5. Linearne transformacije (5.01) Linearne transformacije Neka su U i V vektorski prostori nad poljem F (za nas to je polje R ili C). • Linearna transformacija sa U u V je definisana kao linearna funkcija T koja preslikava U u V . Tj. T (x + y)= T (x)+ T (y) i T (αx)= αT (x) ili ekvivalentno T (αx + y)= αT (x)+ T (y) za sve x, y ∈U ,α ∈ F. • Linearni operator na U je definisana kao linearna transformacija sa U u sebe, tj., linearna funkcija koja preslikava U nazad u U . (5.02) Koordinate vektora Neka je B = {u 1 , u 2 , ..., u n } baza vektorskog prostora U , i neka je v ∈U . Koeficijente α i u razlaganju v = α 1 u 1 + α 2 u 2 + ... + α n u n se zovu koordinate od v u odnosu na bazu B , i od sad pa nadalje, [v] B ´ ce oznaˇ cavati kolona vektor [v] B = α 1 α 2 . . . α n . Oprez! Poredak je vaˇ zan. Ako je B 0 permutacija od B, tada je [v] B 0 odgovaraju´ ca permutacija od [v] B . (5.03) Prostor linearnih transformacija • Za svaki par vektorskih prostora U i V nad F, skup L(U , V ) svih linearnih transformacija sa U u V je vektorski prostor nad F. • Neka su B = {u 1 , u 2 , ..., u n } i B 0 = {v 1 , v 2 , ..., v n }, redom, baze za U i V i neka su B ji linearne transformacije sa U u V definisane sa B ji (u)= ξ j v i , gdje je (ξ 1 ,ξ 2 , ..., ξ n ) > =[u] B . To jest, izaberemo j tu koordinatu od u i prikaˇ cimo je na v i . . B L = {B ij } i=1,...,m j=1,...,n je baza za L(U , V ). . dim L(U , V ) = (dim U )(dim V ). (5.04) Matrica koordinata Neka su B = {u 1 , u 2 , ..., u n } i B 0 = {v 1 , v 2 , ..., v n }, redom, baze za U i V . Matrica koordinata od T ∈L(U , V ) u odnosu na par (B, B 0 ) je definisana kao m × n matrica [T ] BB 0 = | | | [T (u 1 )] B 0 [T (u 2 )] B 0 ... [T (u n )] B 0 | | | . Drugim rijeˇ cima, ako je T (u j )= α 1j v 1 + α 2j v 2 + ... + α mj v m , tada [T (u j )] B 0 = α 1j α 2j . . . α nj i [T ] BB 0 = α 11 α 12 ... α 1n α 21 α 22 ... α 2n . . . . . . . . . α m1 α m2 ... α mn . Kada je T linearni operator na U , i kada je samo jedna baza u igri, umjesto [T ] BB koristimo [T ] B da oznaˇ ci (kvadratnu) matricu koordinata od T u odnosu na B.