Linearno programiranje

1/82

OPERACIONA OPERACIONA ISTRAISTRAŽIVANJAŽIVANJA

PProf. dr rof. dr Ranko BoRanko Božičkovićžičković

e-e-mail:mail: [email protected]

Doboj, 2008/2009Doboj, 2008/2009

Asistent: Milovan Popović i mr Vlastimir Pejić

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

2/82

IZVOD IZ SADRŽAJA1. LINEARNO PROGRAMIRANJE i jednokriterijmska optimizacija

a) Grafićka metodab) Kvantitativne metode i SIMPLEKS TABELA2. TRANSPORTNI PROBLEMI3. TEORIJA IGARA, PROBLEMI RASPOREĐIVANJA4. TEORIJA MASOVNOG OPSLUŽIVANJA (redovi čekanja)5. VIŠEKRITERIJMSKA OPTIMIZACIJA – ODLUČIVANJE6. ATRIBUTIVNE METODE OPTIMIZACIJE - AHP METODA I

EKSPERT ČOJS SOFTVER

Način polaganja:1. T1 i K1 - u sedmoj (7) sedmici. USLOV: PREDATI GRAFIČKI

RADOVI GR1 I GR2

2. T2 i K2 - u petnaestoj (15) sedmici. USLOV: PREDATI GRAFIČKI RADOVI GR1 , GR2, GR3 i GR4

Studenti koji polaže T i K stiču uslov za upis ocjena u prvom ispitnom roku nakon predavanja. U ostalim ispitnim rokovima studenti polažu nepoložene K1 i K2 ili K- integralno. Nakon položenih K polaže se T. T i K vrijede jednu godinu, tj. do IV semestra iduće školske godine.

Nadležnost nad K imaju asistenti, a na T profesor Božičković

LITERATURA1. ODABRANA POGLAVLJA IZ TEORIJE

KVANTITATIVNOG ODLUČIVANJA, Čupić i ostali, FTN, N. Sad.

2. METODE OPTIMIZACIJE U ZADACIMA TIPA TRANSPORTA, Nikolić, Božičković, SF Doboj, 2007,

3. OPERACIONA ISTRAŽIVANJA – repetitorij,

dr Ranko Božičković, SF, 2009

1. CD rom Nikolić – Božičković, SF Doboj,

2. INDUSTRIJSKA EKONOMIKA, Božičković – Trivić, SF Doboj, 2007.

3/82

4/82

1. KONTINUALNO LINEARNO 1. KONTINUALNO LINEARNO PROGRAMIRANJEPROGRAMIRANJE

2. CELOBROJNO LINEARNO 2. CELOBROJNO LINEARNO PROGRAMIRANJEPROGRAMIRANJE

3. (0-1) ili BINARNO LINEARNO 3. (0-1) ili BINARNO LINEARNO PROGRAMIRANJEPROGRAMIRANJE

4. MEŠOVITO CELOBROJNO LINEARNO 4. MEŠOVITO CELOBROJNO LINEARNO

PROGRAMIRANJEPROGRAMIRANJE

SADRŽAJSADRŽAJ

Naslov

5. POST-OPTIMALNA ANALIZA5. POST-OPTIMALNA ANALIZA

Zadaci / Vežbe

Zadaci / Vežbe

Zadaci / Vežbe

Zadaci / Vežbe

Zadaci / Vežbe

I.I.LINEARNO PROGRAMIRANJELINEARNO PROGRAMIRANJE

5/82

Matematički model : Funkcija cilja i ograničenja

Rešavanje :Ručni postupci : Grafičko rešavanje za n=2 promenljiveRučni postupci : Simpleks metodaPrimena softvera : WinQSB, Modul Linear and Integer Programming

Tipovi problema (2) :1) Maksimizacija funkcije kriterijuma2) Minimizacija funkcije kriterijuma

Vrste modela sa stanovišta promenljivih (5) : 1) Linearno programiranje (za kontinualne promenljive)2) Celobrojno linearno programiranje, 2 tipa promenljivih :

a) bilo koji celi brojevib) binarni brojevi : 0 ili 1; 0-1 programiranje

3) Mešovito celobrojno linearno programiranje

Oblici ograničenja (3) : , ,

LINEARNO PROGRAMIRANJELINEARNO PROGRAMIRANJE

6/82

Softver :Softver : WinQSBWinQSBQuantitave Systems for BusinessQuantitave Systems for BusinessKvantitativni sitemi (modeli) za biznisKvantitativni sitemi (modeli) za biznis

Autor i adresa za preuzimanje softvera

Grupa modela : 19Ukupno modela : 57Demo primera : 64

7/82

Uputstvo za korišćenje : Uputstvo za korišćenje : 1)1) Linear and Integer Programming (4 modela)2)2) Network Modeling (7 modela)

Softver :Softver : WinQSBWinQSBQuantitave Systems for BusinessQuantitave Systems for BusinessKvantitativni sitemi (modeli) za biznisKvantitativni sitemi (modeli) za biznis

Prof. dr I. Nikolić i R. B.Metode optimizacije u zadacima tipa transporta sa jednim i više kriterijuma

8/82

1.1.KONTINUALNOKONTINUALNO

LINEARNOLINEARNOPROGRAMIRANJEPROGRAMIRANJE

9/82

PRIMER 1. : PROBLEM 1. Izrada obuće

Verbalni model

10/82

Matematički model

Model A Model B

Kapaciteti

(čas/mes)

Profit (n.j./par) 45 60 max

ResursiNormativi (čas/par) uslovi

Mašina 1 3 2 480

Mašina 2 2 4 600

Mašina 3 1 1 180

Nepoznate (par) x1 x2

Tabelarni model

Funkcija kriterijuma

Ograničenja

Prirodna ograničenja

11/82

x2

x1Matematičkimodel

Grafičkimodel B(60,120)

C(120,60)

D(150,0)

A(0,150)

(90,105)Nije dopustivo(90,105)Nije dopustivo

x1=90, x2=105 nije dopustivo rešenje.Zadovoljava sa znakom jednakosti prvo i drugo ograničenje, ali ne zadovoljava treće.

x1=90, x2=105 nije dopustivo rešenje.Zadovoljava sa znakom jednakosti prvo i drugo ograničenje, ali ne zadovoljava treće.

