determine uma basee a dimens~ao de Q2 , espaco dos quadrados magicos 2 2.


10

P 5.4. Para cada um dos seguintes conjuntos F de funco~es reais, seja G o conjuntoformado pelas derivadas de todas as ordens dessas func~oes (incluindo ordem 0, ouseja as proprias funco~es de F ). Diga qual a dimens~ao de L(G) e, no caso de essadimens~ao ser nita, indique, justicando, uma base do espaco.(a) F = f e t ; (t 2 R) g(b) F = f e t ; et ; (t 2 R) g(c) F = f cos(t); (t 2 R) g(d) F = f t2 ; (t 2 R) g(e) F = f et ; cos(t); (t 2 R) g (f) F = f 1t ; (t 6= 0) g

P 5.5. Considere, no espaco linear real M22 (R) das matrizes 2 2, o conjuntoS = fM1 ; M2 ; M3 ; M4 g, onde

M1 = 10 00 ; M2 = 11

1; M3 =0

1 11 1;M=:41 01 0

a) Construa uma base de L(S ), espaco gerado por S , e indique a respectivadimens~ao.b) Mostre que o conjunto W = fM 2 L(S ) : m12 = 0g forma um subespaco deL(S ) e determineuma base para W . Determine as coordenadas do vector

M = 11 00 nessa base.

P 5.6. Seja P2 (R) o espaco linear real dos polinomios de grau 2, e Bc = f1; t; t2 ga sua base canonica.

a) Mostre que B1 = f1; 1 + t; 1 + t + t2 g e uma nova base de P2 (R).b) Determine a matriz de mudanca de base S da base ordenada Bc para a baseordenada B1 .

P 5.7. Seja Bc = fe1 ; e2 g a base canonica (ordenada) de R2 .a) Determine a matriz de mudanca de base de Bc para

B1 =b) Seja

B2 =

50;03

13;24

:

:

Determine a matriz de mudanca de base de Bc para B2e de B2 para Bc .71Calcule as componentes dos vectores v1 =e v2 =na base B2 .102


11

c) Determine as matrizes de mudanca de base de B1 para B2 e de B2 para B1 .Forte sugest~ao: utilize as alneas anteriores!)

P 5.8. Determine a matriz de mudanca de base S da base canonica de R3 para a

base ordenada

B1

82393 2 3 2sen =0< cos = 4 0 5 ; 41 5 ; 4 0 5 :;:

sen

0

cos

Mostre que S e uma matriz ortogonal (recorde o problema 8.4) e que S T = S 1(recorde: S T designa a transposta de S ). Qual o signicado geometrico destaigualdade?

P 5.9. Existe um subconjunto de R3 linearmente independente sobre o corpo Qmas linearmente dependente sobre o corpo R?

P 5.10. O conjunto dos numeros reais forma um espaco linear sobre o corpo Rde dimens~ao 1. Mostre que, enquanto espaco linear sobre o corpo Q, ele possuidimens~ao innita.


12

O corpo dos complexos

P 6.1. Escreva os seguintes numeros complexos sob a forma a + bi:i)3 ; (b)

(a) (1

21+i; ( c); (d) ( i)n ; n 2 N:4 + 3i1 i

P 6.2. Sejam z1 = a1 + i b1 e z1 = a2 + i b2 dois numeros complexos. Mostre que:a) z1 + z2 = z1 + z2 ;b) z1 z2 = z1 z2 ;c) jz1 z2 j = jz1 j jz2 j.

