02.06.2009 1 methodenlehre ll – Nichtlineare Zusammenh. & Partialkorr. • Nicht‐lineare Zusammenhänge • Lowess und Potenzleiter • Partialkorrelation Thomas Schäfer | SS 2009 1 methodenlehre ll – Nichtlineare Zusammenh. & Partialkorr. Was Sie schon wissen: • Zusammenhänge sind die Grundlage der Methodenlehre Lineare vs. nichtlineare Zusammenhänge • alle Unterschiedsfragestellungen lassen sich als Zusammenhangsfragestellungen ausdrücken • es geht immer um Varianzaufklärung • das ALM bildet die mathematische Grundlage für die Untersuchung von Zusammenhängen • aus dem ALM folgt direkt die (Multiple) Regression Thomas Schäfer | SS 2009 aus dem ALM folgt direkt die (Multiple) Regression • Voraussetzung: die Zusammenhänge müssen linear sein Problem: Was macht man bei nicht‐linearen Zusammenhängen? 2
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Lineare nichtlineare Zusammenhänge - tu-chemnitz.de · • hier: f = 0.5 Æ0.5 x 20 = 10 Æ10 Nachbarpunkte ... z.B. x 0,5, log x, x‐0,5, x‐1, x‐2 ... Thomas Schäfer | SS
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Wie sieht ein bivariaterZusammenhang tatsächlich aus?
LOWESS ‐ LOcally WEighted Scatterplot Smoother
Prinzip: Jedem Punkt wird eineneue Position zugewiesen, und zwar so, dass der Punkt sichbesser in das Muster seiner Nachbarpunkte einfügt. Das Ergebnis ist eine geglättete(smoothed) Linie, die den
• durch alle beteiligten Punkte wird eine Regressionsgerade gelegt, und zwar nicht nach
LOWESS
Regressionsgerade gelegt, und zwar nicht nach dem Prinzip der kleinsten Quadrate, sondern nach dem Prinzip der der gewichteten kleinsten Quadrate (weighted least squares ‐WLS)
• der Ausgangspunkt wird nun auf die Gerade geschoben und erhält so seine neue Position
Thomas Schäfer | SS 2009 11
der Ausgangspunkt erhält eine neue Position und liegt nun weiter oben
Kann die Gewichtungs‐funktion nicht symmetrisch zu beiden Seiten des Punktes aufgespannt werden, nimmt man auf der einen Seite entsprechend mehr Punkte hinzu (hier: die 9 Punkte links
hinunter: potenz < 1, z.B. x 0,5, log x, x‐0,5, x‐1, x‐2 ...
Thomas Schäfer | SS 2009 17
Graphische Darstellung der Potenzleiter. Für jedes der vier Kreissegmente zeigen die zwei dazugehörigen Pfeile an, in welche Richtung der Potenzleiter die X‐ und die Y‐Variablen verändert werden müssen, um eine lineare Beziehung zwischen beiden Variablen zu erreichen. So müsste beispielsweise für die Art der unter a) gezeigten Krümmung entweder die Potenz der Y‐Variable erhöht oder/und die der X‐Variable erniedrigt werden.
Zusammenhang zwischen Häufigkeit der Nennung eines Landes in der New York Times und der Einschätzung des eigenen Wissens über dieses Land („Knowledge rating“) – ursprünglicher Zusammenhang mit Regressionsgerade (r2 = 0,49)
• Korrelationen, die alle Alternativerklärungen ausschließen, finden wir nur bei Experimenten
b h ll ll k l
Partialkorrelation
• bei nicht‐experimentellen Designs mit intervallskalierter UV können Stör‐ bzw. Drittvariablen im nachhinein mit Hilfe der Partialkorrelation statistisch kontrolliert werden (als Alternative zur Kovarianzanalyse bei nominal skalierter UV)
• wenn nach Auspartialisieren der Drittvariable der Zusammenhang zwischen X und Y kleiner wird, dann kann er d h di D i i bl h i
Thomas Schäfer | SS 2009
durch die Drittvariable verursacht gewesen sein
• wenn nach Auspartialisieren der Zusammenhang nicht kleiner wird, ist die Drittvariable als Ursache ausgeschlossen
rXY.ZKorrelation zwischen den Variablen X und Y nachdem derKorrelation zwischen den Variablen X und Y, nachdem der lineare Einfluss der Variablen Z entfernt wurde
oder (äquivalent):
rrrrr
ryzxz
yzxzxyzxy 22.
11 −−
−=
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Korrelation zwischen den Residualwerten von X und Y, nachdem X und Y aus Z vorhergesagt wurden
Bei der Semipartialkorrelation wird x (der Prädiktor) bezüglich einer Drittvariablen z residualisiert und dieses Residuum mit y (dem Kriterium) korreliert
die Drittvariable wird also nur
Thomas Schäfer | SS 2009 33
die verbleibende Korrelation spiegelt den Varianzanteil in y wider, der von x zusätzlich zu z