12/82

x2

x1

B(60,120)

C(120,60)

D(150,0)

A(0,150)

(90,105)Nije dopustivo

Optimalno rešenjex1=60, x2=120, z*=9.900

(X)Oblast dopustivih

rešenja

Matematičkimodel

X

Grafičkimodel

13/82

Proračun profita z(x) u temenima oblasti dopustivih rešenja

Optimalno rešenje:

x1* = 60 pari modela A; x2* = 120 pari modela BMaksimalna profit z* = 9.900 (n.j.)

Resursi

Norma- tivi x1

Norma- tivi x2

Angažo- vanje

Raspolo- živo

Slobo- dno

M1 3 60 2 120 420 480 60M2 2 60 4 120 600 600 0M3 1 60 1 120 180 180 0

x1 x2 z = 45x1 + 60x2 maxA 0 150 9.000B 60 120 9.900C 120 60 9.000D 150 0 6.600

9.900

Proračun (provera) korišćenja kapaciteta mašina

U celosti se koriste kapacitet za M2 i M3Ostaje slobodno 60 (čas) za M1

14/82

x2

x1

B(60,120)

Tačka B ne pirpada pravoj za M1, tako da rastojanje B od prave M1 iskazuje slobodne kapacitete M1 za rešenje B(60,120).Angažovano :360+2120 =180+240=420Slobodno : 480-420=60

Tačka B ne pirpada pravoj za M1, tako da rastojanje B od prave M1 iskazuje slobodne kapacitete M1 za rešenje B(60,120).Angažovano :360+2120 =180+240=420Slobodno : 480-420=60

(max) z = 45x1 + 60x2

Pri ograničenjima

M1 3x1 + 2x2

480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0

U celosti se koriste kapacitet za M2 i M3Ostaje slobodno 60 (čas) za M1

Tačka B jeste u preseku ograničenja za M2 i M3, tako x1=60 i x2=120 zadovoljava jednačine M2 i M3

15/82

x2

x1

B(60,120)

C(120,60)

D(150,0)

A(0,150)Ograniča-vanjepromenljiveNajviše 100 pari

modela B

Lošije

Optimalno rešenje sa x2

100 x1=80, x2=100, z*=9.600

Polazno opt. rešenjex1=60, x2=120, z*=9.900

B1(80,100)

PRIMER 2

(max) z = 45x1 + 60x2

p.o.

M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 B .... x2 100 x1, x2 0

16/82

x2

x1

C(120,60)

Lošije

Optimalno rešenje sa x1

100 x1=100, x2=80, z*=9.300

B2(100,80)

PRIMER 3

(max) z = 45x1 + 60x2

M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 A .... x1 100 x1, x2 0

Polazno opt. rešenjex1=60, x2=120, z*=9.900

Ograniča-vanjepromenljiveNajmanje 100 pari

modela A

x1 = 100

17/82

REKAPITULACIJA(max) z = 45x1 + 60x2

M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0

Optimalno rešenjex1* = 60, x2* = 120, z* = 9.900

(max) z = 45x1 + 60x2

M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 B .... x2 100 x1, x2 0

(max) z = 45x1 + 60x2

M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 A .... x1 100 x1, x2 0



ZAKLJUČAK :Dodatna ograničenja mogu da rezultuju lošijim rešenjem sa stanovišta optimalne vrednosti funkcije kriterijuma

18/82

Da li rešenje može da se odredi softverom ?Da li rešenje može da se odredi softverom ?

Optimalno rešenje

x1*=60

x2*=120

z*=9.900

Polazni podaci za softverPolazni podaci za softver

Optimalno rešenje sa softveromOptimalno rešenje sa softverom

Softver Softver označava označava ograničenja ograničenja (Constraint)(Constraint) sa sa C1, C2, C3C1, C2, C3

19/82

ZNAČAJNE KARAKTERISTIKE ZNAČAJNE KARAKTERISTIKE MODELA LINEARNOG PROGRAMIRANJAMODELA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

1)1) Minimizacija i maksimizacija Minimizacija i maksimizacija funkcije kriterijumafunkcije kriterijuma

2)2) Nesaglasnost / kontradiktornost Nesaglasnost / kontradiktornost ograničenjaograničenja

3)3) Jedinstveno optimalno rešenje Jedinstveno optimalno rešenje ((u ranijim primerimau ranijim primerima))

4)4) VišestrukoVišestruko optimalno rešenje

20/82

PRIMER I. MAKS. i MIN. FUNKCIJE KRITERIJUMA

C(90,105)

E(90,105)

(max) z = 45x1 + 60x2

M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0

(min) z = 45x1 + 60x2

M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0

Opt. reš.

x1*=60

x2*=120

z*=9.900

Opt. reš.

x1*=90

x2*=105

z*=10.350

21/82

PRIMER II.SAGLASNOST i NESAGLASNST OGRANIČENJA

Tri uslova (mašine) : M1 3x1 + 2x2 480

M2 2x1 + 4x2 600

M3 1x1 + 1x2 180

x1, x2 0

Jedan uslov (sirovina) :S1 1x1 + 1x2 250 x1, x2 0

Nesaglasnost (kontradiktornost) ograničenja

Nema jedinstven skup dopustivih rešenja

Nema optimalno rešenje

z = 45x1 + 60x2 max

M1 3x1 + 2x2 480

M2 2x1 + 4x2 600

M3 1x1 + 1x2 180

S1 1x1 + 1x2 250 x1, x2 0

PRIMER 1. proširen sa ograniče-njem za S1Vizuelno jasnoVizuelno jasno

na grafikuna grafiku

22/82

x2

x1

B(60,120)

C(120,60)

D(150,0)

A(0,150)

Višestruko optimalno rešenje x** na duži BC

Višestruko optimalno rešenje x** na duži BC

c1 x1 c2 x2 z maxA 60 0 60 150 9.000B 60 60 60 120 10.800C 60 120 60 60 10.800D 60 150 60 0 9.000

10.800

XX

(max) z = 60x1 + 60x2

p.o.