P 6.3. Escreva os seguintes numeros complexos sob a forma polar:(a) 2; (b) 3i; (c) 1

i; (d) (1 i)n ; n 2 N; (e)

p

1

i; (f )

p3

i:

P 6.4. Esboce os seguintes conjuntos no plano complexo:a) fz 2 C : jz j 1g:

p

b) fz 2 C : jz

1 + 2ij = 2g:

c) fz 2 C : jz

1j = jz + 1jg:

d) fz 2 C : z = 1

i + (1 + i)t; t 2 Rg:P

P 6.5. Seja p(z ) = a0 + a1 z + a2 z 2 + : : : + an z n = nk=0 ak z k um polinomio decoecientes reais | isto e, todos os coecientes ak 2 R.a) Mostre que p(z ) = p(z ) para qualquer z 2 C.

b) Conclua que se = a + ib, com a; b 2 R e b 6= 0, e raiz de p(z ) (isto e, vericap() = 0), ent~ao = a ib tambem o e.c) Mostre que um polinomio de 3:0 grau a coecientes reais que possua umaraiz complexa com parte imaginaria n~ao{nula possui três razes distintas.d) Calcule todas as razes complexas de z 3

z2 + z

1.

P 6.6. Demonstre, utilizando as formulas de Euler, que para todo o 2 Ra) cos 3 = cos3

3 sen2 cos ;

b) sen3 = sen3 + 3 cos2 sen:


13

P 6.7. Seja C2 o espaco linear sobre o corpo dos complexos denido por f(z; w) :z; w 2 Cg atraves das operac~oes usuais entre complexos.a) Determine a dimens~ao e construa uma base deste espaco.b) Existe um conjunto de três vectores linearmente independentes em C2 ? Emcaso armativo forneca um exemplo.c) Quais as condico~es sobre os escalares e para que os vectores (1; ) e(1; ) sejam linearmente independentes em C2 ?

P 6.8. Repita o problema anterior para o espaco linear sobre o corpo dos reaisC~ 2, denido por C~ 2 = f(z; w) : z; w 2 Cg atraves das operaco~es usuais entre

complexos.

P 6.9. Sejam I; J; K , respectivamente, as matrizes de entradas complexasI=

0 11 0

; J=

0 ii 0

; K = 0i 0i :

Mostre que estas matrizes vericam as relac~oes de comutaca~o I 2 = J 2 = K 2 =1; IJ = JI = K; JK = KJ = I; KI = IK = J , onde 1 e a identidade2 2.

Observac~ao. As quatro matrizes fI; J; K; 1g formam a base de uma algebra de

de dimens~ao 4 sobre o corpo dos reais. Isto signica que, se sobre o espacolinear por elas gerado se denir a multiplicac~ao de vectores pelas regras acima, seobtem um conjunto fechado para as varias operac~oes. Note-se, no entanto, que eletem propriedades especiais: por exemplo, a multiplicaca~o n~ao e comutativa.Esta algebra, descoberta pelo matematico irlandês William Rowan Hamilton

em 1843, da pelo nome de Algebrados Quaterni~oes e tem importantes aplicaco~esem Fsica e Matematica. Por exemplo, Frobenius mostrou em 1877 que as unicasalgebras de divis~ao (i.e. sem divisores de zero) reais s~ao R (de dimens~ao 1), C (de

dimens~ao 2) e a Algebrados Quaterni~oes (de dimens~ao 4). Neste sentido preciso,n~ao e possvel construir uma algebra real maior do que a dos Quaterni~oes semperder estrutura matematica.Em Fsica, e possvel deduzir de forma concisa e muito mais elegante do que comAnalise vectorial classica as equaco~es de Maxwell, de Dirac e as transformac~oesde Lorenz. O estudante interessado pode consultar o artigo de J. Lambek \IfHamilton had prevailed: quaternions in physics", Mathematical Intelligencer 4(1995), 7 - 15 e referências a citadas.divis~ao


14

Transformac~oes lineares

P 7.1. Determine se a transformac~ao T : R3

! R3 dada e ou n~ao linear.

