Libro Taptana Montaluisa FINAL 101210

MontaluisaTaptanaMontaluisaTaptana

Historia de lacreacin de uninstrumento parala explicacin delos sistemasde numeracin.

TAPTANA MONTALUISA

Autor:Luis Octavio Montaluisa ChasiquizaContacto: Celular: 099710435

Diseo:Jos Atupaa Guanolema

Fotos taptanas:Mara Beln Montaluisa lvarezDavid Efrain Montaluisa lvarez

Revisin de estilo:Catalina lvarez Palomeque

Elaboracin del instrumento en piedra pmez, en madera, en cartn, cartulina y papel en 1982.

Prohibida la repreduccin parcial o total por cualquier medio, incluido el diseo de la Taptana Montaluisa, sin consentimiento expreso del autor.

Impresin de Taptana Montaluisa

Quito, 2010

Dedicatoria:

A mi madre Luz Mara Chasiquiza Sarabia, In memoriam.A mi hermana Rosa Montaluisa Chasiquiza.

Al Sistema de Educacin Intercultural Bilinge de las Nacionalidadesen la lucha por su liberacin.

Taptana Montaluisa Instrumento para la explicacinde los Sistemas de Numeracin.

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TAPTANA MONTALUISA

INTRODUCCIN

Cuando estuve en la escuela, fue una sorpresa observar que muchos estudiantes tenan dificultades en la matemtica elemental. En la sociedad se haba posicionado la idea de que la matemtica era una de las ciencias duras. Esto subsiste hasta la actualidad. Por otra parte mi madre, analfabeta saba hacer bien las cuentas en el mercado. Tambin conoc personas en la comunidad que, siendo analfabetas, tenan la capacidad de hacer reparticiones de herencias, que es un trabajo nada fcil debido a la irregularidad de los terrenos.

En la escuela los profesores decan que haba cuatro operaciones fundamentales: suma, resta, multiplicacin, y divisin. Pero, muy pronto me di cuenta que haba una sola operacin fundamental que era el conteo. En efecto, la suma es una forma de conteo. La resta es tambin una forma de conteo, pero en direccin contraria al de la suma. La multiplicacin no es sino una caso particular de suma, en que todos los sumandos son iguales. La divisin tambin es un caso particular de resta restas sucesivas, en que todos los minuendos son iguales. La potenciacin es un caso particular de multiplicacin que

a su vez no es sino un caso particular de suma, la cual a su vez es conteo. Lo mismo se puede decir de la radicacin, y as tambin se puede decir de otras operaciones de clculo.

Por otra parte el conteo est basado en uno y sobre l est construido el edificio de las diversas operaciones de clculo, y quiz de todas las matemticas. Entonces Por qu se ha hecho difcil ensear matemticas en las instituciones educativas desde la educacin bsica hasta el nivel superior?

Hace treinta aos me propuse reflexionar sobre estos hechos. Me surgieron muchas inquietudes. Eran realmente las matemticas algo para mentes privilegiadas? Cmo era que mi madre siendo analfabeta, poda hacer cuentas?

En la escuela me hablaron de los nmeros arbigos, de los nmeros romanos, etc. Despus me enter que cada cultura haba construido su forma propia de representar las cantidades con signos orales (numerales), con conos; y que varias, tambin lo hacan con signos escritos. Estos ltimos signos por ser construcciones sociales convencionales son smbolos.

Ms tarde supe que los smbolos usados por los occidentales para representar las cantidades haban sido inventados por los indes, mas no por los rabes como se deca. Aquellos haban inventado un smbolo para representar la no existencia, con el cero. El cero permite crear cdigos de fcil manejo para representar cualquier cantidad, empleando lo que en semitica se llama la proxmica. La invencin del cero permiti a la humanidad descubrir la tcnica de usar el valor posicional de los smbolos para representar las cantidades. El concepto de posicin facilita la representacin escrita de cualquier cantidad. En el caso del sistema decimal, con diez signos y dos reglas se puede representar cualquier cantidad hasta el infinito. La invencin del cero en la India se estima que fue en el siglo V d.C. Entre los historiadores de las matemticas se habla de un tratado de Cosmologa Lokavibhaga (las partes del universo), del ao 458 d. C. en el cual ya se encuentra el nmero 14.236.713, escrito segn el sistema posicional.

Posteriormente, conoc que los Olmecas y los Mayas hace ms de dos mil aos ya haban inventado el cero. Esto me permiti comenzar a desmitificar la sabidura de los europeos, y a creer ms en nosotros


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mismos. Ahora pienso que ellos algo andan adelantados en ciertas tecnologas, aunque varias de ellas son contaminantes. En los Andes y la Amazona, nosotros inventamos la papa, cultivamos la quinua, el chocho, la yuca, etc. Nosotros, los pueblos ancestrales hemos sido especialistas en: economa, ecologa, salud, nutricin, astronoma, cosmogona, arquitectura, tradicin oral, interpretacin de la historia, etc. Estas ciencias, hay que estudiarlas en nuestros pases, no tanto en Lovaina, Illinois, Oxford, Harvard, etc.

Al reflexionar sobre la forma de contar en quichua, se me vino la idea de crear un dispositivo que sirva para representar el proceso de representacin del sistema decimal. Esta reflexin me llev a la creacin, hace treinta aos de lo que hoy se conoce como Taptana Montaluisa. Ella es un cono, una especie de maqueta, que sirve para representar cualquier sistema de numeracin, como un paso hacia procesos de abstraccin pura.

Debo alertar que algunas personas, sin consentimiento del autor, han comenzado a denominar a la Taptana Montaluisa, como Taptana Nikichik y a poner diferentes colores en las columnas. Esto es un error matemtico, pues nikina en quichua, es ordenar una secuencia en relacin a un referente. Nikina, de donde proviene la palabra niki, nikichina, nikichik, sirve para designar los nmeros ordinales, no para representar a los cardinales. Tampoco es para explicar un

sistema de numeracin posicional. El niki se usa, por ejemplo en:

Shukniki primero (esto parece provenir de shuk nikpi)Ishkayniki segundoKimsaniki tercero, etc.

Nikichina significa hacer ordenar. Esto no tiene nada que ver con el objetivo fundamental de la Taptana Montaluisa. Ella es una Taptana posicional. Por eso, en la Taptana Montaluisa, no se pone colores distintos en las columnas. Los colores diferentes en las columnas de la taptana son distractores que pueden causar dificultad en la captacin del concepto del valor posicional de los smbolos numricos, y del proceso semitico de formacin del pensamiento abstracto y del pensamiento matemtico. Es verdad que a las nias y a los nios les gustan los colores. Ms an, los colores, se debe usar para ensear los smbolos de la lecto-escritura que son las letras. Pero, en el caso

de enseanza de los sistemas de numeracin posicional, usar formas o colores para distinguir las unidades de las decenas, centenas, etc., es continuar fomentando el memorismo. La distincin con colores y/o formas a las unidades, decenas, centenas, miles, etc., es una prctica que se ha introducido por imitacin a la prctica usada en textos de matemtica del castellano.

Para ensear los nmeros ordinales las culturas indgenas han usado milenariamente el churo y no la taptana chunkachina. El churo est relacionado con el pachakutiy. Este concepto de las nacionalidades indgenas, en la ciencia occidental es conocido como la teora del big bang.

La Taptana Montaluisa para el sistema decimal se la puede denominar chunkayachina. La Taptana Montaluisa para el sistema binario se la puede llamar ishkayachina, y as sucesivamente, segn la base que se la est empleando.

En este texto se plantea, la conveniencia de ensear las matemticas a partir de la comprensin de la Pachamama (cosmos). Ella es, el origen del espacio-matemtico-de representacin. A partir de la ubicacin de los estudiantes en la Pachamama, de reconocer sus elementos y sus interconexiones, se tiene que ensear el proceso de simbolizacin seguido por las distintas culturas del Mundo, en el camino hacia la abstraccin y generalizacin. Para representar la Pachamama y sus elementos se comienza con la elaboracin de maquetas, luego se puede pasar a la representacin con conos, ndices y finalmente llegar a la representacin con smbolos. Este mismo proceso se puede emplear para explicar las operaciones matemticas, el origen de los algoritmos, etc.

