ANALISI MATEMATICA II - DISMA Dipartimento di …calvino.polito.it/~rolando/2010_6luglio.pdfANALISI MATEMATICA II 6 luglio 2010 Versione A Nome, Cognome: Matricola Codice corso Docente:

ANALISI MATEMATICA II6 luglio 2010 Versione A

Nome, Cognome: Matricola Codice corso

Docente: Corso di Laurea:

Analisi II 7,5 cr. Analisi D Analisi II V.O. Analisi Ces. 1,2,3 es. 2,4,5 es 1,2,4 es. 1, es. 3 pinti b), c) e d).

ESERCIZIO 1 Si consideri la serie di funzioni∞∑

n=0

(16− x2)n2

n!,

a) determinarne l’insieme A di convergenza puntuale e la funzione somma,

b) individuare almeno un insieme su cui la serie converge uniformemente, motivando adeguatamentela risposta,

c) la serie converge uniformemente su A?

ESERCIZIO 2 Usando il teorema di Stokes, calcolare il flusso del rotore del campo vettoriale F : R3 →R3 definito da

F(x, y, z) =(−x2y, x3 + z2, arctan ex+y+z

)

attraverso la superficie

Σ :

{x2 + y2 + z2 = 4z ≥ 0

orientata secondo i versori uscenti dall’origine.

ESERCIZIO 3 Si consideri il sistema differenziale lineare

X ′ =(

0 21 1

)X +

(1t

)dove X(t) =

(x(t)y(t)

),

a) studiare la stabilita della soluzione nulla per il sistema omogeneo associato,

b) calcolare l’integrale generale del sistema omogeneo associato,

c) verificare che

X(t) =( −1

0

)t +

(1−1

)

e una soluzione del sistema completo,

d) scrivere l’integrale generale del sistema completo.

.

ESERCIZIO 4 Sia data la seguente funzione:

f(x, y) = x2y2 − 10x2y − 4xy2 + 40xy,

a) determinarne i punti critici o stazionari,

b) determinare se i punti critici sono di massimo, di minimo o di sella.

ESERCIZIO 5 Calcolare il seguente integrale di linea:∫

γ

F(x, y) · τ,

ove F(x, y) = (x3, y) e γ e la curva x2 + 4y2 = 1 con x ≥ 0 e y ≥ 0, percorsa in senso antiorario.

1 Svolgimento Versione A

Esercizio 1 a) Il dominio comune a tutti i termini fn (x) = 16− x2 n/2/n! della serie è l’intervallo [−4, 4]; infatti, i termini

con n pari sono in effetti definiti per ogni x ∈ R, ma per i termini con n dispari deve essere 16 − x2 ≥ 0, cioè−4 ≤ x ≤ 4. Dunque A sarà un sottoinsieme di [−4, 4], eventualmente [−4, 4] stesso.Tramite la sostituzione t = 16− x2 1/2, la serie data si riconduce alla serie esponenziale e si ottiene

∞

n=0

16− x2 n2

n!=∞

n=0

tn

n!= et = e

√16−x2 per ogni t ∈ R.

La serie converge quindi ad e√16−x2 per ogni x per cui i suoi termini hanno senso, ossia risulta A = [−4, 4] e la

somma della serie è S (x) = e√16−x2 per ogni x ∈ [−4, 4].

b) Siccome la serie esponenziale ∞n=0

tn

n! converge uniformemente su ogni intervallo chiuso e limitato [a, b], laserie data converge uniformemente su ogni insieme del tipo x ∈ [−4, 4] : √16− x2 ∈ [a, b] con a, b ∈ R.Prendendo ad esempio a = 0 e b = 1, risulta

16− x2 ∈ [0, 1] ⇔ 0 ≤ 16− x2 ≤ 1 ⇔ 16− x2 ≥ 016− x2 ≤ 1 ⇔

−4 ≤ x ≤ 4x ≤ −√15 ∨ x ≥ √15 ,

che significa −4 ≤ x ≤ −√15 oppure √15 ≤ x ≤ 4. I due intervalli −4,−√15 e√15, 4 sono quindi

esempi di intervalli su cui la serie converge uniformemente.

c) Lo stesso ragionamento del punto b) prova che la serie data converge uniformemente su tutto A = [−4, 4].Infatti, ripetendo i conti con a = 0 e b = 16 (ma un qualunque b > 16 servirebbe allo scopo), si ottiene

16− x2 ∈ [0, 16] ⇔ 0 ≤ 16− x2 ≤ 16 ⇔ 16− x2 ≥ 016− x2 ≤ 16 ⇔ x2 ≤ 16

x2 ≥ 0 ⇔ x2 ≤ 16,che significa −4 ≤ x ≤ 4, cioè x ∈ A.