Emcaso armativo, calcule a matriz que a representa em relac~ao a base dos vectorescoordenados unitarios.(a) T (x; y; z ) = (y; z; x)(b) T (x; y; z ) = (x; y 2 ; z 3 )(c) T (x; y; z ) = (y z; x z; 0)(d) T (x; y; z ) = (0; y; ez )(e) T (x; y; z ) = (2x y + 3z; y + 2z; 2z )

P 7.2. Considere a transformac~ao T : R2 ! R2 que roda cada ponto do planopor um a^ngulo xo em torno da origem no sentido directo.a) Verique que T e uma transformac~ao linear.b) Calcule a matriz que representa T em relaca~o a base dos vectores coordenados unitarios.c)

Sem realizar calculos,

indique a matriz que representa (T ) 1 .

d) Usando a alnea b) e a correspondência entre composica~o de transformaco~eslineares e produto de matrizes, represente matricialmente a relaca~o T T =T+ . Que formulas suas conhecidas cam assim demonstradas ?

P 7.3. Construa geometricamente a imagem do rectângulo ABCDE da gura 2

por efeito da transformac~ao linear representada, na base canonica, por cada umadas seguintes matrizes:a) A rotaca~o R=2 =

01

b) A rotaca~o R=4 = p12c) A \distorca~o"D =

1011

:

11

2 00 1 =2

:

:

d) A transformaca~o de Lorentz L2 =e) A transformaca~o de corte S1 =f) A transformaca~o de corte S2 =

5=4 3 =43=4 5 =4

1 10 1

:

1=2 1 =21=2 3 =2

:

:


D

15

C

(0,1)

(1,1)

(1,0)E

Figura 2:

A

(0,0)

B

Rectângulo ABCDE cujas imagens se pretende construir (problema 7.3).

g) A reex~ao E0 =

h) A reex~ao E=4 =

10

i) A projecc~ao P=4 =

010 11 0

::

1=2 1 =21=2 1 =2

j) A transformaca~o nilpotente N0 =

:

k) A transformaca~o nilpotente N=4 =

0 10 0

:

1=2 1 =21=2 1 =2

:

P 7.4. Considere, no plano R2 , as transformaco~es lineares R, rotaca~o em torno daorigem no sentido inverso por um ângulo de =2, e E , reex~ao no eixo dos yy .a) Calcule, em relaca~o a bases a sua escolha, as matrizes AR e AE que representam respectivamente R e E .b) Mostre, a partir de a), que R E =6 E R.


16

c) Represente geometricamente os vectores da base canonica e os seus transformados atraves de R E e de E R.

P 7.5. Construa, para cada uma das seguintes transformac~oes de R3 em R3 , a

matriz que a representa na base canonica:

a) Reex~ao do vector [x; y; z ]t no plano yz .b) Rotaca~o do vector [x; y; z ]t por um ângulo em torno do eixo yy 0 , no sentidodirecto quando observado dos yy positivos.c) Projecca~o do vector [x; y; z ]t no plano yz .

P 7.6. Considere, no espaco vectorial R3 , as bases ordenadas B1 = fe1 ; e2 ; e3 g ,base canonica, e B2 = f[ 1 1 1]t ; [ 1 1 1]t ; [0 0 1]t g.a) Determine a matriz S que realiza a mudanca de base de B1 para B2 .b) Dado um vector u = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 , isto e, de coordenadas [x1 x2 x3 ]t nabase B1 , determine as suas coordenadas [y1 y2 y3 ]t na base B2 (Sugest~ao:Inverta S ).c) Considere a transformaca~o linear T : R3 ! R3 cuja representaca~o matricialna base canonica e232 4 440 51 5:0 1 5Usando os resultados de a) e b), determine a matriz que representa T nabase B2 .

P 7.7. Seja P2 (R) o espaco linear real dos polinomios de grau 2, e T : P2 (R) !P2(R) a transformaca~o linear denida por T (1+t2) = 2t; T (t2) = 2t; T (1+t) = 1.a) Determine a matriz A que representa T na base canonica de P2 (R).b) Determine a matriz B que representa T na base ordenada f1; 1+ t; 1+ t + t2 g:Indique a matriz de mudanca de base S tal que B = S 1 AS . Obs.: recorde

o problema 5.6!