M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0

Ako ista dobit 60 za razmatrane parove obuće, nastaje višestruko optimalno rešenje x** na duži BC sa z*=10.800

Duž BC pripada pravoj Duž BC pripada pravoj xx11+x+x22=180 za M3. =180 za M3. Sledi :

x1*60,120; x2*=180-x1*

PRIMER III. VIŠESTRUKOOPTIMALNOREŠENJE

23/82

PRIMENA SOFTVERAPRIMENA SOFTVERAWinQSB – WinQSB – Quantitative Systems for BusinessQuantitative Systems for Business

MODUL : Linearno i celobrojno programiranjeLinearno i celobrojno programiranje

UPUTSTVOUPUTSTVOProf. dr I. Nikolić i R. B.Prof. dr I. Nikolić i R. B.Metode optimizacije u zadacima tipa transporta sa jednim i više kriterijuma

24/82

Optimalno rešenjex1=60, x2=120, z*=9.900

Tri modela cipela, tri promenljive

(max) z = 45x1 + 60x2 + 50x3

3x1 + 2x2 + 1x3 480 .... M1 2x1 + 4x2 + 3x3 600 .... M2 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180 .... M2 x1, x2, x3 0

Rešenje: Softver WinQSB, LPRešenje: Softver WinQSB, LP&&ILPILP

PRIMER 4 :

Neka se razmatra i model obuće C sa podacima za normative i jedin. dobit u proširenom matemat. modelu sa dva modela obuće.

25/82

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max

M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3

480M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 600M3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180 x1, x2, x3 0

Donje graniceza promenljive

Gornje graniceza promenljive

M =

Tipovi za promenljive : Continuous (kontinualne, realne vrednosti), Integer (celobrojne

vrednosti), Binary (binarne vrednosti : 0 ili 1), Unresticted (vrednosti neograničene u znaku)

Tip funkcije kriterijuma

Ograničenja

Softver :Softver : WinQSB WinQSBModul :Modul : Linear and Integer ProgrammingLinear and Integer Programming

POLAZNI PODACI : Matrix FormPOLAZNI PODACI : Matrix Form

Promenljive

Desna strana ograničenja

Znaci ogr.

26/82

Gubitak po jedinici za x3 > 0

Slobodni kapaciteti

Korišćenje kapaciteta

Raspoloživi kapaciteti

Fun

kcija

ci

ljaP

rom

enlji

veza

odl

učiv

anje

Ogr

anič

enja

Gubitak po jedinici za

nedostajuće kapacitete

C2, C3

Status za bazične

promenljiveBazične

Na granici

Reducirane cene

Cene u senci

REŠENJE : Combined ReportREŠENJE : Combined Report


z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max

M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3

480M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 600M3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180 x1, x2, x3 0

Vrednosti za promenljive

27/82

REŠENJE : Combined ReportREŠENJE : Combined Report


z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max

M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3

480M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 600M3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180 x1, x2, x3 0

Donje granice koefic. cj u z(x)

Gornje granice koefic. cj u z(x)

Donje granice slobodnih član. bj u ograničenjima

Donje granice slobodnih član. bj u ograničenjima

Donje i gornje granice elemenata koje omogućavaju prisustvo datih promenljivih u opt. rešenju: (x1,x2)x*.

PRIMERI : a) x1x* za c1(30,60); b) (x1,x2)x* za b1(420,M=+)

28/82

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 + 0Slack_M1 + 0Slack_M2 + 0Slack_M3 max

M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3 + Slack_M1 = 480

M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 + Slack_M2 = 600

M3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 + Slack_M3 = 180

x1, x2, x3 0 Slack_M1, Slack_M2, Slack_M3 0

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max

M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3 480

M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 600

M3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180

x1, x2, x3 0

TUMAČENJE TUMAČENJE IZRAVNAVAJUĆIH IZRAVNAVAJUĆIH PROMENLJIVIHPROMENLJIVIH

• Slack – nedostizanje, podbačaj• Surplus – prekoračenje,

prebačaj

M1 ...M1 ...M2 ...M2 ...M3 ...M3 ...

SIMPLEKS METODA – POČETNA SIMPLEKS TABELA, Iteration 1SIMPLEKS METODA – POČETNA SIMPLEKS TABELA, Iteration 1

29/82

Promena rešenja 2 : X1 Basis Slack_M3

Promena rešenja 1 : X2 Basis Slack_M2

SIMPLEKS METODA – SIMPLEKS TABELESIMPLEKS METODA – SIMPLEKS TABELE

z*z*

Optimalno rešenjeOptimalno rešenje

30/82

C B X0

c1 c2 … cn cn+1=0 cn+1=0 … cn+m=0

x1 x2 … xn x n+1 x n+2 … xn+m

cn+1=0 X n+1 b1 a11 a12 … a1n 1 0 … 0

cn+1=0 X n+2 b2 a21 a22 … a2n 0 1 … 0

… … … … … … … … … … …

cn+m=0 X n+m b2 am1 am2 … amn 0 0 … 0

Fj-cj 0 ±c1 ±c2 … ±cn 0 0 … 0

SIMPLEKS METODA – SIMPLEKS TABELESIMPLEKS METODA – SIMPLEKS TABELE

- pivot stupac = max

pivot red (najmanji pozitivan količnik elemenata baze sa koeficijentima pivot

stupca)

=1 pivot element

pivot red za sve j

ostali elementi u tabeli

31/82

Vektor A0

K R

cj

Cs

Bazično rješenje Strukturne varijable Dopunske varijable Artificijalne varijable

Var Kol

zj – cj

dj

Дуалност у линеарном програмирању

Дуал симетричног облика ЛП

32/82

Моделу се придружује следећи симетрични облик ЛП, тзв. дуални проблем или дуал:

33/82

Кореспонденција у прималу и дуалу:

Примал Дуал

максимизација ↔ минимизација

број променљивих ↔ број ограничења

број ограничења ↔ број променљивих

матрица ограничења A ↔ матрица ограничења AT

коефицијент у функцији циља ↔ слободни члан ограничења

слободни члан ограничења ↔ коефицијент у функцији циља

ограничење типа ≤ ↔ ограничење типа ≥

34/82

35/82

Свођење проблема на симетрични облик

• Ако неки проблем ЛП није задат у симетричном облику он се може следећим трансформацијама свести на еквивалентни проблем облика па затим дефинисати његов дуал:

• (Т1) Проблем минимизације функције F(x) своди се на максимизацију функције −F(x);

• (Т2) Ограничење типа ≥ се, множењем обе његове стране са –1, своди на ограничење типа ≤;

36/82

37/82

38/82

39/82

40/82

DUALNI MODEL DUALNI MODEL LINEARNOG PROGRAMIRANJALINEARNOG PROGRAMIRANJA

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max

M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3 480

M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 600

M3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180

x1, x2, x3 0

y1

y2

y3

Primarni model LPPrimarni model LP

v = 480y1 + 600y2 + 180y3 min

A ... 3y1 + 2y2 + 1y3 45

B ... 2y1 + 4y2 + 1y3 60

C ... 1y1 + 3y2 + 1,5y3 50

y1, y2, y3 0

Dualni model LPDualni model LP

x1

x2

x3

Dualne Dualne promenljivepromenljive

Primarne Primarne promenljivepromenljive

Du

aln

i mo

de

l od

du

aln

og

mo

del

aD

ua

lni m

od

el o

d d

ua

lno

g m

od

ela

jes

te

jes

te

Pri

ma

rni m

od

el.

Pri

ma

rni m

od

el.

M1 M2 M3M1 M2 M3

A B CA B C

Va

ži :

ma

x z

= m

in v

Va

ži :

ma

x z

= m

in v

41/82

v = 480y1 + 600y2 + 180y3 min

A ... 3y1 + 2y2 + 1y3 45

B ... 2y1 + 4y2 + 1y3 60

C ... 1y1 + 3y2 + 1,5y3 50

y1, y2, y3 0


z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max

M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3 480

M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 600

M3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180

x1, x2, x3 0

Primarni model LPPrimarni model LP Normal Model FormNormal Model Form

Dual Model FormDual Model Form

WinQSB : Linear and Integer Programming

Nazivi za promenljive : X1, X2, X3za ograničenja : M1, M2, M3

Nazivi za Nazivi za promenljive : M1, promenljive : M1, M2, M3M2, M3za ograničenja : za ograničenja : X1, X2, X3X1, X2, X3

42/82

Primer B.Primer B.

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max

M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3 480

M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 600

M3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180

x1, x2, x3 0

y1

y2

y3


v = 480y1 + 600y2 + 180y3 min

A ... 3y1 + 2y2 + 1y3 45

B ... 2y1 + 4y2 + 1y3 60

C ... 1y1 + 3y2 + 1,5y3 50

y1, y2, y3 0


x1

x2

x3



Du

aln

i mo

de

l od

du

aln

og

mo

del

aD

ua

lni m

od

el o

d d

ua

lno

g m

od

ela

jes

te

jes

te

Pri

ma

rni m

od

el.

Pri

ma

rni m

od

el.

M1 M2 M3M1 M2 M3

A B CA B C

Va

ži :

ma

x z

= m

in v

Va

ži :

ma

x z

= m

in v

43/82

1) Max z(x) – funkcija cilja za Primar neka znaci “” za sva ograničenja za mešovita ograničenja, važe proširena pravila

2) Svakom ograničenju Primara pridružuje se promenljiva Y za Dual

3) Slobodni članovi Primara = Koeficijenti funkcije cilja Duala4) Koeficijenti funkcije cilja Primara = Slobodni članovi Duala5) Tehnološka matrica leve strane ograničenja Primara

transponuje se za model Duala (redovi postaju kolone i obrnuto)

6) Min v(y) – funkcija cilja za Dual znaci “” za ograničenja, ako znaci “” za sva ograničenja

Primara

PRAVILA za PREVOĐENJE PRIMARA u DUALPRAVILA za PREVOĐENJE PRIMARA u DUAL

7) Sve jedno je koji se model rešava Iz rešenja Duala može da se odredi rešenje Primara, i obrnuto Max z(x) = Min v(y)

PRAVILA ZA REŠENJAPRAVILA ZA REŠENJA

44/82

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max

M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3 480

M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 600

M3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180

x1, x2, x3 0

y1

y2

y3


v = 480y1 + 600y2 + 180y3 min

A ... 3y1 + 2y2 + 1y3 45

B ... 2y1 + 4y2 + 1y3 60

C ... 1y1 + 3y2 + 1,5y3 50

y1, y2, y3 0


x1

x2

x3



Du

aln

i mo

de

l od

du

aln

og

mo

del

aD

ua

lni m

od

el o

d d

ua

lno

g m

od

ela

jes

te

jes

te

Pri

ma

rni m

od

el.

Pri

ma

rni m

od

el.

M1 M2 M3M1 M2 M3

A B CA B C

Va

ži :

ma

x z

= m

in v

Va

ži :

ma

x z

= m

in v

Primer C.Primer C.

