MAKRON· Books Capitulo 9 TECNICAS DE INTEGRAQAo Em capitulos anleriores obtivemos formulas para 0 calculo de varios tipos de integra is. Muitas constam da conlracapa deste livro. Discutimos tambCm 0 metodo desubstitui- fao, usado para transformar uma integral complicada em outra que possa ser facilmente calculada. Neste capituloconsideraremos ou- tras maneiras desimplificar integrais, entre elas a integrar;iio por partes. Este poderoso dispositivo permite-nos obter integrais inde- finidas de In x, arctg x e outras expressoes transcendentes importanles. Em se<;5es pos- leriores desenvolveremos tecnicas para sim- plificar integrais que contem potencias de func<oes trigonometricas, radicais e expres- soes racionais. Na Sec<3o9.7explica-se a utilizlic<ao de uma tabua deintegrais. Tais tabu as sao sem- pre incomplelas, sendo, por vezes, necessario usarda babilidade obtidaem sec<oes anterio- res. 0 mesmo se diz de program as de com- putadores para calcular varias (mas nao todas) integrais indefinidas. Para aplicac<oesque envolvem integrais definidas, pode serdesnecessario achar uma antiderivada eaplicar 0 leorema fundamental do calculo, porque a regra do trapezio oua regra de Simpson perrnite-nos obter aproxi- mac<oes numericas. Emtais casoseinesti- mavel urneomputador ou uma calculadora programavel, os quais podemchegar a urna aproximac<aoem questao de segundos.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
MAKRON·
Books
Capitulo 9TECNICAS DE INTEGRAQAo
Em capitulos anleriores obtivemos formulaspara 0 calculo de varios tipos de integra is.Muitas constam da conlracapa deste livro.Discutimos tambCm 0 metodo de substitui-fao, usado para transformar uma integralcomplicada em outra que possa ser facilmentecalculada. Neste capitulo consideraremos ou-tras maneiras de simplificar integrais, entreelas a integrar;iio por partes. Este poderosodispositivo permite-nos obter integrais inde-finidas de In x, arctg x e outras expressoestranscendentes importanles. Em se<;5es pos-leriores desenvolveremos tecnicas para sim-plificar integrais que contem potencias defunc<oes trigonometricas, radicais e expres-soes racionais.
Na Sec<3o9.7 explica-se a utilizlic<ao deuma tabua de integrais. Tais tabu as sao sem-pre incomplelas, sendo, por vezes, necessariousar da babilidade obtida em sec<oes anterio-res. 0 mesmo se diz de program as de com-putadores para calcular varias (mas nao todas)integrais indefinidas.
Para aplicac<oes que envolvem integraisdefinidas, pode ser desnecessario achar umaantiderivada e aplicar 0 leorema fundamentaldo calculo, porque a regra do trapezio ou aregra de Simpson perrnite-nos obter aproxi-mac<oes numericas. Em tais casos e inesti-mavel urn eomputador ou uma calculadoraprogramavel, os quais podem chegar a urnaaproximac<ao em questao de segundos.
, c~,/lwl0 de Integrayao por111111 (9.1) j'
.•.. !. > ", 'f'''' \~;'\~):;~a.J,':
Ate esteporit6:nao)emos condi~es de calcular integrais 'Como~ .' ..' .,. <'~;, -:.
A proxima formula possibilita-nos calcular nao somente" estescomo muitos outros tipos de integniis, '
DEMONSTRAC;;AbI
Pelo Teorema (5.5)(i), a primeira integral a direita e igual af(x)g(x) + C. Como se obtem outra constante de integrallao nasegunda integral, podemos omitir C ria formula, isto e,
Como dv = ii'(x) dx e du = rex) dx, podemos escrever a formulaprecedente como em (9.1).
Ao aplicar a Formula (9.1) a uma integral, 0 primeiro passoe fazer uma parte do integrando corresponder a dv. A expressaoque escolhermos para dv deve incluir a diferencial dx. Apos aescolha de dv, denotamos a parte restante do integrando por u,e calculamos duo Como este processo implica em separar o'integrando em duas parte~, referimo-nos ao uso de (9.1) comointegra"iio por partes. E importante a escolha adequada dedv. Em geral, fazemos dv representar a parte mais complicadado integrando que possa ser prontamente integrada. 0 exemploa seguir ilustra este metoda de integrallao.
A lista seguinte con tern lodas as escolhas possiveis de (Iv:~.~":P'<.~",,,\.,,,;. "
dX, x dx, e 2r dx, xe 2r dx.", ,,[ ",J " ~•••..: • -, ::< ...(_;....-~,..';:".
A mais 'complexa destas expressiies que pode ser integrada'rapidainente e e 2r th. Assim, fazemos
'--'dv = e2r dx
A parte restante do integrando e u - isto e, u = x, Para achar II,
integramoSdv, obtendo v = ~e2r• Note que, nesleeslagio da
resolul$iio, nao se acrescenla nenhUIPa conslanle arbitraria. (NoExercicio 51 voce podera provar que, acrescenlando-se uma
;'constante ay; chega-se ao mesmo resultado final.) Se u eX, enmo, du = dx. Para facilidade de referencia, disponhamos estas expres-
s6es como seghe:
, Levando esias'expre~siies na Formula (9.1) - is to e, integrandopor partes, -'obtemos
fxe2rdx=x(~e2r)- f~e2rdx
Podemos calcular a integral it direita como na SellaO 7.4, obtendo
fxe 2r dx = !xe 2r - !e 2., + C2 •... 4
E necessario consideravel pralica para fazer uma escolhaadequilda de dv. Para ilustrar, se livessemos escolhido dv = x dx noExemplo 1, teriasido necessario fazer u = e2', donde
Como 0 expoente associ ado a.x aumentou, a integral a direilatomou·se mais complexa que a integral original. Isto indica uma'escolha incorrela de dv.