P 7.8. Considere a transformac~ao linear T : C2 ! C2 denida por T (z1 ; z2 ) =(z1 + z2 ; i z2 ). Determine as representaco~es matriciais de T :

B = f(1; 0); (0; 1)g;i; 2); (1; 0)g.

a) na base canonica de C2b) na base B0 = f( 1


17

Qual das representaco~es lhe parece mais agradavel? Porquê?

P 7.9. Como sabe, uma transformaca~o linear T : V ! W entre espacos dedimens~ao nita, xas bases em V e W , e univocamente determinada por umamatriz AT .

Construa bases para os espacos imagem e nucleo, indicando as respectivasdimens~oes, quando AT e dada por cada uma das matrizes abaixo. Em cada caso,verique o teorema da dimens~ao.2

1 34a) A = 5 56 11

3

3

2

1 0 312 1 4 55545c) A = 1 3 0 2b) A = 2 0 50 0 07

P 7.10. Seja Pn o espaco linear dos polinomios de grau menor ou igual a n.(a) Mostre que a transformaca~o T : P3 ! P3 denida porT (p) = p00 + ap0 + bp;onde a e b s~ao numeros reais, e uma transformac~ao linear.(b) Determine a representac~ao matricial para T em relaca~o a base ordenadaf1; t; t2; t3g.(c) Discuta a dimens~ao do nucleo de T em termos de a e b. Em cada caso,indique uma base para o nucleo.(d) Utilize os resultados da alnea anterior para determinar as soluco~es em P3da equac~ao diferencialp00 + ap0 + bp = 0:(e) Utilize os resultados da alnea (c) para determinar todas as soluc~oes em P3da equac~ao diferencialp00 + ap0 + bp = 1 t2 :

P 7.11. Seja V o espaco linear real das matrizes reais de 2 2 de entradas aijsatisfazendo a11 + a22 = 0; a12 + a21 = 0, e considere as seguintes matrizes de V :

H = 10

0; J=1

0 11 0

(a) Mostre que H e J s~ao linearmente independentes. Determine a dimens~aoe indique uma base para V .(b) Dada a transformaca~o linear T : V ! V denida atraves das seguintesrelaco~es:T (H ) = J ; T (J ) = H


18

determine a matriz que representa T em relac~ao a uma base contendo H e J .(c) Determine a caracterstica e a dimens~ao do nucleo de T , e indique justicadamente se e invertvel.todas as soluc~oes U da equaca~o linear T (U ) = B onde B = (d) Calcule

ab

b .a

P 7.12. Seja V um espaco linear de dimens~ao nita e T : V ! V uma transformaca~o linear de V em V . Pode T ser injectiva mas n~ao sobrejectiva? Pode Tser sobrejectiva mas n~ao injectiva?P 7.13. A Teoria da Relatividade Restrita arma que a relaca~o entre as coordenadas espacio-temporais (x; y; z; t) e (x0 ; y 0z 0 ; t0 ) de dois referenciais de inercia quese deslocam um em relaca~o ao outro com velocidade v e dada por8>>>:

x0y0z0t0

====

(x vt);y;z; (t cv2 x);

onde c e a velocidade da luz, jv j < c e = q

1

: A transformac~ao linear21 vc2que passa dos sistemas de coordenadas (x; t) para (x0 ; t0 ) chama-se transformaca~ode Lorentz.

a) Determine a matriz Lv que representa a transformac~ao de Lorentz na basecanonica de R2 .b) Mostre que L0 = I e que Lv e n~ao-singular.c) Demonstre a lei relativstica de adica~o das velocidades: Lv Lu = Lw , ondeu+vw=: Compare com o resultado classico e comente.1 + uvc2


19

Determinantes

P 8.1. Calcule os determinantes das seguintes matrizes:

a)

u v ;w x

2

3

2

3

2

361d6400

0 7 64c) 5 8 55 ;1 1 0

1 2 104b) 2 4 100 5 ;3 6 1000

1310

0131

3

0077153

2

4 140

e) D =0

onde no ultimo caso e um parâmetro real. Aproveite para deduzir quais osvalores de para os quais a matriz D e singular.

