Lina 2 Mitschrift TU Berlin ws08 Liesen

Lineare Algebra 2Vorlesungsmitschrift

PD Dr. Jörg LiesenTechnische Universität Berlin

WS 2008/09

LATEXed by Robert Rudow17. Februar 2009

Inhaltsverzeichnis

1 Linerformen und Bilinearformen 11.1 Linearformen und Dualräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Bilinearormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Euklidische und Unitäre Vektorräume 12.1 Grundlegende Definitionen und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Orthogonalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3 Adjungierte Endomorphismen 43.1 Links-,Rechtsadjungierte Abb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4 Eigenwerte von Endomorphismen 114.1 Grundlegende Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Diagonalisierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.3 Triangulierung und Satz von Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5 Polynome & Fundamentalsatz der Algebra 165.1 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.1.1 Division mit Rest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.1.2 Satz Ruffini; Paolo Ruffini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.1.3 Teiler, teilerfremd, irreduzibel, Vielfacheit einer Nullstelle . . . . . 185.1.4 (Lemma von Bezent) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.1.5 Euklidisches Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.1.6 Euklischer Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.2 Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.3 Verallgemeinerung des Satzes von Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

6 Invariante Unterräume und die Jordannormalform (JNF) 266.1 Zyklische Unterräume und Minimalpolynome . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6.1.1 zyklischer Zerlegungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.1.2 Algorythmus zur Berechnung der JNF . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6.2 Anwendung der JNF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.2.1 Ähnlickeit zur Transponierten und Faktorisierung in 2 sym. Matrizen 296.2.2 Systeme gewöhlicher Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . 296.2.3 Matrixfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

7 Spezielle Klassen von Endomorphismen 297.1 Normale Endomorpismen und Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

I

1 Linerformen und Bilinearformen

1.1 Linearformen und Dualräume

1.2 Bilinearormen

2 Euklidische und Unitäre Vektorräume

2.1 Grundlegende Definitionen und Eigenschaften

2.2 Normen

|| · || : V → R (V ein K-Vr, K = R oder K = C)

1) |||λv| = |λ|||v||

2) ||v|| ≥ 0, Gleichheit g.d.w. v = 0

3) ||v + w|| ≤ ||v|| + ||w||

In einigen der Beispiele war ||v|| = (< v, v >)12 für ein Skalarprodukt < ·, · > auf V. Wir wer-

den nunbeweisen, dass die Abb. v 7→ (< v, v >)12 stegts eine Norm aus dem euklidischen

(oder unitären) VR (V, < ·, · >) definiert. Zum Beweis benutzen wir die Cachy-Schwarz-Ungleichung.

Satz

Sei (V, < ·, · >) ein euklidischer oder untitärer VR, dann gilt

| < v,w > |2 ≤< v, v > · < w,w > ∀v,w ∈ V

BeweisTrivial für w=0 (< v, 0 >= 0∀v ∈ V) Sei nun w , 0. Sei λ = <v,w>

<w,w> , dann gilt:

0 ≤ < v − λw, v − λw >

= < v − λw

Satz sei (V, < ·, · >) ein euklidischer VR. Dann ist die Abbildung

|| · || : V → ||v|| := (< v, v >)12

eine Norm auf V.BeweisZu zeigen sind die drei Norm-Eigenschaften.

1) Es gilt (< v, v >)12 ≥ 0∀v ∈ V und (< v, v >)

12 = 0, g.d.w. v = 0, denn < ·, · > ist

pos.definit

1

2) Es gilt

||λv|| = (< λv, λv >)12

= (λ, λ < v, v >)12

= (|λ|2 < v, v >)12

= |λ|(< v, v >)12

= |λ|||v||,∀λ ∈ K(K = RoderK = C), v ∈ V

2.3 Orthogonalität

Motivation V = R2,1, v =

(v1v2

),w =

(w1,w2

)mit

||v||2 = ()

Sei V euklidischer/unitärer VR mit ONB {v1, . . . , vk}

v =

n∑i=1

< v, vi > vi

mit

||v|| = < v, v >12

=

n∑i=

|< v, vi >|2

12

≥ max1≤ i ≤n

| < v, vi > |

Für eine allgemeine Basis (nicht orthonormale) gibt es keine solche Begrenzung der Be-träge der Koordinaten.

Beispiel:

V = R2,1 mit Standardskalarprodukt< v,w >= vTw und euklidischer Norm ||v|| =< v, v >12

v1(10

);

v2(12

) ist eine Basis von V mit ε , 0. Es gilt

vT1 v2

||v1|| ||v2||=

(1 0

) ( 12

)1(1 + ε2)

12

≈ 1 für kleine Epsilon , 0

v =

(xy

)=

1ε

v2 +(x −

yε

)v1

⇒ die Koordinaten sind für kleines ε sehr groß, selbst wenn x, y „moderat“ sind.

2

weitere Bemerkungen zur QR-Zerlegung:

a ∈ GLn(K) (U = R oder C), dann gibt es

a) Q ∈ GLn(R) mit QTQ = In und R ∈ Gln(R) obere Dreiecksmatrix, mit A = QR

b) Q ∈ Gln(C) mit QHQ = In und R ∈ Gln(C)also Q ∈ Gln(R) mit QTQ = In heißt orthogonale MatrixQ ∈ Gln(C) mit QHQ = In heißt unitäre Matix

Hier gilt auch Q−1 = QT/H

Also gilt:

K = R: 1 − det(QTQ) = det(QT) · det(Q) = det(Q)2

also det(Q) ∈ {1,−1}

K = C:

1 = det(QHQ) = det(QH) · det(Q) = det(QT

) · det(Q)

= det(Q · det(Q)) = det(Q) · det(Q) = |det(Q)|2, also |det(Q)|= 1

Beispiel:

Q =1 00 i

Somit gilt für U = R ∨ C, dass

det(A) = det(QR) = det(Q)det(R)

|det(A)| = |det(R)|

DefinitionSei V ein euklidischer/unitärer VR und sei U ⊆ V ein UVR, dann heißt

U⊥ := {v ∈ V | < v,u >= 0 ∀ u ∈ U}

das orthogonale Element von U (in V).

Lemmamit der obigen Bezeichnung gilt, falls dim(V) < ∞, dass V = U u U⊥, d.h. jedes v ∈ V istvon der Form v = u + u⊥ mit eindeutig bestimmeten u ∈ U und u⊥ ∈ U⊥.

BeweisSei dim(U) = m (≤ n (U ⊆ V)) und sei {u1, . . . ,um} eine ONB von U. Wir ergänzen zu einerONB {u1, . . . ,um,um+1, . . . ,un} von V.Falls n = m ist nichts zu tun, denn dann gilt V = U, U⊥ = {0}.Dann gilt um+1, . . . ,un ⊆ Uperp. Somit gilt:

V = U + U⊥

3

Sei also w ∈ U ∩U⊥, dann gilt < w,w >= 0, also w = 0

⇒ V = U uU⊥

Betrachte die Dimensionsformeldim(U + U⊥)︸ ︷︷ ︸

u

= dim(U)︸ ︷︷ ︸m

+dim(U⊥) − dim(U ∩U⊥)︸ ︷︷ ︸0

= dim(U⊥) = n −m.

also ist {um+1, . . . ,un} eine orthogonale Basis und V = U uU⊥

< Ax, y > = y⊥Ax= xTAT y= < AT y, x >= < x,AT y > ∀x, y ∈ Rn, A ∈ Rn,n

Ziel: < f (x), y >=< x, h(y) >

3 Adjungierte Endomorphismen

3.1 Links-,Rechtsadjungierte Abb.

Satz (adjungierte Abb.)Seien V,W zwei K-VR mit dim(V) = dim(W) < ∞. Sei β : V×W → U eine nichtausgearteteBilinearform.