nJ3
(b) I xsec2xdxo
SOLUl;Ao(a) As· escolhas possiveis de dv saD
dx, x dx, secx dx, x secx dx, sec2 x dx. x sec 2x dx
A mais complexa destas express6es que pode ser prontamenteintegrada e sec 2x dx. Fazemos, pois,
Integrando por partes, obtemos
f x sec 2x dx ~ x tg x - f tg x dx
~ x tg x + In Icos x I+ C
(b). A integral indefinida obtida na parte (a) e uma 'antiderivadade x sec 2x. Aplicando 0 teorema fundamental do caIculo(e omitindo a conslante de iniegra«;ao C), obtemos
nJ3 nJ3fo x sec 2x dx ~ [x 19 x + In 1cos x I] 0
~ ( ~ 19 ~ + In I cos ~ I ) - (0 + In 1)
~ ( ~ V3 + In ~ ) - (0 + 0)
~ 7!:.. V3 - In 2 ~ 1 123' ,
Se, no Exemplo 2, tivessemos escolhido dv = x dx e::-::::::-::-:::-==-"7'"-:- ...!:u~sec2x, a integra«;ao por partes pela Formula (9.1) teria3IBLIOTECA :Gn DIVIE/UFre uzido a uma integral mais complexa. (Verifique!)
Z E L r::. 0 S L.(VH 0 S No proximo ~xe~plo aplicamos a integra«ao por partes
E\ .~u.:"',... !'.'. r.· '., •.... ,..• '" par achar uma anl1denvada da fun«;ao logaritmica natural.,:,Jggt: ~~i~l:i~_f;J~~
=NTREGANDf>OS EM DIT-« MPLO 3
Calcular Jlnxdx
IiAs vezespode ser necessario aplicar a integral;lio por partes
mais de uma vez no mesmo problema, confonne se ilustra a seguir.
~
e integramos por partes:
f x2e2zipx ~ X2(~ e2x) f (~i") 2x dx
Para calcular a integral no membro direito da ultima equat;fio,devemos novamente integrar par partes. Procedendo exatamcn·
, te como no Exemplo 1, temos:
o exemplo que segue iIustra outra maneira dccalcular 1111111
integral aplicando duas vezes a f~rmula de integra«;ao par pari's.: . ",~f, j '; ;...-..
EXEMPLO 5:~-'.;~•.'i -;r~(i ";< ,'':.' i;:,
Podemos fazer tanto dv = cos x dx, como dv = eX dx, pois qualquerUIDadessas duas express6es e facilmente integravel. Escolhamos
dv=cosxdx u..!ex
e integre:uos por partes como segue:
J eX cosx dx = eX sen x - J (sen x)ex dx
Aplicamos em seguida a integra<;ao por partes a integral nomembro direito de (1). Como escolhemos uma forma trigono-metrica para dv na primeira integra<;ao po~ partes, escolheremostambem uma forma trigonometrica na segunda. Fazendo
e integrando por partes, temos
J e' sen x dx = eX(-cos x) - J (-cos x)eX dx
J eX senxdx = -eX cosx + J eX cosx dx
Utilizando a equa<;ao (2) para fazer a substitui<;ao no membrodireito da equa<;ao (1), obtemos
J eX cosxdx = e'senx- [ -ex cosx+ J eX cosx dx ]
ou, Jexcosxdx=exsenx+excosx- Jexcosxdx
Somando J eX cos x dx a ambos os ryembros da ultima equa<;ao,obtemos:
Finalmente, dividindo ambos os membros por 2 e adicionandoa constante de integra<;ao, obtemos
Poderiamos tambem ter calculado a integral utilizandodv = eX dx para a primeira e para a segunda aplica<;ao da fun<;aointegra<;ao por partes.
Dev'emos esclilher cuidadosamente as substitui<;iies aoc~lcular uma integral do tipo dado no Exemplo 5. Suponhamosque, no calculo da integral a direita da equa<;ao (1) da solu<;ao,tivessemos escolhido
·t
A inieira.<;.a.opor partes entao conduziria a
,"'JeXsenxdx=(senx)eX- Jexcosxdx i
Se substituimos em (1), obtemos
Je~eOsxdx~exsenx- [exsenx- Jexcosxc4]que, se reduz a
Embora se trate de umll afirma<;ilP verdadeira, nao e evidente-mente urn eel/culo da integral dad~.
As escolhas posslveis de dv saG
dt, sec x dt, sec 2 x dt, sec) x dx
A expressao mais complexa que pode ser integrada facilrnente'e se2 x dx. Fazemos entao
e inlegramos por partes:
J sec) x dx = sec x tg x - J sec x tg 2 X dx
Em lugar de aplicar outra integra<;ao por partes,' mudemos aforma da integral a direita valendo-nos da identidade1 + tg 2 X = see 2 x, 0 que nos d<i
J see) xdx = seex tgx - J secx (see 2 x -1) dx,
ou I see3 xdx = seex tgx - I see3 xdx + I see'xdx
Adicionando J see 3 x dx a ambos os membros da ultima equattiio,obtemos
2 I see 3 x dx = see x tg x + I see x dx
Calculando agora J seex dx e dividindo ambos os membros da
equattiio resultante por 2 (e aerescentando entiio a eonstante deintegrattiio), obteinos
I see 3 x dx = ~see x tg x + pn I see x + tg x I+ C
A integrattiio por partes pode as vezes ser usada para obterformulas de redu~iio para integrais. Utilizamos tais formulaspara escrever uilia integral que eDvolve poteneias de urnaexpressiio, em termos de integrais que envolvem poteneiasinferiores da mesma expressiio.
I seDx x dx ,= -cos x sen n -1 X + (/l - 1) I seD n'- 2X eos 2x dx
Como cas 2x = 1 - sen 2x, podemos eserever
o membro esquerdo da equa~iio se reduz a /lIsen x dx. Divi-
diDdo ambos os membros por /l, obtemos
I 1. n -IIsenn xdx = - - cas x senn-1 x + -- senn~2 xdx. n n
Aplique a formula de redu<siio do Exemplo 7 para ealcular
I sen4 xdx.