P 8.2. Seja

A = 01 11 :

Determine todos os valores de 2 R tais que a matriz A

I e singular.2

3

1 2 3 14P 8.3. Utilize determinantes para calcular a caracterstica da matriz 4 5 6 15 :7 8 9 1Observac~ao: o problema n~ao pede que calcule o determinante de uma matrizn~ao-quadrada, que como sabe n~ao esta sequer denido.Dada uma matriz Amn de caracterstica r, consegue conjecturar um resultadogeral sobre determinantes de submatrizes de A?

P 8.4. Diz-se que uma matriz A com coecientes reais e ortogonal se AAT = I .

a) Mostre que se A e uma matriz ortogonal ent~ao det A = 1.

b) Mostre que existe uma matriz ortogonal A tal que det A = 1.

P 8.5. Seja A uma matriz n n. Mostre por induca~o em n que det(A) = det(AT )(Sug.: Utilize a formula de Laplace).

P 8.6.

a) Seja A(x) a matriz2

2

4 0

1

x

4

3

3

x

1

3

45 5;

x

cujas entradas dependem da variavel real x. Calcule det(A(x)), e em seguidaddx det(A(x)).

3

02 5;0 1


20

b) Dena Dk ; k = 1; 2; 3, como a matriz obtida de A substituindo as entradasda linha i pelas suas derivadas; isto e,(Dk )ij =

aij (x); j 6= ka0ij (x) j = k

Calcule a soma det(D1 (x)) + det(D2 (x)) + det(D3 (x)). O que observa? Consegue conjecturar algum resultado geral?


21

Valores proprios e vectores proprios

P 9.1. Determine os valores proprios e vectores proprios (complexos) de cada umadas seguintes matrizes, identicando em cada caso as multiplicidades algebrica egeometrica:

a)

0 1;0 0

b)

1 0;0 i

3

2

1 1 14c) 1 1 15 ;1 1 1

2

3

1 1 14d) 0 1 15 :0 0 1

P 9.2. Seja T : R3 ! R3 uma transformaca~o linear que possui uma representaca~omatricial

2

3

1 0 04 2 1 252 2 1

em relaca~o a base canonica. Mostre que T possui uma representac~ao matricialdiagonal.

P 9.3. Sejam A e B matrizes n n com coecientes num corpo. Mostre que seI AB e n~ao-singular, ent~ao I BA e n~ao-singular eI

BA 1 = I + B I

AB 1 A:

Sug.: Recorde que uma matriz C e singular se e so se 0 e valor propriode C .P 9.4. Seja A a matriz

1 2 .1 1

a) Determine os valores proprios e os vectores proprios da transformaca~o linearT : R2 ! R2 que e representada por A em relac~ao a base canonica.b) Determine os valores proprios e os vectores proprios da transformaca~o linearS : C2 ! C2 que e representada por A em relac~ao a base canonica.

P 9.5. Uma matriz R diz-se matriz de rotaca~o se e ortogonal e det R = 1. Mostre

que uma rotac~ao num espaco de dimens~ao mpar deixa xos os vectores de pelomenos um subespaco de dimens~ao 1 (eixo de rotaca~o) | isto e, +1 e valor propriode R. (Sug.: considere det(R I ).) P 9.6. Seja A = 21 10 .

a) Mostre que existe uma matriz P tal que P 1 AP e diagonal.

b) Determine os valores proprios e vectores proprios de A10 .


22

a) Forneca um exemplo de uma matriz de inteiros 2 2 cujos valoresproprios sejam irracionais.

P 9.7.

b) Podem a soma e/ou o produto dos valores proprios de uma matriz n n deelementos racionais ser irracionais?

