LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN Sebelum memasuki materi, perhatikan himpunan-himpunan berikut: a) Himpunan bilangan asli: 1, 2, 3, 4, 5,... . b) Himpunan bilangan bulat: ..., 2, 1,0,1,2,... . c) Himpunan bilangan rasional: | , , 0 p pq q q . Gabungan himpunan bilangan rasional dan irrasional disebut himpunan bilangan real, dinotasikan . Dari sini akan kita peroleh bahwa: . Dalam bab ini semua elemen yang kita bicarakan adalah elemen himpunan semua bilangan real. A. Notasi interval: Misalkan diberikan , ab , maka: 1. , | ab x a x b 2. , | ab x a x b 3. [ ,) | ab x a x b 4. ( ,] | ab x a x b 5. ( , ) | a x a x 6. [ , ) | a x a x 7. , | b x x b 8. ( ,] | b x x b RANGKUMAN MATERI
23
Embed
LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN · PDF fileLIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN ... Bilangan 0 merupakan satu-satunya titik limit himpunan B meskipun ... disebut limit fungsi f di c ditulis lim
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN
Sebelum memasuki materi, perhatikan himpunan-himpunan berikut:
a) Himpunan bilangan asli: 1,2,3,4,5,... .
b) Himpunan bilangan bulat: ..., 2, 1,0,1,2,... .
c) Himpunan bilangan rasional: | , , 0p
p q qq
.
Gabungan himpunan bilangan rasional dan irrasional disebut himpunan bilangan real, dinotasikan
. Dari sini akan kita peroleh bahwa:
.
Dalam bab ini semua elemen yang kita bicarakan adalah elemen himpunan semua bilangan real.
A. Notasi interval:
Misalkan diberikan ,a b , maka:
1. , |a b x a x b
2. , |a b x a x b
3. [ , ) |a b x a x b
4. ( , ] |a b x a x b
5. ( , ) |a x a x
6. [ , ) |a x a x
7. , |b x x b
8. ( , ] |b x x b
RANGKUMAN MATERI
B. Persekitaran dan titik limit
Definisi:
Jika p (himpunan semua bilangan real) dan bilangan 0 , himpunan
( ) ,N p p p
x p x p
x x p
x x p
Disebut persekitaran (neighborhood) titik p. Dalam hal ini disebut jari-jari (radius)
persekitaran tersebut.
Contoh:
1. 2
1,5
p . Persekitaran 1 dengan radius 2
5 adalah
2
5
2 2 5 2 5 2(1) 1 , 1 ,
5 5 5 5 5 5
3 7 3 7,
5 5 5 5
N
x x
.
2. 1
2,2
p . Persekitaran 2 dengan radius 1
2 adalah
1
2
1 1 2 1 2 1(2) 2 , 2 ,
2 2 2 2 2 2
1 3 1 3,
2 2 2 2
N
x x
.
3. 3, 1p . Persekitaran 3 dengan radius 1 adalah
1(3) 3 1, 3 1 2, 4 2 4N x x
4. 5, 4p . Persekitaran 5 dengan radius 4 adalah
4(5) 5 4, 5 4 1, 9 1 9N x x
5. ,2 2
a b b ap
. Persekitaran
2
a b dengan radius
2
b a adalah
2
( )2
,2 2 2 2
,
b a
a bN p N
a b b a a b b a
a b
x a x b
Definisi:
Diketahui ,A p . Titik p disebut titik limit A, jika 0 berlaku
( )N p A p atau ( )N p p A .
Dengan kata lain:
Titik p disebut titik limit A, jika setiap persekitaran titik p memuat x A dengan x p .
Catatan: Titik limit suatu himpunan belum tentu anggota himpunan tersebut.
Contoh :
1. Diberikan 2, 3 7,8A . Perhatikan bahwa:
a) Setiap titik 2, 3 | 2 3 ..., 1,...,0,...,1,...,2,...,3p x x merupakan titik
limit himpunan A, sebab untuk setiap 0 berlaku ( )N p A p .
b) Terlihat bahwa -2 titik limit himpunan A meskipun 2 A .
Dari a) dan b) dapat disimpulkan bahwa setiap titik pada interval tertutup [-2,3] adalah titik
limit himpunan A.
c) Titik 7 dan 8 masing-masing bukan titik limit himpunan A meskipun 7, 8 A karena ada
0 , misal 1
5 sehingga
1
5
1 1(7) 7 7 ,7 7
5 5
4 16 ,7 7
5 5
1 1...,7,7 ,7 ,... 7
7 6
7 7
N A A
A
A
dan
1
5
1 1(8) 8 8 ,8 8
5 5
4 17 ,8 8
5 5
1 1...,8,8 ,8 ,... 8
7 6
8 8
N A A
A
A
.