Aplicando a formula de redu~iio, com /l = 2, para a integral adireita, temos
Isen2xdx=-~cosxsenx~I dx
E evidente que, mediante apliea~oes reiteradas da formulado Exemplo 7, podemos calcular J sen n X dx para qualquer inteiro
positivo /l, porque essas redu~oes sueessivas teiminam emJ sen x dx ou J dx, ambas imediatamente integraveis.
i·Ji"f arctg x dx '
~
(;~f Vi In X,dx
15 f x csc2X dx
17 f~-xsen~dx
f9 fsenxlnrosxdx
i3\Jx2 e3x dx\J
@:{x cos 5x dxDfI I\'L x secx tgx dx
I In\r 2\ \~ x rosxdx
14 f i Inxdx
16J x arctg x d:r
18 f e3x ros 2x dx
20 i x3 e-x' dxo
1/, •• ',,, .•. 22 I seeS xdx
J 1
24 I sen III x dx1\ / V _,/x" \ J ., 1
nIl
26 Ix secZ 5x dxI 'Nell 2t dx
"1./ \(111''3)9') dx
28I ..•/S
3dx
I-x
'I J H~\ R'II 5xdx 30 I x3 cos (xZ) dx
II .r (III )Z ,/x 32 Ix 2' dx
, I f \ I "cnh X dx 34 I(x+ 4) cosh 4x dx
, .r CIl. x ,/x 36 I arctg 3x dx
II II" '"\JS x ,/x 38 I (x + 1)IO(x ~ 2) dx
11:~11l'·S. 39-42: Use a integra~ao por partes para"Illhol 'cer n f6rmula de redu¢o.
\II II·"t!,/x-Xmi'-mIxn·1i'dx
f m secm-2xtgx m-2I m-Z.Il seC X ,/x ~ ----+ -- sec x dx
m-l m-l
II,' Use 0 Exerdcio 41 para ealeular I (In x)4 dx.
'I~ Se f(x) - sen Vi, ache a area da regiao sob 0
p,rnfico de f de x ~ 0 a x = Itz.
11(, A regiao delimitada pelo gnifico de y = x >lsen x e" eixo-x de x - 0 a x = 1t/2 gira em tomo do eum-x.Detemune 0 volume do sOlido resultante.
1\7 A regiao delimitada pelos graficos de y = In x,y = 0 e x = e gira em lomo do eixo-y. Ache 0,
volume do s6lido resultante.
,'48 Suponba que a for~a f(x) atuando sobr: 0 pontode coordenada-x em uma reta coordeDada I sejadada' por f(x) = x5 VX3+1. Determine 0 trabalhorealiza~1I ao mover urn objeto de x ~ 0 a x = 1.
49 Determine II centr6ide da regiao delimitada pelos'graficos das equa~6es y = e, y ~ 0, x - 0 ex = In 3.
50 A velocidade (no instante t) de urn poDto que semove ao longo de uma reta coordenada et le1J m/s. Se 0 ponto esta na origem quandot - 0, ache sua posi~ao no instante t.
51 Ao aplicar a f6rmula de integra¢o por partes(9.1), mostre que se, ap6s a escolha de dv,escrevermos v + C em lugar de v, chegaremos aomesmo resultado.
52 Na Se~ao 6.3, a discussao da determina~ao devolumes por ~eio de cascas cillndricas ficouincompleta, porque nao mostramos que 0 metododos discos conduz ao mesmo result ado. Utilize aintegra~ao por partes para mostrar que, se f ediferenci<ivel e I'(x) > 0 em [a, b] ouI'(x) < 0 em [a, b], e se Ve 0 volume do s6lidoobtido pela rota~ao em tomo do eixo-x da regiaodelimitada pelos graficos de f,x = aex = b, entaoobtemos 0 inesmo volume V, quer usemos 0
metodo dos discos, quer 0 metodo das ciscas.(SlIgestiio: Sejag a fuo~iio inversa de f, e use a
•inlegra~ao por partes em f. 1t[f(x)j2 dt.)
53 Discuta a seguinte aplica~ao da F6rmula (9.1):
Dada I (llx) dx, seja dv = dt e u = Ilx, de modo
que v =X e dll = (-11 xZ)dt. EDtaO./
I~dt = U )x - Ix( - ~ ) dt
54 Se u = f(x) e v = g(x), prove que a analoga daF6rmula (9.1) para integrais definidas e
b []b bfa U dv = uv a - fa V du
No Exemplo 7 da Se<;ao 9.1 obtivemos uma f6rmula de redu<;iiopara f ~en " x dx. In tegrais desse tipo pod~m tambCm ser ealeu-
!ad~s sem reeorrer a integra<;ao por partes. Se II e UID inteiropositivo impar, eome<;amos por eserever
Jsen " x dx =f sen ~- 1 X sen x dx
Como 0 inteiro n - 1 e par, podemos utilizar a iclentidadetrigonomeirica sen 2 x'; 1 - eos 2 x para ehegar a Uljl~ f6rmulafiicil de integrar, eonforme exemp!o seguinte. '
EXEMPLO 1~<. ,
Caleu!ar f sen 5 x dx
=f (1- 2 CDS 2 X + CDS 4 x) sen x dx
Se 0 integrando e sen n X ou cos" x e n e par, entaopodemos aplicar a formula de angulo-tnetade
2 1- cos 2xsen x= 2
2 l+cos2xou cos x = 2
Integrais que envolvem apenas produtos de sen x e cos xpodem ser calculadas mediante as seguintes diretrizes.
Diretrizes para calcularf sen m x CDS n x dx (9.2)
Para integrandos da forma. tgm x sec" x, valem dirclrlz·
anaJogas as (9.2).
1'1" 11//,08 para calcular1111 /II, OC n x dx (9.3)
Sao calculadas de maneira analoga integra is da forma
f catm x csc" x dx.