1) für jedes f ∈ L(V,V)∃! g ∈ L(W,W) mit

β( f (v),w) = β(v, g(w)) ∀v ∈ V, w ∈W

Die Abb. g nennen wir die Rechtsadjungierte von f .

2) für jedes h ∈ L(W,W) ∃! k ∈ L(W,W) mit

β(v, h(w)) = β(k(v),w) ∀v ∈ V, w ∈W

Die Abb. h nennen wir die Linksadjungierte von h.

BeweisErinnerung: Für β : V ×W → K ist γ2 ∈ L(W,V∗), w 7→ γ2(w) mit (γ2(w))(v) = β(v,w)

Wir zeigen nur 1)Sei V∗ der Dualraum von V, sei f ∗ : V → V∗ die zu f duale Abbildung.Nach Voraussetzung ist γ2 invertierbar, d.h. γ−1

2 ∈ L(V∗,W)Definiere nun

g := γ2−1 ◦ f ∗ ◦ γ2 ∈ L(W,W)

4

, dann gilt ∀ v ∈ V, w ∈W

β(v, g(w)) = β(v, (γ−12 ◦ f ∗ ◦ γ2)(w))

= γ2(γ−12 ◦ f adγ2)(w)(v)

( f ∗(h)=h◦ f )= ( f ast

◦ γ2)(w)(v)= γ2(w)( f (v))= β( f (v),w)

Nun noch zur Eindeutigkeit:Sei g ∈ L(W,W) mit β(v, g(w)) = β( f (v),w) ∀ v,w, also gilt

β(v, g(w)) = β(v, g(w))

, daherβ(v, (g − g)(w)) = 0

also muss gelten: g − g = 0⇒ g = gV,W dim(V) = dim(W) < ∞, β : V ×W → K, f ∈ L(V,V) h ∈ L(W,W)

∀ f : ∃! g ∈ L(W,W) mit β( f (v),w) = β(v, g(w))∀ h : ∃! k ∈ L(V,V) mit β(v, h(w)) = β(k(v),w)

Das Skalarprodukt < ·, · > auf einem C-VR V ist keine Bilinearform auf V. Allerdings gilt:

Sei V der VR bestehend aus den selben Elementen wie V, mit der gleichenAddition, aber mit der skalaren Multiplikation definiert durch

~ : C × V → V(λ, v) 7→ λ ~ v := λ · v (· entspricht der skalaren Multiplikation in V)

Ist also nun ein SP < cot, · > auf V, so ist eine nicht ausgeartete Bilinearform auf V × V,denn es gelten:

i) < λ1v1 + λ2v2,w >= λ1 < v1,w > +λ2 < v2,w > nach Definition von < ·, · >

ii) < v, µ1 ~ w1 + µ2 ~ w2 >De f~= < v, µ1 · w1 + µ2 · w2 >

Semilinearität von<·,·> auf V×V= µ1· < v,w1 > +µ2· < v,w2 >

iii) Nicht ausgeartet nach Definition des Skalarprodukts

LemmaSei (V,+, ·) ein C-VR und sei (V,+,~) wie oben deiniert, dann gilt:

f ∈ L(V,V)⇔ f ∈ L(V,V)

Beweis

5

„⇒“Sei f ∈ L(V,V), dann gilt ∀v1, v2 ∈ V, λ1, λ2 ∈ C:

f (λ1 ~ v1 + λ2 ~ v2) = f (λ1 · v1 + λ2 · v2)f∈L(V,V)

= λ1 · f (v1) + λ2 · f (v2)= λ1 ~ f (v1) + λ2 ~ f (v2)

also f ∈ L(V,V)

„⇐“Sei f ∈ L(V,V), dann gilt ∀v1, v2 ∈ V, λ1, λ2 ∈ C

f (λ1v1 + λ2v2) = f (λ1 ~ v1 + λ2 ~ v2)f∈ f (V,V)

= λ1 ~ f (v1) + λ2 ~ f (v2)= λ1v1 + λ2v2

also f ∈ L(V,V)

SatzSei V endlichdimensionaler euklidischer/unitärer VR mit Skalarprodukt < ·, · >. Danngibt es für jedes f ∈ L(V,V) eine eindeutige bestimmte adjungierte Abbildung:

f ad∈ L(V,V) mit < f (v),w >=< v, f ad(w) >

und < v, f (w) >=< f ad(v),w >

}für alle v,w ∈ V

Beweiseuklidischer Fall:Hier ist < ·, · > eine nichtausgeartete Bilinearform auf V und somit hat jedes f ∈ L(V,V)eindeutige Rechts- und Linksadjungierte g, h ∈ L(V,V) für allev,w ∈ V gilt dann:

< v, g(w) >De f . g

= < f (v),w >De f . <·,·>

= < w, f (v) >De f . h

= < h(w), v >De f . <·,·>

= < v, h(w) >

Somit 0 =< v, (g − h)(w) > ∀ v ∈ V.< ·, · > ist nicht ausgeartet, also (g − h)(w) = 0 ∀ w ∈ V, daher g − h = 0 bzw. g = h

unitärer Fall:Hier ist < ·, · > eine nicht ausgeartete Bilinearform auf V × V, somit hat jedes f ∈ L(V,V)eine eindeutige Rechts-adjungierte g ∈ L(V,V). Nach Lemma ist g ∈ L(V,V). Ebenso istf ∈ L(V,V) und hat eine eindeutige Links-adjungierte h ∈ L(V,V). Für alle v,w ∈ V folgt

6

dann:

< v, g(w) >De f . g

= < f (v),w >De f . <·,·>

= < w, f (v) >De f . h

= < h(w), v >De f . <·,·>

= < v, h(w) >

Genauso wie vorher folgt nun g = h

Die adjungierte Abbildung f ad zu f kann man auch wie folgt „konstruieren“:

Sei V ein euklidischer oder unitärer VR mit ONB {u1, . . . ,un}. Definiere:

g : V → V

v 7→ g(v) :=n∑

i=1

< v, f (ui) > ui

Dann ist g ∈ L(V,V), denn:

g(λ1v1 + λ1v2) =

n∑i=1

< λ1v1 + λ2v2, f (ui) > ui

= λ1g(v1) + λ2g(v2) (wegen der Linearität von < ·, · > in der ersten Komponente)

Sei nun v ∈ V, also v =n∑

i=1λivi, und sei w ∈ V. Dann gelten:

< f (v),w > =

n∑i=1

λi < f (ui),w >

< v, g(w) > =

⟨v,

n∑i=1

< w, f (ui) > ui

⟩=

⟨ n∑i=1

λiui,n∑

i=1

< w, f (ui) > ui

⟩

=

n∑i=1

λi< w, f (ui) >

=

n∑i=1

λi⟨

f (ui),w⟩

=

n∑i=1

< λi f (ui),w >

=

⟨ n∑i=1

λi f (ui),w⟩

= < f (v),w >

LemmaSei V ein endlichdimensionaler euklidischer oder unitärer VR, dann gelten:

a) (λ1 f1 + λ2 f2)ad = λ f ad1 + λ2 f ad

2 f orall f1, f2 ∈ L(V,V)d.h.: f 7→ f ad semilinear im Fall U = C, λ1, λ2 ∈ C bzw. linear im Fall U = R

