Linnulennuline ülevaade kursusestplantphys.ut.ee/oppetoo/fuusika_alused/slaidid/2...Matemaatika olulisus Matemaatika kasutamise eelis seisneb selles, et ühe ja sellesama valemiga

Linnulennuline ülevaade kursusest

Sissejuhatus Matemaatiline põhivara

arvud ja füüsikalised suurused juhuslikud sündmused andmetöötluse aluseid funktsioonid funktsioonide diferentseerimine diferentsiaalvõrrandi integreerimine vektorid

Liikumine Energia ja entroopia Elektromagnetism ja optika Põhiteadmisi kvantfüüsikast Aatomid ja molekulid Lausaine Termodünaamika alused Bioenergeetika alused

Eesmärgiks on saada ettekujutus molekulaarse (sh bioloogilise) aine ehitusest ja funktsioneerimise üldistest seaduspärasustest

Bioloogiline füüsika kitsamalt uurib füüsika põhipostulaatide kehtivust ja asjakohasust bioloogiliste küsimuste lahendamisel

Matemaatika olulisus

Teooria on maailmapilt ehk maailma mudel, mis käivitub meie mõtlemises

Mõtlemise tugev külg on suhteliselt keerukate süsteemide kiire kvalitatiivne analüüs

Kuid mõõtmiste tulemuseks on arvulised väärtused ja hinnata tuleb seega kvantitatiivseid suurusi ja nende suhteid

Matemaatika on abivahend mudeli (teooria) kvantitatiivseks analüüsiks

Teades nähtuse või protsessi funktsionaalset sõltuvust võime siis puhtalt matemaatilise analüüsi abil ette ennustada protsessi kulgu, liigselt tähelepanu pööramata protsessi konkreetsetele iseärasustele

Matemaatika olulisus

Matemaatika kasutamise eelis seisneb selles, et ühe ja sellesama valemiga võib kirjeldada väga erinevaid nähtusi, mis on oma käitumiselt sarnased, kuigi sisult täiesti erinevad

Vajalike matemaatiliste valemite arv on oluliselt väiksem analüüsitavate nähtuste või protsesside arvust

Füüsiku professionaalsus ilmneb valemite seostamises füüsikalise reaalsusega, valemitest õigete järelduste tegemine

Lord Kelvin: When you can measure what you are speaking about, and express it in numbers, you know something about it; but when you cannot measure it, when you

cannot express it in numbers, your knowledge is of a meagre and unsatisfactory kind

“Matemaatika on osa füüsikast” V.I. Arnold (matemaatik)

Diferentsiaal- ja integraalarvutus pärineb füüsik Newtonilt (sõltumatult Leibnitz)

Samas on füüsika saanud olulist inspiratsiooni matemaatika poolt nt Einsteini üldrelatiivsusteooria Riemanni kõvera ruumi geomeetriast

Tänapäeva füüsika juured ulatuvad tagasi 600 a eKr tegutsenud matemaatikuteni, Phytagorase ja tema koolkonnani Muuseas avastas Pythagoras, et inimese harmooniataju on seotud

arvuliste vahekordadega. Kõige kaunimalt kõlab kannel, kui keelte pikkuse suhet saab väljendada väikeste täisarvudega Muusikaline oktav (heliredeli kaheksas aste põhitoonist arvates) 2:1 Kvint (heliredeli viies aste) 3:2 Kvart (heliredeli neljas aste) 4:3

Loe samuti: Eugene Wigner „The unreasonable effectiveness of mathematics in natural sciences“

Füüsikalise ja matemaatise reaalsuse dihhotoomia

Aristotellik (384-322 eKr) nn konnaperspektiiv Aristoteles, keda peetakse ka esimeseks

teadlaseks, oli Platoni õpilane ja omakorda Aleksander Suure õpetaja

Subjektiivselt tajutav konnaperspektiiv on füüsiliselt reaalne ning matemaatiline keel üksnes selle lähendus

Descartes'ilt pärineb ütlus "Mõtlen, järelikult olen (olemas)“, ladinakeelne originaal kõlab "Cogito ergo sum." Sellega püüdis Descartes väita, et kui inimene mõtleb, kas ta olemas on, siis ainuüksi mõtlemine tõendab seda

Platonlik (424-348 eKr) nn linnulennuline vaade

Universumi matemaatiline struktuur on füüsiliselt reaalne ning konnaperspektiiv koos seda kirjeldava inimkeelega vaid selle mudel

Selle vaate kohaselt on kogu füüsika vaid matemaatiline probleem

Õpetaja ja õpilane Raffaeli (1483- 1520) fresko

“Ateena kool” fragment

Dihhotoomia: Loogikas mõiste liigitamine kaheks vasturääkivaks mõisteks

Biology: DNA Þ development Þ organism

G. Chaitin Scientific American 81, 2006

Füüsika, matemaatika, raalindus ja bioloogia

Enne raale: Eesti välisministeeriumi šifreerimislükati, mille konstrueeris 1919. aastal insener Villem Vaher

Foto raamatust “Rääkimine hõbe, vaikimine kuld”

Digitaalne füüsika Teaduslik teooriat võib

käsitletakse kui arvutiprogrammi, mis vaatlustulemusi ette ennustab Edward Fredkin Seth Lloyd Programming the

Universe Jt nn arvutipõlvkonna

esindajad Informatsioon on olulisem

mõiste kui energia või aine

Matemaatika kui teaduse keel

Mõõtmise olulisemaid eeldusi on loendamine. Loendamise tulemuseks on numbrid

Matemaatilised valemid ei ole (vähemalt mitte meie jaoks) midagi muud kui lühidalt kirjapandud reeglid numbriliste suurustega opereerimiseks

Füüsikalised seadused väljenduvad füüsikaliste suuruste vaheliste matemaatiliste seostena

Matemaatika opereerib numbriliste suuruste e arvudega Arvud hõlmavad

Naturaalarve (positiivsed täisarvud) 0,1,2,3… Täisarve ….-3,-2,-1,0,1,2,3… Ratsionaalarve: Arvud, mida saab esitada kujul (m ja n on täisarvud)

Iga ratsionaalarvu saab esitada kas lõpliku või perioodilise kümnendmurruna Irratsionaalarve: mitteperioodilise lõpmatu kümnendmurruna esitatav arv,

Nt π: Reaalarve: lõpmatu kümnendmurruna esitatav arv

Reaalarvude sekka kuuluvad ka kõik selle hulga alamhulgad, nagu (ir)ratsionaalarvud, täisarvud jne

Reaalarvude hulk on pidev, st kahe ükskõik kui lähedase reaalarvu vahele mahub alati veel mõni reaalarv

Geomeetriliselt kirjeldab reaalarvu punkt sirgel Kompleksarve: reaalarvu üldistus komplekstasandile

Valdavalt on füüsikas suuruste kirjeldajaiks reaalarvud

nm

Ringi ümbermõõtRingi diameeter

π=

Fakti jõud Legend räägib, et keegi

Pythagorase jüngritest avastas kohutava saladuse: Et võrdhaarse täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi pikkuse suhe tema haaraga ei väljendugi täisarvuna

Mees olevat veidi aega hiljem kahtlastel asjaoludel uppunud

Irratsionaalarvu nimi näib siiani seda muistset ängistust mäletavat

Arvude esitamine Iga arvu saab kirja panna positsioonarvude astmereana,

mille erinevatele astmetele vastavad kordajad reastatakse astmenäitajate kahanevas järjekorras

Kümnendsüsteem

Tavaliselt esitatakse reaalarvud kümnendsüsteemi positsioonarvude kujul, mis tähendab, et astmealuseks on 10 puuduva astme kordaja

tähistatakse nulliga kohta, kus astendaja muutub

negatiivseks, tähistatakse koma või punktiga

Kümnendsüsteem põhineb “araabia numbritel” 0…9 Nulli lisasid araablased

alles ~550 AD Süsteem ise on

vanaindia algupära (~1500 BC)

3 2 1 03 10 8 10 0 10 2 103802 = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅+ + +tuhandelised sajalised kümnelised ühelised

1 0 1 21 10 010 5 10 52 10 2 10− −= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅+ + +kümnelised ühelised kümnendikud saj

.andikud

Kahendsüsteem Positsiooniarvu saab anda

ka 10-st erineva astme-aluse abil

Levinud on kahendsüsteem, aga ka 8- ja 16-süsteemid

Kahendsüsteemi kordajateks on vaid kaks arvu: 0 ja 1

Binaarne aritmeetika sobib hästi arvutitele, nt Liitmine: 0+0=0; 0+1=1;

1+1=10=2 Korrutamine:

0x0=0; 0x1=0; 1x1=1; 1x10=10=2; 10x10=100=4; 10x100=1000=8

4 3 2 1 0

0

0

1 0

1 0

11010 1 2 1 2 0 2 1 2 0 2 260 0 2 0 11 1 2 110 1 2 0 2 211 1 2 1 2 3

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

= ⋅ = ⋅

= ⋅ =

= ⋅ + ⋅ =

= ⋅ + ⋅ =

Kahendsüsteem

Lihtsaimal lülitil on kaks asendit (raalis realiseeritakse transistoridega)

Lülitit vajutades teeme valiku kahe võimaluse vahel Seda tehes realiseerime väikseima võimaliku informatsioonihulga,

mis on 1 bitt=21 ASCII (American Standard Code for Information Interchange) kood

karakterite ja sümbolite kodeerimiseks. Kokku on koodis 128=27 karakterit/sümbolit, seepärast tuleb kasutada 7-kohalist kahendarvu Nt A kodeeritakse kui 1000001 Hiina tähestikus on 10000=104 hieroglüüfi

Mitmekohalist kahendarvu tuleks nende kodeerimiseks kasutada?