2. Diberikan 1 1 1 1 1 1 1 1
| , , , ,.... 1, , , ,....1 2 3 4 2 3 4
B nn
. Perhatikan bahwa:
a) Setiap x B bukan merupakan titik limit himpunan B karena jika diambil suatu persekitaran
1 1 11
2 2 4 dari titik 1p maka
1
4
1 11 1 1 ,1 1
4 4
3 5, 1
4 4
4..., ,... 1
4
...,1,... 1
1 1
N B B
B
B
B
.
b) Bilangan 0 merupakan satu-satunya titik limit himpunan B meskipun 0 B . Jelas bahwa
1inf 0n N
n
dan untuk setiap bilangan 0 berlaku (0) 0N B .
Latihan: Semesta pembicaraan untuk soal-soal berikut adalah himpunan semua bilangan real .
1. Tentukan persekitaran dari titik 9 dengan
a) Jari-jari 1
b) Jari-jari 3
c) Jari-jari 5
d) Jari-jari 7
e) Jari-jari 9
2. Tentukan persekitaran dari titik -3 dengan
a) Jari-jari 2
b) Jari-jari 4
c) Jari-jari 6
d) Jari-jari 8
e) Jari-jari 10
3. Tentukan titik limit dari himpunan:
a) A = (1,7]
b) B = (2,5)
c) C = [0,1)
d) D = [0,1) {2}
e) Himpunan semua bilangan rasional | , , 0p
p q qq
f) Himpunan semua bilangan asli 1,2,3,4,5,...
C. Limit Fungsi
Definisi
Diketahui dan dua fungsi : ff D dan : gg D dengan f gD D .
Fungsi , , ,f f g fg dan f
g berturut-turut didefinisikan sebagai berikut :
(i). .f x f x untuk setiap fx D .
(ii). f g x f x g x untuk setiap f gx D D .
(iii). .fg x f x g x untuk setiap f gx D D .
(iv).
f xfx
g g x untuk setiap : 0f g gx D D x D g x .
Definisi
Diketahui fungsi : ff D dan c titik limit fD . Bilangan L disebut limit fungsi f di
c ditulis lim ( )x c
f x L
, jika untuk setiap 0 terdapat 0 sedemikian sehingga jika fx D
dan 0 x c maka f x L .
Dengan kata lain :
Jika fx D N c dan x c berakibat f x N L dikatakan f x berlimit L untuk
x c dan ditulis lim ( )x c
f x L
.
Ilustrasi:
Sumber gambar: wikipedia
Catatan :
Limit fungsi f di c dapat didefinisikan hanya untuk c yang merupakan titik limit fD .
Perhatikan :
(i). fx D N c dan x c , ,fx D c x c x c .
(ii). ( )f x N L f x L .
Sehingga diperoleh Teorema berikut
Teorema
Diberikan fungsi : ff A D dengan c titik limit fD .
lim ( )x c
f x L
0, 0 fx D dan 0 x c
berakibat f x L .
Definisi
Diketahui fungsi : ff D dan a titik limit fD .
(i) Jika ada bilangan real k sehingga untuk setiap bilangan 0 terdapat bilangan 0
sehingga berlaku f x k untuk setiap , fx a a D maka dikatakan f x
mempunyai limit kanan k untuk x a dan dituliskan dengan lim ( )x a
f x k
.
(ii) Jika ada bilangan real l sehingga untuk setiap bilangan 0 terdapat bilangan 0
sehingga berlaku f x l untuk setiap , fx a a D maka dikatakan f x
mempunyai limit kiri k untuk x a dan dituliskan dengan lim ( )x a
f x l
.
Teorema
Diberikan fungsi : ff D dengan a titik limit fD .
lim ( )x a
f x l
(ada) lim ( ) lim ( )x a x a
f x f x l
.
Contoh:
1. Tunjukkan bahwa 2
lim 3 4 10x
x
!
Penyelesaian:
Misalkan diberikan sebarang 0 . Kita akan menentukan 0 sedemikian sehingga jika
0 2x maka berlaku 3 4 10x .
Perhatikan bahwa:
3 4 10 3 6 3 2 3 2x x x x
akan berlaku jika 23
x
, sehingga kita pilih 03
.
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa untuk setiap 0 terdapat 03
sedemikian
hingga jika 0 2x maka berlaku 3 4 10x , atau terbukti bahwa
2
lim 3 4 10x
x
.
2. Tunjukkan bahwa 1
1lim 1x x
!
Penyelesaian:
Misalkan diberikan sebarang 0 . Kita akan menentukan 0 sedemikian sehingga jika
0 1x maka berlaku 1
1x
.
