LGN5830 - Biometria de Marcadores Genéticos - Tópico 7 ...augustogarcia.me/Biometria-de-Marcadores/pdfs/aula7.pdf · AnálisedosMarcadoresIndividualmente ModelosLineares RegressãoLinear

Análise dos Marcadores Individualmente Modelos Lineares Regressão Linear

LGN5830 - Biometria de Marcadores GenéticosTópico 7: Mapeamento de QTLs I

Análise dos Marcadores Individualmente

Antonio Augusto Franco Garciahttp://about.me/augusto.garcia

[email protected]

Departamento de GenéticaESALQ/USP

2017

http://about.me/augusto.garcia

[email protected]


Conteúdo

1 Análise dos Marcadores IndividualmenteIntroduçãoFundamentosAnálises Estatísticas

2 Modelos LinearesFundamentosÁlgebra de MatrizesEstimação e Testes

3 Regressão LinearResultadosReferências


Conteúdo





Conteúdo





Introdução

Conteúdo





Introdução

O que são QTLs?

Quantitative Trait Loci: locos que contribuem para a variação de umcaráter quantitativo

Mapeamento: identificação de tais locos em cruzamentosexperimentaisArquitetura Genética: estimar

1 Número de QTLs2 Localização dos mesmos no mapa/genoma3 Seus efeitos4 Interações entre si (epistasia)5 Interações QTL× E

Importância: melhor entendimento dos caracteres de importância(agronômica, biológica, evolutiva, econômica, etc)

Mapeamento: primeiro passo em direção a estudos mais detalhados


Introdução

O que são QTLs?







Introdução

O que são QTLs?







Introdução

O que são QTLs?







Introdução

O que são QTLs?







Introdução

O que são QTLs?







Introdução

O que são QTLs?







Introdução

O que são QTLs?







Introdução

O que são QTLs?







Introdução

O que são QTLs?







Fundamentos

Conteúdo





Fundamentos

Marcadores - dados brutosAzul: Aa; amarelo: AA

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

17

1422

3038

4654

6270

7886

9410

3

Mouse Data

Marcadores

Indi

vídu

os


Fundamentos

Mapa Genético estimado

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

17

1422

3038

4654

6270

7886

9410

3

Mouse Data

Marcadores

Indi

vídu

os


Fundamentos

Mapa Genético

2 4 6 8 10 12 14

2

4

6

8

10

12

14

Markers

Mar

kers

c1

c1

Mapa construído


Fundamentos

Mapa Genético

0 10 20 30 40 50

Chromosome c1

Location (cM)

Indi

vidu

al

302928272625242322212019181716151413121110

987654321 ●

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Fundamentos

Dados Fenotípicos e Genotípicos

Mouse DataBW

[1,] 50 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1[2,] 54 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0[3,] 49 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1[4,] 41 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0[5,] 36 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

...[99,] 50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

[100,] 45 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0[101,] 43 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0[102,] 37 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1[103,] 35 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0


Fundamentos

Caráter Quantitativo

2040

6080

100

BW (peso corporal)

Caráter Quantitativo

Indi

vídu

os

Histograma

BW

Fre

quên

cia

30 40 50 60 70 80

05

1015

20


Fundamentos


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

15

914

2026

3238

4450

5662

6874

8086

9298

Marcadores


Fundamentos

Dados Fenotípicos e GenotípicosAzul: Aa; amarelo: AA

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

15

914

2026

3238

4450

5662

6874

8086

9298

Marcadores


Fundamentos


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

14

710

1418

2226

3034

3842

4650

5458

6266

7074

7882

8690

9498

102

Marcadores


Análises Estatísticas

Conteúdo






Motivação

Princípio: testar se há alguma associação entre fenótipo (caráterquantitativo) e genótipo (avaliado com base nos marcadores)

Testar se há diferenças fenotípicas entre indivíduos de diferentesclasses genotípicas

Caso alguma associação seja detectada, há evidências de ligação domarcador com (suposto) QTL (ou QTLs)

Várias alternativas: teste t, ANAVA, regressão linear, LRT, LOD Score,…

Single Marker Analysis vs Análise de Marcas Simples (?)



