197 Limit Fungsi 7 Limit Fungsi Cobalah kamu mengambil kembang gula-kembang gula dalam sebuah tempat dengan genggaman sebanyak lima kali. Setelah dihitung, pengambilan pertama terdapat 5 bungkus, pengambilan ke dua 6 bungkus, pengambilan ke tiga 5 bungkus, pengambilan ke empat 7 bungkus, dan pengambilan kelima 6 bungkus. Jika dirata- rata pada pengambilan pertama, ke dua, sampai ke lima adalah 29 5 = 5,8 dan dikatakan hampir mendekati 6. Dalam contoh sehari-hari, banyak sekali kamu temukan kata- kata hampir, mendekati, harga batas, dan sebagainya.Pengertian tersebut sering dianalogikan dengan pengertian limit. Limit merupakan konsep dasar atau pengantar dari deferensial dan integral pada kalkulus. Untuk lebih jelasnya, dalam bab ini kamu akan mempelajari konsep limit fungsi dalam pemecahan masalah. Limit Fungsi di Suatu Titik dan di Tak Hingga ; Sifat Limit Fungsi untuk Menghitung Bentuk Tak Tentu ; Fungsi Aljabar dan Trigonometri
Limit Fungsi Kelas XI IPA Endick 310800073 Stkip-Pgri Pontianak [email protected]
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
197Limit Fungsi
7
Limit Fungsi
Cobalah kamu mengambil kembang gula-kembang gula dalam sebuah tempatdengan genggaman sebanyak lima kali. Setelah dihitung, pengambilan pertamaterdapat 5 bungkus, pengambilan ke dua 6 bungkus, pengambilan ke tiga 5 bungkus,pengambilan ke empat 7 bungkus, dan pengambilan kelima 6 bungkus. Jika dirata-rata pada pengambilan pertama, ke dua, sampai ke lima adalah 29
5 = 5,8 dan dikatakanhampir mendekati 6. Dalam contoh sehari-hari, banyak sekali kamu temukan kata-kata hampir, mendekati, harga batas, dan sebagainya.Pengertian tersebut seringdianalogikan dengan pengertian limit. Limit merupakan konsep dasar atau pengantardari deferensial dan integral pada kalkulus. Untuk lebih jelasnya, dalam bab ini kamuakan mempelajari konsep limit fungsi dalam pemecahan masalah.
Limit Fungsi di Suatu Titik dan di Tak Hingga
Sifat Limit Fungsi untuk Menghitung Bentuk Tak Tentu Fungsi Aljabar dan Trigonometri
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA198
• limit fungsi• limit fungsi tak hingga• limit fungsi berhingga• limit fungsi aljabar• limit fungsi trigonometri
Limit Fungsi
Arti limit fungsi di satu titik melalui perhitungan nilai-nilai di sekitar titik
tersebut
Arti limit fungsi di tak hingga
Menghitung limit fungsi aljabar
Menghitung limit fungsi trigonometri
Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik dan di tak hingga
Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi
aljabar dan trigonometri
Arti limit fungsidi tak hingga
199Limit Fungsi
A Pengertian Limit Fungsi di Suatu Titik dan di TakHingga
1. Limit Fungsi di Satu Titik Melalui Perhitungan Nilai-Nilai diSekitar Titik Tersebut
Diketahui fungsi f : R → R yang ditentukan oleh f(x) = 2x – 1. Jika variabel xdiganti dengan 3, maka f(3) = 2 ⋅ 3 – 1 = 5. Berapakah nilai yang akan didekati f(x) jikavariabel x mendekati 3? Untuk menjawab persoalan ini diperlukan tabel sebagai berikut.
Dari tabel dapat dilihat jika x mendekati 3 dari pihak kurang dari 3, maka nilai f(x)mendekati 5. Apakah nilai f(x) akan mendekati 5 jika x lebih besar dari 3? Untukmenjawabnya kita lihat tabel berikut ini.
