Lineer Denklem Sistemleri 27 Syf

Amalar

Bu niteyi altktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarn

renecek, Lineer Denklem Sistemlerinin zmlerinin varln tartabi-

lecek, Lineer Denklem Sistemlerinin zm yntemlerini renecek-

siniz.

indekiler

Giri 61 Lineer Denklem Sistemleri 62 Cramer Yntemi 79 Deerlendirme Sorular 83

NTE

3Lineer Denklem SistemleriYazarYrd. Do.Dr. Nezahat ETN

A N A D O L U N V E R S T E S

alma nerileri

Bu niteyi almadan nce, matris, rank ve determinant kav-ramlarn tekrarlaynz.

nitedeki zlm rnekleri kendiniz tekrar zp, sonularkarlatrnz.

Deerlendirme sorularn znz.

A I K R E T M F A K L T E S

1. GiriDzlemdeki bir d dorusunun denkleminin ax + bx + c = 0 eklinde olduunu bili-yoruz. Bu denkleme ayn zamanda iki bilinmeyenli bir lineer denklem denir. ddorusu zerindeki her (x, y) noktas bu denklemi salar. Tersine bu denklemi sa-layan her (x, y) sral ikilisine karlk gelen nokta da d dorusu zerindedir. imdi,dzlemde denklemleri, srasyla, a1x + b1y + c1 = 0 ve a2x + b2y + c2 = 0 olan d1ve d2 dorularn gznne alalm. Bu dorularn dzlemdeki konumlarna greaadaki durum sz konusu olabilir:

I. Durum: d1 ve d2 dorular bir noktada kesiirler. Byle bir durumda

a1x + b1y + c1 = 0 ve a2x + b2y + c2 = 0

denklemini birlikte salayan tek bir (x, y) sral ikilisi vardr. Bu (x, y) sral ikilisinekarlk gelen nokta d1 ve d2 dorularnn kesim noktasdr. Baka bir deyile, bu ikilineer denklemin bir tek zm vardr.

II. Durum: d1 ve d2 dorular akktr. Bu durumda d1 dorusu zerindeki hernokta d2 dorusu zerinde ve d2 dorusu zerindeki her nokta da d1 dorusu ze-rindedir. Dier taraftan d1 dorusu zerindeki her (x, y) noktas a1x + b1y + c1= 0 lineer denkleminin, dolaysyla a2x + b2y + c2 = 0 lineer denkleminin bir -zm olduuna gre, bu iki lineer denklemin sonsuz sayda ortak zm vardr.

III. Durum: d1 ve d2 dorular paraleldir. Bu durumda bu iki dorunun hi bir ortaknoktas yoktur. Dolaysyla bu iki doruya karlk gelen a1x + b1y + c1 = 0 vea2x + b2y + c2 = 0 lineer denklemlerinin ortak zmleri yoktur.

Dorular iin yaplan bu tartma, uzayda verilen dzlem iin de yaplabilir.Uzayda verilen bir P dzleminin denklemi ax + by + cz + d = 0 eklindedir. Bu denk-leme bilinmeyenli bir lineer denklem denir. P dzlemi zerindeki her (x, y, z)noktas bu denklemi salar. Tersine bu denklemi salayan her (x, y, z) sral ls-ne karlk gelen nokta da P dzlemi zerindedir. imdi denklemleri srasyla

a1x + b1y + c1 z + d1 = 0, a2x + b2y + c2 z + d2 = 0, a3x + b3y + c3 z + d3 = 0

olan P1, P2 ve P3 dzlemlerini gznne alalm. P1, P2 ve P3 dzlemleri bir tek nokta-da kesiebilirler. Bu durumda yukarda verilen lineer denklemlerin bir tek ortak -zm vardr. Ya da P1, P2 ve P3 dzlemleri bir doru boyunca kesiebilirler. Bu du-rumda da denklemlerin sonsuz sayda ortak zmleri vardr. En son olarak, P1,P2 ve P3 dzlemleri birbirlerine paralel ya da bu dzlemlerden ikisi birbirine pa-ralel, ncs de bunlar paralel iki doru boyunca kesiyor olabilir. Bu son durum-da ise szkonusu lineer denklemlerin ortak zm yoktur.

L N E E R D E N K L E M S S T E M L E R 61


P1, P2 ve P3 dzlemlerinden ikisi, diyelim ki P1, P2 nin birbirine gre konumlargznne alnacak olursa, bu iki dzlemin bir doru boyunca kesiecei ya da bir-birlerine paralel olaca aktr. Bu durumda, srasyla ya a1x + b1y + c1 z + d1 =0 ve a2x + b2y + c2 z + d2 = 0 lineer denklemlerinin sonsuz sayda ortak z-m vardr ya da hi bir ortak zmleri yoktur. Yani byle bir durumda tek bir -zm mmkn olamaz. Bu durum denklem saysnn, bilinmeyen saysndan az olu-undan kaynaklanabilir mi? imdi bu tartmay daha byk boyutlara tayarak busorunun yantn arayalm ve n-tane bilinmeyen ve m-tane denklemden oluan line-er denklem sistemini tanmlayp zmn varln tartalm.

2. Lineer Denklem Sistemleri

2.1. Tanm

a1 , a2 , . . . , an R ve x1 , x2 , . . . , xn bilinmeyenler olmak zere,

a1x + a2x2 + . . . + anxn = b

denklemine n- bilinmeyenli bir lineer denklem denir.

