58 BAB III LIMIT DAN FUNGSI KONTINU Konsep limit mempunyai peranan yang sangat penting di dalam kalkulus dan berbagai bidang matematika. Oleh karena itu, konsep ini sangat perlu untuk dipahami. Meskipun pada awalnya konsep limit sukar untuk dipahami, tetapi dengan sedikit bantuan cara numeris kemudian konsep ini bisa dimengerti. Dan kenyataannya, setelah dipraktekkan masalah hitung limit relative mudah. Mengingat hal itu, maka pada bagian pertama Bab ini limit diterangkan secara intuitive (numeris). Kemudian pada bagian selanjutnya, dikembangkan teknik penghitungan limit. 3.1 Pengertian Limit Terlebih dahulu diperhatikan fungsi 3 ) ( 2 + = x x f . Grafik ) ( x f y = diberikan pada Gambar 3.1.1 di bawah ini.
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
58
BAB III LIMIT DAN FUNGSI KONTINU
Konsep limit mempunyai peranan yang sangat penting di dalam kalkulus dan berbagai bidang
matematika. Oleh karena itu, konsep ini sangat perlu untuk dipahami. Meskipun pada awalnya konsep
limit sukar untuk dipahami, tetapi dengan sedikit bantuan cara numeris kemudian konsep ini bisa
dimengerti. Dan kenyataannya, setelah dipraktekkan masalah hitung limit relative mudah. Mengingat hal
itu, maka pada bagian pertama Bab ini limit diterangkan secara intuitive (numeris). Kemudian pada bagian
selanjutnya, dikembangkan teknik penghitungan limit.
3.1 Pengertian Limit
Terlebih dahulu diperhatikan fungsi 3)( 2 += xxf . Grafik )(xfy = diberikan pada Gambar 3.1.1
di bawah ini.
59
Apa yang terjadi dengan )(xf apabila x cukup dekat dengan 2? Perhatikan table 3.1.1 berikut.
Tabel 3.1.1
x 3)( 2 += xxf x 3)( 2 += xxf
3 12 1,5 5,25
2,05 7,2025 1,95 6,8025
2,001 7,004001 1,999 6,996001
2,0001 7,00040001 1,9999 6,99960001
Dari table terlihat bahwa apabila x cukup dekat dengan 2, maka )(xf mendekati 7. Hal ini tidak
mengherankan, karena apabila dihitung 732)2( 2 =+=f . Dalam hal ini dikatakan bahwa limit f(x) x
mendekati 2 sama dengan 7, ditulis:
7)(lim2
=→
xfx
Selanjutnya, perhatikan fungsi f yang ditentukan oleh rumus:
11)(
2
−−
=x
xxf
Gambar 3.1.1
●
2
7
60
Fungsi f tersebut tidak terdefinisikan di x = 1 karena di titik ini f(x) berbentuk 00 . Tetapi masih dapat
dipertanyakan apa yang terjadi pada f(x) bilamana x mendekati 1 tetapi 1≠x . Untuk 1≠x ,
)(11
)1)(1(11)(
2xgx
xxx
xxxf =+=
−+−
=−−
=
Dari table 3.1.2 di bawah terlibat bahwa apabila x cukup dekat dengan 1, maka nilai )(xf mendekati 2.
Jadi,
211lim
2
1=
−−
→ xx
x
Tabel 3.1.2
○
(a). }1{,1
12)( −=
−
−= RfD
x
xxf (b). R=+= gDxxg ,1)(
1
Gambar 3.1.2
61
x 111)(
2+=
−−
= xx
xxf x 111)(
2+=
−−
= xx
xxf
2 3 0,5 1,5
1,05 2,05 0,99 1,99
1,001 2,001 0,999975 1,999975
1,00000017 2,00000017 0,9999999 1,9999999
Dari beberapa uraian di atas, berikut diberikan definisi limit.
Secara matematis definisi di atas dapat ditulis sebagai berikut.
Catatan: Pada definisi limit di atas, fungsi f tidak perlu terdefinisikan di c. Limit f(x) untuk x mendekati c
mungkin ada walaupun f tidak terdefinisikan di c.
Contoh 3.1.2 Buktikan bahwa 4
lim→x
(2x –5) = 3.
Definisi 3.1.1 Limit f(x) x mendekati c sama dengan L, ditulis:
Lxfcx
=→
)(lim
jika untuk setiap x yang cukup dekat dengan c, tetapi cx ≠ , maka f(x) mendekati L.
Lxfcx
=→
)(lim jika untuk setiap bilangan ε > 0 yang diberikan (berapapun kecilnya) terdapat bilangan
δ > 0 sehingga untuk setiap fDx∈ dengan δ<−< cx0 berlaku ε<− Lxf )( .
62
Penyelesaian:
|(2x –5) – 3| = |2x – 8| = |2(x – 4)| = |2| |x – 4| = 2|x – 4|
Diberikan bilangan ε > 0 sebarang. Apabila diambil δ = ε/2, maka untuk setiap x di dalam domain f yang
memenuhi 0 <|x – 4| < δ berlaku:
|(2x – 5) – 3| = 2 |x – 4| < 2 δ = 2.ε/2 = ε.█
Contoh 3.1.3 Buktikan bahwa untuk c > 0, cxcx
=→
lim .
