Kontrol Proses1. Linearisasi dan Penyimpangan
VariabelSalahsatukesulitanbesardarianalisarespondinamikadariprosesprosesindustriadalah
secara fakta bahwa mereka tidak linear sehingga mereka tidak
dapatdirepresentasikandenganpersamaanlinear. Sayangnya hanya
sistemlinear dapatdianalisa dengan dukungan penuh dengan instrumen
tranformasi Laplace,
kesulitanlainnyaadalahtidakadasatupunyangbagusteknikanalisadinamikuntuksebuahsistem
non linearPada seksi ini kita akan belajar teknik linearisasi,
dengan linearisasi kita dapatmendekatkan persamaan tidak linear
tersebut merepresentasikan sebuah prosesdenganpersamaanlinear
sehinggakemudiandapat dianalisadengantransformasiLaplace. sumsi
kita bahwa respon dari pendekatan linearisasi menunjukkan
respondari proses pada disekitar daerah titik operasi yang telah
dilinearisasi. !anipulasi daripersamaan persamaan yang
dilinearisasi yang difaselitasi penuh terhadappenyimpangan atau
"ariabel "ariabel perturbasiyang akan didefinisikan berikut ini.#.
Penyimpangan VariabelSebuahpenyimpangan"ariabel
didefinisikansebagai perbedaandiantaranilai darisebuah "ariabel
atau signal dan atau dengan nilai pada titik kerja$ X ( t )=x( t
)x..............................................................................%#&'()*imana$X(t
) adalah penympangan "ariabelx( t ) adalah sesuai dengan "ariabel
absolutx adalah nilai dari + pada titik kerja %operating point)
atau nilai dasar*alam kata lain,penyimpangan "ariabel %deviation
variable) adalah penyimpangandari sebuah "ariabel dari titik
kerjanya atau nilai dasarnya seperti yangditunjukkan gambar
#&(. dibawah ini, transformasi dari absolut
terhadappenyimpangannilai dari sebuah"ariabel
adalaheki"alendenganperubahandari"ariabel tersebut mulai dari titik
nol sepanjang sumbu +terhadap nilai dasar. ,ambar #&(
*efinition of de"iation "ariableSeperti -ilai *asar dari "ariabel
adalah sebuahkonstanta, turunan turunan daripenyimpangan"ariabel
yangselalusamasebandingdenganturunanturunandari"ariabel
"ariabelnya.dndtn=dnx(t )dtnuntuk n . 1,#.....dst
................................................................%#&'')Pengembangan
utama dari fakta penggunaan turunan penyimpangan "ariabel
bahwanilai dasar x yang biasanya nilai awal dari "ariabel. Sebagai
tambahan bahwa
titikkerjaadalahbiasanyapadakeadaansteadystate./nibermaknabahwakondisiawaldari
penyimpangan "ariabel dan semua turunannya adalah semuanya nol$+%0)
. x1%0) . 0juga dndtn ( 0)=0untuk n . 1,#..... dan
seterusnyaSehinggaketikapengambilantransformasi Laplacenyadari
beberapaturunandaripenyimpangan "ariabel lihat persamaan %#&2)
gunakan$L[dnX(t )dtn] . snX( s)
dimana X%s) adalah transformasi Laplace dari penyimpangan
"ariabel.Selanjutnya yang penting lainnya dalamkasus ini ketika
semua penyimpangan"ariabel yaitupenyimpangandari
kondisiawalsteadystateyaitubentukkonstantadihilangkan dari
persamaan difrensial yang dilinearkan. Kita akan demostrasikan
inisecara singkat.Perhatikan persamaan diffrensial orde satu
dibawah ini$dx(t )dt=f [ x(t )] +k
..........................................................................
.%#&'2)*imana f[ x(t )]adalah sebuah fungsi tidak linear
darixdan kadalah konstanta.3kspansi *eret 4aylor darif[ x(t
)]disekitar sebuah nilaixseperti yangditunjukkan berikut ini$f [ x(
t ) ]=f ( x) +dfdx ( x) [ x ( t ) x]+ 12! d2fdx2 ( x) [ x ( t )
x]2
x+13! d3fdx3 )[ x( t )x]3+...........................
...............%#&'5)Pendekatan linear adalah dikeluarkannya
dari persamaan semua suku suku persamaandarideret tersebut kecuali
suku pertama dan kedua$f [ x(t )]=f ( x)+dfdt (x)[ x( t
)x].....................................................%#&'6)atau,
substitusi kedefinisi dari penyimpangan "ariabel X(t ) dari
persamaan %#&'(). f [ x(t )]=f ( x)+ dfdx ( x) (t )
...................................................%#&'7)
/nterfretasi gambar dari pendekatan ini yang diberikan pada gambar
#&'. Pendekatanlinear adalah sebuah garis lurus melewati titik[
x, f (x)]dengan slopedf / dx ( x) . ,aris ini adalah definisi
tangen terhadap cur"a atau garis singgung cur"a pada
titikx.Perhatian bahwa perbedaan diantara pendekatan linear dan
fungsi sebenarnya adalahkecil disekitar titikkerjaxdansemakinbesar
semakinjauhdari titikkerjatersebut.*aerah %region) ketika
pendekatan linear cukup akurat menggambarkan fungsi linearadalah
sulit menilai. Semakin linear sebuah fungsi semakin kecil daearah
yangmelingkupinya pendekatan linear adalah akurat.Subtitusi
pendekatan linear pers %#&'7) terhadap pers %#&'2)
menghasilkan$dx(t )dt=f ( x) + dfd x ( x) X( t )
+k...........................................................%#&20)
8ika kondisi awal adalah x( 0)=x
dxdt ( 0)=0 X ( 0)=0 Kemudian 0 . f ( x) +dfdx ( x) ( 0) +k
tau
f ( x) +k=0Substitusi ke pers %#&'6) tersebut dX(t )dt=dfdx
( x) X ( t
)...............................................%#&21)9igure
#&' Linear appro+imaton is the tangent to the fungtion at
operating point/ni memperlihatkan bagaimana bentuk konstanta
dikeluarkan dari persamaanlinearisasi ketikanilai
dasaradalahkondisi awal steadystate. Perhatianbahwainimemungkinkan
menghilangkan atau mengabaikan semua dari langkah
langkahpertengahan dan secara langsung menuju dari pers%#&'2)
ke pers %#&21):erikut ini contoh contoh dari beberapa persamaan
fungsi non linear yang bersamadigunakan pemodelan pemodelan
proses.