45/82

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max 3x1 + 2x2 + 1x3 480 2x1 + 4x2 + 3x3 600 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180 x3 20, najmanje 20 pari modela

C x1, x2, x3 0

PRIMER 5Donje granice za promenljiveLowerBound

Polazni podaci : Matrix Form

46/82

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max 3x1 + 2x2 + 1x3 480 2x1 + 4x2 + 3x3 600 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180 x3 20, najmanje 20 pari modela C

x1, x2, x3 0

Optimalna rešenja

1. Tumačenje za promenljive i cilj : Zamena 30 pari mod. A sa 20 pari mod. C umanuje dobit sa 9.900 na 9.550 za 350.

2. Tumačenje za ograničenja : Slobodno 130 čas. M1

PRIMER 4x1* = 60x2* = 120x3* = 0z* = 9.900

PRIMER 5x1* = 30x2* = 120x3* = 20z* = 9.550

Op

tim

aln

o r

eš

en

je :

Iz

ve

štaj

Co

mb

ined

Rep

ort

47/82

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max 3x1 + 2x2 + 1x3 480 2x1 + 4x2 + 3x3 600 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180 x2 75, najviše 75 pari modela B

x1, x2, x3 0

PRIMER 6Gornje granice za promenljiveUpperBound


48/82

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max 3x1 + 2x2 + 1x3 480 2x1 + 4x2 + 3x3 600 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180 x2 75, najviše 75 pari modela B

x1, x2, x3 0

PRIMER 4x1* = 60x2* = 120x3* = 0z* = 9.900

PRIMER 5x1* = 30x2* = 120x3* = 20z* = 9.550

Optimalna rešenja

PRIMER 6x1* = 105x2* = 75x3* = 0z* = 9.225

Op

tim

aln

o r

eš

en

je :

Iz

ve

štaj

Co

mb

ined

Rep

ort

Tumačenje: za promenljive, cilj, ograničenja

49/82

1. KONTINUALNO LINEARNO PROGRAMIRANJE

ZADACI ZA VEŽBANJE

ZADATAK 1.

50/82

ZADATAK 2.

Sadržaj

51/82

2.2.CELOBROJNOCELOBROJNO

LINEARNOLINEARNOPROGRAMIRANJEPROGRAMIRANJEAko sa Ako sa Variable Type = ContinuousVariable Type = Continuous promenljive nemaju celobrojne vrednostipromenljive nemaju celobrojne vrednostidefinisati : definisati : Variable Type = IntegerVariable Type = Integer

NAPOMENA: Celobrojno linearno programiranje spada u klasu modela “Nelinearno programiranje”

Sadržaj

52/82

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max

3,25x1 + 2x2 + 1x3 480

1,75x1 + 4x2 + 3x3 600

1x1 + 1x2 + 1,5x3 180 x1, x2, x3 0 i celi brojevi

PRIMER 7Celobrojno programiranje


Neka je nastupila promena normativa za model A (promenljiva x1) na M1 i M2

Optimalno rešenje : Izveštaj Solution Summary

Optimalno rešenje:x1* = 53,333; x2 = 126,667z* = 10.000

Nisu dopustive necelobrojne vrednosti za promenljive (broj pari cipela)

Ne zahteva se celobrojnost za promenljive

Uočiti promenu naziva za promenljive i ograničenja

53/82

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max

3,25x1 + 2x2 + 1x3 480

1,75x1 + 4x2 + 3x3 600

1x1 + 1x2 + 1,5x3 180 x1, x2, x3 0 i celi brojevi

Celobrojno programiranje


Optimalno rešenje : Izveštaj Solution Summary

Optimalno rešenje:x1* = 54x2* = 126z* = 9.9000

Zahteva se celobrojnost za promenljiveVariable Type = Integer

54/82

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max

3,25x1 + 2x2 + 1x3 480

1,75x1 + 4x2 + 3x3 600

1x1 + 1x2 + 1,5x3 180 x1, x2, x3 0

POREĐENJENecelobrojno programiranje Celobrojno programiranje

Optimalno rešenjesa zatevom “celobroj-nost za promenljive” :x1* = 54; x2* = 126z* = 9.9000

Optimalno rešenjebez zahteva “celobroj-nost za promenljive” :x1* = 53,333; x2* = 126,667z* = 10.000

Zahtev “celobrojnost za promenljive”, REZULTAT : LOŠIJA VREDNOST z*,REZULTAT : LOŠIJA VREDNOST z*,ako bez tog zahteva postoje necelobrojna rešenja za promenljive

Ne vrši se “uobičajeno zaokruživanje” necelih brojeva na cele brojeve

55/82

Optimalno rešenjeTumačenje ograničenja:Slobodni kapaciteti1 (čas) za M1 i 147 (čas) za M2100% korišćenje M3Zahtevano korišćenje 300 (jed.) Sirovine 1

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max

M1 3,25x1 + 2x2 + 1x3 480

M2 1,75x1 + 4x2 + 3x3 600

M3 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180

S1 2x1 + 1x2 + 3x3 = 300 x1, x2, x3 0 i celi brojevi

PRIMER 8Celobrojno programiranje

Neka se razmatra i Sirovina 1, sa normativima 2, 1, 3 (jedinica sirovine za par obuće) modele A, B, C i zahtevom da se utroši tačno 300 (jedinica sirovine)

Rešenje: Necelobrojne promenljive

Rešenje: Celobrojne promenljive

56/82

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max

M1 3,25x1 + 2x2 + 1x3 480

M2 1,75x1 + 4x2 + 3x3 600

M3 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180

S1 2x1 + 1x2 + 3x3 200 x1, x2, x3 0 i celi brojevi

PRIMER 9

Zahteva se trošenje/ angažovanje S1 najmanje 200 (jedinica sirovine)

Sirovina 1 koristi se L.H.S = 234 (jed.), Surplus = 34 više od zahteva R.H.S = 200

“Reduced Cost” – “Reducirani troškovi” za promenljive “at bound” – “na granici” koje imaju vrednosti :

> 0 = 0

“Shadow Price” – “Troškovi u senci” za ograničenja

57/82

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max

M1 ... 3,25x1 + 2x2 + 1x3 480

M2 ... 1,75x1 + 4x2 + 3x3 600

M3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180

S1 ... 2x1 + 1x2 + 3x3 200 x1, x2, x3 0 i celi brojevi

TUMAČENJE IZRAVNAVAJUĆIH PROMENLJIVIH

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 + 0Slack 1 + 0Slack 2 + 0Slack 3 – MSurlus 4

max

M1 3,25x1 + 2x2 + 1x3 + Slack 1 = 480

M2 1,75x1 + 4x2 + 3x3 + Slack 2 = 600

M3 1x1 + 1x2 + 1,5x3 + Slack 3 = 180

S1 2x1 + 1x2 + 3x3 = 200 + Surplus 4

x1, x2, x3 0 i celi brojevi

Slack 1, 2, 3; Surplus 4 0

• Slack – nedostizanje, podbačaj• Surplus – prekoračenje,

prebačaj

Prevođenje Prevođenje promenljive promenljive Surplus 4 na Surplus 4 na levu stranu levu stranu ograničenja Sograničenja S44