7

b) (IdV)ad = IdV

c) ( f ad)ad = f ∀ f ∈ L(V,V)

d) ( f1 ◦ f2)ad = f ad2 ◦ f ad

1

Beweis

a) ∀ v,w ∈ V λ1, λ2 ∈ K gilt:

< (λ1 f1 + λ2 f2)v,w > = λ1 < f1(v),w > +λ2 < f2(v),w >

= λ1 < v, f ad1 (w) > +λ2 < v, f ad

2 (w) >

= < v, λ1 f ad1 (w) > + < v, f ad(w) >

= < v, (λ f ad1 + λ2 f ad

2 )(w) >

b) ∀v,w ∈ V gilt:

< IdV(v),w >=< v,w >=< v, Idv(w) >

c) ∀v,w ∈ V

< f (v),w >=< v, f ad(w) >=< ( f ad)ad(v),w >

d)

< ( f1 ◦ f2)(v),w > = < f1( f2(v)),w >

= < f2(v), f ad1 (w) >

= < v, f ad2 ( f ad

1 (w)) >

= < v, ( f ad2 ◦ f ad

1 )(w) >

DefinitionSei V endlichdimensionalerK-VR, dann heißt f ∈ L(V,V) selbstadjungiert, wenn selbstadj.

f = f ad

(IdV = IdadV )

V = endlichdimensionaler euklidischer/unätirer VR, f ∈ L(V,V)∃! f ad

∈ L(V,V) mit < f (v),w >=< v, f ad(w) > und < v, f (w) >=< f ad(v),w >

Ist B = {v1, . . . , vn} eine ONB von V, so gilt für [ f ]B,B = [ai j]

Im euklidischen Fall: f (v j) = ai jv1 + . . . , anjvn mit ai j ∈ R

Somit

< f (v j), vi > = < a1 jv1 + . . . + anjvn, vi >

=

n∑k=1

akj < vk, vi >︸ ︷︷ ︸δki

= ai j

8

Sei nun [ f ad]B,B = [bi j], dann giltf ad(v j) = b1 jv1 + . . . + bnjvn mit bi j ∈ R i, j = 1, . . . ,n also

bi j = < f ad(v j), vi >

= < v j, f (vi) >

euklidischer Fall= < f (vi), v j >

= a ji

Es gilt daher[ f ]B,B = [ f ad]T

B,B

Im unitären Fall sind ai j, bi j ∈ C und es gilt:

bi j = < f ad(v j), vi >

= < v j, f (vi) >

unitärer Fall= < f (vi), v j >

= a ji

und damit[ f ]B,B = [ f ad]

HB,B (M = [mi j]⇒MH := [mi j]

T)

SatzIst V ein endlichdimensionaler euklidischer /unitärer VR mit ONB B und ist f ∈ L(V,V),so gelten

[ f ]B,B = [ f ad]TB,B im euklidischen Fall, bzw.

[ f ]B,B = [ f ad]HB,B im unitären Fall

KorollarIst V ein endlichdimensionaler euklidische/unitärer VR und ist f ∈ L(V,V) selbstadjun-giert, so gilt

[ f ]B,B = [ f ]HB,B

für jede ONB B von V.

Rnn � A = AT, V = Rn, < v,w >= wtv, A : Rn→ Rn

< Av,w >= wTAv = wtATv =< v,Aw >

Bemerkung:

Ist A = AT bzw. A = AH so ist A slbstadjungiert bzgl. des Standardskalarprodukts desRn,1 bzw. Cn,1

Korollar

9

1) Sei V ein n-dimensionaler euklidischer VR, dann giltdimR

{f ∈ L(V,V) | f = f ad

}=

n(n+1)2

2) Sei V ein n-dimensionaler unitärer VR, dann giltdimR

{f ∈ L(V,V) | f = f ad

}= n2

AchtungDie Menge der Selbstadjungierten Endomorphismen eines unitären VR V bildet kei-nen C-VR (bzw. die Menge der hermitischen Matrizen M ∈ Cn,n bildet keinen C-VR).Warum?

Für f = f ad gilt

(i · f )ad = i · ( f )ad

= −i · f ad

= −i · f, i · f

Oder

M =

[1 i−i 1

]= MH

(i ·M)H =

([i −1−1 i

])H

=

[−i 1−1 −i

], i ·M

Allerdings bilden die komplex symmetrischen Matrizen, d.h. die Menge

Sn :={M ∈ Cn,n

|M = MT}

einen C-VR und es gilt: dimC(Sn) =n(n+1)

2

Satz Sei V wie oben, dann gelten ∀ f ∈ L(V,V):

1) Kern( f ad) = Bild( f )⊥

2) Kern( f ) = Bild( f ad)⊥

Beweis

1) Sei w ∈ Kern( f ad), d.h. f ad(w) = 0

10

„⊆“Dann gilt also ∀v ∈ V:0 =< v, f ad(w) >=< f (v),w >, also ist w ∈ Bild( f )⊥ d.h. Kern( f ad) ⊆ Bild( f )⊥

„⊇“Ist andererseits v ∈ Bild( f )⊥, so gilt ∀ u ∈ V, dass0 =< f (u), v >=< u, f ad(v) >, daher f ad(v) = 0, also v ∈ Kern( f ad), somitKern( f ad) = Bild( f )⊥

2) Wir wissen, dass ( f ad)ad = f , also

Kern( f ) = Kern(( f ad)ad)1)= Bild( f ad)⊥

4 Eigenwerte von Endomorphismen

4.1 Grundlegende Eigenschaften

DefinitionSei f ∈ L(V,V). Fals für ein v ∈ V, v , 0 und λ ∈ K die Gleichung f (v) = λ · v gilt, so heißtλ ∈ K Eigenwert von f und v heißt Eigenvektor . Eigenwert

EigenvektorDie Gleichung f (v) = λv ist äquivalent zu (λ cot IdV − f ) = 0D.h. λ ∈ K ist Eigenwert von f ⇔ Kern(λIdV − f ) , {0v}

DefinitionIst λ ∈ K EW von f ∈ L(V,V), so heißt V f (λ) = Kern(λ · Idv − f ) der Eigenraum von f zum EigenraumEW λ und dim(V f (λ)) heißt die geometrische Vielfachheit des EW λ, g(λ, f ) geom.

VielfacheitBemerkungDer Eig( f , λ) = V f (λ) ist also der Raum aller Vektoren, die von λ · IdV − f auf Null abge-bildet werden.Der Nullvektor ist darin enthalten, er ist aber kein EV.Die geometrische Vielfachheit ist somit die maximale Anzahl linear EVen zum EW λ.

LemmaFür f ∈ L(V,V) sind äquivalent

1) ∃v ∈ V \ {0}mit f (v) = λv

2) Für jede Basis B von V ∃ k ∈ Kn,1\ {0}mit [ f ]BB · k = λ · k

Die EWe von f ∈ L(V,V) sind somit Nullstellen von PA = det(t · Idn − A) ∈ K[t] wobeiA = [ f ]BB für eine (beliebige) Basis B von V ist.Da [ f ]B1B1

ähnlich zu [ f ]B2B2und das charackteristische Polynom ähnlicher Matrizen

gleich ist, definieren wir wie folgt:

DefinitionSei f ∈ L(V,V) und B eine beliebige Basis von V, dann heißt

P f := PA = det(t · In − A) ∈ K[t] mit A ∈ [ f ]B,B

11

das charackteristische Polynom von f charPoly(wie gezeigt: P f hängt nicht von B ab!)