Esercizio 2 Il teorema di Stokes assicura che il flussoΦΣ (rotF) del rotore rotF diF attraverso la calotta orientataΣ coincidecon il lavoro del campo F lungo il bordo Γ di Σ orientato coerentemente con Σ (cioè secondo il verso di unosservatore che, disposto come il campo normale che orienta Σ, percorre Γ vedendo Σ alla sua sinistra).La superficie Σ è la semisfera di centro l’origine e raggio 2 contenuta nel semispazio z ≥ 0 e dunque il suo bordoΓ è la circonferenza del piano xy di centro l’origine e raggio 2, che ammette la rappresentazione parametrica

Γ :

x = 2 cos t

y = 2 sin t

z = 0

, t ∈ [0, 2π] .

Tale rappresentazione risulta coerente con l’orientamento di Σ, in quanto, al crescere di t, il punto P (t) =(2 cos t, 2 sin t, 0) si muove lungo Γ come in figura. Dunque, poiché

F (P (t)) = F (2 cos t, 2 sin t, 0) = −8 cos2 t sin t, 8 cos3 t, arctan e2 cos t+2 sin t ,P (t) = (−2 sin t, 2 cos t, 0) ,

si ha

ΦΣ (rotF) =Γ

F · dP =2π

0

F (P (t)) · P (t) dt =2π

0

16 cos2 t sin2 t+ 16 cos4 t dt

= 162π

0

cos 2 t sin 2 t + cos2 t dt = 16

2π

0

cos2 t dt = 16t+ cos t sin t

2

2π

0

= 16π.

Compaq_Proprietario

Esercizio 3 a) La matrice del sistema è

A :=0 21 1

ed il suo polinomio caratteristico è

P (λ) =−λ 21 1− λ

= λ2 − λ− 2.Risolvendo l’equazione λ2 − λ− 2 = 0, si trovano gli autovalori distinti

λ1 = −1 e λ2 = 2,

di cui uno è positivo e pertanto la soluzione nulla del sistema omogeneo X = AX è instabile (v. teorema distabilità lineare).

b) Poiché gli autovalori λ1,λ2 di A sono reali distinti, l’integrale generale del sistema lineare omogeneo X =AX è

XO (t) = c1eλ1tV1 + c2e

λ2tV2 per ogni t ∈ Rcon c1, c2 costanti reali arbitrarie e V1, V2 autovettori qualsiasi associati a λ1,λ2 rispettivamente. Determini-amo una coppia di autovettori V1 e V2. Poiché

(A− λ1I2)xy

=00

⇔ 1 21 2

xy

=00

⇔ x = −2y,possiamo scegliere V1 = (−2, 1). Poiché

(A− λ2I2)xy

=00

⇔ −2 21 −1

xy

=00

⇔ x = y,

possiamo scegliere V2 = (1, 1). Dunque l’integrale generale del sistema lineare omogeneo X = AX è

XO (t) = c1e−t −2

1+ c2e

2t 11

=−2c1e−t + c2e2tc1e−t + c2e2t

per ogni t ∈ R (1)

con c1, c2 costanti reali arbitrarie.

c) Dobbiamo verificare cheX (t) = AX (t) +B (t) per ogni t ∈ R, dove B (t) = 1t

. Derivando

X (t) =−10

t+1−1 =

1− t−1 , (2)

si ottieneX (t) =

−10

. (3)

D’altra parte

AX (t) +B (t) =0 21 1

1− t−1 +

1t

=−2−t +

1t

=−10

. (4)

Confrontando (3) e (4), si vede che la verifica è completa.

d) L’integrale generale XC (t) del sistema completo X = AX + B (t) è la somma dell’integrale generale (1)del sistema omogeneo associato e di una soluzione particolare del sistema completo stesso, ad esempio la (2).Dunque

XC (t) = c1e−t −2

1+ c2e

2t 11

+−10

t+1−1 =

−2c1e−t + c2e2t + 1− tc1e−t + c2e2t − 1

per ogni t ∈ R, con c1, c2 costanti reali arbitrarie.

ANALISI MATEMATICA II6 luglio 2010 Versione B





n=0

(25− x2)n2

n!,





F(x, y, z) =(−(1/2)x2y, (1/2)x3 + z2, arctan ex+y+z

)


Σ :

{x2 + y2 + z2 = 4z ≥ 0



X ′ =( −1 −1−2 0

)X +

(1t

)dove X(t) =

(x(t)y(t)

),



c) verificare che

X(t) =(

1/2−1/2

)t +

(1/41/4

)



.


f(x, y) = x2y2 − 8x2y − 6xy2 + 48xy,




γ

F(x, y) · τ,

ove F(x, y) = x, y3) e γ e la curva 4x2 + y2 = 1 con x ≥ 0 e y ≥ 0, percorsa in senso antiorario.

2 Svolgimento Versione B



∞

n=0

25− x2 n2

n!=∞

n=0

tn

n!= et = e





tn


25− x2 ∈ [0, 1] ⇔ 0 ≤ 25− x2 ≤ 1 ⇔ 25− x2 ≥ 025− x2 ≤ 1 ⇔

−5 ≤ x ≤ 5x ≤ −√24 ∨ x ≥ √24 ,

che significa −5 ≤ x ≤ −√24 oppure √24 ≤ x ≤ 5. I due intervalli −5,−√24 e√24, 5 sono quindi

esempi di intervalli su cui la serie converge uniformemente.


25− x2 ∈ [0, 25] ⇔ 0 ≤ 25− x2 ≤ 25 ⇔ 25− x2 ≥ 025− x2 ≤ 25 ⇔ x2 ≤ 25



Γ :

x = 2 cos t

y = 2 sin t

z = 0

, t ∈ [0, 2π] .



si ha

ΦΣ (rotF) =Γ

F · dP =2π

0

F (P (t)) · P (t) dt =2π

0


= 82π

0


2π

0


2

2π

0

= 8π.

Compaq_Proprietario

rappresentazione


A :=−1 −1−2 0


P (λ) =−1− λ −1−2 −λ = λ2 + λ− 2.

Risolvendo l’equazione λ2 + λ− 2 = 0, si trovano gli autovalori distintiλ1 = −2 e λ2 = 1,





(A− λ1I2)xy

=00

⇔ 1 −1−2 2

xy

=00

⇔ x = y,

possiamo scegliere V1 = (1, 1). Poiché

(A− λ2I2)xy

=00

⇔ −2 −1−2 −1

xy

=00

⇔ y = −2x,possiamo scegliere V2 = (1,−2). Dunque l’integrale generale del sistema lineare omogeneoX = AX è

XO (t) = c1e−2t 1

1+ c2e

t 1−2 =

c1e−2t + c2et

c1e−2t − 2c2et per ogni t ∈ R (5)



. Derivando

X (t) =1/2−1/2 t+

1/41/4

=t/2 + 1/4−t/2 + 1/4 , (6)

si ottieneX (t) =

1/2−1/2 . (7)

D’altra parte

AX (t) +B (t) =−1 −1−2 0

t/2 + 1/4−t/2 + 1/4 +

1t

=1/2−1/2 . (8)



XC (t) = c1e−2t 1

1+ c2e

t 1−2 +

1/2−1/2 t+

1/41/4

=c1e−2t + c2et + t/2 + 1/4

c1e−2t − 2c2et − t/2 + 1/4


ANALISI MATEMATICA II6 luglio 2010 Versione C





n=0

(9− x2)n2

n!,






)


Σ :

{x2 + y2 + z2 = 4z ≥ 0



X ′ =( −1 −2−3 0

)X +

(t1

)dove X(t) =

(x(t)y(t)

),



c) verificare che

X(t) =(

01/2

)t +

(1/6−1/12

)



.


f(x, y) = x2y2 − 14x2y − 8xy2 + 112xy,




γ

F(x, y) · τ,

ove F(x, y) = (x2, y) e γ e la curva x2 + 9y2 = 1 con x ≥ 0 e y ≥ 0, percorsa in senso antiorario.

3 Svolgimento Versione C



∞

n=0

9− x2 n2

n!=∞

n=0

tn

n!= et = e





tn


9− x2 ∈ [0, 1] ⇔ 0 ≤ 9− x2 ≤ 1 ⇔ 9− x2 ≥ 09− x2 ≤ 1 ⇔

−3 ≤ x ≤ 3x ≤ −√8 ∨ x ≥ √8 ,

che significa −3 ≤ x ≤ −√8 oppure√8 ≤ x ≤ 3. I due intervalli −3,−√8 e√8, 3 sono quindi esempi

di intervalli su cui la serie converge uniformemente.


9− x2 ∈ [0, 9] ⇔ 0 ≤ 9− x2 ≤ 9 ⇔ 9− x2 ≥ 09− x2 ≤ 9 ⇔ x2 ≤ 9



Γ :

x = 2 cos t

y = 2 sin t

z = 0

, t ∈ [0, 2π] .



si ha

ΦΣ (rotF) =Γ

F · dP =2π

0

F (P (t)) · P (t) dt =2π

0


= 42π

0


2π

0


2

2π

0

= 4π.

Compaq_Proprietario


A :=−1 −2−3 0

.


P (λ) =−1− λ −2−3 −λ = λ2 + λ− 6.

Risolvendo l’equazione λ2 + λ− 6 = 0, si trovano gli autovalori distintiλ1 = −3 e λ2 = 2,





(A− λ1I2)xy

=00

⇔ 2 −2−3 3

xy

=00

⇔ x = y,

possiamo scegliere V1 = (1, 1). Poiché

(A− λ2I2)xy

=00

⇔ −3 −2−3 −2

xy

=00

⇔ −3x− 2y = 0,possiamo scegliere V2 = (2,−3). Dunque l’integrale generale del sistema lineare omogeneoX = AX è

XO (t) = c1e−3t 1

1+ c2e

2t 2−3 =

c1e−3t + 2c2e2t

c1e−3t − 3c2e2t per ogni t ∈ R (9)


c) Dobbiamo verificare cheX (t) = AX (t) +B (t) per ogni t ∈ R, dove B (t) = t1

. Derivando

X (t) =01/2

t+1/6−1/12 =

1/6t/2− 1/12 , (10)

si ottieneX (t) =

01/2

. (11)

D’altra parte

AX (t) +B (t) =−1 −2−3 0

1/6t/2− 1/12 +

t1

=01/2

. (12)



XC (t) = c1e−3t 1

1+c2e

2t 2−3 +

01/2

t+1/6−1/12 =

c1e−3t + 2c2e2t + 1/6

c1e−3t − 3c2e2t + t/2− 1/12


ANALISI MATEMATICA II6 luglio 2010 Versione D





n=0

(4− x2)n2

n!,






)


Σ :

{x2 + y2 + z2 = 4z ≥ 0



X ′ =(

1 53 3

)X +

(0

12 t

)dove X(t) =

(x(t)y(t)

),



c) verificare che

X(t) =( −5

1

)t +

(5/3−4/3

)



.


f(x, y) = x2y2 − 6x2y − 12xy2 + 72xy,




γ

F(x, y) · τ,

ove F(x, y) = (x, y2) e γ e la curva 9x2 + y2 = 1 con x ≥ 0 e y ≥ 0, percorsa in senso antiorario.

4 Svolgimento Versione D



∞

n=0

4− x2 n2

n!=∞

n=0

tn

n!= et = e





tn


4− x2 ∈ [0, 1] ⇔ 0 ≤ 4− x2 ≤ 1 ⇔ 4− x2 ≥ 04− x2 ≤ 1 ⇔

−2 ≤ x ≤ 2x ≤ −√3 ∨ x ≥ √3 ,

che significa −2 ≤ x ≤ −√3 oppure√3 ≤ x ≤ 2. I due intervalli −2,−√3 e√3, 2 sono quindi esempi

di intervalli su cui la serie converge uniformemente.


4− x2 ∈ [0, 4] ⇔ 0 ≤ 4− x2 ≤ 4 ⇔ 4− x2 ≥ 04− x2 ≤ 4 ⇔ x2 ≤ 4



Γ :

x = 2 cos t

y = 2 sin t

z = 0

, t ∈ [0, 2π] .


F (P (t)) = F (2 cos t, 2 sin t, 0) = − cos2 t sin t, cos3 t, arctan e2 cos t+2 sin t ,P (t) = (−2 sin t, 2 cos t, 0) ,

si ha

ΦΣ (rotF) =Γ

F · dP =2π

0

F (P (t)) · P (t) dt =2π

0


= 22π

0


2π

0


2

2π

0

= 2π.

Compaq_Proprietario


A :=1 53 3

.


P (λ) =1− λ 53 3− λ

= λ2 − 4λ− 12.Risolvendo l’equazione λ2 − 4λ− 12 = 0, si trovano gli autovalori distinti

λ1 = −2 e λ2 = 6,





(A− λ1I2)xy

=00

⇔ 3 53 5

xy

=00

⇔ 3x+ 5y = 0,

possiamo scegliere V1 = (5,−3). Poiché(A− λ2I2)

xy

=00

⇔ −5 53 −3

xy

=00

⇔ x = y,

possiamo scegliere V2 = (1, 1). Dunque l’integrale generale del sistema lineare omogeneo X = AX è

XO (t) = c1e−2t 5

−3 + c2e6t 1

1=

5c1e−2t + c2e6t

−3c1e−2t + c2e6t per ogni t ∈ R (13)



. Derivando

X (t) =−51

t+5/3−4/3 =

−5t+ 5/3t− 4/3 , (14)

si ottieneX (t) =

−51

. (15)

D’altra parte

AX (t) +B (t) =1 53 3

−5t+ 5/3t− 4/3 +

012t

=−51

. (16)



XC (t) = c1e−2t 5

−3 + c2e6t 1

1+

−51

t+5/3−4/3 =

5c1e−2t + c2e6t − 5t+ 5/3

−3c1e−2t + c2e6t + t− 4/3per ogni t ∈ R, con c1, c2 costanti reali arbitrarie.

ANALISI MATEMATICA II - DISMA Dipartimento di …calvino.polito.it/~rolando/2010_6luglio.pdfANALISI MATEMATICA II 6 luglio 2010 Versione A Nome, Cognome: Matricola Codice corso Docente:

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