Finalmente, se urn integrando tern uma das formascos mx cas nx, sen mx sen nx ou sen m~ COS llX, utiliza-se umaforma produto-soma para facilitar 0 calculo da integral, conformeexemplo a seguir.
1 J eos3 x dx 2 J sen2 2xdx
3 J sen2x eos2x dx 4J cos? xdx
5 J sen 3 x eos2x dx 6 J sens x cos3 x dx
7 J sen6x dx 8 J sen4 x cos2x dx
9 Jtg,3xsee4xdx 10 J see6 xdx
11 JIg3 x see2 x dx 12 JIgS xseexdx
13 Jtg6xdx 14 J cot4 xdx
315 J vsen x eos3 x dx 16J~dx
Vsenx
17 J(tgx+eolx)2dx 18 J cot3 x ese3 x dx
. n/419 f. sen3x dx 20 i tg2 (1m) x dx
0 o 4
21 J sen 5x sen 3x dx. "'4
22 J eosx eos 5x dx0
nf223 f. sen 3x cos 2x dx
0
24 J sen 4x eos 3x dx
25 J ese4 x COl4x dx 26 J(l + veosx)2seDxdx
27J~dt2
28J~dx2 - senx sec2 x
230 J seex 'dx29J~dx
(1 + tgx)2 . cotS x
31 A regiao delimitada pelo eixo-x e pelo griifieo dey = eos2 x de x = 0 a x = 2n gira em torno doeixo-x. Determine 0 volume do s6lido resultante.
32 A regiao entre os graficos de y = tg2 X e y = 0 dex = 0 a x = rr/4 gira em torno do eixo-x. Determi-ne 0 volume do solido resultante.
33 A velocidade (no instante I) de um ponlo emmovimento sobre uma reta eoordenada eco ~nl m/s. Qual a distaneia pereorrida peloponto em 5 segundos?
34 A acelera~ao (no instante I) de urn ponto emmovimento sobre uma rela eoordenada esen2t cos 1IIIIS'. Em 1= 0, 0 ponto esta na origeme sua velocidade e 10 mls. Determine sua posi~iiono instanle I.
(b) Obtenha f6rmulas amilogas as da parte (a)para provar que
36 (a) Use a parte (a) do Exercicio 35 para provarque
f sen Int seD/IX dx = {O-n 1t
(i) r sen = eos /IX dx-n
(ii)r cos =eos IIX dx-n
Substituir;6estrigonometricas (9.4)
9.3 SUBSTITUI<;OES TRIGONOMETRICAS
No Exemplo 1 da Se<;ao 1.3 mostramos como transformar aexpressao var:::xr, com a > 0, em lima expressao lrigonome-triea sem radieais, utiliz<J,ndo a substi/lli~iio lrigollomerricax = a sen B. Podemos adotar proeesso analogo para ~ e~. Esta teeniea e uti! para eliminar radieais de certos tiposde integrando. Veja as sllbstitui<;6es:
Ao fazer lima substitui<;iio trigonometriea, admitimos queB esteja no eontradom!nio da fun<;ao trigonometriea inversaeorresponilente. Assim, para a substituic;ao x = a sen e, temos-n/2 s B s n/2. Neste easo, eos B ;" 0 e
~ =Va2_azsenzB
Se y;;r::xr apareee em urn denominador, acreseentalUos arestri<;iio Ix I,.a ou, equivalentemente -n/2 < B < n/2.
I 1 dxX2~
o integrando con tern v'I6'=?, que e da forma Va 2 - X r COlli
a = 4. Logo, por (9.4), fazernos
x = 4 sen e para -rt/2" 0 < rtI2.
Segue-se que
V16-x' =V16-16sen'e =4V1-sen'e =4Veos'e =4eosO
Como x = 4 sen e,temosID: •• 4 cos ede. Substituindo na inte-~gral dad~, obiemo;··::·,.:~~·.::.:'.,.:,;;::,· " .' .. , ,,,
." ; 1'>'"'''' 00'" 1' I x2.ff6=7d.x,=I (~6 sen 2 e)4 cos 8 4 cos 8 d8
': 1 '=iJ scn28 d8
'= XI' cse2 8 d8.. 16
= -.Lcot 8 +C" 16, . '
Devemos agora voltar 11 varia vel de integra~o original, x.Como 8 = arcsen (xI4), poderiamos escrever - 10 cot 8 como
- 10 cot arcsen (xI4), mas esta expressao e de manus~io dificil.
Como' 0 lntegrando contem V16=?, e preferivel que a formacalculada tambem contenha este radical. Ha urn metodo geometricoque garante a ocorrencia Wsso. Se 0 < e < nl2 e sen'8 = x14,podemos interpretar e como um lingulo agudo de urn trilinguloretlingulo ,com comprimentos x e 4, os quais correspondem,~espectivamente, ao lado oPosto do lingulo e 11 pr6pria hipotcnusa(veja a Figura 9.1). Pelo teorema de Pitagoras, 0 comprimento dolado adjaccnte e v'16 _x2• Considerando 0 triangulo, obtemos
6-..fI6=XT
cot ---x
Pode-se mostrar que a ultima forma tambem e verdadeira se-n12 < e < O. Assirn, a Figura 9.1 pode ser us ada, quer 6 sejapositivo quer ncgativo. •
Substituindo cot 8 por v16 _x2 Ix em 00550 c3.Iculo, obtemos
Se um integrando eontem ..r;;r:;xr para a > 0, entao,'por(9.4), aplicamos a substitui~ox = a tg e para e1iminar 0 radical.Ao usar esta substitui~ao, admilimos que 6 esteja no conlrado-minio da fun~ao inversa da tangentc, isto e, -n12 < 6 < n12.Neste caso, sec 6 > 0 e
~ =v'a2+a2tg26=v'a2(I+tg28)= v'a2 see2 8
= a see 8
Ap6s substituir e ealcular a integral trigonometrica resultante, enecessario voltar 11 variavel x. Pode-se fazer isto aplicando a formulatg 8 = xla e considerando 0 trilingulo retlingulo da Figura 9.2 .
