M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 2: Funkce jedné reálné promˇ enné 12 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 2: Funkce jedné reálné promˇ enné 12 2 Funkce jedné reálné promˇ enné 2.1 Základní pojmy Definice. Reálná funkce f jedné reálné promˇ enné (dále jen funkce) je zobrazení f : M → R, kde M je podmnožinou množiny reálných ˇ císel. Definice. Funkce f : J → R je rostoucí na intervalu J , jestliže pro každou dvojici x 1 ,x 2 ∈ J, x 1 < x 2 , platí nerovnost f (x 1 ) <f (x 2 ). Funkce f : J → R je klesající na intervalu J , jestliže pro každou dvojici x 1 ,x 2 ∈ J, x 1 <x 2 , platí nerovnost f (x 1 ) >f (x 2 ). Analogicky definujeme funkci neklesající (nerostoucí) na intervalu J . Definice. Monotónní funkcí (resp. ryze monotónní funkcí) na intervalu J rozumíme funkci, která je neklesající nebo nerostoucí (resp. rostoucí nebo klesající) na J . Poznámka. Je-li funkce ryze monotónní na množinˇ e M ⊂ R, je na ní prostá, ale nikoli naopak. Definice. Necht’ f je funkce. ˇ Rekneme, že funkce f je • lichá, jestliže pro každé x ∈ D(f ) platí −x ∈ D(f ) a f (−x)= −f (x), • sudá, jestliže pro každé x ∈ D(f ) platí −x ∈ D(f ) a f (−x)= f (x), • periodická s periodou a ∈ R,a> 0, jestliže pro každé x ∈ D(f ) platí x + a ∈ D(f ),x − a ∈ D(f ) a f (x + a)= f (x − a)= f (x). Definice. Necht’ f je funkce a M ⊂ D(f ). ˇ Rekneme, že funkce f je • shora omezená na M , jestliže existuje ˇ císlo K ∈ R takové, že pro všechna x ∈ M je f (x) ≤ K, • zdola omezená na M , jestliže existuje ˇ císlo K ∈ R takové, že pro všechna x ∈ M je f (x) ≥ K, • omezená na M , jestliže existuje ˇ císlo K ∈ R takové, že pro všechna x ∈ M je |f (x)|≤ K, • konstantní na M , jestliže pro všechna x,y ∈ M platí f (x)= f (y). 2.2 Limita a spojitost Definice. Necht’ a ∈ R a ε ∈ R,ε> 0. Potom definujeme • okolí bodu a jako U ε (a)=(a − ε,a + ε), • prstencové (redukované) okolí bodu a jako P ε (a)=(a − ε,a + ε) \{a}. Okolí a prstencové okolí bodu +∞ (resp. −∞) definujeme takto: P ε (+∞)= U ε (+∞) = (1/ε, +∞), P ε (−∞)= U ε (−∞)=(−∞, −1/ε). Definice. ˇ Rekneme, že prvek A ∈ R ⋆ je limitou funkce f v bodˇ e a ∈ R ⋆ , jestliže ∀ε ∈ R,ε> 0 ∃δ ∈ R,δ> 0 ∀x ∈P δ (a): f (x) ∈U ε (A). Píšeme: lim x→a f (x)= A. http://www.karlin.mff.cuni.cz/˜rokyta/vyuka/
16
Embed
2 Funkce jedné reálné promennéˇ - cuni.czrokyta/vyuka/1314/zs/F_apl_mat/Ap… · (P2) fje spojitá v D. Potom limx→a f(g(x)) = A. Poznámka. • Jsou-li funkcef, gspojité
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 2: Funkce jedné reálné promenné 12M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 2: Funkce jedné reálné promenné 12
2 Funkce jedné reálné promenné
2.1 Základní pojmy
Definice. Reálná funkcef jedné reálné promenné(dále jenfunkce) je zobrazeníf : M → R, kdeM jepodmnožinou množiny reálnýchcísel.
Definice. Funkcef : J → R je rostoucí na intervaluJ , jestliže pro každou dvojicix1, x2 ∈ J, x1 <x2, platí nerovnostf(x1) < f(x2). Funkcef : J → R je klesající na intervaluJ , jestliže pro každoudvojici x1, x2 ∈ J, x1 < x2, platí nerovnostf(x1) > f(x2). Analogicky definujeme funkcineklesající(nerostoucí) na intervaluJ .