Dari tabel dapat dilihat bahwa jika xmendekati 3 dari pihak lebih dari 3 maka nilaif(x) mendekati 5, sehingga dikatakan bahwafungsi f(x) = 2x – 1 mempunyai limit 5 untuk xmendekati 3 dan ditulis “jika f(x) = 2x – 1, maka
3lim2 1 5x
x→
− = ”. Grafiknya dapat kamu amati
pada gambar di samping.
Dari penjelasan di atas, kamu juga dapat
menentukan nilai dari 2
2
6lim 2x
x xx→
+ −− . Nilai
f(x) = 2 6
2x x
x+ −− untuk x mendekati 2 dapat
disajikan dengan tabel sebagai berikut.
Dari tabel dapat dilihat jika variabel x = 2, maka f(2) = 00 yaitu suatu bentuk tak
tentu, tetapi jika x mendekati 2 dari arah kiri maka nilai f(x) mendekati 5. Demikian jugajika x mendekati 2 dari arah kanan maka nilai f(x) mendekati 5.
Diketahui f(x) = 2x . Jika dibuat tabel untuk x bilangan sebagai berikut.
Apabila nilai x makin besar, ternyata nilai f(x) makin lama makin kecil. Apabila xbesar sekali atau x mendekati tak berhingga, ditulis x → ∞ , maka nilai 2
x akanmendekati nol, dikatakan limit dari 2
x untuk x mendekati tak berhingga adalah nol danditulis:
2limx x→∞
= 0
Sekarang perhatikan contoh berikut ini.
Hitunglah 2lim 1x
xx→∞ + .
Untuk menjawab limit tersebut, dapat dicoba dengan tabel berikut ini.
Apabila x menjadi semakin besar, maka nilai 21
xx + akan mendekati 2. Dikatakan
bahwa L = 2lim 1x
xx→∞ + = 2.
Limit fungsi yang berbentuk ( )
lim( )x
f xg x→∞
dapat diselesaikan dengan cara membagi bagian
pembilang f(x) dan bagian penyebut g(x) dengan xn, n adalah pangkat tertinggi dari f(x)atau g(x) untuk setiap n bilangan positip dan a bilangan real, maka:
lim 0nx
ax→∞
=
x 1 2 3 4 …. 10 …. 100 …. 200 …
f(x) 2 1 32 2
1 …. 51 …. 50
1 …. 11.000 …
x 1 2 3 …. 10 …. 100 …. 1.000 …
21
xx 1 3
4 23 …. 11
20 …. 101200 …. 2.000
1.001 …
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA202
Dari contoh itu dapat ditulis:
2lim 1x
xx→∞ + =
2lim 1x
xxxx→∞ + (pembilang, penyebut dibagi x)
= lim 211xx
→∞ +1lim 0
x x→∞
⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠
= 21 0+ = 2
1 = 2
Contoh soalHitunglah limit dari:
1. 23 1lim
5 3x
xx x→∞
−+ −
3.24 2 1lim 5 4x
x xx→∞
+ +−
2. 2
22 5lim
3 2x
x xx x→∞
− +− +
Penyelesaian
1. 23 1lim
5 3x
xx x→∞
−+ −
= 2
2
2
3 1
lim5 3x
xx
x xx
→∞
−
+ − (pembilang dan penyebut dibagi x2)
= 2 2
22 2 2
3 1lim 5 3x
xx x
xx x x
→∞
−
+ − = 2
2
3 1lim 5 31x
x xx x
→∞
−
+ −
= 0 0 01 0 0 1
− =+ − = 0
2. 2
22 5lim
3 2x
x xx x→∞
− +− +
=
2
22
2
2 5lim 3 2x
x xx
x xx
→∞
− +
− + (pembilang dan penyebut dibagi x2)
=
22 2 222 2 2
2 5lim 3 2x
x xx x xx xx x x
→∞
− +
− +
= 2
2
512lim 3 21x
x xx x
→∞
− +
− +
= 2 0 0 21 0 0 1
− + =− + = 2
203Limit Fungsi
3.24 2 1lim 5 4x
x xx→∞
+ +− =
2
2
2
4 2 1lim 5 4x
x xx
xx
→∞
+ +
− (pembilang dan penyebut dibagi x2)
= 2
2 2 2
2 2
4 2 1lim 5 4x
x xx x x
xx x
→∞
+ +
− =
2
2
2 14lim 5 4x
x xx x
→∞
+ +
−
= 4 0 0 40 0 0+ + =
− = ∞
Bentuk 40 adalah bentuk tak terdefinisi, tetapi karena angka 0 pada 4
0 bukanangka nol tetapi angka yang kecil sekali sehingga suatu bilangan dibagi kecil sekalihasilnya besar sekali atau ∞ .