Bir lineer denklemde a1, a2, . . . , an saylarna denklemin katsaylar, b saysnada denklemin sabiti denir. rnein 2x - y + z = 1 lineer denkleminde, 2, -1 ve 1denklemin katsaylar, 1 de denklemin sabitidir.

2.2. Tanm

a11x1 + a12x2 + . . . + a1n xn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2n xn = b2

(1)

am1x1 + am2x2 +. . . + amn xn = bm

eklindeki n tane bilinmeyen ve m- tane lineer denklemden oluan sisteme bir li-neer denklem sistemi denir.

(1) lineer denklem sisteminde a11, a12 , . . . , amn R saylarna sistemin katsayla-r, b1, b2 , . . . , bm R saylarna da sistemin sabitleri denir.

L N E E R D E N K L E M S S T E M L E R62

...


2.3. rnek

x1 - 2x2 + x3 = 12x1 - x2 - 3x3 = 0

lineer denklem sistemi bilinmeyenli, iki denklemden olumutur ve srasyla1, -2, 1, 2, 1, -3 saylar sistemin katsaylar, 1, 0 saylar da sistemin sabitleridir.

2.4. Tanm


am1x1 + am2x2 + . . . + amn xn = bm

lineer denklem sisteminde, (x1, x2, ..., xn ) = (s1, s2, ..., sn ) sral n-lisi tm denk-lemleri ayn anda salar ise (s1, s2, ..., sn ) sral n-lisine lineer denklem sistemininbir zm ve sistemi salayan tm sral n-lilerin kmesine de lineer denklem sis-teminin zm kmesi denir.

Bir lineer denklem sisteminde,

i) ki denklemin yerlerini deitirmek,ii) Denklemlerden herhangi birini sfrdan farkl bir say ile arpmakiii) Denklemlerden herhangi birisinin bir katn dier bir denkleme eklemek

lineer denklem sisteminin zmn deitirmez. Bu ilemlerden bir ya da bir kaarka arkaya uygulandktan sonra elde edilen yeni sistem ile eski sisteme denk sis-temler denir.

imdi bunu bir rnek ile aklayalm.

2.5. rnek

x1 + x2 - x3 + x4 = 2 2x2 + x3 - x4 = 5

x1 - x3 + x4 = 0- x1 - x2 + x3 =- 4

lineer denklem sisteminin zmn yukarda verilen (i), (ii) ve (iii) trndeki i-lemler yardmyla bulalm. Sistemde 1. denklemin -1 katn 3. denkleme ve yine 1.denklemi 4. denkleme ekleyelim.


...


x1 + x2 - x3 + x4 = 22 x2 + x3 - x4 = 5- x2 =- 2

x4 = 2

bulunur. Burada 2. denklem ile 3. denklemin yerlerini deitirelim.

x1 + x2 - x3 + x4 = 3- x2 =- 22 x2 + x3 - x4 = 5

x4 =- 2

olur. Son elde edilen denklem sisteminde 2. denklemin 2 katn 3. denkleme ekleye-lim.

x1 + x2 - x3 + x4 = 2- x2 =- 2

x3 - x4 = 1x4 =- 2

elde edilir. Bu son elde edilen lineer denklem sisteminin zm ile balangtakisistemimizin zm ayndr. O halde, son elde edilen denklem sisteminde,

x4 =-2 x3 = 1 + x4 = 1 - 2 = - 1,x2 = 2 vex1 = 2 - x2 + x3 - x4 = 2 - 2 - 1 + 2 = 1

dir. yleyse verilen denklem sistemin zm (1, 2, -1, -2) sral 4-lsdr.

Yukardaki 2.5. rnekte olduu gibi, bir lineer denklem sisteminin zmn (i),(ii) ve (iii) ilemlerini uygulayarak bulma yntemine Gauss Yok etme Yntemidenir.

2.6. Tanm


am1x1 + am2x2 + . . . + amn xn = bm

lineer denklem sisteminde, b1= b2 = ... = bm =0 ise bu sisteme homojen lineer denk-lem sistemi denir.


...


lineer denklem sistemleri birer homojen lineer denklem sistemidir.

Bilinmeyen says n olan bir homojen lineer denklem sisteminde, (x1, x2, ..., xn ) = (0, 0, ...,0) her zaman bir zmdr. Bu zme homojen siste-min aikar zm veya sfr zm denir. Ayrca, homojen bir sistemin sfr -zmnden farkl zmleri de olabilir. Bu zmler ikinci blmde incelenecektir.

Bir lineer denklem sistemini matris yardmyla da temsil edebiliriz. Yani,

a11x1 + a12x2 +. . . + a1n xn = b1 a21x1 + a22x2 +. . . + a2n xn = b2

am1x1 + am2x2 + . . . + amn xn = bm

lineer denklem sistemini,

olmak zer AX = B eklinde gsterebiliriz. Bu gsterim ekline, bir lineer denklemsisteminin matris ile gsterimi denir.

Bir lineer denklem sisteminin matris ile gsterimindeki A matrisine sistemin katsa-ylar matrisi, B matrisine sabitler matrisi ve X matrisine de bilinmeyenler matrisi de-nir. Burada A matrisinin satr says olan m nin sistemin denklem says, stun saysolan n nin de sistemin bilinmeyen says olduuna dikkat ediniz.

