LINEARNE TRANSFORMACIJE. predavanje 17.1.2006. str. 1 ...zeljkat/p14.pdf · LINEARNE TRANSFORMACIJE. predavanje 17.1.2006. str. 1. FUNKCIJE, TRANSFORMACIJE SA Rn U Rm, OPERATORI NA

LINEARNE TRANSFORMACIJE. predavanje 17.1.2006. str. 1. FUNKCIJE, TRANSFORMACIJE SA nR U mR , OPERATORI NA nR Funkcija je pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje jedan i samo jedan element skupa f A B . Ako elementu a pridružuje element , onda se piše f b ( ) baf = i kaže se da je slika elementa ili vrijednost od u . Skup se zove domena od , a skup

b af a A f B kodomena od . Podskup od f B koji se

sastoji od vrijednosti od svih elemenata iz se zove područje vrijednosti od . f a A fNajčešći je slučaj kad su i A B skupovi realnih brojeva i tada se zove realna funkcija realne varijable. fČeste su i funkcije gdje je B skup realnih brojeva, a skup čine vektori iz A 2R , 3R ili općenito nR . formula primjer klasifikacija opis ( )xf ( ) 2xxf = realna funkcija realne

varijable funkcija sa R u R

( )yxf , ( ) 22, yxyxf += realna funkcija dviju realnih varijabli

funkcija sa 2R u R

( )zyxf ,, ( ) 222,, zyxzyxf ++= realna funkcija triju realnih varijabli

funkcija sa 3R u R

( )nxxxf ,,, 21 K ( ) 222

2121 ,,, nn xxxxxxf +++= LK realna funkcija

realnih varijabli n funkcija sa nR u R

Ako je domena funkcije skup f nR i kodomena skup mR (gdje i mogu biti jednaki brojevi), onda se zove preslikavanje ili transformacija sa

m nf nR u mR i označava se T . Gornji

primjeri su transformacije za koji je .

mn RR →:1=m

Ako je , onda se transformacija zove operator na nm = nR . Prva od funkcija iz tablice je operator na R . Primjer 1 Jednadžbe yxx +=′ xyy 3=′

22 yxz −=′ definiraju transformaciju T . Njena slika točke 32: RR → ( )yx, je ( ) ( )22,3,, yxxyyxyx −+=T . Npr. T . ■ ( ) ( 3,6,12,1 −−−=− ) LINEARNE TRANSFORMACIJE mn RRL →: Linearna transformacija je funkcija koja svakom mn RRL →: x iz nR pridružuje jedinstven ( )xL iz mR tako da vrijedi 1. za sve ( ) ( ) (yLxLyxL +=+ ) x i iz y nR , 2. za svaki ( ) (ucLcuL = ) x iz nR i svaki broj c . Ako je , onda se linearna transformacija zove linearni operator na nm = nR . Transformacija se zove nelinearna ako nije linearna transformacija. Transformacija je linearna ako i samo ako postoji jedinstvena matrica tipa mn RRL →: A nm× tako da je

( ) AxxL = za svaki x iz nR .

dokaz: Ako je transformacija definirana s mn RRL →: ( ) AxxL = za svaki x iz nR , onda vrijedi ( ) ( ) ( ) ( )yLxLAyAxyxAyxL +=+=+=+ za sve x i iz y nR . i za svaki ( ) ( ) ( ) (ucLAuccuAcuL === ) x iz nR i svaki broj c što znači da je transformacija linearna. L

LINEARNE TRANSFORMACIJE. predavanje 17.1.2006. str. 2.

I obratno. Neka je linearna transformacija. Bilo koji vektor iz L

=

nc

cc

xM2

1

nR se može zapisati u

standardnoj bazi na jedinstven način kao ne,,2 Kee ,1 nnecex cec +++= K2211 i vrijedi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnnn eLceLceLcecLecLecLxL +++=+++= KK 22112211 (1).