En la primera parte se expone informacin sobre aspectos histricos de la creacin de la Taptana Montaluisa y elementos tericos para ensear las matemticas como un proceso semitico. En la segunda parte se presenta un modelo para comenzar a ensear las matemticas como un proceso sostenido de simbolizacin, a partir de la compresin de la Pachamama. Se muestra la representacin de cantidades en un sistema de valor posicional, tanto decimal. Finalmente se presenta la enseanza de las sumas con agrupacin decimal (con llevadas) y las restas con desagrupacin decimal (con prestadas).


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HISTORIA DE LA CREACIN DE LA TAPTANA MONTALUISA

Pieza arqueolgica de la cultura chorrera que est el Museo del Banco central de Quito, donde se encuentra representado el cosmos (foto por Luis Montaluisa en Agosto 2010).

Al estudiar la lingstica del quichua, a fines de la dcada de 1970 pude darme cuenta de la cuasi regularidad de esta lengua.

Por otra parte usando las herramientas de la semitica se pudo apreciar que las ciencias y las artes han sido construidas a partir del estudio de los elementos del Cosmos. Se puede apreciar que las culturas ancestrales haban llegado a la abstraccin y a la tecnologa mediante la construccin de representaciones en miniatura o viceversa. Por ejemplo, los juguetes para las nias y nios son construidas a imagen y semejanza de elementos del cosmos y/o de la cultura.

Las nacionalidades ancestrales, habamos simbolizado y creado la cultura inspirndonos en los elementos del cosmos y en el cuerpo humano. Un paso fundamental parece haber sido la representacin

icnica. El cosmos y sus cuasi-cilos, incluidos los vitales, fueron representados una especie de espirales (churu).

Esto se puede observar en los objetos de cermica. As por ejemplo en el Museo del Banco Central del Ecuador, que est en la Casa de la Cultura Ecuatoriana se encuentra en muchas piezas

arqueolgicas de diferentes culturas. Se puede observar que tambin las galaxias tienen forma de churu. Es muy probable que las partculas tambin tengan esta misma forma. Toda la Pachamama, se la puede representar con el signo churu.

La Pachamama es la fuente inicial de todo conocimientoLas culturas ancestrales llegaron a descubrir que todo conocimiento

proviene del estudio del cosmos, de sus elementos entre los cuales estamos los humanos. Es decir, la Naturaleza y el cuerpo humano son la fuente de donde han surgido los conocimientos de las diversas ciencias y artes. Por lo tanto, nada se puede estudiar a fondo, si no es en forma holstica.

Repasemos algunos elementos bsicos de la cosmovisin de las culturas milenarias.

Pachamama. Trmino quichua y aymara, compuesto de dos palabras: pacha que significa espacio-tiempo, plenitud, totalidad y mama que representa la fecundidad.

Allpamama. Trmino compuesto de allpa que significa tierra, y mama que es la fecundidad.

Wata. Para medir la cuarta dimensin del espacio, que es el tiempo, se tom como referencia el movimiento de la tierra en torno al sol y el movimiento de la luna en torno a la Tierra. Se estableci como unidad de medida el wata, del verbo watana (amarrar), para referirse al ao. All se puede apreciar la cosmovisin cuasicclica de las culturas ancestrales.

En los pueblos indgenas, varias de las teoras surgidas en las ltimas centurias en Occidente como: el big bang, el big crunch, la fotosntesis, los fractales, la complejidad, el caos, etc., han sido ya milenariamente conocidas. Estos descubrimientos parece que se realizaron mediante la observacin atenta de la naturaleza Algunos de los smbolos que muestran eso son: el uso simblico de los churu, la chakana, las fiestas en los solsticios y equinoccios, etc. Algunos estudiosos occidentales, por desconocimiento o por prejuicios han considerado que las nacionalidades indgenas eran idlatras, que adoraban al sol, la luna, etc. Ahora se ve que los sabios de la antigedad no tenan a elementos del cosmos como dioses, sino que las fiestas se realizaban, principalmente, durante los solsticios y equinoccios.

Eran plenamente conscientes de que cada da nos comemos un pedazo de sol, cuando estamos comiendo una fruta, o cualquier alimento. Igualmente se daban cuenta que el cosmos era obscuro y

UNIDAD 1UNIDAD 1


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helado. Solamente de cara a las estrellas y en espacios cercanos a ellas haba luz y calor.

Si estas cosas me hubieran contado en la escuela, habra entrado mucho antes al mundo de la ciencia. Pero nunca es tarde.

Ahora los nios del Ecuador pueden estudiar las ciencias naturales, la fsica, la matemtica, etc., con estas ideas. Este es el camino a seguirse en el mejoramiento de la educacin.

Pieza arqueolgica de la cultura Inca que est en el museo del Banco Central del Ecuador en la Casa de la Cultura Ecuatoriana (foto tomada por Luis Montaluisa en agosto 2009).

El aprendizaje de las matemticasLa mayor parte de los problemas en la enseanza-aprendizaje surgen

debido a que en los primeros niveles de la escolarizacin se ensean las matemticas de forma repetitiva, memorstica y mecnica. El problema de los estudiantes en las matemticas se inicia en educacin bsica y no tanto en la superior. Lo que pasa es que los efectos del memorismo con el que se ensean las matemticas al inicio, se refleja

ms claramente en las matemticas superiores. Unos estudiantes tienen problemas desde el inicio, otros un poco ms tarde, pero el origen est en la forma como se les explic esta ciencia al inicio.

Las nias y los nios viven en un mundo de al menos cuatro dimensiones (largo-ancho-profundidad-tiempo). De esta situacin

vivencial deben ir pasando metdicamente a representaciones en un mundo de tres dimensiones (largo-ancho-profundidad), posteriormente a un mundo de dos dimensiones (largo-ancho). Con este proceso se estara preparado para moverse en el mundo de las ideas y de las abstracciones puras.

Es necesario aplicar los conceptos de la semitica para que las

nias y los nios vayan construyendo y/o descubriendo el proceso de simbolizacin a usarse en las en la comprensin de las ciencias. Desde el inicio los alumnos deben manejar el proceso de construir representaciones. Esto hay que comenzar con signos elaborados con materiales concretos. Entre estos materiales estn los palillos, las piedras, los atados; las taptanas en piedra, madera o en otro material.

Despus de haber trabajado la representacin de las cantidades y operaciones en materiales concretos de tres dimensiones se puede pasar a materiales semi-abstractos en dos dimensiones, y finalmente al empleo de signos cada vez ms abstractos.

Este proceso semitico en el campo de las matemticas haba comenzado a ser usado en algunos centros educativos interculturales bilinges del Ecuador. Pero ahora estn en serio riesgo de perderse al aplicar de manera general el modelo extranjerizante, memorstico y alienante adoptado por las autoridades educativas del Ministerio de Educacin bajo el pretexto de ejercer rectora del sistema de educacin intercultural bilinge. La rectora se ha transformado en un discurso solapado de dominacin de las nacionalidades indgenas.

Muchos asesores, tcnicos, expertos, consultores, etc., del Ministerio de Educacin, no han entendido que el problema de la enseanza de la matemtica y de la lecto-escritura no es un problema de promulgar nuevas leyes, reglamentos, orgnicos funcionales complejos. Tampoco solucionan los discursos repetitivos de nombres trados por los expertos: pertinencia, eficiencia, eficacia, ejes transversales, calidad, calidez, distritos, circuitos, etc.

La solucin para la educacin est en emplear recursos sencillos y al alcance de todo docente: ensear la matemtica, la lecto-escritura como un proceso semitico y de comunicacin. Adicionalmente se tiene que arreglar la infraestructura educativa, comenzando por los baos. Luego a cada nia y nio, se le debe dar una computadora con internet. Esto permitir tener cientficos en los prximos aos. Miles de millones de dlares se gastan en vano en contratar consultoras y asesoras extranjeras y nacionales y no han servido para nada.