Dari contoh-contoh diatas dapat diambil kesimpulan nilai dari ( )lim ( )x
f xg x→∞
adalah
sebagai berikut.1. Jika derajat dari pembilang f(x) lebih besar daripada derajat penyebut g(x), maka
nilai ( )lim ( )x
f xg x→∞
= ∞ .
2. Jika derajat dari pembilang f(x) sama dengan derajat penyebut g(x), maka nilai( )lim ( )x
f xg x→∞
= real.
3. Jika derajat dari pembilang f(x) lebih kecil daripada derajat penyebut g(x), maka
nilai ( )lim ( )x
f xg x→∞
= 0.
Untuk lebih memahami, pelajarilah contoh berikut.
Contoh soalHitunglah limit berikut.
1. 3 2lim 1 1x
x xx x→∞
⎛ ⎞−⎜ ⎟− +⎝ ⎠
2. ( )2 2lim 2 4x
x x x x→∞
+ − −
Penyelesaian
1.3 2lim 1 1x
x xx x→∞
⎛ ⎞−⎜ ⎟− +⎝ ⎠ = 3 ( 1) 2 ( 1)lim ( 1)( 1)x
x x x xx x→∞
+ − −⎛ ⎞⎜ ⎟− +⎝ ⎠
= 2 2
23 3 2 2lim
1x
x x x xx→∞
⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟−⎝ ⎠
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA204
= 2
25lim1x
x xx→∞
+−
=
2
22
2
5lim 1x
x xx
xx
→∞
+
− (pembilang dan penyebut dibagi x2)
= 22 222 2
5lim 1x
x xx xxx x
→∞
+
− =
2
51lim 11x
x
x→∞
+−
= 1 0 11 0
+ =−
2. ( )2 2lim 2 4x
x x x x→∞
+ − −
= ( ) ( )( )
2 2
2 2
2 2
2 4lim 2 4
2 4x
x x x xx x x x
x x x x→∞
+ + −+ − − ⋅
+ + −
= 2 2 2 2
2 2
( 2 ) ( 4 )lim2 4x
x x x xx x x x→∞
+ − −+ + −
= 2 2
2 2
2 ( 4 )lim2 4→∞
+ − −+ + −x
x x x xx x x x
= 2 2
2 22 42 4lim
(1 ) (1 )xx x
x x x xx x→∞
+ − ++ + −
= ( )2 46lim
1 1xx x
x
x→∞ + + −
= 2 4
6lim1 1x
x x→∞ + + −
= 61 0 1 0+ + −
= 61 1+
= 62 = 3
205Limit Fungsi
7.1
1. Menghitung Limit Fungsi Aljabar
Perhatikan fungsi f(x) = 2x pada tabel di bawah ini.
Kerjakan soal-soal dibawah ini dengan benar.
1. a. Gambarlah grafik f(x) = 3x – 5.b. Lengkapilah tabel berikut.
Dari tabel terlihat jika nilai x diperbesar hingga mendekati 3, maka nilai f(x) men-dekati 6, dikatakan bahwa limit dari 2x untuk x mendekati 3 adalah 6 ditulis:
3lim 2 6x
x→
=
Menentukan limit dengan cara di atas ternyata lambat dan tidak efisien. Misalkanuntuk menyelesaikan lim ( )
x af x
→, maka dapat dilakukan dengan cara yang lebih cepat
dengan menggunakan rumus sebagai berikut.