2.7. rnek

belirledii lineer denklem sistemini yazalm. A, 4 x 3 tipinde matris olduuna gresistem bilinmeyen ve drt denklemden olumaktadr. Bylece,


A =

a11 a12 a1na21 a22 a2n

am1 am2 amn

, X =

x1x2

xn

nx1

ve B =

b1b2

bm

mx1

...

x1 + x2 - 3x3 = 04x1 - 2x2 + 5x3 = 0ve

rnein, 2x1 + x2 = 0x1 - x2 = 0

A =

-1 1 -2 2 1 0 1 -2 3 1 0 -2

ve B =

-1 0 1 2

matrislerinin


eitliinden, denklem sistemimiz,

- x1 + x2 - 2x3 = -12x1 + x2 = 0

x1 - 2x2 + 3x3 = 1 x1 - 2x3 = 2

eklindeki lineer denklem sistemidir.

2.8. Tanm

olmak zere, AX = B lineer denklem sisteminde, A katsaylar matrisine, (n + 1) incistun olarak B sabitler matrisinin ilave edilmesiyle elde edilen m x (n + 1) tipindekiyeni matrise sistemin geniletilmi matrisi denir ve geniletilmi matris [A, B] ek-linde gsterilir.

Genel olarak, AX = B lineer denklem sisteminin geniletilmi matrisi,

eklindedir ve geniletilmi matris verildiinde, lineer denklem sistemi verilmiolur.

n tane bilinmeyen ve m tane denklemden oluan AX = B lineer denklem sistemine,herhangi bir denklemi sfrdan farkl bir say ile arpmak, herhangi iki denklemi yerdeitirmek veya herhangi bir denklemin bir katn dier bir denkleme ilave etmekilemleri uygulandnda elde edilen sistem A'X = B' ise, ilk sistemin geniletilmimatrisi [A, B] ile yeni sistemin geniletilmi matrisi [A', B'] denk matrislerdir. Dola-ysyla bir lineer denklem sistemi zmek iin, sistemin geniletilmi matrisine ilkelsatr ilemleri uygulayarak basamak biime getirip bu matrise karlk gelen lineer


-1 1 -2 2 1 0 1 -2 3 1 0 -2

x1 x2 x3

=

-1 0 1 2

a11 a12 a1n a21 a22 a2n

am1 am2 amn

, X =

x1 x2

xn

ve B =

b1 b2

bm

A, B =

a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2n b2

am1 am2 amn bm

mx (n+1)


denklem sisteminde, zm kolaylkla bulunur. Aslnda bu yntem, Gauss yok et-me ynteminden baka bir ey deildir.

Aada matrisler ile denklem sisteminin zmne bir rnek verilmitir.

2.9. rnek

x1 + x2 + x3 +x4 + x5 = 3x2 - x3 - 2x4 + 2x5 = -8

2x1 + 3x2 - 3x3 +x4 + x5 = 11 (1)x1 + 2x3 - x5 = 2

- x1 + 2x2 +3x4 +4x5 = 1

lineer denklem sistemini znz.

zm

Verilen sistemin geniletilmi matrisi,

dir. imdi bu matrisi basamak biime dntrelim. [A, B] matrisinde 1. satrn -2katn 3. satra, 1. satrn -1 katn 4. satra ve 1. satr 5. satra ekleyelim.

dir. Bu matriste 2. satrn -1 katn 3. satra, 2. satr 4. satra ve 2. satrn -3 katn 5. sat-ra ekleyelim.


A, B =

1 1 1 1 1 3 0 1 -1 -2 2 -8 2 3 -3 1 1 11 1 0 2 0 -1 2 -1 2 0 3 4 1

A, B ~

1 1 1 1 1 3 0 1 -1 -2 2 -8 0 1 -5 -1 -1 5 0 -1 1 -1 -2 -1 0 3 1 4 5 4

~

1 1 1 1 1 3 0 1 -1 -2 2 -8 0 0 -4 1 -3 13 0 0 0 -3 0 -9 0 0 4 10 -1 28


Elde edilen bu matrisin 3. satrn 5. satra ekyelim.

imdi bu matriste 3. satrn katn 5. satra ekyelim.

Son olarak bu matrisin 3. satrn ile, 4. satrn ile ve 5. satrn ile arpalm.

elde edilir. Bu matrise karlk gelen lineer denklem sistemi,

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 3 x2 - x3 - 2x4 + 2x5 = -8

(2)x4 = 3 x5 = -2

dir. (1) sistemi ile (2) sistemi denk sistemlerdir ve zmleri ayndr. O halde,

x5 = -2 , x4 = 3 ,

,

x2 = -8 + x3 + 2x4 - x5 = 1 ve x1 = 3 - x2 - x3 - x4 - x5 = 2


~

1 1 1 1 1 3 0 1 -1 -2 2 -8 0 0 -4 1 -3 13 0 0 0 -3 0 -9 0 0 0 11 -4 41

11/3

~

1 1 1 1 1 3 0 1 -1 -2 2 -8 0 0 -4 1 -3 13 0 0 0 -3 0 -9 0 0 0 0 -4 8

-1/4-1/4 -1/3

~

1 1 1 1 1 3 0 1 -1 -2 2 -8 0 0 1 -1/4 3/4 -13/4 0 0 0 1 0 3 0 0 0 0 1 -2

x3 - 14

x4 + 34

x5 = - 134

x3 = - 134

+ 14

x4 - 34

x5 = - 1


dir. Bu durumda (1) sisteminin zm (x1, x2, x3, x4, x5) = (2, 1, -1, 3, -2) sral 5-lisidir.