Desde el punto de vista semitico el cdigo para representar cualquier sistema de numeracin: el decimal, el binario, el de base


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cinco, etc., est integrado por dos componentes: un grupo pequeo de signos y un conjunto de leyes, normas construidos socialmente por los humanos. Con este grupo reducido de signos y de leyes se tiene la maravilla de poder representar cualquier cantidad y adems realizar muchas operaciones.

En el sistema de numeracin decimal posicional con diez signos se escribe cualquier cantidad. Este proceso de representacin simblica es muy similar en la lecto-escritura en la cual con unos treinta signos, se representa cualquier idea: infinito nmero de ideas. Dnde est lo difcil?. El problema est en el manejo inapropiado de los procesos de simbolizacin en los primeros aos

de la escolaridad. Es necesario trabajar con diversos materiales en el proceso de representaciones sucesivas de la realidad.

El sistema de numeracin del quichua en relacin al sistema de numeracin de lenguas europeas

Pocas lenguas tienen en su sistema verbal un sistema de numeracin claramente construido y expresado. De las lenguas occidentales, casi ninguna tiene el sistema de numeracin decimal representado en las palabras con las que expresa. Segn como ha ido desarrollndose la cultura han ido acomodando las expresiones verbales para representar el sistema de numeracin decimal que emplean en la matemtica corriente. Esto se nota claramente a partir del diez en adelante.

Cuadro comparativo de los nombres de los nmeros en algunas lenguas

N

Kic

hwa

Latn

Esp

aol

Ingl

sFr

anc

sA

lem

n

1

shuk

unus

uno

one

unei

ns2

is

hkay

duo

dos

two

deux

zwai

3

kim

satre

stre

sth

ree

trois

drei

4

chus

kuqu

attu

orcu

atro

four

quat

revi

er5

pi

chka

quin

que

cinc

ofiv

eci

nqf

nf6

su

kta

sex

seis

six

six

sech

s7

ka

nchi

sse

ptem

siet

ese

ven

sept

sieb

en

8

pusa

koc

tooc

hoei

ght

huit

acht

9

isku

nno

vem

nuev

eni

nene

ufne

un10

chu

nka

dece

m

diez

ten

dix

zehn

11 c

hunk

a sh

uk (1

0+1)

unde

cim

(1+1

0)on

ce (1

+10)

elev

enon

ze (1

+10)

elf

12 c

hunk

a is

hkay

(10+

2)du

odec

im(2

+10)

doce

(2+1

0)tw

elve

(2+1

0)do

uze

(2+1

0)zw

lf (

2+10

)13

chu

nka

kim

sa (1

0+3)

tre

deci

m (3

+10)

trece

(3+1

0)th

irtee

n (3

+10)

treiz

e (3

+10)

drei

zen

(3+1

0)14

chu

nka

chus

ku (1

0+4)

quat

tuor

decim

(4+1

0)ca

torc

e (4

+10)

four

teen

(4+1

0)qu

ator

ze (4

+10)

vier

zhen

(4+1

0)15

chu

nka

pich

ka (1

0+5)

quin

deci

m (5

+10)

quin

ce (5

+10)

fif

teen

(5+1

0)qu

inze

(5+1

0)f

nfze

hn (5

+10)

16 c

hunk

a su

kta

(10+

6)

sexd

ecim

(6+1

0)di

ecis

eis

(10+

6)si

xtee

n (6

+10)

zeiz

e (6

+10)

sech

zehn

(6+1

0)17

chu

nka

kanc

his

(10+

7)se

ptem

dech

im (1

0+7)

diec

isie

te (1

0+7)

seve

ntee

n (7

+10)

dix-

sept

(10+

7)si

ebze

hn (7

+10)

18 c

hunk

a pu

sak

(10+

8)

duod

evig

inti

(20-

2)di

ecio

cho

(10+

8)ei

ghte

en (8

+10)

dix-

huit

(10+

8)ac

htze

hn (8

+10)

19 c

hunk

a is

kun

(10+

9)un

devig

inti

(20-

1)di

ecin

ueve

(10+

9)ni

nete

en (9

+10)

dix-

neuf

(10+

9)ne

unze

hn (9

+10)

20 i

shka

y ch

unka

(2x1

0)

vigi

nti (

2x10

)ve

inte

(2x2

0)tw

enty

(20)

ving

t (2x

10)

zwan

zig

(2x1

0)80

pus

ak c

hunk

a (8

x10)

oc

togi

nta

(8x1

0)oc

hent

a (8

0)ei

ghty

(80)

quat

re v

irigt

(4x2

0)ac

htzi

g (8

0)


12 13

La numeracin en otras lenguas de las nacionalidades del Ecuador

Cada lengua ha ido organizando su sistema de numeracin segn sus necesidades. Unas necesitaron contar hasta cantidades grandes, otras solo lo hicieron hasta cantidades pequea. Esto no significa que una lengua que contaba hasta cantidades grandes era ms funcional que otra que no lo haca. Los nmeros fueron creados segn las necesidades de cada cultura.

La numeracin en las lenguas de las nacionalidades indgenas del Ecuador

Awapit

1 maza2 pas3 kuta4 ampara

Cha`palaa (chafiki)

1 main/mallu2 pallu3 pema4 taapallu (2+2) / (2x2)5 manda6 manchis mallu (5+1)7 manchis pallu (5+2)8 manchis pema (5+3)9 manchis taapallu [5+(2+2)]10 paytya (2x5)11 paytya mallu [(2x5)+1]12 paytya pallu13 paytya pema14 paytya taapallu [(2x5)+(2+2)]15 paytya manda [(2x5)+5]16 paytya manchis mallu [(2x5) + (5+1)]17 paytya manchis pallu [(2x5) + (5+2)]18 paytya manchis pema [(2x5) + (5+3)]19 paytya manchis taapallu {(2x5) + [5+(2+2)]}20 manchalura (una persona)21 manchalura main (20 +1)22 manchalura pallu (20 +2).....40 pallu manchalura (2 x 20)100 manbatsa (de main y patsac este ltimo del quichua)


14 15

Tsafiki

1 malu2 palu3 peman4 junpalu (2 x 2)5 manteka6 sota (del quichua sucta)7 sieteka (del espaol siete)8 ochuka (del espaol ocho)9 nueka (del espaol nueve)10 chunka (del quichua chunca)11 chunka malu (10 +1)

Siapedee

1 aba2 om3 omp4 khimari

5 joisom6 joisom aba (5+1)7 joisom om (5+2)8 joisom omp (5+3)9 joisom khimari (5+4)10 om joisom (2x5)

Waotededo

1 adoke2 mea3 mea go adoke (2+1)4 mea go mea (2+2)5 emenpoke (mano derecha)6 emenpoke go adoke (5+1)7 emenpoke go mea (5+2)

8 emenpoke mea go adoke [5+(2+1)]9 emenpoke mea go mea [5+(2+2)]10 tipenpoke (mano izquierda)11 tipenpoke go adoke (10+1).....15 emenwake (pie derecho)20 tipenwa (pie izquierdo)

Aingae

1 faekho2 Khoangikho3 khoanifaekho (2+1)4 khattufayikho (5-1)5 faefayikho 6 khafaeseyikho7 khafaiseyikhoanfaekho8 khafaiseyikhoanfaekho9 khafaiseyikhattufayikho10 khoangitivepakho

Paikoka/Baikoka

1 teo / tee una/uno2 kayay 3 toaso4 kajese5 teejnte 6 teejnte teo (5+1)7 teejnte kayay (5+2)8 teejnte toaso (5+3)9 teejnte kajese (5+4)10 siaja

Shuar Chicham

1 chikichik


16 17

2 jimiar3 menaint4 aintiuk5 ewej6 ujuk (rabo de mono)7 tsenken (gancho)8 yarush (tipo de hormiga)9 usumtai (dedo para pintarse)10 nawe (pie)100 washim (mucho)1.000 nupanti (muchsimo)1.000.000 amuchat (imposible de contar)

Achuarchicham

1 kichik2 jimiar3 kampata4 yachintiuk5 trus

Sapara (kayapi)

1 nokwakihie2 amashanikie3 aimokomari

En el siglo XXI se requiere que los sistemas de numeracin de las nacionalidades indgenas del Ecuador sean decimalizados. Habra dos posibilidades para conseguirlo: la primera sera poner un nombre arbitrario a los nmeros que faltan hasta llegar a diez, luego al cien, al mil, al milln, etc. Otra posibilidad sera a partir de los nombres de las combinaciones existentes abreviarlos para

obtener nombres cortos.

