Basit Gaus Eleme 1 Yöntemi - İstanbul Üniversitesi Basit Gaus Eleme [A][X]=[C] formundaki lineer denklem takımının çözümü için bir yöntemdir. İki adımı vardır 1. İleriye

Basit Gaus Eleme

Yöntemi1

Basit Gaus Eleme

[A][X]=[C] formundaki lineer denklem takımının çözümü için bir yöntemdir.

İki adımı vardır1. İleriye Doğru Eleme

2. Geriye Doğru Yerine Koyma

2

İleriye Doğru Eleme

735.0

21.96

8.106

7.000

56.18.40

1525

3

2

1

x

x

x

2.279

2.177

8.106

112144

1864

1525

3

2

1

x

x

x

İleriye Doğru Elemenin amacı katsayı matrisini üst üçgensel matris biçimine dönüştürmektir.

3

İleriye Doğru Eleme

n bilinmeyen ve n eşitlikten oluşan bir sistem

11313212111 ... bxaxaxaxa nn

22323222121 ... bxaxaxaxa nn

nnnnnnn bxaxaxaxa ...332211

. .

. .

. .

İleriye Doğru Eleme için (n-1) adım bulunur

4

İleriye Doğru Eleme

Adım 1 Eşitlik 2 için, Eşitlik 1’i ile böl ve ile çarp.

)...( 11313212111

11

21 bxaxaxaxaa

ann

1

11

211

11

21212

11

21121 ... b

a

axa

a

axa

a

axa nn

11a21a

5

İleriye Doğru Eleme

1

11

211

11

21212

11

21121 ... b

a

axa

a

axa

a

axa nn

22323222121 ... bxaxaxaxa nn

1

11

2121

11

212212

11

2122 ... b

a

abxa

a

aaxa

a

aa nnn

'

2

'

22

'

22 ... bxaxa nn

Sonucu Eşitlik 2’den çıkart.

−_________________________________________________

veya

6

İleriye Doğru Eleme

Bu prosedürü geriye kalan tüm eşitliklere uygula

11313212111 ... bxaxaxaxa nn

'

2

'

23

'

232

'

22 ... bxaxaxa nn

'

3

'

33

'

332

'

32 ... bxaxaxa nn

''

3

'

32

'

2 ... nnnnnn bxaxaxa

. . .

. . .

. . .

Adım 1’in sonu

7

Adım 2Eşitlik 3’ün 3. terimi için aynı prosedürü tekrar et

İleriye Doğru Eleme

11313212111 ... bxaxaxaxa nn

'

2

'

23

'

232

'

22 ... bxaxaxa nn

"

3

"

33

"

33 ... bxaxa nn

""

3

"

3 ... nnnnn bxaxa

. .

. .

. .

Adım 2’nin sonu

8

İleriye Doğru Eleme

(n-1) İleriye Doğru Eleme adımı sonucu, denklem sistemi şöyle görünür

'

2

'

23

'

232

'

22 ... bxaxaxa nn

"

3

"

33

"

33 ... bxaxa nn

11 n

nn

n

nn bxa

. .

. .

. .

11313212111 ... bxaxaxaxa nn

(n-1) Adım sonu

9

İleriye Doğru Eleme Sonunda

Matris Formu

)(n-

n

"

'

n

)(n

nn

"

n

"

'

n

''

n

b

b

b

b

x

x

x

x

a

aa

aaa

aaaa

1

3

2

1

3

2

1

1

333

22322

1131211

0000

00

0

10

Geriye Doğru Yerine Koyma

735.0

21.96

8.106

7.000

56.18.40

1525

3

2

1

x

x

x

Son eşitlikten başlayarak herbir denklemi çözün

3 denklemli bir sistem örneği

11

Geriye Doğru Yerine Koyma

'

2

'

23

'

232

'

22 ... bxaxaxa nn

"

3

"

3

"

33 ... bxaxa nn

11 n

nn

n

nn bxa

. .

. .

. .

11313212111 ... bxaxaxaxa nn

12

Geriye Doğru Yerine Koyma

1 1 1 1

, 1 1 , 2 2 ,

1

... 1,...,1 için

i i i i

i i i i i i i i n n

i i

ii

b a x a x a xx i n

a

1 1

1

11,...,1 için

ni i

i ij jj i

i i

ii

b a x

x i na

)1(

)1(

n

nn

n

n

na

bx

13

En son denklemle başlanılmaktadır çünkü sadece

bir bilinmeyen vardır.