Perhatikan bahwa:
1 1 1 1 1 11 1
1
x xx
x x x x x
Apa yang akan kita lakukan pada x? Jika kita putuskan 1
12
x maka berlaku 1 3
2 2x
sehingga 1
2x . Oleh karena itu
1 11 1 2 1x x
x x
sehingga kita pilih 1
min , 03 2
.
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa untuk setiap 0 terdapat 0 sedemikian
hingga jika 0 1x maka berlaku 1
1x
, atau terbukti bahwa 1
1lim 1x x
.
Latihan:
1. Buktikan bahwa 1
lim 1x
x
!
2. Buktikan bahwa 1
lim2 2x
x
!
3. Buktikan bahwa 2
lim 1 3x
x
!
4. Buktikan bahwa 3
lim 1 2x
x
!
5. Buktikan bahwa 1
lim 3 4 1x
x
!
6. Buktikan bahwa 2
2lim 1x x
!
7. Buktikan bahwa 3
6lim 2x x
!
8. Buktikan bahwa 2
1 1lim
2 4x x !
9. Buktikan bahwa 2
2 1lim
3 3x x !
10. Buktikan bahwa 2
1lim 1x
x
!
Contoh:
D. Teorema Yang Ada Pada Limit
Berikut adalah aturan-aturan yang ada pada limit suatu fungsi:
Jika f(x) = k, maka x alim
f(x) = k,
dengan k konstanta, k dan a real
Jika f(x) = x, maka x alim
f(x) =a
x alim
{f(x) g(x)} = x alim
f(x) x alim
g(x)
x alim
k.f(x) = k.x alim
f(x), k konstanta
x alim
{f(x).g(x)} = x alim
f(x) . x alim
g(x)
x alim
x a
x a
lim f(x)f(x), lim g(x) 0
g(x) lim g(x)
x alim
{f(x)}n =
n
x alim f(x)
E. Limit Aljabar
Di sini kita akan membahas bentuk-bentuk tak tentu
0, ,
0 dari nilai suatu limit, yang
nantinya akan diubah fungsinya atau menggunakan bantuan L’Hospital sedemikian rupa sehingga
memiliki nilai dan limit fungsinya ada.
1. Bentuk 0
0
Dengan aturan L’Hospital diperoleh:
x a x a
F(x) F '(x) F '(a)lim lim
G(x) G'(x) G'(a)
1. 2
x 1
x 1lim ...
x 1
Jawab:
Karena jika disubstitusi menghasilkan bentuk 0
0 maka digunakan aturan L’Hospital sehingga
diperoleh:
2
2
x 1 x 1 x 1
1x 1 turunannya 2x; x 1 turunannya
2 x
Selanjutnya diperoleh:
x 1 2xlim lim lim4x x 4
1x 1
2 x
Cara lain:
2 2 2
x 1 x 1 x 1 x 1
x 1 x 1 x 1x 1 x 1x 1 x 1lim lim lim lim 1 1 1 1 4
x 1 x 1 x 1 x 1
2.
x 3
x 4 2x 1lim ...
x 3 Jawab:
Karena x 3
x 4 2x 1 0lim
x 3 0
, maka digunakan dalil L’Hospital, sehingga didapat:
1 2
2 x 4 2 2x 1
x 3
1 2 1lim 7
1 142 7 2 7
3. 2
2x 4
48 3xlim
5 x 9
...
Jawab:
2 2 2 22 2
2 22 2x 4 x 4 x 42 2
2 2 2
2x 4 x 4
2
48 3x 5 x 9 48 3x 5 x 948 3x 5 x 9lim lim lim
25 x 95 x 9 5 x 9 5 x 9
48 3x 5 x 9 3 5 x 9lim lim
16 x 1
3 5 4 9 3 5 25 3 5 530
1 1 1
4. x 3
2x 2 2lim
3x 3
...
Jawab:
Karena x 3
2x 2 2 0lim
03x 3
, maka digunakan dalil L’Hospital:
x 3
2 1
2 2x 2 2lim 13 3
62 3x
5. Nilai 3
2x 2
x 8lim
x 2x
adalah ...
Jawab:
Karena 3
2x 2
x 8 0lim
x 2x 0
, maka digunakan dalil L’Hospital:
2
x 2
3x 3 4lim 6
2x 2 4 2
6. x 4
t 2lim
t 4
...
Jawab:
x 4 x 4 x 4
t 2 t 2 1 1lim lim lim
t 4 4( t 2)( t 2) ( t 2)
7. a b
a a b blim
a b
...
Jawab:
2
a b a b a b
a a b b ( a b)(a a b b)lim lim lim(a a b b) 2b b 3b