Ejemplo en wao tededo:

3 medoke (de mea go adoke)

4 memea (de mea go mea)7 emenmea (de emenpoke go mea)8 emenmedoke (de emenpoke mea go adoke), etc.

La primera posibilidad, parece ser la ms aceptable. Por esta razn cuando la DINEIB era libre, se haba comenzado un proceso de decimalizacin de los sistemas de numeracin por parte de los mismos hablantes liderados por las direcciones de educacin de cada nacionalidad. A partir del da negro del 18 de febrero de 2009, en que se esclaviz al sistema de educacin intercultural bilinge, este proceso ha sido suspendido.

Creacin de la Taptana Montaluisa para la ChunkachinaLas lenguas del Mundo que han logrado representar en su lxico

el sistema decimal son: kichwa, mapudungun (mapuche), nijongo (japons), el chino. En estas lenguas, a diferencia de las europeas, el sistema decimal se ha desarrollado en la lengua y se lo puede

representar fcilmente con un cono.

Fotografa: Taptana Montaluisa del sistema decimal

Con estos antecedentes, me pareci conveniente crear dispositivos para representar los procesos matemticos. A continuacin contar la forma como ocurri el proceso de creacin de la Taptana Montaluisa para representar los sitemas de numeracin:

En 1982, mientras regresaba de Quito a mi comunidad en Latacunga, provincia de Cotopaxi, decid elaborar en piedra pmez


18 19

(cascajo), un instrumento semitico para representar el sistema de numeracin decimal que posea la cultura quichua a nivel oral. Varios aos antes haba venido rondando en mi mente, en incluso haba dibujado el sistema de numeracin decimal quichua para material didctico para el aprendizaje de matemticas.

Por razones histricas decid que el dispositivo se llamara taptana, pues este nombre haba sido usado, segn el Lexicn de Domingo de Santo Toms publicado en 1560, para designar dispositivos parecidos a los bacos. En cuanto a la forma exterior me pareci conveniente

que siguiera la forma de una piedra denominada Contador del Caari, que se halla entre las piezas arqueolgicas del Museo Jijn y Caamaa de la Pontificia Universidad Catlica PUCE, de Quito. Sin embargo hay una gran diferencia entre el contador y mi taptana es que la ma es un cono para representar los sistemas de numeracin, en tanto que aqul sirve para representar operaciones

de suma y resta. En mi taptana tambin se puede realizar operaciones matemticas, sin embargo su objetivo fundamental es representar los sistemas de numeracin.

Al disear la taptana para representar el sistema decimal, tambin vi la posibilidad de que se poda elaborar taptanas para representar cualquier sistema de numeracin, incluido el sistema de base dos. La comprensin del funcionamiento semitico del sistema binario es fundamental para comprender los procesos programacin y de creacin de software.

CARACTERSTICAS DE LAS TAPTANAS MONTALUISA

La taptana est compuesta de columnas y filas. En cada columna puede haber tantos huecos segn sea la base que se va a usar para representar las cantidades. En la parte superior hay una especie de platillo para colocar los granos a usarsse en la simbolizacin de las cantidades.

Para la representacin del sistema decimal, conforme a la fotografa la chunkachina taptana, es una matriz que tiene columnas y filas. En cada columna tiene que haber nueve y solo nueve huecos, pero el nmero de columnas se puede extenderse al infinito segn las potencias de diez que se quiera representar. En este caso en columna de la derecha se representa a las unidades, en las columnas

hacia la izquierda se va representando sucesivamente las decenas, centenas, miles, etc. En la columna que tiene el smbolo de 100, se representan las unidades (shukkuna). En la columna que tiene el smbolo de 101 se representan las decenas (chunkakuna). En la columna que tiene el smbolo de 102, se representan las centenas (patsakkuna), etc. En caso de representar decimales, estos irn en columnas ms hacia la izquierda de la columna de las unidades. Encima de ellas se colocar los smbolos 10-1 para representar a las dcimas, el smbolo 10-2 para representar a las centsimas, etc., segn el nmero de potencias negativas de diez, que se quiera representar (ver pg. 35).

UNIDAD 2UNIDAD 2

warankakuna patsakkuna chunkakuna shukkunaw p ch sh

Mile

sCe

nten

asDec

enas

Unida

des

103 10

2 101 10 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9


20 21

Con este cdigo de diez signos y dos reglas, se puede escribir cualquier nmero entero o decimal, hasta el infinito sea grande o pequeo.

La foto de la taptana para la representacin del sistema decimal trasladada a cono queda de la siguiente manera:

De las taptanas creadas por Luis Montaluisa en piedra pmez entre 1982 a 1983, la ms conocida es la chunkachina, pero tambin cre

otras para representar los sistemas de numeracin de cualquier base.

Como un muestrario de representacin de una misma cantidad en diferentes bases se representa en taptanas de base: dos, tres, ... hasta la base diez.

Taptana para el cdigo de base dos (sistema binario/ sistema dual)

Foto: Taptana para la base dos elaborada por Luis Montaluisa en 1982.

En el cdigo de base dos, los signos para representar las cantidades son: 1, 0. Las reglas son: a) cada que hay dos elementos hago un atado de dos, y b) los atados los coloco progresivamente a la izquierda, segn su potencia y los sueltos

a la derecha. Mientras ms grandes sean las cantidades, los atados irn ms hacia la izquierda, y mientras ms pequeas sean las cantidades, o si son partes de la unidad, irn ms hacia la derecha. En el ejemplo se tiene un amarrado de diciseis, cero amarrados de ocho, un amarrado de dos y sueltos. Total cieciocho.

Nota: el nmero subndice a la derecha indica la base en la que est escrito. En el caso del subsistema de base diez se podra poner el bubndice 10, pero generalmente no se pone.

1 9 9 22 5

Waran

kaku

naPa

tsak

kuna

Chun

kaku

naSh

ukku

na

103 10

2 101 10 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0 0 1 02

2

5 24 2

3 22 2 1 2 0

Kimsa chu

nka ishk

ay

C

hunk

a su

kta

P

usak

C

husku

Ish

kay

Shuk


22 23

Taptana para la base tres

En el cdigo de base tres, los signos para representar las cantidades son: 1, 2, 0. Las reglas son: a) cada que hay tres elementos hago un atado

de tres, y b) los atados los coloco progresivamente a la izquierda, segn su potencia, y los sueltos a la derecha. Mientras ms grandes sean las cantidades,

los atados irn ms hacia la izquierda, y mientras ms pequeas sean las cantidades, o si son partes de la unidad, irn ms hacia la derecha. Aqu tenemos dos atados de 9, cero atados de tres, cero sueltos. Total dieciocho.

Taptana para la base cuatro

En el cdigo de base cuatro, los signos para representar las cantidades son: 1, 2, 3, 0. Las reglas son: a) cada que hay cuatro elementos hago un atado de cuatro, y b) los atados los coloco progresivamente a la izquierda, segn su potencia y los sueltos a la derecha. Aqu tenemos un atado de cisiseis, cero atados de cuatro y dos sueltos. Total dieciocho.

Taptana para la base cinco

Foto: Taptana elaborada por Luis Montaluisa en 1982.

En el cdigo de base cinco, los signos para representar las cantidades son: 1, 2, 3, 4, 0. Las reglas son: a) cada que hay cinco elementos hago un atado de cinco, y b) los atados los coloco progresivamente a la izquierda, segn su potencia y los sueltos a la derecha.