Miks kasutatakse raalinduses kahendsüsteemi

2 10lg

3.3g

2

2l 2

x N

Nx

x

N

N

=

==

Moore’i ja Koomey seadus 1965. aastal sõnastas Inteli üks

asutajatest Gordon Moore arvutiteaduste ühe peamistest seaduspärasustest. Moore'i seadusena tuntuks saanud väide ütleb, et arvutite arvutusvõimsus kahekordistub iga 18 kuu järel. Nii on olnud aastakümneid.

Nüüd on grupp teadlasi eesotsas Jonathan Koomeyga Stanfordi ülikoolist leidnud uue seaduspärasuse, mis ulatub veelgi kaugemale kui Moore'i oma. Tuleb välja, et arvutite voolutarbimine muutub iga 1,6 aasta järel kaks korda tõhusamaks. Nii juba alates 1940ndatest aastatest.

Arvutite areng

Tartu Ülikooli arvutuskeskus 1960. a paiku

Ural: Esimesi Eestis tööle rakendatud elektronarvuteid: 5 m pikk, 2 m kõrge ning 1/2 m lai klaasustega raudkapp, mis mahutas endas ~800 elektronlampi ja tarbis üüratult elektrit

Foto: Tartu Ülikooli arvutuskeskus

•Using techniques developed by Alan Turing, Colossus was able to decode German wartime communications.

Millal muutuvad masinad intelligentsemaks kui inimene?

Image from Ray Kurzweil's book The Singularity is Near - When Humans Transcend Biology

Alguses oli bitt Teine põhjus, miks raalinduses

kahendsüsteemi kasutatakse tuleneb informatsiooniteooriast, mille lõi 1948. a ameerika matemaatik ja insener Claude Shannon

See teooria tõestab, et küsimusi esitades saab maksimaalset infot, kui kogu võimalike tulemuste väli jagada kaheks võrdse tõenäosusega osaks

Informatsiooni mõõtühik bit (eesti k bitt) tuleneb sõnapaarist binary digit

1 bit=21

4 võimaluse (11, 00, 10, 01) vahel ühe valik annab 2 bitti informatsiooni: 22=2x2

23 (8 võimalust: 100, 101, 110, 111, 000, 001, 010, 011): 3 bitti

2N annab N bitti

Aadama loomine Michelangelo, c. 1511

Claude Shannon (1916-2001)

Mitu bitti…? Mitu bitti infot saame 10N

variandi vahel valides? 10-10 suhtelist

mõõtmistäpsust annab 33 bitti

Universumis on 1090 elementaarosakest. Kõigest 300 bitine ribakood kirjeldab siis unikaalselt igatühte neist

Mitu pooldumist on alates munaraku viljastamisest toimunud, arvestades et inimesel on ~1014 keharakku? Soole epiteel uueneb 3

päevaga Vererakud 7 p Nahk 3 nädalaga Karvad kasvavad 3-8

aastat Ainult 10% rasvarakke

uueneb aastas

2 10lg

3.3g

2

2l 2

x N

Nx N

x N

= =

==

Arvude teaduslik esitus Teadusliku esituse

puhul kujutatakse lühiduse huvides iga arvu kahe arvu korrutisena

Korrutise esimene liige on arv 1-st kuni 9-ni ja teine, arvu 10 mingisugune aste

32 = 3.2 × 101

320 = 3.2 × 102

3200 = 3.2 × 103

3.2 = 3.2 × 100

0.32 = 3.2 × 10−1

0.032 = 3.2 × 10−2

Füüsikalised suurused Iga füüsikalist suurust iseloomustab tema mõõt -

kujund, mis koosneb mõõtarvust e numbrilisest kordajast Piirveast mõõtühikust

Vea teadmine on vajalik andmete (st füüsikaliste suuruste) usaldusväärsuse hindamiseks

Füüsikaline suurus= numbriline kordaja±piirviga x mõõtühik

Albert Einstein: Not everything that can be counted counts and not everything that counts can be counted

Füüsikalisi suuruseid on kahte liiki Skalaarid:

Objektid, mida iseloomustab arvuline väärtus märk (+/-) ühik

Skalaarid liituvad algebraliselt

Vektorid: Iseloomustab

arvuline väärtus (pikkus) Ühik suund

Vektorid liituvad geomeetriliselt

Skalaarid: Aeg Temperatuur Mass Elektrilaeng

Vektorid: Nihe Jõud Kiirus Kiirendus Elektrivälja tugevus

Moskva

Bratislava

Tartu

Füüsikaline suurus=Numbriline kordaja±Piirviga x Mõõteühik

Füüsikaliste suuruste standardiseeritud (SI, 1960) mõõtühikud Põhilised (7)

Pikkus l (Defin Eukleidese geomeetrias; a 1799; m)

Aeg t (Füüsikaline kategooria; s)

Mass m (Füüsikaline kategooria; kg)

Termodünaamiline temperatuur T (K)

Voolu tugevus i (A) Aine kogus n (mool) Valgustustugevus Iv (cd)

Tuletatud (avaldatakse põhiühikute kaudu), nt Kiirus Jõud Rõhk Energia Töö Võimsus elektrilaeng (-pinge/-

takistus/-mahtuvus) Sagedus Magnetvoog jne

Tuletatud füüsikalised suurused

Suurus Dimensioon Pindala L2 Ruumala L3 Kiirus L/T Tihedus M/L3 Impulss ML/T Jõud ML/T2 Energia ML2/T2

Kasulikke nippe: Dimensioonidega arvutamine

2

s vtmm s ms

või s at

m mm ss s

=

= =

=

= =

Füüsikaline suurus=Numbriline kordaja x Mõõteühik

Mõõtühikute eesliited SI-süsteemis

10 = deka 100 = hekto 1000 = kilo 1 000 000 = mega 1 000 000 000 = giga 1 000 000 000 000 = tera 1 000 000 000 000 000 = peta 1 000 000 000 000 000 000 = eksaa 1 000 000 000 000 000 000 000 = zetta 1 000 000 000 000 000 000 000 000 = jotta 1027=hella?

atto……10-18 femto….10-15 piko ......10-12

nano......10-9

mikro.....10-6

milli .......10-3

senti.......10-2

detsi ......10-1

Elu on täis ootamatusi Ükski mõõtmine pole nii praktiliste kui

ka põhimõtteliste piirangute tõttu (vt Sissejuhatus) ideaalselt korratav

Bioloogiline aine osaleb pidevas termilises “tantsus” Seepärast pole katsetulemus ehk sündmus kunagi täpselt ette teada (determineeritud)

Tulemused kõiguvad juhuslikult (arimeetilise) keskväärtuse (mean) ümber

Keskväärtus ise on determineeritud (mitte juhuslik!) suurus Seepärast räägitakse temast tõenäosusteoorias kui matemaatilisest ootusest (expectation value)

1

1

=

= ∑N

ii

X xN

Miks on nano- ja makromaailm nii erinevad? Sellepärast, et kõik osalevad juhuslikus termilises tantsus. P. Nelson “Biological Physics”, 2008

Keskväärtus Väga suure sündmuste arvu

korral jääb juhuslikkus tahaplaanile ja mõjule pääsevad nähtuse olemusest (nt täringu sümmeetriast) tulenevad seaduspärasused

Juhusliku suuruse xj keskväärtus on suure katsete arvu N piiril determineeritud suurus

Keskväärtust saab arvutada ka suhteliste sageduste Nj/N, kaudu (Nj on väärtuse xj esinemise arv)

Sageduste jaotust xi järgi nimetatakse tulpdiagrammiks

1

1

=

= ∑N

ii

X xN

X

( )iP x

ixX

1 1 2 2

21 2

1

11 2 2

+ +=

= + +

= + +

=∑

...

...

( ( ) .)(

. .)i i

i

x N x N

X x

NN

P

P

XN

x

x

Nx xN

x x P x

Kaalutud keskmine Ülaltoodud valemites on kõik

x-d (mõõtmistulemused) ühesuguse kaaluga

See ei pruugi nii olla Siis räägitakse kaalutud

keskmisest, mis arvutatakse paremaloleva valemi järgi Nt meie eksamihinne kujuneb

kahest erineva kaaluga komponendist

=∑∑

( )

( )

i ii

ii

x W xX

W x

Koguhinne= 75% eksam+25% praktikum & kontrolltöö

Tulpdiagramm ehk histogramm

Paneme tähele, et diskreetsete suuruste

histogramm on diskreetne Piltlikult öeldes ei saa täring

oma tippude peale püsti seisma jääda. Nt: P(3.5)=0

Keskväärtus ei pruugi histogrammi maksimumiga kokku langeda, sest üldjuhul ei pruugi histogramm olla argumendi sümmeetriline funktsioon

Siit tuleb, et keskväärtus ja mediaan on erinevad mõisted Nt keskmine ja mediaanipalk

Ootamatuste tõenäosus

Sündmuse suhteliseks sageduseks nimetatakse tema toimumise arvu suhet katsete koguarvuga Nt täringu viskamisel 1 silma saamise

suhteline sagedus: Sündmuse tõenäosuseks

nimetatakse piirväärtust, milleks koondub tema suhteline sagedus katsete arvu piiramatul kasvamisel Klassikaline näide: Aus täring Normeerimistingimus täringu puhul:

1/6+1/6+....=6x1/6=1

1 16

ii 1

N NN

N=

≡

∑

( )ii

N P x (kui N )N

⇒ ⇒∞

Tõenäosusteooria Tõenäosusteooria sai alguse

mängurite poolt matemaatikuile esitatud küsimustest

Aksiomaatilise tõenäosusteooria põhialused töötati välja 1930. aastatel vene matemaatiku Kolmogorovi poolt

Teooria ei defineeri tõenäosust, see on sündmuse (event) sisemine omadus

Tõenäosused peavad alluma järgmistele reeglitele Iga sündmuse tõenäosus on

arv, mis asub 1 ja 0 vahel Võimatu sündmuse tõenäosus

on 0 Kindla sündmuse (st kui

kõikvõimalikud sündmused on aset leidnud) tõenäosus on 1. Seda nimetatakse normeerimistingimuseks

Andrei N. Kolmogorov (1913-1987)

Korratuse seaduspärasused: Tõenäosuste liitmine

Sündmusi nimetatakse üksteist välistavateks (mutually exclusive or disjoint), kui nad ei saa esineda ühes ja samas katses samaegselt Nt ühe täringu ühekordsel

viskamisel ei saa tulemuseks olla nii 2 kui ka 4 silma

Samuti saab värvilisi kuulikesi sisaldavast kastist ühekaupa välja võtta nt kas Punast või Sinist kuulikest, mitte samaaegselt P ja S kuulikesi

Tõenäosus, et toimub ükskõik milline üksteist välistavatest sündmustest, on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga Näiteks tõenäosus, et

üksikul viskel saame kas 2 või 4 silma

2 41 1 2 16 6 6 3

= +

= + = =

( ) ( )P P P

Tõenäosuse ja tõenäosuste liitmise selgitamiseks Tõenäosus kollase ringi

tabamiseks on võrdne kollase ringi ja rohelise ruudu pindala suhtega

Teine näide iseloomustab tõenäosuste liitmist

Tõenäosuste liitmise reegel ei kehti aga kolmanda näite puhul (on väiksem kattunud suhtelise pinna võrra)

Korratuse seaduspärasused: Tõenäosuste korrutamine

Laskerajal on 5 võrdväärset laskurit. Igaüks neist tabab märki 70% tõenäosusega Milline on tõenäosus, et vähemalt üks neist tabab märki juba esimese lasuga? Aga tõenäosus, et keegi ei taba märki?

Tegemist pole mitte üksteist välistavate, vaid üksteisest sõltumatute sündmustega. Igaühel on samaaegselt võimalus märki tabada

Kahte sündmust nimetatakse sõltumatuks, kui ühe sündmuse toimumine ei mõjuta teise sündmuse toimumise tõenäosust NB! Kui kaks sündmust on üksteist

välistavad, siis sõltuvad nad üksteisest vägagi (üks välistab teise)

Mitme sõltumatu sündmuse samaaegse toimumise tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste korrutisega Mitme täringu üheaegne

viskamine

2 41 1 16 6 36

= ×

= × =

( ) ( )P P P

Hälve keskmisest Juhusliku suuruse tähtsaks

karakteristkuks on tema hälbed (deviations) keskväärtusest

Hälbed võivad olla nii positiivsed kui ka negatiivsed

Piisavalt suure katsete arvu korral on aritmeetiline keskmine hälve =0, mistõttu ta ei sobi jaotusfunktsiooni laiuse iseloomustamiseks

Üldkasutatavaks mooduseks on dispersiooni (variance) leidmine, mille väärtus on alati >0

Juhusliku suuruse dispersiooniks s2 nimetatakse hälvete ruutude aritmeetilist keskmist

Standardhälve s

σ = −i ix X

( )0

σ −= =∑ ∑i ix X

N N

( ) ( )( )

2 22 1 2

2 21 1 2

2

2

2

σσ

σ

σ

=

+ +=

= − +

−

+ −

∑

...

( ) ( .

)

)

(

..

i ii

Nx X P x x X x

x x

P

X P

( )2σ = ± −∑ ( )i ii

x X P x

2 2 0σ = − >( )i ix X

Pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsioon

Füüsika opereerib reaalarvudega, mille hulk on pidev

Seepärast tuleb rääkida ka pidevatest jaotus-funktsioonidest Nt Gaussi või normaaljaotuse

funtsioonist

Pideva jaotusfunktsiooni sündmuste telg x on pidev Muide, Gauss oli ka tegus füüsik.

Tema nime kannab magnetvälja tugevuse (magnetvoo tiheduse) ühik gauss (G)

Tõenäosuse tiheduse jaotusfunktsioon

Jagame pideva sündmuste telje x (lõpmata) väikesteks lõikudeks dx

Eristame x-teljel väärtuse x0 ja tähistame sündmuste arvu, mis asuvad vahemikus x0 ja x0+dx suurusega dN(x0)

Nende sündmuste suhtelise sagedus on dN(x0)/N, mis suure N korral võrdsustub suurusega P(x0)dx

P(x0)dx on tõenäosus, et juhuslikult valitud mõõtmistulemus asub x0 ja x0+dx vahel

Tasub tähele panna Nii N kui ka dN(x0) >>1 Tõenäosus P(x0)dx sõltub intervalli

dx laiusest! dx lõpmatul vähenemisel ⇒ 0

( )

( )

( )

[ ]

( )

⇒ ⇒ ∞

⇒

=∫

ii

00

0

Tõenäosus diskreetsel juhul :N P x (kui N )NTõenäosusetihedus pideval juhul :dN(x ) P x

kus P x ontõenäosuse tihedus1dimensio

N

Normeerimistingimus :

d

oniga

d ,

xP x

x

1

x

P(x0)

Mõõtmistulemuste esitamise täpsus

Ruutjuurt dispersioonist nimetatakse ruutkeskmiseks või standardhälbeks Inglisekeelses kirjanduses: RMS=Root Mean Square deviation

Just see on suurus, mida tavaliselt kutsutakse katse (piir)veaks ja lisatakse ± märki kasutades numbrilisele kordajale

Vea teadmine on vajalik andmete (st füüsikaliste suuruste) usaldusväärsuse hindamiseks

Füüsikaline suurus=Numbriline kordaja±Piirviga x Mõõteühik

( )

( )

22

2

σ

σ

= −

= ± −

∫

∫tan

( )

( )

S dar

dx x X P x

dx x X P

dhä e

x

lv95%

Standardhälve ±s Poollaius G

2 2ln 2 2.355σ σΓ = =

P(x0)dx=“pindala”=suuruse leidmise tõenäosus x väärtuste vahemikus x0 kuni x0 +dx

P(x0)

99.7%

Pidevad ja diskreetsed jaotusfunktsioonid

( )

=

∑

∫

( )i ii

x P x diskreetneX

dxxP x pidev

( )

( )

2

2

2σ

−

= −

∑

∫

( )

( )

i ii

x X P x

dx x X P x

( )i

tõenäosuP x

s

( )

( )

P xtõenäos

tõen ti

usP

hed s

x

u

dx

Andmetöötluse põhitõed Arvude esitamise

täpsus korrutamisel/jagamisel ja liitmisel/lahutamisel ei saa olla suurem väikseima täpsusega antud teguri/liidetava täpsusest

:2.13115 0. 0.02980114 02941 0.5.32 1.

82 14.12 4.

Näide⋅ = ≈

− = ≈

Andmetöötluse põhitõed Suurused A ja B on katses

mõõdetud teatud täpsusega. Meid huvitab tulemuse täpsus peale matemaatilisi operatsioone nende suurustega

Mõõtmise täpsus andmete liitmisel ja lahutamisel korrutamisel ja jagamisel astendamisel ja juure võtmise logaritmimisel eksponenti võtmisel

( ) ( ) ( )2 2 2

Z A B

Z A B

= ±

∆ = ∆ + ∆

2 2 2

*/

Z A BZ A B

Z A BZ A B

==

∆ ∆ ∆ = +

nZ AZ An

Z A

=∆ ∆

=

lnZ AAZ

A

=∆

∆ =

AZ eZ A

Z

=∆

= ∆

Andmetöötluse põhitõed Summeerimisel võib väiksemat

liiget väiksema täpsusega mõõta ilma, et summa täpsus oluliselt kannataks

Sarnaste arvude lahutamisel kasvab vahe viga oluliselt. Seda operatsiooni tuleb seega võimalusel vältida, nt Z otse ära mõõtes

Jagamisel korrutamisel tuleb hoolitseda selle eest, et kõikide tegurite suhtelised vead oleksid lähedased

10000 1100 5

10100 5

ABZ A B

= ±= ±= + = ±

100 296 2

4 3

ABZ A B

= ±= ±= − = ±

Cartesiuse (Decartes, 17. saj) koordinaadid

http://www.mathsisfun.com/data/cartesian-coordinates.html

Katseandmete esitamine

Füüsikalised seadused väljenduvad füüsikaliste suuruste vaheliste matemaatiliste seostena

Andmete esitamise 3 põhiviisi

Tabel Graafik: Kõige

ülevaatlikum Valem: Kõige

kompaktsem Näide: Ühtlane liikumine

ühes ruumimõõtmes ( )s t vt c= +

0 5 100

10

20

3023

3

s t( )

100 t

t

0123456789

10

=s t( )

3579

11131517192123

=

Graafilist esitust rakendas esimesena Descartes (17. saj) Inimene saab silmadega tohutult rohkem infot, kui teiste meelte kaudu

Graafikud on osa igapäevaelust: Kinnisvaramull I. Blogger’i järgi (LA Times)

Funktsionaalne sõltuvus Funktsioon on matemaatiline seos

mitme suuruse vahel, mille järgi saab arvutada tundmatu suuruse (funktsiooni y) väärtust, kui argumentide xi väärtused on teada

f tähistab mingit matemaatilist arvutusreeglit (tehteid ja/või nende kombinatsioone)

Lihtsaim funktsioon on ühe muutuja (tähistatud x-ga) funktsioon

Näiteks astmefunktsioon üldvalemiga x on argument e sõltumatu muutuja a ja b on parameetrid või abimuutujad n on astmenäitaja, mis võib olla

1, 2, 3.., murdarvuline (nt ½), negatiivne jne

1 2( , ... )ny f x x x=

( )cos

==

y f xy x

Mäletate, standardmudelis on 28 vaba parameetrit ehk 28 xi-d

= + ny a bx

Lineaarne sõltuvus: n=1 Asmefunktsiooni asmenäitajaga

n=1 nimetatakse lineaarfunktsiooniks

Teda iseloomustavad kaks parameetrit lõikepunkt y-teljega a ehk funktsiooni

algväärtus (siin =+1) b ehk tõus (kui negatiivne, siis langus)

(siin on konstant =+0.5) Lineaarfunktsiooni erijuht on

proportsionaalne sõltuvus, kus a = 0 Sel puhul x ja y mõlemad alustavad muutumist 0-st

= +y a bx

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 1 2 3 4 5

y= 1+ 0.5x

y = 0.5x

0

0

( ) ( )−=

−−

= = =

y x y x yx x x

Tõus

by ax

const

Lineaarse/proportsionaalse sõltuvuse näiteid läbikäidud tee sõltuvus ajast voolutugevuse sõltuvus

pingest (kuidas nimi?) ringjoone pikkuse sõltuvus

raadiusest veevoolu kiiruse sõltuvus

rõhkude vahest difusioonivoo kiiruse sõltuvus

kontsentratsioonide vahest

= +y a bx

0= +s s vt1

=IR

U

2π=L r

ar; ; ;

; ; ;g≡

≡s I L t

ument xfunkt

t Usio n y

ro

x

1=t

vx

Funktsiooni tõus ja tuletis

Funktsiooni tõusu (slope) arvutatakse kui funktsiooni puutuja (tangent) tõusu antud argumendi väärtusel (st kohal x)

Tõus võib olla nii positiivse kui ka negatiivse väärtusega

Kuivõrd üldjuhul sõltub funktsiooni tõus argumendi väärtusest, ja et sellel konkreetselt fikseeritud argumendi väärtusel mingi mõte oleks, siis tuleb tõusu arvutada võimalikult väikese argumendi muutuse ∆xÞ0 korral

Piiril lõpmata väikese muutuse dx korral nimetatakse tulemust funktsiooni tuletiseks (derivative)

x

yx

0'lim x

dy y tuletisdx

yx→ = ==

Funktsiooni diferentseerimine Tuletise leidmise

protseduuri, st funktsiooni jagamist sirglõikudeks ja vastavate tõusude/tuletiste leidmist nimetatakse funktsiooni diferentseerimiseks

Iga sile, st ilma murdekohtadeta funktsioon, on lühikesteks puutujasuunalisteks sirglõikudeks jagatav ja seega diferentseeritav

'0lim x

y dy y tuletisx dx→ = = =

Miks ei saa mittesiledat f-i diferenseerida?

Funktsiooni diferentseerimine

Mida rohkem on lõike (mida lühem on valitud argumendi muut), seda täpsemini saab funktsioon sirglõikudega lähendada

Leibnitz: Kõverjoon on lõputukülgne hulknurk

A

B

Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646 - 1716) Newtoni kaasaegne, diferentsiaal- ning integraalarvutuse (calculus) sõltumatu kaasavastaja. Töötas välja loogilise arvutuse, tänapäeva arvutite tarkvaralise aluse. Võttis kasutusele mitmeid siiani kasutatavaid matemaatilisi sümboleid, nagu korrutamis- ja jagamis- Punktid, integraali ja diferentsiaali märgid jm.

'0lim x

y dy y tuletisx dx→ = = =

Diferentseerimise tähtus Funktsiooni juurdekasvu dy

argumendi muutumisel dx võrra nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks

Kui teame funktsiooni tuletist, siis teame ka kui kiiresti funktsiooni antud argumendi väärtusel muutub

'0lim x

y dy y tuletisx dx→ = = =

'( )= ydy x dx

Gradient Mitme muutuja funktsiooni korral nimetatakse

funktsiooni kiireima kasvamise suunda ja kiirust antud punktis iseloomustavat vektorit gradiendiks

Gradiendivektori komponentideks on funktsiooni osatuletised

Tagurpidi delta nimi on nabla

( , , ) ( , , ) f f fgrad f x y z f x y z i j kx y z∂ ∂ ∂

= ∇ = + +∂ ∂ ∂

Taylori rida (Taylor series) Teame, et iga siledat funktsiooni saab

sirglõikudega lähendada Veelgi parema tulemuse võib saada, kui

lähendada teda mingi keerulisema funktsiooniga

Taylor näitas, et iga siledat funktsiooni saab kohal a argumendi väikestel kõrvalekalletel arendada ritta funktsiooni erinevat järku (1-st, 2-st jne) tuletiste järgi

Differentseerimise puhul piirdutakse esimese, kõige suurema liikmega, mis on proportsionaalne nihkega

2 3

( ) ''( ) '''( ) ...2! 3!

( ) '( )1!x x xy a x yy aa a ay y+ = + + ++

Inglise matemaatik Brook Taylor (1685-1731)

a+Dx

! ( 1)( 2)...3 2 1= − − ⋅ ⋅N N N N

a=1.6

Dx

Astmefunktsiooni diferentseerimise reegel

'0lim x

y dy y tuletisx dx→ = = =

1('( ) ) −= = =n ny x a xd dy x naxdx dx

( ) ny x ax=

Ruutparabool: n=2 Täisarvulise astmenäitaja n>1 korral

nimetatakse asmefunktsiooni parabooli võrrandiks ruutparabool kui n=2 kuupparabool n=3 puhul, jne

Ruutsõltuvus võib osana sisaldada ka lineaarsõltuvust (bx)

Tõus sõltub x-st (kasvab proportsionaalselt x-ga)

x = 0 juures on ruutparabooli tõus võrdne b

2a bxy cx+= +

2x

y xb cx

= +

2( ) 2

1 2x

y

x

x x xyx

= − − +

= − +

Ruutsõltuvuse näiteid Pindala sõltuvus

lineaarmõõdust Kõik pindala valemid sisaldavad lineaarmõõdu ruutu Ruudu pindala , kus r on

ruudu külje pikkus Kera pindala

Ühtlaselt kiireneva liikumise korral läbitud tee pikkuse sõltuvus ajast. (Liikumist alustati paigalseisust)

2A r=24A rπ=

2

2

2

2

as

gh

t

t

=

=

2y cx=

Funktsiooni ekstreemumid: miinimum ja maksimum Ekstreemumide leidmiseks tuleb

üles otsida need funktsiooni kohad, kus funktsiooni muutumise kiirus (e esimene tuletis) võrdub 0

Seejärel, leidmaks, kas ekstreemum vastab funktsiooni maksimumväärtusele või miinimumile, tuleb arvutada funktsiooni teine tuletis

Kui teine tuletis ekstreemumile vastaval argumendi väärtusel (antud näites 0) on >0, on tegemist miinimumiga ja vastupidi

-10 0 10

0

200

400

600

800

1000

Y Ax

is Ti

tle

X Axis Title

parabool

-5 0 5-200

0

200

Y Ax

is Ti

tle

X Axis Title

esimene tuletis teine tuletis

' 0dy ydx

= =

Kolmanda astme funktsioon, ehk kuupparabool: n=3

Graafik on väga sarnane ruutparabooliga

Võib täiendavalt sisaldada nii ruut- kui ka lineaarliiget

Ruumala sõltuvus lineaarmõõdust, L või r Kuubi ruumala Kera ruumala

Konkreetselt selle funktsiooni tõus

3=y bx

3=V L

343π=V r

23y bx

x=

Astmefunktsiooni täislogaritmiline (log-log) esitus: Kleiberi reegel

1932. a näitas M. Kleiber, et imetajate puhul kehtib soojuse genereerimisel üle 6 suurusjärgu seos ~M3/4 Arusaamatuks jääb, miks

mitte ~M2/3 nagu võiks pinna ja ruumala suhtest arvata ja ennustas juba M. Rubner (1883)

log log log

ny axy a n x

== +

Naturaal- ja kümnendlogaritm

Loomulik (naturaal-) logaritm arvust y on arv, millega tuleb astendada e, et saada y

Kümnendlogaritm arvust y on arv, millega tuleb astendada 10, et saada y

Nii ln 1 kui ka lg 1 = 0, sest iga arv (va 0) astmel 0 = 1

Ühest suuremate arvude logaritmid on positiivsed

Ühest väiksemate arvude logaritmid on negatiivsed

ln10

lg

x

x

y ey x

yy x

==

==

John Napier (1550-1617) - mees, kes avastas logaritmi

1622 leiutas William Oughtred lükati, millega on hõlbus korrutus- ja jagamistehteid teha

Kleiberi reegel pole loodusseadus

Taimede puhul tõestati alles hiljuti (Nature, 2006), et kehtib hoopis ~M

Mastabeerimine (scaling): Kuidas sääsest elevanti teha?

?

Pinna ja ruumala suhe muutub mastabeerimisel

Galilei

M~V~L3 Tugevus~ristlõikepindalaga~L2

Pindala kasvab aeglasemalt kui mass

L

3

13

22 3A L M

V L M

L M

∝ ∝

∝

∝ ∝

Suurtel on kondid jämedamad

Mass on ~ ruumala ja aine tiheduse korrutisega Bioloogiline aine koosneb 70% ulatusest

veest, tihedus ~1 Tugevus on ~ristlõikepindalaga, p(d/2)2 Et kasvavat raskust tasakaalustada,

peab luude läbimõõt võrreldes massiga kasvama ennaktempos

3

max

max m

3

ax

2 3

3/ 2

, :

~ .

,

4

M V V LPinge mida kondid veel välja kannatavadF const kõikidel loomadel

AF A samas F

M L

M

M

d L

dA L

ρ

σ

π

= ⇒ ∝ ⇒

=

∝ ∝

∝

∝ ∝

=

∝

hüperlineaarne

King Kong on füüsikaseadustega vastuolus Samal põhjusel võib

arvata, et võimalikud tulnukad meenutavad suuruselt pigem meid kui King Kongi Vaalad on küll suured,

kuid nende raskus on veeväljasurvega tasakaalustatud. Kaldale uhutuna hukkuvad nad oma raskuse tõttu kiiresti

1933. a originaalfilmist

Kuidas me toitu/jooki jahutame

3

2

1

V LA LAV L

∝

∝

∝Pind kasvab lineaarmõõduga aeglasemalt kui ruumala. Väikestel objektidel on seega suhteliselt suurem pind: A/V kasvab lineaarmõõtme L vähenedes Valades tee madalale alustassile suurendame sama mahu juures tema auruvat pinda

Väikesed külmetavad, suured higistavad

Soojuse genereerimine ~M Soojuse eritumine~S Seepärast jahtuvad suured

loomad/inimesed aeglasemalt kui väikesed

Seletab ka miks meil talvel, kõrvad, nina ja näpud

külmetavad ajalehepaber põleb kiiresti, aga

puuhalg aeglaselt vaalad/pingviinid on keraja kujuga

(keral on sama pinna puhul kõige suurem ruumala)

aga troopikas võivad putukad/liblikad/jne endale igasugust eksootilist kuju lubada

3

13

22 3

∝ ∝

∝

∝ ∝A

L

L

V

M

M

M

L

sublineaarne

Miks Maal on elu, aga Marsil mitte?

Merkuur Veenus Maa Mars

Ühe hüpoteesi kohaselt jahtus Mars lihtsalt liiga kiiresti

Miks on rakud väikesed?

22 3

3

13

1

V L M

L

L

A

M

V

A M

L∝ ∝

∝

∝ ∝

∝

Miks raku kuju reeglina kerast erineb?

Kasulikke nippe: Ristküliku lähendus joonealuse pindala hindamiseks

Vt teisi huvitavaid näiteid: raamat lisades+ Phillips, Milo. A Feeling for numbers in biology PNAS 51 (2009) 21465

Kasulikke nippe: Suurusjärguline arvutamine

Keerulise kujuga keha pindala ja/või ruumala arvutamiseks Idealiseeri kuju:

nt lehm kui õhupall Hinda lineaarmõõtu Kasuta lihtsustatud

valemit (eira numbrilisi konstante)

Kontrolli tulemust suurusjärguliselt

343

V rπ=

Pöördvõrdeline sõltuvus

Negatiivse astmenäitajaga –n astmefunktsiooni nimetatakse pöördvõrdeliseks sõltuvuseks

Esimese astme pöördvõrdelist sõltuvust kutsutakse ka hüperboolseks sõltuvuseks

1ay axx

−= =0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

0

10

20

Y Ax

is Ti

tle

X Axis Title

Pöördvõrdeline/hüperboolne sõltuvus

Hüperboolse sõltuvuse tuletis muutub väikestel argumendi väärtustel kiiremini kui algfunktsioon ise

Märka erinevust 1/r ja –1/r sõltuvuste vahel!

1ay axx

−= =

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0-20

-10

0

10

20

Y Ax

is Ti

tle

X Axis Title

y=1/x y' y=-1/x

2' −= = −dyy axdx

Hüperboolse sõltuvuse näiteid Voolutugevuse sõltuvus

juhtme takistusest Liikumiseks kulutatud

aja sõltuvus kiirusest Elektroni potentsiaalse

energia sõltuvus kaugusest tuumast

Gravitatsioonienergia sõltuvus kaugusest kehade vahel

1ay axx

−= =

1=I U

R

tvs

=2

e rZeE k−=

g

MEr

mk= −

Pöördvõrdeline ruutsõltuvus Sellist sõltuvust omab nt

punktikujulise laengu või massi elektri- või gravitatsioonivälja tugevuse ehk jõu sõltuvus kaugusest masside või laengute keskpunktidest

Pöördvõrdelise sõltuvuse ja pöördvõrdelise ruutsõltuvuse väärtused on vaid ühes kohas (argumendi väärtusel 1) võrdsed

Argumendi väärtustel x<1 kasvab (väärtustel x>1 aga kahaneb) pöördvõrdeline ruutsõltuvus kiiremini kui pöördvõrdeline sõltuvus

2

ayx

=

0 1 2 30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Y Ax

is Ti

tle

X Axis Title

y=1/x y=1/x2

Hüprboolne sõltuvus: Tuletise füüsikaline sisu energiaväljades

Hüperboolste sõltuvuste (nt gravitatsiooni- või elektrivälja energia) tuletis (mis on siis jõud) käitub kui pöördvõrdeline ruutsõltuvus

Väikestel argumendi väärtustel muutub ta seega kiiremini kui algfunktsioon ise

Energiavälja muutumise kiirus on jõud Jõud on lõpmatu suur väikestel argumendi väärtustel r~0 ja pürib asümptootiliselt 0-ks suurtel argumendi väärtustel

Gravitatsiooni mõju on küll ¥ ulatusega, kuid ikka räägitakse, et kosmoselaev sattus selle või teise taevakeha mõjuvälja. Kas see on õige?

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0-20

-10

0

10

20

Y Ax

is Ti

tle

X Axis Title

Jõud Energia/potentsiaal

'

2

1

g

Er

mME kr

F=

−

∝

=

Jõu kahanemine kaugusega on ~r-2

Eksponentfunktsioon x

n

vrd astmefunkts gy a

ya

bx−

=

=

Arvude kahend- ja kümnendsüsteemis kasutatakse astmealusena vastavalt 2-te ja 10-et

Exponential

ericjhellergallery.com

Eksponentsiaalne sõltuvus: Erijuhus, kui alus a=e

y0 on funktsiooni algväärtus, sest kohal x=0 on y=y0,

b on kiiruskonstant näites=1

Pöördväärtusena esitatud astmenäitajat (τ =1 /b ) nimetatakse eksponendi teguriks nt radioaktiivse lagunemise või

kondensaatori tühjenemise puhul ajategur

Positiivse astendajaga eksponentfunktsioon algab väärtusel y ~0 ja kasvab kiirenevalt

Negatiivse astendajaga eksponent lähtub algväärtusest +lõpmatus ja langeb aeglustuvalt kunagi puudutamata x-telge

0

0

x

bx

b

yy y

yae=

=

-4 -2 0 2 40

2

4

6

8

10

12

14

Y Ax

is Ti

tleX Axis Title

y=exp(x) y=exp(-x)

0y

0

bxy y ed b bdx

y±= ± = ±

0

dy bydx

= ±

Eksponentsiaalne sõltuvus

Eksponentfunktsiooni kõige iseloomulikumaks jooneks on, et tema kasvu/kahanemise suhteline kiirus ei muutu St, et tuletis on iseendaga

võrdeline Mida suuremaks

eksponentfunktsioon kasvab, seda kiiremini muutub tema väärtus (seda suurem on tema absoluutne juurdekasv või kahanemine)

Parabooli tuletis pole ka konstantne, kuid sõltub argumendist x, mitte funktsioonist y

0

0

/

bx

bxd b bdxdy dx b cons

y y

y

y

t

ey y e

±

±

=

= ± = ±

= ± =

Argumendi väärtusel 0 on nii kasvav kui ka kahanev eksponentfunktsioon võrdsed, sest e0=1 Argumendi negatiivsel lõpmatul väärtusel on kasvava eksponendi tõus 0 Sümmeetriliselt on 0 ka langeva eksponendi langev tõus argumendi positiivsel lõpmatul väärtusel

' 1ny bnx −=

-4 -2 0 2 40

2

4

6

8

10

12

14

Y Ax

is Ti

tle

X Axis Title

y=exp(x) y=exp(-x)

Eksponentfunktsiooni poollogaritmiline esitus

Kui astmefunktsiooni saab lineariseerida täislogaritmilise esitusega, siis eksponentfunktsiooni poollogaritmilise esitusega

Santorius, 2007

lg ( lg )lg

bxy aa e xby

e== +

lglglg

n

yy ax

a xn== +

Euleri arv e

2

1

1 .....1! 2!

1 11 .... 2.718...1! 2!

! ( 1)( 2)...3 2 10! 1

= + + +

= + + + =

= − − ⋅ ⋅=

x

Permutatsioonidearv

x xe

e

NN objekti puh

Nul

N N

Eulerile võlgneme tänu matemaatilise

funktsiooni kompleksarvude arv e

mõistete eest

i

1 i

e cos isinϕ ϕ ϕ

− =

= +

Eksponentsiaalne sõltuvus: Näiteid

Positiivne astmenäitaja bakterikoloonia kasv ajas

(alguses, kui toitu on palju, hiljem see küllastub sarnaselt ensümaatilise reaktsiooni kiiruse valemiga)

kapitali suurenemine firmas (kus on, sinna tuleb juurde; ka see tavaliselt lõpuks küllastub)

Negatiivne astmenäitaja radioaktiivselt lagunevate

tuumade arv valguskvantide arvu

vähenemine neelavat keskkonda läbides

kondensaatori laengu tühjenemine läbi takisti

edukate üliõpilaste arv õpiaja jooksul ?– pole tõsi!

-4 -2 0 2 40

2

4

6

8

10

12

14

Y Ax

is Ti

tle

X Axis Title

y=exp(x) y=exp(-x)

Positiivse ja negatiivse astmenäitajaga eksponentsiaalse protsessi näiteks on (esimest järku) (bio)keemiliste reaktsioonide kiirus: reaktantide kontsentratsioon väheneb ja

samaaegselt produktide kontsentratsioon kasvab ühesuguse kiirusega

Valem, mis tegi lõpu tuumakatsetustele atmosfääris

Radioaktiivne saaste aja Dt=1t; 2t; 3t jne pärast:

1 ajateguri (ehk 1t-ga võrdse ajavahemiku) möödudes on saaste vähenenud e-1 = 1/e = 1/2.718 = 0.368 korda, e ~37% peale esialgsest väärtusest A0

2 ajateguri möödudes e-2 =e-1 x e-1 = 0.135, e 13.5% peale. Seega vähenemine eelmisega võrreldes jälle 37%

3 ajateguri möödudes e-3=0.050 ehk 5% peale, mis omakorda moodustab 37% e-2 väärtusest jne

Eksponentsiaalsete protsesside praktilise lõppemiseni kulub kuni 5 ajategurit (0.67%)

Päris nullini ei kahane radioaktiivne saaste aga kahjuks kunagi!

0

t

A A eon ajategur

τ

τ

∆−

=

Diferentsiaalvõrrandid Diferentseerimise tulemusel saame võrrandi, mis seob

omavahel funktsiooni ja argumendi väikesed muutused funktsiooni tuletisega

Sellist võrrandit nimetatakse diferentsiaalvõrrandiks Diferentsiaalvõrrandid seovad seega mitte suurusi

omavahel (nagu funktsioonid), vaid suuruste muutusi siin dy & dx

Diferentsiaalvõrrandi järgu määrab otsitava funktsiooni y(x) tuletiste kõrgeim järk selles võrrandis Antud valem kirjeldab siis esimest järku diferentsiaalvõrrandit

'( )dy y x dx=

Ka matemaatikas kasutatakse lähendusi Tegemist on Taylori rea lineaarse lähendiga,

mis kehtiv vaid antud argumendi väärtuse lähiümbruses

2

2

( ) ''( ) ...2!

( ) ''

( ) '( )1!

( ) ...2

( ) '( )1 !!

'( )

xy a x y a

xy a x y

xy a y a

xy a y a y

yy a x

a

+ = + +

+ − ∆ = += +

∆

+

≈

'( )dy y x dx=

X

Diferentsiaalvõrrandi lahendamine ehk integreerimine Diferentsiaalvõrrand on

võrrand, mis seob otsitavat funktsiooni y, sõltumatuid muutujaid x ja otsitava funktsiooni tuletisi y’

Integreerimine on diferentsiaalvõrrandi lahendamine, ehk osade kaudu terviku (st funktsiooni y) leidmine teades y’ igal argumendi x

väärtusel reprodutseerime y(x)

Kui osad on piisavalt väikesed, võib summeerimise asendada integraaliga

Integraal on lihtsalt matemaatiline sümbol - trikk tähistamaks lõpmatu suurest elementide arvust koosnevat summat, kusjuures liidetavad ise on lõpmata väikesed

'( )dy y x dx=

Integreerimine Antud on funktsioon y’(x) Integreerimine tähendab sellise

funktsiooni y(x) leidmist, mille tuletis on antud funktsioon y’(x)

Integreerimine on seega diferentseerimise pöördoperatsioon

Funktsiooni y(x) nimetatakse funktsiooni y’(x) määramata integraaliks ehk algfunktsiooniks

Funktsiooni y’(x) aga integrandiks

'( )dy y xdx

=

'( )y y x dx= ∫

'( )y x

dx

0'( ) '( )i i

xy y x dx y x dx

→= =∑ ∫

Diferentsiaalvõrrandi integreerimine: Näide

Vaatame lihtsuse pärast ühtlase kiirusega liikumist (st v ei sõltu ajast) ja otsime läbitud tee pikkust

Seda võrrandit rahuldab iga sirge, mille tõus on v. Ja neid on lõpmatu arv.

S0 väljendab meie teadmatust liikumise alguspunkti kohta, siit ka nimi: määramata integraal

Alg- või ääretingimused valivad lõpmata hulga lahendite hulgast ainukese sobiva

Minimaalselt vajalike ääretingimuste hulk võrdub diferentsiaalvõrrandi järguga

0

.ds vdtv const

s ds v dt

s vt s

==

= =

= +

∫ ∫

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 1 2 3 4 5

y= 1+ 0.5x

y = 0.5x

Konstantse negatiivse ajateguriga eksponentfunktsiooni integreerimine

vedeliku väljavoolamine reservuaarist

elektrimahtuvuse tühjenemine

radioaktiivse aine lagunemine

valguskvantide neelamine aines

populatsiooni (bakterite koloonia) kasv

0

0

0

ln ln

ln

kt

dA kdtAA kt AA ktA

dA kAdt

A A e−

= −

= − +

= −

= −

=

∫ ∫

Muutujate eraldamise reegel

Diferentsiaalvõrrandi integreerimine: Määratud integraal

Määratud integraalil on rajad, mis tähistavad argumendi algus- ja lõppväärtusi

Ebaühtlase kiirusega läbitud tee pikkus

Määratud integraali geomeetriline tähendus on integraalialuse funktsiooni (tuletis) pindala

lg

3600 3600 3600

1 1 1

0

'( ) ( )

'( ) (

( ) ` .

( ) ( )

)lõpp

a us

i i i i ii i

t

i it t

i

v v t conds s

st

s

t dt v t dt

s s s t

v t dt v t

t v t t

dt

= = =

→

= ≠

=

= =

= ∆ = ∆ =

=

∆∑ ∑ ∑

∑ ∫

V(t)

t

( )iv t

idt

Läbitud tee leidmine ühtlase ja ebaühtlase kiirusega liikumisel Ühtlane Ebaühtlane

22

11

22

11

2 1

2 1( )

ss

ss

tt

tt

ds s s s

v dt vt v t t v t

= = − =

= = − = ∆

∫

∫

2 2

1 1

2 2

1 1

2 1

2 2 2 22 1 2 1( )

2 2 2

( )s t

s t

t t

t t

ds s s dt

dt a tdt

v t

at

at at a t t

= − = =

= =

−− =

∫ ∫

∫ ∫

Kõrgemat järku diferentsiaalvõrrandid

Esimest järku diferentsiaalvõrrand, mis sisaldab esimest järku tuletisi, seob omavahel argumendi ja funktsiooni muutused

Teist järku diferentsiaalvõrrand seob omavahel argumendi ja funktsiooni muutuste muutumised

Teist järku diferentsiaalvõrrand sisaldab teist järku tuletisi. Nt Newtoni esimene seadus F=ma on avaldatav nihke II j tuletise kaudu aja järgi

Jne

'

2''

2

( )

( )

f f xdffdxd df d ffdx dx dx

=

=

= =

Minimaalselt vajalike ääretingimuste hulk võrdub diferentsiaalvõrrandi järguga

Teist järku diferentsiaalvõrrand: Võnkumised Võnkumiste võrrand, mis

põhineb eeldusel, et vedru (või pendlit) tagasitõmbav jõud on võrdeline hälbega A tasakaaluasendist

k on elastsuskoefitsient

Kuna jõud põhjustab kiiruse muutumise ehk kiirenduse, siis väidab see võrrand, et võnkuva massi kiiruse muutumise kiirus (e kiirendus) on võrdeline hälbega tasakaaluseisust ja on suunatud tasakaaluasendi poole (viimasele viitab miinusmärk elastsuskoefitsiendi k ees)

Kvantmehaanika põhivõrrand (Scrödingeri võrrand) on sama tüüpi võrrand

2

2

2

2

d AF m kA

d xF m

dt

a mdt

= =

= = −

Pendli võnkumised Võnkumiste võrrandi

lahendiks on perioodiliselt võnkuv siinus- või koosinusfunktsioon võnkeperioodiga T

Pendli väikeste võngete puhul

Pendli võnkeperiood sõltub vaid pendli pikkusest ja raskuskiirendusest

Seega on pendli abil võimalik mõõta Maa raskuskiirendust, mida on edukalt rakendatud nt maavarade otsingutel

2

2

d AF m kAdt

= = −

2

2

2

0

2

2

n

2

si

4 1/

km

A A

T

m mTk k

tT

π ω

π π ν

π

= =

=

= = =

2 lT

k gm l

gπ=

=

Mõned integreerimisreeglid Astmefunktsioonid

Kontroll: Paremat poolt diferentseerides peame saama integraalialuse avaldise

2

32

32

3 2

2

3

31 1

2

a dx ax

atatdt

xx dx

xx dx

dxx x

=

=

=

=

= −

∫

∫

∫

∫

∫

1

1

1 ln

nn

erand

xx dxn

dx xx

+

=+

=

∫

∫

Mõned integreerimisreeglid Eksponentfunktsioon

1ax axe dx ea

=∫

Nende valemite kontrolliks tuleb vaid paremat poolt differentseerida

Tulemuseks peame saama integraalialuse avaldise

Milleks meile seda vaja on? (Bio)keemiliste reaktsioonide kiiruste seadused (rate laws)

Diferentsiaalsel kujul Integraalsel kujul

Füüsikalised suurused Skalaarid:

Objektid, mida iseloomustab arvuline väärtus, märk (+/-) ja ühik (liituvad algebraliselt)

Vektorid: Iseloomustab arvuline

väärtus (pikkus), ühik ja suund (liituvad geomeetriliselt)

Skalaarid: Aeg Temperatuur Mass elektrilaeng

Vektorid: suhteline nihe Jõud Kiirus Kiirendus Impulss, impulsmoment Elektrivälja tugevus Samuti kõik nende kaudu

avalduvad suurused

Moskva

Bratislava

Tartu

Füüsikaline suurus=Numbriline kordaja x Mõõteühik

Vektorid

Matemaatikas lahkus sirgelt (mis on 1-mõõtmeline süsteem) tasapinnale (2-mõõtmeline) esmakordselt Pythagoras (või keegi tema koolkonnast): ~600 eKr

Selle revolutsiooni tulemusena tuli matemaatikasse ühismõõdutus ja irratsionaalarv (hüpotenuusi ja kaatetite suhe ei ole väljendatav lõpliku või perioodilise kümnendmurruna nagu ratsionaalarvul)

Vektorite kasulikkus ilmnebki siis, kui meil on tegemist ruumiliste (piiril lõpmatu-dimensiooniliste) objektidega (vastandina ühemõõtmelistele sirgetele)

Ka kompleksarv on vektor Tema komponente võib kirjeldada kahes ristiolevas (reaalses ja imaginaarses) tasandis asuva liikme abil

Mälestusmärk Phytagorasele Samose saarel Kreekas

Mitu mõõdet on punktil? 1 punkt 2 punkti määravad,

mille 3 punkti määravad,

mille 4 punkti määravad,

mille

?

?

?

Vektor Vektor on suunaga

lõik (nool) ruumis Vektorid on võrdsed,

kui neil on sama Siht Suund (st kummas

vektori otsas on nool (+ või miinus))

pikkus (moodul)

Vektori koordinaadid on tema lõpp- ja algpunktide vahed

Vektor Vektor on avaldatav koordinaattelgede suunaliste

omavahel ristuvate vektorite (x, y, z) kaudu

( , , )( , , )l a l a l a

x y zx x y y z z

=− − −

vv

Vektor Vektor on samuti avaldatav

koordinaattelgede suunaliste omavahel ristuvate ühikvektorite kaudu

Ühikvektor on ühikulise pikkusega vektor

Öeldakse, et vektor A on jaotatud/jagatud kolmeks ristiolevaks baasvektoriks (i, j, k) Tasapinnal asuva vektori jaoks on

vaja kahte baasvektorit 3-D ruumis asuva jaoks kolme (üks

iga koordinaadi x, y, z jaoks) N-mõõtmelises ruumis N

baasvektorit

Vastavaid jaotuskoefitisiente nimetatakse Decartese (ka Eukleidese) koordinaatideks (ja baasi vastavalt Decartese või Eukleidese baasiks

Ühikvektorite kasutamine lihtsustab matemaatikat, eriti kui ühikvektori alguspunkti saab ühitada koordinaatide alguspunktiga

Seda saab aga alati teha

x y zA a i a j a

A xi yj zk

k

= + +

= + +

Vektor Vektorite pikkus ei sõltu

koordinaatsüsteemist. Seega võib iga ruumipunkti käsitleda kui alguspunkti. Kõik on vaid mugavuse küsimus

Koordinaatide geomeetriline mõte on esitatud kõrvaloleval 2-mõõtmelisel joonisel

Neid vahesid nimetatakse ka vektori A projektsiooniks vastavatele telgedele

Vektori pikkus ehk moodul leitakse avaldisest:

X

Y

ax

ayA

2 1

2 1

x

y

a x xa y y

= −= −

cos

sin

x

y

a A

a A

α

α

=

=

2 2x yA A a a= = +

Kuidas siis, kui vektor on kolmemõõtmelises ruumis?

Kordame trigonomeetriat

Tehted vektoritega: Liitmine ja lahutamine Vektorid

liituvad/lahutuvad geomeetriliselt Hulknurga meetod Koosinuslause

Tulemus ei sõltu tegurite järjekorrast (kommutatiivsus)

2 2 2 2 cosc a b ab γ= + −

A B C

A B D

+ =

− =

A

B

C

Tehted vektoritega: Liitmine ja lahutamine

A B C

A B D

+ =

− =

Tehted vektoritega: Liitmine ja lahutamine

Tehted vektori komponentidega on üksteisest sõltumatud, kui koordinaadid on valitud üksteisest lineaarselt sõltumatutena

Kahe vektori lineaarne sõltuvus tähendab nende paralleelsust!

( ) ( ) ( )x x

x y

y z

y

y

z

x z

z

A a i a j a k

B b i b j b

C a

k

b i a kb j a b= + + + +

= + +

= +

+

+

Tehted vektoritega: Näide

Tehted vektoritega

Tehted vektoritega: Vektori korrutamine skalaariga

Tehted vektoritega: Skalaarkorrutamine

Skalaarkorrutise tulemuseks on skalaar väärtusega

Skalaarkorrutis on kommutatiivne

Ristiolevate vektorite skalaarkorrutis =0

cos

x x y y z z

A B ABa b a b a b

α⋅ = =+ +

cosab γ⋅ = ⋅ =a b b a

Tehted vektoritega: Vektorkorrutamine

Vektorkorrutise tulemuseks on vektor, mis on korrutatavate vektoritega ristuvas tasapinnas

Selle vektori suuna määramiseks kasutatakse kruvireeglit ja tema pikkus (moodul) on määratud avaldisega

Samasuunaliste vektorite vektorkorrutis=0

Vektorkorrutis ei ole kommutatiivne

( ) ( ) ( )

x y z

x y z

y z y z x z x z x y x y

i j kA B a a a

b b b

i a b b a j a b b a k a b b a

× = =

− − − + −

sinA B AB α× =

( )A B B A× = − ×

In mathematics, the polar coordinate system is a two-dimensional coordinate system in which each point on a plane is determined by a distance from a fixed point and an angle from a fixed direction. The fixed point (analogous to the origin of a Cartesian system) is called the pole, and the ray from the pole with the fixed direction is the polar axis. The distance from the pole is called the radial coordinate or radius, and the angle is the angular coordinate, polar angle, or azimuth.

Ristkoordinaadistik pole ainus võimalus: Polaarkoordinaadid

Polaarkoordinaadid sobivad hästi tsentraalsümmeetriliste tasapinnal toimuvate liikumiste kirjeldamiseks

Polaarkoordinaadid võttis kasutusele Ptolemaios (2. saj) tollal kujunema hakanud kartograafia tarbeks, kus seda siiamaani edukalt kasutatakse

Nagu teisteski koordinaadistikes, määrab polaarkoordinaatides tasapinna 2 arvu

Raadiusvektor

Sfäärilised koordinaadid Aatomid on

kerakujulised (erinevalt üldjuhul molekulidest)

Raadiusvektor

Silindriliste objektide puhul on otstarbekas kasutada silindrilisi koordinaate

2 2 2 2

( sin )cos( sin )sinco

cos //

s

x ry rz rr x y

z rtg y

z

x

ϑ φϑ φϑ

ϑφ

==

+=

=

== +

Võtame kokku Matemaatika olulisus seisneb selles, et ta võimaldab kompaktselt

(üks ja sama valem kehtib mitme füüsikaliselt erineva nähtuse puhul) formuleerida ja kvantitatiivselt käsitleda kõige erinevamaid probleeme.

Funktsioonid kui arvudevahelised sõltuvused. Taylorí rida. Iga siledat funktsiooni saab kohal a argumendi väikestel

kõrvalekalletel tema tuletiste järgi ritta arendada. Tavaliselt võib piirduda esimese, kõige suurema liikmega, mis on

nihkega proportsionaalne. Nii defineeritakse funktsiooni tõus ehk esimene tuletis. Siit näeme, et esimest järku tuletiste kaudu funktsiooni

deferentseerimine on vaid mugav lähendus, kuid enamasti mõistlik kompromiss täpsuse ja töömahukuse vahel

Võtame kokku Intergreerimine kui tuletise kaudu funktsiooni

otsimine Funktsionaalanalüüs, e tuletiste kaudu funktsiooni

ekstreemumide (miinimumi ja maksimumi) otsimine Skalaarid ja vektorid Vektorid on väga kasulikud liikumise kirjeldamiseks

mitmemõõtmelises ruumis. Ühes mõõtmes neid vaja ei läheks

Skalaare liidetakse/lahutatakse algebraliselt, vektoreid geomeetriliselt

??? Hiina tähestikus on

10000 hieroglüüfi Mitmekohalist kahendarvu tuleks nende kodeerimiseks kasutada?

Universumis on 1090 elementaarosakest Mitme bitine ribakood kirjeldab siis unikaalselt igatühte neist?

Juhusliku suuruse keskväärtus ja mediaan?

Tasemekontrolli tüüpvigu Mida tähendab

proportsionaalne (teises variandis pöördvõrdeline) sõltuvus, valem ja graafik

Sama exp(-x) kohta : graafik sarnaneb hüperbooliga, harva x=0, y=1

Mida tähendab, kui midagi muutub 40%? Ei tunnetata küsimust mitu korda, parimal juhul vastatakse 40% võrra, sageli 4 korda. Päris harva 1.4 korda

On ununenud kera pindala ja ruumala arvutamise valemid

cal/g K teisendada SI süsteemi: g jääb tavaliselt teisendamata

Funktsiooni pöördfunktsioon

Funktsiooni pöördfunktsioon on

( )y f x=

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

-2

0

2

4

Y Ax

is Ti

tle

X Axis Title

y=exp(x) y=ln(x)

1 ( )x f y−= ln

xy epöördfunktsioon on

y x

=

=

ln 0ln1 0

= −∞=

Skaalavabad venivate sabadega (fat tails) jaotused Pareto jaotus

Algselt maaomandi (rikkuse) jaotus Itaalias 20:80 reegel nt naiste (ülalpeetavate)

arv islamimaades Ekstreemväärtuse teooria

(extreme value theory)

The sizes of human settlements (few cities, many hamlets/villages)

File size distribution of Internet traffic which uses the TCP protocol (many smaller files, few larger ones)

The values of oil reserves in oil fields (a few large fields, many small fields)

The length distribution in jobs assigned supercomputers (a few large ones, many small ones)

The standardized price returns on individual stocks

Sizes of sand particles Sizes of meteorites Areas burnt in forest fires Severity of large casualty losses for certain

lines of business such as general liability, commercial auto, and workers compensation

Poplauljate populaarsus

log log log

ny axy a n x

== +

Suurus ei näita alati võimsust. Kunagi terve saali enda alla

võtnud arvuti ENIAC. Wikipedia.org

Jaapanlaste maailma kiireim superarvuti. Foto: AFP, HO, RIKEN Scanpix