LEZIONE 36 36.1. La definizione di superficie. In questo paragrafo iniziamo a dare alcuni esempi di superfici ed a definire alcuni oggetti ad esse naturalmente associati. Come gi` a fatto per le curve, considereremo lo spazio S 3 con un fissato sistema di riferimento O~ ı~ ~ k e la sua usuale identificazione con R 3 . Definizione 36.1.1. Sia D ⊆ R 2 un aperto. Ogni funzione f : D → R 3 viene detta superficie parametrizzata. Un insieme di punti S⊆ R 3 si dice superficie se ` e l’immagine di una superficie para- metrizzata (cio` e di una funzione) continua f : D → R 3 . La funzione f ` e anche detta rappresentazione parametrica o parametrizzazione di S . Si noti che una parametrizzazione di una superficie C pu` o essere visto come un modo per definire un “sistema di coordinate” sulla superficie. Infatti si considerino per ogni (u 0 ,v 0 ) ∈ D le porzioni di rette x u 0 = { (u 0 ,y) ∈ D } e y v 0 = { (x, v 0 ) ∈ D }. Abbiamo allora due famiglie di curve parametrizzate su S le curve parametrizzate f |x u 0 : x u 0 -→ X u 0 ⊆S⊆ R 3 t -→ f |x u 0 (t)= f (u 0 ,t), f |y v 0 : y v 0 -→ Y v 0 ⊆S⊆ R 3 t -→ f |x v 0 (t)= f (t, v 0 ). Le curve X u 0 e Y v 0 ricoprono completamente la superficie S nel senso che per ogni suo punto passa una curva di ognuno dei due tipi: chiameremo tali curve curve coordinate . Si noti, per` o, che tali curve potrebbero non essere uniche: ci` o accade, per esempio, se la parametrizzazione di S non ` e iniettiva. Anche per questo (ma non solo) si introduce la definizione di superficie regolare. Definizione 36.1.2. Una superficie parametrizzata f : D → R 3 si dice regolare se ` e iniettiva, f ∈ C 1 (D, R 3 ) e se rk(Jf (u 0 ,v 0 ) )=2 per ogni (u 0 ,v 0 ) ∈ D. Una superficie S⊆ R 3 is dice regolare se esiste una sua parametrizzazione regolare. Typeset by A M S-T E X 1
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LEZIONE 36
36.1. La definizione di superficie.In questo paragrafo iniziamo a dare alcuni esempi di superfici ed a definire alcuni oggetti
ad esse naturalmente associati.Come gia fatto per le curve, considereremo lo spazio S3 con un fissato sistema di
riferimento O~ı~~k e la sua usuale identificazione con R3.
Definizione 36.1.1. Sia D ⊆ R2 un aperto. Ogni funzione f :D → R3 viene dettasuperficie parametrizzata.
Un insieme di punti S ⊆ R3 si dice superficie se e l’immagine di una superficie para-metrizzata (cioe di una funzione) continua f :D → R3. La funzione f e anche dettarappresentazione parametrica o parametrizzazione di S.
Si noti che una parametrizzazione di una superficie C puo essere visto come un modoper definire un “sistema di coordinate” sulla superficie. Infatti si considerino per ogni(u0, v0) ∈ D le porzioni di rette xu0 = { (u0, y) ∈ D } e yv0 = { (x, v0) ∈ D }. Abbiamoallora due famiglie di curve parametrizzate su S le curve parametrizzate
f|xu0:xu0 −→ Xu0 ⊆ S ⊆ R3
t −→ f|xu0(t) = f(u0, t),
f|yv0: yv0 −→ Yv0 ⊆ S ⊆ R3
t −→ f|xv0(t) = f(t, v0).
Le curve Xu0 e Yv0 ricoprono completamente la superficie S nel senso che per ogni suopunto passa una curva di ognuno dei due tipi: chiameremo tali curve curve coordinate.
Si noti, pero, che tali curve potrebbero non essere uniche: cio accade, per esempio, sela parametrizzazione di S non e iniettiva. Anche per questo (ma non solo) si introduce ladefinizione di superficie regolare.
Definizione 36.1.2. Una superficie parametrizzata f :D → R3 si dice regolare se einiettiva, f ∈ C1(D,R3) e se
rk(Jf(u0,v0)) = 2
per ogni (u0, v0) ∈ D.Una superficie S ⊆ R3 is dice regolare se esiste una sua parametrizzazione regolare.
Typeset by AMS-TEX
1
2 36.2. IL PIANO E LA SFERA COME PRIMI ESEMPI DI SUPERFICI(E)
Si ricordi che, indicate con fx, fy, fz le funzioni componenti di f , si ha
Jf(u0,v0) =
∂fx
∂u (u0, v0) ∂fx
∂v (u0, v0)∂fy
∂u (u0, v0) ∂fy
∂v (u0, v0)∂fy
∂u (u0, v0) ∂fy
∂v (u0, v0)
.
Si noti inoltre che
df|xu0
dt(v0) =
∂f
∂v(u0, v0),
df|yu0
dt(u0) =
∂f
∂u(u0, v0).
Sia g = (gu, gv): I → D ⊆ R2 una curva parametrizzata di classe C1 tale che g(t0) =(u0, v0). Allora F = f ◦g: I → C ⊆ R3 e una curva parametrizzata contenuta in S e risulta
dF
dt(t0) =
∂f
∂u(u0, v0)
dgu
dt(t0) +
∂f
∂v(u0, v0)
dgv
dt(t0).
Se sia g che f sono regolari, allora tale risulta F : infatti ∂f∂u (u0, v0) e ∂f
∂v (u0, v0) sonolinearmente indipendenti, dunque
dF
dt(t0) =
∂f
∂u(u0, v0)
dgu
dt(t0) +
∂f
∂v(u0, v0)
dgv
dt(t0) 6= 0.
Ritorneremo sulla nozione di superficie regolare e, in particolare, sul significato dellacondizione sul rango della jacobiana nelle prossime lezioni
36.2. Il piano e la sfera come primi esempi di superfici(e).I primi esempi di superfici parametrizzate sono il piano e la sfera che descriveremo in
questo paragrafo.
36.2.1. Il piano. Sia α ⊆ R3 un piano. Tale piano e sempre parallelo ad un’unicopiano passante per l’origine α′ e rimane completamente individuata da essa e da un puntoqualsiasi A ∈ α.
x
y
z
O
α'
α
A
q
p
Figura 36.1
LEZIONE 36 3
Quindi per descrivere α e necessario descrivere α′. Siano ~p e ~q due vettori contenuti inα′ e non paralleli: allora la Proposizione 6.3.10 assicura che P ′ ∈ α′ se e solo se esistonou, v ∈ R tali che ~OP ′ = u~q + v ~w.
Sia ora P ∈ α. Allora per definizione P−A = ~OP− ~OA: segue che ~OP = ~OA+(P−A).Poiche P − A e parallelo al segmento PA, dunque a α, esso e contenuto in α′, quindiesistono, per quanto osservato sopra, u, v ∈ R tali che P −A = u~p+ v~q. Mettendo assiemequanto visto segue che P ∈ S3 giace su α se e solo se
(36.2.1.2) ~OP = ~OA+ u~p+ v~q,
per un qualche u, v ∈ R (si veda Figura 36.2).
x
y
z
O
α'
α
A
q
p
P
P-A
Figura 36.2
Fissiamo un sistema di riferimento O~ı~~k in R3. Allora A = (xA, yA, zA), sicche ~OA =xA~ı + yA~ + zA
~k , ~p = px~ı + py~ + pz~k , ~q = qx~ı + qy~ + qz~k : indicando con (x, y, z) le
coordinate del punto generico P ∈ R3 si ha ~OP = x~ı +y~ +z~k , dunque l’Equazione (8.2.2)diviene
x~ı + y~ + z~k = xA~ı + yA~ + zA~k + u(px~ı + py~ + pz
~k ) + v(qx~ı + qy~ + qz~k ), u, v ∈ R
o, eguagliando le componenti dei due vettori lungo gli assi coordinati,
(36.2.1.4)
x = xA + pxu+ qxv
y = yA + pyu+ qyv
z = zA + pzu+ qzv.
Le Equazioni (8.2.4) vengono spesso chiamate equazioni parametriche del piano α passante
per A = (xA, yA, zA) e parallelo ai vettori ~p = px~ı + py~ + pz~k , ~q = qx~ı + qy~ + qz~k .
In particolare il piano α e immagine della funzione
f : R2 −→ R3
(u, v) −→ (xA + pxu+ qxv, yA + pyu+ qyv, zA + pzu+ qzv).
4 36.2. IL PIANO E LA SFERA COME PRIMI ESEMPI DI SUPERFICI(E)
Si verifichi, per esercizio, che tale funzione e iniettiva (questo dipende dal fatto che ~p 6 ‖~q).Inoltre e evidente che f ∈ C1(R2,R3). Infine
Jf(u0,v0) =
px qxpy qypz qz
che ha rango 2 (sempre perche ~p 6 ‖~q). Abbiamo percio verificato che ogni piano in R3 euna superficie regolare.
Esempio 36.2.1.5. Siano dati il punto A = (1, 2, 3) ed i vettori ~p = 2~ı−3~k , ~q =~ı+~+~k .I vettori ~p e ~q non sono paralleli, quindi i dati individuano un piano α le cui equazioniparametriche sono date da
(36.2.1.5.1)
x = 1 + 2u+ v
y = 2 + v
z = 3− 3u+ v.
Si noti che la retta r di equazioni parametrichex = 1 + 2ty = 2z = 3− 3t,
e contenuta in α: infatti i suoi punti si ottengono ponendo u = t e v = 0 nelle Equazioni(36.2.1.5.1)
Viceversa dati numeri reali fissati xA, yA, zA, px, py, pz, qx, qy, qz, si considerino il luogoα dei punti P = (x, y, z) dello spazio le cui coordinate sono della forma
x = xA + pxu+ qxv
y = yA + pyu+ qyv
z = zA + pzu+ qzv.
al variare di u, v ∈ R. Allora, procedendo come nel caso della retta, e facile verificareche tale luogo e il piano α passante per il punto A = (xA, yA, zA) e parallelo ai vettori~p = px~ı + py~ + pz
~k , ~q = qx~ı + qy~ + qz~k .E noto dalla geometria euclidea che un altro modo per descrivere un piano α e quello
di dare tre suoi punti A, B e C non allineati. In tal caso ci si puo ricondurre al casoprecedente. Infatti un punto, per esempio A, l’abbiamo: per costruire due vettori parallelia α basta considerare B − A e C − A. Se, rispetto al sistema di riferimento O~ı~~k fissatoin S3, A = (xA, yA, zA), B = (xB , yB , zB), C = (xC , yC , zC) allora B − A = (xB −xA)~ı + (yB − yA)~ + (zB − zA)~k e C − A = (xC − xA)~ı + (yC − yA)~ + (zC − zA)~k
LEZIONE 36 5
sicche sostituendo nell’Equazione (8.2.4) otteniamo le equazioni parametriche del piano αpassante per A = (xA, yA, zA), B = (xB , yB , zB), C = (xC , yC , zC)
(36.2.1.6)
x = xA + (xB − xA)u+ (xC − xA)vy = yA + (yB − yA)u+ (yC − yA)vz = zA + (zB − zA)u+ (zC − zA)v.
o anche x = (1− u− v)xA + uxB + vxC
y = (1− u− v)yA + uyB + vyC
z = (1− u− v)zA + uzB + vzC
(talvolta si scrive sinteticamente P = (1− u− v)A+ uB + vC).Se poi vogliamo descrivere le coordinate dei punti del triangolo ∆ABC e sufficiente che
ci limitiamo a considerare i punti le cui coordinate si possono esprimere tramite la Formula(8.2.6) con u, v ∈ [0, 1] e u+ v ≤ 1, cioe P = (x, y, z) ∈ ∆ABC se e solo se
x = (1− u− v)xA + uxB + vxC
y = (1− u− v)yA + uyB + vyC
z = (1− u− v)zA + uzB + vzC
u, v, u+ v ∈ [0, 1],
o, equivalentemente, sex = λxA + µxB + νxC
y = λyA + µyB + νyC
z = λzA + µzB + νzC
λ, µ, ν ≥ 0, λ+ µ+ ν = 1.
Esempio 36.2.1.7. Siano dati i puntiA = (1, 2,−3), B = (2, 1, 1), C = (2, 2, 2): chia-ramente A 6= B, quindi esiste unico un piano α contenente A, Be C le cui equazioniparametriche si ottengono utilizzando la Formula 36.2.1.6
x = 1 + u+ v
y = 2− uz = −3 + 4u+ 5v.
36.2.2. La sfera. Sia S ⊆ R3 la sfera di centro l’origine O = (0, 0, 0) e raggio % >0. Allora sappiamo che i punti P = (x, y, z) ∈ S sono tutti e soli quelli soddisfacentil’equazione
x2 + y2 + z2 = %2.
Sia Pxy la proiezione ortogonale del punto P sul piano xy. Indichiamo con v l’angoloformato dai vettori ~OP e ~OPxy (quindi π/2 − v e l’angolo fra ~OP e ~k ) e con u l’angoloformato da ~ı e ~OPxy.
6 36.2. IL PIANO E LA SFERA COME PRIMI ESEMPI DI SUPERFICI(E)
O y
z
S
x
Pρ
u
v
Pxy
Figura 36.3
ChiaramenteP = (% cosu cos v, % sinu cos v, % sin v).
In particolare S e immagine dell’applicazione
f : R2 −→ R3
(u, v) −→ (% cosu cos v, % sinu cos v, % sin v).
Se pensiamo alla sfera come superficie di un pianeta che ruota intorno all’asse z, allora iparametri u e v rappresentano rispettivamente la longitudine (distanza dal meridiano diriferimento) e la latitudine (distanza dal piano equatoriale cioe dal piano xy) del punto P .
Tale funzione e C1 e
Jf(u0,v0) = %
− sinu0 cos v0 − cosu0 sin v0cosu0 cos v0 − sinu0 sin v0
0 cos v0
.
Chiaramente, se v0 6= π/2 + kπ, k ∈ Z, tale matrice ha rango 2. Se, invece v0 6= π/2 + kπ,k ∈ Z, risulta rk(Jf(u0,v0)) = 1. Ovviamente f non e iniettiva. Siano
D = { (u, v) ∈ R2 | u ∈]0, 2π[, v ∈]− π/2, π/2[ }.
Allora e facile vedere che la restrizione di f a D e iniettiva, ma non suriettiva: infatti i puntiche si possono ottenere in questo modo sono tutti e soli quelli che non giacciono nel piano xz(cioe quelli del meridiano di riferimento G = { (u, v) ∈ R2 | u = 0, 2π, v ∈]− π/2, π/2 }).
Deduciamo, da quanto visto, che S e una superficie regolare in tutti i punti di S \{ y =0 }. In realta, cambiando la parametrizzazione (per esempio considerando u ∈] − π, π[)e facile vedere che anche i punti di S ∩ { y = 0 } possono essere considerati regolari adeccezione di (0, 0, 1) e (0, 0,−1) (cioe dei poli, ovvero dei punti intersezione dell’asse dirotazione della sfera con la sfera stessa). Per tener conto anche di questi punti bisognacambiare ancora parametrizzazione (per esempio scegliendo v ∈]0, π[ o v ∈]− π, 0[).
LEZIONE 36 7
Osservazione 36.2.2.1. Si consideri ora l’ellissoide S di semiassi a, b, c > 0. Tale ellissoidee il luogo dei punti P = (x, y, z) soddisfacenti l’equazione
x2
a2+y2
b2+z2
c2= 1.
Ragionando in maniera analoga a quanto fatto nell’esempio precedente osserviamo che Se immagine dell’applicazione
f : R2 −→ R3
(u, v) −→ (a cosu cos v, b sinu cos v, c sin v).
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