imdi yeniden genel duruma dnelim ve n tane bilinmeyen, m tane denklemdenoluan bir lineer denklem sisteminin zmnn varln irdeleyelim:


am1x1 + am2x2 +. . . + amn xn = bm

lineer denklem sistemi verilsin. Bu sistemi matrisler ile temsil edecek olursak AX = Beklindedir ve sistemin geniletilmi matrisi de [A, B] dir. m ve n saylar iin aa-daki durumlar szkonusu olabilir:

I. Durum: m n, yani sistemin denklem says bilinmeyen saysndan kk ya daeit olsun.

a) m = n ve rank (A) = rank ([A, B]) = n ise, geniletilmi matris basamak biiminegetirildiinde, A bloku st gensel matris durumuna dnm demektir. Ozaman bu basamak biimindeki matrise karlk gelen sistemde btn bilinme-yenler hesaplanabileceinden verilen sistemin bir tek zm vardr.

b) m n ve rank (A) = rank ([A, B]) = k < n ise, geniletilmi matris basamakbiime getirildiinde, k tane satrn sfrdan farkl olmas demektir. O zaman n -k tane bilinmeyeni bilinen kabul edip, bunlar parametre olarak ifade edersek,sistemimiz ( n - k) parametreye bal (a) durumundaki bir sisteme dnr. Ya-ni sistemin (n - k) parametreli bir zm var demektir. Parametrelerin alabile-cei her bir deer balangta verilen sistemin bir zm olacandan, verilensistemin sonsuz sayda zm vardr.

c) m n ve rank (A) < rank ([A, B]) ise, geniletilmi matrisin basamak bii-minde, A blokunun en az bir satr sfr iken, bu satrn B blokundaki devamndasfrdan farkl bir say olacaktr. Byle bir duruma karlk gelen sistem yazla-cak olursa, szkonusu satra karlk gelen denklemin bilinmeyenler taraf sfr,sabitler taraf sfrdan farkl bir say olur. Byle bir ey olamayacandan siste-min zm yoktur.

II. Durum: m > n , yani sistemin denklem says bilinmeyen saysndan byk ol-sun. Bu durumda, bu denklemlerden keyfi n tanesi alnarak n bilinmeyenli, n denk-lemden oluan sistemin zm incelenir. Eer bu yeni sistemin zm varsa, buzmn geri kalan (m - n) tane denklemi salayp salamad kontrol edilir. Sal-yor ise verilen sistemin zm var, en az bir tanesi salamyor ise sistemin zmyoktur.


...


imdi yukarda ifade edilenleri birer rnek ile dorulayalm.

2.10. rnek

x1 - x2 + x3 = 3x1 + x2 - x3 = 5

-x1 + x2 + x3 = 1

lineer denklem sisteminin zmn inceleyelim. Verilen denklem sisteminin kat-saylar matrisi ve geniletilmi matrisi srasyla,

dir. [A, B] matrisi, A matrisine bir stun matrisi ilave edilerek oluturulduundan,[A, B] matrisi basamak biimine dntrldnde, A matrisini de basamak bii-mine dntrm oluruz ve dolaysyla A matrisinin rankn da [A, B] yardmylabulabiliriz. O halde, yalnzca [A, B] matrisini basamak biimine dntrmek ye-terlidir. imdi, [A, B] matrisinde, 1. satrn -1 katn 2. satra ve 1. satr 3. satra ekle-yelim.

elde edilir. Bu matriste 2. ve 3. satrlar ile arpalm.

dir. Buna gre, rank (A) = 3, rank ([A, B]) = 3 ve n = m = 3 olduundan bu I. durumun(a) kkna uymaktadr. O halde sistemin bir tek zm vardr ve zm,

x3 = 2 ,x2 = 1 + x3 = 3 vex1 = 3 + x2 - x3 = 4

olmak zere (x1, x2, x3) = (4, 3, 2) sral 3 - lsdr.


A = 1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1

ve A, B = 1 -1 1 3 1 1 -1 5 -1 1 1 1

A, B ~ 1 -1 1 3 0 2 -2 2 0 0 2 4

1/2

~ 1 -1 1 3 0 1 -1 2 0 0 1 2


2.11. rnek

x1 - x2 + x3 + 2x4 - 2x5 = 0 3x1 + 2x2 - x3 - x4 + 3x5 = 1 2x1 - 3x2 - 2x3 + x4 - x5 = -1

lineer denklem sisteminin zmnn olup olmadn aratrnz ve varsa zmbulunuz.

zm

Verilen lineer denklem sisteminin geniletilmi matrisi,

dir. [A, B] matrisinde 1. satrn - 3 katn 2. satra, 1. satrn -2 katn 3. satra ekleye-lim.