Penyelesaian:
(3.1.1) ( )cx
cxcxcxcxcx
+
−=
++
−=−
Ditinjau x >0 dengan sifat 2ccx <− . Menurut ketidaksamaan segitiga:
22ccccxcxx =−>−−≥=
Hal ini berakibat:
(3.1.2) 2cx >
Selanjutnya, dari (3.1.1) dan (3.1.2) diperoleh:
ccx
cx
cxcx
32 −
<+
−=− ,
untuk setiap x>0. Diberikan bilangan ε > 0 sebarang. Apabila diambil ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=23,
2min cc εδ maka untuk
setiap x>0 dengan δ<−< cx0 berlaku:
ε<−
<+
−=−
ccx
cx
cxcx
32
63
Jadi, untuk setiap ε > 0 terdapat δ>0 sehingga untuk setiap x>0 dengan δ<−< cx0 berlaku:
ε<−
<+
−=−
ccx
cx
cxcx
32
.█
Agar bisa lebih mendalami hitung limit, berikut diberikan sifat-sifat dasar limit.
Bukti: Misalkan Lxfcx
=→
)(lim dan Kxfcx
=→
)(lim . Akan ditunjukkan bahwa KL = .
Diberikan 0>ε sebarang, maka terdapat 0, 21 >δδ sehingga:
i. 2
)( ε<− Lxf , untuk setiap fDx∈ dengan 10 δ<−< cx .
ii. 2
)( ε<− Kxf , untuk setiap fDx∈ dengan 20 δ<−< cx .
Apabila diambil { }21,min δδδ = maka untuk setiap fDx∈ dengan δ<−< cx0 berlaku:
ε<−+−≤− KxfxfLKL )()(
Hal ini berarti KL = .█
Contoh 3.1.5 Tunjukkan bahwa xx
x 0lim→
tidak ada.
Penyelesaian: Untuk 0>x ,
1limlim00
==→→ x
xxx
xx
Sementara, untuk 0<x ,
1limlim00
−=−
=→→ x
xxx
xx
Teorema 3.1.4 Jika )(lim xfcx→
ada maka nilainya tunggal.
64
Karena nilai limit tidak tunggal maka xx
x 0lim→
tidak ada.█
3.2 Teknik Aljabar Untuk Menghitung Limit
Sifat-sifat dasar limit yang dinyatakan dalam beberapa teorema berikut ini sangat diperlukan dalam
hitung limit. (Dengan berbagai pertimbangan bukti teorema tidak disertakan dalam buku ini).
Teorema 3.2.1 (i). AAcx
=→
lim , R∈cA, .
(ii). cxcx
=→
lim .
Teorema 3.2.2 Jika )(lim xfcx→
dan )(lim xgcx→
keduanya ada dan R∈k maka berlaku pernyataan-
pernyataan berikut:
i. { } )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfcxcxcx →→→
±=±
ii. )(lim)(lim xfkxkfcxcx →→
=
iii. )(lim).(lim)()(lim xgxfxgxfcxcxcx →→→
=
iv. )(lim
)(lim
)()(lim
xg
xf
xgxf
cx
cxcx
→
→→
= , asalkan 0)(lim ≠→
xgcx
v. Untuk N∈n : (a). ( )n
cxn
cxxfxf ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
→→)(lim)(lim
(b). ( )n
cxn
cxxfxf
−
→
−
→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= )(lim)(lim , asalkan 0)(lim ≠
→xf
cx
(c). ( )n
cxn
cxxfxf
11 )(lim)(lim ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
→→, asalkan untuk n genap 0)(lim >
→xf
cx
65
Contoh 3.2.3
(a). 6lim7lim2lim)672(lim22
22)i(2.2.3
22 →→→→
+−=+−xxxx
xxxx
062.72.2
6limlim7lim2
6limlim7lim2
21.2.3
22
2
2)v.a(2.2.3
222
2)ii(2.2.3
=+−=
+−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
+−=
→→→
→→→
xxx
xxx
xx
xx
(b). 12lim.7lim127lim11)iii(2.2.31
−=−→→→
xxxxxxx
( ) 711.21.7)12(limlim711)(v.c&ii)(2.2.3
=−=−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
→→xx
xx
(c). 3
12)1.(53)1.(2
)25(lim
)32(lim
2532lim
1
1)iv(2.2.31 −
=+−+−
=+
+=
++
−→
−→−→ x
x
xx
x
xx
.█
Contoh 3.2.4 Hitung 4
23lim 2
2
2 −
+−→ x
xxx
.
Penyelesaian: Karena limit penyebut sama dengan 0, maka Teorema 3.2.2 (iv) tidak dapat digunakan.
Akan tetapi, hal ini bukan berarti limit di atas tidak ada. Pada soal di atas, yang akan dihitung adalah nilai
limit untuk x mendekati 2, bukan nilai untuk x sama dengan 2. Oleh karena itu, dengan memanfaatkan
teknik-teknik aljabar, untuk 2≠x diperoleh:
21
)2)(2()1)(2(
423
2
2
+−
=+−−−
=−
+−xx
xxxx
xxx
Sehingga:
41
2212
21lim
423lim
)iv(2.2.322
2
2=
+−
=+−
=−
+−→→ x
xx
xxxx
.█
66
Contoh 3.2.5 Tentukan 1
1lim1 −
−→ x
xx
.