I 1 dx"';4 +x2
o denominador do integrando tern a forma ...;ar+Xi coma = 2. Logo, por (9.4), fazemos a substitui<;ao
x = 2 tg 8, ·dx= 2 sec 2 e d8
;I.~dx=I-2 1 82see2ed8, y4+x' sec
= In I sec 8 + tg 81 + C
Como tg e =xI2, esbo<;amos 0 triangulo da Figura 9.3, dondeobtemos .
v'4+x~see 8=--2-
I-1-dx I \V4+X1 ~IC-f4+XT =n 2 +2+
\y;;:;xr +x I I'~ IIn 2 +C=ln y4+x- +x -ln2+C
Como y;;:;xr + x > 0 para todo x, toma-se desneeessario 0
sirnbolo de valor absoluto. Fazendo tambem D = -In 2 + C,obtemos
r~ dx= In ("4 +x2 +x) +Dv4+x-
:2jece=~x
..Jx2 - a2
B
a
:2jece=J,"x ,
..J x2-9
e3 '
Se urn integrando contem ~, entao, de acordo com(9.4), fazemos a substituic;ao x = a sec 0, on de 0 e escolhido nocontradomfnio da funC;ao secante inversa; isto e, ouo s 0 s nl2 ou 1t S 0 < 31t/2. Neste casq, tg 0 « 0 e
= Va 2(sec2 0 - 1)
=~
=a tgO
xsec 0 =-a
podemos recorrer ao triangulo da Figura 9.4 ao passar da variavelo para a variavel x.
Calcular fv'x ~- 9 dx
o integrand6 con tern v'x2_ 9, que e da forma ~ coina = 3. De acordo com (9.4), fazemos a substituiC;aQ
x = 3 sec 0, dx = 3 see 0 tg 0 dO
f~ f~'---dx= 3 03secOtgOdOx ' see "-.= 3 f (sec 20 - I)dO = 3 f see 20 dO - 3 f dO
= 3 tg 0 -30 + C
Como sec 0 = x13, podemos reeorrer aotriangulo retangulo daFigura 9.5. Considerando que tg 0 = ~/3 e 0 = arcsee (i),obtemos
n'-./1 - x'
Figura 9.6
fVX~-9 dx=3"';x23-9 -3arCSeC(~)+C
= "';x2 - 9 - 3 aresec ( ~ ) + C
Como veremos no proximo exemplo, podemos usar subs-titui<;6es trigonometricas para ealcular cerlas integrais que en-volvem (a 2 - x2)n ,(a 2 +x2) n, ou (X2 - a 2)n, nos easos em quen =~.
EXEMPLO 4
(I_X2)312Calcular f x6 dx
SOLu<;Aoo integrando contem a expressao 1- x2, que e da formaa 2 - X 2 com a = 1. Aplicando (9.4), substituimos
x = sen 0, dx = cos 0 dO
Assim, 1- x 2 = 1- sen 2 0 = cos 2 0, e
( 2)312 ( 20)312f 1- x dx =f cos cos OdOx6 sell 6 0
=ICOS40 do=Icos40 ._I_dOsen 6, 0 sen 4 0 sen 2 0
=Icot40csC20pO
= _~cot5 0 + C
Para voltar 11 variavel x, observamos que sen 0 = x = xII <;
recorremos ao triangulo retangulo da Figura 9.6, oblendocot 0 = ~/x. Logo,
5
f(I-X2~dx=_.!.("';1-X2) +Cx6 5 X
(1-x2~=- 5 +C
5x
Apesar de dispormos agora de tecnicas adieionais d.e intcgl'1l-C;ao, e conveniente relembrar' sempre os metodos antenores. PQrexemplo, a integral f (x~) dx poderia ser calculada I ·In
, ,
substituis:ao trigQnometrica oX = 3 tg 6. Todavia, e mais simplesutilizar asubstitUis:ao algebrica u = 9 + X 2 e du = 2x dx, pois,neste caso, ~ integraltoma a forma Hu -lfl, que e imediatamente
integravel pel a regra da pcilencia. Os exercicios a seguir induemintegrais que podem ser calculadas por meio de tecnicas maissimples do que as substituis:oes trigonometricas.
I I r -tI(( 2\ 4-x
r I-dx
()+)1
J' I--dxl-ry---, Vx'-25
dx2
.l
I) I '--dx.• (, _ 1)312.
/' I-
II 2"2dx, (1/".')
J' ,It ./~tlx
V'i -4x
31"1' ~dx. Vy 2+49
/" III) --dx, ," 1;2_3
fV4-~2 --dxx2
)4f 1 dx
\ ..~V~+9'--------
6f 1 dxx3V~_25
8Jxth•.~
IOfd=xdx4x -25
12f 1 dx(16 _ x2)512
14f-l_zd(49+x
18 f 1 dxxV25)1 + 16
f~dxVl-x2
1'1\ r"g,ao delirnitada pelos gr3ficos dey - x (x 2 + 25) -lfl, Y = 0 e x = 5 gira em tomoII•• "ixo-y. Ache 0 volume do solido resultante.
24 Ache a area da regiiio delimitada pelo grmco dey = x3(10 - x2)-II2, pelo eixo-x e pela reta x = 1.
Exercs. 25·26: Resolva a equa<;iiodifererlcial sujeita'. 11 condi<;iioinicial dada.
2Sxdy =Vx2 -16 dx;
26 Vl_x2 dy =x3 dx;
Exercs, 27-32: Use urna substitui<;iiotrigonometricapara estabelecer a formula. (Veja as Formulas 21,27,31,36,41 e 44 no Apendice IV.)