1. Jika f(a) = C, maka nilai lim ( )x a
f x→
= f(a) = C
2. Jika f(a) = 0C , maka nilai lim ( )
x af x
→ = 0
C = ∞
3. Jika f(a) = 0C , maka nilai lim ( )
x af x
→ = 0
C = 0
4. Jika f(a) = 00 , maka nilai lim ( )
x af x
→, maka sederhanakan atau ubahlah lebih dahulu
bentuk f(x) hingga menjadi bentuk (1), (2), atau (3).Untuk lebih memahami, perhatikan contoh berikut.Contoh soal1. Hitunglah nilai limit-limit berikut ini.
a.2
lim (5 7)x
x→−
+ d.2
3
2lim 3x
x xx→
−−
b. 2
1lim (2 3)
xx
→− e.
5
5lim 2 1x
xx→
−+
c.2
21
5lim1x
xx→−
++
f.2
3
8 15lim 3x
x xx→
− +−
Penyelesaian
a.2
lim (5 7)x
x→−
+ = 5 (–2) + 7 = –10 + 7 = –3
b. 2
1lim (2 3)
xx
→− = 2 ⋅ 12 – 3 = 2 – 3 = –1
c.2
21
5lim1x
xx→−
++
= 2
2( 1) 5 1 5 6
1 1 2( 1) 1− + += =
+− + = 3
d.2
3
2lim 3x
x xx→
−− =
23 2 3 9 6 33 3 0 0− ⋅ −= = = ∞−
e.5
5lim 2 1x
xx→
−+ = 5 5 0 0
2 5 1 10 1 11− = =⋅ + + = 0
207Limit Fungsi
f.2
3
8 15lim 3x
x xx→
− +− =
23 8 3 15 9 24 15 03 3 0 0
− ⋅ + − += =−
Karena nilai limit = 00 , maka perlu diubah lebih dahulu dengan jalan difaktorkan.
2
3
8 15lim 3x
x xx→
− +− =
3
( 5)( 3)lim ( 3)x
x xx→
− −− = 3
lim 5x
x→
− = 3 – 5 = –2
2. Hitunglah limit-limit berikut.
a. 1
1lim1x
xx→
−−
c. 20
1 1limx
xx x→
− +−
b. 0
2 2limx
xx→
+ −
Penyelesaian
a. 1
1lim1x
xx→
−−
= 1 1 1 1 0
1 1 01 1− −= =−−
Jadi harus diubah lebih dahulu dengan jalan dikalikan dengan sekawannya.
1
1lim1x
xx→
−−
= 1
( 1) ( 1)lim( 1) ( 1)x
x xx x→
− +⋅− +
= 2 21
( 1)( 1)lim( ) 1x
x xx→
− +−
= 1
( 1)( 1)lim 1x
x xx→
− +−
= ( )1
lim 1→
+x
x = 1 + 1 = 1 + 1 = 2
b.0
2 2limx
xx→
+ − = 0 2 2 2 2 00 0 0
+ − −= =
Jadi harus diubah lebih dahulu dengan jalan dikalikan dengan sekawannya.
0
2 2limx
xx→
+ − = 0
( 2 2) ( 2 2)lim( 2 2)x
x xx x→
+ − + +⋅+ +
= 2 2
0
( 2) ( 2)lim( 2 2)x
xx x→
+ −+ +
= 0
2 2lim( 2 2)x
xx x→
+ −+ +
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA208
= 0
lim( 2 2)x
xx x→ + +
= 0
1lim2 2x x→ + +
= 1
0 2 2+ += 1 1 2
2 2 2 2 2= ×
+
= 2 1 22 2 4=⋅
c. 20
1 1limx
xx x→
− +−
= 21 0 1 1 1 1 1 0
0 0 00 0− + − −= = =
−
Jadi harus diubah lebih dahulu dengan jalan dikalikan dengan sekawannya.