Penyelesaian:
( )( ) ( ) 2111lim1
11lim1
1lim111
=+=+=−
+−=
−−
→→→x
xxx
xx
xxx.█
Contoh 3.2.6 Tentukan 168lim 4
3
2 −
+−→ x
xx
.
Penyelesaian:
( )( )( )( )3223
22
244
33
24
3
2 )2()2.()2.()2()2()2.()2(lim
)2()2(lim
168lim
−+−+−+−−
−+−+−−=
−−
−−=
−
+−→−→−→ xxxx
xxxxx
xx
xxx
( )( ) 8
38888
444842
42lim 23
2
2−=
−−−−++
=−+−
+−=
−→ xxxxx
x.█
Pada contoh-contoh di atas telah digambarkan bagaimana teknik-teknik aljabar dapat digunakan
untuk menyelesaikan soal hitung limit. Namun demikian tidak semua soal limit dapat diselesaikan dengan
cara demikian. Sebagai contoh, misalnya x
xx
sinlim0→
.
Dalam berbagai hal, teorema di bawah ini sangat membantu dalam penyelesaian soal hitung limit.
Contoh 3.2.8 Tentukan ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
→ xx
x
1sinlim0
.
Teorema 3.2.7 (Teorema Apit) Misalkan f, g, dan h fungsi-fungsi sehingga )()()( xhxgxf ≤≤
untuk semua x di dalam interval terbuka yang memuat c, kecuali mungkin di c. Jika
Lxhxfcxcx
==→→
)(lim)(lim maka Lxgcx
=→
)(lim .
67
Penyelesaian: Untuk 0≠x , 11sin ≤x
. Oleh karena itu, untuk 0≠x berlaku:
xx
xx
x ≤=1sin1sin
Hal ini berakibat:
xx
xx ≤≤−1sin
Selanjutnya, karena ( ) 0limlim00
==−→→
xxxx
maka 01sinlim0
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
→ xx
x.█
Soal Latihan
Untuk soal 1 – 6, tunjukkan pernyataan berikut dengan definisi limit.
1. 3)2(lim1
=+→
xx
2. 211lim
2=
→ xx 3. 1lim 2
1=
−→x
x
4. 212lim
0−=
−+
→ xx
x 5. 2lim
4=
→x
x 6. 2
11lim
2
1=
−−
→ xx
x
7. Jika ⎪⎩
⎪⎨
⎧
<−
≥=
0,1
0,1)(
x
xxf , tunjukkan bahwa )(lim
0xf
x→ tidak ada.
Untuk soal 8 – 20, hitunglah masing-masing limit jika ada.
8. )20(lim 25
−→
xx
9. )13(lim 22
++−→
xxx
10. 32lim
0 −+
→ xx
x
11. 4
82lim 2
2
2 −
−+→ x
xxx
12. 1
1lim1 −
−→ x
xx
13. 864lim 3
6
2 −
−→ x
xx
68
14. 11lim 3
4
1 +
−−→ s
ss
15. u
uu −
−→ 1
1lim23
1 16. 2
2
1 132lim
xx
x −
+−−→
17. 53
4lim2
2
2 +−
−→ x
xx
18. axax nn
ax −−
→lim 19.
axax nn
ax ++
−→lim
20. h
xhxh
−+
→ 0lim 21.
2)21()1(lim
2 −−
→ xx
x 22.
xx
x
11lim3
0
−+→
3.3 Limit Satu Sisi
Kiranya mudah dipahami bahwa xx 0lim→
tidak ada, karena x tidak terdefinisikan untuk 0<x .
Namun demikian, apabila 0>x maka xx 0lim→
ada dan nilainya sama dengan 0. Hal ini membawa kita
kepada definisi berikut ini.
Secara matematis, definisi di atas dapat dituliskan sebagai berikut:
Definisi 3.3.1 (i). Misalkan f(x) terdefinisikan pada suatu interval ),( δ+cc . Apabila untuk x di
dalam ),( δ+cc yang cukup dekat dengan c, nilai f(x) mendekati L, maka dikatakan bahwa L
merupakan limit kanan f(x) untuk x mendekati c, ditulis:
Lxfcx
=+→
)(lim
(ii). Misalkan f(x) terdefinisikan pada suatu interval ),( cc δ− . Apabila untuk x di dalam ),( cc δ−
yang cukup dekat dengan c, nilai f(x) mendekati L, maka dikatakan bahwa L merupakan limit kiri f(x)
untuk x mendekati c, ditulis:
Lxfcx
=−→
)(lim
69
(i). Lxfcx
=+→
)(lim jika dan hanya jika untuk setiap 0>ε ada 0>δ sehingga untuk setiap ),( δ+∈ ccx
berlaku ε<− Lxf )( .
(ii). Lxfcx
=−→
)(lim jika dan hanya jika untuk setiap 0>ε ada 0>δ sehingga untuk setiap ),( ccx δ−∈
berlaku ε<− Lxf )( .
Contoh 3.3.2 (a). 0lim0
=+→
xx
dan xx −→0lim tidak ada.