Motivação








Motivação








Motivação








Motivação








Classes genotípicas

Mouse data

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

14

710

1418

2226

3034

3842

4650

5458

6266

7074

7882

8690

9498

102

Marcadores

30

40

50

60

70

80

Genotype

BW

M1

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AA AB



Classes genotípicas

Mouse data, M1

30

40

50

60

70

80

Genotype

BW

M1

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AA AB

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0 1

3040

5060

7080

M1

Genótipo

Fen

ótip

o



Regressão Linear Simples

Modelo Linear, Retrocruzamento

yj = µ+ βxj + εj

j = 1, 2, . . . , n

yj = valor fenotípico do indivíduo j

µ = intercepto

xj =

{1 se o indivíduo j tem genótipoMi/Mi

0 se o indivíduo j tem genótipoMi/mi

β = coeficiente de regressão linear (efeitos genéticos)

εj ∼ N(0, σ2)




Mouse - M1

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0 1

3040

5060

7080

M1

Genótipo

Fen

ótip

o

Teste de Hipóteses: H0 : β = 0 vsH1 : β = 0

Note que β = tan(α) = µ1−µ0

1 = µ1 − µ0

Logo, testarH0 : β = 0 equivale ao teste deH0 : µ1 = µ0 vsH1 : µ1 = µ0

Esta hipótese, é claro, também poderia ser testada de outras formas(por exemplo, teste t, Anava)




Mouse - M1

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0 1

3040

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M1

Genótipo

Fen

ótip

o



1 = µ1 − µ0






Mouse - M1

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0 1

3040

5060

7080

M1

Genótipo

Fen

ótip

o



1 = µ1 − µ0






Mouse - M1

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0 1

3040

5060

7080

M1

Genótipo

Fen

ótip

o



1 = µ1 − µ0




Fundamentos

Conteúdo





Fundamentos

Motivação

y: variável resposta

x: variável preditora (independente)

y = f(x) (Função, processo determinístico)

Processo estocástico: modeloModelos estatísticos (incluem variáveis aleatórias)

EsperançaVariânciaDistribuição de Probabilidades(Incerteza)

George Box

“All models are wrong, but some are useful”


Fundamentos

Motivação






George Box



Fundamentos

Motivação






George Box



Fundamentos

Motivação






George Box



Fundamentos

Motivação






George Box



Fundamentos

Motivação






George Box



Fundamentos

Motivação






George Box



Fundamentos

Motivação






George Box



Fundamentos

Motivação






George Box



Fundamentos

Motivação






George Box



Fundamentos

Sistemas de Equações

Plantas de uma linhagem de feijão, avaliadas em vasos4 = g5 = g2 = g3 = g

yi = g

Sistema inconsistente

Abordagem ingênua do problema

(Muitos acreditam que um dia conseguiremos explicar estasdiferenças, p. ex. incluindo medidas de microclima, fertilidade, etc)


Fundamentos



yi = g





Fundamentos



yi = g





Fundamentos



yi = g





Fundamentos



yi = g





Fundamentos

Sistema de Equações

Feijão

yi = g + eiy1 = 4 = g + e1y2 = 5 = g + e2y3 = 2 = g + e3y4 = 3 = g + e4

ei: variável aleatóriaDistribuição de ProbabilidadesE(ei), V ar(ei)


Fundamentos


Feijão




Fundamentos


Feijão




Fundamentos

Distribuição de Probabilidades do Erro

Distribuição Normal

0.0

0.2

0.4

0.0 2.5 5.0 7.5 10.0g

ei ∼ N(µ, σ2)

Sem viés: ei ∼ N(0, σ2)

Viés? Pode ser algum efeito que não mensuramos!