Bu matriste 3. satr 5 ile arpalm.

bulunur. Son elde edilen matrisin 2. satrn 3. satra ekleyelim.

bulunur. Buna gre rank (A) = rank ([A, B]) = 3 tr. n = 5 ve k = 3 olduundan bu I.durumun (b) kkna uymaktadr ve sistemin 5 - 3 = 2 parametreye bal sonsuz -zm vardr. O halde, x4 = s ve x5 = t olarak alrsak, son basamak biimindekigeniletilmi matrise karlk gelen sistem,


A, B = 1 -1 1 2 -2 0 3 2 -1 -1 3 1 2 -3 -2 1 -1 -1

A, B 1 -1 1 2 -2 0 0 5 -4 -7 9 1 0 -1 -4 -3 3 -1

1 -1 1 2 -2 0 0 5 -4 -7 9 1 0 -5 -20 -15 15 -5

1 -1 1 2 -2 0 0 5 -4 -7 9 1 0 0 -24 -22 24 -4

elde edilir. En son olarak 2. satr 1/5 , 3. satr -1/24 ile arpalm.

1 -1 1 2 -2 0 0 1 -4/5 -7/5 9/5 1/5 0 0 1 11/12 -1 1/6


dr. Buradan,

bulunur. Buradan zm kmesi,

dir.

2.12. rnek

3x1 + x2 + x3 + x4 = 1x1 + 3x2 + x3 + x4 = 0x1 + x2 + 3x3 + x4 =-1

lineer denklem sisteminin zmn aratralm. Verilen sistemin geniletilmimatrisi,

elde edilir. Bu matrisin 2. ve 3. satrlarn 3 ile arpalm.


x1 - x2 + x3 + 2s - 2t = 0

x2 - 45

x3 - 75

s + 95

t = 15

x3 + 1112

s - t = 16

x3 = 16

- 1112

s + t ,

x2 = 13

+ 23

s - t ve

x1 = 16

- 512

s

16

- 512

s , 13

+ 23

s - t , 16

- 1112

s + t , s, t | s, t R

A, B = 3 1 1 1 1 1 3 1 1 0 1 1 3 1 -1

dir. A, B matrisinde, 1. satrn -1/3 katn 2. ve 3. satrlara ekleyelim.

A, B ~ 3 1 1 1 1 0 8/3 2/3 2/3 1/3 0 2/3 8/3 2/3 -4/3


matrisi bulunur. Bu son elde ettiimiz [A, B] nin basamak biimi olan matrise gre,

rank (A) = rank ([A, B]) = 3 tr. n = 4 olduuna gre sistemin 4 - 3 = 1parametreye bal sonsuz zm vardr. imdi, x4 = s dersek sistemimiz,

olduuna gre,

bulunur. O halde sistemin zm kmesi,

dir.


~ 3 1 1 1 1 0 8 2 2 -1 0 2 8 2 -4

olur. Son elde edilen matrisin 2. satrnn -1/4 katn, 3. satra ekleyelim.

~ 3 1 1 1 1 0 8 2 2 -1 0 0 15/2 3/2 -15/4

dir. Son olarak bu matriste, 1. satr 1/3 , 2. satr 1/8 ve 3. satr 2/15 ile arpalm.

~ 1 1/3 1/3 1/3 1/3 0 1 1/4 1/4 -1/8 0 0 1 1/5 -1/2

x1 + 13

x2 + 13

x3 + 13

s = 13

x2 + 14

x3 + 14

s = - 18

x3 + 15

s = - 12

x3 = - 12

- 15

s ,

x2 = - 18

- 14

- 12

- 15

s - 14

s = - 15

s ve

x1 = 13

- 13

- 15

s - 13

- 12

- 15

s - 13

s = 12

- 15

s

12

- 15

s, - 15

s , - 12

- 15

s , s | s R


2.13. rnek

2x1 + 3x2 - 3x3 = 1x1 - 2x2 + x3 = 2

4 x1 + 6x2 - 6x3 = 3

lineer denklem sisteminin zmn aratralm. Sistemin geniletilmi matrisi

bulunur.

m = 3, n = 3 ve rank (A) = 2 , rank ([A, B]) = 3 olduundan, rank (A) < rank ([A, B])dir. Bu I. durumun (c) kkna uymaktadr. O halde sistemin zm yoktur. Ger-ekten de geniletilmi matrise karlk gelen lineer denklem sisteminde 3. denkle-mi yazarsak,

olur. Bu bir elikidir. Sistemin zm yoktur.

2.14. rnek

2x1 - 4x2 = 4- x1 + 3x2 = -1x1 + 2x2 = 2

lineer denklem sisteminin zmn bulunuz.

zm

Bu rnekte m = 3 ve n = 2 olduundan burada II. Durum szkonusudur. O haldedenklemlerden n tanesini, yani 2 tanesini seip, bu sistemi zelim. 1. ve 2. denk-lemleri seelim.


A, B = 2 3 -3 1 1 -2 1 2 4 6 -6 3

dir. Bu matrisin 1. satrnn -1/2 katn 2. satra, 1. satrn -2 katn 3. satraekleyelim.

A, B ~ 2 3 -3 1 0 -7/2 5/5 3/2 0 0 0 1

0 . x1 + 0 . x2 + 0 . x3 = 1

0 = 1


2x1 - 4x2 = 4-x1 + 3x2 = -1

sisteminin geniletilmi matrisi,

olur. Bu matrise karlk gelen sistem,

2x1 - 4x2 = 4x2 = 1

dir. Buna gre son sistemin zm (x1 , x2) = (4 , 1) sral 2- lisidir. Bu z-m 3. denklemde yerine koyalm.