27 fVa2 + 112 dll=
28 f 1 dll= -lln IV;;Z;;; + a I+ CII Va2+112 a II
II 2 Z _~ a4 II8" (211 - a ) V a~ - II' + 8 arcsen -;;+ C
f 1 1 -~ .~30 ----dll=--Va~-II'+c
112 VaZ_ IIZ aZIi
vi_az -~ a31f--- dll= VII~ - a' - a arccos - + C
II II
Recorde que, se q e 'uma funs:ao racional, entao q(x) == f(x)/g(x), onde f(x)" e g(x) sao polinomios. Nesta ses:aoestabeleceremos regras para 0 calculo de Iq(x) dx.
Consideremos 0 caso especifico q(x) = 2/(x 2 - 1). E filcilverificar que
1 -1 2--+--=-2-x-I x+l x-I
A expressao 11 esquerda da equas:ao e chamada decomposiriioem fraroes parciais de 2/(x2 - 1). Para achar Iq(x) dx, integra-
mos cada uma das fra<;oes que constituem a decomposi<;ao,oblendo
J 2 J 1 J -1--dx= --dx+ --dxx2_1 x-I x + 1
IX-l/=.In -- +C. x+l
Teoricamenle e possivel escrever qualquer expressaof(x)/g(x) como uma soma de expressoes racionais cujos deno-minadores envolvem polencias de polinomios de grau naosuperior a 2. Especificamente, se f(x) e g(x) sao polinomios ese 0 grau de f(x) e inferior ao grau de g(x), entao pode-se provarque
Ax+Bou (ax2+bx+c)"
para reais A e Ben inteiro nao-negativo, onde ax 2 + bx + c eirredutivel no senti do de que este polinornio quadriitico nao ternzeros (is to e, b 2 - 4ac < 0). Neste caso, ax 2 + bx + c nao podeexpressar-se como 0 produto de dais polinomios do primeirograu com coeficientes reais.
A soma F + F +, .. F, e a decomposi<;iio em fra~oesI 2 r
parciais de f(x)/g(x) , e cada Fk e uma fra<;iio parcial. Nao
provaremos este resullado algebrico, mas estabelecerep10s dire-trizes para obter a decomposi<;ao.
Diretrizes para a decompo-sigiio de f(x)/g(x) em frag6esparciais (9.5)
As diretrizes para achar a decomposic;ao em frac;6es parciaisde f(x)/g(x) devem ser ap!icadas somenle s~Of(x) liver grau inferiorao de g(x). Se isto nao ocorrer, teremos de recorrer a divisao parachegar a forma adequada. Por exemplo, dada
Xl - 6x2 + 5x - 3x2 -1
Xl + 2x2 - 3x =x(x2 + 2x - 3) =x(x + 3)(x - 1)
Cada fator lem a forma indicada na Regra a de (9.5), comIn = 1.Assim, ao falor x corresponde uma frac;ao parcial da formaA/x. Analogamente, aos fatores x +3 e x,-1 correspond emfrac;6esparciais B/(x + 3) e C/(x - 1), respectivamente. Porlanto,a decomposic;iio em frac;oes parciais lem a forma
4x2+13x-9 ABCx(x + 3)(x -1) - ~ + x + 3 + 'x - 1
Passamos entao a decomposic;ao de (6x - 9)/(x2- 1) em frac;oes
parciais.--------
Multiplicando pelo minimo denominador com urn, oblemos
(*) 4x2+ 13x-9=A(x+3)(x-l) +Bx(x-1) +Cx(x+ 3)
Em casos como esle, em que os falores sac todos !ineares e naorepetidos, os valores de A, B e C pod em ser oblidos pelaSubslilUic;aode x por val ores que anulem os varios fatores.
Fazendo x = 0 em (*), lemos
Fazendo x = 1 em (*), obtemos
8 =4C, ou C= 2
4x2+13x-93 -1 2-----=- - +-- +--X(X + 3)(x - 1) x x + 3 x-I
Integrando e denolando por K a soma das conslantes de inlegra-c;ao,lemos
Valemo-nos agorad~ de fato que, se dois polino~i~s sap iguais:-enlao os coeficientes de iguaispotencias de x sap os mesmos. Econveniente disp6r nosso trabalbo da seguinte mane ira, a qualcbamamos~ompara~iio de coeficientes de x.
.c~eficientesdex2: A +B+C=4
; coefic!enies de x: 2A - B + 3C~ 13,; ,." " 1"-
Pode-se verificar que a solm;ao deste sistema de equal10es eA = 3, B = -1 e C = 2. .
f3X3_18x2+29X-4Ca1cular . (x+ 1)(x-2)3 dx
Pela Regra a de (9.5), ha uma fral1ao parcial da formaA/(x + 1) que corresponde ao fator x + 1 no denominador deintegrando. Para 0 fator (x - 2) l aplicamos a Regra a (comm = 3), obtendo uma soma de tres frac;oes parciais B/(x - 2),C/(x - 2)2 e D/(x - 2)3. Conseqiientemente, a decomposic;ao emfral10es parciais tern a forma
Duas das constantes incognitas podern ser determinadas facil-mente. Fazendo x = 2 em (*), obtemos -- ...-
Da mesma forma, fazendo x = -1 em (*), temos
-54=-27A ou A =2
As demais constantes podem ser obtidas por comparac;ao doscoeficientes. Atenlando para 0 membro direito de (*), vemos queo coeficiente de x3 e A + B. Este coeficiente deve ser igual aocoeficiente de x3 a esquerda. Assim, por comparac;ao,
coeficientfs de Xl: 3 =A +B
Como A = 2, segue-se que B = l.
