Libro de fisica basica 2da parte

-

Eurípides Herasme Medina

Carlos Gómez Reynoso

Cristian González Ramírez

I

Física BásicaPara Instituciones de Educación Superior

\\

1

"i t

,1

i

L.

FISICABASICA urcÁNtct ctÁstc.e _ctNnntÁnc,r

Capítulo

2. Cinemática

Lontenido:2.1 Mecánica Clásica.2.2 Elementos de la Cinem áúica.2.3 Movimiento Rectilíneo.2.4 Movimiento en el Plano.

37 t

Iffi

FTSICA BASICA il|ECÁNIC. CL,4SIC',4 EUEü4TI§L

2.1 MECANICA CLASICA

Laramade la fisica que se encarga del estudio del estado de movimiento o de reposo de los objetos,

y las causas que le modifican, se conoce como Mecánica Clásica, esta se subdivide en:

o La cinemática que se ocupa de la descripción del movimiento,

o La dinámica que se ocupa de las causas que determinan el movimiento,

o Y la estática que se ocupa del análisis de las fuerzas de los sistemas fisicos en estado de

reposo.

A cualquiera de las situaciones posibles como resultado de cada uno de los cambios que sufre el

sistema se le denomina estado físico. En la cinemática, cada estado fisico se tiene especificando

cierto conjunto de cantidades físicas con las que se detalla la evolución temporal de un sistema. Esto

requiere - como todo fenómeno fisco - de un marco de referencia, el cual es un ente constituido

por un punto de referencia arbitrario, un conjunto de ejes coordenados y un reloj. Para el estudio de

cualquier fenómeno físico, usamos aproximaciones a la realidad, para fines de simplificación,

llamadas modelos. En algunos de nuestros problemas, nos referiremos a un modelo llamado

partícula. Este consiste en una porción de materia suficientemente pequeña tal que su tamaño no

sea un elemento a considerar en los razonamientos en los que dicha porción de materia interviene,

sin que dichos razonamientos se alteren.

2.2 r,LEMENTOS DE LA CII{EMÁTICADenominaremos elementos de la cinemática a los modelos y cantidades fisicas que nos sirven para

describir el movimiento. A continuación los que son de interés para este curso.

2.2.1 Trayectoria y Posición

Imagine que mientras usted lee este libro, apoyándolo sobre una

mesa, ve una hormiguita caminar por la superficie de la mesa.

Además, suponga que la hormiguita tiene las patitas sucias de tinta

roja. Mientras la hormiguita camina, deja una línea de color rojo

que se corresponde con los puntos por donde ésta pasó. A la línea

roja que la hormiguita dejó marcada en la mesa le denominamos

trayectoria (ver figura 2. l).

de la mesa

Trayecloria

Figuro 2.1

Es importante advertirles que la descripción, como la hemos hecho, no debe inducirles a pensar que

la trayectoria es la tinta. La tinta deja un registro de la línea que la hormiga describe mientras se

mueve. Sin embargo, si las patitas de la hormiguita no están sucias de tinta y por tanto no deja

registro, de todas formas usamos la palabra trayectoria para designar a la línea que describe la

hormiguita mientras se mueve.

38

Para precisar cada punto de la trayectoria por dondepasa la hormiguita, nos auxiliamos de un sistema de

coordenadas, el cual consideramos fijo. La ubicación de

cada punto la expresamos mediante una cantidad físicavectorial que denominamos posición. Esta se denota

con f . Se expresa en metros en el Sistema

Internacional. El vector posición es el segmento dirigidoque va del origen del sistema de coordenadas hasta elpunto en que está la partícula en un instanfe dado.

2.2.2 Desplazamiento y Distancia

Suponga que eres un extranjero y planificas tusvacaciones. Llegarás a la ciudad A, por avión y desde

ahí irás en auto a otra ciudad. Tienes dos opciones; B yC. Tienes suficiente información sobre B y C comopara establecer que te divertirás igual en ambas. Tomasun mapa en el que aparecen A, B y C. Desde que lo ves

dices "Iré desde A hasta C. Porque C está más cerca"(ver figura 2.3 a).

Ahora el operador turístico te pasa un nuevo mapa.Este último tiene las carreteras que te conducirían de Ahasta B y de A hasta C (ver figura 2.3 b), y exclamas

"¡iendré un mayor recorrido si voy de A hasta C! Meconviene pasar mis vacaciones en B y no en C, comodije antes."

Figura 2.3

Está claro que el nuevo mapa tiene las ciudades en el mismo lugar que el anterior. La diferencia esque en el primero has apreciado una cosa y en segundo has apreciado otra. En el primer mapa te hasocupado de compare' la longitud del segmento que va de A hasta B con la longitud del segmentoque va de A hasta C. En el segundo mapa te has ocupado de comparar la longitud de la trayectoriaque habrás de recorrer si vas de A hasta B con la que tendrás que recoffer si vas de A hasta C. paradistinguir una cosa de la otra, la fisica tiene dos cantidades: Distancia y desplazamiento.

La Distancia es la longitud de la trayectoria seguida por una partícula en un intervalo de tiempodado. En el caso que hemos ilustrado, la distancia, si vas de A hasta C, es la longitud de la línea dettazos. El Desplazamiento es la cantidad vectorial con que se precisa el cambio de posición de unapartícula en un intervalo de tiempo dado. Está dado por el segmento dirigido que va desde laposición en el instante inicial del intervalo hasta la posición en el instante final del intervalo. En elcaso que hemos ilustrado, el desplazamiento, si vas de A hasta C, está constituido por la longitud delsegmento que va de A hasta C (magnitud) y el ángulo de éste con un eje dado (dirección). Tanto la

tiguro 2.2 Representoción de lo troyeciorio, delsistemo de coordenodos y del vector posición

o) Mopo con los ciudodes A, B y C, sin correteros

b) Mopo con los ciudodes A, B y C, con coneteros

39

á,.t"r.i, "o;; ;i á;$l;;i;;a;;r. .*p..run en metros en el Sistema Internacional. otras unidades

son: km, cm, pie, milla, etc.

Si una partícula que tiene posición /, en el instante t1 y tiene posición /, en el instante ü2, tiences el

desplazamiento en el intervalo t2 a tl está dado:

Ll =iz -i,

En la figura 2.4 podemos identificar:

a) El punto A, el cual es la ubicación de la partícula

en el instante tr

b) El punto B, el cual es la ubicación de la partícula

en el instante t2

c) El segmento dirigido que va desde 0 hasta A, es el

vector posición de la partícula en el instante t1

d) El segmento dirigido que va desde 0 hasta B, es el

vector posición de la partícula en el instante tz

e) El segmento dirigido que va desde A hasta B, es

el vector desplazamiento de la partícula en el

intervalo t1at2

0 Lalinea de trazos es la trayectoria. La longitud de

la parte de la línea de trazos que va de A hasta B,

es la distancia.

(2.r)

Figura 2.4

puede establecerse gue, en sentido general, la distancia es mayor que la magnitud del

desplazamiento. Sin embargo, existe la posibilidad de que sean iguales, pero nunca la magnitud del

desplazamiento será mayor que la distancia. La igualdad de la distancia y la magnitud del

desplazamiento sólo es posible si el movimiento es en línea recta y en un solo sentido.

