Lezione 7
Lezione 7
Guardare lontano?
limx!+1 f(x)
limx!+1 f(x) = L
Quando la variabile x cresce arbitrariamente,
i corrispondenti valori di f(x)
sono sempre piu “vicini” al valore L.
Limite finito
limx!+1 f(x) = L
Formalmente:
per ogni " > 0 esiste un x" > 0
tale che |f(x)� L| < " per ogni x > x"
L + ¡
L - ¡L - ¡
¡
¡scelta di x
¡
scelta di ¡
L +
xx
y = f (x)
O
y
L
O x
y
L
y = f (x)
se
limx!+1 f(x) = +1Limite infinito
quando la variabile x cresce arbitrariamente,
i corrispondenti valori di f(x) sono sempre piu grandi
Mscelta di x
x MxO
y
M
O
y
M
y = f (x) y = f (x)
scelta di M
x
Formalmente:
per ogni M > 0 esiste xM tale
che f(x) > M per ogni x > xM
limx!+1 f(x) = +1 se
In maniera analoga si definiscono i limiti quando x tende a meno infinito
limx!�1
f(x)
Per esercizio provare a scrivere la definizione di lim
x!�1f(x) = L
… e anche i limiti che assumono valore meno infinito, ad esempio:
limx!+1
f(x) = �1
Cosa succede guardando bene da vicino?
limx!x0 f(x)
limx!x0
f(x) = L
Quando la variabile x assume valori “vicini” a x0
(diversi da x0), i corrispondenti valori
di f(x) sono “vicini” al valore L.
Limite finito
Formalmente:
per ogni " > 0 esiste un �" > 0 tale che
|f(x)� L| < "
per ogni x 2 (x0 � �", x0 + �") con x 6= x0.
limx!x0
f(x) = L
se
¡
¡L -
L + ¡
¡L -
L +
O
y = f (x)
scelta di scelta di
x -O
y
L
by
L
xx
y = f (x)
xb ¡
¡
00
x0 x +0 b ¡
Quando la variabile x assume valori “vicini” a x0
(diversi da x0), i corrispondenti valori
di f(x) sono arbitrariamente piu grandi .
limx!x0 f(x) = +1
Limite infinito
x 0x x +0 bMx -
scelta di
0
M
0 bM
b
x
y = f (x)y = f (x)
x
scelta di M
M
O
y
O
M
y
Formalmente:
per ogni M > 0 esiste un �M > 0 tale che
f(x) > M per ogni x 2 (x0 � �M , x0 + �M ) con x 6= x0.
limx!x0 f(x) = +1 se
Non sempre la vita fila liscia…
un limite puo’ non esistere…
un limite puo’ essere diverso se lo si guarda
da destra o da sinistra…
dettagli sul libro!
limx!�1
x
n =
(+1 se n e pari
�1 se n e dispari
lim
x!+1 x
n
= +1 per ogni n 2 N, n 6= 0
Potenze
limx!+1
ax =
(0 se 0 < a < 1
+1 se a > 1
limx!�1
ax =
(+1 se 0 < a < 1
0 se a > 1
esponenziali
0 < a < 1
a > 1
lim
x!+1log
a
x =
(�1 se 0 < a < 1
+1 se a > 1
lim
x!0+log
a
x =
(+1 se 0 < a < 1
�1 se a > 1
O
y
x
1
1 O x
y
logaritmi
0 < a < 1
a > 1
a > 1
Operazioni sui limiti (parte 1)
L’algebra dei limiti
Operazioni sui limiti (parte 2)
FORME INDETERMINATE:
Esempi
Limiti di polinomi
Per il limite ad infinito, cio’ che conta e’ il termine di grado massimo
Limiti di quozienti di polinomi
FORME INDETERMINATE:
come procedere nel caso di forme indeterminate? Occorre saper confrontare i limiti…
Confrontare i limiti
Confrontare i limiti
Esercizi
Teorema dei due carabinieri
Esempio
riferimenti al libro: Sez 7.1, 7.2, 7.3
NO: sez. 7.4 e 7.5
esercizi: 7.4 e 7.5