Diğer bilinmeyenler için

En genel ifadesi:

Örnek

239

248

247

9428.02357.02357.0

9701.02425.00

9701.002425.0

3

2

1

x

x

x

14

Aşağıda matris formunda verilmiş olan lineer denklem sistemini Gaus Eleme yöntemini kullanarak x1 , x2 vex3 bilinmeyenlerini bulunuz.

Örnek

İleriye Doğru Eleme: Adım 1

02 ( 1)

0.2425Satır Satır

239

248

247

9428.02357.02357.0

9701.02425.00

9701.002425.0

3

2

1

x

x

x

15

Örnek

İleriye Doğru Eleme: Adım 1

0.23573 ( 1)

0.2425Satır Satır

07.479

248

247

x

x

x

8857.12357.00

9701.02425.00

9701.002425.0

3

2

1

16

Örnek

Geriye Doğru Yerine Koymaadımına geçebiliriz

İleriye Doğru Eleme: Adım 2

0.23573 ( 2)

0.2425Satır Satır

12.720

248

247

x

x

x

8286.200

9701.02425.00

9701.002425.0

3

2

1

17

Örnek

Geriye Doğru Yerine Koyma: Üçüncü eşitliği kullanarakx3 buluruz

3

3

2.8286.x 720.12

720.12x

2.8286

254.59

18

Örnek

Geriye Doğru Yerine Koyma: İkinci eşitliği kullanarak x2

buluruz

2328.4

2425.0

)59.254()9701.0(248x

2425.0

x)9701.0(248x

2

32

248x)9701.0(x2425.0 32

19

Örnek

Geriye Doğru Yerine Koyma: Birinci eşitliği kullanarakx1 buluruz

247)9701.0(02425.0 321 xxx

10905.0

2425.0

)59.254()9701.0(247x

2425.0

x)9701.0(x0247x

1

321

20

Örnek

Çözüm vektörü

59.254

2328.4

10905.0

x

x

x

3

2

1

21

Tuzak#1. Sıfıra Bölme22

955

11326

3710

321

321

32

xxx

xxx

xx

9

11

3

515

326

7100

3

2

1

x

x

x

Burada sıfır bölme sorunu var mı?

955

14356

1571012

321

321

321

xxx

xxx

xxx

9

14

15

515

356

71012

3

2

1

x

x

x

23

Burada sıfır bölme sorunu var mı?

EVET

28

14

15

5124

356

71012

3

2

1

x

x

x

2

5.6

15

192112

5.600

71012

3

2

1

x

x

x

İleriye Doğru Elemenin herhangi bir Adımında sıfıra bölme sorunu ortaya

çıkabilir.

24

1

1

1

3

2

1

x

x

x

9

751.1

45

315

7249.23

101520

3

2

1

x

x

x

Tam Çözüm

25 Tuzak#2. Büyük yuvarlama hataları

Tuzak#2. Büyük yuvarlama hataları26

999995.0

05.1

9625.0

3

2

1

x

x

x

9

751.1

45

315

7249.23

101520

3

2

1

x

x

x

6 anlamlı basamağa budama kullanarak bulunan çözüm

Tuzak#2. Büyük yuvarlama hataları27

99995.0

5.1

625.0

3

2

1

x

x

x

9

751.1

45

315

7249.23

101520

3

2

1

x

x

x

Yuvarlama hatasından kurtulmanın bir yolu bulunabilir mi ?

5 anlamlı basamağa budama kullanarak bulunan çözüm

Tuzaklardan Kaçınma

Anlamlı Basamak sayısını artırmak

• Yuvarlama hatasını azaltır

• Sıfıra bölme tuzağını önlemez

28

Tuzaklardan Kaçınma

Kısmi pivot uygulaması kullanmak ile GausEleme yöntemi

• Sıfıra bölme tuzağını önlemez

• Yuvarlama hatasını azaltır

29

Kısmi pivot uygulaması ile Gaus

Eleme yöntemi30

Kısmi pivot uygulamasında farklı

olan nedir ?

pka

,npk

İleriye Doğru Eleme aşamasının k ’ncı adım başlangıcında

nkkkkk aaa .......,,........., ,1

31

mutlak katsayılarının en büyüğü bulunur. Eğer en büyük değer olacak şekilde p. satırdaki ise , o zaman p. ve k. satırları değiştirilir.