Definice. Monotónní funkcí (resp.ryze monotónní funkcí) na intervaluJ rozumíme funkci, která jeneklesající nebo nerostoucí (resp. rostoucí nebo klesající) naJ .
Poznámka.Je-li funkce ryze monotónní na množineM ⊂ R, je na ní prostá, ale nikoli naopak.
Definice. Necht’f je funkce.Rekneme, že funkcef je
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 2: Funkce jedné reálné promenné 13M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 2: Funkce jedné reálné promenné 13
Veta 2.1(jednoznacnost limity). Funkcef má v daném bode nejvýše jednu limitu.
Poznámka.Limita je tzv. lokální pojem. Rozmyslete si následující vlastnosti:
• Pokud existujeδ > 0 takové, žef(x) = g(x) pro všechnax ∈ Pδ(a), potomlimx→a f(x) existujepráve tehdy, když existujelimx→a g(x). V tom prípade se obe limity rovnají.
• Hodnotaf(a), dokonce ani to, jestli funkcef je vubec v bode a definována, nemá žádný vliv naexistencici velikost hodnotyA := limx→a f(x). Rozhoduje pouze chováníf na prstencovém okolíPδ(a) bodua.
Definice. Necht’a ∈ R aε ∈ R, ε > 0. Potom definujeme
• pravé okolí bodua jakoUε+(a) = 〈a, a+ ε),
• levé okolí bodua jakoUε−(a) = (a− ε, a〉,
• pravé prstencové okolí bodua jakoPε+(a) = (a, a+ ε),
• levé prstencové okolí bodua jakoPε−(a) = (a− ε, a).
Definice. Dále definujeme
• levé okolí bodu+∞ jakoUε−(+∞) = (1/ε,+∞),
• pravé okolí bodu−∞ jakoUε+(−∞) = (−∞,−1/ε),
• levé prstencové okolí bodu+∞ jakoPε−(+∞) = Uε
−(+∞),
• pravé prstencové okolí bodu−∞ jakoPε+(−∞) = Uε
+(−∞).
Definice. Necht’A ∈ R⋆, a ∈ R ∪ −∞. Rekneme, že funkcef má v bode a limitu zprava rovnouA,
jestliže∀ε ∈ R, ε > 0∃δ ∈ R, δ > 0∀x ∈ Pδ
+(a) : f(x) ∈ Uε(A).
Píšemelimx→a+ f(x) = A.Analogicky definujeme pojemlimity zleva v bodea ∈ R ∪ +∞ a píšemelimx→a− f(x) = A.
Definice. Rekneme, že funkcef je spojitá v bodea ∈ R, jestliže limx→a
f(x) = f(a) ∈ R.
Definice. Rekneme, že funkcef je v bodea ∈ R spojitá zprava (resp.zleva), jestliže limx→a+
f(x) = f(a) ∈
R (resp. limx→a−
f(x) = f(a) ∈ R).
2.3 Vety o limitách a spojitosti
Veta 2.2. • Necht’a ∈ R,A ∈ R⋆. Paklimx→a f(x) = A, práve když lim
x→a+f(x) = lim
x→a−f(x) = A.
• Funkcef je v bodea spojitá, práve když je spojitá v bodea zprava i zleva zároven.
Veta 2.3. Necht’ funkcef má vlastní limitu v bodea ∈ R⋆. Pak existujeδ ∈ R, δ > 0 takové, žef je na
Pδ(a) omezená.
Veta 2.4. Necht’ funkcef má vlastní limituA 6= 0 v bodea ∈ R⋆. Pak existujeδ ∈ R, δ > 0 a konstanta
c > 0 takové, že|f(x)| > c pro všechnax ∈ Pδ(a).
Veta 2.5(limita a aritmetické operace). Necht’a ∈ R⋆. Necht’ limx→a f(x) = A ∈ R
⋆ a limx→a g(x) =B ∈ R
⋆. Potom platí:
http://www.karlin.mff.cuni.cz/rokyta/vyuka/
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 2: Funkce jedné reálné promenné 14M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 2: Funkce jedné reálné promenné 14
(i) limx→a(f(x) + g(x)) = A+B, pokud je výrazA+B definován,
(ii) limx→a f(x)g(x) = AB, pokud je výrazAB definován,
(iii) limx→a f(x)/g(x) = A/B, pokud je výrazA/B definován.