(b). Untuk bilangan bulat n,
[ ] nxnx
=+→
lim dan [ ] 1lim −=−→
nxnx
Contoh 3.3.3 Tentukan )(limdan),(lim),(lim),(lim1100
xfxfxfxfxxxx +−+− →→→→
jika diketahui:
L
ε+L
ε−L
c c+δ
ε+L
L ε−L
c-δ c
Gambar 3.3.1
(a) (b)
70
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
>−
−
<−=
1,1
1
1,12)(
2 xxx
xxxf
Penyelesaian:
(a). Untuk x cukup dekat dengan 0 (baik x < 0 maupun x > 0), 12)( −= xxf . Oleh karena itu,
1)12(lim)(lim
1)12(lim)(lim
00
00−=−=
−=−=
++
−−
→→
→→
xxf
xxf
xx
xx
(b). Untuk x cukup dekat dengan 1 dan x < 1, 12)( −= xxf . Sehingga:
1)12(lim)(lim11
=−=−− →→
xxfxx
Tetapi, untuk x cukup dekat dengan 1 dan x > 1, 1
1)( 2 −
−=
xxxf . Sehingga:
21
11lim
)1)(1(1lim
11lim)(lim
11211=
+=
+−−
=−
−=
++++ →→→→ xxxx
xxxf
xxxx.█
Dari beberapa contoh di atas, diperoleh beberapa kenyataan. Limit kiri suatu fungsi ada tetapi limit
kanannya tidak ada (atau sebaliknya), limit kiri dan kanan suatu fungsi ada tetapi nilainya tidak sama, dan
limit kiri dan kanan suatu fungsi ada dan nilainya sama. Selanjutnya, karena ketunggalan limit maka
diperoleh pernyataan berikut.
Sebagai akibat langsung dari Teorema di atas, diperoleh:
Pada Contoh 3.3.3 di atas, karena )(lim)(lim11
xfxfxx +− →→
≠ maka )(lim1
xfx→
tidak ada.
Teorema 3.3.4 Lxfcx
=→
)(lim jika dan hanya jika Lxfxfcxcx
==+− →→
)(lim)(lim .
Akibat 3.3.5 Jika )(lim)(lim xfxfcxcx +− →→
≠ maka )(lim xfcx→
tidak ada.
71
Contoh 3.3.6 Diberikan:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
<−=
1,
1,12)(
3 xx
xxxf
Karena untuk 1<x , 12)( −= xxf , maka:
1)12(lim)(lim11
=−=−− →→
xxfxx
.
Secara sama,
1lim)(lim 3
11==
++ →→xxf
xx.
Selanjutnya, karena )(lim1)(lim11
xfxfxx +− →→
== maka: 1)(lim1
=→
xfx
.█
Contoh 3.3.7 Tentukan )(lim2
xfx→
jika diketahui:
[ ]⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
≤=
2,
2,)(
xx
xxxf
Penyelesaian:
2lim)(lim22
==−− →→
xxfxx
[ ] 2lim)(lim22
==++ →→
xxfxx
Jadi, 2)(lim2
=→
xfx
.█
3.4 Limit Tak Hingga dan Limit Menuju Tak Hingga
Terlebih dahulu diperhatikan masalah hitung limit berikut: 20
1limxx→
. Untuk nilai-nilai x yang
cukup dekat dengan 0, maka nilai-nilai 21)(x
xf = diberikan pada table berikut ini.
72
Tabel 3.4.1
x 21x
x 21x
1 1 −1 1
0,5 4 −0,5 4
0,01 10.000 −0,01 10.000
0,0001 100.000.000 −0,0001 100.000.000
0,000005 40.000.000.000 −0,000005 40.000.000.000
Dari Tabel 3.4.1 di atas dapat dilihat bahwa apabila nilai x semakin dekat dengan 0, maka nilai 21)(x
xf =
menjadi semakin besar. Bahkan nilai 21)(x
xf = akan menjadi besar tak terbatas apabila x mendekati 0,
baik dari sisi kiri maupun dari sisi kanan. Grafik fungsi 21)(x
xf = dapat dilihat pada Gambar 3.4.1.
21)(x
xf =
Gambar 3.4.1
73
Dalam hal ini, dikatakan bahwa limit f(x) x menuju nol sama dengan tak hingga, ditulis:
∞=→
)(lim0
xfx
Secara sama mudah diperlihatkan:
−∞=−
→ 20
1limxx
Selanjutnya, diperoleh definisi berikut:
Secara matematis, Definisi di atas dapat ditulis sebagai:
Contoh 3.4.2
(a). ∞=+−→ 11lim
1 xx (b). −∞=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
− →→ 111lim1lim 20230 xxxx xx
.
Di atas telah diterangkan pengertian limit untuk cx → , dengan c suatu bilangan berhingga. Akan
tetapi, dalam berbagai aplikasi sering ditanyakan bagaimana nilai )(xf apabila nilai x cukup besar.
Definisi 3.4.1 (i). ∞=→
)(lim xfcx
jika untuk setiap x cukup dekat dengan c, tetapi cx ≠ , maka f(x)
menjadi besar tak terbatas arah positif.
(ii). −∞=→
)(lim xfcx
jika untuk setiap x cukup dekat dengan c, tetapi cx ≠ , maka f(x) menjadi besar
tak terbatas arah negatif.