S1 2x1 + 1x2 + 3x3 – Surplus 4 = 200

M = Beskonačno velikiM = Beskonačno veliki pozitivni brojpozitivni broj

58/82

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max

M1 3,25x1 + 2x2 + 1x3 480

M2 1,75x1 + 4x2 + 3x3 600

M3 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180

S1 2x1 + 1x2 + 3x3 = K x1, x2, x3 0 i celi brojevi

PRIMER 10SAGLASNOST i NESAGLASNST OGRANIČENJA

K = 350 (jed.sirov.) ima rešenje K = 365 (jed.sirov.) nema rešenje

Softver daje : upozorenje da nema rešenje i preporuke za promenu desne

strane ograničenja

Za S1 razmatraju se varijante količina K sa zahtevom da se utroše u celosti.

59/82

2. CELOBROJNO LINEARNO PROGRAMIRANJE

ZADACI ZA VEŽBANJE

ZADATAK 3.

60/82

ZADATAK 4.

61/82

ZADATAK 5.

ZADATAK 6.

62/82

ZADATAK 7.

63/82

ZADATAK 8.

Sadržaj

64/82

3.3.0-1 (Binarno)0-1 (Binarno)LINEARNOLINEARNO

PROGRAMIRANJEPROGRAMIRANJEZahteva se da promenljive imaju vrednosti Zahteva se da promenljive imaju vrednosti 11 ili ili 00Definisati : Definisati : Variable Type = BinaryVariable Type = Binary

NAPOMENA: 0-1 linearno programiranje spada u klasu modela “Nelinearno programiranje”

Sadržaj

65/82

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max

M1 ...... 3,25x1 + 2x2 + 1x3 480

M2 ....... 1,75x1 + 4x2 + 3x3 600

M3 ...... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180

2 r.para x1 + x2 + x3 = 2

x1, x2, x3 = 1 ili 0

PRIMER 12

(0,1) PROGRAMIRANJENeka se zahteva da se izrade samo dva (2) različita para obuće iz skupa: Model A, B, C

Zahteva se binarnost za promenljive (vrednosti 1 ili 0)Variable Type = BynarySoftver postavlja UpperBound = 1

Po

lazn

i po

da

ci

Optimalno rešenje :Model A, x1* = 0Model B, x2* = 1Model C, x3* = 1Z* = 110Izraditi Model B i C

66/82

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max

M1 ...... 3,25x1 + 2x2 + 1x3 480

M2 ....... 1,75x1 + 4x2 + 3x3 600

M3 ...... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180

2 r.para 1x1 + 1x2 + 1x3 = 2

x1, x2, x3 = 1 ili 0 NAPOMENA :Isti zahtev opisuje i model celobrojnog programiranja (Variable Type = Integer)sa gornjim granicama za promenljive UpperBound = 1

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max

M1 ...... 3,25x1 + 2x2 + 1x3 480

M2 ....... 1,75x1 + 4x2 + 3x3 600

M3 ...... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180

2 r.para 1x1 + 1x2 + 1x3 = 2

x1 1, x2 1, x3 1

x1, x2, x3 0 i celi brojevi

67/82

Određeni preduzetnik razmatra mogućnost da izgradi po jedan industrijski objekat (A, B i C) različitih namena (metalni proizvodi, plastični proizvodi, kondiktorski proizvodi). Svaki objekat zahteva odgovarajuću površinu građevinskog zemljišta: 10, 8 i 120 (ara), respektivno za A, B i C. Cene izgradnje objekata iznose 150, 170 i 130 (novč. jedin.). Proizvodnju u objektima obavljaju specijalisti Radnici 1 (3, 2 i 4 za A, B, C) i Radnici 2 (10, 15 i 10). Odrediti u koje objekte da investira preduzetnik sa ciljem da ostvari maksimalnu ukupnu dobit polazeći sa procenom da eksploatacija objekata donosi dobit 47,50; 65,00 i 52,00 (novč.jedin./godišnje), ako preduzetnik raspolaže sa površinom 22 (ara) i finansijskim sredstvima 330 (novč.jedin.), a planira da uposli najviše 10 i 35 specijalista Radnici 1 i Radnici 2.

Model (0,1) programiranja Nepoznate veličine x1 = Investicije-A x2 = Investicije-B x3 = Investicije-C

x1, x2, x3 = 1 ili 0

PRIMER 13 : PROBLEM 2. Izbor investicija

Matematički model i polazni podaci za softver

Da li je složeno definisati podatke za softver bez matematičkog modela ? Nije !Da li je složeno definisati podatke za softver bez matematičkog modela ? Nije !

68/82

Potrebno angažovnje :Površina = 20 (ara) Finansije = 300,00 (n.j). Radnici 1 = 6Radnici 2 = 25

Polazni podaci

Optimalno rešenje

Maksimalna očekivana ukupna godišnja dobit 117,00 (novč.jedin.)

Investirati u objekat B i C

Slobodno

z = 47,5x1 + 65,0x2 + 52,0x3 max p.o.