P 9.8. Um senhor comprou, no princpio de um mês, um par de coelhos. No

m do segundo mês havia três coelhos; no m do terceiro mês havia cinco; e, emgeral, no nal do mês n o numero de coelhos e a soma dos coelhos dos dois mesesanteriores.a) Designando numero de coelhos no m do n-esimo mês por Cn , tem-se poisque Cn = Cn 1 + Cn 2 . Mostre que

Cn 1 = 0 1Cn1 1

n

1:1

n x b) Calcule 01 11e um inteiro positivo.y , onde x; y 2 R e n P 9.9. Seja C 1 [(0; 1)] o espaco das func~oes reais continuamente diferenciaveisno intervalo (0; 1) e T : C 1 [(0; 1)] ! C 1 [(0; 1)] o operador linear denido porT (f ) (x) = x f 0 (x). Determine os valores proprios e vectores proprios de T .Observac~ao: pode ser-lhe util vericar que

df 0 (x)[ log jf (x)j ] =:dxf (x)

P 9.10. Seja A uma matriz n n com polinomio caracterstico f (x) = (c1dd1kx) : : : (ck x) = det A xI . Mostre que tr A = c1 d1 + + ck dk .P 9.11. Seja T : R4 ! R4 uma transformac~ao linear que possui uma representaca~omatricial

2

0 06a 0640 b0 0

3

0 00 0770 05c 0

em relaca~o a base canonica. Quais s~ao as condico~es sobre a; b; e c para quepossua uma base de vectores proprios da transformac~ao T ?

R4


23

Forma Canonica de Jordan

P 10.1. Determine a Forma Canonica de Jordan J , a base de vectores propriosgeneralizados e a matriz S tal que J = S 1 AS para as matrizes:2

1A1 = 4 10

3

2

2 11 02 15 ; A2 = 4 2 11 11 1

3

12 5:2

P 10.2. Determine \por inspecc~ao" a Forma Canonica de Jordan de cada uma das

seguintes matrizes, indicando as multiplicidades algebrica e geometrica de cada umdos valores proprios:3

2

2

3

2

3

2 1 22 1 21 4 51 154544A = 0 2 6 ; B = 1 1 ; C = 0 2 0 ; D = 0 2 15 :0 0 20 0 20 0 3

P 10.3. PO traco de uma matriz Ann e a soma dos elementos da diagonal principal:tr(A) = ni=1 aii :a) Mostre que o traco de uma matriz e invariante por transformaco~es de semelhanca, isto e, se B = S 1 AS , ent~ao tr(A) = tr(B ).Pb) Tomando acima J = S 1 AS , conclua que tr(A) = ni=1 i , onde i ; i =1; ; n s~ao os valores proprios de A incluindo multiplicidades .

P 10.4. Como ja foi demonstrado na devida altura, o determinante de uma matriz Ann e invariante por transformaco~es de semelhanca, isto e, se B = S 1 AS ,ent~ao det(QA) = det(B ). Deduza, de forma analoga ao problema anterior, quedet(A) = ni=1 i , onde i ; i = 1; ; n s~ao os valores proprios de A incluindomultiplicidades

.

P 10.5. Dada uma matriz Ann , dena formalmente para t 2 R a matriz expo-

nencial

eAt =

1 k kXAr trA tI + At ++ ++ =;2!r!k!k=0

A2 t2

ignorando de momento quest~oes de convergência da serie.

a) Sendo J a Forma Canonica de Jordan de A(isto e, tal que J = S 1 AS ),mostre queeAt = SeJt S 1 :b) Para as matrizes A1 e A2 do problema 10.1, calcule desta forma eA1 t e eA2 t(Nota: observe que em ambos os casos ja calculou S , e que eJt e (quase)trivial de calcular!)


24

Observac~ao. A determinaca~o da exponencial de uma matriz , que acabou de fazer,e um problema crucial para sistemas dinâmicos. A matriz eAt fornece a soluca~ogeral da equac~ao diferencial linear a coecientes constantes y0 = A y: (Se estaobservaca~o hoje n~ao lhe diz nada, n~ao se preocupe).