4 + 2 . 1 = 6 2

olduundan verilen sistemin zm yoktur.

Not: n tane bilinmeyen ve m tane denklemden oluan homojen bir sistemde, sabit-ler matrisi sfr olduundan, katsaylar matrisinin rank ile geniletilmi matrisinrank ayndr. O halde homojen bir sistemin en az bir zm vardr ve bu zm s-fr zmdr. Sfr zm ile birlikte baka zmlerin olup olmad, katsaylarmatrisinin rankna gre aadaki gibidir:

I. Durum: rank (A) = n = m ise bir tek sfr zm vardr. Bu durumda, A bir karematris olup det (A) 0 dr.

2.15. rnek:

x1 + 3x2 + 4x3 + x4 = 0x1 + x2 - x3 + 2x4 = 0

x2 + x3 - x4 = 02x1 - x2 + x3 + x4 = 0

homojen lineer denklem sisteminin zmlerini aratralm.

Sistemin katsaylar matrisi,


A, B = 2 -4 4 -1 3 -1

dir. Bu matrisin 1. satrnn 1/2 katn 2. satra ekleyelim.

A, B ~ 2 -4 4 0 1 1


dir. Bu matrisin 1. satrnn -1 katn 2. satra ve 1. satrn -2 ile arpp 4. satra ekle-yelim.

elde edilir. Bu son matrisin 2. satr ile 3. satrn yer deitirelim.

bulunur. Elde edilen bu matrisin 2. satrn 2 katn 3. satra, 2. satrn 7 katn 4. sat-ra ekleyelim.

dir. Buna gre rank (A) = 4 ve n = 4 olduundan sistemin bir tek sfr zm var-dr.

II. Durum: m < n ise rank (A) = k < n olacandan (n - k) paremetreye bal sonsuzzm vardr.

2.16. rnek

x1 + 2x2 + 3x3 = 0x1 - x2 - x3 = 0

2x1 + 4x2 + 6x3 = 0


~

1 3 4 -10 1 1 -10 -2 -5 30 -7 -7 3

~

1 3 4 -10 1 1 -10 0 -3 10 0 0 -4

olur. Son olarak bu matrisin 3. satrn - 1/3 ile, 4. satrn - 1/4 ile arpalm.

~

1 3 4 -10 1 1 -10 0 1 1/30 0 0 1

A ~

1 3 4 -10 -2 -5 30 1 1 -10 -7 -7 3

A =

1 3 4 -11 1 -1 20 1 1 -12 -1 1 1


lineer denklem sisteminin zmn aratralm. Sistemin katsaylar matrisi,

dir. A matrisinin 1. satrnn -1 katn 2. satra, 1. satrnn -2 katn 3. satra ekleye-lim.

elde edilir. rank (A) = 2 ve n = m = 3 olduundan 3 - 2 = 1 parametreye bal son-suz zm vardr. imdi, zm bulalm. x3 = t dersek son bulduumuz mat-risten,

denklem sistemi elde edilir. Bu sisteme gre,

2.17. rnek

2x1 + 2x2 + 4 x3 + 2x4 + 2x5 = 0- x1 + 3x2 + x3 - x4 +x5 = 0

x2 - 2x3 + 2x4 + 2x5 = 0

homojen lineer denklem sistemini znz.


A = 1 2 3 1 -1 -1 2 4 6

A ~ 1 2 3 0 -3 -4 0 0 0

bulunur. Bu matriste 2. satr - 1/3 ile arpalm.

~ 1 2 30 1 4/30 0 0

x1 + 2x2 + 3t = 0

x2 + 43

t = 0

x2 = - 43

t

x1 = -2x2 - 3t = - 13

t

ise, zm kmesi - 13

t , - 43

t , t | t R dir.


zm

Verilen sistemin katsaylar matrisi,

elde edilir. Bu son matriste, 1. satr ile, 2. satr ile 3. satr da ile arpalm.

olur. Bu son elde ettiimiz matrise gre rank (A) = 3 tr. n= 5 olduuna 5 - 3= 2 para-metreye bal sonsuz zm vardr. x4 = s, x5 = t dersek, sistemimiz

x1 + x2 + 2x3 + s -t = 0

ekline dntne gre,

dir. O halde aranan zm kmesi,

dir. s = 1 , t = 1 iin, (5, -1, 2, 1, 1) sistemin bir zmdr.


bulunur. Bu matriste, 2. satrn 1/2 katn 3. satra ekleyelim.

A = 2 2 -4 2 -2 -1 -3 1 -1 1 0 1 -2 2 3

matrisidir. A matrisinde, 1. satrn 1/2 katn 2. satra ekleyelim.