Finalmente, compimimos os termos constante& de (*)fazendo x = 0, 0 que nos dii:
termoscollstanles: -4 = -SA + 4B - 2C + D
Levando os valores jii achados para A, BeD na equac;aoprecedente, temos
que tern a soluc;ao C = -3. A decomposic;ao em fra¢es parciaise, portanto,
3x3-18x2+29x-4 I 2 1 -3 2--+--+---+---(x+1)(x-2)3 x+1 x-2 (X-2)2 (X-2)3
Para obter a integral dada, integramos cada urni! das frac;oesparciais do membro direito da ultima equac;ao, obtendo
·3121nIx + 11+ In Ix - 21 + x _ 2 - (x _ 2) 2 + K
com K igual a soma das quatro constantes de integral1ao. Esleresultado pode ser escrito na forma
3 1In[(x+1)2Ix-2Il+ x-2 - (X_2)2+K
f X2 -x- 21Ca1cular 2x3 _ x2 + 8x _ 4 dx
Aplicando a Regra b de (9.5) ao fator quadriitico irredutivelx 2 + 4, vemos que uma das frac;oes parciais tern a forma(Ax + B)/(x 2 + 4). Pela Regra a, hii tambem uma frac;ao parcialq(2x - 1) correspondente ao falor 2x - 1. Conseqiientemente,
x2-x-21 Ax+B C2x3-x2+8x-4== x2+4 +2x-l
Pode-se achar facilmente uma constante. Fazendo x = ~em (*),obtemos
AS demais constantes podem ser achadas por compara"ao decoeficientes de x em (*); .
coeficiell1es de x 2: 1 = 2A + C
coeficientes de x: -1 = -A + 2B
termos constantes: -21 = -B + 4C
Como C = -5, segue-se de 1 = 2A + C que A = 3. Da mesmaforma, utilizando os coeficientes de x com A = 3, temos-1 = -3 + 2B ou B = 1. Assim, a decomposi~o do integrandoem fra"oes parciais e
x2-x-212x3-x2+8x_4
3x + 1 -5--+--x2+4 2x-1
3x 1 5=--+-----x2+4 x2+4 2x-1
Pode-se agora calcular a integral dada integrando 0 membrodireito da Ultima equa"ao, 0 quc nos d<l
Aplicando a Regra b de (9.5), com Il = 2, tcmos
5x3-3x2+7x-3 Ax+B Cx+D(x2+1)2 =x2+1 +(x2+1)2
Multiplic~do pelo m~nor divisor comum (x2 ~ 1) 2 temos
I"~"I .'~. 33-36: Use fra,Des parciais para calcular a'""WIlI (vcja as F6rmulas 19, 49, 50 e 52 da tabuaII. "'l'grni~no Apendice TV).
/' I
". I '2duII - U
34J_l_duu(a +bu)
J. I.\ ? - du
U (II +/JII)36 J 1 2 du
u(a +bu)
1'1.'.~ J( d - x/(x2 - 2x - 3). ache a area da regiao'oil u griifico de f de x ~ a a x - 2.
III A Icgiao delimitada pelos ,graficos dey - I/(x - 1)(4 - x), Y ~ O. x ~ 2 e x - 3 gira em"" "" do cixo-y. Determine 0 volume do solido1t~~\Iltantc.
39 Se a regiiiodescrita no Exercicio 38 gira em tomodo eL'to-x,ache 0 volume do solido gerado.
40 Na lei logfstica de crescimento admite-se que, noinstante I, a taxa de crcscirnento f(l) de umaquantidade f(l) seja dada porf(1) ~Af(t)[B - f(I)], com A e B constantes. Sef(O) ~ C, mostre que
f(I)- BCC + (B - C)e-AB/
41 Como altemativa ao metodo das fra,Des parciais,mostre que uma integral da forma
para urn inteiro posilivo n e reais distintoscl' c2 •••• , cn' Se f(x) e urn polin6mio de grauinferior a II, mostre que
f(x) =~+~+ ... ;~g(x) x - C1 x - C2 x - Cn
com At c f(ct)/g'(c.) para k = 1,2, ... , II. (Trata-se, na realidade, de urn metodo para obter adecomposi,ao em fra,oes parciais quando 0 de-nominador pode ser favorito em fatores line,aresdistintos.)
44 Use 0 Exercicio 43 para achar a decomposi,aoem fra,Des parciais de
2\4 _ x3 - 3'; + 5x + 7
x5_5x3+4x
A'decomposi,ao em fra,6es parciais pode conduzir a integran-dos que. con tern uma expressao quadnitica irredutiyel comoax2 + bx+ c. Se' b ¢ 0, e necessario as vezes complctllr 0 qua-drado como s~g'ue:
A substitui,ao u = x + b/(2a) pode eolao conduzir a uma formainlegravel.
EXEMPL01
I 2x-1Calcularx 2 _ 6x + 13 dx
SOLu<;AoNot~ que a expressao quadratica x 2 - 6x + 13 e irredutivcl, po isb2 - 4ac = -16 < O. Complctamos 0 quadrado como segue:
x2_ 6x + 13= (x2-6x)+ 13
- (x2 - 6x + 9) + 13 - 9 = (x - 3)2 + 4
5 x-3= In (x2 - fix + 13) +:2 arctg -2- + C
Podemos lambem empregar a teenica de eompletar 0
quadrado quando uma expressao quadnitica apareee sob 0 sinaldo radical. '
Nesta sec;ao estudaremos substituic;oes uteis para 0 calculo decertos tipos de integrais. 0 primeiro exemplo mostra que, se uma
integral contem uma expressao da forma ~, entao uma das
substituic;oes u = ':,fJ(x) ou u = f{x) pode simplificar 0 calculo.
14 5--h-- dxJt.+ h+5)2
155 eX dxe2x+3e"+2
17/J-4X+6 dx2 J-4x+5
18fl~dxo J+x+ 1
19 Ache a area da regiiio delimitada pelos graficosde y = 1/(x2 + 4x + 29), y - 0, x = -2 ex = 3.
20 A regiiin delimitada pelo graficn. dey = 1/(x2 + h + 10), ns eixos coordenados e arela x = 2 gira em lomo do eixo-x. Ache 0 volumedo solido resultanle.