∞=→
)(lim xfcx
(atau −∞) jika untuk setiap bilangan real 0>M terdapat bilangan real 0>δ
sehingga untuk setiap fDx∈ dengan sifat δ<−< cx0 berlaku Mxf >)( (atau Mxf −<)( )
74
Sebagai contoh, bagaimana nilai x
xf 1)( = apabila nilai x cukup besar? Tabel 3.4.2 di bawah
memperlihatkan nilai f untuk berbagai nilai x. Ternyata semakin besar nilai x (arah positif), nilai )(xf
semakin kecil mendekati nol. Dalam hal ini dikatakan:
01lim =∞→ xx
Tabel 3.4.2
(a) (b)
x x
xf 1)( = x x
xf 1)( =
10 0,1 −1 −1
1.000.000 0,000001 −1.000.000 −0,000001
5.000.000 0,0000002 −5.000.000 −0,0000002
100.000.000 0,00000001 −100.000.000 −0,00000001
Secara sama, apabila x besar tak terbatas arah negative ternyata berakibat )(xf mendekati nol, yaitu:
01
lim =−∞→ xx
Kemudian dapat diturunkan pengertian limit menuju tak hingga. Hal itu dituliskan dalam definisi
berikut.
Definisi 3.4.3 (i). Lxfx
=∞→
)(lim jika )(xf terdefinisikan untuk setiap nilai x cukup besar (arah positif)
dan jika x menjadi besar tak terbatas (arah positif) maka )(xf mendekati L.
(ii). )(lim xfx −∞→
jika )(xf terdefinisikan untuk setiap nilai x cukup besar (arah negatif) dan jika x
menjadi besar tak terbatas (arah negatif) maka )(xf mendekati L.
75
Secara matematis, Definisi 3.4.3 dapat ditulis sebagai:
Mudah ditunjukkan bahwa:
01lim =∞→ xx
dan 01lim =−∞→ xx
Contoh 3.4.4 Tentukan 9
1lim 3 +∞→ xx.
Penyelesaian: Untuk 0>x , xx >+ 93 . Sehingga xx1
910 3 <+
< . Selanjutnya, karena 01lim =∞→ xx
maka
dengan Teorema Apit diperoleh:
09
1lim 3 =+∞→ xx
.█
Contoh 3.4.5 Hitung 742
32lim 2
2
++
−−∞→ xx
xxx
.
Penyelesaian: Karena:
( ) ( ) ∞=−−=−−∞→∞→
3)2(lim32lim 2 xxxxxx
( ) ∞=++∞→
742lim 2 xxx
maka sifat limit perbagian tidak dapat digunakan. Namun demikian apabila pembilang dan penyebut sama-
sama dibagi dengan 2x maka:
(i). Lxfx
=∞→
)(lim jika untuk setiap bilangan real 0>ε terdapat bilangan 0>M sehingga untuk
setiap Mx > berlaku ε<− Lxf )( .
(ii). Lxfx
=−∞→
)(lim jika untuk setiap bilangan real 0>ε terdapat bilangan 0>M sehingga untuk
setiap Mx −< berlaku ε<− Lxf )( .
76
( )( ) 22
22
2
2
74232lim
74232lim
xxxxxx
xxxx
xx ++
−−=
++
−−∞→∞→
21
002001
742lim
321lim
742
321lim
2
2
2
2=
++−−
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛++
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−
=++
−−=
∞→
∞→
∞→
xx
xx
xx
xx
x
x
x.█
Contoh 3.4.6 Tentukan 1072
67lim 35
3
+−+
−+−∞→ xxx
xxx
.
Penyelesaian: Dengan membagi pembilang dan penyebut dengan 5x , diperoleh:
5
355
3
35
3
1072
67
lim1072
67lim
xxxx
xxx
xxxxx
xx +−+
−+
=+−+
−+−∞→−∞→
00001
00010721lim
671lim
542
542=
+−+−+
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
=
−∞→
−∞→
xxx
xxx
x
x .█
Contoh 3.4.7 Hitung 1072672lim 35
36
+++
−+−−∞→ xxx
xxxx
.
Penyelesaian: Dengan membagi pembilang dan penyebut dengan 5x , diperoleh:
5
355
36
35
36
1072
672
lim1072672lim
xxxx
xxxx
xxxxxx
xx +++
−+−
=+++
−+−−∞→−∞→
77
−∞=+++−+−∞−
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−
=
−∞→
−∞→
0001000
10721lim
672lim
542
542
xxx
xxxx
x
x .█
Soal Latihan
Untuk soal 1 – 20, tentukan nilai limitnya jika ada. Jika tidak ada limitnya, terangkan alasannya!
1. xx
−−→
2lim2
2. 1lim1
+−−→
xx
3. xx −→ 3
1lim3
4. 22 )2(1lim−→ xx
5. 2)(lim
axax
ax −−
→ 6.
21 1lim
x
xx −
−→
7. 21 1
limx
xx −
+→ 8.
22lim
2 ++
+−→ xx
x 9.
22lim
2 ++
−→ xx
x
10. 3
23
528753lim
xxxx
x +−−+
∞→ 11.
2111431157lim 25
2
+−++−
−∞→ xxxxx
x 12.
xxx
x −−
∞→ 123lim
13. 2352lim
+−
−∞→ xx
x 14. ( )xxx
x21lim 22 +−−
∞→ 15.