Fundamentos



0.0

0.2

0.4

0.0 2.5 5.0 7.5 10.0g

ei ∼ N(µ, σ2)




Fundamentos



0.0

0.2

0.4

0.0 2.5 5.0 7.5 10.0g

ei ∼ N(µ, σ2)




Fundamentos



0.0

0.2

0.4

0.0 2.5 5.0 7.5 10.0g

ei ∼ N(µ, σ2)




Fundamentos

Efeito não incluído no modelo

Feijão, problema na irrigação

yi = g + eiy1 = 4 + 1 = g + e1y2 = 5 + 1 = g + e2y3 = 2 + 0 = g + e3y4 = 3 + 0 = g + e4

Claramente, o erro não é centrado em 0 (e sim em 1/2)g será superestimado se assumirmos ei ∼ N(0, σ2)Violação de suposição


Fundamentos






Fundamentos






Fundamentos

Erro centrado

g = yi =

∑yi

ne1 = y1 − ge2 = y2 − ge3 = y3 − ge4 = y4 − g

Diferença entre erro (modelo) e resíduos (após ajuste do modelo)

ei: efeito do ambiente? Não necessariamente!Variações devidas a efeitos não controlados (ou, não incluídos) nomodelo (podem inclusive ser de origem genética)

Exemplo: as linhagens sendo isolinhas, diferindo apenas para poucosQTLs


Fundamentos

Erro centrado

g = yi =

∑yi

ne1 = y1 − ge2 = y2 − ge3 = y3 − ge4 = y4 − g





Fundamentos

Erro centrado

g = yi =

∑yi

ne1 = y1 − ge2 = y2 − ge3 = y3 − ge4 = y4 − g





Fundamentos

Erro centrado

g = yi =

∑yi

ne1 = y1 − ge2 = y2 − ge3 = y3 − ge4 = y4 − g





Fundamentos

Erro centrado

g = yi =

∑yi

ne1 = y1 − ge2 = y2 − ge3 = y3 − ge4 = y4 − g





Fundamentos

Erro centrado

g = yi =

∑yi

ne1 = y1 − ge2 = y2 − ge3 = y3 − ge4 = y4 − g





Álgebra de Matrizes

Conteúdo






Notação matricial

Muito conveniente para operar com sistemas de equações lineares(dentre muitas aplicações)Caráter geral e abrangente

Sistema de Equações {2x1 + 3x2 = 13x1 − 4x2 = −11

Ax = b

Am,n =

[2 31 −4

]; xn,1 =

[x1x2

]; bm,1 =

[13

−11

]Am,nxn,1 = bm,1



Notação matricial



Ax = b

Am,n =

[2 31 −4

]; xn,1 =

[x1x2

]; bm,1 =

[13

−11

]Am,nxn,1 = bm,1



Notação matricial



Ax = b

Am,n =

[2 31 −4

]; xn,1 =

[x1x2

]; bm,1 =

[13

−11

]Am,nxn,1 = bm,1



Notação matricial



Ax = b

Am,n =

[2 31 −4

]; xn,1 =

[x1x2

]; bm,1 =

[13

−11

]Am,nxn,1 = bm,1



Notação matricial



Ax = b

Am,n =

[2 31 −4

]; xn,1 =

[x1x2

]; bm,1 =

[13

−11

]Am,nxn,1 = bm,1



Notação matricial



Ax = b

Am,n =

[2 31 −4

]; xn,1 =

[x1x2

]; bm,1 =

[13

−11

]Am,nxn,1 = bm,1



Álgebra

Soma

Am,n +Bm,n =

[1 34 2

]+

[2 40 3

]=

[3 74 5

]Subtração

Am,n −Bm,n =

[1 34 2

]−

[2 40 3

]=

[−1 −14 −1

]Transposição

A⊤ =

[1 43 2

]; B⊤ =

[2 04 3

]



Álgebra

Soma

Am,n +Bm,n =

[1 34 2

]+

[2 40 3

]=

[3 74 5

]Subtração

Am,n −Bm,n =

[1 34 2

]−

[2 40 3

]=

[−1 −14 −1

]Transposição

A⊤ =

[1 43 2

]; B⊤ =

[2 04 3

]



Álgebra

Soma

Am,n +Bm,n =

[1 34 2

]+

[2 40 3

]=

[3 74 5

]Subtração

Am,n −Bm,n =

[1 34 2

]−

[2 40 3

]=

[−1 −14 −1

]Transposição

A⊤ =

[1 43 2

]; B⊤ =

[2 04 3

]



Algumas Operações

Multiplicação[1 34 2

] [2 40 3

]=

[1(2) + 3(0) 1(4) + 3(3)4(2) + 2(0) 4(4) + 2(3)