2.2.3 Velocidad y raPidez

Suponga que dos cucarachas salen del punto A (ver figura 2.5) en el mismo instante (11), tomando

dos trayectorias diferentes y llegan simultáneamente al punto B, en el instante t2. La longilud de la

trayectoria (distancia recorrida) en el intervalo tt a 12 es s1 para una de las cucarachas y szparala

otra, y cada cucaracha tiene una rapidez media, correspondiente al mencionado intervalo, cuyo valor

se define por

D_ s Q'2)t\- - -l----7

tz-tt

Las cucarachas no tienen la misma rapidez media en el intervalo en cuestión, porque en dicho

intervalo han recorrido diferentes distancias. La rapidez es la cantidad Jísica con que se precisa la

distancia recoryida en cada unidad de tiempo de una partícula en movimiento. El valor definido con

la ecuación 2.2 se denomina rapidez media, que es larapidez de una partícula en un intervalo de

40

r,FISTCA BASICA ilT EClí NICA CL,,íS rc',4 * (' I NE I'{ÁT.ICA

tiempo dado. Cada cucaracha tiene

les denomina rapidez instantánea.

expresión del cálculo diferencial, el

una rapidez, probablemente distinta en cada instante. A éstas se

La ecuación con que se define la rapidez instantánea es una

cual no corresponde a este curso y por eso no la escribimos.

foTrayectoria 1

Ac_---

Trayectoria 2

I""ir. I----------- t__ -_

Figuro 2.5

Por otro lado, se define, para

cuyo valor se define porlas mismas cucarachas, otra cantidad fisica llamada velocidad media,

V=(2.3)

tr-1,

La velocidad media de estas cucarachas, en el intervalo t1 a 1,2, es la misma porque les toma el mismolapso ir de A hasta B y tienen el mismo desplazamiento, ya que el desplazamiento, para ambas, es elsegmento dirigido que va de A hasta B, independiente de la trayectoria. La velocidad es la cantidad

Jísica con que se precisa el desplazamiento en cada unidad de tiempo de una partícula en

movimiento. El valor definido con la ecuación 2.3 se denomina velocidad media, que es la velocidadde la partícula en el intervalo de tiempo dado. En cada instante cada cucaracha tiene una velocidad(en general, distinta). A éstas se les denomina velocidad instantánea. En cada instante la rapidezinstantánea y la magnitud de la velocidad instantánea son iguales. La diferencia entre la velocidadinstantánea y la rapidez instantánea es que la primera es una cantidad vectorial y la segunda es unacarrtidad escalar. La velocidad instantánea tiene la dirección de la recta tangente a la trayectoria (verfigwa2.6).

Li

La ecuación con que se define la velocidadinstantánea es una expresión del cálculo diferencial,el cual no coffesponde a este curso y por eso no laescribimos.

Tanto la rapidez como la velocidad, se expresan enm/s (se lee "metro sobre segundo") en el SistemaInternacional. Otras unidades con las que seexpresan son km/h, cm/s, pie/s, mil/h: nudo, etc.

Segmento dirigido quei

representa a la velocidadlde la partícula en el

instante que pasa por A \1

....1........

iRecta tangente ai

la trayectoria, en i

ie! m¡¡!,o. A.,,..........-lTrayectoria

Figura 2.6

__*{ 4t F_

FISICA BASICA MEC,,LNICA CL,.[SI{,A *CINEMÁTICA

Ejemplo 2.1

rJna rata camina sobre una cuerda de 4.00 m de longitud,para pasar de A hasta B (ver figura 2.7). Si le toma 2.50 s irde A hasta B (extremos de la cuerda), ¿Cuál es su rapidez

me1ia y la magnitud de la velocidad media en dicho

intervalo?

Solución:

1.20 m

I.......,

xFigura 2.7

a) Dado que la rata se recoffe la cuerda, entonces la distancia recorrida es la longitud de ésta. Es

decir, s - 4.00 m. Tal recorrido le tomó 2.50 s. Usando dicha informaciÓn, obtenemos la rapidez

media con la ecrtación (2.2)s 4.00 mR =-:-= =1.60m/s"' At 2.50 s

b) Coordenadas de A son iu= (0,0)

Coordenadas de B son /, = (3.50 m, 1.20 m)

El desplazamiento es A/ -ia-7^=(3.50 m, 1.20 m)

Magnitud del desplazamiento lA/l= @ *Ly' = = 3.70 m

La magnitud de la velocidad media es v = ]+11 =

=+ = 1.48 m/s

Lt 2.50 s.

2.2.4 Aceleración

Dada una partícula en movimiento, podría observarse que su velocidad no es constante. El cambio

en la velocidad puede ser:

a) De magnitudb) De direcciónc) Tanto de magnitud como de dirección (cambio en ambas cosas a lavez)

La cantidad Jísica con que se precisa el cambio de velocidad en cada unidad de tiempo, es

denomina aceleración. Si una partícula tiene velocidad l, en cierto instante /1 y tiene velocidad i,en otro instante posterior 12, entonces se dice que la aceleración media de la partícula en el intervalo

t1 a t2 se define como

- t" -t,arn =-l

tz-tt(2.4)

El valor dado por la ecuación 2.4 se denomina aceleración media, que es la aceleración de una

partícula en un intervalo de tiempo dado. Es posible que la velocidad cambie continuamente y en

dicho caso se tiene una aceleración para cada instante. El hecho de que la velocidad cambie

continuamente no significa que la aceleración también cambie. Un cambio en la velocidad es lo que

define una aceleración iSi no hq¡ cambio de velocidad, no hqta aceleración! Cómo ocurre el

cambio de velocidad, es lo que determina si la aceleración es constante o variada. El ejemplo más

evidente de una partícula con aceleración lo es una partícula en movimiento describiendo una

trayectoria curvilínea. En cada punto de la trayectoria, la velocidad tiene una dirección diferente

{42

7

FIS, ,ABfuf EC/|NICA CL.,¡SIC,4 * CINEMÁT'ICA

(recuerde que la velocidad tiene la dirección de la recta tangente a la trayectoria) y dicho cambio dedirección en la velocidad permite establecer que la partícula tiene aceleración.

La unidad de aceleración en el Sistema internacional es el m/s2 (se lee "metro sobre segundocuadrado").

En este curso no nos ocuparemos de la expresión matemática parala aceleración instantánea, porquela misma corresponde al cálculo diferencial e integral, que no es de nuestro interés.

2.3 MOVIMIENTORECTILÍXEOAhora estudiaremos el movimiento de los cuerpos cuya trayectoria es recta. Esto lo haremos

considerando que la trayectoria coincide con el eje x. Esto tiene como propósito simplificar las

expresiones matemáticas que usamos. Además, las cantidades vectoriales que antes precisamos

(posición, desplazamiento, velocidad y aceleración) podrán ser identificadas por una de sus

componentes, lo cual permitirá evitar manejarlas como vectores.

- Posición.Como ya habíamos dicho, consideraremos que la recta

que describe el partícula en estudio es el eje x. Tomamos

un punto de dicha recta al que denominamos origen.Usaremos la letra x para denotar a la posición. El valorde x es la longitud del segmento que va desde el origen al

punto en que está la partícula (vea figura 2.8), teniendoen cuenta que éste puede tener signo positivo o negativo.El signo de x (la posición) será positivo si el cuerpo está

Figura 2.8

de un lado del origen (digamos a la derecha del origen) yserá negativo si está al otro lado del origen (digamos a laizquierda).

DesplazamientoSi en el instante inicial de cierto intervalo de tiempo uncuerpo está en .r1 1l en el instante final del mismointerualo está en x2¡ entonces decimos que el

desplazamiento de dicho cuerpo en dicho intervalo es:

A,x:xz-xt (2.5)

El desplazamiento puede tener signo positivo o negativo,eso dependerá hacia donde se mueve la partícula.

Podríamos decir que el signo de Ar es positivo si el

cuerpo va hacia la derecha y que Ax es negativo si el

cue{po va hacia la izquierda (ver figura 2.9).

x

Eje x

xt ^xr----^a----..j .,

E4 t t 4 Ejex{{\1

Origen Parlícula \ Partícula en el'\en et \ ¡nslanle t2

instanterl \,-rireccióndelmovimiento

a) Lx positivo

Xt

{z Ax/-- -- ------\t l-t I Ejex{<\(

Origen Partícula \ Particula en elen el \,, irrror,, ,,instantP¡, \- Dirección

tI

Particulat

Origen

delmovimiento

b) Ax negativo

Figura 2.9

43

- Velocidad

En el movimiento rectilíneo denotaremos corr vxm a la velocidad media. El subíndice x para

indicar que el cuerpo se mueve sobre el eje x. Para denotar la velocidad instantánea, usamos %'

Igual que como dijimos sobre el desplazamiento, la velocidad es positiva si el cuerpo va haciala

derecha y es negativa si el cuerpo va hacia la izquierda. La velocidad media, en el movimiento

rectilíneo, se define Por:

Xr-Xt'xm

lz-tt(2.6)

Ejemplo 2.3

Un auto se mueve sobre una carretera recta. El conductor ve las 2:15 p.m., en su reloj, en el instante

en que pasa frente a un borne que indica 20 km. Luego, en el instante en que su reloj marca 2:30

p.m., pasa frente al borne que índica 40 km. ¿Cuál es la velocidad media del auto en el intervalo de

2:15 p.m. a2:30 p.m.?