2 0 03

3

5 34 3

3 32 3 1 3 0

1 0 24

4

5 44 4

3 42 4 1 4 0

3 35

5

5 54 5

3 52 5 1 5 0


24 25

Taptana de base seis

En el cdigo de base seis, los signos para representar las cantidades son: 1, 2, 3, 4, 5, 0. Las reglas son: a) cada que hay seis elementos hago un atado de seis, y b) los atados los coloco progresivamente a

la izquierda, segn su potencia y los sueltos a la derecha.

Taptana de base siete

En el cdigo de base siete, los signos para representar las cantidades son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 0. Las reglas son: a) cada que hay siete elementos hago un atado de siete, y b) los atados los coloco progresivamente a la izquierda, segn su potencia y los sueltos a la derecha.

Taptana de base ocho

En el cdigo de base ocho, los signos para representar las cantidades son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 0. Las reglas son: a) cada que hay ocho elementos hago un atado de ocho, y b) los atados los coloco progresivamente a la izquierda, segn su potencia y los sueltos a la derecha.

Taptana de base nueve

En el cdigo de base nueve, los signos para representar las cantidades son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 0. Las reglas son: a) cada que hay nueve elementos hago un atado de nueve, y b) los atados los coloco progresivamente a la izquierda, segn su potencia y los sueltos a la derecha.

3 06

6

5 64 6

3 62 6 1 6 0

2 47

7

5 74 7

3 72 7 1 7 0

2 28

8

5 84 8

3 82 8 1 8 0

2 09

9

5 94 9

3 92 9 1 9 0


26 27

Taptana de base diez

La mayor parte de las culturas del mundo han usado la base diez porque tomaron como referencia los dedos de las dos manos del cuerpo.

En el cdigo de base diez, los signos para representar las cantidades son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Las reglas son: a) cada que hay diez elementos hago un atado de diez, y b) los atados los coloco progresivamente a la izquierda, segn su potencia y los sueltos a la derecha.

Nota: la colocacin de los signos en las respectivas columnas de la Taptana Montaluisa, puede realizarse tanto de arriba hacia abajo, de abajo hacia arriba, o desde cualquier lugar.

Ejemplos

Taptana de base veinte

Algunas culturas, como la Maya, en Centroamrica, y la Chachi en Ecuador, usaban y an usa la base veinte, porque tomaban como referencia los dedos de las dos manos y los dos pies. Es decir el veinte simboliza una persona completa.

En el cdigo de base veinte, los signos para representar las cantidades son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Las reglas son: 1 810

10

6 105 10

4 103 10 2 10 1 10 0

h pw chw w p ch sh

1 810

10

6 105 10

4 103 10 2 10 1 10 0

h pw chw w p ch sh

1 810

10

6 105 10

4 103 10 2 10 1 10 0

h pw chw w p ch sh


28 29

a) cada que hay veinte elementos hago un atado de veinte, y b) los atados los coloco progresivamente a la izquierda, segn su potencia y los sueltos a la derecha. Sin embargo los mayas la segunda regla lo hacan de otra manera. Ellos los atados de veinte los colocaban

hacia arriba, en lugar de colocarlos hacia la izquierda, y los sueltos los colocaban hacia abajo en lugar de colocarlos hacia la derecha. Sin embargo aqu se plantea un gran problema, los diez smbolos heredados de los indes y rabes no son suficientes para escribir los nmeros mayores que nueve. Se tendra que crear smbolos diferentes de una sola cifra para representar a

los numerales del diez al diecinueve.

Ellos usaron una simbologa propia y un manejo del espacio diferente al usado actualmente por la mayor parte de la humanidad. Ellos representan las cantidades usando la proxmica, pero no en sentido horizontal como lo hacemos nosotros ahora, sino lo hacen usando el sentido vertical. Esta forma de tratar la proxmica da para muchas reflexiones sobre la cosmovisin, pero no se lo va a realizar en este texto.

Para los mayas el valor posicional no est dado por las columnas sino por lo que llamamos filas. As mientras para nosotros los numerales (cifras), tienen un valor ms alto mientras ms a la izquierda est, para los Mayas, el valor posicional crece mientras ms arriba est el smbolo del numeral. Si ellos hubieran usado la Taptana Montaluisa la habra hecho como est el dibujo de la derecha y no como el que est a la izquierda, que es lo que nosotros hubisemos hecho si usramos el sistema de base veinte.

OBSERVACIONES

1. Como se puede ver en los conos de las taptanas: para representar cualquier base, se coloca en cada columna un agujero menos que el nmero indicado por la base que estemos usando. As por ejemplo si la base es dos, en cada columna debe haber solo un agujero. Si la base es tres, en cada columna se coloca dos agujeros. Si la base es cuatro, en cada columna se coloca tres agujeros, y as sucesivamente.

2. Los pueblos que tienen base veinte, como los Mayas, deberan necesitar veinte smbolos diferentes para representar sus numerales. Estos smbolos seran para representar desde el uno hasta el diecinueve y el cero. Hasta el diecinueve seran de una sola cifra, pues el primer atado recin se puede hacer cuando se llega a tener veinte unidades. Pero los mayas inteligentemente solo usaban tres smbolos el punto para representar la unidad, la raya (smbolo de una mano) para representar cinco, y el cero (que parece provenir de la representacin de una semilla que significa el principio y el fin de todo ser). Existen interpretaciones de que el cero sera la representacin del obligo que est en el tronco de la persona humana.

3. Para representar en un sistema de base veinte a partir del diez hasta el diecinueve se podra usar smbolos unitarios propios para cada nmero. Al no existir se usa las letras del alfabeto.

Smbolos mayaspara representar cualquier cantidad.

cero

unidades

cinco

h

pw

chw

w

p

ch

sh

206

205

204

203

202

201

200

20

6 205 2

04 203 20 2 20 1 20 0

h pw chw w p ch sh

123456789abcdefghij

Representacin del sistema maya

FUNCIONAMIENTO DE LA TAPTANA MONTALUISA Y SUS VENTAJAS

La propuesta es ensear las matemticas en el marco del Espacio Matemtico de Representacin de la realidad. Es aconsejable que la pedagoga de la matemtica siga el proceso de construccin

UNIDAD 3UNIDAD 3

Conociendo las unidades podemos escribir las cantidades, as;

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 veitena 20

Cero unidades 0

20

2 veitenas 2 x 20 = 20

5 unidades 5

45

15 veitenas 15 x 20 = 300

19 unidades + 19

319

10 veitenas 10 x 20 = 200

10 unidades + 10

210

19 veitenas 19 x 20 = 380

19 unidades + 19

399

1 cuatrocientos 1 x 400 = 400

Cero veintenass + 0

Cero unidades 0

400


19 unidades + 19 x 20 = 380

8 unidades 8

1988


1 veintena 1 x 20 = 20

1 unidad 1

421

5 x 400 = 2000

+ 0

0

2000

1 veitena 20

1 unidad 1

21

3 veitenas 3 x 20 = 60

5 unidades + 0

60

1

2

3

4

5

Proceso de simbolizacin (abstraccin)

1ra.Representacin

conos

2da.Representacin

conos

3ra.Representacin

SmbolosRealidad

Son los seres en

el m

undo

de cu

atro dim

ension

es Pacha

mam

a.


32 33

de esta ciencia, que siguieron los humanos de las diferentes culturas del mundo. Toda ciencia ha surgido de la observacin, estudio e i n t e r p r e t a c i n de los elementos y fenmenos del Cosmos, y del estudio del cuerpo humano. Para percibir los fenmenos del Cosmos, los humanos empleamos los sentidos, las emociones, los sentimientos, etc.

El proceso de simbolizacin a partir de la realidad

El primer paso fue representar los objetos de la realidad por signos cada vez ms abstractos. Al inicio los signos con los que representaron fueron muy icnicos, luego fueron cada vez ms simblicos. A este proceso se lo ha llamado abstraccin

El proceso de abstraccin de lo que llamamos realidad, hay que fortalecerlo mediante representaciones sucesivas. Inclusive, la ausencia, necesita ser representada. Para representar la ausencia empleamos ahora el cero. Luego viene el conteo que es la operacin fundamental de las operaciones matemticas.