İleriye Doğru Elemenin 2.

adımının başında Matris

Formu

'

'

3

2

1

3

2

1

''

4

'

32

'

3

'

3332

22322

1131211

0

0

0

n

'

nnnnn

'

n

n

'

'

n

''

n

b

b

b

b

x

x

x

x

aaaa

aaa

aaa

aaaa

32

Örnek (İDE’nin 2. adımı)

3

9

8

6

5

431112170

862390

1111240

21670

67.31.5146

5

4

3

2

1

x

x

x

x

x

Hangi iki satırı değiştirir siniz?

33

Örnek (İDE’nin 2. adımı)

6

9

8

3

5

21670

862390

1111240

431112170

67.31.5146

5

4

3

2

1

x

x

x

x

x

34

Kısmi pivot uygulaması ile Gaus

Eleme yöntemi Örneği 2

2279

2177

8106

112144

1864

1525

3

2

1

.

.

.

a

a

a

Kısmi pivot uygulaması ile Gaus Eleme yöntemini kullanarak aşağıdaki denklem sistemini çözünüz.

35

Örnek 2 devam

2279

2177

8106

112144

1864

1525

3

2

1

.

.

.

a

a

a

1. İleriye Doğru Eleme2. Geriye Doğru Yerine Koyma

2.279112144

2.1771864

8.1061525

36

Örnek 2 devam. İleriye Doğru Eleme

İlk kolonun mutlak değerleri

144,64,25

• En büyük mutlak değer 144 tür ve 3. satırdadır

• Birinci satır ile üçüncü satırı değiştir.

8.1061525

2.1771864

2.279112144

2.279112144

2.1771864

8.1061525

37

Örnek 2 devam. İleriye Doğru

Eleme Adım 138

8.1061525

2.1771864

2.279112144

.

1.1244444.0333.599.634444.02.279112144

10.53.55560667.2 0

124.1 0.44445.33363.99

177.21 8 64

8.1061525

10.535556.0667.20

2.279112144

Satır 1’i 144 ile böl ve 64 ile çarp, .4444.0

144

64

Sonucu Satır 2’den çıkart

Sonucu ikinci satıra yaz

Örnek 2 devam. İleriye Doğru

Eleme Adım 139

.

47.481736.0083.200.251736.0279.2112144

33.588264.0 917.20

48.470.17362.08325

106.81 5 25

8.1061525

10.535556.0667.20

2.279112144

33.588264.0917.20

10.535556.0667.20

2.279112144

1736.0144

25

Satır 1’i 144 ile böl ve 25

ile çarp, .

Sonucu Satır 3’den çıkart

Sonucu üçüncü satıra yaz

Örnek 2 devam. İleriye Doğru Eleme

Adım 2

İkinci kolon, ikinci satır ve aşağısının mutlak değerleri

2.917,667.2

• En büyük mutlak değer 2.917 dir ve 3. satırdadır• 2. satır ve 3. satırı değiştir.

10.535556.0667.20

33.588264.0917.20

2.279112144

33.588264.0917.20

10.535556.0667.20

2.279112144

40

Örnek 2 devam. İleriye Doğru Eleme

Adım 2

.

33.537556.0667.209143.058.330.82642.9170

10.535556.0667.20

33.588264.0917.20

2.279112144

23.02.0 0 0

53.33 0.75562.6670

53.10 0.55562.6670

23.02.000

33.588264.0917.20

2.279112144

Satır 2’yi 2.917’e böl ve 2.667ile çarp,

.9143.0917.2

667.2

Sonucu Satır 3 den çıkart

Satır 3 yerine yeni Satırı yaz

41

Örnek 2 devam. Geriye Doğru Yerine

Koyma

1.15

2.0

23.0

23.02.0

3

3

a

a

Önce a3 bulunur:

230

3358

2279

2000

8264091720

112144

23.02.000

33.588264.0917.20

2.279112144

3

2

1

.

.

.

a

a

a

.

..

42

Sonra a2 bulunur :

6719.

917.2

15.18264.033.58

917.2

8264.033.58

33.588264.0917.2

32

32

aa

aa

230

3358

2279

2000

8264091720

112144

3

2

1

.

.

.

a

a

a

.

..

43

Örnek 2 devam. Geriye Doğru

Yerine Koyma

Örnek 2 devam. Geriye Doğru

Yerine Koyma

2917.0

144

15.167.19122.279

144

122.279

2.27912144

321

321

aaa

aaa

230

3358

2279

2000

8264091720

112144

3

2

1

.

.

.

a

a

a

.

..

44

Sonra a1 bulunur :

Örnek 2 devam.

2279

2177

8106

112144

1864

1525

3

2

1

.

.

.

a

a

a

15.1

67.19

2917.0

3

2

1

a

a

a

45

Örnek 3

655

901.36099.23

7710

321

321

21

xxx

xxx

xx

Aşağıdaki denklem sistemini ele alalım:

Matris formunda:

515

6099.23

0710

3

2

1

x

x

x

6

901.3

7

=

Kısmi pivot uygulaması ile Gaus Eleme yöntemini kullanarak denklem

sistemini çözünüz. Beş anlamlı basamağa kadar budama kullanınız.

46

Örnek 3 devam. İleriye Doğru

Eleme: Adım 1İlk kolonun mutlak değerleri

|10|, |-3|, ve |5| veya 10, 3, and 5

En büyük mutlak değer 10’dur, ve birinci

satırdadır bu yüzden değiştirme gerektirmez.

6

901.3

7

515

6099.23

0710

3

2

1

x

x

x

5.2

001.6

7

55.20

6001.00

0710

3

2

1

x

x

x

İleriye Doğru Eleme

uygulandığında

47

Örnek 3 devam. İleriye Doğru Eleme:

Adım 2

001.6

5.2

7

6001.00

55.20

0710

3

2

1

x

x

x

İkinci kolon, ikinci satır ve aşağısının mutlak değerleri

|-0.001| ve |2.5| veya 0.0001 ve 2.5

En büyük mutlak değer 2.5’dir ve üçüncü satırdadır,

böylece ikinci satır üçüncü satır ile yer değiştirilir.

5.2

001.6

7

55.20

6001.00

0710

3

2

1

x

x

x

Satır değişimi yapıldığında

48

Örnek 3 devam. İleriye Doğru

Eleme: Adım 2

İleriye Doğru Eleme uygulandığında

002.6

5.2

7

002.600

55.20

0710

3

2

1

x

x

x

49

Örnek 3 devam. Geriye Doğru

Yerine Koyma

002.6

5.2

7

002.600

55.20

0710

3

2

1

x

x

x

1002.6

002.63 x 1

5.2

55.2 32

xx

010

077 32

1

xx

x

50

Örnek 3

1

2gerçek

3

0

1

1

x

X x

x

1

2hesaplanan

3

0

1

1

x

X x

x

Hesaplanan ve gerçek çözümleri karşılaştıralım.

Tamamen aynı olması raslantı olabilir fakat kısmi

pivot uygulamasının avantajını da ortaya

koymaktadır.

51

Gaus Eleme Yöntemini

Kullanarak bir kare Matrisin

Determinantını bulma

52

Determinant Teoremi

Eğer [A]nxn‘nin bir satırının katı diğer bir satırı ile

toplandığında veya çıkarıldığında elde

edilecek matris [B]nxn ise

det(A)=det(B) ‘dır.

53

Determinant Teoremi

[U]nxn üst-üçgensel matrisinin determinantı

11 22det U ... ...ii nnu u u u

1

n

ii

i

u

54

Kare Matrisin, İleriye Doğru Eleme ile üst-

üçgensel matrisinin eldesi ve determinantı

nnnn UA

UA detdet

55

1

n

ii

i

u

Örnek 4

112144

1864

1525

Gaus eleme yöntemini kullanarak aşağıdaki kare matrisin determinantını hesaplayınız.

56

Örnek 4 devam. İleriye Doğru Eleme:

Adım 1

112144

1864

1525

.

56.28.126456.21525

56.18.40

56.2 8.1264

1 8 64

112144

56.18.40

1525

56.225

64

57

Satır 1’i 25 ile böl ve 64 ile çarp, .

Sonucu Satır 2’den çıkart

Sonucu ikinci satıra yaz

Örnek 4 devam. İleriye Doğru Eleme:

Adım 1

112144

56.18.40

1525

.