Solución

- Dado que el auto se

representan xt Y xz

cuestión.t xt = 20'0 km

mueve en línea recta, tenemos que los valores indicados en los bornes

. Es decir, las posiciones en el instante inicial y final del intervalo en

Y xz: 40'0 km

En el intervalo de 2:15 p.m. a2:30 p.m., transcurren 15 minutos. Es decir, Lt=tz-q: (2

horas 30 minutos) - (2 horas 15 minutos): 15 minutos. 15 minutos, expresados en hora, es

o.25 h.

La velocidad es:

(x, - xt) (x, - xr):-:-"xm (t, - tr) at40.0 km - 20.0 km

0.25 h

km=to5

44

FISICA BASICA MEC.,íNI:A cL.isK,l *crNEMÁrtcA

2.3.1 OBTENCIÓN nE VELOCTDAD DADO EL GRÁFrCO x : f (t)

La velocidad media es igual a la pendiente dela recta secantel al gráfico *:f (t) (ver figura2.5). Dicho de otro modo, si tenemos ungráfico x : f (l) y se nos pide la velocidadmedia en cierto intervalo t1 d t2, entoncestrazamos una recta que cofta (secante) algráfico x : "f (t) en los puntos correspondientesa los instantes t¡ y t2, y finalmente lavelocidad en dicho intervalo es la pendientede la recta yatrazada.

- La velocidad instantánea es igual a lapendiente de la recta tangente2 al gráficox = f (t) (ver figura 2.6). Dicho de otro modo,si tenemos un gráfico x : f (t) y se nos pide lavelocidad en cierto instante tt, entoncestrazamos una recta qve toca (tangente) algráfico x :.f (t) en el punto correspondientesal instante 11, y finalmente la velocidad endicho instante es la pendiente de la recta yatrazada.

Si el gráfico .r : f (t) es una recta, entonces en el gráfico, toda secante y toda tangente al é1,

coinciden. Siendo la velocidad - en cualquier intervalo (velocidad media) y en cualquier instante(velocidad instantánea) - una constante igual a la pendiente del gráfico.

Es importante hacer notar que tanto la velocidad media como la velocidad instantánea puedenobtenerse a partir del gráf,rco x : f (r),la diferencia es que en un caso (velocidad media) usamos unarecta secante y en el otro caso (velocidad instantánea) usamos la recta tangente.

I Se denomina recta secante a aquella que corta Ltna curva en dos punlos.2

Se denomina recfa tangente a áquelli que toca a una cutna en ui solo punfo

Figuro 2.10

tiguro 2.1I

45

FISTCA BASIC,4 [TEC/{ N ICA CL,,{S Ic.A - C INEMÁTLCA

Ejemplo 2.4

El gráf,rco x:f (t) que se muestra más abajo, corresponde a unpartícula que se mueve en línea recta (sobre el eje x). Cuál es la

velocidad de dicha partícula.

Solución- Como el gráfico x : f (t) es una recta, entonces

debemos calcular la pendiente de dicha recta para

obtener la velocidad. Con tal propósito hemos

seleccionado dos puntos de la recta (señalados en la' ñgura). En estos tenemos:

o Punto l: tr : 0 y ,r : 2.00 m,o y Punto 2: tz:4.0 s y xz : 8.00 m.

La velocidad es:

v* - pendiente : (x, - xr) 8.00m-2.00m m

(t, - tr) 4.00s - 0

x (m)

8.0

6.0

4.0

2.0

: 1.50 *-----:

-"O

1.0 2.0 3.0 4.0 t(s)

tiguro 2.12

2.3.2 OBTENCIÓX Un DESPLAZAMIENTO DADO EL GRÁFICO v*:flt)

Si tenemos el gráfico v, : f(t), como se ve en lafigura 2.11 y nos interesa el desplazamiento en

cierto intervalo t1 z t2, entonces podemos obtener eldesplazamiento como el área comprendida entre: elgráfico v, : .f(t), el eje t, las rectas verticales que

cortan al eje de ¡ en h y tz. Esto acostumbra a

expresarse como "El desplazamiento de unapartícula que se mueve sobre el eje x es igual alárea bajo el gráfico v, : f (r)". Es decir, el área

sombreada de la figura 2.1 l.Figuro 2.11

{46t

FISTCA BASICA fuf ECÁNICA CL.,iSrc"4 * CINEMÁTICA

Ejemplo 2.5

Considerando que el gráfico v, : f(t) de una partícula que se

mueve sobre el eje x, es el que se muestra en la figura 2.12,determine cuanto se desplaza dicha partícula en el intervalo/:1.0sa/:3.0s

Solución

- Al sombrear la superficie bajo el gráfico, entre t : 1.0 s y t :3.0 s, se evidencia un trapecio. En la figura hemos indicado

las dimensiones del trapecio, a citar; h : 6.0 mls, h2: 2.0

mls y b: 2.0 s.

v,(m/s)

8

6.0

3.0 4.0 ¡(s)

Para obtener el desplazamiento requerido, calculamos el área del trapecio ya citado.El desplazamiento es:

Lx = área det *apec* : (r*) , = (*#) ,r 0 ,) = 9E

- Aceleración

Para denotar a la aceleración media usamos exm y para denotar a la aceleración instantánea usamosar. Debemos decir nuevamente que el subíndice x es tan solo para recordar que se trata de unaparlícula que se mueve en línea recta (sobre el eje x). De no ser así, entonces cada una de las

cantidades físicas que hemos citado deben ser "manipuladas" como vectores, por cuanto sus

símbolos deben tener una flechita horizontal sobre los mismos. La expresión con que se define laaceleración media en el movimiento rectilíneo es:

- -v2, - vr,

t, - t,(2.6)

Recordamos que el signo de la velocidad solo índica hacia dónde va la partícula. Sin embargo,tomando este signo como si fitese parte de.la cuantificoción de la misma, podemos decir que laaceleración es positiva si la velocidad aumenta y negativa si la velocidad disminuye. Insisto, estaforma de establecer el signo de la aceleración es válida considerando el signo de la velocidad comoparte de la cuantificación de la misma, pues una velocidad de -20.0 m/s no es menor que unavelocidad de 10.0 m/s. El signo de la primera solo índica el sentido.

Figuro 2.12

47

FISfCA B,4SICA fuILC,4NIC-4 CLASI{"4 * CINEMATTCA

2.3.3 oBTENCTóN »a ACELERAcIóN DADo nr, cnÁrICO v.. :f(t)

La aceleración media es igual a lapendiente de la recta secante al gráfrco v*:f (t) (frgttra 2.8). Dicho de otro modo, sitenemos un gráfico vr : f U) y se nos pidela aceleración media en cierto intervalo ¡r

a t2, entonces trazamos una recta que cortaal gráfico vr : f @ en los puntos

correspondientes a los instantes t1 ! t2, yfinalmente la aceleración en dichointervalo es la pendiente de la recta yatrazada.

La aceleración instantánea es igual a la,rpendiente de la recta tangente al gráfico

v, = f (t) (figura 2.9). Dicho de otro modo,

si tenemos un gráfico v* : -f (l) y se nospide la aceleración en cierto instante /1,

entonces trazamos una recta que toca(tangente) al gráfico v, : -f (r) en el puntocorrespondientes al instante 11, y finalmentela velocidad en dicho instante es lapendiente de la recta yatrazada.

Si el gráfico v,:f (t) es una recta, entonces toda secante y toda tangente a é1, coinciden. Siendo la

aceleración - en cualquier intervalo (media) y en cualquier instante (instantánea) - una constante

igual a la pendiente del gráfico.

Es importante hacer notar que tanto la aceleración media como la instantánea pueden

obtenerse a partir del gráfico vr:.f (t),la diferencia es que en un caso (velocidad media) usamos una

recta secante y en el otro caso (velocidad instantánea) usamos la recta tangente.