( )Neka je matrica tipa m kojoj je A n× −j stupac jeL . tj. ( ) ( ) ( )[ ]neLeLeLA L21= (2). Kako je umnožak jednak linearnoj kombinaciji vektora stupaca od s koeficijentima izAx A x , što je upravo desna strana od (1), onda se jednadžba (1) može zapisati ( ) AxxL = i to vrijedi za svaki x iz nR . ■ Matrica se zove standardna matrica linearne transformacije ; ( ) ( ) ( )[ neLeLeLA L21= ] LPonekad se standardna matrica linearne transformacije označava s . L LALinearna transformacija se naziva i matrična transformacija; '' je množenje matricom '' Stoga se koristi i oznaka .

mn RRL →:AL

L A

U formuli se podrazumijeva da je ( ) AxxL = x iz nR vektor stupac. Geometrijski linearni operator transformira svaku točku (svaki vektor) iz nn RRL →: nR u neku novu točku (novi vektor) u nR ovisno tome da li se elementi iz nR interpretiraju kao točke (uređene −n torke) ili kao vektori. Npr. za u ravnini 2=n

Primjer 2 Jednadžbama 43211 532 xxxxx −+−=′ 43212 24 xxxxx +−+=′

3213 76 xxxx +−=′

je definirana linearna transformacija i može se zapisati matrično 34: RRL →

−−

−−=

′′′

4

3

2

1

3

2

1

071611245132

xxxx

xxx

pa je standardna matrica za jednaka . L

−−

−−=

071611245132

A

Slika točke ( se može naći iz jednadžbi ili množenjem matricom . ))

4321 ,,, xxxx ANpr. za ( iz jednadžbi se nađe 2,3,0,1 − ( ) ( )27,1,152,3,0,1 −=−L

ili matrično . ■

−=

−

−−

−−=

′′′

271

15

2301

071611245132

3

2

1

xxx

LINEARNE TRANSFORMACIJE. predavanje 17.1.2006. str. 3.

]

Primjer 3 Transformacija iz primjera 1 je nelinearna. Transformacija se ne može se zapisati u obliku T . Druga i treća jednadžba kojim je zadana nisu linearne. ■

L( ) Axx =

Primjer 4 Ako je linearni operator definiran s , nađite njegovu

standardnu matricu i provjerite da vrijedi

33: RRL →

( ) ( )[ 32 eLeL

+−+

=

zxzyyx

zyx

L4

( )1eLA = ( ) AxxL = .

RJEŠENJE: Matrica je reda 3 i njeni stupci su ,

i tj. .

A

+−+

110

( )

=

+−+

=

=

001

010001

001

1 LeL

−=

+−+

=41

0

401000

=

101011

A( )

=

=

=

111

001

010

2 LeL ( )

=

100

3 LeL

−41

0

Kako je vrijedi

+−+

=

−=

zyzyyx

zyx

Ax4410

110011

( ) AxxL = . ■

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3Primjer 5 Nacrtajte sliku kvadrata s vrhovima koja se dobije linearnom

transformacijom gdje je je .

( ) ( ) ( ) ( 1,1,1,1,1,1,1,1 −−−−

( )xL =

)

Ax

=

3003

A

RJEŠENJE: Nađemo slike svih vrhova kvadrata

−−

=

−−

=

−−

33

11

3003

11

A ,

−

=

−

=

− 3

31

13003

11

A ,

=

=

33

11

3003

11

A ,

−=

−

=

−33

11

3003

11

A .

Slika je kvadrat s vrhovima ( ) ( ) ( ) ( )3,3,3,3,3,3,3,3 −−−− . ■ Primjer 6 Nacrtajte sliku kvadrata s vrhovima

koja se dobije linearnom

transformacijom gdje je je .

( ) ( ) ( ) ( 1,1,1,1,1,1,1,1 −−−−

( )xL =

)

Ax

=

2003

A

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

RJEŠENJE: Nađemo slike svih vrhova kvadrata

−−

=

−−

=

−−

23

11

2003

11

A ,

−

=

−

=

− 2

31

12003

11

A ,

=

=

23

11

2003

11

A ,

LINEARNE TRANSFORMACIJE. predavanje 17.1.2006. str. 4.

−=

−

=

−23

11

2003

11

A .

Slika je kvadrat s vrhovima ( ) ( ) ( ) ( )2,3,2,3,2,3,2,3 −−−− . Svojstvene vrijednosti dijagonalne matrice su A 31 =λ i 22 =λ . Pripadni svojstveni vektori su

i dva su istaknuta smjera (pravci

=

01

1x

=

10

2x 0=y i 0=x se preslikavaju u sebe).