]=

[2 138 22

][1 34 2

] [23

]=

[1(2) + 3(3)4(2) + 2(3)

]=

[1114

]

x =

[12

]; x⊤x =

[1 2

] [12

]= 1(1) + 2(2) = 12 + 22 = 5

x⊤x: Soma de Quadrados



Algumas Operações


] [2 40 3

]=

[1(2) + 3(0) 1(4) + 3(3)4(2) + 2(0) 4(4) + 2(3)

]=

[2 138 22

][1 34 2

] [23

]=

[1(2) + 3(3)4(2) + 2(3)

]=

[1114

]

x =

[12

]; x⊤x =

[1 2

] [12

]= 1(1) + 2(2) = 12 + 22 = 5




Algumas Operações


] [2 40 3

]=

[1(2) + 3(0) 1(4) + 3(3)4(2) + 2(0) 4(4) + 2(3)

]=

[2 138 22

][1 34 2

] [23

]=

[1(2) + 3(3)4(2) + 2(3)

]=

[1114

]

x =

[12

]; x⊤x =

[1 2

] [12

]= 1(1) + 2(2) = 12 + 22 = 5




Inversão

Notação: A−1

Buscar matrizA−1 tal queAA−1 = I (matriz identidade)

Não é trivial

Só é possível para matrizes de posto completo (não singulares)



Inversão

Notação: A−1


Não é trivial




Inversão

Notação: A−1


Não é trivial




Inversão

Notação: A−1


Não é trivial




Inversão

R

> A <- matrix(c(1,4,3,2),2)> A

[,1] [,2][1,] 1 3[2,] 4 2> solve(A)

[,1] [,2][1,] -0.2 0.3[2,] 0.4 -0.1> A %*% solve(A)

[,1] [,2][1,] 1 -5.551115e-17[2,] 0 1.000000e+00

> B <- matrix(c(2,1,3,-4),2)> B

[,1] [,2][1,] 2 3[2,] 1 -4> solve(B)

[,1] [,2][1,] 0.36363636 0.2727273[2,] 0.09090909 -0.1818182> B %*% solve(B)

[,1] [,2][1,] 1 0[2,] 0 1



Inversão

R

> C <- matrix(c(4,2,8,4),2)> C

[,1] [,2][1,] 4 8[2,] 2 4> solve(C)Erro em solve.default(C) :Lapack routine dgesv: system is exactly singular: U[2,2] = 0

> det(C)[1] 0> det(A)[1] -10

Pergunta: Matriz C : duas equações e duas incógnitas?

Resp.: Não, única equação: sistema inconsistente ou indeterminado



Inversão

R

> C <- matrix(c(4,2,8,4),2)> C


> det(C)[1] 0> det(A)[1] -10





Inversão

R

> C <- matrix(c(4,2,8,4),2)> C


> det(C)[1] 0> det(A)[1] -10






Solução única deAx = b: x0 = A−1b

> (A <- matrix(c(2,1,3,-4),2))[,1] [,2]

[1,] 2 3[2,] 1 -4> (b <- matrix(c(13,-11),2))

[,1][1,] 13[2,] -11> (x0 <- solve(A) %*% b)

[,1][1,] 1.727273[2,] 3.181818> (x0 <- solve(A,b))

[,1][1,] 1.727273[2,] 3.181818


Estimação e Testes

Conteúdo






Modelo Estatístico

y1 = 4 = gy2 = 5 = gy3 = 2 = gy4 = 3 = g

y = Xθ4523

=

1111

[g]

Obviamente, o sistema é inconsistente

Não há solução possível para g



Modelo Estatístico

y1 = 4 = gy2 = 5 = gy3 = 2 = gy4 = 3 = g

y = Xθ4523

=

1111

[g]

Obviamente, o sistema é inconsistente

Não há solução possível para g



Quadrados Mínimos

Equações Normais

X⊤Xθ = X⊤y

θ0 = (X⊤X)−1(X⊤y)

Demonstra-se que a solução é tal que e⊤e (SQres) é mínimaCaso não seja possível inverter X⊤X: inversa generalizaday = Xθ + e (Modelo de Gauss-Markov)