2.3.4 MOVIMTENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU)

Es el movimiento en el que la velocidad es constante en magnitud, en dirección (movimiento en línea recta) y

sentido. Es un movimiento con aceleración nula. La relación entre el desplazarniento y el tiempo está dada

por:

Lx = vrt (2.8)

Siendo Ax es el desplazamiento en el intervalo t:0 a l, y v. es la velocidad (constante) con que se mueve el

cuerpo considerado. Además, Lx : x - xo. Donde xo es la posición en el instante t : 0 y x es la posición en el

instante /.

Figuro 2.13

tigu¡o 2.14

48F-

- FISICA B.4SICA urc^,iNtc^< cr.lstc,1 _ ¡r^-E¡tÁrlcA

Dado que en el movimiento rectilíneo uniforme la velocidad es constante, es posible establecer que el gráficov,: lU) correspondiente tiene el aspecto de la figura 2.15

Figuro 2.15

Atendiendo a la ecuación 2.8, se tiene que en el movimiento rectilíneo uniforme el desplazamiento (a partirdel instante r: 0) es directamente proporcional a l, siendo u, la constante de proporcionalidad. En vista deesto, se establece que el gráfic o Lx : flt) tiene el aspecto indicado por la figura 2. 16.

o) portículo que se mueve hociolo porte posilivo del eje:r-

o) portículo que se muevehocio lo porte posilivo del eje r

o) portículo que se mueve hociolo porie positivo del eje x

b) poriículo que se muevehocio lo porte negolivo del eje _r

b) portículo que se mueve hociolo porte negotivo del eje x

b) portículo que se mueve hociolo porte negotivo del eje r

F¡guro 2.1ó

Por otro lado, sustituyendo a Ax por -{ - Í0, la ecuación 2.7 pwde escribirse como -r : xo * v,t. Dado que estaúltima es la ecuación para una variación lineal, entonces el gráfico x:f(t) tiene el aspecto mostrado en lafig:ura2.l7.

tiguro 2.17

Ejernplo 2.6

Un auto viaja por una calle recta con velocjdad constante de 20.0 m/s. Pasa frente a la casa de Juan5.00 s después de haber pasado frente la casa de Pedro. ¿Cuándo dista la casa de Juan de la casa dePedro?

Solución

- Lo que dista la casa de Juan de la casa de Pedro es lo que se desplazó el auto en el lapsode 5.00 s. Teniendo como velocidad v,:20.0 m/s.

- El desplazamiento es:

ax = ux t : (zo.o i) fs.oo s) = 1g! m

49

Í.§TCA BASICA itf EC.4NtcÁ C L.,LSIC,4 * CTNETI ÁT'ICA

2.3,5 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTB VARIADO (MRUV)

Se le denomina movimiento rectilíneo uniformemente variado, al movimiento en línea recta conaceleración constante. En este movimiento pueden considerarse dos posibilidades; a) si aurrenta lamagnitud de Ia velocidad, se le llama movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, b) sidisminuye la magnitud de la velocidad, se le llama movimiento rectilíneo uniformementeretardado. Debe tenerse cuidado sobre el significado de esto. No ha faltado quien se haya sentidotentado a establecer que si la magnitud de la velocidad aumenta, entonces la aceleración es positiva,y si la magnitud de la velocidad disminuye, entonces la aceleración es negativa. En tal sentido, es

preciso señalar que existen cuerpos en movimiento en línea recta con aceleración constante, talesque la magnitud de su velocidad disminuye y luego aumenta, sin que su aceleración haya cambiadomientras dicho cambio ocurre (la aceleración tiene el mismo signo en todo momento).

Velocidad en función del tiempo de un cuerpo con movimiento rectilíneo unilbrmementevariado.

La aceleración para todo cuerpo con movimiento rectilíneo uniformemente variado puede obtenersecomo:

o__(u-zr-vu)Lx- (tr-tr)En nuestro caso, considerareÍlos la expresión en el intervalo 11 :0 a t2: t. Por lo que sustituiremos av2v por vr, que representa la velocidad en el instante r y sustifuiremos a v7* por vo,, tal que von sedenomina velocidad inicial (velocidad en el instante l: 0). La expresión puede escribirse como:

(v* - vor)ax:De donde,

vr:vor*art

Esta última es la expresión matemática de v, : "f(t) de unauniformemente variado.

- Desplazamiento en función de velocidad y tiempo.

(2.e)

partícula con movimiento rectilíneo

Dada la expresión de velocidad en función de tiempouniformemente variado, podemos establecer la formamuestra en la figura 2.18.

de un cuerpo con movimiento rectilíneodel gráfico correspondiente es como se

Figuro 2.18

a) Para a, positiva b) Para a., negativa

s0F

r

Como ya habíamos dicho, podemos obtener el desplazamiento usando el gráfico v, = f (t). por loque, podemos calcular el área de la parte sombreada en la figura 2.18 (en a o en ó), cuyo resultadoes el desplazamiento en el intervalo t :0 a ¡. Dicha figura es un trapecio con base igual a t, conalturas vuxy v,. Por lo que, el desplazamiento es (el área):

Lx:(u*tvo*1'\ 2 )-

- Desplazamiento en función del tiempo.

Ahora sustituiremos la expresió n (2 .9) en la expres ión (2.r 0), con lo queobtenemos:

(2.10)

a*t2Lx=vs*t+-:z (2.11)

Que es la expresión para el desplazamiento en función tiempo para unapartícula con movimiento rectilíneo uniformemente variado.

A partir de esta ecuación se puede construir un gráfico para eldesplazamiento en función del tiempo (ver figura 2.19)

Expresión que relaciona al desplazamiento y la velocidad. .

Ahora despejamos a t de la ecuación (2.9) y sustituimos en la ecuación(2.10). Con lo cual tenemos como resultado lo siguiente:

b) Para a,negativa

tr'iqura 2.19

A,x =u} - u3*

(2.12)2a*

Expresión que relaciona al desplazamiento y la velocidad para una partícula con movimientorectilíneo uniformemente variado

Ejemplo 2.7

Una patrulla de policía tiene en marcha el auto enque transita, sobre una avenida recta, á unavelocidad constante de 30.0 km/h, mientrassupervisan a los transeúntes de la avenida. Al verpasar por el carril adyacente a un motori sta a altavelocidad, acelera a razón de 4.00 m/s2 con laidea de alcanzarlo. Lo cual logra al cabo de 5.00s. ¿Qué velocidad tiene el auto de policía en elmomento que alcanza al motorista?

^__2.10.0 knit

5J». ,1 i""ii.,,,.-.. | 1. .ii)

Figura 2.20

a)Para a,. positiva

*t sl

FISTC,A BASTCA ilfEC.,íNIC" CL.LSIT,A -CINETIÁ.,ICA

FISICA B.4S *ÍEC'ÁNICA ( * CINEMAT'TCA

Solución

Al momento de iniciar su movimiento acelerado, el auto viajaa 30.0 km/h. Por lo que vox:30.0

km/h. Esta velocidad puede expresarte en m/s dividiendo entre 3.6. Por lo que vox: 8.33 m/s

La velocidad del auto al alcanzar el motorista corresponde a la velocidad cuando l: 5.00 s

La velocidad es:

Ux: Uo * Art = : 2:3 m!:.(a.ss11 + (+ ooi)rs oo o

Este resultado lo expresaremos en km/h, para que se corresponda

expresar la velocidad de los autos. Esto se logra multiplicando el

3.6. Por lo que, tenemos v, = Ñ27

con la forma convencional de

valor de velocidad en m/s por

Ejemplo 2.8

El conductor de un auto que viaja en línea recta a 50.0 km/h

pisa los frenos, al ver un bache un poco más adelante, sobre

la calle en que transita. El conductor pisa los frenos durante

3.00 s y la velocidad se reduce uniformemente hasta 18.0

km/h. ¿Cuánto se desplazó el auto mientras el conductor

pisó los frenos?

(Cuando /: 3.00 Iu = lR0k¡n/h

->

Solución

Tenemos que 50.0 km/h es la velocidad en el instante en que inicia el movimiento con

aceleración constante. Es decir, y,-.:50.0 km/h. Expresado en m/s, tenemos "ttox = 1,3.9 m/s

Además, 18.0 km/h es la velocidad en el instante t: 3.00 s. Esta, expresada en nt/s, es 5.00 m/s.