25

Produtos internos

P 11.1. Seja h ;

i o produto interno usual de R2. Sejam = (1; 2) e = ( 1; 1).Mostre que existe um vector de R2 tal que h; i = 1 e h; i = 3.

P 11.2. Seja V um espaco linear sobre o corpo dos numeros reais R ou dos complexos C com um produto interno, que se designa por h ; i.a) Mostre que h0; i = 0 qualquer seja

2V.b) Mostre que se h; i = 0 qualquer seja 2 V , ent~ao = 0.c) Se ; 2 V mostre que = se e so se h; i = h; i qualquer seja 2 V .P 11.3. Seja V um espaco linear real ou complexo. Mostre que se h ; i1 e h ; i2s~ao produtos internos em V , ent~ao h ; i1 + h ; i2 e um produto interno em V .O conjunto dos produtos internos em V e um espaco linear?

P 11.4. Determine todos os produtos internos do espaco linear real R e do espacolinear complexo C.

Problema extra (n~ao e para avaliac~ao). Na aula teorica demonstrou-se a

desigualdade entre as medias aritmetica e geometrica para quaisquer dois numerosreais positivos a; b 0:a+b(ab)1=2 2sendo valida a igualdade se e so se a = b.Mostre que este facto implica a desigualdade entre as medias aritmetica egeometrica para n reais positivos, isto e, dados a1 ; a2 ; : : : ; an 0, ent~ao

a + a2 + : : : + an(a1 a2 : : : an )1=n 1n

(1)

sendo valida a igualdade se e so se a1 = a2 = : : : = an .Sugest~ao: Comece por provar que (1) e valida se n = 2k for uma potênciade 2. Se n n~ao for uma potência de 2, construa uma sequência apropriada deN = 2k > n numeros positivos dos quais os primeiros n s~ao a1 ; : : : ; an , aplicandoo resultado anterior.

P 11.5. Utilize a desigualdade de Cauchy-Schwarz em Rn munido do produtointerno usual para provar os seguintes resultados:

a) Se a1 ; a2 ; : : : ; an s~ao numeros reais tais que a1 + a2 + : : : + an = 1, ent~aoa21 + a22 + : : : + a2n 1=n:


26

b) Se p1 ; p2 ; : : : ; pn e x1 ; x2 ; : : : ; xn s~ao reais positivos , ent~ao

(p1 x1 + p2 x2 + : : : + pn xn )2 (p1 + p2 + : : : + pn ) p1 x21 + p2 x22 + : : : + pn x2n :c) Se a; b; c s~ao reais positivos, (a2 b + b2 c + c2 a) (ab2 + bc2 + ca2 ) 9a2 b2 c2 :d) Se x1 ; x2 ; : : : ; xn e y1 ; y2 ; : : : ; yn s~ao reais positivos , ent~ao!1=2!1=2nnnXXX22xk y k k xkyk =k:k=1k=1k=1

P 11.6. Seja P1 o espaco linear real de polinomios com coecientes reais de graumenor ou igual um.

a) Mostre que a funca~o

ab ab aba0 + a1 x; b0 + b1 x = a0 b0 + 0 1 + 1 0 + 1 1

2

dene um produto interno em P1 .

2

b) Determine uma matriz A tal que

3

a0 + a1 x; b0 + b1 x = a0 a1 A bb0 :1

P 11.7. Determine um produto interno h ;

i de R2 tal que h(1; 0); (0; 1)i = 2.P 11.8. Seja V o espaco linear complexo das matrizes n n com coecientescomplexos.

a) Mostre que hA; B i = tr(AB ) e um produto interno em V , onde tr e o tracoe B = B t .b) Determine o subespaco ortogonal ao subespaco das matrizes diagonais.

P 11.9. PConsidere o espaco euclidiano real V das sucess~oes fun g de numeros reais2 e convergente, com o produto interno denido portais que 1n=1 un

hfung; fvngi =

1Xn=1

un vn :

Esta serie e absolutamente convergente para todas as sucess~oes fun g; fvn g 2 V:Considere tambem o conjunto S V das sucess~oes com um numero nito determos n~ao-nulos.