Veta 2.6. Necht’a ∈ R⋆. Necht’limx→a f(x) = 0, a necht’ existujeη > 0 takové, že funkceg je omezená
naPη(a). Paklimx→a(f(x) g(x)) = 0.
Veta 2.7. Necht’ a ∈ R⋆. Necht’ limx→a g(x) = 0, limx→a f(x) = A ∈ R
⋆ a A > 0. Jestliže existujeη > 0 takové, že funkceg je kladná naPη(a), paklimx→a(f(x)/g(x)) = +∞. (A obdobne proA < 0, gzápornou atd.)
Veta 2.8("o zámene0 a∞"). Platí:
limx→+∞
f(x) = A ∈ R⋆ ⇐⇒ lim
x→0+f
(
1
x
)
= A ∈ R⋆ ,
a podobne
limx→−∞
f(x) = B ∈ R⋆ ⇐⇒ lim
x→0−f
(
1
x
)
= B ∈ R⋆ .
Veta 2.9(o srovnání). Mejmea ∈ R⋆.
(i) Necht’limx→a
f(x) > limx→a
g(x).
Pak existuje prstencové okolíPδ(a) takové, že platí
∀x ∈ Pδ(a) : f(x) > g(x).
(ii) Necht’ existuje prstencové okolíPδ(a) takové, že platí
∀x ∈ Pδ(a) : f(x) ≤ g(x).
Necht’ existujílimx→a f(x) a limx→a g(x). Potom platí
limx→a
f(x) ≤ limx→a
g(x).
(iii) (o dvou strážnících) Necht’ na nejakém prstencovém okolíPδ(a) platí
f(x) ≤ h(x) ≤ g(x).
Necht’limx→a f(x) = limx→a g(x). Potom existuje rovnežlimx→a h(x) a všechny tri limity jsou si rovny.
Veta 2.10(limita složené funkce). Necht’a,D,A ∈ R⋆, limx→a g(x) = D, limy→D f(y) = A a je splnena
alespon jedna z podmínek
(P1) ∃η ∈ R, η > 0∀x ∈ Pη(a) : g(x) 6= D,
(P2) f je spojitá vD.
Potomlimx→a f(g(x)) = A.
Poznámka. • Jsou-li funkcef , g spojité (prípadne spojité zleva, zprava) v bode a ∈ R, jsou v bode aspojité (prípadne spojité zleva, zprava) i funkcef ± g, fg, a pokud jeg(a) 6= 0, pak i funkcef/g.
http://www.karlin.mff.cuni.cz/rokyta/vyuka/
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 2: Funkce jedné reálné promenné 15M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 2: Funkce jedné reálné promenné 15
• Necht’a ∈ R, funkceg je spojitá va, funkcef je spojitá vg(a). Potom funkcef g je spojitá va.
Veta 2.11(limita monotónní funkce). Necht’ funkcef je monotónní na(a, b), a, b ∈ R⋆. Potom existují
limx→a+ f(x) a limx→b− f(x).
Poznámka(komplexní funkce). • Komplexní funkce f jedné reálné promenné(dále jenkomplexnífunkce) je zobrazeníf : M → C, kdeM je podmnožinou množiny reálnýchcísel. Evidentne f :M → C je komplexní funkce práve tehdy, když existují reálné funkceg, h : M → R takové, žef(x) = g(x) + ih(x) pro všechnax ∈M .
• Pro komplexní funkci nedefinujeme (nemají smysl) pojmy jako "rostoucí", "klesající", apod., ale taképojem "shora resp. zdola omezená" funkce.Rekneme, že komplexní funkcef je omezená naM ⊂R
⋆, pokud existujeK > 0 taková, že|f(x)| ≤ K pro všechnax ∈M .
Poznámka(komplexní limita, spojitost). • Je-li f(x) = g(x) + ih(x), f : M → C komplexní funkce,a ∈ M , a existují limx→a g(x), limx→a h(x) vlastní, klademelimx→a f(x) = limx→a g(x) +i limx→a h(x). Podobne pro jednostranné limity. Výrazy tvaru "a±i∞", "±∞±ib", resp. "±∞±i∞"nedefinujeme.