Es decir, v,: 5.00 m/s cuando t: 3.00 s

El desplazamiento del auto en este lapso

L* = ('* *.uo*), : I\ z )- \ ) cr.oorl = zB.4 m

/

ES:

13.9r + 5.003ss

Ejemplo 2.9

Para descargar una camión, el descargador empuja

cajas desde el tope superior de una rampa, las cuales

(las cajas) se deslizan con una aceleración constante

de 2.00 */s'y llegan al otro extremo de la rampa al

cabo de 3.00 s. Suponiendo que el descargador le da

una velocidad de 1.50 m/s ala caja, al momento de

esta iniciar su movimiento sobre la rampa,

determine la longitud de la rampa.

Caja en movimiento

con una aceleración

de 2.00 m/s']

Figwa2.22

52

(Cuando t = 0)v-,:50 0 km/h

Figura 2.21

x

TCA B,4SIC,4 1 s t c'.q * c' t x r: ¡¡t Á't'l c',t

Solución

La longitud de la rampa es el desplazarniento de cada caja en un intervalo de 3.00s, iniciandocon una velocidad inicial de 1.50 m/s (v,,,: 1.50 m/s) y moviéndose coll una aceleraciónconstante de 2.00 m/s'

La longitud de la rampa es:

a*tz z rnr (z.oo T) (3.00 s)2L,x = v¡*t + -:Z : (1.50;,) (S.OO s) + !-lz, = 13.§ m

Ejemplo 2.10

Al ser golpeada, cierta bola de golf, inicia su movimientodesliza en línea recta y alcanza el hoyo a2.00 m/s, el cualgolpeada. ¿Con que aceleración se deslizó la bola?

con una velocidad de 6.00 m/s. Esta se

(el hoyo) está a 10.0 m del punto de ser

Solución

- Consideremos que la parte positiva del eje x apunta hacia donde se mueve la bola. Teniendotal consideración, tenemos un bola en movimiento rectilíneo con aceleración constante queinicia su movimiento con 6.00 m/s (u,,.: 6.00 m/s) y que alcanza una velocidad de 2.00 m/sal desplazarse 10.0 m (y,:2.00 rn/s cuando Ax: 10.0 m).

La solución viene dada por la ecuación (2.12), despejando de ella a,.

vI - v3* ?)vi - v6,- ^ ZA,x

(z.oor;'- (o.oor)'L,x =

2(10.0 m) = -1.60 m/sz2a,

2.3.6 CAÍDA LIBRE DE LOS CUERPOS.En nuestra experiencia cotidiana, hemos observado el movimiento de cuerpos que lanzamos osoltamos, sin que estos estén apoyados o suspendidos. Estos cuerpos terminarán chocando, en algúnmomento, con "el suelo". En particular, consideremos los cuerpos que son lanzados hacia arriba,hacia abajo o dejados caer (sin ser lanzados). Además, en nuestra consideración despreciemos losefectos del aire. A los cuerpos en movimiento bajo las condiciones citadas, les denominamoscuerpos en caída libre. Todo cuerpo en caída libre tiene una aceleración de magnitud 9.8 m/s2, haciaabajo, independiente de su masa. A ésta, la denominamos aceleración de caída libre o aceleracióngravitacional, o simplemente gravedad. Dicha cantidad la simbolizamos con lalegra"g".

Al estudiar el movimiento de cuerpos en caída libre con trayectoria vertical (lanzado hacia arriba,lanzado hacia abajo o dejado caer), estamos ante un cuerpo en movimiento rectilíneo uniformementevariado. Dicho movimiento es retardado si el cuerpo va hacia arriba y es acelerado si va hacia abajo.Es decir, disminuye la magnitnd de la velocidad si va hacia arriba y aumenta la magnitud de lavelocidad si va hacia abajo. Sin ernbargo, en ambos casos la aceleración es la misma, como clijimos

s3 I

F'ISIC'A B.ASl(d .- * * .* -t1¡¡t{:.1^\tt'4 (t..iStCA *CÜI:.r/47.tc4

antes, 9.8 m/s, hacia abajo. Por 1o que, en nuestro estudio, consideramos que la trayectoria coincide

con el eje y, el cual tendrá su origen en "el suelo" y su parte positiva arriba del suelo. Por lo que,

usaremos como aceleración av: - 9.8 m/s2, en ambos casos.

Al momento de resolver cualquier problema de caída libre debemos tener en cuenta lo siguiente:

l. La trayectoria es una recta vertical.

2. Si el cuerpo es lanzado hacia arriba, entonces vo, es positiva.

3. Si el cuerpo es lanzado hacia abajo, entonces vo, es negativa.

4. Si el cuerpo se deja caer desde un lugar en reposo' voy es cero

5. Si el cuerpo se suelta desde un marco de referencia en movimiento (un globo, por ejemplo),

entonces yoy es igual a la velocidad de dicho marco de referencia, "positiva si dicho marco de

referencia va hacia arriba y negativa si dicho marco de referencia va hacia abajo"

6. En todo caso usar ay: - 9.8 m/s'z. Es decir, ay: -8

La solución de todo

problema de caída libre,

puede obtenerse usando las

ecuaciones del movimiento

rectilíneo unifotmemente

variado, antes citada.

Considerando au: -g.

Expresión matemática de r',, :./(/) de unavy = voy - gt (2.9)

purrí.,,Iu en caída libre

n^. _ (vy t rr9¿\ * (2.10) Desplazamiento en función de velocidadAy = \ Z )t y trernpo para una partícula en caída libre

s.tz Desplazamiento en función tiempo paraLy : vort - 7 l¿' L t ) una partícula en caída libre

^ u] - v\y Expresión que relaciona al

rlV = -------:- (2.12) desplazamiento y la velocidad para una-

- )oL6 partícula en caída libre

{ro

¿Qué significado tiene el signo negativo de a, en el movimiento de caída libre?ñ. "r. modo queda establecido que la velocidad (INCLUYENDO EL SIGNO) disminuye,

atendiendo a nuestro sistema de coordenadas (eje y vertical hacia arriba). Disminuye mientras sube y

disminuye mientras baja. La aceleración no cambia, sea que la partícula se mueva hacia arriba o

hacia abajo. Pongamos un ejemplo:

Consideremos que se lanza un partícula hacia arriba con velocidad vo-, : 14.7 m/s y que ponemos un

cronómetro en cero en el instante de lanzamiento. Dicho cronómetro forma parte de nuestro marco

de referenci a. Para conseguir la velocidad en cada instante, sustituimos en v-r, : vot,- 8t

En t:0.50 s, la velocidad es yy : 9.8 m/s (disminuyó 4.7 mls desde el instante de lanzamiento).

En t : 1.00 s, la velocidad es v,,, : 4.7 mls (disminuyó 9.8 m/s desde el instante de lanzamiento).

En l: 1.50 s, la velocidad es y,,:0 (disminuyó 14.7 m/s desde el instante de lanzamiento y seguirá

disminuyendo).

En t :2.00 s, la velocidad es v.. : - 4.7 m/s. El signo negativo de este valor, significa que la

partícula va hacia abajo en ese instante. Considerando dicho signo como parte de la cuantificación

de loa velocidad, se advierte que, desde el instante l: 1.50 s al instante t:2.00 s, la velocidad ha

disminuido 4.7 mls, ya que - 4.7 mls es menor que 0.

t

FISICA B,4SICA frIEC,4N IC.4 CI,^{SIT"4 _ CINEII,4T'I{'A

Ejemplo 2.11

A un estudiante se le ha pedido que diga cuál es la altura deledificio de apartamentos donde vive. Como no tiene los

instrumentos apropiados para medirlo, se le ocurre usar lafórmula (2.11) del movimiento de caida libre. Elprocedimiento usado por el alumno consiste en soltar untomate desde la azotea del edificio y tomar el tiempo que letoma en caer. Suponga que al tomate le tomó 1.60 s caer

desde la azotea del edificio. ¿Cuál es la altura del edificio?

Parte del

reposo

Ly

Solución rtgttra ¿'¿r

- Como el tomate es soltado desde la mano del estudiar*r-. en reposo, entonces la velocidadinicial es nula (rr,:0). Además, consideraremos que el tomate se mueve en caída libre.