A ~ 2 2 -4 2 -2 0 -2 -1 0 0 0 1 -2 2 3

~ 2 2 -4 2 -2 0 -2 -1 0 0 0 0 -5/2 2 3

1/2 -1/2 -2/5

~ 1 1 -2 1 -1 0 1 1/2 0 0 0 0 1 -4/5 -6/5

x2 + 12

x3 = 0

x3 - 45

s - 65

t = 0

x3 = 45

s + 65

t , x2 = - 1

2 x3 = - 2

5 s - 3

5 t ve

x1 = -x2 + 2x3 - s + t = s + 4t

s + 4 t , - 25

s - 35

t , 45

s + 65

t , s , t | s, t R


3. Cramer YntemiCramer yntemi, denklem says ile bilinmeyen sayasnn eit olmas durumunda,katsaylar matrisinin determinant sfrdan farkl ise uygulanr. imdi bu yntemiaklayalm:

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2

an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn = bn

lineer denklem sistemini,

olmak zere AX = B olarak ifade edebileceimizi biliyoruz. Bu sistemde det (A) 0olsun. Bu takdirde A-1 vardr. Amacmz X matrisini bulmak olduuna gre,

AX = B

eitliinin her iki tarafn A-1 ile arpalm.

A-1 A X = A-1 B In X = A-1 B X = A-1 B

bulunur. Dier taraftan Bunu X = A-1 B eitliinde yerineyazarsak,

olur. ki matrisin eitliinden,


A =

a11 a12 a1na21 a22 a2n

an1 an2 ann

, X =

x1x2

xn

ve B =

b1b2

bn

A-1 = 1det A

A* dir.

...

x1x2

xi

xn

= 1det A

A11 A21 An1A12 A22 An2

A1i A2i Ani

A1n A2n Ann

b1b2

bi

bn

xi = 1det A

A1i b1 + A2i b2 + . . . + Aii bi + . . . + Ani bn ; i = 1 , 2 , . . . , n dir.


imdi, son eitliin sa tarafndaki A1i b1 + A2i b2 + ... + Aii bi + ... + Ani bn ifadesi-ni inceleyelim. Bu ifade, A katsaylar matrisinde, i. stun yerine B stun vektrnnyazlmasyla elde edilen,

matrisinin, i. stuna gre hesaplanan determinantndan baka bir ey deildir. Ohalde bu matrisi Ai ile gsterecek olursak,

elde edilir. xi'leri aka yazacak olursak,

dir. Bu ynteme Cramer Yntemi denir.


a11 a12 a1 i - 1 b1 a1 i - 1 a1na21 a22 a2 i - 1 b2 a2 i - 1 a2n

a i1 a i2 a i i - 1 bi a i i - 1 a in

an1 an2 an i - 1 bn an i - 1 ann

i. stun

b1b2

bi

bn

xi = det Aidet A

, i = 1 , 2 , . . . , n

xn =

a11 a12 a13 b1a21 a22 a23 b2

an1 an2 an3 ann

det A

x1 =

b1 a12 a13 a1nb2 a22 a23 a2n

bn an2 an3 ann

det A ,

x2 =

a11 b1 a13 a1na21 b2 a23 a2n

an1 bn an3 ann

det A ,


Aada bu yntem kullanlarak zlm rnekler verilmitir.

3.1. rnek

6x1 + 2x2 + x3 =-5- x1 - 3x2 + 2x3 = 1-2x1 + x2 - 3x3 =-5

lineer denklem sistemini zelim. Verilen sistemin katsaylar matrisi ile sabitlermatrisi srasyla,

olduundan sistemi Cramer yntemi ile zebiliriz. imdi det(A1), det (A2) vedet(A3) bulalm.

dir. Bu durumda,

bulunur. Yani sistemin zm (-3, 4, 5) sral 3-lsdr.


A = 6 2 1 -1 -3 2 -2 1 -3

ve B = -5 1 -5

dir. Bu durumda,

det A = 6 2 1 -1 -3 2 -2 1 -3

= 54 - 8 - 1 - 6 + 12 + 6 = 21 0

det A1 = -5 2 1 1 -3 2 -5 1 -3

= - 45 - 20 + 1 - 15 - 10 - 6 = - 63 ,

det A2 = 6 -5 1 -1 1 2 -2 -5 -3

= - 18 + 20 + 5 - - 2 - 60 - 15 = 84 ve

det A3 = 6 2 -5 -1 -3 1 -2 1 -5

= 90 - 4 + 5 - - 30 + 6 + 10 = 105

x1 = det A1det A

= -6321

= - 3 , x2 = det A2det A

= 8421

= 4 ve x3 = det A3det A

= 5


3.2. rnek

Denklemleri,

x - z = 0 ,x + y + z + 1 = 0 ,x + z - 1 = 0 ,

olan dzlemlerin varsa ortak noktalarn bulunuz.

zm

Bu dzlemlerin ortak noktalarn bulmak iin dzlemlerin denklemlerini ayn andasalayan (x, y, z) sral 3-ls bulmalyz. Bu da aslnda, aadaki ekilde dzenlen-mi lineer denklem sisteminin zmn bulmak demektir.O halde,

x - z = 0x + y + z =-1x + z = 1

lineer denklem sisteminin zmn bulalm.