• Je-li f(x) = g(x) + ih(x), f : M → C komplexní funkce,a ∈ M , a jsou-lig, h spojité va (resp.spojité va zprava, zleva),rekneme, žef je spojitá va (resp. spojité va zprava, zleva).
Veta 2.12(Heineho o limite). Necht’ C ∈ R⋆ (resp.C ∈ C) a reálná (resp. komplexní) funkcef je
definována (alespon) na prstencovém okolí bodua ∈ R⋆. Pak výroky (i) a (ii) jsou ekvivalentní:
(i) limx→a f(x) = C
(ii) Pro každou posloupnostxn∞n=1 splnující
• limn→∞ xn = a,
• ∀n ∈ N : xn 6= a,
platí limn→∞ f(xn) = C.
Veta 2.13(Heineho o spojitosti). Necht’ reálná (resp. komplexní) funkcef je definována (alespon) na okolíbodua ∈ R
⋆. Pak výroky (i) a (ii) jsou ekvivalentní:
(i) f je spojitá va
(ii) Pro každou posloupnostxn∞n=1 splnující
• limn→∞ xn = a
platí limn→∞ f(xn) = f(a).
Definice (funkce spojitá na intervalu). Necht’ J ⊂ R je nedegenerovaný interval (tj. obsahuje nekonecnemnoho bodu). Funkcef : J → R(C) je spojitá na intervalu J , jestliže platí:
• f je spojitá zprava v levém krajním bode intervaluJ , pokud tento bod patrí doJ ,
• f je spojitá zleva v pravém krajním bode intervaluJ , pokud tento bod patrí doJ ,
• f je spojitá v každém vnitrním bodeJ .
http://www.karlin.mff.cuni.cz/rokyta/vyuka/
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 2: Funkce jedné reálné promenné 16M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 2: Funkce jedné reálné promenné 16
2.4 Elementární funkce
Veta 2.14(zavedení logaritmu). Existuje práve jedna funkce (znacíme jiln a nazýváme jiprirozenýmlogaritmem), která má tyto vlastnosti:
(L1) D(ln) = (0,+∞) a na tomto intervalu jeln rostoucí,
(L2) ∀x, y ∈ (0,+∞) : lnxy = lnx+ ln y,
(L3) limx→1ln xx−1 = limx→0
ln(1+x)x
= 1.
Poznámka: vztahu (L3) se nekdyríká "základní limita pro logaritmus".
Definice. Exponenciální funkcíbudeme rozumet funkci inverzní k funkciln. Budeme ji znacit symbolemexp(x).
Základní limita pro exponenciální funkci (lze odvodit z (L3)):
limx→0
exp(x) − 1
x= 1 .
Lze postupovat i tak, že se nejprve definuje exponenciální funkce (zformuluje se veta o existenci ajednoznacnosti exponencální funkce), a poté se funkceln definuje jako její inverzní funkce.
Definice. Necht’a, b ∈ R, a > 0. Obecnou mocninuab definujeme jako
ab = exp(b ln a).
Poznámka.Tedy procísloe ∈ R takové, želn e = 1, platí
ex = exp(x ln(e)) = exp(x) .
Veta 2.15(zavedení funkcí sinus a kosinus). Existuje práve jedno kladné reálné císlo (budeme ho znacitπ)a práve jedna dvojice funkcísinus(sin) a kosinus(cos), které mají následující vlastnosti:
G1) D(sin) = D(cos) = R,
G2) pro všechnax, y ∈ R platí
sin(x+ y) = sinx · cos y + cosx · sin y,
cos(x+ y) = cosx · cos y − sinx · sin y,
sin(−x) = − sinx, cos(−x) = cosx,
G3) sin je rostoucí na〈0, 12π〉, sin 0 = 0, sin(1
2π) = 1,
G4) limx→0sin x
x= 1.
Poznámka.Základní limity (shrnutí):
limx→0
ln(x+ 1)
x= 1 , lim
x→0
ex − 1
x= 1 ,
limx→0
sinx
x= 1 , lim
x→0
cosx− 1
x2= −
1
2.
http://www.karlin.mff.cuni.cz/rokyta/vyuka/
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 2: Funkce jedné reálné promenné 17M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 2: Funkce jedné reálné promenné 17
Definice. Funkcitangensznacímetg a definujeme predpisem
tg x =sinx
cosx
pro každé reálnéx, pro než má zlomek smysl, tj.