Ajustes

y = Xθ0

e = y− y

Sob normalidade, estimativas de quadrados mínimos também sãoMLEs



Quadrados Mínimos

Equações Normais

X⊤Xθ = X⊤y

θ0 = (X⊤X)−1(X⊤y)


Ajustes

y = Xθ0

e = y− y




Quadrados Mínimos

Equações Normais

X⊤Xθ = X⊤y

θ0 = (X⊤X)−1(X⊤y)


Ajustes

y = Xθ0

e = y− y




Quadrados Mínimos

Equações Normais

X⊤Xθ = X⊤y

θ0 = (X⊤X)−1(X⊤y)


Ajustes

y = Xθ0

e = y− y




Quadrados Mínimos

Equações Normais

X⊤Xθ = X⊤y

θ0 = (X⊤X)−1(X⊤y)


Ajustes

y = Xθ0

e = y− y




Resultados

Feijão (cont.)

X⊤X =[1 1 1 1

] 1111

= 4

X⊤y =[1 1 1 1

] 4523

= 14



Resultados

Feijão (cont.)

θ0 =1

4[14] =

7

2

y =

1111

[72

]=

72727272

e = y− y =

4

5

2

3

−

72727272

=

1232

−32

−12

Erro centrado, óbvio (por construção!)



Análise de Variância

Decomposição da variância de y

Somas de Quadrados

SQtot = y⊤y

SQres = e⊤e

SQpar = θo⊤X⊤y

Graus de liberdade: n, n− r[X] e r[X], respectivamenter[X]: “rank” de X (número de linhas/colunas linearmenteindependentes)



Análise de Variância

Feijão (cont.)

SQtot = y⊤y = 54

SQres = e⊤e = 5

SQpar = θo⊤X⊤y = 49

Para este modelo, SQpar é também chamada de “correção”



Extensão

Feijão, genotipado com ummarcador

g1 = 1,Mm; g2 = 2,MM4 = g + βg2 = g + β(2)5 = g + βg2 = g + β(2)2 = g + βg1 = g + β(1)3 = g + βg1 = g + β(1)

y = Xθ + e 4523

=

1 21 21 11 1

[gβ

]+ e



Extensão

Feijão, genotipado com ummarcador

g1 = 1,Mm; g2 = 2,MM4 = g + βg2 = g + β(2)5 = g + βg2 = g + β(2)2 = g + βg1 = g + β(1)3 = g + βg1 = g + β(1)

y = Xθ + e 4523

=

1 21 21 11 1

[gβ

]+ e



Análise Estatística

X⊤Xθ = X⊤y

> (y <- matrix(c(4,5,2,3),4))[,1]

[1,] 4[2,] 5[3,] 2[4,] 3> (X <- matrix(c(1,1,1,1,2,2,1,1),4))

[,1] [,2][1,] 1 2[2,] 1 2[3,] 1 1[4,] 1 1> (XtX <- crossprod(X,X))

[,1] [,2][1,] 4 6[2,] 6 10> (Xty <- crossprod(X,y))

[,1][1,] 14[2,] 23




θ0 = (X⊤X)−1(X⊤y)

> (teta.zero <- solve(XtX,Xty))[,1]

[1,] 0.5[2,] 2.0

(Interprete os resultados)

y, e

> (y.hat <- X %*% teta.zero)[,1]

[1,] 4.5[2,] 4.5[3,] 2.5[4,] 2.5> (res <- y - y.hat)

[,1][1,] -0.5[2,] 0.5[3,] -0.5[4,] 0.5




SQtot = y⊤y, SQres = e⊤e, SQpar = θo⊤X⊤y> (SQ.tot <- crossprod(y,y))

[,1][1,] 54> (SQ.par <- crossprod(teta.zero,Xty))

[,1][1,] 53> (SQ.res <- crossprod(res))

[,1][1,] 1

SQpar = SQg + SQβ

53 = 49 + 4 (49: modelo anterior)SQtot = SQpar + SQres = SQg + SQβ + SQres

54 = 49 + 4 + 1

Reordenando: 54− 49 = 4 + 1SQtot.corr = SQreg + SQres

R()

Inclusão de novo parâmetro: redução na SQres



Testes de Hipóteses

Ho : β = 0 vsHa : β = 0

Sob normalidade,QMreg

QMres∼ F[1,GLres]