Die Nullstellen von P f sind also die EWe von f und es gilt

P f = det(t · In − A)

wobei A = [ f ]B,B. Unser Ziel ist eine Basis B zubestimmen, sodass wir die Nullstellenleicht ablesen können.

4.2 Diagonalisierbarkeit

Eine einfache Form von [ f ]B,B ist Diagonalgestalt.

Definitionf ∈ L(V,V) heißt digonalisierbar, wenn es eine Basis B von V gibt, so dass [ f ]B,B eine diagbarDiagonalmatrix ist.Wir sehen sofort, falls

[ f ]B,B =

λ1

. . .λn

so gilt

P f = (t − λ1) · . . . · (t − λn)

d.h. „P f zerfällt vollständig in Linearfaktorenüber K“DefinitionSei f ∈ L(V,V) und sei λ ∈ K ein EW von f . Ist P f = (t − λ)m

· g mit g ∈ K[t] und g(λ) , 0so heißt m die algebraische Vielfachheit des EW λ, bezeichnet mit a(λ, f ) alg.

VielfacheitLemmaFür f ∈ L(V,V) sind äquivalent

1) f ist diagonalisierbar

2) Es gibt eine Basis von V bestehend aus EW von f

3) P f zerfällt in Linearfaktoren über K und a(λ, f ) = g(λ, f ) ∀ EW λ von f

BeweisÜbung

Wir geben nun ein hinreichendes Kriterium an, so dass 1) (und damit 2) und 3)) erfülltist.

LemmaSei f ∈ L(V,V) und seien λ1, . . . , λk ∈ K paarweise verschiedene EW von f mit zugehöri-gen EVen v1, . . . , vk ∈ V. Dann sind v1, . . . , vk linear unabhängig.

12

BeweisInduktion über k

k = 1v1 ∈ V \ {0} ist linear unabhängig. Fertig

k→ k + 1Seien λ, . . . , λk+1 ∈ K paarweise verschiedene EW on f mit zugehörigen EVenv1, . . . , vk+1Sei

µ1v1 + . . . + µk+1vk+1 = 0 (∗)

Nach Anwendung von f auf beiden Seiten erhalten wir

µ1λ1v1 + . . . + µk+1λk+1vk+1 = 0 (∗∗)

Multiplikation von (∗) mit λk+1 liefert

µ1λk+1v1 + . . . + µk+1λk+1vk+1 = 0 (∗ ∗ ∗)

(∗∗) − (∗ ∗ ∗) ergibt

µ1 (λk − λk+1)︸ ︷︷ ︸,0

v1 + . . . + µk(λk − λk+1),0vk = 0

⇒ µ1 = . . . = µk = 0, denn wegen vk+1 , 0 folgt aus (∗), dass auch µk+1 = 0

�

KorollarFalls f ∈ L(V,V) genau n verschiedene EWe hat, so ist f diagonalisierbar

Falls „mehrfache“ EWe vorkommen, ist f nicht mehr unbedingt diagonalisierbar.

z.B.: f =

[1 20 1

]: Q2,1

→ Q2,1

Dann gilt für P f = det[λ − 1 −2

0 λ − 1

]= (λ − 1)2, also ist 1 einziger EW mit a(1, f ) = 2.

geometrische Vielfacheit:

g(1, f ) = dim(Kern(1 · I2 − f )

)= dim

(Kern(

[0 −20 0

]))

= 1

13

V f (1) =

{[a0

]| q ∈ Q

}Hier zerfällt also P f in Linearfaktoren über K = Q, aber für den einzigen EW λ = 1 gilt

g(1, f ) < a(1, f )

4.3 Triangulierung und Satz von Schur

Falls P f in Linearfaktoren zerfällt, können wir f nicht unbedingt diagonalisieren. Wirzeigen nun aber, das f dann stehts „triangulierbar“ ist, d.h. es gibt eine Basis B von V, so triangu

-lierbardass [ f ]B,B eine obere Dreiecksmatrix ist.(Weit verbreiteter Begriff ist „Trigonalisierung“)Satzf ∈ L(V,V), dann ist äquivalent:

(1) p f = (t − λ1) · . . . · (t − λn) mit λi ∈ K, i=1,. . . ,n(2) [ f ]B,B ist obere Dreiecksmatrix für eine Basis B von V

Beweis

(2)⇒ (1)Falls [ f ]B,B =: [ri j] obera Dreiecksmatrix ist, dann gilt

p f = det(t · In − [ f ]B,B) = (t − r11) · . . . · (t − rnn)

(1)⇒ (2)Induktion über dim(V) = n

I.A.: n = 1klar, denn dann gilt [ f ]B,B ∈ K1,1 ist per Definition eine obere Dreiecksmatrix

I.V.:für n − 1 gilt: (1)

I.S.:Wir wissen, dass P f = (t− λ1) · . . . · (t− λn). Dann gibt es einen EV v1 ∈ V zumEW λ1 ∈ K

Ergänze v1 zu einer Basis von V, also

B = {v1,w1, . . . ,wn} Basisergänzungssatz

Dann gilt

V = span{v1} u span{w2, . . . ,wn}

=: span{v1} uW

14

Es folgt dim(W) = n − 1

[ f ]B,B =

λ1 a12 · · · a1n

0 a22 · · ·...

......

. . ....

0 an2 ann

=: A ∈ Kn−1,n−1

Seien nun k ∈ L(w, span{v1}) mit

k(w j) = ai j · v1 j = 2, . . . ,n

und g ∈ L(W,W) mit g(w j) = a2 j · w2 + . . . + anj · wn; j = 2, . . . ,n. Dann gilt:

f (w) = h(w) ∗ g(w) ∀w ∈W

Zudem gilt:

P fVorauss.

= (t − λ1) · . . . · (t − λn)

LaPlace= (t − λ1) · det(t · In−1 − A)

Wegen (g(w1), . . . , g(wn)) = (w2, . . . ,wn)A gilt

Pg = det(t · In−1 − A), alsoPg = (t − λ2) · . . . · (t − λn)

Nach I.V. gibt es somit eine Basis B2 = {w2, . . . , wn} von W, so dass [g]B2,B2 eineobere Dreiecksmatrix ist.Sei nun B3 = {v1, w2, . . . , wn} dann gilt:

(f (v1), f (w2), . . . , f (wn)

)= (v1, w2, . . . , wn)

λ1 ˆa12 · · · ˆa1n0... [g]B2,B2

0

KorollarSei V in endlich dimensionaler euklidischer oder unitärer VR und f ∈ L(V,V).Falls P f = (. . .), so gibt es eine ONB B von V, so dass [ f ]B,B eine obere Dreiecksmatrix ist.

BeweisNach obigen Satz gibt es B1 so dass [ f ]B1,B1

eine obere Dreiecksmatrix ist.Anwendung des Gram-Schmidt-Verfahrens auf B1 liefert ONB B2 von V, so dass [IdV]B1,B2

eine obere Dreiecksmatrix ist.Schreibe also

[ f ]B2,B2 = [IdV]B1,B2[ f ]B1,B2[Id]B2,B1

Korollar (Schur, 1909)Jeder Endomorphismus eines endlichdimensionalen unitären VR V(, {0}) ist unitär tri-angolierbar.

Beweis:Nach dem im folgenden bewiesenen Fundamentalsatz der Algebra zerfällt jedes nicht-konstante Polynom in Linearfaktoren.