27

a) Mostre que S e um subespaco de V .b) Determine os subespacos S ? ; (S ? )? e S + S ? .c) Prove que S tem dimens~ao innita.d) Mostre que V n S possui um numero innito de vectores linearmente independentes. V n S e subespaco de V ?

P 11.10. Aplicando o processo de ortogonalizac~ao de Gram-Schmidt aos vectores1 = (1; 0; 1); 2 = (1; 0; 1); 3 = (0; 3; 4)obtenha uma base ortonormal de R3 em relac~ao ao produto interno usual.

P 11.11.

a) Escreva uma equac~ao cartesiana do plano perpendicular a recta

x 5 = 2y

4=z

e que contem o ponto (5; 4; 0).b) Escreva equac~oes cartesianas que denem a rectap que e perpendicular aosubconjunto am denido por Ax + By + Cz = 2, com (A; B; C ) 6= (0; 0; 0),e que contem a origem.

P 11.12. Seja V o espaco linearreal de dimens~ao 2, e considere a func~ao F : V !pR+0 denida por F (x; y) = (x y)2 + 3y2.a) Mostre que F e uma norma, ou seja, que para todos os ; 2 R2 se temi) F () 0 e F () > 0 se 6= 0;ii) F (c) = jcjF () para todo o c 2 R;iii) F ( + ) F () + F ( ).b) Mostre que h; i = 12 [F 2 ( + ) F 2 ()

F 2 ( )] e um produto interno.

c) Designa-se por E a projecca~o ortogonal, relativamente ao produto internodenido em b), de V sobre o subespaco gerado pelo vector (3; 4) 2 V . Determine uma formula para E (x; y ).

P 11.13. Seja V um espaco euclideano de dimens~ao n com uma base ortonormal

B = f1; : : : ; ng:Dada uma transformaca~o linear T : V ! V , mostre que a matriz que representaT em relac~ao a base B e aij = hT (j ); i i:


28

P 11.14. Seja V um espaco linear. Diz-se que uma transformac~ao linear P : VV e uma projecc~ao se P 2 = P P = P .

!

a) Seja P : V ! V uma projecc~ao. Mostre que a transformaca~o linear P~ = I Pdenida por P~ (v ) = v P (v ) e uma projecc~ao.b) Seja W = f(x; 0) 2 R2 g R2 , e seja h(x1 ; x2 ); (y1 ; y2 )i = x1 y1 + x2 y2 oproduto interno usual. Mostre que existe uma projecca~o P : R2 ! R2 talque a imagem de P e W mas P n~ao e a projecca~o ortogonal de R2 sobre W .


29

Formas quadraticas

P 12.1. Classique as seguintes matrizes quanto a serem (semi)denidas positivas,negativas, ou indenidas (a e um parâmetro real).2

(a)

2 11 3

(b)

21

3

6011 2(c)(d) 64032 a0

3

0 0 01 a 077a 2 050 0 7

P 12.2. Considere a seguinte forma quadratica em R2 , representada em termosda base canonica por

Q(x) = x2 + 4xy + ay2 ;

onde a e um numero real. Determine os valores de a para os quais Q e denidapositiva. Indique uma forma quadratica diagonal correspondente, e uma matrizdiagonalizante.

P 12.3. Considere no espaco linear R3 a func~aof (x; y) = xt Ay;onde x = [x1 x2 x3 ]t , y = [y1 y2 y3 ]t , e a matriz A e dada por2p p 32 2326 p2 2A = 4 p2 1 0 75:2 0 12Mostre que f dene um produto interno em R3 .

P 12.4. Seja A uma matriz real simetrica n n. Prove que A2 e denida positivase e so se A for n~ao singular.P 12.5. Sendo A e B matrizes reais simetricas, mostre atraves de um exemploque os valores proprios da matriz AB podem n~ao ser reais. E se uma das matrizes

consideradas for denida positiva?

Livro de Problemas de Álgebra Linear

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