76.58.2814476.51525

76.48.16 0

76.5 8.28144

1 12 144

76.48.160

56.18.40

1525

76.525

144

58

Satır 1’i 25 ile böl ve 144 ile çarp, .

Sonucu Satır 3’den çıkart

Sonucu üçüncü satıra yaz

Örnek 4 devam. İleriye Doğru

Eleme: Adım 1

.

76.48.160

56.18.40

1525

46.58.1605.356.18.40

7.0 0 0

46.58.160

76.48.160

7.000

56.18.40

1525

5.38.4

8.16

59

Satır 2’yi -4.8 ile böl ve -16.8 ile çarp, .

Sonucu Satır 3’den çıkart

Sonucu üçüncü satıra yaz

Determinantı bulma

.

7.000

56.18.40

1525

112144

1864

1525

İleriye Doğru Eleme sonrası

00.84

7.08.425

Adet 332211

uuu

60

Özet

-İleriye Doğru Eleme

-Geriye Doğru Yerine

Koyma

-Tuzaklar

-İyileştirmeler

-Kısmi Pivot Uygulaması

-Bir matrisin determinantı

61

clc, clear all, close all;

% Gauss Eliminasyon Yöntemi – KP yok % Ax=B % A=[3 5 7;2 4 9;1 6 8]; % B=[18;17;16]; A=[3 -2 4 1;2 2 5 1; 4 3 6 1;1 -4 3 2]; B=[-4;3;2;-1];

[r,c]=size(A); %r: denklem sayisi, c: bilinmeyen sayisi

if r==c n=r; else disp('Matris boyutu hatalı (A)'); end

%ileriye doğru eleme (Kısmi pivotlama haric) GNL=[A B];

for k=1:n-1 for j=k+1:n GNL(j,:)= GNL(j,:) - GNL(k,:)/GNL(k,k)*GNL(j,k); end end

By=GNL(:,end); Ay=GNL(:,1:end-1);

%Geriye dogru yerine koyma x=zeros(size(By)); x(n)=By(n)/Ay(n,n);

for i=n-1:-1:1 x(i)= (By(i)-Ay(i,i+1:n)*x(i+1:n))/Ay(i,i); end

disp(A*x) disp(B)

clc, clear all, close all;

% Gauss Eliminasyon Yöntemi – KP var % Ax=B % A=[3 5 7;2 4 9;1 6 8]; % B=[18;17;16]; A=[3 -2 4 1;2 2 5 1; 4 3 6 1;1 -4 3 2]; B=[-4;3;2;-1];

[r,c]=size(A); %r: denklem sayisi, c: bilinmeyen sayisi

if r==c n=r; else disp('Matris boyutu hatalı (A)'); end

%ileriye doğru eleme (Kısmi pivotlama dahil) GNL=[A B];

for k=1:n-1 p=find(abs(GNL(k:n,k))==max(abs(GNL(k:n,k)))); p=p(1); p=p+k-1; tmp=GNL(p,:); GNL(p,:)=GNL(k,:); GNL(k,:)=tmp;

for j=k+1:n GNL(j,:)= GNL(j,:) - GNL(k,:)/GNL(k,k)*GNL(j,k); end end

By=GNL(:,end); Ay=GNL(:,1:end-1);

%Geriye dogru yerine koyma x=zeros(size(By)); x(n)=By(n)/Ay(n,n);

for i=n-1:-1:1 x(i)= (By(i)-Ay(i,i+1:n)*x(i+1:n))/Ay(i,i); end

disp(A*x) disp(B)

clc, clear all, close all;

% Ileri doğru eleme ile determinant % det(A)=det(U) % A=[3 5 7;2 4 9;1 6 8]; A=[3 -2 4 1;2 2 5 1; 4 3 6 1;1 -4 3 2];

[r,c]=size(A); %r: denklem sayisi, c: bilinmeyen sayisi

if r==c n=r; else disp('Matris boyutu hatalı (A)'); end

%ileriye doğru eleme (KP yok) U=A;

for k=1:n-1 for j=k+1:n U(j,:)= U(j,:) - U(k,:)/U(k,k)*U(j,k); end end

detU=1; for k=1:n detU=detU*U(k,k); end

det(A) det(U) detU