Mapeamento:

LRT = −2logL(g)

L(g, β)

Verossimilhança:

L(g) =

n∏i=1

1√2πσ2

e−(ei−0)2

2σ2

L(g, β) =n∏

i=1

1√2πσ2

e−(ei−0)2

2σ2




Ho : β = 0 vsHa : β = 0


QMres∼ F[1,GLres]

Mapeamento:

LRT = −2logL(g)

L(g, β)

Verossimilhança:

L(g) =n∏

i=1

1√2πσ2

e−(ei−0)2

2σ2

L(g, β) =

n∏i=1

1√2πσ2

e−(ei−0)2

2σ2




Ho : β = 0 vsHa : β = 0


QMres∼ F[1,GLres]

Mapeamento:

LRT = −2logL(g)

L(g, β)

Verossimilhança:

L(g) =

n∏i=1

1√2πσ2

e−(ei−0)2

2σ2

L(g, β) =n∏

i=1

1√2πσ2

e−(ei−0)2

2σ2




Ho : β = 0 vsHa : β = 0


QMres∼ F[1,GLres]

Mapeamento:

LRT = −2logL(g)

L(g, β)

Verossimilhança:

L(g) =

n∏i=1

1√2πσ2

e−(ei−0)2

2σ2

L(g, β) =n∏

i=1

1√2πσ2

e−(ei−0)2

2σ2



Conclusão

ModelosNotem o caráter geral da teoria apresentadaExemplos:

yi = µ+ bi + βxi + εiyij = µ+ bi + β1x1j + β2x2j + εijyijk = µ+ bi + gj + gk + sjk + εijk

Quadrados Mínimos: não é o único método a ser considerado paraobter estimativas no contexto de modelos lineares

(Modelos Mistos, Modelos de Misturas, Modelos Bayesianos, ModelosLineares Generalizados, . . .)



Conclusão







Conclusão







Conclusão







Conclusão







Conclusão







Conclusão






Resultados

Conteúdo





Resultados

Análise no R

mouse.data <- read.csv("http://dl.dropbox.com/u/1968009/mouse.csv")mouse.data[1:10,]

plot(mouse.data[,2]~mouse.data[,3])

modelo <- lm(mouse.data[,2]~mouse.data[,3])

summary(modelo)

class(modelo)names(modelo)coefficients(modelo)

resumo <- summary(modelo)class(resumo)names(resumo)resumo$fstatisticresumo$coefficientsresumo$coefficients[2,1]resumo$coefficients[2,4]resumo$r.squared


Resultados

Efeito do Marcador

Mouse data

●

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●

●

30

40

50

60

70

80

0 1M1

BW


Resultados

Regressão Linear

Mouse data

●

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●

●

●

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●

●

30

40

50

60

70

80

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00M1

BW


Resultados

Teste F

Mouse data

●

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●

●

●

●

0 10 20 30 40 50

10

15

20

25

30

Análise de cada marcador − teste F

Mapa

Est

atís

tica

F


Resultados

p-valores

Mouse data

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0 10 20 30 40 50

10

15

20

25

30

Análise de cada marcador − teste F

Mapa

Est

atís

tica

F

●

●

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●●

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●

0 10 20 30 40 50

2

3

4

5

6

Análise de cada marcador − p−valores

Mapa

−lo

g 10(p

−va

lor)


Referências

Conteúdo





Referências

Principais Referências

G. StrangIntroduction to Linear Algebra, 3rd ed.Wellesley-Cambridge Press, 2003, 578 p..

J. J. FarawayLinear Models with RChapman & Hall, 2009, 240 p.

M. Lynch, B. WalshGenetics and Analysis of Quantitative Traits, 1 ed.Sinauer Associates, Inc., 1998.

K.W. Broman, S. SenA Guide to QTL Mapping with R/qtl, 1 ed.New York, Springer, 2009.

LGN5830 - Biometria de Marcadores Genéticos - Tópico 7 ...augustogarcia.me/Biometria-de-Marcadores/pdfs/aula7.pdf · AnálisedosMarcadoresIndividualmente ModelosLineares RegressãoLinear

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