577lim
2 +−
−∞→ xx
xx
16. 3225lim
3
23
−−
+−−∞→ xx
xxx
17. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−−∞→ 1212
lim22
xx
xx
x 18. 2
2
1lim
xxxx
x −−
+→
19. ( )xxxx
2lim 2 −−∞→
20. ( )xxxx
52lim 2 ++−∞→
21. Tentukan )(lim1
xfx −→
, )(lim0
xfx→
, dan )(lim3
xfx→
jika diberikan:
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
≥+−
<<−+
≤−
=
3,15
30,33
0,12
)( 2
2
xx
xxxxx
xx
xf
78
22. Fungsi f yang terdefinisikan pada ],[ aa− dikatakan genap (atau ganjil) jika )()( xfxf =− (atau
)()( xfxf −=− ) untuk setiap ],[ aax −∈ . Jika Lxfx
=+→
)(lim0
maka tentukan )(lim0
xfx −→
jika: (a). f
genap, (b). f ganjil.
3.5 Limit Fungsi Trigonometri
Dengan memanfaatkan Teorema Apit, dapat ditunjukkan teorema di bawah ini.
Contoh 3.5.2 Hitung θθ
θ 3tan5sinlim
0→.
Penyelesaian:
θθ
θθ
θθ
θθθθ
θθ
θθ
θθθθθ 35lim.
3tan3lim.
55sinlim
31
3tan35
55sinlim
3tan5sinlim
00000 →→→→→==
Tetapi untuk 0→θ berakibat 03 →θ dan 05 →θ , sehingga:
35
35.1.1
35lim.
3tan3lim.
55sinlim
3tan5sinlim
003050===
→→→→ θθ
θθ
θθ
θθ
θθθθ.█
Soal Latihan
Untuk soal 1 – 12, hitunglah nilai limitnya.
1. xx
x 2tan5sinlim
0→ 2. ( )2
coslim2 ππ −→ x
xx
3. xxx
x 3tan4sinlim
2
0→
4. x
xx 2sin3lim 2
3
0→ 5.
xxx
x 3sincos1lim
0
−→
6. ax
xaax −
−→
)sin(lim
Teorema 3.5.1 (i). 1sin
limsinlim00
==→→ x
xx
xxx
.
(ii). 1tan
limtanlim00
==→→ x
xx
xxx
.
79
7. xx
xx 4sin3sin
2lim0 −→
8. xx
xxx 7cos2cos
5tanlim0 −→
9. x
xx cos
sin1lim2
−→π
10. ax
axax −
−→
sinsinlim 11. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
→ xxx tan1
sin1lim
0 12. ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
→ xxxx cos11lim
0
3.6 Bilangan Alam
Pada bagian ini, pembaca diingatkan kembali pada rumus binomium Newton. Untuk sebarang
R∈ba, dan N∈n :
(3.6.1) ( ) nnnnkknn
k
n bbannbanabak
nba ++
−++=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=+ −−−
=∑ ...
!2)1( 221
1
Apabila diambil n
ba 1dan1 == , maka dari (3.6.1) diperoleh:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
++=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + −
=∑
nn
nn
nnnnnn
nnnn
nk
n
n
nkkn
n
k
n
1121...2111!
1...2111!3
111!2
12
1...1!2
)1(1111112
1
Karena 3111 ≤⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +≤
n
n maka menurut Teorema Apit nilai
n
n n⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∞→
11lim ada. Berdasarkan perhitungan,
untuk ∞→n diperoleh:
en
n
n==++++=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∞→...718,2...
!41
!31
!21211lim
Selanjutnya, e disebut bilangan alam. Secara sama dapat ditunjukkan:
(3.6.2) en
n
n=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−
∞→
11lim
Mudah ditunjukkan bahwa untuk mn ≤ berlaku:
80
mn
mn⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +≤⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
1111
Selanjutnya, apabila diberikan sebarang bilangan real positif x maka dapat dicari bilangan asli m dan n
sehingga mxn ≤≤ . Hal ini berakibat:
mxn
mxn⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +≤⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +≤⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
111111
dan karena emn
m
m
n
n=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∞→∞→
11lim11lim maka sekali lagi dengan Teorema Apit diperoleh:
(3.6.3) ex
x
x=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∞→
11lim
Berdasarkan (3.6.2), tentunya mudah dipahami bahwa:
(3.6.4) ex
x
x=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−∞→
11lim
Selanjutnya, apabila diambil substitusi x
u 1= , maka untuk 0→u berakibat ±∞→x . Sehingga, dari
(3.6.3) dan (3.6.4) diperoleh:
(3.6.5) ( ) ex
ux
xu
u=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=+
±∞→→
11lim1lim 10
Contoh 3.6.1 Hitung 53
121lim
−
∞→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
x
x x.
Penyelesaian: Apabila diambil substitusi yx1
12
=−
maka berturut-turut diperoleh:
(i). yx 21−= , sehingga 2653 −−=− yx .
(ii). Karena 2
1 xy −= maka untuk ∞→x berakibat −∞→y .
Selanjutnya, berdasarkan (3.6.4):
81
262653 1111lim11lim1
21lim−−
−∞→
−−
−∞→
−
∞→ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
yyyx
y
y
y
y
x
x
26
11lim11lim−
−∞→
−
−∞→ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
yy y
y
y
6626
1.11lim11lim −−−
−∞→
−
−∞→==
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= ee
yy y
y
y.█
Contoh 3.6.2 Tentukan ( ) ( )111
2lim −
→− x
xx .
