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Capitulo 8. . FUNQOES
TRIGONOMETRICAS
INVERSAS E HIPERSOLICAS
MAKRON
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o capitulo come'fa com uma reVlsao dasfun'foes trigonometricas inversas estudadas
nos cursos de trigonometria. Em seguida
aplicam-se metodos do calculo para obter
f6rmulas de derivadas e integrais. Como os
valores funcionais podem ser vistos como
angulos, isto nos permite considerar aplica-
l
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~ . . : . }" ~ . : ' ', c " ' ( 1 ) " _ 1 n n
,. ( . , .' ~v ~~_ ~~~~~: '~_ ',~~~'_ _f~.~aoseny=-2 e-" 2~y ~2
'Logo, y =- ~ . .i,:~,),;,.. '", . I;. -., 6 lJ t,
,:1;;; 'L .p~. : .:J _ ~'i .; '~~.: : ,::!;-,f)J ):. r," i'" Usando ometodo introduzido na Sec>ao7.1 para esboc>ar 0
grafico de uma func>ao inyer~~,. ~~d.~~o~ .trac>ar 0 grafico de
y =arcsen x refletindo a p(lfc>aos6lida da Figura 8.1 em relac>ao, '. - a reta );;. x . jsto pi-oduz a FiguraTi"Podei-iaiiiostamb6m' usar
a equa!;ao y =sen y, com -1t/2s y s n/2, para obler ponlos dogr~fico. :.. ';;'1,u, ~,,' . , .
~
'=senx,,1-- '.- 2 "
I f-- I 'I,'n ~.. It 1t "X
'. -1- " 2 "
~, \ "i- .:. /; "'~ '\.; .:::;. '\ ,",.'J
Comoas funl;oes' lrigonometricas nao sap um-a-um, nao admi-
tern furil;oes inv'eisa's (veja a Sel;ao 7.1). Todavia, restringindo
convenientemenle'seus dominios, podemos obler funl;oes urn-a-
. urn que t~nha~ os me~m'o.svalor~s das funl;oes lrigonometricas
e que tenham funl;oes'inversas nesses domfnios reslrilos.". f ~-~.~,; ~':~ ~~".'~ ~:::: ~' _ ', , : , ,' 1 ' ; , ._ .~ '.
,
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funl;ao inversa continua decrescente. Isto conduz a seguintedefinil;ao.
o dominio da f unl;ao inversa do co-seno e [-1,1) e 0contradominio e [0, It). A expressao y =arccos x elida como"y igual aarco co-seno XU ou "y e 0angulo cujo co-seno e xu ..
S1 - 1
e y =arccos 2 ' entao cos y = 2'
ItLogo, y=3
sey=arccos(-~),entaocosy=-~ e OsySlt.
2ltLogo, y="3
Pode-se obter 0 gnifico da ftlnl;ao inversa do co-seno
refletindo a parte s6lida da Figura 8.3 em relal;ao ao eixo y =~.
Isto origina 0esbol;o daFigura 8.4. Poderiamos tambem aplicar
a equal;ao x =cos y, com 0s y s It, para acbar pont os do grafico.
y
Como cos e arccos sac funl;oes inversas uma da outra,
obtemos as seguintes propriedades:
I
: y =tgxIIII
I
II
. 1 1pOlS -
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i2j,
y = aretgx= tg1x
________ .n ~__
:2
Se y =arelg (-1), entao
Logoy=-~4
tg (tg -I1.000) =1.000 por (8.6)(i)
( n ) n . n n ntg- I tg 4 " =4 " pOlS - 2 :
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~l
2
. . J 1-x2
Figura 8.11 .
Queremos achar sen (u:- I!). Como u e v estao no intervalo(0, rr./2),pod em ser considerados como medidas em radianos de
iingulos agudos, e podemos referir-nos aos triiingulos retiingulos
na Figura 8.10, 0que nos da
1sen II =Y 5'
2cos u =VS'
3senv=S'
4cos v =S
1 4 2 3=VSS-Y5S
2 2Y5=- 5VS=-2j
Se -1 s x s 1, escreva cos (arcsen x) como uma expressao alge-brica em x. .
Querem6s expressar cosy em termos de x. Como-rr./2 s y s rr./2, segue-se que cosy ;" 0, e entao
cosy=Y1-sen2y",V1-x2
A. ultima identidade tambem pode ser visualizada geome-
tricamente, se 0
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O J (1I;1Ir 'sen ( sen ~ ):, (h)arcxos ( eos 5 6 " )
(to ) IIrelg [ tg ( - ~) ] -"
III (II) IIr~sell [sen (- % ) ] (b) arccos (cos 0)
(.) III' 'Ig ( tg 1)I ' (II) IIresen ( sen 54~)
(.) IIrclg ( tg 7 :)
It(II) lll'~sell ( sell ~ )
(I') IIr~lg ( Ig 7 ; )
I , (II) sell [arccos (- ~ )]
(,.) Ig [arcsen (-I)J
I . ' (II) sell (nrctg 3)(.) Ig (arccos 0)
(b) arccos ( cos 54" )
, ( 4 " )(b) arccos cos '3
(II) col ( arcsell ~ ) (b) sec [ arclg (- ~ ) ]
C
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Consideraremos apenas 0 caso especial II =x, pois as f6rmulaspara II=g(x) podem ser obtidas aplicando-se a regra da cadeia.
Fazendo f(x) =senx e g(x) =arcsenx no T eorema (7.7),segue-se que a funl$ao inversa do seno i e diferenciavel seIx I
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.> '\ 8. -: Observador
:~---4bom--~~
y, " , ," ,a~~le~~c
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Em .seguida, fazemos a substitui
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1 arcsen Vi 2 aresen ~x
3 arctg (3x - 5) 4 arctg(l)
5 e-x.aresece-x 6 "aresec 3x
7 xl arctg (Xl) 8 arctg sen 2x
9 arcsec~ %arcsec5x
111
12 aresen In xaresenx
13 (1 +arccos 3x)3 14 arccos cos e "
I~n arctg (xl) 16 arcl< ~ ~
80S(x-I) +(cosx) - J x +arccos x18 x arccos "4x + 1 19 3arescn(x')
4
20
U -aresen ~ )
2t22 __ e__
aresen 5x
24 (sen 2x)(arcsen 2t)
6 (arctg 4x)e3Ictg4x
Excrcs. 2728: Ache y'.
29 (a)I-1-1- dxx + 16
4 1(b)f. -l-dt
Ox + 16
e " j x30 (a)I ~dt (b) ~dt
l+e 01+e
t Umz x31 (a)IJ:':''''-'
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o grafico de y =cosh x pode ser obtido por adi~ao dascoordenadas-y. Notando que cosh x=~If+~e-', esbol{amos
primeiro os gnificos de y =~Ife y =~e-. no mesmo plano
coord enado, conforme exibido pel as linhas traeejadas da Figura
8.13. Somamos entao as coordenadas-y de pontos desses irati-
cos, obtendo 0gnifico dey =cosh x. Note que 0contradominiode cosh e [1, (0).
y
y = cosh x
Podemos achar 0grafico de y = senh x somando coordena-das-y dos griificos y =1Ife y =~e -', confofme Figura 8.14.
Algumas calculadoras cientificas tern teclas que permi-
tern achar diretamente valores de senh e cosh. Podemos
tambem alribuir valores a x na Defini
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identidades hiperb6licas sao anaJogas (mas nem sempre as
mesmas) a certas identidades trigonometricas; as diferen~as em
geral dizem respeito a sinais dos termos.
,,,
"\\\
\\
\\,,
Se 1 e um numero real, ha uma rela~ao geometrica
interessante entre os pontos P{cos I , sen I) e Q(cosh I , senh I)
em um plano coordenado. Consideremos os gnificos de
r+T =1 e r-T =1, esbo~ados nas F iguras 8.16 e 8.17.0grafico da Figura 8.16 e 0cfrculo unitario de centro na origem.
o grafico da Figura 8.17 e uma hiperbo/e (As hiperboles esuas' propriedades serao estudadas no Capitulo 12.) Note
primeiro que, como cos2 t +sen2 1=1, 0 ponto P(cos I, sen I)
esta no circulo r+l~1. Em seguida, pelo Teorema (8.11),cosh2 1- senh2 1=I, e dai 0 ponto Q(cosh t, senh I) est a nahiperbole r-l=1. E stas sao as raz6es para nos referirmosa cos e sen como fun~6es cirCII/ares, e a cosh e senh comofun~6es hiperb6/icas .
Ha uma outra maneira de relacionamento entre os graficos
das Figuras 8.16 e 8.17. Se 0
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Notem-se as analogias e diferen
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As f6rm~las' ~e iniegra~lio correspondenles as f6rmulas dederivadas no Jeorema (8.14) slio:
:: . ..~:: : ,
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52 A figura exibe uma bolba de sabao fomada pardais aneis concentricos paralelos. Seas aneisnaoestao muito distantes urn do outro, pode-semos-
!Tarqueafunc;aot,cojograficogeraeslasuperficiede revolu~ao, e uma solu~ao da equa~ao"diferen-
cial yy" =1+(y,)2, onde y =f(x). SeA e B sac
constantes positivas, mostre que y =cosh Bx esoluc;aosee somente se AB -1. Conclua que 0
grafico e uma catenaria.
19 53 Grafe, nos mesmos eixos coordenados,
y ~ tgh x ey =sech2 x, para 0 s x s 2.
(a) Estime acoordenada-x do ponto de intersec-
~aodos graticos.
(b) Use0metoda de Newton para aproximar a
com tres casas decimais.
B IB L I O TE CA D O D M E /U F C GZEL E os UV ;;:tOS
E-\jT"j""iC p - ""~ ~ ihr . ~!i~LkL.-r[\SENTREGA\\IPn~f){"; r:'l\r~DIA- I J . ,Il ..' .. '+0 .." L_'\I~
19 54 Grafe, nos mesmos eixos coordenados,
y - cosh2 x ey =2.
(a) EstabeJe~a integrais para estimar 0centroideda regiao R delimitada pelos griificos.
(b) Use a regra de Simpson, rom n =4, paraaproximar ascoordenadas do centroide deR.
57 senh (-x) = -senh x 58 cosh (-x) = coshx
59 senh (x+y) =senh x cosh y +cosh x senhy
60 cosh(x +y) =cosh x cosh y + senh x senh y
61 scnh (x- y) =senh x cosh y - cosh x scnhy
62 cosh (x- y) =cosh x cosh y - senh x senhy
63 t h (x + ) = tghx +tghYg Y 1+tghxtghy
64t h(x- )=~g!lLg Y 1-tghxtghy
65 senh2x =2 senh x cosh x
67 senh2:!. =posh x - 12 2
69tgh2x~1 +tgh2 x
70 t h:!.= senh~g 2 1+ coshx
71 (cosh x +senh x)" =cosh nx +senh nx para todointeiro positivo 1/ (Sugestiio: Use0Exercicio 55).
72 (coshx - senh x)" = cosh IIX - senh nx para tadaintciro positivo n.
8.4 FUN
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Obtem-se de, maneira analoga as formulas (ii)-(iv). Tal
como no caso Cia;;'fu~~5es trigonometricas, algumas f unl.
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f~ du= In (u+U+i7) +D,va- +uc
ondeD euma constante. Na Sec,;iio9.3 estudaremos outro metodo
para calcular ~s integrais do Teorema (8.18).
f 1 dx'~
Podemos expressar a integral na forma do Teorema (8.l8)(i)
medilinte a substituic,;iio .
Como du contrn' 0fator 3, ajustamos 0integrando multiplican-
do-o por 3 e compensando pela multiplicac,;iio da integral por 1, ,
antes de substituir:
1 u= "3 argsenh 5 +c
1 3x=- argsenh - +C3 5
f' e'
Calcular , 16 _ t?' dx
Fazendo u =ex,du =e' dx e aplicando 0Teorema (8.18)(iii) com
a =4, temos
1 u=" 4 argtgh " 4 +c
I I e'=- rgtgh-+ C
4 \ 4
1 (a) argsenh 1 (b) argcosh 2
(e) argtgh (-~) (d)argseeh i
2 (a) argsenh(-2) (b) argcosh 5
(e) argtgh ~ (d) argsech ~
3 argsenh 5x 4 argsenh I f
5 argeosh Vi 6 v'arg,coshx
7 argtgh (-4x) 8 argtgh sen 3x
9 argsechx2 10 argsech..[l::;
11 x argsenh! 121
x argsenhx2
13 In argcosh 4x 14 argcosh In 4x
15 argtgh (x+1) 16 argtgh2
17 argse~h Vi 18 (argsech x)-I
21f~dx49 - 4.
22 f senx dxV I +cos2 x
23f ~dxe -16
25f / 4dx
x 9- x
26 f V 1 2x dx5- e
27 Urnponto se move ao longo da reta x ~1em 11111
plano coordenado, com lima velocidade dirclu-mente proporcional a Slladistancia daorigem. Soaposi
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vclocidade con stante, e 0cachorro passa a eami-
nhar scmpre em direc;ao aodono. Se a velocidade
do cachorro e duas' vezes a do dono, pode-seI11nstrar que a trajet6ria do cachorro e dada pory - f(x), onde y e soluc;ao da equac;ao diferencial
2 'y" - VI + (y .)2. Resolva esta equac;ao fazendo
pril11ciro z =dy/dx e resolvendo 2xz' = ~
para obter z - i [v 'X - (l/v'X )]. Finalmente, resol:
Vll y' - i[v'X - (1!vX)]. '
30 y = ar7'::~sh x
32 y =argsech x
.1.1IJ x '''gcosh II=__ 1__ Dx u~'
Illrctg~ 2 arctg (In 3x)
3 x2 arcsee (x2) 4_1_arccos x
S 2"dg 2x 6 (1+arcsec 2x)ofI
7 In aretg (.1)1-~8--
arccos x
9 arcsen~ 10 Varcsen (1 _ x2)
II (tg +aretg x)4 12 arclg Vtg 2-c
13 aretg (aretg x) 14 e4xarcsec e4x
'. 13S Dx argseeh u = _r:--:;Dx It,
u V 1_112
J1 u
36 V 2 du - argeosh - +C,u _ a2 a
J 1 1 u37 2'2du=-argtgh-+C,
a -II a a
J1 1 Iu I
38 _r:;--;;- dll =-- argsech L:.J +C,"Va2 _ ,,2 a a
Exeres. 39-.41: Estabelec;a a f6rmula (veja Teorema(8.16).
1 1+x40 argtgb x =2 ' In ~'
1+..[]::741 argseeh x =In ---- ,x
16 In senhxx
19 senh xcosh x - senh x
1 f24 ;tgh;
2S f_1_2dx4 + 9x
26f~dx4 +9x
2x
27f_~~. vl- e-
29f_x-dx
sech (~)
1(}. 131f --dx'
-1/2 Vl-x2.
33 f senh ~Inx) dx
3Sf _~dxV9 - 4x2
37 f 1 dxxV9-4~
39 J x dxV25~ +36
28f~e' dx1
2x .- e
30f .~dxxvx -1
rc I232 f cosx
2dx
o l+sen x
36fvx dx9- 4~
38 f 1 dxxV 4x2 - 9
40f 1 dx
V25x2 +36
41 Ache os pontos do gr;ifieo de y = arcsen 3x nos
quais a tangente e paralela a reta por A (2, -3) e
B(4,7).
42 Ache os pontos de inflexao e di,seuta a eoneavi-
dade d~ grafico de y =x arcsen x.
43 Ache os extremos loeais de f(x) = 8 sec x +,+csc x no intervalo (0, rrJ2) e descreva onde
f(x) e ereseente ou decreseente no intervalo.
44 Ache a area da regiao delimitada pelos graficos
,dey=xl(x4+1),x=1 ey-O.
4S As oseila"oes amortecidas sao oscilac;oes de mag-
nitude deereseente, que ocorrem quando se con-
sideram for"as de atrito. A figura a seguir e 0grafieo das oscilac;oes amortecidas dadas por
f(x) =e -x(}. sen 2x.
(a) Ache as coordenadas-x das extremidades de
f para 0 0: X 0: bt.
(h) Aproxime'as coordenadas-x na parte (a) com
duas casas decimais.
46 Ach~ 0 comprimento do arco do grillco de
y ':' In tgh ix, ~e x = la x =2.
47 Solta-se urn balao do mvel do solo a 500 metros
de distancia 'de uma pessoa que observa sua
ascensao. Se 0balao sobe a taxa eonstante de 2mIs, use as fun"oes trigonometricas inversas paraaehar a taxa na qual 0angulo de elevac;ao d" linba
de visao do observador esta variando no in>lante
em que 0 balao esta a uma altura de 100 m.(Desprezar a altura do observador.)
48 Urna pintura quadrada de 60 em de lado esta
pendurada em uma parede com a base a 180em
acima do assoalho. Uma pessoa cuja linha de
visao' esta alSO cm do chao se aproxima doquadro a razao de 60 em/s. Se [) e 0angulo quea Iinha de visao faz com 0 topo do quadro,
determine
(a) a taxa na qual e esta variando quando apessoa esta a 240 em da pare de.
(h) a distancia da parede na qual [) toma seu
valor maximo.
49 U rn duble de acrobata salta de urn baHio que
paira sobre urn lago a uma altitude de 30 metros.
Uma camera cinematografica na margem, a 60
metros de urn ponto diretamente abaixo do balao,
registra a queda do duble (veja a figural. A que
taxa 0angulo de eleva"ao da camera esta varian-
do 2 segundos ap6s 0saito? (Desprezar a altura
da camera.)
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SOUma pessoa em uma ilhola I a k milhas dedistanciado pontomais pr6ximoA, emurnapraiaemlinha reta, deseja chegar a urn acampamentoque est:! a d mjlhas distante de A, na praia,
nadando ale urn ponto P na praia e andando 0
resto do percurso (veja a figura). Suponha que a
pessoa queime CI calorias por milha nadando, e
c calorias por milha andando, com Cl >C2,
(a) Estabele~a uma f6rmula para0numerolotalc de calorias queimadas durante todo 0percurso.