Povr.... 10x1 + 8x2 + 12x3 22

Cene.... 150x1 + 170x2 + 130x3 330

Rad1.... 3x1 + 2x2 + 4x3 10

Rad2.... 10x1 + 15x2 + 10x3 35 x1, x2, x3 = 1 ili 0

Sadržaj

69/82

Sadržaj

3. (0-1) ili BINARNO LINEARNO PROGRAMIRANJE

ZADACI ZA VEŽBANJE

ZADATAK 9. Izbor investicija : PROBLEM 2 : Uvođenje novih investicija

Neka se u ranijem problemu izbora investicija (PRIMER 12, PROBLEM 2) razmatraju još dve nove investicije D i E sa očekivanim vrednostima za godišnje dobiti 70 i 50 (n.j.), cenama 160 i 140 (n.j.), potrebnim površina za izgradnju objekata 15 i 5 (ara) i zahtevima da se angžuje 5 i 2 specijalista Radnici 1, odnosno 7 i 14 specijalista Radnici 2, respektivno. Odrediti optimalno rešenje i uporediti sa rešenjem polaznog problema.

A B C D E Raspoloživo

Površina 10 8 12 15 5 22 (ara)Cene 150 170 130 160 140 330 (n.j.)Radnici-1 3 2 4 5 2 10 (radn.)Radnici-2 10 15 10 7 14 35 (radn.)

Dobit 47,5 65 52 70 50 (n.j.)max

SUGESTIJA: Uvek prikazati podatke sa podesnom tabelom !SUGESTIJA: Uvek prikazati podatke sa podesnom tabelom !

Da

li j

e sl

ože

no

D

a li

je

slo

žen

o

def

inis

ati

po

dat

ke

def

inis

ati

po

dat

ke

za s

oft

ver

bez

za

so

ftve

r b

ez

mat

emat

ičko

g

mat

emat

ičko

g

mo

del

a ?

N

ije

!m

od

ela

?

Nij

e !

70/82

4.4.MEŠOVITO MEŠOVITO

CELOBROJNOCELOBROJNOLINEARNOLINEARNO

PROGRAMIRANJEPROGRAMIRANJE Neke promenljive mogu da imaju necelobrojne - realne Neke promenljive mogu da imaju necelobrojne - realne

vrednostivrednosti Za skup promenljivih se zahtevaju celobrojne Za skup promenljivih se zahtevaju celobrojne

vrednosti – proizvoljne celobrojno vrednosti ilivrednosti – proizvoljne celobrojno vrednosti ili//i i ((iliili//ii)) binarne (0,1) vrednosti binarne (0,1) vrednosti

NAPOMENA: Mešovito celobrojno linearno programiranje spada u klasu modela “Nelinearno programiranje”

Sadržaj

71/82

PRIMER 14 : PROBLEM 3. Proizvodni program

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max p.o.M1.... 3,75x1 + 2x2 + 1x3 480M2.... 1,75x1 + 4x2 + 3x3 600M3.... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180S1.... 2x1 + 1x2 + 3x3 200B .... x2 10,5 x1, x2 0

x3 0 i ceo broj

U određenom proizvodnom pogonu moguća je izrada artikala A, B i C. Njihove količine (jedinice mere) izražavaju se necelobrojnim vrednostima za A i B i celim brojevima za C.

Polazni podaci daju se tabelom: gornje granice kapaciteta mašina i donja granica korišćenja sirovine u planskom periodu, dobit po jedinici mere artikala i granice plasmana artikala. Odrediti i obrazložiti optimalni proizvodni program maksimizacije dobiti.

Polazni podaciPolazni podaci

Ma

tem

ati

čki

mo

de

lM

ate

ma

tič

ki m

od

el

72/82

Optimalno rešenje : x1 = 133,50 x2 = 10,50 x3 = 24 z = 7.837,50Potrebno je analizirati optimalno rešenje i sa stanovišta ograničenja.

Da li je složeno definisati podatke za softver bez matemat. modela ?Da li je složeno definisati podatke za softver bez matemat. modela ?

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max p.o.M1.... 3,75x1 + 2x2 + 1x3 480M2.... 1,75x1 + 4x2 + 3x3 600M3.... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180S1.... 2x1 + 1x2 + 3x3 200B .... x2 10,5 x1, x2 0

x3 0 i ceo brojPolazni podaci za primenu softvera

73/82

Sadržaj

4. MEŠOVITO CELOBROJNO LINEARNO PROGRAMIRANJE

ZADACI ZA VEŽBANJE

ZADATAK 10. Proizvodni program : PROBLEM 3 : Novi proizvodi

Neka se za PROBLEM 3, PRIMER 14 zahteva da se ispita kakve promene će nastupiti u optimalnom proizvodnom programu ako se razmatraju i novi artikli D, E i F. Normativi utrošaka mašinskog vremena iznose 5, 0 i 2 za Mašina 1, odnosno 2, 3 i 5 za Mašina 2, dok se Sirovina 1 angažuje u količinama 1, 4 i 1, respektivno za jedinicu artikal D, E i F. Odrediti optimalno rešenje za maksimalnu ukupnu dobit i uporediti sa rešenjem polaznog problema, ako novi artikli ostvaruju dobit 30, 65 i 75 (n.j.) i zahteva se da samo F ima celobronju vrednost.

74/82

5.5.POST-OPTIMALNAPOST-OPTIMALNA

ANALIZAANALIZA Promena koeficijenata funkcije kriterijumaPromena koeficijenata funkcije kriterijuma Promena slobodnih članova – desne strane Promena slobodnih članova – desne strane

ograničenjaograničenja Promena koeficijenata tehnološke matrice – leve Promena koeficijenata tehnološke matrice – leve

strane ograničenjastrane ograničenja Istovremena promena više klasa parametara modela Istovremena promena više klasa parametara modela Izostavljanje promenljive, uvođenje nove promenljiveIzostavljanje promenljive, uvođenje nove promenljive Izstavljanje ograničenja, uvođenje novog ograničenjaIzstavljanje ograničenja, uvođenje novog ograničenja

Sadržaj

Parametarska analiza : Određivanje vrednosti funkcije kriterijuma na skupu dopustivih vrednosti razmatranih elemenata (koeficijenti cj, slobodni članovi bi)

75/82

PRIMER 15 : PROBLEM 1. Izrada obuće

PRIMER 1.(max) z = 45x1 + 60x2

p.o.