- Al calcular Ay, obtendremos un valor negativo porque el punto final del movimiento deltomate está bajo el punto de partida. Es decir, en el intervalo en cuestión, va hacia abajo. Portal razón, establecemos que la altura del edifico es el valor absoluto del desplazamiento deltomate.

(9.8 m/s2)(1.60 s)2 ::125 rnof2

Ay : uort -T = (0)(1,60 s) -

- La altura del edificio es: 12.5 m

Ejemplo 2.12

Con la idea de que el periódico llegue al 4to nivel de un edificio, el cual está a 6.60 m sobre el puntode lanzamiento (6.60 m sobre el punto donde la mano del repartid or lanza el periódico), el repartidorlanza el periódico a 10.0 m/s. ¿Llegará el periódico al lugar pretendido?

Solución

- Para establecer si el periódico llegará hasta una altura de 6.60 m, debemos establecer cuantoes lo máximc que sube el periódico al ser lanzado con esa velocidad. Si el periódico subemás o igual de 6.60 m, entonces lo logrará.

- Cuando un objeto en caída libre alcanza el punto más alto de su trayectoria, su velocidad es

nula. Entonces calcularemos cual es gl valor de Ay para vy:0 de un objeto lanzad,o a 10.0m/s hacia arriba (vov: 10.0 m/s).

- Para obtener el valor de Ay usaremos la ecuación (2.12) correspondiente a un cuerpo encaída libre con trayectoria verlical.

- El valor de Ay es:

(o)' - (10.o m/s)2= E.1Q m

^^2 --2^ vy-uovL1y'=' '=

- /C

Entonces, la respuesta es:

No llegará hasta el cuarto nivel.-z (o aoi)

Figura 2.23

{rt F

FISICABASICA n4*cÁxtc¿ ctÁstcl -c'NtwÁrtcs

2.4 MOVTMTENTO CURVILÍNEO (EN EL PLANO)Ahora haremos algunas descripciones sobre el movimiento circular uniforme y el movimiento de

proyectiles. En estos movimientos la trayectoria es curvilínea (no es recta) y todos los puntos de la

trayectoria están en un mismo plano.

2.4.1 MOVTMTENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)

Movimiento en el que la trayectoria es circular y la magnitud de lavelocidad es constante. Decir que la magnitud de la velocidad es

constante, es equivalente a decir que la rapidez es constante, porque la

magnitud de la velocidad en un instante dado es igual a la rapidez. Es

posible que los estudiantes piensen que al haber precisado que la rapidez

es constante, debamos establecer que la aceleración es nula, pero no es

así. Cuando definimos la aceleración, hablamos de cambio en lavelocidad, y este cambio puede ser tanto en la magnitud como en la

dirección de la velocidad. La velocidad en el movimiento circular

uniforme no es constante, slJ dirección cambia continuamente, la cual es

tangente a la trayectoria (ver figura 2.24). No se le ocurra pensar que al

precisar aquí que la velocidad es tangente a la trayectoria, entonces este

enunciado es exclusivo para el movimiento circular uniforme. Este

enunciado es universal. Es decir, válido para todo movimiento. Además,

recuerde que la tangente a una recta coincide con la propia recta.

v

Figura 2.24I¿s flechitas que apuntan hacia

el centro, representan a la

aceleración.

La aceleración en el movimiento circular uniforme es perpendicular a la velocidad y apunta hacia el

centro de la trayectoria, su magnitud es constante, como se muestra en la figura 2.24. Si tenemos la

magnitud de la velocidad (u) de una partícula con movimiento circular uniforme y el radio (R) de la

circunferencia que describe, entonces podemos obtener la magnitud de la aceleración como:

v2o=T Expresiones para la magnitud de la aceleración delz' t 5 )

una parlícula con movimiento circular uniforme.

A cada partícula con MCU le toma el mismo tiempo completar cada vuelta, al cual llamamos

período. Usamos T como símbolo para el período. Por otro lado, denominamos frecuencia al número

de vueltas que completa dicha partícula en cada unidad de tiempo. Usamos/como símbolo para la

frecuencia. La frecuencia se expresa eiHertz, que abreviamos Hz, que representa (1/s). Son usuales

múltiplos del llertz, como son: kHzyMHz

Si una partícula en movimiento circular uniforme completa rz vueltas en un intervalo de tiempo /,

entonces podemos usar las siguientes fonnulas para obtener el período y la frecuencia:

t,1,_-

nn

f]:TExpresiones para período (D V

(2.14) frecuencia (f) para una partícula

con movimiento circular uniforme.

{s6}

a <-_--añ .:7A \,r'

| ...Y ¡-¡r+ -v

FISICA B45ICA l,l lic.4 tr' tc.4 (; L.4s I {.: A * c I i\ E 3r.4T I C 4

Dadas las expresiones anteriores puede notarse que

Considerando un intervalo del movimiento, trazamos un segmento que

va desde el centro de la trayectoria hasta su ubicación en el instante

inicial del intervalo y otro segmento que va desde el centro de latrayectoria hasta su ubicación en el instante final. Al ángulo entre los

segmentos citados le denominamos desplazamiento angular (ver figura2.25) conespondiente al intervalo de tiempo dado. Este se expresa en

radianes y en grados. Asís pues, definimos como velocidad angular a

la cantidad física con se precisa el desplazamiento angular en cadaFigura 2.25

unidad de tiempo. Esta se expresa en radls (radian sobre segundo). Para una partícula con

movimiento circular uniforme, la velocidad angular es constante. La cual está dada por:

.2rtt)

- -T

a = 2¡tf

Si conocemos el radio de la circunferencia que describe una parlícula con movimiento circularuniforme y el tiempo que le toma completar cada vuelta (el período), entonces podemos obtener la

magnitud de su velocidad como:

ZttR

Tu :ZnRf

u=uR

Ejemplo 2.13

El Singapore Fiyer es la ruecla de la fortuna de mayor diámetro en

el mundo. con 150 m. Esta completa una vuelta en 30.0 minutos.

¿,Cuál es la magnitud de 1a velocidad de las cápsulas de

pasajeros'?

Solución

Ll tieinpo que le torna completarcada vuelta es el período. Su

r'-,iui. -¿Ét'Jslidc eu segundos, es 1.80 x l0j s.Singapore Flyerlnraqen tomada de http://wwrv.cit),tours.sg

Figura 2.26

t-l1 =- o I =-f"r

---T---tl

,'<-* '¡'lll ,' IUI

,I

Ia

Expresiones para la velocidad

{2.15) rxrrgular de una partícula con

movi¡:niento circular uniforme.

Expresiones para la velocidad de

(2. l6) una partícula con movimientocircular uniforme.

l ,,-

i),ir¿¡ .;i:t'-:irer el valor de la velocidad, considerando como datos el período y el radio,,-i;nsrd'crr:,Ic que el diámetro es el doble del radio (D:2R), entorlces es válido que:

2ttR rD (3.14)(150 m) m- T T 1.80xi.03s s

s7)a

t

F\SICA B.4SICA - IILC,4NII.,4 CI,4SICA .CINIi!11.41,1C4

Ejemplo 2.14

Un niño hace girar su avión de juguete usando una cuerda elástica. En base a cuanto se estira la

cuerda con que hace girar el avión, el niño puede establecer que la aceleración del mismo (del

avión), cuyo valor es 9.00 m/s'. Si la trayectoria que describe el avión es de 4.00 m de radio, (a)

¿Cuál es la magnitud de la velocidad del avión?, (b) ¿Cual es el periodo del avión?

Soluciónpara conseguir la magnitud de la velocidad, despejamos la velocidad de la ecuación (2.13),

teniéndose como resultado:

u :,JlR: (o.oo4)(a.oo m)

Ahora despejamos el período de la ecuación (2.16). Se obtiene:

m: 6.00 -_____§_

112o:T +

ZttR

T 6.00 3: 1.oq r

2nT-

u

(2)(3.14)(4.00 m)

Ejemplo 2.15

Con la idea de establecer cuál es la velocidad angular del abanico de techo de su habitación, en el

nivel uno, un estudiante de física toma el tiempo que a éste (al abanico) le toma completar 40

vueltas. Si el tiempo tomado por el estudiante fue de 8.0 s, ¿Cuál es la velocidad angular del

abanico?