Na osi transformacija se ponaša kao množenje s 3, a na −= xy K0 −= yx K0 osi transformacija se ponaša kao množenje s 2.■

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3Primjer 7 Nacrtajte sliku kvadrata s vrhovima

koja se dobije transformacijom

gdje je je .

( ) ( ) ( ) ( 1,1,1,1,1,1,1,1 −−−−

( ) AxxT = =A

)

−

−12

21

RJEŠENJE: Nađemo slike svih vrhova kvadrata

−−

=

−−

−

−=

−−

11

11

1221

11

A ,

−=

−

−

−=

− 3

31

112

211

1A ,

=

−

−=

11

11

1221

11

A ,

−

=

−

−

−=

−3

311

1221

11

A

i nacrtamo. Slika kvadrata je paralelogram s vrhovima ( ) ( ) ( ) ( )3,3,1,1,3,3,1,1 −−−− (redoslijed!) Svojstvene vrijednosti matrice su A 11 =λ i 32 −=λ .

Pripadni svojstveni vektori su i =x (okomiti su, jer je matrica simetrična!) pa su to

istaknuti smjerovi (na pravcima

=

11

1x

−11

2

xy = i xy −= ). ■

linearne transformacije i množenje matrica Ako su i linearne transformacije, onda je kompozicija od i kn

A RRL →: mkB RRL →: AL BL

transformacija definirana s mn RR →:AB LL o

( ) ( ) ( )( )xLLxLL ABAB = o za svaki x iz nR . Transformacija je linearna, jer je AB LL o ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )xBAAxBAxLxLLxLL BABAB ==== o pa je množenje matricom AB LL o BA . Dakle,

BAAB LLL =o . Množenje standardnih matrica linearnih transformacija odgovara kompoziciji linearnih transformacija. Pri tome je važan redoslijed komponiranja. Množenje matrica nije komutativno!

Primjer 8 Da li je kompozicija linearnih transformacija i komutativna? ( ) xxL

=

0110

1 ( ) xxL

=

1000

2

LINEARNE TRANSFORMACIJE. predavanje 17.1.2006. str. 5. RJEŠENJE: Izračunamo

( ) ( ) xxxLL

=

=

0100

0110

1000

12 o

( ) ( ) xxxLL

=

=

0010

1000

0110

21 o

i vidimo da je 2112 LLLL oo ≠ - kompozicija ovih transformacija nije komutativna. ■

linearne transformacije i regularne matrice Koja je veza regularnih matrica i njima definiranih linearnih transaformacija? Linearna transformacija je injekcija ako različite točke(vektore) iz mn RRL →: nR preslikava u različite točke(vektore) iz mR . Teorem Ako je matrica reda i množenje matricom , onda su ekvivalentne sljedeće tvrdnje A n nn

A RRL →: A1. matrica A je regularna, 2. područje vrijednosti od je AL

nR , 3. je injekcija. AL Ako je matrica linearnog operatora regularna, onda je linearni

operator – inverz od :

A nnA RRL →: nn

ARRL →− :1

AL ( ) 11

−=−

AA LL .

Vrijedi ( )( ) ( )( ) xIxxAAxLLxLLAAAA ==== −−−

111 o

− ( )( ) ( )( ) xIxAxAxLLxLL AAAA==== −−

111 o

−

tj. i IAAAA LLLL == −11

o IAAAALLLL == −− 11 o .

Primjer 9 Pokažite da je linearni operator injekcija i nađite njegov inverz. ( ) xxL

=

4312

RJEŠENJE: Standardna matrica transformacije je .

=

4312

A

A je regularna, jer je pa iz toga po gornjem teoremu slijedi da je linearni operator

injekcija. Izračunamo

0538det ≠=−=A

−

−52535154

=

−

−=−

2314

511A . Onda je ( ) xxL

−

−=−

525351541 ■

linearne transformacije i ortogonalne matrice Koje je geometrijsko značenje ortogonalnih matrica? Neka je ortogonalna matrica (vrijedi !) i linearna transformacija definirana s A n

T IAA = nn RRL →:( ) AxxL = za svaki x iz nR .

Za vektore x i iz y nR izračunajmo

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) yxyIxyAAxyAAxAyAxAyAxyLxL nTTTT ⋅=⋅=⋅===⋅=⋅

što znači da čuva skalarni umnožak dvaju vektora. LDuljina vektora u nR se može izraziti preko skalarnog umnoška: xxx ⋅= pa to za posljedicu ima da

čuva i duljinu vektora tj. L xLx = za svaki x iz nR .

Kako za kut ϕ između dva vektora vrijedi yxyx

⋅

=ϕcos , onda čuva i kut između dva vektora u L nR

tj. ( ) ( )yxLyLx ,, ∠=∠ za sve vektore x i iz y nR .

LINEARNE TRANSFORMACIJE. predavanje 17.1.2006. str. 6. Linearna transformacija sa sa svojstvom nn RRL →:

( ) ( ) yxyLxL ⋅=⋅ za sve vektore x i iz y nR se zove izometrija. Izometrije čuvaju duljinu vektora i kut između dva vektora u nR . Može se pokazati da vrijedi i obrat gornje tvrdnje tj. ako je linearna transformacija izometrija, onda je njena standardna matrica ortogonalna. Stoga vrijedi.

nn RRL →:

Linearna transformacija je izometrija ako i samo ako je njena standardna matrica nn RRL →: Aortogonalna.

PRIMJERI TRANSFORMACIJA Neke od transformacija sa 2R u 2R , sa 3R u 3R i sa 3R u 2R imaju važna geometrijska značenja. Osnovni elementi kompjutorske grafike su translacija, rotacija i simetrija. U geodeziji su osnovne transformacije translacija, rotacija i promjena mjerila. Transformacije sa 2R u 2R se zovu operatori u ravnini, a transformacije sa 3R u 3R se zovu operatori u prostoru. Slijedi pregled glavnih linearnih operatora u ravnini i u prostoru. 1. operatori simetrija (zrcaljenja) Operatori simetrije ravnine s obzirom na pravac su npr. operator geometrijsko značenje jednadžbe matrica operatora simetrija ravnine s obzirom na −x os

xx =′ yy −=′

−

=10

01A

simetrija ravnine s obzirom na os −y

xx −=′ yy =′

−=

1001

A

simetrija ravnine s obzirom na pravac xy =

yx =′ xy =′

=

0110

A

LINEARNE TRANSFORMACIJE. predavanje 17.1.2006. str. 7. Operatori simetrije prostora s obzirom na ravninu su npr. operator geometrijsko značenje jednadžbe matrica operatora simetrija prostora s obzirom na −xy ravninu

xx =′ yy =′ zz −=′

−=

100010001

A

simetrija prostora s obzirom na −xz ravninu

xx =′ yy −=′ zz =′

−=

100010001

A

simetrija prostora s obzirom na ravninu −yz

xx −=′ yy =′ zz =′

−=

100010001

A

2. operatori rotacija (vrtnji oko točke ili oko polupravca) Operator rotacije u ravnini oko ishodišta u za fiksni kut θ u pozitivnom smjeru (tj. smjeru suprotnom od kazaljke na satu) preslikava točku ( )yx, u ( )yx ′′, . Pomoću trigonometrijskih funkcija može se zapisati

φcosrx = φsinry = i

( )φθ +=′ cosrx tj. φθφθ sinsincoscos rrx −=′ ( )φθ +=′ sinry tj. φθφθ coscoscossin rrx −=′

Uvrštavanje gornjih formula daje θθ sincos yxx −=′ θθ cossin yxy +=′ .

Ove formule su linearne pa operatoru rotacije oko ishodišta za kut θ odgovara standardna matrica

.

−=

θθθθ

cossinsincos

A

LINEARNE TRANSFORMACIJE. predavanje 17.1.2006. str. 8. operator geometrijsko značenje jednadžbe matrica operatora rotacija oko ishodišta za kut θ

θθ sincos yxx −=′θθ cossin yxy +=′

−=

θθθθ

cossinsincos

A

U prostoru je rotacija zadana s osi rotacije (najčešće poluprvac s početkom u ishodištu) i kutom rotacije θ . Pozitivan kut je definiran pravilom desne ruke oko osi (tj. u smjeru suprotnom od kazaljke na satu). Ovo su najčešće korišteni operatori rotacija u 3R operator geometrijsko

značenje jednadžbe matrica operatora

rotacija oko pozitivne −x osi za kut θ

xx =′

θθ sincos zyy −=′θθ cossin zyz +=′

−=

θθθθ

cossin0sincos0001

A

rotacija oko pozitivne osi za kut

−yθ

θθ sincos zxx +=′

yy =′ θθ cossin zxz +−=′

−=

θθ

θθ

cos0sin010

sin0cosA

rotacija oko pozitivne osi za kut

−zθ

θθ sincos yxx −=′θθ cossin yxy +=′

zz =′

−=

1000cossin0sincos

θθθθ

A

3. operatori ortogonalnih projekcija Operator ortogonalne projekcije preslikava svaki vektor u njegovu ortogonalnu projekciju na pravac kroz ishodište ili na ravninu kroz ishodište. Evo osnovnih operatora projekcije u 2R i u 3R operator geometrijsko

značenje jednadžbe matrica operatora

ortogonalna projekcija na −x os

xx =′ 0=′y

=

0001

A

ortogonalna projekcija na

os −y

0=′x yy =′

=

1000

A

LINEARNE TRANSFORMACIJE. predavanje 17.1.2006. str. 9. operator geometrijsko

značenje jednadžbe matrica operatora

ortogonalna projekcija na

−xy ravninu

xx =′ yy =′ 0=′z

=

000010001

A

ortogonalna projekcija na

−xz ravninu θ

xx =′ 0=′y zz =′

=

100000001

A

ortogonalna projekcija na

ravninu −yz

0=′x yy =′ zz =′

=

100010000

A

4. operatori kontrakcija i dilatacija operator geometrijsko

značenje jednadžbe matrica operatora

kontrakcija ravnine za faktor ( 0 )

k≤ 1≤ k

kxx =′ kyy =′

dilatacija ravnine za faktor (1 )

kk≤

kxx =′ kyy =′

=

kk

A0

0

operator geometrijsko

značenje jednadžbe matrica operatora

kontrakcija prostora za faktor ( 0 )

k≤ 1≤ k

kxx =′ kyy =′ kzz =′

dilatacija prostora za faktor (1 )

kk≤

kxx =′ kyy =′ kzz =′

=

kk

kA

000000

Simetrija, projekcija, rotacija, dilatacija i kontrakcija su linearni operatori.

LINEARNE TRANSFORMACIJE. predavanje 17.1.2006. str. 10. 5. operator translacija (paralelnih pomaka) Translacija ravnine ili prostora za fiksni vektor je preslikavanje koje svaku točku (vektor) pomakne za vektor .

tt

Translacija u ravnini za vektor t je definirana s ,

=

y

x

tt

+

=

′′

y

x

tt

yx

yx

a translacija u prostoru za vektor je definirana s

=

z

y

x

ttt

t

+

=

′′′

z

y

x

ttt

zyx

zyx

- odgovara zbrajanju dvaju vektora! Translacija za vektor nije linearna transformacija. 0≠t

Primjer 10 Zapišite u matričnom obliku a) rotaciju za b) rotaciju za 180 c) rotaciju za d) rotaciju za kut °90 ° °60 θ− RJEŠENJE:

a)

−=

−=

°°°−°

=

′′

xy

yx

yx

yx

0110

90cos90sin90sin90cos

b)

−=

−

−=

°°°−°

=

′′

yx

yx

yx

yx

1001

180cos180sin180sin180cos

c)

+

−=

−=

°°°−°

=

′′

yx

yx

yx

yx

yx

21

23

23

21

21232321

60cos60sin60sin60cos

d) ( ) ( )( ) ( )

−

=

−−−−−

=

′′

yx

yx

yx

θθθθ

θθθθ

cossinsincos

cossinsincos

■

Primjer 11 Neka je linearni operatori rotacije u ravnini za kut L θ . Odredite njegov inverz. Koja je njegova geometrijska interpretacija? RJEŠENJE: Standardna matrica koja pripada linearnom operatoru rotacije u ravnini za kut θ je

. Budući da je

−θθθθ

cossinsincos

01sincoscossinsincos 22 ≠=+=

−θθ

θθθθ

, inverzni operator postoji i

njegova standardna matrica je

−

=

− θθ

θθθθθθ

cossinsincos

cossinsincos

11

.

Ona odgovara rotaciji ravnine oko ishodišta za kut θ− (vidi prošli primjer d)!). ■ Primjer 12 Neka je linearni operatori rotacije ravnine za kut 1L 1θ i linearni operatori rotacije ravnine za kut

2L

2θ . Provjerite da je njihova kompozicija komutativna i jednaka linearnom operatoru rotacije za kut 21 θθ + . RJEŠENJE: Slijedi množenjem pripadnih standardnih matrica rotacija i primjenom adicijskog teorema. ■ Primjer 13 Pokažite da su rotacije izometrije.

LINEARNE TRANSFORMACIJE. predavanje 17.1.2006. str. 11. AFINE TRANSFORMACIJE T nn RR →:Važnu klasu transformacija čine afine transformacije. Neka je kvadratna matrica reda i b fiksni vektor iz A n nR . Transformacija T nn RR →:definirana s

( ) bAxxT += za svaki x iz nR se zove afina transformacija. Ako je b , onda je afina transformacija nelinearna. 0≠Translacija za vektor je afina transformacija za 0≠b IA = . Afine transformacije uključuju translaciju i sve prije nabrojene linearne operatore ravnine i prostora. Ako je T linearna transformacije definirana s nn RR →:1 ( ) AxxT =1 i T translacija definirana s T , onda je

nn RR →:2

( )x =2 bx +( ) ( ) ( )( ) ( ) bAxAxTxTTxTT +=== 21212 o za svaki x iz nR .

i ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) AbAxbxAbxTxTTxTT +=+=+== 12121 o za svaki x iz nR . Afina transformacija se može dobiti kao kompozicija linearne transformacije i translacije. Obje kompozicije T i T su afine transformacije, ali one nisu nužno jednake, jer je općenito . Treba paziti na redoslijed komponiranja!

12 To 21 TobAb ≠

Afina slika pravca je pravac (pokažite!). Može se pokazati i da je afina slika dužine je dužina. Afina transformacija čuva paralelnost. Općenito će afina slika pravokutnika biti paralelogram.

-2 2 4 6 8

2

4

6

8

10

12

14Primjer 14 Ako je afina transformacija T ( ) bAxx += zadana

matricom i , nađite u što ona

preslikava kvadrat s vrhovima

−=

1222

A

=

11

b

( ) ( ) ( ) ( )4,2,4,5,1,5,1,2 . RJEŠENJE: Nađemo slike svih vrhova kvadrata

=

+

−=

63

11

12

1222

12

A ,

=

+

−=

129

11

15

1222

15

A ,

=

+

−=

153

11

45

1222

45

A ,

−=

+

−=

93

11

42

1222

42

A

i nacrtamo. Slika kvadrata je paralelogram. ■

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3Primjer 15 Neka je crvena 'kuća' (poligon) nactana spajanjem točaka u ovom redoslijedu: Nađite afinu transformaciju

koja je preslikava u crvenu 'kuću' u zelenu 'kuću' sa slike. ( ) bAxxT +=

RJEŠENJE: Sa slike očitamo vrhove crvene 'kuće': ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,3,1,3,3,2,1,1,1,0,0,0 i u istom slijedu vrhove zelene 'kuće': ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3,5.1,5.2,5.1,5.1,2,5.2,5.2,5.2,3,3,3 −−−−−−−−−−−− .

Treba odrediti matricu i vektor b tražene afine

transformacije T . Uvrštavanjem točaka dobije se

=

43

21

xxxx

A

bAx +

=

6

5

xx

( )x =

LINEARNE TRANSFORMACIJE. predavanje 17.1.2006. str. 12. linearni sustav za nepoznanice . 654321 ,,,,, xxxxxx

=

5.0005.0

ANjegovo rješavanje daje (provjerite!) i b . ■

−−

=33

preslikavanje ili transformacija operator linearna transformacija nelinearna transformacija linearni operator standardna matrica linearne transformacije matrična transformacija kompozicija linearnih transformacija inverz linearne transformacije izometrija operator u ravnini operator u prostoru operator simetrije operator rotacije operator ortogonalne projekcije operator kontrakcije operator dilatacije operator translacije afina transformacija