M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0Polazno opt. rešenjex1*=60, x2=120, z*=9.900

a) Dobit za model A uveća na 55 (n.j.);b) Dobit za model A uveća za još 5 (n.j.);c) Dobit za model A uveća na 65 i za model B na 65;d) Kapacitet mašine M1 poveća za 100 maš. časova;e) Kapcitet M2 i M3 poveća za po 25%:f) Kapacitet M2 koristi samo 70% usled iznenadnog kvara.

a)(max) z = 55x1 + 60x2

p.o.

M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0

Grafička metoda (korekcija polaznog grafika)

Primena softvera (korekcija polaznog modela)

Dva Dva postupka :postupka :

76/82

x2

x1

Grafičkimodelpolaznog problema i novog problema a)

B(60,120)

C(120,60)

D(150,0)

A(0,150)


a)(max) z = 55x1 + 60x2

p.o.

M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0

c1 x1 c2 x2 z maxA 55 0 60 150 9.000B 55 60 60 120 10.500C 55 120 60 60 10.200D 55 150 60 0 8.250

10.500Ostaje X, ostaje x*, ali veće z**=10.500

XX

77/82

PARAMETARSKA ANALIZAPARAMETARSKA ANALIZA

Zavisnost funkcije kriterijuma z(x) od vrednosti c1 koeficijenta za x1 (dobit za model A), nepoznata x1

Vrednost z*=9.900 za x* sa c1=45 iz polaznog modela

78/82

x2

x1

Grafičkimodelpolaznog problema i novog problema a)

C(120,60)

D(150,0)

A(0,150)

b)(max) z = 60x1 + 60x2

p.o.

M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0

c1 x1 c2 x2 z maxA 60 0 60 150 9.000B 60 60 60 120 10.800C 60 120 60 60 10.800D 60 150 60 0 9.000

10.800

XX

Višestruko optimalno rešenje x** na duži BC :x1*60,120; x2*=180-x1*

B(60,120)

79/82

Polazni podaci

VIŠESTRUKO OPTIMALNO REŠENJE SA SOFTVEROM

b)(max) z = 60x1 + 60x2

p.o.

M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0

Optimalno rešenje : x1*=120, x2*=60, z*=10.800

Alternativno optimalno rešenje : x1*=60, x2*=120, z*=10.800

Naredba : Results, Obtain Alternate Optimal Results, Obtain Alternate Optimal

80/82

Vektor perturbacije 1, 1


Zavisnost funkcije kriterijuma z(x) od vrednosti c1 i c2 (koeficijen. za x1 i x2), dobiti za model A i B.

Vrednost z*=9.900 za x* sa b1=480 iz polaznog modela

81/82

x2

x1

Grafičkimodel novog problema sa novim kapacitetom za M1

B(60,120)

C(120,60)A(0,150)

(90,105)Dopustivo(90,105)Dopustivo

d)(max) z = 45x1 + 60x2

p.o.

M1 3x1 + 2x2 580 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0

D(150,0)

3x1 + 2x2 580

c1 x1 c2 x2 z maxA 45 0 60 150 9.000B 45 60 60 120 9.900E 45 180 60 0 8.100

9.900

E(180,0)

Menja se X, ali ostaje x*, z*

XX

82/82

Zavisnost funkcije kriterijuma od vrednosti b1 kapac. za M1



83/82

x2

x1

Grafičkimodel za polazni problem, sa ranijim kapacitetima za M2 i M3

B(60,120)

C(120,60)A(0,150)


e)(max) z = 45x1 + 60x2

p.o.

M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 1,25 M3 1x1 + 1x2 180 1,25 x1, x2 0

D(150,0)

SUGESTIJA : Konstruisati prave za M1 i M2, odrediti X i ispitati funkciju cilja z(x) u tačkama u temenima oblasti X ili primeniti softver.

84/82

d)(max) z = 45x1 + 60x2

p.o.

M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 1,25 M3 1x1 + 1x2 180 1,25 x1, x2 0

Polazno opt. rešenje : x1*=60, x2=120, z*=9.900Veći kapaciteti za 25% kod M1 i M2 daju znatno bolje rešenje : x1*=52,50; x2=161,25; z*=12.037,50

Odrediti celobrona rešenja za brojeve pari modela obuće A i B

Slobodni kapaciteti samo kod M3

Primena softveraPrimena softvera

85/82

Zavisnost funkcije kriterijuma od vrednosti b2 i b3

kapaciteta za M2 i M3.


Vrednost z*=9.900 za x* sa b2=600 i

b3=180 iz polaznog modela

Vektor perturbacije 0, 1, 1

86/82

x2

x1

B(60,120)

C(120,60)


f)(max) z = 45x1 + 60x2

p.o.

M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 0,70 x1, x2 0

D(150,0)

SUGESTIJA : Konstruisati prave za M1 i M2, odrediti X i ispitati funkciju cilja z(x) u tačkama u temenima oblasti X ili primeniti softver.

Grafičkimodel za polazni problem, sa ranijim kapacitetom za M3

A(0,150)

87/82

Polazno opt. rešenje : x1*=60, x2=120, z*=9.900Manji kapacitet za 70% kod M3 daje znatno lošije rešenje : x1*=0; x2=126;, z*=7.560

f)(max) z = 45x1 + 60x2

p.o.

M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 0,70 x1, x2 0

Slobodni kapaciteti kod M1 i M2

Izgraditi samo model B ili postaviti donju granicu za model A !

Primena softveraPrimena softvera

88/82

Zavisnost funkcije kriterijuma od vrednosti b3 kapaciteta za M3



89/82

PRIMER 16 : ZADATAK 3. Proizvodnja cigareta

90/82

PRIMER 17 : ZADATAK 1. Izrada konfekcije

91/82

5. POST-OPTIMALNA ANALIZA

ZADACI ZA VEŽBANJE

ZADATAK 11.

92/82

93/82

ZADATAKA 12.

94/82

KRAJ PREZENTACIJEKRAJ PREZENTACIJE

Linearno programiranje

Documents

ispitati funkciju

business kvantitativni

podbaaj surplus

combined report

nost za promenljive

m1 m2 m3

winqsb quantitave

ili primeniti