15

5 Polynome & Fundamentalsatz der Algebra

5.1 Polynome

Sei U ein Körper. Ein Ausdruck der Form

p = αntn + αn−1tn−1 + . . . + α0t0

mit α0, . . . , αn ∈ K heißt Polynom über K in der Unbekannten t. Polynom

All diese Polynome bezeichnen wir mit K[t].Diese bezeichnen wir als kommutativen Ring mit 1.

Ist αn , 0, so heißt n der Grad des Polynoms, Grad(p). Der Grad von p = 0 ist Grad(0) = −∞und αn heißt „höchter Koeffizient“ oder auch Leitkoeffizient von p.Ist der Leitkoeffizient αn = 1 heißt das Polynom „monisch“ (bzw. normiert) monisch

Man zeigt dann leicht, dass

1) Grad(p + q) ≤ max{Grad(p),Grad(q)}

2) Grad(p · q) = Grad(p) + Grad(q)

5.1.1 Division mit Rest

SatzSei f ∈ K[t] \ {0}, dann gibt es zu jedem g ∈ K[t] eindeutig bestimmte q, r ∈ K[t] mit

g = f · q + r, wobei Grad(r) < Grad( f )

BeweisFalls Grad(g) < Grad( f ), setze q = 0 und r = g, fertig.

Sei nun Grad(g) ≥ Grad( f ) ≥ 0Indukktion über Grad(g) =: n

Sei m := Grad( f )(≤ n)(Typischer Fall: Grad( f ) = 0, dann f = α0 , 0, setze r = 0, q = α−1

0 · g)Sei o.B.d.A. m ≥ 1

I.A. n = 1Dann auch m = 1, also g = β1 · t + β0 und f = α1 · t + α0 mit α1 , 0 , β1Somit

β1 · t + β0 = β1 · α−11 (α1 + α0) + (β0 − β1α

−11 α0)

also g = f · q + r mit Grad(r) < 1

Es gibt n ≥ 1⇒ n + 1Sei g = βn+1tn+1 + . . . + β0 und sei αm höchster Koeffizient von f .

16

Deiniereh := g − βn+1α

−1m f · tn+1−m

dann gilt Grad(h) < Grad(g) = n + 1.Nach I.V. gibt es eindeutige q und r ∈ K[t] mit h = f ·q+r und Grad(r) < Grad( f ),also folgt

g = h + βn+1α−1m f · tn+1−m

= f (q + βn+1αmtn+1−m︸ ︷︷ ︸=:q

) + r

SatzSei f ∈ K[t] \ {0}. Dann gibt es ür jedes g ∈ K[t] eindeutige q, r ∈ K[t] mit g = f · q + r undGrad(r) < Grad( f )

BeweisExistenz bereits gezeigt.Eindeuigkeit:

Angenommen es giltg = f · q + r = f · q + r

dann folgt

0 = f · (q − q) + (r + r)⇔ r − r = f · (q − q)

Falls r− r , 0 dann ist q− q , 0, denn f , 0, daher Grad(r− r) = Grad( f · (q− q)) ≥ Grad( f )Widerspruch: Grad(r − r) < Grad( f )

5.1.2 Satz Ruffini; Paolo Ruffini

KorallarIst λ ∈ K Nullstelle von p ∈ K[t], d.h. p(λ) = 0 ∈ K so gibt es ein eindeutig bestimmtesq ∈ K[t] mit p = (t − λ) · q, d.h. der Linearfaktor (t − λ) ist ei Teiler von p.

BeweisAnwendung der Dimension mit Rest auf f = (t − λ) , 0 und g = p liefert eindeutigeq, r ∈ K[t] mit p = (t − λ)q + r und Grad(r) < Grad( f ).Das Polynom r ist somit konstant. Einsetzen von λ ergibt.

0 = (pλ)= (λ − λ) · q(λ) + r(λ)= r(λ)

Also ist r = 0 wie behauptet.

17

5.1.3 Teiler, teilerfremd, irreduzibel, Vielfacheit einer Nullstelle

Definition

1) Falls es für f , g ∈ K[t] ein q ∈ K[t] gibt mit g = q · f , dann heißt f Teiler von g,geschrieben:f |g.

2) Zwei Polynome f , g ∈ K[t] heißen teilerfremd, wenn ein kein Polynom h ∈ K[t] mitGrad(h) ≥ 1 gibt, das sowohl f als auch g teilt. d.h. aus h| f und h|g folgt stehts, dash konstant ist.

3) Ein nicht-konstantes Polynom f ∈ K[t] heißt irreduzibel (über K), wenn f nichtals Produkt von 2 oder mehreren nicht konstanten Polynomen geschrieben werdenkann.Beispiel

(t2 + 1) ist irreduzibel über R, aber über C zerfällt es in (t − i)(t + i)

4) Sei p ∈ K[t] und sei λ ∈ K eine Nullstelle von p. Dann heißt die größte natürlicheZahl m mit p = (t − λ)m

· q und g(λ) , 0, die Vielfachheit der Nullstelle.

KorollarSind λ1, . . . , λk ∈ K paarweise verschiedene Nullstelle von p ∈ K[t] mit den Vielfacheitenm1, . . . ,mk, so gilt:

p = (t − λ1)m1 + . . . + (t − λk)mk · q für ein q ∈ K[t]

KorollarSei p ∈ K[t] mit Grad(p) = n ≥ 0, dann hat p höchstens n Nullstellen in K, d.h. die Summeder Vielfachheiten aller Nullstellen ist höchstens n.

5.1.4 (Lemma von Bezent)

SatzSind f , g ∈ K[t] \ {0} teilerfremd, so gibt es q1, q2 ∈ K[t] mit 1 = f q1 + gq2

BeweisSei o.B.d.A Grad( f ) ≥ Grad(g).Induktion über Grad(g)

Sei Grad(g) = 0. Dann gilt per Vorraussetzung:

g = µ · 1 für ein µ ∈ K \ {0}

Setze q1 = 0 und q2 = µ−1· 1, dann gilt für alle f ∈ K[t] mit Grad( f ) ≥ Grad(g) und damit

1 = f · 0 + g · q2 = µ · µ−1· 1 = 1

Sei die Aussage bewiesen für alle g ∈ K[t] mit Grad(g) = nSei Grad(g) = n + 1Nach Devision mit Rest gibt es q, r ∈ K[t] mit

f = g · q + r mit Grad(r) < Grad(g)

18

Angenommen es gibt ein h ∈ K[t], das g und r teilt, also h|g, h|r. Dann auch h| f , Wider-spruch zur Voraussetzung f , g teilerfremd!Also sind g und r teilerfremd. Nach I.V. mit r = g, als Grad(r) < Grad(g) und f = gAlso gibt es Polynome q1, q2 ∈ K[t] so dass

1 = g · q1 + r · q2

Es folgt

1 = g cot q1 + ( f − g · q)q2

= g · (q1 − q · q2) + f · q2

�

5.1.5 Euklidisches Lemma

KorollarFalls f ∈ K[t] \ {0} irreduzibel ist und das Polynom g · h ∈ K[t] teilt, dann gilt

f |g oder f|h

BeweisAngenommen f teilt nicht g.

Dann sind f und g teilerfremd, denn f irreduzibel. Nach obigen Satz gibt es q1, q2 ∈ K[t]mit

1 = f · q1 + g · q2

Alsoh = f · (h · q1) + ((hg) · q2)

Da f die Polynome auf der rechten Seite teilt, teilt f auch h.Lemma (Euklid)

f ∈ K[t] \ {0} irreduzibel teilt g · h , dann f |g ∨ f |h

5.1.6 Euklischer Hauptsatz

Satz

Jedes Polynom f ∈ K[t] \ {0} besitzt eine bis auf die Reihenfolge eindeutige Zerlegung

f = µ · p1 · . . . · pk

mit µ ∈ K und monischen irreduziblen Polynomen p1 · . . . · pk (Primfaktorzerlegung)

Beweis:

Ist f konstant, d.h. f = µ · 1 für ein µ ∈ K \ {0}Setze k = 0 fertig.

19

Sei nun deg( f ) ≥ 1, Jede Zerlegung von f besitzt höchstens deg( f ) nicht-konstante Fakto-renSeien nun f = µ · p1 · . . . · pk = β · q1, . . . , qs mit k ≥ s, µ, β ∈ K \ {0}monische irreduzible, p j, q j ∈ K[t] zwei solche Zerlegungen.Dann gilt p1| f also p1|(β · q1, . . . , qs), daher p1 = q j für 1 j, denn q1, . . . qs irreduzible undmonisch (also teilt nur durch sich selbst)⇒ Euklisches Lemma

Sei o.B.d.A. j = 1Dann folgt nach „kürzen“ von p1, dass

µ · p2 · . . . · pk = β · q2 · . . . · qs

geht man nun die p j durch , so folgt p2 = q2 − pk = qk insbesondere ist k = s.

Am Ende bleibt: β = µ

5.2 Fundamentalsatz der Algebra

SatzJedes nicht-konstante Polynom p ∈ C[t] hat mindestens eine Nullstelle.

Wir wissen: für A ∈ Cn,n ist PA ∈ C[t] ein monisches Polynom vom Grad n.

Andererseits gibt es zu jedem monischen Polynom P ∈ C[t], Grad(p) = n ≥ 1 ein A ∈ Cn,n

mit dim(V) = n < ∞ hat einen EV.

LinA - Formulierung des Fundamentalsatzes:(z.z.) Jedes f ∈ L(V,V) wobei V C-VR mit dim(V) = n < ∞ hat einen EV.

⇒ Ist B eine Basis von V und A = [ f ]B,B, dann ist die Aussage, das f eine EV hat, gleich-bedeutend mit dem Fundamentalsatz. PA = P f = 0 lösbar.

⇒ ist C[t],Grad(p) ≥ 1, gegeben, dann ist also p = PA = P f ür ein A ∈ Cn,n und wenn peine Nullstelle hat, so hat f einen EW und damit einen EV.

Der Fundamentalsatz lässt sich niht ohne „analytische“ Hilfsmittel beweisen.Wir brauchen hier:

Satz:Sei p ∈ R[t] mit grad(p) ungerade, dann hat p eine Nullstelle.

BeweisZwischenwertsatz ben. Stetigkeit

Lemma 1Ist V ein R-VR ungerader dim, so hat jedes f ∈ L(V,V) einen EV.

20

BeweisP f ∈ R[t], Grad(P f ) ungerade und hat nach obigen Satz eine Nullstelle.

Lemma 2Sei V einR-VR mit dimR(V) = n ≥ 1 ungerade. Sind also f1, f2 ∈ L(V,V) mit f1◦ f2 = f2◦ f1,dann haben f1 und f2 gemeinsamen Vektor.

BeweisInduktion über n = 1, 3, 5, . . . (nmod2 , 0)

n = 1Nach Lemma 1 haben f1 und f2 jeweils Eigenvektoren, also

f1(v1) = λ1v1 f2(v2) = λ2v2

Da aber dimR(V) = 1, gilt also v1 = αv2 für ein αinR \ {0}. Somit gilt

f2(v1) = f2(αv2)= α · f2(v2)= α · λ2v2

= λ2v1

D.h. v1 ist auch EV zu f2

Sei nun n > 1 ungerade und die Behauptung bewiesen für alle ungeraden Dimensionenkleiner als n.

Seien f1, f2 ∈ L(V,V), wobei V ein R-VR mit dimR(V) = n; f1 ◦ f2 = f2 ◦ f1.

Nach Lemma 1 hat f1 einen EV und einen rellen EW λ1. Seien

U := Bild(λ1IdV − f1)W := Kern(λ1IdV − f1) (Eigenraum)

Dann gilt dim −R (W) ≥ 1Die Räume U und W sind invariant unter f1, f2, d.h.

a) f1(U) ⊆ U und f1(W) ⊆W

b) f2(U) ⊆ U und f2(W) ⊆W

Die Aussagen unter a) sind sofort klar mit

(λ1 · IdV − f1)( f1(w)) = (λ1 · f1 − f1 ◦ f1)(w)= f ((λ1IdV − f1)(w)︸ ︷︷ ︸

=0

)

= 0

21

zu b)Sei u ∈ U, d.h. u = (λ1Idv − f1)(v) für ein v ∈ V. Also folgt

f2(u) = f2((λ1 · IdV − f1)(v))= λ1 · f2(v) − ( f2 ◦ f1)(v)= λ1 · f2(v) − ( f1 ◦ f2)(v)= (λ1 · IdV − f1)( f2(v)︸︷︷︸

∈V

) ∈ Bild(λ1IdV − f1) = U

Sei w ∈W, dann gilt:

(λ1 · IdV − f1)( f2(w)) = (λ1 f2 − f1 ◦ f2)(w)= f2(λ1IdV − f1︸ ︷︷ ︸

=0

)(w)

= 0

⇒ w ∈

Es gilt alson = dimR(V) = dimR(U) + dimR(W)

Da n ungerade ist, ist (mindestens) eine der beiden dims ungerade.Falls dieser UR (mit ungerader dim) ein echter UR von V sein sollte, so haben also f1 undf2 einen gemeinsamen EV.Falls dieser UR kein echter UR sein sollte, so ist dieser gleich V. in Diesem Fall ist jederVektor in W = V Eigenvektor von f1.Nach Lemma 1 hat f2 einen EV in W = V, also haben f1 und f2 gemeinsame EV in V.Fundamentalsatz: Jedes f ∈ L(V,V) hat EV.Lemma 1Jedes f ∈ L(V,V), V R-VR dim(V) = n mit n ungerade, hat einen EV.

Lemma2f1, f2 ∈ L(V,V), V R-VR, n mod 2 , 0, f1 ◦ f2 = f2 ◦ f1 haben einen gemeinsamen EV.

BemerkungDas Lemma zeigt nicht, dass f1, f2 gemeinsamen EW haben!Lemma 3Sei k ∈ N(k ≥ 1) gegeben. Wir nehmen an, dass für jeden n-dimensionalen K-VR,(n mod 2k , 0) d.h.

n ∈ {2m · q | 0 ≤ m ≤ k − 1, q ungerade}

jedes f ∈ L(V,V) einen EV. hat, dann hat jedes Paar f1, f2 ∈ L(V,V) mit f1 ◦ f2 = f2 ◦ f1einen gemeinsamen EV.

Beweis

Induktion über alle n, die nicht durch 2k teilbar sind.Beispiel: k = 3,n ∈ {1, 3, 5, 7, . . . , 2, 6, 10, 14, . . . , 4, 12, 20, 28, . . .}

22

n = 1 f1 und f2 haben nac Annahme einen EV,f1(v1) = λ1v1, f2(v2) = λ2v2Da dim(V) = 1, gilt αv1 = v2 für ein α , 2Somit

f1(v2) = f1(αv1)= α f1(v1)= αλ1v1

= λ1v2

d.h. v2 ist auch EV zu f1

Sei nun n > 1 nicht durch 2k teilbar und die Aussage gelte für alle Dim < n, die nichtdurch 2k teilbar.Seien f1, f2 ∈ L(V,V) mit f1 ◦ f2 = f2 ◦ f1

Nach Annahme hat f1 einen EV. f1(v1) = λ1v1Seien U := Bild( f1 − λ1IdV) und W := Kern( f1 − λ1IdV) dan gilt Dim(W) ≥ 1 und V,W sindinvariant unter f1 und f2 (siehe Beweis von Lemma 2)Da die dim(V) = dim(U) + dim(W) = n nicht durch 2k teilbar ist, ist entweder dim(U) oderdim(W) nicht durch 2k teilbar. Falls einer der Räume, dessen dim nicht durch 2k teilbar ist,ein echter UR von V ist, haben f1, f2 einen gemeinsamen EV in diesem und damit in 0nach Induktionsannahme.Andernfalls muss dieser Raum gleich V sein. Wegen dim(W) ≥ 1 muss dies der Raum Wsein. Dann ist jeder Vektor v ∈ V = W = Kern( f1 − λ1IdV) ein EV. Nach Annahme desLemmas ist mindestens einer davon EV von f2.

Beweis des FundamentalsatzesWir schreiben Dim von V als n = 2kq, k ≥ 0 und q ungerade und beweisen die Aussagedurch Induktion über k = 1, 2, . . . ,∞ d.h. zunächst für k = 0 also n ∈ {1, 3, 5, 7, . . .} dannfür k = 1 also n ∈ {2, 6, 10, 14, . . .} usw.k = 0 Sei V ein C-VR ungerader Dimension und sei f ∈ L(V,V) gegeben. Sei ein SP auf Vgegeben. Sei Hn := {g ∈ L(V,V) | g = gad

} d.h. die selbstadjungierte lineare Abbildung aufV (bzgl. < ·, · >)Wir wissen, dass Hn � Rn2

, d.h. wir können Hn auffassen alsR-VR ungerader Dimension.(n ungerade⇒ n2 ungerade)

Wir definieren nun h1, h2 ∈ L(Hn,Hn) durch

h1(g) :=12

( f ◦ g + g ◦ f ad)

(h1(g))ad =12

(g ◦ f ad + f ◦ g)

= h1(g)

h2(g) :=12i

( f ◦ g − g ◦ f ad)

(h2(g))ad = h2(g)

23

dann gilt h1 ◦ h2 = h2 ◦ h1

Nach Lemma 2 haben h1, h2 gemeinsamen EV, d.h. h1(g) = λ1 g und h2(g) = λ2 g für eing ∈ Hn \ {0}

Dann gilt alsof ◦ g = h1(g) + i · h2(g) = (λ1 + iλ2) · g

Da g , 0 gibt es ein v ∈ V mit g(v) , 0

Dann gilt:f (g(v)) = (λ1 + iλ2)(g(v)), also ist g(v) EV. von f zum EW. λ1 + iλ2.Wir nehmen nun an, dass für ein k ≥ 1 jedes f ∈ L(V,V) gegeben.z.z. f hat EVWähle eine beliebige Basis von V und sei A f ∈ C

n,n die Matrixdarstellung von f bezgl.dieser Basis.Sei Sn := {M ∈ Cn,n

|M = MT} (komplex-symmetrische Matrizen)

Die Menge Sn bildet einen C-VR und dim

dimC Sn =: d =n(n + 1)

2

=2kq(2kq + 1)

2= (2k−1

· q) · q ∈Mk−1

Sn := {M ∈ Cn,n|M = MT

}, dimC(Sn) = 2n−1q, q ungeradef ∈ L(V,V),A f ∈ C

n,n

Definiere nun U1,U2 ∈ L(Sn,Sn) durch h1(B) := A f B + BATf h2(B) = A f BAT

f

Es gilt

h1(B)T = BTATf

= BATf + A f B

= h1(B) ∀B ∈ Sn

und

h2(B)T = A f BTATf

= A f BATf

= h2(B)

Zudem gilt: h1 ◦ h2 = h2 ◦ h1

h1(h2(B)) = h1(A f BATf )

= A f (A f BATf ) + (A f BAT

f )ATf =

h2(h1(B)) = h2(A f bATf )

= A f A f B

24

Nach Induktionsannahme und Lemma 3 haben h1, h2 einen gemeinsamen Eigenektor,also gilt

U1(B) = λ1B = λ2B für ein B ∈ Sn \ {0}

λ1B = A f B + BATf ⇒ λ1A f B = A2

f + A f BATf︸ ︷︷ ︸

h2(B)=λ2B

= A2f B + λ2B

⇔ (A2f − λ1A f + λ2I)B = 0

pAT = p = t2− λ1 + λ2 = (t − α)(t − β) für gewisse α, β

⇔ (A f − αI)(A f − βI)B = 0

Sei v ∈ Cn,1\ {0} ein Vektor mit B(v) , 0

Sei w := Bv, dann gilt

(A f − αI)(A f − βI)w = 0 mit w , 0

Fallunterscheidung

Fall 1(A f − βI)w = 0⇒ β ist Eigenwert von A f zum Eigenvektor w. Fertig, denn β ist EW von f .

Fall 2(A f − βI)w , 0⇒ α ist EW von A f zum EV (A f − βI)w

5.3 Verallgemeinerung des Satzes von Schur

Im Beweis des Fundamentalsatzes wurde im Wesentlichen gezeigt, dass kommutativeEndomorphismen auf einem C-VR einen gemeinsamen EV haben.SatzSei V ein endlich-dimensionaler VR und seien f1, f2 ∈ L(V,V) und f1 ◦ f2 = f2 ◦ f1Dann gibt es eine ONB B ∈ V, so dass [ f1]B,B mit [ f2]B,B obere Dreiecksgestalt haben.d.h. f1 und f2 sind simultan triagonalisierbar.

Dieser Satz gilt für beliebig viele paarweise verschiedene kommutative Endomorphismenf1, . . . , fn ∈ L(V,V)

Satz (Schur, 1905)Die maximale Anzahl linear unabhängiger paarweise kommutativer Endomorphismenauf einem n-dimensionalen C-VR ist ⌊

n2

4

⌋+ 1

25

6 Invariante Unterräume und die Jordannormalform (JNF)

In diesem Kapitel ist V stehts ein VR über „algebraisch abgeschlossenem Körper“, d.h. inK[t] zerfallen alle nicht-konstanten Polynome in Linearfaktoren. (z.B. K = C)

6.1 Zyklische Unterräume und Minimalpolynome

DefinitionSei f ∈ L(V,V) und sei U ⊆ V ein UR on V, dann heißt U f -invariant, wenn

f (U) ⊆ U, d.h. f (u) ∈ U ∀u ∈ U

Beispiel{0},V,Bild(F),Kern( f ) sind f -invariant ∀ f ∈ L(V,V)

Ist U f -invariant, so heißen die Vektoren u1, . . . ,uk ∈ U Generatoren von U, wenn

U = span{ f j(ul) | l = 1, . . . , k j = 0, 1, 2, . . .}span{u1, . . . ,uk, f (u1), . . . , f (uk), . . . , f 2(u1), . . . , f 2(uk), . . .}

Jeder f -invariante UR U hat stets endlich viele Generatoren, z.B. ist jede Basis von UGeneratoren

Wir beschäftigen uns mit f -invarianten UR, die nur genau einen Generator haben, d.h.∃! u ∈ U mit

U = span{u, f (u), f 2(u), . . .}

Spezialfall: Ist u ein EV zum EW λ, also f (u) = λu, so gilt

U := span{u, f (u), . . .} = span{u}

Im Allgemeinen sei v ∈ V \ {0} gegeben. Sei dim(V) < ∞, dann gibt es einen eindeutigbestimmten Vektor f d(v) i der Folge v, f (v), f 2(v), . . . der eine Linearkombination dervorhergehenden ist.Es gibt somit eindeutig bestimmte α0, α1, . . . , αd−1 ∈ K, so dass

f d(v) =

d−1∑j=0

α j f j(v) ⇔ f d(v) −d−1∑j=0

α j f j(v) = 0

pv( f )(v) = 0 mit p = td− αd−1td−1

− . . . − α0

v ∈ V, f ∈ L(V,V), d = d( f , v),Zd( f , v) = span{v, f (v), . . . , f d−1(v)}Lemma 2Für f ∈ L(V,V) gelten

1) Sind v,u ∈ V \ {0} und pV , pW, dann sind v,w linear unabhängig

2) Ist v ∈ V einVektor mit Grad d, dann ist pV das Minimalpolynom von f bzgl. Zd( f , v)( f ∈ L(Zd( f , v),Zd( f , v)))

26

Beweis: HA (später ergänzen)Lemma 3

Seien f ∈ L(V,V) ind U ⊆ V ein f -invarianter UR von V. Falls das Minimalpolynom vonf bzgl. U gegeben ist durch ϕ = (t − λ)d für ein λ ∈ K und ein d ∈ N, dann gibt es einenVektor u ∈ U mit pu = ϕ.Beweis

Falls U = {0}, dann ist u = 0 und pn = 1 = ϕ.Sei nun dim(U) = m ≥ 1. Sei {u1, . . . ,um} eine Basis von U.Dann gilt:

pu j | ϕ für j = 1, . . . ,m

Also gilt pu j = (t − λ)d j für ein d j ≤ d, j = 1, . . . ,m

Da ϕ = (t − λ)d das k.g.V. von pu1 , . . . , pum ist muss d j = d für mindestens ein j gelten.Das Minimalpolynom pu j für dieses j ist also gleich ϕ

6.1.1 zyklischer Zerlegungssatz

Sei f ∈ L(V,V), dann gibt es Vektoren v1, . . . , vm ∈ V mit Graden d1 ≥ . . . ≥ dm ≥ 1, so dass

V = Zd1( f , v1)+Zd2 f , v2+ . . . +Zdm( f , vm)→ siehe matrix auf jpg

wobei pv j = (t − λ j)d j für ein λ j ∈ K, j = 1, . . . ,m

Beweis

trivial für dim(V) = 1. v ∈ V ⇒ f (v) = αv für ein α ∈ K, also V = span{v}, pv = t − α.Die Behauptung sei nun bewiesen für dim(V) = n − 1 für ein n ≥ 2. Sei dim(V) = n. Seizunächst f nicht invertierbar (invertierbarer Fall am Ende)

Da f nicht invertierbar ist, gilt dim(Bild( f )) ≤ n − 1. Sei W ⊂ V ein UR von V mitdim(W) = n − 1 und Bild( f ) ⊆W. Dann

f (W) ⊆ Bild( f ) ⊆W. (also f ∈ L(W,W))

Also ist W ein (n − 1)-dimensionaler f -invarianter UR von V.Nach induktionannahme gibt es Vektoren w1, . . . ,wk ∈ W mitGraden d1 ≥ . . . ≥ dk ≥ 1und

W = Zd1( f ,w1)+ . . . +Zdk( f ,wk)︸ ︷︷ ︸∗

, wobei pw j(t − λ j)d j , j = 1, . . . , k

Betrachte w j mit λ j , 0. dann gilt.

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0 = pw j( f )(w j) = ( f − λ jIdW)d j(w j)

= (d j∑

i=0

(d ji

)(−λ j)d j−i f i)(w j)

= (−λ)d jw j + (d j∑

i=0

(d ji

)(−λ j)d j−i f i)(w j)

⇒ w j ∈ span{ f (w j), . . . , f d j(w j)} (∗∗)

Definiere S := { j|λ j = 0}. Sei nun y ∈ V \W, dann gilt

f (y) ∈ Bild( f ) ⊆W

Dann zeigt die Zerlegung (∗) zusammen mit (∗∗), dass f (y) =∑j∈Sα jw j + f (z) für gewisse

α j ∈ K und ein z ∈W.

f (y) =

d1−1∑j=0

α(1)j f j(w1) +

d2−1∑j=0

α(2)j f j(w2) + . . .+

dn−1∑j=0

α(k)j f j(wk) =

k∑l=1

αl0wl + f (z) für ein z ∈W

(falls S = {}, so ist die Summe leer und es gilt f (y) = f (z))Definiere u := y − z Aus y ∈ V \W und z ∈W folgt u ∈ V \W und u , 0

Per Konstruktion gilt: (falls nämlich u ∈W, so wäre u + z ∈W )

f (u) = f (y − z) = f (y) − f (z) =∑j∈S

α jw j

Falls f (u) = 0, dann gilt span{u} = Z1( f ,u), d.h. u ist f -zyklisch und pu = tEs folgt dann V = W+Z1( f ,u) und wir sind fertig.Sei nun f (u) , 0. Sei l ∈ S der kleinste Index mit αl , 0 in f (u) =

∑j∈Sα jw j.

(Ein solcher existiert, denn f (u) , 0). Sei u := α−1l u, dann gilt:

f (u) = α−1l f (u) = w+

∑j∈S

α j

αlw j := wl + wl

Betrachte den f -invarianten Unterraum X :=u

j ∈ Sj > l

(falls l = max{S}, so gilt X = {0} und wl = 0)Dann gilt per Konstruktion, dass wl = f (u − wl), wobei wl ∈ X. Somit

Zdl( f ,wl)+X = span{wl, . . . , f dl−1(wl)+X

= span{

f (u) − wl, . . . , f dl(u) − f dl−1(wl)}+X

= spann{ f (u), . . . , f dl(u)} u X

28

Nun gilt aber

f dl+1(u) = f dl( f (u))= f dl(wl + wl)

= f dl(wl)︸ ︷︷ ︸=0

+∑j∈Sj=l

α j

αlf dl(w j)︸ ︷︷ ︸

=0

= 0

denn pw j für j ∈ S ist ein Teiler von tdl .

Der Raum span{ f (u) . . . f dl(u)} ist somit f -zyklisch. Es ergibt sich:

W =

(u

j < S Zd j( f ,w j))u

(u

j ∈ S Zd j( f ,w j))

= (. . .) u

u

j < Sj < l

Zd j( f ,w j)

uu

j < Sj ≥ l

Zd j( f ,w j)

= (. . .) u (. . .) u X u span{ f (u), . . . , f dl(u)}

Da aber u ∈ V \W und dim(W) = n − 1, dim(V) = n erhalten wir

V = W u span{u} =u

j , l Zd j( f ,w j) u span{u, f (u), . . . , f dl(u)}︸ ︷︷ ︸Zdl+1( f ,u)

u ist f -zyklisch mit Grad dl und pu = tdl+1.

Dies beendet den Beweis für f nicht invertierbar

6.1.2 Algorythmus zur Berechnung der JNF

6.2 Anwendung der JNF

6.2.1 Ähnlickeit zur Transponierten und Faktorisierung in 2 sym. Matrizen

6.2.2 Systeme gewöhlicher Differentialgleichungen

6.2.3 Matrixfunktionen

7 Spezielle Klassen von Endomorphismen

7.1 Normale Endomorpismen und Matrizen

29