D(tg) = x ∈ R; x 6= (2k + 1)π/2, k ∈ Z.
Symbolemcotg budeme znacit funkci kotangens, která je definována na množineD(cotg) = x ∈ R; x 6=kπ, k ∈ Z predpisem
cotg x =cosx
sinx.
Definice(zavedení cyklometrických funkcí). Cyklometrickými funkcemi budeme rozumet funkcearkus-sinus (arcsin), arkuskosinus (arccos), arkustangens(arctg), arkuskotangens(arccotg), které jsou defi-novány takto
arcsin = (sin |〈−π
2, π
2〉)
−1,
arccos = (cos |〈0,π〉)−1,
arctg = (tg |(−π
2, π
2))
−1,
arccotg = (cotg |(0,π))−1.
Tvrzení 2.16(vlastnosti cyklometrických funkcí). Funkcearcsin, arccos, arctg, arccotg jsou ryze mono-tónní (tedy prosté) funkce na svých definicních oborech a platí:
Definice (hyperbolické funkce). Hyperbolickými funkcemi budeme rozumet funkce hyperblický sinus(sinh), hyperbolický kosinus (cosh), hyperbolický tangens (tgh) a hyperbolický kotangens (cotgh), kteréjsou definovány takto
sinhx =ex − e−x
2, D(sinh) = R,
coshx =ex + e−x
2, D(cosh) = R,
tghx =sinhx
coshx=ex − e−x
ex + e−x, D(tgh) = R,
cotghx =coshx
sinhx=ex + e−x
ex − e−x, D(cotgh) = R \ 0 .
Definice (inverzní hyperbolické funkce). Inverzními hyperbolickými funkcemi (nekdy téžhyperbolo-metrickými funkcemi ) budeme rozumet funkce argument hyperbolického sinu (argsinh), argument hyper-bolického kosinu (argcosh), argument hyperbolické tangenty (argsinh), argument hyperbolické kotangenty(argcotgh), které jsou definovány takto
argsinh = (sinh)−1,
argcosh = (cosh |〈0,∞))−1,
argtgh = (tgh)−1,
argcotgh = (cotgh)−1.
http://www.karlin.mff.cuni.cz/rokyta/vyuka/
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 2: Funkce jedné reálné promenné 18M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 2: Funkce jedné reálné promenné 18
Tvrzení 2.17(vlastnosti hyperbolometrických funkcí I). Hyperbolometrické (inverzní hyperbolické) funkcejsou prosté na svých definicních oborech, pricemž
• argsinh roste naD(argsinh) = R, a argsinh(R) = R,
• argcosh roste naD(argcosh) = 〈1,+∞), a argcosh(〈1,+∞)) = 〈0,+∞),
• argtgh roste naD(argtgh) = (−1, 1), a argtgh((−1, 1)) = R,
• argcotgh klesá na(−∞,−1) a na (1,+∞) (ale nikoli na celémD(argcotgh) = R \ 〈−1, 1〉), aargcotgh(R \ 〈−1, 1〉) = R.
Poznámka(vlastnosti hyperbolometrických funkcí II). Existuje vyjádrení hyperbolometrických funkcí po-mocí funkceln (srovnejte to se skutecností, že hyperbolické funkce jsou definovány pomocí funkceexp).Platí:
argsinhx = ln(x+√
x2 + 1), x ∈ R,
argcoshx = ln(x+√
x2 − 1), x ∈ 〈1,+∞),
argtghx =1
2ln
1 + x
1 − x, x ∈ (−1, 1),
argcotghx =1
2lnx+ 1
x− 1, x ∈ R \ 〈−1, 1〉.
Veta 2.18. Funkcelog, exp, sin, cos, tg, cotg, arcsin, arccos, arctg, arccotg, sinh, cosh, tgh, cotgh,argsinh, argcosh, argtgh, argcotgh jsou spojité na svých definicních oborech.
Poznámka.Termínemelementární funkcebudeme oznacovat funkce1, x, exp(x), sinx, a všechny funkce,které lze z techto funkcí obdržet aplikováním konecného poctunásledujících operací:
• scítání, odcítání, násobení, delení,
• skládání funkcí,
• zúžení (restrikce) funkce a vytvorení inverzní funkce.
Poznámka(komplexní exponenciála). • Lze dokázat (napríklad z teorie mocninnýchrad), že platí
sinx =eix − e−ix
2i, cosx =
eix + e−ix
2, x ∈ R,
tedyeix = cosx+ i sinx , x ∈ R.
• V tomto smyslu (tj. uvažujeme-li komplexní funkce) je tedy exponenciála základní elementární funk-cí, nebot’ všechny goniometrické (i hyperbolické) funkce lze vyjádrit jejím prostrednictvím.
Poznámka(nedefinované výrazy v obecné mocnine). Protože mámeab = exp(b ln a) (pro a>0), je výrazab
nedefinován (i ve smyslu aritmetiky rozšírené reálné osy) práve tehdy, když je nedefinován výrazb ln a, tj.když
b ln a = ”0 · ±∞” nebo b ln a = ” ±∞ · 0”.
Odtud dostáváme následující výrazy v obecné mocnine, které nejsou definovány (ani ve smyslu aritmetikyrozšírené reálné osy):
00, (±∞)0, 1(±∞).
http://www.karlin.mff.cuni.cz/rokyta/vyuka/
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 2: Funkce jedné reálné promenné 19M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 2: Funkce jedné reálné promenné 19
2.5 Grafy nekterých elementárních funkcí
http://www.karlin.mff.cuni.cz/rokyta/vyuka/
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 2: Funkce jedné reálné promenné 20M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 2: Funkce jedné reálné promenné 20
http://www.karlin.mff.cuni.cz/rokyta/vyuka/
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 2: Funkce jedné reálné promenné 21M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 2: Funkce jedné reálné promenné 21
http://www.karlin.mff.cuni.cz/rokyta/vyuka/
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 2: Funkce jedné reálné promenné 22M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 2: Funkce jedné reálné promenné 22
http://www.karlin.mff.cuni.cz/rokyta/vyuka/
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 2: Funkce jedné reálné promenné 23M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 2: Funkce jedné reálné promenné 23
http://www.karlin.mff.cuni.cz/rokyta/vyuka/
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 2: Funkce jedné reálné promenné 24M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 2: Funkce jedné reálné promenné 24
http://www.karlin.mff.cuni.cz/rokyta/vyuka/
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 2: Funkce jedné reálné promenné 25M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 2: Funkce jedné reálné promenné 25
http://www.karlin.mff.cuni.cz/rokyta/vyuka/
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 2: Funkce jedné reálné promenné 26M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 2: Funkce jedné reálné promenné 26
Bonus I: Recká abeceda
A, α alfa N, ν ný
B, β béta Ξ, ξ ksí
Γ, γ gamma O, o omikron
∆, δ delta Π, π pí
E, ǫ, ε epsílon P, ρ ró
Z, ζ (d)zéta Σ, σ sígma
H, η éta T, τ tau
Θ, θ, ϑ théta Y, υ ypsilon
I, ι ióta Φ, ϕ fí
K, κ,κ kappa X, χ chí
Λ, λ lambda Ψ, ψ psí
M, µ mý Ω, ω ómega
http://www.karlin.mff.cuni.cz/rokyta/vyuka/
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 2: Funkce jedné reálné promenné 27M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 2: Funkce jedné reálné promenné 27
Bonus II: Goniometrické a hyperbolické funkce (porovnání)
sinx =eix − e−ix
2isinhx =
ex − e−x
2
cosx =eix + e−ix
2coshx =
ex + e−x
2
eix = cosx+ i sinx ex = coshx+ sinhx
sin2 x+ cos2 x = 1 cosh2 x− sinh2 x = 1
sin 2x = 2 sinx cosx sinh 2x = 2 sinhx coshx
cos 2x = cos2 x− sin2 x cosh 2x = cosh2 x+ sinh2 x
sin2 x
2=
1 − cosx
2sinh2 x
2=
coshx− 1
2
cos2x
2=
1 + cosx
2cosh2 x
2=
coshx+ 1
2
sin(x+ y) = sinx cos y + cosx sin y sinh(x+ y) = sinhx cosh y + coshx sinh y
sin(x− y) = sinx cos y − cosx sin y sinh(x− y) = sinhx cosh y − coshx sinh y
cos(x+ y) = cosx cos y − sinx sin y cosh(x+ y) = coshx cosh y + sinhx sinh y
cos(x− y) = cosx cos y + sinx sin y cosh(x− y) = coshx cosh y − sinhx sinh y