Para obter uma substituic;ao que elimine as dais radicais
vx =X1fl e ?x = x1l3, fazemos II = xll., onde n e a minimadenominador comum de ie }. Fazemos assim
LOgo,
dt=6I1sdu, X1fl={U6)lfl=1I3, XI13_(1I6)II3=U2
1 1 u3
J_e )e dx =J-3--26u 5 du = 6J--1 duvx+vx u +u u+
Se 0 integrando e uma expressao racional em sen x ecas x, entao a substitui<;ao
xu = tg 2: para -Jt < x < Jt
transfonnanlo integrando em uma expressao raeional (algebrica)em 11_Para prova-Io, notemos primeiro que
x 1 1 1cas-=---= =---2 see (x/2) VI + tg 2 (x/2) ~
x x x 1sen-=tg-eos- = u---2 2 2 v'I+U"T
sen x = 2 sen :: cas :: = ~2 2 1+112
2X 2u21_112eos X = 1 - 2 sen -2 = 1 - --2 = --2l+u 1+11
dx=_2_du1+ u2
1 dx4 sen - 3 cas x
1 J 1 2J4senx-3eosxdx= 4( 2u -)_3(I_U2)01+1I2dll
1+112 1+112
=J 2 du8u-3(1-1I2)
= 2f 1 du3112+ 8u - 3
f 1 dx-! J(_3- _1_)dll4 sen x - 3 cas x - 5 3u: 1 - 11+ 3
1= 5" (In 1311- 1 1- In III + 3 I ) ~
=! I 1311
+ 1 I c'. 5n 11+3 +,
= 1. In Ill& (x/2) - 1_\ +5 tg(xl2)+3
o Teorema (906) p'ode ser usado para qualqucr inlcnrlllltioque seja uma expressao racional em sen x e cos x; lollllVIIi,
importante tambem cansiderar substitui<;6cs mais simploN. (;1\/1
forme exemplo a seguiro.o:
Jx x+9dt 2 J x2,f2x+ 1 dt
J _x-dt 4 J 5x dtV:1x + 2 (x+ 3)213
.'1 1 f25 IJ -dt 6 --dt'1 IX +4 o~
7 JIX dt 8 h--1-}dt
I+~ vx+vx
'I J 1 dt 10 l 2<+ 3 dt(x+ 1),fx-2 0..11+ 2x
III '~dt xll3+112J-1I3--dt(x+ 4)113 x -1
I.lJI::\'~d>: e2x
14J--dth+ex
7-<16J sen 2x d>:l. f C_dt
" + 4 ..II +senx
.;. ~'" - ~I cosx 'dx'
1 + sen2 x
I-~dx=I-l_du1 + sen 2 X 1 + U 2
220J_x--dt
(3x + 4)10
21J senx dt22f cosx dtcosx(cosx -1) sen2 x - sen x - 2
23J! dte -1
24J_l_dti' + e-x
25 J 2 seD 2x dtsen x-2senx-8
26J senx dt5 cosx + cos2 x
Exercs. 27-32: Usar 0 Teorema (9.6) para calculara integral.
1 '27J--d>:
2 + senx28 f 1 dx
3+2cosx
29 J 1 dtl+senx+cosx
30 f 1 dttgx+ sen x
31J~dt4 -- 3tgx ~3Js~c'~dx=1n 111+tg~X \ +C
-tg;:x
J 1 (I-COSX\'34 cscxdt=Zln 1+cosx )+C
32 J 1 dt, sen x v'3 cos x
Exercs.33-34: Use 0 Teorema (9.6) para estabelecera formula.
9.7 TAsUAS DE INTEGRAlS
Matematicos e cientistas que utilizam integrais em seu trabalhocostumam recorrer a tabuas de integrais. Muitas formulas con-tidas nessas tabu as podem ser obtidas mediante aplica~oes demetodos ja estudados. Em geral, as tabuas de integrais devemser usadas somente apos adquirir experiencia com os metod ospadroes de integrac;ao. Para integrais cOOlplexas e freqUentemen-te ,necessario fazer substituic;oes ou utilizar frac;oes parciais,integrac;ao por partes, ou outras tecnicas para obter integrandosaos quais se possa aplicar a tabua.
as exeOlplos a seguir ilustram a utilizac;ao de vanasf6rmulas constantes da pequena tabua de integrais do ApendiceIV. Como precauc;ao contra passive is erros no manuseio dastabu as, convem verificar sempre as resultados par diferenciac;ao.
Em primeiro lugar utilizamos a F6rmula de reduc;ao 85 da tabuade integrais, com n = 3 e u = x, obtendo
Em seguida aplicamos a Formula 84 com n = 2, e a Formula 83,obtendo '
Calcular f 2 _~ dx para x > 0x v3+Sr
o integrando sugere utilizarmos a parte da tabua referente 11forma ~. Especificamente, a Formula 28 afirma que
f tlu ~ CU2~= a2u +
(Nas tiibuas, a diferencial e colocada no numerador, e nao 11 direitado integrando.) Para utilizM esta formula, devemos ajustar a integraldada de modo a faze-Ia coincidir exatamente com a formula. Fazendo
entao a expressao sob 0 radical esta sendo tratada; entretanto,tambem necessitamos de
(ii) du no numerador
Podemos obter (i) escrevendo a integral como
sf 1 dxSx2v'3+5X2
S If 1 JF. V5 Sx 2 ..f3+5X'X v S dx
A ultima integral coincide exatamente com a da Formula 28 e,portanto, .
f 1 dx = V5 [_ Y3 + S~: ] + Cx2Y3+Sx2 3(fu)
=_ Y3+Sx2 +C3x
Conforme 0 exemplo seguinte, pode ser preciso fazer umasubstitui~ao de algum tipo antes de utilizar a tabua para 0 calculode uma integral.
f sen 2xCalcular v3 S dx- cosx
fsen 2x dx _f2 sen x cos x dx
v3 - S cos x - v3 - S cos x
Como nenhuma formula da tabua tem esta forma, tentarernos asubstitui~ao u = cos x. Entao till = -sen x dx e a integral pode screscrita