Sistemin katsaylar matrisi,

dir.

olduundan Cramer yntemi ile zm bulabiliriz.

bulunur. Bu takdirde,


A = 1 0 -1 1 1 1 1 0 1

det A = 1 0 -1 1 1 1 1 0 1

= 1 + 0 + 0 - - 1 + 0 + 0 = 2 0

det A1 = 0 0 -1 -1 1 1 1 0 1

= 0 + 0 + 0 - - 1 + 0 + 0 = 1 ,

det A2 = 1 0 -1 1 -1 1 1 1 1

= - 1 - 1 + 0 - 1 + 1 + 0 = -4 ve

det A3 = 1 0 0 1 1 -1 1 0 1

= 1 + 0 + 0 - 0 + 0 + 0 = 1


O halde dzlemlerin ortak noktas

Deerlendirme SorularAadaki sorularn yantlarn verilen seenekler arasndan bulunuz.

1. Geniletilmi matrisi,

olan lineer denklem sistemi aadakilerden hangisidir?

A. x1 + 2x2 - x3 + x4 = 1 B. x1 + 2x2 - x3 + x4 = 13x1 + 2x4 =-1 3x3 + 2x4 =-1

x1 + x2 + 2x4 = 2 x1 + x2 + 2x4 = 2

C. x1 + 2x2 - x3 + x4 = 1 D. x1 + 2x2 - x3 + x4 = 13x1 + 2x3 = -1 3x3 + 2x4 =-1

x2 + x3 + 2x4 = 2 x2 + x3 + 2x4 = 2

E. x1 + x2 - x3 + x4 = 13x1 + 2x4 =-1x1 + x2 + 2x4 = 2

2. x + y - 2 z + 3w =-1y + 4 z - w = 2

x - y + 3z - 2w = 12x + 2y - 4z + 6w = 3-x + y + z + w = -5lineer denklem sisteminin zm iin, aadakilerden hangisi dorudur?

A. Sistemin bir tek zm vardr.B. Sistemin zm yoktur.C. Sistemin bir parametreye bal sonsuz zm vardr.D. Sistemin iki parametreye bal sonsuz zm vardr.E. Sistemin parametreye bal sonsuz zm vardr.


x = det A1det A

= 12

, y = det A2det A

= - 2 ve z = det A3det A

= 12

dir.

12

, - 2 , 12

noktasdr.

1 2 -1 1 1 3 0 2 0 -1 1 1 0 2 2


3. x - 3y + z =- 22x + y - z = 6x + 2y + 2z = 2lineer denklem sisteminin zm aadakilerden hangisidir?

A. (0, 1, 1) B. (1, 4, 0)C. (2, 1, -1) D. (1, 0, 1/2)E. (2, 2, 0)

4. 2x1 + x2 + x3 = 6x1 - 2x2 + x3 = -13x1 - x2 + 2x3 = 4lineer denklem sisteminin zm varsa, aadakilerden hangisidir?

A. (2, 1, 1) B. (1, 1, 0)C. (0, 2, 3) D. (1, 1, 1)E. zm yok

5. y = 3x + 1 ve y = - 2 x - 4 dorularnn kesim noktas aadakilerden hangisi-dir?

A. (1, 2) B. (2, 1)C. (- 2, -1) D. (- 1, - 2)E. (1, - 4)

6. 3x1 + x2 + x3 + x4 = 0x1 + 3x2 + x3 + x4 = 0x1 + x2 + 3x3 + x4 = 0lineer denklem sisteminin zm aadakilerden hangisidir?

A. B.

C. D.

E.

7. x1 - 2x2 + x3 + 2x4 - x5 = 0x2 - 3x3 + 2x4 + 2x5 = 3

- x1 - x4 +2x5 = -1lineer denklem sisteminin zm adakilerden hangisidir?

A. {(1 + s, 1 + t, s + t, s, t) | s, t R }B. {(1 - s - t, 1 + s + t, s - t, s, t) | s, t R }C. {(2 s + t, 1 + s, 1 - t, s, t) | s, t R }D. {(1 - s + 2 t, s + t, -1 + s + t, s, t) | s, t R }E. {(2 - s + t, 1 + s + t, s - 2 t, s, t) | s, t R }


- 15

s , - 15

s , - 15

s , s | s R 16

s , 16

s , 16

s , s | s R

2 s , 3 s , 4 s , s | s R - 16

s , - 16

s , - 13

s , s | s R

16

s , 13

s , 16

s , s | s R


8. 2x - y + z - 1 = 0, x - 2y + z + 1 = 0 ve x + y - 2z - 2 = 0 dzlemlerinin varsa,kesim noktas aadakilerden hangisidir?

A. (0, 1, 1) B. (1, 1, 0)C. (1, 0, 1) D. (1, -1, 0)E. Kesim noktalar yoktur.

9. 2x - 3y + z + 2w =- 4x + 2y - 5z + w = 14-x + 2y + 2z - w = 1x + y + z + w = 5lineer denklem sisteminin zm aadakilerden hangisidir?

A. (2, 1, 0, - 2) B. (1, 0, 3, - 1)C. (0, 1, 2, 3) D. (1, 2, 1, 1)E. (1, 3, - 1, 2)

10. x - y = 5y - z =-3

2x - z = 32y - 2z =- 6

lineer denklem sisteminin varsa, zm aadakilerden hangisidir?

A. (1, 4, 1) B. (4, - 1, 1)C. (1, - 4, -1) D. (1, - 1, - 4)E. Sistemin zm yoktur.

Deerlendirme Sorularnn Yantlar1. A 2. B 3. C 4. E 5. D 6. A 7. D 8. B 9. E 10. C


Lineer Denklem Sistemleri 27 Syf

Documents