Simultneamente con el conteo hay que ensear el cdigo matemtico. Todo cdigo tiene dos componentes: un conjunto limitado de signos y las reglas de combinacin y uso de esos signos. En el caso del cdigo matemtico, hay que ensear dos cosas:

- la representacin de las cantidades con los signos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9, 0

- las leyes del sistema de numeracin decimal. Estas leyes son dos: cada que hay diez elementos se lo representa con un atado de diez, y los atados se colocan a la izquierda y los sueltos a la derecha, si es que existen.

El quichua, como pocas lenguas en el mundo tiene, reflejada en su lengua, el sistema decimal. Por eso es conveniente ensearlo recurriendo a la explicacin-comprensin de la chunkachina .

La operacin fundamental de la matemtica es el conteo. A partir del conteo se va construyendo las operaciones de suma, resta, multiplicacin, divisin, etc.

El Espacio Matemtico de Representacin Occidental se bas en el punto, que es una entidad abstracta, que no tiene dimensiones. El Espacio Matemtico de Representacin Quichua, Aymara y de muchas culturas indgenas, est basado en el cuadrado y en el crculo que son entidades concreta, pues tiene dimensiones. Estas dos formas de representacin del Espacio Matemtico de Representacin son complementarios. As se complementan el pensamiento matemtico de las nacionalidades indgenas y el pensamiento matemtico desarrollado en occidente.

La Taptana Montaluisa tambin puede ser usada para representar los cantidades tan altas como se quiera, pero tambin los decimales hasta cantidades tan pequeas como se quiera.

6

7

8

9

0

3,16


34 35

Ventajas del uso de la Taptana Montaluisa

La taptana del sistema decimal que es la chunkachina, contribuye a comprender el sistema de numeracin decimal. Fue diseada para que los alumnos y los educadores comprendan como se ha construido el sistema de numeracin que ha sido usado por muchas culturas, y que ahora tiende a ser universal. Pero adems la chunkachina (hacer atados de diez) y su representacin en la taptana no solo permitir que los

estudiantes aprendan a escribir cualquier cantidad con solo diez signos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0), sino adems permite comprender los procesos de: sumas con llevadas, restas con prestadas, y otras operaciones matemticas, que tanto sufrimiento causan a las estudiantes y los estudiantes.

Las investigaciones del futuro confirmarn los grandes avances que realizaron las culturas ancestrales. Esto se puede hacer al estudiar la lgica, la cosmovisin y la sabidura de las nacionalidades indgenas.

Estas culturas, al igual que todas las del mundo, obtuvieron su conocimiento de dos fuentes importantes: el estudio del funcionamiento de los componentes de la naturaleza, y del estudio del cuerpo humano. As por ejemplo, empleamos el sistema decimal, porque tenemos diez dedos, si tuviramos ocho, el sistema de numeracin ms usado sera de base ocho, y as por el estilo.

La taptana del sistema de base dos que es la ishkaychina, contribuye a comprender el sistema que se emplea en la programacin de las calculadoras, computadoras y la robtica.

Cermica ancestral que est el Museo

del Banco Central que puede simbolizar la evolucin del Cosmos (Pachamama), a partir del Pachakutiy (big band)

Comprensin del Cosmos (Pachamama), sus elementos y las operaciones matemticas

El aprendizaje semitico de las matemticas favorece no solamente la comprensin de los sistemas de numeracin, sino forma mentalidades holsticas, integrales. As el estudio de las ciencias relacionadas con: fsica, biologa, diseo, geometra, etc., se tornar ms comprensible a los estudiantes.

En el Espacio Matemtico de Representacin, de los pueblos indgenas es ms claro para los estudiantes, el proceso de simbolizacin. Igualmente ser ms fcil la comprensin de las operaciones de suma, resta, multiplicacin, divisin, potenciacin, radicacin, superficie, volumenes, ecuaciones, fractales, etc.

La Taptana Montaluisa y la Taptana Caari

Foto de la Taptana Montaluisa Foto de la Taptana Caari


36 37

En realidad quiz nunca sabremos como los Caari llamaron a su piedra, debido a la muerte de su lengua, causada por la invasin colonial. Los arquologos la llaman simplemente contador caari. En el antiguo Centro de Investigaciones para Educacin Indgena CIEI de la PUCE, creado por Consuelo Ynez en 1978, decidimos llamarle a la piedra del Caar, taptana, siguiendo el uso antiguo

quichua segn se halla en el Lexicn de Domingo de Santo Toms de 1560.

La finalidad principal de la Taptana Montaluisa fue la explicacin sencilla de los diferentes sistemas de numeracin. Por lo tanto,

aunque se puede representar operaciones matemticas, no se puede comparar como habran querido algunos con una calculadora. En este sentido la Taptana Montaluisa no es un baco. En tanto que la Taptana Caari, su funcin principal parece haber sido, la realizacin de operaciones de suma, resta, etc. La Caari, s se la puede relacionar con un baco para hacer clculos o una calculadora. En ella para sumar se haca saltar tantos pasos (cuadrados) segn indicaba el sumando, siguiendo la direccin de apertura del churo. Para la resta se haca retroceder tantos pasos como indicaba el minuendo. En la taptana caari las unidades, decenas, centenas, etc., se distingua mediante colores y/o formas.

En la Taptana Montaluisa

el valor de los smbolos no depende de: colores, formas, etc., de los smbolos sino de la simple posicin (proxmica) que ocupa en la direccin horizontal. En cambio en la Taptana Caari el valor de los smbolos dependen tanto de la posicin en los cuadros, los cuales son recorridos en forma de churo, y de los colores o formas de los smbolos empleados.

Como una gran conclusin se puede sealar que, aunque a los profesores les encanta ensear el valor de los smbolos usando colores, no es ni indispensable, y a la larga ni conveniente, pues llevar a los estudiantes al memorismo y a la mecanizacin en el aprendizaje del cdigo matemtico. En el proceso de enseanza de los smbolos de la lecto-escritura (letras y signos de puntuacin), s es conveniente y hasta cierto punto necesario emplear colores para resaltar los smbolos nuevos que se desea enfatizar.

Actualmente muchos profesores ensean a escribir los nmeros de una manera memorstica y mecnica. As luego de haber enseado del 1 al 9, les dicen a los estudiantes el diez facilita: es el uno con un cerito al lado. Luego les atormentan hacindoles escribir del 11 al 20, despus del 21 al 30, del 31 al 40. Hasta llegar a 100.

Con la Taptana Montaluisa, lo ms importante es ensearles primero a pasar del mundo de cuatro dimensiones a un mundo de dos dimensiones. Para ello se usa las representaciones sucesivas. Despus se ensea los smbolos del 1 al 9. Una clase muy especial de varios das debe ser la enseanza del cero, porque mientras los otros smbolos indican la representacin de lo existente, el cero lo es de lo que no existe. Posteriormente se ensea las dos reglas del cdigo de numeracin decimal, sealado en las pginas anteriores y la nia y el nios podrn representar cualquier cantidad entera hasta el 99, sin que se haya tenido que enviar trabajos repetitivos de pginas enteras de repetir la escritura de los nmeros. Pero lo ms importante no es la rapidez para ensear a escribir nmeros mayores que diez. Adems se comprender el valor del concepto de posicin, la funcin del cero en la representacin de todo sistema, incluido el binario que ahora tanta fama tiene.

123 4 5

6789

165 4 3

2987

Grfico: Taptana Caari


38 39

EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMTICAS Y EL PLAN DE ESTADO PLAN DE ESTADO PARA EL ECUADOR

El estudio de la matemtica ligado a la comprensin del Cosmos y sus elementos nos permite tener una visin holstica de nuestra

vida individual y colectiva. Los pueblos indgenas hemos sido matemticos, astrnomos, naturalistas, etc. Esto nos lleva a realizar esfuerzos por posicionar en el imaginario de todas las personas la necesidad de contar con un Plan de Estado con visin de largo plazo, basado, tanto en la sabidura ancestral, como en los avances y experiencias de todas las culturas del mundo. As cada persona no

solamente, ser un poltico sino una estadista. Los paradigmas deben ser: modo de vida sustentable, justicia y paz.

La interculturalidad, la plurinacionalidad y el desarrollo del Ecuador ser posible si las personas que vivimos en Ecuador, llegamos a un consenso sobre el modelo de vida vlido para hoy y para las prximas generaciones. Esto significa compartir el poder entre todas las personas, mediante la elaboracin conjunta de este Plan. Entre otras, stas son las siguientes prioridades , a ejecutarse, cualquiera que sea el gobierno que est en el poder.

1. Es prioritario la construccin de un sistema hdrico interconectado. Esto permitir tener riego todo el ao para todas las tierras del pas. Proporcionar una seguridad alimentaria. Fomentar la agroindustria para la exportacin con valor agregado. Se podr construir centrales hidroelctricas con lo cual se tendr energa hidroelctrica para mover las industrias, las empresas y usar a bajo costo en los hogares. Evitar recurrir a la energa generada con petrleo que es contaminante y cara.

UNIDAD 4UNIDAD 4


40 41

2. Los ecosistemas deben ser preservados. Esto permitir el aprovechamiento sustentable de la diversidad biolgica. Los territorios de los pueblos indgenas milenarios deben ser respetados para mantener la diversidad cultural y la biodiversidad. As se podr impulsar la biotecnologa.

3. La explotacin del petrleo y de la minera debe ser limitada a lo tcnicamente indispensable y fuera de los territorios de las nacionalidades indgenas y de las reas protegidas

4. La explotacin de la madera debe ser nicamente de los sitios que han sido reforestados. No debe explotarse ni un solo metro cuadrado ms de bosque primario.

5. Los pramos deben conservarse. Las ciudades tienen que contribuir con impuestos a la conservacin del bosque primario y de los pramos. Pues ellos permiten la formacin de nubes y el aprovisionamiento de agua a las ciudades.

6. Debe organizarse, construirse y promoverse la infraestructura para el turismo ecolgico. Esto fomentar creacin de fuentes de trabajo.

7. Hay que promover las artes y las artesanas pues en nuestros genes llevamos una tradicin milenaria para ello.

8. La creacin de software para diferentes usos, puede ser una fuente econmica en el marco del desarrollo sustentable del Ecuador. La juventud es creativa en este campo.

9. La comunicacin debe ser desarrollada para que todos los habitantes del Ecuador conozcan los principales avances que se han dado en todas las culturas del mundo y puedan ser aprovechadas para organizar nuestro pas. Es necesario que los medios de comunicacin que posee el Estado y tambin los privados difundan la riqueza cultural y biolgica del Ecuador, la ciencia y las artes.

10. La educacin de todos los niveles del sistema educativo debe orientarse a la ciencia, al descubrimiento y no a memorizar fechas, o repetir teoras. Los estudiantes deben comprender que los conocimientos se han obtenido a partir de estudiar la naturaleza y el cuerpo humano. El Estado debe facilitar para que cada nia, nio y joven disponga de una computadora con internet. En lugar de gastar el dinero en consultora, viticos, reuniones se debera invertir el dinero de la educacin en esto y en mejorar la infraestructura educativa. Pretender mejorar la educacin, sin cambiar el modelo de vida (modelo econmico, de desarrollo, etc.), carece de sentido.

Los recursos econmicos para construir la infraestructura y organizar el sistema educativo con miras a concretar este Plan de Estado, pueden provenir de la disminucin de gastos innecesarios. Se debe eliminar las paradas militares, la propaganda estril, y otros gastos improductivos que no sirven ni para la seguridad ni el desarrollo. Todo gasto debe ser auditado por la Contralora General del Estado. La nica cuestin secreta es la estrategia del que dirige la defensa de una institucin. Los secretos y fueros de todas las instituciones deben desaparecer, pues han servido para fines nada santos. Igualmente hay que revisar los gastos de los protocolos, en todas las instituciones del Estado. Los contratos del estado, sin licitacin son fuentes de corrupcin. Se tiene que crear y promover una mentalidad de austeridad y responsabilidad en todos los ecuatorianos. Debemos fortalecer nuestra autoestima e identidad milenaria.

El Ecuador en el 2025 si es que ahora triunfa elmodelo capitalista minero-petrolero-maderero

que destruya el bosque primario.

Colombia

PerOc

ano

Pac

fico

Ilustracin: Jos Atupaa G.Diciembre de 2010

NORTE


42 43

El endeudamiento externo debe ser nicamente para construir infraestructura productiva. Los endeudamientos que se hagan para construir canales de riego, reservorios de agua, centrales hidroelctricas, infraestructura para el turismo y la biotecnologa, etc., podrn ser pagadas con el aumento de la produccin. Los endeudamientos para hacer diagnsticos, leyes, reglamentos,

pagar sueldos, etc., nunca generarn recursos para poder pagar. Por eso, hay que evitarlos.

BIBIOGRAFA

lvarez Palomeque, Catalina. Lxico Achuar por Campos Semnticos (editora), Quito (en prensa), 2010

Heller, Rachelle y Dianne Martn. Bits y Bytes: Iniciacin a la Informtica, Rei. Bogot, 1986

Guerrero, Marcos. Los dos Mximos Sistemas del Mundo. PUCE-Abya-Yala, Quito, 2004

Montaluisa, Luis. Comunidad, Escuela y Currculo. UNESCO-Chile. Santiago, 1988

Montaluisa, Luis. ukanchik Yachay. PUSEIB-paz DINEIB. Q u i t o , 2007

Montaluisa, Luis. Contribuciones Indgenas a la Educacin, Filosofa y Plurinacionalidad, discurso pronunciado el 28 de octubre de 2010, en la Casa de la Cultura Ecuatoriana, con motivo de la ceremonia de incorporacin como miembro de nmero de la Seccin de Educacin y Filosofa de dicha Institucin.

YUPAYKUNATA KILLKASHPA KALLARISHUNCHIKProceso de enseanza de matemticas con un mtodo semitico.


44 45

KALLARI

Yupaymanta yachachinkapakka pacha imashina kashkata yachanami kanchik. awpa mamakuna yayakunapash Pachamamapi1 imalla tiyakushkata rikushkakunashi. Shina rurashpa yupay yachayta wiachik kallarishkakunashi.

Shinallatak, ukanchik aycha imashina kashkatapash riksik kallarishkakuna. Aycha ukutapash riksishkakuna. Tukuy kay yuyaykunawanmi yupaymantaka yachachina kanchik.

Pachata unanchashpa2, Pachamamapi ima tiyashkatapah unanchay kallarishkakunashi. Sapan kakmanta shuk unanchawan3 rikuchik kallarishkashi. Shinallatak tiyashkakunata yupay kallarinkapakka yupaykunatashi wiachik kallarishkakuna.. Yupanataka ukanchik rukakunata4 rikushpami, wiachik kallarishkakunashi.

Kunan yachakukkuna ashtawan alli yachakuchunka kaykunatami sinchiyachina kanchik: mutkina, llamkana, mallina, uyana, rikuna. Sinallatak munana, kuyana, llakina, llakirinamantapash yuyachinami kanchik. Kay ruraykunawanmi yuyaykunata mirachishunchik.

Yupay unanchakunatarak yachachinami kanchik: 1, 2, 3, 4, 5,

1 Pachamama: cosmos, ishkay shimimanta shamun: pacha: espacio-tiempo, mama: madre (fecundidad).

2 unanchana: representar, es decir, hacer semitica de la realidad3 unancha: signo, smbolo; yupay unancha: smbolos para representar los nmeros4 ruka: dedo


46 47

6, 7, 8, 9, 0. Kipaka, chunkachinata yachachinami kanchik. Chunkachishka kikapaka, chunkakunataka llukipi churachinchik, ranti sapalla sakirikkunataka alliman churachinchik. Chay kipami yupaykunata taptanapi yupaykunata rikuchinami kanchik. Kay kunata rurachishpaka, ima yupaytapash 99 yupaykama wawakuna killkanllami. Ashtawan hatun yupaykunatapash killkachinkapakka,

shinallatakmi yachachishpa katina kanchik.

Chunkachinata yachachishka kipami: yapana, anchuchinataka rikuchini. Kaykunata all yachashpaka hawallami shuktak yupaymanta yachaykunataka hapinkallami.

Kay kamupika ishkaychina, kimsachina, chuskuchina..chunkachinakamami rikuchinchik.


48 49

Pachamama1

Tukuy tiyakkunaka Pachamamapimi kawsanchik

1. pachamama: el universo

Fuente: http://www.flickr.com/photos/paranoarte/2745278021/ - 07/12/2010

1 YACHANA1 YACHANATaptana Montaluisa Instrumento para la explicacinde los Sistemas de Numeracin.

50 51

UNANCHANA1

Allpamamapi2 tiyakkunata, hawapachapi2 ti-yakkunatapash unanchachishunchik

Fuente: http://www.hablandodetodo.net/ciencia/nuevo-sistema-solar/ - 05-12-2010

1. unanchana: representar la realidad mediante signos2. allpamama: planeta Tierra3. hawapacha: espacio-tiempo csmico exterior a la Tierra

Kawsaypi tiyashkakunata unanchaman1 tikra-chishunchik. Kak ranti unanchawan rikuchi- shunchik.

1 unancha: signo

Cotopaxi wawakuna. Foto: Marco Llango hapishka shuyu.


52 53

Mashna tiyashkata unanchawan riksishunchik

Kakkuna Rikuchina Unancha

1

2

3

4

5

Mashna tiyashkata unanchawan riksishunchik

Kakkuna Rikuchina Unancha

6

7

8

9

0


54 55

Chunkachina Taptana1

1 1982. Luis Montaluisa rumipi hutkushpa kipaka kaspipipash kay chunka china tapta-nata rurashkami. Kay taptanaka yupanata chunkachishpa ya chachinkapakmi kan.

Yupaykunata killkashunchik

5 _______ 4 _______ 3 _______

1 _______ 2 _______ _______

1

2

3

4

5

1 1


56 57


_______ _______

_______ _______ _______

_______ _______ _______

_______

Yupaykunata killkakatishunchik

Churupi yupaykunata rikushunchik

1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9

9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1

Tatkikunata wachupi rikushunchik. Kipa killkas-hunchik.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1

102

3

4

5

6

7

8

9


58 59

YAPANA - ANCHUCHINA

Waman Puma shuyushka1

1. Mishukuna paytaka Guamn Poma ninmi.

Yapashunchik

3+1

4

5 +2

2+7

4 +4

1 +1

6 +3

2 +2

5+3

3+4

4 +1

2 +6

3 +5

Yapashunchik

3+1

4

3 +1

4

2 +7

9

2+7

9

YAPANA

1)

2)


60 61

9-1

8

5 -3

8-4

9 -3

8 -6

7 -7

8 -7

5-3

7-3

9 -5

6 -3

1 -1

Anchuchishunchik

Anchuchishunchik

8-3

5

8 -3

5

9 -7

9-7

2

ANCHUCHINA

1)

2)

CHUNKACHINA

patsakkuna chunkakuna shukkunap ch sh

102 10

1 10 0

Taptana Montaluisa


62 63

CHUNKACHINA

Ima yupaytapash killkankapakka kaykunatami rurana kanchik.

1. Shukmanta iskunkama unanchakunata yuya richina. Illak yupaytapash imashina killkanata yuyarichina. Shina: 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 0

2. Ishkay kamachikunata yachachina: 2.1. Chunka, chunkata tantachina. Sapan chunkawanka shuk wankuta rurachi na. 2.2. Wankushka chunkakunataka llukiman churachina, sapallakunataka alliman churachina.3. Chunkachina taptanapi chunkakunata ti yashkata shukku natapash rikuchina. Kipa taptana chakipi yuyaykunata killkachina.

Chunkachishunchik

1 3

chunka shukkuna

1 5

chunka shukkuna

Chunkata paktachishpaka watanami kan. Kipa watashka chunkakunataka llukiman churana kan. Ranti shukkunataka alliman churana kan.

64 65



13_______ _______ _______ _______

_______ _______ _______ _______

_______ _______ _______ _______

p ch sh p ch shp ch sh p ch sh


31 _______ _______ _______

_______ _______ _______ _______

_______ _______ _______ _______

p ch sh p ch shp ch sh p ch sh

66 67


Chunkachishunchik

10

10

10 1 0

Yupayta shuyushunchik

10 90 40

70 20 50

30 60 80

68 69


Yupayta rikushunchik Yupaykunata 1 - 99 killkashunchik

1 2

10 11

2

3

0

0

21

012

53

46

8

10

11 12 13

14

1516

17

18

1920

21

22

23

2425

26

27

2829

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

6557

58

59

60

6961

62

7179

8795

63

6472808896

7381

8997

748290

9199

98 66

6775

8368768492

8593

77

70 78 86 947

9

70 71


Nishka yupayta killkashunchik

Kullki pankata rikushunchik

99 98

Yupaykunata 99 - 1 killkashunchik

4 YACHANA4 YACHANA

72 73


Yapashunchik

15+23

38

21 +35

63 +16

35 +45

23 +53

51 +45

63 +16

27 +51

15+23

31+12

Chunkakuna

Chunkakuna

Chunkakuna

Shukkuna

Shukkuna

Shukkuna

38

43

YAPASHPA, ANCHUCHISHPAPASHKATISHUNCHIK

Foto: Jos Atupaa. Nios del CECIB Mushuk Pakari

74 75


Anchuchishunchik

26-16

39-25

14

26-16

10 10

39-25

Chunkakuna Shukkuna

Chunkakuna Shukkuna

14

Anchuchishunchik

35-12

28-16

39-20

66 -16

38 -26

57 -41

Yupaykunata 1 - 999 killkashunchik

1 3 4 _______ _______ _______

p ch shp ch shp ch shp ch sh

______________ ______________ ______________ ______________

76 77


Chunkachishpa yapashunchik

17+25

42 42

17+25

Chunkachishpa yapashunchik

23+ 7

23+ 7

30 30

5 YACHANA5 YACHANA

78 79


Yupaykunata 1 - 9999.999 killkashunchik

1917.819___________ ___________ ___________ ___________

___________ ___________ ___________ ___________

___________ ___________ ___________ ___________

CHUNKAWA1

1 decimales

Nios Shuar. Centro Educativo YukutaisFoto: Jos Atupaa. 2008

80 81



1 0,3

0,9 0,7 0,5

1,5 1,2 1,7


1 , 3_______ _______ _______ _______

sh chw sh chw sh chw

Dlar pakishkata rikushunchik: Patsakyachis-hunchik

0,05 0,10

0,25 0,50

82 83



Yupaykunata killkashunchik: Warankayachis-hunchik

Chunkakunata shukllayachishpa anchuchina10

1 100 10 -1 10 -2

chunkakuna shukkuna chunkawakuna patsakwakunach sh chw pw

101 10

0 10 -1 10 -2


1, 33

101 10

0 10 -1 10 -2


103 10

2 101 100 10 -1 10 -2 10 -3

1.691,179

103 10

2 101 100 10 -1 10 -2 10 -3 10

3 102 10

1 100 10 -1 10 -2 10 -3

warankakuna patsakkuna chunkakuna shukkuna chunkawakuna patsakwakuna warankawakunaw p ch sh chw pw ww

31-19

19 do-larta maashkani

1

84 85


2

31 dolarta llankashpa

hapirkani

3

Maashka kullkita tikrachinkapakka, pa-

yllamantak ashtawan shuk chunkata maani

4

31-19

12

Kunanka 29 kullkita maa-

chishkani

Kunanka ami 29 kullkita tikra-

chitukuni

El diseo de la Taptana Montaluisa

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puede ser reproducido por ningn medio

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