Solución

Con el tiempo que le toma completar 40 vueltas, conseguimos la frecuencia del abanico.

n40f=-=-:5.0H2' t BOs

Ahora usamos la ecuación (2.l5) para conseguir la velocidad angular.

a¡ = 2rf :2(g.\a)(5.0 Hz) : g1!..s

58

FISICA BASICA ttÍgclíNtcA cl,,ístcA *crNutrÁT'rcA

2.4.2 MOYIMIENTO DE PROYECTILES

Denominaremos proyectil a toda partícula en movimiento cerca de la superficie de la Tierra, encontacto solo con el aire. En general, el movimiento de un proyectil está determinado por lascondiciones atmosféricas y el campo gravitatorio de la Tierra. Sin embargo, en este curso soloconsideraremos proyectiles bajo los efectos de campo gravitatorio de la Tierra. Dada estaconsideración el proyectil se mueve con aceleración constante de 9.8 m/s'zhacia abajo. Aceleraciónque denominamos aceleración gravitatoria, o aceleración de caída libre, cuyo magnitudsimbolizamos con la letra g.

Todo proyectil en movimiento bajo los efectos exclusivos delcampo gravitatorio, describe una trayectoria parabólica. A lacoordenada horizontal del punto donde cae, tomando comoorigen el punto de partida, se le denomina alcance y losimbolizamos con la letra R. A la coordenada "y" del puntosuperior de la trayectoria (el vértice de la parábola) lasimbolizamos con la letra h (ver figura 2.17).

Si consideramos un proyectil que se ha disparado con una velocidad de magnitud uo con un ánguloá" (ángulo de disparo) sobre la horizontal, se pueden conseguir Ry h con las siguientes expresiones.

. _uBsin(206)ob

h- vfiTsineo¡2

Expresión para el alcance considerando que cae(2.17) en un punto al mismo nivel que el punto de

lanzamiento

12.lg) Expresión parala coordenada y del puntosuperior de la trayectoria de un proyectil2g

Utilizando la expresión para R antes citada, se puede demostrar que el mayor alcance de un proyectilse consigue si se dispara con un ángulo de 45'. Además, se puede demostrar que se tiene el mismoalcance para dos proyectiles disparados con la misma magnitud de velocidad, tales que la suma desus ángulos de disparo sea 90o.

Ejemplo 2.16

En una competencia de lanzamiento de bala, un atleta hace un lanzamiento con una velocidad demagnitud 15.0 m/s. Despreciando la resistencia del aire y suponiendo que cae en un punto al mismonivel de lanzamiento, determine el máximo alcance de dicha bala.

Solución

Como se nos ha pedido el máximo alcance, entonces tenemos que debe dispararse con un ángulode 45.0'. Además, tenemos v,,: 15.0 m/s. Obtenernos la solución con la ecuación2.17

- _ u3 sin(206) (15.0 m/s)2 sin[2(45.0.)]

s e.83: 23.0 m

th

Figura2.27

FISTC,A BASICA fuIEC,4NICA CL,4SIC,,A {INéMA!_IIA

2.4.3 MOVIMIENTO DE PROYBCTILES CON ÁNGULO DE DISPARO DE O'

Al considerar los proyectiles con ángulo de disparo

de 0o, solo nos estamos ocupando de una parte del

problema. Esto, junto a considerar el origen del

sistema de coordenadas situado en el punto de

disparo, permite una simplificación que se

corresponde con el alcance de este libro.

viI

I

xo=0/o=0

\,V

\A \-C-'- O-O- >

rl,

Un proyectil con ángulo de disparo de 0o, tiene

componente vertical de velocidad inicial cero,

por lo que la magnitud de la velocidad inicial y

la componente horizontal de velocidad son

iguales.

r >!

Figura 2.28

Además, como la aceleración es vertical, la componente horizontal de aceleración es cero. Es

decir, la componente horizontal de velocidad no cambia (vo,: collstante: vr).

Dado que el origen del sistema de coordenadas coincide con el punto donde se dispara,

entonces xo: 0 y lo:0. Por tanto, A,r : x, Y Ly : y.

Finalmente, debemos decir que el movimiento de un proyectil disparado horizontalmente, con

origen del sistema de coordenadas en el punto de lanzamiento, puede ser descrito con tres

ecuaciones: una para obtener la coordenada x, que se corresponde con la precisada

anteriormente para un movimi enfo rectilíneo undorme y dos para la parte vertical del

movimiento, que se corresponden con el movimiento de caída libre con trayectoria vetfical

con velocidud inicial cero (movimiento rectilíneo uniformemente acelerado). Estás son:

x: ugt

E*v:v, = -gt

Coordenada x de la trayectoria de un(2'19)

proyectil disparado horizontalmente

Coordenada y de la trayectoria de un(2'20)

proyectil disparado horizontalmente

Componente y de la velocidad de un(2'21\

proyectil disparada horizontalmente

\(

60

L,Y

L.l

!

!

I

I

FTSTCA BASICA itr E clí N t c A c t.,is t c',s - ct N r x Án c,t

Ejemplo 2.17

Una bola de masilla ayanza sobre una mesa de 1.00 m de

altura y llega al borde de la misma con una velocidad de ^

magnitud 5.00 m/s (ver figura). ¿Dónde cae la bola? r'00m

Solución

- Consideremos que la masilla cae en un punto entre la pared y lacalculando el tiempo que le tomaría llegar al piso si no choca contrausando la ectaci6n2.20

sú : 0.452 sv-

- Con este último valor (t : 0.452 s), calculamos el alcance, usando la ecuación 2.19

r ITNx = uot : | 5.00 -l (0.452 s) = 2.26 m

\ e/

-- Según este resultado, está claro que la bola no llega al suelo, porque antes de llegar al suelo,a una distancia de 2.26 m de la base de la mesa, chocaría contra la pared. Entonces el valordel alcance es x : 2.00 m. Con este valor, usando la ecuación 2.19, calculamos el tiempo quele toma caer.

ot2,2

(9.8 m/s2)(0.400 s)2

(--2.00 m__>

mesa. Comenzamos

la pared del frente,

[,,,u,,

l-2vlo

!b

X : 'ltot

Con el valor de t, recién calculado, obtendremos en qué punto sobre la pared se pega lamasilla, usando la expresión 2.20.

x (2.00 m)

= =QJQ,[

¡l

- Este resultado indica que choca en un punto a0.784 m bajo el tope de la mesa.

- Como la mesa tiene una altura de 1.00 m,entonces puede decirse que la masilla se ,.oil,pega en la pared a 0.216 del piso (verfigura siguiente) (_2.00 m__,- )

-2(-1.00 m)

Í6rt"'t

ICA R,4SIC.

RESUMEN

Cantidades físicas con que describimos el movimiento

Para precisar la ubicación de una partícula que se mueve

en un plano, usamos una cantidad fisica que llamamos

posición.

Si una partícula tiene posición 4 en el instante t1 y

posición /, en el instante 12, entonces la velocidad media

en el intervalo tt a 12 se obtiene con la siguiente expresión:

I = (x,y)

üTz-Tt:-tz-tt

Si la trayectoria de una partícula en el intervalo lr

de longitud S, entonces la rapidez media en el 11

obtiene con la siguiente expresión:

at2eSa t2Se

s:# tz-ttRr,.

Si una partícula tiene posición

posición 4 en el instante 12,

media en el intervalo t1 a t2 se

expresión:

il en el instante t1 Y

entonces la aceleración

obtiene con la siguiente

uz-ut&= tz-tt

Movimiento rectilíneoSi una partícula se mueve en línea recta, entonces la

posición se denota con o'x", el desplazamiento con "Atr",

la velocidad instantánea con "v'", la velocidad media con

"'nr-^", la aceleración instantánea con 'oa*" y la

aceleración media con "or-*". Las expresiones

matemáticas corespondientes son :

Además, si tenemos el gráfico dev,:f (t), entonces Ax en

el intervalo tt a tz as igual al áteabajo el gráfico v, : f (t).

Movimiento rectilíneo uniformeUna partícula que se mueve en línea recta con velocidad

constante y que inicia su movimiento en t: 0, tiene como

variables la posición (x), el desplazamiento (Ax) y tiempo

(0.

