-
PROGRAM LINEAR 1. PENGANTAR Program Linear (Linear Programming =
LP) merupakan salah satu teknik OR yg digunakan paling luas dan
di-ketahui dengan baik.
LP merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumberdaya
yang langka untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan
keuntungan atau meminimumkan biaya. LP banyak diterap-kan dalam
pemecahan masalah ekonomi, industri, meliter, sosial, dll.
-
PROGRAM LINEAR 2. FORMULASI MODEL LP Masalah keputusan yang
sering dihadapi analis adalah mengalokasikan optimum sumberdaya
yang langka. Sumberdaya dapat berupa uang, tenaga kerja, bahan
mentah, kapasitas mesin, waktu, ruangan atau tekno-logi.
-
Hasil yg diinginkan ditunjukkan sebagai maksimisasi dari
beberapa ukuran seperti : profit, penjualan, dan kesejahteraan,
atau minimalisasi seperti biaya, waktu, dan jarak.
3 tahap memformulasikan model matematik Tentukan variabel
keputusan dan nyatakan dalam simbol matematik.
-
Membentuk fungsi tujuan yg ditunjukkan sebagai suatu hubungan
linear dari variabel keputusan.
Menentukan semua kendala masalah tersebut dan mengekspresikan
dalam persamaan atau pertidak-samaan yg juga merupakan hubungan
linear dari variabel keputusan yg mencerminkan keterbatasan
sumberdaya masalah tersebut.
-
Contoh 1:Sebuah perusahaan ingin menentukan berapa banyak
masing-masing dari 3 produk yg berbeda yg akan dihasil-kan dengan
tersedianya sumberdaya yg terbatas agar di-peroleh keuntungan
maksimum. Kebutuhan buruh, bahanmentah dan sumbangan keuntungan
masing-masing pro-duk adalah
:-----------------------------------------------------------------Kebutuhan
Sumberdaya Keuntungan Buruh(jam/Unit) Bahan (kg/unit)
(Rp/unit)-----------------------------------------------------------------Produk
154 3Produk 226 5Produk 343
2-----------------------------------------------------------------
-
Tersedia 240 jam kerja dan bahan mentah sebanyak 400 kg.
Masalahnya adalah menentukan jumlah masing-masing produk agar
keuntungan maksimum.Merumuskan Masalah :1. Variabel Keputusan X1 =
Jumlah produk 1 X2 = Jumlah produk 2 X3 = Jumlah produk 32. Fungsi
Tujuan Tujuan dari masalah kombinasi produk adalah untuk
memaksimumkan keuntungan total. Keuntungan total adalah jumlah
keuntungan masing-masing produk. - Keuntungan produk 1 = 3X1 -
Keuntungan produk 2 = 5X2 - Keuntungan produk 3 = 2X3 Z = 3X1 + 5
X2 + 2X3
-
3. Fungsi Kendala Kendala didalam kombinasi produk di atas
adalah jum-lah buruh dan bahan mentah yang terbatas. Masing-masing
produk membutuhkan buruh maupun bahan mentah. - Produk 1
membutuhkan buruh utk menghasilkan tiap unit adalah 5 jam, sehingga
buruh yg dibutuhkan utk produk 1 adalah 5X1. - Produk 2 membutuhkan
buruh = 2X2. - Produk 3 membutuhkan buruh = 4X3. Jumlah jam buruh
yang tersedia adalah 240 jam, se-hingga fungsi kendala buruh
ditulis : 5X1 + 2X2 + 4X3 240 Kendala bahan mentah dirumuskan
dengan cara yang sama. Produk 1 membutuhkan 4 kg per unit, produk
2
-
produk 2 membutuhkan 6 kg per unit, produk 3 mem-butuhkan 6 kg
per unit. Tersedia 400 kg bahan menta,maka fungsi kendala
dirumuskan sbb :4X1 + 6X2 + 6X3 400Juga harus dibatasi
masing-masing variabel hanya pada nilai positif, karena akan tidak
masuk akal untuk meng-hasilkan jumlah produk negatif.
Kendala-kendala ini di-namakan non negativity constraint dan secara
matematikdirumuskan : X10; X20; X30
Jadi masalah LP dirumuskan dalam suatu model matema-tis :1.
Fungsi Tujuan Maksimumkan : Z = 3X1 + 5 X2 + 2X3
-
2. Fungsi Kendala : 2.1. Buruh : 5X1 + 2X2 + 4X3 240 2.2. Bahan
mentah : 4X1 + 6X2 + 3X3 400 X1,X2, dan X30Contoh 2:Perusahaan
sepatu CANADA membuat 2 macam sepatu, yaitu Merk I1 dengan sol dari
karet dan Merk I2 dengan soldari kulit. Untuk membuat sepatu-sepatu
tersebut peru sahaan memiliki 3 macam mesin. Mesin 1 khusus membuat
sol dari karet, mesin-2 khusus membuat sol dari kulitdan mesin-3
membuat bagian atas sepatu dan melakukanassembling bagian atas
dengan sol. Setiap lusin sepatuMerk I1 mula-mula dikerjakan di
mesi-1 selama 2 jam, ke-mudian tanpa melalui mesin-2 terus
dikerjakan di mesin-3
-
Contoh 2:Perusahaan sepatu CANADA membuat 2 macam sepatu, yaitu
Merk I1 dengan sol dari karet dan Merk I2 dengan soldari kulit.
Untuk membuat sepatu-sepatu tersebut peru sahaan memiliki 3 macam
mesin. Mesin 1 khusus membuat sol dari karet, mesin-2 khusus
membuat sol dari kulitdan mesin-3 membuat bagian atas sepatu dan
melakukanassembling bagian atas dengan sol. Setiap lusin sepatuMerk
I1 mula-mula dikerjakan di mesi-1 selama 2 jam, ke-mudian tanpa
melalui mesin-2 terus dikerjakan di mesin-3
-
selama 6 jam, sedangkan untuk sepatu Merk I2 tidak di-proses di
mesin_1 tetapi pertama kali dikerjakan di mesin-2selama 3 jam
kemudian di mesin-3 selama 5 jam. Jam ker-ja maksimum setiap hari
untuk mesin-1 = 8jam, mesin-2= 15 jam, dan mesin-3 = 30 jam.
Sumbangan terhadap laba untuk setiap lusin sepatu Merk I 1 = Rp
300.000.- danMerk I2 = Rp 500.000.-. Masalahnya adalah menentukan
berapa lusin sebaiknya sepatu Merk I1 dan Merk I2 yang di-buat agar
bisa memaksimumkan laba ?Penyelesaian :1. Variabel Keputusan : X1 =
Jumlah produksi sepatu Merk I1 yg akan dibuat/hari X2 = Jumlah
produksi sepatu Merk I1 yg akan dibuat/hari Z = Jumlah sumbangan
laba total untuk sepatu Merk I1 dan Merk I2.
-
----------------------------------------------------------------Sumberdaya
Merk Sepatu Kapasitas Mesin --------------------------------
Maksimum I1 I2
----------------------------------------------------------------Mesin-1
2 0 8Mesin-2 0 3 15Mesin-3 6 5
30----------------------------------------------------------------
L a b a Rp 300.000 Rp
500.000----------------------------------------------------------------2.
Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z = 300.000 X1 + 500.000 X2
-
3. Fungsi Kendala : 3.1. Mesin-1 : 2X1 8 3.2. Mesin-2 : + 3X2 15
3.3. Mesin-3 : 6X1 + 5X2 30 X1, X2 0
-
Contoh 3 :Untuk menjaga kesehatan, seseorang harus memenuhi
kebutuhan minimum per hari akan beberapa zat makan-an. Misalkan
hanya ada tiga zat makanan yang dibutuh-kan yaitu kalsium, protein,
dan vitamin A. Makanan se-seorang hanya terdiri dari 3 jenis, yaitu
I, II, dan III yangharga, zat-zat yg terkandung didalamnya, dan
kebutuhanminimum per hari akan zat-zat makanan tersebut
ditun-jukkan pada tabel berikut ini :
-
----------------------------------------------------------------Kandungan
M a k a n a n Kebutuhan Zat I II III
Minimum----------------------------------------------------------------Kalsium
5 1 0 8Protein 2 2 1 10Vitamin 1 5 4
22----------------------------------------------------------------Harga/Unit
0,5 0,8 0,6
----------------------------------------------------------------1.
Variabel Keputusan X1 = Jumlah makanan 1 X2 = Jumlah makanan 2 X3 =
Jumlah makanan 3
-
2. Fungsi Tujuan : Minimumkan : Z = 0.5X1 + 0.8X2 + 0.6X3
3. Fungsi Kendala : 3.1. Kalsium : 5X1 + X2 8 3.2. Protein : 2X1
+ 2X2 + X3 10 3.3. Vitamin A : 1X1 + 5X2 + 4X3 22 X1, X2 X3 0
-
Contoh 4 :Perusahaan Industri MUKA KUNING menghasilkan dua jenis
Produk yaitu P1 dan P2 masing-masing memerlukan dua macam bahan
baku, A dan B. Harga jual tiap satuan adalah Rp 150.000 dan Rp
100.000. Bahan baku A yangtersedia adalah sebanyak 600 satuan dan B
sebanyak 1000 satuan. Satu satuan P1 memerlukan satu satuan
-
bahan baku A dan satu satuan bahan baku B, sedangkan produkP2
memerlukan satu satuan A dan dua satuan B. Semua infor-masi dapat
dituangkan dalam Tabel berikut ini
:------------------------------------------------------------------------Bahan
BakuJenis ProduksiBahan baku P1 P2 yg
tersedia------------------------------------------------------------------------
A 1 1 600 B 1 2
1000------------------------------------------------------------------------Harga
Jual 150.000
100.000------------------------------------------------------------------------(1).
Variabel Keputusan : Produk P1 : X1 Produk P2 : X2
-
(2). Fungsi Tujuan : Maksimumkan : Z = 150.000 X1 + 100.000
X2
(3). Fungsi Kendala : 3.1. Bahan Baku A : X1 + X2 600 3.2. Bahan
Baku B : X1 + 2X2 1000 X1 , X2 0
-
Contoh 5 :Seorang petani modern menghadapi suatu persoalan sbb
:Setiap sapi agar supaya sehat harus diberi makanan yg mengan dung
paling sedikit 27, 21, dan 30 satuan unsur nutrisi jenis A,B, dan C
setiap hanrinya. Dua jenis makanan M1 dan M2 diberikan kepada sapi
tersebut. Satu gram makanan jenis M1 mengandung unsur nutrisi jenis
A,B, dan C masing-masing sebesar 3,1, dan 1 satuan. Sedangkan satu
gram makanan jenis M2 mengandung unsur nutrisi jenis A, B, dan C
masing-masing 1,1, dan 2 satuan. Harga satu gram M1 dan M2
masing-masing se-besar Rp 40.000 dan Rp 20.000. Petani tersebut
harus memu-tuskan apakah membeli satu jenis makanan saja atau
kedua-duanya kemudian mencampurnya. Tujuannya adalah agar jum-Lah
pengeluaran petani tersebut minimum.
-
(1). Variabel Keputiusan : Jenis makanan M1 : X1 Jenis makanan
M2 : X2(2). Fungsi Tujuan : Minimumkan : Z = 40.000X1 + 20.000
X2(3). Fungsi Kendala: 3.1. Nutrisi A : 3X1 + X2 27 3.2. Nutrisi B
: X1 + X2 21 3.3. Nutrisi C : X1 + 2X2 30 X1 , X2 0
-
BENTUK UMUM MODEL LPBentuk Umum Model LP : Maksimum/Minimumkan
:
dengan syarat : aijxj (,=,)bi, untuk semua i (1,2,..) semua xj
0. Keterangan : xj : banyaknya kegiatan j, dimana j=1,2,., n
berarti disini terdpt n var keputusan.
-
Z : nilai fungsi tujuan cj : sumbangan per unit kegiatan j.
Untuk masalah maksimisasi cj menunjukkan keuntungan atau penerimaan
per unit, sementara dlm kasus minimisasi menunjuk- kan biaya per
unit. bi : jumlah sumberdaya ke i (1,2,..) berarti terdapat m jenis
SD. aij : banyaknya SD i yg dikonsumsi SD j.
-
ASUMSI MODEL LPModel LP mengandung asumsi-asumsi im-plisit
tertentu yg hrs dipenuhi agar defini-sinya sebagai suatu masalah LP
absah.Asumsi-asumsi tersebut meliputi :1. Linearity dan Additivity
Syarat utama dari LP adalah bahwa fungsi tujuan dan semua kendala
hrs linear (garis lurus).
-
LP juga mensyaratkan bahwa jumlah variabel kriteria dan jumlah
penggunaan sumberdaya harus bersifatadditif. Contoh: Keuntungan
total Z yg merupakan variabel keputusan sama dengan jumlah
ke-untungan yg diporoleh dari kegiatan cjxj. Juga seluruh
sumberdaya yang digunakan untuk semua kegiatan, harus sama dengan
jumlah sumberdaya yang digunakan untuk masing-masing
kegiatan.Additif dapat diartikan sebagai tak adanya penyesuaian
pada perhitungan variabel ke-putusan karena terjadinya
interaksi.
-
2. Divisibility, asumsi ini berarti bahwa nilai solusi yg
diperoleh Xj tidak harus berupa bilangan bulat. Ini berarti nilai
Xj dapat ter-jadi pada nilai pecahan manapun, karena nilai variabel
keputusan merupakan variabel kon-kinu, sebagai lawan dari variabel
diskrit atau bilangan bulat.3. DeterministikDalam LP semua
parameter model (cj,aij,bi) di-asumsikan diketahui konstan. LP
secara tak langsung mengasumsikan suatu masalah ke-putusan dalam
suatu kerangka statis dimana semua parameter diketetahui dgn
kepastian.
-
Dalam kenyataannya, parameter model jarang bersifat
deterministik, karena mereka mencer-minkan kondisi masa depan
maupun sekarang, dan keadaan masa depan jarang di-ketahui dengan
pasti. Ada beberapa cara utk mengatasi ketidakpastian dalam model
LP, yaitu dengan analisis sensitivitas. Analisis sensitivitas
adalah suatu teknik yang di-kembangkan untuk menguji nilai solusi,
bagai-mana kepekaannya terhadap perubahan parameter.