Penyelesaian: Soal dapat ditulis:
( ) ( ) ( ) ( )111
111
)1(1lim2lim −
→
−
→−+=− x
xx
xxx
Diambil substitusi xy −= 1 . Jika 1→x maka 0→y . Selanjutnya, menurut (3.6.5) diperoleh:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )e
yyxx yy
yy
xx
xx
11lim1lim)1(1lim2lim1
10
10
111
111
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=+=−+=−
−
→
−
→
−
→
−
→.█
Teorema berikut ini sangat bermanfaat untuk menyelesaikan soal-soal hitung limit yang berkaitan
dengan bilangan alam. Bukti diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
Contoh 3.6.4 Tentukan 23
11lim
−
∞→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+− x
x xx .
Penyelesaian: Soal dapat ditulis:
Teorema 3.6.3 Apabila 0)(lim =→
xfcx
dan )atau()(lim ∞−∞=→
xgcx
maka:
( ))().(lim)()(1lim
xgxfxgcx
cxexf →=+→
82
2323
121lim
11lim
−
∞→
−
∞→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+− x
x
x
x xxx
Apabila berturut-turut diambil 1
2)(+−
=x
xf dan 23)( −= xxg maka:
∞==∞→∞→
)(limdan0)(lim xgxfxx
Selanjutnya, menurut Teorema 3.6.3:
6)23(1
2lim2323
121lim
11lim −−
+−−
∞→
−
∞→==⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
∞→ eexx
x xx
x
x
x
xx .█
Contoh 3.6.5 Hitung 231
2lim +−
→
xxx
xx .
Penyelesaian:
( )( ) 2322 11limlim
123
1
+−
−+=→
+−
→
xx
x
xxx
xxx
x
Selanjutnya, jika diambil 1)( −= xxf dan 23
)( 2 +−=
xxxxg maka:
±∞==→→
)(limdan0)(lim11
xgxfxx
Sehingga menurut Teorema 3.6.3:
( )( ) 23).1(lim
123
1
212322 11limlim +−
−
→
+−
→
→+−
=−+= xxxx
xxx
x
x
xxx
x
exx
1)1)(2()1(
lim1 −−−
−
== → ee xxxx
x .█
Contoh 3.6.6 Selesaikan x
xx
x 332lim
0
−→
.
Penyelesaian: Tulis:
xxxx
x
x
x
x
xx
x
xx
x 313lim
312lim
33112lim
332lim
0000
−−
−=
−+−=
−→→→→
Berturut-turut diambil substitusi:
83
13dan12 −=−= xx vu
maka:
(i). ( ) ( )
2ln31
log1.
31
1limlog1
31
1loglim1
31
)1log(.3lim
312lim 21
0
212
0
200==
+=
+=
+=
−
→→→→ euuu
ux u
u
u
uu
x
x
(ii). ( ) ( )
3ln31
log1.
31
1limlog1
31
1loglim1
31
)1log(.3lim
313lim 31
0
313
0
300==
+=
+=
+=
−
→→→→ euuu
ux u
u
u
uu
x
x
Selanjutnya, dari (i) dan (ii) diperoleh:
( )3ln2ln31
332lim
0−=
−→ x
xx
x.█
Soal Latihan
Untuk soal 1 – 10, hitunglah nilai limitnya.
1. 13
221lim
−
∞→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
x
x x 2. ( ) )2(1
21lim −
→− x
xx
3. x
x xx 2
21lim
−
−∞→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+− 4. ( ) )1(12
133lim −
→+− x
xxx
5. x
x
x
12lim0
−→
6. x
xx
x 2213lim
12
0
+
→
−+
7. x
xx ln
1lim1
−→
8. 57
1313lim
−
∞→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+− x
x xx
9.
21
2
2
0 121lim
x
x xxx
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
−→
10. )7(1
30
2
11lim
xx
x xxx −
→ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++
+
84
3.7 Fungsi Kontinu
Seperti telah dijelaskan pada bagian sebelumnya, kadang-kadang nilai )(lim xfcx→
sama dengan
)(cf , kadang pula tidak sama. Pada kenyataannya, meskipun )(cf tidak terdefinisikan akan tetapi
)(lim xfcx→
mungkin ada. Apabila )(lim xfcx→
= )(cf maka dikatakan fungsi f kontinu di c.
Definisi 3.7.1 di atas secara implisit mensyaratkan tiga hal agar fungsi f kontinu di a, yaitu:
(i). f(a) ada atau terdefinisikan,
(ii). ( )xfax→
lim ada, dan
(iii). ( ) ( )afxfax
=→
lim
Secara grafik, fungsi f kontinu di ax = jika grafik fungsi f pada suatu interval yang memuat a tidak
terpotong di titik ))(,( afa . Jika fungsi f tidak kontinu di a maka dikatakan f diskontinu di a. Pada
Gambar, f kontinu di x1 dan di setiap titik di dalam ),( ba kecuali di titik-titik x2, x3, dan x4. Fungsi f
diskontinu di x2 karena )(lim2
xfxx→
tidak ada, diskontinu di x3 karena nilai )(lim3
xfxx→
tidak sama dengan nilai
fungsi di x3 (meskipun keduanya ada), dan diskontinu di x4 karena nilai fungsi di titik ini tidak ada.