Lx: xz- xt

-xz- xt

ux-m: tz-tt

uzx - urxox-m: tz-tt

Lx = üxt

X=Xo* u*t

{62L

Movimiento Rectilíneo con Aceleración ConstanteVariado)

(Movimiento Rectilíneo Uniformemente

Una partícula que se mueve en línea recta conaceleración constante y que inicia sumovimiento en t : 0, tiene como variables laposición (¡) y el desplazamiento (Ar), lavelocidad (v,). Las expresiones que relaciones aestás son:

En dirección horizontal(En el eje x)

En dirección vertical(En caída libre)

vy=Usr- gtUx-m: Ug* * Ort

o.=(2#r)' ot = (b#r),a-t2

Ax : vg*t +; AY = vsrt -+Si se trata de un movimiento de caída libre,la trayectoria es vertical entonces en lasecuaciones sustifuimos la variable x por y,al igual que la aceleración ax pon (- g).Siendo g:9.8 m/s2.

Movimiento circular uniformeSi tenemos una partícula con movimiento circularuniforme, a la cual le toma t tiempo completar n vueltas,entonces calculamos el periodo y la frecuencia con lassiguientes expresiones

(tlT =-1ln,F- . t

fl"U:7

Dado el radio (R) de la trayector@movimiento, la magnitud de la velocidad de una partículacon movimiento circular uniforme se obtiene como:

Dada la rnagnitud de la ,"lo"idu@trayectoria de una partícula con movimiento circularuniforme, la magnitud de la aceleración se obtiene con lasiguiente expresión:

2nRU=-T

v2Q,:

-R

La velocidad angular es constante para uri particrt., conmovimiento circular uniforme. Si se tiene el período de sumovimiento, entonces su valor puede obtenerse con lasiguiente expresión:

Movimiento de proyectilesUn proyectil es todo cuerpo al que se le da ciertavelocidad inicial y se mueve cerca de la superficie de laTierra, tal que mientras se mueve solo tiene contacto conel aire y que su movimiento puede ser descrito comopartícula. La trayectoria de un proyectil en caída libre esuna parábola. La ecuación para la coordenada vertical delpu-nto superior de su trayectoria es:

2trQ=-

Tó a=Znf

vfi¡sineofh-

t6s

2g

La expresión para la coordenada x del punto donde cae,

considerando que cae en un punto al mismo nivel del

punto de lanzamiento es:

Movimiento de proyectiles cuyo ángulo de disparo es

00

vf;sin(20s)

_{ 64

Un proyectil en caída libre es un proyectil que se mueve

sin contacto con ninguna entidad material. Su aceleración

es vertical hacia abajo y tiene como magnitud 9'8 m/s2. A

este valor se le denota con la letra g. Para simplificar, se

considera que el origen de su movimiento está en el punto

de lanzamiento. Si consideramos que elángulo de disparo

es 0o, entonces las expresiones para sus coordenadas y

parulacomponente y de la velocidad son las siguientes:

tÍ = t|ot

_g¡22

y=

FISICA BASICA upcliNtc¿ cL.lstc'.q - cLvrivÁnc.,l

EJERCICIOS PROPUESTOS.

1. Utilizando el sistema de coordenadas mostrado,determine cuál es la magnitud del despiazamiento

h¡l) de una partícula que va desde A hasta B.

y(m

4.

J

)

3.

Considere que la partícula del ejercicio anterior pasa

por A en el instante t: 4.0 s y pasa por B en t : 6.0 s.

¿Cuál es la magnitud de 1a velocidad media en el

intervalo t:4.0s a t: 6.0 s?

Usain Bolt ostenta actualmente el record mundial de

los 100 m planos, con una marca de 9.58 s, conseguidael 16 de agosto de 2009. en el mundial de Berlín. ¿Cuálfue la velocidad media (v**) de diciro corredor en lacitada competencia?

Figura 2.29 (Ejercicio 1)

En la prueba de velocidad el tren bala de Japón alcanzó los 581 km/h. Si éste mantiene dicho

valor por un lapso de 15.0 minutos, en línea recta ¿Cuánto se desplaza (Lx)?

Suponga que la carretera Duarte, la cual comunica a Santo Domingo con Santiago, sea recta ymidiera 160 km. ¿Cuánto tiempo le tomaría a un auto en ir de Santo Domingo a Santiago si

mantiene su velocidad constante de 80.0 kmih?

v,(m/sUn diseñador de juguete pone a prueba el nuevomodelo de auto que pondrá en el mercado. Registralos valores de velocidad en función del tiernpo deljuguete, mientras se mueve en línea recta. El gráficoconstruido con los valores de velocidad en funcióndel tiempo, de dicho auto, es el mostrado. En base a

dicha infonnación diga cuanto se desplaza (Ar) en elintervalo I : 1.0 s a I : 4.0 s.

7. Una partícula se mueve en línea recta (sobre el ejex). El tramo de A hasta B (ver figura) lo recorre en Figura 2'30 (Ejercicio 6)

con v7¡: 10.0 m/s en 3.00 s y el tramo de B hasta Clorecorrecony2':14.om/sen2'00s.¿Cuálesla,(*)velocidad media (u--,) en el intervalo de 5.00 s que

le tomó ir de A hasta C? Figura 2.31 (Ejercicio 7)

8. Un auto viaja hacia el este con una velocidad de magnitud 60.0 km/h desde las 4:00 p.m. hastalas 4:15 p.m.y a partir de las 4:15 p.m. hasta las 4:45 p.m. viaja hacia el norte a 80.0 km/h.

¿Cuál es la rnagnitud del desplazamiento del auto en el intervalo de 4:00 p.m. a 4:45 p.m.?

9. Un auto se mueve sobre el eje x con una velocidad de 16.0 rnls al momento de pisar los frenos.Su velocidad se reduce uniformemente hasta 10.0 m/s habiendo recorrido 4.00 m. ¿Cuál es suaceleración (a,)?

t

4.

5.

6.

¡(s)

o5+

ll i li'r

. . . . i . . . . . . . - . - - l. . . . . . . . i . . . . . . . . . I . . . - - - - - - . . -i - . . . . . . . . . :

i a. : i i i:'nt4ri:l

FISICA BASICA MECÁNICA CLASICA - CINEMÁTICA

10. El gráfico posición en función del tiempo de unapartícula que se mueve sobre el eje x, es el mostrado.En base a dicha a información determine la velocidadde la partícula (v,).

11. Un Mercedes Benz C63 AMG se mueve sobre laavenida 27 de febrero (la cual suponemos recta).Avanza con velocidad de 36.0 km/h, acercándose a laavenida Núñez de Cáceres. El conductor pisa elacelerador porque ve que el reloj de semáforo índicaque le quedan 5.00 s para pasar a rojo. El auto cruzala intersección justo a tiempo. Considerando que

dicho auto acelera uniformernente a 7.00 mlsz

¿Cuánto se desplazó (Ax) el auto desde el momentoen que el conductor pisó el acelerador hasta elmomento en que cruzala intersección?

x(m)

8.

.0 2.0 3.0 4.0 f(9

Figura 2.20 (Ejercicio 10)

12. Con la idea de librarse de un molestoso camión, el conductor de un auto, que va a 54.0 km,/h,pisa el acelerador para rebasarlo, aumentando su velocidad uniformemente. Logra su objetivo al

cabo de 5.00 s, momento en el cual la velocidad del auto es 108 km/h. ¿Cuánto se desplazó (Lx)el auto en el intervalo de rebase?

13. Un auto se mueve sobre una pista circular de 1.20 kmde radio (R), con movimiento circular uniforme. Aéste (al auto) le toma 7.50 minutos completar unavuelta. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad en km/hde dicho auto?

14. Una canica se desliza sobre una mesa de 1.0 m de

ahura y cae a 1.2 m del pié de la mesa. ¿Cuántotiempo le toma caer? Figura 2.21 (Ejercicio 13)

15. Un bimotor Cessna 340 (un avión privadode 6 plazas) viaja horizontalmente a 1.5 x1O'zm/s a 500 m del suelo. De él se deja caerun paquete. ¿A qué distancia horizontal (.r),

desde donde se dejó caer el paquete, toca elsuelo?

Figura 2.22 (Ejercicio 14)

liüi

^-lFigura 2.23 (Ejercicio 15)

1.0 m

Tt: