Lingkaran

LINGKARAN

Materi :

• Sudut antara dua tali busur

• Sudut antara dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran

• Garis singgung lingkaran

Sudut antara dua tali busur

1. Sudut antara dua tali busur yang berpotongan dalam lingkaran.

Besar sudut yang dibentuk oleh dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran sama dengan jumlah sudut keliling yang menghadap busur yang terletak di antara kaki-kaki sudutnya.

A B

CD

Eχ

α β

∠AED = ∠ BDC + ∠ ACD

χ = α + β

atau :

Besar sudut ayang dibentuk oleh dua tali busur yang berpotongan do dalam lingkaran , sama dengan ½ jumlah sudut pusat yang menghadap busur yang terletak di antara kaki-kaki sudutnya.

A

D

BC

Eχ

αβ•

O

∠AEC = ½ (∠ AOC + ∠ BOD)

χ = ½ ( α + β )

Sudut antara dua tali busur

2. Jika dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran, maka :

Besar sudut yang terjadi sama dengan jselisih sudut pusat yang menghadap busur yang terletak di antara kaki-kaki sudutnya.

∠AED = ∠ ADC - ∠ BAD

χ = α - β

A B

C

D

Eχ

α

β

•

atau :

Jika dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran, maka :

Besar sudut yang terjadi sama dengan ½ selisih sudut pusat yang menghadap busur yang terletak di antara kaki-kaki sudutnya.

∠AED = ½ (∠ AOC + ∠ BOD )

χ = ½ ( α + β )

A B

C

D

Eχ

α β•O

GARIS SINGGUNG LINGKARAN

B

O

A

•

AB = garis singgung

OB = jari-jari

Contoh 1

Pada gambar, diketahui besar ∠ABC = 200 dan ∠BCD = 250 . Hitunglah besar :

a. ∠AEC

b. ∠AED

A D

BC

E

Pembahasan :∠ABC = 200

∠BCD = 250

a. ∠AEC = ∠ABC + ∠BCD

= 200 + 250

= 450

b. ∠AED = 1800 - ∠AEC

= 1800 - 450

= 1350

Contoh 2

Pada gambar disamping, besar ∠POR = 600 dan ∠QOS = 400 .

Hitunglah besar ∠PTR

P

S

QR

T

•O

Pembahasan :∠POR = 600

∠QOS = 400

a. ∠PTR = ½ ( ∠POR + ∠QOS)

= ½ (600 + 400 )

= ½ x 1000

= 500

Jadi, besar ∠PTR = 500

Contoh 3

Pada gambar disamping, besar ∠ABC = 650 dan ∠BCD = 300 . Hitunglah besar ∠AEC

A B

C

D

E

•O

Pembahasan :∠ABC = 650

∠BCD = 300

∠AEC = ∠ABC - ∠BCD

= 650 - 350

= 250

Jadi, besar ∠AEC = 250

Contoh 4

Pada gambar disamping, besar ∠POR = 1100 dan ∠QOS = 400 . Hitunglah besar ∠PTR .

P Q

R

S

T•O

Pembahasan :∠POR = 1100

∠QOS = 400

∠PTR = ½ (∠POR - ∠QOS)

= ½ ( 1100 - 400 )

= 350

Jadi, besar ∠PTR = 350

Contoh 5Pada gambar di bawah, garis AB merupakan garis singgung. Panjang OA = 10 cm dan jari-jari OB = 6 cm. Hitunglah panjang garis singgung AB.

BA

O•

Pembahasan :Perhatikan Δ OAB siku-siku di titik B

AB2 = OA2 - OB2

= 102 - 62

= 100 - 36

= 64

AB = √ 64 = 8 cm.

Jadi, panjang garis singgung AB = 8 cm.

SOAL 1

Pada gambar, diketahui besar ∠KLM = 200 dan ∠LMN = 350 . Hitunglah besar :

a. ∠KTM

b. ∠KTN

K N

LM

T

Pembahasan :∠KLM = 200

∠LMN = 350

a. ∠KTM = ∠KLM + ∠LMN

= 200 + 350

= 550

b. ∠KTN = 1800 - ∠KTM

= 1800 - 550

= 1250

SOAL 2

Pada gambar di samping, besar ∠POR = 500 dan ∠QOS = 600 .

Hitunglah besar ∠PTR

P

S

QR

T

•O

Pembahasan :∠POR = 500

∠QOS = 600

a. ∠PTR = ½ ( ∠POR + ∠QOS)

= ½ (500 + 600 )

= ½ x 1100

= 550

Jadi, besar ∠PTR = 550

SOAL 3

Pada gambar di bawah ini, besar ∠ABC = 550 dan ∠BCD = 250 Hitunglah besar ∠AEC

A B

C

D

E

•O

Pembahasan :∠ABC = 550

∠BCD = 250

∠AEC = ∠ABC - ∠BCD

= 550 - 250

= 300

Jadi, besar ∠AEC = 300

SOAL 4

Pada gambar di bawah ini, besar ∠POR = 1000 dan ∠QOS = 300 . Hitunglah besar ∠PTR .

P Q

R

S

T•O

Pembahasan :∠POR = 1000

∠QOS = 300

∠PTR = ½ (∠POR - ∠QOS)

= ½ ( 1000 - 300 )

= 350

Jadi, besar ∠PTR = 350

SOAL 5Pada gambar di bawah, garis AB merupakan garis singgung. Panjang OA = 13 cm dan jari-jari OB = 5 cm. Hitunglah panjang garis singgung AB.

BA

O•

Pembahasan :

Perhatikan Δ OAB siku-siku di titik B

AB2 = OA2 - OB2

= 132 - 52

= 169 - 25

= 144

AB = √ 144 = 12 cm.

Jadi, panjang garis singgung AB = 12 cm.

SOAL 6Pada gambar di bawah ini, PA dan PB merupakan garis singgung. Panjang jari-jari OA = 5 cm dan OP = 13 cm. Hitunglah panjang garis singgung PA dan panjang tali busur AB.

B

A

O•

Pembahasan :

OA = 5 cm dan OP = 13 cm.

∆ AOP siku-siku di titik A

PA2 = OP2 - OA2

= 132 - 52

= 169 – 25

= 144

PA = √ 144 = 12

Jadi, panjang garis singgung PA= 12 cm.

Luas layang-layang OAPB

L. OAPB = ½ x OP x AB

2( ½ x 12 x 5) = ½ x 13 x AB

120 = 13 AB

AB = 120 : 13

= 9,23

Jadi, panjang tali busur AB = 9,23 cm.

SOAL 7

Pada gambar di samping, garis PR dan QR merupakan garis singgung. Panjang OR = 17 cm dan jari-jari OP = 8 cm. Hitunglah panjang garis singgung PR.

P

R

O•

Q

Pembahasan :

OP = 8 cm dan OR = 17 cm.

∆ POR siku-siku di titik P

PR2 = OR2 - OP2

= 172 - 82

= 289 – 64

= 225

PA = √ 225 = 15

Jadi, panjang garis singgung PR= 15 cm.