( )xfy=
a x1 x2 x3 x4 b
Gambar 3.7.1
Definisi 3.7.1 Fungsi f dikatakan kontinu di fDa∈ jika ).()(lim afxfax
=→
° °
°
•
85
Fungsi f dikatakan kontinu pada interval I jika f kontinu di setiap titik anggota I.
Contoh 3.7.2
(a). Fungsi f dengan rumus ( )112
−−
=x
xxf diskontinu di x = 1 karena f (1) tidak terdefinisi.
(b). Fungsi Heavyside H yang didefinisikan oleh
( )⎩⎨⎧
≥<
=0100
xjikaxjika
xH
diskontinu di x = 0 sebab ( )xHx 0lim→
tidak ada.
(c). Fungsi g dengan definisi:
( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
≠−−
=
2jika1
2jika242
x
xxx
xg
diskontinu di x = 2 sebab g(2) = 3 sedangkan ( ) ( ) 42lim24limlim
2
2
22=+=
−−
=→→→
xxxxg
xxx. Namun demikian
fungsi g kontinu di x = 1 sebab ( ) ( )13lim1
gxgx
==→
.█
Berikut sifat-sifat dasar fungsi kontinu.
Teorema 3.7.3 Jika fungsi f dan g kontinu di a, dan k sebarang konstanta real, maka f+g,
f – g, kf, dan fg kontinu di a. Demikian pula, gf
kontinu di a asalkan ( ) 0≠ag .
86
Seperti halnya pada hitung limit, dalam kekontinuan juga dikenal istilah kontinu satu sisi. Hal itu
diberikan pada definisi berikut ini.
Contoh 3.7.5 Diberikan ( ) .xxf 21−= Selidikilah kekontinuan fungsi f.
Penyelesaian:
Jelas f tidak kontinu pada ( )1−∞− , dan pada ( )∞,1 sebab f tidak terdefinisi pada interval tersebut.
Untuk nilai-nilai a dengan –1 < a <1 diperoleh:
( ) ( ) ( )afaxxxfaxaxax
=−=−=−=→→→
222 11lim1limlim
Jadi, f kontinu pada (−1, 1). Dengan perhitungan serupa didapatkan:
( ) ( )10lim1
−==+−→
fxfx
dan ( ) ( )10lim1
fxfx
==−→
sehingga f kontinu dari kanan di x = −1 dan kontinu dari kiri di x = 1. Jadi, f kontinu pada [ ]1,1− .█
Contoh 3.7.7
(a). ( ) 12 +−= xxxf kontinu pada R .
(b). ( )1
52
3
−
−=
xxxxf kontinu pada { ∈x R ; }1,1 −≠≠ xx .
(c). ( ) 1−= xxf kontinu pada [ )∞,1 .█
Definisi 3.7.4 (i). Fungsi f dikatakan kontinu dari kiri di a jika ( )afax
=−→
lim .
(ii). Fungsi f dikatakan kontinu dari kanan di c jika ( ) ( ).cfxflimcx
=+→
Teorema 3.7.6 Fungsi polinomial, fungsi rasional, fungsi akar, fungsi logaritma, fungsi eksponen, dan
fungsi trigonometri kontinu pada domainnya masing-masing.
87
Hubungan antara fungsi kontinu dan hitung limit dinyatakan dalam teorema berikut.
Contoh 3.7.9 Hitung ( )xx
+→
1lnlim1
.
Penyelesaian: Namakan ( ) xxf ln= dan ( ) xxg +=1 . Karena ( ) 2lim1
=→
xgx
dan f kontinu di x = 2 maka
( ) ( )( ) ( ) ( ) 2lnlimlnlimlim1lnlim1111
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==+
→→→→xgxgfxgfx
xxxx.█
Soal Latihan
Untuk soal 1 – 8, tentukan titik-titik di mana fungsi berikut diskontinu.
1. x
xxh 3)( += 2. 3 2 1)( −= xxf 3. 1
2)( 3 −
+=
xxxf
4. xxxg tan)( = 5. 3
2)( 2 −=
sssf 6.
24)(
2
−−
=t
tth
7.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤+≤<
>−=
1,2331,5
3,13)(
2
xxx
xxxg 8.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>≤≤
<=
31,3310,2
0,)(
2 xxxx
xxxf
9. Selidiki kontinuitas x
xf−
=1
1)( pada ]5,1[−
Teorema 3.7.8 Jika f kontinu di b dan ( ) ,lim bxgax
=→
maka ( )( ) ( ).lim bfxgfax
=→
Dengan kata lain
( )( ) ( )⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=
→→xglimfxgflim
axax
88
10.Jika ⎩⎨⎧
≤<−≤≤
=73,1530,2
)( 2 xxxx
xf maka tunjukkan bahwa f kontinu pada ]7,0[ .
Untuk soal 11 – 13, tentukan nilai a dan b agar fungsi-fungsi berikut kontinu untuk pada R.
11.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−≤+
−>+−
=
5,2
5,53
)(
2
xbx
xx
ax
xf 12.
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
>+
=
<
=
0,
0,4
0,tantan
)(
xbax
x
xbxax
xf
Related Documents
